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Geometrie-Topologie HS 2012 Prof. Dr. Camillo de Lellis Vorlesungsnotizen von Gideon Villiger

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Geometrie-Topologie HS 2012

Prof. Dr. Camillo de Lellis

Vorlesungsnotizen von Gideon Villiger

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 2

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 3

Inhaltsverzeichnis

Teil I: Allgemeine Topologie .......................................................................................................... 5

1 Metrische RĂ€ume ............................................................................................................................. 6

1.2 Konvergenz in metrischen RĂ€umen ......................................................................................... 10

1.3 Das Produkt metrischer RĂ€ume ............................................................................................... 12

1.4 Kompaktheit ............................................................................................................................ 14

1.5 Stetigkeit .................................................................................................................................. 21

2 Topologische RĂ€ume ...................................................................................................................... 24

2.2 Unterraumtopologie ................................................................................................................ 24

2.3 Stetigkeit .................................................................................................................................. 25

2.4 Die Basis einer Topologie ........................................................................................................ 26

2.5 Kompaktheit / lokale Kompaktheit ......................................................................................... 29

2.6 Produkte .................................................................................................................................. 34

2.7 Quotienten .............................................................................................................................. 38

Teil II: âKlassischeâ FlĂ€chen in ................................................................................................ 43

Teil III: Mannigfaltigkeiten .......................................................................................................... 61

1. Mannigfaltigkeiten ........................................................................................................................ 62

2. Tangential- und Kotangentialvektoren .......................................................................................... 67

3. Vektorfelder .................................................................................................................................. 72

3.1 TangentialbĂŒndel ..................................................................................................................... 72

3.2 Vektorfelder als Ableitungen ................................................................................................... 74

3.3 Die Ein-Parametergruppe von Diffeomorphismen .................................................................. 75

3.4 Das Lie-Klammer-Produkt ........................................................................................................ 77

4. Das Tensorprodukt ........................................................................................................................ 78

4.1 Ăussere Algebra ....................................................................................................................... 79

5. Differentialformen ......................................................................................................................... 82

5.1 Zerlegung der Einheit .............................................................................................................. 83

5.2 Das Ă€ussere Differential .......................................................................................................... 84

6. Integration von Formen................................................................................................................. 86

6.1 Orientierung ............................................................................................................................ 86

6.2 Satz von Stokes ........................................................................................................................ 89

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 4

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 5

Teil I: Allgemeine Topologie

Skript: Gameline-Greene, introduction to topology

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 6

18.09.2012

1 Metrische RĂ€ume

Def.: Metrischer Raum: X Menge und (Metrik oder Abstandfunktion), s.d.:

- ( ) ,

- ( ) ( )

- ( ) ( ) ( ) (Dreiecksungsleichung)

Bsp.:

-

( ) | | ââ( )

( ) ( )

Dreiecksungsleichung folgt aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung!

-

( ) (â| |

)

( )

| |

- der triviale metrische Raum:

( ) {

Bem.: { } ist offen (und auch abgeschlossen), da { } (

) offen

- Die âfranzĂ¶sische Bahnâ Metrik.

X Menge, Paris

{

( )

( )

( ) ( )

Def.: Seien ( ) ein metrischer Raum, , dann ist die offene Kugel mit Radius und

Mittelpunkt x die Menge:

( ) { âŁâŁ ( ) }

Bsp.:

- im : alle Punkte mit Abstand von ( ) (Kugel)

- im : alle Punkte mit Abstand von ( ) (Kreis)

- im ( ): ein Quadrat mit Mittelpunkt ( ) und SeitenlĂ€nge 2

P

đ„

đ„5

đ„ đ„

đ„4

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 7

(( ) ) {| | | |}

Def.: Sei . Ein Element heisst innerer Punkt, falls , s.d.: ( )

Bem.: Der Mittelpunkt gehĂ¶rt immer zu der Kugel: ( )

Def.: ist offen, falls gilt: x ist ein innerer Punkt.

Lem.: Die offene Kugel ( ) ist eine offene Menge.

Bew.: z.z.: ( ) , s.d.: ( ) ( )

Bsp.: in

Sei | |, dann ( ) ( )

Sei ( ) (weil ( ), d.h.: ( ) )

Beh.: ( ) ( )

Bew.: sei ( ). Dann: ( ) â ( )

stimmt wegen Dreiecksungleichung:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Bem.: zum Begriff âDreiecksungleichungâ. FĂŒr

( ) ( ) ( ) LĂ€nge LĂ€nge + LĂ€nge!

Thm.: Sei ( ) ein Metrischer Raum.

i) sind offene Mengen.

ii) die Vereinigung offener Mengen ist offen.

iii) der endliche Schnitt offener Mengen ist offen.

Bew.:

i) X ist trivial, auch

ii) â â s.d. â da offen ist ( ) â ( ) â .

iii) offene Mengen.

â s.d.: ( ) . Sei { }

â ( ) ( ) â ( )

Bem.: der Schnitt muss endlich sein!

(

) mit der euklidischen Metrik { }

â (

)

{ }

x

y

Ï

x

z

y

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 8

{ } ist keine offene Menge

Bem.: Wenn der âtriviale metrische Raumâ ist, dann ist die Menge { } ist offen, denn:

gilt: ( ) { } { }.

Kor.: Eine Menge ist offen genau dann, wenn die Vereinigung offener Kugeln ist.

Bew.: âââ folgt aus Theorem ii)

âââ Sei offen: ( ) , s.d.: ( ( ))

Deswegen: â ( ( ))

Def.: Sei eine Menge. heisst HĂ€ufungspunkt von E, falls ( ) .

E heisst abgeschlossen, falls jeder HĂ€ufungspunkt von E zu E gehĂ¶rt.

Bem.: ist immer HĂ€ufungspunkt.

Lem.: Eine Menge ist abgeschlossen genau dann, wenn ihr Komplement offen ist.

Bew.: âââ: E abgeschlossen, . Dann ist x kein HĂ€ufungspunkt von E!

â s.d.: ( ) â ( ) â ist offen.

âââ: offen: Sei x ein HĂ€ufungspunkt von E â x kann nicht zu gehĂ¶ren, denn:

â ( ) â ( ) â nicht mĂ¶glich, weil x HĂ€ufungspunkt

von E! Deswegen: x HĂ€ufungspunkt von E â .

Kor.: Sei ( ) ein metrischer Raum.

i) sind abgeschlossen.

ii) der Schnitt abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

iii) die endliche Vereinigung abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

Def.: Sei eine Menge. Dann:

Der innere Kern ( ) von E ist:

o die Menge der inneren Punkten von E

o die grĂ¶sste offene Menge, die in E enthalten ist

die abgeschlossene HĂŒlle ( ) von E ist:

o die Menge aller HĂ€ufungspunkte von E

o die kleinste abgeschlossene Menge, die E enthĂ€lt

der Rand ( ) von E ist:

o die Menge der HĂ€ufungspunkte von beiden und

o der Schnitt von und .

Bem.: zur Ăquivalenz der obigen Definitionen:

fĂŒr den Rand trivial.

Innerer Kern: { }

Die grĂ¶sste offene Menge ist die Vereinigung der offenen Mengen .

- : Sei , dann ( ) und ( ) besteht aus inneren Punkten von E

(weil ( ) offen) â ( ) â ist offen

- : â ( ) â im Inneren von E â

Beh.: ist ein HĂ€ufungspunkt von kein innerer Punkt von .

Bew.: âââ: HP von â ( ) â ( )

â kein innerer Punkt von

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 9

âââ: kein innerer Punkt von â ( )

â ( ) â HĂ€ufungspunkt von E

Deswegen: ( ) Menge aller HĂ€ufungspunkte von E â das Komplement der

grĂ¶ssten offenen Menge in , d.h. ( â

) ist gleich der kleinsten abgeschlos-

senen Menge, die E enthĂ€lt:

â

â

â

gilt wegen den Regeln von de Morgan: (â ) â

und wegen:

- offen abgeschlossen

- ( )

20.09.2012

Def.: Sei ( ) ein metrischer Raum. Sei . Dann: ist die EinschrĂ€nkung

der Abstandsfunktion auf Y.

( ) ist ein metrischer Unterraum.

Bsp.: All: Abstandsfunktion ( ) | | in

Erde All: {| | }. ( ) ( ) | |

aber Abstand auf Erde kann nicht so gemessen werden!

Bem.: In einem Unterraum von ( ) haben wir die entsprechenden offenen und abgeschlosse-

nen Mengen

Satz:

a) Eine Menge ist offen offen mit

b) Eine Menge ist abgeschlossen abgeschlossen mit

Bew.:

- â â:

abg. offen ) offen mit

( ) abg.

- Bew. von ):

âââ offen: Vereinigung von Kugeln

â ( )

â{ âŁâŁ ( ) }

{â{ âŁâŁ ( ) }

}â

( )

( ) = Vereinigung von offenen Kugeln in X, d.h. eine offene Menge V (in X)!

âââ: Sei offen, . Sei . offen â ( )

â ( ) . ( ) { âŁâŁ ( ) } offene Kugel in

Bem.: Eine Kugel in = (Eine Kugeln in )

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 10

1.2 Konvergenz in metrischen RĂ€umen

Def.: Sei { } (( ) ein metrischer Raum).

Wir sagen, dass ( ), falls ( )

Bem.:

- Der Limes existiert nicht immer.

- Wenn der Limes existiert, ist er eindeutig.

Nehmen wir an: , d.h.:

( ) ( )â

( )â

â ( ) â

Lem.: ist abgeschlossen genau dann, wenn:

{ } , die gegen ein konvergiert, gilt:

Bew.: Behauptung: sei und . Dann ist HĂ€ufungspunkt { } mit .

âââ: x HP â { }

( ) â

( ) â { }

Es gilt: ( )

â ( ) â

âââ: { } und . Sei ( ) mit . WĂ€hle mit ( ) (mĂ¶glich, weil

( ) ) â ( ) â ( )

Da beliebig â ist ein HĂ€ufungspunkt.

Damit: abgeschlossen â HĂ€ufungspunkt von gilt: { } mit

Def.: Cauchy-Folge

{ } ist eine Cauchy-Folge, falls s.d.: ( )

Lem.: Eine konvergente Folge ist immer eine Cauchy-Folge.

Bew.: Sei . , s.d.: ( )

Sei . Dann: ( ) ( ) ( )

Def.: Ein metrischer Raum heisst vollstĂ€ndig, falls jede Cauchy-Folge eine konvergente Folge ist.

Lem.:

a) Falls ( ) ein vollstĂ€ndiger metrischer Raum ist, dann ist jede abgeschlossene Menge

ein vollstĂ€ndiger metrischer (Unter-)Raum.

b) Falls ( ) ein (beliebiger) metrischer Raum ist, dann ist jeder vollstĂ€ndige metrische Unter-

raum eine abgeschlossene Menge in .

Bew.:

a) Sei abgeschlossen. Sei { } Cauchy-Folge â mit

â .

b) Sei . Sei { } eine Folge, die gegen ein konvergiert. Konvergenz â { }

Cauchy in â Cauchy in â mit

â â .

Def.: Sei und . Die abgeschlossene Kugel mit Radius und Mittelpunkt ist:

( ) { âŁâŁ ( ) }

Bem.: Die abgeschlossene Kugel ist abgeschlossen:

Sei { } ( ) eine Folge, die gegen konvergiert.

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 11

( ) ( ) ( ) ( )â

â ( ) â ( )

Def.: SphĂ€re { âŁâŁ ( ) }

Bem.: im ist die SphĂ€re der Rand der offenen (und abgeschlossenen) Kugel ( )

muss aber nicht sein (z.B. metrischer Raum mit einem/zwei Punkten)

Def.: Eine Menge heisst dicht, wenn

Ue.:

- { } , s.d.:

- ( )

Lem.: Bairesche Kategoriensatz

Sei ein vollstĂ€ndiger metrischer Raum und { } eine abzĂ€hlbare Familie von dichten,

offenen Mengen. Dann gilt:

â ist eine dichte Menge in .

Bew.: Sei .

Ziel: finde ( ) mit

Da dicht ist â (

) .

offen â Radius mit ( ) (

).

. (Falls , dann (

) ( ))

(

) ( ) â (

)

(

)

( ) (

)

(

)

Bemerkung:

rekursiv: finden Folge { } mit

(

)

(

) (

)

â (

)

( ) ( ) ( )

đ„

đ„

đ

đ

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 12

wĂ€hle N, s.d.:

( ) â Die Folge ist eine Cauchy-Folge mit

â Da { } (

) â (

) ( )

{ } (

) â (

)

â â

Def.: Das Komplement einer offenen dichten Menge heisst dĂŒnn.

Kor.: Falls ein vollstĂ€ndiger metrischer Raum ist und { } eine abzĂ€hlbare Familie dĂŒnner Men-

gen, dann:

â

Bew.: â â ( ) dicht in

25.09.2012

1.3 Das Produkt metrischer RĂ€ume

Def.: Seien ( ) ( ). Das Produkt ist:

(( ) ( )) ââ ( )

Bsp.: Im Fall ( ) ( | |) mit | | Abstand zwischen â :

(( ) ( )) ââ| |

Bem.: Es ist mĂ¶glich, auch andere metrische Strukturen einzufĂŒhren:

(( ) ( )) ( ( ))

(( ) ( )) â ( )

Ăbungsblatt: Die offenen Mengen in ( ) ( ) und ( )

sind gleich.

Thm.: Eine Menge ist offen â mit

offen

Bew.: âââ: Seien offene Mengen. Wollen zeigen: Dann ist offen.

Sei ( ) beliebig, d.h.:

offen â , s.d.: ( )

Wir wollen zeigen , s.d.: ( )

( ) { ( ) âŁâŁ ââ ( ) }

Sei { }. Dann gilt fĂŒr ( ):

( ) â ( )

Deshalb: ( ) ( ) ( )

also:

( ) â offen

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 13

âââ: Sei offen.

Idee:

mit offen und mit

.

Dann:

â

Sei ( ). Wir suchen der Form ( ).

ist offen und ( ) fĂŒr ein . Wir suchen deswegen , s.d.:

( ) ( ) { ( ) âŁâŁ ( ) } ( )

{ ( )âŁâŁâŁââ ( )

}

Sei

â . Dann:

( ) â ââ ( )

ââ

â

also:

( ) ( ) gilt: ( )

Bsp.: ( | |) ( | |)

( ) { ( ) âŁâŁ â( ) ( )

}

{ ( ) âŁâŁ | | | | }

{ ( ) âŁâŁ ( ) ( ) } ( )

Konvergenz in einem Produktraum:

Def.: ( ( ))

â

Folge

( )

( ( ) ) ( ) ( ( )

( )) ( )

Lem.:

a) ( ( )) ( ) in { }

b) Eine Folge ( ( )) ist eine Cauchy-Folge ( ( )) Cauchy-Folge

Bew.:

a) ( ( ) ) ââ ( ( ) )

(

( ) )

b) âââ: ( ( )) Cauchy Folge:

, s.d.: ( ( ) ( ))

( ( )

( )) ââ (

( ) ( )

)

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 14

Cauchy-Bedingung fĂŒr ( ( )

)

âââ: Seien ( ( )

) Cauchy-Folgen, ( ) (

( )

( )). Sei gesucht!

mit ( ( )

( )

)

â

Sei { } . Seien . Dann:

( ( ) ( )) ââ ( ( )

( )

)

ââ

Kor.: vollstĂ€ndig vollstĂ€ndig

Bew.: âââ: ( ( )) Cauchy, ( ) (

( )

( ))

)â (

( )) Cauchy

â mit

( ) .

Definiere ( ) )â ( ) .

1.4 Kompaktheit

Bem.: Schon bekannt: beschrĂ€nkte, abgeschlossene Mengen sind (folgen-)kompakt, d.h.:

Bolzano-Weierstrass (bzw. Heine-Borel): ( ( )) ( ( )) Teilfolge, die gegen

konvergiert.

Def.: Ein metrischer Raum heisst kompakt, wenn jede offene Ăberdeckung { } von eine

endliche TeilĂŒberdeckung besitzt.

Bem.:

- offene Ăberdeckung heisst: ist offen und â

Allgemein: eine offene Ăberdeckung von bedeutet: â

- TeilĂŒberdeckung { } , s.d.: { } { }

ist eine (endliche) Ăberdeckung.

Def.: heisst kompakt, falls jede offene Ăberdeckung von eine TeilĂŒberdeckung besitzt.

(d.h. fĂŒr jede Ăberdeckung { } mit offen { } â { } )

Lem.: Sei mit ( ) metrischer Raum. Dann sind Ă€quivalent:

i) die Kompaktheit als Teilmenge

ii) die Kompaktheit als metrischer Raum ( | )

Bew.: Entscheidend: offen mit offen.

- â ) â )â: kompakt als Teilmenge. Sei { } eine Ăberdeckung von mit

offen (Als Teilmenge von ( )).

offen mit

â â

â â

â endliche TeilĂŒberdeckung { } { }

.

Sei

{ } { }

{ }

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 15

â

{ }

â

(â

)â

â

- â ) â )â: UE

Lem.: kompakt â jede abgeschlossene Menge ist kompakt.

Bew.: Sei { } offene Ăberdeckung von .

ist offen:

{ } â

{ }â

offene Ăberdeckung von X

Sei { } { }

{ } TeilĂŒberdeckung von â { } { }

Ăberdeckung von

Lem.: Sei ( ) ein metrischer Raum. kompakt â abgeschlossen.

Bew.: nicht abgeschlossen â nicht kompakt.

nicht abgeschlossen bedeutet: ( ) , die gegen konvergiert.

Sei ({ } { } )

Beh.:

- { } ist eine Ăberdeckung von E

- ist offen,

- Es gibt keine TeilĂŒberdeckung, die endlich ist

Bew.:

- â { } â { } Ăberdeckung

- offen { } { } abgeschlossen.

- { } { } endlich

â

({ } { } )

wegen { } in â keine Ăberdeckung

Lem.: Sei ( ) eine Folge, die gegen konvergiert. Dann ist { } { } abgeschlossen.

27.09.2012

Bem.:

Folgenkompaktheit (FK)

{ } eine konvergente Teilfolge, die gegen konvergiert.

Kompaktheit (K)

FĂŒr jede offene Ăberdeckung von gibt es eine endliche TeilĂŒberdeckung

Bem.: Folgenkompaktheit â VollstĂ€ndigkeit

Bew.: Sei { } (folgenkompakt) eine Cauchy-Folge. FK â { } Teilfolge und mit

Beh.:

Bew.: Sei â , s.d.: â ( )

Cauchy-Bed.: , s.d.: â ( )

setze: { }.

Sei , wĂ€hle . Deswegen:

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 16

( ) ( ) (

)

Bem.: Der obige Beweis ist âverbatimâ wie der in Analysis I.

Def.: ( ) metrischer Raum. heisst beschrĂ€nkt, falls und mit ( ).

(z.B. die Erde als metrischer Raum ist beschrĂ€nkt).

Frage: VollstĂ€ndigkeit + BeschrĂ€nktheit â Folgenkompaktheit

Bem.: Im ist eine abgeschlossene ( vollstĂ€ndige), beschrĂ€nkte Teilmenge folgenkom-

pakt (Heine-Borel/Bolzano-Weierstrass).

Bem.: im ( ) {| | } â ( ) ist ein metrischer Raum â beschrĂ€nkt,

aber nicht folgenkompakt (Bsp natĂŒrliche Zahlen)

Def.: ( ) heisst totalbeschrĂ€nkt, falls , s.d:

â ( )

endliche Ăberdeckung von mit (offenen) Kugeln mit Radius .

Bem.: Kompaktheit â totalbeschrĂ€nkt

Bew.: Sei : nehmen { ( )}

â TeilĂŒberdeckung, d.h. eine Ăberdeckung mit

endlich vielen solchen Kugeln.

Haupttheorem: Die folgenden SĂ€tze sind Ă€quivalent:

i) ( ) (metrischer Raum) ist kompakt. ( )

ii) ( ) ist folgenkompakt. ( )

iii) ( ) ist vollstĂ€ndig und totalbeschrĂ€nkt. ( )

Bew.:

- â â â:

Widerspruchsbeweis: Sei { } eine Folge, s.d. konvergente Teilfolge.

Beh.: { } besitzt eine konvergente Teilfolge , s.d.:

{ âŁâŁ ( ) } .

Bew.:

âââ: Sei { } eine konvergente Teilfolge und sei ihr Grenzwert.

Sei : Konvergenz â , s.d.: ( )

â ( ) (unendlich viele!)

âââ: Sei , s.d.: { âŁâŁ ( ) }

: { ( )

} Teilfolge von { }, s.d.: { ( )

} ( )

[{ ( )

} { âŁâŁ ( ) } { âŁâŁ ( ) }]

( ) { âŁ

âŁ (

) }

( )

ist eine Teilfolge von ( )

!

( )

: die Glieder der ursprĂŒnglichen Folge, die in (

) enthalten sind.

Cantorsches Diagonalargument:

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 17

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

ist eine Teilfolge von { }

( ( )

)

â

( ) konvergente Teilfolge

[zweites Argument:

sei , s.d. ( )

â {

} { } s.d.: ]

Sei { } s.d. keine Teilfolge konvergiert â ( ), s.d.: ( ( )) nur

endlich viele Glieder der Folge enthĂ€lt.

Sei dann: { ( ( ))}

eine Ăberdeckung

Beh.: keine TeilĂŒberdeckung, die endlich ist.

Bew.: { ( ( ))} { }â â ( ( ))

enthĂ€lt nur endlich viele

Glieder der Folge { } â keine Ăberdeckung

- â â â:

â VollstĂ€ndigkeit: schon gezeigt.

Sei . Gesucht: { ( )} { } Ăberdeckung

sei â ( )â ( )

( ) â ( )

(1) â fertig

(2) â ( )

falls ( ) ( ) â fertig

sonst: ( ( ) ( )) â ( ( ) ( ))

Das Verfahren endet â Ăberdeckung gefunden.

Das Verfahren endet nicht:

{ } Folge mit â ( ) â ( )

â { } ( ) (gilt auch fĂŒr jede Teilfolge) â keine Teilfolge erfĂŒllt

die Cauchy-Bedingung â keine Teilfolge konvergiert

- â â â:

Lem.: Eine Teilmenge eines totalbeschrĂ€nkten Raumes ist totalbeschrĂ€nkt.

Bew.: Sei . Sei { (

)}

{ } eine Ăberdeckung. Falls (

)

â (

) â ( ) ist eine Kugel in ! (wĂ€re , dann wĂ€re

( ) keine Kugel in E).

( ) (

)

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 18

(

) â ( )

â ( ) ( ) ( )

also:

{ ( ) }â

(endlich viele):

â ( ) (â (

)

)

Lem.: Sei ein totalbeschrĂ€nkter Raum. Dann besitzt jede Folge in eine Cauchy-Teilfolge.

Bem.: mit diesem Lemma haben wir â (da wegen der VollstĂ€ndigkeit jede

Cauchy-Teilfolge auch konvergent ist)

Bew.: Folge { }

Sei

TotalbeschrĂ€nktheit â ( ) ( )

â Teilfolge { ( )

}, die in einer Kugel mit Radius 1 enthalten ist.

â Ăberdeckung mit endlich vielen Kugeln mit Radius

(

) (

)

{ ( )

} Teilfolge mit { ( )

} in einer Kugel mit Radius

.

Cantorsches Diagonalargument:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

{ ( )

}

Teilfolge von { ( )

}

â ( ( )

( )

)

Cauchy-Bedingung

WĂ€hle also . Sei so, dass

. Dann fĂŒr

( ( )

( )

)

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 19

02.10.2012

- bleibt zu zeigen: â â â:

AbzĂ€hlbarkeitsaxiome:

1) Ein metrischer Raum ( ) heisst separabel, falls dichte, abzĂ€hlbare Menge

(Beispiel: dicht und abz. â ist separabel)

2) Def.: Eine Basis fĂŒr einen metrischen Raum ( ) ist eine Familie offener Men-

gen, s.d. jede offene Menge die Vereinigung von Elementen von ist.

Bem.: { ( ) âŁ } ist immer eine Basis fĂŒr .

(jede offene Menge ist die Vereinigung von offenen Kugeln)

Def.: Ein metrischer Raum erfĂŒllt das 2te AbzĂ€hlbarkeitsaxiom (2AA), wenn er eine

abzĂ€hlbare Basis besitzt.

(Beispiel: mit { ( ) âŁâŁ })

Thm.: Jede Teilmenge eines separablen metrischen Raumes ist separabel.

Bew.: SeparabilitĂ€t â abzĂ€hlbar und dicht ( ( ) ). Sei

eine Teilmenge: ( )

Vorsicht: kann sein dass .

Sei { }

Betrachte {( ) (

) }

( ) wĂ€hlen wir (

) â { }

( ) â

Beh.: ist dicht

Bew.: z.z.: so dass ( )

{ } mit

Wegen der Dichtheit von wissen wir: { } s.d.

o.B.d.A.: ( )

â (

) â (

)

â â

(

)

â ( ) ( ) ( )

â

Lem.: Falls ( ) ein totalbeschrĂ€nkter metrischer Raum ist, dann ist separabel.

Bew.: Sei

. TotalbeschrĂ€nktheit â

( ) ( )

( ) s.d.

â ( ( )

)

Sei â ( )

mit ( ( )

)

{ ( )

âŁâŁâŁ { ( )} } â {

( )

âŁâŁâŁ { ( )} }

ist abzĂ€hlbar!

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 20

Beh.: ist dicht.

Bew.: Sei . WĂ€hle mit

â

( ) mit

( ( )

)

Vorgehen:

- Thm.: Ein metrischer Raum erfĂŒllt das 2te AbzĂ€hlbarkeitsaxiom ist separabel.

- Bem.: Mit dem letzten Lemma und dem Theorem folgt: Falls totalbeschrĂ€nkt ist,

dann erfĂŒllt das 2te AbzĂ€hlbarkeitsaxiom.

- Thm.: Ein , das das 2te AbzĂ€hlbarkeitsaxiom erfĂŒllt, hat die LindelĂ¶f-Eigenschaft.

Bem.: LindelĂ¶f-Eigenschaft: Jede offene Ăberdeckung besitzt eine abzĂ€hlba-

re TeilĂŒberdeckung.

- Bem.: LindelĂ¶f â Komaktheit

- zusammenfassend:

o â separabel â 2AA

â LindelĂ¶f ( )

o â ( )

( ) ( ) â

Thm.: Sei ( ) ein metrischer Raum. ist separabel erfĂŒllt das 2te AA.

Bew.:

- âââ: Sei eine abzĂ€hlbare Basis der Topologie (Menge von offenen Mengen) von ,

d.h.: { } und offen so dass â

â offen, mit und .

: { } ist dicht, denn:

( ). ( ) ist offen! â mit ( ).

- âââ: Sei { } dicht.

{ ( ) âŁâŁ } ist abzĂ€hlbar, da alle und abzĂ€hlbar.

Beh.: offen, mit ( )

Bew.: Sei â ( )

(

) ( ) usw.

also: Sei mit . Wegen der Dichtheit von { } mit

( ) { }

( ) â ( ), aber ( )â

( ) , denn:

( ) ( )

( ) ( )â

( )â

â ( )

wegen âBeh.

Bem.: ( ) â Basis:

â

â â: â â â â â: â

â â

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 21

Thm.: Sei ein metrischer Raum mit abzĂ€hlbarer Basis . Dann gilt

LindelĂ¶f-Eigenschaft:

Sei { } eine Familie offener Mengen. Dann { } abzĂ€hlbare TeilĂŒberde-

ckung mit

â

â

Bew.: { } .

â

mit

{ }

ist abzĂ€hlbar. Sei { } eine Nummerierung â wĂ€hle

â â â

â

Beh.: Folgenkompaktheit + LindelĂ¶f â Kompaktheit

Bew.: durch Widerspruch: offene Ăberdeckung von ( ), aber endliche TeilĂŒ-

berdeckung.

LindelĂ¶f â Sei { } abz. TeilĂŒberdeckung ohne endliche TeilĂŒberdeckung

â ĂŒberdeckt nicht â ( ).

{ } Folge: â { } Teilfolge, die gegen ein konvergiert.

aber: mit â ( ) . FĂŒr gross genug ist ( )

â wĂ€hle mit und

â

â

04.10.2012

1.5 Stetigkeit

- durch Folgen

- mit und

- mit offenen Mengen

Def.: Seien ( ) ( ) zwei metrische RĂ€ume und . ist stetig in , falls:

( ) ( ) .

ist stetig, falls stetig fĂŒr jedes .

Lem.: (Folgenkriterium - )

stetig auf , s.d.: ( ( )) ( ( ) )

Bew.:

- âââ: stetig an der Stelle , aber , s.d. ( ) aber so dass

( ) ( ( ) )

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 22

( )

â aber ( ( ) ( ))

( ) ( )

- âââ: - (Annahme). Sei . Zu zeigen: ( ) ( )

Sei : Suchen , s.d. ( ( ) ( ))

Wissen: s.d.: ( ( )) ( ( ) ), d.h. ( ) â ( ( ) ( ))

â ( ( ) ( ))

â die Folge ( ) konvergiert gegen ( )

Bem.: Stetigkeit in einem kleineren Definitionsbereich

- 1. MĂ¶glichkeit:

SchrĂ€nke auf ein: ( ) ist ein metrischer Raum (âmetrischer Unterraumâ)

Benutze die Def. mit statt :

ist stetig an der Stelle , falls { }, die gegen konvergieren gilt: ( ) ( ).

- 2. MĂ¶glichkeit:

mit ( ( ) â )

( ( ) )

Def.: GleichmĂ€ssige Stetigkeit

heisst gleichmĂ€ssig stetig, falls:

, s.d. ( ( )) ( ( ) )

Thm.: Falls gleichmĂ€ssig stetig ist und ein vollstĂ€ndiger metrischer Raum, dann:

stetige Fortsetzung.

Bew.: Ue. Hinweis: { } mit

Dann { ( )} ist eine Cauchy-Folge

Thm.: Falls stetig ist und kompakt, dann ist gleichmĂ€ssig stetig.

Bew.: GleichmĂ€ssig stetig (GS) s.d. ( ) â ( ( ) ( ))

Angenommen, dass (GS) falsch ist, d.h.:

s.d. ( ) , aber ( ( ) ( ))

Sei

( 4). Sei

.

Kompaktheit: â

Sei

Stetigkeit â s.d. ( ( )) ( ( )

).

FĂŒr gross:

( ) â ( ( ) ( ))

( (

) ( ))

Dreiecksungleichung: ( ( ) (

))

5

Thm.: stetig ( ) ist offen offen

( ) ist abg. abg. ( ( ) ( ))

Bew.:

- âââ offen, stetig.

( ): suchen s.d. ( ) ( ), d.h. ( ( ))

Da ( ) und offen: s.d. ( ( ) )

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 23

Stetigkeit: s.d. ( ( )) ( ( ) ) â

- âââ: s.d. ( ) offen offen.

suchen ein s.d.

( ( )) ( ( ) ) ( ) ( ( ( ) )â ) â

â ( )

Bem.: stetig und offen ( ) offen! z.B. . ( ) muss nicht offen sein

Lem.: stetig und kompakt. Dann ist ( ) kompakt.

Bew.: kompakt, stetig â ( ) kompakt.

Sei { } ( ) â s.d. ( ) .

{ } â {

} Teilfolge, die gegen konvergiert.

stetig â (

) ( ) ( )

Bem.: andere Richtung gilt nicht:

( ) {

ist nicht stetig, aber ( ) kompakt

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 24

2 Topologische RĂ€ume

Def.: Ein topologischer Raum ist

eine Menge

zusammen mit einer Familie von Teilmengen von ( wird Topologie genannt, und die

entsprechenden Elemente sind die offenen Mengen), s.d.:

o

o eine beliebige Vereinigung offener Mengen ist offen

o jeder endliche Schnitt offener Mengen ist offen

Def.: Eine Teilmenge eines topologischen Raumes heisst abgeschlossen, falls ihr Komplement of-

fen ist.

Bem.:

- abgeschlossen

- Ein beliebiger Schnitt abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

- Jede endliche Vereinigung abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

Def.: Sei eine Teilmenge eines topologischen Raumes:

- ist im Innern von , falls offen mit . ist dann eine Umgebung von .

- ist ein HĂ€ufungspunkt von , falls Umgebung (Folgenkriterium i.A. falsch)

- { } â

- { } â

- ( ) { âŁâŁ }

Def.: { } konvergiert gegen , wenn Umgebung von mit â

Bem.: Existenz einer dichten abzĂ€hlbaren Menge heisst âder Raum ist separabelâ

Def.: ist dicht, wenn

09.10.2012

2.2 Unterraumtopologie

( )

Def.: Sei { âŁ } ist die Unterraumtopologie.

Bem.: ist tatsĂ€chlich eine Topologie!

z.B.: seien { } , s.d.

dann: â (â )â

â

endlich:

â

(â

)â

â

deswegen ist ( ) ein topologischer Raum.

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 25

zur Erinnerung: Lemma: Sei ( ) ein metrischer Raum. Sei ( ) ein metrischer Unterraum. Die

offenen Mengen in sind die Unterraumtopologie!

Bem.: ist abgeschlossen abg. mit

Bew.: abg. offen offen mit abg. mit

( ) ( ) ( )

Kor.: Seien . Dann gilt:

(die abgeschlossene HĂŒlle von in ) (die abgeschlossene HĂŒlle von in )

Bew.: abg. HĂŒlle von in

â ( )

â ( )

(

â

)

â

Bem.: Mit dem offenen Kern ist die Aussage falsch, d.h. fĂŒr gilt i.A.:

(offener Kern von in ) (offener Kern von in ) .

- der offene Kern von in ist leer, denn enthĂ€lt keinen internen Punkt

( â ist ein HĂ€ufungspunkt von )

- aber betrachten wir als topologischen Raum mit der Unterraumtopologie, dann ist

offen fĂŒr diese Topologie â ist sein innerer Kern in

2.3 Stetigkeit

Def.: Sei ( ) ein topologischer Raum, Eine Umgebung von ist eine Teilmenge

s.d. ( )

Def.: ( ) ( ) topologische RĂ€ume, . ist stetig an der Stelle , falls:

( ) ist eine Umgebung von Umgebung von ( ).

Bem.: Wenn und metrische RĂ€ume sind: diese Definition ist eine âĂbersetzungâ der âmetri-

schenâ Definition der Stetigkeit.

Def.: heisst stetig, falls ( ) ist offen offen.

Bem.: stetig stetig auf jedem .

Bew.:

- âââ: Sei , sei eine Umgebung von ( ) â offen mit ( ) â ( )

ist offen. Wegen ( )â

( ) â ( ) ist eine Umgebung von

đ„

đŠ đ(đ„)

đ

đ

đ

nicht stetig

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 26

â stetig an der Stelle .

- âââ: Bemerkung: offen ist eine Umgebung von jedem .

Sei stetig fĂŒr jedes , sei offen, und ( ) â ( )

â ist eine Umgebung von ( )

â ( ) ist eine Umgebung von

â ( ) ist offen.

Def.: Seien und zwei topologische RĂ€ume und . ist ein HomĂ¶omorphismus, falls:

ist umkehrbar

und ihre Umkehrfunktion sind stetig

Bem.: anschaulich: jedes Objekt, das man aus Knete formen kann; aber nicht homĂ¶omorph, wenn

man ein Loch bohrt oder die Knete in zwei Teile aufteilt.

Bsp.: Kugel im : {| | } und WĂŒrfel im : { } sind

homĂ¶omorph, d.h. HomĂ¶omorphismus

Hinweis: Zeigen, dass und homĂ¶omorph, und dass und homĂ¶omorph

Bem.: homĂ¶omorph = Ăquivalenzrelation

Lem.: topologische RĂ€ume,

stetig. Dann ist stetig!

Bew.: offen â ( ) ( ) ( ( )) offen, da ( ) offen (g stetig)

Kor.: ist ein HomĂ¶omorphismus, wenn HomĂ¶omorphismen

Bew.: ist umkehrbar und ( )

Bsp.:

- und sind homĂ¶omorph .

Vorsicht: surjektiv und stetig (Peano-Kurve)

- und { } sind nicht homĂ¶omorph

Bem.: ] und ] ] sind nicht homĂ¶omorph

Bew.: Sei stetig.

ist stetig: sei offen:

( ) ( )â

ist offen in

Falls auch surjektiv ist, dann s.d. ( )

und s.d. ( )

5

â zwischen und s.d. ( )

, aber

â

2.4 Die Basis einer Topologie

Def.: Sei ( ) ein topologischer Raum. Eine Basis der Topologie ist eine Teilfamilie s.d.

jedes die Vereinigung (kann auch ĂŒberabzĂ€hlbar sein) von Elementen ist, d.h.:

{ } s.d. â

Satz: Basis und mit .

Bew.: âââ: Sei offen, â mit â mit

âââ: offen, â s.d. . Dann: â

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 27

Thm.: Sei eine Menge und ( ), { }

ist eine Topologie

1) mit

2) s.d.

Bew.: UE

Def.: Ein topologischer Raum erfĂŒllt das 2te AbzĂ€hlbarkeitsaxiom, wenn er eine abzĂ€hlbare Basis

der Topologie besitzt.

Thm.: Ein topologischer Raum, der das 2te AA erfĂŒllt, besitzt die LindelĂ¶f-Eigenschaft:

und fĂŒr jede offene Ăberdeckung von gibt es eine abzĂ€hlbare Ăberdeckung.

11.10.2012

( ) { } Punkte nicht topologisch trennbar, Topologie zu grob

Def.: Trennungsaxiome:

Ein topologischer Raum heisst:

-Raum, falls es fĂŒr jedes Paar mit eine offene Menge gibt, die enthĂ€lt,

aber nicht.

Bem.: -Raum alle Punkte abgeschlossen:

Bew.: âââ: mit ( ) offen s.d. ( ) â { } â ( )

ist offen â { } abgeschlossen.

âââ: Sei { } abgeschlossen â { } offen und enthĂ€lt alle

-Raum (Hausdorff-Raum), falls fĂŒr jedes Paar mit existieren disjunkte offene

Mengen s.d.

gewĂ€hrleistet, dass konvergente Folgen eindeutige Grenzwerte haben:

, falls ( ) ( )

, falls ( ) ( )

â in ( ) ( ) mit ( ) ( ) â falls , dann .

-Raum, wenn er regulĂ€r ist und erfĂŒllt.

Def.: Ein topologischer Raum heisst regulĂ€r, wenn fĂŒr jede abgeschlossene Menge

und jeden Punkt disjunkte offene Mengen existieren, so dass:

-Raum, wenn er normal ist und erfĂŒllt.

Def.: Ein topologischer Raum heisst normal, wenn abgeschlossen und disjunkt

existieren disjunkte offene Mengen und , s.d. .

Bem.: â â â

Satz: Ein metrischer Raum ist .

Bew.: { } â ( ) abgeschlossen â

abgeschlossen â

( ) , s.d. ( ( ))

( ) , s.d. ( ( ))

â{ ( ( )

)

âŁâŁâŁâŁ } â{ (

( )

)

âŁâŁâŁâŁ }

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 28

und sind offen, und

Beh.: sind disjunkt

Bew.: durch Widerspruch: Angenommen

â s.d. ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

{ ( ) ( )}

â entweder ( ( )) oder ( ( ))

Lem.: Ein topologischer Raum ist normal abgeschlossen und offen gibt es

eine offene Menge , s.d.

Bew.:

âââ: Angenommen, ist normal, wie oben

â und sind abgeschlossen und disjunkt â offen, disjunkt, s.d. und

. Dann gilt: â

â ( )

âââ: Seien abgeschlossen, disjunkt â ist eine offene Menge, die enthĂ€lt.

Nach Annahme offen: .

â und sind disjunkte offene Mengen mit: â normal

Lem.: Urysohn

disjunkte, abg. Mengen in einem normalen topologischen Raum. Dann gibt es eine steti-

ge Funktion ], so dass auf und auf .

Bew.: offen, abg.,

dyadische rationale Zahlen sind rationale Zahlen der Form

, die dicht sind in .

abg., â

s.d.

â

offen, s.d.:

â

offen, usw.

FĂŒr jede dyadische Zahl ( ) konstruieren wir , s.d.

1)

2)

3)

Definieren: ] ( ) {

{ âŁâŁ }

Dann gilt: auf auf .

Beh.: ist stetig

Bew.: Sei . Angenommen ( ) . Sei

â ( ) ( ) ( )

fĂŒr { âŁâŁ } ( ) â nach 1)

â offene Umgebung von

Sei â ( ) â | ( ) ( )| ( ) ( ) ( )

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 29

Satz: Tietze

normaler top. Raum. abg. und beschrĂ€nkte, stetige, reellwertige Funktion auf .

Dann stetig, beschrĂ€nkt, reellwertig auf , s.d. auf .

Bew.: { | ( )| âŁâŁ }

{ âŁâŁ ( )

} abgeschlossen, da {(

)â

}

â

{ âŁâŁ ( )

} abgeschlossen

abg. â Funktion mit ( ) ( )

( )

( )

ist stetig, ( )

( )

| |

â | |

auf

Nach Induktion: { }

1) | |

2) | |

Analog haben wir

{ | ( ) ( ) ( )| âŁâŁ }

| |

| |

auf

â ( ) und ( ) fĂŒr

stetig

| | | | ((

)

(

)

)

(

)

Cauchy-Folge von stetigen Funktionen und konvergieren gleichmĂ€ssig

â Grenzfunktion auch stetig â â stetig

2.5 Kompaktheit / lokale Kompaktheit

Def.: Sei ein topologischer Raum. heisst kompakt, falls jede offene Ăberdeckung von eine

endliche TeilĂŒberdeckung besitzt.

Bem.: heisst kompakt, falls jede offene Ăberdeckung von eine endliche TeilĂŒberdeckung

besitzt.

Lem.: kompakt und abgeschlossen â kompakt.

Bew.: Sei offene Ăberdeckung von â { } ist offene Ăberdeckung von

â endliche TeilĂŒberdeckung von (weil kompakt) â ist eine offene

TeilĂŒberdeckung von .

Bem.: normalerweise: kompakt abgeschlossen

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 30

aber wenn Hausdorff ist (d.h. das Trennungsaxiom gilt!)

Thm.: Seien zwei kompakte, disjunkte Teilmengen, und Hausdorff. Dann of-

fen, getrennt mit .

Bew.:

- Schritt 1: { }

offen und offen mit .

â

{ } ist eine offene Ăberdeckung â { } endliche TeilĂŒberdeckung

von

{ }

- Schritt 2: allgemeine kompakte Mengen.

â offen, { } offen mit

{ } ist eine offene Ăberdeckung von

â { } offene endliche

TeilĂŒberdeckung:

â und offen!

Kor.:

a) Hausdorff und kompakt â abgeschlossen

b) Hausdorff und kompakt â erfĂŒllt 4 (ist ein normaler Raum)

Bew.:

a) kompakt: ist offen? suchen offene Menge mit ,

d.h. . â existiert.

b) disjunkt, abg. â kompakt

â mit und

Satz: Sei eine stetige Abbildung. kompakt â ( ) kompakt.

Bew.: Sei eine offene Ăberdeckung von ( ). Sei { ( ) âŁâŁ } â ist eine offene

Ăberdeckung von .

â { ( ) ( )} Ăberdeckung von mit â { } { }

ist eine

Ăberdeckung von ( ).

Kor.: stetig mit kompakt und Hausdorff. Dann:

a) falls bijektiv ist: ( ) ist offen, offen ( heisst offene Abbildung)

b) falls injektiv ist, dann ist ein HomĂ¶omorphismus zwischen und ( ).

Bew.:

a) Sei eine offene Menge in â ist abgeschlossen und (wegen der Kompaktheit von

) kompakt â ( ) ist kompakt â ( ) abgeschlossen:

( )

( ) â ( ) abg. â ( ) offen

b) bijektiv â ist ein HomĂ¶omorphismus. Sei die Umkehrabbildung: ( ) ( ).

offen â ( ) offen â stetig.

injektiv: setze ( ) ist bijektiv â ( ) ist Hausdorff

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 31

Def.: Ein topologischer Raum heisst lokal kompakt, falls Umgebung von , die kom-

pakt ist.

( offen, kompakt mit . ist dann eine kompakte Umgebung von )

Lem.: Sei Hausdorff und kompakt, und eine abgeschlossene Teilmenge.

Dann ist lokal kompakt.

Bew.: Wissen: Hausdorff + kompakt â 4. Sei

Seien getrennte offene Mengen von mit . Dann: ist offen und

eine Umgebung von (in ). Sei in â ist kompakt!

â â

â .

â ist eine kompakte Umgebung von in !

Thm.: Alexandroff Kompaktifizierung

Sei ein lokal kompakter Hausdorff topologischer Raum. Dann kompakt und Hausdorff

und mit:

a) ( ) ist hĂ¶chstens ein Punkt. Notation: ( )

b) ist ein HomĂ¶omorphismus mit ( )

Veranschaulichung:

{ | | âŁâŁ }

topologischer Unterraum

{ } ist ein HomĂ¶omorphismus

Bsp.: ] ist keine kompakte Menge

Def.: Eine Kompaktifizierung ist durch einen topologischen Raum und eine Abbildung gege-

ben, s.d.:

( ) ist ein HomĂ¶omorphismus

ist kompakt

( )

Bsp.: ] und ] ( ) ] ist eine Kompaktifizierung.

Sei ] , ( ) ( )

- ist kompakt

- ist ein HomĂ¶omorphismus zwischen ] und {( )}

18.10.2012

Bem.: ] ] ] sind nicht homĂ¶omorph.

In der Tat haben wir bewiesen, dass stetig und surjektiv.

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 32

Def.: Ein topologischer Raum heisst zusammenhĂ€ngend, falls jede Menge , die offen und

abgeschlossen ist, trivial ist (entweder oder ).

Bem.: nichtzusammenhĂ€ngend â nichttriviale Teilmenge , die offen und abg. ist

â â

â

Lem.: Sei ein Intervall (offen, abg,âŠ). Dann ist zusammenhĂ€ngend.

Bew.: Sei abgeschlossen. Seien und zwei offene Mengen, s.d. und .

OBdA: . ist abgeschlossen, da mit offen. Falls â fertig.

Sonst enthĂ€lt einen Punkt: . OBdA: .

Sei { âŁâŁ }. ist nicht leer!

â â â â

offen â mit ] â mit und .

â und â , da !

Satz: Sei { } eine beliebige Familie von zusammenhĂ€ngenden Teilmengen eines topologi-

schen Raums. Falls , dann ist â zusammenhĂ€ngend.

Bew.: Sei â und seien und offen, s.d. .

OBdA sei nicht leer. Dann mit . ist gleichzeitig offen und abgeschlossen

in ! â ist dann offen und abgeschlossen in

. zusammenhĂ€ngend â

â .

: â

â

â â

â

Bsp.: { (

) âŁ

âŁ } { ( ) âŁâŁ }. Ăbung: ist zusammenhĂ€ngend

Def.: Ein topologischer Raum heisst wegweise zusammenhĂ€ngend, falls ]

stetig mit ( ) und ( ) (muss nicht injektiv sein).

Falls existiert, sagen wir, dass und Ă€quivalent sind ( ).

đ đ„

đŠ

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 33

Lem.: ist eine Ăquivalenzrelation.

Bew.: Symmetrie: verbindet mit â ( ) ( ) ist stetig und verbindet mit .

TransitivitĂ€t: â ] stetig.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) { ( ) [

]

( (

)) [

]

â ] stetig und verbindet mit .

Def.: Sei ein topologischer Raum. Die Ăquivalenzrelation induziert eine Zerlegung von in

Ăquivalenzklassen (wegweise zusammenhĂ€ngend â Ăquivalenzklasse).

Die Ăquivalenzklassen von heissen âwegweise zusammenhĂ€ngende Komponentenâ von .

Bem.: Die Ăquivalenzklasse von ist die grĂ¶sste wegweise zusammenhĂ€ngende Teilmenge von ,

die enthĂ€lt.

Bem.: Sei . die grĂ¶sste zusammenhĂ€ngende Teilmenge von , die enthĂ€lt.

Sei { }.

â â ist zusammenhĂ€ngend, ist die grĂ¶sste Menge in .

Def.: â

ist die âzusammenhĂ€ngende Komponenteâ von , die enthĂ€lt.

Bem.: Falls ( ) die zusammenhĂ€ngende Komponente von ist, die ( ) enthĂ€lt, dann:

Fall 1:

Fall 2: â ist zusammenhĂ€ngend â â und

â , also:

Def.: Ăquivalenzrelation: , falls die zusammenhĂ€ngende Komponente, die enthĂ€lt, auch

enthĂ€lt.

Lem.: wegweise zusammenhĂ€ngend â zusammenhĂ€ngend

Bew.: nichtzusammenhĂ€ngend â offen mit und .

. Falls ] stetig ist und ( ) ( ) :

( ) ] offen, ( ) ] offen

â , aber ].

( ) â ( ) â â Widerspruch, da ] zusammenhĂ€ngend ist.

Bsp.: (von vorher): zusammenhĂ€ngend, aber nicht wegweise zusammenhĂ€ngend:

{ } ] { (

)

âŁâŁâŁ ] }

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 34

(

)

] stetig mit ( ) (

) und ( ) ( ).

Falls existiert, dann: ] ( ( ) ( ))

( )

( )

{ âŁâŁ ( ) } â ( ) |

( ) (

( ))

Wegen der Stetigkeit von ist auch stetig. ( ) (

( )) ( )

Aber der Limes existiert nicht â Widerspruch.

Thm.: Seien zwei topologische RĂ€ume und stetig. Dann:

i) zusamm. â ( ) zusamm.

ii) weg. zusamm. â ( ) weg. zusamm.

Bew.:

i) ( ) nichtzusamm. â ( ) nichttriviale Zerlegung mit offenen Mengen

â ( ) ( ) nichttriviale Zerlegung von .

ii) ( ) â mit ( ) ( )

] stetig, ( ) ( )

] ( ) stetig, ( ) ( ) ( ) ( )

2.6 Produkte

Def.: Seien topologische RĂ€ume. Die Produkttopologie auf ist die

Topologie mit der Basis { âŁâŁ }.

Bem.: { } ist die Basis einer Topologie {â âŁâŁ } ist eine Topologie

1) mit .

2) mit

Bew.:

- âââ: offen! â s.d. â

â s.d.

- âââ: Wegen der Definition ist die Vereinigung beliebiger Elemente aus wieder in . Zu zei-

gen: , dann ist . Es genĂŒgt: .

â

â

â â

zu zeigen: . Allgemein: .

Sei )â mit â â

Bleibt noch zu zeigen: . FĂŒr die leere Menge offensichtlich. FĂŒr :

Sei )â mit â â .

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 35

Produkttopologie:

Lem.: top. RĂ€ume. Dann ist { âŁâŁ } eine Basis von

.

Bew.: ! 2) ist klar. Noch zu zeigen: mit :

Seien und .

Sei ( ) ( ) ( ) , aber ist of-

fen

â ( ) ( )â

( ) ( )

Bsp.:

Bem.: ( ) metrische RĂ€ume.

induziert von (âProduktmetrikâ): { } Produkt-

topologie. Dann gilt: .

Bew.:

- jede offene Kugel

( ) ( ) s.d. ( ) ( )â

( )

- jede (offene) Menge ist die Vereinigung von Kugeln: Kugel mit

.

( ) ( )â

( )

Zusammenfassung: ( ) metrischer Raum. Die âTopologieâ auf hat zwei wichtige

Basen: { } und { }.

Thm.:

Hausdorff â Hausdorff.

(wegweise) zusammenhĂ€ngend â (wegweise) zusammenhĂ€ngend.

kompakt â kompakt (Spezialfall von Tychonoff).

Bew.:

Hausdorff.

â mit

â offen mit

â

đ

đ

đ đ

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 36

z.z.: weg. zusam. â weg. zusam.

Seien . Gesucht: ] stetig, so dass ( ) ( ) .

sei ( ) s.d. ( ) ( ( ) ( )).

Lem.: Die Produkttopologie ist die kleinste Topologie, fĂŒr welche die Projektionen stetig

sind ( ( ) ).

Bew.: Stetigkeit von offen â

( ) offen

( ) â

Sei eine Topologie, s.d. stetig ist. Dann

â â

offen â Produkttopologie

Satz: Seien top. RĂ€ume. Sei und

die Projektionen.

Dann: stetig stetig,

Bem.: ( ) ( ( ) ( ))

Bew.:

- âââ: stetig â stetig

- âââ: ( ). Sei offen, z.z.: ( ) offen.

{ âŁâŁ } Basis der Topologie, .

â

â ( ) â ( )

Sei

( )â ( )

{ âŁâŁ ( ) } { âŁâŁ ( ) }

â{ âŁâŁ ( ) }

â( ) ( )â

â

weg. zusam. â ] stetig mit ( ) ( )

â stetig, ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ))

25.10.2012

z.z.: zusammenhĂ€ngend â zusammenhĂ€ngend.

Satz: Seien top. RĂ€ume, (mit der Produkttopologie!)

Seien

. Dann ist die Abb.

( ) ein HomĂ¶omorphismus zwischen und

{ ( ) âŁâŁ }, d.h. zwischen und ( ).

Bew.: ist injektiv und surjektiv auf ( ). Z.z.: ist stetig. Sei dazu eine offene Menge:

â mit Basis â ( ) â ( )

Zu zeigen: ( ) ist offen

Als wĂ€hlen wir: â

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 37

( ): Zwei FĂ€lle:

- { } { } â ( ) offen â ( ) offen

- â ( ) offen

zusammenhĂ€ngend â zusammenhĂ€ngend. Wir beweisen das fĂŒr

(â allgemein).

, offen. OBdA:

Sei , { ( ) âŁâŁ } stetig â ( ) ( ) offen

â ( ) ( ) â ( ) ( )

â entweder ( ) oder ( )

â â und

Sind und offen? Wissen: offen (wegen Annahme)

Sei { }

( ) â ist offen, ( ) â ist offen

zusammenhĂ€ngend â (da wegen Ann. )

â

kompakt â kompakt. Es reicht: kompakt â kompakt.

Sei { } eine offene Ăberdeckung von . Ziel: endliche TeilĂŒberdeckung.

{( ) âŁâŁ } ( ) ( )

ist HomĂ¶omorphismus. kopmakt. â ( ) kompakt

{ } ĂŒberdeckt

â { ( ) ( )( )} ist TeilĂŒberdeckung von

Annahme: Die Ăberdeckung { ) ist derart:

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

ist offen in

â { } ist eine offene Ăberdeckung von . kompakt â s.d.:

ein Ăberdeckung von ist.

ist eine Ăberdeckung von

( )

( )( )

( ) ( )

( )

( )

( )( )

đĄ

đ

đ

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 38

also bis jetzt: Falls {

}

eine offene Ăberdeckung ist, dann endliche TeilĂŒberde-

ckung.

Sei { } eine allgemeine Ăberdeckung. â ( ) ( )

â

und offen mit

( )

{

} ist eine offene Ăberdeckung â s.d. {

} eine

Ăberdeckung â { ( ) ( )} ist auch eine Ăberdeckung.

Lem.: Sei ein top. Raum und eine Basis der Topologie. Dann gilt:

ist kompakt offene Ăberdeckung endliche TeilĂŒberdeckung.

Bew.: (Konsequenz aus dem vorherigen Beweis)

Def.: Sei eine Menge und { } eine Familie topologischer RĂ€ume. Das Produkt ist

â

{ â

âŁâŁâŁâŁ ( ) } {( ) }

Bsp.:

â { ( ) âŁâŁ }

Bem.: Die Produkttopologie auf â hat die Basis:

{

{ ( ) âŁâŁâŁ

{ } }

Bsp.:

{ }

â

Thm.: Tychonoff

kompakt â â kompakt.

2.7 Quotienten

Bem.: anschaulich: Blatt falten â zwei Punkte am Rand, die vorher verschieden waren, sind Ă€quiva-

lent.

Def.: Sei ein top. Raum und eine Ăquivalenzrelation

â { ]} ] { âŁâŁ }

â ( ) ]

Die Quotiententopologie ist die grĂ¶sste Topologie auf â , fĂŒr welche eine stetige Funk-

tion ist.

Lem.: { â âŁâŁ ( ) } ist eine Topologie.

Bew.: z.z.: Der endliche Schnitt offener Mengen ist offen, und die Vereinigung offener Mengen ist

offen. z.B.:

{ } . Dann ( ) ist offen! (â )â

â ( ) ist offen in

â â ist offen!

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 39

( ) ( offen!)

( â ) ( â offen)

Bsp.: ] mit der euklidischen Topologie

( ) ( )

{

Beh.: â (HomĂ¶omorphismus)

] ( ) ( )

zu beweisen: â . ist ein HomĂ¶omorphismus zwischen â und ( â ) .

01.11.2012

Bsp.: ] ] mit der Unterraumtopologie

( ) ( ), wenn {

] {( ) âŁâŁ ]

}

â ( ) ( )

stetig, deswegen stetig.

â

ist wohldefiniert, weil ( ) ( ) â ( ) ( )

( ) ( ) â und:

-

-

-

ist stetig, umkehrbar, und ist stetig.

MĂ¶gliche LĂ¶sung: â ]

â ], wobei:

{

andere LĂ¶sung: ist :

Zylinder đ â

đ

đ â

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 40

rot: (( )) ] (( )) ] â

offen.

Falls und , dann .

Sei â Projektion:

( ) ist eine offene Umgebung von ( )]

: beschrĂ€nkt und abgeschlossen â kompakt.

zur Erinnerung: kompakt stetig und umkehrbar â stetig.

- ist surjektiv: Seien ]

. WĂ€hle ] so dass

â ( ( )]) ( )

- ist injektiv: Seien ( )] ( )] â ]

( ( )]) ( ) ( )

( ( )]) ( ) ( )

( ( )]) ( ]) und

â oder oder

( )] ( )] ( ) ( )

- ist stetig: Sei offen. Zu zeigen: ( ) ist offen.

( ) { ( )] âŁâŁ ( ( )]) } { ( )] âŁâŁ ( ) }

{ ( ) âŁâŁ ( ) } { ( ) âŁâŁ ( ) ( ) } ( ( ))

ist offen in stetig â ( ) ist offen in

Deswegen: ( ) ( ( )) ist offen genau dann, wenn:

( ) ( ) ( ) ( ) â ( ) ( )

stimmt, denn ( ) ( ) â ( ) ( )

Lem.: Seien zwei topologische RĂ€ume und stetige Abbildung.

Sei eine Ăquivalenzrelation auf , s.d.: â ( ) ( ). Dann:

â ] ( ) ist wohldefiniert und stetig.

Bem.: Ăbung: Sei â stetig und sei definiert als ( ) ( ]). Dann ist ste-

tig.

Einblick in die algebraische Topologie (kein PrĂŒfungsstoff)

Beh.: und sind nicht homĂ¶omorph.

Bew.: Beweis durch Widerspruch: Sei ein HomĂ¶omorphismus. Sei

{ } { ( )}

{ } ] ] offen â { } nicht zusammenhĂ€ngend.

{ ( )} ist zusammenhĂ€ngend, da wegweise zusammenhĂ€ngend

{ ( )} { } stetig â Widerspruch (da das Bild einer zshg. Teilmenge nicht-

zshg. ist)

Frage: und homĂ¶omorph?

Die erste Fundamentalgruppe:

Def.: Sei ein top. Raum. Eine Schlinge ist eine stetige Abb. ] s.d. ( ) ( ).

Bem.: Ăquivalent dazu: Eine Schlinge ist eine stetige Abb. .

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 41

]

â mit {

Bem.: Triviale Schlinge: mit ( )

Def.: Eine Homotopie zwischen zwei Schlingen und ist eine stetige Abb. ]

s.d.: ( ) ( ) ( ) ( ) .

Def.: und sind Ă€quivalent, falls sie homotop sind ( ).

Lem.: ist eine Ăquivalenzrelation.

Bew.:

- : ( ) ( )

- â : Sei eine Homotopie zwischen und : ( ) ( )

- und â : Sei Hom. zwischen und und zwischen und .

( ) { ( ) [

]

( ) [

]

Bem.: Sei top. Raum. Sei ( ) die Familie der Schlingen in .

Betrachte ( ) â { ] âŁâŁ } ( ).

Sei HomĂ¶omorphismus: induziert eine Abbildung ( ) ( )

Sei Schlinge â

umgekehrt: Schlinge â Schlinge

Ausserdem: ] Homotopie

]

Bem.: Sei . Dann ( ) ] stetig s.d. ( ) ( )

Homotopie zwischen und :

] ] stetig

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) â . ] ] habe ] ] ] ( ) {

( ) [

]

( ) [

]

( ) ist eine Gruppe mit ], wobei

Inverses Element von ] ( ): ] ] ( ) ( )

06.11.2012

Bem.: Korrektur zu 1.11.:

đŸ đŸ đ đ đ

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 42

Auf [

]

haben wir ( ) ( ), wenn ( ) ( ) oder { } { } und

. â ]

( )] ( )

stetig, bijektiv.

Umkehrabb. stetig, da eine surjektive Abb. von kompaktem Raum auf Hausdorff ist eine offe-

ne Abbildung. Wir brauchen also: kompakt, Hausdorff.

kompakt, da ist stetig und surjektiv. Hausdorff, da z.B. ein metrisches Raum.

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 43

Teil II: âKlassischeâ Fla chen in

Skript: N. Hitchin, Chapter 4: Surfaces in

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 44

Def.: Eine glatte/regulĂ€re FlĂ€che in ist eine Teilmenge , s.d. zu jedem Punkt eine

Umgebung existiert (induzierte Topologie), und eine Abb. offen,

( ) ( ( ) ( ) ( )), s.d.:

ist ein HomĂ¶omorphismus

( ) besitzt alle Ableitungen

in jedem Punkt von sind

und

linear unabhĂ€ngig.

Def.: heisst Parameterdarstellung; heissen Parameter von .

Bem.: und linear unabhĂ€ngig heisst:

(

)

(

)

hat maximalen Rang

( ( )) maximal s.d. ( )

( )( )

Bem.: Ă€quivalent zur obigen Definition:

FĂŒr jeden Punkt Umgebung von in und eine offene Menge in

( ), sowie ein Diffeomorphismus

( ) ( { }) { } .

Bew.: mit implizitem Funktionensatz

Def.: Eine glatte FlĂ€che ist eine FlĂ€che mit einer Klasse von HomĂ¶omorphismen , s.d. jede Ab-

bildung ein glatter, invertierbarer HomĂ¶omorphismus ist.

đ đ

đ đ

đ đŁ

đą

đđŁ

đđą

đ

đ

đ

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 45

Def.: Eine glatte Abbildung zwischen glatten FlĂ€chen und ist eine stetige Abb. , s.d.

fĂŒr jedes glatte Koordinatensystem auf , das enthĂ€lt, und definiert in einer

Umgebung von ( ) auf , die folgende Komposition glatt ist: .

Bsp.: (fĂŒr FlĂ€chen in )

1) Kugel: ( ) in

( )

2) Torus:

( ) ( )( )

3) Ebene:

( ) fĂŒr konstante Vektoren mit und linear unabhĂ€ngig.

Def.: Eine Ănderung der Parametrisierung ist die Komposition , wobei ein

Diffeomorphismus ist (invertiere Abb., sodass alle Ableitungen besitzen).

Bsp.: ( ) Ebene: ( ) besitzt eine andere Parametrisierung in Polarkoordinaten:

( )

Bem.: Wenn und linear unabhĂ€ngig sind, dann auch ( ) und ( ) :

Falls ( ) ( ( ) ( )), dann folgt mit der Kettenregel:

( ) ( )

also:

(( )

( ) ) (

) (

)

Da eine differenzierbare Umkehrfunktion besitzt, ist die Jacobimatrix invertierbar.

Def.: Die Tangentialebene einer FlĂ€che im Punkt ist der Vektorraum aufgespannt durch

( ) ( ).

Bem.: Die Tangentialebene ist unabhĂ€ngig von der Parametrisierung.

Def.: Eine glatte Kurve, die auf einer FlĂ€che liegt, ist eine Abb. ( ( ) ( )) mit allen Ableitun-

gen, s.d. ( ) ( ( ) ( )) eine parametrisierte Kurve in ist.

đđâČ đđ

đđâČ

đ đ

đđ

đ đ đ

đ

đ đ

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 46

Bem.: Das bedeutet: ( ) ( ) besitzen alle Abl. und

( ) ( ( )

( ))

( ) ( )

Bem.: BogenlĂ€nge von zwischen und :

â« | ( )|

â« â

â« â( )

â« â

Def.: Die erste Fundamentalform einer FlĂ€che in ist:

Bem.: Die erste FF ist eine quadratische Form ( ) auf den Tangentialraum. Eine Mat-

rix-Darstellung dieser quadratischen Form bezgl. Basisvektoren ist (

).

Bem.: Ausrechnen der BogenlĂ€nge einer Kurve ( ( ) ( )) auf der FlĂ€che:

â«â (

)

(

)

Dies ergibt sich durch Division der FF durch und Multiplikation der Quadratwurzel mit .

08.11.2012

Bsp.: ( ) Tangentialebene

( )

Bem.: Jede Kurve einer FlĂ€che ( ) lĂ€sst sich in der Form ( ) ( ) darstellen, d.h.:

( ) ( ( ) ( )) ist eine Darstellung der Kurve in

Bsp.: Ebene

( ) ( )

( )

(

) ( ) (

) ( )

(đą(đĄ) đŁ(đĄ))

đĄ

đŁ

đą

(đą(đĄ) đŁ(đĄ))

đ(đą(đĄ) đŁ(đĄ))

đą

đŁ

đ„

đ§

đŠ

đ đ

đ

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 47

Bsp.: Zylinder ( )

( ) ( )

(

) ( ) (

) ( )

( )

â

Bsp.: Kugel

( ) ( )

( ) ( )

( )â

( )â

â

Def.: Eine FlĂ€che, die durch rĂ€umliche Drehung einer Kurve um eine fixe Gerade erzeugt wer-

den kann, heisst eine RotationsflĂ€che.

Bsp.: ( ) ( ( ) ( ) )

( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )

đą

đŁ

đ§

đ

đ„

đŠ

đŁ

đą

đą

đŁ đ

đ§

đ„

đŠ

đŁ đ đ

đą

đŽ

đą

đ

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 48

( ) ( )

â ( ( ) ) ( )

Bem.: Die erste Fundamentalform wurde eingefĂŒhrt, um die LĂ€nge einer Kurve auf zu berechnen.

Aber sie hat noch einen weiteren Nutzen: Seien und zwei Kurven auf der FlĂ€che , die

sich schneiden. Der Winkel, den sie bilden, wird so gegeben:

| ||

|

Darstellung fĂŒr , ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

( ) ( ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )))

( ) ( ( ) ( ) ( ))

( ) (

) â

( )

â

( )

( )

berechnen:

(

) (

) â

â

(

) â

Der Winkel also nur von der ersten Fundamentalform und von den Kurven ab.

Def.: Der FlĂ€cheninhalt von dem Bereich ( ) auf einer FlĂ€che wird wie folgt definiert:

â« | |

Bem.: Die LĂ€nge von entspricht dem FlĂ€cheninhalt des Parallelogramms, das von den Vekto-

ren und aufgespannt wird:

( ) ( ) â (

)

Bem.:

â« | |

â«â

đŸ

đŸ

đŸ

đŸ

đ

đą

đŁ

đ

đ đ

đđŁ(đ)

đđą(đ)

đđą đđŁ

đ(đ)

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 49

Bew.: | | |(

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

)|

(( ) ( ) ( ) ( ) ) (( ) ( )

( ) ( ) ) (( ) ( ) ( ) ( ) )

( )( ) ( )

Bem.: Die Definition vom FlĂ€cheninhalt ist unabhĂ€ngig von der Darstellung.

Bew.: ( ) ( ( ) ( ))

â ( )

zu zeigen:

â« | |

â« | |

Es gilt:

â« | |

â« | | | |â ( )

( ) ( )

â« | |

Bem.: Wir betrachten zwei FlĂ€chenstĂŒcke und , die durch je eine Darstellung

( ) ( )

gegeben sein mĂ¶gen, und eine Abbildung von auf . Wir wollen diese Abbildung durch

Funktionen der Form

( ) ( ( ) ( ))

angeben.

Auf kann man neue Koordinaten ( ) einfĂŒhren, indem man die Abbildungsfunktionen

und zu einer Koordinatentransformation benĂŒtzt, d.h. wir wĂ€hlen ( ) so, dass

( ) ( ( ) ( ))

Dann hat die Abbildung von auf in diesen neuen Koordinaten die einfache Gestalt:

Das heisst: Die Werte der Koordinaten jedes Bildpunktes stimmen mit denjenigen des zuge-

hĂ¶rigen Urbildpunktes ĂŒberein.

und haben die gleichen Koordinatensysteme.

Def.: Zwei FlĂ€chen und heissen isometrisch, falls ein regulĂ€rer HomĂ¶omorphismus

existiert, der Kurven in auf Kurven in der gleichen LĂ€nge abbildet.

đ

đ

đ đ

đą

đŁ

đ

đą

đŁ đą

đŁ đ

đą đą

đŁ đŁ

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 50

Def.: Eine Abbildung eines FĂ€chenstĂŒckes auf ein FlĂ€chenstĂŒck heisst isometrisch, wenn die

LĂ€nge jedes KurvenstĂŒckes in mit der des zugehĂ¶rigen BildkurvenstĂŒckes in ĂŒberein-

stimmt.

Bsp.:

- Wir nehmen ein Blatt und biegen es: die LĂ€nge bleibt gleich!

- Der Kegel und eine Teilmenge der Ebene sind isometrisch:

Bem.: Ein notwendiges und hinreichendes Kriterium fĂŒr die LĂ€ngentreue einer Abbildung gibt fol-

gender Satz:

Satz: Eine Abbildung eines FlĂ€chenstĂŒckes auf ein FlĂ€chenstĂŒck ist genau dann isometrisch,

wenn bei Vorliegen gleicher Koordinatensysteme auf und fĂŒr jeden Punkt von die

Koeffizienten der ersten Fundamentalform auf mit den Koeffizienten der ersten Funda-

mentalform auf in dem zu gehĂ¶rigen Bildpunkt ĂŒbereinstimmen.

Bew.: âââ: Sind die Koordinaten auf und diejenigen auf , so ist (da gleiche Koordina-

ten vorliegen sollen) die Abbildung von auf gegeben durch: .

Ist weiter ( ) ( ) ein beliebiges KurvenstĂŒck auf . Das Bild

( ( )) kann wegen der Gleichheit der Koordinaten in der Form

( ) ( )

dargestellt werden.

Ein Teil ( ) ( ( ) ( )) von hat die LĂ€nge:

( ) â« â

und das zugehĂ¶rige Bild hat die LĂ€nge:

( ) â« â ( ) ( ) ( ) ( )

wobei der Strich die Ableitung nach kennzeichnet. Stimmen fĂŒr jeden Punkt von die Koef-

fizienten mit den Koeffizienten des zugehĂ¶rigen Bildpunktes ĂŒberein, so ist

( ) ( ).

đŁ

đą

( (đĄ) (đĄ))

đ

đ đ

đ

đ

đ

đ

đŁ

đą

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 51

âââ: Sollen umgekehrt und dieselbe LĂ€nge haben, sowie auch jeder Teil von und der

zugehĂ¶rige Teil von , so mĂŒssen die Integranden beider Integrale ĂŒbereinstimmen.

Soll die LĂ€nge jedes beliebigen KurvenstĂŒckes auf mit derjenigen des BildkurvenstĂŒckes auf

ĂŒbereinstimmen, so mĂŒssen die Integranden fĂŒr jedes beliebige Funktionenpaar ( ) und

fĂŒr jeden Wert von gleich sein, d.h.: fĂŒr jeden Punkt.

Bem.: Wir betrachten nun die grundlegende Frage nach der geometrischen Gestalt einer FlĂ€che in

der Umgebung eines beliebigen Punktes dieser FlĂ€che.

Wir betrachten eine FlĂ€che ( ) und wir schieben sie in Richtung des Normalenvektors

um den Betrag nach innen. Damit erhalten wir eine Familie von FlĂ€chen, die von abhĂ€n-

gen: ( ) ( ) ( ).

Bem.: FĂŒr haben wir eine von abhĂ€ngige Fundamentalform:

( )

Jetzt berechnen wir Folgendes:

|

( )|

( ( ) )|

( )

2. Fundamentalform

Bem.:

WĂ€hrend die erste Fundamentalform die innere Geometrie einer FlĂ€che beschreibt, hĂ€ngt

die zweite Fundamentalform von der Lage der FlĂ€che im umgebenden Raum ab.

Die zweite Fundamentalform ist eine quadratische Form auf der Tangentialebene.

FĂŒr den durch die Parameterwerte und bestimmten Punkt der FlĂ€che ist der Einheits-

normalvektor gegeben durch:

| |

ïżœïżœ

đą

đŁ

đ

ïżœïżœ

đđą

đđŁ

Tangentialebene

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 52

â ( ) â

( )

( ) }

â

Def.: Die zweite Fundamentalform ist folgende quadratische Form:

mit den Koeffizienten:

Bem.: Die zweite Fundamentalform ist dann die quadratische Form:

( )

Prop.: Falls die zweite Fundamentalform einer FlĂ€che verschwindet ist, dann ist eine Teilmenge

einer Ebene.

Bew.: â

( â â )

â( ) ( )

( ) ( )} â Konstante â Gleichung einer Ebene.

13.11.2012

Wiederholung: II. Fundamentalform einer FlĂ€che:

Sei eine glatte 2D-FlĂ€che, d.h. , so dass Umgebung von s.d.

( ), wobei offen und eine injektive Abbildung ist mit

linear unabhĂ€ngig .

Tangentialebene: durch und aufgespannt. Normalenvektor:

| |

] ( ) ( ) ( )

â

fixiert : Erste Fundamentalform der â -FlĂ€cheâ.

Zweite Fundamentalform:

đ

đą

đŁ đ đđą

đđŁ đ( đŁ)

đ(đą )

ÎŁ

đ( )

đ( ) đ( )

đ(đą đŁ) đ(đą đŁ )

đ(đą đŁ đĄ) đĄ đ

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 53

|

(

|

|

|

)

Bemerkung: , aber ist schon genug!

Satz.:

( )

Damit: ( ) ( ) ( )

Bew.:

( )|

( ( ) ( ))|

(( ) ( ))|

( )|

( )â

Bem.: ( )

Bem.: Ăhnlich zur Hessâschen Form: (

)(

)

Satz: Sei Graph von mit . Sei ( ( )).

Falls ( ) , dann hat die zweite Fundamentalform folgende Gestalt:

[ ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ]

Bew.: Sei ( ) ( ( ))

( ) ( ) sind linear unabhĂ€ngig

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

â ( ) ( ) ( )

Es gilt: ( ) ( ) ( )

| | ( )

( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )

â ( )

Thm.: Wenn Graph von , dann:

â

( )

đ„

đŠ

đ§

đ

đ

đ đ

đ(đ„ đŠ)

đ

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 54

Bew.: ( ) ( ( ))

( ) ( ) ( ) ( )

|( ) ( )|

( )

â

( ) ( ) ( )

Kor.: Wenn zusammenhĂ€ngend und , dann ist mit Ebene.

Bew.: In einer Umgebung von : die FlĂ€che ist der Graph einer Funktion.

in â â ist eine lineare Funktion. In einer Umgebung von ist

.

Sei und so, dass in einer Umgebung von . Sei

{ âŁâŁ }.

- ist offen wegen Definition.

- ist abgeschlossen in : Sei { } so, dass .

â s.d. Ebene

â

â offen und abgeschlossen, nichtleer! â zusammenhĂ€ngend

Bem.: Die Fundamentalformen als âgeometrische Objekteâ:

â

â

( )â

-Diffeomorphismus

( ( ) ( ))

( ) ( ) ( ( ) ( ))

-

( ( ( ) ( ))) â

â

-

linear unabhĂ€ngig â

linear unabhĂ€ngig, falls (

) invertierbar ist Dif-

feomorphismus

â âČ

â

âČ

â

âČ

Lem.: (

) (

) (

) (

)

Bew.:

( ) ( )

( ) ( )

(

) (

) (

) (

)(

) (

)

Bem.: :

. Dann:

( )

đ„ đ

đ„đ đđ s.d. ÎŁ đđ đ

FĂŒr đ đđ đ ist offen

und ÎŁ đđ đ nichtleer

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 55

Bew.: ( ) ( )

(

) ( )

( ) ( )

(

) ( )

( )

(

) (

) (

) (

)

( )

(

)(

)

Beh.:

Bew.:

( ) ( )

( ) ( ) â {

15.11.2012

Rep.: (

) (

) (

) (

)

Bem.: âš

( ) ( ) â

â

|

|

| |

| |

Lem.: (

)

âČ

âČ

| âČ

âČ |

| | ( )

(

)

âČ

âČ

| âČ

âČ |

| | ( )

Bem.: Also im Fall A: ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ( ))]

Im Fall B: ( ) ( ) ( )

Kor.:

Im Fall ( ): (

) (

) (

)(

)

Im Fall ( ): (

) (

) (

)(

)

Bew.: (Fall A) Es gilt: (

)â

( )

(

) (

) (

)

â ( )

weil gleich der ersten Fundamentalform der FlĂ€che {( ) ( )}.

FĂŒr klein genug ist ( ) ( ) in eine Parametrisierung einer FlĂ€che.

(

)

( )|

( )|

(

) (

)(

)

Def.: Die Gaussâsche KrĂŒmmung K ist:

(

)

(

)

(

)

Bem.: ( ) ( )

( ) ( )

â âČ âČ âČ

âČ âČ âČ

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 56

Bem.:

- ist positiv deviniert! (weil lin. unabh.)

- ( ) ( ( ) ( )) ist Diffeo.

Thm.: Theorema Egregium

Die Gaussâsche KrĂŒmmung hĂ€ngt nur von ab (d.h. zwei isometrische FlĂ€chen haben die

gleiche Gaussâsche KrĂŒmmung).

Bsp.: ] ( ) ( ) FlĂ€che

] ( ) ( ) Zylinder

Bem.: Die LĂ€nge einer Kurve bleibt gleich!

( )

( ) ( ) ( ) â

Bem.: Die zweite Fundamentalform einer Ebene ist 0. Wenn die zweite FF 0 ist, dann ist die

FlĂ€che ein Teil der Ebene:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) â

( ) â

( ) â

( ) (

)

(

) ( )

(

)

(

)

Bsp.: SphĂ€re und Ebene sind nicht isometrisch, d.h. { ( ) âŁâŁ }

und { ( ) âŁâŁ ( ) } sind nicht isometrisch, d.h.:

s.d. (1FF von ( ) ) (1FF der Ebene)

Bew: ( )

(UE) ( )

Bew.: des Theorema Egregium

Bem.: Sei eine FlĂ€che und eine Parametrisierung. ein Vektorfeld

auf ( ) ( ( ))â ( )

Projektion auf die Tangentialebene von

:

( ) (âkovariante Ableitungâ)

Bem.: Wenn tangential ist, dann hĂ€ngt nur von und von ab.

Bew.: ( ) ( )

( )â

( )

â

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 57

â (

) (

) ( ) â (

) (

)

(

)

â ( )

(

)(

)

â

( )

( )

Damit:

( )

( ( ) ( ))

( ( ) ( ))

Wichtig: ( ) ( ) ( )

( ): Eine Funktion von ( ) ( )

Behauptung: sind alles Ableitungen von der 1FF:

-

( )

-

( )

- ( ) ( )

-

Also sind ( ) usw. alles lineare Kombinationen von

.

( ) und ( ) heissen Christoffel Koeffizienten.

Def.: Die Riemannâsche KrĂŒmmung ( ist Tangentialvektorfeld):

( )

Bem.: Schritt 1: Beh.: ( ) : Drehung von mit Winkel

Folgerung: ist eine Funktion der und ihrer Ableitungen

Bsp.: â ( ) ( )

(( ) ( ) )

Schritt 2: (Die Riemannâsche KrĂŒmmung ist fast die Gaussâsche KrĂŒmmung)

â â

â

Damit: Funktion von und ihrer Ableitung.

20.11.2012

Schritt 1:

( )

| |

Wenn

( ) â

Beh.: ( ) âDrehung von

â ( )

LĂ€nge: | |

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 58

Schritt 2:

â

Schritt 1 + Schritt + letzte Vorlesung: â ist eine Funktion von und ihrer Ableitungen.

( hĂ€ngt von und Abl. ab)

Schritt 2 â

â â ( )

Bew.:

Schritt 1:

Lem.1: ( ) ( ) ( )

Bew.: HA

Lem.2: ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

Bew.: ( ) ( ) ( ( ) ) mit Lem.1 berechnen

Lem.3: | | â| | | | ( )

Damit:

( )

[Bem.: Vektorfeld mit | |, dann ]

( )

( ) ( ) ]

( ) â

( ) â

( )

]

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

â ( )â

( ) ( ) ( ) ( )

đ đ(đą đŁ đ)

ÎŁ

đ

đ

đđŁ đđÎŁ

đđą

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 59

, falls und linear abhĂ€ngig sind.

( )

| | | |

Schritt 2:

gesucht:

( ) ( ) | |

( ) ( )

â| | | | ( )

( ) ( )

â

( )( ) ( )( )

â

â

Also hĂ€ngt die Gaussâsche KrĂŒmmung von ab.

Gauss-Bonnet: (kein PrĂŒfungsstoff)

- geodĂ€tische KrĂŒmmung einer Kurve

- â« ( )

in der Ebene: die Summe der Winkel eines Dreiecks ist , aber:

Kugel: | |

4

â

Betrachte den Kreis als eine Gerade, dann haben wir ein Dreieck

Summe der Winkel ist hier

Bem.: Eine glatte Kurve: ] â : Geschwindigkeit, : Beschleunigung

Parametrisierung nach BogenlĂ€nge: | |

Wenn eine Parametrisierung nach BogenlĂ€nge ist, dann heisst die KrĂŒmmung.

| | â

| |

Kor.: Die KrĂŒmmung ist orthogonal zur Kurve.

đ

đ đ

đ

đ

đ

đ â

đ â

đ â

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 60

Bem.: KrĂŒmmung ist unabhĂ€ngig von Parametrisierung: Falls andere Parametrisierung: ( )

( ), dann: ( ) ( ) ( ) ( ).

Def.: Die geodĂ€tische KrĂŒmmung einer Kurve auf ist die Projektion von auf ( Parametri-

sierung nach BodenlĂ€nge).

Def.: Die GeodĂ€te ist eine Kurve mit geodĂ€tischer KrĂŒmmung .

Bem.: Die GeodĂ€te ist der kĂŒrzeste Weg!

Def.: Sei eine FlĂ€che, das normale Einheitsvektorfeld, eine Parametrisierung

einer Kurve nach BogenlĂ€nge. ( )

Bem.: ( ) ( )]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Thm.: Gauss Bonnet

Parametrisierung einer FlĂ€che mit .

| |

Behauptung:

â«

â«

â mit (da )

Bem.: Zusammenhang mit Winkel in Dreiecken

nicht âgenug differenzierbarâ, deshalb Theorem falsch (sonst in einer Ebene âŒ)

â« â«

â â« ( )

( ) â«

â«

đ

Kurve đ đ¶

đ

đŸ

đŸ

đŸ đŸ đŸ đŸ GeodĂ€ten

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 61

Teil III: Mannigfaltigkeiten

Skript: N. Hitchin, Differentiable Manifolds

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 62

1. Mannigfaltigkeiten

22.11.2012

Zwei Definitionen fĂŒr Mannigfaltigkeiten:

âĂŒblicheâ Def. (T)

moderne Def. (Skript) (M)

Def.: Karte

(T) Sei ein topologischer Raum. Eine Karte ist ein Paar ( ), s.d.:

1) ist offen

2) ist ein HomĂ¶omorphismus zwischen und ( ).

(M) Sei eine Menge:

1) ( ) ist offen

2) ( ) ist eine bijektive Abb.

Bsp.: Parametrisierung eines Teils von : ( ) ( ( ))

| ( ) ( ). Dann ist ( ) eine Karte.

Bsp.:

Def.: ( ) ( ) sind kompatibel, falls:

entweder

oder: falls , dann ( )â

( )â

ist ein HomĂ¶omorphismus.

Bsp.:

Bem.: auch ( ) ist HomĂ¶omorphismus.

Def.: Ein Atlas von ist eine Familie von Karten {( ) } s.d.

1) â ({ } ist eine Ăberdeckung von )

2) { } s.d.

3) sind ( ) und ( ) kompatibel.

ZH đ

đ

đ

đ

đ

đ(đ đ)

đ

đ

đ

đ đ

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 63

Bsp.:

( ) ( )

Ăbung: Beweis der KompatibilitĂ€t von ( ) und ( ).

Def.: Mannigfaltigkeit

(T) Eine Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum , der einen Atlas besitzt. Die Zahl in 2)

der Def. eines Atlas ist die Dimension der Mannigfaltigkeit.

(M) Eine Mannigfaltigkeit ist ein Paar ( ), wobei eine Menge und ein Atlas ist. Aber zwei

Paare ( ) ( ) sind die gleiche Mannigfaltigkeit, falls ( Bijektion), und jede Kar-

te in ist kompatibel zu jeder Karte in .

zusĂ€tzlich:

ist ein Hausdorff Raum ( ).

besitzt eine abzĂ€hlbare Basis.

Bem.: Im Fall ( ) sind zwei Karten immer kompatibel:

( ) ist ein HomĂ¶omorphismus

( ) ist ein HomĂ¶omorphismus

( ) ( )

( ) im

( ) im

Es gibt ein Theorem, das besagt, dass .

Kor.: Die Struktur der Mannigfaltigkeit im Fall ( ) hĂ€ngt nur von der Topologie ab.

Def.: Im Fall ( ) definieren wir wie folgt eine Topologie auf :

Eine Menge ist offen, falls Karte ( ) ist ( ) eine offene Menge in

.

Bem.: Mit dieser Topologie ist eine Mannigfaltigkeit gemĂ€ss ( ).

Def.: FĂŒr schreiben wir: , falls analytisch ist.

Def.: Sei ( ) eine Mannigfaltigkeit mit einem Atlas. definiert eine Struktur (wobei

{ } { }), falls ( ) ( ) ist ein -Diffeomorphismus: i.e.

und .

đ„

(đ đ )

(đ đ )

đ (đ„)

đ (đ đ )

đ đ đ đ

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 64

Def.: Zwei -Strukturen ( ) und ( ) sind -Ă€quivalent ( ), falls ( )

( ) gilt: und .

Bem.: Wenn zwei Strukturen -Ă€quivalent sind, dann sind sie auch -Ă€quivalent.

FĂŒr Mannigfaltigkeiten mit Dim. 1,2,3 gilt: -Ăquivalenz â -Ăquivalenz.

Bem.: Ab jetzt nur noch -Mannigfaltigkeiten (das spart uns einige Probleme).

Lem.: Falls ein Diffeomorphismus ist, dann muss sein.

Bew.: diffbar, so dass , mit .

( )

Kettenregel:

| ( ) | ( )| .

Deshalb: | ( ) ist die Umkehrung der linearen Abb. | â .

Thm.1: Sei eine -Abbildung mit ( { }) { }. Sei ein regulĂ€-

rer Wert (d.h. | hat Rang (= maximalen Rang) ({ })).

Falls ({ }) , dann hat ({ }) eine Struktur als -Mannigfaltigkeit mit Dimension

.

Thm.2: Implizites Funktionentheorem

Sei . Sei s.d.

( )

( ) linear unabhĂ€ngig sind.

Dann: FĂŒr ( )

Umgebung von Umgebung von und s.d.:

({ }) {( ( ) ( ))

Bem.:

linear unabhĂ€ngig â linear unabhĂ€ngige Zeilen â Rang von | ist .

| (

)

27.11.2012

Bew.: von Theorem 1:

- Schritt 1: Sei ({ })â

. Wir suchen eine Karte, d.h. eine Abbildung , so dass:

ist eine offene Umgebung von mit offene Umge-

bung von

( ) ist ein HomĂ¶omorphismus

Dann ist ( ) eine Karte.

(đ„ đ„ đ(đ„ đ„ )) đ

đ đ

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 65

| (

( ) ( )

( )

( )

)

( | ) â linear unabhĂ€ngige Spalten, z.B. die letzten .

( ) ( ( ) ( ) ( ))

| ist invertierbar (kommt im Beweis zum Impliziten Funktionentheorem vor)

Mit dem inversen Funktionentheorem folgt: offene Umgebung von so dass:

( ) ist ein -Diffeomorphismus.

Dann ist eine offene Umgebung von in .

Falls : ( ) ( ( ) ( )â ( )

) ({ })

â | { }â ( )

Deswegen: ( )â

( ) { ( ) âŁâŁ ( ) ( ) }

Wenn ( ) ( ), und (( )) :

( ) ( ( )) ( ) â ( ) â

Also: ( ) { ( ) âŁâŁ ( ) ( ) }

Ausserdem: | und stetig â stetig

Wenn ( ) ( ), dann ( ) (( )) ( stetig â

stetig)

- Schritt 2: { ( ) âŁâŁ } ist ein Atlas, d.h.:

( ) ( ) ist ein -Diffeomorphismus.

Seien ( ) und ( ) zwei verschiedene Karten mit .

| { }

â ihre Umkehrung ist

.

Deswegen: ist ein -Diffeomorphismus!

Noch zu kontrollieren:

AbzĂ€hlbare Basis fĂŒr die offenen Mengen?

Ja: wir haben die traditionelle Definition von Mannigfaltigkeit benutzt: die Topologie auf

ist die Unterraumtopologie . hat eine abzĂ€hlbare Basis â auch!

Ist Hausdorff?

Ja: wieder weil

Bsp.: {| | }

{(đŠ đŠđ đ)}

đ

đ đ

đđ đđ

đșđ đșđ

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 66

( ) | |

â ({ }). Ist ein regulĂ€rer Wert?

| (

( )) ( ) hat Rang s.d. .

Es gilt: ( )

â mindestens eine Zahl ist ! â regulĂ€rer Wert

Theorem â ({ }) ist eine Mannigfaltigkeit.

Bsp.: FĂŒr :

( )

( )

( )

( ) ( ( ))

( ) ( ( ) ( )â

)

| ( )

ist die Projektion auf die ersten zwei Koordinaten.

Bem.: FĂŒr ( ) haben wir

( )

( )

( )

( ) ( ( ) )!

( ) ( )

Bem.: FĂŒr nicht auf Achse:

â

( )

( )

( )

â kĂ¶nnte ( ) ( ) ( ) sein!

Bem.: mit dem Beweis ist immer eine Projektion auf eine Ebenen ( ) wenn diese Ebene das

normale Vektorfeld nicht enthĂ€lt.

Def.: Seien und -Mannigfaltigkeiten. Sei eine stetige Abbildung. Sei . Dann

ist , falls fĂŒr jede Karte ( ) in und jede Karte ( ) in ist

( ( ) â

) ( ) eine -Abbildung.

Bem.: ( ( ) ) , wobei

đ„

đ„

đ„

đ ( )

đ đ

đđ đ

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 67

( ) , wobei

bedeutet: besitzt alle Ableitungen mit Ordnung , und sie sind stetig.

Bem.: mĂŒssen zeigen, dass die Definition nicht vom Atlas abhĂ€ngt!

Sei ( ) eine Karte von einem anderen Atlas, der mit unserem Atlas von -kompatibel

ist:

â

( )â

2. Tangential- und Kotangentialvektoren

Def.: Eine Abbildung ist , falls Karte ( )

Bem.: Was ist die Ableitung einer -Funktion?

partielle Ableitung meiner Karte

( ) ( )] â

( )

( )

â partiellen Ableitungen mĂŒssen nicht gleich sein (ausser, wenn die Ableitungen einer Karte

)

Def.: Ein kritischer Punkt von mit ist ein Punkt s.d. Karte ( ) mit

und [

( )] ( ( )) { }.

29.11.2012

Bem.: Ab heute: -Mannigfaltigkeiten

Def.: Sei eine Mannigfaltigkeit mit Dimension und . Der Kotangentialraum an der Stelle

ist:

( )

â

Bem.: Vektorraum ( ) { }

ist Untervektorraum von ( ). { ( ) âŁâŁ }

Idee: ist der Raum der Ableitungen von ( ) an der Stelle .

z.B. in : ist die âlineare Approximationâ an der Stelle

d.h.: ist linear und

( ) ( ) ( ) (| |) ( )â

( ) (| |)â

Also: ( ) â ( )

, d.h. ( )

( ): linear s.d. ( ) ( ) mit linear

Bem.: ( ( )) ( )

(đ„ đ„đ)

(đ„ đ„đ)

đ đ

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 68

und so dass auf ( )

Def.: Falls ( ) und , dann bezeichnet die Ăquivalenzklasse von in .

Bem.: Sei ( ) eine Karte auf :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) -te Koordinate von ( )

FĂŒr ( ) ( ) ( ) â ( ( )) s.d. ( ( )) ( )

Sei ( ( ( )) s.d. auf

( ( ))

( ) ( ) ( ( )) ( )

Wir setzen fort auf

Zusammenfassung: in einer Umgebung von und ( )

Bem.: ( ) ist nicht trivial!

Idee:

in einer Umgebung von

â ist ein kritischer Punkt von â

Def.: ( ) { ( ) âŁâŁ ( ) }

TrĂ€ger kleinste abgeschlossene Menge , in dessen Komplement die Funktion verschwin-

det: |

Lem.: Seien zwei Funkionen in ( ) mit in einer Umgebung von ( ).

Seien ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( )). Dann:

Bew.: ( ) und in einer Umgebung von :

Bem.: Statt oder schreiben wir: ( ( ), weil sie ist nun auf definiert!)

đ đ đ đ

đ„

đ„

đ

đ đ (đ đ )

đ(đ) đŒ

đŒ đ

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 69

Thm.: Der Kotangentialraum hat Dimension (die Dim. von ). Falls

eine Karte,

( ) ist, dann sind

eine Basis fĂŒr .

In der Tat:

â

( ( ))

( )

Im ist eine lineare Abbildung.

â

Bew.:

sind Elemente von .

Wir beweisen zuerst die Formel (die sagt uns, dass âš

Die Formel behauptet:

( ) ( ) â

( ( )) ( )

hat einen kritischen Punkt in , d.h. hat einen kritischen Punkt in ( ).

( ) ( )â ( )

â

( ( ))

( )( )

( )

( ( ))

â

( )( ( ))

hat in ( ) einen kritischen Punkt.

Schritt 2:

sind linear unabhĂ€ngig:

Sei â , d.h. â ( )

( ) hat einen kritischen Punkt an der Stelle

( ) â hat einen kritischen Punkt an der Stelle ( )

( ( ))

â

Insgesamt: â â

sind linear unabhĂ€ngig.

Not.: â

Def.: Der Tangentialraum ist der Dual des Kotangentialraumes.

(d.h. lineare Abbildungen )

(đ„ đ„đ) đ(đ)

đ

đ(đ (đ„ đ„đ))

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 70

Bem.: Wenn wir eine Karte ( ) fixiert haben, ist eine Basis fĂŒr . Dann schreiben

wir

fĂŒr die Dualbasis auf .

Idee: Die Vektoren in unserem Tangentialraum sind die Vektoren, die wir benutzen kĂ¶nnen, um

Funktionen abzuleiten, die nur auf der FlĂ€che definiert sind.

Bem.: ( ) . â

( )

( )

â ( ) â

( ) ( )

( )

Falls

, dann: ( )

( ), weil:

( ) {

Def.: (zweite Definition fĂŒr Tangentialraum)

Sei . Ein Element ist eine lineare Abbildung ( ) mit folgender

Eigenschaft:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (Leibniz-Regel)

Thm.: Beide Definitionen des Tangentialraumes sind gleich: .

Bew.: In der ersten Def. ist

eine Basis von .

( ) â

â

( ) â

( ( ))

( ) ist eine lineare Abbildung ( )

( ) â

( )( ( ))

â

( ( ))

( )( ( )) â

( )

( ( ))â ( )

( ) ( ) ( )

Damit:

â

ist eine lineare Abbildung. Zu zeigen: es ist ein Isomorphismus.

- âinjektivâ: Sei . Dann: ( ) . Also: â

- âsurjektivâ:

Lem.: Sei ( ) und ein kritischer Punkt von . Dann gilt ( ) mit der

Leibnizregel an der Stelle , dass ( ) .

Damit: â

( ( ) )

04.12.2012

Bem: von den 3 ausgeteilten BlĂ€ttern (Bew. des Theorems):

â

( ( ))

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 71

â (

)

( ) â

( )

( )

Bem.: ( ), dann ist ( ).

Def.: Die Ableitung in von ist der Homomorphismus von TangentialrĂ€umen:

( )

definiert durch

( )( ) ( )

Bem.: Diese Definition ist koordinatenunabhĂ€ngig.

Bem.:

1) Falls , dann ist genau die Differentialabbildung d.h. ( ), wo-

bei die Jacobimatrix ist.

((

) ) ( ) (

) ( )

( )( ) ( ) â

-

( )

2) und -Mannigfaltigkeiten

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) (( ) ) ( )( ) ( ( ) )( )( )

[â ( ) , Karte]

Prop.: bzw. -dimensionale -Mannigfaltigkeiten, ( ) ( )

Karte von um , ( ) lokale Karte von um ( ).

Dann ist die Matrixdarstellung von ( ) bezĂŒglich

{(

) (

) } und

( ) {(

) ( )

(

) ( )

}

genau die Jacobische Matrix von , d.h.:

((

) ) â (

)( ( )) (

) ( )

â

(

) ( )

Bew.: ] ( ) â ( )

-te Spalte von ( ) ist [ ((

) )]

( )

. Daher mĂ¶chten wir ((

) ) in der Basis

{(

) ( )

(

) ( )

} schreiben.

( ( )) )

( )( ) )

( ) ( )

Sei ( )( ( )) (

)( ( )). Dann:

((

)

) (( ) ( )) ( ( ) )

( ( ))

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 72

â ( ( ) )

â (

) ( )

Kor.: ( ) ( )

(

)|

â (

)( ( )) (

)

Bew.: wie oben mit

Satz.: Sei , , s.d. in jedem Punkt ( ) die Ableitung surjektiv ist.

Dann ist ( ) eine -Mannigfaltigkeit der Dimension .

Bew.: analog zu frĂŒher

Def.: Eingebettete Mannigfaltigkeit

Eine Mannigfaltigkeit ist eine Untermannigfaltigkeit von , wenn es eine Inkusionsabbil-

dung gibt mit

1) ist

2) ist injektiv,

3) Die Topologie der Mannigfaltigkeit auf ist die induzierte Topologie auf .

Bem.: warum braucht man 3)?

z.B. ( ) ( ( )) fĂŒr ( ).

offene Umgebung von . schneidet die Karte in ( ) und in ( ) â

( ) ist nicht offen in der induzierten Topologie (da auch ( ) ent-

hĂ€lt).

3. Vektorfelder

3.1 TangentialbĂŒndel

Bem.:

â

â{ }

ist -dimensionale Mannigfaltigkeit.

Sei ( ) lokale Karte fĂŒr um . Dann bilden (

) (

)

eine Basis fĂŒr . Wir

kriegen eine Bijektion:

definiert durch:

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 73

( ) â (

)

Damit:

( ) â

( )

06.12.2012

Bem.:

â

â{ }

â

( ) â (

)

( ) â

( )

ist offensichtlich eine Bijektion.

â { }

â â

Sei Karte auf .

FĂŒr gilt:

( ) ( ) offen (in ), da ( ) offen

( ) Koordinaten auf ( ) Koordinaten auf , dann:

( )

Wegen vorhergehendem Korollar:

(

)

â (

)

â

(

)

Damit:

( ) ( â

â

)

Die Jacobi-Matrix ist , linear in und invertierbar. Deshalb ist auch mit -

Inverse und ( ) definiert also einen Atlas.

Def.: Das TangentialbĂŒndel von ist die -dimensionale differenzierbare Struktur auf , defi-

niert durch obigen Atlas.

Bem.: Falls Hausdorff und , dann auch .

Bem.: Die Projektionsabbildung , die einem Vektor den Punkt zuordnet, ist

glatt mit surjektiver Ableitung. In lokalen Koordinaten:

( ) ( )

Damit:

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 74

( )

( )

Die inverse Abbildung ( ) ist der Vektorraum , und wird als Faser von der Projektion

bezeichnet.

Def.: Ein Vektorfeld auf ist die -Abbildung:

s.d.

Bem.: Da , gilt in lokalen Koordinaten:

( ) ( ( ) ( ))

wobei ( ) glatt sind. Damit ist der Tangentialvektor ( ) gegeben durch:

( ) â ( ) (

)

Bem.:

1) Projektion

Dann heisst die -Abb. mit ein Schnitt (falls , das ist z.B.)

2) NatĂŒrlich kann man die analoge Konstruktion mit dem Kotangentialraum statt mit

machen, indem man als Basis ( ) ( ) anstatt der Dualbasis (

) (

)

be-

nutzt.

Prop.: Folgende Aussagensind Ă€quivalent:

i) ist ein Vektorfeld

ii) FĂŒr jedes ( ) ( ) ist

iii) FĂŒr jede Karte ( ) auf , ( ) haben wir in der lokalen ReprĂ€sentation (mit

( )):

( ) â ( ) (

)

3.2 Vektorfelder als Ableitungen

Bem.: Sei ( ) und ein Vektorfeld.

( )( ) ( ) ( ( )( ))

Satz: Sei ( ) ( ) eine lineare Abbildung, die die Leibnizregel erfĂŒllt: ( )

( ) ( ). Dann ist ein Vektorfeld. Umgekehrt stellt jedes Vektorfeld eine solche

Abbildung dar.

Bew.:

- âââ: Sei ein Vektorfeld. In lokalen Koordinaten:

( )( ) â ( ) (

)

( )

( )

â ( ) ( )

( )

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 75

Da ( ) sind, ist ( ) und erfĂŒllt die Leibnizregel: ( ) ( ) ( ) (wende

bei ( ) die Leibnizregel fĂŒr Tangentialvektoren (

)

an).

- âââ: FĂŒr jedes erfĂŒllt ( ) ( )( ) die Bedingungen fĂŒr den Tangentialvektor,

also definiert eine Abbildung mit , die lokal geschrieben werden

kann als:

â ( ) (

)

Noch zu zeigen: ( ) sind glatt. Nehme die Koordinatenfunktion ( ) und multipli-

ziere mit einer Testfunktion (glatte Funktion mit kompaktem TrĂ€ger). So erweitert man zu

einer Funktion aus ( ) (wieder mit bezeichnet). Mit der Leibnizregel erhĂ€lt man:

( ) ( ).

Bem.: Seien und zwei Vektorfelder. Dann kann man die Komposition bilden: ( )

( ( )) ( ) ( ( )) ( ).

( ) ( ( ) ( )) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ( ) ( )) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

Lie-Klammer: ] ( ) ( ) linear

â Leibnizregel: ]( ) ( ] ) ( ] )

â ] ist ein Vektorfeld.

3.3 Die Ein-Parametergruppe von Diffeomorphismen

( ( ))

Def.: -Mannigfaltigkeit. Die Ein-Parametergruppe von Diffeomorphismen von ist eine -

Abbildung s.d.:

a) ( ) ( ) ist ein Diffeomorphismus

b)

c)

11.12.2012

Bem.: ( )

Die Abbildung ( ) ( ( )) ist

( ( ))|

( )( )

( ) ist eine Ableitung. In der Tat:

- LinearitĂ€t: ( )

|

( )

|

( )

( ) ( )

- Leibnizregel:

( )

|

( )

|

( )

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 76

(

|

) â

|

( ) ( )

ist dann auch ein Vektorfeld!

In Koordinaten: Sei ( ) eine Karte, ( )

( ) ( ( )

( ))

|

( ( ))

|

( ( )

( )) â

(

( ) ( ))â

( )

( )

â

( )

( )

( )( )

Seien

( )

( ) â

Umkehrung: Sei gegeben. Wir suchen eine Ein-Parameterfamilie von Diffeomorphismen

s.d. ( )

|

.

Bem.: Was passiert, wenn wir schon kennen und

|

berechnen?

|

( ( )) â

( ( ))

( )

( )

( )

â ( ) ( ( ))

|

( )

|

( ( ( )))

( ( ))

â

( )

( ( ))

Bem.: Damit: Sei â

ein gegebenes Vektorfeld.

Ich suche dann ( ) s.d. ( ) ( ( )

( ))

{

( ) ( ( ))

( )

Sei fixiert. Wir definieren: ( ) ( ( )

( )), dann:

{

( ( )) { }

( )

( )

System von GDG mit Anfangswert . Analysis III â und ] s.d. ( ) gilt. Pi-

card-LindelĂ¶f: lokal lipschitz genĂŒgt fĂŒr die Existenz

Bem.: Mehr ĂŒber Picard LindelĂ¶f:

- Die LĂ¶sung ( ) ist eindeutig.

- Wenn eine kompakte Menge, ( ) s.d. die LĂ¶sung auf dem Intervall

] existiert.

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 77

- ( ) ] ( ) ( ) ist eine -Abbildung, wenn .

Thm.: Wenn kompakt ist, -Vektorfeld auf , ] , s.d.

( ) ,

und in jeder Karte , wobei â

, haben wir:

( ) ( ( )) { }

Bew.: durch die Kompaktheit

Kor.: Gleiche Voraussetzungen: Ein-Parametergruppe von Diffeomorphismen s.d.

|

( )

(Deswegen: )

Bew.: Wir behaupten:

a) jede ( ) ( ) ist ein Diffeomorphismus

b) ( ) ( )

c) ]

b) folgt aus c): Setze , dann: ( ) ( ( )) â ( ( ))

c) ist Konsequenz der DGL ( ) und Eindeutigkeit der LĂ¶sung:

( ) ( ) ist die LĂ¶sung von

{

( ( ))

( )

( ) ( ) ist die LĂ¶sung von

{

( ( ))

( ) ( )

Wegen der Eindeutigkeit der LĂ¶sungen von GDG:

( )

( ) ( ( ))

Sei ] :

sei s.d. ( )

]

( ) â -

( )

] ( ) ] ]

:

( ) â -

( )

3.4 Das Lie-Klammer-Produkt

Seien zwei Vektorfelder.

] ist das einzige Vektorfeld s.d. ( ) ( ( )) ( ( ))

Bem.: Sei die Ein-Parametergruppe von Diffeomorphismen s.d.

|

( ).

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 78

ist das folgende Vektorfeld: ( ) (

) ( )( ( ))

Bem.: ( ) ( )

( ) ( ) ( )

deshalb: ( ) ( ) ( )( ( ))

Bem.: ( ) ( ) ( )( | ( ))

Satz:

|

]

Bew.: Im Skript gibt es eine âgeometrischeâ ErklĂ€rung. In Koordinaten: eine âalgebraischeâ ErklĂ€-

rung.

4. Das Tensorprodukt

Def.: Seien endlich-dimensionale VektorrĂ€ume auf . Wir definieren das Tensorprodukt

wie folgt:

a)

b) ist bilinear:

( )

( )

Bem.: Das heisst: â , wobei:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Satz: hat die folgende universelle Eigenschaft:

Falls eine bilineare Funktion ist, dann linear, so dass

( ) ( ).

Bem.: Praktisch: Falls Basis fĂŒr und Basis fĂŒr , dann ist { } { }

{ }

eine Basis fĂŒr .

Ein Element kann dann geschrieben werden als:

â

Bem.: Falls , dann haben wir , und wir kĂ¶nnen auch das dreifache Tensorprodukt bil-

den:

â

weiter:

â

Bem.: Tensoralgebra:

( ) âš

deswegen sieht ein Element ( ) wie folgt aus:

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 79

â

â

â

Bem.: Das Tensorprodukt von erhalte ich als:

( )

+ Distributivgesetz

4.1 Ăussere Algebra

Def.: ( ) das kleinste Ideal, das { âŁ } enthĂ€lt. Die Ă€ussere Algebra ist der Quotient

( ) ( )â

( )

13.12.2012

Def.: Ă€ussere Algebra (alternative Definition)

Sei ein endlich-dimensionaler, reeller Vektorraum und sei sein Dual ( ).

{ }

{ â -

}

Bem.: multilinear: ( ) ( ) ( )

alternierend: ( ) ( ) ( )

( ( ) ( )) ( ) ( )

( ( ) )

Bem.: Falls , dann ist jede multilineare, alternierende Funktion von Variablen

null: { } !

Def.: Seien , d.h. ist linear, .

( ) ( ( )) ( ( ) ( )

( ) ( )

)

Lem.:

Bew.: ( )

( ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

)

( ) (

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

)

( )

(

( ) ( )â

( ) ( )

( )

( ) ( )â

( ) ( )

( ))

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 80

(

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

)

( ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

)

( ) ( )

Bem.:

Bew.: ( )

(

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ))

( )

(

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ))

( )

Thm.: Wenn eine Basis fĂŒr ist, dann:

{ âŁâŁ } ist eine Basis fĂŒr ( { }).

Bem.: â { âŁâŁ } hat Dimension 1

die Determinante ist die âeinzigeâ (bis auf Produkt mit einem Skalar) multilineare Abbil-

dung von Variablen auf einen -dimensionalen Vektorraum.

Kor.: ( )

Def.: { } mit { } , dann: .

Bew.: des Theorems

- âlinear unabhĂ€ngigâ: Sei { { } }

Sei â . Zu zeigen: .

Sei die Dualbasis zu , d.h. ( ) {

Sei { } . Dann:

â ( )

â

FĂŒr { } haben wir:

( ) (

( ) ( )

( ) (

)

)

Falls : ( ) (

)

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 81

: ( ) (

)

â aber ist beliebig â { âŁâŁ } sind linear unabhĂ€ngig!

- âerzeugendâ: : Suchen s.d.:

â

Sei die Dualbasis. ( )

( ) (â â

) â ( â )

â â (

)â

{ }

( ) â (

)

( )

Sei : ( )

( ) â ( )

â â â â

Def.: Das allgemeine Keilprodukt (Dachprodukt, Ă€usseres Produkt):

â

â

â

Bsp.: Basis fĂŒr

( ) ( ) â

â

Satz:

a) ( )

b) ( )

c) ( ) fĂŒr â â

Bew.: a),b): UE

c) { } { }

â

â ( )

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 82

( )

( )

( )

Def.: Ăussere Algebra von :

Def.: Sei eine lineare Abbildung.

Wir definieren die lineare Abbildung wie folgt:

(â ) â

Thm.: ist wohldefiniert, d.h. unabhĂ€ngig von der gewĂ€hlten Basis.

Bem.: Sei mit Basis . Sei linear und die entsprechende Mat-

rixdarstellung, d.h.: â .

( ( )) (â ( ) )

( ) ( ( ))

( )

â ( )( ) ( )

deshalb:

18.12.2012

5. Differentialformen

Sei eine glatte ( ) Mannigfaltigkeit mit Dimension .

: Kotangentialraum: { âŁâŁ ( ) }

: Tangentialraum { âŁâŁ - }

Aber: ist der Dual von

( ) ( ) die Ableitung von durch .

In Koordinaten: ( ) Karte, ( )

{ } ist eine Basis fĂŒr

{

} ist die Dualbasis fĂŒr

ist die Ă€ussere Algebra, erzeugt von

.

Deswegen, { }, sei und

{ âŁâŁ { } } ist eine Basis fĂŒr .

Deshalb: , dann s.d. â .

Def.: Eine Differentialform ist eine Abbildung .

Lokal: ( ) Karte Funktionen, so dass

â ( )

ist , falls die Abbildungen ( ) sind.

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 83

( ( ) ( ) ( ( )))

Bem.: Sei ( ) eine andere Karte mit .

â ( )

( )

â ( )

( )

So: ( ) ( )( )

( â

) ( ) â

(

) (

)

Mit :

â ( ) â ( ( ))

Mit :

â ( ( ))

â

Damit:

â ( ( ))

Kor.: FĂŒr : ( )

Bew.: (

)

Bem.: ( )

( ) ( ( )) (

)

5.1 Zerlegung der Einheit

Thm.: Sei {( )} ein Atlas fĂŒr die -Mannigfaltigkeit . Eine Zerlegung der Einheit ist eine

Familie { } von glatten Funktionen so dass:

i) ( ) s.d. ( ) mit TrĂ€ger( ) ( ) und kompakt

ii) Umgebung und eine Zahl ( ) s.d. ( ) ( )

iii) : â ( )

Bem.: Wir beweisen den Fall kompakt.

Not.: : k-Form

Bem.: Sei eine Differentialform ( -Form).

â (( )|

( ) )

hat TrĂ€ger in ( ), d.h. ( )

( )

Bew.: Existenz der Zerlegung der Einheit, wenn kompakt ist.

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 84

- Schritt 1: Karte im Atlas und s.d. ( ), TrĂ€ger und

in einer Umgebung von .

( ) ist offen, Umgebung von und auf .

{

( ( )), ( ) kompakt. Stetigkeit von â ( ) kompakt.

- Schritt 2: { }

ist eine offene Ăberdeckung von . kompakt â

endliche

TeilĂŒberdeckung.

{ } { }

: ( ), TrĂ€ger(

) ist im Atlas â )

) ist trivial

â

â

Ist â Ja!

s.d.

. ( )

zusammenfassend: â :

( ), TrĂ€ger(

)

â

Def.: glatte Abbildung, ( )

( ) ( ) ( ) â

multilineare, alternierende Abbildung

( )

( )( | | )

5.2 Das Ă€ussere Differential

-Formen: ( ) ( ( ) ( ))

das Differential ( ) ( ) â

Thm: FĂŒr alle -Mannigfaltigkeiten und ( ) ( )

mit folgenden Eigenschaften: (fĂŒr : ( ) { } )

1) FĂŒr ( ) ist ( ) das ĂŒbliche Diff.

2) ( ) ( )

3) ( ) ( ) , wenn ( ).

đ (HomĂ¶o-

morphismus)

đ

đ

đđ

đ

đđ đ”

đœ

đ(đđ) đ

đœ đœ

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 85

Def.: Sei ( ) ( ) Karte mit .

â ( ) â

Bem.: Das Differential ist wohldefiniert.

Bew.: des Theorems

1) â â, wenn ( )!

â

3)

â â â

â ( )

â

â

(â

) (â

)

â ( )

â

â ( )

( ) ( ) â

( ) ( ) ( ) ]

Zus.: ( ) ( ) ( )

2) OBdA: TrĂ€ger( ) eine Karte (Bem.: ( ) )

â

â â ( )â

( ) â

( ) â ( ) ( )â ( )â

â ( â ( )

)

( ):

( ) (â

) â (

)

ââ

â

â

â

â

â

( )

â

â

Bem.: , ( )

â â

( )

(

) (

)

also erhalten wir:

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 86

(

)

(

) (

) (

)

( )

( )

(

) ( )

20.12.2012

6. Integration von Formen

6.1 Orientierung

( )

( )

â«

â« ( )

â« â« ( )

Sei s.d. ] ( )

â« â« ( )

Frage: Integral unabhĂ€ngig von Karte?

( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ))

( ( )) ( )â

(

)

( ( )) (

( ))

đ

đ

đ

(đ)

đ

đ(đ)

đ

đ đ

ÎŠ đ đ

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 87

â« â« ( )

â« â« ( )

â« ( ( )) (

)

Aus der Analysis:

Satz: Variablenwechsel des Integrals in einer Dimension:

â« ( ( ))| ( )|

â« ( )

Variablenwechsel in mehreren Dimensionen:

â« ( ( )) | (

)|

â« ( )

Satz: ( ( )) und ( ) Diffeomorphismus. Dann gilt:

â« ( ( )) | (

)|

â« ( )

( )

Deshalb sind beide Integrale gleich.

Def.: Eine orientierte -Mannigfaltigkeit ist eine Mannigfaltigkeit mit einem Atlas

( ) s.d.:

mit , ist ein Diffeomorphismus mit (

(

) ) .

Def.: ist ein orientierter Atlas.

Bem.: Falls und zwei orientierte Atlas sind, und zusammenhĂ€ngend ist, dann:

entweder (

( ) ) ( ) ( )

oder (

( ) ) ( ) ( ) .

Bem.:

- orientierte Mannigfaltigkeit: Mannigfaltigkeit und orientierter Atlas

(Ein zweiter orientierter Atlas ist kompatibel mit , wenn ein orientierter Atlas ist)

- orientierbare Mannigfaltigkeit: Mannigfaltigkeit , die orientierten Atlas besitzt

- nichtorientierbare Mannigfaltigkeit: Mannigfaltigkeit , die keinen orientierten Atlas besitzt

Def.: Sei eine orientierte Mannigfaltigkeit mit Atlas und Dimension .

Falls ( ) TrĂ€ger in einer Karte hat, d.h. ( ) mit ( ) , dann:

â« â« ( ) ( )

Falls kompakten TrĂ€ger hat, wĂ€hlen wir im Atlas mit ( )

und { } Zerlegung der Einheit: ( ) und â . Dann:

â

â«

ââ« â ( )

( ) definiert im ersten Teil der Def., weil ( ).

Bem.: Das Integral ist wohldefiniert:

WĂ€hle {( )} { } und {( )} { âČ} offene Ăberdeckung des TrĂ€gers von .

Auf dem TrĂ€ger von :

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 88

( ) â

( ) â

âČ

Mit der Karte :

â«

ââ«

Mit der Karte :

â«

ââ«

âČ

â« ( ( )) ( ) â«â ( ( ))

âČ

â

( ( )) ( )

ââ« ( ( )) ( ( )) ( )

Deshalb:

ââ«

ââ«

ââ«

âČ

ââ«

Fall 1: :

( ) â auf , ( ) â auf

â â«

â«

Fall 2: â

( â

)

( ) mit ( ) Karte

â« â« ( )

( )

( ) mit ( ) Karte

â« â« ( )

( )

( ) ( ) ist ein Diffeomorphismus und ( ) ( ) (

)

und (

)

Deshalb im ersten Fall:

â« â« ( ( )) (

)

( )

im zweiten Fall (Variablenwechsel im Integral):

â« â« ( )

( )

G e o m e t r i e / T o p o l o g i e I S e i t e | 89

6.2 Satz von Stokes

Def.: Eine Form heisst exakt, falls fĂŒr eine Form , und geschlossen, falls .

Thm.: Sei eine orientierte, kompakte Mannigfaltigkeit mit Dim. , und eine exakte -Form mit

kompaktem TrĂ€ger. Dann:

â«

Bew.: exakt

Sei { } { } eine Zerlegung der Einheit:

- mit kompaktem TrĂ€ger

- â

- ( ) Karte mit ( ) .

â«

â« â

â« â

( ) ( )]

â« â ( )

â« (â )â â â

ââ« ( )

Sei ( ) eine Karte mit ( ( )) . ( â

) in der Karte:

â â

( )

( )

mit

Damit:

â« ( )

â«

â( ) â«

â

â« â«

( )

] ( ) auf

â« â«

( )

â­ â«

â­[ ( ) ( )]

â« ( 4 ) (Theorem von Gauss)

Satz.: Satz von Stokes:

â«

â«

PrĂŒfungsstoff: so weit wie die Ăbungsserien gehen