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QUELQUES EXERCICES DE GOMTRIE

Dans les deux premiers exercices sont proposs des dmonstrations de gomtrie pur de

rsultats classiques

1. Droite dEuler On considre un triangle

ABC, montrer lalignement de lorthocentre H, du centre de gravit G et du centre O

du cercle circonscrit au

triangle ABC.

On pourra considrer le point

D diamtralement oppos au

point B, et B le milieu de [AC].

2. Symtrique de lorthocentre On considre un triangle

ABC. Soit O le centre du

cercle circonscrit ABC et

H son orthocentre.

On se propose de dmontrer

que les symtriques du point

H par rapport aux cts du triangle sont sur .

1) Le point D tant diamtralement oppos

A sur le cercle , raliser une figure.

2) Montrer que les droites (BH) et (CD) sont

parallles, ainsi que les droites (BD) et (CH).

3) Quelle est la nature du quadrilatre

BHCD ? En dduire que [BC] et [HD] ont

mme milieu.

4) Soit H le symtrique de H par rapport (BC). Montrer que le triangle HHD est rectangle en H. 5) En dduire que H est un point du cercle

.

6) Justifier alors que le rsultat nonc plus

haut est dmontr.

3. Droite et cercle dEuler, ... par les vecteurs Soit un triangle ABC non rectangle,

O le centre et r le rayon de son cercle circonscrit C,

A, B et C les milieux des cts [BC], [CA] et [AB].

1) On considre le point H dfini par .OH OA OB OC

a) Montrer que 2 ', 2 ' et 2 '.AH OA BH OB CH OC

b) En dduire que (AH) (BC) et (BH) (CA). Que reprsente alors le point H ?

2) On dsigne par I, J et K les milieux respectifs de [AH], [BH] et [CH].

Montrer que les segments [OH], [IA], [JB] et [KC] ont le mme milieu . 3) Montrer que :

1 1 1, et .

2 2 2I OA J OB K OC

En dduire que les points I, J et K sont lments du cercle C de centre et de rayon 1

2r.

4) Montrer que :

1 1 1' , ' et ' .

2 2 2A OA B OB C OC

En dduire que les points A, B et C sont lments du cercle C. 5) On dsigne par A1, B1 et C1 les

pieds sur (BC), (CA) et (AB) des

hauteurs du triangle ABC.

Montrer que les points A1, B1 et C1

sont lments du cercle C .

6) Soit G le centre de gravit du

triangle ABC. Montrer que les points

O, G et H sont aligns.

7) Les rsultats prcdents sont-ils

vrifis lorsque le triangle ABC est

rectangle ? Faire par exemple une

figure avec le triangle ABC

rectangle en A.

Que dire des points O, G, H et lorsque le triangle est quilatral ?

Le cercle C est appel cercle dEuler du triangle ABC.

Lorsque le triangle ABC nest pas quilatral, la droite (OH) est appele droite dEuler du triangle ABC.

A

B C

O

A'

B'C'

H

I

J

K

A1

B1

C1G

A

BC

H O

D

A'

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4. Droite dEuler et transformation Soit ABC un triangle. On appelle A le milieu de [BC], B le milieu de [AC] et C le milieu de [AB].

Par quelle homothtie passe-t-on du triangle ABC au triangle ABC ? En dduire lalignement des trois points O, G et H (notations de lexercice 1)

Quelques configurations

5. Thorme de Mnalas Soit ABC un triangle non aplati et une droite qui coupe respectivement (BC), (CA) et (AB) en P, Q, R distinct des sommets.

Utiliser la parallle en B pour tablir la relation de Mnlas :

1PB QC RA

PC QA RB .

Dmontrer la rciproque.

6. Thorme de Cva Si ABC est un triangle non aplati, et si P, Q, S sont des points respectivement situs sur

(BC), (CA) et (AB), en dehors des sommets, alors les droites (AP), (BQ) et (CR) sont

concourantes ou parallles si et seulement si on a :

1PB QC RA

PC QA RB

Utilisation simple des transformations

7. Sur la figure ci-dessous, ABCD est un carr et JA = AB = BI. Dmontrer que JOI est un triangle rectangle isocle.

8. ABCD est un carr. CBF et ABE sont des triangles quilatraux disposs comme lindique la figure ci-dessous. Montrer que les points D, E et F sont aligns.

A B

CD

FE

9. ABC est un triangle quelconque. Sur le ct [AB],

extrieurement ce ct, on construit

un triangle quilatral ABM. Sur le

ct [AC], extrieurement ce ct,

on construit un triangle quilatral

ACN.

Montrer que MC = BN et

, .3

MC BN

10. ABC est un triangle quilatral direct de centre O. On construit, extrieurement celui-ci, les trois carrs ABIJ, AKLC et

BCMN de centres respectifs D, E et F.

On considre la rotation O de centre O et dangle 23

.

1) Quelles sont les images de C et A par O ?

2) Quelle est limage de la droite (CK) ?

3) Montrer que O(E) = D.

4) En dduire la nature du triangle DEF.

11. Sur la figure ci-contre, ABC est un triangle quilatral, et les points P, Q et R sont tels que :

AP = BQ = CR.

On veut montrer que le triangle PQR est quilatral.

Soit O le centre du triangle ABC. On considre la rotation

O de centre O et dangle 23

.

1) Quelles sont les images des points A, B et C par cette

rotation ?

2) En dduire limage du point P par cette rotation. 3) En dduire le rsultat annonc.

4) Rsoudre lexercice en utilisant des triangles isomtriques.

A

B

C

M

N

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Angles inscrits

12. Soit O le centre dun cercle passant par deux points A et B. M est un point du cercle, distinct de A et de B. M est le point diamtralement oppos M. 1) En considrant les angles orients du triangle MAO, tablir la suite dgalits :

2 , , , ' 2MA MO OM OA OA OM

2) valuer de manire analogue : 2 ,MB MO .

3) En dduire que 2 , , 2MA MB OA OB .

4) A-t-on 1, , 22

MA MB OA OB .

Justifier la rponse.

Triangles semblables

13. Des relations mtriques dans le triangles rectangle ABC est un triangle rectangle en A. H est le pied de la hauteur issue de A.

1) Dmontrer que les trois triangles ABC, HBA et HAC sont de mme forme.

2) En dduire HA2 = HB HC.

3) Dmontrer que AB2 = BH BC et AC2 = CH CB.

Retrouver alors le clbre thorme de Pythagore.

4) Dmontrer que AB AC = BC HA. 14. Le pied de la bissectrice

ABC est un triangle inscrit dans un cercle . La

bissectrice de langle A coupe le segment [BC] en

I et le cercle en A.

1) a) Dmontrer que les triangles AAB et ACI sont de mme forme.

b) En dduire les galits :

AB AC = AI AA (1)

'BA AB

IC AI (2)

2) a) Dmontrer que AAC et ABI sont de mme forme.

b) En dduire que 'CA AC

IB AI (3)

c) En utilisant les galits (2) et (3), dmontrer que IB AB

IC AC .

15. Thorme de Ptolme Dans lAlmageste, Ptolme dmontre le thorme suivant :

Si un quadrilatre convexe est inscriptible dans un cercle, alors la somme des

produits des cts opposs est gale au produit des diagonales.

Ce qui avec les notations de la figure ci-dessous revient affirmer que :

AB CD + BC DA = AC BD.

Indication : on considre le point I de [AC] tel que on ait ABI CBD . Considrer

successivement deux triangles semblables.

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16. Soit R le rayon du cercle circonscrit et S laire dun triangle ABC avec BC = a, AC = b et AB = c.

1) Montrer que le produit des longueurs de deux cts du triangle est gal au produit du

diamtre du cercle circonscrit par la longueur de la hauteur issue du sommet commun aux

deux cts.

2) a) Montrer que lon a 4

abcR

S et 2

sinsin sin

a b cR

BA C .

b) Montrer que ABC est rectangle en A si et seulement si 2 2 2 sin sin sinA B C .

3) La formule de Hron

a) Montrer que 21 cos

p p aA

bc

et

21 cosp b p c

Abc

o p dsigne le

demi-primtre du triangle.

En dduire la valeur de sin A en fonction de p, a, b et c.

b) Dmontrer la formule de Hron :

S p p a p b p c .

c) Application :on considre deux triangles dont les cts mesurent 16 cm, 17 cm et 18

cm pour lun et 19 cm, 31 cm et 49 cm pour lautre. Quel est celui qui a laire la plus grande ?

17. La formule de Brahmagupta On considre un quadrilatre convexe ABCD inscrit dans un cercle. On note a, b, c et d

les longueurs des cts [AB], [BC], [CD] et [DA].

1) tablir la relation :

2 2 2 22 cos .ab cd B a b c d 2) Soit S laire du quadrilatre ABCD.

Montrer que S = p a p b p c p d o lon a pos 2p = a + b + c + d.

3) La formule prcdente permet dobtenir laire dun quadrilatre inscriptible en fonction de ses cts. Est-il raisonnable desprer une formule gnrale (cest--dire une formule exprimant laire dun quadrilatre quelconque en fonction de ses cts).

18. est un cercle de centre O, de rayon R. M est un point extrieur au cercle. Une

droite passant par M coupe le cercle C en deux points distincts A et B.

A

B

MO

D

C

On considre une autre droite passant par M coupant le cercle en deux points C et D.

1) a) Montrer que MA MB = MC MD.

b) Montrer que MA MB = OM2 R2. 2) Que se passe-t-il si la deuxime droite passant par M est tangente au cercle en un point

T ? Prouver ce rsultat.

3) Les rsultats de la premire question sont-ils encore vrais si M est lintrieur du cercle ? Le justifier.

19. 1) Montrer que les diagonales dun pentagone rgulier ont toutes la mme longueur.

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2) Montrer que le rapport de la diagonale au ct dun pentagone rgulier est gal

1 5

2

20. On considre un paralllogramme ABCD. lintrieur de ce paralllogramme, on place un point P, qui se projette orthogonalement en E sur [AB], F sur [BC], G sur [CD]

et H sur [AD]. On appelle R le point dintersection de (EH) et (FG) (on suppose donc quil existe). Quel est le lieu de R lorsque le point P dcrit lintrieur du paralllogramme ?

21. Sur la figure ci-contre, ABC est un triangle rectangle en A et M un point variable du segment [BC]. P

est le point du segment [AB] et de la perpendiculaire en

M la droite (AB). Q est le point du segment [AC] et de

la perpendiculaire en M la droite (AC).

On veut connatre la ou les positions du point M sur le

segment [BC] pour lesquelles la distance PQ est

minimale. On suppose que AB = 8 cm et AC = 6 cm.

Triangle orthique

22. Les bissectrices du triangle orthique. Soit ABC un triangle acutangle, H son orthocentre, P, Q et R les pieds des hauteurs. Le

but de lexercice est de dmontrer que les hauteurs du triangle ABC sont les bissectrices du triangle PQR.

Pour cela, tracer les cercles de diamtre [BH] et [HC] et montrer que PRH PBH et

HRQ HCQ .

23. Primtre du triangle orthique ABC est un triangle acutangle non rectangle ; I, J et K sont les pieds des hauteurs issues

respectivement de A, B et C ; M et N sont les projets orthogonaux respectifs de I sur

(AC) et (AB).

E est le symtrique de I par rapport (AB) et F est le symtrique de I par rapport (AC).

Dmontrer que KEI KIE ; KIE IKC ; IKC CKJ .

En dduire que E, K et J sont aligns ?

Dmontrer que E, K, J et F sont aligns.

En dduire que EF reprsente le primtre du triangle orthique. (voir la figure ci-dessous)

Exercices de gomtrie analytique

24. Soit ABCD un rectangle. Pour tout point M de la droite (AB), distinct de B, la droite (CM) coupe la droite (AD) en N. On appelle I le milieu du segment [MN]. On

demande le lieu gomtrique du point I lorsque le point M dcrit la droite (AB).

25. Soit un triangle ABC et une droite ne passant par aucun des sommets du triangle et rencontrant (BC) en P, (AC) en Q et (AB) en R. On dsigne par I, J et K les points tels

que AQIR, BPJR et CPKQ soient des paralllogrammes.

On se propose de dmontrer analytiquement que les points I, J et K sont aligns. On

munit donc le plan du repre (A, B, C).

1) Montrer que les coordonnes de Q et de R peuvent scrire

Q(0,q), R(r,0) avec q 0, r 0 et q r.

2) Donner lquation de , puis les coordonnes de P, et enfin celles de I, J et K. 3) En dduire lalignement des points I, J et K.

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26. Quadrilatre complet Un quadrilatre complet est la configuration forme par quatre droites deux deux

scantes sans que trois dentre elles soient concourantes Sur le dessin prcdent, cest ce que lon obtient avec les droites (EA), (EC), (FC) et (FB). Cest un peu comme si lon avait complt le quadrilatre ABCD (qui nest ni un trapze ni un paralllogramme) en prolongeant ses

cts.

Les 6 points dintersection sont appels les sommets du quadrilatre complet (ici

A, B, C, D, E et F).

Les trois segments qui joignent deux

sommets qui ne sont pas sur lune des droites sont les diagonales (ici [FE],

[AD] et [BC])

Montrons que les milieux des

diagonales dun quadrilatre complet sont aligns.

27. Dterminer lensemble des points M(x, y) du plan dterminer par la reprsentation paramtrique :

22

2 2

11, ,

1 1x y

.

28. Thorme de Dsargues Si ABC et ABC sont deux triangles aux sommets disjoints et aux cts correspondant deux deux parallles, alors les droites (AA), (BB) et (CC) sont concourantes ou parallles.

29. On considre un paralllogramme ABCD et un point M du plan. La parallle en M (AB) coupe (AD) et (BC) en des points respectifs E et F et la parallle

en M (BC) coupe (AB) et (CD) en des points respectifs G et H (on suppose que E, F, G

et H sont distincts des sommets du paralllogramme).

Montrer que les droites (AC), (EH) et (FG) sont concourantes ou parallles.

A

B

CDE

F

I

J

K