GEOMETRIE DANS L’ESPACE - mathsp.tuxfamily.orgmathsp.tuxfamily.org/IMG/pdf/espace.pdf · En utilisant le formulaire donné ci-dessous, justifier ce résultat. FORMULAIRE

GEOMETRIE DANS L’ESPACE

1 Session du brevet 1996

Aix 96

On considere le cylindre, la demi-boule et le cone representes ci-dessous :

6 cm

6cm

6 cm

6cm

6 cm

1) Verifier au moyen d’un calcul que le volume V1 du cylindre, exprime en cm3, estegal a 216π et que le volume V2 de la demi-boule, exprime en cm3, est egal a144π.

2) Calculer en cm3 le volume V3 du cone sous la forme kπ (k etant un nombreentier).

3) On constate que V2 = 2V3. En utilisant le formulaire donne ci-dessous, justifierce resultat.

FORMULAIRE

Volume du cylindre : B × h

B etant l’aire du disque de base,

h etant la hauteur du cylindre.

Volume de fa boule :4

3× π × r3

r etant le rayon de la boule.

Volume du cone :1

3× B × h

B etant l’aire du disque de base,

h etant la hauteur du cone.

Allemagne 96

E

A

H

FG

C

D

B

La figure represente un parallelepipede rectangle. (On ne demande pasde la reproduire.) On donne AB = 3 cm ; BC = 7 cm ; AE = 5 cm.

1) En utilisant le triangle rectangle ACD, calculer la longueur exactede [AC].

2) En utilisant le triangle rectangle ACG, calculer la longueur exactede [AG].

3) On s’interesse a la pyramide de base DCGH , de sommet A, dehauteur AD. Quel est son volume ?

D. Le FUR 1/ 36 15 septembre 2003


Amiens 96

Pour resoudre cet exercice, vous pourrez utiliser le formulaire suivant :

Volume du pave droit L × l × h

Volume du coneπ × R2 × h

3Volume du prisme B × h

Volume de la pyramideB × h

3

A B

D

C

On considere la pyramide ABCD de hauteur [AD] telle que AD = 5 cm etde base ABC telle que AB = 4, 8 cm ; BC = 3, 6 cm ; CA = 6 cm. (La figuren’est pas aux dimensions.)

1) Demontrer que le triangle ABC est rectangle en B.

2) Calculer le volume de cette pyramide.

3) On desire fabriquer de telles pyramides en platre. Combien peut-onen obtenir avec 1 dm3 de platre ?

Antilles 96

On se donne une pyramide P1 ayant une base carree de 8 cm de cote et une hauteur de 12 cm. Une pyramide P2 estun agrandissement de P1 dont un cote de la base mesure 20 cm.

1) Calculer le coefficient de l’agrandissement.

2) a) Calculer le volume de la pyramide P1.

b) Calculer le volume de la pyramide P2.

Bordeaux 96

S

OA

On considere le verre ci-dessous, ayant la forme d’un cone de revolution, de hauteurOS = 12 cm et de rayon OA = 3 cm.

1) Montrer que le volume de ce verre (en cm3) est egal a 36π.

2) Avec un litre d’eau, combien de fois peut-on remplir ce verre entierement ?

3) Si on remplit ce verre d’eau aux5

6de sa hauteur, quel est alors le volume d’eau

utilisee ? On donnera le resultat arrondi au cm3 pres.

4) Calculer la mesure de l’angle OSA (donner la valeur arrondie au degre pres).

Caen 96

A B

CD

S

H

SABCD est une pyramide reguliere a base carree de 24 m de cote.La hauteur [SH ] mesure 12 m.

1) Calculer, en m3, le volume V1 de cette pyramide.

2) A l’interieur de la pyramide, on construit une salle en forme dedemi-boule de centre H et de rayon 8 m. Calculer le volume V2

de la demi-boule en m3. Donner le resultat arrondi a 1 m3 pres.

3) On realise une maquette a l’echelle 1/20. V3 est le volume enm3 de la pyramide reduite.

a) Par quelle fraction doit-on multiplier V1 pour obtenir V3 ?

b) En deduire la valeur de V3.



Dijon 96

AD

E

C

Y

[AD] est un diametre d’un puits de forme cylindrique. Lepoint C est a la verticale de D, au fond du puits. Une per-sonne se place en un point E de la demi-droite [DA) de sorteque ses yeux soient alignes avec les points A et C.On note Y le point correspondant aux yeux de cette per-sonne. On sait que AD = 1, 5 m ; EY = 1, 7 m ; EA = 0, 6 m.

1) Demontrer que les droites (DC) et (EY ) sont pa-ralleles.

2) Calculer DC, profondeur du puits.

Lille 96

A D

CB

O

S

A’

B’ C’

D’

O’

SABCD est une pyramide de hauteur [OS]. Son volume est de240 cm3 et sa hauteur [OS] mesure 15 cm.

1) A partir de la formule donnant le volume de la pyramide,calculer l’aire de la base ABCD.

2) O′ est le point du segment [SO] tel que O′S =1

2OS. Le

plan passant par O′ et parallele a la base ABCD coupeles droites (SA) en A′, (SB) en B′, (SC) en C′ et (SD)en D′.

Calculer le volume de la pyramide SA′B′C′D′.

3) On donne OA = 5 cm. En utilisant le triangle OSA rec-tangle en O, calculer au degre pres la mesure de l’angle

OSA.

On pourra utiliser cet extrait de table trigonometrique :

tan 18 ≃ 0, 325 cos 70 ≃ 0, 342 sin 19 ≃ 0, 326

tan 19 ≃ 0, 344 cos 71 ≃ 0, 326 sin 20 ≃ 0, 342

Nantes 96

A B

CD

O

S

SABCD est une pyramide reguliere a base carree de sommetS et de hauteur [SO].On a SB = 5 cm et AC = 6 cm.Dessiner en vraie grandeur le carre ABCD, ainsi que les tri-angles SOB et SBC.



Orleans 96

3 cm

3, 5 cm

La figure ci-apres represente une partie d’un patron de pyramidereguliere a base carree.

1) Reproduire cette figure sur votre feuille en respectant lesdimensions indiquees, puis la completer pour obtenir unpatron de la pyramide.

2) Calculer l’aire totale du patron exprimee en cm2.

3) On voudrait construire une nouvelle pyramide dont lesdimensions sont le quadruple de celles de la pyramideprecedente.

Quelle serait alors l’aire totale, exprimee en cm2, d’un pa-tron de la nouvelle pyramide ?

Poitiers 96

G F

EH

C

D A

B

K

M

La figure ci-contre represente un cube ABCDEFGH sur lequel on a poseune pyramide reguliere de base ABCD et de hauteur MK. L’arete du cubemesure 6 cm.

1) Dans cette question on pose MK = x. Calculer x sachant que levolume du cube et de la pyramide reunis est 270 cm3.

2) Dans cette question on donne MK = 4, 5 cm.

a) Dessiner en vraie grandeur le carre ABCD.

b) Utiliser la figure precedente pour construire en vraie grandeur letriangle CMA et justifier votre construction.

c) Demontrer que tan MCA =3

4

√2. En deduire la mesure, arrondie

au degre, de l’angle MCA.




Centres Etrangers 97

A B

C

G

F

D

H

E

M

L’unite est le centimetre.ABCDEFGH est un pave droit dont les dimensions sont AB = 8 ;BC = 6 ; EA = 5. Le point M est le milieu de [DC].

1) Dessiner dans le plan en vraie grandeur le quadrilatereABCM .

Demontrer que le quadrilatere ABCM est un trapeze rec-tangle. Calculer son aire en precisant l’unite.

2) On considere la pyramide EABCM de sommet E. Quelleest sa hauteur ? (On ne demande pas de justifier la reponse.)

Calculer le volume de cette pyramide en precisant l’unite.

Creteil 97

A BO

S

L’unite de longueur est le centimetre.Une bougie a la forme d’un cone de revolution de sommet S ; sa base est uncercle de centre O et de diametre AB = 10, on donne SA = 13.

1) Montrer que la hauteur de la bougie a pour longueur 12 cm.

2) a) Calculer la valeur exacte du volume de la bougie en cm3. (Onecrira cette valeur sous la forme k×π, ou k est un nombre entier.)

b) Combien peut-on fabriquer de bougies de ce type avec 4 litres decire ? (Rappel : 1 litre = 1 000 cm3.)

Guadeloupe 97

S

O

O’

A

A’

Un pot a fleurs a la forme d’un tronc de cone. Ses deux disques de base ont10 cm et 20 cm de rayon. La distance entre leurs centres O et O′ est 30 cm.Sur la figure (OA) et (O′A′) sont paralleles.

1) Montrer queSO′

SO=

1

2.

Montrer que SO = 60 cm.

2) Calculer le volume du cone de sommet S et de base le disque de centreO.

3) Calculer le volume du pot.

On ne demande pas de refaire une figure.



Lilles 97

S

O

A

3

10cm

Un cornet de glace appele « petit cone » a la forme d’un cone de hauteurSO = l0 cm, de rayon de disque de base OA = 3 cm. La representation enperspective est donnee ci-contre.

S

O

O’

12cm

Gra

nd

cone

10cm

Pet

itco

ne

1) Demontrer que le volume exact de glace contenue dans le« petit cone » (celui-ci etant rempli) est 30π cm3.

2) Pour l’ete, l’entreprise decide de fabriquer des « grandscones », la hauteur d’un « grand cone » etant de 12 cm.

a) Le « grand cone » etant un agrandissement du « pe-tit cone », calculer l’echelle d’agrandissement.

b) En deduire que le volume du « grand cone » est51, 84π cm3.

c) Quelle quantite de glace supplementaire a-t-on lors-qu’on achete un « grand cone » plutot qu’un « petitcone » ? On donnera la valeur exacte du resultat puisune valeur approchee a 1 centilitre pres.

Limoges 97

A B

CD

O

S

M N

PQ

SABCD est une pyramide reguliere de sommet S, de base le carreABCD de centre O. On donne :– la hauteur de la pyramide SQ = 5 cm ;– le cote de la base BC = 4 cm.

1) Calculer la valeur exacte du volume de la pyramide en cm3, puisen donner une valeur approchee en mm3.

2) M , N , P , Q sont les milieux respectifs des aretes [SA], [SB],[SC], [SD].

a) Demontrer que MN = 2 cm.

b) On admet que la pyramide SMNPQ est une reduction deSABCD. Quel est le rapport de reduction ? Quel est levolume de SMNPQ?

Nantes 97

AD

CB

EH

GF

3 cm3 cm5 cm

4cm

ABCDEFGH est un pave droit. On donne AD = DC = 3 cm ; GC =4 cm ; GD = 5 cm. Sur le dessin ci-contre, les dimensions ne sont pasrespectees.

1) Calculer le volume, exprime en cm3, de la pyramide GABCD.

2) a) Dessiner en vraie grandeur le triangle ADG rectangle en D.

b) Calculer la mesure, arrondie au degre, de l’angle AGD dutriangle ADG.

c) Calculer la valeur exacte de la longueur AG, puis en donnerla valeur arrondie au millimetre.



Poitiers 97

Un cube a des aretes de 8 cm. Un cone de revolution a une base de 8 cm de diametre et une hauteur de 8 cm.

8 cm

8 cm

8cm

1) Calculer le volume du cube.

2) a) Calculer la valeur exacte du volume du cone.

b) Quel est le volume du cone arrondi au cm3 ?

3) On place le cone a l’interieur du cube. Occupe-t-il plus de 30 du volume du cube ? Justifier votre reponse.




Aix 1998

S

A D

CB

H

4 cm

5cm

Une pyramide reguliere est representee ici en perspective :

1) Sur le solide SABCD, nommer les aretes de meme longueurque [SA].

Quelle est la nature de la face ABCD? Expliquer.

2) Calculer le volume de la pyramide SABCD.

Bordeaux 1998

S

OB A

L’unite de longueur est le metre.Un reservoir d’eau a la forme d’un cone de revolution de sommet S, et debase le disque de centre O et de diametre [AB].On donne AB = 5 et SA = 6, 5.

1) Calculer la valeur, arrondie au degre, de la mesure de l’angle OAS.

2) Demontrer que SO = 6.

3) a) Donner la valeur exacte du volume de ce reservoir.

b) Montrer qu’une valeur approchee de ce volume au millieme presest 39, 270 m3.

4) Calculer le temps necessaire (en heures et minutes) pour remplir cereservoir aux deux tiers de sa capacite, avec un robinet dont le debitest de 35 litres par minute.

Caen 1998

S

O

I

B A

C D

Un panier a la forme d’un tronc de cone dont les bases ont pour diametresles segments [AB] et [CD], situes dans un meme plan.Le petit cone de sommet S et de disque de base de rayon [IC] est unereduction du grand cone de sommet S et de disque de base de rayon [OA].Il est inutile de reproduire la figure ci-contre, representant un tronc de cone.On donne AB = 30 cm et CD = 20 cm

1) a) Demontrer, a partir des indications portees sur la figure, que lesdroites (AO) et (CI) sont paralleles.

b) Demontrer queSI

SO=

2

3.

2) a) Calculer le volume V2 du petit cone en fonction du volume V1 dugrand cone.

b) Montrer que le volume V du tronc de cone est V =19

27V1.



Centres etrangers I 1998

S

HM

L’unite de longueur est le centimetre.La figure ci-contre represente un cone de revolution de sommet S, et de base ledisque de centre H et de rayon [HM ]. On donne HM = 6 et SM = 10.

1) a) Demontrer que SH = 8.

b) Calculer le volume du cone, arrondi au centimetre cube.

c) Donner la valeur, arrondie au degre, de la mesure de l’angle MSH.

2) On coupe le cone precedent par un plan parallele a sa base, et passant parM le point H ′ du segment [SH ] tel que HH ′ = 2.

Calculer le volume du cone de revolution obtenu, arrondi au centimetrecube.

Clermont 1998

A H

S

L’unite de longueur est le centimetre.

La figure ci-contre represente un cone de revolution de sommet S et de hauteur[SH ]. On sait que la longueur de la generatrice de ce cone est SA = 6 et que

l’angle HSA a pour mesure 60 .

1) On rappelle que sin 60 =

√3

2, cos 60 =

1

2et tan 60 =

√3.

Calculer les valeurs exactes de la hauteur HS de ce cone et du rayon HAde son disque de base.

2) a) Calculer le volume du cone sous la forme k × π, k etant un nombreentier.

b) Donner ensuite la valeur de ce volume arrondie au cm3.

Creteil 1998

B C

A

S

Soit la pyramide SABC de sommet S et de base ABC. Les triangles SABet SAC sont rectangles en A. Les dimensions sont donnees en mm.AS = 65, AB = 32, AC = 60, BC = 68.

1) Demontrer que le triangle ABC est rectangle.

2) Calculer le volume de la pyramide SABC.

3) Tracer un patron de cette pyramide.

Grenoble 1998

O A

S

La figure ci-contre represente un cone de hauteur SO = 20 cm et de base le cerclede rayon OA = 15 cm.

1) Calculer, en cm3, le volume de ce cone ; on donnera la valeur exacte sous laforme k × π (k etant un nombre entier).

2) Montrer que SA = 25 cm.

3) L’aire laterale de ce cone est donnee par la formule π × R × SA (R designantle rayon de la base). Calculer, en cm2, cette aire ; on donnera la valeur exactesous la forme nπ (n etant un nombre entier), puis une valeur arrondie a 10−1

pres.



Groupe est 1998

S

E

AH

B

K D

Figure 1 Figure 2

La figure 1 represente le pommeau de levier de vitesse d’une au-tomobile.Il a la forme d’une demi-boule surmontant un cone dont on asectionne l’extremite comme l’indique la figure 2. On appelle (C1)le cone dont la base est le cercle de rayon [AH ] et (C2) le cone dontla base est le cercle de rayon [EK]. Ces deux cercles sont situesdans des plans paralleles.On pose SK = 4 cm ; SH = 10 cm ; AH = 2 cm.

1) En se placant dans le triangle SAH , calculer la tangente de

l’angle ASH ; en deduire une valeur approchee, a un degre

pres, de l’angle ASH .

2) En se placant dans le triangle rectangle ESK et en utilisant

la tangente de l’angle ESK, montrer que EK = 0, 8 cm.

3) a) Calculer les volumes V1 et V2 des cones (C1) et (C2). Ondonnera des valeurs approchees pour les deux calculs devolumes demandes au cm3 pres.

b) Calculer le volume V3 de la demi-boule ; en donner unevaleur approchee au cm3 pres.

c) Deduire des resultats precedents une valeur approcheedu volume du pommeau.

Limoges 1998

A B

CD

S

E

H G

F

L’unite de longueur est le cm. On ne demande pas de reproduire le dessinsur la copie.On donne un parallelepipede rectangle ABCDEFGH tel que AB = 4,BC = 3, AE = 6.Un point S choisi sur l’arete [AE] permet de definir deux pyramides :– SABCD de sommet S, de hauteur SA, de volume V1

– SEFGH de sommet S, de hauteur SE, de volume V2

1) On suppose que AS = 3.

a) Calculer les distances FH , SH et SF (donner les valeursexactes).

b) Demontrer que le triangle FHS est isocele.

2) On suppose a present que AS = x (0 6 x 6 6).

a) Exprimer les volumes V1 et V2 en fonction de x.

b) Comment choisir x pour que V2 > V1 ?

Nantes 1998

1) Dessiner un carre ABCD dont les diagonales mesurent 4 cm. Aucune justification n’est demandee.

2) Ce carre est la base d’une pyramide reguliere SABCD telle que SA = 3 cm. Completer le dessin de la questionafin d’obtenir un patron de cette pyramide.

Poitiers 98

Un pigeonnier d’une hauteur totale de 15 metres est forme d’une tour cylindrique de rayon 6 metres, surmontee d’untoit conique.

1) Quelle est la hauteur de la tour, sachant qu’elle est egale aux deux tiers de la hauteur totale ?

2) Trouver la valeur exacte de l’aire de la surface laterale de la tour cylindrique.

3) Quel est le volume total du pigeonnier ? Donner la valeur exacte, puis une valeur approchee au metre cube pres.




Aix 1999

D C

BA

S

L’unite est le centimetre. SABCD est une pyramide de sommet S ayant pourbase le rectangle ABCD.Les faces laterales SAB, SAO et SDC sont des triangles rectangles.On donne AD = AS = 3 et SB = 7.

3

3

37

A B

CD

1) Le patron de cette pyramide a ete commence. Il manque la faceSBC. La construire.

2) Montrer que SD = 3√

2.

3) Sachant que SC =√

58, prouver que le triangle SBC est rec-tangle en B.

Asie 1999

A B

CD

E F

GS

ABCDEFGS est un cube d’arete 3 cm.

1) Calculer, en cm3, le volume de la pyramide SABCD.

2) Dessiner en vraie grandeur les faces SAO puis SAB (sachant que letriangle SAB est rectangle en A).

Bordeaux 1999

A

E F

G

C

BD

S

O

Le solide represente ci-contre est constitue de deux parties :– la partie superieure est une pyramide reguliere SABCD, de sommet S,

de base carree ABCD et de hauteur [SO] ;– la partie inferieure est un pave droit ABCDEFGH ;– dimensions en centimetres : AB = 30, AE = 10, SQ = 30.

1) Calculer le volume de la partie inferieure du solide.

2) Calculer le volume total du solide.

3) a) Calculer la valeur exacte de AD.

b) En deduire la mesure, arrondie au degre, de l’angle SAO.



Caen 1999

Un cone a pour base un disque de 6 cm de rayon et pour hauteur 15 cm.

1) Calculer son volume V en cm3 (en donner la valeur exacte, exprimee en fonction de π).

2) On realise une maquette du cone a l’echelle2

5. Calculer le volume V ′ de cette maquette, arrondi au cm3.

Clermont 1999

1) On admet qu’un ballon de basket est assimilable a une sphere de rayon R1 = 12, 1 cm. Calculer le volume V1,en cm3, de ce ballon ; donner le resultat arrondi au cm3.

2) On admet qu’une balle de tennis est assimilable a une sphere de rayon R2, en cm. La balle de tennis est ainsi

une reduction du ballon de basket. Le coefficient de reduction est4

15.

a) Calculer R2 ; donner le resultat arrondi au mm.

b) Sans utiliser cette valeur de R2, calculer le volume V2, en cm3, d’une balle de tennis ; donner le resultatarrondi a l’unite.

Creteil 1999

S

A BH

M

CN

D

L’unite de longueur est le metre.

Pour abriter un spectacle, on a construit un chapiteau dont la formeest un cone represente par le schema ci-contre.Sur le sol horizontal, la toile du chapiteau dessine un cercle de rayonAH = 10. Le mat, vertical, a pour longueur SH = 15.

1) Calculer le volume du chapiteau (on donnera la valeur exacte,puis la valeur arrondie au m3).

2) Calculer la longueur SA (on donnera la valeur exacte, puis lavaleur arrondie au cm).

3) Determiner la mesure en degre de l’angle ASH arrondie al’unite.

4) Pour accrocher des affiches, on a tendu deux cables, l’un dupoint M au point N , l’autre du point C au point D. Commel’indique le schema, M et C sont des points du segment [SA],N et D sont des points du segment [SH ]. On donne SM = 8,SN = 7, SC = 12, SD = 10, 5.

Les cables sont-ils paralleles ? Justifier.

5) Le plus petit des deux cables mesure 3 m. Calculer la longueurde l’autre cable.

Grenoble 1999

E F

G

CD

A

H

B On considere la figure ci-contre ou ABCDEFGH est un cube de cote3 cm.

1) Montrer que le triangle ACF est equilateral.

2) On considere alors la pyramide CABF , de base le triangle ABFet de hauteur CB.

a) Calculer le volume de cette pyramide.

b) Dessiner un patron de cette pyramide ; on laissera les traitsde construction.



Limoges 1999

E F

GH

A

D C

BI

J

KABCDEFGH est un cube d’arete [AB] avec AB = 12 cm. I est le milieu dusegment [AB]. J est le milieu du segment [AE]. K est le milieu du segment[AD].

1) Calculer l’aire du triangle AKI.

2) Quel est le volume de la pyramide JAIK, de base AIK ?

3) Quelle fraction du volume du cube represente le volume de la pyramideJAIK ? Ecrire le resultat sous forme d’une fraction de numerateur 1.




Bordeaux 2000

R = 12

h=

19,

2

O

IA

Un aquarium a la forme d’une calotte spherique de centre O(voir schema) qui a pour rayon R = 12 cm et pour hauteur h =19, 2 cm.

1) Calcule la longueur OI puis la longueur IA.

2) Le volume d’une calotte spherique est donnee par la for-

mule V =πh2

3(3R − h) ou R est le rayon de la sphere et

h la hauteur de la calotte spherique.

Calcule une valeur approchee du volume de cet aquariumau cm3 pres.

3) On verse six litres d’eau dans l’aquarium. Au moment dechanger l’eau de l’aquarium, on transvase dans un recipientparallelepipedique de 26 cm de longueur et de 24 cm delargeur.

Determine la hauteur x d’eau dans ce recipient. (On ar-rondira le resultat en mm)

Caen 2000

A B

O

O1 D

h

Un menuisier doit tailler des boules en bois de 10cm dediametre pour les disposer sur une rampe d’escalier. Ilconfectionne d’abord des cubes de 10cm d’arete dans les-quels il taille chaque boule.

1) Dans chaque cube, determiner la volume ( au cm3

pres) de bois perdu, une fois la boule taillee.

2) Il decoupe ensuite la boule de centre O suivant unplan pour la coller sur son emplacement¿. La surfaceainsi obtenue zst un disque D de centre O1 et dediametre AB = 5cm.

Calculer a quelle distance du centre de la boule (hsur la figure) il doit realiser cette decoupe. Arrondirh au millimetre.

Rappel : le volume d’une boule de rayon R est4

3πR3.



Grenoble 2000

A

B CO

L’unite est le centimetre.

Un jouet a la forme d’une demi-boule surmontee d’un cone de revolutionde sommet A, comme lindique la figure ci-contre.Le segment [BC] est un diametre de la base du cone ; le point O est lecentre de cette base.On donne : AB = 7 et BC = 6.

1) a) Construire en vraie grandeur le triangle rectangle AOB.

b) Calculer la valeur exacte de AO.

c) Calculer la valeur exacte du sinus de l’angle BAO. En deduire

une mesure de l’angle BAO (on donnera le resultat arrondiau degre pres).

2) Calculer le volume de ce jouet, cone et demi-boule reunis (on don-nera le resultat arrondi au cm3 pres).

Nantes 2000

A B

CD

EF

GH

S

O

O′

Une boıte de chocolats a la forme d’une pyramidereguliere de base carree, sectionnee par un plan pa-rallele a la base. La partie superieure est le cou-vercle et la partie inferieure contient les chocolats.On donne :AB = 30cm ; SO = 18cm ; SO′ = 6cm.

1) Calculer le volume de la pyramide SABCD.

2) En deduire celui de la pyramie SEFGH .

3) Calculer le volume du recipientABCDEFGH qui contient les chocolats.

Nice 2000

(C)

O

H

AUn plan coupe une sphere de centre O et de rayon 10cmselon un cercle (C) de centre H .La distance OH du centre de la sphere a ce plan P vaut 6cm.La figure ci-contre n’est pas en vraie grandeur. cette figure

represente la sphere et le cercle (C).

1) En utilisant uniquement les donnees de l’enonce, traceren vraie grandeur le triangle OHA, rectagle en H .

On laissera les traits de construction apparents.

2) Calculer le rayon du cercle (C).



Poitiers 2000

S

A BO

Un cone de revolution a pour sommet le point S ; sahauteur est de 9cm ; sa base est un cercle de centre O,de rayon 6cm dont le segment [AB] est un diametre.On ne demande pas de reproduire la figure sur la copie.

1) Calculer a 0, 1cm3 pres le volume de ce cone.

2) Calculer la longueur SA a 0, 1cm pres.

Antilles Guyane 2000

OM

S

O′

Un recipient a une forme conique et a pour dimensions : OM = 5cmet OS = 10cm.

1) Calculer en cm3 le volume du recipient. On donnera une valeurapprochee au dixieme pres.

2) On remplit d’eau le recipient jusqu’au point O′, O′S vaut 5, 3cm.On sait que le cone forme par le liquide est une reduction dupremier cone.

a) Preciser le coefficient de la reduction.

b) Calculer une valeur approchee du volume d’eau.

3) Calculer la tangente de l’angle SMO.

4) Donner une valeur approchee de SMO au degre pres.

Centres etrangers I1 2000

S

A

B

C

Le dessin ci-contre represente une pyramide SABC de hauteur SA = 5cm et dontla base est le triangle ABC rectangle en B.AB = 4cm et BC = 3cm.

1) Calculer l’aire du triangle ABC, puis le volume de la pyramide SABC.

2) Dessiner un patron de cette pyramide.



Inde 2000

r4c

m10c

m

O

M

Niveau de l’eau

Leo, le poisson de Julie, est dans un bocal ayant la formed’une sphere tronquee (fixee sur un socle). Le rayon dela sphere est de 10cm.la distance de la surface plane de l’eau au centre O dela sphere est de 4cm.

1) a) Calculer r (donner la valeur arrondie au mmpres).

b) Quelle est la forme de la surface plane del’eau ?

c) Calculer l’aire de cette surface (donner leresultat au cm2 pres).

2) Calculer le volume d’eau necessaire pour remplirle bocal au niveau des pointilles (donner le resultatau cm3 pres, puis au litre pres).


S

A

B

C

SABC est une pyramide de sommet S. La base ABC est un trianglerectangle et isocele en A tel que AC = 3cm. La hauteur [SA] mesure4cm.


Rappel : le volume V d’une pyramide est donne par la formule :

V =Aire de la base× hauteur

3

2) a) Construire les triangles ASC, ASB et ABC en vraie grandeur.

b) En deduire la construction du triangle BSC en vraie grandeursans faire de calcul.




6cm

2cm

5cm

3cm

6cm

3cm

On rappelle que si l’aire de la base B et la hauyeur h, le

volume d’un cone est1

3B×〈, et que le volume d’une boule de

rayon r est4

3πr3.

Un micro est constitue de trois parties accolees (voir schemaci-contre) :– un manche qui est un cylindre d’une hauteur 8cm et d’un

diametre de 2cm ;– une tete qui est une demi-sphere de diametre 6cm ;– une partie qui les relie, obtenue en coupant a 3cm de son

sommet par un lan parallele a sa base, un cone de hauteurinitiale 9cm. La base a pour diametre 6cm. On admettraque la section est un cercle de diametre 2cm.NB : tous les volumes seront exprims en cm3.

1) Calculer le volume exact V∞ du cylindre et le volumeexact V∈ de la demi-sphere.

2) a) Calculer le volume d’un cone de hauteur 9cm etdont la base a pour diametre 6cm.

b) Calculer le volume d’un cone de hauteur 3cm etdont la base a pour diametre 2cm.

c) En deduire que le volume exact V∋ de la troisiemepartie est 26πcm3.

3) Determiner le volume total du micro (on donnera lavaleur exacte puis la valeur arrondie au mm3 pres).

Europe de l’est 2000

A

B

C

D

E

F

G

H

Le dessin ci-contre represente un pave droit en bois dans lequel ondecoupe la pyramide ADEFB.AB = 4cm ; AF = 4cm ; BD = 5cm.

1) Le point A est-il situe sur la droite (HG) ?

2) Dessiner en vraie grandeur la face ABD et calculer la valeurexacte de AD.

3) Calculer le volume de cette pyramide et montrer qu’ilrepresente plus de 30% du volume du pave droit.

Rappel : volume d’une pyramide :B × h

3.



Amiens septembre 1999

la figure ci-contre represente un reservoir constitue d’un pave droit et d’unepyramide reguliere de base carree.On dispose des donnees suivantes :– la hauteur de la pyramide mesure 1, 5m ;– le cote de la base de la pyramide mesure 2m ;– la hauteur du pave mesure 3m.

1) Calculer le volume, exprimee en m3, du pave droit.

2) Calculer le volume, exprime en m3, de la pyramide.

3) Calculer la capacite, exprimee en litres, du reservoir.

Grenoble septembre 1999

LM

N

R

T

U

S

La figure ci-contre represente une pyramide STRU , de sommetS et de base TRU .SRT , SRU et TRU sont des triangles rectangles en R.Les triangles RTU et LMN sont dans des plans paralleles.L’unite de longueur est le centimetre.

On donne :SR = 7, 5 ; RT = 4 ; RU = 6, 2 ; LR = 4, 5.

1) Calculer le volume de la pyramide STRU .

2) a) Dessiner en vraie grandeur le triangle SRT . Placersur ce dessin les points L et M , en utilisant le faitque les droites (LM) et (RT ) sont paralleles.

b) Calculer ML.

Lille septembre 1999

A

B

C

D

H

S

La pyramide reguliere a base carree SABCD ci-contre a une base de50cm2 et une arete [SA] de 13cm.

1) Calculer la valeur exacte de AB, puis demontrer que : AC = 10cm.

2) Soit H le centre de ABCD. On admet que (SH) est perpendicu-laire a (AC).

Demontrer que : SH = 12cm, puis calculer le volume de SABCD.



Paris septembre 1999

1) On admet qu’un ballon de basket est assimilable a une sphere de rayon R1 = 12, 1cm.

Calculer le volume V1, en cm3, de ce ballon ; donner le resultat arrondi au cm3.

2) On admet qu’une balle de tennis est assimilable a une sphere de rayon R2, en cm.

La balle de tennis est ainsi une reduction du ballon de basket. Le coefficient de reduction est4

15.

a) Calculer R2 ; donner le resultat arrondi au mm.

b) Sans utiliser cette valeur de R2, calculer le volume V2, en cm3, d’une balle de tennis ; donner le resultatarrondi a l’unite.

Rappel : volume d’une sphere de rayon R : V =4

3πR3.

La Reunion septembre 1999

K

L M

N

P

QR

S

KLMNSRQP est un cube dont une arete mesure 6cm.

1) Nommer toutes les aretes de la pyramide KLMQ.

2) Quelle est la nature de la face KLQ ? Justifier la reponse.

3) Calculer le volume de la pyramide KLMQ.

4) Quelle est la nature de la face QKM ? Justifier lareponse.




Antilles 2001

8cm

3 cm

Une boıte est formee d’un cylindre de hauteur 8 cm, surmontee d’une demi-spherede rayon 3 cm.

1) Calculer le volume V de la boıte en cm3 (on donnera une valeur approchee aumm3).

2) Cette boıte est agrandie avec un coefficient k = 2. Calculer le volume V ′ de laboıte agrandie. (Pour les calculs, on prendra π ≈ 3, 14.)

Groupement I 2001

S

OA

Le cone de revolution ci-contre de sommet S a une hauteur SO de 9 cm et un rayonde base OA de 5 cm.

1) Calculer le volume V1 de ce cone au cm3 pres.

2) Soit M le point du segment [SO] tel que SM = 3 cm.

On coupe le cone par un plan parallele a la base passant par M .

Calculer le volume V2 du petit cone de sommet S ainsi obtenu au cm3 pres.

Groupement II 2001

O

H

A(C)

Sur le dessin ci-contre, la sphere a pour centre O.Un plan coupe cette sphere selon un cercle (C) de centre H et derayon 4, 5 cm (HA = 4, 5 cm).

1) Sachant que HO = 2, 2 cm, dessiner le triangle OHA en vraiegrandeur.

2) Calculer la longueur OA a 1 mm pres.

Sur ce dessin, les dimensions ne sont pas respectees.



Reunion 2001

A B

CD

RV

TU

S

SABCD est une pyramide reguliere a base carree telle que AB = 4, 5 cm etde hauteur SH = 4, 8 cm.(Les dimensions ne sont pas respectees sur la figure.)On rappelle que le volume d’une pyramide est donnee par la formule :

V =aire de la base × hauteur

3

1) a) Calculer l’aire du carre ABCD.

b) Prouver que le volume de la pyramide SABCD est de 32, 4 cm3.

2) Le quadrilatere RV TU est la section de cette pyramide par un plan parallele a la base.

a) Quelle est la nature de cette section ? Justifier la reponse.

b) On rappelle que la pyramide SRV TU est une reduction de la pyramide SABCD ; on siat, de plus, que

SV =2

3SB.

Calculer le volume de SRV TU .

c) Representer la section RV TU en vraie grandeur.

Groupe sud 2001

A

BC

D

E

F G

HABCDEFGH est un pave droit a base carree.On donne AD = 3cm et CG = 4cm.

1) Calculer le volume en cm3 de la pyramide de sommet G et de baseABCD.

2) Calculer DG.

3) On admet que le triangle AGD est rectangle en D.

Calculer la mesure, arrondie au degre, de l’angle AGD.

Calculer la valeur exacte de la longueur AG, puis en donner lavaleur arrondie au millimetre.



Afrique II 2001

A B

CD

E

F

G

H

K

A’B’

C’D’ Le parallelepipde rectangle de la figure ci-contre aete coupe par un plan parallele a l’arete [BC].On donne : EF = 25cm, HK = 20cmet KE = 15cm.

1) Quelle est la nature de la section planeEFGH ?

2) Calculer HE.

3) Que peut-on deduire des questionsprecedentes pour le quadrilatere EFGH ?Justifier la reponse.

Inde 2001

A BI

S

A’

Un verre est compose d’un pied surmonte d’un cone derevolution.L’epaisseur du verre est supposee negligeable.Le cone a pour sommet S et sa base est un disque de diametre[AB].On donne AB = 12cm et SA = 7, 5cm.On note I le milieu du segment [AB].

1) Calculer la hauteur SI du cone.

2) Calculer le volume maximal de liquide que peut contenirce verre. Ce volume sera note V .

Donner la valeur exacte de V en cm3 puis sa valeur ar-rondie a 1mm3 pres.

3) On remplit ce verre d’eau de telle sorte que la surface duliquide soit dans un plan parallele a celui qui contient ledisque de base du cone et que le niveau de l’eau atteignele point A′ du segment [SA] tel que SA′ = 5cm.

a) Exprimer le volume V ′ d’eau en fonction du volumeV ; justifier la reponse.

b) En deduire la valeur arrondie de V ′ au cm3 pres.

La figure ci-contre est donnee a titre indicatif.

Groupe Nord septembre 2000

Mr Untel propose des boules de glace de 1, 5cm de rayon. Calculer le volume d’une boule (arrondi a 1cm3).Des clients tres gourmands ont reclame des boules plus grosses. Mr Untel double le rayon de ses boules de glace. Parcombien le volume d’une boule a-t-il ete multiplie ?



Groupe ouest septembre 2000

Pour cet exercice, vous utiliserez et completerez la figure 1 ci-dessous.La base ABC d’une pyramide SABC est un triangle rectangle etisocele en A.La hauteur de cette pyramide est [SA].On donne : AB = AC = 4cm et SA = 5, 5cm.Un plan parallele a la base coupe les aretes [SA], [SB] et [SC]respectivement en M , N et O.On a SM = 4, 4cm.

1) La figure 1 represente la pyramide en perspective cavaliereposee sur sa base ABC.

Completer ce document en nommant les sommets. Puis, surcette meme figure, representer la section MNO.

2) Quelle est la nature du triangle MNO ?

Calculer MN .

3) Dessiner sur la copie le triangle MNO en vraie grandeur.

A partir de ce triangle, construire un patron de la pyramideSMNO.

4) Calculer l’angle MSN (donner le resultat arrondi au degre).

Antilles Guyane septembre 2000

A

B CO

Le culbuto est un jouet forme d’une demi-sphere surmonteed’un cone (comme l’indique la figure ci-contre).On donne AB = AC = 10cm et AO = 8cm.

1) Calculer le rayon le rayon de la sphere.

2) a) Calculer le volume en cm3 de la demi-sphere.

On en donnera la valeur arrondie au dixieme pres.

b) Calculer le volume en cm3 du cone.

On en donnera la valeur arrondie au dixieme pres.

c) Donner une valeur approchee du volume duculbuto.



Vanuatu septembre 2000

A

B

C

S

A’

L’unite de longueur est le centimetre. On considere une pyramide SABC, desommet S, de base le triangle ABC, de hauteur [SA], telle que : SA = 5,AB = 5, BC = 12 et AC = 13.

1) Demontrer que le triangle ABC est rectangle.

2) Sur la figure ci-dessus, le point A′ du segment [SA] verifie SA′ = 3.

Representer la section A′B′C′ de la pyramide SABC par un plan pa-rallele a sa base et passant par le point A′. (Le point B′ appartient ausegment [SB], le point C′ appartient au segment [SC].)


En deduire le volume de la pyramide SA′B′C′.




Groupe est (Grenoble) 2002

N

S

O

ABG

La Terre est assimilee a une sphere de rayon 6 370km.

1) On considere le plan perpendiculaire a la ligne des poles (NS)et equidistant de ces deux poles. L’intersection de ce plan avecla Terre s’appelle l’Equateur.

Calculer la longueur de l’Equateur.

2) On note O le centre de la Terre et G un point de l’Equateur.

On considere deux points A et B situes en Afrique sur l’Equa-teur. Ces points sont disposes comme l’indique le schema ci-contre.

On sait que GOA = 42 et GOB = 9 .

Calculer la longueur de l’arc AB, portion de l’Equateur situeeen Afrique.

Groupe est (Lyon) 2002

A

B

CD

E

F

G

H

ABCDEFGH est un parallelepipede a base carree.On donne AB = BC = 6cm et BF = 4, 5cm.

1) Montrer que DC = 7, 5cm.

2) Calculer la mesure de l’angle CDG arrondie au degre pres.

3) Calculer en cm3 le volume de la pyramide ABCDG.

Groupe ouest 2002

Dans une boıte cubique dont l’arete mesure 7cm, onplace une boule de 7cm de diametre (voir schema ci-contre).Le volume de la boule correspond a un certain pour-centage du volume de la boıte. On appelle ce pour-centage le ”taux de remplissage de la boıte”.Arrondir ce pourcentage a l’entier le plus proche.



Groupe sud 2002

S

OA B

Un cone de revolution a pour sommet le point S.sa base est un disque de centre O et de rayon 4cm.Sa hauteur [SO] est telle que SO = 2, 8cm.

1) Determiner l’arrondi au degre de l’angle OSB.

2) Determiner le volume de ce cone et donner son arrondi au cm3.

Amerique du nord 2002

I

S

K

A

B

cone 1

cone 2 Les deux cones de revolution de rayons KA et IB, sontopposes par le sommet.Les droites (AB) et (KI) se coupent en S, et de plus (BI)et (KA) sont paralleles.On donne : KA = 4, 5cm, KS = 6cm et SI = 4cm.

1) Calculer BI.

2) Calculer le volume V1 du cone 1. (Donner la valeurexacte puis la valeur arrondie au cm3.)

3) Le cone 2 est une reduction du cone 1.

Quelle est le coefficient de reduction? Par quelnombre exact, faut-il multiplier V1, le volume ducone 1, pour obtenir le volume V2 du cone 2 ?

Guadeloupe 2002

A B

CD

KLM

N

H

S

SABCD est une pyramide. Sa hauteur [SH ] mesure 9cm et l’aire desa base est 20, 25cm2.


2) En realisant une section plane parallele a la base de la pyramide,on obtient une pyramide SMNKL.

De plus, on sait que SM =2

3SA.

Calculer le volume de la pyramide SMNKL.



Inde 2002

A

BC

D

O

S

SABCD est une pyramide reguliere dont la base carree a un cote de mesure 2cm.La hauteur SO est variable, elle est notee x (en cm).

1) Calculer le volume de cette pyramide pour x = 6cm.

2) Dans cette question, x varie entre 0 et 10cm.

a) Demontrer que le volume de la pyramide en fonction de x est V (x) =4

3x.

b) Tracer la representation graphique de la fonction V : x 7−→ 4

3x.

c) Par lecture graphique et en laissant apparents les traces effectues, direquel est le volume de la pyramide si x = 3cm puis donner la hauteur dela pyramide pour laquelle son volume est egal a 10cm3.

Amerique du sud novembre 2001

A

B

C

DE

F

G

H

M

N

ABCDEFGH est un cube dont l’arete mesure 8cm.

1) Calculer le volume V de ce cube et l’aire A de ses faces.

2) Soit M le milieu de [AD] et N le milieu de [BC].

Quel est le nom du solide ABNMHG ?

Calculer son volume v.

Donner une valeur simplifiee de la fractionv

V.

3) On suppose maintenant M sur [AD] et N sur [BC] tels queAM = BN = x.

Ecrire le volume vx de ABNMHG en fonction de x. Cal-culer x pour que vx represente 15% du volume V du cubeABCDEFGH .

Rappel :

Volume du prisme : aire de la base multipliee par la hauteur.

Volume de la pyramide : aire de la base multipliee par la hauteuret divisee par 3.

Polynesie 2001

A BO

S

Une lampe a la forme d’une boule de centre O et de rayon30cm. [AB] est un diametre et [SO] un rayon de cette boule(voir ci-contre).Rappel :

Volume d’une boule : V =4

3πR3, avec R rayon de la boule.

1) Calculer le volume de la boule (donner la valeur arrondieau cm3).

2) On donne SB = 30√

2 ; montrer que la droite (SO) estperpendiculaire a la droite (AB).




L’unite de longueur est le centimetre et l’unite de volume est le centimetre cube.On note h la hauteur d’eau dans un cylindre de rayon 8 et de hauteur 15 (figure 1).On place alors au fond de ce cylindre une boule de rayon 6 et on constate que le cylindre est totalement rempli (figure2).

8

h

Figure 1

15

Figure 2

1) Calculer en fonction de π le volume du cylindre.

2) Montrer que la valeur exacte du volume de la boule est 288π.

3) Deduire des questions precedentes la hauteur h de l’eau dans le cylindre avant qu’on y place la boule.




Groupe est (Lyon) 2003

AO

S

I

On considere le cone ci-contre de sommet S et dont la base estle disque de rayon [OA].Ce cone a pour hauteur SO = 8cm et pour generatriceSA = 10cm.I est un point du segment [SO] tel que SI = 2cm.

1) Montrer que OA = 6cm.

2) Montrer que la valeur exacte du volume V du cone est egalea 96π cm3. Donner la valeur arrondie au mm3 pres.

3) Determiner, au degre pres, la mesure de l’angle ASO.

4) On coupe ce cone par un plan parallele a sa base et passantpar le point I. La section obtenue est un disque de centreI, reduction du disque de base.

a) Determiner le rapport k de cette reduction.

b) Soit V ′ le volume du cone de sommet S et de base ledisque de centre I.

Exprimer V ′ en fonction de V , puis donner la valeurarrondie de V ′ au mm3 pres.

Groupe nord 2003

AO

S

Un tajine est un plat compose d’une assiette circulaire et d’un couvercleen forme de cone qui s’emboıte parfaitement dans l’assiette.L’assiette de ce tajine a un rayon [OA] qui mesure 15 cm et lageneratrice du cone [SA] mesure 25 cm.

1) Calculer la hauteur OS du cone.

2) Montrer que la valeur exacte du volume V du cone est egale a (1 500π) cm3.

3) Un modele reduit de ce tajine a une assiette de rayon 6 cm.

a) Determiner le coefficient de reduction qui transforme le grand tajine en modele reduit.

b) En deduire la valeur arrondie au cm3 pres du volume V ′ du tajine en modele reduit.

Groupe sud 2003

A

B

C

D

E

F

GH

MN

ABCDEFGH est un parallelepipede rectangle.On donne :FE = 12cm, FG = 9cm,FB = 3cm, FN = 4cmet FM = 3cm.

1) Calculer la longueur MN .

2) Montrer que l’aire du triangle FNM est egal a 6cm2.

3) Calculer le volume de la pyramide (P ) de sommet B et de base le triangle FNM .

4) On considere le solide ABCDENMGH obtenu en enlevant la pyramide (P ) au parallelepipede rectangle.



a) Quel est le nombre de faces de ce solide ?

b) Calculer son volume.

Centres etrangers (Bordeaux) 2003

A B

CD

S

La figure ci-contre n’est pas en vraie grandeur : elle est donnee a titre indicatif.

SABCD est une pyramide a base carree ; sa hauteur est l’arete [SA].On donne SA = 4cm et AB = 3cm.

1) Calculer SB.

2) Representer en vraie grandeur les faces SAB et SBC, toutes deux destriangles rectangles.


Centres etrangers (Lyon) 2003

On considere qu’une boule de petanque a pour volume 196cm3 et que son rayon est le double de celui du cochonnet.

1) Quel est le rapport de reduction des rayons (donner une ecriture fractionnaire ou decimale ) ?

2) En deduire le volume du cochonnet.

Polynesie 2003

A BO

S

Soit SAB un cone de revolution, S etant le sommet du cone. Sa base estun disque de diametre [AB] et de centre O. Sa hauteur est [SO].On donne AB = 4cm et SO = 4, 5cm.

1) Calculer le volume du cone et donner une valeur arrondie au cm3 pres.

2) Calculer l’angle ASO et donner une valeur arrondie au degre pres.



Guyane 2003

On considere les figures suivantes :

AO

S

4cm

9cm

Fig. 1 – Cone initial

O’ A’

AO

S

Fig. 2 – Section du cone

La figure 1 represente un cone de hauteur [SO] et de rayon [OA].

1) a) Calculer la valeur exacte de l’aire de la base du cone.

b) Calculer le volume V de ce cone, arrondi au cm3.

2) On coupe le cone a mi-hauteur par un plan parallele a sa base (O′ represente le milieu de [SO]).

a) Quel est le coefficient de reduction?

b) Calculer la longueur O′A′ en justifiant la reponse.

c) Calculer le volume V ′ du petit cone, arrondi au cm3.

Nord septembre 2002

Une cloche a fromage en forme de demi-sphere de rayon 9cm et une boıte cylindrique de meme rayon ont le memevolume.

9cm9 cm

1) Calculer le volume de la cloche.

On donnera la valeur exacte du resultat, puis sa valeur arrondie au cm3 pres.

2) Calculer la hauteur de la boıte metallique.

Rappels :

R

R

H

Volume de la sphere :4

3πR3.



Volume du cylindre : πR2H .


A

B

C

D

E

F

G

H

J

KM

N

ABCDEFGH est un cube.Les points J , K, M et N sont les milieux respectifs des segments [AE],[FB], [AD] et [BC].JKNM est une section du cube par un plan parallele a l’arete [AB].

B C

F G 1) Donner, sans justifier, la nature de la section JKNM .

2) La face FGCB a ete dessinee en vraie grandeur ci-contre.

a) Placer les points K et N sur cette face.

b) A cote, dessiner la section JKNM en vraie grandeur.

3) Quelle est la nature du solide AJMBKN ?

(Aucune justification n’est demandee.)



Amerique du sud novembre 2002

A

B C

D

E

FG

H

Soit ABCDEFGH un cube d’arete 5cm.

1) Dessiner en vraie grandeur le triangle AHG.

2) Calculer les valeurs exactes de AH et AG, puis une valeur arrondie

a 0,1 degre pres de la mesure de l’angle HAG.

Martinique septembre 2002

AB

CD

EF

GH

S

La maquette de maison representee ci-contre est composee :– d’un pave droit de dimensions :

AB = 30cm, AE = 20cm et AD = 5cm ;– surmonte d’une pyramide de hauteur 6cm.

1) Calculer le volume V1 de cette maquette.

2) Sachant que cette maquette est une reduction de coefficient 1/50 de la maison reelle, deduire de la premierequestion le volume V2 en m3 de la maison.




Aix 2004

On considere le pave droit ABCDEFGH represente ci-dessous :

A

B C

D

E

FG

HObserver la figure et completer le tableau ci-dessous (annexe 1 de votre sujet). Sans justification.

OBJET NATURE DE L’OBJET

Triangle ABC

Angle ABF

Quadrilatere ABFE

Angle ACG

Quadrilatere ACGE

Bordeaux 2004

On considere la pyramide reguliere OABCD. La base ABCD est un carre. H est le point d’intersection des diagonales[BD] et [AC]. On sait que la hauteur [OH ] mesure 4 cm.

A B

CD

H

O

1) Sachant que le volume de la pyramide est egal a 12 cm3, montrer que l’aire de la base est egale a 9 cm2.

2) En deduire que le cote [AB] du carre ABCD mesure 3 cm.

3) Calculer la longueur de la diagonale [AC] du carre ABCD.

4) Calculer l’aire du triangle AOC.



Groupe Nord 2004

B

OA

On considere un cone de revolution semblable a celui represente ci-contre avecAO = 2 cm et BO = 3 cm.

1) Calculer la longueur de la generatrice [AB] : donner en cm la valeur exacte puisla valeur arrondie au dixieme.

2) Calculer le volume du cone : donner en cm3 la valeur exacte puis la valeur arrondiea l’unite.

Versailles 2004

La balise ci-contre est formee d’une demi-boule surmontee d’un cone derevolution de sommet A.Le segment [BC] est un diametre de la base du cone et le point O est lecentre de cette base.On donne AO = BC = 6 dm.

1) Montrer que AB = 3√

5 dm.

2) Dans cette question, on se propose de calculer des volumes.

a) Calculer en fonction de π le volume du cone (on donnera la valeurexacte de ce volume).

b) Calculer en fonction de π le volume de la demi-boule (on donnerala valeur exacte de ce volume).

c) Calculer la valeur exacte du volume de la balise, puis en donnerla valeur arrondie a 0,1 dm3 pres.

A

B CO

On rappelle que si V est le volume d’une boule de rayon R, alors V =4

3× π × R3.

On rappelle que si V est le volume d’un cone de hauteur h et de rayon r, alors V =π × r2 × h

3.

2004

2004


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