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Geometria analitica dello spazio
Lezione n.3
Equazione della sfera
Siano C(,,) un punto dello spazio ed R un numero reale positivo. La superficie sferica (o sfera) di centro C e raggio R è il luogo dei punti P(x,y,z) dello spazio la cui distanza da C è uguale al raggio R: d(P,C)=R. Elevando al quadrato la relazione precedente si ha:
(1)
La (1) si dice equazione cartesiana della sfera di centro C e raggio R.
.)()()( 2222 Rzyx
Equazione della sfera
Svolgendo i calcoli si ha:
(2)
È un’equazione polinomiale di II grado nelle incognite x, y, z con le seguenti caratteristiche:
- i coefficienti di x2, y2, z2 sono uguali a 1;- mancano i termini misti in xy, xz, yz.
0
0222222
2222222
dczbyaxzyx
Rzyxzyx
Esempio
Trovare la sfera di centro C(1,1,-2) e passante per P(2,1,1).
Soluzione. La distanza del centro da P e uguale al raggio
L’equazione della sfera cercata è
.10),( PCd
.10)2()1()1( 222 zyx
Un’equazione del tipo (2) rappresenta sempre una sfera?
Ogni equazione polinomiale di II grado nelle incognite x, y, z con coefficienti di x2, y2, z2 uguali a 1 e priva di termini misti rappresenta sempre una sfera?
Consideriamo l’equazione
che si può riscrivere utilizzando il metodo del “completamento dei quadrati”:
)3(.444222
222222 cbad
cz
by
ax
0222 dczbyaxzyx
Centro e raggio di una sfera
Se in questo caso il centro ed il raggio della sfera sono:
Se R=0 la sfera ha un solo punto reale il centro.Se la sfera non ha punti reali e si chiama sfera immaginaria.
.42
1
2,
2,
2222 dcbaRe
cbaC
.04222 dcba
04222 dcba
Esercizio 1
Si stabilisca se l’equazione
rappresenta una sfera. In caso affermativo se ne trovino centro e raggio.Soluzione. Dividendo per 2 e utilizzando il metodo del completamento dei quadrati si ha:
che è l’equazione di una sfera di centro C(0,-1,2) e raggio
084222 222 zyzyx
041)2()1( 222 zyx
.5
Esercizio 3
Si studi per quale valore del parametro k l’equazione:
Rappresenta una sfera.Soluzione
Il raggio è reale qualunque sia k quindi l’equazione rappresenta sempre una sfera.
016)8()2(2222 kzykxkzyx
0166
64166416164
64)8()2(2
42
1
2
222
2222
222
k
kkkkk
kkk
dcbaR
Intersezioni tra un piano ed una sfera
Sia S:la sfera di centro C(,,) e raggio R, e sia il piano di equazione
ax+by+cz+d=0. I punti comuni ad S e sono quelli le cui coordinate soddisfano il sistema di II grado
Si possono presentare 3 casi1) d(C, )=R la sfera è tangente al piano2) d(C, )<R la sfera è secante3) d(C, )>R la sfera è esterna
.)()()( 2222 Rzyx
0
)()()( 2222
dczbyax
Rzyx
Circonferenza nello spazioRicerca del centro e del raggio
Nel caso in cui il piano è secante alla sfera le equazioni precedenti rappresentano le equazioni cartesiane della circonferenza .
OSSERVAZIONE Una circonferenza nello spazio si rappresenta con un sistema di due equazioni:quella del piano che la contiene, e quella di una qualunque sfera che la contiene.
Sia = S . Il centro C’ della circonferenza è la proiezione ortogonale di C di S su , ossia l’intersezione della retta per C ortogonale a con stesso. Il raggio di si ottiene applicando il teorema di Pitagora
).,('' 222 CdCCdoveCCRr
Piano tangente ad una sfera in un suo punto
Esempio
Sia = S
S ha centro
Quindi
06263:
032: 222
zyx
zyxzyxS
.2
14
2
3
2
11
2
3,
2
1,1
222
RraggioeC
.2
14
7
3
4369
62
32
2
1613
'),(
CCCd
Continuazione dell’esempio
è una circonferenza di raggio
Inoltre la retta per C ortogonale a è:
E interseca nel punto
che è il centro di .
14
265
49
9
4
14'22 CCRr
tz
ty
tx
s
22
3
62
1
31
:
98
135,
98
13,
49
40'C
Retta tangente ad una circonferenza in un suo punto
Sia = S la circonferenza intersezione della sfera S con il piano , e sia P0 un punto di . La retta tangente a in P0 è l’intersezione del piano con col piano tangente ad S in P0.
Quadriche
Consideriamo una funzione f(x,y,z) delle tre variabili x, y, z e la corrispondente equazione
f(x,y,z)=0 (1).
Alle soluzioni (x,y,z) dell’equazione (1) corrispondono punti dello spazio a 3 dimensioni riferito ad un sistema di coordinate x,y,z, il cui insieme costituisce il diagramma della superficie di cui la (1) è l’equazione.
Una superficie si dirà algebrica se f è un polinomio nelle variabili x, y, e z. Il grado del polinomio è l’ordine della superficie algebrica.
Definizione Una quadrica è una superficie algebrica del II ordine.
Equazione di una quadrica
0222222),,( 443424231413122
332
222
11 azayayzaxaxzaxyazayaxazyxf
Quando il I membro dell’equazione è uguale al prodotto di due polinomi di I grado, la quadrica si dice riducibile e risulta composta da due piani rappresentati uguagliando a zero i polinomi di I grado. Nel caso opposto la quadrica si dice irriducibile. Ovviamente la sfera è un caso particolare di quadrica. Le quadriche dipendono da 9 parametri essenziali in quanto nell’equazione completa di una quadrica compaiono 10 coefficienti definiti a meno di un fattore di proporzionalità, quindi le quadriche dello spazio sono 9.
Matrice associata ad una quadrica
Le quadriche riducibili sono quante le coppie di piani quindi 6.
La matrice di ordine 4 simmetrica associata alla quadrica è:
L’equazione matriciale di una quadrica è
44342414
34332313
24232212
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
1
0z
y
x
XdoveXAXt
Classificazione affine delle quadriche
044 A
044 A
Rappresentazione parametrica di una curva
Una curva nello spazio si rappresenta parametricamente con un sistema del tipo:
Dove x(t), y(t),z(t) sono tre funzioni reali della variabile t definite in un intervallo I di R.
.
)(
)(
)(
RIt
tzz
tyy
txx
Esempio
sentz
ty
tx
2
2
Le equazioni:
rappresentano una curva C in forma parametrica. I punti di C si ottengono assegnando a t tutti i possibili valori reali. L’origine appartiene a C mentre (4,-2,2) non appartiene a C perché non si ottiene per alcun valore di t.
Rappresentazione parametrica di una superficie
Una superficie S si rappresenta parametricamente con un sistema di due parametri
Mentre in forma cartesiana si rappresenta con un’equazione f(x,y,z)=0.
.),(
),(
),(
),(2RIvu
vuzz
vuyy
vuxx
Rappresentazione cartesiana di una curva
Una curva C si può rappresentare in forma cartesiana con un sistema del tipo
Ad esempio una retta nello spazio si può scrivere come intersezione di due piani.
0),,(
0),,(
zyxg
zyxf
Cilindri
Si chiama superficie cilindrica (o cilindro) una superficie S che è unione di rette tutte parallele ad una stessa retta. Tali rette si chiamano generatrici del cilindro. Una curva C contenuta in S e che incontra tutte le generatrici del cilindro si chiama direttrice di S.
Osservazione
In generale un’equazione del tipo f(x,y)=0 (in cui manca la variabile z) nello spazio rappresenta un cilindro avente le generatrici parallele all’asse z. Una direttrice di tale cilindro è ad esempio la curva di equazioni f(x,y)=z=0. Analogamente le equazioni del tipo f(x,z)=0 rappresentano un cilindro parallelo all’asse y e le equazioni del tipo f(y,z)=0 rappresentano un cilindro parallelo all’asse x.
Rappresentazione parametrica di un cilindro
Se (l,m,n) sono i parametri direttori della generica generatrice g mentre
sono le equazioni parametriche della curva direttrice C allora l’equazione del cilindro associato alla coppia (g,C) si ottiene eliminando il parametro reale t tra le due equazioni della generica generatrice condotta per il punto P(x(t), y(t), z(t)) sulla curva C. Occorre eliminare t tra le due equazioni
Con la convenzione che se il denominatore è nullo allora il numeratore è nullo.
RIt
tzz
tyy
txx
)(
)(
)(
.)()()(
n
tzz
m
tyy
l
txx
Esempio
Determinare l’equazione del cilindro avente come direttrice la curva C di equazioni:
e generatrici parallele al vettore v(1,2,1)
Soluzione:
1
1
3 2
tz
ty
tx
.1
1
2
1
1
3 2
tztytx
Continuazione dell’esempio
Eliminando t dalle due equazioni
2
2
22
)12(23
13
12
3
1262
3
12
132
162
2)1(1
1)3(2
zyzyx
zyzyyx
zyt
tzy
ttyx
tzty
tytx
Rappresentazione parametrica di un cilindro
Sia r una retta con parametri direttori (l,m,n) e sia L una curva di equazioni parametriche
Il cilindro S avente le generatrici parallele ad r e come direttrice L è il luogo delle rette di equazioni parametriche
RIt
tzz
tyy
txx
)(
)(
)(
.
)(
)(
)(
sntzz
smtyy
sltxx
Esempio
Il cilindro con direttrice L: (x,y,z)=(-t, 3t, sen t) e generatrici parallele al vettore (0,1,-1) ha equazioni parametriche(x,y,z)=(-t,3t+s,sen t-s). Viceversa la superficie di equazioni parametriche (x,y,z)=(2t+s, -t-5s, cos t) rappresenta un cilindro avente per direttrice L: (x,y,z)=(2t,-t,cos t) e generatrici parallele al vettore v( 1,-5,0).
Coni
Una superficie conica o cono è una superficie costituita dall’unione di rette passanti per un punto fisso V. Le rette considerate sono dette generatrici del cono, il punto V si chiama vertice, ogni curva che incontra tutte le generatrici in qualche punto diverso dal vertice si chiama direttrice del cono.
Se (x0,y0,z0) sono le coordinate del vertice V, mentre
Le equazioni parametriche della curva direttrice L, allora l’equazione del cono associato alla coppia (V, L) si ottiene eliminando il parametro t tra le due equazioni:
RIt
tzz
tyy
txx
)(
)(
)(
Coni
.
))((
))((
))((
)()()(
00
00
00
0
0
0
0
0
0
ztzszz
ytysyy
xtxsxx
ossiaztz
zz
yty
yy
xtx
xxEquazioni che rappresentano la generica generatrice VP del cono con vertice del cono V(x0,y0,z0) e P(x(t),y(t),z(t)) punto mobile su L.
Esempio
Determinare il cono avente per direttrice la parabola di equazione
e vertice V(-1,0,2). Soluzione:
E si ottiene (2x+z)2 +2y(z-2)=0.
0
2
z
ty
tx
2
2;
2
2
1
1
20
2
0
0
1
122
z
t
yz
t
xz
t
y
t
x
Equazioni parametriche del cono
Un cono di vertice V(x0,y0,z0) e direttrice L:
(x,y,z)=(x(t),y(t),z(t)) ha equazioni parametriche:
Ad esempio il cono di vertice V(1, 0,-1) e direttrice (x,y,z)=(t,-t, 3t) ha equazioni:
(x,y,z)=(1+s(t-1),s(-t),-1+s(3t+1)).
))((
))((
))((
00
00
00
ztzszz
ytysyy
xtxsxx
Bibliografia
1. N. Chiarli, S. Greco, P. Valabrega, 100 pagine di…Geometria Analitica dello spazio, Levrotto & Bella
2. S. Greco, P. Valabrega, Lezioni di Geometria, vol II, Levrotto & Bella TORINO
3. M. Stoka, V. Pipitone, Esercizi e Problemi di Geometria CEDAM
4. M. Rosati, Lezioni di Geometria, Cortina.
