Geometrie a architektura - surynkova.info · Architektura nás zavádí až do období starověku vznik a rozvoj prvních civilizací Antický svět Řecko (8. stol. př. Kr. –

Petra Surynková

Univerzita Karlova v PrazeMatematicko-fyzikální fakulta

[email protected]

Geometriea

architektura

Přehled

Geometrievznik, vývoj – připomenutí základních faktů

Proč je geometrie důležitá?Dá se geometrie naučit?Několik ukázek studentských pracíJak zvýšit zájem o studium geometrieGeometrie a architektura

starověká a raně křesťanská architektura

Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková

Geometrie IŘeckého původu – zn. zeměměřičstvíGeometrie vždy vycházela z praktických potřeb

k rozvíjení geometrických znalostí nejvíce přispívala stavitelská činnost

vyměřování pozemků, stavba obydlí, opevněníve starém Egyptě – již lidé uměli zobrazovat půdorysy budov a používali kolmé průměty (3. tisíciletí př. Kr.)

výroba nástrojů, řemeslnické prácesestavování kalendářůorientace - doprava přes moře či pouštěměření délek, obsahů a objemů

Egypt, Mezopotámie, Indie, Čína - praktická geometrie


Teprve později studium geometrických útvarů vedlo ke vzniku geometrie jako matematického oboruGeometrie se stala vědou - studována a rozvíjena nejen z praktických ale i z filozofických a teoretických důvodůŘecko – vznik geometrie jako teoretické disciplíny(6. století př. Kr.)

rozvoj abstraktního myšlení, vznik nových obecných pojmů, systémů tvrzení, které lze rozumově vyvodit z tvrzenízákladníchpřechod k deduktivně budovaným teoriímidea důkazů

Geometrie bývá považována za jeden z prvních matematických oborů vůbec


Geometrie II

Geometrie IIIDalší rozvoj geometrie

středověkislámské země (od 7. století)Evropa – opět spíše praktická geometrie (6. – 7. století)

Evropa 16. – 19. stoletírenesance - jako součást malířství se rozvinula nauka o lineární perspektivěspojení geometrie a algebry – vznik analytické geometriepotřeba přesných zobrazovacích metod – vznik deskriptivnígeometrie (G. Monge – 18. století)

Další vývojobjev neeuklidovských geometriídalší propojení geometrie a algebry


Proč je geometrie důležitá

Zaměříme se na syntetickou geometriipředevším geometrii prostorovou

Geometrie je důležitá pro každého z násnení důležitá jen pro technika, konstruktéra, architekta či stavebního inženýravšichni potřebujeme dobrou geometrickou představivost, abychom se vůbec dokázali pohybovat a vnímat svět kolem nás

Geometrie nás učí mysletdůležitá pro další disciplíny a podporu tvořivostivědomosti se lépe zafixují, když jsou podpořeny obrázkem


Dá se geometrie naučit?

Studium geometrie je náročnéproto je někdy na ZŠ i SŠ opomíjenapokud nezbývá ve výuce čas, bývá vynechávána právěgeometrie – především v nižších ročnících by však geometrie měla být v matematice na prvním místě

,,K pochopení geometrie nevede žádná královská cesta.“(Euklides – přibližně 325 – 260 př. Kr.)


,,Nemám prostorovou představivost, geometrii se tedy nemůžu naučit.“

mýtus, předsudekProstorovou představivost se můžeme naučit, rozvíjet ji a zdokonalovatNutné začít včas

klást důraz na výuku geometrie již na ZŠpozději je obtížné mezery dohnat

na SŠ náročné, na VŠ téměř nemožné! POZOR ! – lze promeškat učení prostorového vidění



Žáci i studenti se často potýkají s nedostatečnou zručností při rýsování

i tomu se dá alespoň částečně předejítdůležité, aby se začínalo nejdříve s kreslením náčrtkůrovinných a prostorových objektů – napomoci může i výtvarná výchovateprve poté přejít k rýsování

Geometrie by se měla učit názorněnikdy by nemělo docházet k tomu, že se konstrukce stane naučeným postupem, pod kterým žáci nic nevidí

Různé ,,geometrické hrátky“ na rozvoj představivosti nejsou jen pro mladší žáky – nadchnou i vysokoškoláka




Na žádném stupni výuky geometrie nevystačíme s pouhým rýsováním

zejména ve stereometrii – důležité chápat vztah mezi tělesem a jeho obrazemnezbytné používání modelů, žáci a studenti je mohou sami tvořitve všech případech je nutná názornost

,,Všeho se máme zmocňovati tolika smysly, kolika jen možno.“

(J. A. Komenský – 1592 - 1670)


Ukázky studentských prací

Vlastní zkušenosti s výukou deskriptivní geometrie na FA ČVUT v Praze

studenti, kteří mají problémy s rýsováním nebo nedokážízrekonstruovat prostorovou situaci z rovinného obrázku –lze je zaujmout jinou částí geometrie

manuálně zruční, umí vytvářet prostorové modely, různévystřihovánky, skládanky – lze použít na ZŠ, SŠ i VŠgeometrie se pro ně stává mnohem zajímavější, baví je

Ukázky prací studentů z FA ČVUT









Jak zvýšit zájem o geometrii

Učit geometrii zajímavě a logickyUkazovat využití geometrie v praxi

geometrie z praxe přece vždy vycházela

Je nutné zmodernizovat a zkvalitnit výukuStudium geometrie je třeba zatraktivnit (deskriptivnígeometrie je dnes zanikající obor)

využití moderního softwaru a počítačového modelovánípři výuce stereometrie nebo klasické DG lze používat názorné3D počítačové modely, statické modely, animace (dostupnějšínež fyzické modely)počítače pouze usnadní práci, stále je nutné geometrickézákonitosti znát


Geometrii se věnuji již dlouho, především se zabývám studiem, rozborem a matematickým popisem ploch , které se uplatňují ve stavební praxiUkázky využití modelovacího softwaru

materiály vznikly jako součást mé bakalářské a diplomovéprácev současné době jsou používány jako studijní a výukovémateriály na MFF UK, FA ČVUT


Jak zvýšit zájem o geometrii


Frézierův cylindroid

Geometrie a architektura

Plocha šikmého průchodu




Přímé kruhové konoidy


Hyperbolický paraboloid




Cyklická šroubováplocha Přímková šroubová

plocha



Translační plocha


Využití geometrie v praxi je nejviditelnější a nejhmatatelnější v architektuřeProč vyučovat geometrii?

jednoduše proto, že je ,,všude kolem nás“

Podívejme se na některé architektonické zajímavostiStředem našeho zájmu bude evropská architektura

starověká a raně křesťanská architekturaZaměřme se na důležité momenty v architektuře a hlavně na zajímavé a významné stavbyPokusme se odhalovat geometrii zmíněných staveb


Geometrie a architektura I

Architektura nás zavádí až do období starověkuvznik a rozvoj prvních civilizací

Antický svět

Řecko (8. stol. př. Kr. – 4. stol. př. Kr.)

kolébka západní architekturyřecká architektura se řídila jednoduchým principem nosníkové konstrukce – sloup a překlad (architrávový systém)stavby – výrazná horizontálnost

Geometrie a architektura II



Erechteion (406 př. Kr.) –Atény, Řecko

(http://travel.webshots.com/photo)

Parthenón (zbudován v letech 447 př. Kr. - 438 př. Kr.) –

Atény, Řecko(http://travel.webshots.com/photo)

Geometrie a architektura III

Řím (cca 8. stol. př. Kr. – 5. stol. po Kr.)částečně vycházela z řecké architekturyarchitekturu obohatili o nové stavební prvky – římský obloukstavba vodovodů – akvadukty, obloukových mostůvítězné oblouky, silnice, bazilika – později základ křesťanského chrámu, zde tržnice nebo soudní síňobjev nového stavebního materiálu – beton

díky němu se mohl překlenout předtím nepředstavitelný prostorzačali se stavět klenby a kupole – pokrok oproti řeckým architrávovým stavbám



Koloseum (zbudován v letech 75 po Kr. – 79 po Kr.) – Řím, Itálie

oblouky rozdělené sloupy tvoří římskou arkádujedna z největších římských budov188 m dlouhá, 156 m široká, 52 m vysoká

Akvadukt Pont du Gard – Nimes,

Francie (http://www.trekearth.com)

nejvyšší akvadukt, jaký Římané postavilivelmi dochovanývodu dodával ve třech vrstvách oblouků z Uzès do Nimes



Traianův most –Alcántara, Španělsko

(http://www.panoramio.com)

klenutý kamenný mostdosud se používá

Akvadukt – Segovia, Španělsko

(http://picasaweb.google.com)

Pantheon – chrám všech bohů(zbudován v letech 120 - 124) -

Řím, Itálie

stavba má kruhový půdorys (netypické) – dokonalá symetrie - zeměkoulemasivní kupole – polokulový tvar

průměr – 43,2 m, největší na světě až do postavení Brunelleschiho kupole nad florentskou katedrálou (15. století)

šířka chrámu = výšce chrámu, polovina výšky připadá na kupolipředchrámí řeckého typu – pochází z původního chrámu z roku 27 př. Kr.kruhové okno – jediné okno o průměru 9 mkupole představuje nebeskou klenbu ozářenou Sluncem

jediný dochovaný římský chrám téměř v původnípodobě

díky nepřetržitému používánípozději vysvěcen jako katolický kostel

kupolovitá konstrukce s betonovým pláštěm


(http://commons.wikimedia.org/)

Půdorys Pantheonu(http://www.sacred-destinations.com/italy)



Odlehčující kupole nik pomáhajísnižovat tlak na okrajích hlavníkupole a přenášejítíhu vertikálně přes zdi na základy

Model niky – výklenek poloválcového tvaru

zakončený čtvrtinou kulovéplochy

tzv. koncha

Pohled na hlavníoltář Pantheonu


4. století – obecné přijetí křesťanstvíPrvní významné křesťanské kostelyvycházely z římských baziliknejvýznamnější čtyři římské raněkřesťanské baziliky

Bazilika sv. Jana z LateránuBazilika sv. PetraBazilika Panny Marie VětšíBazilika sv. Pavla za hradbami

typické: východně orientovaná apsida (oltářní nika), velké množství oken


Geometrie a architektura IV

jedna z největších raněkřesťanských bazilik v Římě, kterási nejlépe uchovala původnípodobuzbudován za papeže Sixta III. jako trojlodní bazilika s polokruhovou apsidoumnohokrát přestavovánadefinitivní podobu chrám získal v 18. století – přestavěn v barokním stylutak jako všechny římskébaziliky 4. a 5. století nemábazilika klenbu – hlavní loď je kryta stropemtriumfální oblouk, apsida(http://travel.webshots.com/photo)

Bazilika Panny Marie Větší– Santa Maria Maggiore

(5. st.) - Řím, Itálie


Bazilika sv. Jana v Lateráně – San

Giovanni in Laterano

(4. st.) - Řím, Itálie

první křesťanský chrám vystavěný Konstantinem Velikýmmnohé přestavbypětilodní bazilikahodnostně nejvyššíkostel katolickécírkve – titul matka a hlava všech kostelů Města (Říma) a světa

(http://commons.wikimedia.org)

Pohled na apsidu


Bazilika Panny Marie Větší(http://www.artinaccommodation.com/photogallery)


Bazilika sv. Jana v Lateráně(http://commons.wikimedia.org)

postavena nad hrobem apoštola Pavla daleko od středu města2. největší bazilika v Římě (po sv. Petrovi)původní stavba (založena Konstantinem Velikým) se dochovala až do r. 1823 –rozsáhlý požárpoté chrám obnoven – snaha držet se původní podoby (místo zbudování kostela v modernějším stylu)pětilodní bazilika

Bazilika sv. Pavla za hradbami – San Paolo

fuori le mura(4. st.) - Řím, Itálie



Dvůr kláštera s ambitem byl postaven mezi lety 1220 - 1241

Ozdobná nika



Bazilika sv. Petra –Basilica di San Pietro

Řím, Itálie


v r. 324 nechal římský císařKonstantin Veliký postavit raněkřesťanskou baziliku nad hrobem sv. Petra

ještě dnes jsou v podzemí chrámu k vidění základy sloupů a dolní části stěn původní baziliky

v 15. století rozhodnuto o stavběnového chrámu, neboť původníbazilika velmi zchátralastavba byla zahájena v r. 1506 za papeže Julia II.projekt nové baziliky vypracoval architekt Donato d‘Angelo Bramante

půdorys chrámu měl mít tvar rovnoramenného řeckého křížes ústřední kupolí a čtyřmi postranními kupolemi

Socha sv. Pavla před vchodem do baziliky

Socha apoštola Petra před vchodem do baziliky

Půdorys podle Bramantovanávrhu


po Bramantově smrti vedl stavbu RaffaelSanti

plán stavby změněn na podélný půdorys ve tvaru latinského kříže

v r. 1547 jmenoval papež Pavel III. hlavním architektem Michelangela Buonarroti

tehdy 72letýopět se vrátil k Bramanteho koncepcipozměnil – chrám měl mít jedinou majestátníkupolivystavěl apsidu, střed křížezesílil původní zdi, neboť měl obavy, že původní by celou stavbu neuneslyvypracoval model kupolezanechal detailní nákresy kupole a celého chrámuv r. 2007 – nalezena původní Michelangelovakresba části plánu (vzácné neboť většinu svých nákresů zničil) s mnoha matematickými výpočtystavba stále nedokončena

Půdorys podle Michelangela s Madernovým průčelím



jedním z nejznámějších představitelů vrcholné italskérenesance a manýrismuproslavil se jako sochař, architekta malířgeniálním umělec, posedlý hledáním dokonalosti a snahou dokázat, že je nejlepší – mnohdy svá díla po dokončení záměrněpoškodil, když s nimi nebyl spokojendílo:

sochařství – Pieta, socha Davidamalířství – Sixtínská kaple(Stvoření světa, Poslední soud)architektura - Bazilika sv. Petra(ústřední prostor a kupole chrámu)

Michelangelo di LodovicoBuonarroti Simoni

1475 – 1564

Michelangelova Pieta

v letech 1564–1573 stavbu po Michelangelově smrti vedl Vignola se svým synempoté stavbu převzal Giacomo dellaPorta

úplně se neřídil Michelangelovýmiplánynicméně hlavní obrys a vnitřníuspořádání zachovalpředevším započal se stavbou kupole

kupoli dokončil teprve r. 1590 Domenico Fontanav r. 1607 byl pověřen stavbou CarloMaderno

protáhl střední loď, tím částečně zastínil kupolidokončil průčelí, fasádu ve stylu raného baroka

v r. 1626 – chrám vysvětil papež Urban II.chrám pojme až 60 tis. lidí



poslední architekt - Gian LorenzoBernini

interiér chrámurozšířil Madernou plánované náměstí(1656 – 1667) – obrovská elipsa obklopená kolonádou

kupole – průměr 42 mvýška chrámu v kupoli je137 mprofil kupole změněn oproti Michelangelovupolokulovému tvaru z obavy z nestabilityvystavěna ze dvou plášťů z cihel a kamenů– vnější a vnitřní

vnitřní plášť si podržel polokulový tvar

konstrukci posiluje 16 radiálních žeberkupole je opásána deseti skrytými železnými řetězy, kterévzdorují tlaku na obvodu směrem ven


Průchod mezi dvěma plášti kupole –přístupný veřejnosti





Model zaklenutí prostoru –polovina kulové plochy na

čtyřech pendentivech

K zaklenutí čtvercové nebo polygonální základny se užívá tzv. pendentivů– sférických trojúhelníků tvořících přechod mezi kulovou plochou a prostorem

pod ní



Na hlavní kupoli navazují valené klenby(klenba leží celou svou vahou na

obvodových zdech)



Děkuji za pozornost

Documents

Geometrie a architektura - surynkova.info · Architektura nás zavádí až do období starověku vznik a rozvoj prvních civilizací Antický svět Řecko (8. stol. př. Kr. –