170
i PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Lý thuyết Bài tập Chương trình MATLAB THÁI NGUYÊN 2011 NGÔ NHƯ KHOA

Giaotrinh FEM V1

  • Upload
    adsunsw

  • View
    490

  • Download
    1

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Giaotrinh FEM V1

i

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Lý thuyếtBài tậpChương trình MATLAB

THÁI NGUYÊN 2011

NGÔ NHƯ KHOA

Page 2: Giaotrinh FEM V1

Ngô Như Khoa

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

THÁI NGUYÊN 2011

Page 3: Giaotrinh FEM V1

MỞ ĐẦU

Giáo trình Phương pháp Phần tử hữu hạn (PP PTHH) được biên soạn dựa trên cuốn: Giáo trình Phương pháp Phần tử hữa hạn – Lý thuyết, bài tập và chương trình Matlab. GS.TS. Trần Ích Thịnh, TS. Ngô Như Khoa. NXB Khoa học Kỹ thuật 2007. Và kinh nghiệm giảng dạy môn học cùng tên trong những năm gần đây cho sinh viên khoa Cơ khí, trường Đại học Bách khoa Hà Nội và học viên cao học ngành Cơ học Kỹ thuật, trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - Đại học Thái Nguyên. Nội dung giáo trình có mục đích trang bị cho sinh viên các ngành kỹ thuật: Công nghệ chế tạo máy, Kỹ thuật cơ khí, v.v. Với các nội dung:

- Những kiến thức cơ bản nhất của PP PTHH ứng dụng,

- Áp dụng phương pháp để giải quyết một số bài toán kỹ thuật khác nhau,

- Nâng cao kỹ năng lập trình Matlab trên cơ sở thuật toán PTHH.

Giáo trình biên soạn gồm 11 chương.

Sau phần giới thiệu phương pháp PTHH, một số loại phần tử thực và phần tử qui chiếu hay gặp (Chương 1), giáo trình đề cập đến một số phép tính ma trận, phương pháp khử Gauss (Chương 2) và thuật toán xây dựng ma trận độ cứng và véctơ lực nút chung cho kết cấu (Chương 3). Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán một chiều chịu kéo (nén) được giới thiệu trong Chương 4 và ứng dụng vào tính toán hệ thanh phẳng (Chương 5). Tiếp theo, giáo trình tập trung vào mô tả phần tử hữu hạn tam giác biến dạng hằng số trong bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi (Chương 6) và ứng dụng vào tính toán kết cấu đối xứng trục (Chương 7). Chương 8 giới thiệu phần tử tứ giác kèm theo khái niệm tích phân số. Chương 9 mô tả phần tử Hermite trong bài toán tính dầm và khung. Chương 10 trình bày phần tử hữu hạn trong bài toán dẫn nhiệt một và hai chiều. Chương 11 xây dựng thuật toán PTHH tính tấm-vỏ chịu uốn.

Cuối mỗi chương (từ chương 4 đến chương 11) đều có chương trình Matlab kèm theo và một lượng bài tập thích đáng để người đọc tự kiểm tra kiến thức của mình.

Rất mong nhận được những góp ý xây dựng của bạn đọc.

Tác giả

i

Page 4: Giaotrinh FEM V1

MỤC LỤC

Chương 1. GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 1

1. GIỚI THIỆU CHUNG 12. XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN 13. ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN 13.1. Nút hình học 13.2. Qui tắc chia miền thành các phần tử 24. CÁC DẠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN 25. PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC 36. MỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUI CHIẾU 37. LỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT 58. NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU HOÁ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN 59. SƠ ĐỒ TÍNH TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 6

Chương 2. ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN 8

1. ĐẠI SỐ MA TRẬN 81.1. Véctơ 81.2. Ma trận đơn vị 81.3. Phép cộng và phép trừ ma trận. 91.4. Nhân ma trận với hằng số 91.5. Nhân hai ma trận 91.6. Chuyển vị ma trận 101.7. Đạo hàm và tích phân ma trận 101.8. Định thức của ma trận 101.9. Nghịch đảo ma trận 111.10. Ma trận đường chéo 111.11. Ma trận đối xứng 111.12. Ma trận tam giác 122. PHÉP KHỬ GAUSS 122.1. Mô tả 122.2. Giải thuật khử Gauss tổng quát 13

Chương 3. THUẬT TOÁN XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHUNG 16VÀ VÉCTƠ LỰC NÚT CHUNG 16

1. CÁC VÍ DỤ 161.1. Ví dụ 1 161.2. Ví dụ 2 182. THUẬT TOÁN GHÉP K VÀ F 202.1. Nguyên tắc chung 202.2. Thuật toán ghép nối phần tử: 22

Chương 4. PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU 23

1. MỞ ĐẦU 232. MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN 233. CÁC HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ VÀ HÀM DẠNG 244. THẾ NĂNG TOÀN PHẦN 26

ii

Page 5: Giaotrinh FEM V1

5. MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ 266. QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT 277. ĐIỀU KIỆN BIÊN, HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN 288. VÍ DỤ 30BÀI TẬP CHƯƠNG 4 35

Chương 5. PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN HỆ THANH PHẲNG 37

1. MỞ ĐẦU 372. HỆ TOẠ ĐỘ ĐỊA PHƯƠNG, HỆ TOẠ ĐỘ CHUNG 373. MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ 384. ỨNG SUẤT 395. VÍ DỤ 39BÀI TẬP CHƯƠNG 5 41

Chương 6. PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN HAI CHIỀU 44

1. MỞ ĐẦU 441.1. Trường hợp ứng suất phẳng 441.2. Trường hợp biến dạng phẳng 452. RỜI RẠC KẾT CẤU HOÁ BẰNG PHẦN TỬ TAM GIÁC 453. BIỂU DIỄN ĐẲNG THAM SỐ 474. THẾ NĂNG 495. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ TAM GIÁC 506. QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT 517. VÍ DỤ 53BÀI TẬP CHƯƠNG 6 57

Chương 7. BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG TRỤC CHỊU TẢI TRỌNG ĐỐI XỨNG 59

1. MỞ ĐẦU 592. MÔ TẢ ĐỐI XỨNG TRỤC 593. PHẦN TỬ TAM GIÁC 60BÀI TẬP CHƯƠNG 7 68

Chương 8. PHẦN TỬ TỨ GIÁC 70

1. MỞ ĐẦU 702. PHẦN TỬ TỨ GIÁC 703. HÀM DẠNG 704. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ 725. QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT 746. TÍCH PHÂN SỐ 747. TÍNH ỨNG SUẤT 778. VÍ DỤ 77BÀI TẬP CHƯƠNG 8 79

Chương 9. PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU DẦM VÀ KHUNG 80

1. GIỚI THIỆU 802. THẾ NĂNG 803. HÀM DẠNG HERMITE 814. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ DẦM 825. QUY ĐỔI LỰC NÚT 846. TÍNH MÔMEN UỐN VÀ LỰC CẮT 857. KHUNG PHẲNG 85

iii

Page 6: Giaotrinh FEM V1

8. VÍ DỤ 87BÀI TẬP CHƯƠNG 9 91

Chương 10. PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN DẪN NHIỆT 93

1. GIỚI THIỆU 932. BÀI TOÁN DẪN NHIỆT MỘT CHIỀU 932.1. Mô tả bài toán 932.2. Phần tử một chiều 932.3. Ví dụ 943. BÀI TOÁN DẪN NHIỆT HAI CHIỀU 963.1. Phương trình vi phân quá trình dẫn nhiệt hai chiều 963.2. Điều kiện biên 963.3. Phần tử tam giác 973.4. Xây dựng phiếm hàm 993.5. Ví dụ 102BÀI TẬP CHƯƠNG 10 105

Chương 11. PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TẤM - VỎ CHỊU UỐN 106

1. GIỚI THIỆU 1062. LÝ THUYẾT TẤM KIRCHOFF 1063. PHẦN TỬ TẤM KIRCHOFF CHỊU UỐN 1084. PHẦN TỬ TẤM MINDLIN CHỊU UỐN 1135. PHẦN TỬ VỎ 116BÀI TẬP CHƯƠNG 11 119

TÀI LIỆU THAM KHẢO 120

iv

Page 7: Giaotrinh FEM V1

Chương 1GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

1. GIỚI THIỆU CHUNG

Sự tiến bộ của khoa học, kỹ thuật đòi hỏi người kỹ sư thực hiện những đề án ngày càng phức tạp, đắt tiền và đòi hỏi độ chính xác, an toàn cao.

Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một phương pháp rất tổng quát và hữu hiệu cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau. Từ việc phân tích trạng thái ứng suất, biến dạng trong các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máy bay, tàu thuỷ, khung nhà cao tầng, dầm cầu, v.v, đến những bài toán của lý thuyết trường như: lý thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thuỷ đàn hồi, khí đàn hồi, điện-từ trường v.v. Với sự trợ giúp của ngành Công nghệ thông tin và hệ thống CAD, nhiều kết cấu phức tạp cũng đã được tính toán và thiết kế chi tiết một cách dễ dàng.

Hiện có nhiều phần mềm PTHH nổi tiếng như: ANSYS, ABAQAUS, SAP, v.v.

Để có thể khai thác hiệu quả những phần mềm PTHH hiện có hoặc tự xây dựng lấy một chương trình tính toán bằng PTHH, ta cần phải nắm được cơ sở lý thuyết, kỹ thuật mô hình hoá cũng như các bước tính cơ bản của phương pháp.

2. XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN

Giả sử V là miền xác định của một đại lượng cần khảo sát nào đó (chuyển vị, ứng suất, biến dạng, nhiệt độ, v.v.). Ta chia V ra nhiều miền con ve có kích thước và bậc tự do hữu hạn. Đại lượng xấp xỉ của đại lượng trên sẽ được tính trong tập hợp các miền ve.

Phương pháp xấp xỉ nhờ các miền con ve được gọi là phương pháp xấp xỉ bằng các phần tử hữu hạn, nó có một số đặc điểm sau:

- Xấp xỉ nút trên mỗi miền con ve chỉ liên quan đến những biến nút gắn vào nút của ve và biên của nó,

- Các hàm xấp xỉ trong mỗi miền con ve được xây dựng sao cho chúng liên tục trên ve và phải thoả mãn các điều kiện liên tục giữa các miền con khác nhau.

- Các miền con ve được gọi là các phần tử.

3. ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN

3.1. Nút hình học

Nút hình học là tập hợp n điểm trên miền V để xác định hình học các PTHH. Chia miền V theo các nút trên, rồi thay miền V bằng một tập hợp các phần tử ve có dạng đơn giản hơn. Mỗi phần tử ve cần chọn sao cho nó được xác định giải tích duy nhất theo các toạ độ nút hình học của phần tử đó, có nghĩa là các toạ độ nằm trong ve hoặc trên biên của nó.

1

Page 8: Giaotrinh FEM V1

3.2. Qui tắc chia miền thành các phần tử

Việc chia miền V thành các phần tử ve phải thoả mãn hai qui tắc sau:

- Hai phần tử khác nhau chỉ có thể có những điểm chung nằm trên biên của chúng. Điều này loại trừ khả năng giao nhau giữa hai phần tử. Biên giới giữa các phần tử có thể là các điểm, đường hay mặt (Hình 1.1).

- Tập hợp tất cả các phần tử ve phải tạo thành một miền càng gần với miền V cho trước càng tốt. Tránh không được tạo lỗ hổng giữa các phần tử.

4. CÁC DẠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN

Có nhiều dạng phần tử hữu hạn: phần tử một chiều, hai chiều và ba chiều. Trong mỗi dạng đó, đại lượng khảo sát có thể biến thiên bậc nhất (gọi là phần tử bậc nhất), bậc hai hoặc bậc ba v.v. Dưới đây, chúng ta làm quen với một số dạng phần tử hữu hạn hay gặp.

Phần tử một chiều

Phần tử hai chiều

Phần tử ba chiều

Phần tử tứ diện

2

biên giới biên giới

v2v1

biên giới

v2

v1 v1 v2

Hình 1.1. Các dạng biên chung giữa các phần tử

Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba

Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba

Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba

Page 9: Giaotrinh FEM V1

5. PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC

Với mục đích đơn giản hoá việc xác định giải tích các phần tử có dạng phức tạp, chúng ta đưa vào khái niệm phần tử qui chiếu, hay phần tử chuẩn hoá, ký hiệu là vr. Phần tử qui chiếu thường là phần tử đơn giản, được xác định trong không gian qui chiếu mà từ đó, ta có thể biến đổi nó thành từng phần tử thực ve nhờ một phép biến đổi hình học re. Ví dụ trong trường hợp phần tử tam giác (Hình 1.2).

Các phép biến đổi hình học phải sinh ra các phần tử thực và phải thoả mãn các qui tắc chia phần tử đã trình bày ở trên. Muốn vậy, mỗi phép biến đổi hình học phải được chọn sao cho có các tính chất sau:

a. Phép biến đổi phải có tính hai chiều (song ánh) đối với mọi điểm trong phần tử qui chiếu hoặc trên biên; mỗi điểm của vr ứng với một và chỉ một điểm của ve và ngược lại.

b. Mỗi phần biên của phần tử qui chiếu được xác định bởi các nút hình học của biên đó ứng với phần biên của phần tử thực được xác định bởi các nút tương ứng.

Chú ý:

- Một phần tử qui chiếu vr được biến đổi thành tất cả các phần tử thực ve

cùng loại nhờ các phép biến đổi khác nhau. Vì vậy, phần tử qui chiếu còn được gọi là phần tử bố-mẹ.

- Có thể coi phép biến đổi hình học nói trên như một phép đổi biến đơn giản.

- (, ) được xem như hệ toạ độ địa phương gắn với mỗi phần tử.

6. MỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUI CHIẾU

Phần tử qui chiếu một chiều

3

vr

v3

v2

v1

1,00,0

y

x

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

r3

r2

r1

0,1

Hình 1.2. Phần tử quy chiếu và các phần tử thực tam giác

Page 10: Giaotrinh FEM V1

Phần tử qui chiếu hai chiều

Phần tử qui chiếu ba chiều

Phần tử tứ diện

Phần tử sáu mặt

4

0 1-1 0 1-1 -1/2 1-1 1/20

Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba

Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba

vr

10,0

1

vr

10,0

1

vr

10,0

1

1/2,1/2

1/2

1/2

1/3,2/3

2/3,1/3

2/31/3

1/3 2/3

Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba

vr

0,1,00,0,0

0,0,1

vr

0,1,0

0,0,1

vr

1,0,0

1,0,0

0,1,0

1,0,0

0,0,1

Page 11: Giaotrinh FEM V1

5

vr

Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba

0,1,1

vr

1,1,0

0,1,1

1,1,0

vr

0,1,1

1,1,0

Page 12: Giaotrinh FEM V1

7. LỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT

Có thể chia lực tác dụng ra ba loại và ta biểu diễn chúng dưới dạng véctơ cột:

- Lực thể tích f : f = f[ fx, fy , fz]T

- Lực diện tích T : T = T[ Tx, Ty , Tz]T

- Lực tập trung Pi: Pi= Pi [ Px, Py , Pz]T

Chuyển vị của một điểm thuộc vật được ký hiệu bởi:

u = [u, v, w] T (1.1)

Các thành phần của tenxơ biến dạng được ký hiệu bởi ma trận cột:

= [x , y, z, yz, xz, xy] T (1.2)

Trường hợp biến dạng bé:

(1.3)

Các thành phần của tenxơ ứng suất được ký hiệu bởi ma trận cột:

= [x , y, z, yz, xz, xy] T (1.4)

Với vật liệu đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, ta có quan hệ giữa ứng suất với biến dạng:

= D (1.5)

Trong đó:

E là môđun đàn hồi, là hệ số Poisson của vật liệu.

8. NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU HOÁ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN

Thế năng toàn phần của một vật thể đàn hồi là tổng của năng lượng biến dạng U và công của ngoại lực tác dụng W:

= U + W (1.6)

Với vật thể đàn hồi tuyến tính thì năng lượng biến dạng trên một đơn vị thể tích

được xác định bởi:

Do đó năng lượng biến dạng toàn phần:

(1.7)

Công của ngoại lực được xác định bởi:

6

Page 13: Giaotrinh FEM V1

(1.8)

Thế năng toàn phần của vật thể đàn hồi sẽ là:

(1.9)

Trong đó: u là véctơ chuyển vị và Pi là lực tập trung tại nút i có chuyển vị là ui

Áp dụng nguyên lý cực tiểu thế năng: Đối với một hệ bảo toàn, trong tất cả các di chuyển khả dĩ, di chuyển thực ứng với trạng thái cân bằng sẽ làm cho thế năng đạt cực trị. Khi thế năng đạt giá trị cực tiểu thì vật (hệ) ở trạng thái cân bằng ổn định.

9. SƠ ĐỒ TÍNH TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Một chương trình tính bằng PTHH thường gồm các khối chính sau:

Khối 1: Đọc các dữ liệu đầu vào: Các dữ liệu này bao gồm các thông tin mô tả nút và phần tử (lưới phần tử), các thông số cơ học của vật liệu (môđun đàn hồi, hệ số dẫn nhiệt...), các thông tin về tải trọng tác dụng và thông tin về liên kết của kết cấu (điều kiện biên);

Khối 2: Tính toán ma trận độ cứng phần tử k và véctơ lực nút phần tử f của mỗi phần tử;

Khối 3: Xây dựng ma trận độ cứng tổng thể K và véctơ lực nút F chung cho cả hệ (ghép nối phần tử);

Khối 4: Áp đặt các điều kiện liên kết trên biên kết cấu, bằng cách biến đổi ma trận độ cứng K và vec tơ lực nút tổng thể F;

Khối 5: Giải phương trình PTHH, xác định nghiệm của hệ là véctơ chuyển vị chung Q;

Khối 6: Tính toán các đại lượng khác (ứng suất, biến dạng, gradiên nhiệt độ, v.v.) ;

Khối 7: Tổ chức lưu trữ kết quả và in kết quả, vẽ các biểu đồ, đồ thị của các đại lượng theo yêu cầu.

Sơ đồ tính toán với các khối trên được biểu diễn như hình sau (Hình 1.3);

7

Page 14: Giaotrinh FEM V1

8

Tính toán ma trận độ cứng phần tử kTính toán véctơ lực nút phần tử f

Giải hệ phương trình KQ = F(Xác định véctơ chuyển vị nút tổng thể Q)

Đọc dữ liệu đầu vào- Các thông số cơ học của vật liệu - Các thông số hình học của kết cấu- Các thông số điều khiển lưới- Tải trọng tác dụng- Thông tin ghép nối các phần tử - Điều kiện biên

Xây dựng ma trận độ cứng K và véctơ lực chung F

Áp đặt điều kiện biên(Biến đổi các ma trận K và vec tơ F)

Tính toán các đại lượng khác(Tính toán ứng suất, biến dạng, kiểm tra bền, v.v)

In kết quả- In các kết quả mong muốn - Vẽ các biểu đồ, đồ thị

Hình 1.3. Sơ đồ khối của chương trình PTHH

Page 15: Giaotrinh FEM V1

Chương 2ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN

Áp dụng phương pháp PTHH trong các bài toán kỹ thuật thường liên quan đến một loạt các phép toán trên ma trận. Vì vậy, các phép toán cơ bản trên ma trận và phương pháp khử Gaussian (Gauss) để giải hệ phương trình tuyến tính sẽ là 2 nội dung chính được đề cập trong chương này.

1. ĐẠI SỐ MA TRẬN

Các công cụ toán học về ma trận được đề cập trong phần này là các công cụ cơ bản để giải bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính, có dạng như sau:

(2.1)

trong đó, x1, x2, …, xn là các nghiệm cần tìm. Hệ phương trình (2.1) có thể được biểu diễn ở dạng thu gọn:

Ax = b (2.2)

trong đó, A là ma trận vuông có kích thước (n n), và x và b là các véctơ (n1), được biển diễn như sau:

1.1. Véctơ

Một ma trận có kích thước (1 n) được gọi là véctơ hàng, ma trận có kích thước (n 1) được gọi là véctơ cột. Ví dụ một véctơ hàng (1 4):

và véctơ cột (3 1):

1.2. Ma trận đơn vị

Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo chính bằng 1, ví dụ:

9

Page 16: Giaotrinh FEM V1

1.3. Phép cộng và phép trừ ma trận.

Cho 2 ma trận A và B, cùng có kích thước là (m n). Tổng của chúng là 1 ma trận C = A + B và được định nghĩa như sau:

cij = aij + bij (2.3)

Ví dụ:

phép trừ được định nghĩa tương tự.

1.4. Nhân ma trận với hằng số

Nhân 1 ma trận A với hằng số c được định nghĩa như sau:

cA=[caij] (2.4)

Ví dụ:

1.5. Nhân hai ma trận

Tích của ma trận A kích thước (m n) với ma trận B kích thước (n p) là 1 ma trận C kích thước (m p), được định nghĩa như sau:

A B = C (2.5)

(m n) (n p) (m p)

trong đó, phần tử thứ (ij) của C là (cij) được tính theo biểu thức:

(2.6)

Ví dụ:

Chú ý:

- Điều kiện để tồn tại phép nhân 2 ma trận AB là số cột của ma trận A phải bằng số hàng của ma trận B.

- Trong phần lớn các trường hợp, nếu tồn tại tích 2 ma trận AB và BA, thì tích 2 ma trận không có tính chất giao hoán, có nghĩa là AB BA.

10

Page 17: Giaotrinh FEM V1

1.6. Chuyển vị ma trận

Chuyển vị của ma trận A = [aij] kích thước (m n) là 1 ma trận, ký hiệu là AT có kích thước là (n m), được tạo từ ma trận A bằng cách chuyển hàng của ma trận A thành cột của ma trận AT. Khi đó, (AT)T = A.

Chuyển vị của một tích các ma trận là tích các chuyển vị của ma trận thành phần theo thứ tự đảo ngược, có nghĩa là:

(ABC)T=CTBT AT. (2.7)

1.7. Đạo hàm và tích phân ma trận

Trong nhiều bài toán kỹ thuật, các phần tử của ma trận không phải là 1 hằng số, chúng là các hàm số 1 biến hay nhiều biến. Ví dụ:

Trong các trường hợp đó, các ma trận có thể được đạo hàm hay tích phân. Phép đạo hàm (hay phép tích phân) của 1 ma trận, đơn giản là lấy đạo hàm (hay lấy tích phân) đối với mỗi phần tử của ma trận:

(2.8)

(2.9)

Chúng ta sẽ sử dụng thường xuyên biểu thức (2.8) để xây dựng hệ phương trình PTHH trong các chương sau. Xét ma trận vuông A, kích thước (n n) với các hệ số hằng, véctơ cột x = {x1 x2 ... xn}T chứa các biến. Khi đó, đạo hàm của Ax theo 1 biến xp

sẽ là:

(2.10)

trong đó, ap là véctơ cột và chính là cột thứ p của ma trận A.

1.8. Định thức của ma trận

Cho ma trận vuông A = [aij], kích thước (n n). Định thức của ma trận A được định nghĩa như sau:

(2.11)

trong đó, Aij là ma trận kích thước (n-1 n-1) thu được bằng cách loại đi hàng i cột j của ma trận A.

11

Page 18: Giaotrinh FEM V1

Ví dụ:

Công thức (2.11) là công thức tổng quát. Theo công thức này, định thức của ma trận vuông có kích thước (n n) được xác định theo phương pháp truy hồi từ định thức các ma trận có kích thước (n-1 n-1). Trong đó, ma trận chỉ có 1 phần tử (1 1) có:

det(apq) = apq (2.12)

1.9. Nghịch đảo ma trận

Cho ma trận vuông A, nếu det(A) 0, thì A có ma trận nghịch đảo và ký hiệu là A-

1. Ma trận nghịch đảo thỏa mãn quan hệ sau:

A-1A = AA-1 = I (2.13)

Nếu det(A) = 0, A là ma trận suy biến và không tồn tại ma trận nghịch đảo. Nếu det(A) 0 ta gọi A là ma trận không suy biến. Khi đó, nghịch đảo của A được xác định như sau:

(2.14)

Trong đó, adjA là ma trận bù của A, có các phần tử và Aji là ma trận

thu được từ A bằng cách loại đi hàng thứ j và cột thứ i.

Ví dụ:

Nghịch đảo của ma trận A kích thước (2 2) là:

1.10. Ma trận đường chéo

Một ma trận vuông có các phần tử bằng không ngoại trừ các phần tử trên đường chéo chính được gọi là ma trận đường chéo. Ví dụ:

1.11. Ma trận đối xứng

Ma trận đối xứng là một ma trận vuông có các phần tử thoả mãn điều kiện:

aij = aji hay: A = AT (2.15)

Như vậy, ma trận đối xứng là ma trận có các phần tử đối xứng qua đường chéo chính.

12

Page 19: Giaotrinh FEM V1

1.12. Ma trận tam giác

Ma trận được gọi là ma trận tam giác trên hay ma trận tam giác dưới, tương ứng là các ma trận có tất cả các phần tử nằm dưới hay nằm trên đường chéo chính bằng không.

Ví dụ, các ma trận được minh hoạ dưới đây tương ứng là ma trận tam giác trên A và ma trận tam giác dưới B:

2. PHÉP KHỬ GAUSS

Xét hệ phương trình tuyến tính được biểu diễn ở dạng ma trận như sau:

Ax = b

trong đó, A là ma trận vuông kích thước (n n). Nếu detA 0, thì ta có thể thực hiện phép biến đổi phương trình trên bằng cách nhân 2 vế với A-1 và nhận được nghiệm: x = A-1b. Tuy nhiên, trong hầu hết các bài toán kỹ thuật, kích thước của ma trận A là rất lớn và các phần tử của A thường là số thực với miền xác định rất rộng; do đó, việc tính toán ma trận nghịch đảo của A là rất phức tạp và dễ gặp phải sai số do việc làm tròn trong các phép tính. Vì vậy, phương pháp khử Gauss là một công cụ rất hữu ích cho việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính.

2.1. Mô tả

Chúng ta sẽ bắt đầu mô tả phương pháp khử Gauss thông qua một ví dụ minh hoạ sau đây; sau đó tìm hiểu giải thuật khử Gauss tổng quát.

Xét hệ phương trình:

(1)

(2)

(3)

Bước 1: bằng các phép biến đổi tương đương để khử x1 trong các phương trình (2) và (3), ta được hệ:

(1)

(21)

(31)

Bước 2: khử x2 trong phương trình (31), ta được hệ:

(1)

(21)

(32)Ở đây, ta nhận được hệ phương trình mà ma trận các hệ số lập thành ma trận tam

giác trên. Từ phương trình cuối cùng (32), ta tìm được nghiệm x3, lần lượt thế các

13

Page 20: Giaotrinh FEM V1

nghiệm tìm được vào phương trình trên nó, (21) và (1). Sẽ nhận được các ẩn số cần tìm

như sau: . Phương pháp tìm nghiệm khi ma trận các hệ số là

ma trận tam giác trên này được gọi là phương pháp thế ngược.

Các thao tác trên có thể được biểu diễn dưới dạng ngắn gọn như sau:

bằng phương pháp thế ngược, cuối cùng ta nhận được các nghiệm:

2.2. Giải thuật khử Gauss tổng quát

Giải thuật khử Gauss tổng quát sẽ được biểu diễn thông qua các bước thực hiện đối với một hệ phương trình tuyến tính tổng quát như sau:

(2.16)

Để thực hiện phương pháp khử Gauss, ta xét các thủ tục tác động đến các ma trận hệ số A và ma trận các số hạng tự do b như sau:

(2.17)

Bước 1. Sử dụng phương trình thứ nhất (hàng 1) để loại x1 ra khỏi các phương trình còn lại. Bước này sẽ tác động đến các phần tử nằm trong vùng đã đánh dấu và làm cho các phần tử từ hàng 2 đến hàng thứ n của cột 1 bằng không nhờ phép biến đổi (2.18) sau:

(2.18)

Bước 2. Sử dụng phương trình thứ hai (hàng 2) để loại x2 ra khỏi các phương trình còn

14

Page 21: Giaotrinh FEM V1

lại. Bước này sẽ tác động đến các phần tử nằm trong vùng đã đánh dấu dưới đây và làm cho các phần tử từ hàng 3 đến hàng thứ n của cột 2 bằng không.

(2.19)

Các bước như trên sẽ được lặp lại đến khi trong vùng đánh dấu chỉ còn 1 phần tử. Một cách tổng quát, tại bước thứ k ta có:

(2.20)

Ở bước này, các phần tử trong miền đánh dấu được tác động nhờ phép biến đổi

(2.21)

Cuối cùng, sau n-1 bước như trên, chúng ta nhận được hệ (2.16) dưới dạng:

(2.22)

Từ hệ (2.22) này, bằng phương pháp thế ngược từ dưới lên ta nhận được các nghiệm của hệ phương trình (2.16) như sau (ở đây, để tiện theo dõi, chúng ta bỏ qua ký hiệu chỉ số trên trong các hệ số của ma trận A và b):

15

Page 22: Giaotrinh FEM V1

(2.23)

16

Page 23: Giaotrinh FEM V1

Chương 3THUẬT TOÁN XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHUNG

VÀ VÉCTƠ LỰC NÚT CHUNG

Việc ghép các ma trận độ cứng k và các véctơ lực f của các phần tử để tạo ra ma trận độ cứng K và véctơ lực nút F chung cho cả hệ, từ đó thiết lập hệ phương trình PTHH là một vấn đề quan trọng.

Ta sẽ cộng các số hạng của ma trận độ cứng của mỗi phần tử vào các vị trí tương ứng của ma trận độ cứng chung và cộng các số hạng của véctơ lực vào véctơ lực chung.

Cách dễ nhất để ghép các phần tử là gán số cho mỗi dòng và cột của ma trận độ cứng phần tử đúng với bậc tự do của phần tử ấy, sau đó chúng ta sẽ làm việc qua các số hạng của ma trận phần tử; tức là cộng các số hạng này vào ma trận chung mà mỗi dòng, mỗi cột cũng được gán đúng những số trên.

Dưới đây ta sẽ xét hai ví dụ.

1. CÁC VÍ DỤ

1.1. Ví dụ 1

Một kết cấu được chia ra 8 phần tử tam giác như Hình 3.1. Mỗi phần tử có 3 nút; mỗi nút có 1 bậc tự do (ví dụ nhiệt độ).

Mô tả quá trình ghép nối ma trận độ cứng chung K với giả sử chỉ xét 3 phần tử đầu tiên: 1, 2 và 3 với các ma trận độ cứng đã biết như sau:

; ;

17

1 2 3

54 6

7 8 9

12

34

56

78

e

1 2

3

Hình 3.1

Page 24: Giaotrinh FEM V1

Lời giải

1. Xây dựng bảng ghép nối phần tử (đường đến các nút ngược chiều kim đồng hồ)

Bậc tự doPhần tử

1 2 3

1 1 2 42 4 2 53 2 3 5

2. Xét từng phần tử

Với phần tử 1, các dòng và cột được nhận dạng như sau:

Ma trận này được cộng vào ma trận độ cứng chung và ta sẽ được:

Ma trận độ cứng của phần tử 2 được gán số bởi:

Các số hạng của ma trận k2 được cộng thêm vào ma trận chung, cho ta

Với phần tử 3:

Các số hạng của ma trận k3 được cộng tiếp vào ma trận chung ở trên, cho ta

18

Page 25: Giaotrinh FEM V1

Việc cộng các véctơ lực phần tử vào véctơ lực chung được tiến hành hoàn toàn tương tự.

1.2. Ví dụ 2

Giả sử có hai phần tử 1 và 4 trong bài toán hai chiều; mỗi phần tử có 3 nút, mỗi nút có 2 bậc tự do (Hình 3.2). Hãy mô tả quá trình ghép nối ma trận độ cứng chung K và véctơ lực nút chung, theo các ma trận độ cứng phần tử và véctơ lực nút phần tử k1, k4, f1 và f4 cho trước như sau:

;

;

Các nút của phần tử 1 là: (1, 2, 5). Bậc tự do tương ứng của phần tử là:

Các hàng và cột của ma trận độ cứng phần tử 1 được gán các số ứng với bậc tự do tương ứng của nó và các số hạng của ma trận được cộng vào các vị trí tương ứng của ma trận độ cứng chung.

19

i

1 2

3

1

4

5 6

21

Hình 3.2

2

Page 26: Giaotrinh FEM V1

Tiến hành tương tự đối với ma trận độ cứng của phần tử 4. Các nút của phần tử 4 là: (5, 2, 6). Bậc tự do tương ứng của phần tử là:

Các số hạng của ma trận được cộng vào các vị trí tương ứng của ma trận độ cứng chung, ta nhận được kết quả như sau:

20

Page 27: Giaotrinh FEM V1

Véctơ lực nút của các phần tử 1 và 4 cũng được cộng vào véctơ lực nút chung theo cách tương tự:

;

2. THUẬT TOÁN GHÉP K VÀ F

2.1. Nguyên tắc chung

Qua hai ví dụ trên ta thấy ma trận độ cứng chung K chính là tổng của các ma trận mở rộng [ke] của các phần tử. Véctơ lực chung F cũng chính là tổng của các véctơ lực mở rộng {fe} của các phần tử:

(3.1)

Để chuẩn hoá các bước ghép nối, ta xây dựng bảng định vị index cho mỗi phần tử. Bảng index sẽ cho biết vị trí của mỗi số hạng của qn trong Qn. Kích thước của bảng index là (noe edof ), với edof là ký hiệu cho số bậc tự do của phần tử và noe là ký hiệu cho tổng số phần tử.

Mỗi nút có một bậc tự do

Trở lại ví dụ 3.1, bảng index chính là bảng ghép nối phần tử ở trên.

21

Page 28: Giaotrinh FEM V1

Khi ấy:

- Với phần tử 1 (e =1) :

- Với phần tử 2 (e =2)

- Với phần tử 3 (e =3)

Chú ý: ký hiệu (:) trong index(e,:) chỉ các phần tử thuộc hàng e của index.

Mỗi nút có hai bậc tự do

Trở lại ví dụ 3.2 đã xét ở trên, bảng index là: Bậc tự doPhần tử

1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 9 10... ... ... ...4 9 10 3 4 11 12

Khi ấy:

- Với phần tử số 1

- Với phần tử số 4

Với sự giúp đỡ của bảng index, mỗi số hạng kij của ma trận ke được cộng vào của [K] sao cho:

I = index(e,i), với i = 1.. sdofJ = index(e,j), với j = 1.. sdof

hoặc: (3.2)

Tương tự, mỗi số hạng fi của {fe}được chuyển sang FI của F sao cho:

(3.3)

2.2. Thuật toán ghép nối phần tử:

Bước 1: Khởi tạo ma trận vuông [K] có kích thước (sdof sdof) và véctơ cột {F} có kích thước (sdof 1), với các số hạng bằng không. Trong đó, sdof là ký hiệu cho tổng số bậc tự do của các nút trong toàn hệ.

22

Page 29: Giaotrinh FEM V1

Bước 2: Với mỗi phần tử e (e = 1:noe), cộng đúng vị trí mỗi số hạng kij của của ma trận phần tử ke vào số hạng của ma trận [K]:

(3.4)

Bước 3: Với mỗi phần tử e (e = 1:noe), cộng đúng vị trí mỗi số hạng fi của của véctơ lực phần tử f vào số hạng FI của véctơ lực chung F:

(3.5)

Sơ đồ thuật toán được mô tả như Hình 3.3 sau:

23

K=zero(sdof,sodf);F=zero(sdof,1);

e =1; i = 1; j = 1;

jikieindexieindexKieindexieindexK e ,),(),,(),(),,(

j edof

j = j + 1;

i = i+1;

i edof

ifieindexFieindexF e ),(),(

e = e +1;

e noe

...

...

T

T

T

F

F

F

Hình 3.3. Sơ đồ thuật toán ghép nối phần tử

Page 30: Giaotrinh FEM V1

Chương 4PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU

1. MỞ ĐẦU

Để giải bài toán một chiều (1D) bằng phương pháp phần tử hữu hạn, chúng ta sẽ sử dụng nguyên lý cực tiểu hoá thế năng toàn phần và các quan hệ: quan hệ ứng suất-biến dạng, quan hệ biến dạng-chuyển vị. Với bài toán hai chiều (2D) và ba chiều (3D), cách tiếp cận cũng tương tự.

Trong bài toán một chiều, các đại lượng: chuyển vị, biến dạng, ứng suất chỉ phụ thuộc vào biến x. Ta biểu diễn chúng như sau:

(4.1)

Quan hệ giữa ứng suất với biến dạng, biến dạng với chuyển vị:

(4.2)

Với bài toán một chiều, vi phân thể tích dv được viết dưới dạng:

dv=Adx (4.2)

trong đó, A là diện tích mặt cắt ngang.

2. MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN

Có thể chia thanh ra nhiều phần tử, mỗi phần tử có tiết diện ngang không đổi (hoặc thay đổi). Chẳng hạn, ta chia thanh ra 5 phần tử với các nút được đánh số từ 1 đến 6, các chỉ số nút này là chỉ số nút toàn cục (Hình 4.1a); mỗi phần tử có hai nút 1 và 2, các chỉ số nút này là chỉ số nút cục bộ (Hình 4.1b).

Trong bài toán một chiều, mỗi nút chỉ có một chuyển vị theo phương x . Vì vậy mỗi nút chỉ có một bậc tự do, n nút có n bậc tự do.

Chuyển vị tổng thể được kí hiệu là Qi ; i = 1, n; chuyển vị địa phương của mỗi phần tử được ký hiệu là qj; j = 1, 2

Véctơ cột Q Qi

T được gọi là véctơ chuyển vị chung (tổng thể).

Lực nút được kí hiệu là Fi ; i = 1, n.

Véctơ cột F Fi

T được gọi là véctơ lực nút chung (tổng thể).

24

1 2 3 4 5 x1 2 3 4 5 6

Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6

e1 2

q1 q2

Hình 4.1a. Chỉ số toàn cục Hình 4.1b. Chỉ số cục bộ

Page 31: Giaotrinh FEM V1

Để ghép nối các phần tử với nhau, ta sử dụng bảng ghép nối các phần tử như sau:

Bảng 3.1. Bảng ghép nối các phần tử

Phần tửNút

1(đầu) 2(cuối)

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

2

3

4

5

6

3. CÁC HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ VÀ HÀM DẠNG

Khảo sát một phần tử e như Hình 4.2. Theo sơ đồ đánh số nút cục bộ:

Nút thứ nhất là 1

Nút thứ hai là 2

Theo ký hiệu, x = x1 là tọa độ của nút thứ nhất; x = x2 là tọa độ của nút thứ hai. Ta định nghĩa hệ tọa độ qui chiếu (hay chuẩn hoá) được ký hiệu là như sau:

(4.3)

Vậy:

Ta sử dụng hệ tọa độ địa phương này để xác định hàm dạng với mục đích nội suy ra trường chuyển vị trong các phần tử.

Bây giờ trường chuyển vị cần tìm cho một phần tử sẽ được nội suy bằng một phép biến đổi tuyến tính (Hình 4.3).

25

e1 2

x2

xx1

= -1 = 1

(b)(a)

Hình 4.2. Phần tử trong hệ toạ độ x và

e1 2

u2u1

Hình 4.3. Nội suy tuyến tính trường chuyển vị của một phần tử

q2q1

e1 2

Chỉ số địa phương

Chỉ số chung

Page 32: Giaotrinh FEM V1

Để thực hiện được phép nội suy này, cần đưa vào một hàm dạng tuyến tính:

(4.4)

Các hàm dạng được minh hoạ trên Hình 4.4. Đồ thị của hàm dạng N1 trên Hình 4.4a được suy ra từ phương trình (4.4): N1 = 1 tại = -1 và N1 = 0 tại = 1. Tương tự ta có đồ thị của N2.

Một khi các hàm dạng được xác định, trường chuyển vị của phần tử sẽ được biểu diễn qua các chuyển vị nút q1 và q2 như sau:

2211 qNqNu (4.5)Hoặc dưới dạng ma trận:

u = Nq (4.6)

Trong đó: N N N 1 2,

(4.7)

Trong biểu thức trên, q là véctơ chuyển vị của phần tử. Từ (4.5), ta thấy u = q1 tại nút 1; u = q2 tại nút 2 và u biến thiên tuyến tính trong phần tử (Hình 4.4c).

Ta đã biết:

Bây giờ ta nội suy tọa độ x nhờ các hàm dạng 21 , NN

(4.8)

So sánh:

ta thấy chuyển vị u và toạ độ x được nội suy trên cùng phần tử nhờ cùng các hàm dạng N1 và N2. Trong trường hợp này, ta có phép biểu diễn đẳng tham số.

Chú ý: Các hàm dạng cần thoả mãn:

1) Đạo hàm bậc nhất phải hữu hạn,

26

1

N1

Hình 4.4. (a), (b). Hàm dạng N1, N2; (c). Nội suy tuyến tính

-1 0 1

1

N2

u

1 2

2

11

N

2

12

N

q1

q2

u=N1q1+N2q2

211 2

(a) (b) (c)

-1 0 1

Page 33: Giaotrinh FEM V1

2) Chuyển vị phải liên tục trên các biên của phần tử.

Mặt khác:

(4.9)

mà:

(4.10)

suy ra

(4.11)

(4.12)

(4.13)

do đó:

(4.14)

Trong đó ma trận B được gọi là ma trận biến dạng-chuyển vị của phần tử.

Theo định luật Hooke, ta có biểu thức tính ứng suất:

= EBq (4.15)

Chú ý:

B, , là các đại lượng hằng số;

Các biểu thức u = Nq; = Bq; = EBq mô tả chuyển vị, biến dạng và ứng suất qua các giá trị chuyển vị nút của phần tử. Ta sẽ thế các biểu thức này vào biểu thức thế năng của thanh để thiết lập ma trận độ cứng và ma trận lực nút của phần tử.

4. THẾ NĂNG TOÀN PHẦN

Áp dụng công thức (1.3) - Chương 1, ta tính được thế năng toàn phần của thanh:

(4.16)

Khi vật thể được chia ra làm nhiều phần tử hữu hạn, thì

(4.17)

5. MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ

Gọi:

27

Page 34: Giaotrinh FEM V1

là thế năng biến dạng của phần tử, ta có:

(4.18)

Chú ý rằng: Ae, Ee và B là các đại lượng hằng số, và

, với:

Khi ấy, ta có biểu thức của năng lượng biến dạng của phần tử:

với:

ta có:

Gọi:

(4.19)

là ma trận độ cứng của phần tử .

Khi đó, biểu thức thế năng (4.18) được biểu diễn ở dạng thu gọn như sau:

(4.20)

6. QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT

Khi vật thể đã được rời rạc hóa bằng các phần tử hữu hạn với các nút xác định, ta phải qui đổi các loại lực tác dụng về nút.

Lần lượt xét từng thành phần biểu diễn công của ngoại lực trong biểu thức thế năng (4.17), ta có:

- Công do lực khối:

mà:

28

Page 35: Giaotrinh FEM V1

Với:

(4.21)

là lực thể tích quy đổi về nút của phần tử

- Công do lực diện tích:

Với:

(4.22)

được gọi là lực diện tích qui đổi về nút của phần tử

Cuối cùng, biểu thức được viết gọn dưới dạng

(4.23)

Trong đó:

Q là véctơ chuyển vị nút chung,

K là ma trận độ cứng chung, được xác định từ các ma trận độ cứng ke của các phần tử:

F là véctơ lực nút chung, được xác định từ các véctơ lực nút: fe, Te, P của các phần tử:

Với phần tử một chiều và mỗi nút có một bậc tự do, ta vẫn sử dụng bảng ghép nối phần tử ở trên để thiết lập ma trận độ cứng K và véctơ lực F.

7. ĐIỀU KIỆN BIÊN, HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN

Sau khi rời rạc hóa vật thể nhờ phương pháp phần tử hữu hạn, ta xác định được biểu thức thế năng toàn phần (4.23).

Bây giờ phải xây dựng phương trình cân bằng để từ đó xác định các chuyển vị nút, sau đó tính ứng suất, biến dạng và các phản lực liên kết.

Bằng cách cực tiểu biểu thức thế năng đối với Q, tức là cho cho thế năng biến dạng "chịu" điều kiện biên, ta sẽ thu được phương trình cân bằng.

29

Page 36: Giaotrinh FEM V1

Dưới đây ta trình bày cách nhập điều kiện biên. Phương pháp này được áp dụng không chỉ cho bài toán một chiều mà còn cho cả bài toán hai, ba chiều.

Điều kiện biên thường có dạng:

Qi = ai

Biểu thức trên có nghĩa là chuyển vị Qi phải bằng ai .

Ở đây, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp khử để nhập các điều kiện biên.

Khảo sát trường hợp đơn giản: Q1 = a1.

Với một kết cấu có n bậc tự do, ta có

Ma trận độ cứng tổng thể có dạng:

(4.24)

K là ma trận đối xứng

Ta viết biểu thức của thế năng dưới dạng khai triển như sau:

(4.25)

Thay Q1 = a1 vào phương trình trên, ta được:

(4.26)

Chú ý rằng chúng ta đã khử chuyển vị Q1 trong biểu thức của thế năng ở trên. Áp dụng điều kiện cực tiểu thế năng:

(4.27)

ta thu được:

(4.28)

30

Page 37: Giaotrinh FEM V1

Khi ấy, hệ phương trình PTHH được biểu diễn như sau:

(4.29)

Nhận xét: Ma trận độ cứng (n-1)(n-1) ở trên được nhận từ ma trận độ cứng (nn) ban đầu (4.23) bằng cách bỏ đi hàng thứ nhất và cột thứ nhất (vì Q1 = a1). Hệ phương trình (4.28) được viết dưới dạng cô đọng:

KQ = F (4.30)

Ma trận K trong (4.30) là ma trận không kỳ dị còn ma trận K ban đầu (4.24) là ma trận kỳ dị (det K=0).

Áp dụng phương pháp khử Gauss (xem chương 2) để giải hệ phương trình (4.30), ta sẽ tìm được chuyển vị Q;

Nhờ bảng thông tin ghép nối phần tử đã giới thiệu ở phần đầu, ta sẽ xác định được chuyển vị nút q của phần tử từ chuyển vị chung Q đã tìm được ở trên.

Áp dụng công thức ta tìm được ứng suất;

Để xác định phản lực liên kết R1, ta viết phương trình cân bằng cho nút 1:

(4.31)

Trong đó Qi đã được xác định, (fe+Te)1 là lực tác dụng tại nơi đặt liên kết cũng đã biết.

8. VÍ DỤ

Ví dụ 4.1.

Cho một trục bậc chịu tác dụng của lực P = 10 N (hình 4.5a). Biết tiết diện các đoạn: A1=20 mm2; A2 = 10 mm2; chiều dài các đoạn l1 = l2 = 100 mm; và môđun đàn hồi: E1 = E2 = 200 gPa. Hãy xác định chuyển vị tại B và C; biến dạng, ứng suất trong các đoạn trục AB, BC.

31

A

1

Hình 4.5. (a) Trục bậc chịu kéo đúng tâm; (b) Sơ đồ phần tử

P=10 kNx

B C

1 2

2 3

(a)

(b)

Page 38: Giaotrinh FEM V1

Lời giải

Chia trục làm hai phần tử: 1 và 2, Hình 4.5b.

1. Bảng ghép nối phần tử được thiết lập như sau:

Phần tử Nút i Nút j

1 1 2

2 2 3

2. Xác định ma trận độ cứng của phần tử 1: k1 và 2: k2

3. Ma trận độ cứng chung K:

4. Véctơ lực nút chung F: F = [R 0 10]T

5. Hệ phương trình phần tử hữu hạn:

6. Áp đặt điều kiện biên:

Do Q1 = 0 (liên kết ngàm tại A), do đó ta loại dòng 1 và cột 1 trong hệ phương trình trên. Cuối cùng ta thu được hệ phương trình:

7. Xác định chuyển vị, biến dạng, ứng suất

Giải hệ phương trình trên ta được:

Q2 = 0,25 10-3 mm

Q3 = 0,75 10-3 mm

áp dụng công thức (4.31), ta tìm được phản lực liên kết:

R1 =104 (-4 Q2 ) = -10 N

Biến dạng được tính cho mỗi phần tử

1 = (-q1 + q2 )/l = 0,25 x10-5 /100 = 2,5 x10-6

2 = (-q2 + q3 )/l = 5 x10-6

Ứng suất được tính cho mỗi phần tử

1 = E 1 = 0,5 N/mm2

2 = E 2 = 1 N/mm2

32

Page 39: Giaotrinh FEM V1

Ví dụ 4.2.

Cho một trục bậc chịu liên kết ngàm 2 đầu và tác dụng của lực P = 200 kN (hình 4.6a). Biết tiết diện các đoạn: A1=2400 mm2; A2 = 600 mm2; chiều dài các đoạn l1 = 300mm, l2 = 400 mm; và môđun đàn hồi: E1 = 70 gPa, E2 = 200 gPa. Hãy xác định chuyển vị tại B; ứng suất trong các đoạn trục AB, BC và phản lực tại A và C.

Lời giải

Chia trục làm hai phần tử: 1 và 2, như hình 4.5b ở ví dụ 4.1.

1. Bảng ghép nối phần tử được thiết lập như sau:

Phần tử Nút i Nút j

1 1 2

2 2 3

2. Xác định ma trận độ cứng của phần tử 1: k1 và 2: k2

3. Ma trận độ cứng chung K:

4. Véctơ lực nút chung F:

F = [R1 200103 R3]T

5. Hệ phương trình phần tử hữu hạn:

33

2

A

Hình 4.6. Trục bậc chịu kéo đúng tâm

x

1 BC

P=200 KN

Page 40: Giaotrinh FEM V1

6. Áp đặt điều kiện biên:

Do Q1 = 0 (liên kết ngàm tại A) và Q3 = 0 (liên kết ngàm tại C) , do đó ta loại dòng 1, cột 1 và dòng 3, cột 3 trong hệ phương trình trên. Cuối cùng ta thu được phương trình:

860 Q2 = 200

7. Xác định chuyển vị, biến dạng, ứng suất

Giải phương trình trên ta được:

Q2 = 0,23257 mm

Áp dụng công thức (4.31), ta tìm được các phản lực liên kết:

R1 =103 (-560 Q2 ) = -130,233 KN

R3 =103 (-300 Q2 ) = -69,767 KN

Biến dạng được tính cho mỗi phần tử

1 = (-q1 + q2 )/l1 = 0,23257 /300 = 7,752 10-4

2 = (-q2 + q3 )/l2 = -0,23257 /400 = 5,81410-4

Ứng suất được tính cho mỗi phần tử

1 = E11 = 54,26 N/mm2

2 = E2 2 = 116,28 N/mm2

Ví dụ 4.3.

Cho một trục tròn chịu liên kết ngàm tại A, khe hở giữa đầu C và thành cứng là 1,2mm, chịu tác dụng của lực P = 60 kN tại B (hình 4.7). Biết tiết diện của thanh là A=250 mm2; và môđun đàn hồi: E = 20103N/mm2 Hãy xác định chuyển vị tại B; và phản lực tại A và C.

Lời giải

Ở đây, ta đã xem như đã thực hiện bước kiểm tra để kết luận rằng, trong quá trình biến dạng, đầu C của trục đã tiếp xúc với thành cứng và tiếp tục biến dạng. Tương tự các ví dụ trên, ta chia trục làm hai phần tử (1) và (2). Khi đó, ma trận độ cứng chung K được xác định như sau:

34

2A

Hình 4.7. Tính kết cấu bằng phương pháp PTHH

x

1 B C

150mm150mm 1,2mm

P=60 KN

Page 41: Giaotrinh FEM V1

Véctơ lực nút chung F: F = [R1 60103 R3]T

Hệ phương trình phần tử hữu hạn:

Áp đặt điều kiện biên: Do Q1 = 0 (liên kết ngàm tại A) và Q3 = 1,2 (khe hở tại C) , do đó ta loại dòng 1, cột 1. Cuối cùng ta thu được hệ phương trình:

3,3333104(2 Q2 – 1,2) = 60103

3,3333104(- Q2 + 1,2) = R3

Xác định chuyển vị, biến dạng, ứng suất

Giải phương trình trên ta được:

Q2 = 1,5 mm;

R3 =3,3333104 (-Q2 + 1,2) = - 10 kN

R1 =3,3333104 (- Q2) = -50 kN

35

Page 42: Giaotrinh FEM V1

BÀI TẬP CHƯƠNG 4

1. Cho kết cấu 1D được rời rạc hoá bởi 2 phần tử một chiều như Hình C4.1 dưới đây.

a. Hãy chứng tỏ rằng ma trận độ cứng tổng thế K là ma trận kỳ dị.

b. Chỉ ra một véctơ chuyển vị Q0 0 mà thoả mãn KQ0 = F = 0. Bằng cách mô tả qua hình vẽ, hãy phân tích ý nghĩa của các chuyển vị này. Và chỉ ra năng lượng biến dạng đàn hồi trong cấu trúc ở trường hợp này ?

c. Chứng minh ở dạng tổng quát rằng, với bất kỳ véctơ chuyển vị Q 0 là nghiệm của hệ phương trình KQ = 0, với K là ma trận kỳ dị.

2. Xét kết cấu thanh bằng thép, môđun đàn hồi E=200×109N/m2. Có liên kết và chịu lực như Hình C4.2. Xác định các chuyển vị nút (các chấm đen trên hình), ứng suất trong các phần tử và các thành phần phản lực tại ngàm. Hãy giải bài toán bằng tay và nghiên cứu kỹ Chương trình đã cho, sửa đổi lại một số điểm nếu cần thiết và bổ sung phần chương trình tính ứng suất trong các phần tử; thực hành tính toán bằng chương trình và so sánh kết quả.

3. Xét kết cấu thanh bằng thép, môđun đàn hồi E=200×109N/m2. Có liên kết và chịu lực như Hình C4.3. Xác định các chuyển vị nút, ứng suất trong các phần tử và các thành phần phản lực tại ngàm.

36

1 2 3x

Hình C4.1

150mm150mm 300mm

xP=300 kN250mm2 400mm2

Hình C4. 2

Page 43: Giaotrinh FEM V1

4. Xét kết cấu liên kết và chịu lực như Hình C4. 4. Thanh nằm ngang được xem như là tuyệt đối cứng, các thanh treo được làm bằng thép và nhôm, có môđun đàn hồi như chỉ ra trên hình vẽ. Tính ứng suất trong mỗi thanh treo.

37

150mm150mm 200mm 200mm

250mm2 400mm2

P=300 kN P=600 kN x

3.5mm

Hình C4. 3

Hình C4. 4

thép2×2 cm

E=200×109 N/m2

Nhôm2×4 cm

50cm

40 cm 30 cm 20 cm

60 KN

Thanh tuyệt đối cứng, trọng lượng không đáng kể

E=70×109 N/m2

Page 44: Giaotrinh FEM V1

Chương 5PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN HỆ THANH PHẲNG

1. MỞ ĐẦU

Trong chương này chúng ta sẽ áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để tính toán hệ thanh phẳng (hệ gồm n thanh liên kết với nhau bởi các khớp quay). Hệ thanh phẳng điển hình được trình bày trên Hình 5.1.

Trong hệ thanh, tải trọng hoặc phản lực liên kết đặt ở các khớp nối; bỏ qua ma sát trong các khớp nối. Rõ ràng, mỗi phần tử của hệ thanh hoặc chịu kéo, hoặc chịu nén.

Ta có thể gặp hệ thanh tĩnh định hoặc siêu tĩnh.

2. HỆ TOẠ ĐỘ ĐỊA PHƯƠNG, HỆ TOẠ ĐỘ CHUNG

Hệ thanh khác với các kết cấu một chiều đã xét trong Chương 4 ở chỗ: trong hệ thanh, các phần tử (các thanh) có các phương khác nhau. Để có thể tính đến sự khác nhau về phương của các phần tử trong hệ, ta cần phải đưa ra khái niệm hệ toạ độ địa phương và hệ toạ độ chung.

Một phần tử thanh được mô tả trong hệ toạ độ địa phương và hệ toạ độ chung như trong Hình 5.2.

38

2 3 4 5

6 7 8

1

Q2

Q1 Q5 Q7 Q9

Q4

Q3

Q6 Q8 Q10

Q15

Q16

Q13

Q14

Q11

Q12

Hình 5.1. Hệ thanh phẳng

Page 45: Giaotrinh FEM V1

Trong sơ đồ đánh số nút địa phương, hai nút của phần tử được đánh số 1 và số 2. Hệ toạ độ địa phương hướng theo trục x’, chạy từ nút 1 đến nút 2. Tất cả các đại lượng trong hệ toạ độ địa phương được ký hiệu bởi dấu (’). Hệ toạ độ chung (x,y) là cố định và không phụ thuộc vào phương của các phần tử.

Trong hệ toạ chung, mỗi nút cũng có hai bậc tự do. Chẳng hạn, nút “j” sẽ có hai chuyển vị là Q2j-1 và Q2j.

Gọi q1’ và q2’ là các chuyển vị của nút 1 và 2 tương ứng trong hệ toạ độ địa phương. Ta ký hiệu véctơ chuyển vị trong hệ toạ độ địa phương bởi:

q’ = [q1’ , q2’]T (5.1)

Trong hệ toạ độ chung, véctơ chuyển vị có 4 thành phần:

q = [q1, q2 , q3 , q4 ]T (5.2)

Ta đi tìm quan hệ giữa q và q’.

Dễ thấy

q1’ = q1 cos + q2 sin (5.3a)

q2’ = q3 cos + q4 sin (5.3b)

Ký hiệu

= cos (5.4a)

m = sin (5.4b)

Ta có thể viết

q’ = T q (5.5)

Trong đó T là ma trận chuyển đổi hệ cơ sở, được viết dưới dạng:

(5.6)

3. MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ

Các phần tử trong hệ thanh đều là các phần tử một chiều. Vì vậy, ta áp dụng những kết quả của chương 4 vào hệ thanh.

39

x

y

x’

1

(a)

q1

q2

q4

q3

q1cos

q2sin

q3cos

q4sin

q’1

q’2

(b)

Hình 5.2. (a) Phần tử thanh trong hệ toạ độ địa phương và (b) trong hệ toạ độ chung

Page 46: Giaotrinh FEM V1

Trong hệ toạ độ địa phương, ta đã xác định được ma trận độ cứng của phần tử

(5.7)

Để thiết lập ma trận độ cứng của phần tử trong hệ toạ độ chung, ta chú ý tới biểu thức năng lượng biến dạng của phần tử

(5.8)

Thay q’ = Tq vào biểu thức trên, ta được

(5.9)

Cuối cùng, năng lượng biến dạng trong hệ toạ độ chung được viết dưới dạng:

(5.10)

Trong đó k là ma trận độ cứng của phần tử trong hệ toạ độ chung và

k = TT k' T (5.11)

Thay biểu thức của T từ (5.6) và của k' từ (5.7) vào (5.11), ta được

(5.12)

Từ các ma trận độ cứng của các phần tử và nhờ bảng ghép nối phần tử, ta sẽ thu được ma trận độ cứng chung của cả hệ thanh.

4. ỨNG SUẤT

Như đã lưu ý ở trên, mỗi phần tử trong hệ thanh hoặc chịu kéo, hoặc chịu nén. Do đó, ứng suất trong thanh được xác định bởi: = Ee Hoặc

Thế biểu thức của L từ (5.6) vào biểu thức trên ta được:

(5.13)

Sau khi tìm được chuyển vị, ta sẽ xác định được ứng suất trong mỗi phần tử của hệ.

5. VÍ DỤ

Khảo sát hệ gồm hai thanh chịu lực P như hình dưới. Các thanh có cùng diện tích mặt cắt ngang và cùng vật liệu. Xác định chuyển vị tại điểm đặt lực.

40

Page 47: Giaotrinh FEM V1

Lời giải

1. Mô hình hoá hệ thanh bởi 2 phần tử hữu hạn; mỗi nút phần tử có 2 bậc tự do.

2. Xác định ma trận độ cứng của các phần tử

Áp dụng công thức (5.12), ta tính được các ma trận độ cứng của các phần tử.

Với phần tử 1:

Với phần tử 2:

Từ đây, ta thiết lập được ma trận độ cứng chung K và hệ phương trình:

Áp dụng điều kiện biên: Q1 = Q2 = Q5 = Q6 =0, ta thu được hệ phương trình PTHH:

41

x

300

y

L, A, E 1 2

300

P

3

2

1

(b)(a)

Hình 5.3. (a) Kết cấu bằng chịu lực, (b) sơ đồ phần tử

Page 48: Giaotrinh FEM V1

Giải hệ phương trình trên, ta được:

Thay các giá trị chuyển vị trên vào (5.14), ta tìm được phản lực liên kết:

BÀI TẬP CHƯƠNG 5

1. Một kết cấu thanh giằng như trên Hình C5.1. Vật liệu các thanh bằng thép, có môđun đàn hồi E=200gPa. Xác định ma trận độ cứng tổng thể của hệ.

2. Một kết cấu giàn gồm 3 thanh được đánh số (nút và thanh) như trên Hình C5.2. Vật liệu của các thanh I và II là nhôm, vật liệu của thanh III là thép. Tiết diện của thanh I là 15cm2 và tiết diện của thanh II và III là 8cm2. Xác định chuyển vị của nút 2 và ứng suất trong các thanh. Giải bài toán bằng tay và bằng cách sử dụng phần mềm tính toán kết cấu tương ứng. Khi giải bằng tay yêu cầu biểu diễn ma

42

Hình C5.1

1000 mm2

1250 mm2

P

500 mm

750 mm

Q2i

Q2i-1

1

2

3

i

0,7m

1 2

8 kN

3 4

5 kN

y

x

I

IIIII

0,5m

1m

Hình C5.2. Dàn chịu lực

Page 49: Giaotrinh FEM V1

trận độ cứng tổng thể dưới dạng toàn bộ và dưới dạng rút gọn. Cho Enhôm = 70gPa, Ethép

= 210gPa.

3. Một kết cấu giàn gồm 5 thanh được đánh số (nút và thanh) như trên Hình C5.3. Vật liệu của các thanh đều là thép và có môđun đàn hồi Ethép = 210gPa. Tiết diện của thanh I, II và III là 15cm2 và tiết diện của thanh IV và V là 8cm2. Xác định chuyển vị của các nút và ứng suất trong các thanh. Giải bài toán bằng tay và bằng cách sử dụng chương trình tính toán kết cấu tương ứng. Khi giải bằng tay nên chú ý đến tính đối xứng của kết cấu. Cho a = 0,5 m; α = 600; P = 2kN; Q = 4kN.

4. Một cây cầu đường sắt được ghép từ các thanh thép, E = 210x109N/m2, tiết diện của các thanh thép bằng nhau và bằng 3250 mm2. Một đoàn tàu dừng trên cầu, cầu phải chịu tải trọng của đoàn tàu (Hình C5.4). Tính chuyển vị theo phương ngang gối di động R dưới tác dụng của các tải trọng. Xác định chuyển vị tại các nút và ứng suất trong mỗi thanh cầu.

5. Một kết cấu cầu được tính toán thiết kế theo mô hình dàn thanh như trên Hình C5.5. Kết cấu này được cấu thành từ 6 nhịp. Tải trọng biểu diễn trên hình vẽ mô tả trạng thái làm việc nguy hiểm nhất của kết cấu. Vật liệu sử dụng trong kết cấu là thép với môđun đàn hồi Ethép = 210gPa. Xác định tiết diện cho các thanh sao cho tối ưu theo điều kiện bền. Cho a=5,5m; b=4,5m; c=1m; P1=25kN; P2=15kN; P3=40kN và P4=20kN.

Chú ý: Kết cấu này sẽ được tính toán, thiết kế lại theo mô hình khung (xem bài tập Chương 8).

43

280 kN 210 kN 280 kN 360 kN

3.118m

3.6m 3.6m 3.6m

600600

Hình C5.4. Mô hình một nhịp cầu chịu lực

R

y

a a

x1

23

45

IIV V

III

II

Q

P

αα

Hình C5.3. Dàn chịu lực

Q

P

Page 50: Giaotrinh FEM V1

6. Sơ đồ kết cấu của một chiếc cần cẩu được thể hiện trên Hình C5.6, tải trọng thiết kế là 10 tấn. Chọn loại thép phù hợp và sử dụng hệ số an toàn bằng 4, xác định tiết diện cho tất cả các thanh. Cho a=3m; b=9m; P=10000kg.

7. Một kết cấu giàn công xôn phải chịu tải như trên Hình C5.7; các thanh đều bằng thép và có tiết diện 8cm2, ứng suất cho phép của vật liệu là 600mPa. Kiểm tra xem thiết kế có thỏa mãn điều kiện bền hay không? Thiết kế lại (thiết kế tinh) với điều kiện sử dụng cùng loại vật liệu và giữ nguyên đường bao của kết cấu. Thiết kế lại ở đây có thể hiểu là thay đổi cách sắp xếp các thanh, loại bỏ một số thanh, hoặc thay đổi tiết diện của các thanh. Một trong các mục đích của thiết kế tinh ví dụ là tìm cách làm giảm khối lượng tổng thể của kết cấu. Cho a=0,5m ; b=0,9m; c=0,4m; d=0,6m; α=600; P = 30kN; Q = 40kN.

44

P1 P2 P3 P4

ac

b

Hình C5.5. Mô hình dầm cầu chịu lực

a

a

c db

P

Q

Hình C5.7. Mô hình dàn công xôn chịu lực

a

b

b

a

P

Hình C5.6. Mô hình cần cẩu

Page 51: Giaotrinh FEM V1

8. Cho kết cấu giàn như Hình C5.8. Vật liệu và tiết diện của các thanh giống như ở bài 7. Hãy phân tích bài toán giống như đã làm với bài toán 7. Cho a=0,4m; b=6,5m; c=0,4m; α = 300; P = 40kN; Q = 60kN.

45

a

a

b cbP

Q

Hình C5.8. Mô hình dàn công xôn chịu lực

Page 52: Giaotrinh FEM V1

Chương 6PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN HAI CHIỀU

1. MỞ ĐẦU

Trong chương này, chúng ta áp dụng phương pháp PTHH để tính kết cấu phẳng (2D) của bài toán đàn hồi. Các bước được tiến hành giống như bài toán một chiều đã xét trong chương 4.

Véctơ chuyển vị u được xác định bởi: u = [u v]T (6.1)

Trong đó: u, v là các chuyển vị theo phương x và y tương ứng (Hình 6.1).

Ứng suất và biến dạng được ký hiệu bởi:

= [x, y, xy]T (6.2)

= [x, y, xy] T (6.3)

Lực thể tích, lực diện tích và vi phân thể tích được xác định như sau:

f = [fx fy]T ; T = [Tx Ty]T và dv = tdA (6.4)

trong đó: t là độ dầy theo phương z.

Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị:

(6.5)

Xét quan hệ ứng suất với biến dạng cho hai trường hợp:

1.1. Trường hợp ứng suất phẳng

(6.6)

Hoặc: = D (6.7)

Trong đó

46

x

u

v

fx

fy

i

(x,y)

A

L

y

T

u=0v=0

Hình 6.1. Bài toán hai chiều

Page 53: Giaotrinh FEM V1

(6.8)

1.2. Trường hợp biến dạng phẳng

(6.9)

Hoặc: = D (6.10)

Trong đó

(6.11)

E là môđun đàn hồi; là hệ số Poisson của vật liệu.

2. RỜI RẠC KẾT CẤU HOÁ BẰNG PHẦN TỬ TAM GIÁC

Miền hai chiều được rời rạc hoá bằng các phần tử tam giác như hình 6.2. Mỗi phần tử tam giác có 3 nút, mỗi nút có 2 chuyển vị (theo phương x và y).

Ta ký hiệu véctơ chuyển vị nút chung bởi:

(6.12)

Để tiện tính toán, các thông tin về việc chia miền thành các phần tử tam giác sẽ được thể hiện qua các bảng toạ độ nút và bảng định vị các phần tử.

Bảng định vị các phần tử được thiết lập như sau: Bậc t.doPhần tử

1 2 3 4 5 6

47

x

1

y

T

Hình 6.2. Rời rạc kết cấu bằng phần tử tam giác

Q1

Q2

1 3

42

5

6

7

8

9

1011

23

4

5

6

78

9

10

11

Q3

Q4

Q5

Q6

Q2j-1

j

Q2j

Page 54: Giaotrinh FEM V1

1 1 2 3 4 11 122 3 4 13 14 11 123 3 4 5 6 13 14...11 13 14 9 10 21 22

Qui ước: Đường đi từ nút đầu đến nút cuối trong mỗi phần tử theo chiều ngược chiều kim đồng hồ. Bảng định vị phần tử mô tả tính tương ứng giữa chuyển vị địa phương và chuyển vị chung của phần tử. Các thành phần chuyển vị trong hệ toạ độ địa phương của nút i được kí hiệu là q2i-1 và q2i theo phương x và y tương ứng.

Ta ký hiệu véctơ chuyển vị của phần tử bởi:

(6.13)

Từ bảng định vị các phần tử ở trên, sau khi tìm được véctơ chuyển vị chung Q, ta sẽ tìm được véctơ chuyển vị nút của từng phần tử để rồi từ đó đi xác định các đại lượng khác như ứng suất, biến dạng trong mỗi phần tử.

Chuyển vị tại một điểm bất kì trong phần tử được biểu diễn qua các thành phần chuyển vị của nút phần tử. Đối với phần tử tam giác có biến dạng là hằng số, các hàm dạng biến thiên tuyến tính trong phần tử.

Ta có thể biểu diễn các hàm dạng N1, N2, N3 như trên Hình 6.3.

Nhận xét:

- Hàm dạng N1=1 ở nút 1, giảm tuyến tính đến 0 tại nút 2 và nút 3. Tương tự đối với N2 và N3.

- Bất kì một tổ hợp tuyến tính nào của các hàm dạng trên cũng đều biểu diễn một mặt phẳng.

- Tổng N1+ N2+ N3 biểu diễn một mặt phẳng có chiều cao là một đơn vị ở các nút 1, 2 và 3; mặt phẳng này song song với mặt phẳng (1, 2, 3). Vì vậy, với N1, N2 và N3

bất kỳ, ta có: N1+ N2+ N3 = 1

Trong ba hàm dạng, có hai hàm là độc lập. Các hàm dạng được biểu diễn qua và như sau:

N1= 1- - ; N2 = ; N3 =. (6.14)

48

=1

2

N1=1

1

3

=1

N1

=1

2

1

3

=1

N2

N2 =1

=1

2

1

3

=1

N3 =1N3

Hình 6.3. Biểu diễn hình học các hàm dạng

Page 55: Giaotrinh FEM V1

Trong đó và được gọi là các toạ độ chuẩn hoá hay toạ độ tự nhiên.

Tương tự như trong bài toán một chiều (toạ độ x được biến đổi qua toạ độ , các hàm dạng là hàm số của ), trong bài toán hai chiều, các toạ độ x, y cũng được biểu diễn qua các toạ độ và .

Về mặt vật lý, các hàm dạng được biểu diễn bởi các toạ độ diện tích. Khi nối một điểm nằm trong một tam giác với ba đỉnh, tam giác đó sẽ được chia ra ba tam giác có diện tích A1, A2, A3 như Hình 6.4.

Trong đó A là diện tích của phần tử.

3. BIỂU DIỄN ĐẲNG THAM SỐ

Ta biểu diễn chuyển vị trong phần tử qua các hàm dạng và các chuyển vị nút của nó như sau:

(6.15)

hay

u = Nq (6.16)

Trong đó

(6.17)

Thay (6.14) vào (6.15), ta có biểu thức xác định chuyển vị qua chuyển vị nút xét trong hệ toạ độ quy chiếu như sau:

(6.18)

Đối với phần tử tam giác, nhờ phép mô tả đẳng tham số, ta có thể biểu diễn toạ độ (x,y) qua toạ độ nút phần tử với cùng các hàm dạng trên:

49

(x,y)A1

A3

A2

1

2

3

Hình 6.4. Toạ độ diện tích

Page 56: Giaotrinh FEM V1

(6.19)

Hay

(6.20)

Ta kí hiệu: xij = xi - xj

yij = yi - yj

Từ (6.20), suy ra:

(6.21)

Đây là mối liên hệ giữa (x, y) với (, ). Để xác định các thành phần biến dạng, ta cần tính các đạo hàm riêng u và v theo x và y.

Ta có:u = u(x(, ), y(, )).v = v(x(, ), y(, )).

Áp dụng qui tắc đạo hàm hàm hợp:

(6.22)

Hoặc dưới dạng ma trận:

(6.23)

Trong đó ma trận vuông (2x2) được gọi là Jacobian của phép biến đổi, ký hiệu là J:

( ((

Triển khai lấy đạo hàm của x và y theo và , ta được:

(6.24)

là ma trận nghịch đảo của J : (6.25)

Trong đó: det J = x21 y31 – x31 y21

Ta cũng biết rằng, det J chính bằng hai lần diện tích tam giác.

det J= 2A (6.26)

Chú ý: Nếu các nút 1, 2, 3 được xếp đặt theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, thì det J luôn có dấu dương.

Từ (6.24), (6.25), ta có thể viết:

50

Page 57: Giaotrinh FEM V1

(6.27)

Thay vai trò của u bởi v, ta cũng được biểu thức tương tự:

(6.28)

Khi ấy, các thành phần biến dạng được xác định bởi:

(6.29)

Hoặc dưới dạng ma trận:

= B q (6.30)

Trong đó:

(6.31)

Đây là ma trận liên hệ giữa biến dạng và chuyển vị nút, trong đó các số hạng đều là các hằng số và đựơc xác định qua các toạ độ nút của các phần tử.

4. THẾ NĂNG

Thế năng của hệ được xác định bởi:

(6.32)

Trong đó:

T: lực diện tích; f: lực thể tích; t: chiều dầy phần tử

Pi: lực tập trung, Pi = [Px, Py]iT

51

Page 58: Giaotrinh FEM V1

Theo sơ đồ phần tử hữu hạn, thế năng được viết dưới dạng:

(6.33)

Hoặc

(6.34)

Trong đó:

là năng lượng biến dạng của phần tử

5. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ TAM GIÁC

Thế biểu thức của biến dạng vào biểu thức của thế năng biến dạng của phần tử, sẽ được:

(6.35)

Vì: t, D, B là hằng số và các ma trận hằng số, do đó

(6.36)

Mặt khác: , nên cuối cùng ta được:

(6.37)

Trong đó:

(6.38)

là ma trận độ cứng của phần tử tam giác; t là độ dầy của phần tử; Ae là diện tích của phần tử; B là ma trận liên hệ biến dạng-chuyển vị nút của phần tử; D là ma trận liên hệ ứng suất-biến dạng, nó phụ thuộc vào vật liệu khảo sát. Vì D là ma trận đối xứng, do đó ke cũng là ma trận đối xứng.

Từ các ma trận độ cứng ke của các phần tử, ta sẽ suy ra ma trận độ cứng K của cả kết cấu; khi ấy, thế năng biến dạng của cả kết cấu được xác định bởi:

(6.39)

Ma trận K là ma trận đối xứng, thường có dạng dải băng

Chú ý: Muốn giảm chiều rộng dải băng trong ma trận K, ta cần giảm hiệu số giữa các chữ số ở nút của mỗi phần tử trong kết cấu.

6. QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT

6.1. Qui đổi lực thể tích

52

Page 59: Giaotrinh FEM V1

Ta có:

(6.40)

Áp dụng biểu thức nội suy của u và v ta được:

(6.41)

Với chú ý:

(6.42a)

(6.42b)

(6.42c)

biểu thức (6.41) sẽ cho

Trong đó fe là véctơ lực thể tích qui đổi về nút, và

(6.43)

Sau khi xác định được các lực nút fe của phần tử, ta suy ra véctơ lực F chung.

6.2. Qui đổi lực diện tích

Lực diện tích thường là các lực tác dụng trên các cạnh nối các nút phần tử. Vấn đề là ta phải qui đổi các lực này về nút.

Giả sử cạnh chịu tác dụng của lực kéo Tx và Ty (Hình 6.5).

(6.44)

53

Page 60: Giaotrinh FEM V1

Thay u = Nq, ta sẽ được:

(6.45)

Vì N3 = 0 trên cạnh (1-2) suy ra: N1 + N2 = 1;

do đó

Trong đó

ở đây, là tập hợp các bậc tự do nút tương ứng với cạnh 1-2.

(6.46)

Cuối cùng

(6.47)

6.3. Lực tập trung

Để tiện cho việc tính toán, người ta thường lấy nút tại điểm đặt lực tập trung.

Nếu i là nút có lực: Pi = [Px, Py]T tác dụng, thì

uiTPi = Q2i-1 Px + Q2i Py (6.48)

Cuối cùng ta có thể viết

(6.49)

Sau khi tính được năng lượng biến dạng và các thành phần lực nút, ta viết biểu thức thế năng toàn phần dưới dạng:

(6.50)

54

1

2

3

y

x

Tx

Ty

Tx2

Ty2

Ty1

Tx1

l12

Hình 6.5. Lực tác dụng trên cạnh phần tử

Page 61: Giaotrinh FEM V1

Áp dụng điều kiện cực tiểu hoá thế năng, ta thu được hệ phương trình:

K Q = F (6.51)

Giải hệ phương trình (6.51), ta tìm được véctơ chuyển vị nút Q.

6.4. Tính ứng suất

Vì biến dạng là hằng số trong phần tử, do đó ứng suất cũng là hằng số. Ta cần xác định giá trị ứng suất trong mỗi phần tử: = D.

Mà: = Bq, do đó:

= DBq (6.52)Từ chuyển vị chung Q, nhờ bảng ghép nối phần tử, suy ra các chuyển vị nút q của từng phần tử, sau đó thay vào (6.52) sẽ tính được ứng suất. Ứng suất chính và phương chính được xác định nhờ vòng Mohr ứng suất.

7. VÍ DỤ

Cho một tấm kim loại hình vuông, cạnh dài 2m, chịu lực như Hình 6.6.

Biết E = 182 gPa; = 0,3; t = 0,01 m. Xác định ứng suất trong tấm cho hai trường hợp:a. Chỉ có P = 100 kN tác dụng,b. Chỉ có p = 10 mN/m2 tác dụng.

Lời giải

55

P=100 kN

P

p=10mN/m2

P

P

p

2m

y

x

q

(a)

(b)

Hình 6.6. Mô hình PTHH tính tấm vuông chịu kéo

1 2

1

2

43P=100 kN

Page 62: Giaotrinh FEM V1

Do kết cấu đối xứng, chịu tải trọng đối xứng, nên ta chỉ cần xét một phần tư tấm với hai phần tử (Hình 6.6b).

Ta thiết lập được bảng định vị các phần tử

Bậc t.doPhần tử

1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 62 3 4 7 8 5 6

Điều kiện biên:

Tại nút 1: u = v = 0, tương ứng ta có Q1 = Q2 = 0;Tại nút 2: v = 0, tương ứng ta có Q4 = 0;Tại nút 3: u = 0, tương ứng ta có Q5 = 0;

Áp dụng các công thức (6.38): ke = te Ae BT DB Ta xác định được ma trận độ cứng cho từng phần tử.

Phần tử 1

Phần tử 2

Ma trận độ cứng chung K

Trường hợp 1: P = 100 kN

Sau khi áp đặt điều kiện biên ta có hệ phương trình:

56

Page 63: Giaotrinh FEM V1

Giải hệ phương trình, ta được:

Q3 = 9,971510-3 (mm)

Q6 = 9,971510-3 (mm)

Q7 = 99,91910-3 (mm)

Q8 = -42,93810-3 (mm)

Để tính ứng suất trong mỗi phần tử, ta áp dụng công thức (6.52):

= D B q

Trong đó

Cuối cùng ta tính được ứng suất trong phần tử 1

Thực hiện các bước tương tự cho phần tử 2:

Và ứng suất trong phần tử 2:

Trường hợp 2: p =10 mN/m2

Áp dụng công thức (6.47) để tính lực nút qui đổi, ta được:

F3 = 50000 N và F7 = 50000 N

Ta thiết lập được hệ phương trình:

57

Page 64: Giaotrinh FEM V1

Giải hệ phương trình, ta tìm được các chuyển vị nút

Q3 = 54,945110-3 (mm); Q6 = -16,483510-3 (mm); Q7 = 54,945110-3 (mm); Q8 = -16,483510-3 (mm).

Cuối cùng ta tính được các thành phần ứng suất trong các phần tử 1 và 2 (có cùng giá trị):

Trong cả hai trường hợp đặt tải, kết quả theo phương pháp phần tử hữu hạn trùng với kết quả chính xác.

58

Page 65: Giaotrinh FEM V1

BÀI TẬP CHƯƠNG 6

1. Tìm chuyển vị tại hai điểm A và B và phân bố ứng suất trong tấm phẳng có kích thước và chịu tải trọng như Hình C6.1. Vật liệu của tấm là thép có môđun đàn hồi Ethép=210gPa và hệ số Poisson =0,22; với a = 0,2 m ; b = 0,3 m; t = 5 mm và q = 8 kN/m2. Hãy xét với các trường hợp chia lưới như sau:

a. Hai phần tử tam giác như trên Hình C6.1a

b. Ba phần tử tam giác như trên Hình C6. 1b

c. So sánh kết quả trong hai trường hợp trên và đưa ra nhận xét và khuyến cáo.

d. Thay đổi liên kết của tấm như trên Hình C6.1c và d, liệu các kết quả tính trên Hình C6.1a và b có thay đổi hay không? Giải thích?

2. Một vòng dẹt ( h << ri , re ) chịu áp suất trong p như trên Hình C6.2. Hãy tính chuyển vị và ứng suất trong vòng. Đây là dạng bài toán vật đối xứng trục chịu tải đối xứng trục và có thể sử dụng các phần tử dạng vỏ đối xứng trục để giải. Nhưng ở đây ta sẽ sử dụng mô hình bài toán ứng suất phẳng để giải quyết. Với: ri = 15mm; re = 30mm;

p = 120N/mm2; E = 70000 N/mm2; = 0,3 và h = 1mm.

So sánh kết quả tìm được với các kết quả giải tích như sau:

59

4 3

21

b

a

II

I

B

A

q

4 3

21

b/2

a

II

I

B

qIII 5

b/2

b

4 3

21

b

a

II

I

B

q

4 3

21

b/2

a

II

I

B

q

III

5b/2

b

a) b)

c) d)Hình C6.1.Các dạng luới với phần tử tam giác

A

A A

h

re

ri

Hình C6.2. Vòng dẹt chịu áp lực

Page 66: Giaotrinh FEM V1

3. Một tấm thép hình tam giác được bắt chặt vào một cột thép bằng 5 bu-lông đường kính 8mm như trên hình vẽ C6.3. Giả thiết là cột thép và bu-lông là rất cứng so với tấm thép và bỏ qua ma sát giữa tấm và cột, hãy xác định xem bu-lông nào chịu tải trọng lớn nhất và xác định giá trị đó. So sánh với kết quả theo phương pháp giải tích thông dụng cho một nhóm bu-lông chịu tải lệch. Nếu tấm trên làm bằng nhôm thì tải trọng mà bu-lông phải chịu có thay đổi không?

Lưu ý: Do kích thước tương đối giữa bu-lông, tấm và cột, chỉ cần mô phỏng mỗi bu-lông bằng một hoặc một vài nút, và đặt các chuyển vị nút này bằng không (= 0). Phản lực tại các nút cố định này sẽ chính là tải mà bu-lông tương ứng phải chịu. Tuy nhiên để có một phân bố khá chính xác của ứng suất trên tấm ta cần phải có một lưới đủ mịn cho tấm. Sử dụng phần tử tam giác tuyến tính. Biết: a = 100mm; b = 120mm; c = 300mm; d = 600mm; E = 210gPa; = 0,22 và P = 4kN.

4. Bài toán tương ứng như bài 3, lần này tấm thép có dạng hình thang như trên hình vẽ C6.4 và được bắt bằng tám bu-lông đường kính 16mm. Sử dụng phần tử tam giác tuyến tính. Biết: a = 50mm; b = 75mm; c = 500mm và P = 8kN.

60

c

2b

2b

a

a b P2b b a

a

Hình C6.4. Kết cấu lắp ghép

d

aa

a

a b c P

d

Hình C6.3. Kết cấu lắp ghép

Page 67: Giaotrinh FEM V1

Chương 7BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG TRỤC CHỊU TẢI TRỌNG ĐỐI XỨNG

1. MỞ ĐẦU

Để tính toán một vật đối xứng trục hay còn gọi là vật tròn xoay chịu tải trọng đối xứng trục, ta đưa bài toán về bài toán hai chiều đơn giản.

Vì vật đối xứng hoàn toàn đối với trục z, nên các thành phần biến dạng và ứng suất không phụ thuộc vào góc quay . Do đó, bài toán được xem xét như một bài toán hai chiều trong mặt phẳng (rz), trong đó z là trục đứng, r là trục hướng kính.

2. MÔ TẢ ĐỐI XỨNG TRỤC

Khảo sát một vi phân thể tích như trên Hình 7.1:

Vi phân thể tích dv = rddrdz = rddA. Khi đó biểu thức thế năng sẽ có dạng:

(7.1)

với Pi là lực tập trung tác dụng trên chu tuyến đối xứng qua trục z.

Vì tất cả các biến trong tích phân trên không phụ thuộc vào , do đó, hệ thức (7.1) cho ta:

(7.2)

Ở đây:

u = [u w]T (7.3)

61

dV

r

z

Pi

w

ur,z

dA

biên L

r

z

(a) (b)

Hình 7.1. Vật đối xứng trục

Page 68: Giaotrinh FEM V1

f = [fr fz]T (7.4)

T = [Tr Tz]T (7.5)

Từ (7.3), ta có quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị u:

(7.6)

Véctơ ứng suất:

(7.7)

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng:

= D (7.8)

với:

(7.9)

3. PHẦN TỬ TAM GIÁC

Xét một miền hai chiều (mặt cắt) được trích ra từ vật thể tròn xoay. Ta chia miền này thành các phần tử tam giác. Một phần tử đại diện với 3 nút là 1, 2, 3 và các chuyển vị tương ứng q1, q2, q3, q4, q5 và q6 được biểu diễn như trên Hình 7.2.

Với chú ý rằng các toạ độ r và z đóng vai trò giống như x và y trong bài toán hai chiều đã xét trong Chương 6.

Nhờ các hàm dạng N1, N2, N3 đã biết trong chương 6, ta biểu diễn hàm chuyển vị bởi:

62

Ae

r

z

Hình 7.2. Phần tử tam giác đối xứng trục

u

w

(r3,z3) 3

1(r1,z1)

2(r2,z2 )

q3

q4

q5

q6

q1

q2

Page 69: Giaotrinh FEM V1

u = Nq (7.10)

trong đó:

(7.11)

(7.12)

Chú ý rằng:

N1 = 1 - - , N2 = , N3 =

Suy ra:

(7.13)

Dùng phép mô tả đẳng tham số ta cũng được:

(7.14)

Từ đó ta có:

(7.15)

(7.16)

Trong đó ma trận vuông (22) được gọi là Jacobian của phép biến đổi, ký hiệu là J:

( (( (7.17)

Ký hiệu: rịj = ri - rj ; zị = zi - zj

Suy ra:detJ = r21z31 – r31z21 (7.18)

vậy : |detJ| = 2Ae

Nghịch đảo (7.15) và (7.16) ta được:

(7.19)

Trong đó, là ma trận nghịch đảo của J và được xác định bởi:

(7.20)

63

Page 70: Giaotrinh FEM V1

(7.21)

(7.22)

Thay các quan hệ trên vào biểu thức biến dạng - chuyển vị (7.6), ta được:

Hoặc dưới dạng ma trận:

= Bq (7.23)

Trong đó, ma trận biến dạng - chuyển vị B được xác định bởi:

(7.24)

3.1. Ma trận độ cứng của phần tử

Trước hết ta xác định biểu thức thế năng biến dạng như sau:

(7.25)

Số hạng đầu trong dấu móc [], chính là năng lượng biến dạng của phần tử. Sau khi thay = Bq, ta sẽ được:

(7.26)

Đại lượng

(7.27)

được gọi là ma trận độ cứng của phần tử.

Chú ý rằng hàng thứ tư của ma trận B và tích phân (7.25) có chứa biến r. Trong thực tế, để đơn giản hoá việc xác định ma trận độ cứng ke, ta tính gần đúng giá trị của B và

64

Page 71: Giaotrinh FEM V1

r đối với trọng tâm của tam giác và coi đây là giá trị đặc trưng của tam giác đó. Do đó, đối với trọng tâm tam giác thì:

(7.28)

Ký hiệu: ; trong đó là bán kính của trọng tâm tam giác.

Ký hiệu là ma trận quan hệ biến dạng-chuyển vị của phần tử được tính đối với trọng tâm tam giác, khi đó ta có:

Cuối cùng, ma trận độ cứng của phần tử được xác định bởi:

(7.29)

Chú ý: số hạng chính là thể tích của phần tử vành, còn diện tích Ae được xác

định bởi:

3.2. Lực nút qui đổi

3.2.1. Lực thể tích

Ta có:

Lấy xấp xỉ các biến bằng các giá trị tương ứng tại trọng tâm tam giác, ta được:

(7.30)

trong đó:

(7.31)

Ký hiệu trong (7.31) chỉ các đại lượng được biểu diễn đối với trọng tâm của tam giác.

3.2.2. Lực diện tích

Xét trường hợp lực tác dụng đều trên cạnh nối nút 1 và nút 2 có các thành phần là Tr, Tz (Hình 7.3).

65

Page 72: Giaotrinh FEM V1

Dựa vào biểu thức:

(7.32)

trong đó:

(7.33)

(7.34)

với

(7.35)

Chú ý trong tích phân (7.32), r = N1r1 + N2r2. Khi cạnh 1-2 song song với trục z, thì a = b = 0,5r1 và r1 = r2

3.3. Ứng suất

Sau khi tính được thế năng toàn phần, điều kiện biên sẽ được áp dụng trong quá trình cực tiểu hoá thế năng, cuối cùng ta được thu được hệ phương trình dạng quen thuộc sau:

K Q = F (7.36)

trong đó: K là ma trận độ cứng chung; Q là véctơ chuyển vị nút chung; F là véctơ lực nút chung.

Từ (7.36) ta sẽ giải được các chuyển vị nút Q, sau đó nhờ bảng định vị phần tử sẽ suy ra chuyển vị qi của từng phần tử.

Tiếp tục áp dụng biểu thức quan hệ ứng suất-biến dạng và biến dạng-chuyển vị, ta sẽ tính được

(7.37)

Chú ý: là một ứng suất chính, hai ứng suất chính khác là 1 và 2 sẽ được xác định qua r, z và rz nhờ vòng tròn Mohr ứng suất.

66

1

2

3

r

T

q3

l12

Hình 7.3. Lực tác dụng trên cạnh phần tử

q4

q2

q1

Tr

Tz

Page 73: Giaotrinh FEM V1

3.4. Ví dụ

Cho một ống trụ dài có đường kính trong bằng 80mm, đường kính ngoài bằng 120mm. Ống được ghép căng xung quanh đường sinh với một vật cứng khác và chịu áp lực từ bên trong p = 2 mPa. Bằng mô hình hai phần tử hữu hạn trên chiều dài 10mm, hãy xác định các chuyển vị, ứng suất của điểm bên trong thành ống, biết E = 200 gPa, = 0,3.

Lời giải

Mô hình 2 phần tử trên chiều dài 10mm theo phương z được minh hoạ như trên Hình 7.4.

Với ống chịu liên kết như trên, chuyển vị phía ngoài ống không có; coi liên kết tại nút 3 và 4 là cố định. Tương tự, chuyển vị dọc trục cũng không có; liên kết tại nút 1 và 2 là cố định theo phương dọc trục z.

Theo nhận xét trên ta có:

Q2 = Q4 = 0 (chuyển vị dọc trục)

Q5 = Q6 = Q7 = Q8 = 0 (chuyển vị phía ngoài ống)

Ta lập bảng định vị các phần tử:

Bậc t.doPhần tử

1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 7 82 3 4 5 6 7 8

Khi lấy gốc toạ độ trùng với nút 2, ta có bảng toạ độ các nút như sau:

Nút r z1 40 102 40 03 60 0

67

2mPa

80mm

120mm

1

210mm

1

F1

F2 23

4

z

60mm40mm

Hình 7.4. Mô hình hai phần tử

Page 74: Giaotrinh FEM V1

4 60 10

Tính ma trận D theo biểu thức (7.9):

Với cả 2 phần tử, ta đều có: detJ = 200mm2 và diện tích của phần tử là Ae= 100mm2. Các lực nút được xác định bởi:

Xét phần tử 1

Xét phần tử 2

Áp dụng công thức (7.29), ta tính được:

Ghép 2 phần tử với ma trận độ cứng là k1 và k2 rồi áp đặt các điều kiện biên: Q2 = Q4 =

Q5 = Q6 = Q7 =Q8 = 0.

Ta thu được hệ hai phương trình, hai ẩn số:

68

Page 75: Giaotrinh FEM V1

Giải hệ phương trình trên ta thu được:

Chuyển vị nút của từng phần tử:

Xác định ứng suất

Dựa vào phương trình quan hệ ứng suất - biến dạng (7.37) ; ta nhận được các kết quả sau:

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 mPa,, T 22 105409663169

69

Page 76: Giaotrinh FEM V1

BÀI TẬP CHƯƠNG 7

1. Một ống dày hình trụ chịu áp suất trong p như trên hình vẽ C7.1, tìm chuyển vị và ứng suất trong ống. Đây là dạng bài toán vật đối xứng trục chịu tải đối xứng trục. Hãy sử dụng các phần tử phẳng tuyến tính (tam giác hoặc tứ giác) để giải cho một lát mỏng (bài toán biến dạng phẳng).

ri = 15; re = 30 mm; h = 10 mm ;

E = 70000N/mm2; = 0,3 ;

p = 120 N/mm2.

So sánh kết quả tìm được với các kết quả tìm được bằng phương pháp giải tích như sau:

2. Một tấm tròn đường kính R=120mm, chiều dày h=15mm, bị ngàm chặt trên toàn bộ biên chịu một áp suất phân bố đều p=2mPa theo phương vuông góc trên một mặt của nó.

- Xác định độ võng cực đại của tấm biết rằng vật liệu của tấm có môđun đàn hồi E=210 gPa và hệ số Poisson =0,3.

- So sánh với kết quả giải tích biểu diễn dưới dạng:

trong đó, D là độ cứng chống uốn:

3. Ống trụ rỗng không đáy (Hình C7.3) chịu áp lực tác dụng từ phía trong, độ lớn 1MPa. Xác định biến dạng của ống và sự phân bố của ứng suất chính. Biết E = 200 gPa và = 0,3.

70

R

h

p

Hình C7.2. Đĩa tròn chịu lực phân bố đều

p

h

re

ri

Hình C7.1. Vòng dẹt chịu áp lực

Page 77: Giaotrinh FEM V1

4. Một khuôn thép hình chiếc cốc, được đặt vừa khít vào một đai thép hình vành khăn (Hình C7.4a). Chày dập tác dụng lực ép lên phôi để tạo ra vật có hình dáng như chiếc cốc. Giả sử quá trình dập là lý tưởng với lực tác dụng vào khuôn thay đổi tuyến tính theo bề mặt chịu lực ép (Hình C7.4b). Xác định vị trí và độ lớn của ứng suất chính lớn nhất trong khuôn trong các trường hợp sau:

a. Khuôn không có đai thép vành khăn bao ngoài.b. Khuôn có đai thép bao ngoài và không có sự trượt giữa khuôn thép với đai

thép.c. Khuôn có đai thép bao ngoài có kể đến ma sát trượt (gợi ý: cần phải tách riêng

bề mặt tiếp xúc giữa khuôn và đai thép. Nếu I và J là là một cặp điểm trên bề mặt tiếp xúc, khi đó ràng buộc giữa các điểm là: Q2I-1 – Q2J-1 = 0.

71

16 mm

200 mm

100 mm

Hình C7.3. Ống thép hở, chịu áp lực trong lòng ống

1 mPa

Đai thép hợp kim

KhuônPhôi

Chầy dập

190

100

220

320 420

320

3001 2

3

p1

1

p2

p2

p3

(a) (b)

Hình C7.4. Mô hình chịu lực của bộ chầy - cối dập

Page 78: Giaotrinh FEM V1

Chương 8PHẦN TỬ TỨ GIÁC

1. MỞ ĐẦU

Trong chương 6 và 7 chúng ta đã làm quen với phần tử tam giác 3 nút có biến dạng là hằng số. Trong chương này, chúng ta sẽ khảo sát phần tử tứ giác 4 nút, mỗi nút có 2 bậc tự do. Các phần tử tứ giác được ứng dụng nhiều trong kỹ thuật để giải các bài toán hai và ba chiều.

2. PHẦN TỬ TỨ GIÁC

Khảo sát một phần tử tứ giác tổng quát như Hình 8.1. Phần tử có bốn nút: 1, 2, 3 và 4 được đánh số ngược chiều kim đồng hồ, mỗi nút có 2 bậc tự do; (xi, yi) là toạ độ của nút i. Véctơ chuyển vị nút của phần tử được ký hiệu bởi:

Chuyển vị của một điểm M(x, y) bất kỳ trong phần tử được ký hiệu là u: u = [u(x, y), v(x, y)] T

3. HÀM DẠNG

Giống như các chương trước, trong chương này, phần tử qui chiếu tứ giác có dạng hình vuông được xác định trong hệ toạ độ (, ) (Hình 8.1). Các hàm dạng Ni (i = 1, 2, 3, 4) có tính chất: Ni = 1 tại nút i và bằng không tại các nút khác. Chẳng hạn: N1 bằng 1 tại nút 1; bằng 0 tại các nút còn lại (2, 3, 4). Yêu cầu N1 = 0 tại nút 2, 3, 4 có nghĩa là N1 = 0 dọc theo cạnh =1 và =1. Vì vậy, N1 phải có dạng: N1 = c(1- )(1- ) ; trong đó c là hằng số cần xác định.

Từ điều kiện N1= 1 tại nút 1 ( = -1; = -1), suy ra: .

72

Hình 8.1. Phần tử tứ giác 4 nút

x

y

12

34

q2

q1

q8

q7

q6

q5

q4

q3

M(x,y)

v

u

1(-1,-1)

2(1,-1)

(1,1)3

(-1,1)4

(0,0)

Page 79: Giaotrinh FEM V1

Tương tự như trên, ta cũng xác định được biểu thức của các hàm dạng còn lại. Cuối cùng, biểu thức của các hàm dạng Ni như sau:

(8.1)

Ta có thể biểu diễn các hàm dạng một cách tổng quát như sau:

(8.2)

trong đó (i , i) là toạ độ của nút i.

Bây giờ ta mô tả trường chuyển vị của phần tử theo chuyển vị nút của nó. Ta thấy:

u = N1q1 + N2q3 + N3q5 + N4q7

v = N1q2 + N2q4 + N3q6 + N4q8 (8.3)

Hoặc dưới dạng ma trận

u = Nq (8.4)

Trong đó

(8.5)

Nhờ cách mô tả đẳng tham số, ta biểu diễn toạ độ của một điểm trong phần tử qua toạ độ các nút phần tử cũng nhờ các hàm dạng Ni ở trên:

x = N1x1 + N2x2 + N3x3 + N4x4

y = N1y1 + N2y2 + N3y3 + N4y4 (8.6)

Trước hết, ta tính đạo hàm của hàm hợp f = f(x, y) = f[x(, ), y(, )] theo và .

(8.7)

Hoặc: (8.8)

Trong đó J là ma trận Jacôbiên : (8.9)

Từ (8.1) và (8.6), ta có:

73

Page 80: Giaotrinh FEM V1

(8.10)

Nghịch đảo (8.8) ta có quan hệ:

(8.11)

Hoặc

(8.12)

Ta sẽ sử dụng các biểu thức trên để xây dựng ma trận độ cứng của phần tử.

4. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ

Năng lượng biến dạng của vật thể đàn hồi được xác định bởi:

(8.13)

hoặc

(8.14)

Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị:

(8.15)

Nếu trong (8.12), coi vai trò của f là u, ta được:

(8.16)

Tương tự,

(8.17)

Biểu thức (8.15), (8.16) và (8.17) cho ta:

74

Page 81: Giaotrinh FEM V1

(8.18)

Trong đó A được xác định bởi

(8.19)

Từ phương trình nội suy (8.3), ta có thể viết:

(8.20)

Trong đó

(8.21)

Cuối cùng ta có:

= Bq (8.22)

Trong đó: B = AG (8.23)

và ứng suất được xác định bởi

= DBq (8.24)

Quay lại biểu thức năng lượng biến dạng (8.14),

(8.25)

Trong đó: (8.26)

chính là ma trận độ cứng của phần tử tứ giác.

75

Page 82: Giaotrinh FEM V1

5. QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT

5.1. Lực thể tích

Để ý tích phân:

(8.27)

với: u = Nq và giả thiết rằng các thành phần lực khối f = [fx, fy]T phân bố là hằng số trong mỗi phần tử, ta sẽ có:

(8.28)

Trong đó: (8.29)

5.2. Lực diện tích

Giả sử lực diện tích T = [Tx, Ty ]T bằng hằng số, tác dụng trên cạnh 2-3 của phần tử tứ giác. Dọc theo cạnh 2-3, = 1 và khi ấy các hàm dạng trở nên:

Ta tính được các thành phần của véctơ lực nút phần tử:

(8.30)

Chú ý: Trong công thức ma trận độ cứng (8.26) và công thức qui đổi lực thể tích (8.29), các đại lượng B và detJ đều là các hàm số của và . Ta cần phải số hoá các tích phân trên. Dưới đây chúng ta nhắc lại một vài khái niệm về tích phân số.

6. TÍCH PHÂN SỐ

6.1. Tích phân số một biến

Cho tích phân

(8.31)

Ta sẽ xấp xỉ tích phân I trên dưới dạng một tổng n điểm xấp xỉ như sau:

(8.32)

Trong đó w1, w2, ..., wn là các hàm trọng số và 1, 2, ..., n là các điểm Gauss. Tư tưởng của phương pháp cầu phương Gauss là chọn n điểm Gauss và n hàm trọng số sao cho tích phân (8.31) cho kết quả chính xác nhất đối với đa thức f(). Nói khác đi, công thức tích phân n điểm là chính xác cho tất cả các đa thức bậc đủ cao, và công thức tích phân trên vẫn đúng thậm chí khi f không phải là một đa thức. Để hiểu được bản chất của phương pháp, chúng ta xét công thức tích phân 1- điểm và tích phân 2- điểm như sau:

76

Page 83: Giaotrinh FEM V1

6.1.1. Công thức tích phân 1- điểm

Khi n = 1:

(8.33)

Có 2 tham số w1 và 1 cần xác định, với yêu cầu là (8.33) cho kết quả chính xác khi f() là một đa thức bậc nhất. Điều này có nghĩa là nếu f() là một đa thức bậc nhất, thì sai số:

(8.34a)

hoặc

(8.34b)

(8.34c)

Từ (8.34c), suy ra = 0 khi:

(8.35)

Với hàm f tổng quát và tuỳ ý, ta có:

(8.36)

Kết quả tính giống như phương pháp trung điểm (phương pháp hình chữ nhật), như mô tả ở Hình 8.2 sau.

6.1.2. Công thức tích phân 2- điểm

Khi n = 2

(8.37)

77

f(0)

f

-1 0 1

Phần diện tíchxấp xỷ = 2f(0)

Phần diện tích chính xác

f())

Hình 8.2. Cầu phương 1 điểm Gauss

Page 84: Giaotrinh FEM V1

Ở đây, có 4 thông số cần xác định là: w1; w2 ; 1 và 2. Chọn ,

ta có:

(8.38)

Để thoả mãn (8.38): = 0, khi đó ta phải có:

(8.39)

Hệ phương trình phi tuyến (8.39) có nghiệm duy nhất là:

(8.40)

Từ đây, chúng ta có thể kết luận rằng phương pháp cầu phương Gauss n-điểm sẽ cho kết quả chính xác nếu f là một đa thức bậc (2n-1) hoặc nhỏ hơn. Bảng dưới cho các giá trị của wi và i theo công thức Gauss với n =1,...,6.

Bảng 8.1. Điểm Gauss và hàm trọng lượng

n i wi n i wi

10 2

5

0,9061798459

0,2369268851

20,5773502692

1 0,5384693101

0,4786286705

3

0,7745966692

0,5555555556 0 0,5688888889

0 0, 888888889

6

0,9324695142

0,1713244924

4

0,8611363116

0,3478548451 0,6612093865

0,3607615730

0,3399810436

0,6521451549 0,2386191861

0,4679139346

6.2. Tích phân số hai biến

Xét tích phân

(8.41)

Ta có

(8.42)

6.3. Tích phân ma trận độ cứng

Từ công thức (8.26):

78

Page 85: Giaotrinh FEM V1

Chú ý ke là ma trận độ cứng (8x8) đối xứng, do đó ta chỉ cần lấy tích phân các số hạng ở phía trên đường chéo chính là đủ.

Ký hiệu

(8.43)

và áp dụng công thức (8.42), ta được

(8.44)

Trong đó:

Các điểm Gauss theo công thức tích phân 2- điểm ở trên được mô tả trên Hình 8.3. Nếu gọi các điểm Gauss lần lượt là 1, 2, 3, 4 thì kij trong (8.44) được viết dưới dạng:

(8.45)

Trong đó K là giá trị của và WK là hàm trọng số tại điểm tích phân k. Chú ý rằng WK = (1)(1) = 1. Công thức (8.45) rất thuận lợi cho chúng ta khi lập trình tính toán ma trận độ cứng.

7. TÍNH ỨNG SUẤT

Không giống như phần tử tam giác có biến dạng hằng số; với phần tử tứ giác, ứng suất = DBq không phải là hằng số trong phạm vi một phần tử, mà chúng thay đổi theo và . Trong thực tế, ứng suất được tính tại các điểm Gauss, đây cũng là những điểm được sử dụng trong khi tính ma trận độ cứng ke. Như vậy, với phần tử tứ giác, ta sẽ có 4 giá trị ứng suất. Để tránh sinh ra nhiều số liệu, ta chỉ cần tính ứng suất tại một điểm cho mỗi phần tử, chẳng hạn điểm ( = 0, = 0).

8. VÍ DỤ

Khảo sát một phần tử chữ nhật như hình vẽ dưới đây. Giả thiết phần tử chịu trạng thái ứng suất phẳng và có các thành phần chuyển vị:

. Biết E = 206 gPa, = 0,3.

Hãy xác định các đại lượng J, B và tại điểm ( = 0, = 0).

79

1

1 2

34

3

1

3

1

3

1

3

1

Hình 8.3. Điểm Gauss theo qui tắc tích phân 2 điểm

Page 86: Giaotrinh FEM V1

Bài giảiTheo công thức (8.10), ta có:

Áp dụng công thức (8.19), ta được:

Áp dụng công thức (8.21) và (8.23) với = 0, = 0 ta sẽ được:

Ma trận D được xác định bởi (6.8)

Cuối cùng ta tính được tại điểm = 0, = 0:

80

3(2,1)

y

x2 (2,0)1 (0,0)

4(0,1)

q7

q8

q5

q6

q3

q4

q1

q2

Page 87: Giaotrinh FEM V1

BÀI TẬP CHƯƠNG 8

1. Xác định chuyển vị tại hai điểm A và B, và phân bố của ứng suất trong tấm. Vật liệu của tấm là thép có môđun đàn hồi E=210 gPa và hệ số Poisson = 0,22. Hãy chia tấm ra thành hai phần tử chữ nhật theo hai cách được mô tả trong các hình: Hình C8.1a,b. So sánh kết quả trong hai trường hợp trên và so sánh với kết quả tìm được bằng các phần tử tam giác như trong bài toán 1 chương 6. Biết: a = 0,2 m; b = 0,3 m; t = 5mm và q = 8 kN/m.

2. Một kết cấu được mô tả như Hình C8.2. Bằng các phần tử chữ nhật tuyến tính, hãy giải lại bài toán theo yêu cầu như bài toán 4 chương 6.

3. Xác định ma trận độ cứng tổng thể các lưới phần tử như trên hình vẽ C8.3. Giả thiết mỗi nút có một bậc tự do và gọi [K(e)] là ma trận độ cứng của phần tử thứ e. (Kết quả có thể biểu diễn thông qua các số hạng Kij

(e)).

81

4 3

21

b

a B

A

q

a

b q

B21

4 3 A

1

2

1 2

Hình C8.1. Sơ đồ hoá PTHH với phần tử tứ giác

c

2b

2b

a

a b P2b b a

a

Hình C8.2. Kết cấu lắp ghép

a = 50mm;b = 75mm; c = 500mm P = 8kN.

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

1 2 3

45

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Hình C8.3. Sơ đồ lưới phần tử

Page 88: Giaotrinh FEM V1

Chương 9PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU DẦM VÀ KHUNG

1. GIỚI THIỆU

Dầm và khung được ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật. Trong chương này chúng ta sẽ áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để tính dầm sau đó mở rộng cho kết cấu khung hai chiều.

Ta chỉ xét dầm có mặt cắt ngang đối xứng so với mặt phẳng tải trọng. Sơ đồ hoá dầm chịu uốn và biến dạng (độ võng) của trục dầm được minh hoạ như Hình 9.1 dưới đây.

Trong trường hợp biến dạng nhỏ, ta đã có kết quả quen biết sau:

(9.1)

(9.2)

Phương trình độ võng:

(9.3)

Trong đó: là ứng suất pháp, là biến dạng dài, M là mômen uốn nội lực trên mặt cắt ngang, v là độ võng của trục x và J là mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hoà (trục z đi qua trọng tâm mặt cắt ngang).

9. THẾ NĂNG

Năng lượng biến dạng trong một phân tố có chiều dài dx được xác định bởi:

(9.4)

Thay (9.1) và (9.2) vào (9.4) ta được:

82

Mkm

Pkpp

y

x

Hình 9.1. (a) Sơ đồ hoá dầm chịu uốn; (b). Biến dạng của trục dầm

xv

(a)

(b)

kp km

Page 89: Giaotrinh FEM V1

(9.5)

Từ (9.5) ta tính được năng lượng biến dạng toàn phần trong dầm:

(9.6)

Thế năng của dầm được xác định bởi:

(9.7)

Trong đó: p là tải trọng phân bố trên một đơn vị dài; Pkp là lực tập trung tại điểm kp; Mkm là mômen của ngẫu lực tại điểm km; vkp là độ võng tại điểm kp và km là góc xoay của mặt cắt ngang tại km.

10. HÀM DẠNG HERMITE

Giả sử ta chia dầm thành bốn phần tử như Hình 9.2, mỗi phần tử có 2 nút; mỗi nút có 2 bậc tự do. Hai bậc tự do của nút i được ký hiệu là Q2i-1 và Q2i. Trong đó Q2i-1 là độ võng; Q2i là góc xoay.

Q là véctơ chuyển vị chung:

Q = [ Q1, Q2 , Q3, ..., Q10 ]T (9.8)

Bốn bậc tự do địa phương của mỗi phần tử được ký hiệu bởi: q = [q1, q2, q3, q4]T. trong đó: q1, q3 là độ võng và q2, q4 là góc xoay.

Các hàm dạng để nội suy chuyển vị trên một phần tử dầm sẽ được xác định theo ; trong đó -1 1.

Các hàm dạng đối với phần tử dầm khác với các hàm dạng mà ta đã biết trong các chương trước. Vì có cả chuyển vị ngang (độ võng) và góc xoay do đó chúng ta đưa vào hàm dạng Hermite như sau:

Hi = a i + b i + c i2 + di 3; với (i = 1, 2, 3, 4) (9.9)

Các hàm dạng Hermite thoả mãn các điều kiện:

H1 H1’ H2 H2’ H3 H3’ H4 H4’ = -1 1 0 0 1 0 0 0 0 = 1 0 0 0 0 1 0 0 1

Các hệ số ai, bi, ci và di được xác định nhờ các điều kiện trong bảng trên.

83

1 2 3 4 e

Q10

Q9Q6

Q8

Q5

Q6

Q3

Q4

Q1

Q2 q4

q3q1

q2

21v1

v’2

v2

v’1(a) (b)Hình 9.2. Rời rạc dầm bằng phần tử hữu hạn

Page 90: Giaotrinh FEM V1

Kết quả cho ta:

H1 = ( 1 - )2(2 + )/4 = (2 - 3 + 3)/4

H2 = (1 - )2 (1 + )/4 = (1 - - 2 + 3)/4

H3 = (1 + )2(2 - )/4 = (2 + 3 - 3)/4 (9.10)

H4 = (1 + )0( - 1)/4 = (-1 - + 2 + 3)/4

Biểu diễn hình học các hàm dạng như Hình 9.3:

11. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ DẦM

Trước hết, ta sử dụng các hàm dạng Hermite trên để xây dựng biểu thức chuyển vị v():

v() = H1v1 + H2 (dv/d)1 + H3v2 + H4 (dv/d)2 (9.11)

Mặt khác:

(9.12)

Vì (x2 - x1 = le) là độ dài phần tử, do đó: ; và , nên ta có quan hệ đạo

hàm sau:

(9.13)

Chú ý rằng (dv/dx) tại nút 1 và nút 2 chính là q2 và q4, suy ra:

(9.14)

hay viết dưới dạng cô đọng:

v = H q (9.15)

84

Hình 9.3. Hàm dạng Hermite

Page 91: Giaotrinh FEM V1

Trong đó:

(9.16)

Năng lượng biến dạng của phần tử được xác định bởi:

Từ (9.13) suy ra:

Thay v = Hq, ta được:

(9.17)

Chú ý: , biểu thức của năng lượng biến dạng của phần tử được viết dưới dạng:

(9.18)

cuối cùng ta thu được:

(9.19)

Trong đó ke là ma trận độ cứng của phần tử dầm

(9.20)

12. QUY ĐỔI LỰC NÚT

Các dạng tải trọng tác dụng gây uốn trên phần tử dầm như chỉ ra trong Hình 9.4.

85

Page 92: Giaotrinh FEM V1

Việc quy đổi các tải trọng này về nút được thực hiện như sau:

5.1. Lực phân bố đều, cường độ p (Hình 9.4a)

(9.21)

Thay biểu thức của H từ (9.10) và (9.16) vào (9.21), sau đó lấy tích phân ta được:

(9.22)

Trong đó:

(9.23)

5.2. Lực phân bố bậc nhất (0: p0) (Hình 9.4b)

(9.24)

Thay biểu thức của H từ (9.10) và (9.16) vào (9.24), sau đó lấy tích phân ta sẽ nhận được:

(9.25)

5.3. Lực tập trung P0 (Hình 9.4c)

(9.26)

Tương tự như trên, ta có:

(9.27)

trong đó:

86

l x

y

p

l x

y

l

xpxp 0)( p0

x

y

P0

x0

l

x

y

M0

x0

(a) (b)

(c) (d)

Hình 9.4. Các dạng tải trọng gây uốn trên phần tử dầm

l

Page 93: Giaotrinh FEM V1

(9.28)

5.4. Ngẫu lực có mômen M0 (Hình 9.4d)

Tương tự như trên, ta có:

(9.29)

Chú ý: véctơ lực nút fe cũng có thể được biểu diễn theo biến 0, bằng cách thay

vào biểu thức (9.29).

13. TÍNH MÔMEN UỐN VÀ LỰC CẮT

Áp dụng hệ thức mômen uốn và lực cắt:

, trong đó: v = Hq

Suy ra

(9.30)

(9.31)

14. KHUNG PHẲNG

Khảo sát một kết cấu phẳng gồm các dầm liên kết cứng với nhau. Các phần tử trong kết cấu có thể có nhiều phương khác nhau. Hình 9.5 giới thiệu một phần tử khung.

Mỗi nút phần tử có hai chuyển vị theo x,y và một góc xoay. Ta ký hiệu véctơ chuyển vị nút của phần tử bởi:

87

x

y

y’

x’

q6 (q’6)

q5

q’5

q4

q’4

q2 q’2

q1

q’1

q3 (q’3)

Hình 9.5. Phần tử khung phẳng

Page 94: Giaotrinh FEM V1

q = [ q1, q2, q3, q4, q5, q6]T (9.32)

Ta qui ước hệ toạ độ địa phương (x’, y’) sao cho x’ hướng dọc theo phần tử khung với các cosin chỉ phương l = cos và m = sin.

Trong hệ toạ độ địa phương, véctơ chuyển vị nút được xác định bởi:

q' = [ q'1, q'2, q'3, q'4, q'5, q'6]T (9.33)

Chú ý: q’3 = q3 ; q’6 = q6, ta tìm được biểu thức quan hệ giữa q và q’:

q' = Lq (9.34)

Trong đó:

(9.35)

Ở đây, ta coi q'2, q'3, q'5, q'6 như các bậc tự do của một phần tử dầm chịu uốn; còn q'1

và q'4 giống như các chuyển vị của một phần tử thanh chịu kéo hoặc nén (Chương 4).

Tổng hợp các độ cứng theo đúng vị trí cần có, ta xác định được ma trận độ cứng của phần tử khung như sau:

(9.36)

Tương tự như phần hệ thanh phẳng (Chương 5), ta có thể xác định được năng lượng biến dạng của phần tử khung:

(9.37)

trong đó:

ke = LT k'e L (9.38)

là ma trận độ cứng của phần tử trong hệ toạ độ chung (x, y).

Trong các chương trình phần tử hữu hạn, trước hết ta xác định ma trận k’e, sau đó tiến hành nhân các ma trận ở trên theo (9.38) để được ke.

88

Page 95: Giaotrinh FEM V1

Nếu trên khung có tải trọng phân bố tác dụng, chẳng hạn như Hình 9.6. Ta có:

q’Tf' = qT LT f'

trong đó

(9.39)

Vậy, tải trọng nút do p gây ra sẽ được xác định bởi:

f = LT f' (9.40)

Các giá trị của f được cộng vào véctơ lực nút chung, với chú ý là chiều dương của p được lấy theo chiều của y'.

Lực tập trung và mômen của ngẫu lực uốn cũng được cộng một cách đơn giản vào véctơ lực nút chung.

Áp đặt điều kiện biên, cuối cùng ta thu được hệ phương trình PTHH: KQ = F cho phép tính chuyển vị tại một điểm bất kỳ của khung chịu lực.

15. VÍ DỤ

8.1. Ví dụ 1

Cho một dầm chịu lực như Hình 9.7. Biết E = 200 gPa, J = 4106 mm4, = 1000 mm, p = 12 kN/m. Xác định góc xoay tại B, C và độ võng tại điểm giữa đoạn BC.

89

x

y

y’

x’

p

2ePl

Hình 9.6. Qui đổi lực phân bố về nút

2ePl

12

2ePl

12

2ePl

p

ll

2 31 1 2

A B C

Hình 9.7. Tính dầm chịu uốn bằng phương pháp PTHH

Q3

Q4

Q1Q2

Q5Q6

Page 96: Giaotrinh FEM V1

Lời giải

Chia dầm ra 2 phần tử; mỗi phần tử có 2 nút; mỗi nút có 2 bậc tự do (Hình 9.7).

Các chuyển vị Q1 = Q2= Q3= Q5= 0; cần tìm Q4 và Q6.

Ta có:

Áp dụng công thức (9.23), ta tính được lực nút qui đổi: F4 = -1000 Nm ;F6 = 1000 Nm

Ghép hai phần tử, ta thu được ma trận độ cứng chung của dầm

và hệ phương trình

Giải hệ phương trình trên sẽ được

(Rad)

Đối với phần tử 2: q1 = 0; q2 = Q4; q3 = 0; q4 = Q6. Để xác định độ võng tại điểm giữa của phần tử 2, ta áp dụng công thức (9.15): v = Hq, tại = 0

Suy ra:

8.2. Ví dụ 2

Xác định chuyển vị tại điểm B của khung chịu lực như hình dưới. Biết A = 0,006m2; J = 0,0002m4; E = 200 gPa.

Lời giải

1. Bảng định vị các phần tử

Kết cấu được chia ra 2 phần tử như Hình 9.8; số nút chung là 1, 2 và 3. Bậc t.do

PT1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 7 8 92 7 8 9 4 5 6

90

Page 97: Giaotrinh FEM V1

2. Các thông số liên quan

PT () sin cos E(N/m2) l(m) J(m4) EJ/l3 A(m2)

1

2

22,02

0

0.375

0

0,927

1

200.109

200.109

8

8

0,0002

0,0002

78,125

78,125

0,006

0,006

3. Ma trận độ cứng của các phần tử

Áp dụng công thức (9.36), ta tính được ma trận độ cứng của các phần tử:

4. Xác định véctơ lực nút của các phần tử:

- Trên phần tử 1, lực tập trung P không đặt đúng nút, nên có thể sử dụng các công thức (9.10), (9.27) và (9.28), ta được:

91

2

1

P=50kN

1

3 2

p=4 kN/m

5m

3m 8m 3m

Q1

Q2

Q3

Q4

Q5

Q6Q9

Q8

Q7

2

1

1

3 2

Hình 9.8. Bài toán khung phẳng chịu lực

Page 98: Giaotrinh FEM V1

;

- Trên phần tử 2, có lực phân bố đều tác dụng, áp dụng công thức (9.34) và (9.35), ta được:

Ghép hai ma trận độ cứng trên ta sẽ được ma trận độ cứng chung K; ghép hai véctơ lực nút phần tử trên ta được véctơ lực nút chung F. Áp dụng điều kiện biên (Q1 = Q2= Q3= Q4= Q5= Q6 =0); cuối cùng ta thu được hệ phương trình:

Giải hệ phương trình trên, ta được các thành phần chuyển vị tại điểm B:

92

Page 99: Giaotrinh FEM V1

BÀI TẬP CHƯƠNG 9

1-6. Trong các bài toán về dầm, biểu diễn trên các hình vẽ từ 9.10.1-9.10.6. Biết: EJ = 3E6 Nm2; L = 4 m; xC = 0,4L; q = 15kN/m; m = 10kN.m. Hãy xác định: Ma trận độ cứng tổng thể và véctơ lực tổng thể ; các chuyển vị tổng thể và mômen uốn tại điểm C trên dầm. Chú ý: Sử dụng số lượng phần tử cần thiết tối thiểu trong mỗi bài.

7. Hãy chỉ ra tính hội tụ của các mô hình phần tử hữu hạn cho một dầm tựa trên hai gối đỡ đơn giản và chịu tải phân bố đều, như Hình C9.7. Hãy chia lưới mịn dần để xác định chuyển vị (ở đây là độ võng) cực đại và ứng suất cực đại với sai số nhỏ hơn 5%. Dầm có chiều dài gấp 10 lần chiều cao và có chiều dày đơn vị. So sánh kết quả tính được với ứng suất uốn và độ võng ở giữa dầm có kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt theo biểu thức giải tích sau:

8. Xác định độ võng cực đại và ứng suất cực đại cho một dầm công xôn chịu tải phân bố đều, như Hình C9.8. Chiều dày của dầm bằng đơn vị và chiều dài của dầm

93

x

q

x

L L L

Hình C9.1 Hình C9.2

4J1 2J1 J1Pq

L 2L

x

Hình C9.3 Hình C9.4

L L L

mm qx

LLL

x

LLL

Hình C9.5 Hình C9.6

L

x

L L

y

x

b

2c

q

Hình C9.7. Dầm liên kết tựa bản lề chịu uốn

Page 100: Giaotrinh FEM V1

gấp 5 lần chiều cao của nó. So sánh kết quả tính được với ứng suất uốn và độ võng ở giữa dầm có kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt theo biểu thức giải tích sau:

9-10. Trong các bài toán về khung biểu diễn trên các hình vẽ từ Hình 9.10.9 - 9.10.10. Hãy xác định: Ma trận độ cứng tổng thể; véctơ lực nút tổng thể; các chuyển vị nút và các phản lực tại các liên kết. Cho Q = 15 kN ; P= 10 kN; L = 3m; E = 200 gPa; đường kính D = 0,1m.

11. Cho kết cấu khung xe đạp như Hình C9.11. Thiết kế theo chế độ tải trọng như sau: tải tác dụng theo phương thẳng đứng tại vị trí yên xe là 75 kg và tại vị trí tay lái xe (ghi đông) là 12 kg. Kể đến ảnh hưởng của lực quán tính bằng cách sử dụng hệ số tải trọng 2,5. Giả thiết ban đầu là tất cả các dầm đều là thép ống với đường kính ngoài là 25 mm và chiều dày thành ống là 1,5 mm. Kiểm tra xem khung xe có bị phá hủy cục bộ (tại một điểm nào đó trên khung) nếu vật liệu là thép giàu cacbon với giới hạn đàn hồi là 600gPa? Nếu phá hủy xảy ra thì hãy thiết kế lại (thiết kế tinh) ví dụ thay vật liệu bằng loại có giới hạn đàn hồi cao hơn hoặc có tiết diện lớn hơn hoặc thay đổi hình dạng của khung để chống phá hủy. Nếu khung được thiết kế quá thừa bền thì hãy thiết kế tinh để giảm khối lượng của khung.

94

Ly

x

q

b

2c

Hình C9.8. Dầm công xôn chịu uốn

P

Q

L

P

L

Hình C9.9 Hình C9.10

L L

915

75 kg12 kg

458813

305380

255790

Hình C9.11. Mô hình khung xe đạp chịu lực

Page 101: Giaotrinh FEM V1

Chương 10PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN DẪN NHIỆT

1. GIỚI THIỆU

Trong kỹ thuật, việc xác định ứng suất nhiệt trong quá trình hàn, ứng suất nhiệt do các động cơ nhiệt hoạt động gây ra và xác định các biến dạng nhiệt do ánh sáng mặt trời gây ra trên các kết cấu v.v, có ý nghĩa rất quan trọng. Để giải quyết vấn đề trên, ta cần thiết phải biết sự phân bố nhiệt độ trong vật.

Dưới đây, ta xét bài toán dẫn nhiệt một chiều và hai chiều trong môi trường dừng nhờ phương pháp phần tử hữu hạn.

2. BÀI TOÁN DẪN NHIỆT MỘT CHIỀU

2.1. Mô tả bài toán

Bài toán dẫn nhiệt một chiều còn được gọi là bài toán thanh nhiệt, Hình 10.1.

2.2. Phần tử một chiều

Giả thiết nhiệt độ biến thiên tuyến tính dọc chiều dài thanh, khi đó ta có thể sử dụng mô hình phần tử 2 nút với hàm dạng tuyến tính để xây dựng mô hình PTHH cho bài toán truyền nhiệt một chiều (Hình 10.2). Nhiệt độ tại các nút được ký hiệu là T (tại nút 1 là T1 và nút 2 là T2) là các ẩn số cần tìm.

Trong chương này, các ký hiệu được sử dụng như sau:

T là nhiệt độ,

k là hệ số dẫn nhiệt của vật liệu (W/m 0C),

95

qAAdx

dx

dqq

x dx

dòng nhiệt

Vật dẫn nhiệt

Hình 10.1. Mô hình bài toán dẫn nhiệt một chiều

QAdx

1 2

1 2 3 LT1=T0

q=h(TL-T)

X

Hình 10.2. Mô hình phần tử hữu hạn cho bài toán dẫn nhiệt

Page 102: Giaotrinh FEM V1

q là mật độ dòng nhiệt (W/ m2),

Q là nguồn nhiệt trên một đơn vị thể tích hoặc trên một đơn vị diện tích,

h là hệ số đối lưu nhiệt (W/m2 0C),

Định luật Fourier cho rằng: Dòng nhiệt đi qua thanh tỉ lệ thuận với građiên nhiệt độ T/x theo phương dẫn. Do đó,

(10.1)

Trong đó: Q là nhiệt lượng; k là hệ số dẫn nhiệt; A là diện tích mặt cắt ngang (mặt đẳng nhiệt vuông góc với hướng truyền nhiệt).

và:

(10.2)

do đó:

hoặc dưới dạng ma trận:

(10.3)

Đây là phương trình cân bằng của phần tử cho bài toán thanh nhiệt.

So sánh với bài toán một chiều (Chương 4), ta dễ thấy có một sự tương tự:

Tiến hành ghép các phần tử như trong bài toán một chiều (1D). Cuối cùng ta cũng thu được hệ phương trình PTHH dưới dạng tổng quát:

KT = R (10.4)

2.3. Ví dụ

Khảo sát sự phân bố nhiệt qua vách phẳng được ghép từ 3 lớp vật liệu như Hình 10.3; với hệ số dẫn nhiệt của các lớp vật liệu là: k1=8010-3W/mm 0C; k2=110-

3W/mm 0C; k3=8010-3 W/mm 0C.

Lời giải

96

1 2

1 2 3

T1=2000C

x

Hình 10.3. Mô hình bài toán dẫn nhiệt qua vách phẳng 3 lớp

4

3

k1 k2 k3T4=200C

10 5 10

Page 103: Giaotrinh FEM V1

Ta có thể mô tả bài toán như một thanh nhiệt gồm 3 phần tử; diện tích mặt cắt ngang bằng 1 đơn vị.

Trước hết ta xây dựng bảng ghép nối các phần tử, như bảng sau:

Bậc t.do

Phần tử

1 2

1 1 2

2 2 3

3 3 4

Sau đó tính các ma trận dẫn nhiệt của các phần tử:

Từ đây, ta tính được ma trận dẫn nhiệt K:

và hệ phương trình PTHH có dạng:

Áp đặt điều kiện biên: T1 = 2000C, T4 = 200C vào hệ phương trình trên (tức là loại bỏ dòng 1, cột 1 và dòng 4, cột 4); sau đó giải hệ phương trình, ta sẽ được:

T2 = 195,710C

T3 = 24,29 0C

Thay các giá trị của T vào hệ phương trình trên, ta tìm được lượng nhiệt cần cung cấp tại nút 1 và 4 sẽ là:

R1 = -R4 = 34,3210-3 W/mm2

97

Page 104: Giaotrinh FEM V1

3. BÀI TOÁN DẪN NHIỆT HAI CHIỀU

3.1. Phương trình vi phân quá trình dẫn nhiệt hai chiều

Mục đích của chúng ta ở đây là đi xác định sự phân bố nhiệt độ T(x, y) trong một vật thể dài, hình lăng trụ; chẳng hạn trong ống khói có tiết diện ngang chữ nhật như Hình 10.4.

Khảo sát một vi phân thể tích như Hình 10.4b. Vi phân thể tích có độ dầy t là hằng số theo phương z. Lượng nhiệt phát sinh trong phân tố được ký hiệu là Q(W/m3). Vì lượng nhiệt đi vào vi phân thể tích cộng với lượng nhiệt phát sinh phải bằng lượng nhiệt đi ra; do đó:

(10.5)

Từ (10.5), suy ra:

(10.6)

thay vào (10.6), ta sẽ được phương trình dẫn nhiệt:

(10.7)

Phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả quá trình dẫn nhiệt 2 chiều (10.7) là một trường hợp riêng của phương trình tổng quát cho quá trình dẫn nhiệt Helmholtz.

3.2. Điều kiện biên

Phương trình (10.7) phải được giải quyết với các điều kiện biên xác định. Có ba dạng điều kiện biên như mô tả trên Hình 10.5.

98

A A

A-A

Hình 10.4. (a). Mô hình bài toán dẫn nhiệt hai chiều(b).Vi phân thể tích dẫn nhiệt

y

x

Q

(b)(a)

qy

dxq

qx

xx

dyq

qy

yy

qx

dx

dy

Page 105: Giaotrinh FEM V1

Các điều kiện biên được phát biểu cụ thể như sau:

i. Cho trước nhiệt độ T = T0 trên biên ST;

ii. Cho trước mật độ nhiệt qn = q0 trên Sq;

iii. Cho trước qui luật trao đổi nhiệt giữa bề mặt của vật và môi trường qn

= h(T-T) trên Sc.

Phần bên trong vật ký hiệu là A. Biên tổng cộng là S = (ST + Sq + Sc). Ngoài ra, véctơ mật độ nhiệt qn vuông góc với biên dẫn. Ở đây ta qui ước: q0 >0 nếu nhiệt đi ra ngoài vật và q0 <0 nếu nhiệt đi vào trong vật.

3.3. Phần tử tam giác

Dưới đây, chúng ta sẽ sử dụng phần tử tam giác để giải bài toán dẫn nhiệt (Hình 10.6). Việc mở rộng cho phần tử tứ giác đẳng tham số cũng được thực hiện tương tự như Chương 8.

Ta biểu diễn trường nhiệt độ trong phần tử được biểu diễn bởi:

T = T1 N1 + T2 N2 + T3 N3 (10.8)

Hoặc: T = NTe

Trong đó:

99

Sc: qn = h(T-T)

ST: T=T0

Sq: qn = q0

Hình 10.5. Các điều kiện biên của bài toán dẫn nhiệt hai chiều

A

12

3

1

2

3

= 1

= 1y

x

T(x,y)

T1

T3

T2

Hình 10.6. Phần tử tam giác bậc nhất trong bài toán dẫn nhiệt hai chiều

Phần tử quy chiếu

Page 106: Giaotrinh FEM V1

là các hàm dạng và tương ứng là nhiệt

độ tại các nút và là các ẩn số cần tìm.

Tương tự như ở Chương 6, với phần tử tam giác đẳng tham số ta có:

x = N1 x1 + N2 x2+ N3 x3

y = N1 y1 + N2 y2 + N3 y3 (10.9)

Suy ra

và (10.10)

Hay

(10.11)

J là ma trận Jacobian được xác định bởi:

Trong đó: xij = xi - xj; yij = yi - yj và , với Ae là diện tích của phần tử tam giác.

Nghịch đảo (10.11), dẫn đến:

(10.12)

Hay:

(10.13)

Trong đó

(10.14)

Kết quả là:

(10.15)

100

Page 107: Giaotrinh FEM V1

3.4. Xây dựng phiếm hàm

Như đã đề cập ở mục trên, chúng ta cần giải phương trình (10.7) với các điều kiện biên: (i). T = T0 trên ST; (ii). qn = q0 trên Sq; (iii). qn = h(T-T) trên Sc. Việc giải bài toán này tương đương với việc cực tiểu hoá phiếm hàm:

(10.16)

sao cho T = T0 trên ST.

Thế (10.15) vào hai số hạng đầu trong biểu thức tích phân thứ nhất của , ta sẽ được:

(10.17)

Trong đó ma trận dẫn nhiệt của phần tử được xác định bởi:

(10.18)

và ma trận dẫn nhiệt của cả hệ:

(10.19)

a. Xét số hạng thứ ba trong biểu thức tích phân thứ nhất của , có ba trường hợp xảy ra:

1. Khi Q =Qe là hằng số trong phần tử; độ dày phần tử t = const.

(10.20)

Vì , do đó véctơ lượng nhiệt:

(10.21)

2. Khi Q biến thiên tuyến tính với Qe = [Q1, Q2 , Q3 ]T. Khi ấy, ta có:

Q(, ) = NQe (10.22)

Thế (10.22) vào , sẽ được:

(10.23)

3. Trường hợp điểm nhiệt. Giả sử Q0 là biên độ của điểm nhiệt tại (0, 0) trong phần tử. Nếu điểm nhiệt trùng với nút của phần tử thì Q0 được cộng vào véctơ tải trọng ở vế phải; nếu điểm nhiệt nằm bên trong phần tử thì:

(10.24)

101

Page 108: Giaotrinh FEM V1

Trong đó:

Hay

(10.25)

b. Xét tích phân tiếp theo

(10.26)

Giả thiết rằng điều kiện biên mật độ nhiệt q = q0 được cho vuông góc với cạnh 2-3 của phần tử như Hình 10.7.

Khi ấy, dọc theo cạnh 2-3, ta có: và . Vì vậy

(10.27)

Trong đó:

(10.28)

Tương tự, nếu điều kiện biên mật độ nhiệt q = q0 được cho vuông góc với cạnh 1-2 của phần tử, ta sẽ có:

(10.29)

Và nếu điều kiện biên mật độ nhiệt q = q0 được cho vuông góc với cạnh 1-3 của phần tử, ta sẽ có:

(10.30)

c. Xét tích phân cuối cùng

102

12

3

q = q0

Hình 10.7. Điều kiện biên dẫn trên cạnh 2-3 của phần tử tam giác

= 0 = 0

= 1 = 0

= 0 = 1

x

Page 109: Giaotrinh FEM V1

(10.31)

Nếu cạnh 2-3 là cạnh toả nhiệt đối lưu của phần tử, khi ấy và , nên ta có:

(10.32)

(10.33)

Nếu cạnh 1-2 là cạnh toả nhiệt đối lưu của phần tử, khi ấy và , nên ta có:

(10.34)

(10.35)

Nếu cạnh 1-3 là cạnh toả nhiệt đối lưu của phần tử, khi ấy và , nên ta có:

(10.36)

(10.37)

cuối cùng, số hạng trong (10.31) được bỏ qua vì nó không chứa các

thành phần của vectơ Te, nên sẽ tự động bị triệt tiêu trong phép toán tìm cực trị của phiếm hàm.

Cuối cùng, ta viết phiếm hàm (10.16) dưới dạng:

(10.38)

Trong đó

(10.39)

(10.40)

103

Page 110: Giaotrinh FEM V1

Việc cực tiểu hoá phiếm hàm phải được thực hiện sao cho thoả mãn điều kiện T = T0 ở tất cả các nút trên ST.

3.5. Ví dụ

Một vật thể đủ dài, tiết diện ngang chữ nhật, có hệ số dẫn nhiệt là 1,5W/m 0C chịu điều kiện biên như Hình 10.8. Hai mặt đối diện trên và dưới được giữ ở nhiệt độ 1800C; mặt trái cách nhiệt; mặt phải chịu sự trao đối nhiệt đối lưu với T = 250C; h = 50 W/m2 0C. Xác định sự phân bố nhiệt độ trong vật thể.

Lời giải

Do mặt cắt ngang đối xứng nên ta chỉ xét một nửa chiều cao mặt cắt ngang. Phần mặt cắt khảo sát được chia ra 3 phần tử với 5 nút như Hình 10.8.

Từ sơ đồ lưới phần tử như trên, ta xây dựng được bảng ghép nối các phần tử:

Bậc t.doPhần tử

1 2 3

1 1 2 3

2 5 1 3

3 5 3 4

Theo công thức (10.14)

Ta tính được

104

k=1,5W/m0C

2

3

1

1

5 4

3

2

0,4m

0,6m

h, T

h, T

T=1800

T=1800

q=0

Hình 10.8. Mô hình bài toán thanh dẫn nhiệt

T=1800

Page 111: Giaotrinh FEM V1

Áp dụng công thức (t=1 đơn vị), ta tính được các ma trận nhiệt của các

phần tử:

Tiếp theo, cần tính ma trận hT cho phần tử có cạnh đối lưu. Vì hai phần tử 1 và 3 cùng có cạnh 2-3 (nút địa phương) đối lưu, áp dụng biểu thức (10.32) ta có:

thay số vào ta được:

Ma trận dẫn nhiệt của cả hệ (kích thước 5x5) sẽ được xây dựng nhờ bảng ghép nối các phần tử ở trên. Chú ý đến điều kiện biên T = 1800C tại nút 4 và 5 (bỏ hàng 4, cột 4; hàng 5, cột 5), ta được:

Bây giờ ta đi tính véctơ lượng nhiệt R theo công thức (10.33):

ta có:

VậyR = 93,75 [ 0 1 2 ]T

Giải hệ phương trình: (KT = R) ta được:

Nếu chia cạnh 2-4 ra nhiều nút, ta sẽ có kết quả chính xác hơn.

105

Page 112: Giaotrinh FEM V1

BÀI TẬP CHƯƠNG 10

1. Trong một bài toán dẫn nhiệt của một kết cấu, người ta cho biết rằng nhiệt độ tại các nút của phần tử tam giác số (5) là: T6 = 488,66 0K; T7 = 425,16 0K; T8

= 496,08 0K, như trên Hình C10.1. Xác định građien nhiệt độ trong phần tử. Xác định xem đường đẳng nhiệt 4910K cắt biên của phần tử tại đâu?

2. Trong một bài toán dẫn nhiệt tương tự như bài 10.1 người ta biết nhiệt độ tại các nút của phần tử chữ nhật số (10) là: T5 = 258,46 0K; T6 = 288,66 0K; T7 = 325,16 0K; T8 = 196,08 0K như trên Hình C10.2. Xác định građien nhiệt độ trong phần tử. Xác định xem đường đẳng nhiệt 260 0K cắt biên của phần tử tại đâu?

3. Khảo sát một bức tường có chiều dày L=30 cm, hệ số dẫn nhiệt của vật liệu k = 0.7 W/m .oC. Bề mặt trong có nhiệt độ 28oC và bề mặt ngoài tiếp xúc với không khí lạnh ở nhiệt độ -15oC. Hệ số đối lưu nhiệt của bề mặt là h = 40W/m2 .oC. Hãy xác định giá trị nhiệt độ trung bình phân bố trong tường và lượng nhiệt đi qua tường.

4. Xét kết cấu nhiệt như Hình C10.4. Mặt ngoài của bộ phát nhiệt (dạng băng) được gắn với 1 lớp cách nhiệt, mặt trong được gắn với một tấm thép không gỉ dày 2cm, hệ số dẫn nhiệt k =16.6W/m.oC. Bề mặt kia của tấm thép được tiếp xúc với không khí ở nhiệt độ 20oC. Nhiệt lượng phát sinh từ bộ phát nhiệt ở cường độ 500W/m2. Hãy xác định nhiệt độ tại bề mặt mà dải nhiệt gắn với tấm thép tản nhiệt.

106

y

x

8

76

Hình C10.1

5

y

x

8 7

65

Hình C10.2

10

Hình C10.3

k=0.7W/moC28oC

h=40W/m2 oCT = -15oC

30 cm

2cm

Hình C10.4

h =5W/m2.0CT =20oC

Thép trắngk =16.6W/moC

Phần tử phát nhiệt

Lớp cách nhiệt

Page 113: Giaotrinh FEM V1

Chương 11 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TẤM - VỎ CHỊU UỐN

1. GIỚI THIỆU

Tấm và vỏ là các dạng kết cấu được sử dụng nhiều trong kỹ thuật và chúng thường chịu biến dạng chịu uốn. Các phương trình PTHH đối với các kết cấu tấm-vỏ thường phức tạp hơn nhiều so với các dạng kết cấu khác. Chương 11 sẽ giới thiệu về hai lý thuyết tấm được sử dụng phổ biến trong các bài toán kết cấu tấm-vỏ: lý thuyết tấm kinh điển của Kirchoff (gọi tắt là tấm Kirchoff) và lý thuyết tấm bậc nhất của Mindlin (gọi tắt là tấm Mindlin).

Các thuật toán PTHH đối với tấm chịu uốn tương ứng với hai lý thuyết trên đã được thiết lập chi tiết.

Phần tử vỏ được xem là tổ hợp của phần tử tấm chịu uốn và phần tử tấm chịu trạng thái ứng suất phẳng.

2. LÝ THUYẾT TẤM KIRCHOFF

Giả thiết cơ bản của lý thuyết uốn tấm Kirchoff là: đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình (mặt phẳng chia đôi chiều cao tấm) vẫn thẳng và vuông góc với mặt trung bình sau khi biến dạng. Hệ quả của giả thiết này là ta đã bỏ qua các thành phần biến dạng cắt ngang ( ). Do đó, các thành phần chuyển vị trong mặt phẳng: u, v và w được biểu diễn như sau:

(11.1)

trong đó, mặt phẳng (0, x, y) là mặt giữa của tấm, trục z vuông góc với bề mặt tấm. Các thành phần u, v và w tương ứng là chuyển vị theo phương x, phương y và phương z; w0 là chuyển vị tại mặt trung bình (giả thiết biến dạng màng: u0 = v0 = 0).

Vì bỏ qua biến dạng cắt, nên các thành phần biến dạng trong mặt phẳng được viết ở dạng sau:

(11.2)

Trong đó:

(11.3)

được gọi là các thành phần độ cong.

Thay các biểu thức (11.2) và (11.3) vào quan hệ ứng suất biến dạng ta được biểu thức sau:

(11.4)

Trong đó:

107

Page 114: Giaotrinh FEM V1

Các thành phần nội lực trên các mặt cắt ngang được mô tả trong Hình 11.1.

Các thành phần mômen được xác định bởi:

(11.5)

Trong đó: và h là chiều dày tấm. Thay biểu thức (11.4) vào

(11.5), ta thu được quan hệ giữa mômen và các thành phần độ cong như sau:

(11.6)

Trong đó:

(11.7)

Các phương trình cân bằng (cân bằng mômen đối với các trục x, y và cân bằng lực đối với trục z, được suy ra từ điều kiện cân bằng tĩnh học của phần tử tấm (Hình 11.1). Sau khi đã bỏ qua các thành phần bậc cao, ta thu được các phương trình cân bằng sau:

(11.8)

Trong đó, Qx và Qy là các lực cắt và p là tải trọng phân bố gây uốn tấm (phương tác dụng vuông góc với mặt phẳng tấm). Khử các thành phần lực cắt trong các phương trình của hệ (11.8) ta được:

108

x

y

z

Mxy

Mx

Qx

Qy

Mxy

My dyy

MM y

y

dxx

MM xy

xy

dxx

MM x

x

dyy

MM xy

xy

dxx

QQ x

x

dyy

QQ y

y

dy

dx

Hình 11.1. Nội lực trên phần tử tấm chịu uốn

Page 115: Giaotrinh FEM V1

(11.9)

Tổ hợp các biểu thức (11.3), (11.6) và (11.9), qua một số phép biến đổi đơn giản cuối cùng ta nhận được phương trình vi phân cân bằng đối với tấm chịu uốn như sau:

(11.10)

Trong đó:

là độ cứng chống uốn của tấm.

3. PHẦN TỬ TẤM KIRCHOFF CHỊU UỐN

Dựa trên lý thuyết tấm kinh điển đã trình bày ở trên, chúng ta sẽ xây dựng thuật toán PTHH cho phần tử tứ giác bốn nút tại đỉnh chịu uốn. Phần tử được mô tả trong Hình 11.2.

Mỗi nút của phần tử có 3 bậc tự do: Chuyển vị w theo phương z và hai góc xoay x

= w,x và y = w,y (dấu phảy là ký hiệu của đạo hàm riêng phần của w theo các biến x và y) quanh trục x và y tương ứng. Ký hiệu véctơ chuyển vị nút là di, ta có:

(11.11)

Với phần tử tứ giác 4 nút, véctơ chuyển vị nút phần tử được biểu diễn như sau:

(11.12)

và véctơ chuyển vị tại một điểm bất kỳ của phần tử là:

(11.13)

109

(x2,y2)1

(x1,y1)

4(x4,y4)

3(x3,y3)

x

y

z

w

yx

Hình 11.3. Phần tử tứ giác Kirchoff

Page 116: Giaotrinh FEM V1

Véctơ chuyển vị nút phần tử (11.11) có chứa các thành phần là đạo hàm bậc nhất tương ứng với các góc xoay tại nút. Do đó, các thành phần chuyển vị của véctơ chuyển vị (11.13) sẽ được nội suy qua các giá trị chuyển vị nút như sau:

- Thành phần chuyển vị độ võng tấm (w) được xấp xỉ theo hàm nội suy Hecmit, tức là:

(11.14)

- Các thành phần chuyển vị góc xoay được nội suy qua các thành phần chuyển vị nút:

(11.15)

(11.16)

Khi đó, quan hệ giữa véctơ chuyển vị được nội suy qua véctơ chuyển vị nút phần tử như sau:

d = q. (11.17)

Trong đó: là ma trận nội suy, được biểu diễn như sau:

(11.18)

Thay vào biểu thức (11.3) ta có thể biểu diễn các thành phần biến dạng qua véctơ chuyển vị dưới dạng:

; (11.19)

với L là ma trận toán tử đạo hàm, được xác định như sau:

(11.20)

Cuối cùng, các thành phần biến dạng được viết lại dưới dạng:

(11.21)

với B là ma trận quan hệ biến dạng-chuyển vị.

Từ biểu thức năng lượng biến dạng đàn hồi:

(11.22)

110

Page 117: Giaotrinh FEM V1

Đưa các quan hệ (11.2), (11.3) và (11.4) vào (11.22) và qua một số khai triển, chú ý đến biểu thức của các thành phần nội lực, ta được biểu thức của năng lượng biến dạng đàn hồi:

Cuối cùng, thế năng biến dạng đàn hồi của phần tử được biểu diễn dưới dạng cô đọng:

(11.23)

trong đó ke là ma trận độ cứng phần tử tứ giác Kirchoff và được xác định theo biểu thức:

(11.24)

Để xác định được ma trận độ cứng phần tử tứ giác Kirchoff, ta cần xây dựng được các hàm nội suy Hecmit Hi (i = 1, 2, .., 12). Các hàm này được xác định trong hệ toạ

độ quy chiếu (, ) và với tính chất: Nút 1

, H1 H1’ H1’ H2 H2’ H2’ H3 H3’ H3’

-1,-1 1 0 0 0 1 0 0 0 11,-1 0 0 0 0 0 0 0 0 01,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Nút 2, H4 H4’ H4’ H5 H5’ H5’ H6 H6’ H6’

-1,-1 0 0 0 0 0 0 0 0 01,-1 1 0 0 0 1 0 0 0 11,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Nút 3, H7 H7’ H7’ H8 H8’ H8’ H9 H9’ H9’

-1,-1 0 0 0 0 0 0 0 0 01,-1 0 0 0 0 0 0 0 0 01,1 1 0 0 0 1 0 0 0 1-1,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Nút 4, H10 H10’ H10’ H11 H11’ H11’ H12 H12’ H12’

-1,-1 0 0 0 0 0 0 0 0 01,-1 0 0 0 0 0 0 0 0 01,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

111

Page 118: Giaotrinh FEM V1

-1,1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Ta có thể chọn các hàm dạng Hi dưới dạng sau:

H = a0 + a1 + a2+ a32 + a4 + a52 +

+ a63 + a72 + a82 + a93+ a103 + a113

Từ bảng trên, ta sẽ xác định được các hệ số ai (i = 0 .. 11). Cuối cùng, ta sẽ thu được các hàm nội suy Hecmit như sau:

(11.25a)

;

(11.25b)

;

(11.25c)

;

(11.25d)

;

Quan hệ giữa 2 hệ toạ độ (x,y) và (, ) được thể hiện dưới dạng:

(11.26)

trong đó : a, b là kích thước phần tử chữ nhật; xC, yC là tọa độ trọng tâm C của phần tử.

Như đã thấy trên đây, các hàm nội suy Hi tương ứng với nút i được biểu diễn theo các toạ độ quy chiếu (,). Các biểu thức của ma trận toán tử L (11.20), có chứa đạo hàm riêng phần của các hàm Hi lấy theo biến x và y của hệ toạ độ thực. Do đó, ta cần thực hiện phép tính đạo hàm của hàm hợp: 

(11.27a)

và:

(11.27b)

với: là ma trận nghịch đảo của ma trận Jacôbiên .

112

Page 119: Giaotrinh FEM V1

Vậy ta có:

(11.28)

và: ; (11.29)

Khi đó các biểu thức (10.20) của ma trận toán tử đạo hàm được biểu diễn theo hệ toạ độ quy chiếu (, ):

(11.30)

và ma trận B được biểu diễn như sau:

(11.31)

Trong đó:

; . (11.32a)

; . (11.32b)

; (11.32c)

; (11.32d)

; (11.32e)

; (11.32f)

113

Page 120: Giaotrinh FEM V1

; . (11.32g)

; , (11.32h)

; (11.32i)

; (11.32k)

; (11.32m)

; (11.32n)

1. PHẦN TỬ TẤM MINDLIN CHỊU UỐN

Khác với lý thuyết tấm Kirchoff, lý thuyết tấm của Mindlin có kể đến ảnh hưởng của các thành phần biến dạng cắt ngang ( ). Khi đó, biểu thức của năng lượng biến dạng đàn hồi của tấm có chứa thêm biểu thức năng lượng biến dạng cắt ngang:

(11.33)

trong đó :

(11.34)

(11.35)

là các thành phần ứng suất và biến dạng uốn, còn:

(11.36)

(11.37)

là các thành phần ứng suất và biến dạng cắt ngang (trong các mặt phẳng vuông góc với mặt trung bình).

Trong các tính toán kỹ thuật theo lý thuyết tấm của Mindin, ta cần phải sử dụng thêm

hệ số hiệu chỉnh cắt, hệ số này thường được chọn là . Khi đó, năng lượng biến dạng

đàn hồi của tấm chịu uốn có kể đến ảnh hưởng của biến dạng cắt sẽ được biểu diễn dưới dạng:

(11.38)

trong đó :

114

Page 121: Giaotrinh FEM V1

(11.39)

(11.40)

Theo lý thuyết tấm Mindlin, trường chuyển vị được biểu diễn như sau :

(11.41)

trong đó, là các góc xoay của mặt trung bình quanh trục y và trục x tương ứng. Ở đây, ta giả thiết: không có các thành phần biến dạng trong mặt phẳng trung bình (không có biến dạng màng). Các thành phần góc xoay này được biểu diễn bởi:

(11.42)

Vì chuyển vị w và các góc xoay là các thành phần độc lập nhau, nên chúng ta cần có các hàm dạng để nội suy chúng một cách độc lập. Do đó, với phần tử tấm chịu uốn có kể đến biến dạng cắt ngang này sẽ yêu cầu sử dụng phàn tử tương thích C0. Các hàm dạng đẳng tham số sẽ được sử dụng cho các phương trình PTHH của phần tử tấm chịu uốn, cụ thể như sau :

(11.43)

Ở đây, n là số nút của phần tử. Để đơn giản hóa bài toán, ta có thể sử dụng các hàm dạng song tuyến tính (Chương 8) cho phần tử tứ giác bốn nút. Đối với các bài toán có yêu cầu cao về độ chính xác, người ta thường sử dụng các hàm dạng bậc cao hơn.

Ta có:

(11.44)

trong đó :

(11.45)

(11.46)

115

Page 122: Giaotrinh FEM V1

(11.47)

Thay các biểu thức trong (11.44) vào (11.38) ta được :

(11.48)

Cuối cùng, ta thu được ma trận độ cứng của phần tử tấm tứ giác bậc nhất chịu uốn dưới dạng:

(11.49)

trong đó, h là chiều dày tấm.

Chú ý: khi chiều dày h của tấm rất nhỏ so với kích thước của 2 phương còn lại (tấm mỏng), năng lượng biến dạng đàn hồi do các thành phần biến dạng cắt (tỉ lệ với h) sẽ lớn hơn nhiều so với năng lượng biến dạng đàn hồi do các thành phần biến dạng uốn (tỉ lệ với h3) gây ra. Hiện tượng này được gọi là ‘‘nghẽn cắt’’ (shear locking), khiến cho lời giải số của bài toán không hội tụ. Để khắc phục hiện tượng này, người ta có thể sử dụng kỹ thuật tích phân rút gọn (reduced integration) hoặc tích phân lựa chọn (selective integration). Nội dung chính của các kỹ thuật này là: biểu thức năng lượng của biến dạng uốn sẽ được tính theo luật tích phân đúng cấp, còn biểu thức năng lượng của biến dạng cắt sẽ được lấy tích phân ở mức độ kém chính xác hơn một cấp. Chẳng hạn, với phần tử tứ giác 4 nút đẳng tham số, ta sử dụng tích phân số với 22 điểm Gauss đối với biểu thức tích phân năng lượng biến dạng uốn, còn đối với biểu thức tích phân năng lượng biến dạng cắt chỉ sử dụng 1 điểm Gauss. Tương tự, với phần tử tứ giác 9 nút đẳng tham số, nếu sử dụng tích phân số 33 điểm Gauss đối với biểu thức tích phân năng lượng biến dạng uốn, thì ta sẽ chỉ sử dụng tích phân số 22 điểm Gauss đối với biểu thức tích phân năng lượng biến dạng cắt.

2. PHẦN TỬ VỎ

Kết cấu vỏ tương tự như kết cấu tấm nhưng có độ cong không đổi hoặc thay đổi theo các phương x và y. Có thể coi kết cấu tấm phẳng là trường hợp riêng của kết cấu vỏ, khi bán kính cong bằng vô cùng. Khi vỏ được chia thành một số hữu hạn các phần tử có kích thước đủ nhỏ, thì mỗi phần tử có thể được xem như là phần tử tấm phẳng chịu uốn với một phương xác định trong không gian. Tuy nhiên, mỗi phần tử này lại có phương khác nhau (phương véctơ pháp tuyến của mặt), vì vậy biến dạng uốn trong phần tử này có thể gây ra biến dạng trong mặt phẳng cho phần tử kế tiếp.

Kết quả là, một phần tử vỏ có thể được xác định như là tổ hợp của một phần tử chịu uốn và một phần tử ở trạng thái ứng suất phẳng, tương tự như phần tử khung 2 chiều được xây dựng từ phần tử dầm chịu uốn và phần tử thanh chịu kéo hoặc nén. Hình 11. 3 mô tả tổ hợp hai phần tử nói trên để tạo ra phần tử vỏ có 5 bậc tự do tại mỗi

116

Page 123: Giaotrinh FEM V1

nút: ba chuyển vị thẳng và hai chuyển vị góc. Ma trận độ cứng của phần tử vỏ được biểu diễn như sau:

(11.50)

trong đó: K, d và F tương ứng là ma trận độ cứng, véctơ chuyển vị nút và véctơ lực nút. Các ma trận và các véctơ trên bao gồm hai phần, một là từ phần tử tấm chịu uốn và hai là từ phần tử tấm chịu kéo (nén). Các chỉ số dưới b và m chỉ các biến dạng uốn và biến dạng màng (kéo, nén) của phần tử vỏ.

Khi các phần tử vỏ có phương khác nhau, ví dụ khi xét ở vị trí góc của một hình hộp (Hình 11.4), tại đây có 3 phần tử kề nhau; ta có thể thấy rằng thành phần góc xoay của phần tử này sẽ là góc xoắn của phần tử kế tiếp. Do đó, khi ghép nối các ma trận độ cứng phần tử và véctơ lực nút phần tử ta cần phải tính đến góc xoắn nói trên. Kết quả là, số bậc tự do của các ma trận và véctơ phần tử cần phải tăng thêm 1 tại mỗi nút. Như vậy, phương trình (11.50) sẽ được viết lại như sau :

(11.51)

Các ma trận và véctơ trong phương trình (11.45) được xác định trong hệ trục toạ độ địa phương của mỗi phần tử, với trục x và y nằm trong mặt phẳng trung bình của phần tử vỏ và trục z là trục vuông góc với mặt phẳng phần tử. Vì vậy, để ghép nối các ma trận và véctơ này thành ma trận độ cứng tổng thể và véctơ lực nút tổng thể ở hệ trục toạ độ chung thì chúng phải được biến đổi sang hệ trục toạ độ chung trước khi tiến hành ghép nối. Nếu gọi ma trận chuyển đổi hệ trục là T, ta có :

117

x

y

z

w

v

u

x

yy

x

v

u

w

+ =

Hình 11. 3. Phần tử vỏ là tổ hợp của 2 phần tử

X

Y

zk

y

Hình 11. 4

zj

zi

Z

x

w

j

k

i

Page 124: Giaotrinh FEM V1

(11.52)

Trong đó, l và g là ký hiệu cho hệ trục địa phương và hệ trục chung tương ứng.

Như vậy, ma trận T chuyển đổi các bậc tự do chung sang các bậc tự do địa phương. Nó chứa các cosin chỉ phương của các trục toạ độ địa phương trong hệ trục toạ độ chung.

Tại mỗi nút, quan hệ giữa các bậc tự do trong hệ toạ độ địa phương và hệ toạ độ chung được mô tả bởi:

(11.53)

Trong đó, cij là cosin của góc hợp bởi trục toạ độ địa phương xi và trục toạ độ chung Xj. Quan hệ này được sử dụng cho từng nút phần tử. Như vậy, ma trận chuyển đổi T đối với phần tử tứ giác 4 nút sẽ được biểu diễn dưới dạng:

(11.54)

với Td được xác định theo biểu thức (11.53).

Cuối cùng, ta xác định được ma trận độ cứng và véctơ lực nút phần tử như sau :

(11.55)

(11.57)

Chú ý: khi vỏ suy biến về tấm phẳng, ma trận độ cứng tổng thể sẽ là một ma trận kỳ dị vì trước đó ta đã gán thêm góc xoắn vào véctơ chuyển vị nút. Để khắc phục hiện tượng trên, người ta thường cộng thêm một giá trị nhỏ vào bậc tự do góc xoắn. Giá trị cộng thêm này không được quá nhỏ để cho ma trận đã được sửa đổi là một ma trận không kỳ dị. Đồng thời, giá trị này cũng không quá lớn để tránh ảnh hưởng đến độ chính xác của kết quả tính. Trong thực tế tính toán, người ta thường khắc phục hiện tượng trên bằng cách đặt K(i,i) = 1, với i là chỉ số ứng với bậc tự do góc xoắn.

118

Page 125: Giaotrinh FEM V1

BÀI TẬP CHƯƠNG 11

1. Một kết cấu tấm bằng hợp kim nhôm, có môđun đàn hồi E = 75gPa và hệ số Poisson = 0,3. Tấm có kích thước 500100mm và chiều dày h = 5mm; chịu liên kết tựa bản lề trên 2 cạnh đối diện và chịu tải trọng phân bố đều, cường độ p= 0,5 N/mm trên suốt chiều rộng và nằm ở giữa chiều dài của nó như trên Hình C11.1. Xác định độ võng cực đại của kết cấu bằng phương pháp phần tử hữu hạn. So sánh với kết quả giải tích theo lý thuyết dầm: Độ võng của dầm chịu uốn (có kể đến cả ảnh hưởng của lực cắt):

Trong đó: G là modul đàn hồi trượt ; S* là tiết diện chịu cắt thực tế: .

Gợi ý: có thể dùng mô hình dầm hoặc mô hình tấm (chịu cả kéo nén và uốn), và chú ý tính đối xứng của kết cấu.

2. Cho kết cấu như bài tập 1, hãy tính độ võng cực đại của kết cấu khi chịu tải trọng phân bố đều trên toàn bộ bề mặt tấm, với cường độ p= 0,1 N/mm2.

3. Hãy giải bài toán với kết cấu và tải trọng như ở bài tập 2, những thay liên kết tựa bản lề trên hai cạnh bằng liên kết ngàm trên cả hai cạnh này.

119

pz

y

x

Hình C11.1. Sơ đồ hoá tấm chữ nhật chịu uốn

b=100mm

L =500mm

h=5mm

Page 126: Giaotrinh FEM V1

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Trần Ích Thịnh – Ngô Như Khoa. Phương pháp phần tử hữu hạn trong kỹ thuật.

NXB Khoa học Kỹ thuật – Hà Nội, 2007.

2. Tirupathi R. Chandrupatla – Ashok D. Belegundu. Introduction Finite

Elements in Engineering. Third Edition.

3. Young W. Hwon - Hyochoong Bang. The Finite Element Method Using

MATLAB. Second Editor. CRC Press, 2000.

4. J. N. Reddy. An Introduction To The Finite Element Method. Third Edition. Tata

McGraw-Hill, 2005.

5. Klaus – Jürgen Bathe. Finite Element Procedures. Prentice-Hall of India, New

Delhi, 2005.

6. K Chandrashekhara. Theory of Plates. Universities Press, 2001.

7. O. C. Zienkiewicz and R. L. Taylor. The Finite Element Method, Fifth Edition.

Volume 2, Solid Mechanics. Butterworth Heinemann, 2000.

8. O. C. Zienkiewicz and K. Morgan. Finite Element and Approximation. New

York: Wiley – Iterscience, 1982.

9. Akin J. E. Finite Element for Analysis and Design. Academic Press Limited,

London, 1994.

10. Batoz J. L. Et Dhatt DG. Modélesation des structues par élements finis.Vol. 1, 2,

3. Ed. Hermès. Paris, 1995.

11. Dhatt G. Et Touzot G. Une présentation de la méthode des élements finis.

Maloine S.A. Editeur, 1981.

12. Ochoa O. O, Readdy, J. N. Finite Element Analysis of Composite Laminates.

Klwer Academic Publisher, 1992.

120