Gestion Actif / Passif par une projection · et leur disponibilité tout au long de mes travaux, ... 2.3.3 Modélisation du prix des obligations ... 2.2 Algorithme

Gestion Actif / Passif par une projection

stochastique bayésienne Mémoire de fin d’étude

Edern Sévellec

Promotion 2010

Version Septembre 2010

Gestion Actif / Passif par une projection stochastique bayésienne

Edern Sévellec – Mémoire EURIA 2010 Page 2 sur 127

Résumé

Une gestion Actif-Passif repose sur une modélisation efficace du marché, permettant ainsi de projeter

les flux de l’Actif et du Passif de façon fiable.

La crise financière de 2008 a remis en cause la qualité des modèles de gestion des risques et de

manière plus globale, l’ensemble des simulateurs de scénarios économiques. Il va de soi que tout

modèle est une approximation mathématique d’une réalité probable économique ; cependant, il

convient au modélisateur de maitriser et de comprendre ses résultats afin d’en estimer un degré de

véracité.

Un aspect plus problématique de la modélisation mathématique réside dans le temps de conception de

tel modèle. En effet, il est souvent complexe d’être en adéquation avec les dernières informations

économiques. Pour contrecarrer cette difficulté, il peut être intéressant d’avoir une approche

bayésienne. Elle permet au modélisateur d’obtenir un résultat d’équilibre entre une approche purement

mathématique et une vision économique à court terme. Tout l’intérêt de tel modèle est un ajustement

rapide, d’un point de vue opérationnel, d’une approche mathématique objective par une vision

subjective du gestionnaire aux réalités du marché.

Mots clefs : Gestion Actif-Passif, Simulateurs de Scénarios Economiques, Ahlgrim, Monte-Carlo,

Back-Litterman, bayésien, probabilité de ruine, actif net, duration, solvabilité.



Abstract

Asset and liability management, when based on an efficient modelisation of the market, allows to

reliably plan asset and liability flows.

Due to the financial crisis of 2008, the adequacy of risk management models, and moreover of

economical scenario simulators altogether, is being questioned. It is obvious that a model is merely a

mathematical approximation of an economical reality. However, the conclusions solely depend on the

ability of the user of the model to determine the degree of veracity predicted by the model.

Another inconvenience of mathematical modelisation is that the conception of the model can be very

time-consuming. Indeed, keeping updated with the latest economical news is complex. In order to

counteract this obstacle, one may adopt a bayesian approach. The user of the model can obtain a result

of balance between a purely mathematical approach and a short term economical standpoint. The

purpose of such a model is to rapidly adjust, from an operational point of view, an objective

mathematical approach to the subjective standpoint of a manager facing the reality of the market.

Keywords: Asset and Liability Management, Economic Scenario Generator, Ahlgrim, Monte-Carlo,

Back-Litterman, bayesian, ruin probability, net asset value, duration, solvability.

https://www.dfa.com/us/Products/GEMS



Remerciements

Avant de commencer ce mémoire, je tiens à remercier toutes les personnes qui m’ont permises de

réaliser cette étude dans de si bonnes conditions.

Tout d’abord, je tiens à remercier Fréderic Planchet et Aymric Kamega pour leurs conseils pertinents

et leur disponibilité tout au long de mes travaux, ainsi que Jean-Philippe Courbe pour m’avoir si bien

encadré au sein de Winter & Associés.

Je remercie Oberlain Nteukam et Antonin Sedogbo de Winter & Associés ainsi qu’Alain Guelennoc et

Mohammed Chellou de Federal Finance pour leur suivi tout au long de mon stage puis lors de la

rédaction de mon mémoire.

Bien sûr, je remercie Herve Le Borgne ainsi que Fabrice Hamon pour la qualité de l’enseignement qui

m’a été proposé au sein de l’EURIA. Je remercie tout le corps professoral ; plus particulièrement, je

remercie Pierre Ailliot et Franck Vermet, professeurs au sein de l’Université de Bretagne Occidentale,

ainsi que Patrick Henaff pour leurs disponibilités et leurs conseils avisés.



Tables des matières

INTRODUCTION GENERALE 9

PARTIE 1 - Modèle bayésien de projection des actifs financiers 11

1 Introduction de la partie 1.............................................................................................................. 12

2 Modèle théorique de projection du rendement de référence des actifs ......................................... 13

2.1 L’inflation .............................................................................................................................. 14

2.2 Les taux d’intérêt court terme et long terme.......................................................................... 15

2.2.1 Le modèle de Vasicek ................................................................................................... 16

2.2.2 Le modèle de Hull et White ........................................................................................... 16

2.3 Les obligations ...................................................................................................................... 17

2.3.1 Modélisation des zéro-coupon en réel ........................................................................... 18

2.3.2 Modélisation des zéro-coupon en nominal .................................................................... 18

2.3.3 Modélisation du prix des obligations ............................................................................ 19

2.3.4 Modélisation du risque de crédit ................................................................................... 20

2.4 Les actions ............................................................................................................................. 23

2.5 L’immobilier ......................................................................................................................... 24

2.6 Méthode de Monte-Carlo ...................................................................................................... 25

2.6.1 Bref historique ............................................................................................................... 25

2.6.2 La méthode de Monte-Carlo .......................................................................................... 25

2.6.3 Justification des 10 000 simulations .............................................................................. 26

2.7 Conclusion ............................................................................................................................. 26

3 Calibrage et implémentation du modèle de référence ................................................................... 28

3.1 Choix des données et tests effectués ..................................................................................... 28

3.1.1 Les données ................................................................................................................... 28

3.1.2 Les tests statistiques ...................................................................................................... 30

3.2 Projection des résidus et test des corrélations entre les différents modèles. ......................... 31

3.3 Calibrage du modèle d’Ahlgrim ............................................................................................ 34

3.3.1 Méthodologie ................................................................................................................. 34

3.3.2 Calibrage et tests statistiques ......................................................................................... 34

3.3.3 Synthèse des résultats .................................................................................................... 35

3.4 Test du modèle par la projection d’obligations ..................................................................... 36

3.4.1 Test sur l’évolution du prix d’une obligation en fonction de ses paramètres ................ 36

3.4.2 Test sur l’évolution du rendement financier d’une obligation en fonction de ses

paramètres. .................................................................................................................................... 40



3.4.3 Conclusion ..................................................................................................................... 44

3.5 Conclusion ............................................................................................................................. 45

4 Présentation théorique du modèle bayésien de Black-Litterman. ................................................. 46

4.1 Le modèle de Markowitz et ses limites ................................................................................. 46

4.1.1 Une approche formelle du modèle de Markowitz ......................................................... 47

4.1.2 Les limites de modèle de Markowitz ............................................................................. 48

4.2 Le modèle de Black-Litterman .............................................................................................. 48

4.2.1 Schématisation du modèle de Black-Litterman ............................................................. 49

4.2.2 Définition et détermination du rendement mixte ........................................................... 49

4.2.3 Descriptif de l’implémentation du modèle de Black-Litterman théorique .................... 50

4.3 Conclusion ............................................................................................................................. 52

5 Implémentation du modèle bayésien selon Black-Litterman ........................................................ 53

5.1 Introduction au calibrage du modèle de Black-Litterman ..................................................... 53

5.2 Première approche et test de sensibilité du modèle de Black Litterman ............................... 55

5.2.1 Scénario « vue incertaine » ............................................................................................ 55

5.2.2 Scénario « vue quasi certaine » ..................................................................................... 56

5.2.3 Scénario « vue certaine » ............................................................................................... 57

5.2.4 Conclusion du test ......................................................................................................... 58

5.3 Etude du modèle de Black-Litterman par Backtesting .......................................................... 58

5.3.1 Backtesting sur le modèle d’Ahlgrim ............................................................................ 59

5.3.2 Backtesting sur le modèle de Black-Litterman .............................................................. 61

5.3.3 Conclusion ..................................................................................................................... 67

5.4 Calibrage du modèle .............................................................................................................. 67

5.4.1 Vue sur le taux d’inflation ............................................................................................. 68

5.4.2 Vues sur les taux court terme et long terme .................................................................. 69

5.4.3 Vues sur le rendement des actions et de l’immobilier ................................................... 71

5.4.4 Conclusion ..................................................................................................................... 72

6 Conclusion de la partie 1 ............................................................................................................... 73

PARTIE 2 - Application du modèle bayésien à une gestion Actif-Passif 74

1 Introduction de la partie 2.............................................................................................................. 75

2 Contexte et objectif de la gestion Actif-Passif .............................................................................. 76

2.1 Contexte................................................................................................................................. 76

2.2 Objectifs ................................................................................................................................ 77

2.2.1 Probabilité de ruine........................................................................................................ 77

2.2.2 Critère de maximisation de l’actif net ........................................................................... 78



2.2.3 Critère de la duration de l’actif face à la duration du passif .......................................... 78

2.3 Conclusion ............................................................................................................................. 79

3 Présentation des flux du passif ...................................................................................................... 80

3.1 Descriptif du contrat d’assurance-vie .................................................................................... 80

3.1.1 Les garanties de Capitaux statutaires............................................................................. 80

3.1.2 Les garanties Décès ....................................................................................................... 81

3.1.3 Les garanties Epargne.................................................................................................... 82

3.2 Méthode de calcul des engagements envers les assurés ........................................................ 83

3.2.1 « Best-Estimate » pour les garanties capitaux statutaires et capitaux décès .................. 83

3.2.2 « Best-Estimate » pour la garantie Epargne .................................................................. 84

4 Présentation des actifs de couverture et de l’allocation centrale ................................................... 85

4.1 Portefeuille de couverture...................................................................................................... 85

4.2 Hypothèse sur la projection des actifs ................................................................................... 85

4.2.1 Les actions ..................................................................................................................... 85

4.2.2 L’immobilier ................................................................................................................. 85

4.2.3 Les obligations .............................................................................................................. 86

4.2.4 Le monétaire .................................................................................................................. 86

4.2.5 Les actifs diversifiés ...................................................................................................... 86

4.2.6 Les autres actifs ............................................................................................................. 86

4.3 Résultats de la couverture par l’allocation centrale ............................................................... 86

4.3.1 Projection de l’actif et du passif .................................................................................... 86

4.3.2 Projection du ratio de couverture .................................................................................. 87

4.3.3 Projection de l’actif net ................................................................................................. 88

5 Détermination de l’allocation optimale ......................................................................................... 89

5.1 Introduction à la recherche de l’allocation optimale ............................................................. 89

5.1.1 Les algorithmes génétiques ........................................................................................... 89

5.1.2 Essaim de particule de type PSO (Particle Swarm Optimisation) ................................. 90

5.1.3 Approche retenue........................................................................................................... 90

5.2 Hypothèses et mise en œuvre opérationnelle ........................................................................ 91

5.2.1 Les classes d’actifs ........................................................................................................ 91

5.2.2 Les contraintes ............................................................................................................... 92

5.2.3 La mise en œuvre opérationnelle ................................................................................... 92

5.3 Résultats de l’allocation optimale ......................................................................................... 93

5.3.1 Caractéristiques de l’allocation optimale ...................................................................... 93

5.3.2 Résultats de l’allocation optimale ................................................................................. 94

5.4 Conclusion ............................................................................................................................. 95



6 Conclusion de la partie 2 ............................................................................................................... 97

CONCLUSION GENERALE 98

ANNEXES 99

1 Annexe 1 – Calibrage du Modèle d’Ahlgrim .............................................................................. 100

1.1 Modèle de l’inflation ........................................................................................................... 100

1.1.1 Le calibrage ................................................................................................................. 100

1.1.2 Projection de l’inflation ............................................................................................... 103

1.2 Modèle des taux d’intérêt court terme et long terme en réel ............................................... 104

1.2.1 Calibrage ..................................................................................................................... 104

1.2.2 Projection des taux d’intérêt réels ............................................................................... 110

1.3 Modèle de l’immobilier ....................................................................................................... 111

1.3.1 Le calibrage ................................................................................................................. 112

1.3.2 Projection du rendement de l’immobilier .................................................................... 114

1.4 Modèle des actions .............................................................................................................. 115

1.4.1 Le calibrage ................................................................................................................. 115

1.4.2 Projection du rendement des actions ........................................................................... 116

1.5 Modèle des zéro-coupon...................................................................................................... 117

1.5.1 Projection des zéro-coupon en réel :............................................................................ 117

1.5.2 Projection des zéro-coupon en nominal : .................................................................... 118

2 Annexe 2 - La factorisation de Cholesky .................................................................................... 120

2.1 Théorème ............................................................................................................................. 120

2.2 Algorithme........................................................................................................................... 120

3 Annexe 3 – Résultat de la simulation de Monte Carlo sur le modèle de Black-Litterman ......... 122

3.1 Projection des actions .......................................................................................................... 122

3.2 Projection de l’immobilier ................................................................................................... 123

3.3 Projection des taux court terme ........................................................................................... 123

3.4 Projection des taux long terme ............................................................................................ 124

3.5 Projection de l’inflation ....................................................................................................... 124

3.6 Conclusion ........................................................................................................................... 125

4 Bibliographie ............................................................................................................................... 126

4.1 Ouvrages .............................................................................................................................. 126

4.2 Articles ................................................................................................................................ 126

4.3 Mémoires ............................................................................................................................. 127



Introduction générale

La gestion Actif / Passif ou ALM (Asset and Liability Management)) connaît un formidable essor

actuellement. Cette pratique fut développée dans les années 70 dans les institutions financières anglo-

saxonnes. L’objectif de l’époque était d’associer un pilotage stratégique à une bonne gestion des

risques. Elle consiste à analyser la situation du bilan et son évolution probable sur un horizon de

planification, en fonction de variables vis-à-vis desquelles elle précise des anticipations (taux d'intérêt,

développement commercial, indicateurs macro-économiques et autres variables de marché).

La gestion Actif / Passif est au centre des préoccupations des directions financières, des banques, des

institutions financières et des compagnies d'assurances car elle permet d'estimer les risques financiers

et de piloter la marge d'intérêts, et de s'assurer qu'il n'y a ni dépassement de limitation de vitesse

(risque de taux), ni à-coup (grâce aux couvertures), ni assèchement prochain du réservoir d'essence

(risque de liquidité).

De nos jours, nous pouvons résumer les objectifs d’une gestion Actif / Passif en trois points :

gérer les risques financiers et opérationnels ;

préserver le capital ;

augmenter le résultat.

Le contexte de la crise financière de 2008 a soulevé de grandes inquiétudes sur la santé des institutions

bancaires et assurantielles mais surtout sur leur capacité à gérer leurs fonds propres. En particulier, une

certaine remise en question sur la qualité des modèles de gestion s’est faite entendre. De ce fait, il est

essentiel, de pouvoir effectuer des modèles ALM qui incorporent de manière concrète les subtilités des

marchés financiers pour pourvoir maîtriser l’ensemble de ces risques (risques de taux, risques de

contrepartie etc.) ; c’est dans ce contexte que s’inscrit ce mémoire.

Cette étude se fait dans le cadre de la couverture des engagements d’un contrat d’assurance-vie. Nous

pouvons la dissocier en deux parties.

Dans une première partie, nous allons implémenter un modèle de projection des actifs stochastique

bayésien.

Pour cela, nous allons utiliser le modèle stochastique de projection des actifs d’Ahlgrim, développé en

2005 sous l’impulsion de la Casualty Actuarial Society. Ce modèle est très complet, mais il reste

cependant très général. Notre étude a pour objectif de projeter les actifs financiers au plus proche de la

situation européenne actuelle. Pour cela, nous allons implémenter un modèle bayésien permettant de

corriger les projections du modèle d’Ahlgrim par nos connaissances à court terme du marché

européen. Cela aura pour intérêt de pouvoir incorporer des informations supplémentaires telles que les

politiques monétaires de la BCE, par exemple.

Le modèle bayésien modélisé sera inspiré du calcul du rendement mixte de Black-Litterman qui est un

équilibre entre un rendement du vecteur de référence (dans notre cas les projections à long terme

d’Ahlgrim) et des prévisions à court terme du marché.

Dans une seconde partie, nous présenterons une gestion Actif / Passif sur un passif d’un contrat

d’assurance-vie ayant une participation aux bénéfices. Cette partie permettra d’illustrer de façon

concrète les résultats obtenus dans la partie précédente.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Bilan

http://fr.wikipedia.org/wiki/Banque

http://fr.wikipedia.org/wiki/Compagnie_d%27assurances

http://www.casact.org/



Actuellement, dans le cadre de Solvabilité II, il est d’autant plus important de faire ce type d’étude. En

effet, l’objectif de solvabilité des assurances à court terme, et en particulier la maîtrise de la probabilité

de ruine, nous demande de maîtriser la couverture des actifs face aux passifs. Conformément aux

recommandations de Solvabilité II, l’approche retenue pour l’analyse Actif / Passif sera une approche

économique caractérisée par projection de l’actif en valeur de marché et l’estimation du passif sous

forme de « best estimate », le tout basé, donc, sur des scénarios stochastiques.

Dans ce cadre, le critère pour la détermination de l’allocation optimale sera la maximisation de l’actif

net sous une probabilité de ruine définie. De plus, la cohérence de la duration du passif face à l’actif

sera vérifiée.



PARTIE 1

Modèle bayésien de projection des actifs financiers



1 Introduction de la partie 1

Cette partie a pour objectif de présenter le modèle bayésien de projection des actifs. Elle se décompose

en quatre parties :

une présentation théorique du modèle de référence stochastique (modèle d’Ahlgrim) ;

une synthèse des résultats du calibrage de ce modèle ainsi qu’un test de sensibilité sur la

projection des obligations ;

une présentation théorique du modèle de Black-Litterman ;

un calibrage et des tests de sensibilité du modèle bayésien en fonction de ses paramètres.

L’organisation de cette partie a pour but de mettre en avant l’intérêt opérationnel d’un modèle

bayésien, en particulier, sa capacité à traduire des phénomènes économiques ponctuels.

Enfin, la plupart des résultats statistiques de calibrage est restituée dans l’annexe.



2 Modèle théorique de projection du rendement de référence des actifs

Le modèle de projection des actifs développé ici sera un modèle fortement inspiré du modèle

d’Ahlgrim et al.. Ce modèle est un modèle intégré basé sur l’inflation (en opposition au modèle

composite). Il a été publié par Kevin Ahlgrim en Novembre 2005, en collaboration avec Stephen

d’Arcy et Richard Gorwett, sous l’impulsion de la Casualty Actuarial Society.

Il est possible de schématiser ce modèle comme suit :

Taux d'intérêts réels

Inflation

Excès de rendements des actions

Rendement de l'immobilier

Zéro-coupon réels

Taux d'intérêts nominaux

Zéro-coupon

nominaux Rendement des

actions

Prix des obligations

Modèle de projection d'Ahlgrim

Figure 1 - Schématisation du modèle d'Ahlgrim appliqué à l’étude

Ce schéma illustre de façon significative l’importance du taux d’inflation dans le modèle d’Ahlgrim.

Nous verrons par la suite, en effet, que le taux d’inflation intervient de façon quasi-systématique lors

de la modélisation des différents paramètres du modèle et en particulier pour la projection du

rendement des actions et des obligations.

Cette partie a donc pour vocation de décrire le modèle ci-dessus évoqué afin de présenter les processus

stochastiques de diffusions qui seront par la suite implémentés grâce au logiciel R. Cette partie sera

donc organisée de cette façon :

l’inflation ;

les taux d’intérêt ;

les obligations ;

les actions ;

l’immobilier.

De plus, par la suite, toutes les modélisations seront établies selon la méthode de Monte-Carlo ; il

convient donc d’en étudier les principales caractéristiques. Elles seront exposées en dernier point de

cette section.

http://www.casact.org/



2.1 L’inflation

Le modèle de l’inflation est le modèle central du modèle d’Ahlgrim ; il est supposé suivre le processus

l’Ornstein Uhlenbeck. Cette variable sera notée à tout instant t et répond à l’équation différentielle

stochastique (EDS) suivante avec pour t=0 :

Avec :

le retour à la moyenne ;

la moyenne ;

l’écart type ;

un mouvement brownien à tout instant t.

Pour la suite, il est nécessaire de discrétiser cette formule. En effet, toutes les simulations seront en

temps discret. Pour ce premier modèle, il est intéressant de rentrer dans quelques détails de cette

discrétisation :

Dans un premier temps, nous pouvons rapidement résoudre cette EDS par la formule d’Itô :

Utilisons le changement de variable suivant :

En appliquant les règles d’Itô, on a :

Nous pouvons alors appliquer l’intégrale stochastique, ce qui donne :

Finalement, si est solution de l’EDS, il s’exprime par cette formule :

Par cette solution, il est possible d’exprimer en fonction de . En effet, nous obtenons

rapidement :

Cette solution est donc de la forme :

Avec :

;



;

;

Ceci est donc un modèle de régression pour séries temporelles de type autorégressif d’ordre 1 (AR(1)).

Nous pouvons dorénavant exprimer le modèle de l’inflation de manière discrète de cette façon :

Avec :

, les résidus du modèle.

Cette forme discrétisée sera très utile par la suite et en particulier pour le calibrage du modèle.

2.2 Les taux d’intérêt court terme et long terme

Il existe, dans la littérature, un grand nombre de modèles ; cependant, il n’existe pas de modèle de

référence, ni de modèle idéal selon la définition de Rogers [1995]. En pratique, il convient de

sélectionner son modèle selon les objectifs désirés, tout en cherchant à se rapprocher du modèle de

taux optimal.

Voici les principales caractéristiques d’un modèle de taux optimal (Rogers [1995]).

Il doit suivre les principales caractéristiques empiriques de la courbe de taux :

taux d’intérêt non négatifs ;

évolution des taux non corrélée ;

taux affectés de retour à la moyenne ;

taux long terme moins volatiles que les taux court terme.

Il doit être compatible avec les prix de marché de produits plain vanilla ;

Les inputs du marché doivent être facilement accessibles ;

Le modèle doit rester simple :

d’un point de vue calculatoire (optimisation du temps de calcul informatique) ;

d’un point de vue opérationnel (l’agent opérationnel doit pouvoir l’utiliser sans

formation trop poussée).

Il doit être absent d’opportunité d’arbitrage ;

Il doit offrir une méthode de couverture des produits de taux.

Le modèle de taux utilisé sera le modèle multifactoriel de Black & Hull, permettant d’écarter certaines

limites des modèles mono factoriels tels que le modèle CIR ou le modèle de Vasicek.

Pour illustrer ces propos, il est intéressant, dans un premier temps, de présenter ce dernier modèle afin

de mieux comprendre l’intérêt de l’utilisation d’un modèle multifactoriel plus complexe.



2.2.1 Le modèle de Vasicek

Ce modèle est un modèle central pour la simulation des taux d’intérêt (en particulier les taux courts) ;

il fut introduit par Oldrich Vasicek en 1977. Nous noterons la valeur du taux court modélisée à tout

instant t. Ce modèle suit cette EDS :

Avec :


b le taux moyen à l’infini ;

l’écart type ;


Ce modèle suit un processus Ornstein Uhlenbeck ; de ce fait, nous obtenons une solution exacte par la

même méthode évoquée au point 2.1. Cette solution est la suivante :

Il s’en suit qu’à tout instant t, ce qui implique, par la

variance du modèle, que . L’apparition probable de taux d’intérêt négatifs constitue une

des limites importante du modèle.

Ceci n’était qu’une illustration des limites observables des modèles mono factoriels ; de façon plus

générale, d’autres limites peuvent apparaître :

Les différentes formes de la courbe des taux ne sont pas toutes prises en compte ;

Ces modèles représentent mal les subtilités du marché ;

Ils impliquent que ces taux évoluent de façon parfaitement corrélée en fonction de leur

maturité. Or ceci n’est pas le cas (cf. Planchet/Thérond/Kamega [2009]).

Les modèles multifactoriels sont plus adaptés à la réalité du marché car ils permettent d’éviter

certaines des limites du modèle ci-dessus, d’où l’introduction dans cette partie du modèle de Hull et

White.

2.2.2 Le modèle de Hull et White

Ce modèle de taux long terme (noté ) et court terme (noté ) fut proposé pour la première fois en

1994 par Hull et White. Il se formalise comme suit :

Avec :

la vitesse de retour à la moyenne des taux courts ;

la vitesse de retour à la moyenne des taux longs ;

le taux moyen long terme ;



la volatilité des taux courts ;

la volatilité des taux longs ;

et des mouvements browniens à tout instant t.

D’un point de vue pratique, il n’est pas aisé d’obtenir des données concernant les taux d’intérêt réels ;

c’est pour cela qu’Ahlgrim et al. [2005] les obtiennent par différence entre les taux d’intérêt nominaux

et l’inflation.

Ces deux modèles suivent des processus Ornstein Uhlenbeck ; en particulier, le modèle long terme

n’est rien de plus qu’un modèle de Vasicek. De ce fait, il se discrétise par la méthode évoquée au point

2.1. Nous obtenons alors :

Ce modèle est d’ores et déjà légèrement plus riche que le modèle de l’inflation. En effet, la

modélisation des taux court terme dépend directement de la modélisation des taux long terme. De ce

fait, ce modèle sera plus difficile à calibrer et en particulier une méthode des doubles moindres carrés

sera nécessaire. Cette méthode sera développée dans le chapitre suivant, concernant le calibrage du

modèle.

2.3 Les obligations

La modélisation des obligations, comme tout produit de taux, est complexe à modéliser. En effet, elle

dépend directement de la modélisation des zéro-coupon et donc de la modélisation des courbes de

taux. Par la suite, il sera intéressant d’étudier la sensibilité de la modélisation des obligations en

fonction des paramètres estimés du modèle. Cette étude aura pour vocation, à la fois de mettre l’accent

sur une variable très sensible du modèle, mais aussi de vérifier la cohérence de ce dernier.

Théoriquement, la modélisation des obligations fait intervenir une prime de risque traduisant le risque

de défaut de certaines obligations ainsi que la croissance de la volatilité en fonction de leur maturité.

Dans le cadre de cette étude, nous resterons proche de l’univers risque neutre ; seul le risque de défaut

sera pris en compte et pour neutraliser l’impact de la volatilité sur le prix des obligations, nous

sélectionnerons des obligations de même maturité.

Dans un premier temps, il est nécessaire de développer le modèle de projection des zéro-coupons selon

l’approche de modélisation des taux de Hull et White décrite précédemment.

Tout d’abord, notons qu’Ahlgrim et al. reprennent la relation de Fisher, concernant le prix d’un zéro-

coupon à l’instant t de maturité T. En effet, ils considèrent que ces obligations sont tarifées avec des

taux d’intérêt réels et des taux d’inflation. Si nous supposons que l’hypothèse d’indépendance entre les

taux d’intérêt réel et l’inflation est vérifiée (test de corrélation nécessaire), nous avons alors la formule

suivante concernant le prix des zéro-coupons :



Avec :

le prix en nominal à l’instant t d’un zéro-coupon de maturité T ;

le prix en réel à l’instant t d’un zéro-coupon de maturité T ;

la composante inflation du prix en tenant compte de l’inflation à l’instant t d’un

zéro-coupon de maturité T.

Nous pouvons donc discerner quatre étapes pour la modélisation des obligations :

la modélisation des zéro-coupon en réel ;

la modélisation des zéro-coupon en nominal ;

la modélisation des obligations proprement dite ;

la modélisation de la probabilité de défaut pour les obligations risquées.

2.3.1 Modélisation des zéro-coupon en réel

A partir du modèle de taux de Hull et White, décrit au point 2.2, il est possible d’obtenir le prix d’un

zéro-coupon à tout instant t de maturité T. En effet, Hibbert et al. [2005] démontre cette relation :

Avec :

s = T-t à tout instant t ;

le taux court modélisé à tout instant t ;

le taux long modélisé à tout instant t ;

;

la vitesse de retour à la moyenne des taux courts ;

la vitesse de retour à la moyenne des taux longs ;

le taux moyen long terme ;

la volatilité des taux courts ;

la volatilité des taux longs.

2.3.2 Modélisation des zéro-coupon en nominal

Le modèle de l’inflation décrit au point 2.1 peut être vu comme un modèle mono factoriel de Vasicek.

De ce fait, la solution de la composante inflation est bien connue :

Avec :

s = T-t à tout instant t ;



l’inflation modélisée à tout instant t ;

;

Il suffit, par la suite, d’appliquer le produit entre et pour obtenir le prix du zéro-

coupon en nominal.

2.3.3 Modélisation du prix des obligations

Considérons une obligation de maturité T, de taux facial γ et de nominal N, alors, classiquement, le

prix de l’obligation est obtenu par la somme actualisée des flux tombant à chaque date i. Si nous

notons le prix de cette obligation O(T,γ,N), le flux tombant à date i, et le taux d’actualisation à la

date i, , nous avons alors la relation suivante :

Avec :

La relation devient donc

Avec :

, par définition, le prix d’un zéro-coupon de maturité i à la date

t=0.

Nous obtenons donc la formule d’un titre obligataire quelconque (cf. Planchet et Thérond [2005])

suivante :

Comme il a été écrit précédemment, le prix du zéro-coupon sera le prix nominal :



2.3.4 Modélisation du risque de crédit

Ce risque traduit le fait qu’une entreprise ayant émis des obligations sur le marché, ne puisse pas faire

face à ses engagements envers les prêteurs (ou investisseurs).

En général, les OAT, c'est-à-dire les titres obligataires émis par l’État ne sont pas considérés comme

étant à risque. Cette hypothèse peut être de plus en plus contestée actuellement, en effet l’impact de la

crise financière sur la situation économique de certains pays est très préoccupant. Notons par exemple,

concernant l’Europe, que l’agence de notation Standard and Poor’s a placé sous surveillance négative

l’Espagne, le Portugal et la Grèce. Plus généralement, la modélisation de la probabilité de défaut des

entités emprunteuses est de plus en plus cruciale dans ce contexte économique instable.

Il existe deux types d’approche pour estimer ce risque. La première est dite structurelle et elle se base

sur la modélisation de la structure financière de la firme. La seconde est appelée à intensité et se base

sur l’observation du spread de taux. Le spread de taux est l´écart de taux actuariel dont il faut décaler

la courbe des taux zéro-coupon des emprunts d´État pour aboutir au prix, constaté sur le marché.

Il est sans doute intéressant d’introduire brièvement ces deux approches pour finalement apporter une

approche simplifiée.

Introduction à l’approche structurelle – Modèle de Merton (1974)

Cette démarche consiste à étudier la situation économique d’une entreprise. Elle se base sur une

modélisation de l’actif et du passif d’une entreprise. En effet, dans le cadre de cette théorie,

l’entreprise sera en défaut de paiement lorsque la structure du bilan ne permet plus de faire face à ses

engagements.

En 1974, Merton propose une vue simplifiée du bilan d’une firme mettant l’accent sur la différence

entre le total de la dette et le total des actifs à l’instant t :

ACTIFS

A(t)

EQUITY

E(t)

DETTE

D(t)

Figure 2 - Structure financière de l’entreprise selon Merton (1974)

Dans cette approche, l’ensemble des actifs de l’entreprise est financé par les actions et les obligations

émises par cette dernière.

Considérons une entreprise s’endettant de à t=0 et devant rembourser à l’instant T, S(T). Deux

possibilités s’offrent alors à nous :



soit et les créanciers reçoivent leur dû S(T) tandis que l’ensemble des actifs est

retranché de cette même somme.

soit et par le principe de séniorité qui oblige à toute entreprise en liquidation de

rembourser en priorité les créanciers, ces derniers reçoivent A(T) tandis que l’ensemble des

actifs est alors nul.

Nous pouvons résumer ces résultats dans le tableau suivant :

Valeurs des actifs Flux reçus par les actionnaires Flux reçus par les créanciers

0

Tableau 1 - Modèle de Merton - Situations financières d'une firme

Modèle de Merton (1974)

Le tableau ci-dessus met l’accent sur une approche optionnelle du risque de défaut. En effet, en 1974,

Merton développe cette approche, lui permettant d’adapter le modèle Black-Scholes-Merton de pricing

d’un call à son nouvel objectif : l’évaluation de la probabilité de défaut d’une firme. Plus précisément,

sous la probabilité risque neutre, Merton définit l’équity et la dette comme étant respectivement un

zéro-coupon moins un put et un call sur les actifs de la firme.

Bien évidement, les hypothèses du modèle de Black-Scholes-Merton doivent être respectées :

liquidités des marchés financiers ;

existence d’un actif sans risque ;

fractionnement des actions ;

possibilité de vendre à découvert ;

absence d’opportunité d’arbitrage.

De plus, Merton fait l’hypothèse que, sous la probabilité risque neutre, les actifs de la firme suivent la

loi d’un mouvement Brownien géométrique régie par l’équation suivante :

Le tableau précédent nous permet de résumer sous forme probabiliste la valeur de la dette à toute date

t inférieure à l’échéance de la dette T. en particulier à t=0 nous avons :

De même, la valeur de marché des actions de la société peut être évaluée à t=0 :

Ceci est donc bien le prix d’un call d’échéance T et de strike . La théorie de Black et Scholes,

concernant la valorisation des options, peut s’appliquer sous les différentes hypothèses ci-dessus et

nous permet d’écrire la relation suivant :



Avec :

Finalement, nous pouvons définir la dette ; en effet, la relation qui lie la dette, les actifs et l’équity, est

une évidence comptable : , donc

Classiquement, nous pouvons alors déterminer la probabilité de ruine, en effet :

Les faiblesses du modèle :

Le modèle de Merton possède cependant quelques limites :

Maturité unique des zéro-coupon ;

dette statique non rebalancée ;

Existence de la probabilité de risque neutre, les actifs sont –ils cessibles ? etc.

Pour palier ces faiblesses, certaines extensions ont été apportées ; nous pouvons citer les travaux de

Black-Cox (1976), de Longstaff-Schwartz (1985), de Brys-de Varenne (1995) ou de Leland (1994).

Cependant, tous les modèles structurels ont leurs limites pratiques :

Ils reposent sur la connaissance poussée de la firme considérée ; il n’est jamais aisé d’obtenir

les informations concernant les actifs d’une société et en particulier il est très complexe de

pourvoir déterminer la volatilité de ces derniers ;

La notion même de défaut utilisé dans ces modèles peut être remise en cause. Dans les

modèles structurels, il y a défaut dès que l’ensemble des actifs dépasse la dette. Cette vision

est souvent trop grossière.

Le taux sans risque est supposé déterministe ; ce n’est plus le cas lorsque l’échéance est à long

terme.

Il est supposé que le défaut ne peut apparaitre qu’à échéance de la dette, or il est possible que

d’autres créances entraînent une situation de défaut de la firme avant cette date.

Le principe de séniorité est respecté mais de façon trop simpliste. En effet, au sein même des

créanciers, il existe des règles de priorité à prendre en compte.

Finalement, toutes ces limites ont favorisé une autre approche plus théorique : l’approche à intensité.

Introduction de l’approche à intensité

L’intérêt premier des modèles dit à intensité est qu’ils ne reposent plus sur une connaissance de la

société émettrice des obligations mais sur un calibrage des informations présentes sur le marché. Le

défaut est alors décrit comme un processus de Poisson (la plus souvent non homogène).

Plus précisément, l’apparition du défaut se modélise par l’apparition du premier saut de Poisson tandis

que son intensité est représentée par l’intensité de ce même processus. Le calibrage de ce modèle se

fait par l’étude des spread de taux.



Ce modèle ne sera pas plus développé dans le cadre de cette étude. En effet, le modèle à intensité est

très innovant mais il nécessite une étude approfondie qui serait disproportionnée dans le cadre de ce

mémoire. Cependant, il est intéressant de s’intéresser aux travaux de Jarrow et Turnbull (1995), de

Duffie et Singleton (1998) ou encore de Madan et Unal (1998).

Approche simplifiée

Une approche simplifiée consiste à impacter directement le prix des obligations calculé par la formule

vu au point 2.3.3 par un coefficient déterminé par l’expérience historique (cf.

Planchet/Thérond/Kamega (2009)).

Plus précisément, au point 2.3.3, nous avons vu que le prix d’une obligation sans risque de maturité T,

de taux facial γ et de nominal N est :

Pour tenir compte du risque de marché, il faut alors étudier les prix observés d’obligations ayant les

mêmes caractéristiques mais présentant un risque. Supposons que l’on obtienne un prix moyen

alors le coefficient à impacter sur les obligations risquées sera de :

Cette approche peut sembler simpliste mais elle reste très efficace et restitue de façon concrète les

réalités du marché sur le calcul de la probabilité de défaut des entreprises.

Nous allons retenir cette approche pour la suite de l’étude.

2.4 Les actions

Pour la projection des actions, nous considérons que le rendement des actions avec dividendes

réinvestis, noté à tout instant t, évolue suivant cette formule :

Avec :

le taux d’intérêt nominal court terme à tout instant t.

l’excès de rendement des actions

Le taux nominal court terme est l’association du taux de l’inflation et du taux d’intérêt court terme :

L’excès de rendement des actions se modélise grâce à la formule de Black et Scholes ; en effet, si nous

considérons une action valant à tout instant t alors nous avons :



La résolution de cette EDS est dorénavant assez célèbre pour ne pas être à nouveau décrite dans cette

étude ; en effet, nous obtenons donc :

Avec :

la moyenne ;

l’écart type ;


De ce fait, nous pouvons obtenir l’excès de rendement des actions directement entre les instants t et

t+1 :

Pour simplifier, notons que , avec à tout instant t ; cette relation n’est

rien de plus qu’un modèle de série temporelle autorégressif (AR(1)) particulier, appelé marche

aléatoire.

Finalement, nous obtenons une formule simple de l’excès de rendement :

Avec :

le résidu du modèle

Le rendement des actions étant l’association du taux d’inflation et de l’excès de rendement, il est donc

dorénavant déterminé par la connaissance du point 2.1.

2.5 L’immobilier

Le modèle pour le rendement de l’immobilier suit la même logique que celui de l’inflation, étudié au

point 2.1, soit l’EDS suivant :

Avec :


la moyenne ;

l’écart type ;


Il s’en suit la discrétisation exacte suivante :



Avec :

, les résidus du modèle.

2.6 Méthode de Monte-Carlo

La technique de Monte Carlo est la technique la plus utilisée dans le cadre de la projection d’actifs

financiers. Cette banalisation tend souvent les modélisateurs à ne pas s’assurer des hypothèses de cette

méthode. Cette section a donc pour objectif d’en rappeler l’essentiel.

2.6.1 Bref historique

La méthode Monte-Carlo fait allusion aux jeux de hasard pratiqués à Monte-Carlo ; elle a été inventée

en 1947 par Nicholas Metropolis. Cependant, le véritable développement de cette méthode s’est

effectué sous l'impulsion de John von Neumann et Stanislas Ulam, notamment lors des recherches sur

la fabrication de la bombe atomique pendant de la Seconde Guerre mondiale. En particulier, ils ont

utilisé ces méthodes probabilistes pour résoudre des équations aux dérivées partielles dans le cadre de

la Monte-Carlo N-Particle transport.

2.6.2 La méthode de Monte-Carlo

Dans le cadre cette étude, nous souhaitons déterminer l’intégrale , définie comme suit :

Avec :

, une variable aléatoire de

, une fonction de x ;

, la densité de par rapport à la mesure de Lebesgue sur ;

La loi des grands nombres nous assure l’existence d’un estimateur consistant et sans biais de I :

Avec :

, une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi que

, le nombre de simulations

http://fr.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumann

http://fr.wikipedia.org/wiki/Stanislaw_Marcin_Ulam

http://fr.wikipedia.org/wiki/Bombe_A

http://fr.wikipedia.org/wiki/Seconde_Guerre_mondiale

http://fr.wikipedia.org/wiki/Monte-Carlo_N-Particle_transport



Il convient donc de nous interroger sur la vitesse de convergence de l’estimateur et d’en déduire alors

une mesure d’incertitude. Le théorème limite centrale nous permet de répondre à cette question car

nous avons :

De ce fait, pour n assez grand, il est possible de déterminer des intervalles de confiance à partir de la

loi normale. De plus, notons que la vitesse de convergence est de l’ordre de . Il convient donc de

réduire la variance de l’estimateur ou d’augmenter de façon notable le nombre de simulations pour

rendre fiable cette méthode.

Conclusion

Nous pouvons estimer dès lors que le nombre de simulation est suffisant. De ce fait, avant de

lancer des simulations, il est toujours intéressant d’en estimer le nombre nécessaire garantissant une

certaine robustesse des résultats. Dans notre cas, nous raisonnerons différemment, nous allons justifier

le choix de 10 000 simulations en déterminant une estimation de l’erreur associée.

2.6.3 Justification des 10 000 simulations

Le théorème limite centrale nous permet de construire un intervalle de confiance de l’estimateur de

Monte-Carlo à 95%:

Avec :

;

, l’écart type calculé à partir de la distribution ;

, le nombre de simulation.

Pour valider le résultat des simulations de Monte-Carlo, nous vérifierons que l’erreur est

inférieure de 1% en moyenne sur la durée totale des projections stochastiques.

Notons, cependant que nous estimons la volatilité de la variable aléatoire par la variance des

simulations de Monte-Carlo. Cette approche intègre, nécessairement, un léger biais que nous

accepterons pour cette étude.

2.7 Conclusion

L’objectif de cette partie était de présenter le modèle de projection d’actifs d’Ahlgrim. Certains points

ont été plus développés que d’autres pour mettre l’accent sur l’originalité de ce modèle. Le risque de

défaut des obligations est pris en compte mais de façon, peut-être trop simple, face à l’évolution rapide

des situations financières des états et des entreprises. Cependant, la modélisation choisie semble

suffisamment pertinente en connaissance du portefeuille central d’actifs que nous souhaitons projeter.



De plus, nous avons rappelé brièvement, les conditions d’utilisation de la méthode Monte-Carlo. Il

conviendra donc, dans la suite de l’étude, d’en tenir compte.

Enfin, après avoir étudié les méthodes de projection des actifs, il convient de calibrer ces modèles de

diffusion stochastique ; c’est justement l’objet de la suite de notre étude.



3 Calibrage et implémentation du modèle de référence

Le calibrage et l’implémentation du modèle se fait par le logiciel R. L’organisation de cette partie se

fera selon la même organisation que la partie précédente. Chaque modèle fera donc l’objet d’un

calibrage accompagné de tests statistiques permettant de s’assurer de la cohérence des ces derniers

puis d’une projection à long terme.

Ici, la projection des rendements ne sera uniquement que le produit de modélisation décrite

précédemment. Par la suite, une approche bayésienne selon Black et Litterman aura pour objectif

d’équilibrer le modèle aux réalités politiques et économiques du marché.

Dans une première partie, il est important de mettre l’accent sur le choix des données ainsi que sur un

descriptif rapide des tests statistiques effectués par la suite.

Les parties suivantes seront alors le descriptif des résultats de calibrage et de l’implémentation sur le

logiciel R en détaillant, en particulier, la projection des résidus.

Enfin à titre illustratif, des projections du prix et du rendement d’un titre obligataire, en fonction de ses

paramètres, seront effectuées pour tester la cohérence du modèle.

3.1 Choix des données et tests effectués

3.1.1 Les données

Peu importe la qualité théorique du modèle, si les données employées pour le calibrer sont soit fausses

ou inadaptées ou encore trop ponctuelles dans le temps, le modèle perdra tout sont intérêt.

Dans le cadre de cette étude, les projections des actifs de couverture se font à long terme ; il faut donc

sélectionner un historique cohérent avec cette problématique. Jacques Friggit, ingénieur en chef des

ponts et chaussées , un économiste spécialiste du secteur immobilier français et actuellement chargé de

mission au Conseil général de l'environnement et du développement durable, propose des données

annuelles retraçant deux siècles d’évolution économique entre 1800 et 2005.

Les données utilisées dans le modèle seront celles de 1955 à 2005, soit un historique annuel de 50 ans

permettant de faire solidement des projections à échéance de 15 ans à 30 ans.

Plus précisément, les données utilisées (disponible sur son site internet) sont les données françaises

intitulées : «

Indice des prix à la consommation (€, base 2000)

Taux d'intérêt à long terme ;

Taux d'intérêt à court terme ;

Valeur d'un investissement en actions, dividendes réinvestis (€, base 2000) ;

Indice du prix des logements, France (€, base 2000). »

A partir de ces données économiques brutes, nous pouvons calculer un historique des différentes

données du modèle.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ing%C3%A9nieur_des_ponts_et_chauss%C3%A9es



http://fr.wikipedia.org/wiki/March%C3%A9_immobilier_fran%C3%A7ais

http://fr.wikipedia.org/wiki/Conseil_g%C3%A9n%C3%A9ral_de_l%27environnement_et_du_d%C3%A9veloppement_durable



L’inflation se détermine comme étant l’évolution continue des indices des prix à la consommation

notés à tout instant t , soit :

Concernant les taux court terme et long terme, Friggit présente des taux nominaux que l’on notera à

tout instant t, et ; il est alors possible de calculer les taux court terme et long terme en

prenant en compte l’inflation précédemment déterminé, soit :

Pour les actions, la démarche est la même que celle concernant l’inflation ; en effet, le rendement des

actions se détermine comme étant l’évolution continue des indices des valeurs d'un investissement en

actions, dividendes réinvestis, notés à tout instant t , soit :

Enfin, concernant le rendement de l’immobilier, la démarche est à nouveau la même ; il suffit pour

cela de prendre l’évolution continue des indices des prix du logement notés à tout instant t , soit :

Le graphique qui suit, illustre ces données calculées par l’historique de Friggit :

Figure 3 - Données transformées de Friggit (1955-2005)



3.1.2 Les tests statistiques

Les modèles présentés dans cette étude sont des modèles de séries temporelles autorégressifs d’ordre

1 (AR(1)). Les méthodes de calibrage des modèles se feront donc classiquement par la méthode des

moindres carrés. Cependant, une telle méthode nécessite de vérifier sa cohérence par différents tests

statistiques qui seront acceptés sous probabilité d’erreur de 5%. Il y aura aussi de simple test

graphique sur les résidus. Les tests sont rapidement rappelés ci-dessous :

Test de Fisher

Ce test, illustré, par la valeur du , permet de vérifier la qualité du modèle. En effet, le

ou coefficient de détermination, mesure la qualité de l'ajustement des estimations de

l'équation de régression. Il est utilisé à la fois en régression simple et en régression multiple. Il permet

d'avoir une idée globale de l'ajustement du modèle. Il s'interprète comme la part de la variance de la

variable expliquée par la régression.

Plus la valeur du est proche de 1 et plus la qualité du modèle est bonne.

Test de Student sur les paramètres du modèle

Le test de Student est un test paramétrique classique qui compare la moyenne observée d'un

échantillon statistique à une valeur fixée. Un test de Student par rapport à la valeur 0 sur les différents

paramètres du modèle de régression permet de vérifier leur significativité.

Test de Breusch-Godfrey sur les résidus

Ce test vérifie l’absence d’auto-corrélation sur les résidus du modèle de régression linéaire. Par

exemple, considérons le modèle de régression linéaire suivant :

Où les résidus suivent un modèle autorégressif d’ordre p (AR(p)) comme suit :

Breusch-Godfrey prouvèrent que si le modèle de régression linéaire suivant est modélisé :

Alors son peut être utilisé pour le test statistiques où H0 est grâce à la

relation suivante :

Test basé sur les modèle d’ARCH sur les résidus

Ce test vérifie la non-hétéroscédasticité du modèle. En effet, les modèles de type ARCH(q), introduit

pour la première fois par Engle en 1982 permettent de modéliser des vagues d’incertitude économique

où la volatilité est groupée, face à des phases bien plus calme. L’hypothèse H0 de ce test est donc la



non réalisation du modèle de type ARCH et donc une indépendance temporelle de la variance aux

réalisations antérieures.

Test de Jarque-Bera

L’hypothèse H0 de ce test est la normalité des résidus sous la statistique suivante :

Avec :

n le nombre d’observations ;

k le nombre de variables ;

S le coefficient d’asymétrie : ;

K est le kurtosis : .

3.2 Projection des résidus et test des corrélations entre les différents modèles.

Dans tous les modèles de diffusion stochastique précédemment cités, leur volatilité est supposée

déterministe et elle est déterminée par une régression linéaire sur le modèle en temps discret ; nous

verrons cet aspect dans la suite. Il convient donc de projeter les résidus, pour, d’une part, tester la

stabilité des corrélations lors de la projection sur 30 ans mais aussi, bien-sûr, pour déterminer les

résidus projetés intervenant dans les modèles en tenant compte de ces corrélations projetées.

Globalement, les processus de diffusion utilisés sont caractérisés par des résidus suivant des lois

normales. Projeter les résidus revient donc à simuler des variables aléatoires gaussiennes corrélées

entre elles par la matrice de corrélation historique en passant par la factorisation de Cholesky.

A l’instant initial, nous pouvons déterminer les corrélations entre les différentes volatilités des

modèles. Dans le prolongement du calibrage précédemment effectué, le logiciel R permet de

déterminer aisément ce résultat. Le tableau ci-dessous l’illustre :

Corrélation Inflation Immobilier Taux long Taux court Xs de rdt act.

Inflation 1 0,202 -0,858 -0,651 -0,324

Immobilier 0,202 1 -0,322 -0,269 -0,103

Taux long -0,858 0,322 1 0,802 0,176

Taux court -0,651 -0,269 0,802 1 0,112

Xs de rdt act. -0,324 -0,103 0,176 0,112 1

Tableau 2 - Corrélation initiale des volatilités des modèles

Nous pouvons dorénavant procéder à la projection de ces corrélations.

Dans une première étape, il est nécessaire de procéder à la factorisation de Cholesky sur la matrice

représenté dans le Tableau 2 - Corrélation initiale des volatilités des modèles. Rappelons que la



décomposition de Cholesky consiste, pour une matrice symétrique semi définie positive A, à

déterminer une matrice triangulaire inférieure L telle que : A=LLT.

En effet, nous savons que la matrice de corrélation d’un processus stochastique discret, noté A de

dimension , admet trois propriétés fondamentales :

A est une matrice hermitienne : ;

A est une matrice de Toeplitz carrée ;

A est une matrice définie semi-positive : .

Dans notre cas, nous avons alors la relation de Cholesky suivante :

Avec :

La théorie mathématique et l’algorithme concernant la méthode de Cholesky se trouve dans l’Annexe

2.

Pour chaque simulation de Monte-Carlo, nous calculons les résidus projetés pour chaque date future

de 1 an à 30 ans par somme lignes à lignes de la matrice L pondérée par une distribution normale ou

encore par le produit matriciel de la matrice de corrélation avec un vecteur gaussien. Le résultat des

corrélations projetées sur 30 ans est donc obtenu par la moyenne des résultats de chaque simulation.

Le résultat des corrélations projetées dans 30 ans est affiché dans le tableau ci-dessous :


Inflation 1 0,199 -0,852 -0,644 -0,317

Immobilier 0,199 1 -0,318 -0,267 -0,104

Taux long -0,852 0,318 1 0,797 0,170

Taux court -0,644 -0,267 0,797 1 0,107

Xs de rdt act. -0,317 -0,104 0,170 0,107 1

Tableau 3 - Corrélation empirique projetée des volatilités des modèles

http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_sym%C3%A9trique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_semi-d%C3%A9finie_positive

http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_triangulaire



L’écart des corrélations des volatilités initiales et des corrélations des volatilités projetées est donc le

suivant :


Inflation 0,00% -1,26% -0,60% -1,11% -2,25%

Immobilier -1,26% 0,00% -1,02% -0,69% -1,06%

Taux long -0,60% -1,02% 0,00% 0,58% 3,33%

Taux court -1,11% -0,69% 0,58% 0,00% 4,16%

Xs rdt action. -2,25% -1,06% 3,33% 4,16% 0,00%

Tableau 4 - Ecart de corrélation des volatilités des modèles

Les écarts sont donc relativement faibles. Le test de stabilité de corrélation entre la volatilité des

différents modèles est donc satisfaisant. Le maximum est un écart de 4,16% ; cette valeur sera utile par

la suite dans la section concernant le modèle de Black-Litterman.

Enfin, nous pouvons constater que l’évolution des taux long et de l’immobilier est faiblement corrélée

de façon négative. Ceci est en accord avec les travaux de Friggit [2010] sur l’évolution du prix du

logement en fonction des taux d’intérêt long terme net d’inflation :

Le choix de l’utilisation des données de Friggit n’est pas remis en cause lors de mon étude.



3.3 Calibrage du modèle d’Ahlgrim

3.3.1 Méthodologie

Les modèles, excepté le modèle des actions, sont des modèles autorégressifs AR(1). Une méthode

efficace pour calibrer ces modèles est d’appliquer une régression linéaire sur la forme discrétisée. En

effet, les modèle AR(1) se présentent de cette façon :

Avec :

, les constantes à déterminer ;

, le bruit gaussien ;

connu.

Il suffit d’utiliser alors des données représentant le temps t+1 et des données représentant le temps t

pour estimer les paramètres. La méthode est utilisée par l’inflation et l’immobilier.

Pour le modèle de taux, le calibrage est légèrement plus complexe ; en effet, il est l’association de

deux modèle AR(1). Pour le calibrer, nous pouvons donc appliquer deux étapes successives de

régression linéaire :

Avec :

, le vecteur représentant les aux long à l’instant t ;

, le vecteur représentant les aux long à l’instant t ;

, les paramètres à définir ;

, valeur estimée de lors de l’étape 1 ;

, les bruits blancs gaussiens des deux modèles AR(1)

Notons que l’étape 2 peut se simplifier comme suit,

Enfin, en ce qui concerne le modèle du rendement des actions, il est plus simple à calibrer car il suffit

de calculer la moyenne et la variance de l’évolution de l’excès rendement.

Toutes ces méthodes sont exposées de façon plus précise dans l’Annexe 1.

3.3.2 Calibrage et tests statistiques

Les méthodes de calibrage, les résultats des principaux tests statistiques ainsi que les résultats des

différentes méthodes de calibrage ont fait l’objet d’une étude au sein du cabinet Winter et Associés et

nous pouvons les retrouver dans le livre de F. Planchet / A. Kamega / P. Thérond., intitulé : Scénario

économique en assurance (cf. bibliographie).



Ces méthodes ont été appliquées pour cette étude ; tous les résultats ont été recalculés, les tests ont été,

à nouveaux, appliqués et un complément de tests graphiques les illustrent globalement.

Nous pouvons retrouver l’ensemble de ces résultats dans l’Annexe 1.

3.3.3 Synthèse des résultats

Les paramètres estimés

Le tableau qui suit résume les valeurs estimées par le calibrage des différents modèles :

Paramètre Estimation

Inflation

Retour à la moyenne 0,261

Moyenne 0,051

Volatilité 0,026

Taux long terme


Moyenne 0,029

Volatilité 0,023

Taux court terme Retour à la moyenne 0,397

Volatilité 0,024

Immobilier


Moyenne 0,094

Volatilité 0,037

Action Moyenne 0,033

Volatilité 0,175 Tableau 5 - Résultat du calibrage du modèle de Black –Litterman

Représentation graphique des projections

Figure 4 - Projection des rendements et des taux selon le modèle d'Ahlgrim



Le graphique ci-dessus est obtenu pour 10 000 simulations de Monte Carlo ; pour ne pas encombrer la

figure, les intervalles de confiance n’ont pas été représentés. Cependant, nous pouvons les retrouver

dans l’annexe 1, relative au calibrage du modèle d’Ahlgrim.

3.4 Test du modèle par la projection d’obligations

Les obligations sont les produits financiers les plus complexes de la modélisation. En effet, le calcul

permettant d’estimer le prix d’une obligation sans risque de défaut de maturité T, de taux facial γ et de

nominal N,.est donné dans la partie 2.3.3, soit :

De ce fait, la grande partie du paramétrage du modèle est prix en compte par la présence des zéro-

coupon.

Pour tester la cohérence du modèle en fonction des paramètres, nous allons tout d’abord étudier

l’évolution du prix d’une obligation en fonction de ses paramètres puis, dans un second temps, nous

pourrons étudier la projection du rendement financier d’une obligation en faisant varier deux

paramètres, le taux de coupon et la maturité.

Les deux modélisations seront dans l’univers risque neutre. Nous n’allons donc pas modéliser la prime

de risque.

Tous les tests suivants visent à étudier la convergence de la moyenne des simulations de Monte Carlo

en fonction des paramètres ; l’évolution des intervalles de confiance ne sera pas étudiée dans cette

partie.

3.4.1 Test sur l’évolution du prix d’une obligation en fonction de ses paramètres

Pour étudier le prix d’une obligation, nous allons faire varier ses trois paramètres, la maturité T, le

taux facial γ et le nominal N.

Dans un premier temps, nous pouvons modéliser les zéro-coupon en fonction de la maturité. Le

graphique ci-dessous présente ces derniers pour une maturité évoluant de 1 à 30 ans pour un temps de

projection de 1 à 30 ans.

Il s’agit plus précisément de la moyenne de 10 000 simulations de Monte Carlo, modélisée par le

modèle d’Ahlgrim suivant la formule présentée au point 2.3.



Figure 5 - Projection des zéro-coupon en nominal en fonction de la maturité

Evolution du prix d’une obligation en fonction du taux facial.

Dans cette partie, nous allons fixer la valeur du nominal et de la maturité et faire varier la valeur du

taux facial.

Les valeurs des paramètres sont les suivants :

Paramètre Valeur

Nominal 100 €

Maturité 10 ans

Taux facial Tableau 6 - Caractéristiques des obligations pour comparaison du prix en fonction des taux de coupon

Le graphique présente les résultats :



Figure 6- Evolution du prix d'une obligation en fonction du taux facial

Nous constatons une évolution parfaitement linéaire en fonction du taux facial. Ceci est tout à fait en

accord avec la définition du prix d’une obligation En effet, nous pouvons aussi exprimer le prix d’une

obligation en fonction de ces paramètres de cette façon à t=0 ;

Avec :

La modélisation du prix d’une obligation semble donc exacte sur ce point.

Evolution du prix d’une obligation en fonction du nominal.

Dans cette partie, nous allons fixer la valeur du taux facial et de la maturité et faire varier la valeur du

nominal


Paramètre Valeur

Nominal

Maturité 10 ans

Taux facial 4,5% Tableau 7 - Caractéristiques des obligations pour comparaison du prix en fonction des taux de coupon




Figure 7 - Evolution du prix d'une obligation en fonction de la valeur du nominal

Comme précédemment, nous constatons une évolution linéaire du prix de l’obligation. Nous pouvons,

en effet, exprimer le prix d’une obligation en fonction de ces paramètres de cette façon :

Avec :

La modélisation semble donc, à nouveau, cohérente de ce point de vue.

Evolution du prix d’une obligation en fonction de la maturité

Dans cette partie, nous allons fixer la valeur du taux facial et du nominal et nous allons faire varier la

valeur de la maturité


Paramètre Valeur

Nominal 100 €

Maturité

Taux facial 4,5% Tableau 8 - Caractéristiques des obligations pour comparaison du prix en fonction des taux de coupon




Figure 8 - Evolution du prix d'une obligation en fonction de la maturité

Sur le graphique ci-dessus, nous constatons que le prix de l’obligation diminue fortement avec la

maturité. En effet, les facteurs d’actualisation, étant fortement décroissants avec les maturités, ils

impactent directement sur le prix de l’obligation et en particulier sur le dernier flux correspondant au

remboursement du nominal.

Conclusion

Tous les résultats évoqués précédemment sont bien connus mais ils ont ainsi permis de confirmer la

cohérence du modèle avec la réalité du marché sur le calcul du prix d’une obligation

Dans une gestion Actif / Passif, le calcul du prix d’une obligation n’est bien-sûr pas suffisant. En effet,

il faut s’assurer de la bonne simulation d’une allocation obligataire et en particulier sur le calcul

correct du rendement financier pour une obligation quelconque. C’est justement, l’objectif de la suite

de cette étude.

3.4.2 Test sur l’évolution du rendement financier d’une obligation en fonction de ses

paramètres.

Dans ce paragraphe, nous allons étudier comment le rendement d’un actif obligataire évolue en

fonction du taux de coupon et de la maturité. Nous n’allons pas donc étudier son évolution en fonction

du nominal ; en effet, nous savons que la valeur du nominal, par définition du prix d’une obligation et

de la règle de gestion décrite ci-après n’impactera pas le rendement.

En effet, avant de projeter le rendement obligataire, il convient de définir une règle de gestion, c'est-à-

dire une règle d’achat et de vente des titres obligataires. La stratégie d’investissement retenue pour la

projection des obligations consiste à vendre puis à acheter le titre de maturité identique. Les prix des

obligations sont projetés « coupon inclus ». Ainsi, partant d’une obligation de maturité M à l’instant t,

on vend cette obligation à t+1 puis on investit la somme récoltée et la valeur du coupon dans une

obligation de maturité M.



La projection du rendement d’obligation se fait en deux étapes. La première consiste simplement à

déterminer les flux :

Avec :

La seconde étape consiste à déterminer le prix de cette obligation pour chaque date anniversaire (1

ans) pour se soumettre à la règle de gestion évoquée précédemment qui est la vente puis l’achat d’une

obligation de maturité identique. Cette technique permet de faire un profit sous l’hypothèse que

l’obligation est assumée par l’émetteur du titre. Nous supposerons cette hypothèse vérifiée.

Le test sur le rendement va donc s’effectuer en trois étapes. Dans un premier temps, nous allons faire

étudier le comportement des titres obligataires en faisant varier le taux facial et la maturité de façon

indépendante, puis, dans une troisième étape nous pourrons visualiser graphiquement l’évolution du

rendement des obligations en fonction de ces deux paramètres.

Evolution du rendement d’une obligation en fonction du taux facial

L’étude qui suit présente la comparaison de rendement obtenue pour vingt obligations dont seul le

taux facial évolue. Le taux facial évoluera de 0,5% à 10%

Voici les principales caractéristiques de ces obligations :

Paramètre Valeur

Nominal 250 000 €

Maturité 29 ans

Taux facial Tableau 9 - Caractéristiques des obligations pour comparaison du rendement financier en fonction taux de coupon

Le graphique ci-dessous présente cet écart de rendement sur 30 ans. Pour une meilleure lisibilité, un

zoom est effectué sur la période de 7 ans à 30 ans



Figure 9 - Comparaison du rendement d'une obligation en fonction du taux de coupon

Il est très visible que, avec ce paramétrage, plus le taux de coupon est élevé, plus le rendement de

l’obligation sera important. Ceci s’explique par la hausse du prix en fonction du paramètre et de la

règle de gestion choisie pour l’exemple. De plus, nous constatons un effet de « saturation » autour de

7,9% lorsque le taux facial dépasse les 5%. L’expérience nous montre donc que, dans nos conditions,

l’achat d’obligation ayant un rendement facial supérieur à 5 % n’est pas forcément intéressant en

fonction du coût de ces obligations car il n’augmentera pas de façon notable le rendement.

Nous pouvons nous interroger dorénavant sur l’évolution du rendement financier lorsque nous faisons

varier la maturité uniquement.

Evolution du rendement d’une obligation en fonction de la maturité

Nous allons calculer le rendement d’une obligation selon la règle de gestion évoqué précédemment.

Pour cela, nous allons comparer le rendement trente obligations ayant des maturités évoluant de 1 à 30

ans.

Paramètre Valeur

Nominal 250 000 €

Maturité

Taux facial 4,5% Tableau 10 - Caractéristiques des obligations pour comparaison du rendement financier en fonction de la maturité

Le graphique ci-dessous illustre les résultats obtenus pour les trente obligations testées :



Figure 10 - Comparaison du rendement d'une obligation en fonction de la maturité

Nous pouvons constater que plus la maturité augmente et moins le rendement est important. Ceci

s’explique par la baisse du prix, par un taux de coupon raisonnable et la règle de gestion choisie pour

l’exemple. Nous pouvons aussi constater qu’il y a, à nouveau, un effet de « saturation » autour de

7,5% pour des maturités supérieures à 13 ans. De ce fait, pour optimiser le rendement, il faut choisir,

dans nos conditions, des obligations avec une maturité inférieure à 13 ans pour que l’impact soit

réellement intéressant pour le gestionnaire

Evolution du rendement d’une obligation en fonction du taux facial et de la maturité

Nous constatons que le calcul du rendement est cohérent avec les réalités du marché et la règle de

gestion choisie. De plus, nous avons constaté des effets de saturation qui peuvent être pris en compte

par un gestionnaire financier dans le choix des titres obligataires. Cependant, les deux évolutions

précédemment étudiées sont opposées ; il est donc intéressant d’étudier l’interaction de ces deux

paramètres sur le calcul du rendement.

Les hypothèses sur les différentes obligations sont donc les suivantes :

Paramètre Valeur

Nominal 250 000 €

Maturité

Taux facial Tableau 11 - Caractéristiques des obligations pour comparaison du rendement financier en fonction de la maturité et

du taux facial

Le graphique ci-dessous présente les résultats des différents rendements au bout de 30 ans :



Figure 11 - Evolution du rendement des obligations en fonctions des deux paramètres

Sur ce graphique, nous retrouvons globalement les résultats obtenus sur les deux graphiques

précédents. En effet, globalement, le rendement au bout de 30 ans évolue de manière croissante en

fonction du taux facial et de manière décroissante en fonction de la maturité. Le rendement maximal

est obtenu pour des maturités minimales et l’effet de saturation est encore visible à partir d’une

maturité supérieure à 15 ans. De plus, l’effet de saturation sur les taux facials est obtenu très

rapidement, pour des valeurs supérieures à 4%.

Cependant, une information supplémentaire nous est apportée. Pour des taux facials très faibles, le

rendement en fonction de la maturité n’est pas strictement décroissant. Par exemple, pour un taux

facial d’environ 1%, le rendement de l’obligation pour une maturité de 30 ans est plus important que

pour une maturité de 23 ans. Un gestionnaire financier pourrait donc en tenir compte, s’il compte

sélectionner des obligations au taux facial très faible sous cette règle de gestion.

3.4.3 Conclusion

Cette illustration a donc permis, non seulement de vérifier la cohérence du modèle mais aussi de

visualiser l’impact d’une augmentation du taux facial et de la maturité sur le prix ainsi que sur le

rendement espéré d’une obligation dans un univers risque neutre. En ce qui concerne le test de solidité

du modèle, les résultats sont satisfaisants. Nous pouvons continuer cette étude sur ces bases.

Cependant, notons que nous n’avons pas étudié la qualité de projection de Monte-Carlo. Pour cela,

nous pouvons nous référer au livre de F. Planchet / A. Kamega / P. Thérond., intitulé : Scénario

économique en assurance.



3.5 Conclusion

L’objectif de cette section était de présenter le calibrage du modèle d’Ahlgrim. La méthodologie, les

tests statistiques ainsi que l’historique des données ont été présentés. L’ensemble des résultats sont

dans l’annexe 1.

De plus, nous avons effectué des tests de sensibilité sur le prix et le rendement de titres obligataires en

fonction de leurs caractéristiques. Les résultats sont satisfaisants quant à la solidité du modèle.

La suite de l’étude portera sur le caractère bayésien du modèle de projection des actifs. Comme il a été

évoqué dans l’introduction, nous allons nous inspirer du modèle de Black-Litterman. De ce fait la

section qui suit présente de manière théorique ce modèle dans le but de maitriser les différents

paramètres le définissant.



4 Présentation théorique du modèle bayésien de Black-Litterman.

L’objectif de cette partie est de présenter de façon théorique et historique le modèle bayésien de

Black-Litterman. Il ne s’agit pas d’en faire une étude complète car il a été beaucoup développé dans la

littérature mais il est cependant intéressant de l’introduire dans ses généralités pour mieux comprendre

les paramètres de ce modèle. Pour cela, il faut comprendre l’intérêt historique de ce modèle en le

comparant au modèle de Markowitz. Ce dernier ne sera pas non plus présenter de façon exhaustive

mais permettra de justifier, par ses limites, l’introduction du modèle de Black-Litterman lors de la

recherche de l’allocation optimale.

4.1 Le modèle de Markowitz et ses limites

Le modèle de Markowitz est sans aucun doute le modèle le plus illustre permettant de déterminer

l’allocation optimale d’un portefeuille d’actifs financiers mais aussi, actuellement le plus contesté. Ce

modèle, décrit par son auteur en 1952, introduit la notion de portefeuille efficient, maximisant le

couple rendement-variance. « Qui ne risque rien, n’a rien », en d’autres termes, l’investisseur qui

désire obtenir un rendement plus élevé doit accepter un risque plus élevé. Un portefeuille efficient est

donc celui qui maximise le rendement pour un risque choisi (ou celui qui minimise le risque pour un

rendement choisi) et l’ensemble de ces portefeuilles, en fonction de la variance et donc du risque,

forme la frontière efficiente.

Ci-dessous une illustration graphique de frontière efficiente (source : www.vernimmen.net)

Figure 12 - Exemple de frontière efficiente

Sur ce graphique, nous voyons trois portefeuilles théoriques, les portefeuilles Q et M sont optimaux au

sens de Markowitz ; en effet pour un risque donné, le rendement ne peut dépasser celui de la courbe en

gras qui correspond à la frontière efficiente. Tous les portefeuilles en dessous de la frontière efficiente

sont dits « sous-optimaux » et il n’intéresse pas un investisseur rationnel. Notons que lorsque que le



risque est très faible, la frontière efficiente correspond à un rendement plus faible que le taux sans

risque ; il n’y a donc intérêt de s’y engager, de même lorsque le risque est trop élevé le rendement

devient inférieur au portefeuille réalisable et d’utilité maximal M. La frontière efficiente rationnelle est

donc comprise entre le portefeuille Q et le portefeuille M.

4.1.1 Une approche formelle du modèle de Markowitz

Le modèle de Markowitz est donc un problème d’optimisation sous contrainte. Il est choisi ici de le

formuler sous forme d’une maximisation du rendement sous un risque choisi. Nous considérons un

portefeuille composé de p classes d’actifs

Soit :

Avec :

e est un vecteur de dimension p formé uniquement du chiffre 1 ;

ω est un vecteur de dimension p et qui représente la répartition de chaque classe d’actifs dans

le portefeuille ;

∑ est la matrice de variance-covariance du portefeuille de dimension p p ;

µ est un vecteur de dimension p représentant le rendement de chaque classe d’actifs dans le

portefeuille ;

k représente simplement la valeur du risque acceptée par l’investisseur.

Un grand nombre de littérature sur ce sujet développe de façon très exhaustive l’aspect technique et

mathématique de ce problème d’optimisation sous contrainte. Pour plus de détails, les travaux de

Meucci [2005] en sont une référence particulièrement intéressante

Dans la pratique, ce problème peut se ramener à maximiser l’utilité d’un investisseur rationnel qui sera

caractérisé par une aversion au risque noté δ>0. Après transformation, le problème d’optimisation

s’interprète comme la maximisation d’une fonction d’utilité quadratique par rapport à ω. Ce problème

se formule donc comme suit :

Où :

δ représente l’aversion au risque de l’investisseur ; elle peut se calculer par la formule

suivante :



Ce paramètre n’est pas aisé à calibrer dans la pratique ; cette formule ne donne qu’une

estimation moyenne en prenant en compte le portefeuille de marché de rentabilité en excès du

taux sans risque et de volatilité

La solution de ce problème est connue et elle sera notée .

Elle est obtenue par la résolution de l’optimisation d’une fonction quadratique qui annule la dérivée

première en ω et a une dérivée seconde négative, ce qui implique sa maximisation. Les détails de ces

calculs, étant très classiques, ne seront pas évoqués ici.

4.1.2 Les limites de modèle de Markowitz

Nous pouvons discerner plusieurs limites au modèle de Markowitz ; la présentation succincte des

principales justifiera l’utilisation d’un autre modèle plus robuste :

Tout le modèle repose sur la modélisation moyenne-variance, c’est à dire qu’il limite la

caractérisation du portefeuille à son moment d’ordre 1 (l’espérance) et son moment d’ordre 2

(la variance). En d’autres termes, les actifs du portefeuille sont modélisés par une loi

gaussienne ; or certains actifs n’obéissent pas à ce prédicat comme par exemple certains titres

de créances ou des actifs très risqués.

La matrice de covariance est supposée définie positive ; cette hypothèse est forte surtout

lorsque le nombre d’actifs à profil similaire devient important. Certaines méthodes statistiques

comme l’ACP peuvent déterminer une matrice de variance covariance plus fiable.

L’optimisation de Markowitz repose sur l’estimation des rendements moyens or ces derniers

peuvent évoluer de façon très importante à court terme. Ceci rend donc très instable

l’estimation du modèle Markowitz.

De manière lus général, la détermination des paramètres, en entrée du modèle, (rendement et

variance) n’est la fait que d’une unique réalisation historique or la loi des grands nombres

nous impose un très grand nombre de réalisations pour nous assurer des paramètres

normalement distribués.

De façon plus pratique, un investisseur peut imposer des contraintes sur les poids qui ne sont

pas pris en compte dans le modèle. De ce fait, malgré une solution théorique très simple,

l’optimisation peut être plus difficile. En effet, des contraintes d’achats ou de ventes sont très

fréquentes lors d’un investissement et le modèle standard de Markowitz ne les prend pas en

compte.

Pour palier une partie de ces limites et en particulier l’impact des données historiques, le modèle

innovant de Black & Litterman permet d’intégrer une nouvelle espérance de rendement qui ne rendra

plus l’allocation de moyenne-variance si instable.

4.2 Le modèle de Black-Litterman

Le modèle de Black Litterman repose sur l’allocation mixte d’actifs qui trouve son équilibre entre des

positions court terme dites positons tactiques (1-3 mois) et des positions long terme dites positions



stratégiques (1-3ans). Par ce biais, le modèle de Black-Litterman rend plus robuste l’optimisation

moyenne-variance en particulier sur l’évolution des estimations des rendements.

Ce modèle fut développé par Black et Litterman en 1990. Leurs objectifs étaient de créer une méthode

flexible d’optimisation affectée de « vues » de sur ou sous évaluation des actifs. Les poids optimaux

ne sont alors rien de plus qu’un compromis entre le portefeuille de référence de la position stratégique

et le portefeuille issu des vues de la position tactique.

En d’autres termes, le modèle de Black Litterman est une approche bayésienne d’allocation tactique

entre un portefeuille de référence et des vues économique de marché à court terme.

4.2.1 Schématisation du modèle de Black-Litterman

Ce modèle peut se représenter par ce schéma, les différentes parties seront expliquées par la suite

Coefficient d'aversion au

risque

δ

Matrice de covariance

∑

Poids du portefeuille

ω

Vues Q

Certitudes sur les vues

Ω

Rendement espéré d'équilibre

Π

Portefeuille de Black-Litterman corrigé par les vues

Figure 13 - Schématisation de modèle de Black-Litterman

4.2.2 Définition et détermination du rendement mixte

L’objectif de ce modèle est de déterminer un vecteur de rendement pondéré entre les rendements du

marché et les vues du gestionnaire ; il sera noté µ et sera appelé le rendement mixte. Nous restons bien

dans une optimisation moyenne-variance ; dans notre cas, il s’agit d’un compromis :le risque de

s’éloigner du portefeuille de référence et la nécessité de générer un rendement excédentaire à ce même

portefeuille. En effet, le rendement potentiel sera maximal pour un portefeuille très différent du

portefeuille de référence alors que le risque sera minimisé pour un portefeuille très proche du

portefeuille de référence.

Les vues que nous obtenons, vont donc faire dévier la rentabilité implicite dans le sens approprié.

D’un point de vue plus formel, l’objectif est de minimiser l’écart entre le rendement prévu et le

rendement du portefeuille de référence. Soit la formule de minimisation suivante :

Avec :



µ le rendement prévu par le gestionnaire ;

Π le rendement du portefeuille de référence ;

∑ la matrice de variance-covariance des actifs ;

η un scalaire permettant d’estimer la variance à l’équilibre ;

P est la matrice indiquant s’il y a présence d’une vue sur l’actif considéré ;

Q est la matrice représentant les vues du gestionnaire ;

ε est le degré de certitude ou non de l’égalité ;

Ce problème de minimisation, nous donne donc la rentabilité mixte µ par la formule suivante :

Avec :

Ω la matrice contenant les éléments du vecteur ε dans sa diagonale

Nous pouvons retrouver la démonstration de cette formule dans « The Black-Litterman Model In

Detail » [2009] de WALTERS J (cf. Bibliographie). Ce papier présente aussi de façon globale les

différentes expressions du rendement mixte.

La rentabilité mixte résulte donc d’une moyenne pondérée entre les rentabilités à l’équilibre Π et celles

des vues Q. En effet, le premier terme, le dénominateur, est la somme entre le risque du portefeuille de

référence et de l’incertitude des vues du gestionnaire ; tandis que le second terme, le numérateur, est la

somme entre les poids des rendements du portefeuille de marché et les poids des prévisions tactiques.

Cette pondération permet de rendre plus robuste les allocations déterminées. Il y a alors un meilleur

contrôle de ces dernières, relativement à l’instabilité du modèle de Markowitz à cet égard.

4.2.3 Descriptif de l’implémentation du modèle de Black-Litterman théorique

Nous allons étudier de façon concrète comment, historiquement, Black et Litterman ont déterminé, le

rendement mixte. Il est à noter que ce paragraphe permet d’illustrer brièvement un aspect essentiel du

modèle, l’équilibre entre une détermination mathématique et objective face à une vision économique

et subjective de l’allocation optimale.

Dans ce modèle, il y a donc deux type d’inputs : Le portefeuille tactique nécessite des vues tandis que,

pour le portefeuille classique une optimisation de type rendement-variance est nécessaire.

Portefeuille stratégique :

Tout d’abord, il est possible de déterminer le rendement du portefeuille de référence par la résolution

de ce simple problème d’optimisation :

Ce problème admet une solution exacte (cf. modèle de Markowitz) :



Où :

δ représente l’aversion au risque de l’investisseur.

Le vecteur des rendements s’en déduit rapidement :

Les poids sont des poids d’équilibre au sens du Capital Asset Pricing Model (CAPM) ; de ce fait

les poids obtenus sont parfaitement exogènes et la matrice de variance-covariance peut être calculée

par des données historiques.

Les rendements du portefeuille de référence sont donc à présent déterminés ; il faut maintenant obtenir

l’information tactique, c'est-à-dire les vues du gestionnaire.

Il s’agit d’une détermination mathématique purement objective de l’allocation optimale par la méthode

de Markowitz. Elle admet donc toutes les limites décrites dans la partie 1 de ce chapitre.

Portefeuille tactique :

Les vues du portefeuille tactique sont en générales issues des économistes ou de modèles quantitatifs

de prévision. D’un point de vue plus formel, plusieurs matrice rentrent dans la construction des vues ;

il est nécessaire de mieux les cerner pour en comprendre les difficultés.

Tout d’abord, il faut déterminer les matrices P et Q. La première ne pose aucunes difficulté, elle

indique uniquement s’il y a une vue sur l’actif considéré. La seconde exprime les vues sur les actifs en

termes d’écart aux rendements d’équilibre.

Dans un second temps, il faut déterminer la matrice Ω qui contient toutes les mesures d’incertitude ;

elles sont exprimées en pourcentage. D’un point de vue formel, on utilise alors une distribution

normale pour transformer cette vue en une vue d’écart type.

Par exemple :

Considérons trois classes d’actifs A, B et C, de façon générale, il n’existe que deux types de vue :

1) les vues en relatif : le secteur A va surperformer le secteur B par 3%, à ±1% avec une

confiance de 90%. Cette vue s’exprime de la manière suivante :

En effet, la performance relative de 3% ±1% avec une confiance de 90% est interprétée

comme une variable aléatoire normalement distribuée de moyenne 3% et de variance telle que

90% se trouve entre 2% et 4%, autrement dit tel que 1.644854ζ = 1%, soit ζ = 0.61%

2) les vues de manière absolue : le secteur C sera de 7,5%, à ±1,5% avec une confiance de 90%.

Cette vue s’exprime de la manière suivante :

En effet, de la même façon 1.644854ζ = 1,5%, soit ζ = 0.91%

D’un point de vue matriciel, posons par exemple : , , ,



P est donc une matrice de dimension 2x3 (2 = nombre de vues et 3 = nombre de classes

d’actifs), soit :

Ω est alors une matrice de dimension 2x2, soit :

Q est un vecteur de dimension 2.

Rendement mixte

Une fois que Π, P, Q et Ω ont été déterminée, il suffit de calculer le rendement mixte µ par la formule

donnée précédemment :

4.3 Conclusion

Cette partie a eu pour objectif de présenter le modèle de Black-Litterman de façon non exhaustive. Le

rendement mixte permet donc d’établir une certaine stabilité entre la détermination d’un rendement

optimal calculé mathématiquement et des vues économiques traduisant la perception du marché par le

gestionnaire.

Cet aspect peut être très intéressant pour prendre en compte des phénomènes de marché non

modélisables mathématiquement, tel qu’une politique monétaire non prévisible. Par la suite nous

allons donc l’utiliser en association avec le modèle mathématique d’Ahlgrim.

En effet, comme il a été évoqué dans l’introduction, le modèle de référence ne sera pas un rendement

optimal au sens de Markowitz mais le rendement de projection stochastique à long terme d’Ahlgrim.

La prétention de cette étude est de réajuster, par des vues à court terme, un modèle stochastique très

général au contexte financier et monétaire particulier de la zone euro.



5 Implémentation du modèle bayésien selon Black-Litterman

Nous avons vu que le calcul du rendement mixte peut être perçu comme « un second calibrage » d’un

modèle mathématique lors de la recherche de l’allocation optimale. Dans le cadre de cette étude, cette

approche va être utilisée pour le calcul du rendement et des taux des actifs. A ce niveau de l’étude, il

n’y a pas encore l’objectif de l’estimation de l’allocation optimale. En effet, nous allons utiliser

l’équation du rendement mixte uniquement pour pouvoir équilibrer les rendements long terme du

modèle d’Ahlgrim avec les vues économiques du gestionnaire. Cette idée ne remet pas en cause la

qualité du modèle de projection du rendement d’Ahlgrim mais elle permet un ajustement prospectif,

par la connaissance économique du gestionnaire, d’un modèle mathématique calibré par un historique.

Par exemple, concernant l’inflation, nous savons que la Banque Centrale Européenne (BCE) désire

stabiliser le taux d’inflation à 2% environ. Cette politique monétaire peut être alors prise en compte

par le rendement mixte où la vue du gestionnaire à court terme sera 2% pour l’inflation avec un niveau

de confiance élevé.

De manière plus générale, nous savons qu’aucun modèle mathématique ne restitue pas la réalité du fait

de la complexité de cette dernière. De ce fait, il est souvent intéressant de modéliser de façon

bayésienne, en associant un modèle mathématique et des informations extérieures. Le rendement

mixte peut être vu comme un modèle de projection des rendements et des taux de façon bayésienne.

Cette partie a donc pour objectif d’implémenter le modèle de Black-Litterman pour le calcul du

rendement des actifs financiers tels que les actions et l’immobilier mais aussi sur les données

économiques telles que l’inflation et les taux d’intérêts court terme et long terme.

Pour mieux cerner le modèle, deux études de sensibilité seront effectuées. Par la suite, une étude de

marché sera présentée pour estimer les paramètres du modèle et en particulier les « vues ».

Enfin, dans la suite de l’étude, nous appellerons « modèle de Black-Litterman », le modèle bayésien

réajustant le modèle d’Ahlgrim par le calcul du rendement mixte selon la théorie de Black-Litterman

vue précédemment.

5.1 Introduction au calibrage du modèle de Black-Litterman

L’objectif est donc d’implémenter le calcul du rendement mixte noté μ, comme vu précédemment :

Avec :

Π le vecteur du rendement de référence ;

∑ la matrice de variance-covariance des actifs ;

η un scalaire permettant d’estimer la variance à l’équilibre des marchés ;

P est la matrice indiquant s’il y a présence d’une vue sur l’actif considéré ;

Q est la matrice représentant les vues du gestionnaire ;

La matrice ∑ est déterminée grâce à l’historique de Friggit utilisé pour calibrer le modèle d’Ahlgrim.

Le tableau suivant présente cette matrice à t=0.



Covariance Action Immobilier Taux court Taux long Inflation

Action 2,90% 0,03% -0,02% 0,03% -0,02%

Immobilier 0,03% 0,48% -0,13% -0,10% 0,07%

Taux court -0,02% -0,13% 0,08% 0,06% -0,05%

Taux long 0,03% -0,10% 0,06% 0,06% 0,07%

Inflation -0,02% 0,07% -0,05% -0,05% 0,13%

Tableau 12 - Matrice de variance-covariance historique long terme des actifs

Le scalaire η qui permet d’estimer l’erreur entre la variance à l’équilibre et la variance à l’origine, peut

être estimé grâce au test sur les corrélations vu au point 3.2. En effet, nous avons vu une erreur

maximale de 4,16%. Nous allons donc choisir cette valeur pour η. Ce choix est tout à fait cohérent

avec la littérature qui l’estime autour de 5%.

Dans la pratique, nous considérons systématiquement des vues économiques sur le modèle. De plus,

les vues seront établies de manière absolue (cf. exemple de la partie 4.2.3) ; cette approche est bien

plus naturelle, vue la nature des variables du modèle. De ce fait, la matrice P est simplement une

matrice identité à 5 dimensions et l’équation déterminant le rendement mixte μ se simplifie de cette

façon :

Nous pouvons aussi exprimer le rendement mixte sous la forme d’une correction du rendement

d’équilibre déterminé par le modèle d’Ahlgrim :

Par cette transformation, nous voyons apparaitre le terme , ce qui implique que si les vues

court terme sont les mêmes que le rendement estimé d’Ahlgrim, alors Le rendement mixte est

le même que celui modélisé. Il n’y a alors aucun apport par le modèle de Black-Litterman mais, non

plus, aucune perturbation sur le modèle à long terme. En d’autre mot, le modèle de Black-Litterman

permet de s’assurer d’une bonne cohérence de la réalité du marché avec le modèle d’Ahlgrim sans

pour autant entacher la qualité de ce dernier.

De même, peut être interprété comme le matrice représentant l’incertitude des vues. Nous

remarquons que si est une valeur faible alors le facteur est très proche de la

matrice identité et est très proche de . A contrario, si est une valeur fortes, alors le facteur

est faible et est proche de .

Il nous reste donc à déterminer les vues ainsi que les niveaux de confiance associés. Cet aspect est en

général subjectif. En effet, il s’agit d’estimer de manière rationnelle des vues court terme du marché.

De ce fait, cette approche n’est qu’un ressenti plus ou moins juste en fonction de l’expérience du

gestionnaire. En tout état de cause, à titre illustratif, nous pouvons estimer ces vues pour en étudier

l’impact sur les rendements projetés d’Ahlgrim.

Dans un premier temps, il est sans doute intéressant de tester la sensibilité du modèle en fonction des

paramètres pour mieux en comprendre l’intérêt d’un tel modèle.



5.2 Première approche et test de sensibilité du modèle de Black Litterman

Ce test de sensibilité va être effectué sur le rendement des actions. Les vues, concernant les autres

variables (Inflation, Immobilier…), sont donc fixées avec des niveaux de confiance faibles libérant

ainsi la vue sur le rendement des actions de l’impact de la matrice de variance-covariance. Il ne s’agit

ici que d’une illustration sur le comportement d’un paramètre en fonction du choix des vues.

Nous avons déjà modélisé la projection de ce rendement sur 30 ans par le modèle d’Ahlgrim. Nous

connaissons donc le vecteur sur les 30 ans de simulation, représentant le portefeuille de référence

du modèle de Black Litterman pour les actions.

Nous rappelons que la modélisation du rendement de référence avait été faite par la méthode de Monte

Carlo ; les intervalles de confiance sont présentés graphiquement dans l’annexe 1

Ce test illustratif sera, à nouveau, effectué par la méthode de Monte Carlo pour 10 000 simulations.

Cependant, pour ne pas surcharger les résultats de cette étude purement académique, nous n’étudierons

pas l’évolution de la qualité des modélisations en fonction des paramètres testés. En particulier, aucun

intervalle de confiance ne sera présenté.

Nous allons faire trois simulations de Black-Litterman. La première est une vue des marchés très peu

certaine ; de ce fait, l’indice de confiance des vues sera donc extrêmement faible ; la seconde aura un

niveau de confiance modéré ; caractéristique d’un gestionnaire ayant une bonne connaissance des

marchés mais ayant peu d’informations ; la troisième aura un niveau de confiance très élevé, illustrant

une information certaine qui néglige de manière importante le modèle mathématique d’Ahlgrim.

5.2.1 Scénario « vue incertaine »

Dans ce scénario, le gestionnaire a une vue du marché mais sans aucune conviction, il souhaite garder

la fiabilité du modèle à son avantage en ne modifiant que très légèrement les résultats. Nous prenons,

pour application une vue de 9% de rendement attendu sous un degré d’incertitude paramétrique de

0,6%

Le graphique ci-dessous présente alors l’écart entre le rendement de référence d’Ahlgrim et le

rendement de Black-Litterman dans les conditions d’incertitude.



Figure 14 - Comparatif de l’espérance des rendements sous le scénario "vue incertaine"

Dans cette approche, le modèle de d’Ahlgrim est très clairement suffisant ; la vue du gestionnaire est

trop incertaine pour impacter directement sur le rendement mixte. Cependant, avec un niveau de

confiance faible, le gestionnaire a fait baisser le rendement des actions de quelques points de base, ce

qui permet d’obtenir une approche prudentielle non négligeable.

5.2.2 Scénario « vue quasi certaine »

Dans ce scénario, le gestionnaire ne remet pas en cause le modèle d’Ahlgrim mais suppose une

surestimation ou au contraire une sous estimation du rendement projeté par rapport à ses

connaissances actuelles du marché. Nous prenons, pour application, une vue de 9% de rendement

attendu sous un degré d’incertitude de 0,08%


rendement de Black-Litterman.



Figure 15 - Comparatif de l’espérance des rendements sous le scénario "vue quasi-certaine"

Ce graphique illustre de manière concrète l’intérêt du calcul du rendement mixte. En effet, nous

pouvons visualiser l’impact des deux modèles sur la détermination du taux du rendement des actions ;

la courbe rouge inférieure suit globalement l’évolution de la courbe supérieure d’Ahlgrim tout en la

minorant par la vue du gestionnaire. En effet, le modèle d’Ahlgrim est calibré via un historique ; nous

pouvons comprendre suite à l’expérience de la crise financière que le modèle de Black-Litterman peut

être extrêmement utile pour une logique toujours prudentielle.

5.2.3 Scénario « vue certaine »

Sous cette approche, le gestionnaire remet en cause le modèle d’Ahlgrim et a la certitude que les

rendements des actions se situeront proche d’un rendement estimé par les « vues » du marché. Pour

l’exemple, nous prenons comme rendement attendu 9% et donc un degré d’incertitude très faible

0,006%.


rendement de Black-Litterman.



Figure 16 - Comparatif de l’espérance des rendements sous le scénario "vue certaine"

Bien évidemment dans ce scénario, l’implémentation du modèle d’Ahlgrim perd tout son intérêt. Une

estimation à 9% pendant 30 ans aurait suffi. Cependant, si nous repensons à la politique de la BCE sur

l’inflation qui compte la stabiliser à 2%, alors cette approche garde un certain intérêt.

5.2.4 Conclusion du test

Nous pouvons conclure que si par construction (ou par calibrage), le modèle d’Ahlgrim projette les

données des marchés dans leurs généralités historiques et de manière objective, le modèle de Black-

Litterman les projette dans leurs spécificités prospectives et de manière subjective. C’est donc bien

l’équilibre entre les deux modèles qui peut permettre une plus grande solidité des résultats.

5.3 Etude du modèle de Black-Litterman par Backtesting

La méthode de backtesting consiste à visualiser les résultats de projection du modèle dans un univers

passé et donc connu. Cette méthode consiste donc à calibrer le modèle sur un historique plus ancien en

vue de le projeter sur un passé tout proche. L’objectif est, bien évidemment, de comparer les résultats

de projection obtenus avec la réalité historique des marchés.

Nous allons établir ce test sur l’inflation uniquement. Les autres variables, taux et rendement, auront

donc des vues et des niveaux de confiance fixés. Nous n’allons donc pas étudier le pouvoir de la

matrice de variance-covariance. Cette approche peut se justifier pour l’inflation ; en effet, dans le

cadre du modèle d’Ahlgrim, cette variable est modélisée indépendamment de toutes les autres. De ce

fait, l’impact des autres variables peut être supposé minime.

Dans le cadre de Black-Litterman, nous allons donc avoir un intervalle d’évolution du rendement

mixte de l’inflation entre la réalité observée et le taux d’inflation d’Ahlgrim. En effet, on considère un



gestionnaire qui, par ces vues, se rapprochera plus ou moins de la réalité historique par rapport au

modèle d’Ahlgrim et nous allons donc exclure l’hypothèse d’un gestionnaire incompétent qui

s’écarterait de la réalité par ces vues. Cette étude visera alors à étudier la vitesse de propagation du

rendement mixte dans cet intervalle pour étudier la qualité du modèle en fonction de la difficulté

d’obtenir cette qualité.

L’hypothèse précédemment évoquée peut paraître forte, cependant, cette étude a pour objectif de

montrer l’intérêt d’un modèle bayésien ; ceci repose sur le prédicat que les informations sont

supposées vraies mais plus ou moins certaines. Nous pourrions alors ajouter une probabilité de

véracité de l’information mais pour simplifier, nous supposerons que le gestionnaire est très compétent

et donc qu’une information fausse se modélisera par un niveau de confiance extrêmement faible. Ceci

est en accord avec la pratique ; une probabilité de véracité de l’information n’existe pas par nature ; ce

serait une erreur de logique rétrospective de raisonner de cette façon, cependant un niveau de

confiance sur une information supposée exacte existe bien.

Notons, cependant qu’un modèle bayésien réel supporte, bien-sûr, le risque d’incompétence du

gestionnaire ; c'est à dire le risque d’un univers où l’hypothèse précédente ne serait pas vérifiée ; mais

dans ce cas, aucune étude de qualité ne pourrait se faire car il n’y aurait plus aucune limite quant à

l’incompétence du gestionnaire et donc quant à la médiocrité de ses vues.

Il y a donc deux approximations pour ce test : l’hypothèse du gestionnaire compétent vérifiée et la

diminution du pouvoir de prédiction de la matrice de variance-covariance.

Les deux approximations effectuées rendent le test très académique. Il s’agira donc de se contenter

d’interpréter les résultats et d’être très prudent avant toute généralisation.

Enfin, la qualité des projections au sens de la modélisation de Monte-Carlo ne sera pas étudiée. Nous

effectuerons la projection du rendement mixte en fonction de ces paramètres systématiquement pour

10 000 simulations.

La suite de l’étude se décompose en deux parties. Dans un premier temps, nous allons recalculer le

rendement de référence à long terme d’Ahlgrim pour déterminer l’intervalle d’évolution probable du

rendement mixte. Ensuite, l’étude sur backtesting sur le rendement mixte sera développée.

5.3.1 Backtesting sur le modèle d’Ahlgrim

Dans un premier temps, il s’agit de recalibrer le modèle sur un historique plus ancien. L’historique

choisi est les données de Friggit de 1955 à 1985. Sans rentrer, à nouveau dans les détails du calibrage

qui sont présentés dans l’annexe 1, nous pouvons résumer les résultats obtenus dans le tableau ci-

dessous :


0,515

0,073

0,036

Tableau 13 - Recalibrage du modèle de l'inflation pour Backtesting

Notons, qu’il ne s’agit que d’un exemple, aucun test statistique ne va être développé.



Par ces résultats, nous pouvons projeter l’inflation sur les 20 prochaines années, c'est-à-dire de 1986 à

2005. Le graphique ci-dessous présente ce backtesting en comparant la réalité historique aux

projections obtenues.

Figure 17 - Exemple de backtesting sur l'inflation par le modèle d'Ahlgrim

Sur ce graphique, nous voyons apparaitre une forte différence entre la réalité historique et la projection

effectuée. Ceci s’explique sans aucun doute par la forte volatilité de l’historique du calibrage face au

taux d’inflation plutôt faible et stable maintenu par la politique économique et monétaire de l’époque.

Cette remarque met l’accent sur la fragilité d’un modèle purement mathématique qui ne peut faire que

refléter l’évolution probable d’une variable connaissant l’historique d’évolution de cette dernière. En

d’autre terme, le modèle d’Ahlgrim reste tout à fait exact ; cependant il ne reflète pas la réalité, qui

n’est autre qu’une décision politique et donc un fait impossible à modéliser stochastiquement.

Il existe différente méthode permettant de prendre en compte les avis d’experts. :

Une réflexion sur la profondeur de l’historique ;

Une fixation arbitraire des valeurs de long terme des dynamiques du modèle d’Ahlgrim.

Le graphique suivant illustre l’association de ces deux méthodes et le tableau suivant présente les

modifications de calibrage effectuées :



Figure 18 - Exemple de backtesting sur l'inflation par le modèle d'Ahlgrim après modification

Paramètre Estimation d’origine Estimation réajustée

0,515 0,150

0,073 0,020

0,036 0,038

Tableau 14 – Paramètre de Backtesting après réajustement de l'équation de diffusuion stochastique

Nous constatons qu’en modifiant les paramètres de l’équation de diffusion stochastique basé sur un

historique de calibrage plus adapté mais aussi en imposant directement certaines valeurs, la

modélisation tend à se rapprocher de la réalité historique.

Ces méthodes sont très utilisées dans la pratique mais restent très brutales et n’intègre pas de niveau de

confiance sur les avis des experts. Pour contrecarrer cette faiblesse, après une modélisation purement

mathématiques, une modélisation de Black-Litterman permet justement d’avoir une approche plus

subjective tout en gardant l’information du modèle objectif d’Ahlgrim et en intégrant un niveau

d’incertitude sur les vues. Dans la partie suivante, nous allons donc développer cet aspect en

introduisant le rendement mixte sur le test de backtesting et en étudiant son évolution en fonction de

ses paramètres.

5.3.2 Backtesting sur le modèle de Black-Litterman

L’objectif de cette partie est d’établir un graphique illustrant l’évolution de la distance entre la courbe

de la réalité historique et la courbe de Black-Litterman sur l’inflation.

Les autres vues sont fixées pendant toute l’expérience ; ceci permettra d’étudier l’évolution d’un seul

paramètre, ici l’inflation, en fonction du niveau de confiance et de la valeur de la vue choisie.

Cependant, il ne faudra pas oublier pendant l’expérience que les autres vues ont un impact sur

l’inflation par la matrice de variance-covariance.



Le tableau qui suit présente les hypothèses choisies sur les autres variables :

Intitulé Vue Incertitude paramétrique

Rendement des Actions 9% 9 bp

Rendement de l’Immobilier 10% 9 bp

Taux court 1,8% 9 bp

Taux long 3% 9 bp Tableau 15 - Hypothèse sur les vues pour le backtesting sur l'inflation

L’incertitude paramétrique choisie est de 9 BP ; il permettra de « contrôler » les vues sur l’inflation.

En effet, par ce choix la matrice de variance-covariance aura un pouvoir de prévision très modéré.

De plus, nous allons supposer l’hypothèse du « gestionnaire compétent » vérifiée ; de ce fait, par ces

deux approximations, les courbes de Black-Litterman seront encadrées par la courbe de la réalité

historique et le courbe du modèle d’Ahlgrim.

Construction des variables de l’expérience

Les deux paramètres que nous allons faire varier pour l’inflation sont les vues et le niveau

d’incertitude paramétrique (c’est la valeur d’incertitude traduit pour le modèle).

Sous les hypothèses précédemment citées, les vues testées doivent évoluer entre les valeurs du modèle

d’Ahlgrim et les valeurs historiques. De ce fait, formellement, les vues seront définies comme suit :

Avec :

, les valeurs du modèle d’Ahlgrim ;

, les valeurs historiques ;

, un paramètre variant de 0 à 1, définissant les différentes vues testées.(pas 0,1)

Les niveaux de confiance paramétriques se traduisent en niveau d’incertitude ; les différentes valeurs

testées sont présentées dans le tableau ci-dessous :

Les différents niveaux d’incertitude paramétrique testés (en point de base)

0,02 0,05 0,07 0,09 0,2 0,5 0,7 0,9 2 5 7 9 20 Tableau 16- Niveaux d'incertitude testés pour le backtesting

Premiers résultats

En faisant varier ces paramètres, nous obtenons donc 143 simulations du taux d’inflation par le modèle

de Black-Litterman. Le graphique ci-dessous présente ces résultats :



Figure 19 - Backtesting de l'inflation par Black-Litterman

Nous allons pouvoir étudier les distances entre les courbes de Black-Litterman et la courbe noire de la

réalité historique en fonctions des deux paramètres. L’objectif est d’étudier la vitesse de convergence

des ces courbes et en déduire un résultat de prévisibilité du modèle de Black-Litterman.

Pour le calcul de la distance, nous pouvons utiliser la norme 2, ou norme euclidienne classique :

Rappelons rapidement cette notion : Dans un espace euclidien de dimension finie, la distance

euclidienne entre deux vecteurs x et y quelconque est égale :

Nous allons dimensionner cette distance par la distance maximale du modèle d’Ahlgrim ; nous allons

donc étudier le paramètre défini comme suit :

Avec :

, la courbe représentant le modèle de Black-Litterman évoluant en fonction des

paramètres ;

, la courbe représentant la réalité historique ;

, la courbe représentant la projection d’Ahlgrim.

L’intérêt de cette transformation permettra d’étudier un paramètre sans dimension évoluant entre 0 et

1. Nous appellerons ce paramètre le « coefficient de qualité » du modèle de Black-Litterman ; plus la

valeur de ce coefficient sera proche de 1 et plus la qualité du modèle sera significative.



Pour une meilleure compréhension, la suite de l’étude va se faire en trois étapes. Nous allons tout

d’abord étudier l’évolution de ce coefficient en deux temps, en faisant varier un seul paramètre à la

fois ; ensuite dans une troisième partie, une conclusion globale sur l’évolution des deux paramètres

sera faite.

Variation du paramètre d’incertitude

Dans cette partie, la vue du gestionnaire est fixée à sa qualité maximale. Le gestionnaire est donc

supposé comme étant extrêmement compétent ; ses vues concordent parfaitement avec la réalité

historique. D’un point de vue formel, le paramètre p définissant les vues est donc égal à 1.

Nous pouvons alors étudier le comportement du modèle de Black-Litterman en faisant varier

uniquement le niveau de confiance. Les niveaux de confiance paramétrique testés dans le modèle sont

ceux du Tableau 16- Niveaux d'incertitude testés pour le backtesting.

Les graphiques ci-dessous résument cette modélisation

Figure 20 - Comportement du modèle de Black- Litterman en fonction du niveau de confiance

Le graphique de gauche présente les différentes projections de l’inflation entre 1986 et 2005 suivant le

niveau de confiance testé. Nous pouvons d’ores et déjà apercevoir une certaine saturation des courbes

près des « courbes intervalles ».

Le graphique de droite illustre l’évolution du coefficient de qualité en fonction du niveau d’incertitude.

La droite rouge représente la valeur du coefficient de qualité du modèle d’Ahlgrim ; par définition il

vaut 0. Nous voyons apparaître une décroissance forte de la courbe verte ; en effet, le modèle de

Black-Litterman devient équivalent au modèle d’Ahlgrim à partir, environ, de 10 points de base

d’incertitude paramétrique. Cette remarque explique donc l’effet de saturation visible sur le graphique

de gauche. Le modèle est très volatil pour des niveaux d’incertitude compris entre 0.2 et 2 points de

base.



Il est cependant important de rappeler que cette étude de qualité se fait sous l’hypothèse du

« gestionnaire compétent ». Si cette hypothèse n’était pas vérifiée, nous pourrions constater qu’un

excès de zèle pourrait avoir un effet nuisible très important sur la projection des taux et des

rendements. Nous devons donc rester prudents sur les niveaux de confiance. La saturation au niveau

de la courbe de la réalité historique n’est alors qu’une conséquence de cette hypothèse ; par contre la

saturation au niveau de la courbe d’Ahlgrim est une réalité du modèle. D’ailleurs, cette dernière

saturation illustre le fait qu’il faut avoir un niveau de confiance conséquent (ou niveau d’incertitude

faible) pour augmenter la qualité du modèle de façon notable.

En d’autres termes, sous nos hypothèses, pour la pratique, un niveau de confiance trop modéré apporte

peu d’intérêt à la projection, il faut que le gestionnaire soit très confiant dans ces vues ; et de ce fait,

l’hypothèse du « gestionnaire compétent » n’est pas à négliger.

Variation du paramètre d’exactitude des vues

Nous allons maintenant supposer un niveau de confiance maximale pour des vues évoluant entre le

modèle de référence d’Ahlgrim et la réalité historique. Cette approche est tout à fait réaliste, si nous

prenons toujours comme exemple l’inflation ; nous pouvons imaginer un communiqué de la BCE

évoquant une baisse notable de ce taux sans dépasser un plancher. L’information peut donc être

considérée comme certaine mais les vues variables

Le niveau d’incertitude paramétrique est donc de 0,02 (vue certaine) point de base et nous ferons

évoluer le paramètre p défini précédemment et définissant les vues.

Les graphiques ci-dessous résument l’expérience

Figure 21 - Comportement du modèle de Black- Litterman en fonction des vues

Les deux graphiques illustrent une évolution linéaire de la qualité du modèle en fonction des vues du

gestionnaire. Cela s’explique par la définition mathématique des vues choisies pour le backtesting ; en

effet après transformation :



La vue est donc bien en linéarité avec le coefficient p, en abscisse du graphique de droite. Le

coefficient de qualité, fonction des vues, conserve ainsi cette linéarité, sous nos hypothèses et par

construction. Le résultat n’est donc pas surprenant.

De plus, sur la graphique de droite, notons que la valeur du coefficient de qualité évolue dans notre cas

entre 0 et 1 ; ceci s’explique par un niveau d’incertitude minimal permettant aux courbes du modèle

de Black-Litterman d’atteindre celle de la réalité historique dans le cas où p = 1. Si le niveau de

confiance n’avait pas été optimal, le coefficient de qualité aurait été majoré par un réel inférieur à 1.

Il est à noter que dans la pratique les vues ne peuvent pas être définies comme suit, le paramètre

étant inconnu. Cette notion de linéarité n’est donc pas une information pertinente pour le modèle.

Cependant cette approche a permis de décomposer le test de Backtesting et ses résultats.

De façon plus général, le véritable paramètre du modèle de Black-Litterman est le niveau d’incertitude

car il garanti la subjectivité et la fiabilité du modèle. Les vues ne sont que des informations.

Variation des deux paramètres

Pour illustrer, de façon globale, l’impact des deux paramètres sur le coefficient de qualité, nous

pouvons illustrer les résultats obtenus par le graphique ci-dessous :

Figure 22 - Evolution du coefficient de qualité en fonction des paramètres

Ce graphique se compose de trois axes x, y et z représentant respectivement l’exactitude de la vue, le

niveau d’incertitude et la qualité du modèle.

Bien évidemment, si nous regardons le graphique « par tranche » sur les axes x ou y, c’est à dire en

fixant un des paramètres, nous retrouvons les graphiques présentés précédemment.



Sur ce graphique nous remarquons premièrement que si le niveau d’incertitude est trop fort, la qualité

reste proche de 0, c'est-à-dire que l’exactitude des vues n’améliore pas le modèle d’Ahlgrim sous ces

conditions. En effet, peu importe la qualité des vues, nous avons vu à l’introduction de ce chapitre que

si l’incertitude des vues est trop forte, le rendement mixte tend à égaliser le rendement de référence du

modèle d’Ahlgrim.

Cependant, pour un niveau de confiance élevé, la qualité des vues impacte de façon notable la qualité

de projection du modèle de Black-Litterman. De ce fait, pour une qualité de vue forte (p =1) et un

niveau d’incertitude faible (inférieur à 5 bp), nous obtenons une qualité de projection maximale.

Enfin, nous pouvons à nouveau constater que seul un niveau d’incertitude très faible apporte un réel

intérêt par rapport au modèle d’Ahlgrim. Une vue excellente avec une incertitude modérée n’apporte

rien au modèle. Par contre, l’exactitude des vues sous un bon niveau de confiance agit de manière très

importante sur le modèle, dans notre cas, ce paramètre agit de manière linéaire par construction, mais

de manière plus générale ; l’impact des vues en termes de pouvoir modificateur du modèle semble fort.

Nous pouvons donc mettre l’accent sur le fait qu’il faut être très prudent sur nos vues si nous mettons

un niveau de confiance élevé ; car si dans ce test l’hypothèse « gestionnaire compétent » est vérifiée, la

réalité est plus complexe et la probabilité de s’éloigner de la réalité par le modèle de Black-Litterman

n’est pas nulle.

5.3.3 Conclusion

Le backtesting nous a permis de mieux visualiser l’impact des paramètres du modèle de Black-

Litterman sous une logique de prévisibilité. En particulier, nous avons vu que ce modèle permet, par

ses vues, de se rapprocher de manière concrète de la réalité du marché. Cependant, nous avons pu

constater un effet de saturation sur le modèle de référence pour des niveaux de confiance faibles. En

effet, le modèle ne réagit pas de façon linéaire au niveau de confiance du gestionnaire, soit le niveau

de confiance reste trop faible pour s’éloigner de manière concrète du modèle de référence, soit il est

élevé et l’impact de la vue est alors très important. Il est très difficile de trouver un juste milieu. De ce

fait, pour visualiser une réelle valeur ajoutée au modèle de Black-Litterman, le gestionnaire doit

imposer un niveau de confiance conséquent au risque de se tromper.

De plus, dans ce test nous avons minimisé l’impact de la matrice de variance-covariance pour pouvoir

étudier la sensibilité sur un seul taux ou rendement, ici le taux d’inflation, permettant ainsi de

simplifier le problème Or, dans le modèle de Black-Litterman, cette matrice peut jouer un rôle

prépondérant sur les projections ; en particulier elle impactera grandement les vues à faibles niveaux

de confiance. De ce fait, pour généraliser les résultats, il faut résonner sur la norme des vecteurs

(d’incertitude et d’exactitude) et non sur un des paramètres de ces vecteurs.

Enfin, l’hypothèse du « gestionnaire compétent » est bien sûr utopique ; cependant, il est naturel

d’essayer de s’en approcher le plus. Dans le cadre, d’un modèle bayésien, où le gestionnaire a le

pouvoir de remettre en cause les modèles mathématiques, cette utopie se doit d’être proche de la

réalité.

5.4 Calibrage du modèle

Pour calibrer ce modèle, nous devons étudier le marché tel qu’un gestionnaire financier peut le faire

pour sélectionner ses vues. Dans ce contexte, nous allons mettre l’accent sur les trois taux étudiés :



Taux court terme ;

Taux long terme ;

Taux d’inflation.

Les vues sur les rendements des actions et de l’immobilier seront essentiellement basées sur la

situation actuelle.

Par ce biais, les rendements financiers des actions et de l’immobilier seront donc impacter par la

matrice de covariance et d’autant plus si la confiance des vues sur les rendements est faible.

Suivant la nature de la vue, les justifications peuvent être très différentes ; cela peut être une politique

monétaire, des études, etc. Plus précisément, concernant l’inflation nous allons nous baser sur les vues

de la BCE à moyen terme, alors que pour les taux court terme et long terme, nous allons faire une

succincte étude de marché.

Pour ce qui est de la matrice de confiance, établissant les niveaux d’incertitudes, nous pouvons nous

baser sur la variance historique des données de Friggit sur une période de 3 ans pour établir

l’incertitude paramétrique.

La matrice ci-dessous présente la matrice de variance-covariance pour un historique de 3 ans :

Covariance Action Immobilier Taux court Taux long Inflation

Action 527,87 BP 65,18 BP -10,52 BP -10,15 BP -0,37 BP

Immobilier 65,18 BP 8,83 BP -1,63 BP -1,53 BP 0,00 BP

Taux court -10,52 BP -1,63 BP 0,38 BP 0,30 BP -0,04 BP

Taux long -10,15 BP -1,53 BP 0,30 BP 0,31 BP 0,01 BP

Inflation -0,37 BP 0,00 BP -0,04 BP 0,01 BP 0,03 BP

Tableau 17 - Matrice de variance-covariance historique court terme des actifs

5.4.1 Vue sur le taux d’inflation

D’après les informations obtenues sur le bulletin mensuel de Janvier 2010 de la BCE, cette dernière

s’engage à maintenir le taux d’inflation à proche de 2%. En effet, ce rapport énonce ceci : « dans ce

contexte, il est important de souligner une fois encore que les anticipations d’inflation à moyen et long

termes demeurent solidement ancrées à un niveau compatible avec l’objectif du Conseil des

gouverneurs de maintenir l’inflation à des taux inférieurs à, mais proches de 2 % à moyen terme ».

Cette vue peut être considérée comme certaine ; nous allons donc utiliser sa variance court terme très

faible comme degré d’incertitude. En effet, la politique monétaire de la BCE sur l’inflation agit déjà

depuis quelques années.

Nous allons donc projeter le taux d’inflation par la méthode de Monte-Carlo en appliquant le calcul du

rendement mixte de Black-Litterman. Les résultats sur la distribution de la simulation de Monte-Carlo

se trouvent dans l’annexe 3. De plus, l’erreur relative à 95% de ces simulations est de 0,26 BP en

moyenne sur les 30 ans de projections, le nombre de simulation et donc bien suffisant (cf. 2.6.3).

Le graphique ci-dessous illustre ce résultat pour une projection sur 30 ans pour 10 000 simulations. A

titre d’information, un intervalle de confiance ainsi que la projection d’Ahlgrim y sont aussi présentés.



Figure 23 – Projection du taux d’inflation selon Black-Litterman

Le modèle de projection de l’inflation selon Ahlgrim était en complet décalage avec les réalités

monétaires imposées par la BCE. Le modèle de Black-Litterman a permis de le corriger de manière

simple et radicale. Ce résultat impactera naturellement sur les autres projections par la matrice de

variance-covariance.

De plus, par le faible niveau d’incertitude de la vue, nous constatons que l’intervalle de confiance de

l’estimation de Monte Carlo s’est très réduit. En effet, nous pouvons comparer les résultats obtenus à

ceux de l’Annexe 1 sur l’inflation. Il y a donc une réduction sensible de la variance grâce au calcul du

rendement mixte. De ce fait, l’erreur d’estimation de Monte-Carlo, étant une fonction croissante de la

variance de l’estimateur est réduite de façon notable.

5.4.2 Vues sur les taux court terme et long terme

Pour déterminer les vues sur les taux court terme et long terme, nous pouvons étudier tout d’abord leur

évolution 2010. Nous allons visualiser l’évolution historique de 5 taux d’intérêt :

EONIA et EURIBOR 3 mois pour les taux courts ;

Taux SWAP 2 ans, 5 ans et 10 ans pour les taux longs.

Le graphique ci-dessous présente cette évolution du 04 Janvier 2010 au 04 Mai 2010.



Figure 24 - Evolution 2010 des taux court terme et long terme

Sur ce graphique, nous constatons que les taux court terme sont relativement stables. Par contre, les

taux long terme ont une tendance baissière ; en effet, sur la première moitié de l’année 2010, les taux

long terme on baissé d’environ 5 %.

Pour établir les vues, il est intéressant de se pencher sur les points de vue d’experts que nous pouvons

trouver dans la littérature ou dans certain rapport mensuel.

Cependant, actuellement, la situation est bien particulière ; nous sommes sortis d’une crise financière

mais nous entrons certainement dans une crise économique. Ainsi, les vues sur les taux d’intérêt sont

très incertaines. Nous pourrions tout de même penser que la situation économique désastreuse de

certains pays européens tels que la Grèce va entrainer une hausse des taux d’intérêt, mais à quel

point ?

Dans le cadre de cette étude, nous allons tout de même émettre des propositions à titre illustratif.

Concernant les taux court terme, nous pouvons envisager une vue court terme de 2%. Pour les taux

long, la remontée est aussi fort probable, nous prendrons donc une vue de 3%. Le niveau d’incertitude

sera celui de la volatilité court terme de ces deux taux.

Nous pouvons donc projeter par le calcul du rendement mixte les taux court terme et long terme. Nous

utilisons, pour cela, à nouveau, la méthode de Monte-Carlo. Les résultats sur la distribution de cette

simulation se trouvent dans l’annexe 3. De plus, l’erreur relative, à 95%, de ces simulations est 3,29

BP pour les taux court et de 1,63 BP pour les taux long en moyenne sur les 30 ans de projections, le

nombre de simulation et donc bien suffisant (cf. 2.6.3).

Les deux graphiques ci-dessous présentent les nouveaux résultats de projection des taux sur 30 ans

pour 10 000 simulations de Monte-Carlo avec leur intervalle de confiance. A titre comparatif, la

projection d’Ahlgrim figure aussi sur ces graphes :



Figure 25 - Projection du taux court terme et long terme selon Black-Litterman

Nous constatons que le modèle de Black-Litterman a projeté les taux d’intérêt en majorant ceux

d’Ahlgrim pour chaque année de projection. Ces résultats sont dût majoritairement à l’impact de la

matrice de covariance sur les projections. De plus, ce modèle a permis de réduire légèrement la

variance de l’estimateur (cf. Annexe 1) est donc de réduire l’erreur associée à la simulation de Monte-

Carlo.

5.4.3 Vues sur le rendement des actions et de l’immobilier

Les vues sur le rendement des actions et de l’immobilier seront peu détaillées dans le cadre de cette

étude. Nous allons nous baser sur la situation actuelle et garder le niveau de confiance lié à leur

volatilité court terme, niveau de confiance donc faible. Par ce bais, la matrice de variance-covariance

aura un impact non négligeable et permettra aux rendements de suivre une évolution cohérente avec

l’évolution des taux d’intérêt et de l’inflation.

Les vues choisies seront donc 8% pour les actions et de 8,5% pour l’immobilier.

La méthode de Monte-Carlo nous permet de projeter le rendement mixte des actions et de

l’immobilier. Nous pouvons retrouver les résultats de la distribution de la simulation dans l’annexe 3.

De plus l’erreur relative de ces simulations à 95% est 31,82 BP pour les actions et de 10,15 BP pour

l’immobilier (cf. 2.6.3).

Le graphique ci-dessous présente les résultats d’une projection sur 30 ans ainsi que leur intervalle de

confiance pour 10 000 simulations de Monte-Carlo. A titre comparatif, la projection d’Ahlgrim y est

aussi présentée.



Figure 26 - Projection des rendement des actions et de l'immobilier selon Black-Litterman

Nous remarquons que le rendement de l’inflation impacte beaucoup sur le rendement des actions

d’Ahlgrim tandis que le rendement de l’immobilier n’est quasiment pas modifié. Tous ces résultats

sont un équilibre entre les vues choisies, le niveau de confiance estimé et les différentes covariances

entre les variables.

Concernant la modélisation de Monte Carlo, nous constatons que le niveau d’incertitude élevé sur les

vues n’a pas permis de réduire l’intervalle de confiance du rendement de référence visible

graphiquement dans l’annexe 1. Il n’a donc aucun apport positif par le modèle de Black-Litterman

mais non plus aucune dégradation de la qualité des simulations.

5.4.4 Conclusion

La situation économique actuelle rend le modèle bayésien très difficile à calibrer mais elle justifie

d’autant plus l’utilisation de ce type de modèle. En effet, comment un modèle mathématiques tel que

celui du modèle d’Ahlgrim pourrait prendre en compte les mouvements abrupts d’évolution des taux

dans un contexte de crise ou une politique monétaire déterminée ?

Le modèle du rendement mixte nous a donc permis de modéliser les différents taux et rendements en

tenant compte des réalités à long terme par le modèle d’Ahlgrim et des réalités à court terme par les

vues économiques. Les résultats obtenus sont donc plus cohérents avec la situation économique

européenne à moyen terme (sous l’hypothèse que les vues restent fiables un certains temps).

Cependant, on peut rester très critique quant aux résultats. En effet, nous pouvons nous interroger sur

la pertinence de certains paramètres tels que la qualité des vues, les niveaux de confiance ou les

matrices de covariance court terme et long terme. En effet, le dernier paramètre dépend de l’historique

sélectionné et il n’a pas fait l’objet d’une étude approfondie dans ce mémoire.



6 Conclusion de la partie 1

Dans cette partie, nous avons projeté de façon bayésienne les principales caractéristiques du marché :

Taux d’inflation ;

Taux à court terme ;

Taux à long terme ;

Rendement des actions ;

Rendement de l’immobilier.

L’approche bayésienne nous a permis de rendre les projections plus représentatives du marché

européen ; nous pouvons penser plus particulièrement à l’inflation. De plus, il est facile de comprendre

l’intérêt d’un tel modèle. La conception et le calibrage d’un modèle stochastique tel que celui

d’Ahlgrim se comptent en mois ; il est donc utile de pourvoir réajuster rapidement les projections aux

dernières informations économiques par des vues à court terme du gestionnaire.

Les résultats obtenus illustrent de façon concrète cette idée ; cependant, nous pouvons être critiques

quant aux résultats qui restent très académiques. En particulier, dans un cadre plus opérationnel, nous

pourrions nous interroger plus précisément sur le choix de l’historique pour les différents calibrages et

en particulier, sur le choix de la matrice de variance-covariance.

De plus, la projection de l’inflation par le modèle stochastique de référence aurait, peut-être, pu être

plus proche de la réalité. Ceci aurait, sans doute, permis une approche bayésienne plus subtile.

Enfin, une étude sur la réduction de la variance de l’estimateur dans le cadre de Monte-Carlo par

l’approche bayésienne pourrait être intéressante à développer.

La seconde partie de l’étude va permettre d’appliquer le résultat obtenu dans une gestion Actif / Passif.



PARTIE 2

Application du modèle bayésien à une gestion Actif-

Passif



1 Introduction de la partie 2

Cette partie a pour objectif d’appliquer de façon concrète, les résultats obtenus dans la partie I à une

gestion Actif-Passif. De ce fait, le modèle de projection des actifs est celui de Black-Litterman.

Dans le cadre de solvabilité II, les actifs sont projetés en valeur de marché et le passif en Best-

Estimate.

Une gestion Actif / Passif et en particulier la recherche de l’allocation optimale peut se résumer en

quatre points :

Définition des classes d’actifs ;

Définition de la règle de gestion ;

Définition des contraintes ;

Définition de la fonction objectif.

Ces points sont développés tout au long de cette partie.

De plus, l’allocation optimale est recherchée en comparaison d’une allocation centrale définie par un

gestionnaire indépendant.

Cette partie se décompose donc en quatre points :

Présentation des objectifs ;

Présentation du Passif ;

Présentation d’Actif et de l’allocation centrale ;

Détermination de l’allocation optimale.



2 Contexte et objectif de la gestion Actif-Passif

2.1 Contexte

Il est essentiel de contrôler la probabilité de ruine d’une société. Il y a ruine lorsque le total du passif

(c’est-à-dire les engagements de l’assureur envers ses assurés) est supérieur au total de l’actif.

Dans le cadre de Solvabilité 2, nous pouvons parler de besoin en capital, c’est-à-dire le capital

nécessaire pour que la probabilité de ruine de la compagnie soit inférieure à un seuil de confiance

donné sur un horizon donné.

Cependant, cette étude ne se fait pas exactement dans ce cadre. En effet, Solvabilité 2 exige un seuil de

confiance estimé par une probabilité de ruine inférieure ou égale à 0.5% pour un horizon de seulement

1 an. Sans remettre en cause la pertinence prudentielle de ces exigences, nous pouvons nous interroger

quant à la pertinence concrète d’une politique de gestion d’une compagnie d’assurance-vie à un

horizon d’un an. En effet, pouvons-nous réellement interpréter comme dangereux le fait que l’Actif

soit inferieur au Passif au bout d’un an pour des contrats d’assurance-vie qui ont une durée en général

supérieure à 15 ans ? N’est-ce pas, au contraire, une vision biaisée de l’activité assurantielle, dont

certaines garanties dépassent parfois le demi-siècle ? De plus, de nombreuses garanties courtes,

annuelles par exemple, sont renouvelées régulièrement, donnant ainsi une grande stabilité aux passifs

concernés.

Cette approche est un choix important pour la recherche de l’allocation optimale. Nous savons que les

actifs les plus risqués à court terme deviennent les moins risqués à long terme. Si nous regardons les

études de variabilité du prix des actions, des obligations et du monétaire au court du temps, nous

voyons alors apparaitre une inversion des courbes les unes par rapport aux autres. Si à l’instant initial,

les actions ont une variabilité plus forte que les obligations et le monétaire, au bout de 50 ans, le

monétaire à une variabilité plus forte que les obligations et les actions. Le graphique ci-dessous illustre

cette idée :

Figure 27 – Comparaison de la variabilité des actifs au cours du temps

De ce fait, cette étude a pour objectif de chercher une allocation optimale en terme de couverture

rationnelle à des contrats d’assurance-vie long terme.

1 an 50 ans

Illustration de la variabilité du prix des actifs au cours du temps

Actions Obligations Monétaire



2.2 Objectifs

L’objectif de l’allocation optimale sera de majorer la valeur de l’actif net (NAV) sous la contrainte

d’une probabilité de ruine inférieure à 0,5% sur la durée complète du contrat. Nous allons détailler de

façon plus précise cette fonction objectif.

2.2.1 Probabilité de ruine

Nous allons étudier la probabilité de ruine sur 15 ans pour être le plus en accord avec une gestion Actif

/ Passif de contrats d’assurance vie.

D’un point de vue formel, il faut pour cela étudier la valeur de l’actif net à tout instant t :

Avec :

l’actif net au temps t

la valeur de l’actif au temps t

la valeur du passif au temps t

Notons η l’instant où la ruine se produit, η est alors un temps d’arrêt associé à une filtration

liée à l’ensemble de l’information disponible à cet instant. Formellement, cela se note :

Ce problème n’admet, en général, aucune solution analytique. Cependant, il est alors possible de

déterminer la probabilité de ruine par la technique de Monte-Carlo. En effet, si nous posons la

probabilité de ruine maximale admissible et θ l’allocation testée par Monte-Carlo, le problème

d’optimisation est alors :

La technique de Monte Carlo permet de résoudre ce problème. La formule de l’estimateur empirique

de la probabilité peut donc être donnée par cette formule (cf. Planchet et al. [2005]) :

Avec :

N le nombre de simulations ;

T le nombre d’années du contrat d’assurance ;

la valeur de l’actif net de la simulation n et de l’année T.

Cette méthode peut être appliquée dans le cas où la projection de Black-Litterman n’a pas réduit la

variance des estimateurs de Monte-Carlo des actifs risqués. Or, c’est bien le cas dans notre étude.

De manière plus générale, l’approche bayésienne permet d’utiliser cette méthode de calcul. En effet,

les niveaux de confiance sont fonction de la volatilité des actifs, il n’a y a donc pas de réduction de la

variance de l’estimateur pour les actifs risqués.



Notons quelques remarques supplémentaires sur cette optimisation :

1. La ruine qui est ici présentée, prend en compte la durée complète du contrat d’assurance ; il ne

s’agit donc pas de la ruine au sens de Solvabilité 2 qui exige une fréquence annuelle de la

probabilité de ruine.

2. Nous somme en présence d’une approche comptable de la probabilité de ruine. Il s’agit, ici,

d’évaluer la probabilité que l’actif n couvre plus le passif. Il existe d’autres ruines.

a. Les ruines économiques où l’on souhaite maintenir un actif positif, soit le temps

d’arrêt ci-dessous:

b. Les ruines réglementaires où l’on souhaite maintenir un actif supérieur à un certain

pourcentage du passif, soit le temps d’arrêt ci-dessous:

2.2.2 Critère de maximisation de l’actif net

La fonction objectif à maximiser sera le NAV (Net Asset Value). D’un point de vue formel, nous

recherchons donc :

Avec :

, le temps de projection ;

l’allocation testée ;

, le taux d’actualisation à chaque date i ;

, la valeur de l’actif net à la date i, , avec :

, la valeur de l’actif à la date i ;

, la valeur du passif à la date i.

2.2.3 Critère de la duration de l’actif face à la duration du passif

La duration au sens de Macaulay se calcule comme suit :

Avec:

, l’intervalle de temps en années séparant deux flux consécutifs ;

, le flux de la période i ;

, le taux d’actualisation ;

Dans le cadre de la gestion Actif / Passif, la duration est une bonne indicatrice du risque de couverture.

En effet, la duration de l’actif doit être systématiquement inférieure à la duration du passif, car, en cas

de baisse des taux d’intérêt au cours de la vie des titres obligataires de couverture, le gain acquis sur



ceux-ci sera supérieur à la perte encourue sur le passif. Il est donc un indicateur de la couverture sur le

risque de taux.

Notons que pour les titres obligataires de couverture, la duration peut être exprimée en fonction du

prix de ces deniers. Si, nous notons P, le prix d’une obligation de maturité T, alors nous avons les

relations suivantes :

Donc,

Avec :

, la sensibilité de l’obligation ;

, la duration de l’obligation.

Finalement,

La duration peut donc être interprétée de manière physique (comme beaucoup de systèmes de

mathématiques financières), comme étant l’opposé de l’élasticité du prix d’une obligation au taux

actuariel.

2.3 Conclusion

Pour sélectionner l’allocation optimale, il faut donc calculer la probabilité de ruine et donc calculer

l’actif net pour les différentes allocations. Nous allons donc étudier brièvement le passif et ses

caractéristiques qui dépendent classiquement de la performance financière de l’actif de couverture

sous la forme d’une participation au bénéfice. Dans un second temps, nous allons étudier les actifs de

couverture et le résultat de l’allocation centrale. Enfin, nous pourrons présenter les résultats de

l’allocation optimale suivant les différentes hypothèses de la recherche.



3 Présentation des flux du passif

Pour un désir de respect du caractère confidentiel du contrat d’assurance-vie représentant le passif, les

informations ci-après seront volontairement non explicites. Cependant, cette remarque n’entachera en

rien le caractère illustratif du modèle de gestion d’Actif-Passif.

Dans un premier temps, nous allons étudier les spécificités du contrat de façon très générale ; ensuite

nous allons présenter les méthodes de calculs des engagements, suivant les différentes garanties.

Dans cette étude, le passif ne représente que des « input » pour la présentation d’une gestion Actif-

Passif. De ce fait, peu de détails techniques seront présentés.

3.1 Descriptif du contrat d’assurance-vie

Le passif est composé de trois garanties :

Les garanties de Capitaux statutaires ;

Les garanties Décès ;

Les garanties Epargne.

Nous pouvons discerner deux types de scénario pour les différentes évolutions possibles de la

sinistralité des garanties proposées. On distingue ainsi les scénarios dits « en groupe fermé » dont le

but est de projeter les résultats sous l’hypothèse qu’il n’y a plus de nouvelles adhésions à la garantie,

et les scénarios dits « en groupe ouvert » dont le but est d’étudier les résultats sous des hypothèses

cohérentes et objectives d’évolution de l’activité.

Nous étudierons brièvement les différentes garanties.

3.1.1 Les garanties de Capitaux statutaires

Pour ce type de garantie, l’institution assurantielle verse un capital en cas de décès de l’adhérent, en

contrepartie de primes payées annuellement. Ces garanties sont considérées comme viagères à partir

du départ en retraite, ce qui signifie qu’il est supposé que tous les retraités souscrivent au capital

statutaire jusqu’à leur décès.

Le scénario choisi pour l’évaluation de cette garantie est le scénario en « groupe ouvert ». La table de

mortalité utilisée est la table TH002 et la résiliation de contrat est impossible.

Le graphe présente l’évolution des cotisations et des prestations projetées sur une période de 28 ans.



Figure 28 - Évolution des cotisations et des prestations en « groupe ouvert »

Deux informations ressortent clairement de ce graphique. L’arrivée de nouveaux entrants entraîne une

évolution croissante des prestations mais elle permet de stabiliser l’évolution des primes par un

système de remplacement des cotisants.

3.1.2 Les garanties Décès

Les garanties Décès fonctionnent sur le même principe que les garanties de capitaux statutaires.

L’institution assurantielle propose à ses adhérents des prestations versées en cas de décès de l’adhérent

en contrepartie de primes payées annuellement ; elle a souscrit des contrats collectifs auprès de deux

caisses qui offrent de telles garanties.

Pour cette garantie, nous sommes en scénario en « groupe fermé ». La table de mortalité choisie est la

TH002 et à nouveau la résiliation de contrat est impossible.

Les deux graphiques suivants présentent l’évolution des prestations et des cotisations sur une période

de 28 ans pour les deux caisses.

Figure 29 - Évolution des cotisations et des prestations de la première caisse



Figure 30 - Évolution des cotisations et des prestations de la seconde caisse

Nous constatons pour ces deux graphiques un écart certain entre les prestations à verser et les

cotisations qui seront reçues.

Nous pouvons constater que pour ces deux contrats d’assurance vie, les prestations ne dépendent pas

du rendement financier des actifs de couvertures. Dans ce cas, pour ne pas être en ruine, il suffirait de

majorer le total du passif projeté par le rendement projeté des actifs de façon totalement indépendante.

Cette approche est bien-sûr peu intéressante pour une gestion Actif-Passif.

La dernière garantie est justement plus complexe et fait intervenir une participation au bénéfice sur le

taux servi. Ce contrat va permettre de rendre l’approche de la gestion Actif-Passif plus interactive

entre l’Actif et le Passif.

3.1.3 Les garanties Epargne

Le produit Epargne est un produit d’épargne en euros dans lequel l’institution assurantielle a revalorisé

ces dernières années les cotisations des adhérents à un taux de 3,50 % (taux minimum garanti sur un

an de 60 % du TME, et de la participation aux bénéfices sous déduction du taux minimum garanti et

au moins égal à 85 % des résultats de la gestion financière et à 90 % des résultats techniques).

Les hypothèses de projection des flux du passif sont construites en analysant la structure et l’évolution

de la population assurée entre 2006 et 2007 et entre 2007 et 2008. L’analyse des effectifs des

adhérents a montré une réduction de la population assurée de l’ordre de 2,5 %. Conformément à ce

constat, les projections sont assimilables à des projections en « groupe fermé » et la méthode

consistera à déterminer la probabilité qu’un assuré sorte du portefeuille. Cette probabilité appelée, par

la suite, taux de sortie dépendra de l’ancienneté dans le portefeuille.

Le tableau ci-dessous présente les taux de sortie en fonction de l’ancienneté des assurés.



Ancienneté Taux de sortie

de 1 à 5 ans 0,00%

de 6 à 10 ans 1,87%

de 11 à 15 ans 2,51%

de 16 à 20 ans 1,66%

de 21 à 25 ans 2,62%

de 26 à 30 ans 5,57%

supérieure à 30 ans 15,92% Tableau 18 - Evolution des taux de sortie en fonction de l'ancienneté

Enfin, le taux de rachat est de 50%.

Par définition du contrat, les prestations dépendent directement du rendement financier et il est donc

impossible de projeter cette information pour l’instant.

3.2 Méthode de calcul des engagements envers les assurés

Les trois garanties présentées ci-dessus sont projetées de façon différente. Cependant, dans les trois

cas, il s’agit d’un calcul de « Best Estimate » auquel on rajoute une marge de risque.

Le « Best Estimate » est égal à la valeur actuelle attendue de tous les futurs flux de trésorerie

potentiels (moyenne pondérée en fonction des probabilités des résultats distributionnels), basée sur des

informations actuelles et crédibles, compte tenu de toutes les informations disponibles et conformes

aux caractéristiques du portefeuille assuré.

La marge pour risque représente le coût dont l’assurance aurait besoin pour que le montant de ses

fonds propres soit suffisant au sens où le capital de solvabilité requis puisse faire face à tous ses

engagements. Dans notre cette étude, on la supposera nulle.

Dans un premier temps, nous allons présenter le calcul du « Best Estimate » pour les garanties Capital

et Décès. Dans un second temps, nous pourrons présenter le calcul du « Best Estimate » pour la

garantie Epargne.

3.2.1 « Best-Estimate » pour les garanties capitaux statutaires et capitaux décès

L’estimation des ces deux garanties est relativement simple. En effet, il s’agit d’une somme actualisée

des flux de prestations nettes de cotisations. Le taux d’actualisation utilisé est le taux long terme

moyen modélisé par les modèles de projection des actifs étudiés précédemment. De ce fait, dans le

cadre de cette étude, ce taux dépend à la fois du modèle de projection d’Ahlgrim mais aussi des vues

du gestionnaire par le modèle de Black-Litterman.

D’un point de vue formel, le calcul de ce « Best-Estimate », sera noté pour tout instant t, et il se

calcul comme suit :

Avec :

, le total des prestations versées aux assurés l’année t+j ;



, l’ensemble des cotisations versées par les assurés l’année t+j ;

, le taux moyen long terme modélisé pour l’année de projection t+j.

A nouveau, le calcul de ce « Best Estimate » nous illustre l’indépendance complète des garanties

Capital et Décès vis-à-vis des rendements financiers des actifs de couverture.

3.2.2 « Best-Estimate » pour la garantie Epargne

Le « Best Estimate » de la garantie Epargne se calcule par somme des provisions mathématiques

individuelles.

Ces provisions mathématiques du contrat sont calculées suivant une approche rétrospective qui vise à

capitaliser les primes investies par les assurés, nettes des rachats effectués, au taux de revalorisation

accordé en application des clauses contractuelles.

Les primes et les rachats sont issus des résultats des projections du passif.

En pratique, le taux de revalorisation retenu est le maximum entre le taux minimum garanti (égal à 2,5

%) et 85 % du rendement financier moyen. C’est donc un taux mensuel de capitalisation, la formule

qui suit permet de le calculer :

Avec :

, le rendement financier moyen entre la période t-1 et t par projection du portefeuille

d’actif de couverture.

Nous pouvons donc estimer l’épargne acquise à tout instant t, notée , par la formule de

récurrence suivante :

Avec :

, le nombre de parts au mois t (valeur de la part 1€) ;

, le taux de chargement contractuel, 3,5% ;

, le rachat du mois t effectué en début de période ;

,

La définition du taux de capitalisation fait donc intervenir les rendements des actifs de couverture.

Cette particularité rend la gestion Actif-Passif interactive. En particulier, lors de la recherche de

l’allocation optimale, le calcul de la garantie devra être effectué pour chaque allocation testée pour

déterminer la valeur de l’actif net puis la valeur de la probabilité de ruine.



4 Présentation des actifs de couverture et de l’allocation centrale

Dans cette partie, nous allons présenter les actifs de couverture du passif ainsi que les résultats de la

couverture obtenus avec une allocation centrale. Cette dernière, que nous allons présenter par la suite,

est celle obtenue par un portefeuille d’actifs financiers sélectionnés par un gestionnaire indépendant.

Elle aura pour fonction d’être « un benchmark illustratif » lors de la recherche de l’allocation optimale.

De ce fait, nous ne détaillerons pas la stratégie d’un tel portefeuille car on le suppose imposer.

4.1 Portefeuille de couverture

Le tableau ci-dessous présente le portefeuille de couverture sélectionné par le gestionnaire financier :

Classe d’actifs Valeur de marché Allocation

Action 6 601 040 € 8%

Immobilier 1 044 728 € 1%

Obligation d’entreprise 33 590 116 € 42%

Obligation d’Etat 6 588 124,€ 8%

Diversifié 2 505 063 € 3%

Monétaire 27 024 378 € 34%

Autre 2 024 926 € 3%

Total 79 378 375 € 100% Tableau 19 - Portefeuille de l'allocation centrale

La particularité première de ce portefeuille est la part importante des actifs monétaires au détriment

des actifs obligataires. En effet, il est souvent plus intéressant de redistribuer sa trésorerie sur le

marché obligataire pour obtenir un rendement financier plus important.

4.2 Hypothèse sur la projection des actifs

Les actifs sont projetés par le modèle du rendement mixte de Black-Litterman développé dans la partie

précédente. Nous rappelons que le modèle de référence des projections des taux et des rendements est

celui d’Ahlgrim.

Les actifs sont projetés en valeur de marché.

Nous allons donc détailler les hypothèses de projections par classes d’actifs :

4.2.1 Les actions

Les actions sont projetées directement à leur valeur boursière d’origine et au taux de rendement des

actions déterminé par le modèle de Black-Litterman (cf.5.4.3).

4.2.2 L’immobilier

L’immobilier est projeté directement à leur valeur boursière d’origine et au taux de rendement de

l’immobilier déterminé par le modèle de Black-Litterman (cf.5.4.3).



4.2.3 Les obligations

Le prix des obligations sera déterminé par la projection des zéro-coupon nominaux estimés par le

modèle de Black-Litterman.

La stratégie d’investissement retenue pour la projection des obligations consiste à vendre puis à

acheter l’obligation de maturité identique. Les prix des obligations sont projetés « coupon inclus ».

Ainsi, partant d’une obligation de maturité M à l’instant t, on vend cette obligation à t+1 puis on

investit la somme récoltée et la valeur du coupon dans une obligation de maturité M.

Pour les obligations Corporate, une probabilité de ruine, déterminée historiquement, est incorporée

dans les modélisations.

4.2.4 Le monétaire

Les actifs monétaires sont capitalisés en valeur de marché par la courbe des taux court terme

modélisés.

4.2.5 Les actifs diversifiés

L’approche est identique à celles des actions ; les actifs diversifiés sont projetés en valeurs boursières

au rendement modélisé par le modèle de Black-Litterman.

4.2.6 Les autres actifs

Les autres actifs sont projetés en déterministe, en capitalisant leurs valeurs boursières par la courbe

des taux courts modélisé par le modèle de Black-Litterman.

4.3 Résultats de la couverture par l’allocation centrale

Dans cette section, nous allons présenter les différents résultats de la couverture du passif par

l’allocation centrale.

Dans un premier temps, il convient de projeter les actifs en valeur de marché. Ensuite, la valeur du

rendement financier va nous permettre de projeter le passif en Best-Estimate. Enfin, nous pourrons

étudier la valeur de l’actif net, du taux de couverture et de la probabilité de ruine sur 15 ans.

De plus, il convient de s’assurer de la duration de l’Actif face à la duration du Passif.

4.3.1 Projection de l’actif et du passif

Les graphiques ci-dessous présentent les projections de l’Actif en valeur de marché et du passif en

Best Estimate sur 15 ans en base 100 :



Figure 31 - Projection de l'actif et du passif sous l'allocation centrale

Les résultats sont obtenus pour 10 000 simulations de Monte-Carlo grâce au modèle de projection des

taux et des rendements bayésiens de Black Litterman.

Nous constatons que la croissance de l’actif est plus importante que la croissance du passif. De plus,

visiblement le ratio de couverture reste strictement supérieur à 100%.

4.3.2 Projection du ratio de couverture

Nous rappelons que le ratio de couverture correspond au ratio du total de l’Actif et du total du Passif :

Le graphique ci-dessous présente l’évolution du ratio de couverture après actualisation des flux sur 15

ans :

Figure 32 - Projection du ratio de couverture sous l'allocation centrale



Nous constatons que le taux de couverture est constamment supérieur à 100% et strictement croissant.

De plus, au bout de 8 ans le rendement des actifs les plus risqués tels que les actions permet une

couverture plus importante et une croissance accélérée De ce fait, la couverture du passif par l’actif est

bonne de ce point de vue.

De plus la duration du passif décroît de 14 ans à 10,5 ans sur les 15 années de projection. Alors que

celle de l’actif reste très stable autours de 1,7 ans. Cette situation est donc très peu risquée de ce point

de vue.

4.3.3 Projection de l’actif net

Nous pouvons dorénavant nous interroger sur la valeur de l’actif net actualisé, c'est-à-dire la différence

entre l’actif actualisé et le passif actualisé. Le graphique ci-dessous illustre l’évolution de la moyenne

de Monte-Carlo sur 15 ans.

Figure 33 - Projection de l'actif net sous l’allocation centrale

Nous constatons deux phases ; la première est une phase de stabilité tandis que la seconde est une

phase de croissance très forte, toujours, du fait des rendements forts des actifs risqués.

Globalement, environs 80% des actifs de couverture sont considérés comme non risqués. Il est certain

qu’un tel portefeuille entraine un risque de solvabilité très proche de zéro. Nous pouvons donc

l’optimiser en tant que portefeuille de couverture d’un contrat d’assurance vie sous contrainte.

En effet, les calculs nous confirment que la probabilité de ruine est extrêmement faible. Nous

atteignons un risque maximal de 2pb au bout de 9 ans. Nous avons donc une certaine marge de

manœuvre pour maximiser l’actif net sur une probabilité de ruine majorée à 0,5%

La suite de l’étude a donc pour vocation de déterminer cette allocation optimale.



5 Détermination de l’allocation optimale

Il existe un grand nombre de méthodes permettant de déterminer l’allocation optimale en fonction des

objectifs. Rappelons que dans notre cas, nous recherchons à maximiser la NAV sous contrainte d’une

probabilité de ruine donnée. L’objectif premier est souvent la réduction du temps de calcul qui est un

problème opérationnel non négligeable lors d’une étude ALM. A titre d’exemple, nous pouvons

présenter deux approches relativement nouvelles dans le monde de l’actuariat avant d’exposer la

méthode retenue pour cette étude. Enfin, dans un dernier point, l’allocation optimale obtenue sera

présenté.

5.1 Introduction à la recherche de l’allocation optimale

Nous présentons ci-dessous rapidement quelques méthodes de détermination d'une allocation optimale

par des techniques avancées de résolution de problèmes d'optimisation non linéaire sous contrainte ;

nous nous restreignons aux techniques de recherche d'un optimum global, les techniques classiques de

recherche d'un optimum local (gradient conjugué et variantes) n'étant pas bien adaptées à notre

problématique. Toutefois, compte tenu de la complexité de mise en œuvre de ces approches, nous

utiliserons dans les illustrations de ce mémoire une approche directe, peu efficace en termes de temps

de calcul mais suffisante pour notre besoin.

5.1.1 Les algorithmes génétiques

Les algorithmes génétiques sont des algorithmes d’optimisation stochastiques basés sur la théorie de

l’évolution introduit par Darwin en 1860 dans son livre intitulé L’origine des espèces au moyen de la

sélection naturelle ou de la lutte pour l’existence dans la nature. L’application de cette méthode au

problème d’optimisation date des travaux de John Langton en 1975.

Nous pouvons illustrer cette approche par ce schéma :

Population Initiale

Evaluation

Génération

Opérateur de mutation Opérateur de croisement

Sélection

Itération Nouvelle population

Evaluation

Figure 34 - Les algorithmes génétiques

Il s’agit de faire évoluer une population de manière aléatoire en caractérisant chaque individu par des

paramètres/chromosomes et en sélectionnant les plus aptes à survivre. Chaque itération caractérise

alors la création d’une nouvelle génération.



Dans une étude ALM, chaque individu est composé de plusieurs gènes égaux à la répartition en

portefeuille des différentes classes d’actifs.

Cependant les algorithmes génétiques restent encore source de controverses :

Rien ne certifie que la solution calculée est optimale ;

Une grande part d’arbitrage sur les différents paramètres peut entacher la robustesse du

modèle général ;

Le temps de calcul peut rapidement devenir titanesque.

Une application concrète de cette méthode est présente dans ALLAG [2008].

5.1.2 Essaim de particule de type PSO (Particle Swarm Optimisation)

Dans le PSO, un essaim de particule explorent l’espace à la recherche d’un maximum globale. Il

convient de définir le déplacement de chaque particule par trois paramètres :

son emplacement ;

l’emplacement où elle a observé la fonction la plus forte (le maximum spécifique) ;

l’emplacement où l’essaim a observé la fonction la plus forte (le maximum de l’essaim).

La connaissance des différents extremums permet une convergence rapide de l’essaim vers le

maximum globale. Il est évident que pour garantir une recherche robuste du modèle, il convient de

répartir l’essaim de manière uniforme dans l’espace.

Cette approche est très intéressante et garantie des temps de calcul relativement faible. Les travaux de

PIERRE [2009] appliquent concrètement cette méthode.

5.1.3 Approche retenue

L’approche retenue pour cette étude est plus classique que les deux précédentes mais assure une

rapidité de mise en œuvre.

Le principe est de construire une matrice d’allocation ou chaque ligne représente une allocation

potentielle et chaque colonne représente les différentes classes d’actifs.

Dans un second temps, pour chaque ligne de cette matrice, une projection de l’actif puis du passif est

effectué par la méthode de Monte-Carlo. Les résultats obtenus (NAV, Probabilité de ruine et duration)

sont alors sauvegardés.

Enfin, il convient alors de sélectionner, de la matrice des résultats, l’allocation optimale suivant nos

critères (maximisation de la NAV, probabilité de ruine inférieure à 0,5% et une duration cohérente).

En accord avec le QIS5, l’allocation obtenue est alors une allocation statique, les allocations

dynamiques étant totalement interdites par les nouvelles normes prudentielles dans le cadre d’une

ALM.



Le schéma ci-dessous résume la méthodologie :

Construction de la matrice

d'allocation

Pour chaque allocation

Projection de l'Actif par

Monte-Carlo

Projection du Passif par Monte-Carlo

Sauvegarde des résultats obtenus

Création d'une matrice des

résultats

Sélection de l'allocation

optimale

Figure 35 - Recherche de l'allocation optimale – approche statique

Nous pouvons noter que cette approche, vis-à-vis de ce qu’il a été vu précédemment ; pourrait être

améliorée dans la perspective d’une mise en œuvre plus efficace.

5.2 Hypothèses et mise en œuvre opérationnelle

Rappelons brièvement les quatre caractéristiques définissant la recherche de l’allocation optimale :

les classes d’actifs ;

les règles de gestion ;

les contraintes ;

la fonction objectif.

La fonction objectif ainsi que les règles de gestion ont été détaillées précédemment. Il nous reste donc

qu’à déterminer les classes d’actifs ainsi que les contraintes imposées.

Dans un second temps, nous présenterons les résultats obtenus.

5.2.1 Les classes d’actifs

Les classes d’actifs choisies sont celles du portefeuille central excepté la classe « Autre actifs ». Nous

avons donc six classes d’actifs :

Action ;

Immobilier ;

Obligation d’Etat ;

Obligation Corporate ;

Monétaire ;

Diversifié.



Cette répartition est relativement classique. Nous pouvons noter la distinction entre les obligations

Corporate avec un risque de défaut et les obligations d’Etat supposées non risquées.

5.2.2 Les contraintes

Deux contraintes peuvent être prises en compte sur les allocations, des contraintes réglementaires et

des contraintes opérationnelles.

Les contraintes réglementaires

Ce type de contraintes se base sur la réglementation assurantielle et en particulier l’article R.312-32 du

code des assurances. Cet article énonce des seuils à ne pas dépasser par classes d’actifs de couverture.

Nous résumons ces contraintes comme suit :

l’ensemble des actions ne doit pas dépasser 65 % de la base de dispersion ;

à l’intérieur de l’enveloppe précédente, les actions d’entreprise étrangère d’assurance et de

réassurance ou de capitalisation n’ayant pas leur siège dans un État de l’OCDE, les actions

non cotées, les titres participatifs des sociétés d’assurance mutuelle, les parts de FCP à risques,

les parts de FCP dans l’innovation et les part d’OPCVM bénéficiant d’une procédure allégée

ne peuvent représenter plus de 10% de la base de dispersion ;

l’ensemble des actifs immobiliers ne doit pas représenter plus de 40 % de la base de

dispersion ;

l’ensemble des prêts et créances est plafonné à 10% de la base de dispersion ;

le montant des primes soultes versées ou reçues pour la mise en place d’un instrument

financier à terme ne doit pas dépasser 0,5% de la base de dispersion ;

une limitation sur la dispersion de ces placements (limitation par émetteur) énoncée par

l’article Article R.212-33.

Les contraintes opérationnelles

Lors de la recherche de l’allocation optimale, il convient de préciser certaines barrières sur la

répartition des actifs. En effet, si stratégiquement nous décidons d’abandonner certaines allocations

pour différentes raisons, l’application de cette stratégie, sous forme de contraintes, permettra de

réduire le temps de calcul lors de la recherche de l’allocation optimale.

Par exemple, nous pouvons d’ores et déjà supprimer les allocations ayant plus de 60% d’actifs

obligataires en portefeuille. En effet, grâce à l’expérience du portefeuille central, nous savons que ce

type d’allocations ne sera pas optimal au sens de la maximisation de l’actif net. Cette contrainte

réduira de 40% le temps de calcul ; ce n’est pas à négliger pour des coûts de calcul se comptant en

heures ou en jours de traitements.

5.2.3 La mise en œuvre opérationnelle

La recherche de l’allocation optimale se déroule en quatre étapes :



Etape 1 : La construction de la matrice des allocations

Cette matrice contient toutes les allocations pour six classes d’actifs avec un pas de 5%. Le pas est un

compromis entre le degré de précision souhaité pour l’allocation optimale recherchée et le temps de

calcul que cette précision demandera.

Une méthode simple pour construire une matrice d’allocations sur le logiciel R, pour n classes d’actifs,

est d’utiliser la fonction « expand.grid » sur les (n-1) classes d’actifs et de déterminer la n-ième

allocation par différence de 100% et de la somme des (n-1) allocations précédemment déterminées

tout en appliquant un test de positivité sur n-ème allocation.

Nous obtenons, finalement, 52 520 possibilités d’allocations pour 6 classes d’actifs avec un pas de 5%.

Etape 2 : Application des contraintes réglementaires et opérationnelles

Si nous devions réellement tester ces 52 520 allocations, le temps de calcul serait ingérable dans le

cadre d’une mission. En effet, n’oublions pas que dans une entreprise tout temps travail à un coût. De

ce fait, il est important d’appliquer toutes les contraintes (réglementaire et opérationnelle) sur cette

matrice avant de lancer les calculs.

Ceci va permettre de réduire la dimension de la matrice des allocations et donc de réduire

sensiblement le temps de calcul.

Par exemple, les contraintes réglementaires sur l’immobilier et sur les actions vont réduire le temps de

calcul de 35%.

Etape 3 : Projection de l’actif net et de la probabilité de ruine

L’objectif de cette étape est de calculer pour chaque allocation sous contrainte la valeur de l’actif net

et de la probabilité de ruine.

Etape 4 : Détermination de l’allocation optimale

Cette dernière étape consiste simplement à sélectionner l’allocation qui a maximisé l’actif net tout en

s’assurant que la probabilité de ruine n’excède pas les 0.5% et que la duration de l’actif reste bien

inférieure à celle du passif.

5.3 Résultats de l’allocation optimale

Cette section a pour objectif de présenter les résultats de l’allocation optimale en comparaison à ceux

de l’allocation centrale.

5.3.1 Caractéristiques de l’allocation optimale

Le tableau ci-dessous présente l’allocation optimale déterminée sous les contraintes réglementaires,

opérationnelles et prudentielles, en comparaison de l’allocation centrale :



Classe d’actifs Allocation centrale Allocation optimale

Action 8% 10%

Immobilier 1% 20%

Obligation d’entreprise 42% 40%

Obligation d’Etat 8% 5%

Diversifié 3% 20%

Monétaire 34% 5%

Autre 3% 0%

Total 100% 100% Tableau 20 - Comparaison : Allocation centrale - Allocation optimale

Nous constatons que la détermination de l’allocation centrale a consisté à rebalancer une grande partie

des actifs monétaires dans des actifs plus risqués (Immobilier et diversifié) apportant un rendement

plus important. Cependant, nous notons que le classe action n’a pratiquement pas été augmentée. En

effet, la contrainte prudentielle d’une probabilité de ruine inférieure à 0,5% ne permet pas d’investir

dans des actifs si volatiles malgré leur rendement très intéressant.

Enfin, remarquons que la répartition des obligations n’a pratiquement pas été modifiée.

5.3.2 Résultats de l’allocation optimale

Le graphique ci-dessous présente l’évolution de la probabilité de ruine sur les 15 années de

projection :

Figure 36 - Evolution de la probabilité de ruine sous l'allocation optimale

Nous constatons que la prise de risque est bien maintenue en dessous du seuil prudentiel de 0,5%. A

titre comparatif, la courbe rouge représente l’évolution de la probabilité de ruine, si nous avions utilisé

le modèle d’Ahlgrim sans ajustement bayésien. On constate que cette allocation n’aurait pas été

acceptée. Cette différence vient certainement des actions. Le modèle de Black-Litterman a augmenté

le rendement des actions pour le même risque et donc, réciproquement, à diminuer le risque pour un

même rendement ; ce modèle a donc permis 10% d’actions dans l’allocation optimale.

Le graphique suivant présente la valeur de l’actif net actualisé en base 100 suivant les deux allocations

(centrale et optimale). L’histogramme inférieur correspond à l’allocation optimale :



Figure 37 - Evolution de l'actif net actualisé sous l'allocation optimale

Nous constatons que l’allocation optimale est bien plus performante que l’allocation centrale. En effet,

au bout de 15 ans, nous obtenons un actif net de 950 (en base 100) alors que l’allocation centrale

n’atteint environ que les 500 (en base 100).

Tous ces résultats ont été obtenus par la méthode de Monte-Carlo pour 10 000 simulations

5.4 Conclusion

Sous l’allocation optimale, les actifs de couverture sont bien plus performants alors que la prise de

risque reste très faible.

De plus, l’étude de la duration de l’actif est aussi très rassurante puisqu’elle évolue de 2 ans à 1,7 ans

alors que celle du passif évolue de 14 ans à 10,5 ans sur les 15 années de projection. Cette dernière

information nous couvre donc de façon concrète contre le risque de taux.

Le graphique ci-dessous présente la duration de l’actif sur 16 ans sous l’allocation optimale :

Figure 38 - Evolution de la duration de l'actif sous l'allocation optimale



Le mécanisme du modèle conditionnant le résultat sur la duration est le choix du portefeuille

obligataire choisi par un gestionnaire indépendant. Dans cette étude, ceci m’est donc imposé.

Enfin, la figure présentant la probabilité de ruine met en avant l’impact du modèle bayésien dans la

recherche de l’allocation optimale. Visiblement, les résultats auraient été différents selon le modèle

d’Ahlgrim sans ajustement bayésien. Le modèle ajusté par les vues est donc moins prudent sous nos

hypothèses.



6 Conclusion de la partie 2

Cette étude intervient dans un cadre particulier marqué par l’adoption d’une nouvelle règle

prudentielle au niveau de l’Union européenne (Solvabilité II), et par les évolutions mouvementées des

marchés financiers engendrées par la crise financière de fin 2008.

Nous avons effectué une projection de l’actif et du passif, par le modèle bayésien développé dans la

partie I, dans l’objectif de maximiser l’actif net sous une probabilité de ruine déterminée. Cette

approche a permis de rester globalement dans le cadre de solvabilité II, mais surtout, nous avons pu

prendre en compte la particularité du passif, présentant une participation au bénéfice et rendant ainsi

l’ALM interactive.

Cependant, n’oublions pas que la projection des actifs se fait globalement dans un univers risque

neutre. En particulier, la prime de risque liée à la volatilité des obligations n’est pas prise en compte.

Enfin, nous pouvons noter que le modèle bayésien a impacté de façon notable la recherche de

l’allocation optimale. Le fait d’avoir baissé, principalement, l’inflation à 2 % avec un grand niveau de

confiance a réduit l’estimation du risque. Cette remarque met l’accent sur le pouvoir du gestionnaire

par l’utilisation de modèle bayésien. Un tel modèle doit donc rester entre les mains d’experts.



Conclusion générale

Dans le cadre de cette étude, nous avons développé une gestion Actif / Passif avec une projection des

actifs de façon stochastique et bayésienne. L’approche bayésienne retenue a été une adaptation du

calcul du rendement mixte de Black-Litterman où le rendement de référence était celui des projections

stochastiques d’Ahlgrim. La gestion Actif / Passif mise en place est restée très proche des normes

prudentielles de solvabilité II, tout en maintenant une cohérence avec des contrats d’assurance-vie.

L’objectif de l’approche bayésienne était principalement de rapprocher le modèle d’Ahlgrim à la

situation particulière de la zone Euro. De manière plus générale, l’intérêt d’un tel modèle est de

pouvoir ajuster très rapidement la projection des actifs aux dernières informations économiques tout

en gardant les projections objectives du modèle stochastique de référence non modifié par les vues.

Nous avons vu que cette méthode a pu corriger la modélisation de l’inflation de manière très efficace ;

cependant, nous pouvons peut-être envisager que la projection d’Ahlgrim n’était pas optimale sur cette

variable. En effet, la correction du modèle bayésien aurait pu être plus subtile si la projection

stochastique de l’inflation avait été plus en accord avec la situation économique européenne.

De plus, nous avons pu constater que le modèle bayésien permet de réduire la variance de l’estimateur

de Monte-Carlo lorsque les vues sont choisies avec un niveau de confiance conséquent. De ce fait,

pour des vues certaines, le nombre de simulations de Monte-Carlo peut être sensiblement réduit. Cette

approche n’a pas été développée dans ce mémoire.

Dans un second temps, lors de la recherche de l’allocation optimale, nous avons remarqué que

l’approche bayésienne a réduit le risque de ruine calculé. Il convient donc d’utiliser un tel modèle avec

beaucoup de prudence mais surtout avec une grande expérience des marchés. Toujours dans ce cadre,

le calcul du rendement mixte de Black-Litterman pourrait être utilisé sous forme de Stress-Test. Cette

idée n’a pas été illustrée dans cette étude. Cependant, nous pourrions imaginer un comparatif entre les

résultats obtenus par le modèle stochastique de référence et le modèle de Black-Litterman où nous

aurions mis, par exemple, une vue très confiante mais faible sur le rendement des actions.

Enfin, il est important de préciser que ce mémoire énonce des résultats basés sur des hypothèses

économiques. En général, les études de marchés n’ont pas été développées de façon exhaustive mais

dans l’unique objectif d’illustrer de manière concrète la méthode de projections. De plus, certains

algorithmes pourraient être optimisés.



Annexes



1 Annexe 1 – Calibrage du Modèle d’Ahlgrim

1.1 Modèle de l’inflation

Le modèle de l’inflation suit donc l’équation de diffusion en temps discret, suivante :

1.1.1 Le calibrage

Le calibrage de ce modèle est relativement simple puisqu’il suffit d’appliquer une régression linéaire

entre un historique représentant les données à l’instant t+1 et celles représentant les données à l’instant

t . En effet, ce modèle est de la forme :

Où , , sont les paramètres de la régression, estimés par le logiciel R.

De ce fait :

le retour à la moyenne

la moyenne

l’écart type

Voici les résultats bruts de la régression sous le logiciel R :

Call:

lm(formula = Tx_Inflation_tplusun ~ Tx_Inflation_t)

Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

-0.060291 -0.009922 -0.005678 0.005342 0.106023

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 0.011631 0.005615 2.071 0.0437 *

Tx_Inflation_t 0.769987 0.091049 8.457 4.53e-11 ***

---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.02338 on 48 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.5984, Adjusted R-squared: 0.59

F-statistic: 71.52 on 1 and 48 DF, p-value: 4.531e-11



Les résultats obtenus du calibrage sont donc les suivants:


0,261

0.051

0.026

Tableau 21 - Calibrage du modèle de l'inflation

Les résultats complets des tests sont résumés dans le tableau ci-dessous :

Test Résultat Conclusion

Le pouvoir explicatif du modèle est de 59%

Fisher Le modèle est globalement significatif

Student (constante) La constante du modèle est significative

Student (variables) Les variables sont significatives

Moyenne des résidus Les résidus sont en moyenne nuls

Breusch-Godfrey La non-corrélation est vérifiée

ARCH(1) La non- hétéroscédasticité est vérifiée

Jarque - Bera Les résidus ne suivent pas une loi gaussienne Tableau 22 - Test du modèle de l'inflation

Graphiquement, nous pouvons à nouveau vérifier le modèle :

Graphique Interprétation

Les résidus sont indépendants et

identiquement distribués.




Les résidus ne suivent pas de façon

significative une distribution

gaussienne sur la fin de la distribution.

La non- hétéroscédasticité est

globalement vérifiée.

Deux points ont une distance de Cook

aberrante.

Tableau 23 – Graphiques des tests sur le calibrage de l'inflation



Nous voyons que seul le test concernant l’hypothèse de normalité des résidus n’est pas positif.

Graphiquement, nous constatons que cette distribution est gaussienne exceptée sur les queues de la

distribution De plus, un point possède une distance de Cook proche de 1 ; ce point est aberrant pour le

modèle ; il aurait pu être supprimé pour éviter un effet levier sur le paramétrage. De ce fait, nous

pouvons maintenir ces hypothèses en restant tout de même prudents.

1.1.2 Projection de l’inflation

Le modèle projeté de type Vasicek est le suivant :

Avec :

Pour 10 000 simulations et un horizon de temps de 30 ans, nous obtenons le résultat graphique ci-

dessous :

Figure 39 - Projection de l'inflation



1.2 Modèle des taux d’intérêt court terme et long terme en réel

Le modèle des taux d’intérêts suit donc l’équation de diffusion en temps discret, suivante :

1.2.1 Calibrage

Comme, il a été évoqué à la partie théorique 2.2.2 concernant ce modèle, la régression à adopter pour

calibrer ce modèle est plus complexe puisqu’il impose une simulation des doubles moindres carrés.

Ce calibrage va donc se faire en deux étapes ; le premier est une simple régression sur les taux à long

terme, la seconde sera le calibrage des taux à cout terme grâce à l’estimation des taux à long terme.

Schématiquement, nous pouvons résumer le raisonnement à adopter comme suit :

Etape 1 – Les taux long terme en réel.

Cette première étape est donc une simple régression ; elle suit le même protocole que le modèle

concernant l’inflation.

Voici les résultats bruts de la régression sous le logiciel R :

Call:

lm(formula = Tx_reel_long_tplusun ~ Tx_reel_long_t)

Residuals:


-0.097072 -0.004892 0.001762 0.010755 0.030270

Coefficients:


(Intercept) 0.010651 0.004348 2.449 0.018 *

Tx_reel_long_t 0.636690 0.110703 5.751 6e-07 ***

---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1



F-statistic: 33.08 on 1 and 48 DF, p-value: 5.998e-07



En utilisant les mêmes relations évoquées précédemment au point 3.2, nous pouvons en déduire les

paramètres du modèle concernant les taux longs :


0,451

0,029

0,023 Tableau 24 - Calibrage du modèle des taux longs

Les résultats complet des tests sont résumés dans le tableau ci-dessous :




Student (constante) La constante du modèle est significative





Jarque - Bera Les résidus ne suivent pas une loi gaussienne Tableau 25 - Test du modèle des taux longs

Graphiquement, nous pouvons à nouveau vérifier le modèle :







Les résidus suivent graphiquement une

distribution gaussienne.



Trois points ont une distance de Cook

aberrante.

Tableau 26 – Graphiques des tests sur le calibrage des taux longs en réel



A nouveau, seul le test sur la normalité des résidus n’est pas vérifié ; cependant le graphique de Wilk

& Gnanadesikan, nommé Normal Q-Q, semble être rassurant sur l’ensemble des résidus. En effet, le

problème de non-normalité semble être très local. De plus, un point possède une distance de Cook

supérieur à 1 ; ce point est aberrant pour le modèle ; il aurait pu être supprimé pour éviter un effet

levier sur le paramétrage. Nous pouvons donc conserver ces résultats tout en restant prudents et

critiques sur la suite de l’étude.

Etape 2 - Les taux court terme en réel

Nous considérons l’étape des doubles moindres carrés suivante :

Tout d’abord, concernant les paramètres, notons que :

Nous avons donc la relation suivante :

La relation de récurrence peut donc se simplifier en :

Notons aussi que dans notre cas :

le retour à la moyenne

l’écart type

Le modèle de régression linéaire ci-dessus peut-être implémenté sur le logiciel R ; il donne les

résultats suivants :

Call:

lm(formula = Diff_CT ~ Diff_ChapLT_CT - 1)

Residuals:


-0.094814 -0.012030 -0.001854 0.007226 0.026882

Coefficients:


Diff_ChapLT_CT 0.3275 0.1142 2.867 0.00614 **

---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1



F-statistic: 8.22 on 1 and 48 DF, p-value: 0.006135



En utilisant les relations évoquées précédemment, nous pouvons en déduire les paramètres du modèle

concernant les taux courts :


0,397

0,024 Tableau 27 - Test du modèle des taux courts

Le résultat des différents tests sur le calibrage des taux court est le suivant :








Jarque - Bera Les résidus ne suivent pas une loi gaussienne Tableau 28 - Test du modèle des taux longs

Pour confirmer, les tests ci-dessus, nous pouvons visualiser les tests graphiques suivants :









La non- hétéroscédasticité est vérifiée.

Trois points ont une distance de Cook

aberrante.

Tableau 29 - Graphiques des tests sur le calibrage des taux courts en réel



A nouveau, le test Jarque-Bera ne valide pas la normalité des résidus ; cependant graphiquement, par

le test visuel de Wilk & Gnanadesikan, cette hypothèse est globalement vérifiée. De plus, un point

possède une distance de Cook proche de 1 ; ce point est aberrant pour le modèle ; il aurait pu être

supprimé pour éviter un effet levier sur le paramétrage. De ce fait, comme précédemment, nous

devons rester prudents, d’autant plus que le pouvoir explicatif du modèle de régression reste très faible

(13%).

1.2.2 Projection des taux d’intérêt réels

Le modèle projeté est donc le suivant :

Avec :

Pour le taux réel à court terme, pour 10 000 simulations et un horizon de temps de 30 ans, nous

obtenons le résultat graphique ci-dessous :



Figure 40 - Projection du taux réel court terme

Pour le taux à réel long terme, dans les mêmes hypothèses de simulation nous obtenons ce résultat :

Figure 41 - Projection du taux réel long terme

1.3 Modèle de l’immobilier

Le modèle de l’immobilier suit le même modèle que celui de l’inflation, soit :



1.3.1 Le calibrage

La méthode de calibrage est donc la même ; voici les résultats bruts donnés par le logiciel R, pour ce

modèle :

Call:

lm(formula = Rdt_Immobilier_tplusun ~ Rdt_Immobilier_t)

Residuals:


-0.080756 -0.017524 0.003825 0.016238 0.071395

Coefficients:


(Intercept) 0.013222 0.008508 1.554 0.127

Rdt_Immobilier_t 0.858659 0.069474 12.359 <2e-16 ***

---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1



F-statistic: 152.8 on 1 and 48 DF, p-value: < 2.2e-16

A partir de cette simple régression, il est donc possible d’obtenir les coefficients concernant le modèle

de l’immobilier ; les résultats sont présentés ci-dessous :


0,152

0,094

0,037 Tableau 30 - Calibrage du modèle de l'immobilier

De même que précédemment, les résultats des différents tests sont repris ci-dessous :




Student (constante) La constante du modèle n’est pas significative





Jarque - Bera Les résidus suivent une loi gaussienne Tableau 31 - Test du modèle de l'immobilier

D’un point de vue graphique, nous pouvons faire les tests suivants :













Les distances de Cook sont

globalement stables.

Tableau 32 - Graphiques des tests sur le calibrage du modèle de l'immobilier

Les résultats des différents tests sont globalement rassurants sur la solidité du modèle. Seul la

significativité de la constante est remise en cause. Nous pouvons noter que le test de Jarque –Bera

confirme la distribution gaussienne des résidus visibles sur le second graphique et que les distance de

Cook sont globalement faibles et homogènes.

1.3.2 Projection du rendement de l’immobilier

Avec



Le résultat obtenu pour 10 000 simulations et un horizon de 30 ans est le suivant :

Figure 42 - Projection de l'immobilier

1.4 Modèle des actions

Le rendement des actions est défini comme suit

Avec :

, le taux d’intérêt nominal à court terme à tout instant t.

l’excès de rendement des actions

1.4.1 Le calibrage

Suite à ce qui a été fait précédemment, le calibrage du modèle se limite à celui de l’excès de

rendement. Il a été vu, au point 2.4, que ce dernier suit la relation suivante :



Nous obtenons donc par l’historique un calibrage du modèle en prenant directement la moyenne et la

volatilité des données utilisées :


0,033

0,175 Tableau 33 - Calibrage du modèle des actions

1.4.2 Projection du rendement des actions

La projection du rendement des actions se fait donc en associant la projection de l’inflation, des taux

courts et de l’excès de rendement.

L’excès de rendement pour 10 000 simulations donne le résultat suivant :

Figure 43 - Projection de l'excès de rendement des actions



Nous pouvons, à présent, projeter les actions pour 10 000 simulations ; nous obtenons alors le

graphique suivant :

Figure 44 - Projection du rendement des actions

1.5 Modèle des zéro-coupon

Selon le modèle d’Ahlgrim, cette partie a pour objectif de modéliser l’évolution des zéro-coupon en

nominal, c'est-à-dire en associant un zéro coupon en réel, calculé par la modélisation des taux réels et

un zéro-coupon inflation, calculé à partir de la modélisation du taux d’inflation. Soit :

Il est à noter que le calcul des zéro-coupon est de maturité 1 an.

1.5.1 Projection des zéro-coupon en réel :

Comme il a été vu précédemment la formule des zéro-coupon en réel est la suivante :

Avec :



Par la méthode de Monte-Carlo pour 10 000 simulations, nous obtenons le résultat suivant :

Figure 45 - Projection des zéro-coupon en réel pour 1 an

1.5.2 Projection des zéro-coupon en nominal :

Le modèle de la partie inflation des zéro-coupon suit l’équation suivante :

Avec :

Les résultats ainsi obtenus nous permettent d’estimer une projection des zéro-coupon en nominal par

produit des zéro-coupon en réel et de la partie inflation de ces zéro-coupon que l’on vient de

modéliser.



Nous obtenons la modélisation de Monte-Carlo pour 10 000 simulations des zéro-coupon en nominal :

Figure 46 -Projection des zéro-coupon en nominal pour 1 an.



2 Annexe 2 - La factorisation de Cholesky

La factorisation de Cholesky, consiste, pour une matrice symétrique définie positive , à déterminer

une matrice triangulaire inférieure tel que . Une matrice symétrique est dite définie positive

si, pour tout vecteur , le produit est positif.

2.1 Théorème

Factorisation de Cholesky d’une matrice :

Si est une matrice symétrique définie positive, il existe au moins une matrice réelle triangulaire

inférieure telle que :

On peut également imposer que les éléments diagonaux de la matrice soient tous positifs et la

factorisation correspondante est alors unique.

2.2 Algorithme

On considère la matrice , matrice symétrique et définie positive.

On cherche la matrice triangulaire :

De l’égalité , on en déduit

La matrice étant symétrique, il suffit que les relations ci-dessus soient vérifiées pour , c’est-à-

dire que les éléments de la matrice doivent satisfaire :

L’algorithme s’en déduit donc rapidement :

Pour :

;

;

.

.



On détermine la j-ème colonne de de après avoir calculé la (j-1)-ème colonne de

;

;

etc.

Nous avons donc déterminé tous les coefficients de la matrice de triangulaire. L’algorithme se termine.



3 Annexe 3 – Résultat de la simulation de Monte Carlo sur le modèle de

Black-Litterman

Les résultats ci-dessous présentent les distributions des résultats lors de l’application de la méthode de

Monte-Carlo sur la projection des taux et des rendements par la méthode de Black-Litterman (calcul

du rendement mixte).

Nous allons vérifier que les distributions empiriques suivent une loi gaussienne.

Nous rappelons que l’ensemble des projections s’est fait pour 10 000 simulations de Monte-Carlo.

Nous allons faire le test pour les résultats projetés dans 30 ans.

3.1 Projection des actions

Figure 47 - Test de la simulation de Monte-Carlo pour les actions

Le test est concluant pour 10 000 simulations ; la variable de l’expérience s’ajuste bien à une loi

gaussienne.



3.2 Projection de l’immobilier

Figure 48 - Test de la simulation de Monte-Carlo pour l'immobilier


gaussienne.

3.3 Projection des taux court terme

Figure 49 - Test de la simulation de Monte-Carlo pour les taux courts

Le test est concluant pour 10 000 simulations ; la variable s’ajuste bien à une loi gaussienne.



3.4 Projection des taux long terme

Figure 50 - Test de la simulation de Monte-Carlo pour les taux longs


gaussienne.

3.5 Projection de l’inflation

Figure 51 - Test de la simulation de Monte-Carlo pour l'inflation


gaussienne.



3.6 Conclusion

Les tests sont concluants ; le nombre de simulations de Monte-Carlo sur les taux et les rendements

permet aux expériences de tendre vers une loi gaussienne centrée vers sa moyenne. Le fait de prendre

la moyenne des simulations a donc un sens. Cependant, la connaissance des intervalles de confiance

des simulations est aussi très importante ; et ils sont directement présentés sur les graphiques

présentant les résultats (cf. 5.4).



4 Bibliographie

4.1 Ouvrages

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TAGNE WAMBO R., [2008] - Allocation optimale d’actifs d’un régime de retraite en intégrant la

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Documents

Gestion Actif / Passif par une projection · et leur disponibilité tout au long de mes travaux, ... 2.3.3 Modélisation du prix des obligations ... 2.2 Algorithme