CHRISTOPH SCHULZ

G E O M E T R I S C H E R E A L I S I E R U N G E N

G E S C H L O S S E N E R F L , ~ C H E N M I T W E N I G E N E C K E N

1. E I N L E I T U N G

In dieser Arbeit geht es um geometrische Realisierungen geschlossener Fl~ichen in euklidischen R/iumen, d.h. um Zellzerlegungen der Fl~ichen, die aus ebenen, konvexen Polygonen des d-dimensionalen euklidischen Raumes E n bestehen. Es wird gezeigt, dab es zu jedem a > 3 eine nur von a abh/ingige Konstante b, gibt, so dab gilt: Ffir alle g gibt es geometrische Realisierungen der orientierbaren geschlossenen Fl~che yore Geschlecht g im E a mit h6chstens ag + b, Ecken.

Unter einer geometrischen Realisierung der orientierbaren geschlossenen F1/iche ~'0 vom Geschlecht g verstehen wir also einen 2-dimensionalen geometrischen ZeUkomplex M o ~ E d (vgl. [6, Abschnitt 3.2]), dessen Tr~igermenge set Mg = ~F ~ M, F zu ~/~o hom6omorph ist. Unsere Bezeich- nungsweise folgt [6], insbesondere bezeichnet fk(C) die Anzahl der k- dimensionalen Zellen des Zellkomplexes C und skelk C das k-Skelett yon C, d.h. den aus den Zellen bis zur Dimension k bestehenden Teilkomplex. Die Zellen der Dimension 0 bzw. 1 heil3en auch Ecken bzw. Kanten. cg(p) ist der aus den Seiten (einschlieBlich ~ und P) eines (konvexen) Polytops P gebildete Komplex, ~(P) = cg(P)\{Z, P} heiBt der Randkomplex von P. Ftir die Eckenzahl einer Realisierung M o von J/{0 gilt:

j7 + ~ 4891 (t) T°(M") >- I 2 I"

Diese Ungleichung l~iBt sich leicht aus der Euler-Relation

f2(Ma) - f l (Ma) + fo(Mo) = 2 - 29

herleiten, da einerseits

gilt, und man andererseits Mg o.E. als Simplizialkomplex voraussetzen kann, woraus

3f2(Mo)-- 2/,(M.) folgt. Far jedes g =p 2 gibt es Triangulierungen yon J~0, bei denen in (t) Gleichheit gilt, far g = 2 ist 10 die minimale Eckenzahl (vgl. [7]). Da sich ein k-dimensionaler topologischer Simplizialkomplex im E 2k+l stets als

Geometriae Dedicata 11 (1981) 309-314. 0046-5755/81/0113-0309500.90. Copyrioht © 1981 by D. Reidel Publishin O Co., Dordrecht, Holland, and Boston, U.S.A.

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geometrischer Zellkomplex realisieren l~iBt, ist damit das Problem der geometrischen Realisierung von ~ g mit minimaler Eckenzahl fi~r R/iume der Dimension _> 5 gel6st.

Geometrisehe Realisierungen im E 3 mit diesen minimalen Eekenzahlen wurden bisher nur ffir g = 1 (vgl. [5]) und g = 2, g = 3 (vgl. [4]) gefunden. (t) fordert nur einen sehr langsamen Anstieg der Eckenzahl. Es ist deshalb nicht sehr wahrscheinlich, dab (t) for g r o ~ Werte von 9 die beste untere Schranke fi~r die Eekenzahlen geometrischer Realisierungen yon Jg0 im E 3 ist. Aus diesem Grund erscheint es sinnvoll, zun/~chst Realisierungen zu untersuchen, bei denen die Eckenzahl in Abh/ingigkeit von 9 linear anw/ichst, d.h.

a = inf {a E E +" 3b, e E + und geometrische

Realisierungen M o c E 3 von J/go, for alle g,

mit fo(Mg) < ag + b,}

zu bestimmen. Durch Aneinanderheften yon mehreren Exemplaren des Cs~iszarschen Torus' mit 7 Ecken (vgl. [5]) zeigt man leicht a < 4. Aus [2, Theorem 26] und [1, Theorem 1] folgt a < 3. Wir zeigen im folgenden a<~.

2. ERGEBNIS

SATZ. Zu jedem a > ~ gibt es eine (nur yon a abh~ngige) Konstante b a und 9eometrische Realisierungen M g c E 3 der orientierbaren 9eschlossenen Flfiche d//g yore Geschlecht g, fiir alle g, mit fo(Mg) < ag + ba.

Wir beweisen den Satz durch Konstruktion 4-dimensionaler Polytope, deren Randkomplexe Realisierungen Mg enthalten, die der Ungleichung des Satzes geniigen. Da sich das 2-Skelett eines 4-Polytops P stets in den E 3 (als geometrischer Zellkomplex) einbetten l~iBt, n/imlich als Teilkomplex eines Schlegel-Diagramms yon P (vgl. [6, Abschnitt 3.3] und [1, Theorem 1]) folgt hieraus die Existenz entsprechender Realisierungen im E 3.

Zur Konstruktion der 4-Polytope verwenden wir den bekannten Prozess der Verheftung yon zwei Polytopen: Seien P und P' zwei d-Polytope, F eine Facette von P, F' eine Facette von P', und es seien F u n d F' projektiv /iquivalent. Dann gibt es eine (ftir P' zul/issige) projektive Transformation T mit T ( F ' ) = F , so dab Q . = P w T(P') ein d-Polytop mit ~ ( Q ) = ~(P) w ~(T(P'))\{F} ist (vgl [6, Aufgabe 5.2.17]). Wir nennen Q ein durch Ferheftung von P und P' l/ings F u n d F' entstandenes Polytop. Im folgen- den seien P und P' 4-Polytope und N ~ skel 2 P, N' c skel 2 P' Realisierun- gen von Jgg bzw. Jg¢ . F bzw. F' heiBt eine Verheftungsfacette (bzgl. N und N'), wenn es eine 2-Seite G von F bzw. G' von F' mit N c~ ~ (F) = qf(G)

G E O M E T R I S C H E F L . ~ C H E N MIT W E N I G E N E C K E N 311

bzw. N ' n ~ ( F ' ) = ~(G') gibt. Wenn F und F' Verheftungsfacetten mit T(G') = G sind, so heiBt die Verheftung zuli~ssig (bzgl. N und N'). Dann ist

M = {7"(G): C N', G ÷ a'}

eine im 2-Skelett von Q enthaltene Realisierung von J#g+g,. (Topologisch entsteht M, indem man aus N und N' die Kreisscheiben G und G' entfernt und die R/inder der so entstandenen berandeten Mannigfaltigkeiten mitein- ander identifiziert.)

Die 'Grundbausteine' ftir den Beweis des Satzes liefert das folgende Lemma.

LEMMA. Zu jedem n ~ ~ gibt es ein 4-Polytop P, mit 6n + 4 Ecken und einer Realisierung M" ~ skel2 P, yon rig2,_ i. P, hat zwei disjunkte Verhef- tungsfacetten Fx, F 2 mit

(a) F i is t eine Pyramide fiber einem regul~ren 3n-Eck G i, i = 1, 2; (b) M" c~ ~ ( F , ) = Cg(G,), i = 1, 2.

Beweis. Wir beginnen mit einem 3-Polytop Q. = conv{xx . . . . . x3., yl, ..., y3.}, wobei die XR und Yk in Zylinderkoordinaten die Darstellung Xk = (1, 2~k/3n, 0), Yk = (1, 2~k/3n + ~/3n, 1), 1 < k < 3n haben. Q. ist also die konvexe Hfille zweier zueinander paralleler regul~rer 3n-Eeke G 1 = conv{xk: 1 ~_ k ~ 3n} und G 2 = conv{yk: 1 <_ k < 3n}, die um den Winkel n/3n gegeneinander gedreht sind. Qx ist ein Oktaeder, Figur 1 zeigt ein Schlegel-Diagramm yon Q2.

X3 X 2

X4 1

X 5 X6

Figur 1

312 C H R I S T O P H S C H U L Z

Die Kanten [Yk, Xk], [Xk, Xk+ l], [Xk+ l, Yk+ l], [Yk+ x, Xk+2], [Xk+2, Yk+2], [Yk+ 2, Yk+ 3], k = 3i + 1, 0 < i < n - 1 bilden einen Hamiltonkreis Ha auf Q.. (Die Addition bei den Indizes erfolge modulo 3n.) Die Kanten [Yk,

y +d, [yk+2, k = 3i + 1, 0 < i < n - 1 bilden ebenfalls einen Hamiltonkreis Hb. Es sei nun P', die Doppelpyramide mit Basis Q, und Spitzen a und b. P', hat 6n + 2 Ecken und skelz P'. enth/ilt eine Realisierung Mn der orientierbaren geschlossenen Fl~iche vom Geschlecht 2n - 1:

M" = {conv{a, K } : K Kante v o n Ha} w {conv{b, K} : K Kante von nb}

w {conv{yk, Yk+ 1, Xk+ 1} : k = 3i + 1, 0 < i < n - 1}

w {conv{yk+2, Xk+2, Xk+3}: k = 3i + 1, 0 < i < n - 1}

u {G1, G2} w skell P'n.

Wegen skell P'n c M n ist M n zusammenh/ingend. Damit M" eine Zellzer- legung einer geschlossenen Fl/iche ist, mul3 for jede Ecke x yon M" set st(x, M n) eine Kreisscheibe mit x im relativen Innern sein. Ftir die Ecken a und b ist dies der Fall, well H a und Hb Kreise sind. Bei den iibrigen Ecken priift man ebenfalls leicht nach, dab die jeweils 6 dort anstogenden 2-Seiten eine solche Kreisscheibe bilden. Figur 2 zeigt st(y1, M") und st(x2, M").

M" ist orientierbar, da es sich durchdringungsfrei in den (zur 3-Sph/ire hom6omorphen) Rand eines 4-Polytops einbetten 1/iBt. Weiterhin ist fo(M") =fo(P ' . )= 6n + 2, f l ( M " ) = f l ( P ' . ) = 24n und f2 (M")= 14n + 2, womit sich aus der Euler-Relation das Geschlecht 2n - 1 ergibt.

Aus P'. konstruieren wir P . , indem wir die Facetten F'I = conv{G1, a} und F~ = conv{G2, b} stellar durch Ecken Xo und Yo unterteilen, d.h. wir w~ihlen einen Punkt Xo jenseits von F'~ und diesseits aller anderen Facetten von P'. (vgl. [6, Abschnitt 5.2]), sowie einen Punkt Yo jenseits von F~ und

Y2

x

Figur 2

Y2

X

G E O M E T R I S C H E FL,~ .CHEN MIT W E N I G E N E C K E N 313

diesseits von allen anderen Facetten von P'., und definieren P. = conv{P'., Xo, Yo}- P. hat 6n + 4 Ecken, und wegen skel2 P'. = skel2 P. liegt M" auch im Randkomplex von P . . Die Facetten F1 =conv{G1, Xo} und F2 = conv{G2, Yo} sind disjunkt und erfi~llen die Bedingungen (a) und (b).

Beweis des Satzes. Zu jedem Polytop P. des Lemmas definieren wir Polytope P . . . . m ~ ~, die eine Realisierung M"' " von Jg,.(2.- 1) enthalten. Es sei P., 1 = P. • Fx ist eine Verheftungsfacette von P. bzgl. M". Es gibt also eine zul~issige Verheftung P., 2 von zwei Exemplaren von P. l~ngs Fx, die eine Realisierung M., z von ~'2~2.- a~ enth/ilt. Weil P. zwei Verheftungs- facetten F1, F2 besitzt, hat P., 2 eine Verheftungsfacette F bzgl. M"' 2 mit m"' 2 c~ ~ ( F ) = cg(G), wobei G ein regul/~res 3n-Eck und F eine Pyramide tiber G ist. Es gibt also eine (bzgl. M"' 2 und M") zul/issige Verheftung P., 3 von P., 2 und P . , und diese Konstruktion lfiBt sich fortsetzen: P.,,.+ x ist eine (bzgl. M"' " und M" zul/issige) Verheftung von P., m und P. l/ings Ft. Das Geschlecht yon M"' " ist g(n, m) = m(2n - 1).

Es sei nun a > 3 gegeben. Wir w/~hlen ein festes no e ~ mit (3no + 3)/(2no - 1) < a. Wegen fo(P., ,.) = m(6n + 4) - (m - 1)(3n + 1) ist limm-.oo [fo(P.o, ~)/g(no, m)] = (3no + 3)/(2no - 1). Also gibt es ein mo e ~/ mit fo(P.o ' m) < a . 9(no, m) fiar alle m > too. Damit ist der Satz fiir alle Fl~ichen vom Geschlecht g(no, m), m >_ mo bewiesen. Realisierungen der restlichen Fliichen ergeben sich in analoger Weise durch Verheftung der M "°' " mit Realisierungen /~o von Jgo im Randkomplex simplizialer 4- Polytope /50 mit 3g + 4 Ecken (Altshuler [2, Theorem 26]). Dabei kann man ba = 3g(no, too) + 4 w/~hlen.

Als Korollar erh/ilt man ein entsprechendes Ergebnis ftir Realisierungen nicht-orientierbarer F1/~chen im E 4.

KOROLLAR. Zu jedem a > 3 gibt es eine (nur yon a abhi~ngige) Konstante ba und geometrische Realisierungen N~ ~ E 4 der nicht-orientierbaren gesch- lossenen Fl?tche yore Geschlecht O, fflr alle O, mit fo(N~) <_ aO + ba.

Beweis. Das 5-dimensionale Simplex T 5 enthfilt eine Realisierung P der projektiven Ebene (vgl. [3, Satz 12]). Die Realisierungen M 9 aus dem Beweis des Satzes lassen sich auch in den Randkomplex von 5-Polytopen einbetten. Durch Verheftung dieser 5-Polytope mit ein bzw. zwei Exem- plaren yon T 5 lassen sich ein bzw. zwei Exemplare von P an Mg anheften. Auf diese Weise erh/ilt man aus M a Realisierungen der nicht-orientierbaren geschlossenen F1/iche vom Geschlecht ~ = 2g + 1 bzw. 0 = 2g ÷ 2, die sich in den E 4 projizieren lassen.

B I B L I O G R A P H I E

1. Altshuler, A., ' Polyhedral Realization in ~3 of Triangulations of the Torus and Manifolds in Cyclic 4-Polytopes', Discrete Math. 1, 211-238 (1971).

2. Altshuler, A., 'Manifolds in Stacked 4-Polytopes', J. Comb. Theory 10, 198-239 (1971).

314 C H R I S T O P H S C H U L Z

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4. Brehm, U., 'Polyeder mit zehn Ecken vom Geschlecht drei', Geom. Dedicata 11, (1981) 119-124.

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6. Griinbaum, B., Convex Polytopes, Interscience, New York, 1967. 7. Ringel, G. und Jungermann, M., Minimale Dreieckszerlegungen geschlossener orientierbarer

Fl~chen, Tagungsbericht Oberwolfach 32/1977 Graphentheorie.

Anschrift des Verfassers :

Christoph Schulz Fernuniversit~it Zentrum for Fernstudienentwicklung Postfach 940 D-5800 Hagen Bundesrepublik Deutschland

(Eingegangen am 20 Juli 1979)