prix total connu prix "livres + BD" calculable prix du dictionnaire trouver Comprendre les difficults des lves en mathmatiquespour les prendre en compte. Roland Charnay Responsable scientifique du site TFLM (partie mathmatique) Directeur de la collection Cap Maths (Hatier) Lesrecherchessurlesdifficultsdapprentissageenmathmatiquess'intressent plusieursregistresparmilesquelsonpeutciterl'environnementsocio-cultureldes lves(milieudeviedel'lve,pressionssociales,attentesparentales),ledomaine psycho-affectif(rapportl'cole,rapportauxmathmatiques),ledomainedela neuropsychologie (tudes sur la dyscalculie, par exemple), le domaine de la psychologie cognitive(limitationsentermesdetraitementdel'informationenrfrencela mmoiredetravailoulammoirelongterme,dveloppementdelapense numrique)ouencoreceluidelamatrisedelalangue.L'approcheprivilgiedans cettecontributionsesituedanslechampdeladidactiqueetdoncdanslesinteractions impliques dans le systme didactique qui met en relation, dans la classe, des lves, un enseignantetundomainedusavoirmathmatique.Eneffet,c'estdanscechampque s'exerce particulirement l'action de l'enseignant. Ilnes'agitpasicidefaireuneexplorationcompltedecechampd'analyse,mais,en partant de quelques exemples, de mettre en vidence des phnomnes essentiels et des pistes d'actions possibles. L'approche envisage peut galement tre situe par rapport cette affirmation d'Edgar Morin:Leproblmedelafconditdelerreurnepeutseconcevoirsansunecertaine vritdanslathoriequiaproduitdelerreur.(dansScienceavecconscience,Fayard, 1982) 1. Le problme "Julie" (entre en Sixime) A propos de reprsentation de la tche. Face une telle rponse, la premire raction est souvent d'affirmer que cet lve a fait "n'importe quoi" ou a rpondu sans rflchir. Une analyse plus pousse attire l'attention sur 2 points : -encalculant8x6,l'lveasansdoutevoulutrouverleprixpayerpour l'ensemble "livres BD" ; -larponse2seraitalorsladiffrenceentreleprixtotalpay(56)etleprix trouv par l'lve pour cet ensemble "livres BD".Autrementdit,onpeutfairel'hypothseraisonnablequel'lveacomprislastructure de la situation qui pourrait tre schmatise ainsi : Julie a achet : -deux livres 8 chacun -quatre bandes dessines 6 chacune -un dictionnaire. Elle a pay 56 . Quel est le prix du dictionnaire ? Rponse d'un lve 8 x 6 = 54 Le prix du dictionnaire est 2 . Cettehypothseestplausiblemaisconfirmer,parexempleeninterrogeantl'lve.Si elleservleexacte,onestbienloind'unlvequiafait"n'importequoi"etilest possible de mieux cerner ce qui doit tre travaill avec lui. On pense immdiatement aux tablesdemultiplication.Ons'interrogesurlesraisonsquiontpoussl'lvecalculer 8 x 6 plutt que (8 x 2) + (6 x 4) pour obtenir le prix de l'ensemble "livres-BD".Toutd'abord,pourquoi8x6pluttque8+6,cedeuximecalcul,bienqu'erron, pouvantparatrepluspertinentquelepremier?C'estsansdoutedlaprsencedes mots"chacun"et"chacune"quisontsouventprsentscommedebonsindicespourle calcul d'un produit (on parle de mots-inducteurs"). Ensuite,pourquoilesnombres"deux"et"quatre"n'ont-ilspastutiliss?C'estsans doutedaufaitquedanslaplupartdesproblmesquel'lveaeursoudre(sinon danstous),ilafallucalculeravecdesdonnescritesenchiffres.D'unecertaine manire, dans les problmes, les mots ne peuvent pas tre des nombres utiles. Enrsum,cequiaprincipalementorientletravaildecetlvenersideraitpas essentiellementdanslacomprhensiondelasituationoudanscequ'onacoutume d'appeler"lesensdesoprations",maispluttdansdesconduites(inappropriesici) quin'ontpastenseignesexplicitement,maisquel'lves'estappropriesaufildes activitsscolairesrelativeslarsolutiondeproblmesetquioriententet,surtout, limitent son champ d'investigations : calculer avec les seuls nombres crits en chiffres, serfrerdesmots-inducteursd'oprationsCequirenvoiel'idedecontrat didactique formule par Guy Brousseau. Uneexplicationdemmetypepeuttreretenuepouranalyserlesrsultatsobtenus l'entre au CE2 l'exercice suivant (Des nombres dans le bon ordre). Onpourraitabusivemententirerlaconclusionqu'ungrandnombred'lvessont incapablesdecomparerlesnombresinfrieurs1000ouqu'ilsontdumalutiliser unebandenumrique.Plusprobablement,ilsontconsidrque,3nombrestant placeret3casestantvides,illeurtaitdemanddeplacerunnombredanschaque case ou encore il leur tait interdit de placer deux nombres dans la mme case.Finalementcetexercicerenseignedavantagel'enseignantsurlescontraintesnon formulesques'imposel'lve(ouqu'ilcroitdevinerchezl'enseignant)quesurses connaissances relatives la comparaison des nombres. Undernierexemple(Latirelire)permetdeconforterceconstatselonlequelde nombreuxlvess'enfermentousesententenferms(oulesontrellement)dansune reprsentation des comportements qu'ils pensent attendus de l'enseignant par rapport certaines tches. Ecris dans le bon ordre chaque nombre la place sui convient. 367582309 300400500600 Plus de 80 % des lves placent correctement582.Parmieux, un tiers placent les deux autres nombres dans le bon intervalle, alorsqueprsdelamoitisoit crivent309entre300et400 et 367 entre 400 et 500, soit ne placentquel'undecesdeux nombres dans le bon intervalle. Dans la tirelire de Louise, il ny a que des pices de 2 etdes billets de 5 . Il y a, au total, 32 pices et billets. La tirelire contient 97 . Combien contient-elle de pices de 2 et de billets de 5 ? Unlveadabordtentdiverscalculsavecles nombresdelnonc,lesabarrsetreste perplexe Lenseignant,bienveillant,luifaitunesuggestion Essaie avec 12 pices de 2 et 20 billets de 5 . Llveeffectuelescalculs,trouve124et lanceunregardlafoisamusetnarquois lenseignant, en lui disant : Eh ben, cest faux !!! On peut faire l'hypothse que, pour cet lve, un problme se rsout en faisant un calcul dont le rsultat est la rponse la question pose (ou en faisant une suite de calculs, le rsultat du dernier calcul tant la rponse).Larsolutionnepeuttrequedetypedductifparunseulcalculou parunechanede calculs.Lidequonpuissefaireunouplusieursessais(entestantdeshypothsesde rponse) nest tout simplement pas envisageable. Ces lments sont rapprocher d'un constat important issu de l'enqute internationale PISA (auprs d'lves de 15 ans) et formul ainsi par la DEP (note de synthse n 04.12) :Lorsquilestdemandauxlvesuneprisedinitiative(essaisfaire),larussite franaiseestrelativementfaible.Lapratiquedelexprimentationenmathmatiques (faire des essais, critiquer, recommencer) est peu dveloppe Ouvrir le champ des possibles pour l'lve Commecelavientd'tresoulign,leslvess'enfermentdansuncarcandecontraintes qu'ilsontconstruitesaufildeleursapprentissagesmathmatiquesetquibridentleur investissement dans les tches qui leur sont proposes, singulirement dans les activits dersolutiondeproblmes.Deuxpistesdetravailpeuventtrevoquesdansla perspective d'aider les lves se librer de ce carcan. Les problmes ouvertsonttformalissparunequipedel'IREMdeLyonetrepris danslesprogrammesde2002sousl'appellation"problmespourchercher".Ilsontla caractristiquedeproposerundfimathmatiqueauxlves,sanspourautant comporter dedifficults importantes au niveau de la comprhension de la situation. En particulier, ils ne peuvent pas tre rsolus en appliquant directement des connaissances apprises.Ilsobligentdoncleslvesentrer dansunprocessusd'investigation,leplus souventplusieurs,fairepreuved'initiativeetd'imagination,imaginerdespistes possibles,lestester,ventuellementlesabandonnerpourenexplorerdenouvelles. Cetypedepratiquepeutdoncaiderleslvess'affranchirdesattentessupposesde l'enseignantpours'engagerpluslibrementdanslarsolutiondestchesquileursont proposes. Beaucoup d'lves pensent qu'il n'y a qu'une seule faon de rsoudre un problme : celle quel'enseignantproposeraaumomentdelacorrection.Ilsagissentalorspouressayer d'treconformecetteattente.Aucontraire,sionveutdonnerchaquelvedes moyensdersoudreunproblmeenutilisantlesconnaissancesquisontdisponibles pourluietquipeuventtrediffrentesdecellesd'unautrelve,ilfautinstallerl'ide qu'un problme peut toujours tre rsolu de diverses manires.Exemple de problme ouvert (du CE1 au CM2) J'aichoisideuxnombres.Sijelesadditionne,je trouve 76, si je soustrais le plus petit du plus grand, je trouve 22. Quels sont ces deux nombres ? Ce problme est bien un problme ouvert dans la mesureounersolutionexpertedetypemise enquationn'estpasenvisageablecestadela scolarit.Unersolutionparessaissuccessifset progressivement ajusts permet d'aboutir. Quandilsrunissentleurschocolats,Nicolas etLiliont60chocolats.Maislenombrede chocolatsdeNicolasn'estquelequartdu nombredechocolatsdeLili.Combien Nicolas a-t-il de chocolats ? Leproblmepeuttrersolupardduction,en considrantquelapartdeLiliquivaut4partsde Nicolasetdoncqu'ensembleNicolasetLiliont l'quivalentde5partsdeNicolas.Onpeutalorsdiviser 60 par 5 ou chercher quel nombre multipli par 5 donne 60 ou encore quel nombre ajout 5 fois donne 60 Ilpeutaussitrersolucommeceluiquiprcdeen testantdeshypothsessurlenombredebonbonsde Nicolas Plusonouvrelechampdespossibles,plusonpermetdeslvesquiontassimil diffremmentlesconnaissancesenseignesdepouvoiraborderetrsoudrelesmmes problmes.Maiscela,ilyaunecondition:queleslvessoient assurs(etrassurs) que toute rsolution qui conduit la rponse sera accepte et valorise. Pour cela, il ne fautpasquel'exploitationdutravaildeslvesselimitetablirlecorrig(la rsolutionattenduedel'enseignant),maisqu'aucontraireelleenvisageprenneen compte,exploiteetmetteendbatladiversitdesmodesdersolution.C'esttoutela diffrence entre une mise en commun et une correction. 2. Proportionnalit (entre en Sixime) A propos des automatismes. Pourquoiceproblmeest-ildifficile,commeentmoigneletauxdebonnesrponses l'entre en Sixime ? Avant d'examiner les sources de difficult, constatons d'abord qu'il met aussi en difficult des adultes duqus puisqu'un prcdent ministre de l'Education Nationaleinterrogparunjournalistesurcemmeproblmearpondu17,50aprs untempsd'hsitationetquesonprdcesseuravaitavousonincapacitrpondre un problme de mme nature. On peut arguer, juste titre, que l'nonc comporte une part de flou dans la mesure o il ne prcise pas explicitement que 22 est le prix total des 10 objets. Si les objets sont des dictionnaires, il est plus probable que 22 reprsente le prix d'un dictionnaire et que le calcul 22 x 15 est alors justifi. La rsolution de ce type de problmes ncessitele recours un raisonnement et des choix stratgiques, ce qui peut dsorienter des lves (cf. 1). En effet, il faut prendre en compte les relations qui existent entre les nombres. Ici les donnes incitent passer par le prix de 5 objets (qui est un diviseur de 10 et de 15). Si le prix total tait de 20 , onpourraitaussipasserparleprixd'unobjet;avec22,c'estpossiblemaiscela conduit utiliser des nombres dcimaux, moins familiers pour les lves. Si la question portaitsurleprixde7objets(aulieude15),ilseraitalorsncessairedepasserparle prix d'un objet et donc d'avoir recours aux nombres dcimaux. Autrement dit, il ne suffit pas aux lves de reconnatre la structure du problme (ce qui est dj difficile pour de nombreuxlves),ilfaut,enplus,dtermineruneprocdureenfonctiondesnombres fournis dans l'nonc. Si les lves n'ont appris qu'une mthode standard (rgle de trois, utilisation d'un tableau de proportionnalit) comme y incitent les programmes de 2008, ils peuvent rapidement se trouver dmunis. Pourfairelebonchoixstratgique,ilfautdisposerdebonnes comptences en calcul mentaldefaonpercevoirrapidementlesrapportsentrelesnombres.Leslacunes danscedomainesontsouventl'originededifficultsenmathmatiques.C'estceque souligneBrunoSuchautdel'REDUetdel'UniversitdeBourgognelorsqu'ilcrit: Certainescomptencesenmathmatiques,etprincipalementleshabiletsencalculmental sontfortementexplicativesduniveauglobaldacquisitiondeslvesetdesonvolutionaufil desannes.().Acetitre,lapratiquedactivitssystmatiquesetvariesdansledomainedu calculmentaln'estsansdoutepasngliger,cequipourraitpermettrederduirelecot cognitif des activits dapprentissage en automatisant certains processus. 10 objets identiques cotent 22 . Combien cotent 15 de ces objets ? 34 % des lves rpondent correctement. 8 % rpondent par le calcul 22 x 15. 58 % : autres rponses ou non rponses. Nombreuses rponses 27 . 22 cm Enfin,certainslvessontconfrontsunobstaclecognitifdanslamesureoils n'envisagentquelesrelationsadditivesentrenombres,cequilesconduitrpondre 27 , en considrant par exemple qu'on est pass de 10 15 en ajoutant 5 et que donc il fautajouteraussi522.Pourdpasserdetelsobstacles,ilnesuffitsouventpas d'expliquerl'lvepourquoiilsetrompeetcommentobtenirlabonnerponse.Ilest ncessairedeprovoquerunconflitentrelarponsequ'ildonneetuncontextequi apporte un dmenti cette rponse. Parexemple,onproposeraunesituationdanslaquelle10rglettesidentiquesmises bout bout donnent une longueur de 22 cm. On demande aux lves de trouverla longueur de 15 baguettes identiques celles-ci et mises bout bout. Larponse27cmestinvalideparlaralisationeffectivedecettelongueuravecles baguettes. Et en s'interrogeant sur une faon commode de l'obtenir, on pourra mettre en videncel'intrtqu'ilyareporter3foislalongueurde5baguettesouajouterla longueurde5baguettescellede10baguettes,cequiillustrelesprocdureslesplus efficaces pour trouver la rponse. Cet exemple de la proportionnalit permet d'insister sur trois points importants : -lancessit,pourunemmestructuredeproblme,deconfronterleslves desdonnesvariesdefaonleurpermettred'explorerdiffrentes stratgies de rponse ; -l'importancededisposerdersultatsetdeprocduresautomatises, notamment en calcul mental pour favoriser cette exploration ; -l'ide que, pour certaines connaissances, des difficults sont riges en obstacles etncessitent,pourtredpasses,lerecoursdesdispositifsdidactiques appropris propices dstabiliser les conceptions errones que l'lve a pu forger. 3. Multiplier par 10, par 100..? (entre en Sixime) A propos de l'origine didactique de certaines difficults Auvudecesrsultats,onesttentdedirequebeaucoupd'lvesnesaventpas appliquer la "rgle de dplacement de la virgule" ou encore que cette rgle est perturbe par celle dite "des 0" qui a t enseigne pour les nombres entiers. En allant plus loin, on peutaussiexpliquerquecephnomneestamplifiparlefaitqueleslvesontune conceptionerronedel'criturevirguledesnombresdcimauxetquepoureuxla Calcule 2,3 x 10 = . 35,2 x 100 = . Pour 2,3 x 10 Rponse 23 : 64 % Rponses 20,3 ou 2,30 ou 20,30 : 20 % Rponse 230 : 5 % Pour 35,2 x 100 Rponse 3 520 : 47 % Rponses 3 500,2 ou 35,20 ou 3 500,200 : 15 % Rponse 352 : 15 % virgulesparedeuxnombresentiers,parexemple35et2pour35,2,alorsqu'elleest destinemarquerl'unitpartirdelaquellepeuttredduitelavaleurdesautres chiffres : 3 dizaines d'unit et 2 diximes d'unit dans le cas de 35,2.On pourrait en conclure qu'il faut retravailler la signification de l'criture virgule et r-entraner,enlesdistinguant,la"rgledes0"pourlesnombresentiersetla"rglede dplacement de la virgule" pour les nombres dcimaux crits avec une virgule. Une autre option est possible. Aprs avoir assur la comprhension de l'criture chiffre des nombres entiers et dcimaux, elle consiste travaillercellede lamultiplication par 10, 100 de ces nombres. Prenons l'exemple de 17 x 100 et de 35,2 x 100. 17 reprsente 1 dizaine et 7 units. 35,2 reprsente3 dizaines, 5 units et 2 diximes. Multiplierchacundecesnombrespar100revientleprendre100fois,doncprendre100foisceque reprsente chacun de ces chiffres. Pour 17 x 100, on obtient donc 100 dizaines et 700 units, soit 1 millier et 7 centaines. Pour35,2x100,onobtientdonc300dizaines,500unitset200diximes,soit3milliers,5centaineset2 dizaines. Ces transformations peuvent facilement tre illustres avec un matriel de numration. Si on reporte ces rsultats dans un tableau de numration, on obtient : Cesdeuxexemplessoulignentquelesdeuxrglesenseignes(rgledes0etrgledu dplacementdelavirgule)masquentlacomprhensiondecequeprovoquela multiplicationd'unnombrepar100.Enralit,danslamultiplicationpar100,chaque chiffreprendunevaleur100foissuprieure,cequisetraduitdansletableaude numration par un dplacement de ces chiffres de 2 rangs vers la gauche (avec criture, si ncessaire de 0 jusqu'au rang des units). Et, de plus, le phnomne est identique pour les nombres entiers et pour les nombres dcimaux : il n'y a donc pas deux explications, mais une seule ! Onvoitqu'iciladifficultrencontreparleslvespeuttred'ordredidactique, engendrepardeschoixd'enseignementinappropris.D'unepart,l'noncdesdeux "rgles"neditriendeleurpertinence,decequijustifiequ'ellesfournissentlebon rsultat.D'autrepart,lefaitqu'ilyaitdeux"rgles"conduitcertainslvesles confondre.Uneautreapproched'enseignementpeuttreenvisage.Elleconsiste,pour lesnombresentierscommepourlesnombresdcimauxtravaillerd'abordla comprhension pour aboutir une procdure commune, ici multiplier par 100 revient dplacerchaquechiffrede2rangsverslagauche(ens'appuyantsurletableaude numration).Puis,dansunsecondtemps,ventuellement,faireleconstatquecela revient crire des 0 ( droite) dans le cas des nombres entiers et dplacer la virgule (encrivantdeplus,sincessaire,des0droite)danslecasdesnombresdcimaux, avec la possibilit de pouvoir toujours revenir la justification.Ilestprobableque,pourdeslvesquiontt"malenseigns"surcesphnomnes,il faille reprendrel'apprentissage en revenant l'explication des effetssur chaquechiffre d'une multiplication par 100. millierscentainesdizainesunitsdiximes 3 5 3 2 5 0 2 millierscentainesdizainesunits 1 7 1 0 7 0 , 4. L'autocar bleu (CE1) A propos de la reprsentation de la situation. Lapremirerponsepeuttreconsidrecommerelevantdelaperceptiondj voquedelarsolutiondeproblmes:faireuncalculaveclesdeuxnombresde l'nonc, pourquoi pas une addition ? Ladeuximerponseestplusdifficileinterprter.Ellepeutprovenird'uneerreurde calcul, mais l'interrogation de certains lves conduit envisager une autre possibilit : ilsutilisentuneconnaissancedumonde:"Dans le car, il y a 60 places, c'est crit" (sous-entendu, dans l'autocar qui les conduit l'cole". Cette rponse est rapprocher de celle obtenue cette question, l'entre au CE2 Dans tous les cas, au-del de la question de la reprsentation de la tche (qu'est-ce qu'un problme?qu'est-cequersoudreunproblme?),seposecelledelareprsentation quel'lvepeutsefairedelasituationvoque.Danslecasdel'autocar,ilfaut imaginerles80places,les25quisontrestesvidesetlefaitquelesautressont occupespardespassagers.Pourdejeunesenfants,cettereprsentationpeuttre difficile, notamment pour ceux qui sont peu familiariss avec le contexte voqu, malgr la prsence de l'illustration ou encore pour ceux qui prouvent des difficults de lecture. Avantdeproposercetyped'noncsparcrit,ilestalorsprfrabled'envisagerdes situationsol'lvepeutseprojeterplusfacilement.Parexemple,onpeutsuggrerle dispositif suivant : Dans le car bleu, il reste 25 places libres. Combien de personnes sont installes dans le car ? Rponse d'lves- 105 personnes - 60 personnes L'lve a rpondu en consultant sa montre ou la pendule de la classe ! La plaque comporte80 alvoles qui peuvent tre dnombres par les lves. L'enseignantyplace55petitsobjets(des marrons par exemple). Ilfaitdnombrerlesemplacementsvides (25),puismasquelesalvolesoccupeset demandecombiend'objetssontdansles alvoles. L'intrt est double : -lareprsentationdelasituation(ledispositif)etdelatche(trouverlenombre d'objets placs) est facilite, d'autant plus que les lves ont pu dans un premier temps, avec d'autres donnes, compter effectivement les alvoles, celles qui sont vides,puislesobjetsplacs(danscepremiermoment,iln'ypasdeproblme mathmatique) ; -lesrponseslaboresparleslvespeuventtrevrifiesendvoilantle dispositif et en procdant au comptage effectif des objets placs. L'enjeus'entrouvemodifipourleslves:ilnes'agitplusdetrouverlarponsequi seraofficialiseaumomentdelacorrection,maisdetrouvercellequicorrespondla ralit et que cette ralit permet de valider. Parlasuite,danslebutdetravaillersurlesnoncscritsdeproblmes,ilpeuttre demandauxlvesderdigeruntextequiprsenteleproblmequ'ilsviennentde rsoudre pour qu'il soit propos des camarades d'une autre classe. 5. L'autocar bleu (suite) A propos de la conceptualisation. Pour ce problme, on constate que certains lves mettent beaucoup de temps avant de pouvoir le rsoudre en utilisant la soustraction ; il faut pour certains parfois attendre la fin de l'cole primaire. Poureuxleconceptdesoustractionrestelimitauxsituationsdanslesquellesilfaut chercher un reste la suite d'une dpense, d'une perte, d'une diminution C'estquel'enrichissement conceptuel de la soustractionnevapasdesoietnepeut pastrelaissauhasardderencontresavecdesproblmesquel'lvecontinue rsoudre par d'autres moyens. Un apprentissage organis est ncessaire pour que cet enrichissementpuissetreconstruitetquel'lvecomprenneenparticulierqu'ilest quivalent de calculerune soustraction et uncomplment, une soustraction et un cart (cequijustifieletermedediffrence),unesoustractionetunedistanceentredeux repres, etc. Danslecasdel'autocar,reprsentparlaplaquede80alvolesoccupespardes marrons,aumomentdelavalidationdesrponsestrouvesparleslves,onpeutpar exempleenlever(oucacher)les25placesvidespournegarderquelesplaces occupes ce qui revient au calcul connu de 80 25.Autrement dit, le problme pos au dpart tait celui de la recherche du complment de 2580et,aumomentdelavalidation,ilesttransformenrecherchedecequireste lorsqu'on enlve 25 de 80. Le passage du complment la soustraction ncessite donc un changement de point de vuedelapartdel'lve:pourtrouverquelestlecomplmentde2580,onpeut imaginerqu'onenlve25de80defaoncequ'ilnerestequelecomplmentLa justification verbale est la porte d'un adulte, elle n'est pas la porte d'un jeune lve. Undispositifexprimentalestncessairepourassurerlaconvictiondel'lvequeces deux oprations mentales (complter, soustraire) sont quivalentes en sachant qu'une seule exprience de ce type sera insuffisante assurer cet apprentissage. Cetaspectfondamentaldesapprentissagesestpeudveloppici.Ilncessiteraitlui seul de longues explications. Conclusion La question du traitement des difficults est souvent pose en terme de remdiation. Les difficultstantconstates,quefaireaprs?Cettequestionnepeutpastrelude. Mais,ilestgalementncessairedesedemandersicertainesdifficultspeuventtre vitesouattnuesousideserreurspeuventtreutiles,voirencessaires,dansun processus d'apprentissage. Dansbeaucoupdesexemplesprsents,ilatsoulignquecertainesdifficults auraient pu tre vites ou attnues si l'apprentissage avait t envisag diffremment, notamment par un travail : -surlanaturedel'activitmathmatiquedel'lve:qu'est-cequechercher? qu'est-cequersoudreunproblme?commentchoisirunestratgieparmi plusieurs possibles ? -surlesprrequis:quellesconnaissances,enparticulierquellesressources automatises, sont ncessaires avant de pouvoir aborder certaines questions ?-surlacomprhension:avantdemcaniserdesrgles,destechniquesilfauten assurer la comprhension qui permet un contrle par l'lve de ce qu'il fait ; -surlareprsentationdessituationsenprivilgiant,notammentaveclesjeunes enfants, les questions poses sur des dispositifs que les lves peuvent contrler etsurlesquelsilspeuventagiretquisontsusceptiblesdeprovoquerles enrichissements conceptuels indispensables. Enfin,danscertainscas,laconfrontationl'obstacleestncessairepourpermettreun progrsdesconnaissances,uneavanceconceptuelle,commedansl'exempledela proportionnalit avec l'obstacle additif. Danstouslescas,l'analysedesproductionsdeslves,particulirementlorsqu'elles comportedeserreurs,estriched'enseignementetdepossibilitsdidactiques,car commelesouligneGuyBrousseau:L'erreur n'est pas seulement l'effet de l'ignorance, de l'incertitude,duhasard(...),maisl'effetd'uneconnaissanceantrieurequiavaitson intrt,sessuccs,maisqui,maintenant,servlefausse,ousimplementinadapte. Les erreursdecetypenesontpaserratiquesetimprvisibles,ellessontconstituesen obstacles. Aussi bien dans le fonctionnement du matre que dans celui de l'lve, l'erreur est constitutive du sens de la connaissance acquise. Toutcelasoulignelapartetlaresponsabilitdel'enseignant,notammenttraversses choixdidactiques.Maisceschoixsonteux-mmesinfluencsouconditionnsparla position de l'Institution, les recommandationsqu'elle suggre ou les contraintes qu'elle impose.L'orientationdesprogrammes2008,leurlourdeuretl'insistancemisesurles apprentissages techniques au dtriment de la comprhension, auxquelles s'est ajout la pressiond'unevaluationdestineconditionnerlesespritsn'ontpasinstallun contextefavorableunenseignementdesmathmatiquesdirigverslaformationde l'espritmathmatique.Onpeutfonderl'espoirqued'autresorientationsseront dcides, plus positives, plus ouvertes et fournissant davantage de marges de manuvre aux enseignants. Sansoublierquesansuneformationsrieuseetapprofondie,latchedesenseignants resterabiendifficile,carlespropositionsfaitesicisupposeunenseignantdisponible, donc arm pour comprendre et agir. Bibliographie Arsac G. et Mante M., La pratique du problme ouvert, SCEREN (CRDP de l'acadmie de Lyon), 2007 BrousseauG.,Lesobstaclespistmologiquesetlesproblmesenmathmatiques, Recherche en didactique des mathmatiques, Vol 4-2, La Pense Sauvage, 1983 CharnayR.,ManteM.,Del'analysed'erreursenmathmatiquesauxdispositifsde remdiation : quelques pistes, revue Grand N, n 48, IREM de Grenoble, 1990-1991 CharnayR.,Problmeouvert,problmepourchercher,revueGrandN,n51,IREMde Grenoble, 1992-1993 CharnayR.etal.,Chacun,tous,diffremment!Diffrenciationenmathmatiques, Rencontre Pdagogiques, n 34, INRP, 1995 Charnay R., Comment enseigner les nombres entiers et la numration dcimale ?, Hatier, 2013 VergnaudG,Lathoriedeschampsconceptuels,RecherchesenDidactiquedes Mathmatiques, volume 10/2.3, 1990. .