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fredytoapanta
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Problemas
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GEOMETRIA PLANA21www.monografias.comGeometra PlanaIndice1. Objetivos2. Geometra plana3. Operaciones con segmentos4. Problemas de auto evaluacin5. Proporcionalidad6. Indicaciones7. Angulos8. Teoremas9. Solucionario10. Problemas de autoevaluacin1. Objetivoscognitivo:1.- Comprender los axiomas, postulados, teoremas y corolarios que rigen a la geometra axiomtica.2.- Conocer y desarrollar capacidades de deduccin y lograr demostraciones, mediante un conjunto de razonamientos.Procedimental:1.- Manifestar habilidades para deducir, demostrar teoremas y problemas de aplicacin.2.- Correlacionar, y organizar los diferentes subtemas de estudio y su verdadera utilizacin.Actitudinales:1.- Desarrollar, confianza en sus habilidades matemticas y lgicas puestas al servicio de las distintas demostraciones.2.- Alcanzar actitudes de orden, perseverancia y optimismo en sus avances y logros a nivel del conocimiento de la geometra plana. 2. Geometra planaIntroduccinConceptos Fundamentales E Importancia Del Estudio De La GeometriaProposicionEs un enunciado o juicio el cual solo puede originar uno y solo uno de los trminos verdadero o falso.Las proposiciones ms comunes que se utilizan son: axiomas, postulados, teoremas y corolarios.AxiomasEs una verdad que no requiere demostracin y se la cumple en todas las ciencias del conocimiento.PostuladosEs una proposicin aceptada como verdadera. A diferencia de los axiomas, estos se los emplea generalmente en geometra, los mismos que no se han constituido al azar, sino que han sido escogidos cuidadosamente para desarrollar la geometraTeoremaEs la proposicin cuya verdad necesita ser demostrada: una vez que el teorema se ha probado se lo puede utilizar para la demostracin de otros teoremas, junto con axiomas y postulados.Un teorema consta de: hiptesis y tesis: Hiptesis: son las condiciones o datos del problemaTesis: es la propiedad a demostrarse.CorolarioEs la consecuencia de un teorema demostrado.Razonamiento LogicoCuando una persona se empea en una reflexin clara o en una reflexin rigurosa, est empleando la disciplina del razonamiento lgico. DemostracionesEs un conjunto de razonamientos que demuestra la verdad de la proposicin junto con axiomas y postulados.Una demostracin bien elaborada solo puede basarse en proposiciones antes demostradas, la demostracin tambin es necesaria para fundamentar la generalidad de la proposicin que se demuestra.Por medio de las proposiciones, las verdades geomtricas se reducen a un sistema armonioso de conocimientos cientficos.Metodos De DemostracionesMetodo InductivoEs un razonamiento que parte de conocimientos o verdades particulares para obtener mediante ellos una verdad general.Metodo DeductivoEs un razonamiento que parte de conocimientos o verdades generales para obtener mediante ellos una verdad particular.La mayora de los problemas geomtricos se demuestran usando el mtodo deductivo.Procedimiento De Una DemostracionLa demostracin formal de un teorema consiste en cinco partesa)El enunciado del teorema.b)Hacer un grfico que ilustre el teorema.c)Una afirmacin de lo que es el dato (s) en trminos del grfico ( hiptesis ).d)Una afirmacin de lo que debe probarse ( tesis ).e)Demostracin: Es una serie de razonamientos lgicos establecidos mediante definicin, axiomas y postulados aceptados y teoremas probados en anterioridad. Toda demostracin debe constar de afirmaciones y razones.ImportanciaPor qu estudiar geometra? El alumno que empieza a estudiar geometra, puede preguntar con toda razn : Que es la geometra? Que gano con estudiarla?.Uno de los beneficios de la geometra es que el estudiante adquiere un criterio al escuchar leer y pensar. Cuando estudia geometra, deja de aceptar a ciegas proposiciones e ideas y se le ensee a pensar en forma clara y critica, antes de hacer conclusiones.Otro es el adiestramiento en el uso exacto de idioma y en la habilidad para analizar un problema nuevo, para diferenciar diferenciar sus partes cruciales y aplicar la perseverancia, originalidad y razonamiento lgico para resolver el problema.Los estudiantes deben conocer lo que las ciencias matemticas y los matemticos han aportado a nuestra cultura y civilizacin.3. Operaciones con segmentosPuntoElemento geomtrico que tiene posicin pero no dimensin, sin embargo las palabras posicin y dimensin no se definen, por lo tanto la palabra punto no se define.Representacion GraficaSe lo hace por medio de una marca ( . o x )DenominacionPor medio de una letra mayscula. ejemplo:.AB(x ,y)C(x, y, z) RectaEs una figura geomtrica, en la cual un punto que se encuentra entre otros dos tiene la misma distancia a estos; se prolonga indefinidamente en ambas direcciones.Representacion GraficaDenominacionPor medio de dos letras maysculas que representan a dos puntos cualquiera en la recta.ABABo por medio de una letra mayscula cerca de la recta.L LPuntos ColinealesSon los puntos, elementos de una misma recta.PlanoUn plano esta determinado por:a)Tres puntos no colineales.b)Una recta y un punto externo.c)Dos rectas que se intersecan.d)Dos rectas paralelas.Representacion GraficaDenominacionPor medio de letras maysculas en los vrtices de una representacin grfica.SegmentoLa parte de la recta AB entre A y B, incluido los puntos A Y B se llama segmento.Representacion GraficaABDenominacionPor los extremos del segmento : ABEl numero que expresa a que distancia se encuentra A de B se llama medida o longitud de AB . usaremos el smbolo mAB para denotar la longitud de AB.Operaciones Con SegmentosConsiste en encontrar un segmento de longitud igual a la suma de las longitudes de los segmentos dados.PABQm PQ = mPA + mAB + mBQm AP = mPB mAP mAB = mPQ mPA mBQ Solucionario 1) A M BP H) AM = MB PA + BP PM = PA AMT) PM =PM = PB + BM 22PM = PA + PM PA + PBPM = 22) A P M BH) AM = MBPM = BP MB PB - PAPM = -PA + MAT) PM =2PM = BP PA 2 BP PAPM = 23) Sobre un recta se toman los puntos A, B, C, D, E, F, consecutivamente, de modo que BE = 5/8 AF. Calcular AF sabiendo que : AC + BD + CE + DF = 39u.H )BE = 5/8AF AC + BD + CE + DF = 39u AC + BD + CE + DE + EF = 39uT )AF = AF + BD + DE = 39u AF + BE = 39u AF + 5/8AF = 39u 13/8AF = 39uAF = 24) ABCDEFH) AB = BCBE = AD AB + DE DE = EFBE = FC + BC EF AD + CF2BE = AD + FCT) BE = 2AD + FCBE = 25)ABCMDH) AB = BC CD = 2ACAM = BC + CD AC +AM - MD AM = MDAM = AB + 2AC AC +AM-MDT) AM = AB + ACAM = AB + AC6) A BC D AC + CDH) AB = BD2 - 2BD + 1 = 0 2(BD 1)(BD 1)= 0 BD2 - 2BD + 1 = 0 BD = 1T) AD = ?AB = AD - BDAB = AD/2 2AB = AD 2(AD BD) = AD2AD 2 = AD-2 = - AD 2 = AD7) A BC DH) BC = CD T) AC2 = AB . AD + BD2AC = AB + BC 4AC = AD CD 2AC = AB + AD2AC = AB + AB + BD (2AC)2 = (2AB + BD)24AC 2 = 4AB2 + 4AB.BD + BD2AC2 = 4AB2/4+ 4AB.BD/4 + BD2/4AC2 = AB2 + AB.BD + BD2/4 AC2 = AB2 + AB(AD AB) + BD2/4 AC2 = AB2 + AB.AD AB2 + BD2/4 AC2 = AB.AD + BD2/48)ABMC H) MB = MCAB = AM - BMT) AB2 + AC2 = 2(AM2 + BM2)AC = AM + MCAB2 = ( AM BM )2AC2 = ( AM + MC )2AB2 = AM 2 2AM.BM + BM2AC2 = AM2 + 2AM.MC + MC2AB2 + AC2 = 2AM2 + 2BM2AB2 + AC2 = 2(AM2 + BM2)9)ABCD H)BC = DCAB = aAC = AB + BCAC = mAC = AD - CDAD = b2AC = AB + ADT)m = ab + (b a)2/4 2AC = AB + AB + BD2AC2 = ( 2AB + BD )24AC2 = 4AB2 + 4AB.BD + BD2AC2 = AB2 + AB.BD +BD2/4AC2 = AB2 + AB (AD AB) + BD2/4AC2 = AB2 + AB.AD AB2 +BD2/4AC2 = AB.AD + BD2/4m = ab + (b a)2/410)ABCD H1) AB.CD = 2AD.BC T) 2/AB + 1/AD = 3/AC1)AB.BC = 2AD.BCH2) AB.CD = 7BC.ADAB(AD AC) = 2AD(AC AB)T) 1/AD + 7/AB = 8/ACAB.AD AB.AC = 2AD.AC 2AD.ABAB.AD + 2AD.AB AB.AC = 2AD.AC3AB.AD = AB.AC + AD.AC3AB.AD = AC(AB + AD)3/AC = 2AD/AB.AD + AB/AB.AD3/AC = 2/AB + 1/AD2)AB.CD = 7BC.ADAB(AD AC) = 7(AC AB)ADAB.AD AB.AC = (7AC 7AB)ADAB.AD AB.AC = 7AC.AD.7AB.AD8AB.AD = 7AC.AD + AB.AC8AB.AD = AC(7AD + AB)8/AC = 7AD/AB.AD + AB/AB.AD8/AC = 7/AB + A/AD11)ABCDE AC + BD + CE = 44uH)AC + BD + CE = 44u AE CE + AE AB DE + CE = 44u AE = 25u 2AE AB 2AB = 44uDE = 2AB 2(25u) 3AB = 44uT)AB = ? 50u 3AB = 44u - 3AB = 44u 50uAB = -6 / -3AB = 24. Problemas de auto evaluacinIndicaciones:1 ) Estudie el capitulo y luego conteste cada numeral.2 ) La evaluacin de la prueba es de 4 puntos c/u. Total 20 / 203 ) Si algn literal no puede resolver, vuelva a ensayar, luego de haber estudiado nuevamente el capitulo.CuestionarioSolucin: x = 14m1.- Sea una recta en la se tima los puntos A, B, C, y D, de tal manera que: a AB + BC = 28 m. Calcular la longitud del segmento MC, si m es el punto medio de ABSolucin: FG = 152.- En una recta sean los puntos consecutivos A, B, C, D y E; tal que F sea el punto medio de AB y G punto medio de DE. adems AB =BC y CD = DE. Tambin AB + DE = 10. Calcular FG.Solucin: MN = 323.- En una recta, se toman los puntos consecutivos A, B, C, D, de tal manera que AC = 28 y BD = 36. Calcular la longitud del segmento MN, siendo M y N Puntos medio de AB y CD, respectivamente.Solucin: BC = 14.- En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, de tal manera que :1/ AB + 1/AD = 2/AC donde AB = 2, CD = 3. Calcular la longitud BC. Solucin: AD = 12m5.- en una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C y D. Hallar AD, sabiendo que AC + BD = 16m, y BC = 4m.5. ProporcionalidadRazonEs una comparacin de una cantidad respecto a otra cantidad semejante, el resultado es un numero abstracto, es decir no tiene unidades.Una razn es una fraccin, por lo tanto, todas las propiedades que tiene una fraccin se aplica a las razones.ProporcionEs la igualdad de dos razones. RepresentacionSi las razones a/b y c/d son iguales, la proporcin puede representarse como:a/b = c/d.DenominacionSe lee a es a b como c es a d o tambin a y c son proposicionales a b y d.Terminos De Una ProporcionSon elementos que forman la proporcin: Si a/b = c/dExtremosa y dMediosb y cAntecedentesa y cConsecuentesb y dPropiedades De Las Proporcionesa) En una proporcin pueden invertirse las razonesSi a/b = c/d, entonces b/a = d/c. Por ejemplo 2/3 = 8/123/12 = 12/8b) El producto de los extremos es igual al producto de los medios.Si a/b = c/d, entonces ad = bc. Por ejemploSi 5/7 = 10/14 70 = 70c) En una proporcin a cada antecedente se puede sumar su respectivo consecuente, o a cada consecuente sumar su respectivo antecedente.Si a/b = c/d, entonces (a+b) / b = (c+d) / b o a/ (a+b) = c / (c+d)Ejemplo: Si 4/5 = 20/25 4+5/5 = 20+25/25 o 4/4+5 = 20/25+20d) En una proporcin a cada antecedente se puede restar su respectivo consecuente, o a cada consecuente restar su respectivo antecedente.Si a/b = c/d, a-b/b = c-d/d o a/b-a =c/d-cEjemplo : Si 7/3 = 14/6 7-3/3 = 14-6/6 o 7/3-7 = 14/6-14 e) En una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes, es a la suma de los consecuentes, como uno cualquiera de sus antecedentes es a su respectivo consecuente.Si a/b = c/d = e/f = ..... a+c+e+ ... / b+d+f+ ... = a/b = c/d = e/f =...Ejemplo : 1/2 = 3/6 = 12/24 1+3+12/2+6+24 = 1/2 = 3/6 = 12/24.Divicion Interna De Un SegmentoConsiste en localizar un punto en el interior de un segmento, tal que forme dos segmentos que estn en una razn dada, m/nAPBAP/PB = m/nSolucion GraficaPrimer caso. (m/n 1)Datos : AB y m nSegundo Caso. (m/n 1)Datos : AB y nmTercer caso. (m/n = 1)mDatos : AB y nSolucion AnaliticaDatos : Coordenadas de A y B y relacin m/nAPBx1xx2 AFIRMACIONESRAZONESAP/PB = m/n.............Formando proporciones AP+PB/PB = m+n/n.............Propiedad de las proporcionesAB/PB = m+n/n.............Suma de segmentosPB = n AB/m+n.............Despejando ABx = x2 PB.............Segn el grficoSi m = nPB = AB/2Divicion Externa De Un Segmento Consiste en localizar un punto en la prolongacin de un segmento, tal que formen dos segmento que estn en una relacin dada m/n. Primer Caso. (m/n 1)Datos : AB ymnSolucion Grafica Solucion Analitica Datos : Coordenadas de los puntos A y B y la relacin m/n 1Afirmaciones RazonesAQ/BQ = m/n................Formando Proporciones AQ-BQ/BQ = m-n/n................Propiedad de las proporcionesAB/BQ = m-n/n................Suma de segmentosBQ = n AB/m-n................Despejando BQx = x2 + BQ................Por grfico Segundo caso. Si (m/n 1)Datos : ABy m nSolucion GraficaSolucion Analitica AfirmacionesRazonesAQ/BQ= m/n.................Formando ProporcionesAQ BQ/BQ= m-n/n.................Propiedad de las Proporciones-AB/BQ= -(n-m)/n.................Operacin de segmentosBQ= n AB/n-m.................Despejando BQx= x2 - BQ Tercer Caso. Si m/n = 1Datos: ABym = n Solucion GraficaSolucion Analitica No existe localizado un punto en el exterior del segmento por que lar rectas trazadas son paralelas.Division Amonica De Un SegmentoConsiste en dividir un segmento interno y externamente de una misma razn.Si P y Q dividen armnicamente al segmento AB, se tiene: APBQ QAPBAP/PB = AQ/BQ = m/nEn la divisin armnica debe verificarse la divisin interna y externa.Solucionario 1) Si P y Q dividen armnicamente al AB, entonces la relacin correcta es: a) AP/PB = AB/BQb) PB/AP = BQ/AQc) AB/PB = AQ/BQe)NINGUNA APBQSolucin : b) PB/AP = BQ/AQ2) Dado un AB de coordenadas ( -159; 136 ) , encontrar las coordenadas de los puntos que dividen el segmento en cinco partes de igual medida.AB-159-100-4118771363) Dado un AB de coordenadas ( -369 ; 391 ) , encontrar la coordenada del punto P que divide internamente al AB en relacin 7/13.H) m = 7, n = 13APB m/n 1AB= 760AfirmacionesRazonesT) X = ?1.- AP/PB = m/nFormando proporciones2.- (AP + PB)/PB = (m + n)/nAplicando ley de las proporciones3.- AB/PB = (m + n)/nSuma de segmentos4.- PB = AB.n/m + nDespejando PB5.- PB = (760 . 13)/7 + 13Remplazando hiptesis6.- PB = 494Operaciones7.- X = X2 PBDiferencia entre el punto final y PB8.- X = 391 494Remplazando afirmacin 6, e hiptesis9.- X = -103Operaciones4) Dado un AB de coordenadas (-113 ; 207 ) , encontrar la coordenada de un punto P que divide internamente al AB en relacin 27/13.H) m = 27, n = 13 APBm/n 1AB = 320AfirmacionesRazonesT) X = ?1.- AP/PB = m/nFormando proporciones2.- (AP + PB)/PB = (m + n)/nAplicando ley de las proporciones3.- AB/PB = (m +n/)nSuma de segmentos4.- PB= AB.n/m + nDespejando PB5.- PB = (320 . 13)/27 + 13Remplazando hiptesis6.- PB = 104Operaciones7.- X = X2 PB Diferencia entre el punto final y PB8.- X = 207 104Remplazando afirmacin 6, e hiptesis9.- X = 103Operaciones5) Dado un AB de coordenadas ( -117; 63) , encontrar la coordenada de un punto Q que divide externamente al AB en relacin 37/19.H) m = 37, n = 19ABQAB = 180T) X = ?AfirmacionesRazones1.- AQ/AB = m/nFormando proporciones2.- (AQ QB)/QB = (m n)/nAplicando ley de las proporciones3.- AB/QB = (m n)/nSuma de segmentos4.- QB = AB.n/m nDespejando QB5.- QB = (180 . 19)/37 19Remplazando hiptesis6.- QB = 190Operaciones7.- X = X2 QBDiferencia entre el punto final y QB 8.- X = 63 190Remplazando afirmacin 6 e hiptesis 9.- X = - 127Operaciones6) Dado un AB de coordenadas ( -69 ; 387 ) , encontrar la coordenada de un punto Q que divide externamente al AB en relacin 23/47.H) m = 23, n = 47QABm/n 1AB = 456T) X = ?AfirmacionesRazones 1.- AQ/QB = m/nFormando proporciones2.- (AQ QB)/ QB = (m n)/nAplicando ley de las proporciones3.- -AB/QB = (m n)/nSuma de segmentos4.- AB/QB = (n - m)/nMultiplicando por -15.- QB = AB.n/n mDespejando QB6.- QB = (47 . 456)/47 23Remplazando hiptesis 7.- QB = 893Operaciones8.- X = X2 QBDiferencia entre el punto final y QB9.- X = 387 893Remplazando afirmacin 7 e hiptesis10.- X = - 506Operaciones7) Dado un AB de coordenadas (-369; 387) encontrar las coordenadas de los puntos P y Q que dividen al AB en relacin, 39/17, armnicamente.H) m = 39, n = 17A P B Q m/n 1T) X = ?AfirmacionesRazones1.- AP/PB = m/nFormando proporciones2.- (AP + PB)/PB = (m n)/nAplicando ley de las proporciones3.- AB/PB = (m + n)/nSuma de segmentos4.- PB = AB.n/m+nDespejando PB5.- PB = (17 . 756)/ 39 + 17Remplazando hiptesis6.- PB = 229,5Operando7.- X = X2 PBDiferencia entre el punto final y PB8.- X = 387 229,5Remplazando afirmacin 6 e hiptesis9.- X = 157,5Operando10.- AQ/QB = m/nFormando proporciones11.- (AQ QB)/QB = (m n)/n Aplicando ley de las proporciones12.- AB/QB = (m n)/n Suma de segmentos13.- QB = AB.n/m-nDespejando QB14.- QB = (756 . 17)/39 17Remplazando hiptesis15.- QB = 584,18Operando16.- X = X2 + QBSuma entre el punto final y QB 17.- X = 387 + 584,18Remplazando afirmacin 15 e hiptesis18.- X = 971.98Operaciones8) Dado un AB de coordenadas (-759; 863), encontrar las coordenadas de los puntos P y Q que dividen armnicamente al AB en elacion 11/29 H) m = 11, n = 29QAP Bm/n 1T) X = ?AfirmacionesRazones1.- AP/PB = m/nFormando Proporciones 2.- (AP + PB)/BP = (m + n)/nAplicando ley de las proporciones 3.- AB/BP = (m + n)/nSuma de segmentos4.- PB = AB.n/m + nDespejando PB5.- PB = (1622 . 29)/11 + 24Remplazando hiptesis6.- PB = 1175,95Operando7.- X = X2 PBDiferencia entre el punto final y PB8.- X = 863 1175,96Remplazando afirmacin 6 e hiptesis9.- X = -312,95Operando10 .- AQ/ BQ = m/nFormando proporciones11.- (AQ QB)/QB= (m n)/nAplicando ley de las proporciones12.- -AB/QB = (m n)/nSuma de segmentos13.- AB/QB = (n m)/nMultiplicando por -114.- QB = AB.n/n mDespejando QB 15.- QB = (1622 . 29)/29 11Remplazando hiptesis16.- QB = 2613,22Operaciones17.- X = X2 QBDiferencia entre el punto final y QB18.- X = 863 2613,22Remplazando afirmacin 16 e hiptesis19.- X = -1777,22Operando9)PABCH) PA = 10u PB = 30u AC/5 = BC/3T) PC = ?AfirmacionesRazones1.- AC/5 = BC/3Por hiptesis2.- PC PA/5 = PC PB/3Operaciones con segmentos3.- PC 10u/5 = PC 30u/3Remplazando hiptesis4.- 5PC 150 = 3PC 30Transposicin de trminos5.- PC = 60Despejando PC10) Dado un AB de coordenadas ( -69 ; 183 ) , encontrar la relacin m/n, si PB = 49 (P divide internamente al AB)H) PB = 49APBAB = 252T) m/n = ?AfirmacionesRazones1.- AP/PB = m/nFormando proporciones2.- (AB PB)/PB = m/nSuma de segmentos3.- (252 49)/49 = m/nRemplazando hiptesis4.- 303/49 = m/nOperando5.- 29/7 = m/nSimplificando11) Dado un AB de coordenadas ( -47 ; 78 ) , encontrar la relacin m/n, si AP = 55 ( P divide internamente al AB)H) AP = 55APBAB = 125T) m/n = ?AfirmacionesRazones1.- AP/PB = m/nFormando proporciones2.- AP/(AB AP) = m/nSuma de segmentos 3.- 55/(125-55) = m/n Remplazando hiptesis4.- 55/70 = m/nOperando5.- 11/14 = m/n12) Dado un AB de coordenadas ( -37 ; 75 ) , encontrar la relacin m/n 1, si BQ =152 (Q divide externamente al AB).H) m/n 1ABQAB = 112T) m/n = ?AfirmacionesRazones1.- AQ/BQ = m/nFormando Proporciones2.- AB + BQ/BQ = m/nSuma de segmentos3.- (112 + 152)/152 = m/nRemplazando hiptesis4.- 264/152 = m/nOperaciones5.- 33/19 = m/nSimplificando13) Dado un AB de coordenadas (-228; 563), encontrar la relacin m/n 1, si AQ = 791 ( Q divide exteriormente al AB).H) m/n 1QABAB = 791T)m/n = ?AfirmacionesRazones 1.- AQ/BQ = m/nFormando proporciones2.- AQ/(AQ + BQ) = m/nSuma de segmentos3.- 791/(791+791) = m/nRemplazando hiptesis4.- 791/1582 = m/nOperaciones5.- = m/nSimplificando15) Si los puntos P y Q dividen armnicamente al AB en relacin m/n 1, cul es la relacin m/n si: PB = 3420 y BQ = 16074H) m/n 1QAPBPB = 3420, BQ = 16074 T) m/n= ?AfirmacionesRazones1.- AP/PB = AQ/QB = m/nFormando proporciones2.- X/3420 = 12654 X/16074Suma de seg. y remplazando hiptesis3.- 16074X = 43276680 3420XAplicando ley de las proporciones4.- 19494X = 43276680Transposicin de trminos y operaciones 5.- X = 43276680/194994Despejando X6.- X = 2220Operando7.- 2220/3420 = m/nRemplazando X e igualando con m/n8.- 111/171 = m/nSimplificando16) Si los puntos P y Q dividen armnicamente al AB en relacin m/n 1, cual es la relacin m/n si : AB = 792 y PQ = 274.H) AB = 792, PQ = 274QAPBm/n 1T) m/n = ?AfirmacionesRazones1.- AP/PB =AQ/BQ = m/nFormando proporciones2.- X/(792-X) = 274 X/1066 XRemplazando hiptesis y sumade segmentos3.- 1066 X2 = 217008 274X + 792 + X2Ley de las proporciones.4.- X2 1066X + X2 274X 792X + 217008 = 0 Igualando a 0 y multiplicando por -1 5.- 2X 2132X + 217008 = 0Trminos semejantes6.- X2 1066X + 108504 = 0Multiplicando por 7.- X = 1066 10662 4(108544)/2Aplicando formula de ecuacin de 2do grado 8.- X = 114,02Operando9.- X/(792 X) = m/nPor afirmacin 1 10.- 114,02/(792 114,02) = m/nRemplazando X11.- 114,02/677,98 = m/nOperando17)Si los puntos P y Q dividen armnicamente al AB en relacin m/n 1, cual es la relacin m/n si; AB = 5640 y PQ = 12654.H) AB = 5640QAPB PB = 12654T) m/n = ? AfirmacionesRazones1.- AP/PB = AQ/BA = m/nFormando proporciones2.- X/5640 X = 12654 X/18294 XRemplazando hiptesis y suma de segmentos3.- 18294X X2 = 71368560 5640X 12654X +X2 Aplicando ley de las proporciones4.- X2-18294X +X2+71368560 -12654X+5640X =0 Multiplicando por -1 e igualando a 05.- 2X2 36588X + 71368560 = 0 Trminos semejantes6.- X2 18294 + 35684280 = 0Multiplicando por 7.- 18294 (18294)2 4(35684280)/2 Aplicando formula de ecuacin de 2do grado8.- X = 2220Operaciones9.- X/ 5640 X = m/nPor afirmacin 110.- 2220/5640 2220 = m/nRemplazando X11.- 2220/3420 = m/nOperando18) Dados los puntos A y B de coordenadas (-27; 29), determinar BS tal que BS2 = AB.AS (S en un punto situado entre A y B).H) BS2 = AB.BSASBAB = 56T) BS = ?AfirmacionesRazones1.- BS2 = AB.ASPor hiptesis 2.- BS2 = AB(AB BS)Suma de segmentos3.- BS2 = AB2 AB.BSDestruccin de segmentos4.- BS2 = 562 56BSPor hiptesis5.- BS2 +56BS 3136 = 0Operaciones e igualando a 06.- BS = -56 562 + 4(-3136)/2Aplicando formula de ecuacin de 2do grado7.- BS = 34,61Operaciones19) Si los puntos P y Q dividen armnicamente al AB ( m/n 1), calcular AB si: PB.BQ =28 y BQ PB = 7.H) PB.BQ = 28APBQBQ PB = 7T) AB = ?AfirmacionesRazones1.- AP/PB = AQ/BQ = m/nFormando proporciones 2.- (AB PB)/PB = (AB + BQ)/BQOperaciones con segmentos3.- BQ.AB - BQ.PB = PB.AB + PB.BQAplicando ley de las propiedades4.- BQ.AB PB.AB = 2BQ.PBTransposicin de trminos5.- AB(BQ PB) = 2BQ.PBFactor comn6.- AB(7) = 2(28)Por hiptesis7.- AB = 8Operaciones20)AMPBQ H) P y Q dividen armnicamente al AB AM = MBT) MB2 = MP. MQAfirmacionesRazones1.- AP/PB = AQ/QB = m/nFormando proporciones 2.- (AM+MP)/(MB- MP) =(AM+MQ)/(MQ-MB)Operaciones con segmentos3.- (MB+MP)/(MB- MP) =(MB+MQ)/(MQ-MB)Remplazando hiptesis4.- MB.MQ - MB2 + MP.MQ - MP.MB =Aplicando ley de las proporciones MB2 + MB.MQ - MP.MB - MP.MQ5.- -2MB2 = 2MP.MQTrminos semejantes6.- MB2 = MP.MQOperaciones21) Si P y Q dividen armnicamente al AB en relacin m/n 1, demostrar que:2/AB = 1/AP+ 1/AQAPBQAfirmacionesRazones1.- AP/PB = AQ/BQ = m/nFormando proporciones2.- AP/AB AP = AQ/AQ ABSuma de segmentos3.- AQ.AP AP.AB = AQ.AB AP.AQAplicando ley de las proporciones4.- 2AQ.AP = AQ.AB + AP.ABTransposicin de trminos5.- 2/AB = 1/AQ + 1/ APTransposicin de trminos ysimplificando22) Si p y Q dividen armnicamente al AB en relacin m/n 1, demostrar que: 2/AB = 1/AP 1/AQ QAPBAfirmacionesRazones1.- AP/PB = AQ/QB = m/nFormando proporciones2.- AP/AB AP = AQ/AQ + ABSuma de segmentos3.- AP.AQ + AP.AB = AB.AQ AQ.APAplicando ley de las proporciones4.- 2AP.AQ = AB.AQ AP.ABTransposicin de trminos5.- 2AP.AQ = AB(AQ AP)Factor comn6.- 2/AB = 1/AP 1/AQTransposicin de trminos23)ABCD H) A y C dividen armnicamente al BDAD = 5 AB, XA = 20, XC = 35T) XB = ? ; XD = ?AfirmacionesRazones1.- BC/CD = BA/ADFormando proporciones2.- (AC AB)/(AD AC) = AB/ADSuma de segmentos3.- (15 AB)/(5AB 15) = AB/5ABRemplazando hiptesis y simplifica4.- 75 5AB = 5AB 15Aplicando ley de proporciones5.- AB = 9Despejando AB y trminos semejantes6.- m/n = 1/5Remplazando afirmacin 5 e hiptesis7.- XB = 35 6Restando BC de Xc 8.- XB = 29Operaciones9.- XD = 35 + 30Sumando XD y CD 10.- XD = 65Operaciones6. IndicacionesProblemas de autoevaluacin1 ) Estudie el capitulo y luego conteste cada numeral.2 ) La evaluacin de la prueba es de 4 puntos c/u. Total 20 / 203 ) Si algn literal no puede resolver, vuelva a ensayar, luego de haber estudiado nuevamente el capitulo Cuestionario1) Dado un AB de coordenadas ( -369 ; 391 ) , encontrar la coordenada del punto P que divide internamente al AB en relacin 7/13.2) D17)Si los puntos P y Q dividen armnicamente al AB en relacin m/n 1, cual es la relacin m/n si; AB = y P = 12654.3) Dado un AB de coordenadas ( -69 ; 387 ) , encontrar la coordenada de un punto Q que divide externamente al AB en relacin 23/47.4) Determinar las coordenadas de los puntos P y Q que dividen armnicamente al segmento representado por la interseccin de los conjuntos M y N en relacin 3/7.M = X/6 X - 2 10 N = X/(X 5) -20 5) Determinar las coordenadas de los puntos P y Q que dividen armnicamente al segmento representado por el conjunto de puntos: -5 2X + 3 5 en relacin 3/2.7. AngulosDefinicionEs una forma geomtrica que est formada por dos rayos o lneas rectas que se cortan en un mismo punto.Representacion GraficaB ACElementos De Un AnguloLados Del AnguloAByACVerticeOrigen (punto A)Denominacion1) La letra del vrtice entre las otras dos: BACA ; BACA2) Por la letra del vrtice :A ; ^A3) Por una letra, o numero en el ngulo: ; ^1Medidas De AnguloRADIAN: Es la medida de un ngulo, cuyo arco subtendido es igual al radio del circulo. ( rad.)GRADO SEXAGESIMAL: Si a un circulo se lo divide en 360 partes de igual medida, a cada una de estas partes se le denomina grado. ( ).Clasificacion De Los AngulosAgudo.Su medida es menor a/2 radRecto. Su medida es igual a /2 rad Obtuso. Su medida es mayor a /2 rad y menor a Angulos De Lados Colineales (LLANO). Su medida es igual a rad.Angulos complementarios. Son dos ngulos cuya suma de medidas es igual a /2 rad. A cada ngulo se lo llama complemento del otro.m^1+ m^2 = /2 radAngulos Suplementarios. Son dos ngulos cuya suma de medidas es igual a rad. A cada ngulo se lo llama suplemento del otro.m^1+m^2 = radAdyacentes. Son dos ngulos que tienen el mismo vrtice y un lado comn.Opuestos Por El Vertice. Son dos ngulos no adyacentes, formados cuando dos rectas se intersecan.^1 y ^2^3 y ^4Angulos formados por dos rectas cortadas por una transversal.Angulos internos6,7,4,2Angulos externos1,3,5,8Angulos alternos internos4y72y6Angulos alternos externos3y81y5Angulos correspondientes4y8,2y5,1y6,7y3Congruencia de angulos Dos ngulos son congruentes si tienen la misma medida.Si m^A = m^B A B8. TeoremasTeorema 1Los ngulos opuestos por el vrtice son congruentes.H) 1 y 2 son ngulos opuestos por el vrtice T) 1 2 DemostracionAfirmacionesRazones 1.- m 1 + m 3 = 180Por ser ngulos suplementarios2.- m 2 + m 3 = 180Por ser ngulos suplementarios3.- m 1 + m 3 = m 2 + m 3Igualando afirmaciones 1 y 24.- m 1 = m 2Trminos semejantes5.- 1 2Por tener la misma medida teorema 2Los ngulos internos, alternos externos y correspondientes, formados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal, son congruentes.H) L1 L2 , 1 y 2 son alternos internos, 4 y 5 son alternos externos, 3 y 4 son complementarios. T) 1 2, 4 5, 3 4DemostracionAfirmacionesRazones1.- m 2 + m 3 = 180Por ser ngulos suplementarios2.- m 1 + m 3 = 180Por ser ngulos suplementarios3.- m 1 + m 3 = m 2 + m3Igualamos afirmaciones 1 y 24.- m 1 = m 2Trminos semejantes5.- 1 2Por teer la misma medida6.- m 4 + m 1 = 180Por ser ngulos suplementarios 7.- m 5 + m 2 = 180Por ser suplementarios8.- m 4 + m 1 = m 5 + m 2Igualando afirmaciones 6 y 79.- m 4 = m 5Trminos semejantes10.- 4 5Por tener la misma medida11.- 3 6Por ser alternos internos12.- 4 6Por ser opuestos por el vrtice13.- 3 4Igualando afirmaciones 11 y 12Teorema 3Las bisectrices de dos ngulos suplementarios son perpendiculares entre si.H) ACD Y BCD, son ngulos suplementariosCE es bisectriz de ACDCF es bisectriz de BCDT) CE CFDemostracionAfirmacionesRazones1.- 2m 2 + 2m 1 = 180Por ser ngulos suplementarios2.- m 1 + m2 = 90Multiplicando por 3.- m ECF = 90Segn el grfico4.- CE CFPor afirmacin 3Teorema 4Las bisectrices de dos ngulos opuestos por en vrtice, son colineales.H) ^AOC y ^GCH Son ngulos opuestos por el vrticeCE es bisectriz de ^ACBCF es bisectriz de ^GCHm ^3 = m ^4T) ^ECF es ngulo colinealAfirmacionesRazones1.- 2m ^2 + 2m ^1 + m ^3 + m ^4 = 360Suma de ngulos2.- 2m ^2 + 2m ^1 + ^2m ^4 = 360Por hiptesis3.- m ^2 + m ^1 + m ^4 = 180Multiplicando por 4.- m ^ECF = 180Por grficoTeorema 5Si dos ngulos tienen sus lados respectivamente paralelos, son congruentes (paralelos en el mismo sentido) o suplementarios.H) L1 L2 y L3 L4^1 Y ^2 Tienen sus lados respectivamente paralelosT) ^1 ^2m ^1 + m^3 = 180 AfirmacionesRazones1.- ^1 ^4Por ser ngulos alternos internos2.- ^2 ^4Por ser ngulos alternos internos3.- ^1 ^2Igualando las afirmaciones 1 y 2 4.- m ^2 + m ^3 = 180Por ser ngulos suplementarios5.- m ^1 + m ^3 = 180Por afirmacin 39. Solucionario 1. - Uno de los ngulos complementarios, aumentado en /6 rad es igual al otro. Cuanto mide cada ngulo?. H) ^ y ^ son complementarios T) m ^ = ? m ^ = ?AfirmacionesRazones1.- m ^ + m ^ = 90Por ser ngulos complementarios2.- m ^ + 30 = m ^Por hiptesis3.- 2m = 60Sumando afirmaciones 1 y 2 4.- m ^ = 30Multiplicando por 5.- m ^ = 60Remplazando afirmacin 4 en 1 y operaciones2. - La diferencia de dos ngulos suplementarios es /3 rad. Hallar el complemento del ngulo menor.H) m ^ - m ^ = 60m ^ + m ^ =180T) m ^AfirmacionesRazones1.- m ^ + m ^ = 180Por ser ngulos suplementario2.- m ^ - m ^ = 60Por hiptesis3.- 2m ^ = 240 Sumando afirmacin 1 y 24.- m ^ = 120Simplificando5.- m ^ = 60Remplazando afirmacin 4 en 13.- Dos ngulos son complementarios, y uno de ellos es /10 rad mas que el triple del otro. cuanto mide cada ngulo?.H) ^ y ^ son complementariosm ^ + m ^ = 90T) m ^ = ?m ^ = ?afirmacionesRazones1.- m ^ + m ^ = 90Por ser ngulos complementarios2.- m ^ = 18 + 3m ^Por hiptesis3.- 4m ^ = 72Multiplicando por 1 afirmacin 2 y sumando con afirmacin 14.- m ^ = 18Simplificando5.- m ^ = 72Remplazando afirmacin 4 en 14. - Cuanto mide cada uno de los ngulos suplementarios, si quitando el menor de ellos /9 rad y agregndole al mayor, este resulta el triple de lo que queda del menor.H) ^ y ^ son suplementariosm ^ + m ^ = 180T) m ^ = ?m ^ = ?AfirmacionesRazones1.- m ^ + m ^ = 180Por se ngulos suplementarios2.- m ^ + 20 = 3( m ^ - 20)Por hiptesis3.- m ^ + 20 = 3m ^ - 60Operaciones4.- m ^ - 3m ^ = 80Trminos semejantes5.- 4m ^ = 260Operaciones y sumando afirmaciones 1 y 46.- m ^ = 65Simplificando7.- m ^ = 115Remplazando afirmacin 6 en 1 5.- Dos ngulos son suplementarios; uno de ellos es disminuido en /12 rad., para ser agregado a otro, de tal manera que este nuevo ngulo es igual a cuatro veces el resto del primero. Cuanto mide cada ngulo?.H)m ^ + m ^ Son suplementariosm ^ + m ^ = 180T) m ^ = ?m ^ = ?AfirmacionesRazones1.- m ^ + m ^ = 180Por ser ngulos suplementarios2.- m ^ + m ^ -15 = 4(m ^ - 15)Por hiptesis 3.- m ^ + m ^ - 15 = 4m ^ - 60Operaciones4.- 180 - 15 = 4m ^ - 60Remplazando afirmacin 1 en 35.- m ^ = 56,25Despejando m ^ y operaciones6.- m ^ = 123,75Remplazando afirmacin 5 en 1 y operaciones6. - Calcular el valor de dos ngulos suplementario de modo que, si al quntuplo del menor se le disminuye la mitad del mayor, se obtiene el triple del menor aumentado /18 rad.H) m ^ y m ^ son suplementarios m ^ + m ^ = 180T) m ^ = ?m ^ = ?AfirmacionesRazones1.- m ^ + m ^ = 180Por ser ngulos suplementarios2.- 5m ^ - m ^ = 3m ^ + 10Por hiptesis3.- 2m ^ - m ^ = 10Trminos semejantes 4.- 5/2m ^ = 100Resolviendo el sistema entre afirmaciones 1 y 2, y operaciones5.- m ^ = 40Simplificando6.- m ^ = 140Remplazando afirmacin 3 en 1 y operaciones7.- Uno de los ngulos suplementarios es los 3/5 del otro ngulo. Cuanto mide cada ngulo?.H) ^ y ^ son suplementariosm ^ + m ^ = 180T) m ^ = ? m ^ = ?AfirmacionesRazones1.- m ^ + m ^ = 180Por ser ngulos suplementarios2.- m ^ = 3/5m ^Por hiptesis3.- m ^ - 3/5m ^ = 0Igualando a 04.- 8/5m ^ = 180Resolviendo el sistema entre afirmaciones 1 y 3, y operaciones5.- m ^ = 112,5Simplificando6.- m ^ = 67,5Remplazando afirmacin 5 en 1 y operaciones9. - De dos ngulos suplementarios, los 2/3 de uno de ellos ms la sexta parte del otro forman un ngulo recto. Cuanto mide cada ngulo?.H) ^ y ^ son suplementarios m ^ + m ^ = 180T) m ^ =?m ^ = ?Afirmaciones Razones1.- m ^ + m ^ = 180Por ser ngulos suplementarios2.- 2/3m ^ + 1/6m ^ = 90Por hiptesis3.- m ^ = 60 Resolviendo el sistema entre afirmaciones 1 y 2, y operaciones4.- m ^ = 120Simplificando5.- m ^ = 60Remplazando afirmacin 4 en 110. - Los 4/7 de un ngulo menos la cuarta parte de su suplemento, dan su suplemento aumentado en /6 rad. Cuanto el ngulo?H) ^ y ^ son suplementarios m ^ + m ^ = 180T) m ^ = ?AfirmacionesRazones1.- m ^ + m ^ = 180Por ser ngulos suplementarios2.- 4/7m ^ - 1/4m ^ = m ^ + 30Por hiptesis3.- 4/7m ^ - 5/4m ^ = 30 Trminos semejantes4.- 51/28m ^ = 255Resolviendo el sistema entre afirmaciones 1 y 3, y operaciones5.- m ^ = 140Operaciones12.- Cuanto mide un ngulo que es igual a su suplemento?.H) ^ y ^ son ngulos suplementarios m ^ + m ^ = 180T) m ^ = ?AfirmacionesRazones1.- m ^ + m ^ = 180Por hiptesis2.- m ^ = m ^ Por hiptesis3.- 2m ^ = 180Remplazando afirmacin 2 en 1 y operaciones4.- m ^ = 90Multiplicando por 13.- La medida de uno de los ngulos de un par de suplementarios , es el doble de la medida del otro menos 3/20. Encontrar la medida de cada ngulo.AfirmacionesRazones1.- = 2 - 27Por hiptesis 2.- ^ + ^ = 180Por ser ngulos suplementarios 3.- ^ = 180 - ^Despejando 4.- 180 - = 2 - 27Igualando afirmaciones 1 y 35.- -3 = -207Trminos semejantes6.- ^ = 69Transposicin de trminos7.- ^ = 181 - 69Remplazando afirmacin 6 en 38.- ^ = 111Operando15. - La suma del complemento de un ngulo con el suplemento de su ngulo doble, es igual a3/2 del complemento de un ngulo . Si m ^ - m^ = 3/20 rad. Calcular el complemento del ngulo .AfirmacionesRazones1.- (90 - ) + (180- 2) = 3/2(90 - )Por hiptesis2.- 540 - 6 = 270 - 2Operaciones3.- - 2 = -90Trminos semejantes4.- - + = 27Por hiptesis5.- - = -63Sumando afirmaciones 3 y 46.- = 63Multiplicando por -17.- 90 - = 27Definicin de complementarios AfirmacionesRazones1.- 2m ^1 + 2m ^2 = 180Por ser ngulos suplementarios2.- m ^1 + m ^2 = 90Multiplicando por 3.- m ^BCA = 90Por suma de ngulos internos del ABC 4.- AC CEPor afirmacin 3AfirmacionesRazones1.- L DC AEPor construccin2.- m ^1 + m ^2 = 70Por hiptesis3.- m ^X = m ^1Por ser ngulos alternos internos4.- m ^2 = m ^Por ser ngulos alternos internos5.- m ^X + m ^A = 70Remplazando afirmacin 1 y 4 en 26.- m ^X = 30Remplazando hiptesis de transposicin de trminos AfirmacionesRazones1.- BD FG CEPor construccin2.- m ^1 + m ^B = 180Por ser ngulos suplementarios3.- m ^1 + 130 = 180Remplazando hiptesis 4.- m ^1 = 50Transposicin de trminos5.- m ^A = m ^1 + m ^2Por grfico6.- m ^2 = m ^A m ^1Despejando medida del ngulo 27.- m ^2 = 30Remplazando hiptesis, afirmacin 4 en 6 y operando8.- m ^2 + m ^C = 180Por ser ngulos suplementarios9.- m ^C = 150 Remplazando afirmacin 7 en 8, transposicin de trminos y operacionesAfirmacionesRazones1.- AP FGPor construccin2.- m ^1 = m ^2 + m ^3Por construccin3.- m ^A = m ^4Por ser correspondientes4.- m ^3 = m ^4Por ser sus lados paralelos5.- m ^5 = 90Por grfico6.- m ^5 = m ^2Por tener sus lados paralelos 7.- m ^1 = m ^5 + m ^ARemplazando afirmacin 6 y 3 en 28.- m ^1 = 90 + 54Remplazando hiptesis y afirmacin 5 en 89.- m ^1 = 144OperandoAfirmacionesRazones1.- m ^B = m ^CPor ser ngulos correspondientes2.- m ^C = 135Por afirmacin 13.- m^ 1 + m ^C = 180Por ser ngulos suplementarios4.- m ^1 + 135 = 180Remplazando afirmacin 2 en 35.- m ^1 = 45 Transposicin de trminos y operando AfirmacionesRazones 1.- 2m ^1 + 2m ^2 = 180Por ser ngulos suplementarios2.- m ^1 + m ^2 = 90Multiplicando por 3.- m ^1 = m ^3Por hiptesis 4.- m ^3 m ^2 = 22Suma de ngulos5.- m ^3 = 22 + m ^2Despejando m ^36.- m ^3 + m ^2 =90Remplazando afirmacin 3 en 27.- 22 + 2m ^2 = 90Remplazando afirmacin 5 en 68.- m ^2 = 34Transposicin de trminos y operaciones9.- m ^1 = 90 34Remplazando afirmacin 8 en 2 10.- m ^1 = 56OperacionesAfirmacionesRazones 1.- ( m ^X + m ^1) (m ^1 m ^X) = 30Remplazando hiptesis 2.- m ^X + m ^1 m ^1 + m ^X = 30Destruccin de parntesis3.- m ^X = 15Trminos semejantes y multiplicando por AfirmacionesRazones1.- 2m ^2 2m ^1 = 20Por hiptesis2.- m ^2 m ^1 =10Simplificando3.- m ^X + m ^1 m ^1 =10Remplazando medida del ngulo 2 en afirmacin 24.- m ^X = 10Trminos semejantesAfirmacionesRazones1.- m ^3 + m ^1 = 80Por hiptesis2.- 2m ^1 2m ^3 = 40Por hiptesis3.- -2m ^3 2m ^1 =160Multiplicando afirmacin 1 por -2 4.- -4m ^3 = -120Sumando las afirmaciones 2 y 3,5.- m ^3 = 30Transposicin de trminos y simplificando6.- m =3 = 2m^2Por grfico7.- m ^2 =15Remplazando afirmacin 5 en 6 y multiplicando por 8.- m ^2 = m ^EOFPor grfico9.- m ^EOF = 15Remplazando afirmacin 7 en 8 AfirmacionesRazones1.- 2m ^4 + m ^2 =180Por ser suplementarios2.- m ^X = m ^4 m ^EOFPor grfico3.- m ^X = (180 - m ^2)/2 m ^EOF)Replazando afirmacin 1 en 24.- m ^2 + m ^EOF = m ^3Por grfico5.- m ^3 = m ^2 + m ^1 m ^EOFPor grfico6.- m ^2 + m ^EOF = m ^2 + m ^1 m ^EOFIgualando afirmaciones 4 y 57.- 2m ^EOF = m ^1Trminos semejantes 8.- m ^EOF = m ^1/2Transposicin de trminos9.- m ^X = (180 - m ^2)/2 - m ^1/2Remplazando afirmacin 8 en 310.- m ^X = 180 - (m ^2 + m ^1)/2Suma de fracciones11.- 2m ^2 + 2m ^1 = 180Por ser suplementarios12.- m ^2 + m ^1 = 90Multiplicando por 13.- m ^X = (180 - 90)/2Remplazando afirmacin 2 en 1014.- m ^X = 45 OperacionesAfirmacionesRazones1.- 45 + m^3 = 2m ^2 + m ^3Por hiptesis2.- 45 = 2m ^2Trminos semejantes3.- m ^COE m = 2m ^2Por grfico4.- m ^COE = 45Por afirmacin 3AfirmacionesRazones 1.- 2m ^2 + m ^3 = 50Por hiptesis 2.- 2m ^1 + m ^3 = 90Por hiptesis 3.- 2m ^1 + 2m ^2 + 2m ^3 = 140Sumando afirmaciones 1 y 2 4.- m ^1 + m ^2 + m ^3 = 70Multiplicando por 5.- m ^1 + m ^2 + m ^3 = m ^POQPor grfico 6.- m ^POQ = 70Remplazando afirmacin 5 en 4AfirmacionesRazones1.- m ^3 + m^1 = 80Por hiptesis2.- 2m ^1 2m ^2 = 40Por hiptesis3.- -4m ^3 2 ^1 = -160Multiplicado afrimacin 1 por -2 4.- -4m ^3 2m ^2 = 120Sumando afirmacin 2 y 35.- m ^2 = 2m ^3Por grfico6.- -4m ^3 4m ^3 = -120Remplazando afirmacin 5 en 47.- -8m ^3 =-120Trminos semejantes8.- m ^3 = 15SimplificandoAfirmacionesRazones1.- (m ^1 + m ^2)/(m ^1+ m ^2 + 90) = 11/29 Por hiptesis2.- 2m ^2 + m ^1 = 90Por grfico3.- m ^2 = (90 - m ^1)/2Despejando m^2 y multiplicando por 4.-m^1+( 90-m^1)/2/ m^1+(90-m^1)/2+90 =11/29 Rempla afirmacin 3 en 15.- 29m ^1 + 2610 = 2970 + 11m ^1Suma de fracciones, y transposicin de trminos6.- m ^1 = 20Reduccin de trminos semejantes 10. Problemas de autoevaluacinIndicaciones:1 ) Estudie el capitulo y luego conteste cada numeral.2 ) La evaluacin de la prueba es de 5 puntos c/u. Total 20 / 203 ) Si algn literal no puede resolver, vuelva a ensayar, luego de haber estudiado nuevamente el capitulo Cuestionario: G. CalvacheT. RoseroC. TernM. YaselgaProfesores del I.C.BEscuela Politcnica NacionalInvestigador:Ismael Guerrero Surez Trabajo enviado por:Ismael Guerrero [email protected]
