27
Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ ВОВЕД Во оваа тема предмет на проучување се геометриските тела. Притоа посебно внимание ќе обрниме на пресметување на плоштина и волумен на некои геометриски тела, т.е. на проблемот на мерење на просторот Р, во кој ќе бидат сите наши разгледувања во оваа тема. Во десетгодишното школување се запознав со коцката, квадратот, конусот, топката тетраедарот и други геометриски фигури во просторот. Тоа се примери на геометриско тело поими кој овде прецизно ќе ги објаснам. За таа цел воведувам неколку дефиниции за дефинирање на поимот геометриско тело кои се од исклучителна важност во математиката воопшто. Дифиниција 1. Нека О е точка од просторот Р е r є R. Геометриската фигура составена од точките, чиешто растојание од дадена точка О е помало од r , ја нарекуваме отворена топка и ја означуваме со Т(О, r). Секоја отворена топка со центар со точката О ја нарекуваме околина на точката О. Дефиниција 2 .Нека F е фигура во просторот p. За точката А ќе викаме дека е внатрешна точка на F ако постои околина на А која се содржи во F. За точката М ќе велиме дека е гранична точка со фигурата F , ако секоја околина на М содржи точки од F и точки што не и припајѓаат на F. Дифиниција 3.За фигурата F ќе велиме дека е сврзлива, ако кои било две точки од F можат да се сврзат со линијата која целосно лежи во F , т.е. секоја точка од линијата и припаѓа на фигурата F. Дефиниција 4.За фигурата F ќе велиме дека е област, ако F е сврзлива и секоја нејзина точка е внатрешна. Дефиниција 5.Нека е дадена област G.Фигурата составена од областа G и нејзините гранични точки ја нарекуваме затворена и ја означуваме со .

Geometriski tela

  • Upload
    reshat

  • View
    273

  • Download
    4

Embed Size (px)

DESCRIPTION

 

Citation preview

Page 1: Geometriski tela

Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

ВОВЕД

Во оваа тема предмет на проучување се геометриските тела. Притоа посебно

внимание ќе обрниме на пресметување на плоштина и волумен на некои геометриски

тела, т.е. на проблемот на мерење на просторот Р, во кој ќе бидат сите наши

разгледувања во оваа тема.

Во десетгодишното школување се запознав со коцката, квадратот, конусот, топката

тетраедарот и други геометриски фигури во просторот. Тоа се примери на геометриско

тело поими кој овде прецизно ќе ги објаснам. За таа цел воведувам неколку дефиниции

за дефинирање на поимот геометриско тело кои се од исклучителна важност во

математиката воопшто.

Дифиниција 1. Нека О е точка од просторот Р е r є R. Геометриската фигура составена од

точките, чиешто растојание од дадена точка О е помало од r , ја нарекуваме отворена

топка и ја означуваме со Т(О,r). Секоја отворена топка со центар со точката О ја

нарекуваме околина на точката О.

Дефиниција 2 .Нека F е фигура во просторот p. За точката А ќе викаме дека е внатрешна

точка на F ако постои околина на А која се содржи во F. За точката М ќе велиме дека е

гранична точка со фигурата F , ако секоја околина на М содржи точки од F и точки што не и

припајѓаат на F.

Дифиниција 3.За фигурата F ќе велиме дека е сврзлива, ако кои било две точки од F

можат да се сврзат со линијата која целосно лежи во F , т.е. секоја точка од линијата и

припаѓа на фигурата F.

Дефиниција 4.За фигурата F ќе велиме дека е област, ако F е сврзлива и секоја нејзина

точка е внатрешна.

Дефиниција 5.Нека е дадена област G.Фигурата составена од областа G и нејзините

гранични точки ја нарекуваме затворена и ја означуваме со .

Page 2: Geometriski tela

Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Дефиниција 6. За фигурата F ќе велиме дака е ограничена ако постои Т[O,r] таква, што

F T[O,r].

Дифиниција 7. За геометриското тело F ќе велиме кека е полиедер ако неговата граница

е составена од конечен број многуаголници.

Значи, секоја затворена и ограничена област ја нарекуваме геометриско тело.

Општо слободно,речено,геометриско тело (или, кратко тело) е ограничен и

затворен дел од прсторот. Ако површината со која е затворено геометриското тело

составена само од многуаголници тогаш за него се вели дека е рабесто тело или

полиедар.

За полиедрите важи Ојлерова теорема :

Ако еден полиедар има t- темиња, s- ѕидови и r- рабови тогаш за овие броеви

важи t+s=r+2

Дефиниција: За секој полиедар ќе велиме дека е правилен полиедар ако неговите ѕидови

се правилни складни многуаголници и во секое теме се среќаваат ист број рабови.

Постојат само пет правилни полиедри, а тоа се

тетраедар,хексаедар,октаедар,додекаедар и икосоедар уште познати како Платонови

тела. Не постои правилен полиедар чии ѕидови се правилни n-аголници за 6n . Во

табелата се прикажани Платоновите тела.

Tetraedar Heksaedar

(kocka) Oktaedar Dodekaedar Ikoсоedar

Цртеж

Page 3: Geometriski tela

Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Број на ѕидови и

нивни облик 4

триаголници 6 квадрати 8 триаголници 12 петаголници 20 триаголници

Број на рабови 6 12 12 30 30

Број на темиња 4 8 6 20 12

Плоштина и волумен на призма

Нека имаме две различни паралелни рамнини ∑ и ∑1 потоа една права р што

ги прободува тие две рамнини и уште еден многуаголник, на пример петоаголник

ABCDE, што лежи на ∑,како на цртеж1.

Цртеж1 Цртеж 2

Низ темињата на избраниот многуаголник да

повлечеме прави, паралелни со прават р; на цртеж 2;

нивните прободни точки на раммнината ∑1 се означени со

A1B1C1D1E1.

Четириаголниците ABB1A1, BCC1B1 итн. На цртежот 2 се

парарелограми e складен со петаголникот ABCDE.

Геометриската фигура што е состевена од тие два петаголника и петте

парарелограми, издвоено е претставена на црт. 3, таа една површина што го разбива

Page 4: Geometriski tela

Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

множеството точки од просторот на деве области-внатрешна и надворешна. Внатрешната

област, заедно со таа површина образуваат едно гемоетриско тело што се вика петаголна

призма.

Многуаголниците од кои е состевена површината на една призма се викаат нејзини

ѕидови. Секоја призма има два меѓусебе складни ѕидови кои што лежат на парарелните

рамнини; тие се викаат основи на призмата. Другите ѕидови се парерлограми; тие се

викаат бочни ѕидови, а нивната унија-бочна површина.

Општо за кој било призма темињата на основите се викаат темиња на призмата, а

страните на ѕидовите од призмата-нејзини рабови. Рабовите што нележат на оснновите се

викаат бочни рабови, а тие од основите –основни рабови.

Цртеж 3

Призмите според видот на нивните основи може да бидат: триаголни, четириаголни,

петаголни итн. Призма при која бочните рабови се нормални на рамнините од основите

се вика права призма. Кај призмите I и II на цртеж 3 бочните рабови се норамални на

основите, па според тоа тие се прави призми.

Ако бочните рабови на една призма не се норамални на основите, тогаш таа се вика

коса призма. Такви се призмите III и IV на цртежот.

Призмата I од црт. 3 е четираголна и права; за неа велиме дека е права

четириаголна призма.

Page 5: Geometriski tela

Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Растојанитето меѓу рамнините на основите на една призма се вика висина на

призмата. За призмата IV од црт. 3 тоиа е, на пример, должината на остечката ММ1 а за

призмата II од цртеж 3 тоа е должината на кој и да било бочен раб, на пример АА1.

Права призма со основа правилен многуаголник се вика правилна призма.

Ако една призма се пресече со рамнина, се добива многуаголник кој што се вика

пресек на призмата. Разликуваме неколку видови на пресеци и

тоа:паралелен,дијагонален, нормален и кос пресек, прикажани на црт .4

Црт.4

Отсечка чи крајини точки се две темиња на една призма што не лежата на ист ѕид се

вика просторна дијагонала или само дијагонала на призмата.

Page 6: Geometriski tela

Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Призма со основа парарелограм се вика

парарелпипитед. На ској ѕид основа

парарелопипедот му одговара само еден ѕид

со кој нема ниеден заеднички раб;а за такви два ѕида се вели

дека се спротивни еден на друг.

Ако парарелопипедот е прав и има основа парвоаголник

тој се вика правоаголен парарелопипед или квадар.

Должината на трите раба што излегуваат од едно теме се

вика димензии на квадарот. Квадар на кој димензииите му се

еднакви е коцка.За еден полиедер ќе велиме дека е призма

ако два негови ѕида се складни многуаголници што лежат на две паралелни рамнини и

ако другите ѕидови се такви

паралелограми што секој од нив

има заедничка страна со

споменатите два ѕида.

Збирот од плоштините на

сите ѕидови на една призма се вика плоштина на призма. Плоштината на една

многуаголна призма се состои од две основни (кои што се скалдни многуаголници) и

бочна површина (која што се состои од парарелограми). Споре тоа, за плоштината Р на

една призма имаме:

P=2B+M

Page 7: Geometriski tela

Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Каде што се B е означено плоштината на една основа,а со М

плоштината на бочната површина.

Ќе изведиме сега едно правило за пресметување на М (т. е.

плоштината на бочната површина) кај права призма. Знамеме дека

бочнитре ѕидови на права призма се правоаголници. Затоа ако

нејзините основни рабови се a,b…,f и висината е H , тогаш:

HfbaHfHbHaM )......(.......

Бидејќи збирот a+b+..,+f е периметарот L на основата т. е. a+b+…+f=L, следува дека

HLM

Пример 1. Пресметај ја плоштината на правилна шестрана призма со основен раб a= 5cmи

висина h = 12cm .

Решение.Според условот на задачата основита на призмата се правилни шестаголници, па

затоа секоја од нив има полоштина B = = . Бочната плоштина на на оваа

призма е М=6аh = 360 c , па затоа плоштината е

P = 2B + M = (2 + 360) c = 15(5 + 24)c

Волуменот на правоаголен паралопипед(ако основата на призмата е паралелограм

тогаш таа призма ја нарекуваме паралелопипед) со рабови a b и c е еднаков на abc, т.е.

V= abc

Пример 2. Основата на права призма е ромб со

дајагонали 18cm и 24cm . Пресметај го волуменот на

призмата ако дијагоналата на бчниот ѕид е 17 cm.

Решение. Плоштината на основата е B = = 216c

за страната на ромбот добиваме

Page 8: Geometriski tela

Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

a = =15cm

Конечно за волумен на призмата добиваме V= Bh= 1728c

Волумен на коса призма

V=Bh

Пример 3. Коса тристрана призма има основни

рабови 5 , 6 и 9cm и бочен раб

10cm. Пресметај го волуменот

на призмата ако бочниот раб

со рамнината зафаќа агол од

Решение.Според Хероновата формула за плоштина на на основата добиваме

B= =10 c А А’ следува дека h=l tg = 10 cm = 5 cm . Конечно

за волуменот на призмата имаме V = Bh= 10 5 = 100

Плоштина и волумен на пирамида

И пирамидата е посебен вид геометриска фигура.Таа може да се дефенира слично

како и призмата.да замислиме една рамнина ∑, еден n-аголник на неа на пример

петаголникот ABCDE и една точка Ѕ што нележи на ∑.

Ако од точката Ѕ повлечеме

отсечки до темињата на петаголникот

, ќе добиеме пет триаголници

ABS,BCS,……

Page 9: Geometriski tela

Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Површината што се состои од тие пет триаголници и дадениот петаголник го дели

множеството точки од просторот на две области: внатрешна и надворешна. Внатрешната

област заедно со површината е составена од дадениот петаголники добиените

триаголници, се вика петаголна пирамида .

Пирамидата е издвоено претставена. дадениот петаголник се

вика основа на пирамидата, добиените триаголници

ABS,BCS,….бочни ѕидови, а точката Ѕ –врв на пирамидата. Врвот

Ѕ и темињата на основата се викаат темиња на пирамидата, а

бочните ѕидови ја сочинуваат нејзината бочна површина.

И кај пирамидата разликуваме :основни и бочни рабови.

На црт.4 е

преставена триагонална пирамида

SABC, а на црт. 5 – четириаголна

пирамида SABCD.

Отсечката ЅЅ’, каде што Ѕ е

врвот на пирамидата , а Ѕ’ е неговата ортогонална проекција врз основата, се вика

висина на пирамидата (црт.4); точката Ѕ’се вика подножје на висината.

Обично и за растојанието т.е.должината ЅЅ’, се вели дека е висина на пирамидата.

Ако пирамидата ја пресечеме

со рамнина тогаш се добива

многуаголник што се вика пресек на

пирамидата.

Пресекот на пирамида со

рамнина што минува низ врвот и низ

која било дијагонала на основата се

вика диагонален пресек. Тој

секогаш е триаголник.

На црт.6 е преставен еден диагонален пресек (триаголникот ACS) на пирамидата

SABCDE.

Page 10: Geometriski tela

Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Секоја пирамида при која основата е правилен многуаголник, а подножјето на

висината паѓа во центарот на основата, се вика правилна пирамида.

Така имаме: правилна триаголна пирамида , правилна четириаголна пирамида итн.

Бидејќи пирамидата има една основа и бочна површина, за да ја пресметаме

нејзината плоштина доволно е да ја пресметаме плоштината B на основата и плоштината

М на бочната површина, која ја нарекуваме боцна плоштина, а потоа плоштината на

пирамидата да ја пресметаме според формулата

Р = В + М

Пример 4.Колку ќерамиди се потребни за покривање една куќа чиј покрив има форма на

правилна четиристрана пирамида со основен раб 8m и висина 3m, ако за поривање на

1 се потребни 20 ќерамиди.

Решение. Со a да го означиме основниот раб, а со h висината на

пирамидата. Треба да ја определиме бочната плоштина на

дадената пирамида.Притоа за апотемата имаме l= =

5m, па затоа М= 4 =80

Бидејќи за 1 се потребни 20 ќерамиди , а треба да се покрие 80 , за покривање на

куќата ни се потребни 20 = 1600 ќерамиди

Пример 5: Да ја пресметаме плоштината на правилна четириаголна пирамида

(црт.9)со основен раб а=14 cm и бочен раб ѕ=25cm?

Решение:За основата имаме:B=a2=142=196cm2

А за бочната површина: ahah

M 22

4

Каде што h е апотема.Апотемата ќе ја пресметаме со

помош на Питагоревата теорема од правоаголниот

триаголник AES .

Page 11: Geometriski tela

Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

h2=s2-( 2-72=625-49=576 h=24cm

M=2.14.24=672, P=B+M=196+672 P=868cm2

За волуменот V на пирамидата каде В е плоштина на основата на пирамидата и h е

нејзината висина точна е формулата

3

BHV

Пример 6. Да се пресмета волуменот на на правилна четиристрана

пирамида о со основен раб 14cm и апотема 25cm.

Решение. За висината на пирамидата имаме H=

= =24cm, од каде што следува дека волуменот

V= BH= H= =1568

Пример 7. Една правилна четиристрана порамида има полиштина Р=800c и бочна

плоштина М=544 c . Да се пресмета волуменот на пирамидата.

Решение. Основата на пирамидата е квадрат. Кека страната на квадратот е а, а висината

на бочната страна h . Имаме Р= и М= =544 од што следува = 800 –

544 =256, па затоа а= 16cm, h=17cm. Понатаму, од правоаголниот триаголник SOL

т.е. H= 15cm.

Конечно , за воллуменот на пирамидата имаме 312803

15256

3cm

BHV

Page 12: Geometriski tela

Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Плоштина и волумен на потсечена пирамида

Потсечена пирамида го нарекуваме делот од пирамидата, зафатен со најзината

основа и пресечената рамнина паралелна на нејзината основа,отсекот од пирамигата ја

нарекуваме дополнителна пирамида

на потсечената пирамида.

Парарелните многуаголници ги

нарекуваме основи на потсечената

пирамида, а другите ѕидови ги нарекуваме бочни ѕидови и тие ја формираат бочната

површина на потсечената пирамида .Основата на потсечената пирамида ја нарекуваме

долна основа, а основата која лежи во потсечената рамнина ја нарекуваме горн а основа

на потсечената пирамида

Бидејќи потсечената пирамида има две основи

и бочна површина, за да ја пресметаме најзината

плоштина доволно е да

ги пресметаме

плоштините В и н а

основите и плоштината

М на бочната површина, која ја нарекуваме бочна плоштина,

а потоа плоштината на

потсечената пирамида да ја пресметаме според формулата

Р = В + + М

За бочната плоштина на правилна потсечена

пирамида важи следнава теорема:

Теорема-1: Бочната плоштина на правилна потсечена

Page 13: Geometriski tela

Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

пирамида е еднаква на производот од полузбирот на периметрите на двете основи и

бочната висина ( апотема ).

Доказ:Нека е дадена правилна потсечена пирамида со основни рабови а и а1и

апотема h (црт.4).Тогаш плоштинта на еден нејзин бочен ѕид е h Со оглед дека

бочните ѕидови на правилната потсечен пирамида се складни рамнокраки трапези,

плоштината М ќе биде :

M=n h= h= h

Пример 8.Основните рабови на правилна четиристрана потсечена пирамида се 40cm и

10cm. Пресметај ја висината на потсечената пирамида ако нејзината плоштина е 3400

.

Решение.Плоштината на четиристраната потсечена пирамида со основи а и и апотема l

ја пресметуваме со формулата Р= Oд

условот на

задачата имаме

3400=

па затоа = 17cm.

Сега, од ЕFM

наоѓаме h = = 8cm

Пример 9:При првилна триаголна потсчена пирмида дадена е висината H=9cm и

радиусите на опишаните кружници околу основите R=12cm, R1=6cm.Пресметај ја

плоштината на таа потсечена пирамида.

Page 14: Geometriski tela

Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Решение:Нека е дадена потсечената пирамида ABCA1B1C1(црт.2) од формулата за

радиус на опишаната кружница околу рамностран триаголник R= добиваме

a=12 .За радиусите r , r1на впишаните кружници при основите на

потсечената пирамида добиваме: R=

Од триаголникот МQN следува:h=2= =3 cm

Плоштината на потсечената пирамида ќе биде:P= +

32

Волумеот на потсечената пирамида со висина h и

плоштина на основите В и се пресметува според формулата

V =

Во случај на правилна четиристрана потсечена пирамида со

висина h и основни рабови и имаме

V =

а во случај на правилна тристрана потсечена пирамида со висина h

и основни рабови и имаме

V =

Пример 10. Волуменот на правилна тристрана потсечена пирамида е 196 c , едниот

основен раб е 10 cm а висината 12cm. Пресметај го вториот основен раб.

Page 15: Geometriski tela

Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Решение. Имаме, 196 c , =10 cm , =12cm . Со замена во ја добиваме

196 = ( +10 ) , од која после средувањето ја имаме квадратната равенка

+ 10 -96=0

Решенијата на последната равенка се =6 и = -16. Второто решение го отфрламе,

бидејќи должината не може да биде негативна.Според тоа,вториот основен раб е 6cm.

Плоштина и волумен на цилиндер

Нека е дадена една рамнина ∑,една кружница k и права p што минува низ една

точка T од кружницата , а е нормална на ∑(цтр.1)

Да замислиме дека точката Т почнува да се движи по кружницата , а правата p да

остнува паралелна на својата првобитна положба (црт.2).

На тој начин подвижната права р опишува една површина; тоа е цилиндрична

површина (црт.3). Подвижната права се вика генератриса или (изведница), а

кружницата –директриса или (водилка) на цилиндричната површина. Да ја пресечеме

ова површина со уште една рамнина 1,

паралелна со ∑

Круговите кои што цилиндричната површина

ги отсекува од рамнините ∑ и ∑1 и дел од

просторот т.е. образуваат едно геометриско

Page 16: Geometriski tela

Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

тело што се вика прав кружен цилиндар, а ние ќе го викаме, само цилиндар..

Круговите се викаат основи, а делот од цилиндричната површина-бочна површина

на цилиндарот.

Отсечката ОО1 што ги сврзува центрите на основите се вика оска на

цилиндарот.Таа се вика и висина на цилиндарот. Кога цилиндарот ќе се пресече со

рамнина што минува низ неговата оска се добива еден правоаголник што се вика осен

пресек .

Цилиндарот чиј осен пресек е квадрат т.е.Н=2R, се вика рамностран цилиндар ако

цилиндарот се пресече по една негова генератриса и по периферијата на основите тогаш

може да се види дека неговата мрежа е составена од два круга (основите) и еден

правоаголник (бочната површина)

Од мрежата се гледа дека плоштината Р на цилиндарот е Р=2В + М

)(2 HRRP

Пример 11. Дијагоналата D=24cm на оскиниот

пресек на прав цилиндер со рамнината на

основата зафаќа агол од 45 . Пресметај ја

плоштината на цилиндерот.

Решение. Бидејќи дијагоналата на оскинот

пресек зафаќа агол од 45 заклучуваме дека оскиниот пресек е квадрат, т.е. цилиндерот е

рамностран. Значи, 2r=h= т.е. r=6 со замена добиваме

Р=

Волуменот на цилиндер со радиус на основата и висина се

пресметува со формулата V=Bh, каде B= e плоштина на

основата на цилиндерот.

HRV 2

Page 17: Geometriski tela

Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Пример 12. а) Бочната површина на цилиндерот е квадрат со страна а. Пресметај го

неговиот волумен .

б) Пресметај го волуменот на водоводна цевка со должина 6m, ако дијаметарот на

надворешната површина е 3cm а дијаметарот на внатрешната површина е 2.4cm.

Решение. а) Јасно, едната страна на бочната површина е висината на цилиндерот, па

затоа h=a. Другата страна на бочната површина е еднаква на должинта на кружницата на

основата, па затоа a= 2 т.е r= . Заменуваме во формулата V= и за волуменот на

цилиндерот добиваме V= .

б) Од условот на задачата имаме h=6m=600cm, D=3cm и d=2.4cm. Според тоа

волуменот на цевката е

V =

Пример 13: Да ги пресметаме плоштината Р и волуменот V на цилиндар со

радиус на основата R=6cm, плоштината на осниот пресек Q=240cm2

Решение:Од Q=2RH се добива: H= = =20, H=20cm

Потоа; P=2Rπ(R+H)=2.6π(6+20)=312π

V=R2π

. H=6

.20=720π

P=312π cm2, V=720πcm3

Page 18: Geometriski tela

Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Плоштина и волумен на конус

Definicija 1: Rotacionoto telo dobieno so rotacija na otse~kata AV koja ne e

paralelna so oskata AS i krugot koj e soodveten na paralelata na to~kata V go

narekuvame prav kru`en konus.

Definicija 2: Neka k(O,r) e krug vo ramninata i to~kata Y ne pripa|a na

ramninata. Mno`estvoto od to~ki od site otse~ki YH, takvi {to Hk go

narekuvame kru`en konus. Ako pravata YOkoja ja narekuvame oska na konusot, ne e

normalna na ramninata , toga{ za kru`niot konus velime deka e kos konus.

Preseci na konus so ramnina

Oskin presek

k

k

Paralelen presek O

R

R1

M

M1

Y

Page 19: Geometriski tela

Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Ако конусот се пресече по една негова генератриса и по периферијата на основата

тогаш може да се види дека

неговата мрежа е составена од еден

круг(основата) и еден кружен исечок

(бочна површина),како на црт,9.Од

мрежата на конусот се гледа дека

плоштината Р на конусот е :

Р=В+М

Бидејќи плоштината В на основата е;

В=R2π а плоштината М на бочната површина

sRsR

M

2

2

Следува дека: P=R2π+Rsπ

P=Rπ(R+s)

За кокусот ке велиме дека е рамностран ако генератрисата е еднаква на

дијаметарот на основата. т.е. 2R=s

Пример 14. а) Висината на прав конус е 12cm , а радиусот на основата е 5cm. Пресметај ја

неговата плоштина.

б) Правоагоел триаголник о катети 20cm и 15cm ротира околу права која минува низ

темето на правиот агол и е парарелна на хипотенузата. Пресметај ја плоштината на

ротационото тело.

Решение.a) Изводницита на конусот е =

cm = 13cm. Ако замениме во (2) за плоштина на конус

добиваме P= = 5

б) Телото кое се добива е крикажано на цртежот и

неговата плоштина е збир на плоштините на обвивката на

k

k

Kos presek

2RB

M

L=2R

s s

Mre`a na konus

Page 20: Geometriski tela

Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

цилиндерот “опишан” од хипотенузата АВ и на обвивките на конусите “опишани” од

катетите ВС и СА, за кои радиусот е висината повлечен од темето С.

Од правоаголниот имаме = 25c

Но, , па затоа Конично, бараната плоштина е

P

Волменот на конус со радиус на основата r и висина h се пресметува со формулата

каде што е плоштина на основата на конусот

3

2 HRV

Пример 15.а) Ќе го пресметаме волуменот на ротационото тело од приметор 11 б). За таа

цел од волуменот на цилиндерот кој се добива со ротација на катетите АС и ВС. Ако со

ги означиме висините на конусте, тогаш и бидејќи сите три тела

имаат ист радиус еднаков на висината , за волуменот на ротационото тело

добиваме

= 2400

б) Ќе го пресметаме волумент на на кос конус со најголема генератриса

20 , најмала 13 и дијаметар 2

Полупериметарот s на триаголникот e s = 27 , па од Хероновата

формула за нековата плоштина добиваме

Page 21: Geometriski tela

Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Според тоа, за висината на повлечена од страната АВ, која е и висина на конусот е

Конечно, волуменот на конусот е

Пример 16:Да ги пресметаме плоштината Р и волименот V на конус со радиус на

основата R=5cm и плоштината на бочната површина М=65πcm2.

Решение:Од М=Rπs се добива :

cmR

Ms 13

5

65

Од s2=R2 + H2 се добива :H= cmRs 122516922

Па потоа , P=Rπ(R+s)=5 π (5+13)=90π,

V=

1003

125

3

22

HR

P=90π cm2, V =100π cm3

Плоштина и волумен на потсечен конус

Definicija: Delot od konusot zafaten so negovata osnova i

prese~nata ramnina paralelna so osnovata go narekuvame

potse~en konus.

Teorema: Ako konusot go prese~eme so ramnina paralelna so

ramninata na osnovata toga{:

1. Izvodnicata i visinata na piramidata se razdeleni vo

ist odnos t.e.

111R

R

SM

SM

SO

SO

2. Plo{tinata na osnovata i plo{tinata na presekot se odnesuvaat kako kvadratite od nivnite rastojanija do vrvot na konusot t.e.

2

1

2

21

2

21

2

1 SO

SO

R

R

R

R

B

B

За плоштоната на потсечениот конус може да се каже

следното:Плоштината Р на потсечениот конус е еднаква за збирот на плоштините

на двете основи и бочната плоштина (обвивката) т.е.

Р=В +В1+ М

Page 22: Geometriski tela

Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Кадешто В и В1 се плоштини на основите, а М е бочната плоштина.Ако со R и r ги

означиме р адиусите на основите, нивните плоштини ќе бидат

В=R2π , B1=r2π

За бочната плоштина на правиот потсечен конус ке ја докажеме следната :

Теорема :Бочната плоштина М на прав потсечен конус со радиуси на

основата R и r генератрисата s е: M=π(R+r)s

Доказ: Нека потсечениот прав конус е добиен од

прав конус со врв s и основа кругот k (O,R) и

паралелниот пресек кругот K1 ( O,r) црт.1.Со s да ја

означиме генератрисата на отсечениот конус со врв s и

основа K(O1,r) тогаш генератрисата на целиот конус е

s+s1.Бочната плоштина М на потсечениот конус ја

добиваме како разлика на бочните плоштини на двата

конуси т.е.

М=Rπ(S+S1)- r π s1=RπS+π(R-r)S1

Генератрисата s1 ќе ја изразиме во звисност од R,r и s за што ќ го разгледаме

оскиниот пресек SAB на конусот.

Од триаголникот AOS и A1O1S1 следува дека е :

Во врска со тоа за М добиваме:

M=Rπs + π (R-r)

Пкоштината Р на потсечениот конус ќе биде:

r)s(RrRP 22

Потсечен конус го нарекуваме делот од конусот, зафатен со неговата основа и

пресечената рамнина парарелна со основата.

Page 23: Geometriski tela

Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Основата на конусот ја нарекуваме долна долна основа

на потсечениот конус, а пресекот наконусот и рамината го

нарекуваме горна основа на потсечениот конус .Разликуваме

прав и кос потсечен конус.

Пример 17. Плоштината на поголемата основа на прав

потсечен конус е 144 , а неговата висина е 8cm. Пресметај

ја неговата плоштина ако радиусите на основите се

однесуваат како 2:1

Решение. Од условот на задачата за радиус на поголемата основа

имаме па затоа R = 12cm. Ако со r го означиме

радиусот на помалата основа, тогаш R:r=2:1 , од каде наоѓаме

r=6cm. Од следува

Конечно, ако замениме во (2) за плоштина на потсечен конус добиваме

Формулата на волумен на потсечен конус ке ја

добиеме по сличен пат како и неговата плоштина.За таа

цел ќе ја докажеме следнава :

Теорема : Волуменот V на потсечен конус со радиус R

и r на основите и висината H се пресметува со формулата

V=

Доказ: Нека потсечениот конус е добиен од конусот со

врв s чија основа е кругот K(O,R)

И паралелниот пресек кругот К(О1,r) (црт.4.)Со H да ја означиме висината на

потсечениот конус , а со H1 висината на отсечениот конус со врв s и основата кругот К

(О1r) тогаш висината на целиот конус е H+H1.

Page 24: Geometriski tela

Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Волуменот на потсечениот конус е еднаков на разликата од волумените на целиот

отсечен конус т.е.

V=

Висината H1 на отсечениот конус може да се изрази со R,r и H ако разгледаме еден

оскин пресек SAB на конусот.

Од триаголникот AOS и триаголникот A1O1S1 следува дека

Според тоа за волуменот V добиваме:

V=

т.е.добиваме :

Пример 18. Ќе пресметаме волумен на ротационо тело. Радиусите на основите се

R= а висината е

Сега волуменот на ротационото тело го добиваме ако од волуменот на потсечениот конус

го одземеме волуменот на конусот. Имаме

Пример19: Рамностран триаголник со

плоштина Р=144 ротира околу оска која

минува низ едно негово теме и е нормална на

Page 25: Geometriski tela

Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

една страна што излегува од тоа теме .Пресметај го волуменот на

добиеното ротационо тело.

Решение : Добиеното ротационо тело е потсечен конус од кој е изваден

цел конус со основа помалиот круг .Од условот на задачата имаме .

=144 каде што а=24cm

Во врска со тоа имаме дека :R=24cm , r=12cm, H=12

Волуменот V на ротационото тело е еднаков на разликата од

волумените на потсечениот и цел конус т.е.

V= (576+288+1440)-2

Плоштина на топка и делови од топка

Плоштината на топка со радиус R e еднаква на удвоениот производ на пресечениот

круг кој минува низ центарот на топката т.е.

Пресекот на топка со рамнина секогаш е круг;ако рамнината минува низ центарот ,

тогаш пресечниот круг има радиус како топката и се вика голем круг.(црт.3.)

Во зависност од положбата на пресеците на топката (сферата) со рамнина

може да ги истакнеме следните делови на топката и сферата:

а)Дел од топката што се добива кога неа ќе ја пресечеме со рамнина која

минува низ нејзиниот центар се вика топкин отсечок.Отсечеокот е ограничен со

Page 26: Geometriski tela

Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

обвивката (дел од сферата ) кој се вика калота со висина О1А=h, и круг со радиус

кој се вика основа на отсечокот

б) дел од топката меѓу два паралелни пресека се вика топкин слој.Токиниот

слој е ограничен со сферна обвивка кој се вика зона ( појас) и со два круга со

радиус r и r1 чие растојание е висина h на слојот

в) Дел од топката ограничен

со една калота и бочна обвивка

на конус чија основа е основата

на отсечокот,а врвот му е

центарот на топката се вика

топкин исечок(сектор) .Плоштина на калота со висина h отсечена од сфера со радиус R

е еднаква

Плоштина на топкиниот појас со висина h, тој може да се добие како разлика на две

калоти, од кој ако висината ја означиме со x тогаш висината на големата калота е h+x. Од

пратходното кажано, за плоштина на топкин појас со висина h отсечен од кружницата со

радиус R имаме

Волумен на топка и делови од топка

Волуменот на топка се пресметува со формулата

Волуменот на калота со висина h отсечена од топката со радиус R се пресметува со

формулата

Page 27: Geometriski tela

Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Пример 20:Да ги пресметаме плоштината и волуменот на топка , за која е познато

дека плоштината на еден нејзин голем круг изнесува Q=2826cm2

Решение:Од Q=R2π добиваме дека:

R2π=2826, 3,14R2=2826

R2=900, R=30cm

Според тоа :

P=4R2π=4 . 900 .3,14=113040,

V= R3 = 36000270003

4

т.е. P=11304cm2 , V= 36000 cm3