Upload
others
View
7
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
1
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Giới hạn của hàm số tại một điểm:
a). Giới hạn hữu hạn: Giả sử a; b là một khoảng chứa điểm 0x và f là một hàm số xác định trên tập hợp
0a; b \ x .
Ta co 0x X
lim f x L
hoặc f x L khi 0x x .
Nhận xét:
Nếu f x c, x , trong đó c là hằng số thì 0 0x x x x
lim f x lim c c
.
Nếu f x x, x thì 0 0
0x x x xlim f x lim x x
.
2) Giới hạn của hàm số tại vô cực:
Các giới hạn xlim f x ,
xlim f x ,
xlim f x L,
xlim f x ,
xlim f x
Nhận xét:
Áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số, có thể chứng minh được rằng: Với mọi số nguyên dương k, ta
có:
k
xlim x
kx
1lim 0
x
kx
1lim 0
x
3) Một số định lí về giới hạn hữu hạn:
Định lí 1: Giả sử 0x x
lim f x L
và 0x x
lim g x M
(với L, M ).Khi đó:
0x x
lim f x g x L M
0x x
lim f x g x L M
0x x
lim f x .g x L.M
Nếu M 0 thì 0x x
f x Llim
Mg x
Hệ quả:
Nếu c là một hằng số thì 0x x
lim c.f x c.L
.
0
k k0
x xlim a.x ax
( a hằng số và k ).
Định lí 2: Giả sử 0x x
lim f x L
. Khi đó:
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt
http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
2
0x x
lim f x L
0
33
x xlim f x L
Nếu f x 0 với mọi 0x J\ x , trong đó J là một khoảng nào đó chứa 0x , thì L 0 và
0x x
lim f x L
.
Định lí 3: (Định lí kẹp về giới hạn hàm số): giả sử J là một khoảng chứa 0x và f, g, h là ba hàm số xác
định trên tập hợp 0J\ x . Nếu f x g x h x với mọi 0x J\ x và 0 0x x x x
lim f x lim h x L
thì
0x x
lim g x L
.
Định lí 4: Nếu 0x x
lim f x
thì 0x x
1lim 0
f x .
Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của
2
31
2 1lim
2 2x
x x
x
là:
A. . B. 0 . C. 1
2. D. .
Lời giải
Chọn B.
2
31
2 1lim
2 2x
x x
x
2
21
1lim
2 1 1x
x
x x x
21
1lim 0
2 1x
x
x x
Câu 2.
2
2
2 1lim
3x
x
x
bằng:
A. 2 . B. 1
3 . C.
1
3. D. 2 .
Lời giải
Chọn D.
2
2
2 1lim
3x
x
x
2
2
12
lim 23
1x
x
x
Câu 3. 2
1 3lim
2 3x
x
x
bằng:
A. 3 2
2 . B.
2
2. C.
3 2
2. D.
2
2
Lời giải
Chọn A.
http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
3
2
2
2
13
1 3 3 2lim lim
232 3 2x x
x x
x
x
4). Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực:
Qui tắc 1: Nếu 0x x
lim f x
và 0x x
lim g x L
(với L 0 ) thì 0x x
lim f x .g x
được cho bởi bảng sau:
0x x
lim f x
Dấu của L 0x x
lim f x .g x
+
Quy tắc 2: Nếu 0x x
lim f x L, L 0
, 0x x
lim g x 0
và g x 0 hoặc g x 0 với mọi 0x a; b \ x thì
0x x
f xlim
g x được cho bởi bảng sau:
Dấu của L Dấu của g x 0x x
f xlim
g x
+
5). Các dạng vô định:
Các dạng vô định trường gặp: 0
, ,0. ,0
.
http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
4
CÁCH KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH 0
0 (Dạng này thường gặp khi 0x x ).
DẠNG 1: Hàm số
P xf x
Q x trong đó P x ,Q x là đa thức theo biến x.
PHƯƠNG PHÁP: Phân tích đa thức thành nhân tử, sau đó rút gọn biểu thức làm cả tử và mẫu bằng 0.
Phân tích đa thức thành nhân tử có các phương pháp sau:
Sử dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.
Nếu tam thức bậc hai thì sử dụng 21 2ax bx c a x x x x , a 0 với 1 2x ,x là nghiệm của
phương trình 2ax bx c 0 .
Sử dụng phương pháp Hoocner . Phép chia đa thức 4 3 2P x ax bx cx dx e cho 0(x x ) theo sơ
đồ Hoocner (Thân chu : « Đâu rơi, nhân ngang, công cheo »)
Vi du :
Chia 3 24x 13x 4x 3 cho x 3
Câu 1. Tìm giới hạn 3
2x 2
x 8lim
x 11x 18
A. 2
5. B. 1 .
C. 12
7. D. Đáp án khác.
Hướng dẫn giải:
Ta có 3 3 3 2x 8 x 2 x 2 x 2x 4 (áp dụng hằng đẳng thức), và 2x 11x 18 x 2 x 9 (với
1x 2 và 2x 9 là hai nghiệm của phương trình 2x 11x 18 0 ).
Do đó
23 2
2x 2 x 2 x 2
x 2 x 2x 4x 8 x 2x 4 12lim lim lim
x 9 7x 2 x 9x 11x 18
.
Câu 2. Tìm giới hạn 3 2
3 2x 3
2x 5x 2x 3L lim
4x 13x 4x 3
.
A. 11
7. B. 1.
C. 0. D. Đáp án khác.
Hướng dẫn giải:
3 2
3 2x 3
2x 5x 2x 3L lim
4x 13x 4x 3
http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
5
Thay x 3 vào cả tử và mẫu thấy đều bằng 0, nên x 3 là một nghiệm của hai đa thức cả mẫu và tử. Có
nghĩa (x 3) là nhân tử chung, ta phân tích đa thức ở tử và mẫu thành nhân tử bằng phương pháp
Hoocner. Cách làm như sau:
Phân tích tử số: 3 2 22x 5x 2x 3 x 3 2x x 1
Kẻ bảng như sau. Sau đó điền hệ số của từng số hạng với số mũ giảm dần vào các ô ở hàng đầu tiên với ô
thứ nhất để trống. Ở hàng thứ hai: điền giá trị làm đa thức bằng 0 ở đây là chữ số 3. Ô thứ hai điền lại giá
trị ở ô thứ hai của hàng một xuống (ta thường hay nói “đầu rơi xuống”), sau đó lấy 3.2 ( 5) 1 điền
chữ số 1 vào ô thứ ba, lấy 3.1 ( 2) 1 điền chữ số 1 vào ô thứ tư, cuối cùng lấy 3.1 ( 3) 0 điền vào ô
cuối cùng.
2 -5 -2 -3
3 2 1 1 0
Phân tích mẫu số: 3 2 24x 13x 4x 3 x 3 4x x 1
4 -13 4 -3
3 4 -1 1 0
Do đó
2 2
22x 3 x 3
x 3 2x x 1 2x x 1 11L lim lim
174x x 1x 3 4x x 1
.
Câu 3. Tìm giới hạn 3x 2
1 12lim
x 2 x 8
A. 1
2. B.
1
2.
C. 0. D. 2.
Hướng dẫn giải:
Bước đầu tiên ta phải quy đồng mẫu, sau đó phân tích đa thức của tử thành nhân tử và rút gọn hạng tử
vô định
3x 2
1 12L lim
x 2 x 8
2x 2
1 12lim
x 2 (x 2)(x 2x 4)
2
2x 2
x 2x 8lim
(x 2)(x 2x 4)
2x 2
(x 2)(x 4)lim
(x 2)(x 2x 4)
2x 2
x 4 1lim
2x 2x 4
.
DẠNG 2: Hàm số
P xf x
Q x trong đó P x ,Q x là các biểu thức có chứa căn thức theo biến x.
PHƯƠNG PHÁP:
Bước 1: Nhân lượng liên hợp.
http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
6
2 2
2 2
2 2
a ba b
a ba b a b a ba b
a ba b
a ba b
a ba b a b a b
a ba b
a b
3 3
2 2
a ba b
a ab b
3 3
2 2
a ba b
a ab b
.
2 23 3 3 3 3 3
3 3
2 2 2 23 3 3 3 3 3 3 3
a b a a. b ba b
a b
a a. b b a a. b b
.
2 23 3 3 3 3 3
3 3
2 2 2 23 3 3 3 3 3 3 3
a b a a. b ba b
a b
a a. b b a a. b b
Câu 4. Tìm giới hạn x 1
x 3 2lim
x 1
A. 1
4. B.
1
2.
C. 0. D. 2.
Hướng dẫn giải:
2
x 1 x 1 x 1 x 1
x 3 2 x 3 2 x 1 1 1lim lim lim lim
x 1 4x 3 2x 1 x 3 2 x 1 x 3 2
.
Câu 5. Tìm giới hạn 2x 7
2 x 3lim
x 49
A. 1
24. B. 1.
C. 1
56 D. .
Hướng dẫn giải:
http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
7
2
2x 7 x 7 x 72
2 x 3 2 (x 3) 7 xlim lim lim
x 49 x 49 2 x 3 x 7 x 7 2 x 3
x 7
1 1lim
56x 7 2 x 3
.
Câu 6. Tìm giới hạn sau
2 2
2x 3
x 2x 6 x 2x 6lim
x 4x 3.
A. 1
3. B. .
C. 0. D. 2.
Hướng dẫn giải:
2 22 2
2x 3 x 3 2 2 2
x 2x 6 x 2x 6x 2x 6 x 2x 6lim lim
x 4x 3 x 4x 3 x 2x 6 x 2x 6
x 3 x 32 2 2 2
4 x 3 4 1lim lim
3x 1 x 3 x 2x 6 x 2x 6 x 1 x 2x 6 x 2x 6
.
Câu 7. Tìm giới hạn
x 2
x 2 2lim
x 7 3.
A. 3
2. B. .
C. 0. D. 1.
Hướng dẫn giải:
2
x 2 x 2 x 22
x 2 2 x 7 3 x 2 x 7 3x 2 2lim lim lim
x 7 3 x 7 3 x 2 2 x 2 x 2 2
x 2
x 7 3 3lim
2x 2 2
.
Câu 8. Tìm giới hạn 3
x 2
4x 2lim
x 2
.
A. 1
6. B. .
C. 10
3. D. Đáp án khác.
Hướng dẫn giải:
http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
8
Ta có
233 3 3
33
3
23 3
A
4x 2 4x 2. 4x 4 4x 2 2 x 24x 84x 2
A A A4x 2. 4x 4
.
Do đó
3
2x 2 x 2 x 2 3 3
2 x 24x 2 2 2 1lim lim lim
x 2 A 6x 2 .A4.2 2. 4.2 4
.
Câu 9. Tìm giới hạn của dãy nu biết: 3 3
2x 1
10 2x x 1lim
x 3x 2
.
A. 3
2. B. .
C. 10
3. D. Đáp án khác.
Hướng dẫn giải:
Ta có 3 310 2x x 1
223 3 33 3 3
223 33 3
A
10 2x x 1 10 2x 10 2x . x 1 x 1
10 2x 10 2x . x 1 x 1
3
33 3 23 210 2x x 1 3 x 1 x 2x 33x 3x 3x 9
A A A
Và có 2x 3x 2 x 1 x 2
Do đó
23 3
2x 1 x 1
3 x 1 x 2x 310 2x x 1lim lim
x 1 x 2 .Ax 3x 2
2
x 1
3 x 2x 3 3.6 3lim
12 2x 2 .A
.
DẠNG 3: Thêm bớt số hạng hoặc một biểu thức vắng để khử được dạng vô định: Các dạng hay gặp
0
k k
x x0
f x g x clim
x x
hoặc
0
k m
x x0
f x g x clim
x x
hoặc
0
k m
nx x0
f x g x clim
x x
. Trong đó k, m, n
* và n min(k,m) .
PHƯƠNG PHÁP: Thông qua những ví dụ sau, rồi ta rút ra phương pháp giải:
http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
9
Câu 10. Tìm giới hạn x 1
2x 2 5x 4 5lim
x 1
A. 4
3. B.
2 5
3.
C. 1
3. D. Đáp án khác.
Hướng dẫn giải:
Ta có khi x 1 thì 2x 2 5x 4 5 0 do đó đây là bài dạng vô định 0
0, ta phải tách được về
dạng
x 1 x 1
f x c g x mlim lim
x 1 x 1
sao cho mỗi giới hạn nhân lượng liên hợp đều khử được dạng vô
định . Kỹ thuật ta thay x 1 vào 2x 2 2 và 5x 4 3 nên số 5 tách thành 2 3 và gom
lại như sau :
x 1 x 1
2x 2 2 5x 4 32x 2 5x 4 5lim lim
x 1 x 1
x 1 x 1
2x 2 2 5x 4 3lim lim
x 1 x 1
. Sau đó tính
từng giới hạn.
Tính
1x 1 x 1
2x 2 2 2x 2 22x 2 2L lim lim
x 1 x 1 2x 2 2
2
x 1
2x 2 4lim
x 1 2x 2 2
x 1 x 1
2 x 1 2 1lim lim
22x 2 2x 1 2x 2 2
.
Tính
2x 1 x 1
5x 4 3 5x 4 35x 4 3L lim lim
x 1 x 1 5x 4 3
2
x 1
5x 4 9lim
x 1 5x 4 3
x 1 x 1
5 x 1 5 5lim lim
65x 4 3x 1 5x 4 3
.
Kết luận x 1
2x 2 5x 4 5 1 5 4lim
x 1 2 6 3
.
Câu 11. Tìm giới hạn 3
x 2
3x 2 5x 6L lim
x 2
:
A. 1 . B. 5
4.
C. 1
4. D. Đáp án khác.
Hướng dẫn giải:
http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
10
. Ta dễ dàng thấy đây là dạng vô định 0
0 và tử số có hai căn thức khác loại, nên
ta phải thêm bớt một hằng số c sao cho đưa được về dạng 3
x 2 x 1
f x c c g xlim lim
x 2 x 2
và mỗi giới hạn
đều tính được giới hạn khi khử được dạng vô định bằng phương pháp nhân lượng liên hợp.
Kỹ thuật 1: Thay x 2 vào 3 3x 2 và 5x 6 đều bằng 2. Suy ra 2 là giá trị ta cần thêm bớt.
Kỹ thuật 2: Cho x 2 0 x 2 sau đó giải hệ 3 3x 2 2 3x 2 8 x 2
5x 6 4 x 25x 6 2
c 2 là giá trị
cần thêm bớt.
Cụ thể làm như sau:
33
x 2 x 2
3x 2 2 2 5x 63x 2 5x 6L lim lim
x 2 x 2
3
x 2 x 2
3x 2 2 2 5x 6lim lim
x 2 x 2
.
Tính
23 3 3
3
1 2x 2 x 2 3 3
A
3x 2 2 3x 2 2. 3x 2 43x 2 2
L lim limx 2
x 2 3x 2 2. 3x 2 4
x 2 x 2
3 x 2 3 1lim lim
A 4x 2 .A
.
Tính
2
x 2
2 5x 6 2 5x 62 5x 6 4 (5x 6)L lim
x 2 x 2 2 5x 6 x 2 2 5x 6
5 x 2 5 5
42 5x 6x 2 2 5x 6
.
Do đó 1 2
1 5L L L 1
4 4 .
DẠNG 4: Các giới hạn đặc biệt
Nhắc lại:
n
1 1 1 1 n
3 3 2 3
3 so hang
a b a b a ab b
3
x 2
3x 2 5x 6L lim
x 2
http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
11
n n n 1 n 2 n 3 2 n 2 n 1
n so hang
a b a b a a b a b ab b
Câu 12. Tìm giới hạn n
x 0
1 ax 1L lim
x
A. a. B. 2a
n.
C. a
n. D. Đáp án khác.
Hướng dẫn giải:
Đặt n
nn t 1t 1 ax t 1 ax x
a
Ta có khi x 0 thì t 1 .
Khi đó nx 1
a t 1L lim
t 1
n 1 n 2n 1 n 2x 1 x 1
a t 1 a alim lim
nt t t 1t 1 t t t 1
Vậy n
x 0
1 ax 1 aL lim
x n
Câu 13. Tìm giới hạn 100
50x 1
x 2x 1L lim
x 2x 1
A. 49
24. B.
97
48 .
C. 2.041. D. Đáp án khác.
Hướng dẫn giải:
100 99100
50 50 49x 1 x 1 x 1
x x x 1 x x 1 x 1x x x 1L lim lim lim
x x x 1 x x x 1 x x 1 x 1
98 97 99 98 2
48 47 49 48 2x 1 x 1
x x 1 x x x 1 x 1 x 1 x x x x 1lim lim
x x 1 x x x 1 x 1 x 1 x x x x 1
99 98 2
49 48 2x 1
x x x x 1 98 49lim
48 24x x x x 1
http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
12
II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Giả sử 0x x
lim f x L
và 0x x
lim g x M
(với L, M ). Chọn đáp án sai?
A. 0x x
f x Llim
Mg x . B.
0x xlim f x g x L M
.
C. 0x x
lim f x g x L M
. D. 0x x
lim f x .g x L.M
.
Câu 2. Tìm giới hạn 3
2x 2
x 8lim
x 11x 18
A. 2
5. B. 1 .
C. 12
7. D. Đáp án khác.
Câu 3. Tìm giới hạn 3 2
3 2x 3
2x 5x 2x 3L lim
4x 13x 4x 3
.
A. 11
7. B. 1.
C. 0. D. Đáp án khác.
Câu 4. Tìm giới hạn 3 2
3 2x 1
2x 5x 4x 1L lim
x x x 1
.
A. 1
2. B. 1 .
C. 0. D. Đáp án khác.
Câu 5. Tìm giới hạn 3x 2
1 12lim
x 2 x 8
A. 1
2. B.
1
2.
C. 0. D. 2.
Câu 6. Tìm giới hạn 3
4 2x 1
1 xL lim
x 4x 3
.
A. . B. 1
2.
C. 3
4. D. 2.
Câu 7. Tìm giới hạn x 1
x 3 2lim
x 1
1
2
http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
13
A. 1
4. B.
1
2.
C. 0. D. 2.
Câu 8. Tìm giới hạn 2x 7
2 x 3lim
x 49
A. 1
24. B. 1.
C. 1
56 D. .
Câu 9. Tìm giới hạn sau
2 2
2x 3
x 2x 6 x 2x 6lim
x 4x 3.
A. 1
3. B. .
C. 0. D. 2.
Câu 10. Tìm giới hạn
x 2
x 2 2lim
x 7 3.
A. 3
2. B. .
C. 0. D. 1.
Câu 11. Tìm giới hạn của dãy nu
2
4x 1
x x 2 1 xlim
x x.
A. 1
2. B. .
C. 0. D. 1.
Câu 12. Tìm giới hạn
x 2
x 2 2xlim
x 1 3 x.
A. 1
4 B.
C. 1
6 D. 1.
Câu 13. Tìm giới hạn x 1
4x 5 3x 6lim
x 3 2
.
A. 2
3. B. .
C. 9
14. D. 1.
Câu 14. Tìm giới hạn của dãy nu biết: x 3
x 1 3x 5lim
2x 3 x 6
.
http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
14
A. 2
3. B. .
C. 3 . D. 1.
Câu 15. Tìm giới hạn 3
x 2
4x 2lim
x 2
.
A. 1
6. B. .
C. 10
3. D. Đáp án khác.
Câu 16. Tìm giới hạn của dãy nu biết: 3 3
2x 1
10 2x x 1lim
x 3x 2
.
A. 3
2. B. .
C. 10
3. D. Đáp án khác.
Câu 17. Tìm giới hạn 3
3x 3 2
x 27lim
x 1 4x 28
A. 54. B. 12.
C. 40. D. Đáp án khác.
Câu 18. Tìm giới hạn 3
3x 1
x 1lim
x 2 1
A. 1. B. .
C. 2. D. Đáp án khác.
Câu 19. Tìm giới hạn
3 3
x 1
2x 1 xlim
x 1.
A. 3
2. B. .
C. 2
3. D. Đáp án khác.
Câu 20. Tìm giới hạn
4
x 1
4x 3 1lim
x 1.
A. 1. B. .
C. 0. D. Đáp án khác.
Câu 21. Tìm giới hạn x 1
2x 2 5x 4 5lim
x 1
A. 4
3. B.
2 5
3.
http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
15
C. 1
3. D. Đáp án khác.
Câu 22. Tìm giới hạn 3
x 2
3x 2 5x 6L lim
x 2
:
A. 1 . B. 5
4.
C. 1
4. D. Đáp án khác.
Câu 23. Tìm giới hạn 3 2
2x 2
2x 4x 11 x 7L lim
x 4
.
A. 5
72. B. 3.
C. 15
7. D. Đáp án khác.
Câu 24. Tìm giới hạn 2 2
x 1
5x 1 3 x x 1 5 2x 1lim
x 1
.
A. 1
2. B.
3
16.
C. 17
4. D. Đáp án khác.
Câu 25. Tìm giới hạn 3
2x 0
1 4x 1 6xlim
x
.
A. 1
2. B.
5
6.
C.2. D. Đáp án khác.
Câu 26. Tìm giới hạn n
x 0
1 ax 1L lim
x
A. a. B. 2a
n.
C. a
n. D. Đáp án khác.
Câu 27. Tìm giới hạn n m
x 0
1 ax 1 bxL lim
x
A. a b
n m. B.
a b
2n 2m.
C. a b
n m . D.
a b
2n 2m
Câu 28. Tìm giới hạn m
nx 1
x 1L lim
x 1
http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
16
A. m
n. B. 1.
C. n
m. D. Đáp án khác.
Câu 29. Tìm giới hạn 100
50x 1
x 2x 1L lim
x 2x 1
A. 49
24. B.
97
48 .
C. 2.041. D. Đáp án khác.
Câu 30. Tìm giới hạn 3
x 1
3x 1 2 x 2lim
x 1
A. 3
18. B.
1
2.
C. 1
12. D. Đáp án khác
Câu 31. Tìm giới hạn 3
2x 0
4 x 8 3x 4lim
x x
A. 1
2. B.
1
12.
C. 1. D. Đáp án khác.
Câu 32. Tính giới hạn 3
xlim(2x 3x)
A. 1
2. B. .
C. 0. D. .
Câu 33. Tìm giới hạn 2
xlim 2x 1 x
A. 1
2. B. .
C. . D. Đáp án khác.
Câu 34. Tìm giới hạn 2
2x 2
x x 6lim
x 4
A. 2
5. B. 1 .
C. 5
4. D. Đáp án khác.
Câu 35. Tìm giới hạn 2
2x 5
x 5xlim
x 25
.
A. 11
7. B. 1.
C. 0. D. Đáp án khác.
http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
17
Câu 36. Cho giới hạn
3
2x 2
x 8L lim
x 3x 2,
3
4x 1
x 3x 2M lim
x 4x 3. Tính M+L?
A. 25
2. B.
15
2.
C. 0. D. 15
2.
Câu 37. Tìm giới hạn
2
2x 1
x 2x 3lim
2x x 1.
A. . B. .
C. 4
3. D. Đáp án khác.
Câu 38. Tìm giới hạn
2x 3
x 3lim
x 2x 3.
A. 1
4. B.
4
3.
C. 1
3. D. Đáp án khác
Câu 39. Cho giới hạn L = 3
x 0
(1 x) 1lim
x
, M =
3
x 0
(x 3) 27lim
x
. Tính M+L?
A. 30. B. 29.
C. 0. D. 17.
Câu 40. Tìm giới hạn 3
2x 2
x 2 2lim
x 2
.
A. . B. 2
2.
C. 3 2
2. D. Đáp án khác.
Câu 41. Tìm giới hạn3 2
3 2x 3
2x 5x 2x 3lim
4x 12x 4x 12
.
A. 11
20. B. .
C. 7
30. D. Đáp án khác.
Câu 42. Cho giới hạn
4
2x 3
x 27xL lim
2x 3x 9,
2
x 1
x 4x 5M lim
x 1 . So sánh M và L
A. Không tồn tại M, L. B. M = L..
C. M < L. D. M > L.
2
51
2
5
4
3
http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
18
Câu 43. Tìm giới hạn 3 2
2x 2
x x 5x 2lim
x 3x 2
.
A. . B. .
C. 11
4. D. Đáp án khác.
Câu 44. Tìm giới hạn4
2x 2
x 16lim
x 6x 8
.
A. 16 . B. 9.
C. 1
3. D. Đáp án khác.
Câu 45. Cho giới hạn L = 5 4
2x 2
x 2x x 2lim
x 4
, M =
4 3
3 2x 1
x x x 1lim
x 5x 7x 3
. Tính M+L?
A. 7
2. B.
17
4.
C. 0. D. 1
12.
Câu 46. Tìm giới hạn
x 1
x 2 x 3lim
x 5 x 4
A. 1
2. B.
4
3.
C. 0. D. 2.
Câu 47. Tìm giới hạn 3 32
2x 1
x 2 x 1lim
(x 1)
.
A. . B. 1
2.
C. 1
4. D. 2.
Câu 48. Tìm giới hạn x 1
x 3 2lim
x 1
A. 1
4. B.
1
2.
C. 0. D. 2.
Câu 49. Hàm số nào sau đây có giới hạn bằng 0.
A. 4 3 2
3 2x 2
2x 8x 7x 4x 4lim
3x 14x 20x 8
. B.
6 5
2x 1
4x 5x xlim
(1 x)
.
C. 3 2
4 2x 3
x 5x 3x 9lim
x 8x 9
D.
5 4 3 2
2x 1
x x x x x 5lim
x 1
.
2
51
1
2
http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
19
Câu 50. Tìm giới hạn sau .
A. 7
4. B. .
C. 0. D. 2
3.
Câu 51. Tìm giới hạn 4 3 2
4 3 2x 1
x 5x 9x 7x 2L lim
x 3x x 3x 2
.
A. 3
2. B. .
C. 0. D. 1.
Câu 52. Tìm giới hạn .
A. 1
2. B. .
C. 15
2. D. 1.
Câu 53. Tìm giới hạn
6 5
2x 1
4x 5x xlim
(1 x).
A. 10. B. 6.
C. 1
6. D. 1.
Câu 54. Tìm giới hạn 2x 1
1 2lim
x 1 x 1
.
A. 1
2. B. .
C. 9
14. D. 1.
Câu 55. Tìm giới hạn 2 2x 2
1 1lim
x 5x 6 x 3x 2
.
A. 2
3. B. .
C. 2 . D. 1.
Câu 56. Tìm giới hạn 2x 2
2x 3 x 26lim
x 2 4 x
.
A. 7
2. B. .
C. 10
3. D. Đáp án khác.
4 3 2
3 2x 2
2x 8x 7x 4x 4lim
3x 14x 20x 8
5 4 3 2
2x 1
x x x x x 5lim
x 1
http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
20
Câu 57. Tìm giới hạn 2 3x 1
1 1lim
x x 2 x 1
.
A. 1
9. B. .
C. 10
3. D. Đáp án khác.
Câu 58. Chọn đáp án đúng:
A.
2x 9
x 3 5lim
49x x. B.
x 6
x 3 3lim 1
x 6.
C.
3
2x 0
x 1 1lim 2
x x. D.
2
2x 1
2x x 1 1lim
2x x.
Câu 59. Tìm giới hạn
2x 4
x 5 3lim
x 3x 4
A. 1
30. B.
2
9.
C. 1
12. D. Đáp án khác.
Câu 60. Tìm giới hạn 2 n
x 1
x x ... x nlim
x 1
A. 1. B. 2
n.
C. n(n 1)
2. D. Đáp án kháC
ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A C A A A C A C A A C A A C A A A A C A
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
A A A C C C A C A C C B B C A A C A A C
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
A C C A A A C A C A C C A A C A A A A C