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Geometria Plana – 2015
1. (Unicamp 2015) Seja r a reta de equação cartesiana x 2y 4. Para cada número real t
tal que 0 t 4, considere o triângulo T de vértices em (0, 0), (t, 0) e no ponto P de
abscissa x t pertencente à reta r, como mostra a figura abaixo.
a) Para 0 t 4, encontre a expressão para a função A(t), definida pela área do triângulo T,
e esboce o seu gráfico.
b) Seja k um número real não nulo e considere a função g(x) k x, definida para todo
número real x não nulo. Determine o valor de k para o qual o gráfico da função g tem
somente um ponto em comum com a reta r.
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2. (Uerj 2015) Uma ferramenta utilizada na construção de uma rampa é composta pela
seguinte estrutura:
- duas varas de madeira, correspondentes aos segmentos AE e AD, que possuem
comprimentos diferentes e formam o ângulo DÂE igual a 45 ;
- uma travessa, correspondente ao segmento BC, que une as duas varas e possui uma marca
em seu ponto médio M;
- um fio fixado no vértice A e amarrado a uma pedra P na outra extremidade;
- nesse conjunto, os segmentos AB e AC são congruentes.
Observe o esquema que representa essa estrutura:
Quando o fio passa pelo ponto M, a travessa BC fica na posição horizontal. Com isso, obtém-
se, na reta que liga os pontos D e E, a inclinação α desejada.
Calcule ,α supondo que o ângulo AÊD mede 85 .
3. (Unicamp 2015) A figura abaixo exibe um retângulo ABCD decomposto em quatro
quadrados.
O valor da razão AB
BC é igual a
a) 5
.3
b) 5
.2
c) 4
.3
d) 3
.2
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4. (Unesp 2015) A figura representa duas raias de uma pista de atletismo plana. Fábio (F) e
André (A) vão apostar uma corrida nessa pista, cada um correndo em uma das raias. Fábio
largará à distância FB da linha de partida para que seu percurso total, de F até a chegada em
C', tenha o mesmo comprimento do que o percurso total de André, que irá de A até D'.
Considere os dados:
- ABCD e A'B'C'D' são retângulos.
- B', A ' e E estão alinhados.
- C, D e E estão alinhados.
- A'D e B'C são arcos de circunferência de centro E.
Sabendo que AB 10 m, BC 98 m, ED 30 m, ED' 34 m e 72 ,α calcule o
comprimento da pista de A até D' e, em seguida, calcule a distância FB. Adote nos cálculos
finais 3.π
5. (Fuvest 2015) No triângulo retângulo ABC, ilustrado na figura, a hipotenusa AC mede
12cm e o cateto BC mede 6cm.
Se M é o ponto médio de BC, então a tangente do ângulo MAC é igual a
a) 2
7 b)
3
7 c)
2
7 d)
2 2
7 e)
2 3
7
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6. (Fuvest 2015) Na figura abaixo, a circunferência de centro em O e raio r tangencia o lado
BC do triângulo ABC no ponto D e tangencia a reta AB no ponto E. Os pontos A, D e O
são colineares, AD 2r e o ângulo ACO é reto. Determine, em função de r,
a) a medida do lado AB do triângulo ABC;
b) a medida do segmento CO.
7. (Ita 2015) Seja ABCD um trapézio isósceles com base maior AB medindo 15, o lado AD
medindo 9 e o ângulo ˆADB reto. A distância entre o lado AB e o ponto E em que as
diagonais se cortam é
a) 21
.8
b) 27
.8
c) 35
.8
d) 37
.8
e) 45
.8
8. (Unesp 2015) Em 09 de agosto de 1945, uma bomba atômica foi detonada sobre a cidade
japonesa de Nagasaki. A bomba explodiu a 500 m de altura acima do ponto que ficaria
conhecido como “marco zero”.
No filme Wolverine Imortal, há uma sequência de imagens na qual o herói, acompanhado do
militar japonês Yashida, se encontrava a 1km do marco zero e a 50 m de um poço. No
momento da explosão, os dois correm e se refugiam no poço, chegando nesse local no momento exato em que uma nuvem de poeira e material radioativo, provocada pela explosão, passa por eles. A figura a seguir mostra as posições do “marco zero”, da explosão da bomba, do poço e dos personagens do filme no momento da explosão da bomba.
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Se os ventos provocados pela explosão foram de 800 km h e adotando a aproximação
5 2,24, os personagens correram até o poço, em linha reta, com uma velocidade média,
em km h, de aproximadamente
a) 28. b) 24. c) 40. d) 36. e) 32. 9. (Pucpr 2015) Um mineroduto é uma extensa tubulação para levar minério de ferro extraído
de uma mina até o terminal de minério para beneficiamento. Suponha que se pretenda instalar
um mineroduto em uma mina que está à margem de um rio com 200 metros de largura até um
porto situado do outro lado do rio, 3.000 metros abaixo. O custo para instalar a tubulação no
rio é R$10,00 o metro e o custo para instalar a tubulação em terra é R$6,00 o metro. Estudos
mostram que, neste caso, o custo será minimizado se parte do duto for instalada por terra e parte pelo rio. Determine o custo de instalação do duto em função de x, em que x é a
distância da mina até o ponto P, como mostra a figura.
a) C(x) 6x 10 200 3000 x
b) 22C(x) 6 200 3000 x 10x
c) 22C(x) 4 200 3000 x
d) 22C(x) 6x 10 200 3000 x
e) 22C(x) 10 200 3000 x
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10. (Uerj 2015) Um tubo cilíndrico cuja base tem centro F e raio r rola sem deslizar sobre um
obstáculo com a forma de um prisma triangular regular. As vistas das bases do cilindro e do
prisma são mostradas em três etapas desse movimento, I,II e III, nas figuras a seguir.
Admita que:
- as medidas do diâmetro do círculo de centro F e da altura do triângulo ABC são
respectivamente iguais a 2 3 decímetros;
- durante todo o percurso, o círculo e o triângulo sempre se tangenciam.
Determine o comprimento total, em decímetros, do caminho descrito pelo centro F do círculo que representa a base do cilindro. 11. (Uerj 2015) Uma chapa de aço com a forma de um setor circular possui raio R e perímetro
3R, conforme ilustra a imagem.
A área do setor equivale a:
a) 2R
b) 2R
4
c) 2R
2
d) 23R
2
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12. (Pucrj 2015) A figura mostra um triângulo equilátero de lado 1, um círculo inscrito e um
segundo círculo tangente a dois lados do triângulo e tangente exteriormente ao primeiro círculo.
a) Encontre o raio do maior círculo. b) Encontre o raio do menor círculo. c) Encontre a área da região sombreada, limitada por um lado do triângulo e pelos dois
círculos. 13. (Unicamp 2015) A figura abaixo exibe um círculo de raio r que tangencia internamente um
setor circular de raio R e ângulo central .θ
a) Para 60 ,θ determine a razão entre as áreas do círculo e do setor circular.
b) Determine o valor de cosθ no caso em que R 4r.
14. (Pucrj 2015) A medida da área, em 2cm , de um quadrado que pode ser inscrito em um
círculo de raio igual a 5 cm é?
a) 20
b) 25 2 c) 25
d) 50 2 e) 50
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15. (Unicamp 2015) A figura a seguir exibe um pentágono com todos os lados de mesmo
comprimento.
A medida do ângulo θ é igual a
a) 105 . b) 120 . c) 135 . d) 150 .
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Gabarito: Resposta da questão 1:
a) Sabendo que P pertence à reta r, temos t
P t, 2 .2
Além disso, para todo 0 t 4,
o triângulo T é retângulo em (t, 0). Em consequência, segue que
1 t tA(t) t 2 (t 4).
2 2 4
O gráfico da função A é uma parábola com concavidade voltada para baixo, e cujas raízes
são 0 e 4. Além disso, o vértice tem coordenadas (2,1).
b) As abscissas dos pontos de interseção da reta x
y 22
com a função k
g(x) ,x
sendo
x 0, satisfazem a equação
2x k2 x 4x 2k 0.
2 x
Para que exista um único ponto de interseção, o discriminante dessa equação deve ser igual a
zero, ou seja, 2( 4) 4 1 2k 0,Δ o que implica em k 2.
Resposta da questão 2:
Considerando BC / /DF, temos:
ˆ ˆADE 45 85 180 ADE 50
180 45ˆADF 67,52
Portanto, 67,5 50 17,5 17 30'α
Resposta da questão 3: [A]
Há três tipos de quadrados, com 1 2 3 sendo os seus lados. É fácil ver que 2 12 e
3 1 2 13 . Portanto, temos 3 2
3
AB 5.
3BC
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Resposta da questão 4:
Se ABCD e A'B'C'D' são retângulos e os percursos de Fábio e André têm o mesmo
comprimento, então
FB B'C A 'D
2(40 30)
5
12 m.
π
Resposta da questão 5:
[B]
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, vem
2 2 2 2 2 2AC AB BC AB 12 6
AB 108
AB 6 3 cm.
Do triângulo ABM encontramos
BM 3 3tgBAM tgBAM .
6AB 6 3
É fácil ver que tgBAC 2 tgBAM. Logo, obtemos
2
2
tgMAC tg(BAC BAM)
2 tgBAM tgBAM
1 2 tgBAM tgBAM
tgBAM
1 2 tg BAM
3
6
31 2
6
3 6
6 7
3.
7
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Resposta da questão 6:
a) No AOE :Δ 22 2 2AE r 3r AE 8r AE 2r 2
AB 2r 3 r 3 r 2ADB ~ AEO AB AB
3r 22 2 r 2Δ Δ
b) No ACO,Δ temos:
2 2 2CO (2r r) r CO 3 r CO r 3
Resposta da questão 7: [E]
No ABD,Δ temos:
2 2BD 9 15 BD 12
15EM 452BEM ADB EM9 12 8
Δ Δ
Portanto, a distância pedida é 45
.8
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Resposta da questão 8:
[D]
A distância d do ponto em que a bomba explodiu até o poço é dada por
2 2 2d 1 (0,5) d 1,25
d 0,5 2,24
d 1,12km.
Desse modo, a nuvem de poeira atinge o poço em 1,12
0,0014 h800
e, portanto, podemos
concluir que a velocidade média dos personagens foi de 0,05
36km h.0,0014
Resposta da questão 9: [D]
O custo total será dado por: C(x) 6 x 10 d
Onde, 2 2d 3000 x 200
Daí, temos:
2 2C(x) 6 x 10 3000 x 200
Portanto, a opção correta é 22C(x) 4 200 3000 x .
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Resposta da questão 10:
Na figura, temos:
3tg60 x 1
x
a 32 3 a 4
2
2 3 120 2 3y
360 3
π π
Portanto, a distância d percorrida pelo centro F é dada por:
2 3d a x a x y 6 dm
3
π
Resposta da questão 11: [C] A área do setor é dada por
2R AB R R R.
2 2 2
Resposta da questão 12:
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a) 6
3
2
31
3
1R
b) 1 3 2 3 3
r3 2 6 18
c) Teremos:
2 2 2
2 2 2 2 2
2
2
(R r) x (R r)
R 2Rr r x R 2 R
x 4Rr
3 3x 4
6 18
1x
r r
3
(trapézio) (setor I) (setor II)
2 2
A A A A
1 3 3 1 1 3 1 3A
2 6 18 3 3 18 6 6
3A
27 324 72
π π
π π
Resposta da questão 13:
a) Considere a figura.
Como o círculo e o setor são tangentes internamente, temos AC R, OB OC r e
BAO 30 . Logo, segue que AO AC OC R r. Portanto, do triângulo ABO, vem
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OB rsenBAO sen30
R rAO
r 1
R 3
Em consequência, a razão pedida é igual a
22
2
r r 26 .
60 R 3R
360
π
π
b) Se R 4r, então, do triângulo ABO, obtemos
r 1sen sen .
2 R r 2 3
θ θ
Por conseguinte, vem
2
2
cos 1 2sen2
11 2
3
7.
9
θθ
Resposta da questão 14: [E]
Na figura x é a medida do lado do quadrado e AC 10cm, daí temos:
2 2 2 2x x 10 x 50
Portanto, a área do quadrado é 250cm .
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Resposta da questão 15:
[B]
Considere o pentágono equilátero ABCDE de lado da figura.
É fácil ver que o triângulo CDE é isósceles, com CD ED.
Sabendo que BAE 90 , tem-se que o triângulo ABE é retângulo isósceles, com BE 2.
Em consequência, sendo ABC 135 , concluímos que o triângulo ABC é retângulo em B.
Agora, pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo BCE, encontramos CE 3.
Finalmente, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo CDE, vem
2 2 2 1( 3) 2 cos cos
2
120 .
θ θ
θ