Geometrie non euclidee e concetto di curvatura

a cura di

Beatrice Bertetto, Ilaria Marsicovetere, Laura Brusa

Rocco Modaffari, Gianluca Aloisio, Massimo Cressano, Livio Vernetti

Le geometrie

• Nel piano

• Nella sfera

• Nel cilindro

Geometria del piano

Le geodetiche sono le rette

La somma degli angoli interni di un triangolo è 180°

Vale la disuguaglianza triangolare

Esiste una sola parallela data una retta ed un punto esterno ad essa, passante per quel punto

Geometria della sferaLe geodetiche sono le circonferenze massime (ad es. equatore e meridiani)

2 percorsi possibili per unire due punti Ordinamento

La somma degli angoli interni di un triangolo è > di 180°

Generalmente non vale la disuguaglianza triangolare. Bisogna prendere i percorsi brevi e non prendere punti antipodali.

Data una retta ed un punto non esistono parallele per quel punto perché le geodetiche si incontrano

Geometria del cilindroSi ottiene da un piano avvolto

Le geodetiche sono: i meridiani, i paralleli e le spirali

Ci sono infiniti percorsi possibili per unire due punti

Bisogna scegliere il percorso più breve .

Angoli e distanze si conservano, ma la disuguaglianza triangolare non sempre.

La somma degli angoli interni di un triangolo è 180° ed esiste la parallela ad una retta passante per un punto esterno ad essa.

Geometria del cilindro

La curvatura

• Piano: somma angoli = 180° 1 parallela

Curvatura = 0 Geometria euclidea

• Sfera: somma angoli > 180° 0 parallele

Curvatura > 0 Geometria ellittica

• Cilindro: come il piano considerando un solo ricoprimento

Trasporto paralleloSignifica spostarsi da una geodetica all’altra mantenendo inalterato l’angolo di inclinazione.

Nel piano: rette parallele

Nella sfera il concetto cambia

Nel cilindro: geodetiche parallele.