geometria solida esercizi per maturità

7/24/2019 geometria solida esercizi per maturit

1/6

4.

''.

iDR E

sOL

D D

ROTAZIONE AREA DELLA LORO

SUPERF

CIE

E

LORO VOLUME

ni n cu i

segmento

AP divlde il

rettangolo

stesso. In

questo

caso calcola

rappor-to

tra

le

,'PF rl c,nF+. / d

'


2/6

4.

POL]EDRI E sOL]D]

D ROIAZ]ONE

AREA

DELLA LORO SUPERFICiE E LORO

VOLUII:

ad AB le due

part

in

cui

sem cerchio divi

so da segmento MP.

5rF 15

')

9rr3l

24; 4 eE

U2aa2

96a3)

La nozione di bacenho di un copo derva

dalla fisca e si riferisce ai corpi naterali:

punto

ln

cu

si

pu

pensare

applicata la forza

peso

del corpo. La

poszione

del baricentro di

un corpo materale omoseneo

(cio

di densit

costante da

punto

a

punto)

viene assunta co-

me baicentro

geometco

deJ corpo stesso

a) | baricentro

(geometrico)

di un segmento

I

suo

punto

medio;

b) | bariceniro

(eeometrico)

di una crconfe

renza, d un cerchio, d una supeicie sferl

ca, di una sfra, il corrspondente centro;

c)

| barcentro

(geometrico)

di un tfiangolo

I

punto

d'incontro

delle medianei

d) | baricerfo

(eeorieico)

di un

paraleo-

grammo

il

punto

d'ntersezione delle d a

gorali;

e) lbaricentro

(geometrico)

di un

poligono

regoare

i

centro de la circorferenza

ins-

cr

tta

(o

circoscrtta);

D

I baricentro

(geomeico)

di

qualulrque

fj'

gura geometrica piana

o solida che

Soda

di

una simmetria centrale

| centro di sim

Premesso

qlesto,

dciamo

che i calcoi dele

aree

dele

superfici

generat dalla rotazione

di

linee

piane

e icalcoh dei volum d solid

sene

rat dala rotazione di superfic

piane

risultano

ir

alcu,ri casi, notevo mente sernpifcati se

si

app icano du

parilcolari

regole

che

prendono

il nor.e di teoremi di Culdino. L enunciamo

P mo teorema di Guldino. La

msuru della-

rea della superficie

genenta

dalla n taziane

conplek di una linea

piana

attorno a una

rctfa del suo

piana,

che non la atfraversi,

data dal

prcdatto

delle misure della linea

e

della

circonferenza

descritta

dal

baricenta

Secondo teorema di Culdino. La n6un del

volune del solido

generata

datta rotazione

conpleta di una supenicie

piana

attorno

a

AB

F:ri:l:l

I

i

]

[;i

\il

f::ui

DC

l7rr'1-

l2tl

In rsu'd

F

dnprF.enuro^Ln

sa-i.crrhro.d_

(enlro

O

p

d dtd--to

AB=L] dn8oo POA

ampio 60' . Calcola

i

volume e I'area de a

superficie dei due

so

idi

generati

facendo ruo-

tare

di un

g

ro conrpleto attorno

ad

AB le

dle

padi

ir

cui I semicercho divho da raggo

aP.

[,-'

"

"'(,.f)

-'

"

t(,-f)]

tl

U\p_.'e hodi

"ppioIviF_e

d'lo'uotJ'p

'-'

di 60'dltorno.r s,-oiametro. Determina

il

vollrme e 'area della sLrperflcie totae del so

do

cosgeneiato.

e .S ,j

122

Nella

f,8Jd

p

dppe.prlrlo

rl

rptldngo.o

qdc,

0r

(entro

u:

/

e Lnd

rPfra

opl

\ltro

P

dno

parallel

il

alo

aC.

Sape

do

cle AB

2d

BC: 6a, OH

:4a,

debtmina

I

area

dela

su-

pedicie

ed il voume de soldo

generato

da

una rotaz one completa del rettangolo attorno

alla retta r.


3/6

4.

POLIDRI

E SOL DI

D] ROAZ

ONE.

AREA

DELLA LORO

SUPERFIC

E E LORO

VOLUME

una

rctk del

tuo

piano,

che

non

la attraversi.

e dak

dal

prodotta

delte

nisure

de

,arca

della

superticie

e

della

circanferenza

descritk

App

icando

le

due suddette

resote,

calcota

te

msure

.t

e V dell'area

della

superficie

e

del

volunre

del

solido generato

dajla rotazione

completa

di

un cerchio

aitorno

a una retta

a

del suo piano

che non

lo

seca

(indica

con r

e

d

le

m

sure del

raggio

det cerchio

e

de a

di-

stanza

del

suo

centro

O

da

a,

con d

so-

lido

in

question

viene

usualnrente

denom

n-

ls=4r'zrd v=2n2Pdl

.2.3

Fdcando

nferi-enro

dt

A.

N.

r)r.

oe,cr-ird

oLdnto

ri.riesto

dpp,ndndo,

due

teorp-i

di

Culdino

ilJustrati

nell,esercizio precedente.

E

d"to

u.'el

ded.o re8ol..e

AB(D

t(Ji

sp

golo

misura r

SugtisptgoliC4,

D,4,

CA,

DB

,

qorta

qJdnro

seg-cnti

JgLari

LF. Dl

.

CO.

DH

dr tunghezza

\ lvedr

ld

figura)

26

Ne,

lFtraedro

L

ABC de

ra

f,gLrd

i

pu.t

M

ed

rv-sono

I

pLn

i

-"d

dg

i

.pigori

oppos,r

VC

e

AB.

t.p-rt

M

pd

ry

.oro

i

pLn.i

-Fd

opgr

spigoli

VA

e

C8.

a) Dlnrostra

che

segmenU

MN, e

A,4,N

5orouguali

e

paralleli

e

che

i

seqmenti

llN

e

M'N'

si inteBecano

e si

bsecano

scambie-

,)

Dimostra

che

se il tetraedro

reAolare

il

quadrilaiero

L4AI,N

,4,

un

rombo

-

()

\clfipoles,

,l

.elaedro

.a

rFgolarF

p

,uu

po+o

,{4N':a.

cdl.ola

Iarca

dFt,d

.rpcrfc

e

e il

volume

del

tetraedro

siesso

ta)

Confronta

segmeru

/llN'

con

il

segmerto

VA;

.)

4a2

2a3

\/2

/31

lZ7

ca)cola

l

volume

della

parte

di

spazlo

comu_

re

a

due

sfere

uguali,

ognufa

deile

quali

ha il

centro

sull'altra

e

ll

raggio

di mkura

r.

t5n

/121

|

2$

Neld

'igia

-48

4I

sono oLc

dra-e

po-

rrreli

d Jr

lror(o

d

.ono

c

O, LFntro

det.a

Dase

maggrofe,

e

anche

vertice

di un

cono

averte

td basa

,

o nC.dF.tF

Cor

.d

ba\c

m

nore

der

tronco

stesso.

Si sa che

AB=2A,B,e

che

I'area

della

superftcie

laterale

det

cono

d

2g

a)

Dtermina

J'area

della

superficie

laterale

de

tronco

dcono

b)

possibile

determinare

il volLme

del

tron-

co

dl coro?

c)

possibile

determinare quale

fra2ione

oer

volume

del tronco

d

cono

l

volume

oel

d)

Se

si considerano,

oltre

al cono

dato,

af-

che

idue

coni

avent rispettivamente

A.,

B'

conre

vedici

e

^O,

BO

come diameti,

possibile

stabilire

quale parte

del

voiume

del

rr,o-Lo

e

to

\pd7ro

opiim

tato

dat

a

,ua

suoFrric

e e ron

o..Lrodto

dai

tre

conr

e

ll'N

a)

Dimostra

che

il

quadrilatero

FH6

un

ret-

tangolo

(tieni

conto

de I'eserctzio

N.

86)

b)

Verifica

che

il

perimetro

det

rettansoto

costarte

alvariare

della

unehezza

x.

.)

Determina

il

valore di

x

tn

odo

che

I'area

del

rettanqoio

sia

2

s,/9.

lb)

in

ogni

caso

uguale

a 2

j.

c)

Si

ot-

trene

un'equazione

di

secofdo

srado

le

cui

sol]zionisono

s/3

e 2

i/31


4/6

4- POL EDRIE

sOLID D ROIAZ|ONE AREA DELLA

LORO SUPERFCIE

E

LORO VOLUME

ta)

84 dm'?; b) no; c) s:

1 /7t d)

s,:

4/71

|

20

Nerla igL'd

i

pul:

C

p

C/

5ono i odricFrl.,

dFrc'ac(e IAB

e

VBC dFl

rarricdro

VAAL

mentre /11 ed /,42

sono I

punti

med degli

spi-

goll

AB e CB.

a)

Determ

na

I

valore

del

rapporto

t|a i

seg-

nenti

q

C2 ed M1M2.

b) Deternina

I

valore

del

rapporto

tra i seg

me

Aj C2e AC.

c) Detto 63 l

baricentro della faccia VAC,

di-

mostra che

il

piano

individuato dai

punt

u . C/. G,

pdrallelo

ar

pano

dpira fdrcrd

ABC.

d)

Determina

i

rapporto tra le

aree dei trian

ga)qA2qeABc.

e) Supposto

che

i

tetraedro VABC sia regola-

re e che I'area del

triangolo Cr 62 63

sia

di

8

cm',

determ

na

'area della

superficie del

tetraedro dato.

Sapendo che lo

spgolo AB 5/6 dello

spi-

golo

8C e che I'area

della base di

'192

cm'z,

calcoa l'ara della supeficie

totale del

prsma.

196

(9+\/41)

cm2)

| 1l

Con)dF'd u rono

eqLilatero, ld,fer, r' e(so

" '

irec

rt"

F

il

(iinoro

a

qresta

c.rLos-ril

o.

Det-

ie

rispettivamente S, Sr, S, le

aree delle loro

superfici total

,

dimostra che Sr

media

pro

porziorale

tra

5

ed

5r

D mostra

iroltre

che

sia e dette aree,

sia i volumi dei tre soidi,

starno tra loro corne i rumer

9; 4; 6.

| )

\ela

liqLrd

L

rdDD-a.er'a

J1a

ldmD.d na

'"-

pr,n-ifoecherlrmnaura.ferad

cei

ro

O

e raggio r. Esprmi

in funzone dela

dstanza d

di L da O

(con

d>r)

i rappodo

p

tra la

parie

d

superficie sferica

iluminata

e

quella

non il-

luminata.

Qual il

valore

massimo

di

questo

La)

2/3t b)

1

/3t ) 1 /9t e) 2Aa c.r,'l

l3l,

Nella'iB-rd

rdppreseta.o

r.r

pri\n.

a enle

pe'

basi t

rdnBo

i ..o\.c|. 48C

e ,a B

C'

ko-

AB=AC). ll

plede

de l'altezza condotta

da A'

lpunto medlo

dello spigolo BC; inoltre

AA'=48.

Dimostra:

a)

che

i

tianCol AMB

e

41.44'

sono

ugual

;

b) che

lltrlangoo A'MB isoscele;

c) che dele

tre facce laterali del

prisma

due

sono romb

e

laltra

un rettangolo.

lo:

'

]L.,

,

,i

^'v

c,na

at

vatore

t

o

-'

,ruanto

liu

a aumenta

I

l.l.

Un

lrdDF7|o

rettan8olo

(o

lagolo

aLL'n

d'

45"

p

oi

os.ritto

a un ce ciio

t.u

taggio-i

sura 3 cm lltrapezio

viene fatto ruotare

d

un

giro

completo attorno

alla retta del suo lato

obliq-o De.er-ird

i

volu-e

oer

.oldo

co.l

senerato.

'

l1b

rt,-h\llrm'_

l.l4

Dim'nue

rdo

d

3

cm

'o-,o

go

o-oi un rubo.

volu."rp dim nu

re

di 999

(m

. Determrn.

la

rea della suDerficie

del cubo dato. .^--

."*

,

-l

175


5/6

ROTAZIONE. AREA DLLA LORO

5UPERF]C E

T

LORO VOLUME

.

POLIEDRIE SOL DI D

In

una

sfera I

cLri

raggio

misura

r

inscrivi un

cilndro

'area

dela

cul

supefcie laterale

sa

4ra'

Determina le mlsure del raggio

di base

dF tdtterrd

dFi

Li

nd,o

p

fjb,ts.,

qua

e

."rd

/ronp

dev r.ercor.F.e

tra

Fd

t

"fl

-.\

(

lindro risu ti eqLrilatero.

tDeve

essere a=rv2l'2]

In

fgura

sono rappresentati

un

cilndro di

rag-

go

r e

altezza

h

(can

h>2t)

e una

sfera d

raggo r, con I centro O

sull'asse del

cilndro

e

nor averte

punti

esterni

al cilndro.

Si

vuole

che il volume de la sfera

rsulti

medio

propor

ziorale

fra

i vo umi de due so di rotordi

che,

sonrmat alla

sfera, danno

i

cllindro stesso

Determifa a

quae

d

stanza

x da una delle ba,

s

del cilindro va

preso

il

cenfo O

della sfera.

Riso vi

i

problema

nei tte cas:

h

=

4.

h

=7r

h

=

1Or.

lPet

h

=4t

il

punto

O il

punto

me-

d;o

de l'asse

del cillr,drot

per

h

=7r

la.

sfera

rhu

ta tangente

a una delle

facce

del

cilndro;

per

,

=

10r rsulta

x

=

r

(5

.L

\t17)l

Un tronco dl cono circoscritto

a

una sfera il

cu

raggio misura

r. Sapendo

che I'area

dela

superficie aterale

i 3/2

dell'area dela

som-

m"

dFle ba.i.

d-.-rmnd

lp

rn.up dp

riggi

de le basi.

I4f6

)

.,/t)/2

e

rt,yG

\/t')i2)

Und

p

rdm

d"

rego

drc

a

ba(e

triar

go

drF

-"

'apotema

uguae a

doppio

de raggo

de cer

chio inscrtto nela

base. L'area

dela

sLra

su-

penlcle

ioiale

e

5/tJ

\

J

cm_.

o) D- err rd anp"77 de

d

ed

(he

t"

Lr

ce

lateraliformaro

cor la base.

b) Calcola il volume dela

piramde

e del

trof-

co

ottenuto

sezionando la

pjramide

con

un

pano paraleo

alla base

e

passante

per

il

punto

med

o del'altezza.

176

.'rl

c)

Calcola

i voume

de

dindro avente una

base inscritta nel triangolo

sezione deternri-

nato dal

pano

di

cui

a

caso b) e

I'atra

ap-

poggata

su a base della

piram

de.

La)

6Aot b)

1536 c-nt e 1344

cmtl

c)

6a

rtl

Data una

sfera

di centro

O

e

raggo

d

m

sura

/,

per

un

punto

P

dj

un suo diametro

AB con

duc un

piaro

perpendicolare

a d ametro

stes-

so.

S

chiede

di

determ nare

la

pos

z or di P

affnch la

somma

del'area

dela

supelicie

dela calotta sferca d arezza PA

e

dell'area

dela

superficie

iaterae del cono

avente

per

veriice

tunto

O

-

pr

base

il

cerch

o

szio-

net sta

tr

apprte

2rr.

Fe:

ti5tpe:tl1

r,E15)

dato un

angolo

aa

ampio 600.

Al'intrno

dl

esso,

a una

distanza assegnata

d da

ato

a,

fssa

un

punto

P

n modo che il

quadrlatero

AHPK, can

H

e

K

proiezioni

d P

rsp-ettiva-

menle su

lai

a

e

b,

abbia usuale a d'y'3 la

msura del'area.

Deternrina

qLrindi

il

volume

del so ido

Senerato

dala

rotazione

d-"1

quadr-

laterc

OHPK attorno alla retta del slro lato

l5rd3

/21

Un fapezio

soscele

ha le d

agonali

che, in

confandosi, fornrano

gi

angoi

opposti ale

basi

di

120"

e si divdono

n

parti

una doppia

dell'altra.

Facendo

ruotare ltrapezio di

mezzo

gro

attorno

alla retta congungente i

plrti

medl de

le

basi si

ottiene

un

tronco di

cono il

cl.r

vo

urne m sura 5u4ra-\

J

a)

Determ na le m sur de

le

bas

del trapezio

e deli'area de la sLrpec e del tronco.

b) Verifca

che e d agonal del trapezo

sono

anche

bisettrici

degli angol acuti e

sono

perperdico

a

ai atiobliqui.

Ial

12a: 24a: 396a'l

lr

un

pr"|

o.dr.pgiloJia

golo

poLrld

tFro

/484,

r.Lr

ldlo

-i

Lrj

i (o

duL ruue

segnrert AP e 8Q, entrambi

prpendicolar

ad

'

ma dispost da

bande

opposte rspetto

rd

v

I

p'i-od

ri\Lrd.

-rl.p(ordod

rfr.

-

rav.

a)

Determ

na

quae

relazione

deve

ntercoF

r-re

ird

,.

)

a

a1n..e

angoo

p;O.r

b)

Determ

na

(nell'ipotesi

PCO sia reito) la

misura

de segnento PQ, sapendo

che

AP

+

BQ:17a/12.

c)

Calcola

Gempre

nele

ipotesi suddette) |

lor-mp

dFl

.oldo

.o.-itu

-o

darle

dr e

pi

a-

mdi

aventi entranrbe

i

trangolo

AAC

co-

i^.,


6/6

4.

POLIEDRI E SOL Dl

Dl ROTAZ ONE

AREA DELLA LoRO

SUPERFC E E LORO

VOLUMT-

m brcc

e avprh

ron F

alter.p

.,pFtrila-

mente isegmentiPA

e

Q8.

p,

2"t

=d,

b,

d J4.1 )

17a3

\5

i144)

I

-

Un"

pird"ide

,e8old

F F,agoldle

d

glr

"pigol

di

b"

pld.Jmsrr",.Sc

as

r'.dgrid

Lrgo

gli

spigoli latera i

e si distefde la

superficie co-

s olrenuta

su

plano

della base, si

ottiere una

stela

a sei

punte.

Congiungerdo

le

punte

consecutive

dl detta stela

si ha un

esagono

convesso la cui

area

18J'?/j.

a) Dimostra che I'esagono

otieruto

regoare.

b)

Determina

quale

pade

del'esagono

sud-

detto

la supeficie

totaie

dela

piramide

c) Calcola

la misura delvolume

dela

piramide.

lb)

1

/3

,

c) 3s3

\/a

12)

{4

un

re-prcnrc

ha:l

5Lo n er'o

d tor^d

d

.o-

na

t dlczz l2O

cm

-

apolF-r

J0 Lm. tl re-

cipiente

contiene de l'acqua

la cu sLrpec

e r-

bera dista

12 cm dal

vetice

de cono

te$o

Nell'irlerno

del cono s depone

una sfera

di

mpldlo.

1OO/31

lJ6

E

dato

ur

ottaedro

regolare

i

cu

spigolo

mi

a) Calcola

'area dela

supedicie

e il

votum

del'oitaedro.

b)

Dall'ottaedro

s tolgano sei piram

di

cu

verUc

sono ivertici

del'ottaedro

stesso e le

cui

basi sono le

sezioni dell'ottaedro

cof

pan passanti

cascuno per

i

punti

medi dei

quaitro

spigol uscent

da un verrce.

Stab

isci da

quai

e

quanti poligon

costituta

la

superlicie delsolido

cos oiteruto.

.)

Calcoa I'area

della superficie

e

il

volume

de/

suddetto

so do.

ta)

2r'zy'3

e

i\,4/3;

b),6 quadrati

e 8

rdngo

eqr.rd

Pr:

'

r

13-"/l

,

e

5s'

\/

2

/24

147

11 u-

,oro

oi vpni,a v ,

apor-rd

F

Ia,tFrra

m-.t.fo ,)5

I5d.

|

(ono

r'-na ,pTiorato

con n

piaro

r

parallelo

al a

base distante

5a

da V.

Considera la

sfera tangente

al

pano

se-

ziore

dalla

parie

opposta a V e

targente a|e

genratrcl

del cono; O ne

sla I ceriro.

a)

Detrrina

la

m

sura

del

ragg

o

dela

sfera.

,) Stabillsci

se la sfera

totalnente

interna

aj

tronco di

cono staccato da

r.

r)

Verfica che

ogni triangolo

AVA, can A

punto

generico

dela circofferenza

di base

delcono,

isoscele.

d) Detemina

I'area

della sezione detta

sfera

con

la base

del cono dato.

ta)

2oat bj

non o ; .)

300ra'zl

r/S

Un ldpczo

i\o\elF

,i-os(

iho d. r

(F'cho

"

"

eo

pqJv"lF,tF

"

Ln

quad.aLo

|

,

u: lj.o

m

suta

5\/2

c.rl.

Facendo ruotare

il

trapezio

di

mF7lo

I

ro chor o

a

'd

pr

"

.fe

LonS LngF I

punti

med delie slre

basi si

genera

un tronco

d .ono

eq-i\,rlF'tF

al ooppro del'a

,,"

d n

esso inscritta

a) Verfica

che la supelcie

aterale del

tronco

5/4

dela supeicie

della sfera

nscritta

,e\egrr

ra

ve'i

r,"

\en-i

calLordrc le

i(u

delle

estensori

delle dette

suoelici).

br

lrKoL

b

-\L.a

der

rdgg

o d;t ,

e',

I io

r--

cntto

nel fapezio.

tb:It2a,ml

J9

Ura

oid-ide resodre

hc

per

b",e r-

-

a1-

8o

o eqLrldlaro |

(u'

dlo

ricLra

6dJ):

I

ihF

-

za de la

piramide

nrisura

2ay'3.

i-:

"1*]

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geometria solida esercizi per maturità