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Exercícios de Geometria Plana retirados do Livro - Problemas sem Problema Vol.4

Eduardo Mauro 01- Considere um triângulo isósceles ABC onde AB = AC, como

mostra a figura abaixo. Sabendo que BÂC = 120°. Calcular a soma das medidas dos ângulos BPI e PIC, sendo ICB = ABP = 10°.

a) 80° b) 90° c) 100° d) 70° e) 69°

02- Considere um triângulo isósceles ABC onde AB = AC. A

ceviana AS e a altura AH cortam a ceviana BP nos pontos M e N, respectivamente. Sabendo que AS é perpendicular a BP e que o ângulo AHM = 14°, calcular a medida do ângulo MÂB.

a) 87° b) 122° c) 67° d) 76° e) 58°

03- Em um triângulo isósceles ABC com AB = AC, sejam K e L

pontos sobre os lados AB e AC de modo que BK + LC = KL. Pelo ponto médio M do segmento KL traça-se uma reta paralela ao lado AC que intercepta o lado BC no ponto N. A medida do ângulo KNL é igual a:

a) 45° b) 60° c) 90° d) 100° e) 120°

04- Na figura abaixo, determinar o valor do lado AC em função

de “a” e “b”.

05- Em um triângulo de vértices A, B e C, retângulo em A, os

catetos AB e AC medem respectivamente 6 3 e 6cm cm ,

traça-se o segmento AM, sendo M pertencente e interno ao segmento BC. Sabendo-se que o ângulo MÂC = 15°, a razão entre as áreas dos triângulos AMC e ABC, respectivamente é:

06- Os lados de três pentágonos regulares são respectivamente

3cm, 4cm e 12cm. O lado do pentágono equivalente à soma dos três pentágonos é igual a:

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

07- ABCD é um losango cujos lados medem 13cm. E, F e G são

pontos sobre os lados BC, CD e DA, respectivamente, tais que BE = CF = DG = 8cm. A reta AB intercepta as retas FG e EG, respectivamente, nos pontos J e K. A medida do segmento JK é de:

08- Um triângulo isósceles tem os lados congruentes medindo

5cm e a base medindo 8cm. A distância entre o seu incentro e o seu ortocentro é de:

09- Em um triângulo ABC, a bissetriz externa CF forma com a

bissetriz interna BF um ângulo de 10° e a altura AH forma com a bissetriz interna AS um ângulo de 30°. O maior ângulo interno do triângulo ABC mede:

a) O problema é impossível b) 110° c) 120° d) 130° e) 140°

a) 3

b) 3 1

2 3c)

2

3 1d)

2

2 3e)

2

1a)

35

b)3

3c)

2d)4,5

e)4

cm

cm

cm

cm

cm

337a)

24445

b)24

227c)

24317

d)24

443e)

24

cm

cm

cm

cm

cm

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10- Em um triângulo acutângulo, a medida do segmento que une os pés de duas alturas mede 24cm e M o ponto médio desse segmento. A medida do lado que não é interceptado pelo segmento é igual a 26cm e N é o ponto médio desse lado. Determine a medida de MN.

a) 7cm b) 6cm c) 25cm d) 1cm e) 5cm

RESOLUÇÕES

1.

Tracemos .BI É fácil concluir que P é o ex-incentro do

triângulo ABI, Logo 30 .2

BAIBPI BPI

No quadrilátero PBCI (bumerangue), sabe-se que

30 20 10 60PIC PIC

Como pede-se ,BPI PIC temos:

60 30

90

BPI PIC

BPI PIC

LETRA: B

2.

Consideremos o triângulo ABS, é fácil observar que N é o

seu ortocentro, então 28QHM ,

logo 28 180 2 2 152BAS BAS

76BAS

76MAB BAS

LETRA: D

3.

Chamamos: BK x e CL y

logo KL x y

Sabe-se que ABC ACB a

Tracemos / /KP AC é fácil observar que o quadrilátero

KLCP é um trapézio e que MN é sua base média e que o

triângulo BKP é isósceles KB KP x , então 2

x yMN

.

Percebe-se que MN vale a metade de KL . Como M é o

ponto médio de KL , MN é uma mediana do triângulo

KNL, logo, se vale a metade do lado, é uma mediana

relativa a uma hipotenusa, então 90KNL .

LETRA: C

4.

Chamemos AC x e .CT m

É fácil concluir que os triângulos TOC e ABC são

semelhantes, logo a m ax

mb x b

Aplicando Pitágoras no triângulo TOC tem-se:

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( )² ² ²

² ²² 2 ² ²

²² ² 2 ² ² ² 0(: )

² ² 2 ²

( ² ²) 2 ²

2 ² 2 ²logo

² ² ² ²

x a m a

a xx ax a a

bb x axb a x x

b x a x ab

x b a ab

ab abx AC

b a b a

5.

Se 6 3AB e 6,AC a hipotenusa 12,BC é fácil

observar que o triângulo AMB é isóscele, logo: 6 3MB

Sabe-e também que 6 2 3

12AMC

ABC

S

S

2 3

2AMC

ABC

S

S

LETRA: C

6.

Seja l o lado do quarto pentágono e S a sua área. Podemos

afirmar que:

1

2

2

2

3

2

9

16

144

S

S lS

S lS

S l

Somando-se membro a membro, tem-se:

1 2 31 2 32

169 mas,

S S SS S S S

S l

Logo:

2

2

1691 169 13l l

l

LETRA: C

7.

Podemos afirmar que o triângulo GJA é semelhante ao

triângulo GFD, logo:

5 8 25

5 8x

x

E que o triângulo KAG é semelhante ao triângulo KEB,

então, 5

8

KA

KB

255 8

258 138

y

y

1258 25 5 65

8

1253 40

8

24 125 320

445

24

y y

y

y

y

LETRA: B

8.

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Se os lados medem 5cm, 5cm e 8cm, o triângulo é

obtusângulo 64 > 25 + 25, sabe-se também que 3.AH

Pelo teorema das bissetrizes internas tem-se:

5 4 54 15 5 9 15

3 3x x x x

x x

Sabe-se que os triângulos HPB e HCA são semelhantes,

então:

3 4 7

4 3 3

yy

Logo:

5 7

3 312

43

PI x y

PI

PI PI

LETRA: E

9.

É fácil concluir que o triângulo ABC é obtusângulo em B.

sabe-se que o ângulo 20 10 .2

ABAC

Como

20 ,HAB conclui-se que 90 20ABC (externo do

triângulo ABH)

110ABC

LETRA: B

10.

Seja ABC o triângulo em questão. Se traçarmos NH será

fácil concluir que é uma mediana relativa à hipotenusa AB

do triângulo ABH, logo 13 ,NH cm a mesma coisa

acontecendo com o segmento PN , logo o triângulo PNH é

isósceles e MN uma de suas alturas (M é o ponto médio de

PH ).

Aplicando Pitágoras no MNH tem-se 5MN cm

LETRA: E

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