Geometrie aﬁna˘ - Babeș-Bolyai Universitymath.ubbcluj.ro/~cpintea/data/uploads/ga-nc-c.pintea...MLR0015-Geometrie Aﬁna, Seminar Universitatea ”Babes¸-Bolyai”, Departmentul

Geometrie afina

Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea

E-mail: cpintea math.ubbcluj.ro

Cuprins

1 Saptamana 1Structura afina a unui spatiu vectorial 11.1 Varietati liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Spatiul director si dimensiunea unei varietati liniare . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Intersectia unei familii de varietati liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Apendix. Relatii de recurenta liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Saptamana 2 112.1 Invelitori si combinatii afine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Dreptele unui spatiu afin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Saptamana 3 163.1 Teorema dimensiunii. Paralelism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Saptamana 4: Proprietati laticeale. Multimi convexe 234.1 Proprietati laticeale ale structurii afine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Structura afina a spatiului vectorial Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.3 Submultimile convexe ale unui spatiu vectorial real . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3.1 Teorema lui Caratheodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.4 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5 Saptamana 5Teoremele lui Radon, Helly, Minkowsky, Krein-Milman si Motzkin 285.1 Teorema lui Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.2 Teorema lui Helly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.3 Teoremele lui Minkowski, Krein-Milman si Motzkin . . . . . . . . . . . . . . . 295.4 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6 Saptamana 6: Spatiul afin 336.1 Definitie si exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.2 Subspatii afine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.3 Combinatii afine ın spatii afine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.4 Repere afine si repere carteziene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1

6.5 Schimbarea coordonatelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.6 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

7 Saptamana 7. Functii polinomiale 447.1 Definitii si observatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447.2 Functii polinomiale de gradul doi. Reprezentari matriceale . . . . . . . . . . . 447.3 Reducerea izometrica a polinoamelor de gradul doi ın doua variabile . . . . . 46

7.3.1 Invarianti ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467.3.2 Semiinvarianti ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7.4 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

8 Saptamana 8: Teorema de reducere izometrica a polinoamelor de gradul doi ındoua variabile 498.1 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

9 Saptamana 9: Reducerea izometrica a polinoamelor de gradul doi ın trei variabile 629.1 Invarianti si semiinvarianti ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

9.1.1 Invarianti ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639.1.2 Semiinvarianti ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

9.2 Teorema de reducere izometrica a polinoamelor de gradul doi ın trei variabile 659.3 Apendix. Cuadrice date prin ecuatiile lor reduse . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

9.3.1 Elipsoidul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669.3.2 Hiperboloidul cu o panza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679.3.3 Hiperboloidul cu doua panze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689.3.4 Paraboloidul eliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699.3.5 Paraboloidul hiperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699.3.6 Cuadrice singulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

9.4 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

10 Saptamana 10. Aplicatii afine 7810.1 Ecuatiile unei aplicatii afine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7910.2 Preimaginile unei aplicatii afine. Teorema dimensiunii . . . . . . . . . . . . . 7910.3 Functionale afine. Hiperplane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8010.4 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

11 Saptamana 11. Endomorfisme afine. Proiectii si simetrii 8611.1 Translatia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8611.2 Subspatii invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8711.3 Omotetii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8711.4 Proiectii. Ecuatiile proiectiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8811.5 Simetrii. Ecuatiile simetriilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8911.6 Translatiile ca produse de simetrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9111.7 Apendix. Proiectii si simetrii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

11.7.1 Proiectii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9311.7.2 Simetrii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

11.8 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

2

12 Saptamana 12. Proiectiile si simetriile planului si spatiului 10412.1 Ecuatiile proiectiilor si simetriilor planului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

12.1.1 Punctul de intersectie a 2 drepte neparelele . . . . . . . . . . . . . . . . 10412.1.2 Proiectia planului pe o dreapta paralela cu o alta dreapta data . . . . . 10412.1.3 Simetria planului avand axa si directia drepte concurente prescrise . . 105

12.2 Ecuatiile proiectiilor si simetriilor spatiului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10512.2.1 Punctul de intersectie al unei drepte cu un plan . . . . . . . . . . . . . 10512.2.2 Proiectia spatiului pe un plan paralela cu o dreapta . . . . . . . . . . . 10612.2.3 Simetria fata de un plan paralela cu o dreapta . . . . . . . . . . . . . . 10712.2.4 Proiectia pe o dreapta paralela cu un plan dat . . . . . . . . . . . . . . 10812.2.5 Simetria fata de o dreapta paralela cu un plan . . . . . . . . . . . . . . 108

12.3 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

13 Saptamana 13. Perpendicularitate si distante 11413.1 Distanta de la un punct la un hiperplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11413.2 Distanta de la un punct la o varietate liniara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

14 Saptamana 14. Izometriile spatiului euclidian 11714.1 Definitii si rezultate preliminare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11714.2 Teorema Cartan-Dieudonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Coordonator: Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea

Departmentul de Mathematica,Universitatea “Babes-Bolyai”400084 M. Kogalniceanu 1,Cluj-Napoca, Romania

3

MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica

1 Saptamana 1Structura afina a unui spatiu vectorial

1.1 Varietati liniare

Fie V un spatiu vectorial cu scalari ıntr-un corp K.

Definitia 1.1. O varietate liniara ın V este o submultime a lui V de forma

a + U := {a + u|u ∈ U},

unde a ∈ V si U este un subspatiu vectorial al lui V, sau multimea vida. Multimea A(V) avarietatilor liniare ale lui V ordonata de incluziune se numeste structura afina a lui V.

Propozitia 1.1. Daca A = a + U ∈ A(V) si b ∈ A, atunci A = b + U.

DEMONSTRATIE.

�

Corolarul 1.2. O varietate liniara A este subspatiu vectorial daca si numai daca 0 ∈ A.

1.2 Spatiul director si dimensiunea unei varietati liniare

Propozitia 1.3. Daca a + U = a′ + U′ ∈ A(V), atunci U = U′.

DEMONSTRATIE.

�Asadar, ın reprezentarea unei varietati liniare nevide A sub forma a+U, subspatiul vectorialU este unic determinat de A. Acesta va fi notat cu D(A) si se va numi (sub)spatiul (vectorial)director al varietatii liniare A.

Definitia 1.2. Spunem ca varietatile liniare A, B ∈ A(V) sunt paralele, si scriem A‖B, dacaD(A) ⊆ D(B) sau D(B) ⊆ D(A).

Definitia 1.3. Definim dimensiunea unei varietati liniare A astfel:

dim(A) :={

dim(D(A)) daca A 6= ∅−1 daca A = ∅.

Definitia 1.4. I Daca dim(A) = 1, 2 sau p, atunci A se numeste dreapta, plan sau p-plan.

I Daca dim(A) = 0, atunci A este formata dintr-un singur element numit punct.

I Daca 0 ∈ A, atunci A se numeste dreapta vectoriala, plan vectorial sau p-plan vectorial.

I Daca D(A) este un hiperplan vectorial, atunci A = a + D(A) se numeste hiperplan.

I Daca V este un spatiu vectorial n-dimensional, atunci orice hiperplan al lui V are di-mensiunea n− 1.

Cornel Pintea Page 1 of 119 © ’Babes-Bolyai’ University 2016


Propozitia 1.4. Fie V, W doua spatii vectoriale peste corpul K si f : V −→ W o aplicatie liniara.Daca B este o varietate liniara a lui W, adica B ∈ A(W), atunci f−1(B) := {a ∈ V| f (a) ∈ B} esteo varietate liniara a lui V, adica f−1(B) ∈ A(V).

DEMONSTRATIE.

�

Corolarul 1.5. Fie V si W doua spatii vectoriale peste corpul K si f : V −→ W o aplicatie liniara.Daca B ∈ A(W) este astfel ıncat f−1(B) 6= ∅ si a ∈ f−1(B), atunci f−1(B) = a + f−1 (D(B)),fapt care arata ca D

(f−1(B)

)= f−1 (D(B)). In particular, daca pentru un element b ∈ W avem

f−1(b) 6= ∅ si a ∈ f−1(b), atunci D(

f−1(b))= f−1(0W) = ker( f ), adica f−1(b) = a+ker( f ).

Asadar solutia generala a ecuatiei neomogene f (x) = b este suma dintre o solutie particulara aecuatiei neomogene f (x) = b cu solutia generala a ecuatiei omogene f (x) = 0W .

1.3 Intersectia unei familii de varietati liniare

Propozitia 1.6. Daca {Ai}i∈I este o familie de varietati liniare ale spatiului vectorial V, atunci⋂i∈I

Ai ∈ A(V).

DEMONSTRATIE.

�

Corolarul 1.7. Daca {Ai}i∈I este o familie de varietati liniare ale spatiului vectorial V astfel ıncat⋂i∈I

Ai 6= ∅, atunci D

(⋂i∈I

Ai

)=⋂i∈I

D(Ai). In acest caz dim

(⋂i∈I

Ai

)= dim

(⋂i∈I

D(Ai)

).

Propozitia 1.8. Daca a si b sunt puncte distincte ın V, atunci exista o singura dreapta, notata cuab, care contine pe a si b.



DEMONSTRATIE.

�

Apendix. Relatii de recurenta liniare

Fie K este un corp. Notam prin KN multime tuturor sirurilor de elemente din K, adicamultime tuturor functiilor a : N −→ K. Vom nota cu a(n) sau cu an valoarea functiei a penumarul natural n. In cazul al doilea, vom nota cu (an)n≥0 sau, simplu, cu (an) sirul/functiaa. Daca α ∈ K si a, b ∈ KN, definim sirurile a + b, a · b si α · a prin (a + b)(n) := a(n) + b(n)(a · b)(n) := a(n)b(n) si (α · a)(n) = αa(n), adica, (a + b)n = an + bn si (α · a)n = αan, for alln ∈N. Multimea KN este evident un K-spatiu vectorial fata de operatiile:

KN × KN −→ KN, (a, b) 7→ a + b (1.1)

K× KN −→ KN, (α, a) 7→ α · a. (1.2)

Putem scrie aceste operatii astfel:

KN × KN −→ KN, ((an), (bn)) 7→ (an) + (bn) := (an + bn) (1.3)

K× KN −→ KN, (α, (an)) 7→ α · (an) := (αan). (1.4)

De fapt KN este chiar o K-algebra fata de operatiile (1.1), (1.2) si

KN × KN −→ KN, (a, b) 7→ a · b sau (1.5)

KN × KN −→ KN, ((an), (bn)) 7→ (an) · (bn) := (anbn). (1.6)

De altfel operatia externa (1.2) (sau (1.4)) poate fi obtinuta din operatia binara (1.5) (sau(1.6)) prin restrictia scalarilor de la KN la K ⊆ KN. Intr-adevar K se scufunda ın KN prinincluziunea care asociaza scalarului k ∈ K sirul constant (kn), adica kn = k pentru oricen ∈N. Observam ca spatiul vectorial KN este infinit dimensional deoarece submultimea sainfinita {e1, e2, e3, . . . , }, unde

e1 := (1, 0, 0, . . .), e2 := (0, 1, 0, . . .), e3 := (0, 0, 1, . . .),

este libera (liniar independenta). De asemenea orice functie R : KN −→ KN de tipul

R(an)n≥0 = (cr(n)an+r + cr−1(n)an+r−1 + · · ·+ c0(n)an)n≥0 ,

unde c0, . . . , cr ∈ KN sunt r siruri date, este liniara. Asadar imaginea inversa

R−1( f ) :={

a ∈ KN : cr(n)an+r + cr−1(n)an+r−1 + · · ·+ c0(n)an = f (n), ∀n ≥ 0}

a unui sir f ∈ KN este o varietate liniara a lui KN a carui directie este subsptiul

ker R = R−1(0) ={

a ∈ KN : cr(n)an+r + cr−1(n)an+r−1 + · · ·+ c0(n)an = 0, ∀n ≥ 0}

.



Ecuatiacr(n)an+r + cr−1(n)an+r−1 + · · ·+ c0(n)an = f (n), ∀n ≥ 0, (1.7)

care defineste varietatea liniara R−1( f ), se numeste relatie de recurenta liniara neomogena deordin r, iar ecuatia

cr(n)an+r + cr−1(n)an+r−1 + · · ·+ c0(n)an = 0, ∀n ≥ 0, (1.8)

care defineste subspatiul ker R al lui KN, se numeste relatie de recurenta liniara omogena deordin r. Daca sirurile c0, . . . , cr ∈ KN sunt constante, atunci (1.7) si (1.8) devin

cran+r + cr−1an+r−1 + · · ·+ c0an = f (n), ∀n ≥ 0 (1.9)cran+r + cr−1an+r−1 + · · ·+ c0an = 0, ∀n ≥ 0 (1.10)

si se numesc relatie de recurenta liniara neomogena de ordin r cu coeficienti constanti respectivrelatie de recurenta liniara omogena de ordin r cu coeficienti constanti.

Examplul 1.1. ([2, p.62]) Relatia de recurenta liniara neomogena de ordin 1

an+1 = c(n)an + f (n) (1.11)

are solutia generala

an = a0c(0) · · · c(n− 1) + c(1) · · · c(n− 1) f (0) + c(2) · · · c(n− 1) f (1)+ · · ·+ c(n− 1) f (n− 2) + f (n− 1). (1.12)

SOLUTIE. Putem presupune ca termenii sirului (c(n)) sunt toti nenuli, deoarece termeniic(n) care ar fi zero nu ar implica valoarea f (n) a termenului an+1.

Luuand n = p ın relatia de recurenta (1.11) si impartind-0 cu produsul c(0) · · · c(p)obtinem

ap+1

c(0) · · · c(p)−

ap

c(0) · · · c(p− 1)=

f (p)c(0) · · · c(p)

. (1.13)

Dand acum lui p succesiv valorile 1, 2, . . . n− 1 obtinem

a2

c(0)c(1)− a1

c(0)=

f (1)c(0)c(1)

a3

c(0)c(1)c(2)− a2

c(0)c(1)=

f (2)c(0)c(1)c(2)

...an

c(0) · · · c(n− 1)− an−1

c(0) · · · c(n− 2)=

f (n− 1)c(0) · · · c(n− 1)

. (1.14)

Adunand relatiile (1.14) obtinem

an

c(0) · · · c(n− 1)− a1

c(0)=

f (1)c(0)c(1)

+f (2)

c(0)c(1)c(2)+ · · ·+ f (n− 1)

c(0) · · · c(n− 1),

adica tocmai relatia (1.12). �Observam acum ca solutia generala (1.12) a relatiei de recurenta liniara neomogena de

ordinul 1 (1.11) are componenta a0c(0) · · · c(n − 1) care, atunci cand a0 parcurge ıntregulcorp K, genereaza nucleul ker R al transformarii liniare

R : KN −→ KN, R(an)n≥0 = (an+1 − c(n)an)n≥0,



iar sirul (ξn)n≥0, unde ξ0 = 0 si

ξn := c(1) · · · c(n− 1) f (0)+ c(2) · · · c(n− 1) f (1)+ · · ·+ c(n− 1) f (n− 2)+ f (n− 1), ∀n ≥ 1,

este o solutie particulara a ecuatiei R(an) = f (n), ∀n ≥ 0. In termenii aplicatiei liniaresolutia generala a recurentei liniare (1.11) este

ker R + (ξn)n≥0 = 〈(φn)n≥0〉+ (ξn)n≥0,

unde φ0 = 1, iar φn = c(0) · · · c(n− 1) pentru n ≥ 1.Daca sirul (c(n)) este constant si are termenii egali cu c, atunci relatia de recurenta liniara

neomogena de ordin 1 cu coeficienti constanti

an+1 = can + f (n)

are solutia generala

an = a0cn +n−1

∑k=0

ck f (n− k− 1).

Teorema 1.9. ([2, p.68]) Daca s este o radacina de ordin m a polinomului

crXr + cr−1Xn+r−1 + · · ·+ c1X + c0 ∈ C[X], (1.15)

atunci sirurile (nksn)n≥0, 0 ≤ k ≤ m− 1 sunt solutii ale relatiei de recurenta liniara omogena deordin r cu coeficienti constanti (1.10). Daca

crXr + cr−1Xn+r−1 + · · ·+ c1X + c0 = cr(X− s1)m1 · · · (X− sp)

mp , si 6= sj pentru i 6= j,

atunci solutia generala a recurentei liniare omogena de ordin r cu coeficienti constanti (1.10) estemultimea combinatiilor liniare a sirurilor (nksn

j )n≥0, 0 ≤ k ≤ mj − 1, 1 ≤ l ≤ r.

Asadar

ker R = 〈(sn1), (nsn

1), . . . , (nm1−1sn1), (s

n2), (nsn

2), . . . , (nm1−1sn2), . . . , (sn

p), (nsn1), . . . , (nmp−1sn

p)〉,unde

R : KN −→ KN, R(an)n≥0 = (cran+r + cr−1an+r−1 + · · ·+ c0an)n≥0 ,iar s1, . . . , sr sunt radacinile polinomului (1.15), numit polinomul caracteristic al recurenteiliniare omogene de ordin r cu coeficienti constanti (1.10). Prin urmare ker R este un subspatiufinit dimensional al lui KR si dim ker R ≤ r.

Examplul 1.2. Vom determina sirul lui Fibonacci definit de relatia de recurenta

Fn = Fn−1 + Fn−2

si conditiile initiale F0 = 0 si F1 = 1.

SOLUTIE. Ecuatia caracteristica este r2− r− 1 = 0 si ea are radacinile r1 = 1+√

52 si r2 = 1−

√5

2 .Prin urmare sirul (an) are forma

Fn = λ

(1 +√

52

)n

+ µ

(1−√

52

)n

,

iar constantele reale λ si µ se determina din conditiile initiale{F0 = 0F1 = 1 ⇐⇒

{λ + µ = 0λ 1+

√5

2 + µ 1−√

52 = 1

⇐⇒{

λ = 1√5

µ = − 1√5.

Asadar

Fn =1√5

(1 +√

52

)n

− 1√5

(1−√

52

)n

. (1.16)



1.4 Probleme

1. Se considera un corp finit K cu card(K) = q.

(a) Determinati numarul punctelor unei varietati p-dimensionale ale lui Kn.

(b) Determinati numarul dreptelor lui Kn care trec printr-un punct fixat.

SOLUTIE. (1a) Vom arata ca o varietate p-dimensionala a lui Kn are qp elemente. Con-sideram ın acest scop o varietate p-dimensionala A = a + 〈d1, . . . , dp〉, where d1, . . . , dpsunt LI. Se poate usor arata ca aplicatia

F : Kp → A, F(x1, . . . , xp) = a + x1d1 + · · ·+ xpdp

este bijectiva. Prin urmare numarul punctelor unei drepte a lui Kn este q,

(1b) Numarul dreptelor lui Kn care trec printr-un punct fixat este egal cu numarulsubspatiilor unu dimensionale ale lui Kn. Pentru a determina numarul subspatiilorunu dimensionale ale lui Kn observam ca acestea punctate (adica subspatiile unu di-mensionale din care a fost exclus originea lui Kn) sunt clasele de [x] echivalenta ale luiKn \ {0} fata de urmatorare relatie de echivalenta

x ∼ y daca exista λ ∈ K astfel ıncat y = λx.

Daca notam cu r cardinalul multimii subspatiilor unu dimensionale ale lui Kn si cu

x1, . . . , xr un sistem de reprezentanti ai partitiei Kn \ {0}/∼ observam ca Kn \ {0} =

[x1] ∪ · · · ∪ [xr] precum si ca [xi] = q − 1 pentru orice i = 1, . . . , r. Asadar qn − 1 =

r(q− 1), fapt care arata ca r =qn − 1q− 1

.

2. In R4 se dau planul α = (2, 4, 1, 2) + 〈(1, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 1)〉 si dreapta D = (2, 3,−1, 1)+ 〈(1, 1,−1, 1)〉. Sa se determine D ∩ α.

3. (A se vedea si [3, Problema 1, p. 91]) Care dintre urmatoarele submultimi sunt varietatiliniare ale spatiilor lor ambiente ?

(a) A := {(x1, x2, x3) ∈ R3 : 2x1 − x2 + x3 − 2 = 0}(b) B := {(x1, x2, x3) ∈ R3 : (x1 + x2, 2x2 + x3, x3 − 2x1) ∈ A}(c) C := {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x2

1+x22+x2

3−2x1x2−2x1x3+2x2x3=0}(d) D := {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x4

1 + x2 − 2x3 + x4 = 0}

SOLUTIE.



4. Fie a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn doua siruri finite de numere reale. Fie I ⊆ R un intervaldeschis s g : I −→ R o functie de clasa C∞. Care dintre urmatoarele submultimi suntvarietati liniare ale spatiului C∞(I) ?

(a) A := { f ∈ C∞(I) : f (n) + a1 f (n−1) + · · ·+ an−1 f ′ + an f + g = 0};(b) B := {h ∈ C∞(I) : h(n) + b1h(n−1) + · · ·+ bn−1h′ + bnh ∈ A};(c) C := {ϕ ∈ C∞(I) : ϕ3 − 5ϕ2 + 6ϕ = 0}.

SOLUTIE.

5. ([3, Problema 2, p. 91]) In spatiul R4 se dau varietatile liniare

a = (2, 1, 2, 1), D = (1, 3, 0, 0) + 〈(1, 1, 1, 1)〉α = (1, 0, 1, 0) + 〈(2, 1, 3,−1), (1, 0, 2,−2)〉H = 〈(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)〉.

Care dintre urmatoarele relatii au loc ?

I a ∈ D, I a ∈ α, I a ∈ H, I D‖α, I D‖H, I α‖H, I D ⊆ α, I α ⊆ H.

SOLUTIE.

6. ([3, Problema 11, p. 94]) In spatiul vectorial V (dim V > 4) se dau trei puncte distinctea, b, c si un plan α = a + 〈d1, d2〉. Sa se determine o varietate liniara 4-dimensionala



A ∈ A(V) care contine punctele a, b si c si este paralel cu α.

7. ([3, Problema 13, p. 95]) Consideram un spatiu vectorial V, o varietate liniara r-dimensionala A ∈ A(V) si un punct b ∈ V. Sa se arate ca exista o singura varietateliniara r-dimensionala B ∈ A(V) astfel ıncat b ∈ B si B‖A.

SOLUTIE. A‖B ⇔ D(A) ⊆ D(B) sau D(B) ⊆ D(A). Dearece dim D(A) = dim D(B),rezulta ca D(A) si D(B) sunt ın relatia de incluziune daca si numai daca D(A) = D(B).Asadar singura varietate liniara care contine b si este paralela cu A este B = b + D(A).

8. Sa se arate ca un hiperplan H = a + 〈d1, . . . , dn−1〉 a lui Rn este caracterizat de ecuatia∣∣∣∣∣∣∣∣∣x1 − a1 x2 − a2 · · · xn − an

d11 d2

1 · · · dn1

...... . . . ...

d1n1

d2n−1 · · · dn

n−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0,

unde a = (a1, a2, . . . , an) si di = (d1i , d2

i , . . . , dni ) pentru 1 ≤ i ≤ n− 1.

SOLUTIE.

9. Gasiti solutia generala a recurentei liniare neomogene de ordinul 1 cu coeficienti constanti

an+1 = can + dn.

SOLUTIE.



10. Aratati ca∣∣∣∣∣∣∣∣∣a + ξ1η1 ξ1η2 · · · ξ1ηm

ξ2η1 a + ξ2η2 · · · ξ2ηm

...... . . . ...

ξmη1 ξmη2 · · · a + ξmηm

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = am−1(a + ξ1η1 + · · ·+ ξmηm). (1.17)

SOLUTIE. 1

11. Determinati sirul (an) dat prin relatia de recurenta an+2 = 2(an+1− an) si prin conditiileinitiale a0 = a1 = 1.

SOLUTIE.

12. Determinati, ın functie de a0 si a1 sirul dat prin relatia de recurenta liniara

an+2 − (s1 + s2)an+1 + s1s2an = 0.

1Indicatie. Aratati mai ıntai ca determinatul de mai sus, sa-i spunem ∆m, satisface relatia de recurenta

∆m = a∆m−1 + ξmηmam−1.



SOLUTIE.

13. Daca (Fn) noteaza sirul lui Fibonacci (definit de relatia de recurencta Fn = Fn−1 + Fn−2si conditiile initiale F0 = 0 si F1 = 1), aratati ca

limn→∞

Fn+1

Fn=

1 +√

52

. (1.18)

SOLUTIE. Daca φ = 1+√

52 , observam ca φ = 1 + 1

φ . Pe de alta parte termenii sirului

Rn = Fn+1Fn

satisfac relatiile

Rn =Fn+1

Fn=

Fn + Fn−1

Fn= 1 +

1Rn−1

. (1.19)

Asadar avem succesiv:

|Rn − φ| =∣∣∣∣(1 +

1Rn−1

)−(

1 +1φ

)∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 1Rn−1

− 1φ

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣φ− Rn−1

Rn−1φ

∣∣∣∣≤ 1

φ|Rn−1 − φ| ≤

(1φ

)n−1

|R1 − φ|.

Deoarece 0 < 1φ < 1, deducem ca lim

n→∞

(1φ

)n−1

= 0 si deci limn→∞

Fn+1

Fn= lim

n→∞Rn = φ.

Observatia 1.1. Calculul limitei (1.18) se poate face si trecand direct la limita ın relatia(1.19), daca stim ca aceasta limita exista. In solutia de mai sus aratam ca limita exista.O alta metoda de calcul a limitei (1.18) foloseste forma (1.16) a sirului lui Fibonacci.



2 Saptamana 2

2.1 Invelitori si combinatii afine

Definitia 2.1. Daca M este o submultime a lui V, atunci varietatea liniara

af(M) :=⋂{A |M ⊆ A, A ∈ A(V)}

se numeste ınfasuratoarea sau anvelopa sau ınchiderea afina a lui M.

Propozitia 2.1. (Proprietatile operatorului af ) Fie M, N ∈ P(V) si A ∈ A(V).

1. M ⊆ af(M) si af(M) ∈ A(V).

2. Daca M ⊆ A si A ∈ A(V), atunci af(M) ⊆ A (af(M) este cea mai mica varietate liniara cecontine multimea M).

3. M ⊆ N =⇒ af(M) ⊆ af(N) (Operatorul ′′af′′ este crescator).

4. af(M) = M⇐⇒ M ∈ A(V).

5. af (af(M)) = af(M) (Operatorul ′′af′′ este idempotent).

DEMONSTRATIE.

�In sectiunea urmatoare vom arata ca ınvelitoarea afina a multimii M este multimea combinatiilor

afine de elemente din M.

Definitia 2.2. O combinatie liniaram

∑i=1

λixi a.ı.m

∑i=1

λi = 1, se numeste combinatie afina.

Propozitia 2.2. O submultime L a lui V este varietate liniara a lui V daca si numai daca(x1, . . . , xm ∈ L si λ1, . . . , λm ∈ K,

m

∑i=1

λi = 1

)⇒

m

∑i=1

λixi ∈ L. (2.1)

DEMONSTRATIE.



�

Propozitia 2.3. Daca M ∈ P(V), atunci

af(M) ={ m

∑i=1

λixi

∣∣∣m∈N, xi∈M, λi ∈ K, i=1, . . . , m,m

∑i=1

λi = 1}

.

DEMONSTRATIE.

�



2.2 Dreptele unui spatiu afin

Amintim ca daca a si b sunt puncte distincte ın V, atunci exista o singura dreapta, notata cuab, care contine pe a si b. Mai precis ab = a + 〈b− a〉.

Propozitia 2.4. Fie V un spatiu vectorial cu scalari ıntr-un corp K cu cel putin 3 elemente. Osubmultime L a lui V este varietate liniara daca si numai daca, odata cu doua puncte distincte a, b ∈L, multimea L contine ıntreaga dreapta ab.

DEMONSTRATIE.

�

Examplul 2.1. Daca corpul K al scalarilor lui V are doar doua elemente, atunci propozitia 2.4nu are loc. Intr-adevar, daca K = Z2 = {0, 1}, atunci submultimea M := {(0, 0), (0, 1), (1, 0)}a planului V = Z2

2 contine toate dreptele care trec prin cate doua puncte din M, ıntrucatdreptele planului Z2

2 sunt formate din doar doua puncte, si totusi M nu este varietate liniara.Intr-adevar, daca M ar fi varietate liniara a lui V, atunci M ar fi chiar subspatiu vectorial allui V deoarece 0 ∈ M. Dar atunci (1, 1) = (0, 1) + (1, 0) ar apartine lui M, ceea ce nu esteadevarat.

Observatia 2.1. Propozitia (2.4) poate fi rescrisa ın termenii aplicatiei

α : P(V) −→ P(V), α(M) = {tx + (1− t)y | x, y ∈ M, t ∈ K} (2.2)

astfel:Fie V un spatiu vectorial cu scalari ıntr-un corp K cu cel putin 3 elemente. O submultime L a lui Veste varietate liniara daca si numai daca α(L) ⊆ L.

Observatia 2.2. Fie V un spatiu vectorial cu scalari ıntr-un corp K. Daca M ⊆ V, atunci

M ⊆ α(M) ⊆ α2(M) ⊆ · · · ⊆ af(M).

Intr-adevar, incluziunea M ⊆ α(M) este evidenta, fapt care arata ca

M ⊆ α(M) ⊆ α2(M) ⊆ · · · ⊆ αk(M) ⊆ · · · . (2.3)



Din relatia M ⊆ af(M) deducem α(M) ⊆ α(af(M)) ⊆ af(M), precum si ca αk(M) ⊆ af(M),pentru orice k ≥ 1.

O ıntrebare naturala care apare ın legatura cu sirul (2.3) este daca termanii acestuiaacopera ıntrega ınvelitoare afina a lui M ıncepand cu un anumit rang. Daca spatiul am-biant V a lui M este finit-dimensional, atunci raspunsul este afirmativ, asa cum vom vedeamai tarziu.

2.3 Probleme

1. Sa se arate ca doua varietati liniare r-dimensionale A si B ale unui spatiu vectorial Vsunt paralele daca si numai daca D(A) = D(B).

SOLUTIE.

2. In R4 consideram urmatoarele varietati liniare

(L1)

{x1 + x3 − 2 = 0

2x1 − x2 + x3 + 3x4 − 1 = 0

(L2)

x1 + x2 + 2x3 − 3x4 = 1

x2 + x3 − 3x4 = −1x1 − x2 + 3x4 = 3

(a) Sa se determine dimensiunile lui L1 si L2 si sa se scrie ecuatiile lor paramertice sivectoriale.

(b) Sa se arate ca L1‖L2.

SOLUTIE.



3. In spatiul afin Rn (n ≥ 2) se dau dreapta

∆ = (a1, . . . , an) + 〈(p1, . . . , pn)〉, (p21 + · · ·+ p2

n > 0)

si hiperplanul H : α1x1 + · · ·+ αnxn + β = 0, (α21 + · · ·+ α2

n > 0). Sa se arate ca ∆‖Hdaca si numai daca α1p1 + · · ·+ αn pn = 0.

SOLUTIE.

4. Sa se arate ca pentru orice submultimi M si N ale spatiului vectorial V are loc relatia

af (af(M) ∪ af(N)) = af(M ∪ N). (2.4)

SOLUTIE. Deoarece M ∪ N ⊆ af(M) ∪ af(M) si M, N ⊆ af(M ∪ N), rezulta ca

af(M ∪ N) ⊆ af (af(M) ∪ af(M)) (2.5)

si af(M), af(M) ⊆ af(M ∪ N). Asadar af(M) ∪ af(M) ⊆ af(M ∪ N) si deci

af (af(M) ∪ af(M)) ⊆ af (af(M ∪ N)) = af(M ∪ N). (2.6)

Folosind incluziunile (2.5) si (2.6) deducem egalitatea (2.4).



3 Saptamana 3Observatia 3.1. Daca V este un spatiu vectorial n-dimensional si M ⊆ V este o multimenevida, atunci

af(M) ={ m

∑i=1

λixi

∣∣∣1 ≤ m ≤ n + 1, λi ∈ K, xi ∈ M, i = 1, m,m

∑i=1

λi = 1}

.

3.1 Teorema dimensiunii. Paralelism

Propozitia 3.1. Daca A, B ∈ A(V), a ∈ A, b ∈ B, atunci

af(A ∪ B) = a + D(A) + D(B) + 〈b− a〉 .

DEMONSTRATIE.

�

Propozitia 3.2. Fie A, B ∈ A(V), a ∈ A, b ∈ B. Atunci

A ∩ B 6= ∅⇐⇒ 〈b− a〉 ⊆ D(A) + D(B).



DEMONSTRATIE.

�

Propozitia 3.3. Daca varietatile liniare A si B au un punct comun a, atunci avem af(A ∪ B) =a + D(A) + D(B) si A ∩ B = a + D(A) ∩ D(B).

DEMONSTRATIE.

�

Examplul 3.1. Daca A, B sunt varietati liniare ıntr-un spatiu vectorial peste K 6' Z2 si A ∩B 6= ∅, atunci

af(A ∪ B) = {ta + (1− t)b | a ∈ A, b ∈ B, t ∈ K}. (3.1)

Ipotezele A ∩ B 6= ∅ si K 6' Z2 sunt esentiale.

SOLUTIE.

�

Observatia 3.2. Fie V un spatiu vectorial peste corpul K.

1. Daca A, B ∈ A(V) sunt varietati liniare astfel ıncat A ∩ B 6= ∅, atunci se poate usorarata ca α(A ∪ B) = {λa + (1− λ)b | a ∈ A, b ∈ B, λ ∈ K}unde α este functia (2.2).Egalitatea 3.1) ne arata ca pentru M = A ∪ B invelitoarea afina af(M) = af(A ∪ B)este acoperita de la prima iterare α(M), adica egalitatea af(M) = αr(M) are loc pentrur = 1.



2. Daca A este o varietate liniara a spatiului vectorial V de dimensiune cel putin unu sic ∈ V \ A un punct dat, atunci α({c} ∪ A) =

⋃a∈A af(a, c). Faptul ca α({c} ∪ A) =⋃

a∈A af(a, c) nu este o varietate liniara (a se vedea problema 3.2(1)) arata ca egalitateaαr({c} ∪ A) = af({c} ∪ A) este satisfacuta pentru r ≥ 2. Se poate arata ca α2({c} ∪A) = af({c} ∪ A) ın cazul K 6∼= Z2.

Teorema 3.4. (Teorema dimensiunii) Fie A, B varietati liniare nevide de finit dimensionale.

1. Daca A ∩ B 6= ∅, atunci dim af(A ∪ B) = dim(A) + dim(B)− dim(A ∩ B).

2. Daca A ∩ B = ∅, atunci dim af(A ∪ B) = dim (D(A) + D(B)) + 1.

Propozitia 3.5. Presupunem ca dim(V) = n. Daca varietatea afina A ∈ A(V) nu are niciunpunct comun cu hiperplanul H, atunci A||H.

DEMONSTRATIE.

�

Observatia 3.3. Daca dreapta L intersecteaza hiperplanul H ıntr-un punct, atunci orice dreaptaparalela L′ la L intersecteaza H tot ıntr-un punct. Intr-adevar, altfel am avea L′||H, adicaL||H si deci L ⊆ H sau L ∩ H = ∅.

3.2 Probleme

1. Fie A o varietate liniara de dimensiune cel putin unu a unui spatiu vectorial V si c ∈V \ A un punct dat. Este multimea ⋃

a∈Aaf(a, c)

o varietate liniara ?

SOLUTIE. Multimea⋃

a∈Aaf(a, c) nu este varietate liniara dearece contine multimile {c}

si A si nu contine ınvelitoarea lor afina af({c} ∪ A) = c + D(A) + 〈a0 − c〉, unde A =

a0 + D(A). De exemplu c + u 6∈⋃

a∈Aaf(a, c), daca u ∈ D(A), u 6= 0. Intr-adevar

daca c + u ar apartine⋃

a∈Aaf(a, c), atunci c + u = c + t(a − c), a ∈ A, t ∈ K, adica

c = a− t−1u ∈ a + D(A), contradictie cu c 6∈ A.

Observatia 3.4. Fie V un spatiu vectorial peste corpul K.

(a) Daca A, B ∈ A(V) sunt varietati liniare astfel ıncat A ∩ B 6= ∅, atunci se poateusor arata ca α(A∪ B) = {λa + (1− λ)b | a ∈ A, b ∈ B, λ ∈ K}unde α este functiadefinita ın problema 1.4 (sem. 1). Egalitatea (3.1) ne arata ca pentru M = A ∪ Binvelitoarea afina af(M) = af(A ∪ B) este acoperita de la prima iterare α(M),adica egalitatea af(M) = αr(M) are loc pentru r = 1.



(b) Daca A este o varietate liniara a spatiului vectorial V de dimensiune cel putin unusi c ∈ V \ A un punct dat, atunci α({c} ∪ A) =

⋃a∈A af(a, c). Faptul ca α({c} ∪

A) =⋃

a∈A af(a, c) nu este o varietate liniara arata ca egalitatea αr({c} ∪ A) =af({c} ∪ A) este satisfacuta pentru r ≥ 2 si ca ipoteza A ∩ B 6= ∅ ın Exemplul 3.1este esentiala. Se poate arata ca α2({c} ∪ A) = af({c} ∪ A) ın cazul K 6∼= Z2.

2. Sa se arate ca daca ın structura afina a unui spatiu vectorial 4-dimensional doua hiper-plane au un punct comun, atunci ele au un plan comun.

SOLUTIE. Fie H1, H2 doua hiperplane ale unui spatiu vectorial 4-dimensional, adicadim(H1) = dim(H2) = 3.

Daca cele doua hiperplane au un punct comun, adica H1 ∩ H2 6= ∅, atunci, conformteoremei dimensiunii, dim af(H1 ∪ H2) = dim(H1) + dim(H2)− dim(H1 ∩ H2) = 6−dim(H1 ∩ H2). Pe de alta parte dim af(H1 ∪ H2) ≤ 4, adica 6− dim(H1 ∩ H2) ≤ 4 ⇔dim(H1 ∩ H2) ≥ 2.

3. Se considera varietatile liniare A si B astfel ıncat A ∩ B = ∅ si dim A = dim B = p. Sase arate ca A‖B daca si numai daca A si B sunt incluse ıntr-o varietate de dimensiunep + 1.

SOLUTIE. A‖B ⇔ D(A) ⊆ D(B) sau D(B) ⊆ D(A). Dearece dim D(A) = dim D(B),rezulta ca D(A) si D(B) sunt ın relatia de incluziune daca si numai daca D(A) = D(B).Pe de alta parte

dim af(A ∪ B) = dim(D(A) + D(B)) + 1 = dim D(A) + 1 = p + 1,

adica rolul varietatii de dimensiune p + 1 poate fi jucat de af(A ∪ B).

Invers, daca cele doua varietati sunt continute ıntr-o varietate (p + 1)-dimensionalarezulta ca aceasta din urma contine si ınvelitoarea afina af(A ∪ B) si deci

dim(D(A) + D(B)) + 1 = dim af(A ∪ B) ≤ p + 1,

adic

4. Se considera ın R5 vectorii a = (1, 0, 0, 2, 0), b = (0, 2, 0, 0, 1), c = (1, 2, 0, 0, 0) si d =(0, 0, 0, 2, 1) si varietatile liniare A = a + 〈b, c〉, B = c + 〈b, d〉. Sa se afle A ∩ B siaf(A ∪ B).

SOLUTIE. Observam ca a + b = (1, 2, 0, 2, 1) = c + d, adica a = c + (−b) + d ∈ c +〈b, d〉 = B, si deci a ∈ A∩ B. Prin urmare A∩ B = a+ D(A)∩D(B) = a+ 〈b, c〉 ∩ 〈b, d〉⊇ a + 〈b〉. Ultima incluziune este de fapt egalitate deoarece vectorii b, c, d sunt liniarindependenti. Intr-adevar

rang

0 2 0 0 11 2 0 0 00 0 0 2 1

= 3.

Asadar A∩ B = a+ 〈b〉. Mai mult af(A∪ B) = a+D(A)+D(B) = a+ 〈b, c〉+ 〈b, d〉 =a + 〈b, c, d〉.

5. Fie V un spatiu vectorial finit dimensional peste corpul K, unde K 6' Z2. Se consideraaplicatia

α : P(V) −→ P(V), α(M) = {tx + (1− t)y | x, y ∈ M, t ∈ K}



si iteratele α1 = α, α2 = α ◦ α, . . .. Sa se arate ca pentru orice M ∈ P(V) se poate gasiun numar natural r astfel ıncat

af(M) = αr(M).

Sa se arate ca ipoteza K 6' Z2 este esentiala.

SOLUTIE. Mai ıntai observam ca A ∈ A(V) ⇐⇒ α(A) ⊆ A. In particular α(af(M)) ⊆af(M). Asadar, incluziunea evidenta M ⊆ af(M) ne arata ca

α(M) ⊆ α(af(M)) ⊆ af(M), ∀M ∈ P(V).

Prin urmare avem

M ⊆ α(M) ⊆ α2(M) ⊆ · · · ⊆ αk(M) ⊆ · · · ⊆ af(M)

pentru orice multime M ∈ P(V). In continuare vom arata ca pentru orice M ∈ P(V)

af(M) ⊆ αn(M), unde n = dim(V).

In acest scop tratam problema ın doua cazuri diferite, dupa cum caracteristica corpuluiK este doi sau diferita de doi.

Cazul I. char(K) 6= 2. Fie x ∈ af(M) si x1, . . . , xm, λ1, . . . , λm ∈ K astfel ıncat λ1 + · · ·+λm = 1 si x = λ1x1 + · · ·+λmxm. Folosind un argument de tip Caratheodory deducemca m poate fi ales ≤ n + 1. Daca m ≥ 3, atunci exista doi coeficienti, sa spunem λ1, λ2,astfel ıncat λ1 + λ2 6= 0. Asadar avem

x = λ1x1 + · · ·+ λmxm

= (λ1 + λ2)λ1x1 + λ2x2

λ1 + λ2+ λ3x3 + · · ·+ λmxm

= µ1y1 + λ3x3 + · · ·+ λmxm,

unde µ1 = λ1 + λ2 si µ1 =λ1x1 + λ2x2

λ1 + λ2∈ α(M) si x3, . . . , xm ∈ M ⊆ α(M). Asadar

x este o combinatie afina de m − 1 elemente din α(M) cu ponderile µ1 = λ1 + λ2,λ3, . . . , λm. Daca m = 3, atunci x ∈ α(M) ⊆ αn−1(M). Altfel continuam procedeul demai sus de reducere succesiva cu o unitate a lungimii combinatiilor afine si crestereasimultana cu o unitate a ordinului iteratei lui α din care sunt luati vectorii combinatieiafine. Dupa cel mult m− 2 pasi vom obtine ca x ∈ αm−2(M) ⊆ αn−1(M).

Cazul II. char(K) = 2. Fie x ∈ af(M) si x1, . . . , xm, λ1, . . . , λm ∈ K astfel ıncat λ1 +· · ·+ λm = 1 si x = λ1x1 + · · ·+ λmxm. Daca exista doi coeficienti avand suma nenula,atunci procedeul de reducere a lungimii combinatiei afine este acelasi cu cel din primulcaz. Altfel, suma oricaror doi coeficienti este nula si deducem ca λ1 = · · · = λm, adicax = x1 + · · · + xm, ıntrucat are loc si egalitatea λ1 + · · · + λm = 1. Consideram ıncontinuare un scalar r ∈ K \ {0, 1} si observam ca pentru m ≥ 3 avem:

x = x1 + · · ·+ xm

= r(1 + r)x1 + x2

r+ (1− r)

x3 − rx1

1− r+ x4 + · · ·+ xm

= ry1 + (1− r)y2 ++x4 + · · ·+ xm,



unde y1 =(1 + r)x1 + x2

r∈ α(M) si y2 =

x3 − rx1

1− r∈ α(M). Asadar x este, si

ın acest caz, o combinatie afina de m − 1 elemente din α(M) cu ponderile r, 1 − r,1, . . . , 1. Din acest punct, argumentul continua precum ın cazul precedent. In sfarsit,observam ca αr(M) = M 6= af(M) = Z2 × Z2 pentru orice r ∈ N∗, unde M ={(0, 0), (1, 0), (0, 1)} ⊆ Z2 ×Z2.

6. Sa se determine toate pozitiile reciproce posibile a doua plane α si β dintr-un spatiuvectorial 4-dimensional precizand ın fiecare caz si dim(af (α ∪ β)).

SOLUTIE. Cazul I α ∩ β = ∅. In acest caz dim af(α ∪ β) = dim(D(α) + D(β)) + 1 ≤4, adica dim(D(α) + D(β)) ≤ 3. Pe de alta parte dim(D(α) + D(β)) ≥ 2 deoareceD(α), D(β) ⊆ D(α) + D(β) si dim D(α) = dim D(β) = 2.

(a) Daca dim(D(α) + D(β)) = 2, atunci D(α) = D(β) = D(α) + D(β) si deci α‖β, iardim af(α ∪ β) = 3.

(b) Daca dim(D(α) + D(β)) = 3, atunci α, β nu au puncte comune si nu sunt niciparalele, iar dim af(α ∪ β) = 4.

Cazul II α ∩ β 6= ∅, adica dim(α ∩ β) ≥ 0. Pe de alta parte dim(α ∩ β) ≤ 2 deoareceα ∩ β ⊆ α, β si dim α = dim β = 2. In acest caz

dim af(α ∪ β) = dim(α) + dim(β)− dim(α ∩ β) = 4− dim(α ∩ β).

(a) Daca dim(α ∩ β) = 0, atunci α ∩ β este un punct iar dim af(α ∪ β) = 4.

(b) Daca dim(α ∩ β) = 1, atunci α ∩ β este o dreapta, iar dim af(α ∪ β) = 3.

(c) Daca dim(α ∩ β) = 2, atunci α = β = af(α ∪ β), si deci dim af(α ∪ β) = 2.

7. Intr-un spatiu vectorial n-dimensional fie L1 si L2 doua varietati liniare de dimensiunep respectiv q (p > q, p + q ≤ n− 1), astfel ıncat L1 ∩ L2 = ∅ si L1 6 ‖L2. Sa se determinemultimea valorilor posibile pentru dim af(L1∪L2).

SOLUTIE. In acest caz avem

dim af(L1∪L2)= dim (D(L1) + D(L2)) + 1= dim(D(L1))+dim(D(L2))−dim (D(L1) ∩ D(L2))+1= p + q + 1− dim (D(L1) ∩ D(L2)) .

Evident ca 0 ≤ dim (D(L1) ∩ D(L2)) ≤ q − 1, adica p + 2 ≤ dim af(L1 ∪ L2) ≤p + q + 1. Observam ca valoarea q nu este luata de dim (D(L1) ∩ D(L2)) deoareceL1 6 ‖L2. Pentru a arata ca dim af(L1 ∪ L2) ia toate valorile naturale dintre p + 2 sip + q + 1 este suficient sa aratam ca dim (D(L1) ∩ D(L2)) ia toate valorile naturaledintre 0 si q − 1. Fie r ∈ {0, 1 . . . , q − 1} si {e1, . . . , en} o baza a spatiului vectorialV. Alegem L1 = 〈e1, . . . , ep〉 si L2 = en + 〈e1, . . . , er, ep+1, . . . , ep+q−r〉. Observam caD(L1) ∩ D(L2) = 〈e1, . . . , er〉, adica dim (D(L1) ∩ D(L2)) = r, L1 ∩ L2 = ∅ si L1 6 ‖L2.Intr-adevar conditiile L1 ∩ L2 6= ∅ si L1‖L2 ar conduce la liniar dependenta vecto-rilor e1, . . . , en respectiv e1, . . . , er, ep+1, . . . , ep+q−r si implicit la o absurditate deoarece{e1, . . . , en} este o baza a spatiului vectorial V.

8. In structura afina a unui spatiu vectorial n-dimensional consideram doua hiperplane.Care sunt valorile posibile pentru dim(H1 ∩ H2) si dim af(H1 ∪ H2) ?

SOLUTIE. Separam solutia ın doua cazuri dupa cum intersectia H1 ∩ H2 este vida saunevida.



(I) H1 ∩ H2 = ∅. In acest caz, aplicand teorema dimensiunii obtinem:

n ≥ dim af(H1 ∪ H2) = dim (D(H1) + D(H2)) + 1 ≥ n− 1 + 1 = n,

adica dim(H1 ∩ H2) = −1 si dim af(H1 ∪ H2) = n.

(I I) H1 ∩ H2 6= ∅. In acest caz, aplicand teorema dimensiunii obtinem:

dim af(H1 ∪ H2) = dim(H1) + dim(H2)− dim(H1 ∩ H2)= n− 1 + n− 1− dim(H1 ∩ H2)= 2n− 2− dim(H1 ∩ H2) ≤ n,

adica n− 2 ≤ dim(H1 ∩ H2) ≤ n− 1.

Daca dim(H1 ∩ H2) = n − 2, atunci dim af(H1 ∪ H2) = n, iar daca dim(H1 ∩ H2) =n− 1, atunci H1 = H2 si dim af(H1 ∪ H2) = n− 1. Asadar multimea valorilor posibilepentru dim(H1 ∩ H2) este −1, n− 2 si n− 1, iar valorile posibile pentru dim af(H1 ∪H2) sunt n− 1 si n.

9. In structura afina a unui spatiu vectorial n-dimensional se considera un hiperplan H sio varietate lininara p-dimensionala (p < n− 1). Sa se arate ca atunci are loc una dintrerelatiile:

(a) dim(H ∩ Ap) = p− 1;

(b) H‖Ap.

SOLUTIE. Separam solutia ın doua cazuri dupa cum intersectia H ∩ Ap este vida saunevida.

(I) H ∩ Ap = ∅. In acest caz, aplicand teorema dimensiunii obtinem:

dim af(H ∪ Ap) = dim(

D(H) + D(Ap))+ 1 ≤ n,

adica n − 1 dim(

D(H) + D(Ap))≤ n − 1 si deci dim

(D(H) + D(Ap)

)= n − 1 =

dim(D(H)). IntrucatD(H) ⊆ D(H) + D(Ap)

deducem ca D(H) + D(Ap) = D(H), adica D(Ap) ⊆ D(H), fapt care ne arata caH‖Ap.

(I I) H ∩ Ap 6= ∅. In acest caz, aplicand teorema dimensiunii obtinem:

dim af(H ∪ Ap) = dim(H) + dim(Ap)− dim(H ∩ Ap)= n + p− 1− dim(H ∩ Ap) ≤ n,

adica p− 1 ≤ dim(H ∩ Ap) ≤ p. Observam ca egalitatea dim(H ∩ Ap) = p implicaAp ⊆ H, adica H‖Ap.



4 Saptamana 4: Proprietati laticeale. Multimi convexe

4.1 Proprietati laticeale ale structurii afine.

Teorema 4.1. Structura afina A(V) este o latice completa. Pentru o familie oarecare {Ai}i∈I devarietati liniare ale lui V avem:

infi∈I

Ai =⋂i∈I

Ai si supi∈I

Ai = af(⋃

i∈I

Ai).

Observatia 4.1. 1. Daca A, B ∈ A(V) si a ∈ A, b ∈ B, atunci A∨ B = a + D(A) + D(B) +〈b− a〉 si A ∧ B = A ∩ B.

2. Daca A ∩ B 6= ∅ si a ∈ A ∩ B, atunci A ∨ B = a + D(A) + D(B) si A ∧ B = A ∩ B =a + D(A) ∩ D(B).

Propozitia 4.2. Daca spatiile vectoriale V si W, avand scalarii ın acelasi corp K, sunt izomorfe,atunci laticele A(V) si A(W) sunt izomorfe. Daca f : V −→ W este un izomorfism liniar, atunciaplicatia f : A(V) −→ A(W), f (A) := { f (a) | a ∈ A} = f (A) este un izomorfism laticeal.

4.2 Structura afina a spatiului vectorial Kn

Din Propozitia 4.2 reiese importanta structurii afineA(Kn) a lui Kn. Intr-adevar, orice spatiuvectorial n-dimensional peste K este izomorf cu Kn, structurile afine ale spatiilor vectori-ale n-dimensionale fiind laticeal izomorfe cu A(Kn). Fie A = x0 + D(A) ∈ A(Kn), iar{d1, . . . , dr} o baza a lui D(A), x0 = (x1, . . . , xn) si dj = (d1j, . . . , dnj), j = 1, 2, . . . , r. Asadar

A ={(x1, . . . , xn) ∈ Kn | xi = x0

i +r

∑j=1

dijλj, λj ∈ K}

.

Relatiile

xi = x0i +

r

∑j=1

dijλj, i = 1, . . . , n (4.1)

se numesc ecuatiile parametrice ale varietatii liniare A. Pe de alta parte, varietatile liniare alelui Kn coincid cu solutiile sistemelor liniare. Mai precis, orice varietate liniara A ∈ A(Kn)poate fi caracterizata si astfel:

A ={(x1, . . . , xn) ∈ Kn |

n

∑j=1

aijxj = bi, i = 1, . . . , m}

.

Conditiile care figureaza aici, adica

n

∑j=1

aijxj = bi, i = 1, . . . , m,

se numesc ecuatiile implicite ale varietatii liniare A. Intersectia a doua varietati liniare A, B ∈A(Kn) se caracterizeaza usor daca A si B sunt date prin sisteme de ecuatii. Mai precis sis-temul de ecuatii a lui A ∩ B se obtine luand ecuatiile lui A si B. Varietatea liniara A ∨ B,subıntinsa de varietatile liniare A si B, se caracterizeaza ınsa mai usor daca avem reprezentarileparametrice ale varietatilor A si B.



4.3 Submultimile convexe ale unui spatiu vectorial real

Definitia 4.1. Fie V un spatiu vectorial real. O multime C ⊆ V se numeste convexa dacapentru orice x, y ∈ C segmentul [xy] := {(1− t)x + ty : t ∈ [0, 1]} este continut ın C.

Definitia 4.2. Daca M este o submultime a lui V, atunci multimea

conv(M) :=⋂{C |M ⊆ C si C− convexa}

se numeste ınvelitoarea convexa sau ınchiderea convexa a lui M.

Propozitia 4.3. (Proprietatile operatorului conv)

1. M ⊆ conv(M) si conv(M) este o multime convexa pentru orice M ∈ P(V).

2. Daca M ⊆ C si C este convexa, atunci conv(M) ⊆ C.2

3. M ⊆ N =⇒ conv(M) ⊆ conv(N).3

4. conv(M) = M daca si numai daca M este convexa.

5. conv (conv(M)) = conv(M) pentru orice M ∈ P(V).4

Observatia 4.2. 1. Daca {Ci}i∈I este o familie de submultimi convexe ale spatiului vec-torial real V, atunci intersectia

⋂i∈I

Ci este de asemenea o multime convexa.

2. Submultimea M a spatiului vectiral real V este convexa daca si numai daca

∀m ≥ 1, x1, . . . , xm, t1, . . . , tm ∈ [0, 1], t1 + · · ·+ tm = 1⇒ t1x1 + · · ·+ tmxm ∈ M.

Definitia 4.3. O combinatie liniaram

∑i=1

λixi a.ı.m

∑i=1

λi = 1 si λ1, . . . , λm ∈ [0, 1], se numeste

combinatie convexa.

Propozitia 4.4. Daca V este un spatiu vectorial real si M ⊆ V este o multime nevida, atunci

conv(M) ={ m

∑i=1

λixi

∣∣∣m ≥ 1, xi ∈ M, λi ∈ [0, 1], i = 1, m,m

∑i=1

λi = 1}

.

DEMONSTRATIE.

�2conv(M) este cea mai mica multime convexa ce contine multimea M.3Operatorul ′′conv′′ este crescator.4Operatorul ′′conv′′ este idempotent.



4.3.1 Teorema lui Caratheodory

Teorema 4.5. (Caratheodory) Daca V este un spatiu vectorial real n-dimensional si M ⊆ V este omultime nevida, atunci

conv(M) ={ m

∑i=1

λixi

∣∣∣1 ≤ m ≤ n + 1, xi ∈ M, λi ∈ [0, 1], i = 1, m,m

∑i=1

λi = 1}

.

DEMONSTRATIE.

�

4.4 Probleme

1. Daca C1, C2 sunt doua submultimi convexe ale lui Rn, ara tati ca C1 +C2 este de aseme-nea convexa.

SOLUTIE. Daca x = c1 + c2, y = c′1 + c′2 ∈ C1 + C2 si t ∈ [0, 1], unde c1, c′1 ∈ C1 sic2, c′2 ∈ C2, atunci

(1− t)x + ty = (1− t)(c1 + c2) + t(c′1 + c′2) = (1− t)(c1 + c′1) + t(c2 + c′2) ∈ C1 + C2.

2. In spatiul vectorial R2 varfurile unui triunghi sunt A1(x1, y1), A2(x2, y2), A3(x3, y3). Sase arate ca punctul M(x, y) este ın interiorul triunghiului A1A2A3 daca si numai daca

S12(x, y)S12(x3, y3) > 0,S23(x, y)S23(x1, y1) > 0,S31(x, y)S31(x2, y2) > 0,

unde

Sij(x, y) =

∣∣∣∣∣∣x y 1xi yi 1xj yj 1

∣∣∣∣∣∣ .



SOLUTIE. Aici ne bazam pe observatia ca doua puncte A(xA , yA) si B(xB , yB) din planulxOy sunt de aceeasi parte a dreptei (d) ax + by + c = 0 daca si numai daca

F(xA , yA) · F(xB , yB) > 0 unde F : R2 −→ R, F(x, y) = ax + by + c.

Observam ca ecuatia dreptei Ai Aj este Sij(x, y) = 0, iar punctul M(x, y) este ın interi-orul triunghiului A1A2A3 daca si numai daca

punctele M(x, y) si A1(x1, y1) sunt de aceeasi parte a dreptei A2A3punctele M(x, y) si A2(x2, y2) sunt de aceeasi parte a dreptei A1A3punctele M(x, y) si A3(x3, y3) sunt de aceeasi parte a dreptei A1A2,

adica, daca si numai daca S12(x, y)S12(x3, y3) > 0,S23(x, y)S23(x1, y1) > 0,S31(x, y)S31(x2, y2) > 0.

3. Fie A, B ⊂ Rn multimi convexe disjuncte si nevide, iar x un punct din Rn. Aratati ca

conv({x} ∪ A) = {ta + (1− t)x | a ∈ A, t ∈ [0, 1]}.

Aratati ca A ∩ conv({x} ∪ B) = ∅ sau B ∩ conv({x} ∪ A) = ∅.

SOLUTIE. Incluziunea {ta+(1− t)x | a ∈ A, t ∈ [0, 1]} ⊆ conv({x}∪ A) este evidenta.Invers, daca y = t0x + t1a1 + · · · + tmam ∈ conv({x} ∪ A), adica a1, . . . , am ∈ A sit0, t1, . . . , tm ∈ [0, 1] sunt astfel ıncat t0 + t1 + · · ·+ tm = 1, atunci

y = t0x + (t1 + · · ·+ tm︸︷︷︸:=t∈[0,1]

)t1a1 + · · ·+ tmam

t1 + · · ·+ tm︸︷︷︸:=a∈A

∈ {ta + (1− t)x | a ∈ A, t ∈ [0, 1]}.



Presupunemm ca A ∩ conv({x} ∪ B) 6= ∅ si B ∩ conv({x} ∪ A) 6= ∅, adica existat1, t2 ∈ [01] si a ∈ A, b ∈ b astfel ıncat

a1 := t1b + (1− t1)x ∈ A si b1 := t2a + (1− t2)x ∈ B.

Asadar

(1− t2)a1 − (1− t1)b1 = (1− t2)t1b− (1− t1)t2a⇔ (1− t2)a1 + (1− t1)t2a = (1− t1)b1 + (1− t2)t1b. (4.2)

Daca t1 = 1 sau t2 = 1, atunci A 3 a1 = b ∈ B sau B 3 b1 = a ∈ A, imposibil deoareceA si B au fost presupuse a fi disjuncte. Asadar, 0 ≤ t1, t2 < 1 si deci 0 ≥ 1− t1t2 > 0.Prin urmare, tinand cont de faptul ca

(1− t2) + (1− t1)t2 = (1− t1) + (1− t2)t1 = 1− t1t2

si de egalitatea (4.2) deducem ca

A 3 (1− t2)a1 + (1− t1)t2a1− t1t2

=(1− t1)b1 + (1− t2)t1b

1− t1t2∈ B,

adica A ∩ B 6= ∅, imposibil deoarece A si B au fost presupuse a fi disjuncte.

4. Sa se arate ca pentru doua submultimi oarecare A si B ale lui Rn are loc egalitatea:

conv(A) + conv(B) = conv(A + B).

SOLUTIE. Evident A ⊆ conv(A) si B ⊆ conv(B) si deci

A + B ⊆ conv(A) + conv(B) =⇒ conv(A + B) ⊆ conv(conv(A) + conv(B))

Dar conv(A) + conv(B) este, conform problemei (1), convexa fapt care asigura egali-tatea conv(conv(A) + conv(B)) = conv(A) + conv(B). Prin urmare

conv(A + B) ⊆ conv(A) + conv(B). (4.3)

Pentru incluziunea opusa consideram x ∈ conv(A), y ∈ conv(B) si a1, . . . , am ∈ A,b1, . . . , bm ∈ B precum si λ1, . . . , λm, µ1, . . . , µm ∈ [0, 1] astfel ıncat λ1 + · · · + λm =µ1 + · · ·+ µm = 1 si

x =m

∑i=1

λiai si y =m

∑i=j

µjbj.

Observam ca

conv(A) + conv(B) 3 x + y =m

∑i=1

λiai +m

∑i=j

µjbj

=

(m

∑i=j

µj

)(m

∑i=1

λiai

)+

(m

∑i=1

λi

)(m

∑i=j

µjbj

)

=m

∑i,j=1

λiµjai +m

∑i,j=1

λiµjbj

=m

∑i,j=1

λiµj (ai + bj)︸︷︷︸∈A+B

∈ conv(A + B),



deoarece λiµj ∈ [0, 1] pentru i, j ∈ {1, . . . , m} si

m

∑i,j=1

λiµj =

(m

∑i=1

λi

)(m

∑i=j

µj

)= 1 · 1 = 1.

Prin urmare incluziunea

conv(A) + conv(B) ⊆ conv(A + B) (4.4)

este complet demonstrata. Incluziunile (4.3) si (4.4) asigura egalitatea ceruta.

5. Sa se arate ca radacinile polinomului derivat al unui polinom neconstant cu coeficienticomplecsi apartin ınvelitorii convexe a radacinilor polinomului dat.(Teorema Gauss-Lucas)

SOLUTIE. Fie P ∈ C[z] un polinom de grad n. Acesta se identifica cu functia polino-miala asociata P : C −→ C, P(z) = anzn + · · ·+ a1z + a0, unde a0, a1, . . . , an ∈ C, an 6=0. Daca z1, . . . , zn sunt radacinile polinomului P, atunci P(z) = an(z− z1) · . . . · (z− zn)pentru orice z ∈ C si

P′(z)P(z)

=1

z− z1+ · · ·+ 1

z− zn=

z− z1

|z− z1|2+ · · ·+ z− zn

|z− zn|2, (4.5)

pentru orice z ∈ C \ {z1, . . . , zn}.Fie z o radacina a lui P′, adica P′(z) = 0. Daca z este radacina a lui P, adica P(z) = 0,atunci nu mai avem nimic de demonstrat deoarece z ∈ {z1, . . . , zn} ⊆ conv({z1, . . . , zn}).Altfel P(z) 6= 0 si

P′(z)P(z)

= 0⇔ z− z1

|z− z1|2+ · · ·+ z− zn

|z− zn|2= 0

⇔n

∑i=1

z− zi

|z− zi|2= 0⇔

n

∑i=1

z|z− zi|2

−n

∑i=1

zi

|z− zi|2= 0

⇔n

∑i=1

z|z− zi|2

=n

∑i=1

zi

|z− zi|2⇔ z

n

∑i=1

1|z− zi|2

=n

∑i=1

zi

|z− zi|2

⇔ z =

n

∑i=1

zi

|z− zi|2n

∑i=1

1|z− zi|2

⇔ z =

n

∑i=1

1|z− zi|2

zi

n

∑i=1

1|z− zi|2

∈ conv({z1, . . . , zn}).

5 Saptamana 5Teoremele lui Radon, Helly, Minkowsky, Krein-Milman siMotzkin

5.1 Teorema lui Radon

Teorema 5.1. (Radon) Daca M este submultime finita a unui spatiu vectorial real n-dimensionalformata din m ≥ n + 2 puncte, atunci exista submultimile disjuncte M1, M2 ale lui M astfel ıncatM = M1 ∪M2 si conv(M1) ∩ conv(M2) 6= ∅.



Demonstratie. Daca M = {a1, . . . , am}, atunci a2 − a1, . . . , am − a1 sunt liniar dependentedeoarece m− 1 ≥ n + 1. Asadar exista scalarii α2, . . . , αm, nu toti nuli, astfel ıncat

m

∑i=2

αi(ai − a1) = 0 adicam

∑i=1

αiai = 0,

unde α1 = −α2 − · · · − αm, adica α1 + α2 + · · · + αm = 0. Prin urmare, o parte dintrescalarii α1, . . . , αm sunt pozitivi sau nuli, iar restul sunt negativi. Renumerotand la nevoie,putem presupune ca αi ≥ 0 pentru i = 1, . . . , h si αi < 0 pentru j = h + 1, . . . , m, adicaλ := α1 + · · · + αh = −αh+1 − · · · − αm > 0. Egalitatea α1a1 + · · · + αmam = 0 arata caα1a1 + · · ·+ αhah = −αh+1ah+1 − · · · − αmam, adica

conv({a1, . . . , ah}) 3α1

λa1 + · · ·+

αhλ

ah = −αh+1

λah+1− · · ·−

αm

λam ∈ conv({ah+1, . . . , am}).

Alegem M1 = {a1, . . . , ah}, M2 = {ah+1, . . . , am}.

5.2 Teorema lui Helly

Teorema 5.2. (Helly) Daca submultimile convexe M1, . . . , Mr ale spatiului afin Rn sunt astfel ıncatr ≥ n + 1 si, luate cate n + 1 ın toate modurile posibile, au intersectia nevida, atunci

M1 ∩ · · · ∩Mr 6= ∅.

Demonstratie. Pentru r = n + 1 nu avem nimic de demonstrat. Presupunem ca r > n + 1si ca afirmatia este adevarata pentru orice sistem de r − 1 multimi care satisfac conditiiledin enunt. Rezulta ca multimea Bi := M1 ∩ · · · ∩ Mi ∩ · · · ∩ Mr este nevida pentru oricei ∈ {1, . . . , r}, unde accentul circumflex indica omisiunea, si consideram xi ∈ Bi pentrufiecare i ∈ {1, . . . , r}. Renumerotand la nevoie, exista h < r astfel ıncat

conv({x1, . . . , xh}) ∩ conv({xh+1, . . . , xr}) 6= ∅.

Darconv({x1, . . . , xh}) ⊆ conv(B1 ∪ · · · ∪ Bh) ⊆ Mh+1 ∩ · · · ∩Mr

siconv({xh+1, . . . , xr}) ⊆ conv(Bh+1 ∪ · · · ∪ Br) ⊆ M1 ∩ · · · ∩Mh

deoarece B1 ∪ · · · ∪ Bh ⊆ Mh+1 ∩ · · · ∩Mr si Bh+1 ∪ · · · ∪ Br ⊆ M1 ∩ · · · ∩Mh, adica

∅ 6= conv({x1, . . . , xh}) ∩ conv({xh+1, . . . , xr}) ⊆ M1 ∩ · · · ∩Mh ∩Mh+1 ∩ · · · ∩M′r.

5.3 Teoremele lui Minkowski, Krein-Milman si Motzkin

Definitia 5.1. Un punct extremal al multimii convexe C este un punct x ∈ C cu urmatoareaproprietate

λy + (1− λ)z = x, y, z ∈ C, λ ∈ (0, 1) =⇒ y = z = x.



Teorema 5.3. (Minkowski) Orice submultime convexa si compacta a lui Rn este ınchiderea convexaa multimii punctelor sale extremale.

Teorema 5.4. (Krein-Milman) Orice submultime convexa si compacta K a unui spatiu local convexpoate fi reprezentata sub forma K = cl conv ext K, unde ext K este multimea punctelor extremaleale lui K.

Teorema 5.5. (Motzkin) Orice multime poliedrala este suma (Minkowski) dintre un politop si uncon convex.

5.4 Probleme

1. Gasiti o familie (infinita) de multimi convexe din plan avand intersectia vida, iar intersectiaoricaror 3 multimi din familie este nevida.

SOLUTIE. Consideram sirul de semiplane (Sn)n≥0, unde Sn := {(x, y) ∈ R2 : y ≥ n}.Termenii acestui sir sunt multimi convexe, iar intersectia a trei termeni ai sirului estede forma

Si ∩ Sj ∩ Sk = Smax{i,j,k} 6= ∅

si cu toate acestea⋂

n≥0Sn = ∅.

2. Se considera ın plan o multime finita cu proprietatea ca oricare trei puncte ale multimiisunt continute ıntr-un disc de raza 1. Sa se arate ca exista un disc de raza 1 care continetoate punctele multimii date.

SOLUTIE. Presupunem ca multimea noastra finita este M = {x1, . . . , xm}. Observam camultimea discurilor centrate ın x1, . . . , xm si avand raza 1, sa spunem D1(x1, 1), . . . , Dm(xm, 1)este o familie finita de multimi convexe cu proprietatea ca intersectia oricaror 3 dintreele este nevida.



Convexitatea este lasata pe seama cititorului, iar pentru cealalta proprietate consideramtrei puncte xi, xj, xk ∈ M si un disc de raza 1 care le contine pe cele trei, sa spunemD(Oijk, 1). A spune ca xi, xj, xk ∈ D(Oijk, 1) este totuna cu a spune ca Oijk ∈ Di(xi, 1) ∩Dj(xj, 1) ∩ Dk(xk, 1), adica Di(xi, 1) ∩ Dj(xj, 1) ∩ Dk(xk, 1) 6= ∅. Folosind teorema luiHelly, deducem ca D1(x1, 1) ∩ · · · ∩ Dm(xm, 1) 6= ∅. Observam ca

D1(x1, 1) ∩ · · · ∩ Dm(xm, 1) 3 O⇔ M = {x1, . . . , xm} ⊆ D(O, 1).

3. Consideram ın plan n segmente paralele astfel ıncat pentru oricare 3 dintre ele existao dreapta care le intersecteaza. Sa se arate ca exista o dreapta care intersecteaza toatesegmentele.

SOLUTIE. Alegem, ın planul segmentelor date, un reper cartezian ortonormat a caruiaxa Oy este paralela cu segmentele date. Fata de acest reper segmentele date sunt deforma si = {xi} × [ai, bi] unde i ∈ {1, . . . , m}. O dreapta de ecuatie y = αx + β, dinplanul segmentelor, intersecteaza segmentul si daca si numai daca ai ≤ αxi + β ≤ bi.Prin urmare multimea dreptelor care intersecteaza segmentul si ıntr-un singur puncteste parametrizata de perechile (α, β) cu proprietatea ai ≤ αxi + β ≤ bi. Aceste perechiformeaza o banda Bi, evident convexa, ın planul (α, β) marginita de dreptele paraleleβ = −xiα + ai si β = −xiα + bi. Ipoteza problemei privind existenta unei drepte careintersecteaza trei dintre segmentele date, oricum ar fi alese acestea este echivalenta cufaptul ca oricare trei dintre benzile convexe B1, . . . , Bm au intersectia nevida. Folosindteorema lui Helly deducem ca B1 ∩ · · · ∩ Bm 6= ∅. Daca (α, β) ∈ B1 ∩ · · · ∩ Bm, atunciai ≤ αxi + β ≤ bi pentru orice i ∈ {1, . . . , m}, adica dreapta y = αx + β intersecteazatoate segmentele s1, . . . , sm.

4. Consideram ın plan n segmente paralele astfel ıncat pentru oricare 4 dintre ele existao parabola, avand axa paralela cu segmentele date, care le intersecteaza. Sa se arateca exista o parabola, avand axa paralela cu segmentele date, care intersecteaza toatesegmentele.

SOLUTIE.

5. (Jung) Sa se arate ca orice multime finita din plan de diametru 1 poate fi acoperita deun disc de raza 1√

3.

SOLUTIE. Vom arata mai ıntai ca oricare trei puncte xi, xj, xk ale multimii finite dateM = {x1, . . . , xm} sunt continute ıntr-un disc de raza 1√

3.



• Daca punctele sunt coliniare sau necoliniare dar are un unghi mai mare sau egal de90◦, adica 90◦ ≤ m(xixjxk) ≤ 180◦ de exemplu, atunci discul ınchis de diametru [xixk]

este de raza cel mult 1/2 < 1√3

si contine toate cele trei puncte xi, xj, xk.

Daca triunghiul este ascutit unghic, atunci cel mai mare unghi al sau este ıntre 60◦ si90◦. Aplicand teorema sinusurilor ın triunghiul xixjxk pentru latura sa cea mai mare sicare se opune celui mai mare unghi, deducem ca

R <1

2 sin 60◦=

1√3

,

unde R este raza cercului circumscris triunghiului xixjxk. Observam ca punctele xixjxkapartin toate discului marginit de acest cerc circumscris. Folosind argumente analoagecelor de la solutia problemei (2) putem arata ca toate multimile multimii M sunt continuteıntr-un disc de raza 1√

3.



6 Saptamana 6: Spatiul afin

6.1 Definitie si exemple

Definitia 6.1. Se numeste spatiu afin un triplet (X,−→X , ϕ), unde X este o multime ale carei

elemente se numesc puncte,−→X este un spatiu vectorial, iar ϕ : X × X −→ −→X este o aplictie

a. ı.:

1. ϕ(P, Q) + ϕ(Q, R) = ϕ(P, R), ∀P, Q, R ∈ X.

2. Pentru orice O ∈ X si orice a ∈ −→X , exista un singur punct A ∈ X astfel ca ϕ(O, A) = a.

Cu notatia−→PQ:= ϕ(P, Q), conditiile de mai sus se scriu:

1′−→PQ +

−→QR=

−→PR, ∀P, Q, R ∈ X.

2′ Pentru orice O ∈ X aplicatia ϕO : X → −→X definita prin ϕO(M) =−→

OM este bijectiva.

Luand P = Q = R = A ın (1′) deducem−→AA= 0, ∀A ∈ X.

Examplul 6.1. 1. Tripletul (P ,V , ϕ), unde ϕ : P ×P −→ V , ϕ(A, B) =−→AB este un spatiu afin.

2. Tripletul (V, V, ϕ), unde V este un spatiu vectorial si ϕ : V×V −→ V, ϕ(v1, v2) = v2− v1, esteun spatiu afin.

Intrucat ϕO : X −→ −→X este bijectie, iar−→X este un spatiu vectorial, exista o unica structura de

spatiu vectorial pe X astfel ıncat ϕO este izomorfism. Aceasta structura este data de operatiile:

1. P = A⊕O B⇐⇒−→OP=

−→OA +

−→OB.

2. Q = λ�O A⇐⇒−→OQ= λ

−→OA,

iar spatiul vectorial (X,⊕O ,�O) se noteaza cu TO(X) si se numeste spatiul vectorial tangent la X ınpunctul O. Mentionam ca structura lui X data de operatiile ⊕O si �O depinde de alegerea punctuluiO.

Cu toate acestea multimea varietatilor liniare ale lui TO(X) nu depinde de O ∈ X.



6.2 Subspatii afine

Intrucat ϕO : X −→ −→X este bijectie, iar−→X este un spatiu vectorial, exista o unica struc-

tura de spatiu vectorial pe X astfel ıncat ϕO este izomorfism. Aceasta structura este data deoperatiile:

1. P = A⊕O B⇐⇒−→OP=

−→OA +

−→OB.

2. Q = λ�O A⇐⇒−→OQ= λ

−→OA,

iar spatiul vectorial (X,⊕O ,�O) se noteaza cu TO(X) si se numeste spatiul vectorial tangent la Xın punctul O. Mentionam ca structura lui X data de operatiile ⊕O si �O depinde de alegereapunctului O. Cu toate acestea multimea varietatilor liniare ale lui TO(X) nu depinde deO ∈ X.

Propozitia 6.1. Varietatile liniare nevide ale lui TO(X) sunt submultimile lui X de forma

L = {M|−→AM∈ U}, (6.1)

unde A ∈ X si U ≤ −→X .

Demonstratie. Deoarece ϕO : TO(X) −→ −→X este un izomorfism de spatii vectoriale, rezultaca exista o varietate liniara a + U ∈ A(−→X ), unde U ≤ −→X , astfel ıncat ϕO(L) = a + U. In

particular exista A ∈ L astfel ıncat ϕO(A) = a, adica a =−→OA. Asadar avem succesiv:

L = ϕ−1O (a + U) = ϕ−1

O (−→OA +U)

= {M ∈ X|ϕO(M) ∈−→OA +U}

= {M ∈ X|−→

OM∈−→OA +U} = {M|

−→AM∈ U}.

Observatia 6.1. In egalitatea 6.1 punctul A ∈ L poate fi ales arbitrar ın L, iar subspatiul U al

lui−→X este unic determinat de L si U = {

−→AM |M ∈ L}.

Intr-adevar, egalitatea ϕO(L) = a + U =−→OA +U ne arata ca

U = −−→OA +ϕO(L) = −

−→OA +{ϕO(L) : M ∈ L}

= {−→

OM −−→OA: M ∈ L} = {

−→AM: M ∈ L}.

Definitia 6.2. Se numeste varietate liniara sau subspatiu afin al lui X orice varietate liniara aspatiului vectorial TO(X). Multimea varietatilor liniare ale lui X se noteaza cu A(X). Spatiul

director al varietatii liniare L ∈ A(X) este spatiul director al varietatii liniare ϕO(L), adica {−→AM:

M ∈ L}.

6.3 Combinatii afine ın spatii afine

Fie (X,−→X , ϕ) un spatiu afin si A1, . . . , Am ∈ X, iar λ1, . . . , λm scalari dati. Punctul

M = λ1 �O A1 ⊕O · · · ⊕O λm �O Am (6.2)



este doar atunci definit cand s-a ales un punct O ∈ X, iar M depinde de alegerea lui O.

Daca ınsa combinatia liniara 6.2 este o combinatie afina, adicam

∑i=1

λi = 1, atunci punctul M nu

depinde de alegerea punctului O ∈ X. Intr-adevar−→

OM= λ1−→OA1 + · · ·+ λm

−→OAm, iar daca

O′ ∈ X sim

∑i=1

λi = 1, atunci

−→O′M =

−→O′O +

−→OM=

m

∑i=1

λi

−→O′O +

m

∑i=1

λi−→OAi

=m

∑i=1

λi

( −→O′O +

−→OAi

)=

m

∑i=1

λi

−→O′Ai .

Definitia 6.3. Date fiind punctele A1, . . . , Am ∈ X si scalarii λ1, . . . , λm astfel ıncatm

∑i=1

λi = 1,

punctul M definit prin relatia 6.2 se numeste baricentrul sistemului de puncte A1, . . . , Am cuponderile λ1, . . . , λm.

Propozitia 6.2. Fie (X,−→X , ϕ) un spatiu afin si S ⊆ X; atunci S este un subspatiu afin al lui X daca

si numai daca pentru orice sistem finit de puncte din S, orice baricentru al acestui sistem apartine luiS.

Propozitia 6.3. Fie A0, A1, . . . , Am puncte ale spatiului afin X. Atunci

M ∈ af{A0, A1, . . . , Am} ⇐⇒−→

A0M∈⟨ −→

A0A1, . . . ,−→

A0Am

⟩.

Demonstratie. Intr-adevar, M ∈ af{A0, A1, . . . , Am} daca si numai daca exista scalarii λ0, λ1, . . . , λn

cu proprietatile λ0 + λ1 + · · · + λn = 1 si M = λ0A0 + λ1A1 + · · · + λn An, adica−→

A0M=

λ1−→

A1M + · · ·+ λn−→

AnM, sau, echivalent−→

A0M∈⟨ −→

A0A1, . . . ,−→

A0Am

⟩.

Corolarul 6.4. dim af{A0, A1, . . . , Am} ≤ m.

Corolarul 6.5. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1. dim af{A0, A1, . . . , Am} = m.

2. vectorii−→

A0A1, . . . ,−→

A0Am sunt liniar independenti.

3. nici unul dintre punctele A0, A1, . . . , Am nu apartine subspatiului afin subıntins de celelalte.

Definitia 6.4. Punctele A0, A1, . . . , Am se numesc afin independente daca ele ındeplinesc unadintre conditiile corolarului 6.5. In caz contrar aceste puncte se numesc afin dependente.

6.4 Repere afine si repere carteziene

Definitia 6.5. Un sistem de puncte A0, A1, . . . , An afin independente, luate ıntr-o ordine de-terminata, se numeste reper afin al varietatii liniare L = af{A0, A1, . . . , An}.



De exemplu punctele A0 = (0, . . . , 0), Ai = (δ1i , . . . , δn

i ), unde δji este simbolul lui Kro-

necker, i = 1, . . . , n formeaza un reper afin al lui Kn.Fie A0, A1, . . . , An un reper afin al lui L ∈ A(X). Dat fiind M ∈ L, exista scalarii

ξ0, ξ1, . . . , ξn astfel ıncat, pentru orice O ∈ X sa avem:−→

OM=n

∑i=0

ξi

−→OAi si

n

∑i=0

ξi = 1. In

particular−→

A0M=n

∑i=0

ξi

−→A0Ai=

n

∑i=1

ξi

−→A0Ai, deoarece

−→A0A0=

−→0 .

Intrucat vectorii−→

A0A1, . . . ,−→

A0An sunt liniar independenti, rezulta ca scalarii ξ1, . . . , ξn,si prin urmare ξ0 = 1 − ξ1 − · · · − ξn, cu proprietatile de mai sus sunt unici. Scalariiξ0, ξ1, . . . , ξn se numesc coordonatele baricentrice ale lui M, iar ξ1, . . . , ξn se numesc coordonatelecarteziene ale lui M fata de reperul afin (A0, A1, . . . , An).

Definitia 6.6. Se numeste reper cartezian al varietatii liniare L ∈ A(X) orice pereche R =

(O, b), unde O ∈ L, iar b= [e1, . . . ,en] este o baza ordonata a spatiului director−→L . Punctele

(O, A1, . . . , An) cu proprietatea ca ei =−→

OAi, i = 1, . . . , n formeaza reperul afin asociat reperuluicartezian R.

Fie R = (O, e1, . . . , en) un reper cartezian al spatiului afin X. Vom folosi notatiile

[M]R = [−→

OM]b =

ξ1...ξn

sau M(ξ1 · · · , ξn).

Observam ca daca [M]R = [ξi] si [N]R = [ηi], atunci componentele vectorului−→

MN fata de

baza b sunt ηi− ξi, adica [−→

MN]b = [ηi− ξi], ıntrucat−→

MN=−→ON −

−→OM. Daca (A0, A1, . . . , An)

este un reper afin al spatilui afin X, atunci aplicatia

TA0 (X) −→ Kn, M(x1, . . . , xn) 7−→ (x1 . . . , xn)

defineste un izomorfism de spatii vectoriale, care determina, la randul sau, un izomorfismlaticeal A(X) −→ A(Kn).

Teorema 6.6. Fie R = (O, b) un reper cartezian al spatilui afin X si (x1, . . . , xn) coordonateleuni punct generic al spatiului X fata de acest reper. Atunci o varietate liniara r-dimensionala secaracterizeaza prin ecuatii parametrice de forma

xi = x0i +

r

∑j=1

dijλj, i = 1, . . . , n.

O varietate liniara (n−m)-dimensionala se identifica cu multimea solutiilor unui sistem de ecuatiiliniare

n

∑j=1

aijxj = bi, i = 1, . . . , m.



6.5 Schimbarea coordonatelor

Fie R = (O, b) si R′ = (O′, b′) doua repere carteziene ale lui X si T matricea de trecere de labaza b la baza b′. Pentru a stabili legatura dintre [M]R si [M]

R′ observam ca avem succesiv:

[M]R = [−→

OM]b = T · [−→

OM]b′ = T · [

−→OO′ +

−→O′M]b′

= T · [−→

O′M]b′ + T · [−→

OO′]b′ = T · [M]R′ + [

−→OO′]b

= T · [M]R′ + [O′]R

Propozitia 6.7. Schimbarea coordonatelor carteziene se face dupa formula

[M]R = T · [M]R′ + [O′]R .

In termenii coordonatelor carteziene formula schimbarii de coordonate devine

xi =n

∑i=0

tijx′j + αi, i = 1, . . . , n,

unde T = (tij) si [O′]tR= (α1 · · · αn).

6.6 Probleme

1. In spatiul vectorial Kn, unde K este un corp oarecare, se considera o varietate liniara p-dimensionala A. Sa se construiasca o aplicatie ϕ : A× A −→ Kp astfel ıncat (A, Kp, ϕ)sa fie un spatiu afin.

SOLUTIE.

2. Fie A, B doua puncte ale unui spatiu afin real X si C, D punctele definite prin

C =1

1− λA +

λ

λ− 1B, D =

11 + λ

A +λ

λ + 1B,

unde λ ∈ R \ {−1, 1}. Aratati ca−→EA= λ2

−→EB, unde E =

12

C +12

D.

SOLUTIE.



3. Fie A1, . . . , An puncte ale spatiului afin real X si λ1, . . . , λn scalari reali astfel ıncatn

∑i=1

λi = 1. Consideram punctele

B1 = λ1A1 + λ2A2 + · · · + λn−1An−1 + λn AnB2 = λ1A2 + λ2A3 + · · · + λn−1An + λn A1B3 = λ1A3 + λ2A4 + · · · + λn−1A1 + λn A2

...Bn−1 = λ1An−1 + λ2An + · · · + λn−1An−3 + λn An−2Bn−1 = λ1An + λ2A1 + · · · + λn−1An−2 + λn An−1.

Aratati ca cele doua sisteme de puncte au acelasi centru de greutate5, adica

1n

A1 +1n

A2 + · · ·+1n

An =1n

B1 +1n

B2 + · · ·+1n

Bn. (6.3)

SOLUTIE. Intr-adevar pentru orice punct O ∈ X, avem succesiv:

n

∑i=1

−→OBi = λ1

n

∑i=1

−→OAi +λ2

n

∑i=1

−→OAi + · · ·+ λn−1

n

∑i=1

−→OAi +λn

n

∑i=1

−→OAi

=

(n

∑i=1

λi

)(n

∑i=1

−→OAi

)=

n

∑i=1

−→OAi .

Asadarn

∑i=1

1n

−→OBi=

n

∑i=1

1n

−→OAi,

fapt care demonstreaza egalitatea (6.3 ).

4. Fie A1, . . . , An, B1, . . . , Bn puncte din spatiul afin real X. Aratati ca

−→A1B1 + · · ·+

−→AnBn= n

−→GG′,

undeG =

1n

A1 +1n

A2 + · · ·+1n

An, G′ =1n

B1 +1n

B2 + · · ·+1n

Bn

sunt centrele de greutate ale celor doua sisteme de puncte. Prin urmare cele doua

sisteme de puncte au acelasi centru de greutate ddaca−→

A1B1 + · · ·+−→

AnBn=−→0 .

SOLUTIA 1. Intr-adevar avem succesiv:

n

∑i=1

−→AiBi =

n

∑i=1

(−→AiG +

−→GG′ +

−→G′Bi) =

n

∑i=1

−→AiG +

n

∑i=1

−→GG′ +

n

∑i=1

−→G′Bi

=n

∑i,j=1

1n

−→Ai Aj +n

−→GG′ +

n

∑i,j=1

1n

−→BjBi

= 1n

n

∑i<j

(−→

Ai Aj +−→

Aj Ai) + n−→

GG′ +1n

n

∑i<j

(−→BjBi +

−→BiBj) = n

−→GG′ .

5Centrul de greutate al unui sistem de puncte A1, . . . , An dintr-un spatiu afin X este baricentrul sitemului

cu ponderi egale G =1n

A1 +1n

A2 + · · ·+1n

An.



Solutia 2. Daca O este un punct fixat, atunci

−→OG=

n

∑i=1

1n

−→OAi⇔ n

−→OG=

n

∑i=1

−→OAi (6.4)

−→OG′=

n

∑i=1

1n

−→OBi⇔ n

−→OG=

n

∑i=1

−→OBi . (6.5)

Scazand relatille (6.4) si (6.5) obtinem

n(−→

OG′ −−→OG) =

n

∑i=1

(−→OBi −

−→OAi)⇔ n

−→GG′=

n

∑i=1

−→AiBi .

5. Se considera un reper afin (A0, A1, . . . , An) al spatiului afin X si baricentrele de ponderiegale6

Gi =n

∑j=0,j 6=i

1n

Aj.

Sa se arate can⋂

i=0

AiGi = {G} , unde G =1

n + 1A0 +

1n + 1

A1 + · · ·+1

n + 1An,

adica intersectia dreptelor AiGi, i ∈ {0, 1 . . . , n} este centrul de greutate al sistemuluide puncte A0, A1, . . . , An.

SOLUTIE.

6. Intr-un spatiu afin tridimensional raportat la reperul cartezian R = (O, e1, e2, e3) se daupunctele O′(0, 3, 1) si vectorii e′1(2,−1,−1), e′2(2,−1, 2), e′3(3, 0, 1). Sa se scrie formulelede trecere de la reperul R la reperul R′ = (O′, e′1, e′2, e′3). Sa se determine coordonatelepunctului A(1,−2, 0) fata de reperul R′.

SOLUTIE. Folosim formula [M]R = T[M]R′ + [O′]R, unde T este matricea de trecere dela baza b = (e1, e2, e3) la baza b′ = (e′1, e′2, e′3). Daca

[M]R =

x1x2x3

si [M]R′ =

x′1x′2x′3

,

6Centrele de greutate ale fetelor simplexului A0 A1 . . . An.



atunci relatia [M]R = T[M]R′ + [O′]R este echivalenta cu x1x2x3

=

2 2 3−1 −1 0−1 2 1

x′1x′2x′3

+

031

,

adica x1 = 2x′1 + 2x′2 + 3x′3 + 0x2 = −x′1 − x′2 + 3x3 = −x′1 + 2x′2 + x′3 + 1.

(6.6)

Pentru a exprima x′1, x′2 si x′3 ın termenii lui x1, x2 si x3 consideram matricea extinsa asistemului (6.6) si operam asupra sa transformari elementare care ne conduc la expri-marea asteptata. Mai precis avem 2 2 3−1 −1 0−1 2 1

∣∣∣∣∣∣x1x2 − 3x3 − 1

∼

1 1 3−1 −1 0−1 2 1

∣∣∣∣∣∣x1 + x2 − 3x2 − 3x3 − 1

∼ 1 1 3

0 0 30 3 4

∣∣∣∣∣∣x1 + x2 − 3x1 + 2x2 − 6x1 + x2 + x3 − 4

∼

1 1 3

0 143

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣x1 + x2 − 313

x1 +13

x2 +13

x3 −43

13

x1 +23

x2 − 2

∼

1 1 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣−x2 − 3

−19

x1 −59

x2 +13

x3 +43

13

x1 +23

x2 − 2

∼

1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣19

x1 −49

x2 −13

x3 +53

−19

x1 −59

x2 +13

x3 +43

13

x1 +23

x2 − 2

.

Prin urmare avemx′1 =

19

x1 −49

x2 +13

x3 +53

x′2 = −19

x1 −59

x2 +13

x3 +43

x′3 =13

x1 +23

x2 − 2.

⇔

x′1x′2x′3

=19

1 −4 −3−1 −5 3

3 6 0

x1x2x3

+

53432

,

(6.7)

adica [M]R′ = T−1[M]R + [O]R′ , unde [O]TR′ = [53

43

2]. In particular

[A]R′ = T−1[A]R + [O]R′ =19

1 −4 −3−1 −5 3

3 6 0

1−2

0

+

53432

=

8373−1

.

7. In planul afin K2 consideram un reper afin R = (A0, A1, A2).

(a) Care sunt coordonatele lui A1 fata de R ?



(b) Sa se scrie ecuatia dreptei AB, unde A, B ∈ K2, unde

[A]R =

[a0

], [B]R =

[0b

].

SOLUTIE.

(c) Sa se calculeze coordonatele punctelor A0, A si B fata de reperul R = (A1, A2, A3),unde

[A3]R =

[11

].

SOLUTIE.

8. In spatiul afin 4-dimensional X raportat la reperul cartezian

R = (A0,−→

A0A1,−→

A0A2,−→

A0A3,−→

A0A4)

se dau puntele B(1, 1, 0, 0), C(0, 1, 1, 0).

(a) Sa se arate ca

R = (A3,−→

A3A1,−→

A3A4,−→A3B,

−→A3A2)

este un reper cartezian.

(b) Sa se scrie formulele de trecere de la reperul R la reperul R.

(c) Sa se determine [M]R siind ca [M]tR= [5 − 1 0 2].

(d) Un subspatiu afin al lui X este dat, fata de reperul R, prin sistemul{x1 + 2x2 − x3 = 0x1 +x4 = 2.

Care sunt ecuatiile acestui subspatiu fata de reperul R ?

(e) Un subspatiu afin al lui X este dat, fata de reperul R, prin sistemul{x1− x2 + x3 −x4 = 0

x2 + x3 = 5.

Care sunt ecuatiile acestui subspatiu fata de reperul R ?



SOLUTIE.

9. Se considera un plan π si R = (O,−→i ,−→j ) un reper cartezian ortonormat al sau. Con-

sideram de asemenea elipsa E a carei ecuatie fata de reprerul cartezian ortonormat

R′ = (O′,−→i ′,−→j ′) este 10x′2 + 5y′2 = 10, unde O′

(−4

5,

25

)si−→i ′ =

2√5

−→i − 1√

5

−→j si

−→j ′ =

1√5

−→i +

2√5

−→j . Aflati ecuatia elipsei E fata de reperul R.

SOLUTIE.

10. Se considera un plan π si R = (O,−→i ,−→j ) un reper cartezian ortonormat al sau. Con-

sideram de asemenea hiperbola H a carei ecuatie fata de reprerul cartezian ortonor-

mat R′ = (O′,−→i ′,−→j ′) este 4x′2 − y′2 = 36, unde O′ (3,−4) si

−→i ′ =

1√5

−→i +

2√5

−→j si



−→j ′ = − 2√

5

−→i +

1√5

−→j . Aflati ecuatia hiperboleiH fata de reperul R.



7 Saptamana 7. Functii polinomiale

7.1 Definitii si observatii

Fie X un spatiu afin real n-dimensional. O functie f : X −→ R se numeste functie poli-nomiala daca exista un reper cartezian R = (O, e1, . . . , en) al lui X si un polinom F ∈R[X1, X2, . . . , Xn

]astfel ıncat pentru orice punct X ∈ X de coordonate carteziene (x1, x2, . . . , xn)

fata de R sa avemf (X) = F(x1, x2, . . . , xn),

adica f este un polinom ın coordonatele lui X fata de R. Observam ca notiunea de functiepolinomiala nu depinde de alegerea reperului cartezian R. Intradevar, daca S este un altreper cartezian si f : X → R este un polinom ın coordonatele lui X fata de R, atunci f esteun polinom de acelasi grad si ın coordonatele lui X fata de S, deoarece formulele de trecerede la reperul R la reperul S sunt polinoame de gradul ıntai reversibile.

Prin urmare gradul polinomului F este invariant la schimbarea reperului si se numestegradul lui f. Alegerea convenabila a reperului poate conduce la o forma cat mai simpla apolinomului de reprezentare a lui f .

Definitia 7.1. Daca f : X −→ R este o functie polinomiala de gradul doi pe spatiul afinn-dimensional X, atunci preimaginea Q = f−1(0) se numeste hipercuadrica. Daca n = 2,atunci Q se numeste conica, iar daca n = 3, atunci Q se numeste cuadrica.

7.2 Functii polinomiale de gradul doi. Reprezentari matriceale

Fie f : X −→ R este o functie polinomiala de gradul doi care, fata de reperul cartezian

R = (O, e1, . . . , en) al lui X, are reprezentarea f (M) = a00 + 2n

∑i=1

ai0xi +n

∑i,j=1

aijxixj pentru

orice M(x1, . . . , xn) ∈ X. Aceasta se poate reprezenta matriceal astfel:

f (M) = a00 + 2(a10 · · · an0)[M]R + [M]tR

A[M]R ,

unde

A :=

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

... . . . ...an1 an2 · · · ann

.

Matricea A poate fi aleasa simetrica deoarece f admite si reprezentarea

f (M) = a00 + 2(a10 · · · an0)[M]R + [M]tR

A + At

2[M]R .

Notam cu [ f ]R matricea A, atunci cand A este simetrica, adica

f (M) = a00 + 2(a10 · · · an0)[M]R + [M]tR· [ f ]R · [M]R ,

unde

[ f ]R :=

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

... . . . ...an1 an2 · · · ann

, aij = aji, 1 ≤ i, jl.



Daca R′ = (O′, e′1, . . . , e′n) este un alt reper cartezian, atunci [M]R = T[M]R′ + [O′]R , ude

T este matricea de trecere de la baza b = (e1, . . . , en) la baza b′ = (e′1, . . . , e′n), fapt care arataca

f (M) = b00 + 2(b10 · · · bn0)[M]R′ + [M]t

R′(Tt[ f ]R T)[M]

R′ ,

undeb00 = a00 + 2(a10 , . . . , an0)[O

′]R + [O′]tR· [ f ]R [O

′]R = f (O′)

(b10 · · · bn0) = (a10 · · · an0)T +12[O′]t

R([ f ]R + [ f ]t

R)T = (a10 · · · an0)T + [O′]t

R· [ f ]R · T.

Asadar [ f ]R′ = Tt[ f ]R T.

O alta matrice importanta legata de reprezentarea functiei polinomiale f fata de reperulR este

[[ f ]]R :=

a00 a01 a02 · · · a0n

a10 a11 a12 · · · a1n

a20 a21 a22 · · · a2n...

...... . . . ...

an0 an1 an2 · · · ann

unde a0i = ai0 , i = 1, n.

Intr-adevar avem

f (M) = (1 x1 x2 · · · xn)[[ f ]]R

1x1x2...xn

.

Daca [M]tR′= (x′1 x′2 · · · x′n), atunci avem

1x1x2...xn

=

1 0 0 · · · 0β1 t11 t12 · · · t1n

β2 t21 t22 · · · t2n...

...... . . . ...

βn tn1 tn2 · · · tnn

1x′1x′2...x′n

,

unde

[O′]R =

β1β2...βn

si T = (tij)1≤i,j≤n .

Prin urmare avem

f (M) = (1 x′1 x′2 · · · x′n)(St[[ f ]]R S)

1x′1x′2...x′n

,

unde

S =

1 0 0 · · · 0β1 t11 t12 · · · t1n

β2 t21 t22 · · · t2n...

...... . . . ...

βn tn1 tn2 · · · tnn

,



fapt care arata ca [[ f ]]R′ = St[[ f ]]R S.

7.3 Reducerea izometrica a polinoamelor de gradul doi ın doua variabile

7.3.1 Invarianti ortogonali

Fie π ⊆ P un plan afin si f : π → R o functie polinomiala de gradul doi reprezentata ınraport cu reperul cartezian ortonormat R = (O,

−→i ,−→j ) de polinomul

F = a00 + 2a10X + 2a20Y + a11X2 + 2a12XY + a22Y2, adica

[ f ]R =

(a11 a12a21 a22

)si [[ f ]]R =

a00 a01 a02a10 a11 a12a20 a21 a22

, aij = aji.

Definitia 7.2. O functie Φ : R6 → X se numeste invariant ortogonal al functiei polinomiale

f : π → R, f (M) = a00 + 2a10x + 2a20y + a11x2 + 2a12xy + a22y2

daca valoarea Φ(a00, a10, a20, a11, a12, a22) nu se schimba atunci cand schimbam reperul cartezianortonormat.

Propozitia 7.1. Polinomul caracteristic

P(λ) = det([ f ]R − λI2) =

∣∣∣∣ a11 − λ a12a21 a22 − λ

∣∣∣∣= λ2 − I · λ + δ, (a21 = a12)

este invariant ortogonal al lui f. In particular

δ = det [ f ]R =∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣ = a11a22 − a212 si I = Tr [ f ]R = a11 + a22

sunt invarianti ortogonali ai lui f. De asemenea determinantul

∆ = det [[ f ]]R =

∣∣∣∣∣∣a00 a01 a02a10 a11 a12a20 a21 a22

∣∣∣∣∣∣ , (aik = aki)

este invariant ortogonal al lui f numit discriminantul lui f.

Demonstratie. Daca R = (O,−→i ,−→j ) este reperul cartezian ortonormat initial si R′ = (O′,

−→i ′,−→j ′)

este noul reper cartezian ortonormat, notam cu T matricea(α11 α12α21 α22

)de trecere de la baza b = [

−→i ,−→j ] la baza b′ = [

−→i ′,−→j ′] si amintim ca T este ortogonala,

adica Tt · T = I2. Prin urmare, daca notam cu P′(λ) polinomuul caracteristic asociat lui ffata de reperul cartezian R′, deducem ca

P′(λ) = det([ f ]R′ − λI2)

= det[Tt · [ f ]R · T − Tt · (λI2) · T]= det[Tt · ([ f ]R − λI2) · T]= det Tt · det([ f ]R − λI2) · det T= det([ f ]R − λI2) = P(λ).



Pentru a demonstra invarianta lui ∆ la schimbarea reperului ortonormat folosim relatia[[ f ]]

R′ = St[[ f ]]R S, unde

S =

1 0 0β1 α11 α12β2 α21 α22

si [O′]R =

(β1β2

).

Prin urmare daca notam cu ∆′ discriminantul lui f fata de reperul R′ obtinem:

∆′ = det[[ f ]]R′ = det

(St[[ f ]]R S

)= det

(Tt · [[ f ]]R · det T

)= det[[ f ]]R(det T)2 = ∆(det T)2 = ∆.

7.3.2 Semiinvarianti ortogonali

Definitia 7.3. semiinvariant ortogonal al functiei polinomiale f : π → R, f (M) = a00 +2a10x + 2a20y + a11x2 + 2a12xy + a22y2 daca valoarea Ψ(a00, a10, a20, a11, a12, a22) nu se schimbaatunci cand schimbam reperul cartezian ortonormat fara a schimba originea sa.

Propozitia 7.2. Polinomul PO(λ) =

∣∣∣∣∣∣a00 a01 a02a10 a11 − λ a12a20 a21 a22 − λ

∣∣∣∣∣∣ = ∆− Kλ + a00λ2 este un semi-

invariant ortogonal al lui f. Prin urmare,

K =

∣∣∣∣ a00 a01a10 a11

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ a00 a02a20 a22

∣∣∣∣este un semiinvariant ortogonal al lui f .

Demonstratie. Presupunem ca reprezentarea lui f fata de reperul cartezian ortonormat R =

(O,−→i ,−→j ) este

f (M) = a00 + 2a10x + 2a20y + a11x2 + 2a12xy + a22y2

si consideram functia polinomiala f −λ(x2 + y2), care fata de un nou reper cartezian ortonor-mat R′ = (O,

−→i ′,−→j ′) (avand aceeasi origine O) are forma

a00 + 2b10x′ + 2b20y′ + b11x′2 + 2b12x′y′ + b22y′2 − λ(x′2 + y′2),

deoarece formula distantei de la M la O nu se schimba daca schimbam reperul R cu reperulR′. Discriminantul lui f − λ(x2 + y2) fiind un invariant ortogonal deducem ca∣∣∣∣∣∣

a00 a01 a02a10 a11 − λ a12a20 a21 a22 − λ

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣

a00 b01 b02b10 b11 − λ b12b20 b21 b22 − λ

∣∣∣∣∣∣ ,

adica PO(λ) este un semiinvariant ortogonal al lui f .



7.4 Probleme

1. Sa se calculeze invariantii si semiinvariantii ortogonali ai polinoamelor de gradul 2:

(a) αx2 + 2βxy− (α− 2)y2 + 2x + 2y + 2 = 0;

(b) (α− 1)x2 + 2βxy− (α + 1)y2 + 2αx + 2βy− (α + 1) = 0,

α, β fiind coordonatele unui punct din plan.

SOLUTIE. (1a) Invariantii ortogonali I, δ si ∆ sunt I = 2,

δ =

∣∣∣∣ α ββ 2− α

∣∣∣∣ = 2α− α2 − β2

si

∆ =

∣∣∣∣∣∣2 1 11 α β1 β 2− α

∣∣∣∣∣∣ = 2α(2− α) + 2β− α− 2β2 − 2 + α

= 4α− 2α2 + 2β− 2β2 − 2 = −2(α2 + β2 − 2α− β + 1).

In sfarsit, semiinvariantul este K =

∣∣∣∣ 2 11 α

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ 2 11 2− α

∣∣∣∣ = 2.

SOLUTIE.(1b)

2. Sa se calculeze invariantii si semiinvariantii ortogonali ai polinoamelor de gradul 2:

(a) −2 + 16x− 8y + 9x2 − 4xy + 6y2;

(b) −36 + 16x + 12y + 4xy + 3y2;

(c) 1− 6x + 2y + x2 − 4xy + 4y2.

SOLUTIE.



8 Saptamana 8: Teorema de reducere izometrica a polinoamelorde gradul doi ın doua variabile

Teorema 8.1. Fata de un reper cartezian ortonormat convenabil ales functia polinomiala f are unadin formele urmatoare:

1. λ1x′′2 + λ2y′′2 + ∆δ , daca δ 6= 0;

2. Iy′′2 ± 2√−∆

I x′′, daca δ = 0, ∆ 6= 0;

3. Iy′′2 + KI , daca δ = ∆ = 0.

In procesul de reducere al functiilor polinomiale de gradul doi, matricea simetrica [ f ]R sediagonalizeaza cu ajutorul unei baze de vectori proprii ai acestei matrici. Directiile vectorilorunei astfel de baze, adica spatiile generate de ei, se numesc directii principale ale functieipolinomiale ın discutie.

Demonstratia teoremei 8.1. Fie λ1, λ2 radacinile ecuatiei (polinomului caracteristic) P(λ) = 0,adica valorile proprii ale matricii simetrice

[ f ]R =

(a11 a12a21 a22

)si−→i ′(p1, q1),

−→j ′(p2, q2) vectori proprii asociati valorilor proprii λ1 respectiv λ2 care formeaza

o baza ortonormata a lui −→π . Notand cu T matricea ortogonala(p1 p2q1 q2

)de trecere de la baza ortonormata initiala b = [

−→i ,−→j ] la baza ortonormata b′ = [

−→i ′,−→j ′],

obtinem formulele de trecere de la reperul initial R = (O,−→i ,−→j ) la reperul R′ = (O,

−→i ′,−→j ′),

[M]R = T[M]R′ .

Asadar, au loc relatiile

pi pj + qiqj = δij =

{1 daca i = j0 daca i 6= j

si

[ f ]R

(pkqk

)= λk

(pkqk

),

i, j, k ∈ {1, 2}. Folosind reprezentarea lui f fata de R,

f (M) = a00 + 2(a10, a20)[M]R + [M]tR· [ f ]R · [M]R .

si relatiile de trecere [M]R = T[M]R′ obtinem reprezentarea lui f fata de reperul R′

f (M) = a00 + 2(a10, a20) · T[M]R′ + [M]

R′ (Tt · [ f ]R · T)[M]

R′ .

Folosind proprietatea de ortogonalitate a matricii T precum si faptul ca−→i ′(p1, q1),

−→j ′(p2, q2)

sunt vectorii proprii ai matricii [ f ]R asociati valorilor proprii λ1, λ2 se poate usor verificarelatia

Tt · [ f ]R · T =

(λ1 00 λ2

)Cornel Pintea Page 49 of 119 © ’Babes-Bolyai’ University 2016


si astfel deducem reprezentarea lui f fata de reperul R′

f (M) = a00 + 2b10x′ + 2b20y′ + λ1x′2 + λ2y′2,

unde b10 = a10p1 + a20q1, b20 = a10p2 + a20q2. Asadar I = λ1 + λ2 si δ = λ1 · λ2 deoarece I,δ sunt invarianti ortogonali ai lui f .

1) δ 6= 0⇒ λ1 6= 0 si λ2 6= 0 si deci putem scrie

f (M) = c00 + λ1

(x′ +

b10

λ1

)2+ λ2

(y′ +

b20

λ2

)2,

unde c00 = a00−b2

10λ1− b2

20λ2

. Facand schimbarea de reper cartezian ortonormat data de relatiile

x′′ = x′ + b10λ1

y′′ = y′ + b20λ2

obtinem reprezentarea lui f ın forma

f (M) = λ1x′′2 + λ2y′′2 + c00,

de unde rezulta ∆ =

∣∣∣∣∣∣c00 0 00 λ1 00 0 λ2

∣∣∣∣∣∣ = c00 · δ,

adica c00 = ∆δ . Prin urmare, reprezentarea finala a lui f este

f (M) = λ1x′′2 + λ2y′′2 +∆δ

.

2) δ = 0 ⇒ λ1 = 0 sau λ2 = 0. Daca λ1 = 0 rezulta ca I = λ2 6= 0. In acest cazreprezentarea lui f fata de reperul R′ este f (M) = a00 + 2b10x′ + 2b20y′ + Iy′2, sau, altfel,

f (M) = I(y′ +

b20

λ2

)2+ 2b10x′ + b00,

unde b00 = a00 −b2

20λ2

, iar discriminantul lui f are forma

∆ =

∣∣∣∣∣∣a00 b10 b20b10 0 0b10 0 I

∣∣∣∣∣∣ = −b210 I.

De aici deducem ca b10 6= 0 si b10 = ±√−∆

I . Deci f poate fi pusa sub forma

f (M) = I(

y′ +b20

λ2

)2± 2

√−∆

I

(x′ +

b00

2b10

).

Facand schimbarea de reper cartezian ortonormat data de relatiile{x′′ = x′ + b00

2b10

y′′ = y′ + b20λ2



obtinem reprezentarea finala a lui f ın forma

f (M) = Iy′′2 ± 2

√−∆

Ix′′.

3) Deoarece δ = 0, presupunem ca mai sus ca λ1 = 0 de unde rezulta λ2 = I 6= 0. Inacest caz reprezentarea lui f fata de reperul R′ este

f (M) = a00 + 2b10x′ + 2b20y′ + Iy′2.

Relatia ∆ = 0 este echivalenta cu∣∣∣∣∣∣a00 b01 b02b10 0 0b20 0 I

∣∣∣∣∣∣ = 0

adica −b210 I = 0, de unde deducem b10 = 0 si astfel reprezentarea lui f fata de R′ este

f (M) = a00 + 2b20y′ + Iy′2,

adica,

f (M) = I(

y′ +b20

I

)2+ a00 −

b220I

.

Cum ınsa K este semiinvariant ortogonal si reperele R si R′ au aceeasi origine, rezulta cavaloarea sa nu se schimba atunci cand trecem de la R la R′. Prin urmare avem

K =

∣∣∣∣ a00 00 0

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ a00 b02b20 I

∣∣∣∣ = a00 I − b220 = I

(a00 −

b220I),

adica a00 −b2

20I = K

I . Facand translatia{x′′ = x′

y′′ = y′ + b20I

obtinem reprezentarea finala a lui f sub forma

f (M) = Iy′′2 +KI

.

Teorema 8.2. (Teorema de reducere izometrica a conicelor) Data fiind conica

Q : a00 + 2a10x + 2a20y + a11x2 + 2a12xy + a22y2 = 0

exista un reper cartezian ortonormat convenabil ales astfel ıncat ecuatia acesteia sa aiba una dinformele urmatoare:

1. λ1x′′2 + λ2y′′2 + ∆δ = 0, daca δ 6= 0;

2. Iy′′2 ± 2√−∆

I x′′ = 0, daca δ = 0, ∆ 6= 0;

3. Iy′′2 + KI = 0, daca δ = ∆ = 0.



∆ 6= 0 δ > 0 I∆ > 0 elipsa imaginaraI∆ < 0 elipsa reala conice

δ < 0 hiperbola nedegenerateδ = 0 parabola

∆ = 0 δ > 0 doua drepte secante imaginareδ < 0 doua drepte secante reale coniceδ = 0 K > 0 doua drepte paralele imaginare degenerate

K < 0 doua drepte paralele realeK = 0 doua drepte reale confundate

Demonstratia teoremei de reducere a polinoamelor de gradul doi in doua variabile sug-ereaza o metoda de a aduce conicele la forma canonica, numita metoda valorilor si a vectorilorproprii. In continuare vom prezenta o metoda alternativa de a gasi reperul R′ = (O′,

−→i ′,−→j ′),

fata de care ecuatia unei conice cu centru unic (ex. elipsa, hiperbola) are forma are formaredusa.

Originea O′ este centrul conicei. Asadar, coordonatele sale date de unica solutie a sis-temului { 1

2 F′x(x, y) = 012 F′y(x, y) = 0

⇔{

a10 + a11x + a12y = 0a20 + a12x + a22y = 0 (8.1)

Daca θ = ^(−→i ,−→i ′), atunci coordonatele lui

−→i ′ ın raport cu baza initiala [

−→i ,−→j ] sunt

(cos θ, sin θ) iar coordonatele lui−→j ′ sunt (− sin θ, cos θ). Vectorii

−→i ′,−→j ′ fiind directiile

principale corespunzatoare valorilor proprii λ1 respectiv λ2, coordonatele lor sunt solutiilesistemelor {

(a11 − λ1) cos θ + a12 sin θ = 0a12 cos θ + (a22 − λ1) sin θ = 0 (8.2){−(a11 − λ2) sin θ + a12 cos θ = 0−a12 sin θ + (a22 − λ2) cos θ = 0. (8.3)

Prin urmareλ1 = a11 + a12tgθ, λ2 = a11 − a12ctgθ. (8.4)

Adunand relatiile (8.4) si tinand seama de relatia a11 + a22 = λ1 + λ2, deducem relatia

a12tg2θ + (a11 − a22)tgθ − a12 = 0. (8.5)

Schimband eventual rolul lui λ1 cu cel al lui λ2, baza [−→i ′,−→j ′] poate fi astfel alesa ıncat

unghiul rotatiei sa fie ıntre 0 si π2 . Acest fapt ımpreuna cu relatia 8.5 determina ın mod

unic θ (cu exceptia cazului a12 = 0, a11 = a22, cand conica este un cerc si θ poate lua oricevaloare) care este unghiul rotatiei axelor de coordonte. Ecuatia 8.5 este echivalenta cu ecuatia(a11 − a22)tgθ = a12(1− tg2θ) sau cu ecuatia

tg2θ =2a12

a11 − a22(8.6)

Pantele directiilor asimptotice sunt date de ecuatia

a22m2 + 2a12m + a11 = 0. (8.7)

Notand cu m1, m2 cele doua radacini ale ecuatiei 8.7, ecuatiile asimptotelor sunt:

F′x + miF′y = 0, i ∈ {1, 2} (8.8)

ecuatia globala a celor doua asimptote este

F(x, y) =∆δ

(8.9)



8.1 Probleme

1. Sa se discute natura conicei(Qα,β

)αx2 + 2βxy− (α− 2)y2 + 2x + 2y+ 2 = 0, α, β fiind

coordonatele unui punct din plan.

SOLUTIE. Amintim (a sevedea problema (1a)-lista 7) ca invariantii ortogonali I, δ si ∆sunt I = 2,

δ = 2α− α2 − β2

si∆ = −2(α2 + β2 − 2α− β + 1),

iar semiinvariantul ortogonal este k = 2. Observam ca δ = 0 daca si numai dacaM(α, β) apartine cercului C := C(B, 1), unde B(1, 0). De asemenea ∆ = 0 daca si

numai daca M(α, β) apartine cercului C′ := C(

B′,12

), unde B′

(1,

12

).

Pozitia lui M(α, β) δ ∆ K I I∆ Natura coniceiInteriorul lui C′ + + + + Elipse imaginarePe C′ \ A(1, 1) + 0 Pereche de drepte secante imaginareIn A 0 0 + Pereche de drepte paralele imaginareExt. C′, Int. C + - + - Elipse realePe C \ A 0 - ParaboleExt. C - - Hiperbole

2. Sa se discute natura conicei(Q′α,β

)(α− 1)x2 + 2βxy− (α + 1)y2 + 2αx + 2βy− (α + 1) = 0,

α, β fiind coordonatele unui punct din plan.

SOLUTIE.





3. Sa se scrie ecuatia redusa a conicei 9x2 − 25y2 − 18x + 50y− 241 = 0.

SOLUTIE.

4. Sa se aduca la forma redusa izometrica si sa se reprezinte grafic conicele:

(a) Q1 : −2 + 16x− 8y + 9x2 − 4xy + 6y2 = 0.

(b) Q2 : −36 + 16x + 12y + 4xy + 3y2 = 0.

(c) Q3 : 1− 6x + 2y + x2 − 4xy + 4y2 = 0.

SOLUTIE. (4a) (Metoda valorilor si a vectorilor proprii) Notam cu f functia polinomialade gradul doi care defineste conica Q1 si cu R reperul cartezian initial. Daca M este unpunct din spatiu de coordonate (x, y) fata de R, atunci

f (M) = 9x2 − 4xy + 6y2 + 16x− 8y− 2

si deci

[ f ]R =

[9 −2−2 6

]si [[ f ]]R =

−2 8 −48 9 −2−4 −2 6



de unde rezulta ca

δ =

∣∣∣∣ 9 −2−2 6

∣∣∣∣ = 50

si

∆ =

∣∣∣∣∣∣−2 8 −4

8 9 −2−4 −2 6

∣∣∣∣∣∣ = 4

∣∣∣∣∣∣−1 4 −2

8 9 −2−2 −1 3

∣∣∣∣∣∣= 4(−27 + 16 + 16− 36 + 2− 96) = −4 · 125 = −500.

Valorile proprii ale matricii [ f ]R sunt radacinile polinomului sau caracteristic, adica∣∣∣∣ 9− λ −2−2 6− λ

∣∣∣∣ = 0 ⇔ (9− λ)(6− λ)− 4 = 0

⇔ λ2 − 15λ + 54− 4 = 0⇔ λ2 − 15λ + 50 = 0⇔ λ1 = 10 si λ2 = 5.

Prin urmare ecuatia canonica a conicei Q1 este

10x′′2 + 5y′′2 − 50050⇔ x′′2

12 +y′′2√

22 = 1 (8.10)

si ea reprezinta o elipsa7.

Subspatiul propriu asociat valorii proprii λ1 = 10 este solutia generala a sistemului[9− 10 −2−2 6− 10

] [uv

]=

[00

]⇔ −u− 2v = 0⇔ u = −2v.

Asadar, un vector propriu asociat valorii proprii λ1 = 10 este −→e 1 = 2√5

−→i − 1√

5

−→j .


] [uv

]=

[00

]⇔{

4u− 2v = 0−2u + v = 0 ⇔ v = 2u.

Asadar, un vector propriu asociat valorii proprii λ2 = 5 este −→e 2 =1√5

−→i +

2√5

−→j .

Matricea ortogonala a primei schimbari de coordonate este

T =

2√5

1√5

− 1√5

2√5

iar schimbarea de coordonate este

x =2√5

x′ +1√5

y′

y = − 1√5

x′ +2√5

y′.

7Aici se ıncheie studiul naturii conicei Q1. Consideratiile ulterioare au ın vedere reprezentarea sa.



Fata de reperul R′ = (O,−→e 1,−→e 2) functia f are forma

f (M) = −2 + [16 − 8]

2√5

1√5

− 1√5

2√5

[ x′

y′

]+ 10x′2 + 5y′2

= −2 +1√5[40 0]

[x′

y′

]+ 10x′2 + 5y′2 = −2 + 8

√5x′ + 10x′2 + 5y′2

= 10(

x′ + 2√5

)2+ 5y′2 − 10.

A doua schimbare de coordonate este{x′′ = x′ + 2√

5y′′ = y′,

iar originea reperului fata de care functia are forma redusa are coordonatele

{x′′ = 0y′′ = 0, ⇔

{x′ = − 2√

5y′ = 0

⇔

x = − 2√

52√5

y =1√5

2√5

⇔

x = −4

5y =

25

,

adica originea O′ a reperului fata de care functia f are forma redusa are, fata de reperul

initial R, coordonatele(−4

5,

25

). Fata de reperul R′′ = (O′,−→e 1,−→e 2) conica Q1 are

ecuatia (8.10). Amintim faptul ca originea O′ a reperului R′′ coincide cu centrul elipseiQ1 si deci coordonatele sale se pot gasi si rezolvand sistemul liniar.{

fx = 0fy = 0.

(Metoda unghiului si a centrului unic) Unghiul vectorilor−→i si−→f 1 este dat de ecuatia

a12tg2θ + (a11 − a22)tgθ − a12 = 0⇐⇒ −2tg2θ + 3tgθ + 2 = 0,

iar aceasta are radacinile tgθ1 = 2 si tgθ2 = −12 . Alegem solutia din intervalul

(0, π

2

),

adica tgθ1 = 2. Valorile proprii ale matricii [ f ]R sunt µ1 = a11 + a12tgθ1 = 9− 4 = 5 si



µ2 = a11 − a12ctgθ1 = 9 + 2 · 12 = 10. Asadar ecuatia redusa a elipsei este

X2

(√

2)2+

Y2

12 = 1.

In sfarsit, coordonatele centrului elipsei sunt date de solutia sistemului{fx = 0fy = 0. ⇐⇒

{16x + 18x− 4y = 0−8− 4x + 12y = 0 ⇐⇒ x = −4

5, y =

25

.

(4b) Notam cu f functia polinomiala de gradul doi care defineste conica Q2 si cu Rreperul cartezian initial. Daca M este un punct din spatiu de coordonate (x, y) fata deR, atunci f (M) = −36 + 16x + 12y + 4xy + 3y2 si deci

[ f ]R =

[0 22 3

]si [[ f ]]R =

−36 8 68 0 26 2 3

de unde rezulta ca

δ =

∣∣∣∣ 0 22 3

∣∣∣∣ = −4

si

∆ =

∣∣∣∣∣∣−36 8 6

8 0 26 2 3

∣∣∣∣∣∣ = 4

∣∣∣∣∣∣−18 4 3

4 0 16 2 3

∣∣∣∣∣∣ = 8

∣∣∣∣∣∣−9 4 3

2 0 13 2 3

∣∣∣∣∣∣ = 8(12+ 12+ 18− 24) = 8 · 18 = 144.

Valorile proprii ale matricii [ f ]R sunt radacinile polinomului sau caracteristic, adica∣∣∣∣ −λ 22 3− λ

∣∣∣∣ = 0 ⇔ −λ(3− λ)− 4 = 0

⇔ λ2 − 3λ− 4 = 0⇔ λ1 = 4 si λ2 = −1.


4x′′2 − y′′2 − 1444⇔ x′′2

32 −y′′2

62 = 1 (8.11)

si ea reprezinta o hiperbola8.




Subspatiul propriu asociat valorii proprii λ1 = 4 este solutia generala a sistemului[−4 22 3− 4

] [uv

]=

[00

]⇔ 2u− v = 0⇔ v = 2u.

Asadar, un vector propriu asociat valorii proprii λ1 = 4 este −→e 1 = 1√5

−→i + 2√

5

−→j .

Subspatiul propriu asociat valorii proprii λ2 = −1 este solutia generala a sistemului[1 22 3 + 1

] [uv

]=

[00

]⇔ u + 2v = 0⇔ u = −2v.

Asadar, un vector propriu asociat valorii proprii λ2 = −1 este−→e 2 = − 2√5

−→i +

1√5

−→j .


T =

1√5− 2√

52√5

1√5


x =

1√5

x′ − 2√5

y′

y =2√5

x′ +1√5

y′.


f (M) = −36 + [16 12]

1√5− 2√

52√5

1√5

[ x′

y′

]+ 4x′2 − y′2

= −36 +[

40√5− 20√

5

] [ x′

y′

]+ 4x′2 − y′2

= −36 + 40√5

x′ − 20√5y′ + 4x′2 − y′2

= 4(

x′2 + 10√5

x′ + 5)− 20−

(y′2 + 4

√5y′ + 20

)+ 20− 36

= 4(

x′ +√

5)2−(

y′ + 2√

5)2− 36

A doua schimbare de coordonate este{x′′ = x′ +

√5

y′′ = y′ + 2√

5,


{x′′ = 0y′′ = 0, ⇔

{x′ = −

√5

y′ = −2√

5⇔

x = − 1√

5

√5 + 2

2√5

√5

y = − 2√5

√5 − 2

1√5

√5⇔{

x = 3y = −4 ,

adica originea O′ a reperului fata de care functia f are forma redusa are, fata de repe-rul initial R, coordonatele (3,−4). Fata de reperul R′′ = (O′,−→e 1,−→e 2) conica Q2 areecuatia (8.11). Amintim faptul ca originea O′ a reperului R′′ coincide cu centrul hiper-bolei Q2 si deci coordonatele sale se pot gasi si rezolvand sistemul liniar.{

fx = 0fy = 0.



(Metoda unghiului si a centrului unic) Unghiul vectorilor−→i si −→e 1 este dat de ecuatia

a12tg2θ + (a11 − a22)tgθ − a12 = 0⇐⇒ −2tg2θ + 3tgθ + 2 = 0,

iar aceasta are radacinile tgθ1 = 2 si tgθ2 = −12 . Alegem solutia din intervalul

(0, π

2

),

adica tgθ1 = 2. Valorile proprii ale matricii [ f ]R sunt λ1 = a11 + a12tgθ1 = 0 + 4 = 4 siλ2 = a11 − a12ctgθ1 = 0− 2 · 1

2 = −1. Asadar ecuatia redusa a hiperbolei este

4x′′2 − y′′2 − 1444⇔ x′′2

32 −y′′2

62 = 1.

In sfarsit, coordonatele centrului hiperbolei sunt date de solutia sistemului{fx = 0fy = 0. ⇐⇒

{16 + 4y = 0

12 + 4x + 6y = 0 ⇐⇒ x = 3, y = −4.

(4c) Notam cu f functia polinomiala de gradul doi care defineste conica Q3 si cu Rreperul cartezian initial. Daca M este un punct din spatiu de coordonate (x, y) fata deR, atunci f (M) = 1− 6x + 2y + x2 − 4xy + 4y2 si deci

[ f ]R =

[1 −2−2 4

]si [[ f ]]R =

1 −3 1−3 1 −2

1 −2 4

de unde rezulta ca

δ =

∣∣∣∣ 1 −2−2 4

∣∣∣∣ = 0

si

∆ =

∣∣∣∣∣∣1 −3 1−3 1 −2

1 −2 4

∣∣∣∣∣∣ = 4 + 6 + 6− 1− 4− 36 = −25



Valorile proprii ale matricii [ f ]R sunt radacinile polinomului sau caracteristic, adica∣∣∣∣ 1− λ −2−2 4− λ

∣∣∣∣ = 0 ⇔ (1− λ)(4− λ)− 4 = 0

⇔ λ2 − 5λ + 4− 4 = 0⇔ λ(λ− 5) = 0⇔ λ1 = 5 si λ2 = 0.


5y′′2 ± 2

√−−25

5x′′ = 0⇔ y′′2 ± 2√

5x′′ = 0 (8.12)

si ea reprezinta o parabola9.


] [uv

]=

[00

]⇔ u− 2v = 0⇔ u = 2v.


−→i +

1√5

−→j .


] [uv

]=

[00

]⇔ −2u− v = 0⇔ v = −2u.

Asadar, un vector propriu asociat valorii proprii λ2 = 5 este −→e 2 = − 1√5

−→i + 2√

5

−→j .


T =

2√5− 1√

51√5

2√5


x =

2√5

x′ − 1√5

y′

y =1√5

x′ +2√5

y′.


f (M) = 1 + [−6 2]

2√5− 1√

51√5

2√5

[ x′

y′

]+ 5y′2

= 1− 10√5

x′ + 10√5y′ + 5y′2

= 5(y′2 + 2√5y′ + 1

5)− 1− 10√5

x′ + 1

= 5(

y′ + 1√5

)2− 2√

5x′

A doua schimbare de coordonate este{x′′ = x′

y′′ = y′ + 1√5,





{x′′ = 0y′′ = 0, ⇔

{x′ = 0y′ = − 1√

5⇔

x =

1√5

1√5

y = − 2√5

1√5

⇔{

x = 15

y = −25

,

adica originea O′ a reperului fata de care functia f are forma redusa are, fata de reperulinitial R, coordonatele

(15 ,−2

5

). Fata de reperul R′′ = (O′,−→e 1,−→e 2) parabola Q3 are

ecuatia y′′2 = 2√5

x′.

9 Saptamana 9: Reducerea izometrica a polinoamelor de graduldoi ın trei variabile

9.1 Invarianti si semiinvarianti ortogonali

Fie g : P → R o functie polinomiala de gradul doi reprezentata fata de reperul cartezianortonormat R = (O,

−→i ,−→j ,−→k ) prin

g(M) = a00 +2a10x + 2a20y + 2a30z+2a12xy + 2a13xz + 2a23yz+a11x2 + a22y2 + a33z2

= a00 +2(a10 a20 a30)[M]R + [M]tR· [g]R · [M]R ,

unde

[g]R =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.

Daca R′ = (O′,−→i ′,−→j ′,−→k ′) este un alt reper cartezian ortonormat, amintim ca [g]

R′ =

Tt · [g]R · T, unde T este matricea ortonormata de trecere de la baza [−→i ,−→j ,−→k ] la baza

[−→i ′,−→j ′,−→k ′]. Asadar, rangul matricii [g]R nu depinde de alegerea reperului cartezian ortonor-



mat R si se noteaza cu r. De altfel nici rangul matricii

[[g]]R =

a00 a01 a02 a03a10 a11 a12 a13a20 a21 a22 a23a30 a31 a32 a33

nu depinde de alegerea reperului cartezian ortonormat R si se noteaza cu r′, deoarece [[g]]

R′ =

St · [[g]]R · S, unde S are forma(

1 0∗ T

). Este usor de verificat ca r′ ∈ {r, r + 1, r + 2}. Am-

intim ca pe langa invariantii numerici r si r′ asociati functiei polinomiale g : P → R,

g(M) = a00 +2a10x + 2a20y + 2a30z+2a12xy + 2a13xz + 2a23yz+a11x2 + a22y2 + a33z2

= a00 +2(a10 a20 a30)[M]R + [M]tR· [g]R · [M]R ,

,

un alt invariant numeric al sau asociat lui g este indicele pozitiv de inertie i al formei patratice

2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + a11x2 + a22y2 + a33z2,

adica numarul valorilor proprii > 0 ale matricii [g]R .

Definitia 9.1. O aplicatie Φ : R10 → X se numeste invariant ortogonal al functiei polinomiale

g : P → R, g(M) = a00 +2a10x + 2a20y + 2a30z+2a12xy + 2a13xz + 2a23yz+a11x2 + 2a22y2 + a33z2

daca valoareaΦ(a00, a10, a20, a30, a12, a13, a23, a11, a22, a33) (9.1)

nu se schimba atunci cand schimbam reperul cartezian ortonormat. Aplicatia Φ se numestesemiinvariant ortogonal al functiei polinomiale g daca valoarea (9.1) nu se schimba atuncicand schimbam reperul cartezian ortonormat, fara a schimba originea sa.

9.1.1 Invarianti ortogonali

Propozitia 9.1. Polinomul caracteristic

P(λ) =

∣∣∣∣∣∣a11 − λ a12 a13

a21 a22 − λ a23a31 a32 a33 − λ

∣∣∣∣∣∣ = I0 − I1λ + I2λ2 − λ3,

unde aji = aij , este invariant ortogonal al lui g, adica

I0 = δ =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣I1 =

∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ a11 a13a31 a33

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣I2 = a11 + a22 + a33



sunt invarianti ortogonali ai lui g. De asemenea determinantul

∆ = det[[g]]R =

∣∣∣∣∣∣∣∣a00 a01 a02 a03a10 a11 a12 a13a20 a21 a22 a23a30 a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣ , (aik = aki)

este invariant ortogonal al lui g numit discriminantul lui g.

9.1.2 Semiinvarianti ortogonali

Propozitia 9.2. Polinomul

PO(λ) =

∣∣∣∣∣∣∣∣a00 a01 a02 a03a10 a11 − λ a12 a13a20 a21 a22 − λ a23a30 a31 a32 a33 − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣= ∆− K1λ + K2λ2 − λ3

(9.2)

este un semiinvariant ortogonal al lui g, adica

K1 =

∣∣∣∣∣∣a00 a01 a02a10 a11 a12a20 a21 a22

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣

a00 a01 a03a10 a11 a13a30 a31 a33

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣

a00 a02 a03a20 a22 a23a30 a32 a33

∣∣∣∣∣∣K2 =

∣∣∣∣ a00 a01a10 a11

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ a00 a02a20 a22

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ a00 a03a30 a33

∣∣∣∣(9.3)

sunt semiinvarianti ortogonali ai functiei polinomiale g.Observatia 9.1. Daca functia polinomiala g : P → R nu contine variabila z cand spatiul P esteraportat la reperul cartezian ortonormat R = (O,

−→i ,−→j ,−→k ), atunci ∆ = 0 iar K1 este un invariant

ortogonal. De asemenea daca g nu contine variabilele y, z, atunci ∆ = K1 = 0 iar K2 este uninvariant ortogonal.

Intr-adevar, daca g(M) = a00 + 2a10x + 2a20y + a11x2 + 2a12xy + a22y2, atunci

K1 = δ =

∣∣∣∣∣∣a00 a01 a02a10 a11 a12a20 a21 a22

∣∣∣∣∣∣ (9.4)

este invariant ortogonal al conicei {g(M) = 0z = 0.

Fie R′ = (O′,−→i ′,−→j ′,−→k ′) un alt reper cartezian ortonormat, unde O′(α, β, γ). Valoarea

lui K1 nu se schimba prin trecerea de la reperul R la reperul R1 = (O1,−→i ,−→j ,−→k ), unde

O1(α, β, 0), deoarece K1 este un invariant ortogonal al conicei{g(M) = 0z = 0.

De asemenea valoarea lui K1 nu se schimba prin trecerea de la reperul R1 la reperul R2 =

(O′,−→i ,−→j ,−→k ) deoarece forma functiei polinomiale g nu se schimba prin aceasta trecere. In

sfarsit, valoarea lui K1 nu se schimba prin trecerea de la reperul R2 la reperul R′ deoarece K1este un semiinvariant ortogonal al functiei g. Analog se arata ca semiinvariantul K2 este uninvariant ortogonal daca functia polinomiala g nu contine variabilele y, z.



9.2 Teorema de reducere izometrica a polinoamelor de gradul doi ın treivariabile

Teorema 9.3. Fata de un reper cartezian ortonormat convenabil ales functia polinomiala g are unadin formele urmatoare:

1. λ1x′′2 + λ2y′′2 + λ3z′′2 + ∆δ , daca δ 6= 0;

2. λ1x′′2 + λ2y′′2 ±√− ∆

I1z′′ daca δ = 0, I1 6= 0, ∆ 6= 0;

3. λ1x′′2 + λ2y′′2 + K1I1

daca δ = 0, I1 6= 0, ∆ = 0;

4. I2x′′2 + 2√−K1

I2y′′ daca δ = 0, I1 = 0, K1 6= 0;

5. I2x′′2 + K2I2

daca δ = 0, I1 = 0, K1 = 0.

Matricea T din demonstratia teoremei 9.3 fiind ortogonala det T ∈ {−1, 1}. De obiceivectorii

−→i ′,−→j ′,−→k ′ sunt astfel alesi ıncat det T = 1, adica bazele [

−→i ,−→j ,−→k ] si [

−→i ′,−→j ′,−→k ′]

sa fie la fel orientate. Data fiind o functie polinomiala de gradul doi g : P → R, un in-variant ortogonal al lui g se numeste si invariant ortogonal al cuadricei g−1(0). Observam deasemenea un semiinvariant ortogonal al lui g se numeste si semiinvariant ortogonal al cuadriceig−1(0).

Teorema 9.4. (Teorema de clasificare a cuadricelor) Data fiind cuadrica

Q : a00 +2a10x + 2a20y + 2a30z+2a12xy + 2a13xz + 2a23yz+a11x2 + 2a22y2 + a33z2 = 0

exista un reper cartezian ortonormat convenabil ales astfel ıncat ecuatia acesteia sa aiba una dinformele urmatoare:

1. λ1x′′2 + λ2y′′2 + λ3z′′2 + ∆δ = 0, daca δ 6= 0;

2. λ1x′′2 + λ2y′′2 ±√− ∆

I1z′′ = 0 daca δ = 0, I1 6= 0, ∆ 6= 0;

3. λ1x′′2 + λ2y′′2 + K1I1

= 0 daca δ = 0, I1 6= 0, ∆ = 0;

4. I2x′′2 + 2√−K1

I2y′′ = 0 daca δ = 0, I1 = 0, K1 6= 0;

5. I2x′′2 + K2I2

= 0 daca δ = 0, I1 = 0, K1 = 0.



r′ r i (Semi)invarianti Denumirea cuadricei ecuatia canonica4 3 3 ∆ > 0 elipsoid imaginar

∆ < 0 elipsoid real λ1x2 + λ2y2 + λ3z2 + ∆δ = 0

2 ∆ > 0 hiperboloid cu o panza∆ < 0 hiperboloid cu doua panze

2 2 paraboloid eliptic λ1x2 + λ2y2 ±√− ∆

I1z = 0

1 parabolid hiperbolic3 3 3 punct dublu λ1x2 + λ2y2 + λ3z2 = 0

2 con2 2 K1 I1 > 0 cilindru eliptic imaginar

K1 I1 < 0 cilindru eliptic real λ1x2 + λ2y2 + K1I1

= 01 cilindru hiperbolic

1 1 cilindru parabolic I2x2 + 2√−K1

I2y = 0

2 2 2 dreapta dubla λ1x2 + λ2y2 = 01 pereche de plane secante

1 1 K2 > 0 pereche vida de planeK2 < 0 pereche de plane paralele I2x2 + K2

I2= 0

1 1 1 plan dublu x2 = 0

9.3 Apendix. Cuadrice date prin ecuatiile lor reduse

9.3.1 Elipsoidul

Elipsoidul este cuadrica de ecuatie

E :x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 = 1, a, b, c > 0. (9.5)

Observam ca odata cu un punct M(x, y, z) ∈ E, elipsoidul E contine si punctele N(−x, y, z),P(x,−y, z), Q(−x, y, z). Asadar, planele de coordonate xOy, xOz, yOz sunt plane de sime-trie ale elipsoidului ceea ce conduce la concluzia ca elipsoidul este simetric si fata de axelede coordonate precum si fata de origine. De asemenea intersectiile elipsoidului cu planelede coordonate sunt elipsele{

x2

a2 +y2

b2 = 1z = 0

{x2

a2 +z2

c2 = 1y = 0

{y2

b2 +z2

c2 = 1x = 0.

Intersectia cu planul de ecuatie z = λ este elipsax2(

a√

1− λ2c2

)2 +y2(

b√

1− λ2c2

)2 = 1

z = λ

daca |λ| < c ın vreme ce intersectiile cu planele de ecuatii z = c respectiv z = −c se reduc lapunctele de coordonate (0, 0, c) respectiv (0, 0,−c). Daca |λ| > c intersectia elipsoidului cuplanul de ecuatie z = c este vida.



9.3.2 Hiperboloidul cu o panza

Hiperboloidul cu o panza este cuadrica de ecuatie

H1 :x2

a2 +y2

b2 −z2

c2 = 1, a, b, c > 0. (9.6)

Observam ca planele de coordonate xOy, xOz, yOz sunt plane de simetrie ale hiperboloidulcu o panza, axele de coordonate sunt axe de simetrie, iar originea este centru de simetrieale hiperboloidul cu o panza Intersectiile hiperboloidului H1 cu planele de coordonate yOzrespectiv xOy sunt hiperbolele{

y2

b2 − z2

c2 = 1x = 0

{x2

a2 − z2

c2 = 1y = 0

iar intersectia lui H1 cu planul de ecuatie z = λ este elipsa de ecuatii

x2(

a√

1+ λ2c2

)2 +y2(

b√

1+ λ2c2

)2 = 1

z = λ

Ecuatia hiperboloidului cu o panza poate fi scrisa sub forma(xa+

zc

)(xa− z

c

)=(

1 +yb

)(1− y

b

)si astfel este usor de vazut ca dreptele de ecuatii

∆λ

:

λ(

xa +

zc

)= 1 + y

bxa −

zc = λ

(1− y

b

) si ∆′µ

:

µ(

xa +

zc

)= 1− y

bxa −

zc = µ

(1 + y

b

)sunt continute ın H1, ∀ λ, µ ∈ R. Prin urmare hiperboloidul cu o panza are doua familii degeneratoare rectilinii.

Este usor de vazut ca prin fiecare punct al hiperboloidului H1 trece cate o generatoaredin fiecare familie, ca fiecare generatoare dintr-o familie intersecteaza orice generatoare dincealalta familie si ca oricare doua generatoare din aceeasi familie nu au puncte comune.



9.3.3 Hiperboloidul cu doua panze

Hiperboloidul cu doua panze este cuadrica de ecuatie

H2 :x2

a2 +y2

b2 −z2

c2 = −1, a, b, c > 0. (9.7)

Observam ca planele de coordonate xOy, xOz, yOz sunt plane de simetrie ale hiperboloidulcu doua panze, axele de coordonate sunt axe de simetrie, iar originea este centru de simetrieal doua panze.

Intersectiile hiperboloidului H2 cu planele de coordonate xOz si yOz sunt hiperbolele deecuatii {

z2

c2 − x2

a2 = 1y = 0

respectiv

{y2

b2 − z2

c2 = 1x = 0

iar intersectia hiperboloidului H2 cu planul de ecuatie x = λ este elipsa de ecuatiix2(

a√

λ2c2 −1

)2 +y2(

b√

λ2c2 −1

)2 = 1

z = λ

daca |λ| > |c|.Daca λ = c sau λ = −c atunci intersectia se reduce la punctul de coordonate (0, 0, c)

respectiv (0, 0,−c), iar daca |λ| < |c|, atunci intersectia este vida.Observam ca hiperboloizii H1 si H2 sunt cuadrice cu centru unic, au directii asimptotice

si au acelasi con asimptot.



9.3.4 Paraboloidul eliptic

este cuadrica de ecuatie

Pe :x2

p+

y2

q= 2z, p, q > 0 (9.8)

Intersectia paraboloidului Pe cu planele de coordonate yOz respectiv xOz este parabola deecuatii {

y2 = 2qzx = 0 respectiv

{x2 = 2pzy = 0.

Intersectia paraboloidului eliptic Pe cu planul z = λ este elipsa de ecuatii x2√

2pλ2 +

y2√

2qλ2 = 1

z = λ,

pentru λ > 0. Daca λ = 0 intersectia se reduce la punctul de coordonate (0, 0, 0) iar dacaλ < 0 intersectia este vida.

9.3.5 Paraboloidul hiperbolic

este cuadrica de ecuatie

Ph :x2

p− y2

q= 2z, p, q > 0. (9.9)

Intersectia paraboloidului hiperbolic Ph cu panul de coordonate xOy este reuniunea dreptelor{x√p +

y√q = 0

z = 0

{x√p −

y√q = 0

z = 0.



Intersectia cu planul de coordonate xOz este parabola de ecuatii{x2 = 2pzy = 0 ,

iar intersectia cu planul de ecuatiie x = λ este parabola de ecuatii{y2 = −2q

(z− λ2

2p)

x = λ.

Ecuatia paraboloidului hiperbolic poate fi rescrisa ın forma( x√

p− y√

q

)( x√

p+

y√

q

)= 2z

astfel ıncat dreptele

∆λ

:

x√p −

y√q = λ

λ(

x√p +

y√q

)= 2z

si ∆µ :

x√p +

y√q = µ

µ(

x√p −

y√q

)= 2z

sunt continute ın paraboloidul hiperbolic Ph. Prin urmare, asemenea hiperboloidului cu opanza, paraboloidul hiperbolic Ph are doua familii de generatoare rectilinii care au aceleasiproprietati cu cele ale hiperboloidului cu o panza. In plus, ın cazul paraboloidului hiper-bolic, generatoarele rectilinii ∆

λsunt paralele cu planul de ecuatie x√

p −y√q = 0, iar genera-

toarele rectilinii ∆µ sunt paralele cu planul de ecuatie x√p +

y√q = 0.

9.3.6 Cuadrice singulare

• Conul eliptic este cuadrica de ecuatie

x2

a2 +y2

b2 −z2

c2 = 0 (9.10)

• Cilindrul eliptic este cuadrica de ecuatie

x2

a2 +y2

b2 = 1 saux2

a2 +z2

c2 = 1 sauy2

b2 +y2

b2 = 1 (9.11)

• Cilindrul hiperbolic este cuadrica de ecuatie

x2

a2 −y2

b2 = 1 saux2

a2 −z2

c2 = 1 sauy2

b2 −y2

b2 = 1 (9.12)

• Cilindrul parabolic este cuadrica de ecuatie y2 = 2px sau y2 = 2pz sau x2 = 2py saux2 = 2pz sau z2 = 2px sau z2 = 2py



Perechea de plane concurente este cuadrica de ecuatie

x2

a2 −y2

b2 = 0 si analoagele. (9.13)

Perechea de plane paralele este cuadrica de ecuatie

x2 − a2 = 0 si analoagele. (9.14)

Perechea de plane confundate este cuadrica de ecuatie

x2 = 0 si analoagele. (9.15)

Dreapta este cuadrica de ecuatie

x2

a2 +y2

b2 = 0 si analoagele. (9.16)

Punctul este cuadrica de ecuatie

x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 = 0. (9.17)

Multimea vida este cuadrica de ecuatie

x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 = −1 saux2

a2 +y2

b2 = −1. (9.18)



9.4 Probleme

Sa se studieze natura cuadricelor, sa se aduca la forma redusa si sa se reprezinte ın spatiultridimensional cuadricele:

1. Q1 : 335− 216x + 8y + 20z + 4yz + 36x2 + 8y2 + 5z2 = 0;

2. Q2 : x2 + 3y2 + 4yz− 6x + 8y + 8 = 0;

3. Q3 : 2y2 + 4xy− 8xz− 4yz + 6x− 5 = 0;

4. Q4 : x2 + y2 − z2 − 4xy− 4xz− 6x = 0.

Solutie. Vom trata aici doar punctele (2) si (3), celelalte tratandu-se analog.(2) Notam cu f functia polinomiala de gradul doi care defineste cuadrica Q2 si cu R

reperul cartezian initial. Daca M este un punct din spatiu de coordonate (x, y, z) fata de R,atunci f (M) = x2 + 3y2 + 4yz− 6x + 8y + 8 si deci

[ f ]R =

1 0 00 3 20 2 0

si [[ f ]]R =

8 −3 4 0−3 1 0 0

4 0 3 20 0 2 0

de unde rezulta ca

δ =

∣∣∣∣∣∣1 0 00 3 20 2 0

∣∣∣∣∣∣ = −4 si ∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣8 −3 4 0−3 1 0 0

4 0 3 20 0 2 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −2

∣∣∣∣∣∣8 −3 4−3 1 0

0 0 2

∣∣∣∣∣∣ = −4∣∣∣∣ 8 −3−3 1

∣∣∣∣ = 4.

Valorile proprii ale matricii [ f ]R sunt radacinile polinomului sau caracteristic, adica∣∣∣∣∣∣1− λ 0 0

0 3− λ 20 2 −λ

∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇔ −λ(1− λ)(3− λ)− 4(1− λ) = 0

⇔ (1− λ)(−3λ + λ2 − 4) = 0⇔ (λ− 1)(λ + 1)(λ− 4) = 0.

Prin urmare ecuatia canonica a cuadricei Q2 este

x′′2 − y′′2 + 4z′′2 = 1⇔ x′′2 − y′′2 +z′′2(12

)2 = 1 (9.19)

si ea reprezinta un hiperboloid cu o panza10.Subspatiul propriu asociat valorii proprii λ1 = 1 este solutia generala a sistemului 1− 1 0 0

0 3− 1 20 2 −1

uvw

=

000

⇔ {2v + 2w = 02v− w = 0 ⇔ v = w = 0.

Asadar, un vector propriu asociat valorii proprii λ1 = 1 este −→e 1 =−→i (1, 0, 0).

10Aici se ıncheie studiul naturii cuadricei Q2. Consideratiile ulterioare au ın vedere reprezentarea sa.



Subspatiul propriu asociat valorii proprii λ2 = −1 este solutia generala a sistemului 1 + 1 0 00 3 + 1 20 2 1

uvw

=

000

⇔

2u = 04v + 2w = 02v + w = 0

⇔ u = 0 & w = −2v.

Asadar, un vector propriu asociat valorii proprii λ2 = −1 este −→e 2 =1√5

−→j − 2√

5

−→k .

Subspatiul propriu asociat valorii proprii λ3 = 4 este solutia generala a sistemului 1− 4 0 00 3− 4 20 2 −4

uvw

=

000

⇔−3u = 0−v + 2w = 02v− 4w = 0

⇔ u = 0 & v = 2w.


−→j +

1√5

−→k .


T =

1 0 0

01√5

2√5

0 − 2√5

1√5


x = x′

y =1√5

y′ +2√5

z′

z = − 2√5

y′ +1√5

z′.

Fata de reperul R′ = (O,−→e 1,−→e 2,−→e 3) functia f are forma

f (M) = 8 + [−6 8 0]

1 0 0

01√5

2√5

0 − 2√5

1√5

x′

y′

z′

+ x′2 − y′2 + 4z′2

= 8− 6x′ +8√5

y′ +16√

5z′ ++x′2 − y′2 + 4z′2

= x′2 − 6x′ + 9− 9−(

y′2 − 8√5

y′ +165

)+

165

+ 4(

z′2 +4√5

z′ +165

)− 16

5+ 8

= (x′ − 3)2 −(

y− 4√5

)2

+

(z′ +

2√5

)2

− 1.

A doua schimbare de coordonate estex′′ = x′ − 3

y′′ = y′ − 4√5

z′′ = z′ +2√5

,


x′′ = 0y′′ = 0z′′ = 0,

⇔

x′ = 3

y′ =4√5

z′ = − 2√5

⇔

x = 3

y =1√5

4√5

+2√5

(− 2√

5

)z = − 2√

54√5

+1√5

(− 2√

5

) ⇔

x = 3y = 0z = −2

,



adica originea O′ a reperului fata de care functia f are forma redusa are, fata de reperul initialR, coordonatele (3, 0, 2). Fata de reperul R′ = (O′.−→e 1,−→e 2,−→e 3) cuadrica Q2 are ecuatia(9.19). Amintim faptul ca originea O′ a reperului R′ coincide cu centrul hiperboloidului cuo panza Q2 si deci coordonatele sale se pot gasi si rezolvand sistemul liniar.

fx = 0fy = 0fz = 0.

(3) Notam cu f functia polinomiala de gradul doi care defineste cuadrica Q3 si cu R reperulcartezian initial. Daca M este un punct din spatiu de coordonate (x, y, z) fata de R, atuncif (M) = 2y2 + 4xy− 8xz− 4yz + 6x− 5 si deci

[ f ]R =

0 2 −42 2 −2−4 −2 0

si [[ f ]]R =

−5 3 0 0

3 0 2 −40 2 2 −20 −4 −2 0

de unde rezulta ca

δ =

∣∣∣∣∣∣0 2 −42 2 −2−4 −2 0

∣∣∣∣∣∣ = 16 + 16− 32 = 0,

∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣−5 3 0 0

3 0 2 −40 2 2 −20 −4 −2 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −5

∣∣∣∣∣∣0 2 −42 2 −2−4 −2 0

∣∣∣∣∣∣− 3

∣∣∣∣∣∣3 0 02 2 −2−4 −2 0

∣∣∣∣∣∣= −5(16 + 16− 32)− 3 · 3 · (−4) = 36,

I1 =

∣∣∣∣ 0 22 2

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ 0 −4−4 0

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ 2 −2−2 0

∣∣∣∣ = −4− 16− 4 = −24.

Valorile proprii ale matricii [ f ]R sunt radacinile polinomului sau caracteristic, adica∣∣∣∣∣∣−λ 2 −42 2− λ −2−4 −2 −λ

∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇔ λ2(2− λ) + 16 + 16− 16(2− λ) + 4λ + 4λ = 0

⇔ λ2(2− λ) + 32− 3 + 16λ + 8λ = 0⇔ λ(λ2 − 2λ− 24 = 0⇔ λ1 = 6, λ2 = −4, λ3 = 0.



Prin urmare ecuatia canonica a cuadricei Q3 este

6x′′2 − 4y′′2 ± 2

√− 36−24

z′′ = 0⇔ 6x′′2 − 4y′′2 ±√

6z′′ = 0

si ea reprezinta un paraboloid hiperbolic11.Subspatiul propriu asociat valorii proprii λ1 = 6 este solutia generala a sistemului −6 2 −42 2− 6 −2−4 −2 −6

uvw

=

000

⇔−6u + 2v− 4w = 0+2u− 4v− 2w = 0−4u− 2v− 6w = 0

⇔{

u = 2v + wv = −w ⇔ u = v = −w.


−→i +

1√3

−→j − 1√

3

−→k .

Subspatiul propriu asociat valorii proprii λ2 = −4 este solutia generala a sistemului 4 2 −42 2 + 4 −2−4 −2 4

uvw

=

000

⇔

4u + 2v− 4w = 02u + 6v− 2w = 0−4u− 2v + 4w = 0

⇔{

v = −2u + 2wu− 6u + 6w− w = 0 ⇔

{u = wv = 0.

Asadar, un vector propriu asociat valorii proprii λ2 = −4 este −→e 2 =1√2

−→i +

1√2

−→k .

Subspatiul propriu asociat valorii proprii λ3 = 0 este solutia generala a sistemului 0 2 −42 2 −2−4 −2 0

uvw

=

000

⇔

2v− 4w = 02u + 2v− 2w = 0−4u− 2v = 0

⇔ v = −2u = 2w.


−→i − 2√

6

−→j − 1√

6

−→k .


T =

1√3

1√2

1√6

1√3

0 − 2√6

− 1√3

1√2− 1√

6

iar schimbarea de coordonate este:

x =1√3

x′ +1√2

y′ +1√6

z′

y =1√3

x′ − 2√6

z′

z = − 1√3

x′ +1√2

y′ − 1√6

z′.

11Aici se ıncheie studiul naturii cuadricei Q3. Consideratiile ulterioare au ın vedere reprezentarea sa.



Fata de reperul R′ = (O,−→e 1,−→e 2,−→e 3) functia f are forma

f (M) = 8 + [6 0 0]

1√3

1√2

1√6

1√3

0 − 2√6

− 1√3

1√2− 1√

6

x′

y′

z′

+ 6x′2 − 4y′2

= −5 + 6

(x′√

3+

y′√2+

z′√6

′)+ 6x′2 − 4y′2

= 6(

x′2 + 21

2√

3x′ +

112

)− 1

2− 4

(y′2 − 2

34√

2y′ +

932

)+

98+√

6z′ − 5

= 6(

x′ +1

2√

3

)2

− 4(

y′ − 34√

2

)2

+√

6(

z′ − 358√

6

).

A doua schimbare de coordonate estex′′ = x′ +

12√

3y′′ = y′ − 3

4√

2z′′ = z′ − 35

8√

6,


x′′ = 0y′′ = 0z′′ = 0,

⇔

x′ = − 1

2√

3y′ =

34√

2z′ =

358√

6

⇔

x = − 1√3

12√

3+

1√2

34√

2+

1√6

358√

6y = − 1√

31

2√

3− 2√

635

8√

6z =

1√3

12√

3+

1√2

34√

2− 1√

635

8√

6

⇔

x =34

y = −3924

z = −38

,

adica originea O′ a reperului fata de care functia f are forma redusa are, fata de reperul

initial R, coordonatele(

34

,−3924

,−38

). Fata de acest reper paraboloidul hiperbolic Q3 are

ecuatia6x′′2 − 4y′′2 +

√6z′′ = 0.





10 Saptamana 10. Aplicatii afine

Definitia 10.1. Fie (X,−→X , ϕ), (Y,

−→Y , ψ) doua spatii afine. Aplicatia f : X −→ Y se numeste

se numeste aplicatie afina sau morfism afin daca exista o aplicatie liniara f ′ :−→X −→ −→Y , nu-

mita urma sau aplicatia liniara tangenta, astfel ıncat−−−−−−−−−→f (M) f (N)= f ′(

−→MN) pentru orice puncte

M, N ∈ X.

Propozitia 10.1. Date fiind punctele A ∈ X si B ∈ Y si o aplicatie liniara t :−→X −→ −→Y , exista o

unica aplicatie afina f : X −→ Y astfel ıncat f (A) = B si f ′ = t.

Demonstratie. Daca f : X −→ Y este o astfel de aplicatie atunci, pentru orice M ∈ X, ın modnecesar avem succesiv:

−−−−−−→f (A) f (M) = f ′(

−→AM)⇐⇒

−−−−→B f (M) = t(

−→AM).

Relatia−−−−→B f (M) = t(

−→AM) defineste aplicatia f si arata unicitatea ei. Daca M, N ∈ X sunt

doua puncte arbitrare, atunci avem succesiv:

−−−−−−→f (M) f (N) =

−−−→B f (N)−

−−−−→B f (M)

= t(−→AN)− t(

−→AM)

= t( −→

AM −−→AN

)= t(

−→MN).

Asadar f astfel definita este o aplicatie afina.

Corolarul 10.2. Date fiind reperul afin R = (A0, A1, . . . , An) al lui X si sistemul de puncte{B0, B1, . . . , Bn} ın spatiul Y, exista o unica aplicatie afina f : X −→ Y astfel ıncat f (Ai) = Bi

pentru i = 0, 1, . . . , n.

Demonstratie. Consideram aplicatia liniara t :−→X −→ −→Y , unica de altfel, data de relatiile

t(−→

A0Ai) =−→

B0Bi, ∀i ∈ {1, . . . , n},

precum si aplicatia afina f : X −→ Y, f (A0) = B0 si f ′ = t. Observam ca avem succesiv:−−−−→B0 f (Ai) =

−−−−−−−→f (A0) f (Ai) = t(

−→A0Ai) =

−→B0Bi, fapt care arata ca f (Ai) = Bi pentru orice i ∈

{1, . . . , n}.

Propozitia 10.3. Fie f : X −→ Y o aplicatie afina si L o varietate liniara nevida ın X. Atunci f (L)

este o varietate afina ın Y si−→f (L)= f ′(

−→L ). Prin urmare aplicatiile afine sunt morfisme afine.

Demonstratie. Daca A ∈ L, observam ca avem succesiv:

f (L) = {N ∈ Y : ∃M ∈ L a.ı. f (M) = N}= {N ∈ Y : ∃M ∈ L a.ı.

−−−−→f (A)N =

−−−−−−→f (A) f (M)}

= {N ∈ Y : ∃M ∈ L a.ı.−−−−→f (A)N = f ′(

−→AM)}

= {N ∈ Y :−−−−→f (A)N ∈ f ′(

−→L )}.

Asadar, f (L) este o varietate afina ın Y si−→f (L)= f ′(

−→L ).



Reciproca propozitiei 10.3 nu este adevarata. De exemplu surjectiile f : R −→ R trans-forma orice subspatiu afin al lui R ıntr-un subspatiu afin al sau, ın vreme ce polinoamelep : R −→ R de gradul unu sunt singurele aplicatii afine, asa cum vom vedea mai tarziu.

Corolarul 10.4. Aplicatiile afine transforma varietati liniare paralele ın varietati liniare paralele.

Observatia 10.1. O aplicatie afina f : X −→ Y transforma orice baricentru M al unui sistem depuncte A1, . . . , Am ın baricentrul sistemului f (A1), . . . , f (Am) cu aceleasi ponderi. Intr-adevar,

daca M =m

∑i=1

λi Ai cum

∑i=1

λi = 1 si O ∈ X, atunci avem succesiv

−−−−−−→f (O) f (M) = f ′(

−→OM) = f ′

(m

∑i=1

λi−→

OAi

)=

m

∑i=1

λi f ′(−→

OAi)

=m

∑i=1

λi−−−−−−→f (O) f (Ai),

fapt care justifica afirmatia.

10.1 Ecuatiile unei aplicatii afine

Propozitia 10.5. Daca spatiile afine X, Y sunt finit dimensionale si R = (O, b), R′ = (O′, b′) suntrepere carteziene ale lui X respectiv Y, iar f : X −→ Y este o aplicatie afina, atunci pentru oriceM ∈ X avem [ f (M)]

R′ = [ f ′]bb′ [M]R + [ f (O)]R′ .

Demonstratie. Indeed, we have successively:

[ f (M)]R′ =

[ −−−−−−−→O′ f (M)

]b′=[ −−−−−−−→

O′ f (O) +−−−−−−→f (O) f (M)

]b′

=[

f ′( −−→

OM)]

b′+[ −−−−−−−→

O′ f (O)]

b′

= [ f ′]bb′ [−→

OM]b + [ f (O)]R′ = [ f ′]bb′ [M]R + [ f (O)]

R′

Daca [ f ′]bb′ = (aij), [ f (O)]R′ = (bi) si

[M]R =

x1...xn

, [ f (M)]R′ =

x′1...x′n

,

atunci formula [ f (M)]R′ = [ f ′]bb′ [M]R + [ f (O)]

R′ se scrie astfel

x′i =n

∑j=1

aij xj + bi, i = 1, . . . , m.

10.2 Preimaginile unei aplicatii afine. Teorema dimensiunii

Propozitia 10.6. Imaginea inversa f−1(N) a oricarui punct N ∈ f (X) printr-o aplicatie afinaf : X −→ Y este o varietate liniara al carei spatiu director coincide cu ker f ′.



Demonstratie. Daca A ∈ f−1(N), adica f (A) = N, observam ca avem succesiv:

f−1(N) = {M ∈ X : f (M) = N}

= {M ∈ X :−−−−−−−→

f (A) f (M)=−−−−−−−→f (A)N }

= {M ∈ X : f ′(−−→AM) = 0} = {M ∈ X :

−−→AM∈ ker( f ′)}.

Corolarul 10.7. Daca N, N′ ∈ f (X), atunci varietatile liniare f−1(N) si f−1(N′) sunt paralele siau aceeasi dimensiune cu ker f ′.

Teorema 10.8. (Teorema dimensiunii pentru aplicatii afine) Daca X, Y sunt spatii afine finit dimen-sionale si f : X −→ Y este o aplicatie afina, iar N ∈ f (X), atunci

dim(X) = dim f (X) + dim f−1(N).

Demonstratie. Teorema dimensiunii pentru aplicatii liniare ne spune ca

dim(−→X ) = dim(Im( f ′)) + dim(ker( f ′)),

sau echivalent dim(X) = dim f (X) + dim f−1(N), ıntrucat−−−−−−−→f−1(N)= ker( f ′) si

−−−−−−−→Im( f ) =

Im( f ′).

10.3 Functionale afine. Hiperplane

Definitia 10.2. Se numeste functionala afina o aplicatie afina f : X −→ K, unde K este corpulpeste care

−→X este organizat ca spatiu vectorial.

Asadar f : X −→ K este functionala afina daca si numai daca exista o functionala liniara

f ′ :−→X −→ K astfel ıncat f ′(

−→MN) = f (N)− f (M) pentru orice M, N ∈ X.

Propozitia 10.9. Functionalele afine f : X −→ K sunt aplicatii definite prin formula f (M) =

f ′(−→AM) + c, unde A ∈ X, f ′ :

−→X −→ K este o functionala liniara si c ∈ K.

Varietatile liniare f−1(N), cu N ∈ K sunt hiperplane ın X deoarece−−−−→f−1(N) = ker f ′.

Propozitia 10.10. Pentru orice hiperplan H al spatiului afin X exista o functionala afina f : X −→K astfel ıncat H = f−1(0).

Demonstratie. Intr-adevar, exista o functionala liniara t :−→X −→ K astfel ıncat

−→H = ker(t).

Alegem A ∈ H si definim functionala afina f : X −→ K, f (M) = t(−→AM). Avem succesiv:

f−1(0) = {M ∈ X : t(−→AM) = 0}

= {M ∈ X :−→AM∈ ker( f ′)}

= {M ∈ X :−→AM∈ −→H } = H.

10.4 Probleme

1. Sa se arate ca aplicatia afina f : X −→ Y este injectiva daca si numai daca urma saf ′ :−→X −→ −→Y este injectiva.

Solutie.



2. Sa se arate ca aplicatia afina f : X −→ Y este surjectiva daca si numai daca urma saf ′ :−→X −→ −→Y este surjectiva.

Solutie.



3. Daca f : X −→ Y este o aplicatie afina si Z este un subspatiu afin al lui Y, sa se arateca imaginea inversa f−1(Z) este un subspatiu afin al lui X si, atunci cand f−1(Z) 6= ∅,

avem−−−−−−−→f−1(Z) = ( f ′)−1(

−→Z ).

Solutie.



4. Fie X un spatiu afin raportat la reperul cartezian R = (O, e1, e2, e3) si Y un plan afinraportat la reperul cartezian R′ = (O′, e′1, e′2). Se considera aplicatia afina f : X −→ Ycare transforma punctele A0(0, 1, 0), A1(0, 1, 1), A2(1, 1, 1), A3(0, 0, 1) respectiv ın puncteleA′0(1, 2), A′1(2, 0), A′2(4,−1), A′3(5,−1). Sa se determine ecuatiile lui f fata de repereleR si R′. Sa se determine dreptele planului Y a caror imagini inverse prin f sunt planeparalele cu dreapta de ecuatii x1 = x2 = x3.

Solutie.



5. In spatiul afin 3-dimensional X raportat la un reper cartezian R = (O, e1, e2, e3) se daupunctele A1(2, 0, 0), A2(0, 0, 1), A3(1, 1,−1), A′1(0,−2,−2), A′2(4, 4, 5) si A′3(−3,−3,−5).Fie f : X −→ X aplicatia afina pentru care f (Ai) = A′i, i = 1, 2, 3 si f (O) = O′(2, 2, 2).

(a) Sa se scrie ecuatiile lui f ;

(b) Sa se determine f (d), unde (d){

x = zy = 0 .

(c) Sa se arate ca f este involutiva.

(d) Sa se determine multimea punctelor fixe ale lui f .

Solutie. (5a) Ecuatiile lui f sunt date de relatia [ f (M)]R = [ f ′]b [M]R + [ f (O)]R , unde b =[e1, e2, e3]. Pentru a determina reprezentarea matriceala [ f ′]b a lui f ′ folosim relatiilef (Ai) = A′i, i = 1, 2, 3 si f (O) = O′(2, 2, 2). Mai precis avem:

2 f ′(e1) = f ′(−→

OA1) =−→

f (O) f (A1)=−→

O′A′1=−→

OA′1 −−→

OO′= −2e1 − 4e2 − 4e3;

f ′(e3) = f ′(−→

OA2) =−→

f (O) f (A2)=−→

O′A′2=−→

OA′3 −−→

OO′= 2e1 + 2e2 + 3e3;

f ′(−→

OA3) =−→

f (O) f (A3)=−→

O′A′3=−→

OA′3 −−→

OO′= −5e1 − 5e2 − 7e3;

f ′(−→

OA3) = f ′(e1 + e2 − e3) = f ′(e1) + f ′(e2)− f ′(e3)= e1 − 2e2 − 2e3 + f ′(e2)− 2e1 − 2e2 − 3e3 = −e1 − 4e2 − 5e3 + f ′(e2).

Asadar

f ′(e1) = −e1 − 2e2 − 2e3, f ′(e2) = −2e1 − e2 − 2e3, f ′(e3) = 2e1 + 2e2 + 3e3,

adica

[ f ′]b =

−1 −2 2−2 −1 2−2 −2 3

si deci ecuatiile lui f sunt

x′ = −x − 2y + 2z + 2y′ = −2x − y + 2z + 2z′ = −2x − 2y + 3z + 2.

(5c) Deoarece ecuatiile parametrice ale lui d sunt{x = z = ty = 0 , t ∈ R

deducem ca ecuatiile parametrice ale lui f (d) suntx′ = 3t + 2y′ = 2z′ = t + 2

, t ∈ R.

(5c)

[( f ◦ f )(M)]R = [ f ( f (M))]R = [ f ′]b [ f (M)]R + [O′]R

= [ f ′]b([ f ′]b [M]R + [O′]R) + [O′]R = [ f ′]2b[M]R + [ f ′]b [O

′]R + [O′]R .

Observam mai departe ca

[ f ′]2b=

−1 −2 2−2 −1 2−2 −2 3

−1 −2 2−2 −1 2−2 −2 3

=

1 0 00 1 00 0 1

= I3



si

[ f ′]b [O′]R + [O′]R =

−1 −2 2−2 −1 2−2 −2 3

222

+

222

=

000

.

Prin urmare [( f ◦ f )(M)]R = [M]R pentru orice M ∈ X, fapt care arata ca f ◦ f = idX ,adica f este involutiva.



11 Saptamana 11. Endomorfisme afine. Proiectii si simetrii

Definitia 11.1. Se numeste endomorfism afin al unui spatiu afin X orice aplicatie afina f : X→X. Un endomorfism afin inversabil al lui X se numeste automorfism afin al lui X.

Daca R = (O, b) este un reper cartezian al lui X, atunci

[ f (M)]R = [ f ′]b [M]R + [ f (O)]R (11.1)

Daca [ f ′]b = (aij), [ f (O)]R = (bi) si

[M]R =

x1...xn

, [ f (M)]R =

y1...yn

,

atunci formula (11.1) se scrie astfel

yi =n

∑j=1

aij xj + bi, i = 1, . . . , n.

Daca f , g : X −→ X sunt doua endomorfisme afine ale spatiului afin X, atunci f ◦ g :X −→ X este un nou endomorfism liniar al X si ( f ◦ g)′ = f ′ ◦ g′. De asemea aplicatiaidentica a lui X este o un automorfism afin al lui X si (idX)

′ = id−→X

. Demonstratia acestorfapte este lasata ın seama cititorului. Prin urmare multimea Enda f (X) a endomorfismelor

afine ale lui X formeaza, asemenea multimii endomorfismelor liniare End(−→X ) ale lui

−→X un

monoid. Elementele unitate ale celor doua monoide sunt aplicatiile identice ale spatiilorX respectiv

−→X . Mai mult multimea Auta f (X) a automorfismelor afine ale lui X formeaza

un submonoid al lui Enda f (X) care este grup ın raport cu operatia indusa. Amintim ca

multimea Aut(−→X ) a automorfismelor liniare ale lui

−→X este un submonoid al monoidului

End(−→X ) care este de fapt un grup fata de operatia indusa. Mai mult, avem urmatoarea

Propozitia 11.1. Corespondeta care asociaza endomorfismului afin f : X −→ X urma sa f ′ :−→X −→ −→X este un morfism unitar al monoidului endomorfismelor lui X pe monoidul aplicatiilorliniare ale spatiului

−→X . Acest morfism nu este inversabil si transforma grupul automorfismelor afine

ale lui X ın grupul automorfismelor liniare ale lui−→X .

11.1 Translatia

Definitia 11.2. Se numeste translatie orice endomorfism liniar t : X −→ X al unui spatiu

afin X cu proprietatea ca t′ = id−→X

, adica−−−−−→t(A)t(B) =

−→AB, pentru orice A, B ∈ X, adica

−−−−→At(A)=

−−→Bt(B) pentru orice A, B ∈ X.

Observatia 11.1. 1. Multimea T(X) a translatiilor unui spatiu afin X formeaza un sub-grup normal al grupului automorfismelor afine ale lui X, numit grupul translatiilor luiX. Intr-adevar, T(X) este nucleul restrictiei morfismului evidentiat de Propozitia 11.1,la grupul automorfismelor afine ale lui X.

2. Pentru A, B ∈ X, exista o unica translatie t : X −→ X astfel ıncat t(A) = B.



Propozitia 11.2. Daca X este un spatiu afin, atunci corespondenta T(X) −→ −→X , t 7−→−−−−→At(A) este

izomorfism al grupului (T(X), ◦) pe grupul (−→X ,+).

Acest izomorfism ne permite sa definim pe grupul translatiilor lui X o unica structurade spatiu vectorial peste K astfel ıncat izomorfismul de grupuri din Propozitia 11.2 sa fieun izomorfism de spatii vectoriale. Acesta se defineste astfel: daca c ∈ K si t, t1, t2 ∈ T(X),atunci translatiile ct si t1 + t2 se definesc prin relatiile

−−−−→A(ct)(A)= c

−−−−→At(A) si

−−−−−−−→A(t1 + t2)(A)=

−−−−−−−→A(t1 ◦ t2)(A) .

11.2 Subspatii invariante

Definitia 11.3. O varietate liniara Y a spatiului afin X se numeste invarianta fata de un en-domorfism f al lui X daca f (Y) ⊆ Y. Varietatile liniare 0-dimensionale invariante fata deendomorfismul f se numesc puncte fixe ale lui f .

Obsevam ca A ∈ X este punct fix al endomorfismului liniar f : X → X daca si numaidaca f (A) = A.

Propozitia 11.3. Multimea punctelor fixe ale unui endomorfism f : X → X este un subspatiu afinal lui X.

Demonstratie. Daca multimea Ff := {M ∈ X : f (M) = M} a punctelor fixe ale lui feste vida nu avem nimic de aratat. Altfel consideram un punct A ∈ Ff ⇐⇒ f (A) = A siobservam ca avem succesiv:

Ff = {M ∈ X : f (M) = M}

= {M ∈ X :−−−−−−−−−−→f (A) f (M)=

−−−−−−−→f (A)M }

=

{M ∈ X : f ′

( −−→AM

)=−−→AM

}=

{M ∈ X : f ′

( −−→AM

)− id−→

X(−−→AM) = 0

}=

{M ∈ X :

(f ′ − id−→

X

)( −−→AM

)= 0

}=

{M ∈ X :

−−→AM∈ ker

(f ′ − id−→

X

)}.

Asadar Ff este, ıntr-adevar, subsatiu afin al lui X si−→F f = ker

(f ′ − id−→

X

).

11.3 Omotetii

Definitia 11.4. Se numeste omotetie a spatiului afin X orice automorfism liniar h : X → X cu

proprietatea ca h′ :−→X → −→X este o omotetie a spatiului vectorial

−→X , adica

−−−−−−−−−→h(A)h(B)= r

−→AB, unde

r este raportul omotetiei h′.

Fata de un reper cartezian R = (O, b), ecuatiile omotetiei sunt de forma

yi = rxi + ai, i = 1, . . . , n,

unde n = dim(X).



Propozitia 11.4. O omotetie cu raportul diferit de 1 are un singur punct fix numit centrul omotetiei.

Demonstratie. Intr-adevar, daca omotetia h : X −→ X are raportul r 6= 1, determinam unpunct O ∈ X astfel ıncat

−→OA=

1r− 1

−−−−−−−→Ah(A) , (11.2)

unde A ∈ X este un punct dat. Observam ca egalitatea (11.2) este echivalenta cu−−−→

Oh(A)=

r−−−→OA , astfel ıncat obtinem

−−−→h(O)h(A)= h′

(−−−→OA

)= r

−−−→OA =

−−−→Oh(A) si deci h(O) = O.

Unicitatea punctului fix o lasam ın seama cititorului.

11.4 Proiectii. Ecuatiile proiectiilor

Definitia 11.5. Se numeste proiectie a spatiului afin X orice endomorfism afin p : X → X careverifica relatia p2 = p.

Propozitia 11.5. Orice proiectie p : X → X are puncte fixe. Mai exact punctele imaginii Im(p) suntpunctele fixe ale lui p. Urma p′ este o proiectie a spatiului vectorial

−→X . Reciproc, un endomorfism

liniar f : X → X care are cel putin un punct fix O ∈ X si a carui urma f ′ este o proiectie vectoriala,este el ınsusi o proiectie.

Demonstratie. Daca p este proiectie, atunci evident Fp = Im(p) si urma p′ este o proiectievectoriala. Invers, daca urma f ′ este o proiectie vectoriala si O este un punct fix al lui f ,atunci pentru orice punct M ∈ X avem

−−−−−−−−−−−−→f 2(O) f 2(M)= f ′2(

−−−→OM ) ⇐⇒

−−−−−−−→O f 2(M)= f ′(

−−−→OM )⇐⇒

−−−−−−−→O f 2(M)=

−−−−−−−−−−→f (O) f (M)

⇐⇒−−−−−−−→O f 2(M)=

−−−−−→O f (M)⇐⇒ f 2(M) = f (M).

Propozitia 11.6. Orice morfism liniar f : X → Y se poate obtine compunand o proiectie p : X → Xcu un morfism liniar injectiv g : Im(p)→ Y.

Ecuatiile proiectiilor

Fie X un spatiu afin n-dimensional si p : X → X o proiectie. Consideram reperul afinA0, . . . , Am a subspatiului afin p(X), iar ın imaginea inversa p−1(A0) consideram reperulafin A0, Am+1, . . . , An (amintim ca dim p(X) + dim p−1(A0) = dim X. Deoarece p esteproiectie rezulta usor ca (A0, . . . , An) este un reper afin al lui X. Fata de reperul cartezianasociat R, ecuatiile proiectiei p sunt

y1 = x1, . . . , ym = xm, ym+1 = 0, . . . , yn = 0.

Intr-adevar

p′(−→

A0Ai) =−−−−−−−→p(A0)p(Ai) =

−−−−−→A0p(Ai) =

{ −−−→A0Ai daca i ∈ {1, . . . , m}0 daca i ∈ {m+1, . . . , n},



adica

[p′]b =

1 0 · · · 0 0 · · · 00 1 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 1 0 · · · 00 0 · · · 0 0 · · · 00 0 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 0 0 · · · 0

,

unde b =

[−−−→A0A1, . . . ,

−−−→A0An

]. Asadar, relatia [p(M)]R=[p′]b[M]R + [A0]R este echivalenta

cu relatia

y1y2...ymym+1...yn

=

1 0 · · · 0 0 · · · 00 1 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 1 0 · · · 00 0 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 0 0 · · · 0

x1x2...xmxm+1...xn

+

00...00...0

si care ne conduce la ecuatiile

y1 = x1, . . . , ym = xm, ym+1 = 0, . . . , yn = 0.

11.5 Simetrii. Ecuatiile simetriilor

Definitia 11.6. Se numeste simetrie a spatiului afin X orice endomorfism afin involutiv s :X −→ X, adica s ◦ s = idX .

Propozitia 11.7. Daca char(K) 6= 2, atunci orice simetrie s : X −→ X are puncte fixe.

Demonstratie. Observam ca baricentrul 12 M + 1

2 s(M) este punct fix al simetriei s pentru oriceM ∈ X. Intr-adevar, avem succesiv:

s(

12

M +12

s(M)

)=

12

s(M) +12

s (s(M)) =12

s(M) +12

M.

Multimea punctelor fixe Fs se numeste axa simetriei s : X −→ X.

Observatia 11.2. Urma s′ a unei simetrii s : X −→ X este o simetrie a spatiului−→X .

Teorema 11.8. (Teorema de legatura dintre simetrii si proiectii afine) Daca s : X −→ X este osimetrie a spatiului afin X (char(K) 6= 2), atunci aplicatia p : X −→ X definita prin p(M) =12 M + 1

2 s(M) este o proiecie. Reciproc, daca p : X −→ X este o proiectie atunci s : X −→ X,s(M) = 2p(M)−M este o simetrie.



Demonstratie. Observam ca

−−−−−−−−−→p(M)p(N)=

14

( −→MN +

−−−−→Ms(N) +

−−−−→s(M)N+

−−−−−−−−−→s(M)s(N)

).

Pe de alta parte egalitatea−−−−→Ms(N) +

−−−−→s(M)N =

−→MN +

−−−−−−−−−→s(M)s(N) este echivalenta cu

−−−−→Ns(N) +

−−−−→s(N)N = 0. Asadar

−−−−−−−−−→p(M)p(N)=

12

( −→MN +

−−−−−−−−−→s(M)s(N)

)=

(12

idX +12

s′)(−→

MN).

Aceasta arata ca p este un endomorfism afin si p′ = 12(idX + s′). Pe de alta parte

p (p(M)) =12

p(M) +12

s (p(M)) = p(M),

ıntrucat s (p(M)) = 12 s(M) + 1

2 s (s(M)) = 12 s(M) + 1

2 M = p(M). Asadar p este o proiectie.Reciproc, presupunand ca p este o proiectie, se poate arata, folosind argumente similare, cas este involutiva si deci o simetrie.

Simetria s : X −→ X si proiectia asociata p au aceeasi varietate de puncte fixe Fs = Fp =

Im(p) numita axa simetriei s. Directia proiectiei p, adica spatiul director al fibrelor p−1(A),A ∈ Im(p), se numeste directia lui s.

Ecuatiile simetriilor

Fie s : X −→ X o simetrie a spatiului afin X si fie ps = 12 idX + 1

2 s proiectia asociata. Con-sideram un reper afin A0, . . . , Am al subspatiului afin Fs = Fps = Im(ps), iar ın imag-inea inversa p−1

s (A0) consideram reperul afin A0, Am+1, . . . , An (amintim ca dim p(X) +dim p−1(A0) = dim X). Deoarece ps este proiectie rezulta ca (A0, . . . , An) este un reper

afin al lui X. Fata de baza b =

[−−−→A0A1, . . . ,

−−−→A0An

], reprezenaterea matriceala a lui p′s este

[p′s]b =

1 0 · · · 0 0 · · · 00 1 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 1 0 · · · 00 0 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 0 0 · · · 0

.



Observam ca s = 2ps − idX si deci

[s′]b = 2[ps]b − In = 2

1 0 · · · 0 0 · · · 00 1 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 1 0 · · · 00 0 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 0 0 · · · 0

−

1 0 · · · 0 0 · · · 00 1 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 1 0 · · · 00 0 · · · 0 1 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 0 0 · · · 1

=

1 0 · · · 0 0 · · · 00 1 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 1 0 · · · 00 0 · · · 0 −1 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 0 0 · · · −1

.

Asadar, pentru orice M ∈ X deducem ca

[s(M)]R = 2[ps(M)]R − [M]R = 2([p′]b[M]R + [A0]R)− [M]R = (2[p′]b − In)[M]R,

relatie care este echivalenta cu

y1y2...ymym+1...yn

=

1 0 · · · 0 0 · · · 00 1 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 1 0 · · · 00 0 · · · 0 −1 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 0 0 · · · −1

x1x2...xmxm+1...xn

si care ne conduce la ecuatiile

y1 = x1, . . . , ym = xm, ym+1 = −xm+1, . . . , yn = −xn.

11.6 Translatiile ca produse de simetrii

Propozitia 11.9. Produsul a doua simetrii ale lui X care au aceeasi directie si ale caror axe suntvarietati liniare paralele (evident de aceeasi dimensiune) este o translatie.

Demonstratie. Fie s1, s2 simetrii ındeplinind conditiile enuntului si ps1 , ps2 proiectiile asociate.Asadar p−1

s1(ps1(M)) = p−1

s2(ps2(M)) pentru orice M ∈ X si

−−−→Imps1 =

−−−→Imps2 ⇐⇒ Fix(p′s1

) = Im(p′s1) = Im(p′s2

) = Fix(p′s2).

Consideram un reper afin A0, . . . , Am al subspatiului afin Fs1 = Fps1= Im(ps1), iar

ın imaginea inversa p−1s1

(A0) consideram reperul afin A0, Am+1, . . . , An. Deoarece ps este

proiectie rezulta ca (A0, . . . , An) este un reper afin al lui X. Fata de baza b =

[−−−→A0A1, . . . ,

−−−→A0An

],



reprezenaterea matriceala a lui p′s1este

[p′s1]b =

1 0 · · · 0 0 · · · 00 1 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 1 0 · · · 00 0 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 0 0 · · · 0

.

Observam ca s1 = 2ps1 − idX si deci

[s′1]b = 2[ps1 ]b − In =

1 0 · · · 0 0 · · · 00 1 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 1 0 · · · 00 0 · · · 0 −1 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 0 0 · · · −1

.

Deoarece−−−−→Imps1=

−−−−→Imps2 si A0, . . . , Am este un reper afin al subspatiului afin Fs1 = Fps1

=

Im(ps1) deducem ca−−−−→A0Ai∈

−−−−→Imps1= Im(p′s1

) = Fix(p′s2),

adica p′s2(−−−−→A0Ai) =

−−−−→A0Ai pentru 1 ≤ i ≤ m. Deoarece A0, Am+1, . . . , An este un reper afin

al imaginii inverse p−1s1

(A0) = p−1s1

(ps1(A0)) = p−1s2

(ps1(A0)) deducem ca p′s2(−−−−→A0Ai) = 0

pentru m + 1 ≤ i ≤ n, adica

[p′s2]b =

1 0 · · · 0 0 · · · 00 1 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 1 0 · · · 00 0 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 0 0 · · · 0

.

si deci

[s′2]b = 2[ps2 ]b − In =

1 0 · · · 0 0 · · · 00 1 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 1 0 · · · 00 0 · · · 0 −1 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 0 0 · · · −1

.



Asadar

[(s2 ◦ s1)′]b = [s′2 ◦ s′1]b = [s′2]b[s

′1]b

=

1 0 · · · 0 0 · · · 00 1 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 1 0 · · · 00 0 · · · 0 −1 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 0 0 · · · −1

1 0 · · · 0 0 · · · 00 1 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 1 0 · · · 00 0 · · · 0 −1 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 0 0 · · · −1

= In,

fapt care arata ca (s2 ◦ s1)′ = idX, adica este s2 ◦ s1 este, ıntr-adevar, o translatie.

Propozitia 11.10. Orice translatie t a spatiului afin X se poate reprezenta ca un produs de douasimetrii ıntre care una poate fi aleasa arbitrar dintre simetriile ale caror directie contine directia lui t.

Demonstratie. Fie s o simetrie a carei directie contine directia lui t si consideram un reper afin(A0, . . . , An) astfel ıncat (A0, . . . , Am) este un reper al lui Fs = Fps = Im(ps) si (A0, Am+1, . . . , An)

este un reper afin al unei preimagini p−1(A0) si t(A0) = An. Fata de acest reper, ecuatiilelui t sunt yi = xi, i = 1, . . . , n − 1 si yn = xn + 1, iar ecuatiile lui s fata de (A0, . . . , An)sunt y1 = x1, . . . , ym = xm, ym+1 = −xm+1, . . . , yn = −yn. Prin urmare automorfismul afinr = s ◦ t are ecuatiile

y1 = x1, . . . , ym = xm, ym+1 = −xm+1, . . . , yn−1 = −yn−1, yn = −xn − 1.

Asadar r este o simetrie deorece r2 = idX , dupa cum se poate usor verifica. Rezolvandecuatia r = s ◦ t ın raport cu t obtinem t = s ◦ r.

11.7 Apendix. Proiectii si simetrii vectoriale

11.7.1 Proiectii vectoriale

O clasa importanta de endomorfisme ale unui spatiu vectorial V este constituita de proiectiilelui V. Fie A si B doua spatii suplimentare ale lui V. Orice vector X ∈ V se poate scrie ın modunic sub forma a+ b cu a ∈ A si b ∈ B. Aplicatia pA,B : V −→ V, definita prin pA,B(a+ b) = apentru orice a ∈ A si orice b ∈ B este o aplicatie liniara a lui V ın el ınsusi, un endomorfism.Intr-adevar, daca xi = ai + bi, cu ai ∈ A si bi ∈ B, i = {1, 2}, atunci

pA,B(x1 + x2) = pA,B((a1 + a2) + (b1 + b2))= a1 + a2 = pA,B(x1) + p(x2)

si pA,B(λx1) = pA,B(λa1 + λb1) = λa1 = λpA,B(x1) pentru orice λ ∈ C. Observam ca pentruorice x ∈ V, p(x) = x daca si numai daca x ∈ A. Intr-adevar, putem scrie, ın mod unicx = a + b cu a ∈ A, b ∈ B. Prin definitia lui pA,B avem pA,B(x) = a. Egalitatea pA,B(x) = xdaca si numai daca b = 0, adica daca si numai daca x = a ∈ A. Aplicatia liniara pA,B ,pA,B(a + b) = a se numete proiectia lui V pe A paralela cu B. Sa presupunem ambii membri aiegalitatii pA,B(a + b) = a, endomorfismului pA,B :

p2A,B

(a + b) = pA,B(a) = a = pA,B(a + b).



Astfel, proiectia pA,B are proprietatea ca pentru orice x ∈ V, avem relatia p2A,B

(x) = pA,B(x);prin urmare p2

A,B= pA,B , pA,B este idempotent.

Reciproc, are loc

Teorema 11.11. Un endomorfism f ∈ L(V, V), care ındeplineste conditia f 2 = f este o proiectie alui V.

Demonstratie. Intr-adevar, sa punem A = Im( f ) si B = ker( f ). Orice vector x ∈ V satisfaceegalitatea x = f (x) + (x− f (x)), Obsevam ca x− f (x) ∈ ker( f ). Intr-adevar,

f (x) ∈ f (v) = A, f (x− f (x)) = f (x)− f 2(x) = f (x)− f (x) = 0,

deci x− f (x) ∈ B. Astfel V = A + B. Observam apoi ca daca y apartine intersectiei A ∩ B,atunci f (y) = 0 si exista x ∈ V, astfel ıncat y = f (x). Rezulta

0 = f (y) = f ( f (x)) = f 2(x) = f (x) = y.

Prin urmare A∩ B = 0v. Acest lucru ınseamna ca suma A + B este directa, adica compo-nentele f (x) si (x− f (x)) ale lui x ın A, respectiv ın B sunt unic determinate.

Asadar aplicatia idempotenta f este de fapt proiectiaspatiului V pe A := Im( f ) de-a lungul lui B := ker( f ), adica f = pIm( f ),ker( f ) .

Corolarul 11.12. Orice baza (e1, ..., er) a lui A = Im( f ) si orice baza (er+1, ..., en) a lui B =ker( f ), luate ımpreuna formeaza o baza R = (e1, ..., en) a lui V; fata de aceasta baza, ecuatiile lui fsunt:

f (ei) = ei, 1 ≤ i ≤ r, f (ej) = 0, r + 1 ≤ j ≤ n.

Matricea lui f fata de aceasta baza are forma

1 · · · 0 0 · · · 0... . . . ...

......

0 · · · 1 0 · · · 00 · · · 0 0 · · · 0...

...... . . . ...

0 · · · 0 0 · · · 0

11.7.2 Simetrii vectoriale

Strans legate de proiectiile unui spatiu vectorial, sunt involutiile (de ordinul 2), ale lui V, sausimetriile lui V.

Definitia 11.7. Se numeste involutie a unui spatiu vectorial V un endomorfism σ al lui V careverifica ecuatia σ2 = 1v (aplicatia identica).

Legatura dintre involutiile si proiectiile lui V este data de

Teorema 11.13. Presupunem ca spatiul vectorial V are corpul scalarilor K de caracteristica diferitade 2. Atunci endomorfismul p : V −→ V este o proiectie daca si numai daca σ = 2p− 1v, este oinvolutie.



Demonstratie. Prin calcul direct, din relatia

σ2 = 4p2 − 4p + 1v,

deducem ca p2 = p⇒ σ2 = 1v. Reciproc, daca σ2 = 1v, atunci 4(p2− p) = 0. Asadar, pentruorice x ∈ V avem 4(p2(x)− p(x)) = 0 si deoarece char(K) 6= 2, rezulta p2(x)− p(x) = 0, deunde rezulta p2 = p.

Daca p este o proiectie pe subspatiul A de-a lungul subspatiului B, atunci A se numesteaxa, iar B directia simetriei σ = 2p− 1v.�

Corolarul 11.14. Presupunem ca spatiul vectorial V are corpul scalarilor K de caracteristica diferitade 2. Fie p : V −→ V o proiectie a lui V si σ = 2p− 1v involutia asociata si fie x un vector din V:urmatoarele conditii sunt echivalente:

1. x = p(x),

2. x = σ(x).

De asemenea sunt echivalente:

1. p(x) = 0,

2. σ(x) = −x.

Corolarul 11.15. Presupunem ca spatiul vectorial V are corpul scalarilor K de caracteristica diferitade 2. Fie p : V −→ V o proiectie a lui V si σ = 2p− 1v involutia asociata. O baza (e1, ..., er) asubspatiului vectorial A := Im(p), ımpreuna cu o baza (er+1, ..., en) a subspatiului B := ker(p) neda o baza (e1, ..., en) a spatiului vectorial V pentru care σ(ei) = ei, 1 ≤ i ≤ r, σ(ej) = −ej, r + 1 ≤j ≤ n unde σ = 2p− 1v. Asadar reprezentarea matriceaa a lui σ fata de aceasta baza are forma

1 · · · · · · · · · · · · 0... . . . ...... 1

...... −1

...... . . . ...0 · · · · · · · · · · · · −1

Teorema 11.16. Orice aplicatie liniara f : V −→ W poate fi obtinuta compunand o proiectiep : V −→ p(V) cu o aplicatie liniara injectiva g : p(V) −→W.

Demonstatie. Fie U un subspatiu suplimentar al lui ker( f ) ın V, adica V = ker( f )⊕U.Restrictia lui f la U, g = f |U este o aplicatie injectiva, caci x ∈ U, g(x) = 0W implica x ∈U ∩ ker f = 0V . Descompunerea unica a elementului x ∈ V,

x = y + z, cu y ∈ ker( f ), z ∈ U,

defineste o proiectia lui V pe U paralela cu ker( f ), adica

pU,ker( f ) : V −→ V, p(x) = z.

Din egalitatilef (x) = f (y) + f (z) = f (z) = f (p(x)) = g(p(x)),

care au loc pentru orice x ∈ V, deducem ca f = g ◦ p.�



11.8 Probleme

1. Intr-un spatiul afin 5-dimensional X se considera reperul afin (A0, A1, A2, A3, A4, A5),reperul cartezian asociat R si endomorfismul afin f : X −→ X definit de relatiile

f (A0) = A1, f (A1) = A2, f (A2) = A0, f (A3) = A4, f (A4) = A5, f (A5) = A3.

(a) Sa se scrie ecuatiile lui f fata de reperul cartezian R asociat reperului afin dat.

(b) Sa se determine ecuatiile si dimensiunea varietatii afine

Fix( f ) = {M ∈ X | f (M) = M}.

(c) Aratati ca f este bijectiva si determinati ordinul lui f ın grupul permutarilor luiX.

Solutie.





2. Daca X este un spatiu afin doi dimensional si f : X −→ X este o aplicatie afina astfelıncat Tr( f ′) = 0, aratati ca f ◦ f este o omotetie sau o aplicatie constanta.

Solutie. Din teorema Cayley-Hamilton rezulta ca [ f ′]2 = Tr[ f ′])[ f ′] − (det[ f ′])I2 =−(det[ f ′])I2. Pe de alta parte,

−−−−−−−−−−−−−−−→( f ◦ f )(M)( f ◦ f )(N)= f ′

(−−−−−−−−→f (M) f (N)

)= f ′

(f ′(−→

MN)

)= ( f ′ ◦ f ′)(

−→MN).

Asadar

[ −−−−−−−−−−−−−−−→( f ◦ f )(M)( f ◦ f )(N)

]b =

[( f ′ ◦ f ′)(

−→MN)

]b=[

f ′ ◦ f ′]

b[−→

MN)]b

= [ f ′]2b[−→

MN)]b = −(det[ f ′])[−→

MN)]b,

unde b este o baza ordonata a lui−→X . Prin urmare

−−−−−−−−−−−−−−−→( f ◦ f )(M)( f ◦ f )(N)= −(det[ f ′])

−→MN, ∀M, N ∈ X,

adica f ◦ f este ıntr-adevar o omotetie de raport −det[ f ′], daca det[ f ′] 6= 0 si esteconstanta daca det[ f ′] = 0.

3. Daca f : X −→ X este o aplicatie afina bijectiva de ordin finit (automorfism afin deordin finit) ın grupul automorfismelor afine ale lui X, sa se arate ca f are cel putin unpunct fix.

Solutie. Daca o = ord( f ) si M ∈ X, atunci

1o

M +1o

f (M) + · · ·+ 1o

f o−1(M)

este un punct fix al lui f . Intr-adevar

f(

1o

M +1o

f (M) + · · ·+ 1o

f o−2(M) +1o

f o−1(M)

)=

=1o

f (M) +1o

f 2(M) + · · ·+ 1o

f o−1(M) +1o

f o(M)

=1o

M +1o

f (M) + · · ·+ 1o

f o−1(M). (11.3)

4. Daca f : X −→ X este o aplicatie afina bijectiva de ordin finit (automorfism afin deordin finit) ın grupul automorfismelor afine ale lui X care are un punct fix unic, sa searate ca id−→X + f ′ + ( f ′)2 + · · ·+ ( f ′)o−1 = 0, unde o = ord( f ).

Solutie. Fie v =−−→MN un vector din

−→X . Deoarece centrele de greutate

1o

M +1o

f (M) + · · ·+ 1o

f o−1(M) si1o

N +1o

f (N) + · · ·+ 1o

f o−1(N)

ale sistemelor de puncte M, f (M), . . . , f o−1(M) si N, f (N), . . . , f o−1(N) sunt punctefixe ale lui f si f are un singur punct fix, deducem ca cele doua sisteme de puncte fixeau acelasi centru de greutate, si deci, folosind problema (4), deducem ca

−−→MN+

−−−−−→f (M) f (N) + · · ·+

−−−−−−−−→f o−1(M) f o−1(N)= 0,



adica−−→MN + f ′(

−−→MN) + · · ·+ ( f o−1)′

−−→MN) = 0 ⇔ v + f ′(v) + · · ·+ ( f ′)o−1(v) = 0

⇔ (id−→X + f ′ + ( f ′)2 + · · ·+ ( f ′)o−1)(v) = 0.

5. Daca X este un spatiu afin n-dimensional peste un corp de caracteristica ≥ n + 2 si(A0, A1, . . . , An) un reper afin al lui X, sa se arate

id−→X + f ′ + ( f ′)2 + · · ·+ ( f ′)n = 0

unde f : X −→ X este aplicatia afina bijectiva definita prin

f (A0) = A1, f (A1) = A2, · · · , f (An−1) = An, f (An) = A0.

Solutie. Este suficient sa aratam ca f are unpunct fix unic. Observam mai ıntai cacentrul de greutate

1n + 1

A0 +1

n + 1A1 + · · ·+ 1

n + 1An

este un punct fix al lui f . Pentru a scrie ecuatiile lui f folosim formula [ f (M)]R =

[ f ′]b[M]R + [ f (A0)]R, unde R = (A0, e1 =−→

A0A1, . . . , en =−→

A0A1) este reperul cartezianasociat reperului afin dat. Observam mai departe ca

f ′(ei) = f ′(−→

A0Ai) =−−−−−→

f (A0) f (Ai)=

−−−−−→A1Ai+1=

−−−−−→A0Ai+1 −

−−−−−→A0Ai = −e1 + ei+1 daca 1 ≤ i ≤ n− 1

−−−−−→A1A0 = −e1 daca i = n.

Prin urmare relatia [ f (M)]R = [ f ′]b[M]R + [ f (A0)]R este echivalenta cu

y1y2

y3...

yn

=

−1 −1 0 · · · −1 −11 0 0 · · · 0 00 1 0 · · · 0 0...

...... . . . ...

...0 0 0 · · · 0 00 0 0 · · · 1 0

x1x2

x3...

xn

+

10...0

.

Asadar, ecuatiile lui f sunt

y1 = −x1 − x2 − · · · − xn + 1y2 = x1y3 = x2...yn = xn−1.

Daca M este un punct fix al lui f , atunci coordonatele sale sunt printre solutiile sis-temului de ecuatii liniare

x1 = −x1 − x2 − · · · − xn + 1x2 = x1x3 = x2...xn = xn−1.



Acesta are o singura solutie

x1 = x2 = · · · = xn =1

n + 1

care reprezinta, de altfel, coordonatele baricentrului

1n + 1

A0 +1

n + 1A1 + · · ·+ 1

n + 1An

fata de reperul cartezian R. Asadar f are un punct fix unic, iar concluzia rezulta acumvia Problema (4).

6. Fie f1, . . . , fr : X −→ Y (r ≥ 2) aplicatii afine si α1, . . . , αr ∈ K, α1 + · · ·+ αr = 1. Sa searate ca aplicatia f := α1 f1 + · · ·+ αr fr : X −→ Y, f (M) = α1 f1(M) + · · ·+ αr fr(M)este o aplicatie afina.

Solutie. observam ca

−−−−−−→f (A) f (B) =

r

∑i,j=1

αiαj

−−−−−−→fi(A) f j(B)=

r

∑i=1

α2i

−−−−−−→fi(A) fi(B) +

r

∑i,j=1i 6=j

αiαj

−−−−−−→fi(A) f j(B)

=r

∑i=1

α2i

−−−−−−→fi(A) fi(B) +

r

∑i=1

r

∑j=1j 6=i

αiαj

−−−−−−→fi(A) f j(B) .

Observam ınsa ca avem succesiv:r

∑i=1

r

∑j=1j 6=i

αiαj

−−−−−−→fi(A) f j(B)=

r

∑i=1

r

∑j=1j 6=i

αiαj

−−−−−−→fi(A) fi(B) ⇔

r

∑i=1

r

∑j=1j 6=i

αiαj

( −−−−−−→f j(B) fi(A) +

−−−−−−→fi(A) fi(B)

)= 0

⇔r

∑i=1

r

∑j=1j 6=i

αiαj

−−−−−−→f j(B) fi(B)= 0

⇔∑i<j

αiαj

( −−−−−−→f j(B) fi(B) +

−−−−−−→fi(B) f j(B)

)= 0.

Asadar

−−−−−−→f (A) f (B) =

r

∑i=1

α2i

−−−−−−→fi(A) fi(B) +

r

∑i=1

r

∑j=1j 6=i

αiαj

−−−−−−→fi(A) f j(B)

=r

∑i=1

α2i

−−−−−−→fi(A) fi(B) +

r

∑i=1

r

∑j=1j 6=i

αiαj

−−−−−−→fi(A) fi(B)

=r

∑i=1

α2i +

r

∑j=1j 6=i

αiαj

−−−−−−→fi(A) fi(B)=

r

∑i=1

αi

αi +r

∑j=1j 6=i

αj

f ′i (−→AB)

=r

∑i=1

αi f ′i (−→AB) =

(r

∑i=1

αi f ′i

)(−→AB).

Prin urmare f este ıntr-adevar afina si f ′ =r

∑i=1

αi f ′i .



7. Intr-un spatiu patru dimensional X se considera reperul afin (A0, A1, A2, A3, A4), repe-

rul cartezian asociat R = (A0,−→

A0A1,−→

A0A2,−→

A0A3,−→

A0A4) si endomorfismele afine s, p :X −→ X definite de relatiile

p(A0) = p(A1) =12

A0 +12

A1, p(A2) = p(A3) =12

A2 +12

A3, p(A4) = A4,

respectiv s = 2p− idX.

(a) Sa se scrie ecuatiile lui s fata de reperul cartezian R.

(b) Aratati ca s este involutiva.

(c) Sa se determine ecuatiile si dimensiunea subspatiului afin

Fix(s) = {M ∈ X | s(M) = M}.

Solutie. (7a) Observam ın primul rand ca

[s(M)]R = [(2p− idX)(M)]R = 2[p(M)]R − [M]R = 2[p′]b[M]R + 2[p(A0)]R − [M]R

= (2[p′]b − I4)[M]R + 2[p(A0)]R.

si amintim ca pe coloanele matricii [p′]b apar coordonatele vectorilor p′(e1), p′(e2), p′(e3), p′(e4)

fata de baza ordonata b = [e1, e2, e3, e4], unde ei =−−−→A0Ai pentru i ∈ {1, 2, 3, 4}.

p′(e1) =−−−→A0A1=

−−−−−−→p(A0)p(A1)= 0

p′(e2) =−−−−−−→

A0A2 =−−−−−−→

p(A0)p(A2)=−−−−→

A0p(A2) −−−−→

A0p(A0)=12

−−−→A0A2 +

12

−−−→A0A3 −1

2

−−−→A0A1

= −12

e1 +12

e2 +12

e3

p′(e3) =−−−−−−→

A0A3 =−−−−−−→

p(A0)p(A3)=−−−−−−→

p(A0)p(A2)= −12

e1 +12

e2 +12

e3

p′(e4) =−−−−−−→

A0A4 =−−−−−−→

p(A0)p(A4)=−−−−→

A0p(A4) −−−−−→

A0p(A0)=−−−→A0A4 −1

2

−−−→A0A1= −1

2e1 + e4.

Asadar

[p′]b =

0 −1

2 −12 −

12

0 12

12 0

0 12

12 0

0 0 0 1

,

adica

[s′]b = 2

0 −1

2 −12 −

12

0 12

12 0

0 12

12 0

0 0 0 1

−

1 0 0 00 1 0 00 1 0 00 0 0 1

=

−1 −1 −1 −1

0 0 1 00 1 0 00 0 0 1

.



Asadar, ecuatiile lui s sunt x′ = −x− y− z− w + 1y′ = zz′ = yw′ = w

(7b) Pentru a arata ca s este involutiva este suficient sa aratam ca [(s ◦ s)(M)]R = [M]Rpentru orice M ∈ X. In acest sens observam ca s(A0) = 2p(A0)− A0 = A1

[(s ◦ s)(M)]R = [s′]b[s(M)]R + [s(A0)]R = [s′]2b[M]R + [s′]b[s(A0)]R + [s(A0)]R

= [M]R +

−1 −1 −1 −1

0 0 1 00 1 0 00 0 0 1

1000

+

1000

= [M]R, ∀M ∈ X.

(7c) Ecuatiile subspatiului afin Fix(s) suntx = −x− y− z− w + 1y = zz = yw = w

⇔{

2x + 2y + w = 1y− z = 0 ,

adica Fix(s) se identifica cu varietatea liniara

{(1/2− z− 1/2w, z, z, w) ∈ K4 | z, w ∈ K} == (1/2, 0, 0, 0) + {z(−1, 1, 1, 0) + w(−1/2, 0, 0, 1) | z, w ∈ K}= (1/2, 0, 0, 0) + 〈(−1, 1, 1, 0), (−1/2, 0, 0, 1)〉= (1/2, 0, 0, 0) + 〈(−1, 1, 1, 0), (−1, 0, 0, 2)〉,

adica Fix(s) este un subspatiu afin 2-dimensional al lui X.

8. Intr-un plan π ⊂ P se considera reperul afin (A0, A1, A2), reperul cartezian asociat Rsi endomorfismul afin f : X −→ X definit de relatiile

f (A0) =12

A0 +12

A1, f (A1) =12

A1 +12

A2, f (A2) =12

A2 +12

A0

(a) Sa se scrie ecuatiile lui f fata de reperul cartezian R.(b) Aratati ca f este un automorfism afin al lui X de ordin infinit.(c) Sa se determine varietatea afina Fix( f ).

Solutie. (8a) Reperul cartezian asociat este R = (O,−→e 1,−→e 2), unde −→e 1 =−−−→A0A1 si

−→e 2 =−−−→A0A2. Ecuatiile lui f sunt date de formula [ f (M)]R = [ f ′]b[M]R + [ f (A0)]R,

unde b este baza ordonata [−→e 1,−→e 2] a directiei lui π. Reprezentarea matriceala [ f ′]b aurmei lui f fata de b se deduce calculand valorile lui f ′ pe elementele bazei b:

f ′(−→e 1) = f ′(−→

A0A1) =−→

f (A0) f (A1)=14

−→A0A1 +

14

−→A0A2 +

14

−→A1A2

=14−→e 1 +

14−→e 2 +

14(−→e 2 −−→e 1) =

12−→e 2

f ′(−→e 2) = f ′(−→

A0A2) =−→

f (A0) f (A2)=14

−→A0A2 +

14

−→A1A2 +

14

−→A1A0

=14−→e 2 +

14(−→e 2 −−→e 1)−

14−→e 1 =

12(−→e 2 −−→e 1).



Asadar

[ f ′]b =(

0 −12

12

12

), si [ f (A0)]R = [

−→A0 f (A0)]b =

[12−→e 1

]b=

( 120

),

si deci ecuatiile lui f sunt

x′ = −12

y +12

y′ =12

x +12

y

(8b) Deoarece [ f ′]b este nesingulara deducem ca f ′ este un izomorfism liniar si decif este bijectiva. Deoarece det[ f ′]b = 1

4 deducem imediat ca [ f ′]b nu poate avea or-dinul finit. Un alt mod de a arata ca [ f ′]b nu are ordinul finit revine la calculul tuturorputerilor lui

[ f ′]b =12

(0 −11 1

)=

12

M, unde M =

(0 −11 1

), si deci [ f ′]nb =

12n Mn, ∀n ≥ 1.

Cum ınsa

M2 =

(0 −11 1

)(0 −11 1

)=

(−1 −1

1 0

),

M3 =

(−1 −1

1 0

)(0 −11 1

)=

(−1 0

0 −1

)= −I2

M4 = −M, M5 = −M2, M6 = M3 ·M3 = I2,

deducem ca

[ f ′]nb =

12n id−→π daca n = 6k

12n M daca n = 6k + 1

12n M2 daca n = 6k + 2

12n M3 daca n = 6k + 3

− 12n M daca n = 6k + 4

− 12n M2 daca n = 6k + 5,

adica [ f ′]nb 6= id−→π pentru orice n ≥ 1 si deci f ′ este bijectiva si de ordin infinit. Prinurmare f este bijectiva de ordin infinit.

(8c) Ecuatiile subspatiului afin al punctelor fixe ale lui f se obtin egaland x′ cu x si y′

cu y in ecuatiile lui f si astfel obtinem:{x = −1

2 y + 12

y = 12 x + 1

2 y⇐⇒

{2x = −x + 1y = x ⇐⇒ x = y =

13

,

fapt care arata ca centrul de greutate G = 13 A0 +

13 A1 +

13 A2 al triunghiului A0A1A2

este singurul punct fix al lui f .



12 Saptamana 12. Proiectiile si simetriile planului si spatiului

12.1 Ecuatiile proiectiilor si simetriilor planului

12.1.1 Punctul de intersectie a 2 drepte neparelele

Consideram 2 drepte

d :x− x0

p=

y− y0

q

si ∆ : ax + by + c = 0 care nu sunt paralele ıntre ele,

ap + bq 6= 0.

Ecuatiile parametrice ale lui d sunt:{x = x0 + pty = y0 + qt, t ∈ R

Valoarea t ∈ R pentru care aceste ecuatii intersecteaza dreapta ∆ poate fi determinataprin impunerea conditiei pe punctul de coordonate

(x0 + pt, y0 + qt)

pentru a verifica ecuatia dreptei ∆, si anume

a(x0 + pt) + b(y0 + qt) + c = 0.

Prin urmare

t = − ax0 + by0 + cap + bq

= −F(x0, y0)

ap + bq

unde F(x, y) = ax + by + c.Coordonatele punctului de intersectie d ∩ ∆ sunt:

x0 − pF(x0, y0)

ap + bq

y0 − qF(x0, y0)

ap + bq.

12.1.2 Proiectia planului pe o dreapta paralela cu o alta dreapta data

Consideram 2 drepte

d :x− x0

p=

y− y0

q

si ∆ : ax + by + c = 0 care nu sunt paralele ıntre ele, ap + bq 6= 0, precum si proiectiap∆,d : π → ∆ a planulu ambiant pe dreapta ∆ avand directia d. Coordonatele punctuluip∆,d(M) sunt

xM − pF(xM, yM)

ap + bq

yM − qF(xM, yM)

ap + bq,



unde F(x, y) = ax + by + c.In consecinta, vectorul de pozitie al lui p∆,d(M) este

−−−−−−→Op∆,d(M) =

−−→OM− F(M)

ap + bq−→d ,

unde−→d = p−→e + g

−→f .

12.1.3 Simetria planului avand axa si directia drepte concurente prescrise

Daca d si ∆ sun ca ın sectiunea anterioara, atunci pentru a determina ecuatiile simetrieis∆,d : π → π de axa ∆ si directie d observam ca pentru vectorul de pozitie s∆,d(M) avem:

−−−−−−→Op∆,d(M) =

−−→OM +

−−−−−−→Os∆,d(M)

2,

adica−−−−−−→Os∆,d(M) = 2

−−−−−−→Op∆,d(M)−−−→OM =

−−→OM− 2

F(M)

ap + bq−→d ,

unde F(x, y) = ax + by + c. Astfel, coordonatele lui s∆,d(M) ın termenii coordonatelor lui Msunt:

xM − 2pF(xM, yM)

ap + bq

yM − 2qF(xM, yM)

ap + bq.

12.2 Ecuatiile proiectiilor si simetriilor spatiului

12.2.1 Punctul de intersectie al unei drepte cu un plan

Consideram o dreapta

d :x− x0

p=

y− y0

q=

z− z0

r

neparalela cu planulπ : Ax + By + Cz + D = 0

adicaAp + Bq + Cr 6= 0.

Ecuatiile parametrice ale lui d sunt:x = x0 + pty = y0 + qt, t ∈ R

z = z0 + rt

Valoarea t ∈ R corespunzatoare punctului de intersectie dintre dreapta d si planul π poatefi determinat prin impunerea conditiei ca punctul de coordonate:

(x0 + pt, y0 + qt, z0 + rt)

sa verifica ecuatia planului, si anume

A(x0 + pt) + B(y0 + qt) + C(z0 + rt) + D = 0.



Prin urmare,

t = −Ax0 + By0 + Cz0 + DAp + Bq + Cr

= − F(x0, y0, z0)

Ap + Bq + Cr,

unde F(x, y, z) = Ax + By + Cz + D.

Coordonatele punctului de intersectie d ∩ π este:

x0 − pF(x0, y0, z0)

Ap + Bq + Cr

y0 − qF(x0, y0, z0)

Ap + Bq + Cr

z0 + rF(x0, y0, z0)

Ap + Bq + Cr

(12.1)

12.2.2 Proiectia spatiului pe un plan paralela cu o dreapta


d :x− x0

p=

y− y0

q=

z− z0

r

neparalela cu planul π : Ax + By + Cz + D = 0, adica

Ap + Bq + Cr 6= 0,

precum si proiectia pπ,d : P → π ⊆ P a spatiului pe planul π, paralela cu d (adica avanddirectia (d) si imagine π). Coordonatele punctulu pπ,d(M)

xM − pF(xM, yM, zM)

Ap + Bq + Cr

yM − qF(xM, yM, zM)

Ap + Bq + Cr

zM + rF(xM, yM, zM)

Ap + Bq + Cr,

unde F(x, y, z) = Ax + By + Cz + D.



In consecinta, vectorul de pozitie pπ,d este:

−−−−−−→Opπ,d(M) =

−−→OM− F(M)

Ap + Bq + Cr−→d .

12.2.3 Simetria fata de un plan paralela cu o dreapta


d :x− x0

p=

y− y0

q=

z− z0

r

neparalela cu planul π : Ax + By + Cz + D = 0, adica

Ap + Bq + Cr 6= 0

precum si simetria de axa π si directie d sπ,d(M), M ∈ P. Pentru vectorul de pozitie al luisπ,d(M) avem:

−−−−−−→Opπ,d(M) =

−−→OM +

−−−−−−→Osπ,d(M)

2,

adica−−−−−−→Osπ,d(M) = 2

−−−−−−→Opπ,d(M)−−−→OM =

−−→OM− 2

F(M)


Astfel, coordonatele lui sd,π(M), ın termenii coordonatelor punctului M, sunt:

xM − 2pF(xM, yM, zM)

Ap + Bq + Cr

yM − 2qF(xM, yM, zM)

Ap + Bq + Cr

zM − 2rF(xM, yM, zM)

Ap + Bq + Cr

,

Observatia 12.1. 1. pπ,d ◦ pπ,d = pπ,d.

2. sπ,d ◦ sπ,d = idP .

3. sπ,d ◦ pπ,d = pπ,d ◦ sπ,d = pπ,d.



12.2.4 Proiectia pe o dreapta paralela cu un plan dat


d :x− x0

p=

y− y0

q=

z− z0

rneparalela cu planul π : Ax + By + Cz + D = 0, adica

Ap + Bq + Cr 6= 0,

precum si proiectia pd,π : P → d a sptiului afin P avand imaginea d si directia data dedirectia lui π

Coordonatele lui pd,π(M), ın termenii coordonatelor lui M, sunt:

x0 − pGM(x0, y0, z0)

Ap + Bq + Cr= x0 + p

F(M)− F(A0)

Ap + Bq + Cr

y0 − qGM(x0, y0, z0)

Ap + Bq + Cr= y0 + q

F(M)− F(A0)

Ap + Bq + Cr

z0 − rGM(x0, y0, z0)

Ap + Bq + Cr= z0 + r

F(M)− F(A0)

Ap + Bq + Cr,

unde GM(x, y, z) = A(x− xM) + b(y− yM) + C(z− zM) = F(M)− F(A0), iar

F(x, y, z) = Ax + By + Cz + D.

In consecinta, vectorul de pozitie al pd,π(M) este:

−−−−−−→Opd,π(M) =

−−→OA0 +

F(M)− F(A0)

Ap + Bq + Cr−→d

unde A0(x0, y0, z0).

12.2.5 Simetria fata de o dreapta paralela cu un plan

Consideram simetria sd,π : P → P avand axa d si directia data de directia lui π. Vectorul depozitie al punctului sd,π(M) este:

−−−−−−→Opd,π(M) =

−−→OM +

−−−−−−→Osd,π(M)

2

= 2−−−−−−→Opd,π(M)−−−→OM = 2

−−→OA0 −

−−→OM + 2

F(M)− F(A0)




12.3 Probleme

1. Daca R reperul cartezian al planului fata de care ecuatia dreptei ∆ este ∆ : ax+ by+ c =0, iar ecuatia dreptei d, neparalela cu ∆, este

d :x− x0

p=

y− y0

q,

aratati ca

[p∆,d(M)]R =1

ap + bq

(bq −bp−aq ap

)[M]R −

cap + bq

[−→d ]b

Solutie. Intr-adevar, avem succesiv:

[p∆,d(M)]R =

(xy

)−

pF(x, y)ap + bq

qF(x, y)ap + bq

=

x− pax + by + c

ap + bq

y− qax + by + c

ap + bq

=

(1− paap + bq

)x− pbap + bq

y− pcap + bq

− qaap + bq

x + (1− qbap + bq

)y− qcap + bq

=

bqap + bq

x− bpap + bq

y− cpap + bq

− aqap + bq

x +ap

ap + bqy− cq

ap + bq

=

1ap + bq

(bq −bp−aq ap

)(xy

)− c

apbq

(pq

)=

1ap + bq

(bq −bp−aq ap

)[M]R −

cap + bq

[−→d ]b.

2. Daca R reperul cartezian al planului fata de care ecuatia dreptei ∆ este ∆ : ax+ by+ c =0, iar ecuatia dreptei d, neparalela cu ∆, este

d :x− x0

p=

y− y0

q,

aratati ca

[s∆,d(M)]R =1

ap + bq

(bp− aq −2bp−2aq ap− bq

)[M]R −

2cap + bq

[−→d ]b

Solutie. Intr-adevar, avem succesiv:

[s∆,d(M)]R =−−−−−−−→[Os∆,d(M)]b =

−−−→[OM]b − 2

F(M)

ap + bq[−→d ]b

=

(xy

)− 2

pax + by + c

ap + bq

qax + by + c

ap + bq

=

x− 2pax + by + c

ap + bq

y− 2qax + by + c

ap + bq

(12.2)



=

(1− 2ap

ap + bq)x− 2

pbap + bq

y− 2pc

ap + bq

−2aq

ap + bqx + (1− 2

bqap + bq

)y− 2qc

ap + bq

=

bq− apap + bq

x− 2bp

ap + bqy− 2

pcap + bq

−2aq

ap + bqx +

ap− bqap + bq

y− 2 displaystyleqc

ap + bq

=

1ap + bq


)(xy

)− 2c

ap + bq

(pq

)=

1ap + bq


)[M]R −

2cap + bq

[−→d ]b

3. Presupunem ca R = (O, b) este reperul cartezian fata de care ecuatia unei drepte d este

(d)x− x0

p=

y− y0

q=

z− z0

r

iar ecuatia planului (π), neparalel cu (d), este (π) Ax + By + Cz + D = 0. Aratati ca:

(a)

[pπ,d(M)]R =1

Ap + Bq + Cr

Bq + Cr −Bp −Cp−Aq Ap + Cr −Cq−Ar −Br Ap + Bq

[M]R−D

Ap + Bq + Cr[−→d ]b,

(b)

(Ap+Bq+Cr)[sπ,d(M)]R=

−Ap+Bq+Cr −2Bp −2Cp−2Aq Ap−Bq+Cr −2Cq−2Ar −2Br Ap+Bq−Cr

[M]R−2D[−→d ]b,

unde−→d (p, q, r) este vectorul director al dreptei (d).

Solutie.



4. Presupunem ca R = (O, b) este reperul cartezian fata de care ecuatia unei drepte d este

(d)x− x0

p=

y− y0

q=

z− z0

r

iar ecuatia planului (π), neparalel cu (d), este (π) Ax + By + Cz + D = 0. Aratati ca:

(a)

[p′π,d]b =1

Ap + Bq + Cr

Bq + Cr −Bp −Cp−Aq Ap + Cr −Cq−Ar −Br Ap + Bq

.

(b)

[s′π,d]b =1

Ap + Bq + Cr

−Ap + Bq + Cr −2Bp −2Cp−2Aq Ap− Bq + Cr −2Cq−2Ar −2Br Ap + Bq− Cr

.

Solutie.



5. Aratati ca doua drepte paralele sunt proiectate, de orice proiectie pπ,d, ın doua drepteparalele sau ın doua puncte.

Solutie.



6. Aratati ca doua drepte paralele sunt transformate, de orice simetrie sπ,d, ın doua drepteparalele.

Solutie.



13 Saptamana 13. Perpendicularitate si distante

Definitia 13.1. Un produs scalar 〈·, ·〉 pe spatiul vectorial E, este o forma biliniara, si-metrica, pozitiv definita; prin urmare nedegenerata. Un spatiu vectorial real E, finitdimensional, pe care s-a definit un produs scalar, se numeste spatiu vectorial euclidian.Doi vectori x si y dintr-un spatiu vectorial euclidian E se numesc ortogonali (perpen-diculari) daca 〈x, y〉 = 0.

Vom noata cu E un spatiu euclidian n-dimensional dotat cu un produs scalar 〈·, ·〉.

Definitia 13.2. Spatiul afin real n-dimensional En se numeste euclidian daca spatiul

vectorial asociat E =−→En este un spatiu euclidian.

Definitia 13.3. Varietatiele liniare (subspatiile afine) L1 si L2 ale lui En se zic perpendic-ulare si se scrie L1 ⊥ L2 daca D(L1) ⊆ D(L2)

⊥ sau D(L1) ⊇ D(L2)⊥.

In cazul dim L1 + dim L2 = n observam ca varietatile liniare L1 si L2 sunt perpendicu-lare daca si numai daca D(L1) = D(L2)

⊥. In acest caz varietatile L1 si L2 se zic normale.

Propozitia 13.1. Intersectia a doua varietati normale este un punct.

13.1 Distanta de la un punct la un hiperplan

Definitia 13.4. Se numeste distanta dintre punctele A, B ∈ En lungimea vectorului−→AB.

Aceasta se noteaza cu δ(A, B) sau |AB|. Prin urmare δ(A, B) = ||−→AB || = δ(B, A). Mai

mult functia δ : En × En −→ R este o metrica pe En.

Propozitia 13.2. In spatiul afin euclidian En se considera punctul P si hiperplanul H care nucontine punctul P. Pentru Q ∈ H urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(a) Dreapta PQ este perpendiculara pe H (Q este piciorul perpendicularei din P pe H);

(b) |PQ| = minM∈H

|PM|.

δ(P, Q) = minM∈H

|PM| se numeste distanta de la punctul P la hiperplanul H si se noteaza

cu δ(P, H). Presupunem ca spatiul afin euclidian En este raportat la un reper cartezianortonormat R = (O, e1, . . . , E).

Propozitia 13.3. (Distanta de la un punct la un hiperplan) Distanta de la punctul P(p1, . . . , pn) ∈En la hiperplanul H : a1x1 + · · ·+ anxn + b = 0 este

δ(P, H) =|a1p1 + · · ·+ an pn + b|√

a21 + · · ·+ a2

n

.

Demonstratie. Ecuatiile perpendicularei pe H prin P sunt

x1 − p1

a1= · · · = xn − pn

an,



iar ecuatiile ei parametrice sunt xi = pi + tai, i = 1, . . . , n. Valoarea lui t pentru care

(p1 + ta1, . . . , pn + tan) ∈ H

estet = − a1p1 + · · ·+ an pn + b

a21 + · · ·+ a2

n.

Asadar coordonatele proiectiei ortogonale Q a punctului P pe hiperplanul H sunt

qi = pi − aia1p1 + · · ·+ an pn + b

a21 + · · ·+ a2

n,

adica

δ(P, H) = δ(P, Q) =

√n

∑i=1

(pi − qi)2

=|a1p1 + · · ·+ an pn + b|√

a21 + · · ·+ a2

n

.

Propozitia 13.2 ramane adevarata daca ınlocuim hiperplanul H cu o varietate liniaraoarecare L. Intr-adevar, este suficient saconsideram subspatiul afin af({P} ∪ L) ın careL este un hiperplan.

13.2 Distanta de la un punct la o varietate liniara

Propozitia 13.4. Distanta de la punctul P ∈ En la varietatea liniara r-dimensionala L caretrece prin punctul A ∈ En si are spatiul director D(L) = 〈a1, . . . , ar〉12 este

δ(P, L) =

√√√√G(a1, . . . , ar,−→AP)

G(a1, . . . , ar),

unde

G(b1, . . . , bk) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣〈b1, b1〉〈b1, b2〉 · · · 〈b1, bk〉〈b2, b1〉〈b2, b2〉 · · · 〈b2, bk〉

...... . . . ...

〈bk, b1〉〈bk, b2〉 · · · 〈bk, bk〉

∣∣∣∣∣∣∣∣∣este determinantul Gramm al vectorilor b1, . . . , bk ∈ E.

Demonstratie. Vom determina pozitia proiectiei ortogonale Q a lui P pe varietatea liniara

L. Daca D(L) 3−→AQ=

r

∑i=1

λiai, atunci conditia−→PQ⊥ aj, j = 1, . . . , r, este echivalenta cu

〈r

∑i=1

λiai−−→AP, aj〉 = 0, j = 1, . . . , r,

12Amintim ca 〈a1, . . . , ar〉 se mai noteaza si cu Span(a1, . . . , ar)



adicar

∑i=1〈ai, aj〉λi = 〈

−→AP, aj〉, j = 1, . . . , r. (13.1)

Determinantul acestui sistem liniar este

G(a1, . . . , ar) =

∣∣∣∣∣∣∣〈a1, a1〉 · · · 〈a1, ar〉

... . . . ...〈ar, a1〉 · · · 〈ar, ar〉

∣∣∣∣∣∣∣ .

Deoarece 〈ai, aj〉 =r

∑i=1

aikajk, unde ai1, . . . , air sunt coordonatele vectorului ai fata de

un reper ortonormat al subspatiului vectorial D(L) si vectorii a1, . . . , ar sunt liniarindependenti, deducem ca

G(a1, . . . , ar) =

∣∣∣∣∣∣∣a11 · · · a1r... . . . ...

ar1 · · · arr

∣∣∣∣∣∣∣2

> 0.

Mai departe avem succesiv:

δ(P, L)2 = ||−→PQ ||2 = ||

−→AQ −

−→AP ||2 =

=

⟨r

∑i=1

λiai−−→AP,

r

∑i=1

λjaj−−→AP

⟩=

r

∑j=1

[ r

∑i=1〈ai, aj〉λi

]λj − 2〈

−→AP,

r

∑i=1

λjaj〉+ 〈−→AP,

−→AP〉.

Folosind egalitatille (13.1), obtinem

δ(P, L)2 =r

∑j=1〈−→AP, aj〉λj − 2

⟨−→AP,

r

∑i=1

λjaj

⟩+ 〈−→AP,

−→AP〉

= −⟨−→AP,

r

∑i=1

λjaj

⟩+ 〈−→AP,

−→AP〉.

Asadar,r

∑i=1〈−→AP, aj〉λj = 〈

−→AP,

−→AP〉 − δ(P, L)2. (13.2)

Observam ca sistemul format din ecuatiile (13.1) si (13.2) este compatibil daca si numai



daca determinantu matricii sale extinse este nul adica avem:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

〈a1, a1〉 · · · 〈a1, ar〉〈a1,−→AP〉

... . . . ...

〈ar, a1〉 · · · 〈ar, ar〉〈ar,−→AP〉

〈−→AP, a1〉 · · · 〈

−→AP, ar〉〈

−→AP,

−→AP〉 − δ(P, L)2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

⇐⇒

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

〈a1, a1〉 · · · 〈a1, ar〉〈a1,−→AP〉

... . . . ...

〈ar, a1〉 · · · 〈ar, ar〉〈ar,−→AP〉

〈−→AP, a1〉 · · · 〈

−→AP, ar〉〈

−→AP,

−→AP〉

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−

∣∣∣∣∣∣∣∣∣〈a1, a1〉 · · · 〈a1, ar〉 0

... . . . ...〈ar, a1〉 · · · 〈ar, ar〉 0

〈−→AP, a1〉 · · · 〈

−→AP, ar〉 δ(P, L)2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

⇐⇒ G(a1, . . . , ar,−→AP)− G(a1, . . . , ar)δ(P, L)2 = 0,

de unde obtinem formula dorita.

14 Saptamana 14. Izometriile spatiului euclidian

14.1 Definitii si rezultate preliminare

Definitia 14.1. O aplicatie liniara f : E→ E, se numeste izometrie daca

〈 f (a), f (b)〉 = 〈a, b〉, ∀a, b ∈ E. (14.1)

Rezulta usor ca o izometrie este o aplicatie injectiva, deoarece

f (a) = 0⇒ (a, a) = 0⇒ a = 0E,

adica ker f = 0E.

Teorema 14.1. O aplicatie liniara f : E −→ E este o izometrie daca si numai daca || f (x)|| =||x|| pentru orice vector x ∈ E.

Corolarul 14.2. Singurele izometrii liniare ale lui R sunt functia identica idR

si functia f :R→ R, f (x) = −x.

Este clar ca izometriile spatiului vectorial euclidian n−dimensional E, formeaza unsubgrup al grupului Aut(E) al automorfismelor liniare ale lui E. Acest subgrup, notatcu O(E), se numeste grupul ortogonal al lui E.

Consideram o baza B = [e1, . . . , en] ortonormata a lui E, adica (ei, ej) = δij, si izomor-fismul de grupuri ϕB : Aut(E) −→ GL(Rn), ϕB( f ) = [ f ]B. �

Propozitia 14.3. Imaginea prin ϕB a grupului O(E) coincide cu grupul matricelor ortogonale

O(n) := {A ∈ GL(Rn) : A · AT = In}.



Daca f ∈ O(E), atunci det( f ) = det[ f ]B = ±1. In cazul det( f ) = 1, f se numesteizometrie pozitiva sau directa, iar ın cazul det( f ) = −1, f se numeste negativa sau in-versa. Este clar ca izometriile pozitive formeaza un subgrup SO(E) ın O(E), numitgrupul ortogonal special al lui E.

Sa vedem acum care izometrii sunt involutive. O simetrie cu axa A si directia B senumeste simetrie ortogonala, daca B = A⊥ := {b ∈ E : 〈a, b〉 = 0, ∀a ∈ A}.

Teorema 14.4. Orice izometrie involutiva este o simetrie ortogonala, si reciproc, orice simetrieortogonala este o izometrie involutiva.

Propozitia 14.5. Fie U un subspatiu al lui E, g ∈ O(U), h ∈ O(U⊥). Atunci exista osingura izometrie f ∈ O(E) care prelungeste pe g si h, adica f |U = g, f |U⊥ = h.

Definitia 14.2. Fie V un spatiu vectorial netrivial. Un subspatiu al lui V, diferit de V,se numeste propriu. Un subspatiu propriu maximal se numeste hiperplan vectorial.

Daca dim V = n, atunci hiperplanele sale vectoriale sunt subspatiile vectoriale ale luiV de dimensiune n− 1.

Teorema 14.6. Pentru orice subspatiu propriu X al lui V exista cel putin un hiperplan vecto-rial, care-l contine.

Corolarul 14.7. O izometrie a spatiului euclidian E care fixeaza vectorii unui hiperplan H,este transformarea identica sau simetria ortogonala fata de H.

Propozitia 14.8. Daca a, b ∈ E si ||a|| = ||b||, atunci exista o simetrie ortogonala fata de unhiperplan care transforma pe a ın b.

Propozitia 14.9. Fie a un vector nenul ın E si H = 〈a〉⊥. Orice simetrie ortogonala σ, definitaın H, fata de un hiperplan H1 al lui H, poate fi prelungita la o simetrie ortogonala s a lui E,fata de hiperplanul H1 + 〈a〉.

14.2 Teorema Cartan-Dieudonne

Teorema 14.10. Orice izometrie a lui E, diferita de izometria identica, poate fi reprezentata caun produs de cel mult n simetrii ortogonale fata de hiperplane.

Demonstratie. Prin inductie dupa n = dim(E). Pentru n = 1 afirmatia este evidenta.

Presupunem afirmatia adevarata pentru n− 1. Fie f ∈ O(E) si fie a si b vectori din E,cu ||a|| = ||b||, f (a) = b si s simetria ortogonala cu axa 〈a− b〉⊥ si directia 〈a− b〉.Deoarece a + b ∈ 〈a− b〉⊥, si scriind

b =b + a

2+

b− a2

deducem:

s(b) = s(

b + a2

+b− a

2

)=

b + a2− b− a

2=

b + a− b + a2

=2a2

= a.

Atunci(s ◦ f )(a) = s(b) = a.



Rezulta ca 〈a〉 si 〈a〉⊥ = H sunt doua subspatii invariante pentru s ◦ f . Aplicandipoteza de inductie izometriei (s ◦ f )|H, aceasta se scrie ca:

σ1 ◦ ... ◦ σr, r ≤ n− 1,

unde σi ∈ O(H), este o simetrie ortogonala fata de un hiperplan Hi al lui H. Fie sisimetria fata de hiperplanul Hi + 〈a〉 al lui E, care prelungeste simetria ortogonalaσi ∈ O(H). Restrictia lui s ◦ f ◦ sr ◦ ... ◦ s1 la H este idH. Intr-adevar

(s ◦ f ◦ sr ◦ ... ◦ s1)|H = (s ◦ f )|H ◦ (sr ◦ ... ◦ s1)|H = σ1 ◦ ... ◦ σr ◦ σr ◦ ... ◦ σ1 = idH.

Asadar, conform corolarului 14.7, izometria s ◦ f ◦ sr ◦ ... ◦ s1 este fie identitatea idE fiesimetria ortogonala s′ cu axa H. Intrucat simetriile s1, . . . , sr si s ◦ f fixeaza a, rezultaca izometria s ◦ f ◦ sr ◦ ... ◦ s1 fixeaza a, adica s ◦ f ◦ sr ◦ ... ◦ s1 nu poate fi simetriaortogonala s′ de axa H, ci doar identitatea lui E. Asadar f = s ◦ s1 ◦ ... ◦ sr.

References

[1] Galbura Gh., Rado, F., Geometrie, Editura didactica si pedagogica-Bucuresti, 1979.

[2] Jollisaint, P., Fonctions generatrices et relationes de recurrences, Presses Polytechniqueset universitaires romandes, 2015.

[3] Rado, F., Orban, B., Groze, V., Vasiu, A., Culegere de Probleme de Geometrie, Lit. Univ.”Babes-Bolyai”, Cluj-Napoca, 1979.


Documents

Geometrie aﬁna˘ - Babeș-Bolyai Universitymath.ubbcluj.ro/~cpintea/data/uploads/ga-nc-c.pintea...MLR0015-Geometrie Aﬁna, Seminar Universitatea ”Babes¸-Bolyai”, Departmentul