Geometria analitica dello spazio

Lezione n.3

Equazione della sfera

Siano C(,,) un punto dello spazio ed R un numero reale positivo. La superficie sferica (o sfera) di centro C e raggio R è il luogo dei punti P(x,y,z) dello spazio la cui distanza da C è uguale al raggio R: d(P,C)=R. Elevando al quadrato la relazione precedente si ha:

(1)

La (1) si dice equazione cartesiana della sfera di centro C e raggio R.

.)()()( 2222 Rzyx

Equazione della sfera

Svolgendo i calcoli si ha:

(2)

È un’equazione polinomiale di II grado nelle incognite x, y, z con le seguenti caratteristiche:

- i coefficienti di x2, y2, z2 sono uguali a 1;- mancano i termini misti in xy, xz, yz.

0

0222222

2222222

dczbyaxzyx

Rzyxzyx

Esempio

Trovare la sfera di centro C(1,1,-2) e passante per P(2,1,1).

Soluzione. La distanza del centro da P e uguale al raggio

L’equazione della sfera cercata è

.10),( PCd

.10)2()1()1( 222 zyx

Un’equazione del tipo (2) rappresenta sempre una sfera?

Ogni equazione polinomiale di II grado nelle incognite x, y, z con coefficienti di x2, y2, z2 uguali a 1 e priva di termini misti rappresenta sempre una sfera?

Consideriamo l’equazione

che si può riscrivere utilizzando il metodo del “completamento dei quadrati”:

)3(.444222

222222 cbad

cz

by

ax

0222 dczbyaxzyx

Centro e raggio di una sfera

Se in questo caso il centro ed il raggio della sfera sono:

Se R=0 la sfera ha un solo punto reale il centro.Se la sfera non ha punti reali e si chiama sfera immaginaria.

.42

1

2,

2,

2222 dcbaRe

cbaC

.04222 dcba

04222 dcba

Esercizio 1

Si stabilisca se l’equazione

rappresenta una sfera. In caso affermativo se ne trovino centro e raggio.Soluzione. Dividendo per 2 e utilizzando il metodo del completamento dei quadrati si ha:

che è l’equazione di una sfera di centro C(0,-1,2) e raggio

084222 222 zyzyx

041)2()1( 222 zyx

.5

Esercizio 3

Si studi per quale valore del parametro k l’equazione:

Rappresenta una sfera.Soluzione

Il raggio è reale qualunque sia k quindi l’equazione rappresenta sempre una sfera.

016)8()2(2222 kzykxkzyx

0166

64166416164

64)8()2(2

42

1

2

222

2222

222

k

kkkkk

kkk

dcbaR

Intersezioni tra un piano ed una sfera

Sia S:la sfera di centro C(,,) e raggio R, e sia il piano di equazione

ax+by+cz+d=0. I punti comuni ad S e sono quelli le cui coordinate soddisfano il sistema di II grado

Si possono presentare 3 casi1) d(C, )=R la sfera è tangente al piano2) d(C, )<R la sfera è secante3) d(C, )>R la sfera è esterna

.)()()( 2222 Rzyx

0

)()()( 2222

dczbyax

Rzyx

Circonferenza nello spazioRicerca del centro e del raggio

Nel caso in cui il piano è secante alla sfera le equazioni precedenti rappresentano le equazioni cartesiane della circonferenza .

OSSERVAZIONE Una circonferenza nello spazio si rappresenta con un sistema di due equazioni:quella del piano che la contiene, e quella di una qualunque sfera che la contiene.

Sia = S . Il centro C’ della circonferenza è la proiezione ortogonale di C di S su , ossia l’intersezione della retta per C ortogonale a con stesso. Il raggio di si ottiene applicando il teorema di Pitagora

).,('' 222 CdCCdoveCCRr

Piano tangente ad una sfera in un suo punto

Esempio

Sia = S

S ha centro

Quindi

06263:

032: 222

zyx

zyxzyxS

.2

14

2

3

2

11

2

3,

2

1,1

222

RraggioeC

.2

14

7

3

4369

62

32

2

1613

'),(

CCCd

Continuazione dell’esempio

è una circonferenza di raggio

Inoltre la retta per C ortogonale a è:

E interseca nel punto

che è il centro di .

14

265

49

9

4

14'22 CCRr

tz

ty

tx

s

22

3

62

1

31

:

98

135,

98

13,

49

40'C

Retta tangente ad una circonferenza in un suo punto

Sia = S la circonferenza intersezione della sfera S con il piano , e sia P0 un punto di . La retta tangente a in P0 è l’intersezione del piano con col piano tangente ad S in P0.

Quadriche

Consideriamo una funzione f(x,y,z) delle tre variabili x, y, z e la corrispondente equazione

f(x,y,z)=0 (1).

Alle soluzioni (x,y,z) dell’equazione (1) corrispondono punti dello spazio a 3 dimensioni riferito ad un sistema di coordinate x,y,z, il cui insieme costituisce il diagramma della superficie di cui la (1) è l’equazione.

Una superficie si dirà algebrica se f è un polinomio nelle variabili x, y, e z. Il grado del polinomio è l’ordine della superficie algebrica.

Definizione Una quadrica è una superficie algebrica del II ordine.

Equazione di una quadrica

0222222),,( 443424231413122

332

222

11 azayayzaxaxzaxyazayaxazyxf

Quando il I membro dell’equazione è uguale al prodotto di due polinomi di I grado, la quadrica si dice riducibile e risulta composta da due piani rappresentati uguagliando a zero i polinomi di I grado. Nel caso opposto la quadrica si dice irriducibile. Ovviamente la sfera è un caso particolare di quadrica. Le quadriche dipendono da 9 parametri essenziali in quanto nell’equazione completa di una quadrica compaiono 10 coefficienti definiti a meno di un fattore di proporzionalità, quindi le quadriche dello spazio sono 9.

Matrice associata ad una quadrica

Le quadriche riducibili sono quante le coppie di piani quindi 6.

La matrice di ordine 4 simmetrica associata alla quadrica è:

L’equazione matriciale di una quadrica è

44342414

34332313

24232212

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

1

0z

y

x

XdoveXAXt

Classificazione affine delle quadriche

044 A

044 A

Rappresentazione parametrica di una curva

Una curva nello spazio si rappresenta parametricamente con un sistema del tipo:

Dove x(t), y(t),z(t) sono tre funzioni reali della variabile t definite in un intervallo I di R.

.

)(

)(

)(

RIt

tzz

tyy

txx

Esempio

sentz

ty

tx

2

2

Le equazioni:

rappresentano una curva C in forma parametrica. I punti di C si ottengono assegnando a t tutti i possibili valori reali. L’origine appartiene a C mentre (4,-2,2) non appartiene a C perché non si ottiene per alcun valore di t.

Rappresentazione parametrica di una superficie

Una superficie S si rappresenta parametricamente con un sistema di due parametri

Mentre in forma cartesiana si rappresenta con un’equazione f(x,y,z)=0.

.),(

),(

),(

),(2RIvu

vuzz

vuyy

vuxx

Rappresentazione cartesiana di una curva

Una curva C si può rappresentare in forma cartesiana con un sistema del tipo

Ad esempio una retta nello spazio si può scrivere come intersezione di due piani.

0),,(

0),,(

zyxg

zyxf

Cilindri

Si chiama superficie cilindrica (o cilindro) una superficie S che è unione di rette tutte parallele ad una stessa retta. Tali rette si chiamano generatrici del cilindro. Una curva C contenuta in S e che incontra tutte le generatrici del cilindro si chiama direttrice di S.

Osservazione

In generale un’equazione del tipo f(x,y)=0 (in cui manca la variabile z) nello spazio rappresenta un cilindro avente le generatrici parallele all’asse z. Una direttrice di tale cilindro è ad esempio la curva di equazioni f(x,y)=z=0. Analogamente le equazioni del tipo f(x,z)=0 rappresentano un cilindro parallelo all’asse y e le equazioni del tipo f(y,z)=0 rappresentano un cilindro parallelo all’asse x.

Rappresentazione parametrica di un cilindro

Se (l,m,n) sono i parametri direttori della generica generatrice g mentre

sono le equazioni parametriche della curva direttrice C allora l’equazione del cilindro associato alla coppia (g,C) si ottiene eliminando il parametro reale t tra le due equazioni della generica generatrice condotta per il punto P(x(t), y(t), z(t)) sulla curva C. Occorre eliminare t tra le due equazioni

Con la convenzione che se il denominatore è nullo allora il numeratore è nullo.

RIt

tzz

tyy

txx

)(

)(

)(

.)()()(

n

tzz

m

tyy

l

txx

Esempio

Determinare l’equazione del cilindro avente come direttrice la curva C di equazioni:

e generatrici parallele al vettore v(1,2,1)

Soluzione:

1

1

3 2

tz

ty

tx

.1

1

2

1

1

3 2

tztytx

Continuazione dell’esempio

Eliminando t dalle due equazioni

2

2

22

)12(23

13

12

3

1262

3

12

132

162

2)1(1

1)3(2

zyzyx

zyzyyx

zyt

tzy

ttyx

tzty

tytx

Rappresentazione parametrica di un cilindro

Sia r una retta con parametri direttori (l,m,n) e sia L una curva di equazioni parametriche

Il cilindro S avente le generatrici parallele ad r e come direttrice L è il luogo delle rette di equazioni parametriche

RIt

tzz

tyy

txx

)(

)(

)(

.

)(

)(

)(

sntzz

smtyy

sltxx

Esempio

Il cilindro con direttrice L: (x,y,z)=(-t, 3t, sen t) e generatrici parallele al vettore (0,1,-1) ha equazioni parametriche(x,y,z)=(-t,3t+s,sen t-s). Viceversa la superficie di equazioni parametriche (x,y,z)=(2t+s, -t-5s, cos t) rappresenta un cilindro avente per direttrice L: (x,y,z)=(2t,-t,cos t) e generatrici parallele al vettore v( 1,-5,0).

Coni

Una superficie conica o cono è una superficie costituita dall’unione di rette passanti per un punto fisso V. Le rette considerate sono dette generatrici del cono, il punto V si chiama vertice, ogni curva che incontra tutte le generatrici in qualche punto diverso dal vertice si chiama direttrice del cono.

Se (x0,y0,z0) sono le coordinate del vertice V, mentre

Le equazioni parametriche della curva direttrice L, allora l’equazione del cono associato alla coppia (V, L) si ottiene eliminando il parametro t tra le due equazioni:

RIt

tzz

tyy

txx

)(

)(

)(

Coni

.

))((

))((

))((

)()()(

00

00

00

0

0

0

0

0

0

ztzszz

ytysyy

xtxsxx

ossiaztz

zz

yty

yy

xtx

xxEquazioni che rappresentano la generica generatrice VP del cono con vertice del cono V(x0,y0,z0) e P(x(t),y(t),z(t)) punto mobile su L.

Esempio

Determinare il cono avente per direttrice la parabola di equazione

e vertice V(-1,0,2). Soluzione:

E si ottiene (2x+z)2 +2y(z-2)=0.

0

2

z

ty

tx

2

2;

2

2

1

1

20

2

0

0

1

122

z

t

yz

t

xz

t

y

t

x

Equazioni parametriche del cono

Un cono di vertice V(x0,y0,z0) e direttrice L:

(x,y,z)=(x(t),y(t),z(t)) ha equazioni parametriche:

Ad esempio il cono di vertice V(1, 0,-1) e direttrice (x,y,z)=(t,-t, 3t) ha equazioni:

(x,y,z)=(1+s(t-1),s(-t),-1+s(3t+1)).

))((

))((

))((

00

00

00

ztzszz

ytysyy

xtxsxx

Bibliografia

1. N. Chiarli, S. Greco, P. Valabrega, 100 pagine di…Geometria Analitica dello spazio, Levrotto & Bella

2. S. Greco, P. Valabrega, Lezioni di Geometria, vol II, Levrotto & Bella TORINO

3. M. Stoka, V. Pipitone, Esercizi e Problemi di Geometria CEDAM

4. M. Rosati, Lezioni di Geometria, Cortina.