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Trigonometria
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CAPÍTULO – 1 ���� Ângulos – Medidas ���� Funções Trigonométricas de um ângulo agudo
TÓPICOS
1. Ângulos 2. Medida de ângulos e arcos
2.1. Sistema Graus 2.2. Sistema Grados 2.3. Sistema Radianos
3. Conversões 4. Funções trigonométricas de um ângulo agudo 5. Relações Fundamentais
EXERCÍCIOS 1. (Geometriamar) Exprimir º120 em radianos. 2. (Geometriamar) Exprimir '15º60 em radianos ( 14,3π ==== ).
3. (Geometriamar) Exprimir 1rad em graus ( 14,3π ==== ).
4. (Geometriamar) Calcular, em graus, o ângulo convexo formado pelos
ponteiros de um relógio, que marca 3h 42min. 5. (Geometriamar) Calcular o menor ângulo entre os ponteiros de um
relógio que marca 12h e 20minutos. 6. (Geometriamar) Calcular o comprimento do arco descrito pela
extremidade do ponteiro dos minutos, decorridos 22 minutos, sabendo que o ponteiro tem comprimento 3cm.
7. (Geometriamar) (USP) - Convertendo-se '15º30 para radianos,
( 14,3π ==== ) obtém-se:
a) 0,53 b) 30,15 c) 1,10 d) 3,015 e) 0,26 8. (Geometriamar) (ITA) - Transformar º12 em radianos. 9. (Geometriamar) (MAUÁ) - Achar 3 ângulos, em graus, sabendo que a
soma do 1º com o 2º é º12 ; a do 2º com o 3º é gr10 ; a do 1º com o
3º é 36π .
10. (Geometriamar) (FUVEST) - Quantos graus mede, aproximadamente,
um arco de rad105,0 .
11. (Geometriamar) Converter radπ
2 em graus. ( 14,3π ==== )
12. (Geometriamar) Responda o teste a seguir de acordo com o código:
a) Se todas estão incorretas. b) Se I e III estão corretas. c) Se II e IV estão corretas. d) Se I e IV estão corretas. e) Se todas estão corretas.
I. O ângulo que o ponteiro das horas descreve, em graus, é a
metade do número que marca os minutos. II. Das 18h às 18h e 12min, o ponteiro das horas anda 6º. III. O ponteiro dos minutos mede 10cm. Em 12 minutos a sua
extremidade descreve um arco de comprimento 12,56cm. 13. (Geometriamar) (MAPOFEI) - Dar o menor ângulo formado pelos
ponteiros de um relógio às 2h 15min. 14. (Geometriamar) (PUC) - Dar o menor ângulo formado pelos ponteiros
de um relógio às 12h 15min. 15. (Geometriamar) (OSEC) - Dar o menor ângulo formado pelos
ponteiros de um relógio às 9h 10min. 16. (Geometriamar) A que horas, da noite, os ponteiros de um relógio
coicidem entre os números 8 e 9 do mostrador.
17. (Geometriamar) Calcular o lado de um triângulo ABC sabendo-se que
º60B ==== , º45C ==== e m2AB ==== .
18. (Geometriamar) Sabendo que: 125tgx ==== (x agudo), calcular senx .
19. (Geometriamar) Calcular xseccossenx
xsecxcosy
−−−−
−−−−==== , sabendo que
3tgx ==== .
20. (Geometriamar) Simplificar a expressão: acossena1
asenacosy
33
++++
−−−−==== .
21. (Geometriamar) Um volume é lançado de um avião que está a 3km
de altitude. Devido à velocidade do avião e à ação do vento o volume cai segundo uma reta que forma um ângulo de 25º com a vertical. Que distância d, medida no solo, este volume percorreu?
22. (Geometriamar) Num triângulo ABC, retângulo em A , verificar que:
2CBtgtgC.tgB ++++==== ?
23. (Geometriamar) Simplificar: 22 )tgx1()tgx1(y −−−−++++++++====
24. (Geometriamar) Determinar a relação entre os parâmetros a, b, c e d
supondo que o sistema abaixo tem solução.
====−−−−
====++++
dxcosbasenx
cbsenxxcosa
25. (Geometriamar) Calcule as funções trigonométricas do ângulo de 45º.
(Trabalhe num triângulo retângulo isósceles). 26. (Geometriamar) Calcule as funções trigonométricas dos ângulos de
30º e 60º. (Trabalhe num triângulo equilátero). 27. (Geometriamar) (FACULDADES OBJETIVO) - Duas rodovias A e B
encontram-se em O, formando um ângulo de 30º. Na rodovia A existe um posto de gasolina que dista 5km de O. O posto dista da rodovia B: a) 5km b) 10km c) 2,5km d) 15km e) 1,25km
28. (Geometriamar) (CESCEM) - Considerando o triângulo retângulo ABC
com as dimensões m5,7a ==== , m5,4b ==== e m6c ==== , calcular o valor
da tgx .
29. (Geometriamar) (CESCEM) - Uma pessoa de 1,70m de altura observa
o topo de uma árvore sob um ângulo αααα. Conhecendo a distância a do observador até a árvore, determinar a altura da árvore.
30. (Geometriamar) (MAUÁ) - Para medir a altura de uma torre vertical
DE , toma-se, no plano horizontal que passa pela sua base D, o
segmento AB de comprimento 12m e cujo ponto médio é C. Medem-
se os ângulos EAD , EBD e ECD , verificando-se que
º45EBDEAD ======== e º60ECD ==== . Determinar a altura da torre. 31. (Geometriamar) (MACK) - Verificar, diretamente na figura, que
αcos1
αsentg 2
α
++++−−−−====
32. (Geometriamar) (MACK) - Sendo 0 o centro da circunferência de raio
unitário, então BCx ==== , vale: a) 1 b) 0,8 c) 0,6 d) 0,5 e) 0,4
33. (Geometriamar) Sendo c
basenx
++++==== e
c
baxseccos
−−−−==== , mostre
que o triângulo ABC, de lados a, b e c é retângulo.
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34. (Geometriamar) Estão corretas as frases:
1. Se os lados de um triângulo retângulo, dobram, triplicam, ......... então os valores das funções trigonométricas de um ângulo desse triângulo dobram, triplicam........
2. Se º90ba ====++++ então 1tgb.tga ====
3. 1º49tgº.......43tgº.42tgº.41tg ====
4. Se 2acossena ====++++ então 21acos.sena ====
5. atg1asen1
asen1 22
2
++++====−−−−
++++
35. (Geometriamar) (SANTA CASA) - Seja a função f, definida por
xsectgxxseccosgxcotxcossenx)x(f −−−−−−−−++++++++++++==== , 2πkx ≠≠≠≠∀∀∀∀ e
ΖΖΖΖ∈∈∈∈k . O valor de )(f3π é:
a) 2
33 ++++ b) 2
33 −−−− c) 23 d) 13 ++++ e) 33 −−−−
36. (Geometriamar) Para que valores de m as raízes da equação
0mx)m32(x4 22 ====++++−−−−++++ são a tangente e a cotangente de um
mesmo ângulo? 37. (Geometriamar) (MED-SANTOS) - Sendo macossena ====++++ , então
acos.sena é igual a:
a) 21m−−−− b)
21m2 −−−− c)
21m2 ++++ d)
21m++++ e)
2m
38. (Geometriamar) Sendo macossena ====++++ , então acosasen 33 ++++ é igual a:
a) 2mm 3−−−− b)
2m3−−−− c)
2mm3 3−−−− d) 3m e)
2mm 3++++
39. (Geometriamar) Simplificar a expressão:
)gacottga)(senaasec)(cosacosa(secy ++++−−−−−−−−====
40. (Geometriamar) Simplificar a expressão:
senbsena
bcosacos
bcosacos
senbsenay
++++
++++++++
−−−−
−−−−==== .
41. (Geometriamar) Exprimir em função de ttgx ==== a expressão:
xcosxsen
xcos.senxxseny
22
2
−−−−
++++==== .
42. (Geometriamar) (UFGO) - Simplificando a expressão
gbcotgacot
tgbtga
++++
++++, obtém-se:
a) tgb.tga b) gbcot.gacot c) )ba(tg ++++ d) )ba(gcot ++++
e) gbcot.tga
43. (Geometriamar) (FMU/FIAM) - O valor de
...4
xsen
2
xsensenx
53
++++++++++++ é:
a) xsen1
senx2++++
b) xsen1
xcos2−−−−
c) xcos1
senx2++++
d) xsen1
senx2−−−−
e) xcos1
senx22++++
44. (Geometriamar) (VUNESP) - Se x, y são números reais tais que:
xsen.xcos
xsecxcos.2xcosy
2
3 ++++−−−−==== , então:
a) xsecy 2==== b) xtgy 2==== c) xcosy 2==== d)
xseccosy 2====
e) xseny 2====
45. (Geometriamar) (VUNESP) - Sejam A, B e C conjuntos de números reais. Sejam BA:f →→→→ e CB:g →→→→ definidas, respectivamente,
por: senx)x(f ==== , x∀∀∀∀ , Ax∈∈∈∈ 1x1
1)x(g
2−−−−
−−−−==== , x∀∀∀∀ , Bx∈∈∈∈ .
Se existe CA:h →→→→ , definida por )]x(f[g)x(h ==== , x∀∀∀∀ , Ax∈∈∈∈ ,
então:
a) xcos)x(h ==== b) xcos)x(h 2==== c) xtg)x(h 2====
d) xsen)x(h 2==== e) xsec)x(h 2====
46. (Geometriamar) (SANTA CASA) - Se
ysenxcos)ycossenx(M 222 ++++++++−−−−==== , onde y2
πx −−−−==== , então M é
igual a:
a) tgx b) xcos c) x2cos d) xcos2 2 e) xsen2 2
Verificar as seguintes identidades:
47. (Geometriamar) 0xcos54
senx53
senx53
xcos54====
++++
++++++++
−−−−
−−−−
48. (Geometriamar) senxxcosxcos.senx1
xsenxcos 33
−−−−====++++
−−−−
49. (Geometriamar) xcossenx
1
tgx1
xcos
gxcot1
senx
++++====
++++++++
++++
50. (Geometriamar) 222 )1x(sec)xcos1()senxtgx( −−−−====−−−−++++−−−−
51. (Geometriamar) gxcotxcosxsensenx1
xcosxcos.senx222
====−−−−++++−−−−
−−−−
52. (Geometriamar) xcos.senx.21)gxcot1)(tgx1(xcos.senx ++++====++++++++
53. (Geometriamar) )xcos1)(senx1(2)xcossenx1( 2 ++++++++====++++++++
54. (Geometriamar) )ytg1)(xtg1(
xtgytgycosxcos
22
2222
++++++++
−−−−====−−−−
55. (Geometriamar) 1xcos.xsen3xcosxsen 2266 ====++++++++
CAPÍTULO – 2 ���� Arco e ângulo trigonométrico ���� Funções Trigonométricas
TÓPICOS 1. Arco e ângulo trigonométrico. 2. Conjunto das determinações de um ângulo ou arco trigonométrico. 3. Estudo das Funções Trigonométricas.
3.1. Função Seno 3.2. Função cosseno 3.3. Função tangente 3.4. Função co-tangente 3.5. Função secante 3.6. Função co-secante
EXERCÍCIOS 56. (Geometriamar) Calcular a primeira determinação positiva 0a dos
seguintes arcos:
a) º1620 b) 11
π125 c) º810−−−− d)
7
π97−−−−
57. (Geometriamar) Calcular a 3ª determinação positiva do arco º1910 .
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58. (Geometriamar) Calcular a 4ª determinação negativa do arco º810 . 59. (Geometriamar) Assinale a alternativa correta:
a) A 1ª determinação positiva do arco 9π284 é
9π7 .
b) A 2ª determinação positiva do arco º600−−−− é º240 .
c) A 1ª determinação negativa do arco 3π37 é
3π5−−−− .
d) A 5ª determinação positiva do arco º780 é º1860 .
e) A 3ª determinação negativa do arco 5π51 é
5π39−−−−
60. (Geometriamar) Escrever o conjunto das determinações do arco AP . 61. (Geometriamar) Escrever o conjunto das determinações dos arcos
assinalados nas figuras: 62. (Geometriamar) Unindo-se as extremidades dos arcos da forma
2
π.n
3
π++++±±±± ( ΖΖΖΖ∈∈∈∈n ) obtém-se:
a) quadrado b) retângulo c) octógono d) octógono regular e) hexágono
63. (Geometriamar) Obter o domínio da função f, definida por
x2cos
senx1)x(f
++++==== .
64. (Geometriamar) Para que valores de m é posível a igualdade:
m31xcos −−−−==== 65. (Geometriamar) Obter o conjunto imagem de IRIR:f →→→→ , definida
por: x2sen.52)x(f −−−−==== .
66. (Geometriamar) Resolver a equação: 21x2sen ==== .
67. (Geometriamar) Resolver a equação 01xcosxcos2 2 ====−−−−++++ .
68. (Geometriamar) Para que valores de αααα, π2α0 <<<<<<<< , tem-se:
3αtg1 <<<<<<<<
69. (Geometriamar) Resolver a equação 03tgx).13(xtg2 ====−−−−−−−−−−−− .
70. (Geometriamar) Resolver 1)xcossenx( 2 <<<<++++ , para π2x0 <<<<<<<< .
71. (Geometriamar) Resolver a equação xcossenx ==== .
72. (Geometriamar) Para que valores de a ( πα0 ≤≤≤≤≤≤≤≤ ) tem-se
432 αtgxx >>>>++++++++ , IRx∈∈∈∈∀∀∀∀ .
73. (Geometriamar) Calcular o valor de m que satisfaz simultaneamente
às igualdades 3
3msenx ==== e
3
m6xcos ==== .
74. (Geometriamar) Se }tgy/IRy{A3π.n====∈∈∈∈==== )n( ΖΖΖΖ∈∈∈∈ e
}xcosz/IRz{B ====∈∈∈∈==== obter BA ∩∩∩∩ .
75. (Geometriamar) Obter o domínio da função x2sen
tgx1x:f
++++→→→→ .
76. (Geometriamar) Se 2πx0 <<<<<<<< demonstrar que 1xcossenx >>>>++++ .
77. (Geometriamar) Obter o domínio da função, )xsec(x:f4π++++→→→→ .
78. (Geometriamar) Obter o domínio da função x2sen
gxcot1x:f
++++→→→→ .
79. (Geometriamar) Resolver a inequação: 0gxcottgx >>>>−−−− , )x(2π.n≠≠≠≠
80. (Geometriamar) Obter o conjunto imagem da função xsec)x(f ==== .
81. (Geometriamar) Para que valores de m teremos: 1mxsec ++++==== e
1mxseccos −−−−==== simultaneamente.
82. (Geometriamar) Calcular: º0senº0cos
º180cosº.270senº360cosº90senE
++++
++++++++====
83. (Geometriamar) Se 2πx ==== então
senxx4cos
x3senx2senxcosy
++++
−−−−++++==== ,
vale: 84. (Geometriamar) (AMAN) - Calcular x2tgx4cosx3senA −−−−++++==== para
2πx ==== .
85. (Geometriamar) (PUC) - Determinar m para que 3π seja raiz da
equação: 0xsenxcos.mxtg 222 ====++++−−−− .
86. (Geometriamar) (FEI) - Calcular π31cos.sen2π7 .
87. (Geometriamar) (USP) - Calcular º1920sen . De 88 a 92, resolver as equações, para π2x0 ≤≤≤≤≤≤≤≤ . 88. (Geometriamar) 0senx ==== 89. (Geometriamar) 1xcos −−−−==== 90. (Geometriamar) 0tgx ====
91. (Geometriamar) 1xsec ==== 92. (Geometriamar) 0xseccos ==== De 93 a 97, resolver as equações, para π2x0 ≤≤≤≤≤≤≤≤ .
93. (Geometriamar) 21senx −−−−====
94. (Geometriamar) 22xcos −−−−====
95. (Geometriamar) 1tgx ±±±±====
96. (Geometriamar) 23senx ====
97. (Geometriamar) 21xcos −−−−====
FIM
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Estude sempre e muito.
O seu sucesso é o meu descanso!!!
