Geometri.pdf

MODUL MATEMATIK PENDIDIKAN RENDAH

PROGRAM PENSISWAZAHAN GURU (PPG)

MOD KURSUS DALAM CUTI

KOD KURSUS : MTE3103

GEOMETRI

INSTITUT PENDIDIKAN GURUKEMENTERIAN PELAJARAN MALAYSIA ARAS 1, ENTERPRISE BUILDING 3, BLOK 2200, PERSIARAN APEC, CYBER 6, 63000 CYBERJAYA Berkuat kuasa pada Jun 2011

IJAZAH SARJANA MUDA PERGURUAN DENGAN KEPUJIAN

i

Falsafah Pendidikan Kebangsaan

Pendidikan di Malaysia adalah suatu usaha berterusan ke arah memperkembangkan lagi potensi individu secara menyeluruh dan bersepadu untuk mewujudkan insan yang seimbang dan harmonis dari segi intelek, rohani, emosi, dan jasmani berdasarkan kepercayaan dan kepatuhan kepada Tuhan. Usaha ini adalah bagi melahirkan rakyat Malaysia yang berilmu pengetahuan, berketrampilan, berakhlak mulia, bertanggungjawab, dan berkeupayaan mencapai kesejahteraan diri serta memberi sumbangan terhadap keharmonian dan kemakmuran keluarga, masyarakat, dan negara.

Falsafah Pendidikan Guru Guru yang berpekerti mulia, berpandangan progresif dan saintifik, bersedia menjunjung aspirasi negara serta menyanjung warisan kebudayaan negara, menjamin perkembangan individu, dan memelihara suatu masyarakat yang bersatu padu, demokratik, progresif, dan berdisiplin.

Cetakan Jun 2011 Kementerian Pelajaran Malaysia

Hak cipta terpelihara. Kecuali untuk tujuan pendidikan yang tidak ada kepentingan komersial, tidak dibenarkan sesiapa mengeluarkan atau mengulang mana-mana bahagian artikel, ilustrasi dan kandungan buku ini dalam apa-apa juga bentuk dan dengan apa-apa cara pun, sama ada secara elektronik, fotokopi, mekanik, rakaman atau cara lain sebelum mendapat izin bertulis daripada Rektor Institut Pendidikan Guru, Kementerian Pelajaran Malaysia.

ii

Cetakan Jun 2011 Institut Pendidikan Guru Kementerian Pelajaran Malaysia

MODUL INI DIEDARKAN UNTUK KEGUNAAN PELAJAR-PELAJAR YANG BERDAFTAR DENGAN BAHAGIAN PENDIDIKAN GURU, KEMENTERIAN PELAJARAN MALAYSIA BAGI MENGIKUTI PROGRAM PENSISWAZAHAN GURU SEKOLAH RENDAH (PGSR) IJAZAH SARJANA MUDA PERGURUAN. MODUL INI HANYA DIGUNAKAN SEBAGAI BAHAN PENGAJARAN DAN PEMBELAJARAN BAGI PROGRAM-PROGRAM TERSEBUT.

Falsafah Pendidikan Kebangsaan

Falsafah Pendidikan Guru i

Panduan Pelajar ii-iii

Pengenalan

Agihan Tajuk (Interaksi dan Modul)

iv

v

Tajuk Pembelajaran – Pengujian dan Penilaian

Tajuk 1 : Teselasi Satah

1.1 Sipnosis

1.2 Hasil Pembelajaran

1.3 Kerangka Tajuk

1.4 Teselasi

1.5 Teselasi dan seni

1.6 Geometri fraktal

Tajuk 2 : Satah Simetri dan Transformasi

2.1 Sipnosis


2.3 Kerangka Tajuk

2.4 Satah Isometri

2.4.1 Translasi

2.4.2 Pantulan

2.4.3 Putaran

2.4.4 Pantulan Geluncuran

2.5 Satah Simetri

2.6 Kumpulan Simetri Finit dan Tujuh Pola Frieze

1

1

1

2

8

11

23

23

23

24

25

26

27

28

29

KANDUNGAN MUKA SURAT

ii

Tajuk 3 : Pepejal Sekata dan Separa Sekata

3.1 Sipnosis


3.3 Kerangka Tajuk

3.4 Lima Pepejal Platonik

3.5 Bucu, Muka dan Sisi

3.6 Pepejal Archimedes

3.7 Pepejal Kepler-Poinsot

Tajuk 4 : Pembinaan Model Geometri

4.1 Sipnosis


4.3 Kerangka Tajuk

4.4 `Paper Engineering’

4.4.1 Model `Pop-up’

4.4.2 Teknik `Pop-up’

4.4.3 Seni dan Reka Bentuk

Tajuk 5 : Konik

5.1 Sipnosis


5.3 Kerangka Tajuk

5.4 Lokus

5.5 Parabola

5.6 Elips

3.7 Hiperbola

33

33

33

34

40

41

43

45

45

45

46

47

49

Bibliografi

Panel Penulis Modul

Ikon Modul

vi

Modul ini disediakan untuk membantu anda menguruskan pembelajaran anda agar anda boleh belajar dengan lebih berkesan. Anda mungkin kembali semula untuk belajar secara formal selepas beberapa tahun meninggalkannya. Anda juga mungkin tidak biasa dengan mod pembelajaran arah kendiri ini. Modul ini memberi peluang kepada anda untuk menguruskan corak pembelajaran, sumber-sumber pembelajaran, dan masa anda. Pembelajaran arah kendiri memerlukan anda membuat keputusan tentang pembelajaran anda. Anda perlu memahami corak dan gaya pembelajaran anda. Adalah lebih berkesan jika anda menentukan sasaran pembelajaran kendiri dan aras pencapaian anda. Dengan cara begini anda akan dapat melalui kursus ini dengan mudah. Memohon bantuan apabila diperlukan hendaklah dipertimbangkan sebagai peluang baru untuk pembelajaran dan ia bukannya tanda kelemahan diri. Modul ini ditulis dalam susunan tajuk. Jangka masa untuk melalui sesuatu tajuk bergantung kepada gaya pembelajaran dan sasaran pembelajaran kendiri anda. Latihan-latihan disediakan dalam setiap tajuk untuk membantu anda mengingat semula apa yang anda telah pelajari atau membuatkan anda memikirkan tentang apa yang anda telah baca. Ada di antara latihan ini mempunyai cadangan jawapan. Bagi latihan-latihan yang tiada mempunyai cadangan jawapan adalah lebih membantu jika anda berbincang dengan orang lain seperti rakan anda atau menyediakan sesuatu nota untuk dibincangkan semasa sesi tutorial. Modul ini akan menggantikan satu kredit bersamaan dengan lima belas jam interaksi bersemuka dalam bilik kuliah. Tiada kuliah atau tutorial diadakan untuk tajuk-tajuk dalam modul ini. Walau bagaimanapun, anda boleh berbincang dengan pensyarah, tutor atau rakan anda melalui email jika terdapat masalah berhubung dengan modul ini. Anda akan mendapati bahawa ikon digunakan untuk menarik perhatian anda agar pada sekali imbas anda akan tahu apa yang harus dibuat. Lampiran A menerangkan kepada anda makna-makna ikon tersebut. Anda juga diperlukan untuk menduduki peperiksaan bertulis pada akhir kursus. Tarikh dan masa peperiksaan akan diberitahu apabila anda mendaftar. Peperiksaan bertulis ini akan dilaksanakan di tempat yang akan dikenal pasti. Tip untuk membantu anda melalui kursus ini.

1. Cari sudut pembelajaran yang sunyi agar anda boleh meletakkan buku dan diri anda untuk belajar. Buat perkara yang sama apabila anda pergi ke perpustakaan.

2. Peruntukkan satu masa setiap hari untuk memulakan dan mengakhiri

pembelajaran anda. Patuhi waktu yang diperuntukkan itu. Setelah membaca modul ini teruskan membaca buku-buku dan bahan-bahan rujukan lain yang dicadangkan.

PANDUAN PELAJAR

vii

3. Luangkan sebanyak masa yang mungkin untuk tugasan tanpa mengira sasaran pembelajaran anda.

4. Semak dan ulangkaji pembacaan anda. Ambil masa untuk memahami

pembacaan anda.

5. Rujuk sumber-sumber lain daripada apa yang telah diberikan kepada anda. Teliti maklumat yang diterima.

6. Mulakan dengan sistem fail agar anda tahu di mana anda menyimpan bahan-

bahan yang bermakna.

7. Cari kawan yang boleh membantu pembelanjaran anda.

Pengenalan

Kursus ini memberi peluang kepada pelajar untuk menerokai aplikasi geometri. Kursus ini juga membincangkan konsep dalam geometri satah, teselasi, simetri dan transformasi. Selain itu, pelajar juga akan didedahkan kepada geometri 3-dimensi bagi pepejal sekata dan separa sekata. Teknologi maklumat dan komunikasi seperti geometer sketchpad (GSP) akan digunakan sebagai alat untuk menyiasat geometri satah, geometri 3-dimensi dan seksyen konik. Kemahiran praktikal melibatkan pembinaan model geometri ditekankan.

Tajuk-tajuk dalam modul; Topik 1 : Teselasi Satah

Jenis-jenis teselasi Teselasi dan seni Geometri fraktal

Topik 2 : Satah Simetri dan Transformasi

Satah isometri o putaran o pantulan o alihan o pantulan geluncuran (glide reflection)

Satah simetri Kumpulan simetri finit and tujuh pola Frieze

Topik 3 : Pepejal Sekata dan Separa Sekata

Lima pepejal platonik Bucu, muka dan sisi Pepejal Archimedes Pepejal Kepler-Poinsot

Topik 4 : Pembinaan Model Geometri

Model ‘pop-up’ Teknik ‘pop-up’ Seni dan reka bentuk

Keperluan Kursus : Tiada Latihan-latihan diselitkan pada bahagian-bahagian tertentu dalam sesuatu tajuk dengan tujuan menggalakkan anda mengaplikasi konsep dan prinsip yang anda telah pelajari kepada situasi sebenar. Pelajar juga digalakkan menghubungi pensyarah untuk mendapatkan maklumat lanjut yang berkaitan dengan tajuk-tajuk yang dipelajari.

Maklumat Agihan Topik-topik Dalam Kursus Proforma Yang Dimodulkan Dan Yang Memerlukan Interaksi Bersemuka Kod & Nama Kursus: MTE 3103 – Geometri

AGIHAN TAJUK

Kandungan modul ini akan menggantikan satu kredit bersamaan dengan 15 / 30 jam interaksi bersemuka. Jadual di bawah menjelaskan agihan tajuk-tajuk untuk interaksi bersemuka atau pembelajaran melalui modul. (Agihan Tajuk Interaksi Bersemuka dan Modul Mengikut Kursus Proforma )

Bil. Tajuk/Topik Interaksi Bersemuka

(jam)

Modul (jam)

Jum. Jam

1 Teselasi Satah 5 5

2 Simetri Satah dan Transformasi 5 5

3 Pepejal Sekata dan Separa Sekata 5 5

4 Pembinaan Model Geometri 7 7

5 Konik 8 8

JUMLAH 30 30

(MTE3103 : GEOMETRI)

45

TAJUK 4 PEMBINAAN GEOMETRI

4.1 Sinopsis Topik ini memberi pendedahan kepada pelajar tentang kejuruteraan kertas

(paper engineering) terutama dalam menghasilkan kad ucapan dan buku pop-up

dengan mengintegrasikan teknik-teknik asas pembinaan model geometri.

Disamping itu pelajar akan dapat mengembangkan kreativiti mereka melalui

aktiviti `hands-on’.

4.2 Hasil Pembelajaran 1. Mengintegrasikan teknik-teknik asas untuk membina model geometri

2. Menghargai peranan geometri dalam seni dan reka bentuk.

4.3 Kerangka Tajuk

4.4 `Paper Engineering’

Kejuruteraan Pop Up adalah satu mekanisme untuk menghasilkan bentuk-bentuk

geometri dan bukan geometri dalam tiga dimensi. Aplikasi kejuruteraan pop-up

dapat dilihat dalam penghasilan kad ucapan dan buku cerita kanak-kanak.

Kemahiran memotong, membentuk, melipat dan menampal adalah antara

kemahiran-kemahiran yang diperlukan.

Pembinaan Model Geometri

Model `Pop-Up’

Teknik `Pop-Up’

Seni dan Reka Bentuk


46

4.4.1 Model `Pop-Up’

Beberapa model pop-up ditunjukkan dibawah.

i) Kad Ucapan

ii) Buku


47

4.4.2 Teknik-teknik `pop-up’ a) Ada pelbagai teknik dalam menghasilkan buku atau kad pop-up.

Antaranya ialah teknik lipatan-V. Antara jenis-jenis lipatan-V yang paling

popular dan mudah adalah :

i) `valley fold’

ii) `hill fold’

Cuba anda layari internet bagi mendapatkan maklumat teknik

kejuruteraan pop-up yang lain seperti `angled fold’ dan `parallel fold’

b) Antara simbol-simbol yang digunakan dalam teknik pop-up ditunjukkan

c) Langkah-langkah pembinaan satu contoh kad pop-up.

Langkah 1 : Buat `valley fold’ dimana kertas dilipat kepada dua bahagian yang sama.

Garis memotong Valley fold

Hill fold Kawasan menampal objek 2D Hill fold


48

Langkah 2 :

Gunting dua bahagian pada `garis memotong’ seperti pada rajah.

Langkah 3:

Angkat bahagian tengah yang telah digunting dan buat lipatan hill untuk

membentuk tiang (stand)

Langkah 4: Tutup dan tekan rata kad itu

Langkah 5:

Apabila kad itu dibuka , dinding pada sebelah dalam akan terbuka dan

membentuk sudut 90o. Dinding tegak bertindak sebagai tiang (stand).

stand

Garis memotong

Lipatan hill


49

Langkah 6 :

Anda boleh menampal objek 2D pada tiang atau tiang tambahan agar

lebih menarik seperti rajah di bawah.

Reka dua keping kad ucapan pop-up yang menarik.

4.4.3 Seni dan Reka Bentuk

Seni dalam pop-up boleh ditafsirkan sebagai lukisan interaktif dalam bentuk tiga

dimensi. Unsur-unsur kreativiti dalam pop-up dapat dikembangkan dengan

memasukkan elemen-elemen alam semulajadi seperti flora dan fauna. Rekaan

arkitektur juga boleh diaplikasikan dalam bentuk model.

Contoh-contoh seni dan reka bentuk dalam kejuruteraan pop-up boleh dilihat

seperti dibawah ini:

Model Bandar New York oleh Daisy Lew

tabs

stand extrastand


50

Halloween Pop-Up Card oleh Canon Creative Park

Model Fairy Castle Magic Kingdom oleh Michelle

Model Kirigami Flower Basket oleh Dr Sonia S.V


51

Model kelkatu oleh Frunzel

Kumpulkan seberapa banyak maklumat mengenai seni dan rekabentuk dalam pop-up dan disimpan dalam folio.

--SELAMAT MENCUBA SEMOGA BERJAYA—

MTE3103 Geometri

33

Topik 3 Pepejal Sekata dan Separa Sekata

3.1 Sinopsis

Dalam topik 1 dan 2, kita mempelajari corak-corak 2-dimensi dalam satah. Kita akan

mengkaji bentuk 3-dimensi yang dibina dari poligon-poligon sekata. Pepejal Platonik

adalah pepejal sekata yang berbucu cembung (convex regular solid). Pepejal Archimedean

adalah pepejal separa sekata yang juga berbucu cembung serta Pepejal Kepler-Pointsot

yang berbucu cekung.


1. Mengukuh dan membina pengetahuan tentang konsep asas geometri

2. Meningkatkan kemahiran dan pengetahuan tentang teknik untuk pembinaan

geometri yang tepat

3. Menghargai peranan dan sejarah geometri

4. Menghubungkait geometri dalam kurikulum matematik sekolah rendah dan

menengah.

3.3 Kerangka Konseptual

Pepejal Sekata dan Separa Sekata

5 Pepejal Platonik

Bucu, Muka & Sisi

Pepejal Archimedes

Pepejal Kepler-Pointsot

3.4

Rajah

dinam

Semu

pepeja

Se

pep

Pepejal

3.1 di b

makan tetrah

a nama ini

al.

3.4.1 N

Cuba cam

berdasarka

yang mem

dan ikosah

Pepejal P

adalah pe

tersebut

(edges), t

Fikir s

mua perm

pejal sekata

Platonik

bawah men

hedron, kiu

berasal da

Nama-nam

m dan nam

an poligon

mbentuk pe

hedron)

Platonik di

epejal yang

membentuk

titik pertemu

sejenak

ukaan pep

a yang mun

nunjukkan

b (heksahe

ari perkataa

ma pepejal

makan setia

yang memb

epejal terse

atas dike

g disempad

k muka (fa

uan di mana

pejal Platon

ngkin. Kena

34

lima jenis

edron), okta

an Greek ya

Platonik

ap pepejal

bentuk perm

ebut (tetrah

Rajah 3.1

laskan ke

ani poligon

faces). Perm

a tiga atau l

nik mempu

apa?

pepejal P

ahedron, do

ang merujuk

Platonik

mukaan pep

hedron, kiub

1

dalam kum

n satah (pla

mukaan-pe

lebih sisi d

nyai poligo

MTE3103 G

Platonik.

odekahedron

k kepada b

dalam Raj

pejal dan b

b, oktahedr

mpulan pol

ane poligon

rmukaan in

ipanggil bu

on sekata.

eometri

Pepejal-pep

n dan ikosa

ilangan per

ah 3.1 di

ilangan per

ron, dodek

lihedra. Po

ns). Poligon

ni bertemu

cu (vertices

Hanya 5

pejal ini

ahedron.

rmukaan

bawah,

rmukaan

kahedron

olihedron

n-poligon

di sisi

s).

jenis

MTE3103 Geometri

35

3.4.2 Hubungan pepejal Platonik dengan unsur alam semulajadi

Pepejal Platonik mula ditemui dan diketahui pada zaman Plato

(427 – 347 S.M). Tapi perlu di ingatkan pepejal Platonik bukan ditemui oleh

Plato. Pepejal-pepejal ini dinamakan sedemikian kerana kajian-kajian yang

dibuat oleh beliau dan pengikut-pengikutnya. Plato percaya tentang

perkaitan mistikal antara empat pepejal tersebut dengan empat unsur alam

semulajadi seperti berikut:

Kiub Bumi

Tetratedron Api

Oktahedron Udara

Ikosahedron Air

Dodekahedron menyeliputi keseluruhan alam semesta.

3.4.3 Definisi Polihedra

Semua polihedron adalah 3-dimensi di mana permukaan-permukaannya

terdiri dari satah poligon. Dalam bahasa Greek ‘poly’ bermaksud banyak

dan ‘hedron’ bermaksud permukaan banyak. Polihedron sekata adalah

polihedron yang mempunyai permukaan-permukaan poligon sekata.

Permukaan-permukaan ini hanya terdiri dari satu jenis poligon sahaja.

MTE3103 Geometri

36

Adakah anda dapat membentuk pepejal?

Kemudian cuba dengan bentuk segiempat sama dan pentagon. Adakah

anda dapat membina pepejal 3-dimensi berbucu cembung, jika sudut adalah

sama dengan 3600?

Peringatan: Untuk membentuk objek 3-dimensi, kita mesti cantumkan

sekurangnya 3 permukaan untuk bertemu di bucu. Jika anda mencuba

dengan 2 poligon sahaja anda tidak akan dapat membentuk bucu pepejal).

Kita tidak dapat membina pepejal 3-dimensi berbucu cembung dengan 6

permukaan bertemu pada satu bucu kerana sudut segitiga sama sisi ialah

600, maka 6 x 600 = 3600. Tetapi untuk membina pepejal 3-dimensi berbucu

cekung (concave 3-dimensional figure) kita boleh guna lebih dari 6

permukaan atau lebih 3600. Bermakna bilangan segitiga yang bertemu pada

satu bucu untuk membentuk pepejal 3-dimensi berbucu cembung ialah 3, 4

atau 5 seperti yang ditunjukkan di rajah di sebelah.

Aktiviti 1: Menyiasat bilangan poligon yang boleh membentuk bucu

1. Potong bentuk poligon sekata, segitiga sama sisi sebagai templat.

2. Dengan menggunakan segitiga sisi sama sebagai tempat, cuba bina

bentangan (net) polihedra sekata. Hasilkan satu bentangan yang terdiri

dari 6 segitiga. Cuba cantumkan poligon-poligon di bawah untuk

mendapat satu pepejal.

3. Kenapa kita tidak dapat membina pepejal 3-dimensi berbucu cembung

(convex 3-dimensional figure) dengan 6 permukaan bertemu pada satu

bucu?

Perhatika

regular po

melebihi 3

Oleh itu,

dapat me

n untuk m

olyhedron)

3600.

hanya ad

embentuk 5

membentuk

), jumlah s

a lima po

5 pepejal p

37

k polihedro

sudut perr

olihedra se

platonik.

on berbucu

rmukaan p

ekata yang

Tetrah

Tiga se

3 x 600

Okhta

Empat

4 x 600

Ikosah

Lima s

5 x 600

Kiub:

Tiga se

bucu :

Dodek

Tiga

satu bu

MTE3103 G

u cembung

pada satu

g berbucu

hedron:

egitiga pad0 = 1800

hedron:

t segitiga p0 = 2400

hedron:

segitiga pa0 = 3000

egiempat sa

3 x 900 =

kahedron:

pentagram

ucu : 3 x 1

eometri

g sekata (

bucu tida

cembung

da satu buc

pada satu b

da satu bu

ama pada s

2700

m sekata

080 = 3240

(convex

k boleh

sahaja

cu :

bucu :

ucu :

atu

pada 0

Bua

Sele

dari

Den

kes

Plat

[Not

Cad

Bukti :

(i) jum

kur

(ii) Pa

yan

(3,3

pol

Aktivit

at model s

epas anda

i segi perm

ngan men

emua ben

tonik.

ta : Anda

Walau

memb

angan: Unt

ben

Sila layPlaton

mlah sudut

rang dari 3

da setiap

ng bertemu

3). Simbol

ygon sekat

Poligon

i 2: Memb

setiap jenis

a membua

mukaan, sis

nggunakan

ntangan-be

boleh guna

bagaimana

ina pepejal

tuk mendap

ntangan me

yari interneik (Platonic

t semua p

3600.

bucu sek

u pada sat

Schlafli (p

a p-sisi den

Simbol S

n sekata p-

bina Pepej

s pepejal P

at setiap p

si dan bucu

n program

entangan

akan benta

pun anda m

yang kema

pat pepeja

enggunakan

et dan caric solids)

38

ermukaan

kurang-kur

u bucu bo

p,q) berma

ngan q polig

Schlafli (p,

-sisi

al Platoni

Platonik. Gu

pepejal Pla

u. Kemud

m Geomet

yang mu

angan yang

mestilah me

as dan canti

l yang cant

n kertas ber

bahan-ba

yang bert

rangnya ha

oleh diwakil

akna poihe

gon bertemu

q)

bilanga

bertemu

k

unakan be

atonik, per

ian isikan J

ters Sketc

ungkin unt

g disediakan

nggunakan

k.

tik dan me

rcorak.]

han yang

MTE3103 G

temu pada

anya tiga

kan denga

dron mem

u pada satu

n polygon

u pada sat

ntangan ya

rhatikan da

Jadual 1.

ch Pad (

tuk setiap

n – Lampir

skala yang

narik, ceta

berkaitan d

eometri

a satu buc

segitiga sa

an simbol

punyai per

u bucu.

yang

tu bucu.

ang sesua

an buat an

(GSP) luk

p jenis pe

ran‐lampira

tepat agar

kkan benta

dengan pe

cu mesti

ama sisi

Schläfli

rmukaan

ai.

nalisa

kiskan

epejal

an 3A.

dapat

angan‐

epejal

Leng

Pepejal

ma pepejal

Platonik

ilangan

rmukaan

ada satu

bucu

Simbol

hlafli (p,q)

ilangan

rmukaan

(F)

ngan bucu

(V)

angan sisi

(E)

Dual

gkap jadua

l di bawah

39

berdasark

JADUAL

kan kefaha

1

MTE3103 G

aman anda

eometri

a terhadap

topik

MTE3103 Geometri

40

3.4.4 Dual pepejal Platonik

Sila rujuk Jadual 1. Anda akan dapat perhatikan perkaitan yang rapat di

antara simbol Schlafli (p,q) untuk setiap pepejal Platonik. Misalnya simbol

Schlafli untuk kiub ialah (4, 3) dan oktahedron ialah (3, 4). Bilangan sisi

kedua-duanya adalah sama iaitu 12. Bilangan permukaan untuk kiub adalah

sama dengan bilangan bucu oktahedron dan sebaliknya. Maka dikatakan

dual untuk kiub adalah oktahedron dan sebaliknya. Begitu juga dengan

dodekahedron dan ikosahedron. Simbol Schlafli (p,q) untuk dodekahedron

ialah (5,3) dan ikosahedron ialah (3, 5). Bilangan sisi untuk kedua-duanya

adalah 30. Maka dodekahedron adalah dual untuk ikosahedron dan

sebaliknya. Untuk tetrahedron, dualnya ialah tetrahedron juga.

3.5 Bucu, Muka dan Sisi

Sekarang anda telah meghasilkan pepejal platonik, anda boleh mengkaji

muka, bucu dan sisi pepejal-pepejal tersebut.

Pertama, kita tahu berapa bilangan permukaan untuk setiap pepejall

(kecuali kiub) dengan nama tersendiri. Walau bagaimanapun, kita boleh

mengkaji setiap pepejal dan mengira bilangan permukaan bagi setiap

pepejal tersebut.

Kita boleh mendapatkan cara berkesan untuk mendapatkan bilangan

permukaan polihedron. Contohnya, jika sebuah dodekahedron diletakkan

pada meja yang rata, anda dapat melihat muka atas, satu pada bahagian

bawah, lima berada di bahagian atas dan lima pada bahagian bawah,

menjadi 1 + 1 + 5 + 5 = 12 kesemuanya.

Sebenarnya, mengira bilangan muka dengan cara ini akan membuat anda

mengenali pepejal dan membantu anda mengetahui bilangan muka dan sisi

pepejal.

MTE3103 Geometri

41

Kita ambil contoh untuk dodekahedron. Dodekahedron mempunyai 12

muka, setiap muka adalah pentagon sekata dengan setiap muka mempunyai

5 sisi.

Jadi jika kita mengira setiap muka berasingan, kita akan dapat 5 X 12 = 60

sisi kesemuanya. Tapi setiap sisi pada dodekahedron mencantumkan dua

muka, maka cara kiraan ini akan mengira kesemua sisi sebanyak dua kali.

Jadi bilangan sisi sebenar adalah 60 ÷ 2 = 30.

Sekarang setiap sisi bertemu pada dua bucu. Jadi jika kita mengira setiap

sisi berasingan kita akan dapat 2 X 30 = 60 bucu. Tapi untuk dodekahedron,

tiga sisi bertemu pada setiap bucu jadi kita akan mengira setiap bucu

sebanyak tiga kali. Jadi, sekali lagi bilangan bucu adalah 60 ÷ 3 = 20.

3.6 Pepejal Arcimedes

Pepejal Archimedean adalah pepejal separa sekata (semi regular solids) kerana ia

terbentuk dari dua atau lebih poligon cekung sekata (regular convex polygon).Ciri

utama pepejal Archimedean ialah setiap permukaan adalah poligon sekata dan

pada setiap bucu, poligon-poligon berulang dalam susunan yang sama, misalnya

heksagon-heksagon-segitiga pada ‘truncated tetrahedron.

Terdapat dua atau lebih poligon sekata pada pepejal Archimedean dan polihedron

tersebut perlulah cembung.

Terdapat 13 jenis pepejal Archimedean (pepejal separa sekata)

1. (3, 4, 3, 4) kuboktahedron

2. (3, 5, 3, 5) ikosidodekahedron

3. (3, 6, 6) truncated tetrahedron (truncated merujuk kepada proses di mana

bucu yang di potong)

Apakah formula umum untuk mengira bilangan muka, bucu dan sisi suatu poligon ?

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Rujuk

And

Cad

(4, 6, 6) t

(3, 8, 8) t

(5, 6, 6) t

(3, 10, 10

(3, 4, 4

kecil)

(4, 6, 8

besar)

(3, 4, 5, 4

(4, 6, 10)

(3, 3, 3

mengelili

(3, 3, 3, 3

k kepada L

Aktivit

da boleh gu

dangan : ce

truncated o

truncated k

truncated i

0) truncate

, 4) rhom

) truncate

4) rhombik

) truncated

3, 3, 4) s

ingkan sat

3, 5) snub

Lampiran 3

ti 3: Memb

una bebera

etak guna

oktahedron

kiub

ikosahedro

ed dodekah

mbikubokta

d kubokta

kosidodeka

d ikosidode

snub kiub

u-satu poli

dodekahe

3.11 (Pepej

bina pepej

apa bentan

kertas yan

42

n

on

hedron

ahedron, (j

ahedron, (

ahedron,

ekahedron,

b, snub k

igon denga

dron (snub

jal Archime

jal Archim

ngan yang

ng mempun

juga dipan

(juga dipa

,

kuboktahed

an segitiga

b ikosidodk

edean)

medean

disediaka

nyai corak

MTE3103 G

nggil rhom

nggil rhom

dron (snub

a)

kahedron)

n dalam la

yang men

eometri

mbikubokta

mbikubokta

b adalah

ampiran 3B

narik.

ahedron

ahedron

proses

B.

3.7

(i)

(ii)

Pepejal

Polihedro

Juga dina

Kesemua

congruen

Bilangan

Terdapat

Stellate

12 pe

Dualn

Simbo

Terdi

Dodek

12 pe

Perm

Simbo

Meru

polyh

Dualn

Kepler-Po

on bukan b

amakan po

a permuka

nt (identica

permukaa

t empat jen

ed dodeka

ermukaan,

nya ialah D

ol Schläfli

ri dari 12 p

kahedron B

ermukaan,

mukaan cek

ol Schläflin

pakan po

edral).

nya ialah s

oinsot

berbucu ce

olyhedron

aan adala

al) regular p

an yang be

nis pepejal

ahedron k

12 bucu, 3

Dodekahed

ialah { , 5

permukaan

Besar

12 bucu, 3

kung

nya ialah {5

olihedra

tellated do

43

ekung seka

bintang se

h poligon

polygons)

ertemu pad

l Kepler-Po

kecil

30 sisi

dron besar

5}

n pentagram

30 sisi

5, }

berbucu

odekahedro

ata (Regula

ekata (regu

sekata ko

da kesemu

oinsot.

m

cekung

on kecil

MTE3103 G

ar non-con

ular star po

ongruen (A

ua bucu ad

sekata (c

eometri

nvex polyhe

olyhedra)

All the fac

alah sama

concave

edron)

ces are

a.

regular

(iii)

(iv)

An

Ca

Stellat

12 per

Permu

Simbo

Dualny

Ikosah

20 perm

Simbol

Dualny

A

nda boleh g

adangan : c

ted Dodek

rmukaan, 2

ukaan adal

ol Schläfliny

ya ialah Iko

hedron bes

mukaan, 12

Schläfliny

ya ialah Ste

--SELAM

Aktiviti 4

guna bebe

cetak guna

kahedron

20 bucu, 3

lah cekung

ya ialah {

osahedron

sar

2 bucu, 30

ya ialah {3,

ellated dod

MAT MENC

: Membina

rapa benta

a kertas ya

44

Besar

0 sisi

g.

, 3}

n Besar

0 sisi

}

dekahedron

CUBA SE

a pepejal K

angan yang

ang ada co

n besar

MOGA BE

Kepler-Po

g disediaka

orak yang m

MTE3103 G

ERJAYA—

[T

oinsot

an dalam l

menarik.

eometri

—

t f

lampiran 3

th

3C.

MTE3103 Geometri

1

Topik 1

Teselasi Satah

1.1 Sinopsis

Topik ini merupakan permulaan pendedahan kepada kegunaan matematik dalam seni dan

rekaan manusia. Ia merupakan satu bidang yang luas dan untuk bahagian ini, kita akan

bincangkan ciptaan untuk satah 2-Dimensi. Bahagian ini meliputi jenis-jenis teselasi, teselasi

dan seni serta fraktal geometri.


1. Menambahkan pengetahuan anda dalam konsep matematik yang berkaitan dengan

geometri pada satah.

2. Menghargai peranan geometri dalam seni dan rekaannya.


Teselasi Satah

Jenis-jenis Teselasi Teselasi dan Seni Geometri Fraktal

1.4 T

Teselasi

celah di a

Contoh t

lebih me

akan dib

Teselasi

adalah satu

antara bentu

teselasi yan

enarik termas

incangkan k

u bentuk pol

uk dan tanpa

g paling asa

suklah tese

kemudian.

a yang meli

a sebarang p

as termasuk

lasi Islam b

2

tupi sesuatu

pertindihan b

klah jubin d

erbentuk bin

u permukaan

bentuk (yang

i bilik air. B

ntang dan te

Teselasi Isl

Teselasi Cip

M

n sepenuhn

g digunakan

Bentuk-bent

eselasi cipta

am Berbent

ptaan Esche

MTE3103 Geo

ya, dengan

n) berlaku.

tuk teselasi

aan Escher

uk Bintang

er

ometri

tiada

yang

yang

1

T

b

se

(S

m

1

K

ya

b

T

se

.4.1 Jenis

Terdapat beb

erlainan yan

egi sama ad

Semi-regular

mengkategor

.4.1.1 Tes

Kita mulakan

ang teselas

erdasarkan

Terdapat tiga

egitiga sisi s

-Jenis Tese

berapa cara

ng digunaka

da menggun

r polygons)

rikan teselas

selasi Berda

n dengan me

i berdasarka

satu bentuk

a jenis tese

sama, segi e

elasi

untuk meng

an dalam sa

nakan poligo

atau poligon

si berdasarka

asarkan Sat

erujuk kepad

an satu ben

k sekata dan

elasi satu b

empat sisi sa

3

gkategorikan

atu-satu tes

on sekata (re

n tidak seka

an bilangan

tu Bentuk P

da bentuk p

ntuk sahaja.

satu bentuk

bentuk seka

ama dan hek

Teselasama

Teselsama

Teselsama

n teselasi, t

selasi atau

egular polyg

ata (Irregula

bentuk berla

Poligon

paling ringka

Ia boleh d

k tidak sekat

ata sahaja d

ksagon sisi s

asi dengan ssebagai ben

asi dengan sebagai be

asi dengan sebagai be

M

termasuklah

mengkatego

gons), poligo

ar polygons).

ainan yang d

as teselasi p

dibahagikan

ta.

dapat dihas

sama.

segitiga sisi ntuk asas

segiempat sntuk asas

heksagon sintuk asas

MTE3103 Geo

bilangan be

orikan telas

on separa se

. Modul ini

digunakan.

pada satah—

kepada tes

silkan, iaitu

sisi

isi

ometri

entuk

i dari

ekata

akan

—bagi

selasi

asas

J

h

b

P

ya

b

6

m

se

te

P

ika kita perh

aruslah kelih

ucu? Gamb

Poligon adala

ang bercant

ucu harusla

0⁰, terdapat

membentuk t

etiap bucu,

eselasi.

Poligon sisi li

Berehat se

yang boleh

hatikan deng

hatan sama

baran bagi b

ah rajah pad

um, yang di

ah berjumlah

6 segitiga b

teselasi. B

ma dikenali

. Maka

ebentar dan c

h membentu

gan teliti, kit

dan sekura

ucu ditunjuk

da satah den

kenali sebag

h 360⁰. Mis

bertemu pad

Bagi segiem

. Ole

sebagai pen

penggunaan

cuba renung

k teselasi?

4

ta akan dapa

ng-kurangny

kkan seperti

Bucu

ngan sekura

gai sisi. Unt

salnya sudut

da setiap buc

pat sisi sam

eh itu, segi

ntagon. Set

n pentagon s

gi, mengapa

ati setiap bu

ya bertemu d

di bawah:

ang-kurang m

tuk permuka

t dalaman b

cu.

ma, sudut d

empat seka

tiap sudut da

sahaja tidak

a hanya terda

Gabungan pentagon.

M

ucu dalam s

dengan tiga

mengandung

aan satah, ju

bagi segitiga

, ma

dalaman ad

ata juga bo

alaman adal

k dapat mem

apat tiga ben

bagi tiga

MTE3103 Geo

satu-satu tes

poligon. Ap

gi tiga garis

umlah sudut

a sisi sama

ka segitiga b

alah 90⁰.

oleh membe

ah 108⁰,

mbentuk tese

ntuk sekata

ometri

selasi

pa itu

lurus

pada

ialah

boleh

Pada

entuk

elasi.

B

h

h

J

a

P

B

ya

h

p

T

s

Bagi poligon

eksagon se

eksagon bo

ika dilanjutk

dalah 128.5

Pertindahan a

Bagi poligon

ang sama p

anya terdap

ula dengan

Teselasi juga

ini disertaka

sisi enam

ekata adala

leh memben

kan kepada

57⁰. Apabila

akan berlaku

dengan bila

pada satu b

pat tiga bentu

teselasi den

a boleh dibe

an beberapa

pula, ia d

ah 120⁰. P

ntuk teselasi

heptagon, y

tiga heptago

u; seperti raj

angan sisi ya

bucu tanpa p

uk poligon s

ngan bentuk

ntuk dengan

contoh tese

5

dikenali seb

Pada setiap

.

yakni poligon

on bertemu

jah yang ditu

ang lebih ba

pertindihan

sekata yang

tidak sekata

n mengguna

elasi dengan

agai heksa

p bucu,

n dengan si

pada satu b

unjukkan di

anyak, penc

adalah mus

boleh mem

a?

akan bentuk

n bentuk asa

Seg

Tra

M

gon. Sudu

isi tujuh, set

bucu,

bawah:

antuman tig

stahil. Oleh

bentuk tese

k asas yang

as yang tidak

giempat Tep

apezium

MTE3103 Geo

ut dalaman

. Ole

tiap sisi dala

ga poligon se

h yang dem

elasi. Bagaim

tidak sekata

k sekata:

pat

ometri

bagi

eh itu

aman

ekata

ikian,

mana

a. Di

1

H

ya

ya

(s

b

.4.1.1 Tes

Homogenus

ang akan m

ang sama.

semi-regular

erikut:

selasi Berda

teselasi ada

membentuk

Homogenus

r polygons).

asarkan Dua

alah teselasi

teselasi den

s teselasi ju

Beberapa c

6

a atau Lebih

i yang meng

ngan syarat

uga dikenali

contoh tesel

3.6

4.

3.3

3.

h Poligon B

ggunakan du

t, pada setia

sebagai tes

asi poligon s

6.3.6

8.8

3.3.4.4

3.3.3.6

M

Berlainan

ua atau lebi

ap bucu me

selasi poligo

separa seka

MTE3103 Geo

ih poligon se

empunyai be

on separa se

ata adalah se

ometri

ekata

entuk

ekata

eperti

T

p

te

m

p

d

6

T

p

N

h

se

m

te

anda bsama, mencu

Teselasi poli

oligon-poligo

erdapat dua

mempunyai e

utaran, ia d

ibaca sebag

.3.6.3. Iany

Tetapi jika a

ertama itu, k

Nama bagi t

omogenus a

ekata tetap

menunjukkan

eselasi homo

Cuba luanboleh denga

heksagon uba !

igon separa

on yang be

heksagon

enam sisi da

dibaca seba

gai 6.3.6.3?

ya tidak sala

anda meleta

kerana ia ha

teselasi sep

atau tidak. T

pi dikategor

n satu tesel

ogenus dan

ngkan masan mencantusisi sama,

a sekata dib

ertemu pada

dan dua se

an segitiga m

gai 3.6.3.6.

Memang a

ah, tapi kita

akkan nomb

aruslah dibac

para sekata

Terdapat jug

rikan sebag

asi yang tid

tidak homog

a setengah jamkan segiemheptagon

7

beri nama a

a setiap bu

gitiga yang

mempunyai

Mungkin

ada bahan b

a cuba mele

bor 3.3.6.6,

ca mengikut

a adalah pe

ga teselasi ya

gai tesela

dak homoge

genus?

am dan cari mpat sisi sasisi sama a

atau simbo

ucu. Misaln

bertemu pa

tiga sisi. O

anda tertan

bacaan yang

etakkan nom

ia bukanla

susunan pu

enting untuk

ang terdiri d

si tidak ho

enus. Bole

teselasi homa, segitigaatau oktago

M

l berdasark

nya pada te

ada setiap b

Oleh itu, bila

nya-tanya, m

g meletakka

mbor yang k

h nama ba

utaran.

k memastika

daripada lebi

omogenus.

ehkah anda

mogenus sea sisi sama, on sisi sam

MTE3103 Geo

kan bilangan

eselasi pert

bucu. Heks

dibaca men

mengapa ia

an nama seb

kecil di hada

agi teselasi

an sama ad

ih sejenis po

Di bawa

bezakan a

ebanyak yanpentagon si

ma. Selama

ometri

n sisi

tama,

sagon

ngikut

tidak

bagai

apan.

yang

da ia

oligon

h ini

antara

ng si at

1

J

te

E

m

‘ji

S

A

M

m

m

Beberapa

The M

.5 Tesel

ika kita kaitk

elah dikemb

Escher (1898

matematik ya

ingsaw puzz

Salah satu pe

Alhambra, Se

Moorish yang

mencipta jub

menggunaka

a contoh has

Baca bahaMagic Mirror o

asi dan Sen

kan teselasi

bangkan ole

8-1972). Te

ang tinggi, t

zle’.

encetus Esc

epanyol pad

g sangat me

in daripada

n bentuk ya

sil kerja M.C

an bacaan dof M. C. Esc

ni

dengan sen

h seorang

erdapat bebe

ermasuklah

cher dalam m

a tahun 192

enarik. Wala

bentuk geom

ng menyeru

C. Escher:

ari ‘Reader’:cher oleh B.

8

ni, kita tidak

artis terken

erapa hasil k

yang telah

memulakan

22. Pada ke

au bagaiman

metri, Esche

pai benda, b

: Escher—GErnst dan M

k dapat tidak

al Belanda

kerja M.C E

dicetak pad

rekaannya

etika itu, dia s

napun, tidak

er cuba men

binatang, bu

Geometry mM. C Escher

M

k menyentuh

yang diken

Escher yang

da baju-T, b

berlaku apa

sedang men

k seperti Moo

ngubah idea

urung dan se

eets art olehat work oleh

MTE3103 Geo

h hasil seni

nali sebagai

mempunya

buku, cawan

abila dia me

neliti jubin re

orish yang h

Moorish de

ebagainya.

h B. Ansell, h G.A. Esche

ometri

yang

M.C

i nilai

n dan

lawat

ekaan

hanya

engan

er.

MTE3103 Geometri

9

1.5.1 Menghasilkan Teselasi Jenis-Escher

Pada bahagian ini, kita akan membincangkan dua cara termudah untuk membentuk

teselasi Jenis-Escher. Walaupun prinsipnya kelihatan sangat mudah, tetapi anda harus

sedar (daripada pembacaan anda sebelum ini) bahawa untuk menghasilkan teselasi

yang berasaskan binatang adalah tidak mudah. Daripada artikel yang telah anda baca,

Escher sebenarnya meluangkan banyak masa dalam proses menyelidik, melatih dan

menggunakan rekaannya untuk membentuk teselasi.

1.5.1.1 Teselasi Berdasarkan Mengubah sisi Bertentangan yang Selari

Teknik ini melibatkan mengubah pada satu sisi dan seterusnya mengubah sisi

bertentangan yang selari dengan perubahan yang serupa.

Teselasi ringkas yang berasaskan segiempat sisi sama.

1

K

te

S

se

W

m

N

b

in

R

te

p

p

se

te

ku

yang

.5.1.2 Tes

Kita telah m

eselasi, iaitu

Segiempat si

eterusnya m

Walau bagaim

mempunyai s

Namun dem

ersebelahan

ni juga dilaku

Rajah di atas

eknik yang d

ada sisi yan

utaran. Jika

eparuh dari

engah sisi te

umpulan !

Cuba ciptadinyatakan

elasi Berda

elihat hanya

u segitiga

si sama dan

mengubah s

manapun, in

sisi bertentan

ikian, kita

n dengan be

ukan untuk h

s menunjukk

digunakan a

ng bersebela

a anda perha

pada sisi te

ersebut. Dap

a satu teseladi atas.

asarkan Put

a terdapat

sisi sama,

n heksagon

sisi bertentan

ni tidak dapa

ngan yang s

boleh men

entuk yang s

heksagon se

kan hasil cip

adalah meng

ahan denga

atikan denga

ersebut dan

patkah anda

asi jenis-Esc

10

taran

tiga jenis p

segiempat

boleh meng

ngan yang

at dilakukan

selari.

gubah pada

sama denga

ekata.

ptaan yang m

gubah pada

an bentuk ya

an teliti, sisi

sisi yang t

a melihat bag

her dengan

poligon seka

sisi sama

ggunakan te

selari denga

untuk segiti

a satu sisi

an menggun

menggunaka

a satu sisi d

ang sama d

yang ketiga

telah dibent

gaimana ia d

menggunak

M

ata yang bo

dan heksa

knik mengub

an perubah

iga sisi sam

dan meng

akan teknik

an bentuk a

dan kemudia

dengan men

dibentuk de

tuk itu dipu

dibentuk? B

kan antara s

MTE3103 Geo

oleh membe

agon sisi s

bah satu sis

an yang se

a kerana ia

gubah sisi

putaran. T

asas segitiga

annya meng

nggunakan t

engan meng

tarkan pada

incangkan d

atu teknik

ometri

entuk

sama.

si dan

erupa.

tidak

yang

Teknik

a dan

gubah

teknik

gubah

a titik

dalam

1.6 G

Pernahka

menggun

daripada

Mandelb

mendapa

menemu

khas: jika

jelas dan

tanpa ha

Geometri Fra

ah anda

nakan komp

gambar as

rot (1924-

atkan maklu

i satu cara

a sebahagia

n lengkap a

d ini sebaga

aktal

membesark

puter? Apa

sal, gambar

) meny

umat yang

yang memb

n daripada b

akan diperol

ai ‘fraktal’.

kan sebah

abila gamba

r tersebut k

yatakan bah

lebih jelas

bolehkan kita

bentuk itu di

ehi. Mande

Set

11

hagian dar

ar tersebut

kelihatan ka

hawa pemb

dan lengka

a untuk me

besarkan be

elbrot mena

Mandelbrot

ipada man

dibesarkan

abur. Seor

besaran sep

ap. Pada

reka bentuk

erulang, mak

amakan ben

t

M

na-mana g

n dengan sk

rang ahli m

patutnya me

tahun 1970

k geometri d

ka makluma

ntuk geomet

MTE3103 Geo

gambar de

kala yang t

matematik, B

embolehkan

0-an, Mande

dengan satu

at tambahan

ri yang beru

ometri

engan

tinggi

Benoit

n kita

elbrot

u sifat

yang

ulang

Benoit M

yang per

idea beb

Waclaw

juga men

jadi. Mi

kelihatan

Buat mas

fraktal bo

similar m

Mandelbrot d

rtama yang

berapa ahli

Sierpinski d

ndapati bah

isalnya, pad

n hampir sam

sa ini, frakta

olehlah diny

motif) yang be

Mot

dikenali seba

mencipta fra

matematik

an Gaston J

awa kebany

da daun pa

ma dari segi

al tidak ada d

yatakan seb

erulang tanp

tif Serupa D

agai bapa k

aktal, tetapi

seperti Ge

Julia untuk

yakkan frakt

kis, bila kita

bentuk, cum

definisi yang

agai bentuk

pa had. Satu

Diri yang Dit

12

kepada ‘Fra

beliau meru

eorg Cantor

membentuk

tal berkongs

a bandingka

ma berbeza d

g dipersetuju

k geometri y

u contoh mo

tunjukkan o

aktal Geome

upakan oran

r, Giuseppe

k jenis geom

si sifat yang

an dengan

dari segi sai

ui secara um

yang mempu

otif serupa-d

oleh Sierpin

M

etri’. Beliau

g pertama y

e Peano, H

metri yang b

g sama dala

keseluruhan

iz.

mum. Walau

unyai motif

iri ditunjukka

nski Gasket

MTE3103 Geo

bukanlah o

yang menga

elge Von K

baru. Mande

am alam se

n daun pak

u bagaimana

serupa-diri

an di bawah

t

ometri

orang

abung

Koch,

elbrot

emula

kis, ia

apun,

(self-

:

Rekaan f

mengham

seperti d

Tahap 0

Tahap 1

Tahap 2

Contoh (

fraktal umum

mpiri motif a

i bawah:

: Bermula de

: Garis luru

tengah ter

Tahap ini d

2: Gantikan

membentu

generator

seterusnya

(i): Koch Cu

Tahap 0:

Tahap 1:

mnya mengg

asalnya. Mis

engan satu

us tersebut

rsebut, satu

dikenali seba

setiap bentu

uk tahap se

adalah sam

a, tahap 2 di

urve

gunakan pro

salnya dalam

garis lurus.

dibahagi ke

u segitiga s

agai genera

uk initiator

elanjutnya d

ma dengan

iulang.

13

oses lelaran

m pembinaa

Garis lurus

epada tiga b

sama sisi d

ator.

dengan be

dalam Koch

panjang ga

n (iterative),

an ‘Koch Cur

s ini dikenali

bahagian ya

ilukis dan g

entuk genera

h Curve.

aris yang d

M

dengan has

rve’, cara pe

sebagai init

ang sama.

garis pada

ator pada v

Panjang v

igantikannya

MTE3103 Geo

sil lelaran sa

embinaan ad

tiator.

Pada baha

tapak dialih

versi skala u

ersi skala

a. Untuk t

ometri

angat

dalah

agian

hkan.

untuk

pada

tahap

Contoh (

T

Tahap 2:

(ii): Sierpins

Tahap 0:

Tahap 1:

Tahap 2:

ski gasket

14

M

MTE3103 Geoometri

Contoh (

T

T

T

(iii): Box Fr

Tahap 0:

Tahap 1:

Tahap 2:

ractal

15

MMTE3103 Geoometri

Contoh (

T

T

T

(iv): Peano

Tahap 0:

Tahap 1:

Tahap 2:

Cuba d

curve

dapatkan tah

hap 3 dan ta

16

ahap 4 bagi

semua cont

M

toh fraktal di

MTE3103 Geo

atas.

ometri

1

S

b

d

C

T

a

P

a. Koc

dar

Ma

D

S

b

.6.1 Frakta

Semua frakta

agaimanapu

efinisi beriku

ontoh:

Tentukan sam

. ‘Koch snow

Penyelesaian

ch snowflak

ripada Koch

ka Koch sno

Definisi:

Sesuatu fra

bahagian pad

al Serupa-d

al menunju

un terdapat

ut.

ma ada frakt

wflake’.

n:

ke adalah sa

snowflake(m

owflake buka

aktal dikata

da fraktal itu

diri Tepat (S

kkan motif

beberapa fra

tal berikut ad

atu bentuk y

misalnya ya

anlah fraktal

kan frakta

u merupakan

17

Strictly Self-

serupa-diri

aktal yang f

dalah fraktal

b. ‘Koch cur

yang tertutu

ang dibulatka

serupa-diri

l serupa-d

n replika bag

-Similarity F

dengan sk

fraktal serup

serupa-diri

rve’

up. Mana-m

an) bukanla

tepat.

diri tepat j

gi keseluruha

Bahagiamerupakmana batersebut

M

Fractals)

kala yang m

pa-diri tepat,

tepat.

mana bahag

h satu bentu

jika sebara

an fraktal.

an yang dibukan replika bahagian bagt.

MTE3103 Geo

menyusut, w

yang meme

ian yang dia

uk yang tert

ang

ulatkan bukabagi mana-gi snowflakes

ometri

walau

enuhi

ambil

tutup.

an

s

b. Dap

rep

1

D

N

M

pat diperhat

plika bagi kes

.6.2 Nisba

Dua bentuk

Nisbah Skala

Makna bagi N

Jika gmaka

Jika inreplika

Didapareplika

Tent

serupa-diri t

tikan dengan

seluruhan fra

ah Gantian (

kiraan yang

a.

Nisbah Gant

enerator bagNisbah Gan

nitiator bagi fanya pada g

ati bahawa m bagi seluru

ukan sama

tepat.

n jelas baha

aktal, Maka

(Replaceme

g boleh dila

tian dan Nis

gi sesuatu frntian bagi frfraktal terse

generator, m

mana-manah Koch curv

ada Sierpin

18

awa mana-m

Koch curve

ent Ratio) d

kukan terha

sbah Skala:

raktal mengaraktal tersebbut mempunaka Nisbah

bahagian pave.

nski Gasket d

mana bahag

adalah frakt

dan Nisbah S

adap fraktal

:

andungi N rebut adalah Nnyai r kali lin

h Skalanya a

ada Koch cu

dan Peano

M

ian pada Ko

tal serupa-d

Skala (Scal

ialah Nisb

eplika bagi iN. near dimensiadalah r.

urve adalah

curve adala

MTE3103 Geo

och curve ad

diri tepat.

ling Ratio)

ah Gantian

nitiator,

i bagi

ah fraktal

ometri

dalah

n dan

Contoh:

(i) Koch

Tahap 0:

(ii) Sier

Tahap 0:

Cari nisb

(i) Koch

(ii) Sier

Penyeles

(i) P

lu

G

g

h Curve

:

rpinski Gask

:

bah gantian d

h Curve

rpinski Gask

saian:

Pada genera

urus. Maka

Garis lurus

enerator. M

ket

dan nisbah s

ket

tor mengand

nisbah gant

pada initiat

Maka nisbah

skala bagi

dungi empa

tian bagi Ko

or adalah t

skalanya ial

19

Tahap 1:

Tahap 1:

t garis lurus

ch Curve ial

tiga kali leb

lah 3 : 1, ata

:

s, tetapi initia

lah 4 : 1, ata

bih panjang

au 3.

M

ator mengan

au 4.

g daripada

MTE3103 Geo

ndungi satu

replikanya

ometri

garis

pada

(ii) P

M

S

p

1

S

ke

Contoh:

Cari dime

(i

(i

Penyeles

(i) K

ke

d

Pada genera

Maka nisbah

Segitiga pada

ada replika d

.6.3 Dime

Satu perwaki

emampatan

ensi keserup

) Koch Curv

i) Sierpinski

saian:

Koch Curve

eserupaann

an nisbah sk

Da

Dimensi ke

Dengan N s

ator mengan

h gantian bag

a initiator me

di generator

nsi Keserup

lan yang dik

fraktal seru

paan bagi,

ve

Gasket

adalah frak

ya. Daripad

kalanya iala

D =

Dapatkan nisa. Peano c

serupaan, D

D =

sebagai Nisb

ndungi tiga

gi Sierpinski

empunyai ke

r. Maka nisb

paan (Simil

kenali sebag

pa-diri tepat

ktal serupa-

da soalan se

h 3. Maka d

=

sbah gantiancurve

D bagi frakta

bah Gantian

20

segitiga, te

i Gasket iala

elebaran dua

bah skalanya

larity Dimen

gai dimensi

t.

-diri tepat, m

ebelum ini,

dimensi kese

n dan nisbahb. Box

al serupa-di

dan r seba

etapi initiator

ah 3 : 1, atau

a kali lebih p

a ialah 2 : 1,

nsion)

keserupaan

maka kita b

nisbah gant

erupaannya

h skala bagix Fractal

ri tepat dibe

agai Nisbah

M

r mengandu

u 3.

panjang dari

, atau 2.

n, D digunak

boleh mend

tian bagi Ko

adalah:

eri sebagai

Skala.

MTE3103 Geo

ungi satu se

pada segitig

kan untuk m

apatkan dim

och Curve ia

ometri

etiga.

ganya

enilai

mensi

alah 4

(ii) D

s

1.6.3 F

1

Daripada soa

kalanya iala

raktal Geom

.6.3.1 Frak

Sung

alan sebelum

h 2. Maka d

D =

metri di Keh

ktal pada A

ai

Cari dima. Pean

m ini, nisbah

dimensi kese

hidupan Seh

Alam Semula

ensi keserupno curve

21

gantian bag

erupaannya

harian

a Jadi

paan bagi b.

gi Sierpinski

adalah:

Himp

Box Fractal

M

Gasket iala

unan Awan

MTE3103 Geo

h 3 dan nis

n

ometri

bah

1

U

p

b

Ingatan:

Panca

.6.3.2 Fra

Ba-Ili

Untuk mend

embacaan t

erasa seron

Sila past

penyeles

aran Kilat

aktal pada R

di Afrika

dapatkan pe

tambahan d

ok, betapa m

tikan semu

saian soalan

Rekaan Man

emahaman

dan melayar

menariknya

ua bahan b

n disimpan

22

nusia

yang lebi

i internet un

mempelajar

bacaan yan

dengan bai

Ura

Menara

h, anda d

ntuk tajuk d

ri matematik

ng telah dic

ik di dalam

M

at Daun

Eiffel di Pa

digalakkan

i atas. Pas

k! Selamat m

cetak, term

portfolio an

MTE3103 Geo

aris

untuk mem

stinya anda

membaca!

masuk nota

nda.

ometri

mbuat

akan

dan

MTE3103 Geometri

23

Topik 2

Satah Simetri dan Tranformasi

2.1 Sinopsis

Topik ini merupakan lanjutan daripada topik teselasi pada satah. Dalam penghasilan

teselasi, kita juga harus mengetahui cara pembentukan teselasi tersebut. Dengan

menggunakan motif yang tertentu, kita boleh memenuhi seluruh satah dengan

menggunakan transformasi yang mengekalkan bentuk dan saiz asal motif tersebut.

Dalam topik 2 ini, hanya dua sub-topik yang akan dibincangkan iaitu isometri pada

satah (putaran, pantulan, translasi dan pantulan gelangsar) dan kumpulan simetri

terhingga serta Tujuh-Pola ‘Frieze’ (Seven Frieze Patterns). Simetri pada satah akan

dibincangkan dalam sesi kuliah.


1. Menambahkan pengetahuan dalam simetri dan tranformasi pada satah.

2. Memahami pola dan rekaan Tujuh-Pola Jalur.


Satah Simetri dan Tranformasi

Satah Isometri Satah SimetriTujuh‐Pola ‘Frieze’

2.4 S

Isometri

empat iso

2

T

ja

a

(i)

(ii

Satah Isome

ialah satu tr

ometri yang

.4.1 Trans

Translasi ada

arak yang te

rah dan jara

)

etri

ranformasi y

telah dikena

slasi

alah satu tra

tap dengan

ak objek ters

Objek

yang menge

al pasti iaitu

ansformasi y

arah yang t

ebut bergera

24

ekalkan bent

translasi, pa

ang mengel

tetap. Oleh

ak. Contoh

tuk dan saiz

antulan, puta

lonsorkan ke

kerana itu,

translasi ad

imej

Satu tranpada alasayap kupskala.

M

z motif asal.

aran dan pu

eseluruhan o

kita perlu un

dalah sepe

nslasi yang am semula pu-kupu yan

MTE3103 Geo

Hanya terd

utaran gelang

objek dalam

ntuk menyat

erti berikut:

boleh ditemjadi: gamb

ng dibesarka

ometri

dapat

gsar.

m satu

takan

mui bar an

(i

2

P

d

im

ya

p

p

p

o

(i

ii)

.4.2 Pantu

Pantulan ada

alam suatu

mej mempun

ang terbalik

oint (Titik tid

ada objek d

aksi pantula

bjek dan ime

)

ulan

alah sejenis

satah pada

nyai bentuk d

k. Titik-titik

dak berubah

dan jarak im

an. Dalam p

ej.

s tranformas

satu garis y

dan saiz yan

pada paksi

h) bagi trans

mej yang te

perkataan la

25

si yang sec

yang dinama

ng sama, ya

pantulan ad

sformasi jeni

elah dipantu

ain, paksi pa

Apabilapapan sebelamengabergerpapan tertentanda ti

cara asasny

akan sebaga

ang berbeza

dalah tidak b

is ini adalah

lkan mempu

antulan terlet

a anda mgelonsor s

ah, andalami translarak pada sa

gelonsor) u. Saiz didak beruba

M

ya membalik

ai paksi pant

a tetapi deng

berubah. O

h tidak terhin

unyai jarak

tak di tenga

mengelonsoseperti gama sebeasi. Badanatu jarak (p

dan arahdan bentuk h.

MTE3103 Geo

kkan semua

tulan. Objek

gan orientas

Oleh itu, inva

ngga. Setia

yang sama

ah-tengah a

r dari mbar di enarnya n anda panjang h yang

badan

ometri

a titik

k dari

i imej

ariant

p titik

a dari

antara

(i

C

ya

2

P

se

im

m

i)

Cuba anda fik

ang ditunjuk

.4.3 Putar

Putaran mem

ebagai seba

mej mempu

menunjukkan

kirkan, meng

kkan pada (ii

ran

mutarkan se

agai pusat,

nyai bentuk

n arah yang

gapa perkata

i).

emua titik ba

melalui sud

k dan saiz

berlainan.

26

aan AMBUL

agi suatu ob

dut putaran

yang sama

Apabilseben

LANCE dalam

bjek pada s

dan arah te

a, tetapi im

a anda menarnya meng

M

m keduduka

satu titik teta

ertentu. Ob

ej yang ter

naiki roda Fegalami satu p

MTE3103 Geo

an terbalik se

ap yang dik

bjek asal de

rbentuk mu

erris, anda putaran.

ometri

eperti

kenali

engan

ngkin

2

P

g

k

m

b

co

k

(i

(i

.4.4 Pantu

Pantulan gel

aris selari m

ira pantulan

menyatakan

erlaku dan p

ontoh yang

ita berjalan d

)

i)

ulan Gelun

uncuran seb

mengikut ara

n atau tran

pantulan ge

paksi pantul

ketara tenta

di tepi panta

ncuran

benarnya ad

h tersebut.

nslasi berlak

eluncuran s

lan yang ter

ang pantula

ai.

27

dalah komb

Transforma

ku terlebih

ecara spesi

rtentu (selar

n geluncura

binasi bagi t

asi ini membe

dahulu. O

ifik, harusla

ri dengan ar

an ialah tapa

M

translasi da

erikan imej y

Oleh yang

h dinyataka

rah translasi

ak kaki yang

MTE3103 Geo

n pantulan

yang sama,

demikian, u

an translasi

i tersebut).

g tertera sem

ometri

pada

tidak

untuk

yang

Satu

masa

2.5 S

Sesuatu

transform

Sebagai

i) huruf-h

apabila d

lain pada

ii) huruf

lawan jam

a

Satah Simet

bentuk itu

masi seperti

contoh :-

huruf E dan

diletakkan ce

a paksi pantu

N tidak ber

m pada pusa

Nyatakdi baw

a.

tri

adalah sim

translasi, pu

n A mempu

ermin pada

ulan)

rubah bila

at putaran.

kan apakah wah:

metri jika b

utaran, pantu

unyai bilater

kedudukan

E diputarkan p

transformas

28

bentuknya k

ulan atau pa

ral line sym

seperti raja

Apada sudut

N

si yang dilak

b.

kekal tidak

antulan gelun

mmetry kera

ah di bawah.

A

180o sama

kukan untuk

M

berubah se

ncuran.

na kedua-d

. (pantulan a

ada mengiku

membentuk

MTE3103 Geo

etelah menj

duanya terbe

antara satu s

ut arah jam

k teselasi

ometri

jalani

entuk

sama

atau

MTE3103 Geometri

29

2.6 Kumpulan Simetri Finit dan Tujuh Pola ‘Frieze’

Apakah yang dimaksudkan dengan pola-pola ‘Frieze’? Pola-pola ‘frieze’ dikelaskan sebagai

kumpulan Simetri Diskrit Tidak Terhingga (infinite discrete symmetry groups). Kumpulan simetri

ini dikelaskan dalam kumpulan isometri satah jalur. ‘Frieze’ merupakan ukiran atau corak

hiasan dalam satu jalur mendatar (horizontal band). Ukiran atau corak yang berulang ini boleh

didapati pada renda, hiasan dinding, hiasan siling, hiasan bangunan dan lain-lain.

2.6.1 Jenis-jenis transformasi yang terlibat

Corak ini hanya dalam satu jalur. Oleh itu transformasi yang terlibat adalah translasi

sepanjang jalur sahaja. Putaran yang dibenarkan hanya 1800 sahaja (‘half-turn’).

Corak dalam jalur ini hanya membenarkan 2 jenis pantulan iaitu:

(i) garis pantulan serenjang dengan jalur (iaitu garis pantulan mencancang jika jalur

itu dianggap mendatar)

(ii) Garis pantulan mendatar sepanjang ‘garis tengah’ jalur.

Translasi dan pantulan gelangsar boleh digunakan untuk membentuk corak tidak

terhingga tanpa gabungan mana-mana transformasi. Menganda-dua putaran melalui

1800 dan pantulan akan menghasilkan identiti semula.

Garis pantulan

Garis pantulan

S

tid

(i

(i

(i

(i

Terdapat

Cora

1. C∞

2. C∞

3. D∞

4. D∞

5. D∞

6. C∞ x

7. D∞ x

P

D

Secara ringka

dak terhingg

) Trans

i) Pantu

iaitu p

ii) Putara

v) Pantu

tenga

t tujuh jenis

ak Jen

Tran

Pant

saha

2 kal

(180

2 kal

(pan

menc

mend

1 pa

sepa

(180

x D1 1 tra

pantu

pantu

garis

x D1 3 pa

Petunjuk: C =

D = Dihedral

asnya transf

ga ialah:

slasi

ulan gelangs

pantulan dan

an melalui 1

ulan (garis p

h jalur)

pola ‘frieze’.

nis transfor

slasi sahaja

tulan gelang

aja

li separuh pu0)

li pantulan

tulan

cancang dan

datar)

ntulan dan 1

aruh putaran0)

nslasi dan 1

ulan (garis

ulan sepanja

s tengah jalu

ntulan

= Cyclic (Kita

(Kombinasi

formasi yang

sar (Pantula

n diikuti deng

800 sahaja d

pantulan se

. Pola-pola t

masi

a

sar

utaran

n

1

ang

ur)

aran)

putaran dan

30

g terlibat da

n gelangsar

gan translas

dan

erenjang den

ersebut ada

Bentuk c

n pantulan)

alam satah ja

r adalah ga

si dalam arah

ngan jalur d

alah seperti b

corak

M

This image cannot currently be displayed.

alur untuk m

bungan 2 je

h yang sama

dan garis p

berikut:

Cont

MTE3103 Geo

membentuk c

enis transfor

a)

pantulan di

toh corak

ometri

corak

rmasi

garis

MTE3103 Geometri

31

2.6.2 Carta aliran untuk mengecam pola-pola ‘frieze’

Rajah di adaptasi dari Hayley Rintel, Melissa Shearer, and the 1999

Exploring Symmetry class

Adakah terdapat pantulan mencancang (vertical reflection)?

ya tidak

Adakah terdapat pantulan mendatar (horizontal)

ya

7

Adakah terdapat pantulan mencancang atau pantulan

geluncuran?

Adakah terdapat separuh pusingan

(half turn)?

tidak

ya tidak

5 3

Adakah terdapat pantulan mendatar

(horizontal

Adakah terdapat separuh

pusingan(half turn)?

ya

6 2

tidak

tidak

ya

ya tidak

4 1

MTE3103 Geometri

32

Nota untuk pelajar:

1. Semua pola-pola ‘frieze’ mempunyai simetri tranlasi.

2. Apabila pola-pola ‘frieze’ mempunyai simetri pantulan mencancang, bermakna

sekurang-kurangnya 1 garis mencancang boleh dilukis supaya imej pantulan adalah

objek yang bersebelahan dengannya. Biasanya terdapat banyak garis pantulan

mencancang.

3. Apabila pola-pola ‘frieze’ mempunyai simetri mendatar melalui garis tengah jalur,

maka hanya terdapat satu garis pantulan sahaja.

4. Cara terbaik untuk mengecam simetri pantulan gelangsar ialah melihat kepada kesan

tapak kaki di pasir.

2.7 Mengumpul Maklumat (Buku skrap)

1. Sila kumpulkan bahan-bahan yang berkaitan dengan pola- pola ‘frieze’ yang

terdapat di sekeliling anda. Contoh bahan-bahan yang boleh anda kumpulkan

ialah renda, sulaman pada baju, corak pada gelang tangan atau rantai, sejadah,

gril pagar (ironworks), bingkai, dan lain-lain bahan yang mempunyai corak dalam

satah jalur.

2. Perhatikan corak-corak tersebut dan camkan jenis-jenis transformasi yang

tersebut. Catatkan dalam buku skrap anda.

Bahan Rujukan

1. http://www.metacafe.com/watch/yt-J0O3exniKa4/

dinosaur_danger_pop_up_book_libro_popup_peligro_dinosaurios/

2. http://www.technologystudent.com/designpro/popup1.htm

3. http://www.technologystudent.com/designpro/popup1.htm

4. http://www.popupmailers.co.uk/popup_vfoldcards.php

5. http://www.inspirationblog.nl/en/2010/06/inspiring-popup-postcards.html

Laman Web Berguna

PANEL PENULIS MODUL PROGRAM PENSISWAZAHAN GURU SEKOLAH RENDAH

(XXX PENDIDIKAN RENDAH)

NAMA KELAYAKAN

(NAMA) : TOLHAH BINTI ABDULLAH (JAWATAN) : PPPS (PENSYARAH) (EMEL) : [email protected].

(KELULUSAN) : Sarjanamuda Sains (Matematik) PHD/SARJANA/SARJANA MUDA/DIPLOMA/SIJIL : Sarjana Sains (Matematik) (PENGALAMAN KERJA): Sekolah (11 tahun) IPG (5 tahun)

(NAMA) : RAHA BINTI YAHYA (JAWATAN) : PPPS (PENSYARAH) (EMEL) : [email protected]

(KELULUSAN) : Sarjanamuda Sains dengan Pendidikan (Kepujian) PHD/SARJANA/SARJANA MUDA/DIPLOMA/SIJIL : Sarjana Pendidikan (Teknologi Pendidikan) (PENGALAMAN KERJA) : Sekolah (16 tahun) IPG ( 5 tahun)

(NAMA) (JAWATAN) (EMEL)

(KELULUSAN) PHD/SARJANA/SARJANA MUDA/DIPLOMA/SIJIL (PENGALAMAN KERJA)

IKON

Rehat

Perbincangan

Bahan Bacaan

Buku Rujukan

Latihan

Membuat Nota

Senarai Semakan

Layari Internet

Panduan Pengguna

Mengumpul Maklumat

Tutorial

Memikir

Tamat

Documents

Geometri.pdf