Capitolul 9Axonometria

9.1 Definiţie

Având dată epura unei figuri sau a unui corp, ne este foarte greu să ne imaginăm forma reală a corpului în spaţiu, uneori fiind chiar imposibil. Aşa de exemplu epura din figura 1 poate să reprezinte o cutie cubică cu sau fără capac. Prin urmare o epură nu determină perfect obiectul. Numai prin două proiecţii nedeterminarea este şi mai mare.

Dezavantajele acestei metode se fac simţite mai ales atunci când un corp de tipul unui cub sau paralelipiped dreptunghic este astfel dispus încât toate cele trei dimensiuni principale ale lui sunt paralele cu axele de proiecţie, deoarece în acest caz, feţele şi muchiile se suprapun în planele de proiecţie.

În consecinţă este nevoie şi de alte reprezentări. Axonometria este una dintre aceste metode.

Un cub cu epura ca in figura 1 se proiectează pe un plan oarecare cu axe cu tot, precum şi cu proiecţiile pe axe a lungimii unităţii, rezultă figura 2.

128

Figura 1Epura unei cutii cubice cu sau fără capac

Figura 2Proiecţia unui cub pe un plan oarecare

129

Deoarece muchiile corpului sunt paralele cu axele proiectate rezultă că muchiile sunt perpendiculare două câte două.

Deoarece lungimile muchiilor paralele cu axele sunt egale cu unitatea, pe fiecare axă rezultă că muchiile sunt de lungimi egale. Deci corpul este un cub.

Metoda de reprezentare care constă în proiectarea corpului pe un plan împreună cu axele de coordonate solidare cu el se numeşte axonometrie.

Dacă direcţia de proiectare este perpendiculară pe planul de proiecţie axonometria este ortogonală. Noi vom considera în continuare numai o astfel de axonometrie.

9.2 Indicii de deformare

Nu este greu de demonstrat că în cazul proiecţiei ortogonale, toate segmentele paralele se proiectează cu aceeaşi deformare (figura 3).

Raportul dintre lungimea proiecţiei axonometrice a unui segment şi lungimea lui reală se numeşte indice de deformare în direcţia axei respective.

Vom nota indicele de deformare în direcţia axei Ox cu p, indicele de deformare în direcţia axei Oy cu q şi indicele de deformare în direcţia axei Oz cu r.

În proiecţia axonometrică ortogonală fiecare indice de deformare este subunitar, iar în cazuri extreme egal cu 1 sau 0.

Pe fiecare axă axonometrică se notează unitatea de scară sau se indică valoarea indicelui de deformare. Lungimea reală

130

a oricărui segment paralel cu una din axe este egal cu lungimea proiecţiei împărţită la indicele de deformare.

Dacă doi dintre cei trei indici p, q şi r sunt egali, proiecţia este dimetrică, iar dacă toţi indicii sunt egali proiecţia este izometrică.

Figura 3Proiecţii ortogonale

9.3. Formulele axonometriei ortogonale

Fie un punct M(x,y,z) în spaţiu, faţă de un sistem de axe oxyz (figura 4). Considerăm un plan de proiecţie P perpendicular pe OM.

131

Figura 4Proiecţia axonometrică ortogonală

O1A1 este proiecţia axonomatică a segmentului OA = Z, deci indicele de deformare r este:

sau

Din asemănarea triunghiurilor OAK şi OAM avem:

de unde rezultă

132

sau

(1)

În mod analog obţinem:

şi (2)

Din 1 şi 2 obţinem

Am ajuns la formula:

adică în axonometria ortogonală suma pătratelor indicilor de deformare este egală cu 2.

Între unghiurile S, T şi U formate de axele axonometrice (figura 5) şi indicii de deformare există următoarele relaţii:

133

Figura 5 Unghiurile dintre axele axonometrice

; ; (4)

şi bineînţeles relaţia

S + T + U = 3600 (5)

Nu demonstrăm aceste relaţii.Din relaţiile (4) pot fi găsiţi

p2, q2 şi r2.

Într-adevăr din (4) calculăm expresiile:

134

(6)

şi

deci

(7)

Împărţind 7 la 6 avem:

(8)

În mod analog rezultă şi q2 şi r2, deci:

(9)

Observaţie: Unghiurile S, T şi U nu pot fi decât optuze, iar indicii p, q şi r nu pot fi decât subunitari.

135

Exemplu: Se dau indicii p = 0,80, r = 0,90 şi q = ( cu condiţia 3 îndeplinită). Să se determine unghiurile S, T şi U.

Rezolvare:

9.4. Reţele axonometrice

Pe desenul pe care sunt trasate axele axonometrice cu diviziunile lor proporţionale cu indicii de deformare, ducem prin fiecare diviziune paralele la axe. Am obţinut reţelele axonometrice din figura 6.

Figura 6. Reţele axonometrice

136

Proiecţiile ab; a’b’ şi a’’b’’ ale segmentului din spaţiu AB se numesc proiecţii secundare.

Pentru a determina în spaţiu poziţia punctului A, din punctul a (din planul H) se ridică perpendiculara pe planul H:

(sau Aa // OZ).

Din punctul a’ se duce perpendiculară pe V ,

(sau Aa’ // OY).

Din punctul a’’ se duce perpendiculară pe planul W,

(sau Aa’’ // OX).

La intersecţia celor trei perpendiculare se află punctul A. De fapt sunt suficiente numai două din cele trei perpendiculare.

Aplicaţii

1. Să se arate că între indicii de deformare şi unghiurile axelor axonometrice există relaţiile:

2. Să se determine indicii de deformare şi unghiurile axelor axonometrice dacă aceste unghiuri sunt egale şi să se traseze reţelele axonometrice în acest caz.

137

3. Să se determine indicii de deformare şi unghiurile axelor axonometrice dacă S = 1380, iar T = U şi să se traseze reţelele axonometrice în acest caz.

4. Fiind dată epura în una din figurile de mai jos, să se deseneze proiecţiile secundare (pe bază de reţele) şi să se traseze figura din spaţiu pe axele axonometrice.

Figura 7

138