Geometrie-Topologie - UZH

Geometrie-Topologie HS 2012

Prof. Dr. Camillo de Lellis

Vorlesungsnotizen von Gideon Villiger

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 2


Inhaltsverzeichnis

Teil I: Allgemeine Topologie .......................................................................................................... 5

1 Metrische Räume ............................................................................................................................. 6

1.2 Konvergenz in metrischen Räumen ......................................................................................... 10

1.3 Das Produkt metrischer Räume ............................................................................................... 12

1.4 Kompaktheit ............................................................................................................................ 14

1.5 Stetigkeit .................................................................................................................................. 21

2 Topologische Räume ...................................................................................................................... 24

2.2 Unterraumtopologie ................................................................................................................ 24

2.3 Stetigkeit .................................................................................................................................. 25

2.4 Die Basis einer Topologie ........................................................................................................ 26

2.5 Kompaktheit / lokale Kompaktheit ......................................................................................... 29

2.6 Produkte .................................................................................................................................. 34

2.7 Quotienten .............................................................................................................................. 38

Teil II: „Klassische“ Flächen in ................................................................................................ 43

Teil III: Mannigfaltigkeiten .......................................................................................................... 61

1. Mannigfaltigkeiten ........................................................................................................................ 62

2. Tangential- und Kotangentialvektoren .......................................................................................... 67

3. Vektorfelder .................................................................................................................................. 72

3.1 Tangentialbündel ..................................................................................................................... 72

3.2 Vektorfelder als Ableitungen ................................................................................................... 74

3.3 Die Ein-Parametergruppe von Diffeomorphismen .................................................................. 75

3.4 Das Lie-Klammer-Produkt ........................................................................................................ 77

4. Das Tensorprodukt ........................................................................................................................ 78

4.1 Äussere Algebra ....................................................................................................................... 79

5. Differentialformen ......................................................................................................................... 82

5.1 Zerlegung der Einheit .............................................................................................................. 83

5.2 Das äussere Differential .......................................................................................................... 84

6. Integration von Formen................................................................................................................. 86

6.1 Orientierung ............................................................................................................................ 86

6.2 Satz von Stokes ........................................................................................................................ 89



Teil I: Allgemeine Topologie

Skript: Gameline-Greene, introduction to topology


18.09.2012

1 Metrische Räume

Def.: Metrischer Raum: X Menge und (Metrik oder Abstandfunktion), s.d.:

- ( ) ,

- ( ) ( )

- ( ) ( ) ( ) (Dreiecksungsleichung)

Bsp.:

-

( ) | | √∑( )

( ) ( )

Dreiecksungsleichung folgt aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung!

-

( ) (∑| |

)

( )

| |

- der triviale metrische Raum:

( ) {

Bem.: { } ist offen (und auch abgeschlossen), da { } (

) offen

- Die „französische Bahn“ Metrik.

X Menge, Paris

{

( )

( )

( ) ( )

Def.: Seien ( ) ein metrischer Raum, , dann ist die offene Kugel mit Radius und

Mittelpunkt x die Menge:

( ) { ∣∣ ( ) }

Bsp.:

- im : alle Punkte mit Abstand von ( ) (Kugel)

- im : alle Punkte mit Abstand von ( ) (Kreis)

- im ( ): ein Quadrat mit Mittelpunkt ( ) und Seitenlänge 2

P

𝑥

𝑥5

𝑥 𝑥

𝑥4


(( ) ) {| | | |}

Def.: Sei . Ein Element heisst innerer Punkt, falls , s.d.: ( )

Bem.: Der Mittelpunkt gehört immer zu der Kugel: ( )

Def.: ist offen, falls gilt: x ist ein innerer Punkt.

Lem.: Die offene Kugel ( ) ist eine offene Menge.

Bew.: z.z.: ( ) , s.d.: ( ) ( )

Bsp.: in

Sei | |, dann ( ) ( )

Sei ( ) (weil ( ), d.h.: ( ) )

Beh.: ( ) ( )

Bew.: sei ( ). Dann: ( ) ⇒ ( )

stimmt wegen Dreiecksungleichung:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Bem.: zum Begriff „Dreiecksungleichung“. Für

( ) ( ) ( ) Länge Länge + Länge!

Thm.: Sei ( ) ein Metrischer Raum.

i) sind offene Mengen.

ii) die Vereinigung offener Mengen ist offen.

iii) der endliche Schnitt offener Mengen ist offen.

Bew.:

i) X ist trivial, auch

ii) ⋃ ⇒ s.d. ⇒ da offen ist ( ) ⇒ ( ) ⋃ .

iii) offene Mengen.

⇒ s.d.: ( ) . Sei { }

⇒ ( ) ( ) ⇒ ( )

Bem.: der Schnitt muss endlich sein!

(

) mit der euklidischen Metrik { }

⋂ (

)

{ }

x

y

ρ

x

z

y


{ } ist keine offene Menge

Bem.: Wenn der „triviale metrische Raum“ ist, dann ist die Menge { } ist offen, denn:

gilt: ( ) { } { }.

Kor.: Eine Menge ist offen genau dann, wenn die Vereinigung offener Kugeln ist.

Bew.: „⇐“ folgt aus Theorem ii)

„⇒“ Sei offen: ( ) , s.d.: ( ( ))

Deswegen: ⋃ ( ( ))

Def.: Sei eine Menge. heisst Häufungspunkt von E, falls ( ) .

E heisst abgeschlossen, falls jeder Häufungspunkt von E zu E gehört.

Bem.: ist immer Häufungspunkt.

Lem.: Eine Menge ist abgeschlossen genau dann, wenn ihr Komplement offen ist.

Bew.: „⇒“: E abgeschlossen, . Dann ist x kein Häufungspunkt von E!

⇒ s.d.: ( ) ⇒ ( ) ⇒ ist offen.

„⇐“: offen: Sei x ein Häufungspunkt von E ⇒ x kann nicht zu gehören, denn:

⇒ ( ) ⇒ ( ) ⇒ nicht möglich, weil x Häufungspunkt

von E! Deswegen: x Häufungspunkt von E ⇒ .

Kor.: Sei ( ) ein metrischer Raum.

i) sind abgeschlossen.

ii) der Schnitt abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

iii) die endliche Vereinigung abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

Def.: Sei eine Menge. Dann:

Der innere Kern ( ) von E ist:

o die Menge der inneren Punkten von E

o die grösste offene Menge, die in E enthalten ist

die abgeschlossene Hülle ( ) von E ist:

o die Menge aller Häufungspunkte von E

o die kleinste abgeschlossene Menge, die E enthält

der Rand ( ) von E ist:

o die Menge der Häufungspunkte von beiden und

o der Schnitt von und .

Bem.: zur Äquivalenz der obigen Definitionen:

für den Rand trivial.

Innerer Kern: { }

Die grösste offene Menge ist die Vereinigung der offenen Mengen .

- : Sei , dann ( ) und ( ) besteht aus inneren Punkten von E

(weil ( ) offen) ⇒ ( ) ⇒ ist offen

- : ⇒ ( ) ⇒ im Inneren von E ⇒

Beh.: ist ein Häufungspunkt von kein innerer Punkt von .

Bew.: „⇒“: HP von ⇒ ( ) ⇒ ( )

⇒ kein innerer Punkt von


„⇐“: kein innerer Punkt von ⇒ ( )

⇒ ( ) ⇒ Häufungspunkt von E

Deswegen: ( ) Menge aller Häufungspunkte von E ⇒ das Komplement der

grössten offenen Menge in , d.h. ( ⋃

) ist gleich der kleinsten abgeschlos-

senen Menge, die E enthält:

⋃

⋂

⋂

gilt wegen den Regeln von de Morgan: (⋃ ) ⋂

und wegen:

- offen abgeschlossen

- ( )

20.09.2012

Def.: Sei ( ) ein metrischer Raum. Sei . Dann: ist die Einschränkung

der Abstandsfunktion auf Y.

( ) ist ein metrischer Unterraum.

Bsp.: All: Abstandsfunktion ( ) | | in

Erde All: {| | }. ( ) ( ) | |

aber Abstand auf Erde kann nicht so gemessen werden!

Bem.: In einem Unterraum von ( ) haben wir die entsprechenden offenen und abgeschlosse-

nen Mengen

Satz:

a) Eine Menge ist offen offen mit

b) Eine Menge ist abgeschlossen abgeschlossen mit

Bew.:

- „ “:

abg. offen ) offen mit

( ) abg.

- Bew. von ):

„⇒“ offen: Vereinigung von Kugeln

⋃ ( )

⋃{ ∣∣ ( ) }

{⋃{ ∣∣ ( ) }

}⏟

( )

( ) = Vereinigung von offenen Kugeln in X, d.h. eine offene Menge V (in X)!

„⇐“: Sei offen, . Sei . offen ⇒ ( )

⇒ ( ) . ( ) { ∣∣ ( ) } offene Kugel in

Bem.: Eine Kugel in = (Eine Kugeln in )


1.2 Konvergenz in metrischen Räumen

Def.: Sei { } (( ) ein metrischer Raum).

Wir sagen, dass ( ), falls ( )

Bem.:

- Der Limes existiert nicht immer.

- Wenn der Limes existiert, ist er eindeutig.

Nehmen wir an: , d.h.:

( ) ( )⏟

( )⏟

⇒ ( ) ⇒

Lem.: ist abgeschlossen genau dann, wenn:

{ } , die gegen ein konvergiert, gilt:

Bew.: Behauptung: sei und . Dann ist Häufungspunkt { } mit .

„⇒“: x HP ⇒ { }

( ) ⇒

( ) ⇒ { }

Es gilt: ( )

⇒ ( ) ⇒

„⇐“: { } und . Sei ( ) mit . Wähle mit ( ) (möglich, weil

( ) ) ⇒ ( ) ⇒ ( )

Da beliebig ⇒ ist ein Häufungspunkt.

Damit: abgeschlossen ⇔ Häufungspunkt von gilt: { } mit

Def.: Cauchy-Folge

{ } ist eine Cauchy-Folge, falls s.d.: ( )

Lem.: Eine konvergente Folge ist immer eine Cauchy-Folge.

Bew.: Sei . , s.d.: ( )

Sei . Dann: ( ) ( ) ( )

Def.: Ein metrischer Raum heisst vollständig, falls jede Cauchy-Folge eine konvergente Folge ist.

Lem.:

a) Falls ( ) ein vollständiger metrischer Raum ist, dann ist jede abgeschlossene Menge

ein vollständiger metrischer (Unter-)Raum.

b) Falls ( ) ein (beliebiger) metrischer Raum ist, dann ist jeder vollständige metrische Unter-

raum eine abgeschlossene Menge in .

Bew.:

a) Sei abgeschlossen. Sei { } Cauchy-Folge ⇒ mit

⇒ .

b) Sei . Sei { } eine Folge, die gegen ein konvergiert. Konvergenz ⇒ { }

Cauchy in ⇒ Cauchy in ⇒ mit

⇒ ⇒ .

Def.: Sei und . Die abgeschlossene Kugel mit Radius und Mittelpunkt ist:

( ) { ∣∣ ( ) }

Bem.: Die abgeschlossene Kugel ist abgeschlossen:

Sei { } ( ) eine Folge, die gegen konvergiert.


( ) ( ) ( ) ( )⏟

⇒ ( ) ⇒ ( )

Def.: Sphäre { ∣∣ ( ) }

Bem.: im ist die Sphäre der Rand der offenen (und abgeschlossenen) Kugel ( )

muss aber nicht sein (z.B. metrischer Raum mit einem/zwei Punkten)

Def.: Eine Menge heisst dicht, wenn

Ue.:

- { } , s.d.:

- ( )

Lem.: Bairesche Kategoriensatz

Sei ein vollständiger metrischer Raum und { } eine abzählbare Familie von dichten,

offenen Mengen. Dann gilt:

⋂ ist eine dichte Menge in .

Bew.: Sei .

Ziel: finde ( ) mit

Da dicht ist ⇒ (

) .

offen ⇒ Radius mit ( ) (

).

. (Falls , dann (

) ( ))

(

) ( ) ⇒ (

)

(

)

( ) (

)

(

)

Bemerkung:

rekursiv: finden Folge { } mit

(

)

(

) (

)

⇒ (

)

( ) ( ) ( )

𝑥

𝑥

𝑈

𝑈


wähle N, s.d.:

( ) ⇒ Die Folge ist eine Cauchy-Folge mit

⇒ Da { } (

) ⇒ (

) ( )

{ } (

) ⇒ (

)

⇒ ⋂

Def.: Das Komplement einer offenen dichten Menge heisst dünn.

Kor.: Falls ein vollständiger metrischer Raum ist und { } eine abzählbare Familie dünner Men-

gen, dann:

⋃

Bew.: ⋃ ⋂ ( ) dicht in

25.09.2012

1.3 Das Produkt metrischer Räume

Def.: Seien ( ) ( ). Das Produkt ist:

(( ) ( )) √∑ ( )

Bsp.: Im Fall ( ) ( | |) mit | | Abstand zwischen ⇒ :

(( ) ( )) √∑| |

Bem.: Es ist möglich, auch andere metrische Strukturen einzuführen:

(( ) ( )) ( ( ))

(( ) ( )) ∑ ( )

Übungsblatt: Die offenen Mengen in ( ) ( ) und ( )

sind gleich.

Thm.: Eine Menge ist offen ⋃ mit

offen

Bew.: „⇐“: Seien offene Mengen. Wollen zeigen: Dann ist offen.

Sei ( ) beliebig, d.h.:

offen ⇒ , s.d.: ( )

Wir wollen zeigen , s.d.: ( )

( ) { ( ) ∣∣ √∑ ( ) }

Sei { }. Dann gilt für ( ):

( ) ⇒ ( )

Deshalb: ( ) ( ) ( )

also:

( ) ⇒ offen


„⇒“: Sei offen.

Idee:

mit offen und mit

.

Dann:

⋃

Sei ( ). Wir suchen der Form ( ).

ist offen und ( ) für ein . Wir suchen deswegen , s.d.:

( ) ( ) { ( ) ∣∣ ( ) } ( )

{ ( )∣∣∣√∑ ( )

}

Sei

√ . Dann:

( ) ⇒ √∑ ( )

√∑

√

also:

( ) ( ) gilt: ( )

Bsp.: ( | |) ( | |)

( ) { ( ) ∣∣ √( ) ( )

}

{ ( ) ∣∣ | | | | }

{ ( ) ∣∣ ( ) ( ) } ( )

Konvergenz in einem Produktraum:

Def.: ( ( ))

⏟

Folge

( )

( ( ) ) ( ) ( ( )

( )) ( )

Lem.:

a) ( ( )) ( ) in { }

b) Eine Folge ( ( )) ist eine Cauchy-Folge ( ( )) Cauchy-Folge

Bew.:

a) ( ( ) ) √∑ ( ( ) )

(

( ) )

b) „⇒“: ( ( )) Cauchy Folge:

, s.d.: ( ( ) ( ))

( ( )

( )) √∑ (

( ) ( )

)


Cauchy-Bedingung für ( ( )

)

„⇐“: Seien ( ( )

) Cauchy-Folgen, ( ) (

( )

( )). Sei gesucht!

mit ( ( )

( )

)

√

Sei { } . Seien . Dann:

( ( ) ( )) √∑ ( ( )

( )

)

√∑

Kor.: vollständig vollständig

Bew.: „⇐“: ( ( )) Cauchy, ( ) (

( )

( ))

)⇒ (

( )) Cauchy

⇒ mit

( ) .

Definiere ( ) )⇒ ( ) .

1.4 Kompaktheit

Bem.: Schon bekannt: beschränkte, abgeschlossene Mengen sind (folgen-)kompakt, d.h.:

Bolzano-Weierstrass (bzw. Heine-Borel): ( ( )) ( ( )) Teilfolge, die gegen

konvergiert.

Def.: Ein metrischer Raum heisst kompakt, wenn jede offene Überdeckung { } von eine

endliche Teilüberdeckung besitzt.

Bem.:

- offene Überdeckung heisst: ist offen und ⋃

Allgemein: eine offene Überdeckung von bedeutet: ⋃

- Teilüberdeckung { } , s.d.: { } { }

ist eine (endliche) Überdeckung.

Def.: heisst kompakt, falls jede offene Überdeckung von eine Teilüberdeckung besitzt.

(d.h. für jede Überdeckung { } mit offen { } ⋃ { } )

Lem.: Sei mit ( ) metrischer Raum. Dann sind äquivalent:

i) die Kompaktheit als Teilmenge

ii) die Kompaktheit als metrischer Raum ( | )

Bew.: Entscheidend: offen mit offen.

- „ ) ⇒ )“: kompakt als Teilmenge. Sei { } eine Überdeckung von mit

offen (Als Teilmenge von ( )).

offen mit

⇒ ⋃

⋃ ⏟

⇒ endliche Teilüberdeckung { } { }

.

Sei

{ } { }

{ }


⋃

{ }

⋃

(⋃

)⏟

⋂

- „ ) ⇒ )“: UE

Lem.: kompakt ⇒ jede abgeschlossene Menge ist kompakt.

Bew.: Sei { } offene Überdeckung von .

ist offen:

{ } ⏟

{ }⏟

offene Überdeckung von X

Sei { } { }

{ } Teilüberdeckung von ⇒ { } { }

Überdeckung von

Lem.: Sei ( ) ein metrischer Raum. kompakt ⇒ abgeschlossen.

Bew.: nicht abgeschlossen ⇒ nicht kompakt.

nicht abgeschlossen bedeutet: ( ) , die gegen konvergiert.

Sei ({ } { } )

Beh.:

- { } ist eine Überdeckung von E

- ist offen,

- Es gibt keine Teilüberdeckung, die endlich ist

Bew.:

- ⋃ { } ⇒ { } Überdeckung

- offen { } { } abgeschlossen.

- { } { } endlich

⋃

({ } { } )

wegen { } in ⇒ keine Überdeckung

Lem.: Sei ( ) eine Folge, die gegen konvergiert. Dann ist { } { } abgeschlossen.

27.09.2012

Bem.:

Folgenkompaktheit (FK)

{ } eine konvergente Teilfolge, die gegen konvergiert.

Kompaktheit (K)

Für jede offene Überdeckung von gibt es eine endliche Teilüberdeckung

Bem.: Folgenkompaktheit ⇒ Vollständigkeit

Bew.: Sei { } (folgenkompakt) eine Cauchy-Folge. FK ⇒ { } Teilfolge und mit

Beh.:

Bew.: Sei ⇒ , s.d.: ⇒ ( )

Cauchy-Bed.: , s.d.: ⇒ ( )

setze: { }.

Sei , wähle . Deswegen:


( ) ( ) (

)

Bem.: Der obige Beweis ist „verbatim“ wie der in Analysis I.

Def.: ( ) metrischer Raum. heisst beschränkt, falls und mit ( ).

(z.B. die Erde als metrischer Raum ist beschränkt).

Frage: Vollständigkeit + Beschränktheit ⇒ Folgenkompaktheit

Bem.: Im ist eine abgeschlossene ( vollständige), beschränkte Teilmenge folgenkom-

pakt (Heine-Borel/Bolzano-Weierstrass).

Bem.: im ( ) {| | } ⇒ ( ) ist ein metrischer Raum ⇒ beschränkt,

aber nicht folgenkompakt (Bsp natürliche Zahlen)

Def.: ( ) heisst totalbeschränkt, falls , s.d:

⋃ ( )

endliche Überdeckung von mit (offenen) Kugeln mit Radius .

Bem.: Kompaktheit ⇒ totalbeschränkt

Bew.: Sei : nehmen { ( )}

⇒ Teilüberdeckung, d.h. eine Überdeckung mit

endlich vielen solchen Kugeln.

Haupttheorem: Die folgenden Sätze sind äquivalent:

i) ( ) (metrischer Raum) ist kompakt. ( )

ii) ( ) ist folgenkompakt. ( )

iii) ( ) ist vollständig und totalbeschränkt. ( )

Bew.:

- „ ⇒ “:

Widerspruchsbeweis: Sei { } eine Folge, s.d. konvergente Teilfolge.

Beh.: { } besitzt eine konvergente Teilfolge , s.d.:

{ ∣∣ ( ) } .

Bew.:

„⇒“: Sei { } eine konvergente Teilfolge und sei ihr Grenzwert.

Sei : Konvergenz ⇒ , s.d.: ( )

⇒ ( ) (unendlich viele!)

„⇐“: Sei , s.d.: { ∣∣ ( ) }

: { ( )

} Teilfolge von { }, s.d.: { ( )

} ( )

[{ ( )

} { ∣∣ ( ) } { ∣∣ ( ) }]

( ) { ∣

∣ (

) }

( )

ist eine Teilfolge von ( )

!

( )

: die Glieder der ursprünglichen Folge, die in (

) enthalten sind.

Cantorsches Diagonalargument:


( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

ist eine Teilfolge von { }

( ( )

)

⇒

( ) konvergente Teilfolge

[zweites Argument:

sei , s.d. ( )

⇒ {

} { } s.d.: ]

Sei { } s.d. keine Teilfolge konvergiert ⇒ ( ), s.d.: ( ( )) nur

endlich viele Glieder der Folge enthält.

Sei dann: { ( ( ))}

eine Überdeckung

Beh.: keine Teilüberdeckung, die endlich ist.

Bew.: { ( ( ))} { }⇒ ⋃ ( ( ))

enthält nur endlich viele

Glieder der Folge { } ⇒ keine Überdeckung

- „ ⇒ “:

⇒ Vollständigkeit: schon gezeigt.

Sei . Gesucht: { ( )} { } Überdeckung

sei ⇒ ( )⏟ ( )

( ) ⏟ ( )

(1) ⇒ fertig

(2) ⇒ ( )

falls ( ) ( ) ⇒ fertig

sonst: ( ( ) ( )) ⇒ ( ( ) ( ))

Das Verfahren endet ⇒ Überdeckung gefunden.

Das Verfahren endet nicht:

{ } Folge mit ⋃ ( ) ⇒ ( )

⇒ { } ( ) (gilt auch für jede Teilfolge) ⇒ keine Teilfolge erfüllt

die Cauchy-Bedingung ⇒ keine Teilfolge konvergiert

- „ ⇒ “:

Lem.: Eine Teilmenge eines totalbeschränkten Raumes ist totalbeschränkt.

Bew.: Sei . Sei { (

)}

{ } eine Überdeckung. Falls (

)

⇒ (

) ⇒ ( ) ist eine Kugel in ! (wäre , dann wäre

( ) keine Kugel in E).

( ) (

)


(

) ⇒ ( )

⇒ ( ) ( ) ( )

also:

{ ( ) }⏞

(endlich viele):

⋃ ( ) (⋃ (

)

)

Lem.: Sei ein totalbeschränkter Raum. Dann besitzt jede Folge in eine Cauchy-Teilfolge.

Bem.: mit diesem Lemma haben wir ⇒ (da wegen der Vollständigkeit jede

Cauchy-Teilfolge auch konvergent ist)

Bew.: Folge { }

Sei

Totalbeschränktheit ⇒ ( ) ( )

⇒ Teilfolge { ( )

}, die in einer Kugel mit Radius 1 enthalten ist.

⇒ Überdeckung mit endlich vielen Kugeln mit Radius

(

) (

)

{ ( )

} Teilfolge mit { ( )

} in einer Kugel mit Radius

.

Cantorsches Diagonalargument:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

{ ( )

}

Teilfolge von { ( )

}

Kugel mit Radius

⇒ ( ( )

( )

)

Cauchy-Bedingung

Wähle also . Sei so, dass

. Dann für

( ( )

( )

)


02.10.2012

- bleibt zu zeigen: „ ⇒ “:

Abzählbarkeitsaxiome:

1) Ein metrischer Raum ( ) heisst separabel, falls dichte, abzählbare Menge

(Beispiel: dicht und abz. ⇒ ist separabel)

2) Def.: Eine Basis für einen metrischen Raum ( ) ist eine Familie offener Men-

gen, s.d. jede offene Menge die Vereinigung von Elementen von ist.

Bem.: { ( ) ∣ } ist immer eine Basis für .

(jede offene Menge ist die Vereinigung von offenen Kugeln)

Def.: Ein metrischer Raum erfüllt das 2te Abzählbarkeitsaxiom (2AA), wenn er eine

abzählbare Basis besitzt.

(Beispiel: mit { ( ) ∣∣ })

Thm.: Jede Teilmenge eines separablen metrischen Raumes ist separabel.

Bew.: Separabilität ⇒ abzählbar und dicht ( ( ) ). Sei

eine Teilmenge: ( )

Vorsicht: kann sein dass .

Sei { }

Betrachte {( ) (

) }

( ) wählen wir (

) ⇒ { }

( ) ⏟

Beh.: ist dicht

Bew.: z.z.: so dass ( )

{ } mit

Wegen der Dichtheit von wissen wir: { } s.d.

o.B.d.A.: ( )

⇒ (

) ⇒ (

)

⇒ ⏟

(

)

⇒ ( ) ( ) ( )

⇒

Lem.: Falls ( ) ein totalbeschränkter metrischer Raum ist, dann ist separabel.

Bew.: Sei

. Totalbeschränktheit ⇒

( ) ( )

( ) s.d.

⋃ ( ( )

)

Sei ⇒ ( )

mit ( ( )

)

{ ( )

∣∣∣ { ( )} } ⋃ {

( )

∣∣∣ { ( )} }

ist abzählbar!


Beh.: ist dicht.

Bew.: Sei . Wähle mit

⇒

( ) mit

( ( )

)

Vorgehen:

- Thm.: Ein metrischer Raum erfüllt das 2te Abzählbarkeitsaxiom ist separabel.

- Bem.: Mit dem letzten Lemma und dem Theorem folgt: Falls totalbeschränkt ist,

dann erfüllt das 2te Abzählbarkeitsaxiom.

- Thm.: Ein , das das 2te Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, hat die Lindelöf-Eigenschaft.

Bem.: Lindelöf-Eigenschaft: Jede offene Überdeckung besitzt eine abzählba-

re Teilüberdeckung.

- Bem.: Lindelöf ⇒ Komaktheit

- zusammenfassend:

o ⇒ separabel ⇒ 2AA

⇒ Lindelöf ( )

o ⇒ ( )

( ) ( ) ⇒

Thm.: Sei ( ) ein metrischer Raum. ist separabel erfüllt das 2te AA.

Bew.:

- „⇐“: Sei eine abzählbare Basis der Topologie (Menge von offenen Mengen) von ,

d.h.: { } und offen so dass ⋃

⇒ offen, mit und .

: { } ist dicht, denn:

( ). ( ) ist offen! ⇒ mit ( ).

- „⇒“: Sei { } dicht.

{ ( ) ∣∣ } ist abzählbar, da alle und abzählbar.

Beh.: offen, mit ( )

Bew.: Sei ⇒ ( )

(

) ( ) usw.

also: Sei mit . Wegen der Dichtheit von { } mit

( ) { }

( ) ⇒ ( ), aber ( )⏟

( ) , denn:

( ) ( )

( ) ( )⏟

( )⏟

⇒ ( )

wegen ⇒Beh.

Bem.: ( ) ⇒ Basis:

⋃

„ “: ⇒ ⋃ √ „ “: ⋃

⇒ √


Thm.: Sei ein metrischer Raum mit abzählbarer Basis . Dann gilt

Lindelöf-Eigenschaft:

Sei { } eine Familie offener Mengen. Dann { } abzählbare Teilüberde-

ckung mit

⋃

⋃

Bew.: { } .

⋃

mit

{ }

ist abzählbar. Sei { } eine Nummerierung ⇒ wähle

⇒ ⋃ ⋃

⋃

Beh.: Folgenkompaktheit + Lindelöf ⇒ Kompaktheit

Bew.: durch Widerspruch: offene Überdeckung von ( ), aber endliche Teilü-

berdeckung.

Lindelöf ⇒ Sei { } abz. Teilüberdeckung ohne endliche Teilüberdeckung

⇒ überdeckt nicht ⇒ ( ).

{ } Folge: ⇒ { } Teilfolge, die gegen ein konvergiert.

aber: mit ⇒ ( ) . Für gross genug ist ( )

⇒ wähle mit und

⇒

⇒

04.10.2012

1.5 Stetigkeit

- durch Folgen

- mit und

- mit offenen Mengen

Def.: Seien ( ) ( ) zwei metrische Räume und . ist stetig in , falls:

( ) ( ) .

ist stetig, falls stetig für jedes .

Lem.: (Folgenkriterium - )

stetig auf , s.d.: ( ( )) ( ( ) )

Bew.:

- „⇒“: stetig an der Stelle , aber , s.d. ( ) aber so dass

( ) ( ( ) )


( )

⇒ aber ( ( ) ( ))

( ) ( )

- „⇐“: - (Annahme). Sei . Zu zeigen: ( ) ( )

Sei : Suchen , s.d. ( ( ) ( ))

Wissen: s.d.: ( ( )) ( ( ) ), d.h. ( ) ⇒ ( ( ) ( ))

⇒ ( ( ) ( ))

⇒ die Folge ( ) konvergiert gegen ( )

Bem.: Stetigkeit in einem kleineren Definitionsbereich

- 1. Möglichkeit:

Schränke auf ein: ( ) ist ein metrischer Raum („metrischer Unterraum“)

Benutze die Def. mit statt :

ist stetig an der Stelle , falls { }, die gegen konvergieren gilt: ( ) ( ).

- 2. Möglichkeit:

mit ( ( ) ⏟ )

( ( ) )

Def.: Gleichmässige Stetigkeit

heisst gleichmässig stetig, falls:

, s.d. ( ( )) ( ( ) )

Thm.: Falls gleichmässig stetig ist und ein vollständiger metrischer Raum, dann:

stetige Fortsetzung.

Bew.: Ue. Hinweis: { } mit

Dann { ( )} ist eine Cauchy-Folge

Thm.: Falls stetig ist und kompakt, dann ist gleichmässig stetig.

Bew.: Gleichmässig stetig (GS) s.d. ( ) ⇒ ( ( ) ( ))

Angenommen, dass (GS) falsch ist, d.h.:

s.d. ( ) , aber ( ( ) ( ))

Sei

( 4). Sei

.

Kompaktheit: ⇒

Sei

Stetigkeit ⇒ s.d. ( ( )) ( ( )

).

Für gross:

( ) ⇒ ( ( ) ( ))

( (

) ( ))

Dreiecksungleichung: ( ( ) (

))

5

Thm.: stetig ( ) ist offen offen

( ) ist abg. abg. ( ( ) ( ))

Bew.:

- „⇒“ offen, stetig.

( ): suchen s.d. ( ) ( ), d.h. ( ( ))

Da ( ) und offen: s.d. ( ( ) )


Stetigkeit: s.d. ( ( )) ( ( ) ) ⇒

- „⇐“: s.d. ( ) offen offen.

suchen ein s.d.

( ( )) ( ( ) ) ( ) ( ( ( ) )⏟ ) ⏟

⇒ ( )

Bem.: stetig und offen ( ) offen! z.B. . ( ) muss nicht offen sein

Lem.: stetig und kompakt. Dann ist ( ) kompakt.

Bew.: kompakt, stetig ⇒ ( ) kompakt.

Sei { } ( ) ⇒ s.d. ( ) .

{ } ⇒ {

} Teilfolge, die gegen konvergiert.

stetig ⇒ (

) ( ) ( )

Bem.: andere Richtung gilt nicht:

( ) {

ist nicht stetig, aber ( ) kompakt


2 Topologische Räume

Def.: Ein topologischer Raum ist

eine Menge

zusammen mit einer Familie von Teilmengen von ( wird Topologie genannt, und die

entsprechenden Elemente sind die offenen Mengen), s.d.:

o

o eine beliebige Vereinigung offener Mengen ist offen

o jeder endliche Schnitt offener Mengen ist offen

Def.: Eine Teilmenge eines topologischen Raumes heisst abgeschlossen, falls ihr Komplement of-

fen ist.

Bem.:

- abgeschlossen

- Ein beliebiger Schnitt abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

- Jede endliche Vereinigung abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

Def.: Sei eine Teilmenge eines topologischen Raumes:

- ist im Innern von , falls offen mit . ist dann eine Umgebung von .

- ist ein Häufungspunkt von , falls Umgebung (Folgenkriterium i.A. falsch)

- { } ⋂

- { } ⋃

- ( ) { ∣∣ }

Def.: { } konvergiert gegen , wenn Umgebung von mit ⇒

Bem.: Existenz einer dichten abzählbaren Menge heisst „der Raum ist separabel“

Def.: ist dicht, wenn

09.10.2012

2.2 Unterraumtopologie

( )

Def.: Sei { ∣ } ist die Unterraumtopologie.

Bem.: ist tatsächlich eine Topologie!

z.B.: seien { } , s.d.

dann: ⋃ (⋃ )⏟

⏟

endlich:

⋂

(⋂

)⏟

⏟

deswegen ist ( ) ein topologischer Raum.


zur Erinnerung: Lemma: Sei ( ) ein metrischer Raum. Sei ( ) ein metrischer Unterraum. Die

offenen Mengen in sind die Unterraumtopologie!

Bem.: ist abgeschlossen abg. mit

Bew.: abg. offen offen mit abg. mit

( ) ( ) ( )

Kor.: Seien . Dann gilt:

(die abgeschlossene Hülle von in ) (die abgeschlossene Hülle von in )

Bew.: abg. Hülle von in

⋂ ( )

⋂ ( )

(

⋂

)

⏟

Bem.: Mit dem offenen Kern ist die Aussage falsch, d.h. für gilt i.A.:

(offener Kern von in ) (offener Kern von in ) .

- der offene Kern von in ist leer, denn enthält keinen internen Punkt

( ⇒ ist ein Häufungspunkt von )

- aber betrachten wir als topologischen Raum mit der Unterraumtopologie, dann ist

offen für diese Topologie ⇒ ist sein innerer Kern in

2.3 Stetigkeit

Def.: Sei ( ) ein topologischer Raum, Eine Umgebung von ist eine Teilmenge

s.d. ( )

Def.: ( ) ( ) topologische Räume, . ist stetig an der Stelle , falls:

( ) ist eine Umgebung von Umgebung von ( ).

Bem.: Wenn und metrische Räume sind: diese Definition ist eine „Übersetzung“ der „metri-

schen“ Definition der Stetigkeit.

Def.: heisst stetig, falls ( ) ist offen offen.

Bem.: stetig stetig auf jedem .

Bew.:

- „⇒“: Sei , sei eine Umgebung von ( ) ⇒ offen mit ( ) ⇒ ( )

ist offen. Wegen ( )⏟

( ) ⇒ ( ) ist eine Umgebung von

𝑥

𝑦 𝑓(𝑥)

𝑋

𝑌

𝑓

nicht stetig


⇒ stetig an der Stelle .

- „⇐“: Bemerkung: offen ist eine Umgebung von jedem .

Sei stetig für jedes , sei offen, und ( ) ⇒ ( )

⇒ ist eine Umgebung von ( )

⇒ ( ) ist eine Umgebung von

⇒ ( ) ist offen.

Def.: Seien und zwei topologische Räume und . ist ein Homöomorphismus, falls:

ist umkehrbar

und ihre Umkehrfunktion sind stetig

Bem.: anschaulich: jedes Objekt, das man aus Knete formen kann; aber nicht homöomorph, wenn

man ein Loch bohrt oder die Knete in zwei Teile aufteilt.

Bsp.: Kugel im : {| | } und Würfel im : { } sind

homöomorph, d.h. Homöomorphismus

Hinweis: Zeigen, dass und homöomorph, und dass und homöomorph

Bem.: homöomorph = Äquivalenzrelation

Lem.: topologische Räume,

stetig. Dann ist stetig!

Bew.: offen ⇒ ( ) ( ) ( ( )) offen, da ( ) offen (g stetig)

Kor.: ist ein Homöomorphismus, wenn Homöomorphismen

Bew.: ist umkehrbar und ( )

Bsp.:

- und sind homöomorph .

Vorsicht: surjektiv und stetig (Peano-Kurve)

- und { } sind nicht homöomorph

Bem.: ] und ] ] sind nicht homöomorph

Bew.: Sei stetig.

ist stetig: sei offen:

( ) ( )⏞

ist offen in

Falls auch surjektiv ist, dann s.d. ( )

und s.d. ( )

5

⇒ zwischen und s.d. ( )

, aber

⇒

2.4 Die Basis einer Topologie

Def.: Sei ( ) ein topologischer Raum. Eine Basis der Topologie ist eine Teilfamilie s.d.

jedes die Vereinigung (kann auch überabzählbar sein) von Elementen ist, d.h.:

{ } s.d. ⋃

Satz: Basis und mit .

Bew.: „⇒“: Sei offen, ⋃ mit ⇒ mit

„⇐“: offen, ⇒ s.d. . Dann: ⋃


Thm.: Sei eine Menge und ( ), { }

ist eine Topologie

1) mit

2) s.d.

Bew.: UE

Def.: Ein topologischer Raum erfüllt das 2te Abzählbarkeitsaxiom, wenn er eine abzählbare Basis

der Topologie besitzt.

Thm.: Ein topologischer Raum, der das 2te AA erfüllt, besitzt die Lindelöf-Eigenschaft:

und für jede offene Überdeckung von gibt es eine abzählbare Überdeckung.

11.10.2012

( ) { } Punkte nicht topologisch trennbar, Topologie zu grob

Def.: Trennungsaxiome:

Ein topologischer Raum heisst:

-Raum, falls es für jedes Paar mit eine offene Menge gibt, die enthält,

aber nicht.

Bem.: -Raum alle Punkte abgeschlossen:

Bew.: „⇒“: mit ( ) offen s.d. ( ) ⇒ { } ⋃ ( )

ist offen ⇒ { } abgeschlossen.

„⇐“: Sei { } abgeschlossen ⇒ { } offen und enthält alle

-Raum (Hausdorff-Raum), falls für jedes Paar mit existieren disjunkte offene

Mengen s.d.

gewährleistet, dass konvergente Folgen eindeutige Grenzwerte haben:

, falls ( ) ( )

, falls ( ) ( )

⇒ in ( ) ( ) mit ( ) ( ) ⇒ falls , dann .

-Raum, wenn er regulär ist und erfüllt.

Def.: Ein topologischer Raum heisst regulär, wenn für jede abgeschlossene Menge

und jeden Punkt disjunkte offene Mengen existieren, so dass:

-Raum, wenn er normal ist und erfüllt.

Def.: Ein topologischer Raum heisst normal, wenn abgeschlossen und disjunkt

existieren disjunkte offene Mengen und , s.d. .

Bem.: ⇒ ⇒ ⇒

Satz: Ein metrischer Raum ist .

Bew.: { } ⋂ ( ) abgeschlossen ⇒

abgeschlossen ⇒

( ) , s.d. ( ( ))

( ) , s.d. ( ( ))

⋃{ ( ( )

)

∣∣∣∣ } ⋃{ (

( )

)

∣∣∣∣ }


und sind offen, und

Beh.: sind disjunkt

Bew.: durch Widerspruch: Angenommen

⇒ s.d. ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

{ ( ) ( )}

⇒ entweder ( ( )) oder ( ( ))

Lem.: Ein topologischer Raum ist normal abgeschlossen und offen gibt es

eine offene Menge , s.d.

Bew.:

„⇒“: Angenommen, ist normal, wie oben

⇒ und sind abgeschlossen und disjunkt ⇒ offen, disjunkt, s.d. und

. Dann gilt: ⏟

⇒ ( )

„⇐“: Seien abgeschlossen, disjunkt ⇒ ist eine offene Menge, die enthält.

Nach Annahme offen: .

⇒ und sind disjunkte offene Mengen mit: ⇒ normal

Lem.: Urysohn

disjunkte, abg. Mengen in einem normalen topologischen Raum. Dann gibt es eine steti-

ge Funktion ], so dass auf und auf .

Bew.: offen, abg.,

dyadische rationale Zahlen sind rationale Zahlen der Form

, die dicht sind in .

abg., ⇒

s.d.

⇒

offen, s.d.:

⇒

offen, usw.

Für jede dyadische Zahl ( ) konstruieren wir , s.d.

1)

2)

3)

Definieren: ] ( ) {

{ ∣∣ }

Dann gilt: auf auf .

Beh.: ist stetig

Bew.: Sei . Angenommen ( ) . Sei

⇒ ( ) ( ) ( )

für { ∣∣ } ( ) ⇒ nach 1)

⇒ offene Umgebung von

Sei ⇒ ( ) ⇒ | ( ) ( )| ( ) ( ) ( )


Satz: Tietze

normaler top. Raum. abg. und beschränkte, stetige, reellwertige Funktion auf .

Dann stetig, beschränkt, reellwertig auf , s.d. auf .

Bew.: { | ( )| ∣∣ }

{ ∣∣ ( )

} abgeschlossen, da {(

)⏟

}

⏟

{ ∣∣ ( )

} abgeschlossen

abg. ⇒ Funktion mit ( ) ( )

( )

( )

ist stetig, ( )

( )

| |

⇒ | |

auf

Nach Induktion: { }

1) | |

2) | |

Analog haben wir

{ | ( ) ( ) ( )| ∣∣ }

| |

| |

auf

⇒ ( ) und ( ) für

stetig

| | | | ((

)

(

)

)

(

)

Cauchy-Folge von stetigen Funktionen und konvergieren gleichmässig

⇒ Grenzfunktion auch stetig ⇒ ∑ stetig

2.5 Kompaktheit / lokale Kompaktheit

Def.: Sei ein topologischer Raum. heisst kompakt, falls jede offene Überdeckung von eine

endliche Teilüberdeckung besitzt.

Bem.: heisst kompakt, falls jede offene Überdeckung von eine endliche Teilüberdeckung

besitzt.

Lem.: kompakt und abgeschlossen ⇒ kompakt.

Bew.: Sei offene Überdeckung von ⇒ { } ist offene Überdeckung von

⇒ endliche Teilüberdeckung von (weil kompakt) ⇒ ist eine offene

Teilüberdeckung von .

Bem.: normalerweise: kompakt abgeschlossen


aber wenn Hausdorff ist (d.h. das Trennungsaxiom gilt!)

Thm.: Seien zwei kompakte, disjunkte Teilmengen, und Hausdorff. Dann of-

fen, getrennt mit .

Bew.:

- Schritt 1: { }

offen und offen mit .

⋃

{ } ist eine offene Überdeckung ⇒ { } endliche Teilüberdeckung

von

{ }

- Schritt 2: allgemeine kompakte Mengen.

⇒ offen, { } offen mit

{ } ist eine offene Überdeckung von

⇒ { } offene endliche

Teilüberdeckung:

⇒ und offen!

Kor.:

a) Hausdorff und kompakt ⇒ abgeschlossen

b) Hausdorff und kompakt ⇒ erfüllt 4 (ist ein normaler Raum)

Bew.:

a) kompakt: ist offen? suchen offene Menge mit ,

d.h. . ⇒ existiert.

b) disjunkt, abg. ⇒ kompakt

⇒ mit und

Satz: Sei eine stetige Abbildung. kompakt ⇒ ( ) kompakt.

Bew.: Sei eine offene Überdeckung von ( ). Sei { ( ) ∣∣ } ⇒ ist eine offene

Überdeckung von .

⇒ { ( ) ( )} Überdeckung von mit ⇒ { } { }

ist eine

Überdeckung von ( ).

Kor.: stetig mit kompakt und Hausdorff. Dann:

a) falls bijektiv ist: ( ) ist offen, offen ( heisst offene Abbildung)

b) falls injektiv ist, dann ist ein Homöomorphismus zwischen und ( ).

Bew.:

a) Sei eine offene Menge in ⇒ ist abgeschlossen und (wegen der Kompaktheit von

) kompakt ⇒ ( ) ist kompakt ⇒ ( ) abgeschlossen:

( )

( ) ⇒ ( ) abg. ⇒ ( ) offen

b) bijektiv ⇒ ist ein Homöomorphismus. Sei die Umkehrabbildung: ( ) ( ).

offen ⇒ ( ) offen ⇒ stetig.

injektiv: setze ( ) ist bijektiv ⇒ ( ) ist Hausdorff


Def.: Ein topologischer Raum heisst lokal kompakt, falls Umgebung von , die kom-

pakt ist.

( offen, kompakt mit . ist dann eine kompakte Umgebung von )

Lem.: Sei Hausdorff und kompakt, und eine abgeschlossene Teilmenge.

Dann ist lokal kompakt.

Bew.: Wissen: Hausdorff + kompakt ⇒ 4. Sei

Seien getrennte offene Mengen von mit . Dann: ist offen und

eine Umgebung von (in ). Sei in ⇒ ist kompakt!

⇒ ⏟

⇒ .

⇒ ist eine kompakte Umgebung von in !

Thm.: Alexandroff Kompaktifizierung

Sei ein lokal kompakter Hausdorff topologischer Raum. Dann kompakt und Hausdorff

und mit:

a) ( ) ist höchstens ein Punkt. Notation: ( )

b) ist ein Homöomorphismus mit ( )

Veranschaulichung:

{ | | ∣∣ }

topologischer Unterraum

{ } ist ein Homöomorphismus

Bsp.: ] ist keine kompakte Menge

Def.: Eine Kompaktifizierung ist durch einen topologischen Raum und eine Abbildung gege-

ben, s.d.:

( ) ist ein Homöomorphismus

ist kompakt

( )

Bsp.: ] und ] ( ) ] ist eine Kompaktifizierung.

Sei ] , ( ) ( )

- ist kompakt

- ist ein Homöomorphismus zwischen ] und {( )}

18.10.2012

Bem.: ] ] ] sind nicht homöomorph.

In der Tat haben wir bewiesen, dass stetig und surjektiv.


Def.: Ein topologischer Raum heisst zusammenhängend, falls jede Menge , die offen und

abgeschlossen ist, trivial ist (entweder oder ).

Bem.: nichtzusammenhängend ⇒ nichttriviale Teilmenge , die offen und abg. ist

⇒ ⏟

⏟

Lem.: Sei ein Intervall (offen, abg,…). Dann ist zusammenhängend.

Bew.: Sei abgeschlossen. Seien und zwei offene Mengen, s.d. und .

OBdA: . ist abgeschlossen, da mit offen. Falls ⇒ fertig.

Sonst enthält einen Punkt: . OBdA: .

Sei { ∣∣ }. ist nicht leer!

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

offen ⇒ mit ] ⇒ mit und .

⇒ und ⇒ , da !

Satz: Sei { } eine beliebige Familie von zusammenhängenden Teilmengen eines topologi-

schen Raums. Falls , dann ist ⋃ zusammenhängend.

Bew.: Sei ⋃ und seien und offen, s.d. .

OBdA sei nicht leer. Dann mit . ist gleichzeitig offen und abgeschlossen

in ! ⇒ ist dann offen und abgeschlossen in

. zusammenhängend ⇒

⇒ .

: ⇒

⇒

⇒ ⋃

⇒

Bsp.: { (

) ∣

∣ } { ( ) ∣∣ }. Übung: ist zusammenhängend

Def.: Ein topologischer Raum heisst wegweise zusammenhängend, falls ]

stetig mit ( ) und ( ) (muss nicht injektiv sein).

Falls existiert, sagen wir, dass und äquivalent sind ( ).

𝑋 𝑥

𝑦


Lem.: ist eine Äquivalenzrelation.

Bew.: Symmetrie: verbindet mit ⇒ ( ) ( ) ist stetig und verbindet mit .

Transitivität: ⇒ ] stetig.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) { ( ) [

]

( (

)) [

]

⇒ ] stetig und verbindet mit .

Def.: Sei ein topologischer Raum. Die Äquivalenzrelation induziert eine Zerlegung von in

Äquivalenzklassen (wegweise zusammenhängend ⇒ Äquivalenzklasse).

Die Äquivalenzklassen von heissen „wegweise zusammenhängende Komponenten“ von .

Bem.: Die Äquivalenzklasse von ist die grösste wegweise zusammenhängende Teilmenge von ,

die enthält.

Bem.: Sei . die grösste zusammenhängende Teilmenge von , die enthält.

Sei { }.

⇒ ⋃ ist zusammenhängend, ist die grösste Menge in .

Def.: ⋃

ist die „zusammenhängende Komponente“ von , die enthält.

Bem.: Falls ( ) die zusammenhängende Komponente von ist, die ( ) enthält, dann:

Fall 1:

Fall 2: ⇒ ist zusammenhängend ⇒ ⇒ und

⇒ , also:

Def.: Äquivalenzrelation: , falls die zusammenhängende Komponente, die enthält, auch

enthält.

Lem.: wegweise zusammenhängend ⇒ zusammenhängend

Bew.: nichtzusammenhängend ⇒ offen mit und .

. Falls ] stetig ist und ( ) ( ) :

( ) ] offen, ( ) ] offen

⇒ , aber ].

( ) ⇒ ( ) ⇒ ⇒ Widerspruch, da ] zusammenhängend ist.

Bsp.: (von vorher): zusammenhängend, aber nicht wegweise zusammenhängend:

{ } ] { (

)

∣∣∣ ] }


(

)

] stetig mit ( ) (

) und ( ) ( ).

Falls existiert, dann: ] ( ( ) ( ))

( )

( )

{ ∣∣ ( ) } ⇒ ( ) |

( ) (

( ))

Wegen der Stetigkeit von ist auch stetig. ( ) (

( )) ( )

Aber der Limes existiert nicht ⇒ Widerspruch.

Thm.: Seien zwei topologische Räume und stetig. Dann:

i) zusamm. ⇒ ( ) zusamm.

ii) weg. zusamm. ⇒ ( ) weg. zusamm.

Bew.:

i) ( ) nichtzusamm. ⇒ ( ) nichttriviale Zerlegung mit offenen Mengen

⇒ ( ) ( ) nichttriviale Zerlegung von .

ii) ( ) ⇒ mit ( ) ( )

] stetig, ( ) ( )

] ( ) stetig, ( ) ( ) ( ) ( )

2.6 Produkte

Def.: Seien topologische Räume. Die Produkttopologie auf ist die

Topologie mit der Basis { ∣∣ }.

Bem.: { } ist die Basis einer Topologie {⋃ ∣∣ } ist eine Topologie

1) mit .

2) mit

Bew.:

- „⇒“: offen! ⇒ s.d. ⋃

⇒ s.d.

- „⇐“: Wegen der Definition ist die Vereinigung beliebiger Elemente aus wieder in . Zu zei-

gen: , dann ist . Es genügt: .

⋃

⋃

⇒ ⋃

zu zeigen: . Allgemein: .

Sei )⇒ mit ⇒ ⋃

Bleibt noch zu zeigen: . Für die leere Menge offensichtlich. Für :

Sei )⇒ mit ⇒ ⋃ .


Produkttopologie:

Lem.: top. Räume. Dann ist { ∣∣ } eine Basis von

.

Bew.: ! 2) ist klar. Noch zu zeigen: mit :

Seien und .

Sei ( ) ( ) ( ) , aber ist of-

fen

⇒ ( ) ( )⏟

( ) ( )

Bsp.:

Bem.: ( ) metrische Räume.

induziert von („Produktmetrik“): { } Produkt-

topologie. Dann gilt: .

Bew.:

- jede offene Kugel

( ) ( ) s.d. ( ) ( )⏟

( )

- jede (offene) Menge ist die Vereinigung von Kugeln: Kugel mit

.

( ) ( )⏟

( )

Zusammenfassung: ( ) metrischer Raum. Die „Topologie“ auf hat zwei wichtige

Basen: { } und { }.

Thm.:

Hausdorff ⇒ Hausdorff.

(wegweise) zusammenhängend ⇒ (wegweise) zusammenhängend.

kompakt ⇒ kompakt (Spezialfall von Tychonoff).

Bew.:

Hausdorff.

⇒ mit

⇒ offen mit

⇒

𝑈

𝑈

𝑈 𝑈


z.z.: weg. zusam. ⇒ weg. zusam.

Seien . Gesucht: ] stetig, so dass ( ) ( ) .

sei ( ) s.d. ( ) ( ( ) ( )).

Lem.: Die Produkttopologie ist die kleinste Topologie, für welche die Projektionen stetig

sind ( ( ) ).

Bew.: Stetigkeit von offen ⇒

( ) offen

( ) ⏟

Sei eine Topologie, s.d. stetig ist. Dann

⇒ ⏟

offen ⇒ Produkttopologie

Satz: Seien top. Räume. Sei und

die Projektionen.

Dann: stetig stetig,

Bem.: ( ) ( ( ) ( ))

Bew.:

- „⇒“: stetig ⇒ stetig

- „⇐“: ( ). Sei offen, z.z.: ( ) offen.

{ ∣∣ } Basis der Topologie, .

⋃

⇒ ( ) ⋃ ( )

Sei

( )⏟ ( )

{ ∣∣ ( ) } { ∣∣ ( ) }

⋂{ ∣∣ ( ) }

⋂( ) ( )⏟

⏟

weg. zusam. ⇒ ] stetig mit ( ) ( )

⇒ stetig, ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ))

25.10.2012

z.z.: zusammenhängend ⇒ zusammenhängend.

Satz: Seien top. Räume, (mit der Produkttopologie!)

Seien

. Dann ist die Abb.

( ) ein Homöomorphismus zwischen und

{ ( ) ∣∣ }, d.h. zwischen und ( ).

Bew.: ist injektiv und surjektiv auf ( ). Z.z.: ist stetig. Sei dazu eine offene Menge:

⋃ mit Basis ⇒ ( ) ⋃ ( )

Zu zeigen: ( ) ist offen

Als wählen wir: ⏟


( ): Zwei Fälle:

- { } { } ⇒ ( ) offen ⇒ ( ) offen

- ⇒ ( ) offen

zusammenhängend ⇒ zusammenhängend. Wir beweisen das für

(⇒ allgemein).

, offen. OBdA:

Sei , { ( ) ∣∣ } stetig ⇒ ( ) ( ) offen

⇒ ( ) ( ) ⇒ ( ) ( )

⇒ entweder ( ) oder ( )

⇒ ⇒ und

Sind und offen? Wissen: offen (wegen Annahme)

Sei { }

( ) ⇒ ist offen, ( ) ⇒ ist offen

zusammenhängend ⇒ (da wegen Ann. )

⇒

kompakt ⇒ kompakt. Es reicht: kompakt ⇒ kompakt.

Sei { } eine offene Überdeckung von . Ziel: endliche Teilüberdeckung.

{( ) ∣∣ } ( ) ( )

ist Homöomorphismus. kopmakt. ⇒ ( ) kompakt

{ } überdeckt

⇒ { ( ) ( )( )} ist Teilüberdeckung von

Annahme: Die Überdeckung { ) ist derart:

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

ist offen in

⇒ { } ist eine offene Überdeckung von . kompakt ⇒ s.d.:

ein Überdeckung von ist.

ist eine Überdeckung von

( )

( )( )

( ) ( )

( )

( )

( )( )

𝑡

𝑋

𝑋


also bis jetzt: Falls {

}

eine offene Überdeckung ist, dann endliche Teilüberde-

ckung.

Sei { } eine allgemeine Überdeckung. ⇒ ( ) ( )

⇒

und offen mit

( )

{

} ist eine offene Überdeckung ⇒ s.d. {

} eine

Überdeckung ⇒ { ( ) ( )} ist auch eine Überdeckung.

Lem.: Sei ein top. Raum und eine Basis der Topologie. Dann gilt:

ist kompakt offene Überdeckung endliche Teilüberdeckung.

Bew.: (Konsequenz aus dem vorherigen Beweis)

Def.: Sei eine Menge und { } eine Familie topologischer Räume. Das Produkt ist

∏

{ ⋃

∣∣∣∣ ( ) } {( ) }

Bsp.:

∏ { ( ) ∣∣ }

Bem.: Die Produkttopologie auf ∏ hat die Basis:

{

{ ( ) ∣∣∣

{ } }

Bsp.:

{ }

∏

Thm.: Tychonoff

kompakt ⇒ ∏ kompakt.

2.7 Quotienten

Bem.: anschaulich: Blatt falten ⇒ zwei Punkte am Rand, die vorher verschieden waren, sind äquiva-

lent.

Def.: Sei ein top. Raum und eine Äquivalenzrelation

⁄ { ]} ] { ∣∣ }

⁄ ( ) ]

Die Quotiententopologie ist die grösste Topologie auf ⁄ , für welche eine stetige Funk-

tion ist.

Lem.: { ⁄ ∣∣ ( ) } ist eine Topologie.

Bew.: z.z.: Der endliche Schnitt offener Mengen ist offen, und die Vereinigung offener Mengen ist

offen. z.B.:

{ } . Dann ( ) ist offen! (⋃ )⏟

⋃ ( ) ist offen in

⇒ ⋃ ist offen!


( ) ( offen!)

( ⁄ ) ( ⁄ offen)

Bsp.: ] mit der euklidischen Topologie

( ) ( )

{

Beh.: ⁄ (Homöomorphismus)

] ( ) ( )

zu beweisen: ⁄ . ist ein Homöomorphismus zwischen ⁄ und ( ⁄ ) .

01.11.2012

Bsp.: ] ] mit der Unterraumtopologie

( ) ( ), wenn {

] {( ) ∣∣ ]

}

⁄ ( ) ( )

stetig, deswegen stetig.

⁄

ist wohldefiniert, weil ( ) ( ) ⇒ ( ) ( )

( ) ( ) ⇒ und:

-

-

-

ist stetig, umkehrbar, und ist stetig.

Mögliche Lösung: ⁄ ]

⁄ ], wobei:

{

andere Lösung: ist :

Zylinder 𝑆 ⏟

𝑌

𝑋 ⁄


rot: (( )) ] (( )) ] ⏟

offen.

Falls und , dann .

Sei ⁄ Projektion:

( ) ist eine offene Umgebung von ( )]

: beschränkt und abgeschlossen ⇒ kompakt.

zur Erinnerung: kompakt stetig und umkehrbar ⇒ stetig.

- ist surjektiv: Seien ]

. Wähle ] so dass

⇒ ( ( )]) ( )

- ist injektiv: Seien ( )] ( )] ⁄ ]

( ( )]) ( ) ( )

( ( )]) ( ) ( )

( ( )]) ( ]) und

⇒ oder oder

( )] ( )] ( ) ( )

- ist stetig: Sei offen. Zu zeigen: ( ) ist offen.

( ) { ( )] ∣∣ ( ( )]) } { ( )] ∣∣ ( ) }

{ ( ) ∣∣ ( ) } { ( ) ∣∣ ( ) ( ) } ( ( ))

ist offen in stetig ⇒ ( ) ist offen in

Deswegen: ( ) ( ( )) ist offen genau dann, wenn:

( ) ( ) ( ) ( ) ⇒ ( ) ( )

stimmt, denn ( ) ( ) ⇒ ( ) ( )

Lem.: Seien zwei topologische Räume und stetige Abbildung.

Sei eine Äquivalenzrelation auf , s.d.: ⇒ ( ) ( ). Dann:

⁄ ] ( ) ist wohldefiniert und stetig.

Bem.: Übung: Sei ⁄ stetig und sei definiert als ( ) ( ]). Dann ist ste-

tig.

Einblick in die algebraische Topologie (kein Prüfungsstoff)

Beh.: und sind nicht homöomorph.

Bew.: Beweis durch Widerspruch: Sei ein Homöomorphismus. Sei

{ } { ( )}

{ } ] ] offen ⇒ { } nicht zusammenhängend.

{ ( )} ist zusammenhängend, da wegweise zusammenhängend

{ ( )} { } stetig ⇒ Widerspruch (da das Bild einer zshg. Teilmenge nicht-

zshg. ist)

Frage: und homöomorph?

Die erste Fundamentalgruppe:

Def.: Sei ein top. Raum. Eine Schlinge ist eine stetige Abb. ] s.d. ( ) ( ).

Bem.: Äquivalent dazu: Eine Schlinge ist eine stetige Abb. .


]

⁄ mit {

Bem.: Triviale Schlinge: mit ( )

Def.: Eine Homotopie zwischen zwei Schlingen und ist eine stetige Abb. ]

s.d.: ( ) ( ) ( ) ( ) .

Def.: und sind äquivalent, falls sie homotop sind ( ).

Lem.: ist eine Äquivalenzrelation.

Bew.:

- : ( ) ( )

- ⇒ : Sei eine Homotopie zwischen und : ( ) ( )

- und ⇒ : Sei Hom. zwischen und und zwischen und .

( ) { ( ) [

]

( ) [

]

Bem.: Sei top. Raum. Sei ( ) die Familie der Schlingen in .

Betrachte ( ) ⁄ { ] ∣∣ } ( ).

Sei Homöomorphismus: induziert eine Abbildung ( ) ( )

Sei Schlinge ⇒

umgekehrt: Schlinge ⇒ Schlinge

Ausserdem: ] Homotopie

]

Bem.: Sei . Dann ( ) ] stetig s.d. ( ) ( )

Homotopie zwischen und :

] ] stetig

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ⁄ . ] ] habe ] ] ] ( ) {

( ) [

]

( ) [

]

( ) ist eine Gruppe mit ], wobei

Inverses Element von ] ( ): ] ] ( ) ( )

06.11.2012

Bem.: Korrektur zu 1.11.:

𝛾 𝛾 𝜂 𝑝 𝑠


Auf [

]

haben wir ( ) ( ), wenn ( ) ( ) oder { } { } und

. ⁄ ]

( )] ( )

stetig, bijektiv.

Umkehrabb. stetig, da eine surjektive Abb. von kompaktem Raum auf Hausdorff ist eine offe-

ne Abbildung. Wir brauchen also: kompakt, Hausdorff.

kompakt, da ist stetig und surjektiv. Hausdorff, da z.B. ein metrisches Raum.


Teil II: „Klassische“ Fla chen in

Skript: N. Hitchin, Chapter 4: Surfaces in


Def.: Eine glatte/reguläre Fläche in ist eine Teilmenge , s.d. zu jedem Punkt eine

Umgebung existiert (induzierte Topologie), und eine Abb. offen,

( ) ( ( ) ( ) ( )), s.d.:

ist ein Homöomorphismus

( ) besitzt alle Ableitungen

in jedem Punkt von sind

und

linear unabhängig.

Def.: heisst Parameterdarstellung; heissen Parameter von .

Bem.: und linear unabhängig heisst:

(

)

(

)

hat maximalen Rang

( ( )) maximal s.d. ( )

( )( )

Bem.: äquivalent zur obigen Definition:

Für jeden Punkt Umgebung von in und eine offene Menge in

( ), sowie ein Diffeomorphismus

( ) ( { }) { } .

Bew.: mit implizitem Funktionensatz

Def.: Eine glatte Fläche ist eine Fläche mit einer Klasse von Homöomorphismen , s.d. jede Ab-

bildung ein glatter, invertierbarer Homöomorphismus ist.

𝑟 𝑉

𝑋 𝑈

𝑟 𝑣

𝑢

𝑟𝑣

𝑟𝑢

𝑊

𝑊

𝜓


Def.: Eine glatte Abbildung zwischen glatten Flächen und ist eine stetige Abb. , s.d.

für jedes glatte Koordinatensystem auf , das enthält, und definiert in einer

Umgebung von ( ) auf , die folgende Komposition glatt ist: .

Bsp.: (für Flächen in )

1) Kugel: ( ) in

( )

2) Torus:

( ) ( )( )

3) Ebene:

( ) für konstante Vektoren mit und linear unabhängig.

Def.: Eine Änderung der Parametrisierung ist die Komposition , wobei ein

Diffeomorphismus ist (invertiere Abb., sodass alle Ableitungen besitzen).

Bsp.: ( ) Ebene: ( ) besitzt eine andere Parametrisierung in Polarkoordinaten:

( )

Bem.: Wenn und linear unabhängig sind, dann auch ( ) und ( ) :

Falls ( ) ( ( ) ( )), dann folgt mit der Kettenregel:

( ) ( )

also:

(( )

( ) ) (

) (

)

Da eine differenzierbare Umkehrfunktion besitzt, ist die Jacobimatrix invertierbar.

Def.: Die Tangentialebene einer Fläche im Punkt ist der Vektorraum aufgespannt durch

( ) ( ).

Bem.: Die Tangentialebene ist unabhängig von der Parametrisierung.

Def.: Eine glatte Kurve, die auf einer Fläche liegt, ist eine Abb. ( ( ) ( )) mit allen Ableitun-

gen, s.d. ( ) ( ( ) ( )) eine parametrisierte Kurve in ist.

𝜑𝑈′ 𝜑𝑈

𝜑𝑈′

𝑈 𝑈

𝜑𝑈

𝜓 𝑓 𝜑

𝑓

𝜑 𝜓


Bem.: Das bedeutet: ( ) ( ) besitzen alle Abl. und

( ) ( ( )

( ))

( ) ( )

Bem.: Bogenlänge von zwischen und :

∫ | ( )|

∫ √

∫ √( )

∫ √

Def.: Die erste Fundamentalform einer Fläche in ist:

Bem.: Die erste FF ist eine quadratische Form ( ) auf den Tangentialraum. Eine Mat-

rix-Darstellung dieser quadratischen Form bezgl. Basisvektoren ist (

).

Bem.: Ausrechnen der Bogenlänge einer Kurve ( ( ) ( )) auf der Fläche:

∫√ (

)

(

)

Dies ergibt sich durch Division der FF durch und Multiplikation der Quadratwurzel mit .

08.11.2012

Bsp.: ( ) Tangentialebene

( )

Bem.: Jede Kurve einer Fläche ( ) lässt sich in der Form ( ) ( ) darstellen, d.h.:

( ) ( ( ) ( )) ist eine Darstellung der Kurve in

Bsp.: Ebene

( ) ( )

( )

(

) ( ) (

) ( )

(𝑢(𝑡) 𝑣(𝑡))

𝑡

𝑣

𝑢

(𝑢(𝑡) 𝑣(𝑡))

𝑟(𝑢(𝑡) 𝑣(𝑡))

𝑢

𝑣

𝑥

𝑧

𝑦

𝑖 𝑗

𝑟


Bsp.: Zylinder ( )

( ) ( )

(

) ( ) (

) ( )

( )

⇒

Bsp.: Kugel

( ) ( )

( ) ( )

( )⏟

( )⏟

⇒

Def.: Eine Fläche, die durch räumliche Drehung einer Kurve um eine fixe Gerade erzeugt wer-

den kann, heisst eine Rotationsfläche.

Bsp.: ( ) ( ( ) ( ) )

( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )

𝑢

𝑣

𝑧

𝑟

𝑥

𝑦

𝑣

𝑢

𝑢

𝑣 𝑟

𝑧

𝑥

𝑦

𝑣 𝑎 𝑝

𝑢

𝐴

𝑢

𝒞


( ) ( )

⇒ ( ( ) ) ( )

Bem.: Die erste Fundamentalform wurde eingeführt, um die Länge einer Kurve auf zu berechnen.

Aber sie hat noch einen weiteren Nutzen: Seien und zwei Kurven auf der Fläche , die

sich schneiden. Der Winkel, den sie bilden, wird so gegeben:

| ||

|

Darstellung für , ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

( ) ( ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )))

( ) ( ( ) ( ) ( ))

( ) (

) ⏟

( )

⏟

( )

( )

berechnen:

(

) (

) ⏟

⏟

(

) ⏟

Der Winkel also nur von der ersten Fundamentalform und von den Kurven ab.

Def.: Der Flächeninhalt von dem Bereich ( ) auf einer Fläche wird wie folgt definiert:

∫ | |

Bem.: Die Länge von entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den Vekto-

ren und aufgespannt wird:

( ) ( ) ⇒ (

)

Bem.:

∫ | |

∫√

𝛾

𝛾

𝛾

𝛾

𝑟

𝑢

𝑣

𝑋

𝑈 𝑝

𝑟𝑣(𝑝)

𝑟𝑢(𝑝)

𝑟𝑢 𝑟𝑣

𝑟(𝑈)


Bew.: | | |(

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

)|

(( ) ( ) ( ) ( ) ) (( ) ( )

( ) ( ) ) (( ) ( ) ( ) ( ) )

( )( ) ( )

Bem.: Die Definition vom Flächeninhalt ist unabhängig von der Darstellung.

Bew.: ( ) ( ( ) ( ))

⇒ ( )

zu zeigen:

∫ | |

∫ | |

Es gilt:

∫ | |

∫ | | | |⏟ ( )

( ) ( )

∫ | |

Bem.: Wir betrachten zwei Flächenstücke und , die durch je eine Darstellung

( ) ( )

gegeben sein mögen, und eine Abbildung von auf . Wir wollen diese Abbildung durch

Funktionen der Form

( ) ( ( ) ( ))

angeben.

Auf kann man neue Koordinaten ( ) einführen, indem man die Abbildungsfunktionen

und zu einer Koordinatentransformation benützt, d.h. wir wählen ( ) so, dass

( ) ( ( ) ( ))

Dann hat die Abbildung von auf in diesen neuen Koordinaten die einfache Gestalt:

Das heisst: Die Werte der Koordinaten jedes Bildpunktes stimmen mit denjenigen des zuge-

hörigen Urbildpunktes überein.

und haben die gleichen Koordinatensysteme.

Def.: Zwei Flächen und heissen isometrisch, falls ein regulärer Homöomorphismus

existiert, der Kurven in auf Kurven in der gleichen Länge abbildet.

𝑔

𝑟

𝑋 𝑋

𝑢

𝑣

𝑟

𝑢

𝑣 𝑢

𝑣 𝑟

𝑢 𝑢

𝑣 𝑣


Def.: Eine Abbildung eines Fächenstückes auf ein Flächenstück heisst isometrisch, wenn die

Länge jedes Kurvenstückes in mit der des zugehörigen Bildkurvenstückes in überein-

stimmt.

Bsp.:

- Wir nehmen ein Blatt und biegen es: die Länge bleibt gleich!

- Der Kegel und eine Teilmenge der Ebene sind isometrisch:

Bem.: Ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für die Längentreue einer Abbildung gibt fol-

gender Satz:

Satz: Eine Abbildung eines Flächenstückes auf ein Flächenstück ist genau dann isometrisch,

wenn bei Vorliegen gleicher Koordinatensysteme auf und für jeden Punkt von die

Koeffizienten der ersten Fundamentalform auf mit den Koeffizienten der ersten Funda-

mentalform auf in dem zu gehörigen Bildpunkt übereinstimmen.

Bew.: „⇐“: Sind die Koordinaten auf und diejenigen auf , so ist (da gleiche Koordina-

ten vorliegen sollen) die Abbildung von auf gegeben durch: .

Ist weiter ( ) ( ) ein beliebiges Kurvenstück auf . Das Bild

( ( )) kann wegen der Gleichheit der Koordinaten in der Form

( ) ( )

dargestellt werden.

Ein Teil ( ) ( ( ) ( )) von hat die Länge:

( ) ∫ √

und das zugehörige Bild hat die Länge:

( ) ∫ √ ( ) ( ) ( ) ( )

wobei der Strich die Ableitung nach kennzeichnet. Stimmen für jeden Punkt von die Koef-

fizienten mit den Koeffizienten des zugehörigen Bildpunktes überein, so ist

( ) ( ).

𝑣

𝑢

( (𝑡) (𝑡))

𝑃

𝒞 𝑃

𝒞

𝑟

𝑓

𝑟

𝑣

𝑢


„⇒“: Sollen umgekehrt und dieselbe Länge haben, sowie auch jeder Teil von und der

zugehörige Teil von , so müssen die Integranden beider Integrale übereinstimmen.

Soll die Länge jedes beliebigen Kurvenstückes auf mit derjenigen des Bildkurvenstückes auf

übereinstimmen, so müssen die Integranden für jedes beliebige Funktionenpaar ( ) und

für jeden Wert von gleich sein, d.h.: für jeden Punkt.

Bem.: Wir betrachten nun die grundlegende Frage nach der geometrischen Gestalt einer Fläche in

der Umgebung eines beliebigen Punktes dieser Fläche.

Wir betrachten eine Fläche ( ) und wir schieben sie in Richtung des Normalenvektors

um den Betrag nach innen. Damit erhalten wir eine Familie von Flächen, die von abhän-

gen: ( ) ( ) ( ).

Bem.: Für haben wir eine von abhängige Fundamentalform:

( )

Jetzt berechnen wir Folgendes:

|

( )|

( ( ) )|

( )

2. Fundamentalform

Bem.:

Während die erste Fundamentalform die innere Geometrie einer Fläche beschreibt, hängt

die zweite Fundamentalform von der Lage der Fläche im umgebenden Raum ab.

Die zweite Fundamentalform ist eine quadratische Form auf der Tangentialebene.

Für den durch die Parameterwerte und bestimmten Punkt der Fläche ist der Einheits-

normalvektor gegeben durch:

| |

��

𝑢

𝑣

𝑟

��

𝑟𝑢

𝑟𝑣

Tangentialebene


⇒ ( ) ⇒

( )

( ) }

⇒

Def.: Die zweite Fundamentalform ist folgende quadratische Form:

mit den Koeffizienten:

Bem.: Die zweite Fundamentalform ist dann die quadratische Form:

( )

Prop.: Falls die zweite Fundamentalform einer Fläche verschwindet ist, dann ist eine Teilmenge

einer Ebene.

Bew.: ⇒

( ⇒ ⇒ )

⇒( ) ( )

( ) ( )} ⇒ Konstante ⇒ Gleichung einer Ebene.

13.11.2012

Wiederholung: II. Fundamentalform einer Fläche:

Sei eine glatte 2D-Fläche, d.h. , so dass Umgebung von s.d.

( ), wobei offen und eine injektive Abbildung ist mit

linear unabhängig .

Tangentialebene: durch und aufgespannt. Normalenvektor:

| |

] ( ) ( ) ( )

⇒

fixiert : Erste Fundamentalform der „ -Fläche“.

Zweite Fundamentalform:

𝑛

𝑢

𝑣 𝑉 𝑟𝑢

𝑟𝑣 𝑟( 𝑣)

𝑟(𝑢 )

Σ

𝑅( )

𝑟( ) 𝑛( )

𝑟(𝑢 𝑣) 𝑅(𝑢 𝑣 )

𝑅(𝑢 𝑣 𝑡) 𝑡 𝜀


|

(

|

|

|

)

Bemerkung: , aber ist schon genug!

Satz.:

( )

Damit: ( ) ( ) ( )

Bew.:

( )|

( ( ) ( ))|

(( ) ( ))|

( )|

( )⏟

Bem.: ( )

Bem.: Ähnlich zur Hess’schen Form: (

)(

)

Satz: Sei Graph von mit . Sei ( ( )).

Falls ( ) , dann hat die zweite Fundamentalform folgende Gestalt:

[ ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ]

Bew.: Sei ( ) ( ( ))

( ) ( ) sind linear unabhängig

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⇒ ( ) ( ) ( )

Es gilt: ( ) ( ) ( )

| | ( )

( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )

⇒ ( )

Thm.: Wenn Graph von , dann:

√

( )

𝑥

𝑦

𝑧

𝑉

𝑖

𝑗 𝑛

𝑓(𝑥 𝑦)

𝑝


Bew.: ( ) ( ( ))

( ) ( ) ( ) ( )

|( ) ( )|

( )

√

( ) ( ) ( )

Kor.: Wenn zusammenhängend und , dann ist mit Ebene.

Bew.: In einer Umgebung von : die Fläche ist der Graph einer Funktion.

in ⇒ ⇒ ist eine lineare Funktion. In einer Umgebung von ist

.

Sei und so, dass in einer Umgebung von . Sei

{ ∣∣ }.

- ist offen wegen Definition.

- ist abgeschlossen in : Sei { } so, dass .

⇒ s.d. Ebene

⇒

⇒ offen und abgeschlossen, nichtleer! ⇒ zusammenhängend

Bem.: Die Fundamentalformen als „geometrische Objekte“:

⏟

⏟

( )⏟

-Diffeomorphismus

( ( ) ( ))

( ) ( ) ( ( ) ( ))

-

( ( ( ) ( ))) ⏟

⏟

-

linear unabhängig ⇒

linear unabhängig, falls (

) invertierbar ist Dif-

feomorphismus

⏟ ′

⏟

′

⏟

′

Lem.: (

) (

) (

) (

)

Bew.:

( ) ( )

( ) ( )

(

) (

) (

) (

)(

) (

)

Bem.: :

. Dann:

( )

𝑥 𝜋

𝑥𝑘 𝑈𝑘 s.d. Σ 𝑈𝑘 𝜋

Für 𝑘 𝑈𝑘 𝑈 ist offen

und Σ 𝑈𝑘 𝑈 nichtleer


Bew.: ( ) ( )

(

) ( )

( ) ( )

(

) ( )

( )

(

) (

) (

) (

)

( )

(

)(

)

Beh.:

Bew.:

( ) ( )

( ) ( ) ⇒ {

15.11.2012

Rep.: (

) (

) (

) (

)

Bem.: ⟨

⟩ ⟨ ⟩

( ) ( ) ⇒

⇒

|

|

| |

| |

Lem.: (

)

′

′

| ′

′ |

| | ( )

(

)

′

′

| ′

′ |

| | ( )

Bem.: Also im Fall A: ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ( ))]

Im Fall B: ( ) ( ) ( )

Kor.:

Im Fall ( ): (

) (

) (

)(

)

Im Fall ( ): (

) (

) (

)(

)

Bew.: (Fall A) Es gilt: (

)⏟

( )

(

) (

) (

)

⏟ ( )

weil gleich der ersten Fundamentalform der Fläche {( ) ( )}.

Für klein genug ist ( ) ( ) in eine Parametrisierung einer Fläche.

(

)

( )|

( )|

(

) (

)(

)

Def.: Die Gauss’sche Krümmung K ist:

(

)

(

)

(

)

Bem.: ( ) ( )

( ) ( )

⇒ ′ ′ ′

′ ′ ′


Bem.:

- ist positiv deviniert! (weil lin. unabh.)

- ( ) ( ( ) ( )) ist Diffeo.

Thm.: Theorema Egregium

Die Gauss’sche Krümmung hängt nur von ab (d.h. zwei isometrische Flächen haben die

gleiche Gauss’sche Krümmung).

Bsp.: ] ( ) ( ) Fläche

] ( ) ( ) Zylinder

Bem.: Die Länge einer Kurve bleibt gleich!

( )

( ) ( ) ( ) ⇒

Bem.: Die zweite Fundamentalform einer Ebene ist 0. Wenn die zweite FF 0 ist, dann ist die

Fläche ein Teil der Ebene:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ⇒

( ) ⇒

( ) ⇒

( ) (

)

(

) ( )

(

)

(

)

Bsp.: Sphäre und Ebene sind nicht isometrisch, d.h. { ( ) ∣∣ }

und { ( ) ∣∣ ( ) } sind nicht isometrisch, d.h.:

s.d. (1FF von ( ) ) (1FF der Ebene)

Bew: ( )

(UE) ( )

Bew.: des Theorema Egregium

Bem.: Sei eine Fläche und eine Parametrisierung. ein Vektorfeld

auf ( ) ( ( ))⏟ ( )

Projektion auf die Tangentialebene von

:

( ) („kovariante Ableitung“)

Bem.: Wenn tangential ist, dann hängt nur von und von ab.

Bew.: ( ) ( )

( )⏟

( )

⏟


⇒ (

) (

) ( ) ⇒ (

) (

)

(

)

⇒ ( )

(

)(

)

⇒

( )

( )

Damit:

( )

( ( ) ( ))

( ( ) ( ))

Wichtig: ( ) ( ) ( )

( ): Eine Funktion von ( ) ( )

Behauptung: sind alles Ableitungen von der 1FF:

-

( )

-

( )

- ( ) ( )

-

Also sind ( ) usw. alles lineare Kombinationen von

.

( ) und ( ) heissen Christoffel Koeffizienten.

Def.: Die Riemann’sche Krümmung ( ist Tangentialvektorfeld):

( )

Bem.: Schritt 1: Beh.: ( ) : Drehung von mit Winkel

Folgerung: ist eine Funktion der und ihrer Ableitungen

Bsp.: ⇒ ( ) ( )

(( ) ( ) )

Schritt 2: (Die Riemann’sche Krümmung ist fast die Gauss’sche Krümmung)

√ ⇒

√

Damit: Funktion von und ihrer Ableitung.

20.11.2012

Schritt 1:

( )

| |

Wenn

( ) ⏞

Beh.: ( ) „Drehung von

“ ( )

Länge: | |


Schritt 2:

√

Schritt 1 + Schritt + letzte Vorlesung: ⇒ ist eine Funktion von und ihrer Ableitungen.

( hängt von und Abl. ab)

Schritt 2 ⇒

√ ⇒ ( )

Bew.:

Schritt 1:

Lem.1: ( ) ( ) ( )

Bew.: HA

Lem.2: ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

Bew.: ( ) ( ) ( ( ) ) mit Lem.1 berechnen

Lem.3: | | √| | | | ( )

Damit:

( )

[Bem.: Vektorfeld mit | |, dann ]

( )

( ) ( ) ]

( ) ⏟

( ) ⏟

( )

]

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

⏟ ( )⏟

( ) ( ) ( ) ( )

𝑎 𝑅(𝑢 𝑣 𝑎)

Σ

𝜋

𝑛

𝑛𝑣 𝑇𝑝Σ

𝑛𝑢


, falls und linear abhängig sind.

( )

| | | |

Schritt 2:

gesucht:

( ) ( ) | |

( ) ( )

√| | | | ( )

( ) ( )

√

( )( ) ( )( )

√

√

Also hängt die Gauss’sche Krümmung von ab.

Gauss-Bonnet: (kein Prüfungsstoff)

- geodätische Krümmung einer Kurve

- Geodäte („Gerade“)

- ∫ ( )

in der Ebene: die Summe der Winkel eines Dreiecks ist , aber:

Kugel: | |

4

⇒

Betrachte den Kreis als eine Gerade, dann haben wir ein Dreieck

Summe der Winkel ist hier

Bem.: Eine glatte Kurve: ] ⇒ : Geschwindigkeit, : Beschleunigung

Parametrisierung nach Bogenlänge: | |

Wenn eine Parametrisierung nach Bogenlänge ist, dann heisst die Krümmung.

| | ⇒

| |

Kor.: Die Krümmung ist orthogonal zur Kurve.

𝑛

𝑛 𝑎

𝜋

𝑎

𝜋

𝜋 ⁄

𝜋 ⁄

𝜋 ⁄


Bem.: Krümmung ist unabhängig von Parametrisierung: Falls andere Parametrisierung: ( )

( ), dann: ( ) ( ) ( ) ( ).

Def.: Die geodätische Krümmung einer Kurve auf ist die Projektion von auf ( Parametri-

sierung nach Bodenlänge).

Def.: Die Geodäte ist eine Kurve mit geodätischer Krümmung .

Bem.: Die Geodäte ist der kürzeste Weg!

Def.: Sei eine Fläche, das normale Einheitsvektorfeld, eine Parametrisierung

einer Kurve nach Bogenlänge. ( )

Bem.: ( ) ( )]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Thm.: Gauss Bonnet

Parametrisierung einer Fläche mit .

| |

Behauptung:

∫

∫

⇒ mit (da )

Bem.: Zusammenhang mit Winkel in Dreiecken

nicht „genug differenzierbar“, deshalb Theorem falsch (sonst in einer Ebene ‼)

∫ ∫

⇒ ∫ ( )

( ) ∫

∫

𝑅

Kurve 𝜂 𝐶

𝛾 Ω 𝑟(𝑅)

𝑟

𝛾

𝛾

𝛾 𝛾 𝛾 𝛾 Geodäten


Teil III: Mannigfaltigkeiten

Skript: N. Hitchin, Differentiable Manifolds


1. Mannigfaltigkeiten

22.11.2012

Zwei Definitionen für Mannigfaltigkeiten:

„übliche“ Def. (T)

moderne Def. (Skript) (M)

Def.: Karte

(T) Sei ein topologischer Raum. Eine Karte ist ein Paar ( ), s.d.:

1) ist offen

2) ist ein Homöomorphismus zwischen und ( ).

(M) Sei eine Menge:

1) ( ) ist offen

2) ( ) ist eine bijektive Abb.

Bsp.: Parametrisierung eines Teils von : ( ) ( ( ))

| ( ) ( ). Dann ist ( ) eine Karte.

Bsp.:

Def.: ( ) ( ) sind kompatibel, falls:

entweder

oder: falls , dann ( )⏟

( )⏟

ist ein Homöomorphismus.

Bsp.:

Bem.: auch ( ) ist Homöomorphismus.

Def.: Ein Atlas von ist eine Familie von Karten {( ) } s.d.

1) ⋃ ({ } ist eine Überdeckung von )

2) { } s.d.

3) sind ( ) und ( ) kompatibel.

ZH 𝑟

𝜑

𝑋

𝑉

𝑈

𝜑(𝑈 𝑉)

𝜑

𝜑

𝜓

𝜓 𝜑


Bsp.:

( ) ( )

Übung: Beweis der Kompatibilität von ( ) und ( ).

Def.: Mannigfaltigkeit

(T) Eine Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum , der einen Atlas besitzt. Die Zahl in 2)

der Def. eines Atlas ist die Dimension der Mannigfaltigkeit.

(M) Eine Mannigfaltigkeit ist ein Paar ( ), wobei eine Menge und ein Atlas ist. Aber zwei

Paare ( ) ( ) sind die gleiche Mannigfaltigkeit, falls ( Bijektion), und jede Kar-

te in ist kompatibel zu jeder Karte in .

zusätzlich:

ist ein Hausdorff Raum ( ).

besitzt eine abzählbare Basis.

Bem.: Im Fall ( ) sind zwei Karten immer kompatibel:



( ) ( )

( ) im

( ) im

Es gibt ein Theorem, das besagt, dass .

Kor.: Die Struktur der Mannigfaltigkeit im Fall ( ) hängt nur von der Topologie ab.

Def.: Im Fall ( ) definieren wir wie folgt eine Topologie auf :

Eine Menge ist offen, falls Karte ( ) ist ( ) eine offene Menge in

.

Bem.: Mit dieser Topologie ist eine Mannigfaltigkeit gemäss ( ).

Def.: Für schreiben wir: , falls analytisch ist.

Def.: Sei ( ) eine Mannigfaltigkeit mit einem Atlas. definiert eine Struktur (wobei

{ } { }), falls ( ) ( ) ist ein -Diffeomorphismus: i.e.

und .

𝑥

(𝑈 𝜑 )

(𝑈 𝜑 )

𝜑 (𝑥)

𝜑 (𝑈 𝑈 )

𝑈 𝑉 𝜓 𝜑


Def.: Zwei -Strukturen ( ) und ( ) sind -äquivalent ( ), falls ( )

( ) gilt: und .

Bem.: Wenn zwei Strukturen -äquivalent sind, dann sind sie auch -äquivalent.

Für Mannigfaltigkeiten mit Dim. 1,2,3 gilt: -Äquivalenz ⇒ -Äquivalenz.

Bem.: Ab jetzt nur noch -Mannigfaltigkeiten (das spart uns einige Probleme).

Lem.: Falls ein Diffeomorphismus ist, dann muss sein.

Bew.: diffbar, so dass , mit .

( )

Kettenregel:

| ( ) | ( )| .

Deshalb: | ( ) ist die Umkehrung der linearen Abb. | ⇒ .

Thm.1: Sei eine -Abbildung mit ( { }) { }. Sei ein regulä-

rer Wert (d.h. | hat Rang (= maximalen Rang) ({ })).

Falls ({ }) , dann hat ({ }) eine Struktur als -Mannigfaltigkeit mit Dimension

.

Thm.2: Implizites Funktionentheorem

Sei . Sei s.d.

( )

( ) linear unabhängig sind.

Dann: Für ( )

Umgebung von Umgebung von und s.d.:

({ }) {( ( ) ( ))

Bem.:

linear unabhängig ⇒ linear unabhängige Zeilen ⇒ Rang von | ist .

| (

)

27.11.2012

Bew.: von Theorem 1:

- Schritt 1: Sei ({ })⏟

. Wir suchen eine Karte, d.h. eine Abbildung , so dass:

ist eine offene Umgebung von mit offene Umge-

bung von


Dann ist ( ) eine Karte.

(𝑥 𝑥 𝑓(𝑥 𝑥 )) 𝑉

𝑚 𝑛


| (

( ) ( )

( )

( )

)

( | ) ⇒ linear unabhängige Spalten, z.B. die letzten .

( ) ( ( ) ( ) ( ))

| ist invertierbar (kommt im Beweis zum Impliziten Funktionentheorem vor)

Mit dem inversen Funktionentheorem folgt: offene Umgebung von so dass:

( ) ist ein -Diffeomorphismus.

Dann ist eine offene Umgebung von in .

Falls : ( ) ( ( ) ( )⏟ ( )

) ({ })

⇒ | { }⏟ ( )

Deswegen: ( )⏟

( ) { ( ) ∣∣ ( ) ( ) }

Wenn ( ) ( ), und (( )) :

( ) ( ( )) ( ) ⇒ ( ) ⇒

Also: ( ) { ( ) ∣∣ ( ) ( ) }

Ausserdem: | und stetig ⇒ stetig

Wenn ( ) ( ), dann ( ) (( )) ( stetig ⇒

stetig)

- Schritt 2: { ( ) ∣∣ } ist ein Atlas, d.h.:

( ) ( ) ist ein -Diffeomorphismus.

Seien ( ) und ( ) zwei verschiedene Karten mit .

| { }

⇒ ihre Umkehrung ist

.

Deswegen: ist ein -Diffeomorphismus!

Noch zu kontrollieren:

Abzählbare Basis für die offenen Mengen?

Ja: wir haben die traditionelle Definition von Mannigfaltigkeit benutzt: die Topologie auf

ist die Unterraumtopologie . hat eine abzählbare Basis ⇒ auch!

Ist Hausdorff?

Ja: wieder weil

Bsp.: {| | }

{(𝑦 𝑦𝑛 𝑐)}

𝑛

𝑝 𝑞

𝜑𝑞 𝜑𝑝

𝐺𝑝 𝐺𝑞


( ) | |

⇒ ({ }). Ist ein regulärer Wert?

| (

( )) ( ) hat Rang s.d. .

Es gilt: ( )

⇒ mindestens eine Zahl ist ! ⇒ regulärer Wert

Theorem ⇒ ({ }) ist eine Mannigfaltigkeit.

Bsp.: Für :

( )

( )

( )

( ) ( ( ))

( ) ( ( ) ( )⏟

)

| ( )

ist die Projektion auf die ersten zwei Koordinaten.

Bem.: Für ( ) haben wir

( )

( )

( )

( ) ( ( ) )!

( ) ( )

Bem.: Für nicht auf Achse:

⇒

( )

( )

( )

⇒ könnte ( ) ( ) ( ) sein!

Bem.: mit dem Beweis ist immer eine Projektion auf eine Ebenen ( ) wenn diese Ebene das

normale Vektorfeld nicht enthält.

Def.: Seien und -Mannigfaltigkeiten. Sei eine stetige Abbildung. Sei . Dann

ist , falls für jede Karte ( ) in und jede Karte ( ) in ist

( ( ) ⏟

) ( ) eine -Abbildung.

Bem.: ( ( ) ) , wobei

𝑥

𝑥

𝑥

𝑝 ( )

𝑉 𝑉

𝜑𝑞 𝑉


( ) , wobei

bedeutet: besitzt alle Ableitungen mit Ordnung , und sie sind stetig.

Bem.: müssen zeigen, dass die Definition nicht vom Atlas abhängt!

Sei ( ) eine Karte von einem anderen Atlas, der mit unserem Atlas von -kompatibel

ist:

⏟

( )⏟

2. Tangential- und Kotangentialvektoren

Def.: Eine Abbildung ist , falls Karte ( )

Bem.: Was ist die Ableitung einer -Funktion?

partielle Ableitung meiner Karte

( ) ( )] ∑

( )

( )

⇒ partiellen Ableitungen müssen nicht gleich sein (ausser, wenn die Ableitungen einer Karte

)

Def.: Ein kritischer Punkt von mit ist ein Punkt s.d. Karte ( ) mit

und [

( )] ( ( )) { }.

29.11.2012

Bem.: Ab heute: -Mannigfaltigkeiten

Def.: Sei eine Mannigfaltigkeit mit Dimension und . Der Kotangentialraum an der Stelle

ist:

( )

⁄

Bem.: Vektorraum ( ) { }

ist Untervektorraum von ( ). { ( ) ∣∣ }

Idee: ist der Raum der Ableitungen von ( ) an der Stelle .

z.B. in : ist die „lineare Approximation“ an der Stelle

d.h.: ist linear und

( ) ( ) ( ) (| |) ( )⏟

( ) (| |)⏟

Also: ( ) ⏟ ( )

, d.h. ( )

( ): linear s.d. ( ) ( ) mit linear

Bem.: ( ( )) ( )

(𝑥 𝑥𝑛)

(𝑥 𝑥𝑛)

𝜑 𝜓


und so dass auf ( )

Def.: Falls ( ) und , dann bezeichnet die Äquivalenzklasse von in .

Bem.: Sei ( ) eine Karte auf :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) -te Koordinate von ( )

Für ( ) ( ) ( ) ⇒ ( ( )) s.d. ( ( )) ( )

Sei ( ( ( )) s.d. auf

( ( ))

( ) ( ) ( ( )) ( )

Wir setzen fort auf

Zusammenfassung: in einer Umgebung von und ( )

Bem.: ( ) ist nicht trivial!

Idee:

in einer Umgebung von

⇒ ist ein kritischer Punkt von ⇒

Def.: ( ) { ( ) ∣∣ ( ) }

Träger kleinste abgeschlossene Menge , in dessen Komplement die Funktion verschwin-

det: |

Lem.: Seien zwei Funkionen in ( ) mit in einer Umgebung von ( ).

Seien ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( )). Dann:

Bew.: ( ) und in einer Umgebung von :

Bem.: Statt oder schreiben wir: ( ( ), weil sie ist nun auf definiert!)

𝜌 𝑟 𝜌 𝑟

𝑥

𝑥

𝑛

𝑈 𝜓 (𝜓 𝜓 )

𝜓(𝑈) 𝛼

𝛼 𝜌


Thm.: Der Kotangentialraum hat Dimension (die Dim. von ). Falls

eine Karte,

( ) ist, dann sind

eine Basis für .

In der Tat:

∑

( ( ))

( )

Im ist eine lineare Abbildung.

∑

Bew.:

sind Elemente von .

Wir beweisen zuerst die Formel (die sagt uns, dass ⟨

⟩)

Die Formel behauptet:

( ) ( ) ∑

( ( )) ( )

hat einen kritischen Punkt in , d.h. hat einen kritischen Punkt in ( ).

( ) ( )⏟ ( )

∑

( ( ))

( )( )

( )

( ( ))

⇒

( )( ( ))

hat in ( ) einen kritischen Punkt.

Schritt 2:

sind linear unabhängig:

Sei ∑ , d.h. ∑ ( )

( ) hat einen kritischen Punkt an der Stelle

( ) ∑ hat einen kritischen Punkt an der Stelle ( )

( ( ))

⏟

Insgesamt: ⇒ ⇒

sind linear unabhängig.

Not.: ∑

Def.: Der Tangentialraum ist der Dual des Kotangentialraumes.

(d.h. lineare Abbildungen )

(𝑥 𝑥𝑛) 𝜓(𝑈)

𝜓

𝑓(𝜓 (𝑥 𝑥𝑛))


Bem.: Wenn wir eine Karte ( ) fixiert haben, ist eine Basis für . Dann schreiben

wir

für die Dualbasis auf .

Idee: Die Vektoren in unserem Tangentialraum sind die Vektoren, die wir benutzen können, um

Funktionen abzuleiten, die nur auf der Fläche definiert sind.

Bem.: ( ) . ∑

( )

( )

⇒ ( ) ∑

( ) ( )

( )

Falls

, dann: ( )

( ), weil:

( ) {

Def.: (zweite Definition für Tangentialraum)

Sei . Ein Element ist eine lineare Abbildung ( ) mit folgender

Eigenschaft:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (Leibniz-Regel)

Thm.: Beide Definitionen des Tangentialraumes sind gleich: .

Bew.: In der ersten Def. ist

eine Basis von .

( ) ∑

⏟

( ) ∑

( ( ))

( ) ist eine lineare Abbildung ( )

( ) ∑

( )( ( ))

∑

( ( ))

( )( ( )) ∑

( )

( ( ))⏟ ( )

( ) ( ) ( )

Damit:

∑

ist eine lineare Abbildung. Zu zeigen: es ist ein Isomorphismus.

- „injektiv“: Sei . Dann: ( ) . Also: ⇒

- „surjektiv“:

Lem.: Sei ( ) und ein kritischer Punkt von . Dann gilt ( ) mit der

Leibnizregel an der Stelle , dass ( ) .

Damit: ⏟

( ( ) )

04.12.2012

Bem: von den 3 ausgeteilten Blättern (Bew. des Theorems):

∑

( ( ))


∑ (

)

( ) ∑

( )

( )

Bem.: ( ), dann ist ( ).

Def.: Die Ableitung in von ist der Homomorphismus von Tangentialräumen:

( )

definiert durch

( )( ) ( )

Bem.: Diese Definition ist koordinatenunabhängig.

Bem.:

1) Falls , dann ist genau die Differentialabbildung d.h. ( ), wo-

bei die Jacobimatrix ist.

((

) ) ( ) (

) ( )

( )( ) ( ) ⏟

-

( )

2) und -Mannigfaltigkeiten

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) (( ) ) ( )( ) ( ( ) )( )( )

[⇒ ( ) , Karte]

Prop.: bzw. -dimensionale -Mannigfaltigkeiten, ( ) ( )

Karte von um , ( ) lokale Karte von um ( ).

Dann ist die Matrixdarstellung von ( ) bezüglich

{(

) (

) } und

( ) {(

) ( )

(

) ( )

}

genau die Jacobische Matrix von , d.h.:

((

) ) ∑ (

)( ( )) (

) ( )

∑

(

) ( )

Bew.: ] ( ) ⏟ ( )

-te Spalte von ( ) ist [ ((

) )]

( )

. Daher möchten wir ((

) ) in der Basis

{(

) ( )

(

) ( )

} schreiben.

( ( )) )

( )( ) )

( ) ( )

Sei ( )( ( )) (

)( ( )). Dann:

((

)

) (( ) ( )) ( ( ) )

( ( ))


∑ ( ( ) )

∑ (

) ( )

Kor.: ( ) ( )

(

)|

∑ (

)( ( )) (

)

Bew.: wie oben mit

Satz.: Sei , , s.d. in jedem Punkt ( ) die Ableitung surjektiv ist.

Dann ist ( ) eine -Mannigfaltigkeit der Dimension .

Bew.: analog zu früher

Def.: Eingebettete Mannigfaltigkeit

Eine Mannigfaltigkeit ist eine Untermannigfaltigkeit von , wenn es eine Inkusionsabbil-

dung gibt mit

1) ist

2) ist injektiv,

3) Die Topologie der Mannigfaltigkeit auf ist die induzierte Topologie auf .

Bem.: warum braucht man 3)?

z.B. ( ) ( ( )) für ( ).

offene Umgebung von . schneidet die Karte in ( ) und in ( ) ⇒

( ) ist nicht offen in der induzierten Topologie (da auch ( ) ent-

hält).

3. Vektorfelder

3.1 Tangentialbündel

Bem.:

∐

⋃{ }

ist -dimensionale Mannigfaltigkeit.

Sei ( ) lokale Karte für um . Dann bilden (

) (

)

eine Basis für . Wir

kriegen eine Bijektion:

definiert durch:


( ) ∑ (

)

Damit:

( ) ∐

( )

06.12.2012

Bem.:

∐

⋃{ }

∐

( ) ∑ (

)

( ) ∐

( )

ist offensichtlich eine Bijektion.

⋃ { }

⇒ ⋃

Sei Karte auf .

Für gilt:

( ) ( ) offen (in ), da ( ) offen

( ) Koordinaten auf ( ) Koordinaten auf , dann:

( )

Wegen vorhergehendem Korollar:

(

)

∑ (

)

⏟

(

)

Damit:

( ) ( ∑

∑

)

Die Jacobi-Matrix ist , linear in und invertierbar. Deshalb ist auch mit -

Inverse und ( ) definiert also einen Atlas.

Def.: Das Tangentialbündel von ist die -dimensionale differenzierbare Struktur auf , defi-

niert durch obigen Atlas.

Bem.: Falls Hausdorff und , dann auch .

Bem.: Die Projektionsabbildung , die einem Vektor den Punkt zuordnet, ist

glatt mit surjektiver Ableitung. In lokalen Koordinaten:

( ) ( )

Damit:


( )

( )

Die inverse Abbildung ( ) ist der Vektorraum , und wird als Faser von der Projektion

bezeichnet.

Def.: Ein Vektorfeld auf ist die -Abbildung:

s.d.

Bem.: Da , gilt in lokalen Koordinaten:

( ) ( ( ) ( ))

wobei ( ) glatt sind. Damit ist der Tangentialvektor ( ) gegeben durch:

( ) ∑ ( ) (

)

Bem.:

1) Projektion

Dann heisst die -Abb. mit ein Schnitt (falls , das ist z.B.)

2) Natürlich kann man die analoge Konstruktion mit dem Kotangentialraum statt mit

machen, indem man als Basis ( ) ( ) anstatt der Dualbasis (

) (

)

be-

nutzt.

Prop.: Folgende Aussagensind äquivalent:

i) ist ein Vektorfeld

ii) Für jedes ( ) ( ) ist

iii) Für jede Karte ( ) auf , ( ) haben wir in der lokalen Repräsentation (mit

( )):

( ) ∑ ( ) (

)

3.2 Vektorfelder als Ableitungen

Bem.: Sei ( ) und ein Vektorfeld.

( )( ) ( ) ( ( )( ))

Satz: Sei ( ) ( ) eine lineare Abbildung, die die Leibnizregel erfüllt: ( )

( ) ( ). Dann ist ein Vektorfeld. Umgekehrt stellt jedes Vektorfeld eine solche

Abbildung dar.

Bew.:

- „⇐“: Sei ein Vektorfeld. In lokalen Koordinaten:

( )( ) ∑ ( ) (

)

( )

( )

∑ ( ) ( )

( )


Da ( ) sind, ist ( ) und erfüllt die Leibnizregel: ( ) ( ) ( ) (wende

bei ( ) die Leibnizregel für Tangentialvektoren (

)

an).

- „⇒“: Für jedes erfüllt ( ) ( )( ) die Bedingungen für den Tangentialvektor,

also definiert eine Abbildung mit , die lokal geschrieben werden

kann als:

∑ ( ) (

)

Noch zu zeigen: ( ) sind glatt. Nehme die Koordinatenfunktion ( ) und multipli-

ziere mit einer Testfunktion (glatte Funktion mit kompaktem Träger). So erweitert man zu

einer Funktion aus ( ) (wieder mit bezeichnet). Mit der Leibnizregel erhält man:

( ) ( ).

Bem.: Seien und zwei Vektorfelder. Dann kann man die Komposition bilden: ( )

( ( )) ( ) ( ( )) ( ).

( ) ( ( ) ( )) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ( ) ( )) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

Lie-Klammer: ] ( ) ( ) linear

⇒ Leibnizregel: ]( ) ( ] ) ( ] )

⇒ ] ist ein Vektorfeld.

3.3 Die Ein-Parametergruppe von Diffeomorphismen

( ( ))

Def.: -Mannigfaltigkeit. Die Ein-Parametergruppe von Diffeomorphismen von ist eine -

Abbildung s.d.:

a) ( ) ( ) ist ein Diffeomorphismus

b)

c)

11.12.2012

Bem.: ( )

Die Abbildung ( ) ( ( )) ist

( ( ))|

( )( )

( ) ist eine Ableitung. In der Tat:

- Linearität: ( )

|

( )

|

( )

( ) ( )

- Leibnizregel:

( )

|

( )

|

( )


(

|

) ⏟

|

( ) ( )

ist dann auch ein Vektorfeld!

In Koordinaten: Sei ( ) eine Karte, ( )

( ) ( ( )

( ))

|

( ( ))

|

( ( )

( )) ∑

(

( ) ( ))⏟

( )

( )

∑

( )

( )

( )( )

Seien

( )

( ) ∑

Umkehrung: Sei gegeben. Wir suchen eine Ein-Parameterfamilie von Diffeomorphismen

s.d. ( )

|

.

Bem.: Was passiert, wenn wir schon kennen und

|

berechnen?

|

( ( )) ∑

( ( ))

( )

( )

( )

⇒ ( ) ( ( ))

|

( )

|

( ( ( )))

( ( ))

⇒

( )

( ( ))

Bem.: Damit: Sei ∑

ein gegebenes Vektorfeld.

Ich suche dann ( ) s.d. ( ) ( ( )

( ))

{

( ) ( ( ))

( )

Sei fixiert. Wir definieren: ( ) ( ( )

( )), dann:

{

( ( )) { }

( )

( )

System von GDG mit Anfangswert . Analysis III ⇒ und ] s.d. ( ) gilt. Pi-

card-Lindelöf: lokal lipschitz genügt für die Existenz

Bem.: Mehr über Picard Lindelöf:

- Die Lösung ( ) ist eindeutig.

- Wenn eine kompakte Menge, ( ) s.d. die Lösung auf dem Intervall

] existiert.


- ( ) ] ( ) ( ) ist eine -Abbildung, wenn .

Thm.: Wenn kompakt ist, -Vektorfeld auf , ] , s.d.

( ) ,

und in jeder Karte , wobei ∑

, haben wir:

( ) ( ( )) { }

Bew.: durch die Kompaktheit

Kor.: Gleiche Voraussetzungen: Ein-Parametergruppe von Diffeomorphismen s.d.

|

( )

(Deswegen: )

Bew.: Wir behaupten:

a) jede ( ) ( ) ist ein Diffeomorphismus

b) ( ) ( )

c) ]

b) folgt aus c): Setze , dann: ( ) ( ( )) ⇒ ( ( ))

c) ist Konsequenz der DGL ( ) und Eindeutigkeit der Lösung:

( ) ( ) ist die Lösung von

{

( ( ))

( )

( ) ( ) ist die Lösung von

{

( ( ))

( ) ( )

Wegen der Eindeutigkeit der Lösungen von GDG:

( )

( ) ( ( ))

Sei ] :

sei s.d. ( )

]

( ) ⏟ -

( )

] ( ) ] ]

:

( ) ⏟ -

( )

3.4 Das Lie-Klammer-Produkt

Seien zwei Vektorfelder.

] ist das einzige Vektorfeld s.d. ( ) ( ( )) ( ( ))

Bem.: Sei die Ein-Parametergruppe von Diffeomorphismen s.d.

|

( ).


ist das folgende Vektorfeld: ( ) (

) ( )( ( ))

Bem.: ( ) ( )

( ) ( ) ( )

deshalb: ( ) ( ) ( )( ( ))

Bem.: ( ) ( ) ( )( | ( ))

Satz:

|

]

Bew.: Im Skript gibt es eine „geometrische“ Erklärung. In Koordinaten: eine „algebraische“ Erklä-

rung.

4. Das Tensorprodukt

Def.: Seien endlich-dimensionale Vektorräume auf . Wir definieren das Tensorprodukt

wie folgt:

a)

b) ist bilinear:

( )

( )

Bem.: Das heisst: ⁄ , wobei:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Satz: hat die folgende universelle Eigenschaft:

Falls eine bilineare Funktion ist, dann linear, so dass

( ) ( ).

Bem.: Praktisch: Falls Basis für und Basis für , dann ist { } { }

{ }

eine Basis für .

Ein Element kann dann geschrieben werden als:

∑

Bem.: Falls , dann haben wir , und wir können auch das dreifache Tensorprodukt bil-

den:

∑

weiter:

∑

Bem.: Tensoralgebra:

( ) ⨁

deswegen sieht ein Element ( ) wie folgt aus:


∑

∑

∑

Bem.: Das Tensorprodukt von erhalte ich als:

( )

+ Distributivgesetz

4.1 Äussere Algebra

Def.: ( ) das kleinste Ideal, das { ∣ } enthält. Die äussere Algebra ist der Quotient

( ) ( )⁄

( )

13.12.2012

Def.: äussere Algebra (alternative Definition)

Sei ein endlich-dimensionaler, reeller Vektorraum und sei sein Dual ( ).

{ }

{ ⏟ -

}

Bem.: multilinear: ( ) ( ) ( )

alternierend: ( ) ( ) ( )

( ( ) ( )) ( ) ( )

( ( ) )

Bem.: Falls , dann ist jede multilineare, alternierende Funktion von Variablen

null: { } !

Def.: Seien , d.h. ist linear, .

( ) ( ( )) ( ( ) ( )

( ) ( )

)

Lem.:

Bew.: ( )

( ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

)

( ) (

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

)

( )

(

( ) ( )⏞

( ) ( )

( )

( ) ( )⏟

( ) ( )

( ))


(

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

)

( ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

)

( ) ( )

Bem.:

Bew.: ( )

(

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ))

( )

(

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ))

( )

Thm.: Wenn eine Basis für ist, dann:

{ ∣∣ } ist eine Basis für ( { }).

Bem.: ⇒ { ∣∣ } hat Dimension 1

die Determinante ist die „einzige“ (bis auf Produkt mit einem Skalar) multilineare Abbil-

dung von Variablen auf einen -dimensionalen Vektorraum.

Kor.: ( )

Def.: { } mit { } , dann: .

Bew.: des Theorems

- „linear unabhängig“: Sei { { } }

Sei ∑ . Zu zeigen: .

Sei die Dualbasis zu , d.h. ( ) {

Sei { } . Dann:

∑ ( )

⏟

Für { } haben wir:

( ) (

( ) ( )

( ) (

)

)

Falls : ( ) (

)


: ( ) (

)

⇒ aber ist beliebig ⇒ { ∣∣ } sind linear unabhängig!

- „erzeugend“: : Suchen s.d.:

∑

Sei die Dualbasis. ( )

( ) (∑ ∑

) ∑ ( ∑ )

∑ ∑ (

)⏟

{ }

( ) ∑ (

)

( )

Sei : ( )

( ) ∑ ( )

⇒ ∑ ⇒ ∑

Def.: Das allgemeine Keilprodukt (Dachprodukt, äusseres Produkt):

∑

∑

∑

Bsp.: Basis für

( ) ( ) ⏟

⏟

Satz:

a) ( )

b) ( )

c) ( ) für ⋀ ⋀

Bew.: a),b): UE

c) { } { }

∑

∑ ( )


( )

( )

( )

Def.: Äussere Algebra von :

Def.: Sei eine lineare Abbildung.

Wir definieren die lineare Abbildung wie folgt:

(∑ ) ∑

Thm.: ist wohldefiniert, d.h. unabhängig von der gewählten Basis.

Bem.: Sei mit Basis . Sei linear und die entsprechende Mat-

rixdarstellung, d.h.: ∑ .

( ( )) (∑ ( ) )

( ) ( ( ))

( )

⇒ ( )( ) ( )

deshalb:

18.12.2012

5. Differentialformen

Sei eine glatte ( ) Mannigfaltigkeit mit Dimension .

: Kotangentialraum: { ∣∣ ( ) }

: Tangentialraum { ∣∣ - }

Aber: ist der Dual von

( ) ( ) die Ableitung von durch .

In Koordinaten: ( ) Karte, ( )

{ } ist eine Basis für

{

} ist die Dualbasis für

ist die äussere Algebra, erzeugt von

.

Deswegen, { }, sei und

{ ∣∣ { } } ist eine Basis für .

Deshalb: , dann s.d. ∑ .

Def.: Eine Differentialform ist eine Abbildung .

Lokal: ( ) Karte Funktionen, so dass

∑ ( )

ist , falls die Abbildungen ( ) sind.


( ( ) ( ) ( ( )))

Bem.: Sei ( ) eine andere Karte mit .

∑ ( )

( )

∑ ( )

( )

So: ( ) ( )( )

( ⏟

) ( ) ∑

(

) (

)

Mit :

∑ ( ) ∑ ( ( ))

Mit :

∑ ( ( ))

∑

Damit:

∑ ( ( ))

Kor.: Für : ( )

Bew.: (

)

Bem.: ( )

( ) ( ( )) (

)

5.1 Zerlegung der Einheit

Thm.: Sei {( )} ein Atlas für die -Mannigfaltigkeit . Eine Zerlegung der Einheit ist eine

Familie { } von glatten Funktionen so dass:

i) ( ) s.d. ( ) mit Träger( ) ( ) und kompakt

ii) Umgebung und eine Zahl ( ) s.d. ( ) ( )

iii) : ∑ ( )

Bem.: Wir beweisen den Fall kompakt.

Not.: : k-Form

Bem.: Sei eine Differentialform ( -Form).

∑ (( )|

( ) )

hat Träger in ( ), d.h. ( )

( )

Bew.: Existenz der Zerlegung der Einheit, wenn kompakt ist.


- Schritt 1: Karte im Atlas und s.d. ( ), Träger und

in einer Umgebung von .

( ) ist offen, Umgebung von und auf .

{

( ( )), ( ) kompakt. Stetigkeit von ⇒ ( ) kompakt.

- Schritt 2: { }

ist eine offene Überdeckung von . kompakt ⇒

endliche

Teilüberdeckung.

{ } { }

: ( ), Träger(

) ist im Atlas ⇒ )

) ist trivial

∑

∑

Ist ∑ Ja!

s.d.

. ( )

zusammenfassend: ∑ :

( ), Träger(

)

∑

Def.: glatte Abbildung, ( )

( ) ( ) ( ) ⏟

multilineare, alternierende Abbildung

( )

( )( | | )

5.2 Das äussere Differential

-Formen: ( ) ( ( ) ( ))

das Differential ( ) ( ) ∑

Thm: Für alle -Mannigfaltigkeiten und ( ) ( )

mit folgenden Eigenschaften: (für : ( ) { } )

1) Für ( ) ist ( ) das übliche Diff.

2) ( ) ( )

3) ( ) ( ) , wenn ( ).

𝜑 (Homöo-

morphismus)

𝑝

𝑀

𝑈𝑝

𝜑

𝑊𝑝 𝐵

𝛽

𝜑(𝑈𝑝) 𝑛

𝛽 𝛽


Def.: Sei ( ) ( ) Karte mit .

∑ ( ) ∑

Bem.: Das Differential ist wohldefiniert.

Bew.: des Theorems

1) „ “, wenn ( )!

∑

3)

∑ ∑ ∑

∑ ( )

∑

∑

(∑

) (∑

)

⏟ ( )

∑

⏟ ( )

( ) ( ) ∑

( ) ( ) ( ) ]

Zus.: ( ) ( ) ( )

2) OBdA: Träger( ) eine Karte (Bem.: ( ) )

∑

∑ ∑ ( )⏟

( ) ⏟

( ) ∑ ( ) ( )∑ ( )⏟

∑ ( ⏟ ( )

)

( ):

( ) (∑

) ∑ (

)

∑∑

∑

∑

⏟

∑

⏟

( )

∑

∑

Bem.: , ( )

„ “

( )

(

) (

)

also erhalten wir:


(

)

(

) (

) (

)

( )

( )

(

) ( )

20.12.2012

6. Integration von Formen

6.1 Orientierung

( )

( )

∫

∫ ( )

∫ ∫ ( )

Sei s.d. ] ( )

∫ ∫ ( )

Frage: Integral unabhängig von Karte?

( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ))

( ( )) ( )⏟

(

)

( ( )) (

( ))

𝜑

𝑈

𝑀

(𝜔)

𝑛

𝜑(𝑈)

𝑓

𝑛 𝑛

Ω Φ(Ω) 𝑦(Ω)

Φ 𝜓 𝜑


∫ ∫ ( )

∫ ∫ ( )

∫ ( ( )) (

)

Aus der Analysis:

Satz: Variablenwechsel des Integrals in einer Dimension:

∫ ( ( ))| ( )|

∫ ( )

Variablenwechsel in mehreren Dimensionen:

∫ ( ( )) | (

)|

∫ ( )

Satz: ( ( )) und ( ) Diffeomorphismus. Dann gilt:

∫ ( ( )) | (

)|

∫ ( )

( )

Deshalb sind beide Integrale gleich.

Def.: Eine orientierte -Mannigfaltigkeit ist eine Mannigfaltigkeit mit einem Atlas

( ) s.d.:

mit , ist ein Diffeomorphismus mit (

(

) ) .

Def.: ist ein orientierter Atlas.

Bem.: Falls und zwei orientierte Atlas sind, und zusammenhängend ist, dann:

entweder (

( ) ) ( ) ( )

oder (

( ) ) ( ) ( ) .

Bem.:

- orientierte Mannigfaltigkeit: Mannigfaltigkeit und orientierter Atlas

(Ein zweiter orientierter Atlas ist kompatibel mit , wenn ein orientierter Atlas ist)

- orientierbare Mannigfaltigkeit: Mannigfaltigkeit , die orientierten Atlas besitzt

- nichtorientierbare Mannigfaltigkeit: Mannigfaltigkeit , die keinen orientierten Atlas besitzt

Def.: Sei eine orientierte Mannigfaltigkeit mit Atlas und Dimension .

Falls ( ) Träger in einer Karte hat, d.h. ( ) mit ( ) , dann:

∫ ∫ ( ) ( )

Falls kompakten Träger hat, wählen wir im Atlas mit ( )

und { } Zerlegung der Einheit: ( ) und ∑ . Dann:

∑

∫

∑∫ ⏟ ( )

( ) definiert im ersten Teil der Def., weil ( ).

Bem.: Das Integral ist wohldefiniert:

Wähle {( )} { } und {( )} { ′} offene Überdeckung des Trägers von .

Auf dem Träger von :


( ) ∑

( ) ∑

′

Mit der Karte :

∫

∑∫

Mit der Karte :

∫

∑∫

′

∫ ( ( )) ( ) ∫∑ ( ( ))

′

⏟

( ( )) ( )

∑∫ ( ( )) ( ( )) ( )

Deshalb:

∑∫

∑∫

∑∫

′

∑∫

Fall 1: :

( ) ⇒ auf , ( ) ⇒ auf

⇒ ∫

∫

Fall 2: ⏟

( ⏟

)

( ) mit ( ) Karte

∫ ∫ ( )

( )

( ) mit ( ) Karte

∫ ∫ ( )

( )

( ) ( ) ist ein Diffeomorphismus und ( ) ( ) (

)

und (

)

Deshalb im ersten Fall:

∫ ∫ ( ( )) (

)

( )

im zweiten Fall (Variablenwechsel im Integral):

∫ ∫ ( )

( )


6.2 Satz von Stokes

Def.: Eine Form heisst exakt, falls für eine Form , und geschlossen, falls .

Thm.: Sei eine orientierte, kompakte Mannigfaltigkeit mit Dim. , und eine exakte -Form mit

kompaktem Träger. Dann:

∫

Bew.: exakt

Sei { } { } eine Zerlegung der Einheit:

- mit kompaktem Träger

- ∑

- ( ) Karte mit ( ) .

∫

∫ ∑

∫ ∑

( ) ( )]

∫ ∑ ( )

∫ (∑ )⏟ ∑ ⏟

∑∫ ( )

Sei ( ) eine Karte mit ( ( )) . ( ⏟

) in der Karte:

∑ ⏟

( )

( )

mit

Damit:

∫ ( )

∫

∑( ) ∫

⏟

∫ ∫

( )

] ( ) auf

∫ ∫

( )

∭ ∫

∭[ ( ) ( )]

∫ ( 4 ) (Theorem von Gauss)

Satz.: Satz von Stokes:

∫

∫

Prüfungsstoff: so weit wie die Übungsserien gehen

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Geometrie-Topologie - UZH