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11SAN MARCOS REGULAR 2014 II GEOMETRA TEMA 5
SNII2G5
GEOMETRATEMA 5
CIRCUNFERENCIA II
DESARROLLO DEL TEMA
I. NGULOS ASOCIADOS A LA CIRCUN-FERENCIA
A. ngulo Central
O a
A
B
Del grfico se cumple:
mAB = a
B. ngulo Inscrito
a
A
B
Del grfico se cumple:
mAB = 2a
C. ngulo Semiinscrito
P B
Aab
Del grfico se cumple:
mAB = 2a
mAPB = 2b
D. ngulo Exinscrito
x b
a
Del grfico se cumple:
x = a + b2
E. ngulo Interior
qa x
Del grfico se cumple:
x = a + q2
F. ngulo Exterior
Caso 1
x PA
B
b
a
Del grfico A y B son puntos de tangencia
x = b a2
x + a = 180
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CIRCUNFERENCIA II
22 SAN MARCOS REGULAR 2014 IIGEOMETRATEMA 5
Caso 2
xT
ab
Del grfico T es punto de tangencia
x = b a2
Caso 3
xa
b
En el grfico:
x = b a2
II. CUADRILTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA
Es aquel cuadriltero cuyos vrtices pertenecen a una misma
circunferencia.
A
BC
D
ABCD: Cuadriltero Inscrito Ciclico
III. PROPIEDADES En todo cuadriltero inscrito en una
circunferencia, los
ngulos opuestos son suplementarios.
a
bDA
BC
a + b = 180
Nota:
a b
ab
IV. CUADRILTERO INSCRIPTIBLE
Es aquel cuadriltero que se puede inscribir en una
circunferencia, por lo cual, deber cumplir con las propiedades
anteriores.
Un cuadriltero va a ser inscriptible si se cumple:
1) 2)
aa
3) 4)
b
b
Nota:
La medida longitudinal y la medida angular de una circunferencia
de radio "r" es 2pr y 360 respectivamente.
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CIRCUNFERENCIA II
33SAN MARCOS REGULAR 2014 II GEOMETRA TEMA 5
Problema 1
Si: mAB = mCD4
, calcula mEF
A
B
b
D
E
FP
A) mEF = 20 B) mEF = 60
C) mEF = 80 D) mEF = 30
E) mEF = 10UNMSM 1997
NIVEL FCIL
Resolucin:
De los datos y el grfico:
mAB = 20; mCD = 80
En la circunferencia menor:
mP = mCD mAB2
= 80 202
mP = 30
En la circunferencia mayor, por ser ngulo inscrito:
mEF2
= mP mEF = 60
Respuesta: mEF = 60
Problema 2
En el grfico, calcula x.
B
P
D
CxE30
A) 28 B) 30
C) 10 D) 22
E) 23UNMSM 1993
NIVEL INTERMEDIO
Resolucin:
BA
a a
b
b
P
D
CxE30
Del grfico:30 + a + b = 180 a + b = 150
En la circunferencia:mEA+ 2a + 2b = 360mEA + 300 = 360 mEA =
60
x = mEA2
Por ngulo inscrito: x = 30
Respuesta: 30
Problema 3En el grfico, calcula: mBD mCF,
si: mAMD mENF=15
A
M
B
E
NF
C
P
D
UNMSM 1996
NIVEL DIFCIL
A) 18 B) 30 C) 15 D) 12 E) 20
Resolucin:
P = mAMD mBD2
Del grfico:
P = mENF mCF2
Luego:
mENF mCF2 =
mAMD mBD2
mBD mCF mAMD mENF
mBD mCF = 15
Respuesta: 15
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS DE CLASE
EJERCITACIN
1. En la figura, hallar "x".
B
A
C
x100 40
A) 20 B) 15 C) 5D) 10 E) 60
2. En la figura, hallar "x" si: m ABP = 220.
C
A
B
xP
A) 40 B) 60 C) 70D) 30 E) 140
3. Hallar "x" si A y B son puntos de tangencia.
C
A
x
B
60
80
A) 70 B) 40 C) 10D) 20 E) 100
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CIRCUNFERENCIA II
44 SAN MARCOS REGULAR 2014 IIGEOMETRATEMA 5
4. En la figura, hallar "x".
x
80
A) 10 B) 20 C) 30D) 40 E) 50
5. Hallar "x".
xA
F
B C
D
E80
A) 50 B) 60 C) 65D) 70 E) 100
PROFUNDIZACIN
6. Hallar "x" si O: centro de la circunferencia.
130
O
x
A) 50 B) 70 C) 45D) 65 E) 60
7. Hallar "q" si "O" es centro y T punto de tangencia.
T
Oq4q
A) 30 B) 40 C) 10D) 60 E) 45
8. Hallar "b", O: es centro de la circunferencia.
E
B C
D
A 35O
R
bR
A) 90 B) 60 C) 110 D) 140 E) 105
9. En la figura, hallar x+y
A
N
M
B
x
y
100
20
A) 90 B) 60 C) 110 D) 140 E) 130
SISTEMATIZACIN
10. En la figura, hallar "x".
x80
A) 40 B) 50 C) 45/2D) 20 E) 100
11. En la figura, hallar "q".
2q2q
O
A) 30 B) 10 C) 60D) 20 E) 70
12. Hallar "x".
4x
5x
A) 40 B) 50 C) 60 D) 20 E) 10
