Geometria Plana

5/20/2018 Geometria Plana

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

INSTITUTO DE MATEMTICA

Tas Aline Bruno de Azevedo

VISTAS

ATIVIDADES SOBRE A REPRESENTAO DO ESPAO

Porto Alegre

2010


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VISTAS


Trabalho de Concluso de Curso junto ao

Curso de Licenciatura em Matemtica da

Universidade Federal do Rio Grande do Sul como

requisito parcial obteno do ttulo de

Licenciada em Matemtica.

Orientador: Prof. Dr. Marcus Vinicius de Azevedo Basso


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Porto Alegre

2010

Tas Aline Bruno de Azevedo

VISTAS


Trabalho de Concluso de Curso junto aoCurso de Licenciatura em Matemtica da

Universidade Federal do Rio Grande do Sul como

requisito parcial obteno do ttulo de

Licenciada em Matemtica.

Orientador: Prof. Dr. Marcus Vinicius de Azevedo Basso

Comisso Examinadora

_________________________________

Prof. Dr Marilaine de Fraga SantAna

_________________________________

Prof. Dr. Alvino Alves SantAna

Porto Alegre, 15 de dezembro de 2010.


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Dedico este trabalho a meu marido Tiago, meu filho

Guilherme e meus pais Maria de Lourdes e Clovis

Jovany, meus agradecimentos por terem aceitado se

privar de minha companhia pelos estudos, concedendo a

mim a oportunidade de me realizar ainda mais.


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Agradecimentos

Ao meu marido, que muito aguentou meu mau humor, me ajudou quando precisava e

fez com que minhas lgrimas parecem de correr com muito amor carinho e dedicao.

Ao meu filho, que quando eu chegava em casa me dava um abrao gostoso, mesmo

tendo ficado chorando pedindo para eu ficar.

Ao meu pai, minha me e minha sogra por cuidar de meu filho para que pudesse

realizar este trabalho. minha querida amiga Aline Noimann que me ajudou muito nesta etapa, me

auxiliando com dicas, correes e muito incentivo para no desistir.

escola por me dar a oportunidade de realizar as atividades, assim como os alunos

que foram mais cedo para que este projeto fosse concludo.

Aos meus colegas de graduao e amigos Tas Silva e Diego Chaves que muito me

apoiaram.

Ao meu mestre Marcus Basso, por sua pacincia e dedicao para que este trabalho

fosse concludo com xito.


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Resumo

Este trabalho teve como objetivo a criao de uma sequncia didtica para o ensino de

geometria espacial atravs de atividades que envolvem visualizao geomtrica

bidimensionais e tridimensionais, como a atividade Vistas, que auxilia na localizao do

objeto no espao. Para tanto, foram realizados estudos sobre a representao no espao de

Jean Piaget, e as teorias de desenvolvimento geomtrico de Van Hiele, as quais foram

tomadas como base para o desenvolvimento dessa sequncia didtica que foi aplicada com

estudantes do Ensino Fundamental de uma Escola Municipal de Porto Alegre.

Palavras Chave: Representao do espao, Teoria de Van Hiele, vistas, sequncia didtica e

visualizao geomtrica.


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Abstract

This work aimed at the creation of a didactic sequence for teaching spatial geometry

through activities that involve two-dimensional and three-dimensional geometric

visualization. as the activity views, which assists in locating the object in space. To this

end, studies were performed on the representation space of Jean Piaget, and the

theories of geometric development of Van Hiele, which were taken as the basis for the

development of didactic sequence that was applied to elementary school students from a local

school at Porto Alegre.

Key words: representation of space, theories of Van Hiele, views, didactic sequence,

visualization geometric.


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Sumrio

1. Introduo ................................................................................................................... 11

2. Objetivos ..................................................................................................................... 14

3. Referencial terico ...................................................................................................... 15

3.1 Jean Piaget e o seu estudo sobre representao do espao.....................................................15

3.2 Teoria de Van Hiele sobre a aprendizagem da geometria ......................................................20

3.3A viso de Gutirrez sobre as habilidades espaciais atravs da Teoria de Van Hiele ......24

3.4 Geometria Descritiva.....................................................................................................................263.4.1 Vistas Ortogrficas.............................................................................................. 27

pura Mongeana...................................................................................................................................30

As Seis Vistas Principais......................................................................................................................31

4. Mtodos e Materiais .................................................................................................... 33

3.1 A escolha e os participantes....................................................................................................33

3.2 Seleo das atividades..............................................................................................................34

3.3 Coleta de dados e anlise dos resultados..............................................................................353.3.1 Teste em alunos.................................................................................................. 36

Atividade 1O que voc v?...........................................................................................................36

Atividade 2Cada Vista uma Vista...........................................................................................38

Atividade 3Pinte de acordo..........................................................................................................40

Atividade 4Desenhe suas vistas...................................................................................................42

Atividade 5Cubo nico..................................................................................................................43

Atividade 6Que formas tem?.......................................................................................................44

Atividade 7Planifique atravs do objeto..................................................................................45

Atividade 8planifique atravs de sua representao...........................................................46

Atividade 9 - Envolvendo o uso do computador........................................................................49

5. Consideraes Finais................................................................................................... 59

6. Referncias .................................................................................................................. 61


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Lista das Figuras

Figura 1 - Projeo Cilndrica de um slido...................................................................................27

Figura 2 - Projeo de dois objetos distintos resultando a mesma imagem............................27

Figura 3 - Planos ortogonais entre si e suas nomenclaturas.......................................................28

Figura4 mtodo da Dupla Projeo Ortogonal..........................................................................28

Figura 5 - Planos ortogonais entre si e suas nomenclaturas.......................................................29

Figura 6 Projeo de dois objetos distintos resultando em pelo menos uma imagem

diferente...................................................................................................................................................29Figura 7 Remoo do Objeto...........................................................................................................30

Figura 8 Abertura em pura............................................................................................................30

Figura 9 Os seis planos de projeo.............................................................................................31

Figura 10 Abertura da pura..........................................................................................................31

Figura 11 Disposio das vistas pelo primeiro diedro..............................................................32

Figura 12 fluxograma da montagem das atividades..................................................................34

Figura 13 - Representao feita pelo Aluno A2.............................................................................37

Figura 14 - Representao feita pelo Aluno A3..............................................................................38

Figura 15 - Pintura feita pelo aluno A2...........................................................................................41

Figura 16 - Pintura feita pelo aluno A6...........................................................................................41

Figura 17 - Representao das Vistas feita pelo aluno A3...........................................................42



Figura 20 - Planificao feita atravs do objeto pelo aluno A6.................................................46

Figura 21 - Planificao feita atravs da representao do objeto pelo aluno A2.................48

Figura 22 - Planificao feita atravs da representao do objeto pelo aluno A2.................48

Figura 23 - entrada do site de atividades........................................................................................49

Figura 24 - atividade dos cubos.......................................................................................................50

Figura 25 - Instrues para Atividade Vista pura.....................................................................51

Figura 26 - atividade 2 vista pura desafio 1.............................................................................52

Figura 27 - atividade 2 vista pura desafio2..............................................................................52

Figura 28 - atividade 2 vista pura desafio3...............................................................................53


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Figura 29 - atividade 2 vista pura desafio4...............................................................................53

Figura 30 atividade 2 vista pura desafio 5.............................................................................54

Figura 31 Instrues para a atividade Vista Superior..................................................................55

Figura 32 atividade 3 vista superior - desafio1...........................................................................56

Figura 33 atividade 3 vista superior - desafio2...........................................................................56

Figura 34 atividade 3 vista superior desafio3.........................................................................57

Figura 35 atividade 3 vista superior desafio 4........................................................................57

Figura 36 atividade 3 vista superior desafio 5.........................................................................58


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1.Introduo

A escolha pelo desenvolvimento deste tema, sobre noes de vistas e formas

geomtricas, ocorreu durante a minha graduao em Licenciatura Matemtica, quando me

deparei, em disciplinas de laboratrios e estgios, com alunos e colegas de graduao que

mostraram dificuldades na compreenso ou realizao de atividades que envolviam a noo

de forma e espao e, mais especificamente, quelas relacionadas com visualizao espacial.

Assim, Gravina (1996) afirma que:

Aos alunos ingressantes no curso de Licenciatura em Matemtica daUFRGS oferecido como obrigatrio, no primeiro ano, uma disciplina de

Geometria Plana e Espacial. Constata-se nesta disciplina que os alunoschegam universidade sem terem atingido os nveis mentais da deduo edo rigor. Raciocnio dedutivo, mtodos e generalizaes - processoscaractersticos e fundamentais da Geometria- os alunos pouco dominam. Atmesmo apresentam pouca compreenso dos objetos geomtricos,confundindo propriedades do desenho com propriedades do objeto.(Gravina, 1996)

Por este motivo, procurei estudar as formas do aprendizado do aluno, via

leituras sobre a representao do espao de Jean Piaget e tambm as teorias de Van Hiele. A

dissertao de Marcelo Becker, apresentada no Programa de Ps-graduao em Ensino de

Matemtica da UFRGS em 2009, tambm serviu de suporte para a elaborao dessa sequncia

didtica. Essa sequncia contm diversas atividades, sendo uma delas, de minha autoria,

denominada VISTAS1, que realizada via computador e, como prprio nome sugere, aborda

questes relacionadas com as vistas de objetos geomtricos. Este objeto foi desenvolvido em

conjunto com os acadmicos do Curso de Licenciatura em Matemtica, Vinicius Cardoso,

Tamiris Duarte Carpin e Gabriel Wolf Flores, na bolsa de iniciao cientfica RIVED2, em

que so elaboradas e criadas atividades matemticas para o computador.

Uma das dificuldades encontradas com relao elaborao desta sequncia didtica

foi encontrar materiais que abordassem os contedos de vistas e planificaes de objetos nos

livros didticos escolares, entre outros. Isto ocorre porque uma rea da matemtica que est

1O Objeto Vistas poder ser encontrado no seguinte endereo: http://mdmat.mat.ufrgs.br/repositorio/vistas

(acessado em novembro de 2009).

2

O RIVED

Rede Interativa Virtual de Educao um programa da Secretaria de Educao a Distncia - SEED,que tem por objetivo a produo de contedos pedaggicos digitais, na forma de objetos de aprendizagem.

Fonte:http://rived.mec.gov.br/conheca_rived.php(acessado em novembro de 2010).
http://mdmat.mat.ufrgs.br/repositorio/vistashttp://mdmat.mat.ufrgs.br/repositorio/vistashttp://mdmat.mat.ufrgs.br/repositorio/vistashttp://rived.mec.gov.br/conheca_rived.phphttp://rived.mec.gov.br/conheca_rived.phphttp://rived.mec.gov.br/conheca_rived.phphttp://rived.mec.gov.br/conheca_rived.phphttp://mdmat.mat.ufrgs.br/repositorio/vistas


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defasada h anos, devido grande dificuldade encontrada pelos professores mais antigos, pois

estes tiveram pouca preparao em geometria durante suas graduaes, passando, muitas

vezes, estas dificuldades para os alunos, ou at mesmo evitando ministrar este contedo em

sala de aula. Becker (2009) trata dessas dificuldades em seu trabalho ressaltando que:

Tive a oportunidade de trabalhar com professores em umcurso de especializao em Geometria. Esses professores, atuantes nasredes de ensino pblicas e privadas em nvel fundamental e mdio,tiveram, na sua totalidade, formao de licenciatura em Matemtica.Eles relataram durante as aulas, que tinham dificuldades em trabalharcom a geometria, por terem uma formao deficiente e porapresentarem dificuldades em lidar com esse contedo. (Becker, 2009pgina 9)

Hoje, devido a essas dificuldades com o ensino e aprendizagem da geometria, alguns

professores e pesquisadores se dedicam reflexo, elaborao, implementao e avaliao de

atividades dessa rea da Matemtica, buscando superar as dificuldades encontradas na

abordagem da mesma na escola bsica. Isso ocorre tambm devido a Geometria ser um campo

de informaes e conhecimentos necessrios para que se compreenda o mundo, pois est

presente em nosso dia-a-dia e em inmeras situaes. Os Parmetros Curriculares Nacionais

(1998) tratam da Geometria como parte fundamental e importante no Ensino Fundamental,como podemos ver abaixo:

Os conceitos geomtricos constituem parte importante docurrculo de Matemtica no ensino fundamental, porque, por meiodeles, o aluno desenvolve um tipo especial de pensamento que lhepermite compreender, descrever e representar, de forma organizada, omundo em que vive. O estudo da Geometria um campo frtil paratrabalhar com situaes problema e um tema pelo qual os alunoscostumam se interessar naturalmente. (Parmetros CurricularesNacionais. 1998. p. 51).

Numa tentativa de tornar o ensino da Geometria mais atrativo e significativo para o

aluno, esta sequncia didtica aponta alternativas que possibilitam a aplicabilidade desse

contedo em sala de aula com objetos com os quais os alunos podero compreender melhor a

noo da representao desse objeto no espao.

Tenho como desafio a implementao deste contedo em sala de aula, como

introduo a geometria espacial, pois no momento em que o aluno compreende melhor a

forma tridimensional dos objetos e suas planificaes, ele consegue obter muito maisclaramente os conceitos geomtricos que os envolve.


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Para muitos alunos a matemtica complicada, segundo Silveira (2002), fazendo

com que eles no queiram aproveitar as informaes que os professores esto tentando passar

em sua aula, e isso tambm ocorre com a geometria.

Mesmo os alunos olhando os objetos que o professor traz consigo em uma aula de

geometria, ele no consegue desenvolver o conceito de rea e volume adequadamente, pois

no consegue visualizar a vista da base do objeto. Por exemplo, para calcular o volume de um

objeto, como por exemplo, um prisma regular, sabemos que a rea da base vezes a sua

altura, importando assim a forma de sua base, pois essa pode ser triangular, cilndrica,

retangular, entre outras, tornando-se importante que o aluno reconhea a sua forma para a

realizao do clculo.

Em minha formao no ensino mdio, que foi realizada em uma escola pblica de

Porto Alegre, o professor simplesmente colocou os desenhos no quadro e suas frmulas, no

fazendo nenhum sentido para mim, tendo que buscar fora da sala de aula o que eu no estava

compreendendo. Notei que, muitos colegas meus, na poca, estavam odiando a matria,

devido forma equivocada na qual estava sendo ministrada.

J no ano seguinte de meu ensino mdio, houve uma troca de professor. Ele era um

professor que estava finalizando o curso de graduao. Trouxe figuras, imagens e objetos,fazendo muito mais sentido o que estava sendo dado, mas mesmo mostrando os objetos,

notava que no fazia sentido ainda para alguns de meus colegas. Durante minha graduao,

senti esta dificuldade de alguns colegas nas disciplinas de geometria plana e espacial. Isto me

fez questionar como poderia auxiliar na aprendizagem do ensino da geometria.


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2.Objetivos

Este Trabalho de Concluso de Curso visou construo de uma sequncia didtica

em que contm atividades prprias para o desenvolvimento da visualizao geomtrica ehabilidades Bidimensionais e Tridimensionais. Alm disso, tive a possibilidade de testar o

objeto digital de aprendizagem por mim criado e verificar se o seu uso por estudantes

contribui para a construo da representao do objeto no espao.

Estas atividades foram realizadas com alunos do ensino fundamental, de uma escola

municipal, onde foram coletados dados para as anlises e modificaes deste plano, pois ele

futuramente poder ser utilizado por outros professores.

A sequncia didtica, a qual elaborei tem por objetivos contribuir para que os alunos:

- consigam identificar as vistas do objeto;

- observem e identifiquem os objetos atravs da conservao de sua imagem;

- consigam reproduzir mentalmente os objetos atravs de suas vistas;

- observem e planifiquem os objetos atravs de suas vistas;

- atravs de suas vistas, consigam identificar a localizao dos objetos no espao;Devido a estes objetivos, procurei me basear na Teoria de Van Hiele, que constitui

uma teoria do ensino e da aprendizagem de geometria, elaborado pelo casal holands Van

Hiele. Mas tambm tive que me ancorar, na forma como se d a representao do espao pela

criana, atravs de Piaget.


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3.Referencial terico

Neste captulo, apresentarei o estudo realizado para a construo desta sequncia

didtica. Para tanto, primeiramente foi necessrio um aprofundamento sobre a representaodo espao de Jean Piaget, assim como o estudo sobre a Teoria do Casal Van Hiele sobre o

desenvolvimento geomtrico.

Tambm foi realizado um estudo na dissertao de mestrado de Marcelo Becker

Uma alternativa para o ensino da geometria: visualizao geomtrica e representaes de

slidos no plano, a qual aborda este assunto de maneira clara e bem fundamentada.

3.1 Jean Piaget e o seu estudo sobre representao do espao

Um dos objetivos dos estudos do bilogo Jean Piaget de estudar o desenvolvimento

humano e sua formao mental e ele inclui em sua obra, estudos sobre como se d a

representao da noo de espao pelo homem. Para explicar o desenvolvimento humano,

Piaget (1995) divide sua teoria em dois processos mentais: A assimilao e a acomodao.Destas duas, quando aplicadas em conjunto, surgem mais trs teorias: a adaptao, a

organizao e a equilibrao.

O fator da assimilao corresponde ao sujeito, pois se trata do processo de

compreenso de algo. Utiliza-se do conhecimento prvio que temos de um assunto. A

acomodao a superao, por esforo cognitivo prprio. Adaptar assimilar e acomodar o

conhecimento simultaneamente. atravs desse processo que se d a organizao da estrutura

mental. A equilibrao cognitiva o autorregular do pensamento, utilizando-se do

pensamento reversvel. A reversibilidade muito importante para a construo da

inteligncia, pois o pensamento sendo mvel e dinmico, juntamente com a descoberta das

transformaes dos os objetos mostra que as atitudes podem ser corrigidas e transformadas,

por serem de naturezas mutveis.

De acordo com Piaget (1993, p. 12) o estudo do desenvolvimento do espao que

toda a investigao psicolgica suscetvel aplicao prtica. O ensino da geometria ganha

muito ao adaptar-se evoluo espontnea, ainda que possamos pressenti-lo.


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Para Piaget (1993, p.19), este desenvolvimento mental est dividido em trs etapas: o

perodo sensrio motor, o perodo pr-operatrio e o perodo operatrio, descritos

resumidamente a seguir:

1. Sensrio motor: dura do nascimento at o incio da linguagem, a criana busca

adquirir controle motor e aprender sobre os objetos fsicos que a rodeiam. Esse estgio

se chama sensrio-motor, pois o beb adquire o conhecimento por meio de suas

prprias aes que so controladas por informaes sensoriais imediatas.

2. Pr-operatrio: a criana busca adquirir a habilidade verbal. Nesse estgio, ela j

consegue nomear objetos e raciocinar intuitivamente, mas ainda no consegue

coordenar operaes fundamentais, nas quais sero permitidas serem operadas naprxima etapa.

3. Operatrio: Este estgio subdividido em operatrio concreto e operatrio formal.

No estgio operatrio concreto, que dura dos 8 aos 12 anos de vida, a criana comea a

lidar com conceitos abstratos como os nmeros e relacionamentos. Esse estgio

caracterizado por uma lgica interna consistente e pela habilidade de solucionar problemas

concretos.

No estgio operatrio formaldesenvolvido entre os 12 e 15 anos de idade a criana

comea a raciocinar lgica e sistematicamente. Esse estgio definido pela habilidade de

engajar-se no raciocnio abstrato. As dedues lgicas podem ser feitas sem o apoio de

objetos concretos. No estgio das operaes formais, desenvolvido a partir dos 12 anos de

idade, a criana inicia sua transio para o modo adulto de pensar, sendo capaz de pensar

sobre ideias abstratas.

De acordo com Piaget (apud Becker, 2009, p.30) a construo do espao se realiza nacriana desde o dia em que nasceu sendo paralela com as demais construes mentais. A

primeira construo de espao se d de forma topolgica, onde ainda no so capaz de situar

os objetos, uns em relaes aos outros. Os limites desses espaos so determinados pelo

campo perceptivo.

Os efeitos da atividade perceptiva aumentam progressivamente com a evoluo e se torna

mais fina na medida dos progressos da atividade perceptiva de carter ttil-cinestsico, ou

seja, o tato associado cinestesia, s sensaes trmicas e percepo bsica permitem

criana o reconhecimento, a localizao e a descrio do seu corpo e dos objetos que a


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cercam, estabelecendo assim, uma efetiva interao com o seu meio. A atividade perceptiva

o prolongamento da inteligncia sensrio-motora que se d antes da apario da representao

que vo melhorando conforme a idade, sendo somente entre 9-10 anos que a as grandezas

atingem seu nvel adulto.

Para Piaget (1993, pgina 53) a construo do espao comea no plano perceptivo, e leva

adiante j no terreno da representao e, para realizar um estudo da intuio espacial de

ordem necessrio compreender como se d a passagem de um plano para outro. E essas

anlises so realizadas em 3 etapas.

I. Controlar a maneira pela qual funciona a percepo sob as espcies de

percepo ttil que marcam o incio do processo de recognio3;

II. Compreender como a percepo ttil traduzida pelo sujeito em imagens

grficas ou mentais;

III.Introduzir o estudo da abstrao das formas.

Como as construes prprias dependem das aes, logo, elas so partes essenciais

para o processo evolutivo. Os conceitos geomtricos so ensinados de maneira euclidiana:projetiva e topolgica. Para Piaget (1993), porm a ordem lgica em que a geometria

construda no pensamento inicia-se com conceitos topolgicos, depois os projetivos e por

ltimo os euclidianos.

Segundo Piaget (1993, p. 62) existe trs estgios para o desenvolvimento da noo de

espao e sua representao: incapacidade sinttica, realismo intelectual e realismo visual.

A Incapacidade Sinttica se d entre 3 a 4 anos de idade. Neste estgio a criana estmais preocupada em representar os objetos de forma diferenciada, no integrando o conjunto

de forma coerente, abstendo-se aos detalhes de que tem importncia para ela naquele

momento, exagerando ou omitindo partes, representando o seu ponto de vista, relacionando

tudo a si. nesse estgio que a criana comea a construir as relaes topolgicas entre as

formas, preocupando apenas com as partes gerais dos objetos como:

3Recognio pelo dicionrio o reconhecimento do estado de uma pessoa, da qualidade de uma coisa; ato ou

efeito de reconhecer.


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a) Vizinhana, que corresponde proximidade dos elementos percebidos num mesmo

campo visual;

b) Separao, que depende de uma percepo analtica, dado que consiste emdissociar elementos vizinhos que podem fazer com que a criana se confunda por

possuir muitas caractersticas semelhantes;

c) Ordem, ou sucesso espacial, que estabelece uma sequncia para elementos

separados arranjados de maneira constante;

d) Envolvimento que faz perceber a existncia de elementos entre os outros;

e) Continuidade, que faz com que o campo perceptivo evolua para a construo de

um campo espacial contnuo.

J no realismo intelectual, a criana est interessada em representar do objeto no s o

que v, mas tudo o que ali existe, dando a cada objeto a sua forma exemplar e para melhor

evidenciar a forma dos objetos, a criana mistura vrios pontos de vista, representando todos

num mesmo desenho, simultaneamente. Conforme Piaget (1993) nesse estgio que a criana

inicia a construo paralela de relaes (perspectiva com projees e sees) e euclidianas(propores e distncias) para representar o espao.

No Realismo Visual a criana abandona as estratgias utilizadas no estgio anterior,

representando apenas os elementos visveis do objeto. O rebatimento e as mudanas de ponto

de vista se coordenam dando incio perspectiva. Os objetos passam a ser representados de

acordo com essa nova construo, a perspectiva, e os detalhes agora tm por finalidade

particularizar as formas que antes eram genricas. Encerra-se aqui, a construo das relaes

projetivas e Euclidianas para representar o espao e esses dois sistemas se desenvolvem

apoiando-se um no outro. H, portanto, um aprimoramento do sistema do desenho construdo

no estgio do realismo intelectual. Em suma, no momento em que o sujeito comea a situar

os objetos no espao e suas configuraes, uns em relaes aos outros quando se d a noo

projetiva. Os objetos passam a ser considerados atravs de um ponto de vista, e as

configuraes so necessrias para desenvolver a capacidade de coordenar diversos pontos de

vista, incluindo os que no so prprios do observador.


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Tambm conforme Piaget (1993, pgina 471) a percepo e representao do espao

perceptivo so construdas muito mais rapidamente do que o espao representativo, isso

acontece devido percepo ser constituda em contato direto com o objeto, medida que, a

imagem intervm em sua ausncia.


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3.2Teori a de Van H iele sobre a aprendizagem da geometr ia

Esta teoria iniciou-se atravs de uma pesquisa realizada por um casal de professoresholandeses Pierre Van Hiele e sua esposa Dina Van Hiele atravs da investigao do

desenvolvimento do pensamento geomtrico, no qual, em 1959 foram publicados seus

primeiros resultados. Logo aps esta primeira publicao, a professora Dina Van Hiele-

Geldof veio a falecer, mas seu marido Pierre Van Hiele deu continuidade a este trabalho.

Segundo Kaleff (1994) O primeiro pas a se utilizar desta teoria foi na Unio Sovitica

nos primrdios da dcada de 60 aps a reformulao de seu currculo de geometria. Aps isso,

em 1976 que este trabalho veio a ser reconhecido internacionalmente atravs do americano

Izaak Wirsup que veio a divulgar este modelo. A teoria do casal, s comeou a ser traduzida

para o Ingls na dcada de 80, e a partir da vem crescendo mais trabalhos que se utilizam

dessa teoria. Mas foi em 1986 com a publicao do livro Structure and insight que sua

teoria tomou fora e foi realmente reconhecida.

O Modelo de Van Hiele (Apud Becker, 2009) sobre o pensamento geomtrico consiste

em cinco nveis de compreenso, chamados visualizao, anlise, deduo informal, deduoformal e rigor. Segundo este modelo, os alunos progridem hierarquicamente atravs dessa

sequncia de nveis, da a necessidade do professor conhecer previamente em qual nvel de

desenvolvimento o aluno se encontra, e ou realizar uma sequencia didtica na qual siga esta

hierarquia de conhecimento.

De acordo com Van Hiele (Apud Becker, 2009, p. 24) estes nveis descrevem as

caractersticas do processo do pensamento, no qual ser mostrada uma sinopse de cada um

deles. Estes nveis inicialmente eram numerados de 0 a 4, mas posteriormente, modificados

para 1 a 5 por Hoffer (1979) com o entendimento de Van Hiele, conforme a sntese a seguir:

Nvel 1: Visualizao e Reconhecimento: nesse nvel, os alunos tm seu primeiro

contato com as figuras geomtricas, que se d de forma visual. Os estudantes identificam e

operam com as figuras de acordo com sua aparncia, elas so vistas como um todo, sem suas

partes serem percebidas. Eles reconhecem as figuras pela sua aparncia e devem ser capazes

de represent-las mentalmente com imagens. Para identificar as figuras, o aluno usa

prottipos visuais.


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Nvel 2: Anlise: nesse nvel, os alunos reconhecem e podem caracterizar as figuras

geomtricas por suas propriedades a partir de atividades empricas. No momento, o aluno

pensa no retngulo como uma figura de quatro ngulos retos, portanto o nome retngulo

se d a uma classe de quadrilteros, com um conjunto de propriedades, chamados

retngulos.

Nvel 3: Deduo Informal ou Classificao: nesse nvel, os alunos j entendem definies

abstratas, distinguem condies necessrias e suficientes num conceito. J podem

classificar hierarquicamente figuras, entendem que o quadrado um paralelogramo com

mais propriedades impostas.

Nvel 4: Deduo formal: o aluno chega nesse nvel quando capaz de trabalhar com

caractersticas de relaes intrnsecas, por exemplo, distinguir uma proposio do seu

inverso.

Nvel 5: Rigor: nesse nvel, os alunos desenvolvem o rigor matemtico. Podem

formalmente manipular indicaes geomtricas como axiomas, definies e teoremas. J

desenvolvem demonstraes prprias com o rigorismo matemtico. As figuras so

tratadas como conjunto de propriedades e representadas por smbolos.

Para o aluno obter xito no desenvolvimento geomtrico relativo a um determinado

assunto em geometria e em cada nvel de compreenso, o casal Van Hiele criou um roteiro

quanto metodologia a ser aplicada pelo professor. Segundo Kaleff (1994) e Becker (2009)

Esta teoria consiste em que a aprendizagem da geometria se faz passando por nveis graduais

de pensamento, colocando-se como guia para a aprendizagem e para a avaliao das

habilidades dos alunos em geometria. Estes nveis no esto associados idade, e tm as

seguintes propriedades representadas:

1. Sequencial: No se pode alcanar o nvel nsem haver passado pelo nvel anterior

n-1, ou seja, o progresso dos alunos atravs dos nveis invariante;

2. Avano: um aluno no pode estar em um nvel, sem ter dominado todos os nveis

anteriores;

3. Intrnseco e extrnseco: Em cada nvel de pensamento, o que era implcito, no nvel

seguinte volta explcito;


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4. Lingustica: Cada nvel tem sua linguagem prpria utilizada (smbolos

lingusticos) e respectiva significncia dos contedos (conexo destes smbolos

com algum significado);

Combinao Inadequada: Dois estudantes com nveis distintos no podem se entender.

Segundo Freudenthal (Freudenthal, 1973, apud Kaleff, 1994), quando o ensinamento

ocorre num nvel acima ao do estudante, a matria no bem assimilada e no fica retida por

muito tempo na memria, assim como concepes erradas, quando aprendidas, parecem

persistir.

Segundo Kaleff (1994) para o casal Van Hiele a proposta de ensino deve seguir cinco

fases de aprendizagem, essa sequencia favorece a obteno de um nvel de pensamento no

determinado contedo e ou conceito geomtrico que esta sendo abordado conforme a sntese a

seguir.

Fase 1Questionamento ou Informao: esta fase quando o professor estabelece um

dilogo com os alunos, expondo o material que vai ser utilizado. neste momento que so

feitas as observaes, onde as questes sero levantadas, ou seja, quando o professor inicia

com o vocabulrio que vai ser utilizado. Durante este dilogo entre professor e aluno, que, o

professor consegue analisar quais os conhecimentos de seu aluno, identificando assim, em que

nvel o aluno se encontra, atravs desse conhecimento ele pode perceber em qual direo o

estudo deve prosseguir.

Fase 2Orientao Direta: esta fase quando o aluno inicia o processo de explorao

do assunto de geometria que est sendo tratado, atravs de materiais cuidadosamente

selecionados que levaro o aluno a se familiarizar gradualmente com as estruturas e

caractersticas do nvel que est sendo tratado, as atividades devem ser em sua maioria,

atividades em uma nica etapa, que possibilitem respostas especificas e objetivas.

Fase 3Explicitao: esta fase dada com base nas experincias anteriores do aluno,

ampliando e refinando a sua linguagem, nesta fase que o aluno comea a expressar suas

opinies a respeito das estruturas que observaram. O professor, nesta fase, deve deixar o aluno

mais independente na busca da formao do sistema de relaes que esto sendo estudadas.

Fase 4 Orientao livre: nesta fase, as atividades devem apresentar mais etapas,possibilitando que o aluno resolva de vrias maneiras diferentes, porm chegando ao resultado


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proposto. importante que o aluno ganhe a experincia da busca de informao, de

conhecimento e busque tambm sua prpria forma de resolver a atividade, com isso, adquire

sua prpria orientao, fazendose mais claro o objeto que est sendo estudado.

Fase 5 Integrao: esta fase a em que o aluno contextualiza o conhecimento

adquirido, a fase da reviso e sntese do que foi estudado, estabelecendo uma integrao

entre os objetos e as relaes com a consequncia da unificao e internalizao do

pensamento. O papel do professor nesta fase de auxiliar neste processo de sntese,

proporcionando experincias e observaes, porm, o mesmo, no deve ser ministrar novas

ideias, nem muito menos, algo que possa discordar do que foi dado.

Ao final dessas cinco fases, os alunos devem ter atingido um novo nvel depensamento, tornando-se aptos a realizar as atividades de aprendizagem do prximo nvel.

Para Van Hiele (Apud Kaleff, 1994) o avano de um nvel para outro no se d de forma

natural, sendo o professor, o intermediador deste desenvolvimento atravs de um ensino

adequado e sequencial.


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3.3 A viso de Gutirrez sobre as habi l idades espaciais atravs da Teoria de

Van H iele

Com base na teoria de Van Hiele sobre a geometria espacial, Gutirrez (1992) dividiu

o problema do aprendizado em duas partes: a aquisio das habilidades espaciais e o

entendimento das relaes entre os conceitos geomtricos.

Gutirrez (1992) afirma que o fundamental para se trabalhar a geometria espacial

conseguir visualizar em sua mente o que ocorre. Essa capacidade que temos e devemos

desenvolver, bsica no aprendizado deste campo de conhecimento. Quem tiver dificuldades

em visualizar os objetos em suas vrias formas e o que ocorrem com eles, ter dificuldades

em entender os livros didticos, que por terem representao plana, exigem que a pessoa

tenha que representar em sua mente esses objetos espacialmente. Como infelizmente os livros

didticos trazem este problema plano, devemos nos esforar para imaginarmos tudo como

seriam se fossem tridimensionais. Por isso, fundamental que o aluno entenda e interprete

essas diferentes representaes bidimensionais de objetos tridimensionais. Assim, ele deve

aprender a desenhar a planificao de um slido, e tambm o inverso, construindo um slido

atravs de sua planificao.

Del Grande (1990, apud Gutirrez, 1991) especificou habilidades importantes que o

indivduo deve ter para auxiliar a representao espacial, num contexto mais amplo que o da

Geometria. So eles:

1) Coordenao motriz dos olhos: a habilidade de observar e seguir com os olhos o

movimento dos objetos de maneira gil e eficaz;

2) Identificao visual: a habilidade de reconhecer uma figura desligada de seucontexto;

3) Conservao da percepo: a habilidade de reconhecer que um objeto mantm

sua forma mesmo que girado, ocultado ou que deixe de v-lo;

4) Reconhecimento de posies no espao: a habilidade de relacionar posies de

um objeto de acordo com um referencial;

5) Reconhecimento de figuras espaciais: a habilidade que permite reconhecer as

formas e suas caractersticas;


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6) Determinao visual: a habilidade que permite identificar semelhanas e

diferenas entre os objetos;

7) Memria visual: a habilidade de recordar caractersticas visuais e posicionais

quando um abjeto girado ou ocultado, parcialmente ou no.

A evoluo da habilidade do desenho em perspectiva proposta em quatro etapas,

segundo Mitchelmore (1980, apud Gutirrez, 1991):

1) Esquemtica plana: o objeto representado pelo desenho de uma de suas faces

ortogonalmente;

2) Esquemtica espacial: o objeto representado pelo desenho de vrias de suas

faces, com algumas ocultas ou no, mas ainda sem ter a sensao de profundidade;3) Pr-realista: os desenhos mostram a inteno de exibir os objetos de forma realista,

com noes de profundidade, mas ainda no o conseguem plenamente;

4) Realista: os desenhos esto corretos e seguem as regras de perspectivas,

principalmente com ponto-de-fuga.

Segundo Gutirrez (1992), os alunos tm noo de suas incorrees ao desenhar, e

tentam sempre refazer, s vezes aumentando as imperfeies. Um dos problemas est na falta

de coordenao. A habilidade de desenhar desenvolvida gradualmente, mas mais lenta do

que quando treinada especificamente em aula.

Quando se trata da representao isomtrica, os alunos apresentam maiores

dificuldades, pois tm de seguir as regras da medio, dos vrtices e posicionar o slido de

forma visvel. Chega-se a um ponto em que os alunos parecem ter compreendido as regras,

mas esta impresso pode estar equivocada, pois se eles foram apenas guiados no

desenvolvimento, possvel que eles no consigam realiz-las de forma autnoma.


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3.4 Geometr ia Descritiva

Em uma definio resumida, a geometria descritiva uma tcnica utilizada pararepresentar objetos sobre a forma mono, bi e tridimensional em desenho. Segundo Silva

(2006, p.59) H relatos que as primeiras projees criadas foram pelos egpcios, com o

objetivo de minimizarem as perdas de materiais que eles tinham com suas construes, sendo

seguido pelos gregos, notadas por suas grandiosas obras arquitetnicas. E foram os gregos,

que cederam seus conhecimentos para os romanos com o inicio de sua civilizao, no qual,

houve um avano tecnolgico significativo. E esses avanos s poderiam ser alcanados

atravs de desenhos e projees. Devido a isso, os italianos herdaram essa tcnica e passaram

tambm a utiliz-la em suas obras de construo.

Mas, somente na era napolenica, que os franceses observaram seus conhecimentos

tecnolgicos, bem como, suas tcnicas de desenho e projees, foi da ento que Gaspar

Monge estudou esses procedimentos, aprimorou com seus conhecimentos matemticos e

criou a ento chamada Geometria Descritiva, que , deste ento, estudada por inmeros

matemticos.

Aps este breve relato de sua histria, para mostrar a importncia das projees, ageometria descritiva a representao ou projeo (perspectiva) de slidos e figuras

tridimensionais sobre um plano. Por esse mtodo, uma figura projetada inicialmente em um

plano vertical, em retas perpendiculares a ele e em um plano horizontal.

Assim afirmam Ribeiro, Peres e Izidore (2006), todo objeto ou figura no espao

representado por duas projees em um plano s, colocando em uma folha de papel plana o

que visualizamos no espao de trs dimenses. Com um pouco de prtica, pode-se facilmente

ler essa representao - ou pura - e reconstituir o objeto real que deu origem a ela.

Conhecendo-se a metodologia utilizada para elaborao do desenhobidimensional possvel entender e conceber mentalmente a forma espacialrepresentada na figura plana.

Na prtica pode-se dizer que, para interpretar um desenho tcnico, necessrio enxergar o que no visvel e a capacidade de entender umaforma espacial a partir de uma figura plana chamada viso espacial.(Ribeiro, Peres e Izidoro, 2006, p.5).

Para Teixeira (2006) um dos objetivos do ensino de Geometria Descritiva justamente

despertar no aprendiz a capacidade de abstrao, alm de desenvolver a viso e o raciocniotridimensional.


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3.4.1 Vi stas Or togrficas

Segundo Scalco (2004) 4as vistas ortogrficas originam-se das projees cilndricas

ortogonais que so projees de objetos com o observador que dever estar posicionado a

uma distncia finita ou infinita do plano de projeo, na direo do vetor normal do plano 5.

Figura 1 - Projeo Cilndrica de um slido

Fonte/; http://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/DTarq_M3.htm(acessado novembro de 2010).

Apenas uma projeo no o suficiente para determinar qual objeto est sendoprojetado, pois dois objetos diferentes podem possuir a mesma imagem projetada em um

plano, como mostrada na figura a seguir.

Figura 2 - Projeo de dois objetos distintos resultando a mesma imagem

Fonte: http://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/DTarq_M3.htm(acessado novembro de 2010).

4 Scalco foi um dos professores que fez parte da montagem do site no qual capturei vrias das imagens

utilizadas. Este site faz parte de um projeto piloto para a construo de um ambiente virtual de apoio aos

alunos ingressantes do curso de Engenharia Civil da FEC - UNICAMP, para a disciplina EC104 e foi aplicado nesta

primeira verso em junho de 2004.

5Vetor normal uma reta que faz um ngulo de 90 graus, ou seja, perpendicular, a um plano.
http://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/DTarq_M3.htmhttp://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/DTarq_M3.htmhttp://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/DTarq_M3.htmhttp://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/DTarq_M3.htm


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De acordo com (Ribeiro, Peres, Izidoro, 2006, p.31), tomando dois planos, um

horizontal e outro vertical, interseccionados com um ngulo de 90 graus, o espao ficardividido em quatro ngulos chamados diedros, ou seja, este espao possuir duas faces cada

um, esses diedros sero numerados no sentido anti-horrio, denominando-se 1, 2, 3 e 4

diedros, mostrado conforme a figura 3.

Para Scalco (2004) para projetar um objeto sobre um plano, posiciona-se o

observador em um ponto imprprio6, na direo do vetor normal do plano de projeo.

Figura 3 - Planos ortogonais entre si e suas nomenclaturas


Conforme (Ribeiro, Peres, Izidoro, 2006, p.31), para melhorar o exerccio de quem

trabalha com desenho tcnico foi necessrio uma padronizao, a nvel internacional, para

facilitar as trocas de informaes tecnolgicas entre os pases. Pelas normas, fixaram a

utilizao das projees ortogonais pelos 1 e 3 diedro. Nos desenho tcnico brasileiro

utilizamos o primeiro diedro como base para a construo das vistas.

Figura4 mtodo da Dupla Projeo Ortogonal


6 Ponto imprprio um ponto comum entre duas retas paralelas, situado numa posio infinitamente

distante.


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Porm apenas duas projees no so suficientes para representar o objeto, pois

podem existir dois objetos diferentes e terem as mesmas duas projees, conforme mostra afigura 5. Percebemos que as projees so idnticas entre si.

Figura 5 - Planos ortogonais entre si e suas nomenclaturas


Para Scalco (2004) devido a este problema, para garantir realmente que um objeto seja

representado sem que haja dvida sobre suas caractersticas, precisamos utilizar pelo menos

trs planos de projeo. Estes planos so dispostos de maneira ortogonal entre si, dois a dois,de maneira semelhante s faces de um cubo. Conforme mostra a figura 6, os objetos

projetados com as trs vistas, pelo menos uma delas ser diferente.

Figura 6 Projeo de dois objetos distintos resultando em pelo menos uma imagem

diferente.



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puraMongeana

Segundo Scalco (2004) no havendo dvida sobre o objeto que est sendo projeto pode-se

desconsiderar o objeto e utilizar apenas as suas projees. Conforme mostrado na figura 7.

Figura 7 Remoo do Objeto.Fonte: http://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/DTarq_M3.htm(acessado novembro de 2010).

Para manipular estas representaes com facilidade, os planos devero ser rotacionados de

tal maneira que as representaes sejam dispostas em um nico plano.

Figura 8 Abertura em pura.


Para Scalco (2004) as vistas ortogrficas so as representaes das projees de um objeto

em planos distintos ortogonais entre si. Podemos colocar estes planos lado a lado em um

nico plano. Chamamos esta representao de pura Mongeana.

As vistas ortogrficas podem ser classificadas em: Vistas ortogrficas principais (so as

projees de um objeto em planos cujos vetores normais coincidam com as direes do eixo

da base), Vistas ortogrficas auxiliares (so projees em um plano auxiliar que pode ser


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alocado e rotacionado) e Vistas secionais (representaes da interseco de um plano secante

com o objeto de interesse, exaltando detalhes internos aos objetos).

As Seis Vistas Principais

Para Scalco (2004), anteriormente, foram utilizados trs planos de projeo para

identificar um objeto. Podem ser utilizados outros trs, de tal maneira que os planos de

projeo formem um cubo ao redor do objeto. As seis faces do cubo possuiro seis imagens

simultneas do objeto.

Figura 9 Os seis planos de projeo.


Para representar as estas vistas, deve-se abrir os planos sob a forma de uma pura, com

a seguinte distribuio:

Figura 10 Abertura da pura.


A vista que melhor representa as caractersticas do objeto como um todo chamada

Vista Frontal. Observando o objeto tridimensional, temos esquerda da Vista Frontal a Vista

Lateral direita. Da mesma forma, o que pode ser observado direita da Vista Frontal


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chamada Vista Lateral Esquerda. Quando o objeto visto por cima, de acordo com a posio

Frontal, temos a Vista Superior e localizada abaixo da Frontal, analogamente temos a Vista

Inferior. A sexta vista oposta a Vista Frontal e denominada de Vista Posterior.

Convencionou-se que sua localizao seria ao lado da Vista Lateral Esquerda.

Figura 11 Disposio das vistas pelo primeiro diedro.

http://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/DTarq_M3.htmhttp://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/DTarq_M3.htm


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4.Mtodos e Materiais

Como j mencionado anteriormente nos objetivos, foi desenvolvida uma sequncia

didtica de acordo o Modelo de Van Hiele, juntamente com as habilidades colocados por

Gutirrez (1992) atravs da teoria de Van Hiele, este estudo tem como o intuito de auxiliar no

desenvolvimento geomtrico do aluno. Este captulo descreve a metodologia utilizada, o

processo realizado, as atividades propostas e os participantes.

3.1

A escolha e os participantes

Tive dificuldades para realizar este projeto, pois existem poucas disponibilidades de

salas de aula livres no turno inverso dos alunos e tambm porque h atividades neste projeto

em que necessrio o uso de um laboratrio de informtica. A escolha por esse pblico e por

esta escola se deu devido a j ser professora deles no projeto Mais Educao, onde eu ministro

aula de informtica, e devido ao fato de os alunos terem a vontade de aprender matemtica

com manipulao de objetos.

A anlise foi feita com uma turma do quinto ano do ensino fundamental com dez

alunos em uma escola municipal de Porto Alegre. uma escola que possui boa infraestrutura

para a realizao do projeto, alm de haver um interesse muito grande dos professores e da

coordenao dessa escola na realizao de projetos que possam de alguma maneira melhore o

ensino dos alunos, ou at mesmo de traz-los para dentro da sala de aula.


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3.2 Seleo das ativi dades

Procurei selecionar as atividades de acordo com os nveis de desenvolvimento de Van

Hiele e com suas habilidades. As atividades foram montadas de acordo com o fluxograma 7

abaixo.

Figura 12 fluxograma da montagem das atividades.

7Fluxograma criado por mim para fins de um melhor ordenamento da sequncia didtica.


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3.3 Coleta de dados e anlise dos resultados

As atividades deste projeto piloto foram realizadas com os alunos no turno inverso de

suas aulas, sendo assim, os resultados foram analisados de acordo com os erros obtidos,

perguntas realizadas pelos alunos durante a realizao das atividades e tambm atravs de

suas facilidades na realizao dos mesmos.

Em todas as atividades foram coletados materiais para as anlises posteriores, assim

como tambm foi realizado registro de perguntas e comentrios dos alunos para futura

contribuio de modificaes da sequncia didtica, pois um dos objetivos tornar atrativo o

ensino da geometria e no cansativo. Cury (2008) tratando desse tema, afirma que:

Na anlise das respostas dos alunos, o importante no o acerto ou oerro em sique so pontuados em uma prova de avaliao da aprendizagem-, mas as formas de se apropriar de um determinado conhecimento, queemergem na produo escrita e que podem evidenciar dificuldades deaprendizagem. (Cury, 2008 pgina 63)

As anlises dos materiais foram realizadas com base nas teorias de Van Hiele

juntamente com anlises e comparaes feitas com o trabalho de Becker (2008) em suadissertao de mestrado Uma alternativa para o ensino da geometria: visualizao geomtrica e

representaes de slidos no plano.

No seguinte captulo sero descritas detalhadamente as atividades propostas, seguidas

de suas justificativas e da anlise dos resultados.


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3.3.1

Teste em alunos

A seguir mostrarei como as atividades foram realizadas com os alunos, quais eram os

resultados esperados e como eles foram obtidos.

Atividade 1O que voc v?

Observe o objeto e desenhe como voc o enxerga visto de todos os seus lados. (vista

superior, vista lateral e vista frontal).

a) Cilindro de base circular

b)

Cilindro de base triangularc) Cilindro de base retangular

d) Esfera

Justificativa: Esta atividade tem como objetivo que os alunos identifiquem as vistas

das figuras atravs da manipulao dos objetos. De acordo com a teoria de Van Hiele citada

por Becker (2008), na primeira fase que ocorre a visualizao e o reconhecimento. Nesse

nvel, os alunos tm seu primeiro contato com as figuras geomtricas, que se d de forma

visual. Os estudantes identificam e operam as figuras de acordo com sua aparncia. Eles as

reconhecem pela sua aparncia e devem ser capazes de represent-las mentalmente sob a

forma de imagens. Para identificar as figuras, o aluno usa prottipos visuais. Para Piaget

(1993), controlar a maneira pela qual funciona a percepo sob as espcies de percepo ttil

que marcam o incio do processo de recognio.

Os objetos selecionados nas alternativas a, b e c, mudavam apenas uma de suas vistas,

no caso a vista superior. J o objeto da alternativa d, possu as trs vistas idnticas.

Aps uma explicao sobre os tipos de vistas (superior, frontal e lateral) foram

distribudos os objetos para que os alunos desenhassem em uma folha quadriculada as

imagens nas quais eles estavam enxergando os objetos.

A atividade de incio foi bem demorada, pois os alunos no estavam acostumados com

os termos: superior, frontal e lateral, demorando um pouco para identificar os objetos e

desenh-los.

Os alunos conseguiram identificar as suas vistas, porm, no mantiveram a

proporcionalidade dos objetos. Podemos notar isso na resposta do aluno A2 na representao

do cilindro de base circular, pela diferena entre a sua representao da vista superior para as


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vistas laterais. De acordo com o Del Grande (1990, apud Gutirrez, 1991), este aluno no

conseguiu estabelecer a habilidade de conservao da percepo na qual deveria reconhecer

que um objeto mantm sua forma mesmo que girado, ocultado ou que deixe de ser visto.

Esta atividade foi bem interessante, pois nela, pude entrar com a linguagem da

geometria plana, sobre as imagens na qual os alunos estavam representando em desenho,

como quadrado, tringulo, retngulo e crculo. Outro aspecto interessante foram as perguntas,

como a do aluno A8 sobre qual a diferena entre quadrado e tringulo, crculo e

circunferncia.

Figura 13 - Representao feita pelo Aluno A2


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Figura 14 - Representao feita pelo Aluno A3

Atividade 2Cada Vista uma Vista

a) Carlos fez uma construo com quatro cubos8.

Ao ver sua construo de cima, qual representao seria correta?

Ao ver a sua construo lateralmente, quais seriam as vistas?

8Retirado de: Isolani, Cllia Maria Martins; Siedel, Cludia Miriam Tosatto. Matemtica Projeto Alternativo.

Depende do ponto de vista! Editora do Brasil S.A.: So Paulo. 1991.


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b) Observe a imagem a baixo e responda.

Ao ver a construo de cima, qual representao seria correta visto este objeto de cima?

Ao ver a sua construo lateralmente, quais seriam as vistas?

c) Associe corretamente cada slido figura obtida quando ele visto de cima: 9


Depende do ponto de vista! Editora do Brasil S.A.: So Paulo. 1991.


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Justificativa: Este conjunto de atividades tem como objetivo fazer com que os alunos

identifiquem as vistas das figuras. Nesta atividade o aluno no possua o objeto na mo,

apenas o objeto representado em forma de figura no papel. Como tratado anteriormente na

atividade, segundo a teoria de Van Hiele os estudantes nesta fase identificam e operam com as

figuras de acordo com sua aparncia.

Aps a leitura da atividade junto com os alunos, percebi que esta atividade foi de

rpida percepo, pois terminada a leitura, a maioria dos alunos j havia terminado.

O aluno A4 disseaps realizar a atividade anterior, esta ficou muito fcil.

O aluno A3 respondeu a esse aluno A4Sim, muito fcil mesmo.

Ocorreu apenas um erro neste conjunto de atividades, onde o aluno A2, colocou na

atividade aque o objeto possua 2 vistas laterais, sendo uma delas a alternativa ce a outra

sendo a alternativa a. Neste caso o aluno no conservou a imagem como um todo, olhando

apenas a vista da ltima superfcie existente. Na correo da atividade os prprios colegas

colocaram para ele o motivo pelo qual a resposta dele estava errada. O aluno A1 chegou a

pegar duas caixas de remdio que ele possua na mochila, montando um objeto semelhante,

para mostrar para o colega, fazendo o aluno retornar na visualizao com o objeto real para

reconhecer a sua vista, e encontrar seu erro.

Atividade 3Pinte de acordo

Observe o objeto e pinte de acordo com suas vistas.


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Justificativa: Nesta atividade continuo trabalhando a parte de reconhecimento das

vistas. O objetivo verificar se o aluno realmente est reconhecendo as vistas do objeto

representado no papel, que a maneira na qual ser encontrada nos livros didticos. Neste

momento, percebi que realmente foram proveitosas as atividades anteriores, pois os alunos

obtiveram xito na realizao desta atividade, como mostrado em algumas imagens abaixo.

Foi importante trabalhar este tipo de atividade, pois nela, consegui verificar que posso

passar para outro nvel com os alunos, no havendo necessidade de mais atividades, pois nesta

faixa etria eles no gostam de repetir muito as mesmas atividades, noto que a maioria gosta

de atividades variadas. Para Van Hiele (Apud, Kaleff, 1994), no nvel dois as atividades

devem ser em sua maioria, atividades em uma nica etapa, que possibilitem respostas

especficas e objetivas.

Figura 15 - Pintura feita pelo aluno A2

Figura 16 - Pintura feita pelo aluno A6


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Atividade 4Desenhe suas vistas

Observe o objeto e desenhe suas vistas.

Justificativa: Nesta atividade, alm da parte de identificar e reconhecer a imagem,

tenho como objetivo que o aluno comece a desenhar a imagem, atravs de sua conservao.

Esta atividade requer a representao das vistas de um objeto que foi projetado.

Os resultados obtidos mostram que os alunos conseguiram visualizar as vistas do

objeto que est representado no desenho, porm podemos notar que eles no respeitaram as

relaes euclidianas, no se preocupando com o tamanho das arestas, ou com a

proporcionalidade do objeto, na sua maioria desenhando de forma menos apurada.

Podemos notar conforme a figura 19 que o aluno A2 no s representou as vistas do

objeto, como tambm, sups como seria a vista oculta do objeto.

Figura 17 - Representao das Vistas feita pelo aluno A3


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Atividade 5Cubo nico

Esta caixa foi feita de forma que as faces opostas tivessem sempre a mesma cor. Marque qualdas qualificaes permite montar esta caixa10


Depende do ponto de vista! Editora do Brasil S.A.: So Paulo. 1991


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Justificativa: Nesta atividade tenho como objetivo que os alunos comecem a

conservar a imagem do objeto planificado e tentem reproduzi-lo mentalmente.

Para iniciar esta atividade tive que explicar algumas das propriedades dos objetos

como: o que eram as faces de um objeto, o que eram faces opostas e adjuntas. O que bom,

pois podemos comear de uma maneira mais calma, a introduzir a linguagem da geometria

Euclidiana.

A partir desta atividade comecei a perceber que a produo dos alunos no era mais a

mesma. Demoraram um pouco mais para a realizao desta atividade, pois ela exige um maior

conhecimento visual do aluno.

Os alunos tentam de vrias formas reproduzir o objeto que deve ser mentalmenteconstrudo para um objeto tatevel.

O aluno A4, para resolver esta atividade, procurou algo que fosse semelhante a um

cubo e comeou a colocar as cores. Ele alegou que no estava conseguindo visualizar o

objeto, o que no me surpreende, pois uma das maiores dificuldades de se trabalhar a noo

espacial conseguir representa-la mentalmente.

Dos 10 alunos que realizaram esta atividade 6 marcaram a alternativa correta. Um

ndice relativamente bom, pois esta a primeira atividade na qual os alunos efetivamente

trabalharam com a representao mental dos objetos.

Atividade 6Que formas tem?

1. Dadas as representaes planas 11das figuras, quais so as formas desses objetos.

11As imagens foram capturadas do programa Poly 1.11 que uma ferramenta matemtica que lhe permite

abrir um poliedro de forma tridimensional e em qualquer perspectiva, alm de poder gir-lo, colorir suas peas

e imprimir em 2D, para depois de recortado, poder reconstru-lo. Pode ser feito download pelo site

http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/softwares/soft_geometria.php(acessado em novembro de 2010).
http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/softwares/soft_geometria.phphttp://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/softwares/soft_geometria.phphttp://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/softwares/soft_geometria.php


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Justificativa: Tenho como objetivo nesta atividade trabalhar o reconhecimento dos

objetos atravs das formas. Nesta atividade procurei usar objetos semelhantes, para no

dificultar para os alunos. Porm, notei aps a sua realizao, que eu poderia ter me utilizado

de uma dificuldade maior, misturando mais formas.

Todos os alunos responderam com xito esta atividade. Durante a sua realizao notei

que os alunos contavam as possveis quantidades de tringulos que a figura da alternativa 1 e2 tinham, e notaram a formas diferentes que as alternativas 3 e 4 possuam, efetuando

corretamente a atividade.

Atividade 7Planifique atravs do objeto.

Dado o objeto desenhe qual seria a sua planificao.

Justificativa: Como esta atividade foi realizada no ensino fundamental, procurei no meutilizar de objetos com grandes dificuldades para a sua planificao. Selecionei um objeto que alguns


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alunos j tiveram contato, peguei uma caixa vazia de um refil de impressora, a qual tem a forma de um

prisma.

Com o objeto na mo, e com pouco desafio, notei que os alunos no sentiram dificuldades em

realizar esta planificao. Devido a esta sequncia didtica ser um projeto para anlise e uso futuro,sugiro nesta etapa, alm deste slido, procurar passar outro com uma dificuldade um pouco maior para

poder desafi-los melhor.

Figura 20 - Planificao feita atravs do objeto pelo aluno A6

Atividade 8planifique atravs de sua representao.

Observe o desenho abaixo, desenhe a sua planificao.

a)

b)


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Justificativa: Tenho como objetivo que o aluno consiga reproduzir a

planificao dos objetos solicitados atravs de sua representao. Como j dito

anteriormente, esta a maneira a qual o aluno ir encontrar o assunto nos livros

didticos dentro de sala de aula, sendo importante verificar se o aluno est, ou no,

conseguindo fazer esta passagem do concreto para o imaginrio e vice-versa.

Como mostrado na figura 21, a sequncia de imagens que o aluno A2 fez para

realizar a atividade, mostra a construo da sua imagem mental. Segundo Piaget,

desenho uma representao de uma imagem distinta da percepo. A imagem vai

sendo construda passo a passo conforme afirma Gutirrez (Apud, Becker, 2009), os

alunos tm conscincia das incorrees de seus desenhos. A habilidade de desenhar

um fator que afeta a capacidade de se fazer representaes de slidos e esta habilidade

se desenvolve de maneira espontnea. O aluno A2 escreveu que sentiu dificuldades

em representar o objeto por causa de sua forma. Ele deveria relacion-lo com as cores

de suas faces. As cores eram para facilitar a sua visualizao, porm, ele no percebeu

o quanto foi importante associar as cores com a planificao, mas no momento em que

ele pintava as cores que se notava que estava errado, refazendo o desenho. Notei queesta atividade causou certo desconforto, pois a maioria dos alunos no conseguiu

conclui-la sozinho. Apenas dois alunos resolveram com xito esta atividade, no

precisando de material de apoio para a sua visualizao, o restante da turma tambm

concluiu a atividade, com a ajuda dos colegas, e um pouco de minha interveno.

Podemos perceber tambm que cada aluno planifica de sua forma, criando

mtodos para desenhar a sua planificao, cada uma dos alunos busca se apoiar em um

referencial diferente, resultando no final em uma gama de representaes diferentesumas das outras.


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Figura 21 - Planificao feita atravs da representao do objeto pelo aluno A2

Figura 22 - Planificao feita atravs da representao do objeto pelo aluno A2


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Atividade 9 - Envolvendo o uso do computador

Como esta atividade envolve o uso do computador, segue a figura 23, que tela inicial

da atividade. Esta atividade esta subdivida em trs partes: planificaes, vista pura e vista

superior. Estas atividades foram criadas em flash, podendo ser acessadas no seguinte endereo

eletrnico: http://mdmat.mat.ufrgs.br/repositorio/vistas (acessado em novembro de 2009).

Foram atividades criadas juntamente com os acadmicos do Curso de Licenciatura em

Matemtica, Vinicius Cardoso, Tamiris Duarte Carpin e Gabriel Wolf Flores.

Foram selecionadas estas trs atividades, pois elas do sequncia ao que foi trabalhado

at o momento com os alunos. As atividades esto distribudas da seguinte forma, explicadas

apenas sinteticamente.

Planificaesatividades com planificaes de dados no qual o aluno deve somar sete

em suas faces opostas.

Vista puraatividade na qual o aluno deve localizar o objeto atravs das projees

de suas formas.

Vista Superior Atividade na qual o aluno deve localizar e organizar os objetos em

um cmodo atravs da viso de duas de suas vistas.

Figura 23 - entrada do site de atividades
http://mdmat.mat.ufrgs.br/repositorio/vistashttp://mdmat.mat.ufrgs.br/repositorio/vistashttp://mdmat.mat.ufrgs.br/repositorio/vistas


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Figura 24 - atividade dos cubos

Justificativa:Esta atividade tem o mesmo objetivo que a atividade 5, que a conservao da

imagem do objeto planificado em que o aluno deve tentar reproduzi-lo mentalmente.A priori os alunos no conseguiram entender o que era para ser feito, ento tive que

explicar que a soma das faces de um dado somam sete. Pude reforar as nomenclaturas e

algumas das propriedades do quadrado, conforme a fase 3 da Teoria de Van Hiele (1970) em

que diz que nesta fase que as experincias anteriores do aluno so relevantes, podendo ser

ampliado e refinado a linguagem na qual esta sendo trabalhada.

Foi tambm durante a realizao desta atividade, que percebi que os alunos estavam

procurando alternativas para a resoluo do problema, como por exemplo, colocando os dedos

na tela e simulando com a mo o fechamento da caixa. De acordo com a fase 4 de Van Hiele

importante que o aluno ganhe a experincia da busca de informao, de conhecimento e

busque tambm sua prpria forma de resolver a atividade, com isso, adquire sua prpria

orientao, fazendose mais claro o objeto que est sendo estudado.

Acredito que esta atividade foi de grande importncia, pois ela complementa as

atividades realizadas com material concreto, alm dos alunos gostarem bastante de ir ao

laboratrio de informtica, o que causa empolgao por parte dos alunos para a realizao das

atividades.


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Orientaes para o uso do objeto: Vista pura

Figura 25 - Instrues para Atividade Vista pura

1.Este menu indica ao aluno as instrues do jogo;

2.Aqui o objeto mostrado na sua representao 3D;

3.A projeo vista superiormente do objeto;

4.O Cmodo na vista superior, onde sero colocados os objetos;

5.Guia de apoio ao aluno;

6.Neste boto ser verificado se a representao foi colocada no lugar correto;

A atividade de Vista de pura divida em 5 desafios, conforme mostro a seguir:


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Figura 26 - atividade 2 vista pura desafio 1

Figura 27 - atividade 2 vista pura desafio2


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Figura 28 - atividade 2 vista pura desafio3

Figura 29 - atividade 2 vista pura

desafio4


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Figura 30 atividade 2 vista pura desafio 5

Justificativa: nesta atividade que tenho como objetivo iniciar com eles a noo de localizao dos

objetos no espao. Antes dos alunos acessarem a atividade, expliquei de maneira sucinta sobre o que

vista em pura, sobre o rebatimento das projees.

Este objeto digital de aprendizado, j tinha sido testado por mim, em outra turma de laboratrio

de informtica, em uma turma do ensino mdio, realizei este teste com o intuito de analisar possveis

erros na programao, e ver at que ponto a atividade poderia ser realizada sem pr-requisitos, foi

ento que notei a necessidade de criar atividades que complementassem. Pois na ocasio, tive que

explicar como se realizava a atividade, perdendo o objetivo, pois o aluno, ao olhar, deveria procurar

como poderia resolver a atividade.

Devido a isso, foi necessrio criar esta sequncia didtica, para que a atividade no perdesse

seu encanto, e que os alunos ao olharem para ela, procurassem atravs de seu conhecimentos, a

soluo.


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Orientaes para o uso do objeto: Vistas

A manipulao do objeto intuitiva e bastante dinmica.

Figura 31 Instrues para a atividade Vista Superior

1.Este menu indica ao aluno as instrues do jogo;2.Aqui o palco dos objetos que devero ser manipulados para a vista superior que est indicado pelonmero 4;

3.O objeto que est selecionado poder ser rotacionado de 90 em 90 graus;

4.O Cmodo na vista superior, onde sero colocados os objetos;

5.Guia de apoio ao aluno, se clicada ela aparece conforme mostra a flecha;

6.Neste boto ser verificado se foi colocado o mvel no lugar correto;

7.Aqui voc pode retirar e colocar o som.


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A atividade de Vista Superior divida em 5 desafios, conforme mostro a seguir:

Figura 32 atividade 3 vista superior - desafio1

Figura 33 atividade 3 vista superior - desafio2


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Figura 34 atividade 3 vista superior desafio3

Figura 35 atividade 3 vista superior desafio 4


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Figura 36 atividade 3 vista superior desafio 5

Justificativa: Nesta atividade tenho como objetivo a noo de localizao dos objetos no

espao atravs de sua superior. Segundo Gutirrez (1992) na fase 4 de Van Hiele que ocorre

a habilidade do reconhecimento de figuras espaciais, pois nela permite reconhecer as

formas e suas caractersticas. Os alunos chegaram nesta habilidade, pois ao resolver as

atividades eles procuraram pelas caractersticas dos mveis, como o livro em cima da

mesa.

Os alunos tambm chegaram na habilidade 5 da Teoria de Van Hiele (Gutirrez, 1992)

que a de reconhecimento de posies no espao que a habilidade de relacionar

posies de um objeto de acordo com um referencial, porque eles conseguiram realizar

os 5 desafios. Segundo (Kaleff, 1994) na teoria de Van Hiele os alunos chegaram na

fase 5 que a de Integrao, pois nesta fase em que o aluno contextualiza o

conhecimento adquirido, a fase da reviso e sntese do que foi estudado,

estabelecendo uma integrao entre os objetos e as relaes com a consequncia da

unificao e internalizao do pensamento.


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5.Consideraes Finais

Este trabalho de concluso de curso me ajudou a perceber melhor sobre as falhas do

ensino da Geometria desde o incio de nossa formao acadmica, percebendo o quanto

importante que os professores saibam combinar aprendizagem com o nvel de pensamento do

estudante, ou seja, tomar conscincia de que necessrio pesquisar teorias sobre o

desenvolvimento de cada rea, assim como um estudo detalhado sobre o assunto que ser

tratado, no caso, habilidades de localizao espacial, assim como a sua visualizao e

representao Bi e Tridimensional.

Atravs desta pesquisa, verifiquei que a anlise das fases de desenvolvimento do aluno

muito importante para um bom trabalho, pois como mostramos anteriormente com Piaget

(1993), Van Hiele (1976), Gutirrez (1980), entre outros, o estudo das teorias deve ser

trabalhado como ferramenta para sanar as falhas encontradas no desenvolvimento das

habilidades geomtricas do aluno. Estes autores me ajudaram a ter uma viso melhor de como

proceder em sala de aula, bem como elaborar uma sequncia didtica no qual consigamos

atingir nossos objetivos.

Este trabalho teve como objetivo fazer com que os alunos conseguissem visualizar e

representar as formas geomtricas atravs de suas vistas, bem como, conseguissem trabalhar

atravs de suas representaes, pois estas so as que eles encontraram nos livros e na internet.

Desta forma, os alunos conseguem um melhor entendimento das formas o que ajudam para o

ensino da geometria.

Precisamos entender que esse processo de desenvolvimento do pensamento

geomtrico, no depende apenas do histrico do aluno, mas tambm, de como ele aprende e

como se deve estimul-lo de modo que as lacunas geralmente deixadas no ensino bsico

sejam preenchidas de forma que o aluno consiga compreender os conceitos e as propriedades

que envolvem a geometria.

Este trabalho foi vlido, pois consegui xito nas atividades propostas e cheguei ao meu

objetivo final que era que os alunos conseguissem realizar a atividade VISTAS, com ela

consegui perceber que os alunos conseguiram identificar as formas dos objetos representados,

visualizando as suas diferenas, e conseguindo localizar o objeto atravs de suas vistas

geomtricas. Este objeto pode auxiliar na construo da representao geomtrica do aluno,


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bem como na introduo das nomenclaturas da geometria euclidiana como mostrado nas

anlises. Respondendo a questo sobre o que me motivou a realizar este trabalho, de como eu

poderia ajudar no ensino da geometria? Considero importante que os alunos reconheam as

formas atravs de suas vistas, e consigam represent-las mentalmente, formando assim, um

conceito coerente do objeto por completo.

Esta prtica com os estudos serviu como um instrumento para ampliar a viso que

tenho sobre o ensino da Geometria nas escolas e melhorar a forma de conduzir um trabalho

em sala de aula, como futura professora pensando em pesquisa como um instrumento para

melhorar a prtica em sala de aula, possibilitando uma melhor reflexo dos objetivos traados.


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6.Referncias

BECKER, Marcelo. Uma Alternativa para o ensino de Geometria: visualizao geomtrica erepresentaes de slidos no plano. 2009, 111p. Dissertao (Ps-Graduao em Ensino deMatemtica). Programa de Ps-Graduao em Ensino de Matemtica, Universidade Federaldo Rio Grande do Sul. Porto Alegre.

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PIAGET, Jean. Seis estudos de psicologia. Traduo: Maria Alice Magalhes D'amorim ePaulo Sergio Lima Silva. Rio de Janeiro: Forense Universitria, 1995.

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