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No que diz respeito ao trabalho com a movimentação e
a localização, o ensino da geometria, no ciclo de
alfabetização, deve propiciar aos alunos desenvolver
noções de lateralidade (como direita e esquerda),
noções topológicas (como dentro e fora e vizinhança),
utilizando o próprio corpo e outros objetos/pessoas
como pontos de referências (BRASIL, 2012).
Em BRASIL, Ministério da Educação – Secretaria da
Educação Básica, temos que:
➢ Você é vizinho de Paulo?
➢ Maria derramou o café fora da xícara?
➢ José está separando Maria de Mário?
➢ Ou ele está entre Márcia e João?
➢ O móvel já está dentro da sala?
➢ Qual a divisa (fronteira) entre o Paraná e São Paulo?
➢ Roberto é um cara aberto?
➢ Já temos direção para caminhar ?
Compare as quatro primeiras perguntas com as demais
PERGUNTAS
➢ Qual é o comprimento desta sala?
➢ Qual a medida do ângulo feito por aquelas duas paredes?
➢ Qual área desta sala?
➢ Qual à distância de Londrina até Maringá?
Entre os dois grupos de perguntas anteriores, há então
uma diferença notável: o primeiro grupo está relacionado à
quantidade do objeto, do fenômeno etc., enquanto o
segundo grupo se relaciona com a qualidade.
UMA CONCLUSÃO
A mesma pergunta para o segundo grupo.
Vocês conhecem alguma “parte da Matemática” que
estuda o primeiro grupo, dando-lhe respostas satisfatórias?
A primeira pergunta será, com certeza, respondida
prontamente por você: “A Geometria que estudei nos
primeiros anos escolares”.
Quanto a segunda podemos lhe assegurar que existe
uma “parte” da Matemática, na qual você encontrará
repostas satisfatórias envolvendo os conceitos sublinhados
no segundo grupo de perguntas acima. Esta “parte” da
Matemática chama-se Topologia.
OUTRAS CONCLUSÕES
NOÇÕES TOPOLÓGICAS
Portanto, noções de longe/perto (vizinhança);
dentro/fora (interior/exterior); aberto/fechado;
separado/unido (conexo-desconexo); contínuo
/descontínuo; orientado/não-orientado, são noções
topológicas. Claramente, estas noções costumam vir
associadas à outras tais como: adjacências
(proximidade), ordem etc., as quais, igualmente se
incluem no rol das noções topológicas. Quando eu
digo: “estou junto de você”, emprego, por assim dizer,
uma linguagem topológica ou seja, nesta frase,
emprego noções topológicas.
NOÇÕES TOPOLÓGICAS
Considere as duas figuras abaixo
Qualquer pessoa de “bom senso” dirá
imediatamente: não há nenhuma coisa em comum a
essas duas figuras (a menos da cor é claro).
NOÇÕES TOPOLÓGICAS
A segunda figura é uma “deformação” da primeira e
pode lembrar tudo, menos o quadrado da sua
esquerda. No entanto, um exame mais atento revela o
seguinte: apesar de toda a “deformação” apresentada
pela segunda figura em relação à primeira, algumas
propriedades permaneceram invariantes pela distorção.
Quais são elas?
NOÇÕES TOPOLÓGICAS
• Ambas as figuras dividem o
plano em duas partes, a saber, o
interior e o exterior e temos
ainda o contorno da figura que
chamamos de fronteira.
• Ambas são constituídas de uma
única parte, ou seja, consigo
percorrer o interior de ambas sem
precisar passar pelo exterior.
• Pontos que são vizinhos no
quadrado, permanecem vizinhos
após a deformação.
NOÇÕES TOPOLÓGICAS
O tamanho e a forma de figuras não são
propriedades topológicas. Alguns autores chamam a
Topologia pitorescamente de: “Geometria da borracha”
ou “Geometria Elástica”, ou ainda, “Geometria das
Deformações”. É interessante observar que, as
propriedades topológicas de uma figura são
preservadas mesmo quando está submetida a
alterações na sua forma e tamanho, isto é, quando a
figura sob transformações topológicas perde muitas
de suas outras propriedades geométrica.
TRANSFORMAÇÕES TOPOLÓGICAS
Transformações topológicas, são alterações nos objetos,
que podem ser em uma linguagem coloquial, descritas
como:
➢ Esticar ou inflar o objeto, ou algumas de suas partes;
➢ Encolher o objeto, ou algumas de suas partes;
➢ Retorcer o objeto, ou algumas de suas partes;
➢ Cortar o objeto segundo uma linha suave nele demarcado
e, posteriormente, colar uma na outra as duas bordas que
foram geradas por esse corte, resgatando a superfície com a
linha nela originalmente demarcada (considerando a mesma
orientação) .
VEJAM E OUÇAM
https://www.youtube.com/watch?v=KLZMU0oyer8
https://www.youtube.com/watch?v=iN9fGDnWcFY
Focalizar o ensino de geometria nas instituições
educacionais e refletir sobre a construção de noções
geométricas pelas crianças abre espaço para outros
questionamentos:
➢ Como se dá a construção de noções geométricas
pela criança?
➢ Conhecimentos matemático-geométricos são desen-
volvidos somente via escolarização?
MAIS PERGUNTAS
Para responder essas perguntas, utilizamos como
referencial teórico Piaget e Inhelder (1993), que afirmam
que a intuição geométrica da criança é mais topológica do
que euclidiana e isso se prolonga aproximadamente até os
sete anos.
Como se dá a construção de noções
geométricas pela criança?
Em geral, por desconhecimento daqueles que atuam
nessa faixa etária os conceitos topológicos que são
trabalhados, não são percebidos pelos educadores como
tais, provavelmente por defasagem em suas formações.
Souza (2007) aponta que na escola há
predominância do ensino empírico de figuras da geometria
euclidiana, a saber, triângulo, círculo, quadrado, retângulo
etc. O problema é que o ensino das figuras da geometria
euclidiana é, muitas vezes, traduzido em erros conceituais.
Este ensino é realizado por uma conduta metodológica
equivocada em que os professores levam as crianças a
associarem as noções geométricas aos elementos postos
na natureza ou em construções feitas pelo próprio homem,
como se bastasse a elas identificá-los no ambiente
exterior por meio da percepção sensorial, visão e tato
especialmente.
Como se dá a construção de noções
geométricas pela criança?
Como se dá a construção de noções
geométricas pela criança?
Mas por que esta metodologia traduz-se em erros
conceituais? Porque a criança apenas realiza a tarefa de
associar elementos reais à teoria de Euclides, sem
elaborar os processos de ressignificação dos objetos e
seus padrões, pois é muito cedo cognitivamente para que
a criança compreenda o significado de tais elementos.
Se levarmos em conta a discussão de Piaget feita na
obra “A representação do espaço na criança”, o ensino
infantil poderia ser iniciado pela exploração de padrões da
“Topologia”, ou seja, da “Geometria das Deformações”
como também é conhecida. Essa maneira de denominar a
topologia nos indica o que devemos observar após uma
deformação no objeto. Como vimos, o sentido de
deformação topológico é o de esticar ou de encolher o
objeto como se este fosse de borracha.
Como se dá a construção de noções
geométricas pela criança?
Estádio Aviva (Dublin - Irlanda)
Fonte: https://sites.google.com/site/desmatematicos/3d/tira-de-moebius
MAC - Museu de Arte Contemporânea de Niterói
MAC - Museu de Arte Contemporânea de Niterói
O espelho d`água, natural ou artificial, é contemplado no
entorno de inúmeras obras de Niemeyer.
Museu Oscar Niemeyer - Curitiba
Mas também aparece em arquiteturas de
Santiago Pevsner Calatrava Vall.
EL HEMISFÈRIC
Questão
Alguns cientistas de um planeta chamado Planolândia, portanto
bidimensionais, tais como o Hum Quadrado, o Hum Triângulo e o
Hum Círculo resolveram conhecer melhor o mundo que viviam. Para
isso, organizaram uma expedição científica.
Planópolis
Planópolis
Quais são as possíveis formas deste planeta?
Esta linha vermelha foi pintada por eles
Planópolis
Planópolis
Em uma nova expedição científica, os mesmos cientistas resolveram
fazer uma nova rota. Ao invés de percorrer no sentido oeste-leste,
caminharam no sentido sul-norte. Deixaram agora uma marca verde.
Planópolis
Planópolis
Quais são as possíveis formas deste planeta?
Após este retorno,
eles observaram que
não haviam cruzado a
linha vermelha
nenhuma vez, ou seja, o
único lugar de
cruzamento das linhas
vermelha e verde foi no
início do percurso. E
agora?
Não teve!!!!!!!!
Planópolis
Impossível ser assim, não?
É possível ser assim?
TORO
A experiência da professora Janeti Marmontel Mariani,
que está na página 12 do caderno 5, e da citação de Piaget nos
leva a discussão de uma outra geometria: A Geometria
Projetiva.
Todo conhecimento é inseparável dos fenômenos de
representação
Raymond Duval [1995]
OLHEM ESSAS IMAGENS
OLHEM ESSAS IMAGENS
champs-elysees
OLHEM ESSAS IMAGENS
A Anunciação de
Santo Emídio
1486
Carlo Crivelli (1430-1495)
OLHEM ESSAS IMAGENS
OLHEM ESSAS IMAGENS
PERGUNTAS
Existe alguma parte da matemática que estuda isso?
É alguma Geometria?
Essa “parte” da Matemática ou a Geometria que estuda
esses objetos chama-se Geometria Projetiva.
VEJAM
GOBERT, Sophie. Questions de didactique liees aux
rapports entre la geometrie et l’espace sensible, dans le
cadre de l’enseignement a l’ecole elementaire. 2001. 318 p.
Diplome de Doctorat (Didactique des mathematiques) –
Universite Paris 7- Denis Diderot, Paris.
De acordo com Sophie Gobert
(2001), as seguintes competências
deveriam ser desenvolvida pelos
alunos:
➢ Ser consciente de que uma
representação indica um ponto de
vista, lugar no espaço de onde a
vemos;
➢ Ser capaz de mudar de ponto de
vista e de produzir uma
representação em consequência;
➢ Ser capaz de ler ou de deduzir
propriedades do objeto a partir de uma
representação, dominar as regras e as
convenções de escritura;
➢ Ter consciência da deformação das
propriedades geométricas, ou de sua
conservação, das ligações existentes
entre objetos e representações (...)
Como se dá a construção de noções
geométricas pela criança?
Um exemplo de uma ação da criança para a aprendizagem da
geometria projetiva, é oferecer a ela, a oportunidade de observar um
objeto de variados ângulos, mantendo a posição da criança e
mudando a posição do objeto e, mudando a posição da criança, mas
deixando o objeto imóvel. A partir do momento em que as crianças
reconhecem que as formas dos objetos dependem do ponto de vista
do observador inicia-se a estrutura projetiva.
A geometria euclidiana requer que as crianças construam a ideia
de que o espaço é constituído de objetos móveis e que a própria
criança também é um destes objetos. Assim, a movimentação de um
objeto sob esta perspectiva pressupõe que as formas, ângulos e
distâncias se conservem.
Conhecimentos matemático-geométricos são
desenvolvidos somente via escolarização?
Para Piaget o processo de se tornar humano é se tornar
matemático uma vez que nossa razão constrói-se pela lógica da ação.
Essa lógica permite-nos desenvolver o raciocínio lógico-matemático.
Segundo Becker (1998, p. 22) “Para Piaget, ser humano implica ser
matemático; tornar-se humano é tornar-se matemático, ou melhor,
lógico-matemático no sentido qualitativo e quantitativo, portanto,
matemático no sentido amplo”.
No caso da geometria, é possível observar as manifestações da
construção do espaço já no estágio sensório-motor, como por
exemplo, a capacidade de distinguir um objeto de outro, que é
necessária para qualquer construção espacial (topológica). Mais
tarde, quando começa a surgir o objeto permanente, o bebê aprende
que uma mamadeira vista de várias perspectivas é na realidade o
mesmo objeto (geometria projetiva) e ainda, torna-se capaz de
estimar a distância necessária para pegá-la (geometria euclidiana).
Conhecimentos matemático-geométricos são
desenvolvidos somente via escolarização?
Para a teoria construtivista, a fonte da aprendizagem está na
ação do sujeito, ou seja, “o indivíduo aprende por força das ações que
ele mesmo pratica: ações que buscam êxito e ações que, a partir do
êxito obtido, buscam a verdade ao apropriar-se das ações que
obtiveram êxito” (BECKER,2003, p.14).
Na relação professor e aluno isto é identificado quando as
crianças e os docentes aprendem juntos em patamares
diferenciados, porém ambos são modificados durante a relação que
estabelecem. Desta forma não há processo estático de ensino e
aprendizagem. Há o dinâmico, o inventivo, o novo.
Portanto, respondida negativamente a pergunta, o que se pode
fazer para que o desenvolvimento da criança e do adolescente, em
relação a compreensão do espaço em que vive, seja catalisado, via
escola?
PASSEIOS, OBSERVAÇÕES E ANOTAÇÕES
No caderno 5, na seção que trata da Geometria e o Ciclo de
Alfabetização, afirma que:
Muitas atividades podem ser realizadas no pátio ou na quadra da
escola, em um passeio ao zoológico, ao parque ou ainda a
cidades. Atividades de observação e registro de diferentes
figuras geométricas podem ser programadas pelo professor,
como por exemplo, uma visita a museus. Lá os alunos terão
contato com diferentes recursos utilizados pelos artistas, como
as figuras geométricas, a simetria, linhas retas e curvas,
paralelismo, proporções, regularidades e padrões. Um passeio
pela cidade pode propiciar às crianças a observação de placas de
trânsito que indicam como pedestres e motoristas podem se
movimentar, além de observação de fachadas de casas, prédios
e igrejas, bem como do formato das praças.
VEJAMOS UMA GEOMETRIA MUITO NOVA
conjunto de Mandelbrot
A GEOMETRIA DOS FRACTAIS
O nome “conjunto de
Mandelbrot” é devido ao
seu criador Benoit
Mandelbrot, que o
estudou por volta da
década de 1970.
Este conjunto é um
fractal e é um dos fractais
mais conhecidos e mais
estudados.
A GEOMETRIA DOS FRACTAIS
Vejamos algumas imagens do conjunto de Mandelbrot
ampliadas localmente:
A GEOMETRIA DOS FRACTAIS
A GEOMETRIA DOS FRACTAIS
Observamos que cada parte do conjunto (ampliada) se
assemelha ao conjunto todo, esta é uma propriedade dos
fractais, a auto-semelhança. Um fractal costuma apresentar
cópias de si mesmo em seu interior.
Olhando, por exemplo, para uma folha de uma árvore e
observando uma folhinha desta folha, vemos que esta
folhinha se assemelha a folha toda e se consideramos uma
parte ainda menor desta folhinha vemos que esta se
assemelha à anterior:
FRACTAIS NA NATUREZA
FRACTAIS NA NATUREZA
FRACTAIS NA NATUREZA
Obra do artista Maurits
Cornelis Escher
Cada vez menor
(1958), entalhe em
madeira e xilogravura
37,8 x 37,8 cm.
BECKER, Fernando.Epistemologia genética e conhecimento matemático. In:
BECKER, Fernando; FRANCO, Sérgio (orgs). Revisitando Piaget.
Porto Alegre: Mediação, 1998.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BECKER, Fernando. A origem do conhecimento e aprendizagem escolar.
Porto Alegre: Artmed, 2003.
FÁVERO, Maria Helena. Psicologia e conhecimento: subsídios da psicologia
do desenvolvimento para a análise de ensinar e aprender. Brasília, DF:
Editora Universidade de Brasília, 2005.
OCHI, Fusako Hori et al. O uso de quadriculados no ensino da geometria.
São Paulo: IME-USP, 1992.
PAVANELLO, Regina Maria. Geometria nas séries iniciais do ensino
fundamental: contribuições da pesquisa para o trabalho escolar. In:
PAVANELLO, Regina Maria (Org.). Matemática nas séries iniciais do
ensino fundamental: a pesquisa e a sala de aula. São Paulo: Biblioteca
do Educador Matemático, 2004. p.129-143.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
PIAGET, Jean; INHELDER, Barbel. A representação do espaço na criança.
Porto Alegre: Artes Médicas, 1993.
SOUZA, Simone de.Geometria na educação infantil: da manipulação empirista
ao concreto piagetiano. Maringá, 2007. 146f. Dissertação (Mestrado em
Ensino de Ciências e Matemática) – Universidade Estadual de Maringá.
