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Geometrie Marius Brunk Matthias Deege. Gliederung. Euklidische Geometrie Biographie: David Hilbert Hilberts Axiomensystem der ebenen Geometrie Nicht-Euklidische Geometrie Nicolai Lobatschewski Janos Bolyai. Euklidische Geometrie 1.1 Biographie: David Hilbert. David Hilbert - PowerPoint PPT Presentation
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14.01.2008 1
Geometrie
Marius BrunkMatthias Deege
14.01.2008 2
1. Euklidische Geometrie• Biographie: David Hilbert • Hilberts Axiomensystem der ebenen Geometrie
2. Nicht-Euklidische Geometrie• Nicolai Lobatschewski• Janos Bolyai
Gliederung
14.01.2008 3
1. Euklidische Geometrie
1.1 Biographie: David Hilbert
14.01.2008 4
David Hilbert
geb. : 23. Januar 1862 in Königsberg alsSohn einer preußischen Beamtenfamilie
Hilbert über seine schulischen Leistungen:„Ich habe mich auf der Schule nicht besonders mit
Mathematik beschäftigt, denn ich wußte ja, daß ich das später tun würde.“
Abitur im Jahr 1880
1.1
14.01.2008 5
Mathematikstudium fast ausschließlich in Königsberg (zusammen mit H. Minkowski)
1885/86 Promotion und Habilitation in Königs-berg, Bekanntschaft mit Felix Klein in Leipzig
1892 Extra Ordinarius in Königsberg, Hochzeit mit Käthe Jerosch
1895 Berufung nach Göttingen (Felix Klein)
1899 Grundlagen der Geometrie
1.1
14.01.2008 6
1900 Hauptreferat auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Paris: 23 mathematische Probleme
Hilberts vielschichtige, mathemat. Interessen:• Invariantentheorie• Geometrie• Algebraische Zahlenkörper• Integralrechnung mathematische Physik• Logische Grundlagen der Mathematik
1.1
14.01.2008 7
1918: „Eine Fakultät ist doch keine Badeanstalt!“
14. Februar 1943: Tod in Göttingen
„Wir müssen wissen, wir werden wissen.“
1.1
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1. Euklidische Geometrie1.2 Hilberts Axiomensystem der (ebenen) Geometrie
14.01.2008 9
Axiome der Geometrie (1899):
I 1-8. Axiome der Verknüpfung, II 1-4. Axiome der Anordnung, III 1-5. Axiome der Kongruenz, IV Axiom der Parallelen, V 1-2. Axiome der Stetigkeit.
1.2
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I. Inzidenz-Axiome (1-4)
• (I1) Zu zwei Punkten A,B gibt es stets eine Gerade a, die mit jedem der beiden Punkte A,B zusammengehört.
• (I2) Zu zwei Punkten A,B gibt es nicht mehr als eine Gerade, die mit jedem der beiden Punkte zusammengehört.
• (I3) Auf einer Geraden gibt es stets wenigstens zwei Punkte. Es gibt wenigstens drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen.
• (I4) Zu irgend drei nicht auf ein und derselben Geraden liegenden Punkte A,B,C gibt es stets eine Ebene , die mit jedem der drei Punkte zusammen-gehört. Zu jeder Ebene gibt es stets einen mit ihr zusammengehörenden Punkt.
1.2
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I. Inzidenz-Axiome (5-8)
• (I5) Zu irgend drei nicht auf ein und derselben Geraden liegenden Punkten A,B,C gibt es nicht mehr als eine Ebene, die mit jedem der drei Punkte zusammengehört.
• (I6) Wenn zwei Punkte A,B einer Geraden a in einer Ebene , so liegt jeder Punkt von a in der Ebene.
• (I7) Wenn zwei Ebenen , einen Punkt A gemein haben, so haben sie wenigstens noch einen weiteren Punkt B gemein.
• (I8) Es gibt wenigstens vier nicht in einer Ebene gelegene Punkte.
1.2
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II. Anordnungs-Axiome (1-3)
• (A1) Wenn ein Punkt B zwischen einem Punkt A und einem Punkt C liegt, so sind A,B,C drei verschiedene Punkte einer Geraden, und B liegt dann auch zwischen C und A.
• (A2) Zu zwei Punkten A und C gibt es stets wenigstens einen Punkt B auf der Geraden AC, so daß C zwischen A und B liegt.
• (A3) Unter irgend drei Punkten einer Geraden gibt es nicht mehr als einen, der zwischen den beiden anderen liegt.
1.2
14.01.2008 13
Ein Beispiel für Euklids teilweise lückenhaftes Vorgehen:
Proposition 1:Über einer gegebenen Strecke kann ein
gleichseitiges Dreieck errichtet werden.
1.2
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II. Anordnungs-Axiom 4 (Pasch)
• (A4) Es seien A,B,C drei nicht in gerader Linie gelegene Punkte und a eine Gerade in der Ebene ABC, die keinen der Punkte A,B,C trifft: wenn dann die Gerade a durch einen Punkt der Strecke AB geht, so geht sie gewiß auch durch einen Punkt der Strecke AC oder durch einen Punkt der Strecke BC.
1.2
14.01.2008 15
III. Kongruenz-Axiome (1-3)
• (K1 - Streckenabtragung) Seien A,B Punkte und h eine Halbgerade mit Anfangspunkt C. Dann existiert ein Punkt D auf h mit
• (K2 – Transitivität der Streckenkongruenz)
• (K3 – Addierbarkeit von Strecken) Seien disjunkte Strecken auf einer Geraden g, sowie
disjunkte Strecken einer Geraden g‘
1.2
AB CD
AB CDAB EF
CD EF
,AB BC
' ', ' 'A B B C
' '' '
' '
AB A BAC A C
BC B C
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III. Kongruenz-Axiome (4-5)
• (K4 – Antragen von Winkeln) Sei ein Winkel, g‘ eine Gerade, h‘ eine Halbgerade von g‘ mit Anfangspunkt A, H eine der durch g‘ bestimmten Halbebenen. Dann existiert in H genau eine Halbgerade k‘ mit Anfangspunkt A, so dass = .
• (K5) Es gilt der Kongruenzsatz SWS
1.2
( , )h k
( , )h k ( ', ')h k
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IV. Euklidisches Axiom (der Parallelen)
• (P) Es sei a eine beliebige Gerade und A ein Punkt außerhalb a; dann gibt es in der durch a und A bestimmten Ebene höchstens eine Gerade, die durch A läuft und a nicht schneidet.
• Äquivalente Formulierung:• Wenn zwei Geraden a,b in einer Ebene eine dritte
Gerade c derselben Ebene nicht treffen, so treffen sie auch einander nicht.
• Das Parallelenaxiom ist ein ebenes Axiom!
1.2
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V. Stetigkeits-Axiome (1-2)
• (S1 – Axiom des Messens) Gegeben seien zwei Strecken . Dann wird man durch endlich-faches Antragen von hinauslaufen.
• (S2 – lineare Vollständigkeit) Eine Gerade in einer gegeben Geometrie kann nicht in der Weise vergrößert werden (durch Hinzunahme von Punkten), dass die bisherigen Axiome erfüllt bleiben.
1.2
,AB CD CD an AB über AB
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Das Parallelenproblem:
• Die Herleitung von Eukids Parallelen-Postulat blieb über 2000 Jahre ein ungelöstes Problem.
• Erfolglose Versuche gab es einige…• Gauß erkannte als erster, dass das Paralleln-
Problem nicht lösbar ist, veröffentlichte seine Gedanken aber nie.
• Dies tat 1826 N. Lobatschewski und erschuf die hyperbolische Geometrie
1.2
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2. Nicht-Euklidische Geometrie 2.1 Nikolai Lobatschewski
14.01.2008 21
Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski
geb. : 20. November 1792 in Nishni- Nowgorod (Gorki)
Ab 1800: Kasan, in sehr einfachen Verhältnissen
1802: Eintritt ins Gymnasium von Kasan mathematisches Interesse guter Unterricht
2.1
14.01.2008 22
1807: Immatrikulation Universität Kasan Chemie und Pharmakologie
1808: Johann Christian Martin Bartels Arbeitsschwerpunkt Mathematik „Stolz der Universität“
1811: Abschluss des Studiums, Magister
2.1
14.01.2008 23
1812: Assistent von Bartels
1814: Adjunkttitel, Vorlesung über Trigonometrie
1816: außerordentlicher Professor
2.1
14.01.2008 24
1820: Nachfolger von Bartels, Vorlesung Reine Mathematik
1821: Dekan der physikalisch -mathematischenFakultät
1822: Ordentlicher Professor
1827: Rektor der Kasaner Universität
2.1
14.01.2008 25
1823: Lehrbuch zur Geometrie
1826-1830: neue Ergebnisse im „Kasaner Boten“
1835: „Imaginäre Geometrie“
1835-1838: „Neuen Anfangsgründe der Geometrie“
2.1
14.01.2008 26
1840: Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien
2.1
14.01.2008 27
1846: Offizielles Ende seiner Amtszeit
Schwere Krankheiten folgten
12.Februar 1856 : Tod in Kasan
2.1
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Werke von Lobatschewski (Auszug)
• 1830; dt. 1898: Über die Anfangsgründe der Geometrie• 1934: Algebra oder die Rechnung mit endlichen Größen • 1834: Über die Konvergenz der trigonometrischen Reihen• 1836: Anwendung der vorgestellten Geometrie auf einige Integrale • 1842: Die totale Sonnenfinsternis in Pensa am 26. Juni 1842• 1852: Der Wert einiger bestimmter Integrale• 1855, fr. 1856, dt. 1858, ital. 1867: Pangeometrie.
2.1
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2. Nicht-Euklidische Geometrie 2.2 Janos Bolyai
14.01.2008 30
Janos Bolyai (dtsch. Johann)
geb. :15. Dezember 1802 in Kolozsvar (Klausenburg) in Ungarn
Vater: Farkas (Wolfgang) Bolyai
geistige Frühreife
Mit 9 Jahren: Interesse für Algebra und die „Elemente des Euklid“
2.2
14.01.2008 31
Vater Bolyai an Gauß 10.4.1816:
„ Ich wollte ihn 3 Jahre bei dir halten und, wennes möglich wäre in deinem Hause, […]. DeinerFrau Gemahlin Unkosten würde ich, versteht sichs, schon entschädigen.“
Keine Antwort
1818: Wiener Ingenieur Akademie 1823: Militärdienst
2.2
14.01.2008 32
Anfang 1820:„Die Parallelen auf jenem Wege sollst du nicht probieren; ich kenne auch jenen Weg bis zu Ende, auch ich habe diese bodenlose Nacht durchmessen: jedes Licht, jede Freude meines Lebens sind in ihr ausgelöscht worden. Ich beschwöre dich bei Gott! Laß die Parallelen in Frieden. […] diese haben mir all die Blumen meines Lebens und meiner Zeit weggenommen.“
2.2
14.01.2008 33
Um 1823 Brief von Johann an seinen Vater:
„Mein Vorsatz steht schon fest, daß ich, sobald ich es geordnet, abgeschloßen habe und eine Gelegenheit kommt, ein Werk über die Parallelen herausgeben werde […] ich habe so erhabene Dinge herausgebracht, daß ich selbst erstaunt war […] jetzt kann ich nichts weiter sagen, nur so viel: daß ich aus Nichts eine neue, andere Welt geschaffen habe.“
2.2
14.01.2008 34
1825: „Absolut wahre Raumlehre“1832: Im Anhang zu „Tentamen“:
„Absolut wahre Raumlehre, unabhängig von der ( a priori nie entschieden werdenden) Wahr- oder Falschheit des XI. Euklidischen Axioms, mit geometrischer Quadratur des Kreises im Falle der Falschheit.“
2.2
14.01.2008 35
Gauß 6. März 1832:„[…] sie [die Schrift] loben hieße mich selbst zuloben: denn der ganze Inhalt der Schrift, der Weg, den Dein Sohn eingeschlagen hat, und die Resultate, zu denen er geführt ist, kommen fast durchgehends mit meinen, zum Teile schon sei 30-35 Jahren angestellten Meditationen überein.“
2.2
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Folge dieser Nichtanerkennung waren schwere Depressionen.
Er starb am 27. Januar 1860 an Lungen- und Gehirnhautentzündung.
Sein Grab blieb namenlos.
2.2
14.01.2008 37
2.2
14.01.2008 38
2.2
14.01.2008 39
Wenn eine Gerade und ein Punkt in der Ebene gegeben ist, nenne ich Parallele zur gegebenen Geraden, gezogen durch den gegebenen Punkt, die Grenzgerade zwischen denjenigen unter den Geraden (die in derselben Ebene durch denselben Punkt gezogen sind und auf der einen Seite des von diesem Punkt auf die gegebene Gerade gefällten Lotes verlängert sind) welche sie schneiden, und denen, welche sie nicht schneiden. (Lobatschewski 1902, 6f)
2.2
14.01.2008 40
l
m
g
2.2
14.01.2008 41
Parallelenpostulat in der Geometrie von Lobatschewski und Bolyai (Negation vom Euklidischen)/ Hyperbolisches Parallelenaxiom:
Es gibt eine Gerade l und einen Punkt P außerhalb l, so daß durch P mindestens zwei Parallelen zu l laufen.
2.2
14.01.2008 42
2.2
14.01.2008 43
2.2
14.01.2008 44
2.2