GIẢI TÍCH LỒI

Huỳnh Thế Phùng - Khoa Toán, Đại học Khoa học Huế

20/10/2005

1

Mục lục

Mục lục 1

Chương 1 Tập lồi 3

1.1. Tập lồi - Đa tạp affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. Đa tạp affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2. Tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3. Nón lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.4. Định lý Carathéodory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Định lý tách tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1. Định lý Hahn-Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2. Tập lồi hấp thụ - Điểm bọc - Phiếm hàm Minkowskii. . . . . . 7

1.2.3. Định lý tách tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Không gian tôpô lồi địa phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1. Không gian tôpô. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2. Không gian tôpô tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.3. Không gian tôpô lồi địa phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.4. Tôpô lồi địa phương mạnh nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.5. Không gian tích - Phần bù tôpô. . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4. Tập lồi trong không gian tôpô lồi địa phương. . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.1. Sự liên tục của phiếm hàm Minkowski - Nửa chuẩn. . . . . . . 16

1.4.2. Các tính chất tôpô. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.3. Nón lùi xa của tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Chương 2 Không gian liên hợp - Tôpô yếu 21

2.1. Định lý tách. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1. Phiếm hàm tuyến tính liên tục. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.2. Định lý Tách. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.3. Định lý Tách mạnh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2

2.2. Tôpô yếu - Tôpô yếu*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.1. Tôpô yếu trên X. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.2. Tôpô yếu* trên X∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.3. Cặp đối ngẫu tổng quát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.4. Không gian Banach phản xạ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Chương 3 Hàm lồi 28

3.1. Cấu trúc hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1.1. Định nghĩa hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1.2. Các phép toán trên hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2. Sự liên tục của hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.1. Hàm nửa liên tục dưới. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.2. Sự liên tục của hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3. Hàm liên hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.1. Biểu diễn hàm lồi theo hàm affine. . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.2. Hàm liên hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.4. Dưới vi phân hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4.1. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4.2. Quan hệ với đạo hàm theo hướng. . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4.3. Các phép toán qua dưới vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4.4. Ứng dụng khảo sát bài toán Quy hoạch lồi. . . . . . . . . . . . 37

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Chương 1

TẬP LỒI

1.1. Tập lồi - Đa tạp affine.

1.1.1. Đa tạp affine.

Cho X là một không gian vectơ, ta ký hiệu L(x, y), [x, y], (x, y), [x, y) lần lượtlà đường thẳng đi qua x, y, đoạn thẳng, khoảng mở và nửa khoảng nối hai điểm xvà y. Tức là

L(x, y) = {λx + (1− λ)y | λ ∈ R},[x, y] = {λx + (1− λ)y | λ ∈ [0, 1]},(x, y) = {λx + (1− λ)y | λ ∈ (0, 1)},[x, y) = {λx + (1− λ)y | λ ∈ (0, 1]}.

Một tập M ⊂ X được gọi là đa tạp affine, hay đơn giản là tập affine, nếu với mọicặp điểm x, y ∈ M ta có L[x, y] ⊂ M . Từ định nghĩa này ta có ngay tính chất sau

a) Giao của một họ bất kỳ các đa tạp affine là một đa tạp affine.

Nếu A ⊂ X là một tập con bất kỳ của X ta gọi bao affine của A, ký hiệuAff(A), là giao của tất cả các đa tạp affine chứa A. Từ tính chất a) Aff(A) là mộtđa tạp affine và là đa tạp affine bé nhất chứa A.

Thật ra tập Aff(A) có thể được biểu diễn một cách tường minh hơn. Ta gọivéctơ có dạng

x =m∑

i=1

λiai, với λi ∈ R thoả mãn∑

λi = 1

là một tổ hợp affine của các véctơ {a1, a2, · · · , am}. Ta nhận được các tính chất sau

b) Aff(A) = {x | x là tổ hợp affine của các vectơ thuộc A}.

4

c) A là đa tạp affine khi và chỉ khi A = Aff(A), tức là

A ={ m∑

1

λiai | m ∈ N∗; ai ∈ A; λi ∈ R :∑

λi = 1}

d) M là đa tạp affine khi và chỉ khi với mọi m ∈ M ta có M −m ≤ X, tức là

M = m + V, với V là một không gian con của X.

Lúc đó, ta gọi chiều và đối chiều của M chính là chiều và đối chiều của V :

dim M := dim V ; codim M := codim V.

Nếu codim M = 1 ta nói M là một siêu phẳng.

Bây giờ nếu Y cũng là một không gian vectơ, ta ký hiệu L(X, Y ) là không giancác ánh xạ tuyến tính từ X vào Y . Đặc biệt nếu Y = R, ta đặt X# := L(X, R), làkhông gian các phiếm hàm tuyến tính trên X.

e) M ⊂ X là siêu phẳng khi và chỉ khi tồn tại f ∈ X# \ {0} và α ∈ R sao cho

M = f−1(α) = {x ∈ X | f(x) = α}.

f) Nếu codim M = k ∈ N thì tồn tại các siêu phẳng M1, M2, · · · , Mk sao cho

M =k⋂1

Mi.

1.1.2. Tập lồi.

Tập hợp C ⊂ X được gọi là lồi nếu với mọi cặp điểm x, y ∈ C ta có (x, y) ⊂ C.

a) Giao của một họ bất kỳ các tập lồi là lồi.

Tương tự bao affine, ta gọi bao lồi của một tập A ⊂ X, ký hiệu co A, là giaocủa tất cả các tập lồi chứa A. Từ tính chất trên co A cũng là một tập lồi và là tậplồi bé nhất chứa A.

Một tổ hợp affine x =∑m

i=1 λiai với các λi ≥ 0 sẽ được gọi là một tổ hợp lồicủa các véctơ {a1, · · · , am}.

b) co A = {x | x là tổ hợp lồi của các vectơ thuộc A}.c) C là tập lồi khi và chỉ khi C = co C, tức là

C ={ m∑

1

λiai | m ∈ N∗; ai ∈ C; λi ≥ 0 :m∑1

λi = 1}

.

Nếu C là tập lồi, ta định nghĩa số chiều của C chính là số chiều của Aff(C):

dim C := dim Aff(C).

d) Nếu A và B là các tập lồi và α ∈ R, thì các tập A + B, αA cũng lồi.

5

1.1.3. Nón lồi.

Một tập K ⊂ X được gọi là nón nếu với mọi điểm k ∈ K và λ > 0 ta cóλk ∈ K. Nếu hơn nữa, K là tập lồi thì nó sẽ được gọi là nón lồi. Một tổ hợp tuyếntính

∑mi=1 λiai sẽ được gọi là một tổ hợp dương nếu λi ≥ 0 với mọi i, là tổ hợp

dương không tầm thường nếu tồn tại ít nhất một hệ số λi dương chặt.

a) Giao của một họ bất kỳ các nón lồi là một nón lồi.

Ta gọi bao nón lồi của một tập A ⊂ X, ký hiệu con co A, là nón lồi bé nhấtchứa A. Lúc đó,

b) con co A = {x | x là tổ hợp dương không tầm thường các vectơ thuộc A}.c) K là nón lồi khi và chỉ khi K = con co K, tức là

K ={ m∑

1

λiki | m ∈ N; ki ∈ K; λi ≥ 0 :m∑1

λi > 0}.

d) Nếu K1, K2 là các nón lồi chứa gốc thì K1 + K2 = co(K1 ∪K2).

1.1.4. Định lý Carathéodory.

Định lý 1.1. Cho A ⊂ X. Lúc đó, với mọi k ∈ con co A \ {0}, tồn tại hệ độc lậptuyến tính {a1, a2, · · · , am} ⊂ A và các số dương λ1, · · · , λm sao cho

k =m∑1

λiai.

Chứng minh. Giả sử k ∈ con co A \ {0}, lúc đó k được biểu diễn dưới dạng tổhợp dương của các vectơ thuộc A: k =

∑m1 λiai với λi > 0 với mọi i. Nếu hệ

{a1, a2, · · · , am} phụ thuộc tuyến tính, thì tồn tại bộ hệ số (µ1, · · · , µm), với ít nhấtmột µj > 0, sao cho

∑m1 µiai = 0. Bây giờ nếu đặt

t0 = min{λj

µj

∣∣∣ µj > 0}

=λs

µs

,

ta được λi := λi − t0µi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ m, và

k =∑i6=s

λiai;∑i6=s

λi = 1.

Định lý được chứng minh.

Định lý 1.2 (Carathéodory). Giả sử dim X = n < ∞ và A ⊂ X. Lúc đó, với mọix ∈ co A, x là tổ hợp lồi của một họ không quá n + 1 vectơ thuộc A. Tức là, tồn tạihệ {a0, a1, · · · , am} ⊂ A và các số λ0, · · · , λm ≥ 0, với m ≤ n, sao cho

m∑0

λi = 1 và x =m∑0

λiai.

6

Chứng minh. Đặt B = {(x, 1) | x ∈ A} ⊆ Y = X × R. Dễ thấy co B = co A× {1}.Do đó, với mọi x ∈ co A ta có y = (x, 1) ∈ co B ⊆ con co B. Theo Định lý 1.1 tồntại m vectơ độc lập tuyến tính {(a0, 1), (a1, 1), · · · , (am, 1)} ⊆ B và các số dương λi

sao cho

(x, 1) =m∑0

λi(ai, 1),

tức là

x =m∑0

λiai;m∑0

λi = 1.

Cuối cùng, chú ý rằng dim Y = n+1 nên m ≤ n và định lý đã được chứng minh.

1.2. Định lý tách tập lồi.

1.2.1. Định lý Hahn-Banach.

Cho X là một không gian vectơ. Một ánh xạ ϕ : X → R được gọi là một phiếmhàm dưới tuyến tính nếu

a) ϕ(x + y) ≤ ϕ(x) + ϕ(y) với mọi x, y ∈ X;

b) ϕ(λx) = λϕ(x) với mọi λ > 0, x ∈ X.

Định lý 1.3 (Hahn-Banach). Cho ϕ là một phiếm hàm dưới tuyến tính trên X, Mlà một không gian con của X và f ∈ M# thoả mãn

f(m) ≤ ϕ(m); ∀m ∈ M.

Lúc đó, tồn tại F ∈ X# sao cho

a) F |M = f ;

b) F (x) ≤ ϕ(x) với mọi x ∈ X.

Chứng minh. Ta xét tập hợp U mà mỗi phần tử của nó là một cặp (Y, g) trong đóM ≤ Y ≤ X, g ∈ Y #, g|M = f và g(y) ≤ ϕ(y) với mọi y ∈ Y . Trên U ta định nghĩaquan hệ hai ngôi α xác định bởi

(Y, g) α(Z, h) ⇔ Y ≤ Z; h|Y = g.

Có thể kiểm chứng được (U, α) là một không gian thứ tự, trong đó mọi tập con sắpthẳng đều tồn tại phần tử chận trên. Theo Bổ đề Zorn, trong U tồn tại phần tử tốiđại (Y, g). Ta sẽ chỉ ra Y = X và điều đó kết thúc chứng minh.

Giả sử ngược lại rằng tồn tại v ∈ X \ Y . Với mọi cặp y1, y2 ∈ Y ta có

g(y1)− g(y2) = g(y1 − y2) ≤ ϕ(y1 − y2) ≤ ϕ(y1 + v) + ϕ(−y2 − v)

7

⇒ λ = sup{g(y1)− ϕ(y1 + v) | y1 ∈ Y } ≤ µ = inf{g(y2) + ϕ(−y2 − v) | y2 ∈ Y }.

Với mỗi y ∈ Y và t ∈ R ta đặt h(y + tv) = g(y)− tλ. Dễ kiểm chứng được rằngh ∈ Z#, với Z là không gian con sinh bởi Y và v, thỏa mãn h|Y = g. Mặt khác,h(y + tv) ≤ ϕ(y + tv) với mọi y + tv ∈ Z. Vậy (Y, g) 6= (Z, h) ∈ U và (Y, g) α(Z, h),mâu thuẫn vì (Y, g) là phần tử tối đại. Định lý đã được chứng minh.

Hệ quả 1.1. Cho X là không gian định chuẩn và M là không gian con của X. Lúcđó, với mọi f ∈ M∗, tồn tại F ∈ X∗ sao cho

F |M = f và ‖F‖ = ‖f‖.

Chứng minh. Sử dụng Định lý 1.3 với ϕ(x) = ‖f‖‖x‖.

Hệ quả 1.2. Cho X là không gian định chuẩn và x0 ∈ X \ {0}. Lúc đó, tồn tạif ∈ X∗ sao cho

‖f‖ = 1 và f(x0) = ‖x0‖.

Chứng minh. Sử dụng Hệ quả 1.1 với M = span{x0} và f(λx0) = λ‖x0‖.

1.2.2. Tập lồi hấp thụ - Điểm bọc - Phiếm hàm Minkowskii.

Một tập con A của không gian vectơ X được gọi là hấp thụ nếu

∀v ∈ X, ∃ε > 0, (−εv, εv) ⊂ A

hay, một cách tương đương,

∀v ∈ X, ∃δ > 0, ∀|t| ≥ δ, v ∈ tA.

Một điểm x0 được gọi là điểm bọc của A nếu A− x0 là hấp thụ. Tập tất cả cácđiểm bọc của A, ký hiệu core A, được gọi là lõi của A. Như vậy,

x0 ∈ core A ⇔ ∀v ∈ X,∃ε > 0,∀λ ∈ (−ε, ε) : x0 + λv ∈ A.

Rõ ràng, khái niệm điểm bọc là một mở rộng của khái niệm điểm trong của khônggian định chuẩn. Hơn nữa, ta có kết quả sau

Mệnh đề 1.4. Nếu X là một không gian định chuẩn và A ⊂ X, thì

a) Int A ⊂ core A.

b) Nếu dim X < ∞ và A lồi, thì Int A = core A.

8

Chứng minh. Khẳng định a) suy ra trực tiếp từ định nghĩa. Để chứng minh b) tagiả thiết {e1, e2, · · · , en} là một cơ sở của X. Vì mọi chuẩn trên X đều tương đươngnên không mất tính tổng quát ta có thể xét chuẩn ‖ · ‖1 xác định bởi

‖n∑

i=1

xiei‖1 :=n∑

i=1

|xi|.

Với mọi x0 ∈ core A, tồn tại ε > 0 sao cho x0 ± εei ∈ A với mọi i = 1..n. Do Alồi nên B := co{x0 ± εei | 1 ≤ i ≤ n} ⊂ A. Để kết thúc chứng minh ta chú ý rằngB chính là hình cầu tâm x0, bán kính ε trong (X, ‖ · ‖1).

Mệnh đề 1.5. Nếu C ⊂ X là tập lồi, thì core C và tập hợp dưới đây cũng lồi

lin C := {y ∈ X | ∃ c ∈ C, [c, y) ⊂ C}.

Chứng minh. Giả sử c1, c2 ∈ core C và t ∈ (0, 1). Lúc đó, với mọi v ∈ X tồntại ε > 0 sao cho ci + λv ∈ C với mọi λ ∈ (−ε, ε). Vì C lồi nên ta cũng cótc1 + (1 − t)c2 + λv = t(c1 + λv) + (1 − t)(c2 + λv) ∈ C với mọi λ ∈ (−ε, ε). Vậytc1 + (1− t)c2 ∈ core C, hay core C lồi.

Để chứng minh lin C lồi ta cũng lấy y1, y2 ∈ lin C và t ∈ (0, 1). Theo định nghĩa,tồn tại c1, c2 ∈ C sao cho [c1, y1) ⊆ C và [c2, y2) ⊆ C. Dễ kiểm chứng được rằng[ct, ty1 + (1− t)y2) ⊆ C với ct := tc1 + (1− t)c2 ∈ C. Vì vậy ty1 + (1− t)y2 ∈ lin C,hay lin C lồi.

Bây giờ, cho C là một tập lồi hấp thụ trong X. Ta định nghĩa phiếm hàmMinkowskii của C là hàm được xác định bởi

pC(x) := inf{λ > 0 | x ∈ λC}; x ∈ X.

Rõ ràng, 0 ≤ pC(x) < ∞ với mọi x ∈ X.

Định lý 1.6. pC là phiếm hàm dưới tuyến tính và

{x ∈ X | pC(x) < 1} ⊂ C ⊂ {x ∈ X | pC(x) ≤ 1}.

Cụ thể hơn, ta có {x ∈ X | pC(x) < 1} = core C và {x ∈ X | pC(x) ≤ 1} = lin C.

1.2.3. Định lý tách tập lồi.

Cho A và B là hai tập con của không gian vectơ X. Một phiếm hàm tuyến tínhf ∈ X# \ {0} được gọi là tách A và B nếu

f(a) ≤ f(b) (hoặc f(a) ≥ f(b)); ∀a ∈ A, b ∈ B.

Điều này tương đương với nói rằng, tồn tại một số α ∈ R sao cho

f(a) ≤ α ≤ f(b); ∀a ∈ A, b ∈ B.

9

Lúc đó, ta nói siêu phẳng

H(f ; α) := f−1(α) = {x ∈ X | f(x) = α}

tách A và B. Trường hợp B là tập một điểm: B = {x0}, ta nói đơn giản siêu phẳngH(f ; α) tách A và x0. Rõ ràng, siêu phẳng tách hai tập, nếu có, là không duy nhất.

Định lý 1.7 (Định lý tách cơ bản). Cho A và B là hai tập lồi khác rỗng, core A 6= ∅và A ∩B = ∅. Lúc đó, tồn tại siêu phẳng tách A và B.

Bổ đề 1.1. Nếu C là tập lồi hấp thụ và x0 6∈ C thì tồn tại siêu phẳng tách C và x0.

Chứng minh. Đặt M := span{x0} và g : M → R xác định bởi g(λx0) := λ với mọiλ ∈ R. Lúc đó g ∈ M#, hơn nữa, do pC(x0) ≥ 1 nên g(m) ≤ pC(m) với mọi m ∈ M .

Áp dụng Định lý Hahn-Banach tồn tại f ∈ X# sao cho f |M = g và f(x) ≤ pC(x)với mọi x ∈ X. Rõ ràng f(x0) = 1. Mặt khác, với mọi c ∈ C ta có f(c) ≤ pC(c) ≤ 1.Nên f tách C và x0.

Chứng minh Định lý 1.7. Giả sử a0 ∈ core A và b0 ∈ B. Đặt x0 := a0 − b0 vàC := A−B− (a0− b0). Lúc đó, C lồi, hấp thụ và không chứa x0. Từ Bổ đề trên tồntại f ∈ X# \ {0} tách C và x0. Dễ kiểm chứng được rằng f cũng tách A và B.

1.3. Không gian tôpô lồi địa phương.

1.3.1. Không gian tôpô.

Cho X là một tập hợp khác rỗng. Một họ τ ⊂ P(X) được gọi là một tôpô trênX nếu nó thoả mãn các tính chất sau:

i) ∅, X ∈ τ ,

ii) Giao của một số hữu hạn phần tử thuộc τ thì thuộc τ ,

iii) Hợp của một họ tuỳ ý các phần tử thuộc τ thì thuộc τ.

Lúc đó, X được gọi là một không gian tôpô và mỗi phần tử U ∈ τ được gọi là mộttập mở trong X.

Bây giờ cho A ⊂ X, x0 ∈ X, ta nói x0

- là một điểm trong của A nếu tồn tại U ∈ τ sao cho x ∈ U ⊂ A,

- là một điểm ngoài của A nếu tồn tại U ∈ τ sao cho x ∈ U và U ∩ A = ∅,- là một điểm biên của A nếu hai mệnh đề trên đều sai.

Ta nói phần trong (phần ngoài, biên) của A là tập hợp gồm tất cả các điểmtrong (điểm ngoài, điểm biên tương ứng) của A và ký hiệu là Int A (Ext A, ∂A).

10

Nếu x0 là điểm trong của A ta cũng nói A là một lân cận của x0. Tập A được gọi làđóng nếu ∂A ⊂ A. Với A là tập bất kỳ, ta gọi bao đóng của A là tập A := A ∪ ∂A.Các kết quả dưới đây có thể được kiểm chứng dễ dàng.

a) A là đóng khi và chỉ khi X \ A là mở.

b) Với A là tập tuỳ ý, Int A là tập mở, và là tập con mở lớn nhất của A, A mởkhi và chỉ khi A = Int A.

c) Với A là tập tuỳ ý, A là tập đóng, và là tập đóng bé nhất chứa A, A đóngkhi và chỉ khi A = A.

Từ tính chất a) và các tính chất của tập mở ta suy ra các tính chất của tậpđóng:

i) ∅ và X là các tập đóng,

ii) Hợp của một số hữu hạn các tập đóng là đóng,

iii) Giao của một họ tuỳ ý các tập đóng là đóng.

Cho không gian tôpô (X, τ). Một họ B ⊆ τ được gọi là một cơ sở lân cận củaτ nếu mọi tập U ∈ τ đều được biểu diễn dưới dạng hợp các tập thuộc B. Một họV ⊆ τ được gọi là một cơ sở lân cận của x0 ∈ X nếu với mọi lân cận U của x0 đềutồn tại V ∈ V sao cho x0 ∈ V ⊆ U . Ta có kết quả sau:

Cho B ⊆ P(X). Để tồn tại một tôpô τ nhận B làm cơ sở thì điều kiện cần vàđủ là B thỏa mãn các tính chất sau

(i)⋃V ∈B

V = X,

(ii) ∀ U, V ∈ B, ∀ x ∈ U ∩ V , ∃W ∈ B: x ∈ W ⊆ U ∩ V.

Cho một họ C ⊆ P(X) tùy ý. Dễ kiểm chứng được rằng họ sau đây

B :={ k⋂

i=1

Ci | k ∈ N∗; Ci ∈ C, 1 ≤ i ≤ k}

thỏa mãn (i-ii), nên sẽ là cơ sở của một tôpô τ nào đó trên X. Lúc đó, ta nói C làtiền cơ sở của τ .

Một tập được sắp thứ tự (I,<) được gọi là tập định hướng nếu với mọi λ, µ ∈ Itồn tại γ ∈ I sao cho λ < γ và µ < γ. Một dãy suy rộng trong X là một ánh xạϕ từ một tập được định hướng I vào X. Nếu ký hiệu xλ := ϕ(λ) thì ta có thể nói(xλ) là một dãy suy rộng trong X. Giả sử (xλ)λ∈I là một dãy suy rộng, J là một tậpđịnh hướng khác và φ là một ánh xạ từ J vào I, với λµ := φ(µ); µ ∈ J , thoả mãn:

+ Với mọi µ < µ′ ta có λµ < λµ′ ;

+ Với mọi λ ∈ I tồn tại µ ∈ J sao cho λ < λµ.

11

Lúc đó, ta gọi ϕ ◦ φ là dãy (suy rộng) con của dãy ϕ hay (xλµ) là dãy con củadãy (xλ).

Dãy suy rộng (xλ) trong không gian tôpô (X, τ) được gọi là hội tụ đến x nếuvơi mọi lân cận V của x, tồn tại λ0 sao cho với mọi λ > λ0 ta có xλ ∈ V . Lúc đó, taký hiệu xλ → x. Một tập con A của X được gọi là compact nếu mọi dãy suy rộngtrong A đều tồn tại dãy con hội tụ đến một điểm thuộc A. Ta có thêm các kết quảsau

d) A là tập đóng ⇐⇒ với mọi dãy (xλ) ⊂ A, nếu xλ → x thì x ∈ A.

Ta gọi một phủ mở của A là một họ {Uα | α ∈ Λ} các tập mở sao cho

A ⊂⋃α∈Λ

Uα.

Lúc đó, nếu có họ hữu hạn H = {α1, α2, · · · , αk} ⊂ Λ sao cho

A ⊂⋃

α∈H

Uα,

thì ta nói đây là một phủ con hữu hạn của phủ trên.

e) A là tập compact ⇐⇒ mọi phủ mở của A đều tồn tại phủ con hữu hạn.

1.3.2. Không gian tôpô tuyến tính.

Cho không gian vectơ X. Lúc đó, một tôpô τ trên X được gọi là tương thíchvới cấu trúc đại số trên X nếu dưới tôpô này, các ánh xạ sau liên tục.

+ :X ×X → X,

. :R×X → X.

Tức là:

Với mọi x, y ∈ X và mọi lân cận W của x + y, tồn tại các lân cận U của x, Vcủa y sao cho U + V ⊂ W.

Với mọi λ ∈ R, x ∈ X và mọi lân cận W của λx, tồn tại ε > 0 và lân cận Vcủa x sao cho µV ⊂ W với mọi µ ∈ (λ− ε, λ + ε).

Lúc đó, τ được gọi là tôpô tuyến tính trên X và X được gọi là một không gianvectơ tôpô hay không gian tôpô tuyến tính.

Bổ đề 1.2. Trong không gian tôpô tuyến tính X,

Phép tịnh tiến: Ta(x) := a + x,

Phép vị tự: ϕα(x) := αx,

với a ∈ X, α ∈ R \ {0}, là các phép đồng phôi từ X lên X.

12

Chứng minh. Vì đó là các song ánh liên tục và T−1a = T−a, ϕ−1

α = ϕα−1 .

Hệ quả 1.3. Trên không gian tôpô tuyến tính ta có

a) V là lân cận gốc ⇔ V + a là lân cận của a;

b) V là lân cận của x0 ⇔ αV là lân cận của αx0, với mọi α 6= 0.

Một tập A ⊆ X được gọi là cân đối nếu với mọi |λ| ≤ 1 ta có λA ⊆ A.

Mệnh đề 1.8. Nếu V là lân cận gốc trong không gian tôpô tuyến tính X, thì

a) V là tập hấp thụ.

b) Tồn tại một lân cận gốc cân đối U sao cho U + U ⊂ V .

Chứng minh. Để khỏi nhầm lẫn, trong chứng minh này, ta ký hiệu θ là vectơ gốctrong X.

a) Vì 0.x = θ nên với V là lân cận gốc, tồn tại ε > 0 và lân cận U của x sao choλU ⊆ V với mọi λ ∈ (−ε, ε). Suy ra λx ⊆ V với mọi λ ∈ (−ε, ε). Vậy V hấp thụ.

b) Vì θ + θ = θ nên với V là lân cận gốc, tồn tại các lân cận gốc U1, U2 sao choU1 + U2 ⊆ V . Vì 0.θ = θ nên với lân cận gốc U0 := U1 ∩ U2 tồn tại ε > 0 và lân cậngốc W sao cho λW ⊆ U0 với mọi λ ∈ (−ε, ε). Đặt

U :=⋃|λ|<ε

λW

ta có U là lân cận cân đối của gốc và U + U ⊆ V .

Định lý 1.9. Cho X là một không gian vectơ.

a) Nếu τ là một tôpô tuyến tính, thì tồn tại cơ sở lân cận gốc V ⊂ τ thoả mãn

i) V cân đối, hấp thụ với mọi V ∈ V,

ii) αV ∈ V với mọi α 6= 0 và V ∈ V,

iii) Với mọi V ∈ V tồn tại U ∈ V sao cho U + U ⊂ V ,

iv) Với mọi V1, V2 ∈ V, tồn tại U ∈ V sao cho U ⊂ V1 ∩ V2.

b) Ngược lại, nếu V ⊂ P(X) là họ các tập thoả mãn các điều kiện (i-iv), thì tồntại tôpô tuyến tính τ trên X nhận V làm cơ sở lân cận gốc. Cụ thể,

τ = {U | ∀x ∈ U, ∃V ∈ V , x + V ⊂ U}.

Chứng minh. Sử dụng Mệnh đề 1.15. Trong khẳng định a) đặt V là tập các lân cậngốc cân đối, còn trong b) chỉ cần kiểm tra τ đã cho là một tôpô tuyến tính.

13

Mệnh đề 1.10. Nếu tôpô tuyến tính τ trên X nhận V làm cơ sở lân cận gốc, thì τlà tôpô Hausdorff khi và chỉ khi ⋂

V ∈V

V = {0}.

Chứng minh. Cần là hiển nhiên. Để chứng minh đủ ta chú ý rằng nếu V là một lâncận gốc không chứa a ∈ X, thì với lân cận gốc cân đối U sao cho U + U ⊆ V , ta sẽcó U ∩ (a + U) = ∅.

1.3.3. Không gian tôpô lồi địa phương.

Từ kết quả của mục trước, ta thấy cấu trúc của một tôpô tuyến tính hoàn toànđược xác định bởi hệ cơ sở lân cận gốc. Nếu tồn tại một hệ cơ sở lân cận gốc gồmtoàn các tập lồi thì τ sẽ được gọi là tôpô (tuyến tính) lồi địa phương và X được gọilà không gian tôpô (tuyến tính) lồi địa phương.

Định lý 1.11. Cho X là một không gian vectơ.

a) Nếu τ là một tôpô lồi địa phương trên X, thì tồn tại một cơ sở lân cận gốc Vgồm toàn các tập lồi, cân đối, hấp thụ.

b) Ngược lại, nếu V0 là một họ gồm các tập lồi, cân đối, hấp thụ thì họ sau

V :={

εm⋂1

Vi | ε > 0; m ∈ N; Vi ∈ V0

}là cơ sở lân cận gốc của một tôpô lồi địa phương nào đó. Hơn nữa, tôpô nàylà Hausdorff khi và chỉ khi ⋂

V ∈V0; ε>0

εV = {0}.

Chứng minh. Sử dụng Định lý 1.9 với V là họ các lân cận lồi, cân đối.

Nếu chú ý rằng, với mọi V ∈ V ta có V ⊂ 2V , thì ta có thể khẳng định rằngmọi tôpô lồi địa phương đều tồn tại một cơ sở lân cận gốc lồi, cân đối và đóng.

Ví dụ 1.1. Không gian định chuẩn là một không gian lồi địa phương sinh bởihọ chỉ gồm một tập: V0 = {B(0; 1)}. Lúc đó, cơ sở lân cận gốc tương ứng làV = {εB(0; 1) | ε > 0} = {B(0; ε) | ε > 0}.

Ví dụ 1.2. Với mỗi p > 0 ta vẫn ký hiệu

lp = {x = (xn) ⊂ R |∞∑1

|xn|p < ∞}.

14

Đó là các không gian vectơ. Đặt

Vε :=

{x ∈ lp

∣∣∣ ( ∞∑1

|xn|p) 1

p< ε

}.

Lúc đó, V = {Vε | ε > 0} là cơ sở lân cận gốc của một tôpô tuyến tính trên lp. Hơnnữa, ta có thể chứng minh được rằng lp là không gian lồi địa phương khi và chỉ khip ≥ 1.

1.3.4. Tôpô lồi địa phương mạnh nhất.

Trên không gian vectơ X có thể có nhiều tôpô lồi địa phương khác nhau. Tagọi tôpô lồi địa phương mạnh nhất trên X là tôpô τ0 sinh bởi họ V0 gồm tất cả cáctập lồi, cân đối, hấp thụ trong X. Sở dĩ có tên gọi như vậy vì với mọi tôpô lồi địaphương τ trên X, ta có τ ⊂ τ0.

Định lý 1.12. Tôpô lồi địa phương mạnh nhất τ0 trên X là Hausdorff. Trong tôpôấy ta có

a) Mọi tập lồi, hấp thụ đều là lân cận gốc;

b) Nếu C là tập con lồi của X, thì core C = Int C;

c) Cho Y là một không gian lồi địa phương tuỳ ý. Lúc đó, mọi ánh xạ tuyến tínhtừ X vào Y đều liên tục.

Chứng minh.

a) Vì mọi tập lồi, hấp thụ đều chứa một tập V ∈ τ0.

b) Nếu x0 ∈ core C thì C − x0 hấp thụ và lồi, nên cũng là lân cận gốc, do đóx0 ∈ Int C.

c) Vì ảnh ngược của một tập lồi, hấp thụ qua ánh xạ tuyến tính cũng là mộttập lồi, hấp thụ.

Định lý 1.13. Nếu X là không gian hữu hạn chiều thì trong X chỉ có một tôpô lồiđịa phương Hausdorff duy nhất. Đó chính là tôpô Euclide thông thường.

Chứng minh. Giả sử dim X = n và {e1, · · · , en} là một cơ sở trực chuẩn, theotôpô Euclide, của X. Ký hiệu τE là tôpô Euclide và τ là một tôpô lồi địa phươngHausdorff nào đó trên X. Với mỗi τ−lân cận lồi của gốc V , tồn tại ε > 0 sao cho{±εei | 1 ≤ i ≤ n} ⊂ V . Do V lồi nên V ⊃ co{±εei | 1 ≤ i ≤ n} ⊃ ε

nB(0; 1),

với B(0; 1) là τE−hình cầu đơn vị. Vậy τ ⊂ τE. Từ đó suy ra toán tử đồng nhấtI : (X, τE) → (X, τ) là song ánh liên tục và τE−mặt cầu đơn vị S(0; 1), với tưcách là ảnh liên tục của một tập compact, là tập τ−compact. Vì τ Hausdorff nênS(0; 1) là đóng. Mặt khác 0 6∈ S(0; 1), nên tồn tại τ−lân cận gốc lồi U sao choU ∩ S(0; 1) = ∅. Dễ chứng minh được rằng U ⊆ B(0; 1). Vậy τ = τE.

15

Từ định lý trên ta thấy tôpô Euclide cũng là tôpô lồi địa phương mạnh nhấttrên không gian hữu hạn chiều. Khẳng định sau là hiển nhiên

Hệ quả 1.4. Trong Rn với tôpô Euclide ta có

a) Nếu C ⊂ Rn là tập lồi thì Int C = core C;

b) Mọi ánh xạ tuyến tính từ Rn vào một không gian lồi địa phương Y đều liêntục.

Hệ quả 1.5. Mọi không gian con hữu hạn chiều của một không gian lồi địa phươngHausdorff đều đóng.

Chứng minh. Cho (X, τ) là không gian lồi địa phương Hausdorff và M là khônggian con hữu hạn chiều của X. Do Định lý 1.13 tôpô cảm sinh của τ lên M chínhlà tôpô Euclide. Đặt Un = BM(0; 1

n) là hình cầu mở tâm 0 bán kính 1

ntrong M . Với

mỗi n tồn tại τ−lân cận gốc lồi, cân đối Vn sao cho Vn ∩M ⊆ Un.

Giả sử (xλ)λ∈I là dãy trong M , hội tụ về x ∈ X. Ta sẽ chứng minh x ∈ M .Do xλ → x, với mỗi n ∈ N, tồn tại λn ∈ I sao cho xλ ∈ x + Vn, với mọi λ ≥ λn.Chú ý rằng, ta có thể chọn sao cho λn < λn+1 với mọi n. Như vậy (xλn) là một dãycon của (xλ). Bây giờ lấy xλm và xλn , với m < n, ta có xλm , xλn ∈ x + Vm. Vì vậyxλm − xλn ∈ Vm − Vm = 2Vm. Mặt khác, xλm − xλn ∈ M , nên xλm − xλn ∈ 2Um, hay‖xλm − xλn‖ < 2

m. Vậy (xλm) là dãy Cauchy trong M nên hội tụ đến y ∈ M . Do

tính duy nhất của giới hạn trong không gian Hausdorff ta có x = y ∈ M.

1.3.5. Không gian tích - Phần bù tôpô.

Giả sử (X, τX), (Y, τY ) là hai không gian tôpô lồi địa phương. Lúc đó, khônggian vectơ tích X ×Y với tôpô tích Tikhonov (tức là tôpô trên X ×Y có cơ sở gồmtất cả các tập U × V với U ∈ τX và V ∈ τY ) cũng là không gian lồi địa phương, cụthể ta có kết quả sau

Định lý 1.14.

a) Tích của hai không gian lồi địa phương (Hausdorff) X, Y là không gian lồi địaphương (Hausdorff) X × Y .

b) Nếu Z là một không gian lồi địa phương thì mọi ánh xạ A ∈ L(X × Y, Z) đềucó dạng A(x, y) = A1(x) + A2(y), với A1 ∈ L(X, Z) và A2 ∈ L(Y, Z) là cácánh xạ được xác định bởi

A1(x) = A(x, 0); A2(y) = A(0, y).

Hơn nữa, A liên tục khi và chỉ khi A1 và A2 đều liên tục.

16

Bây giờ giả sử M ≤ X và N là phần bù đại số của M (tức là, M + N = X vàM ∩N = {0}, lúc đó với mọi x ∈ X tồn tại duy nhất một cặp m ∈ M và n ∈ N saocho x = m + n). Với tôpô cảm sinh, M và N cũng là các không gian lồi địa phươngvà do đó ta có không gian lồi địa phương M ×N . Xét ánh xạ

ϕ :M ×N → X

(m,n) → m + n.

Dễ thấy rằng ϕ là một song ánh tuyến tính liên tục. Nếu ϕ−1 cũng là một ánh xạliên tục, thì M , N sẽ được gọi là phần bù tôpô của nhau và ký hiệu

X = M ⊕N.

Mệnh đề 1.15. Giả sử X là không gian tôpô lồi địa phương Hausdorff, M là khônggian con đóng của X và codim M < ∞. Lúc đó mọi phần bù đại số của M đều làphần bù tôpô.

Để chứng minh mệnh đề này ta cần sử dụng kết quả sau.

Bổ đề 1.3. Cho M và C là hai tập con của một không gian tôpô tuyến tính sao choM đóng, C compact. Lúc đó M + C là tập đóng.

Chứng minh Mệnh đề 1.15. Giả sử N là phần bù đại số của M . Lúc đó dim N < ∞nên tôpô cảm sinh trên N là tôpô Euclide. Ta chỉ cần chứng minh ánh xạ chiếupN : X → N xác định bởi pN(m + n) = n, với mọi m ∈ M , n ∈ N , là liên tục. ĐặtC = SN(0; 1) là mặt cầu đơn vị trong N . Theo Bổ đề 1.3, C + M là tập đóng. Mặtkhác, 0 6∈ C +M , vì vậy tồn tại lân cận gốc lồi V trong X sao cho V ∩ (C +M) = ∅.Dễ chứng minh được rằng pN(V ) ⊆ BN(0; 1). Từ đó pN(εV ) ⊆ BN(0; ε) với mọiε > 0. Vậy pN liên tục tại gốc nên liên tục.

1.4. Tập lồi trong không gian tôpô lồi địa phương.

Trong suốt mục này, nếu không nói gì thêm, ta luôn giả thiết X là một khônggian tôpô lồi địa phương.

1.4.1. Sự liên tục của phiếm hàm Minkowski - Nửa chuẩn.

Mệnh đề 1.16.

a) Cho C là tập lồi, hấp thụ trong X. Lúc đó pC là hàm liên tục khi và chỉ khi Clà một lân cận gốc. Hơn nữa, ta có

Int C = {x ∈ X | pC(x) < 1}; C = {x ∈ X | pC(x) ≤ 1}.

17

b) Cho C và D là hai tập lồi, hấp thụ trong X và α > 0. Lúc đó,

p(αC) =1

αpC ; p(C∪D) = max{pC , pD}.

c) Nếu p là một phiếm hàm dưới tuyến tính không âm trên X thì p = pC, với

C = {x ∈ X | p(x) < 1}.

Chứng minh. Từ Định lý 1.6 ta có 0 ∈ p−1C (−∞, 1) ⊆ C và 0 ∈ εC ⊆ p−1

C [0, ε]. Vìvậy, pC liên tục khi và chỉ khi C là lân cận gốc. Lúc đó dễ thấy

p−1C (−∞, 1) ⊆ Int C ⊆ C ⊆ p−1

C (−∞, 1].

Mặt khác, có thể chứng minh rằng pC(x) = 1 ⇒ x ∈ ∂C. Vậy a) được chứng minh.

b) được suy ra từ định nghĩa. Để chứng minh c) ta sử dụng các mệnh đề:

p(x) < 1 ⇒ pC(x) ≤ 1; pC(x) < 1 ⇒ x ∈ C ⇒ p(x) < 1,

và nhận xét rằng, nếu p và q là hai phiếm hàm thuần nhất dương, không âm thỏamãn p(x) < 1 ⇒ q(x) ≤ 1 thì q(x) ≤ p(x) với mọi x.

Phiếm hàm p trên X được gọi là một nửa chuẩn nếu

a) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), với mọi x, y ∈ X;

b) p(λx) = |λ|p(x), với mọi λ ∈ R và x ∈ X.

Vậy, p là một chuẩn nếu p là nửa chuẩn và p(x) = 0 ⇔ x = 0. Ta dễ dàng kiểmchứng được mệnh đề sau

Mệnh đề 1.17. Cho p là một phiếm hàm trên X.

a) p là nửa chuẩn nếu và chỉ nếu p = pC với C là một tập lồi, cân đối, hấp thụ.

b) p là chuẩn nếu và chỉ nếu p = pC với C là một tập lồi, cân đối, hấp thụ vàkhông chứa trọn đường thẳng nào.

Từ Định lý 1.11 ta thấy, một tôpô lồi địa phương τ trên không gian vectơ Xhoàn toàn được xác định bởi một họ các tập lồi, cân đối, hấp thụ V0 (theo nghĩaτ là tôpô tuyến tính yếu nhất nhận mọi tập V ∈ V0 làm lân cận gốc). Kết hợp vớiMệnh đề 1.16 và Mệnh đề 1.17 ta có thể khẳng định thêm rằng τ hoàn toàn đượcxác định bởi một họ P0 các nửa chuẩn (theo nghĩa τ là tôpô tuyến tính yếu nhấtsao cho mọi nửa chuẩn p ∈ P0 đều liên tục). Đặc biệt, mọi chuẩn đều hoàn toànđược xác định bởi một tập C lồi, cân đối, hấp thụ và không chứa đường thẳng nào(lúc đó, với chuẩn này, B(0; 1) ⊂ C ⊂ B′(0; 1)).

18

1.4.2. Các tính chất tôpô.

Cho C là tập lồi trong X. Ta vẫn ký hiệu Int C là phần trong của C. Ngoài ra,ta gọi phần trong tương đối của C là phần trong của tập này theo tôpô cảm sinhtrong Aff(C). Cụ thể,

ri C := {x ∈ C | tồn tại lân cận gốc V : (x + V ) ∩ Aff(C) ⊂ C}.

Định lý 1.18. Cho C là tập lồi khác rỗng trong X. Lúc đó,

a) Int C, C là các tập lồi.

b) Nếu x ∈ Int C và y ∈ C thì [x, y) ⊂ Int C.

c) Nếu Int C 6= ∅ thì C = Int C, Int C = Int C và core C = Int C.

d) Nếu dim C < ∞ thì ri C 6= ∅ và C = ri C; ri C = ri C.

Chứng minh.

a) Nếu x, y ∈ Int C, thì tồn tại lân cận gốc lồi V sao cho x+V ⊆ C và y+V ⊆ C.Do đó, với mọi λ ∈ (0, 1) ta có λx + (1− λ)y + V ⊆ C, nên λx + (1− λ)y ∈ Int C.Vậy Int C lồi. Bây giờ lấy x, y ∈ C và λ ∈ (0, 1). Với mọi lân cận gốc lồi V , tồn tạix ∈ (x+V )∩C và y ∈ (y +V )∩C, lúc đó λx+(1−λ)y ∈ (λx+(1−λ)y +V )∩C.Vậy λx + (1− λ)y ∈ C, suy ra C là tập lồi.

b) Ta chứng minh w = µx + (1− µ)y ∈ Int C, với mọi µ ∈ (0, 1]. Đặt λ = µ2

và

z = λx+(1−λ)y. Vì x ∈ Int C nên tồn tại lân cận gốc lồi V sao cho x+V ⊆ C. Lại vìy ∈ C nên y ∈ C+ λ

1−λV , do đó z ∈ λx+(1−λ)(C+ λ

1−λV ) = λ(x+V )+(1−λ)C ⊆ C.

Để ý rằng w = tx + (1− t)z với t = λ1−λ

, ta có w + tV ⊆ t(x + V ) + (1− t)z ⊆ C.

Vậy w ∈ Int C.

c) Khẳng định C = Int C suy ra trực tiếp từ b). Giả sử c ∈ Int C. Với mọiw ∈ Int C tồn tại ε > 0 đủ bé sao cho y = w + ε(w − c) ∈ C. Vì w ∈ [c, y) nên theob) w ∈ Int C, suy ra Int C = Int C. Việc chứng minh core C = Int C được tiến hànhtương tự.

d) Không mất tính tổng quát giả thiết 0 ∈ C. Trước hết ta chứng minh rằng, nếudim C = dim X = n thì Int C 6= ∅. Thật vậy, lúc đó tồn tại hệ hệ độc lập tuyến tính{c1, c2, · · · , cn} ⊆ C. Vì tôpô trên X trùng với tôpô Euclide nhận {c1, c2, · · · , cn}làm hệ trực chuẩn nên ta có thể kiểm chứng được Int C 6= ∅. Từ đó, nếu dim C < ∞thì ri C chính là phần trong của C với tôpô cảm sinh trên Aff(C), nên khác rỗng.Sử dụng c) ta nhận được các khẳng định còn lại.

Cho A ⊂ X, ta ký hiệu coA là tập lồi đóng bé nhất chứa A. Từ định lý trên, tathấy coA = co A. Tuy nhiên chú ý rằng nói chung ta chỉ có bao hàm thức co A ⊂ coA.

Mệnh đề 1.19. Nếu A ⊂ X là một tập compact và tồn tại số nguyên dương n saocho, với mọi x ∈ co A đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp lồi của không quá nphần tử thuộc A, thì co A là tập compact.

19

Chứng minh. Dễ thấy ánh xạ ϕ từ không gian tôpô tích Rn × Xn vào X, xácđịnh bởi ϕ(λ1, · · · , λn, x1, · · · , xn) =

∑ni=1 λixi là liên tục. Mặt khác tập K =

{(λ1, λ2, · · · , λn) ∈ [0, 1]n |∑n

1 λi = 1} là compact trong Rn. Vì vậy co A =ϕ(K × An) cũng là tập compact trong X.

Từ mệnh đề trên ta lập tức nhận được các hệ quả sau

Hệ quả 1.6. Nếu C1, C2, · · · , Cn ⊂ X là các tập lồi compact, thì

co(C1 ∪ C2 ∪ · · · ∪ Cn)

cũng là tập compact.

Hệ quả 1.7. Nếu dim X < ∞ và A là tập compact, thì co A cũng là tập compact.

Hệ quả này được chứng minh nhờ sử dụng Định lý Carathéodory. Mệnh đề saucho ta một kết quả mở rộng trên không gian Banach.

Mệnh đề 1.20. Nếu A là một tập compact trong không gian Banach X, thì coA làtập compact.

Chứng minh. Với mọi ε > 0, do A hoàn toàn bị chặn nên tồn tại {a1, · · · , ak} ⊆ Xsao cho A ⊆ ∪k

1B(ai;ε2). Lại do C := co{a1, · · · , ak} compact, nên hoàn toàn bị chặn,

tồn tại {b1, · · · , bm} ⊆ X sao cho C ⊆ ∪m1 B(bj;

ε2). Lúc đó, co A ⊆ co

(∪k

1B(ai;ε2))

=

C + B(0; ε2) ⊆ ∪m

1 B(bj; ε). Vậy co A là tập hoàn toàn bị chặn nên coA compact.

1.4.3. Nón lùi xa của tập lồi.

Cho tập lồi khác rỗng C ⊂ X. Ta nói vectơ d là một phương lùi xa của C nếu

x + λd ∈ C; ∀x ∈ C, ∀λ > 0.

Tập tất cả các phương lùi xa của C được gọi là nón lùi xa của C và được ký hiệu lào+(C). Vậy,

o+(C) = {d ∈ X | x + λd ∈ C; ∀x ∈ C, ∀λ > 0}.

Mệnh đề 1.21. o+(C) là nón lồi chứa gốc. Hơn nữa,

o+(C) = {d ∈ X | C + d ⊂ C}

Chứng minh. Thật vậy, nếu C + d ⊂ C thì C + nd ⊂ C với mọi n ∈ N∗. Lại do Clồi nên C + λd ⊂ C với mọi λ > 0. Tức là d ∈ o+(C).

20

Ví dụ 1.3. Trong R2 cho các tập

C1 = {(x, y) | x > 0; y ≥ 1

x};

C2 = {(x, y) | y ≥ x2};C3 = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 1};C4 = {(x, y) | y ≥

√1 + x2};

C5 = {(x, y) | (x > 0 ∧ y > 0) ∨ (x = y = 0)}.

Lúc đó,

o+(C1) = {(u, v) | u ≥ 0; v ≥ 0};o+(C2) = {(0, v) | v ≥ 0};o+(C3) = {(0, 0)};o+(C4) = {(u, v) | v ≥ |u|};o+(C5) = C5.

Ví dụ 1.4. Cho ai ∈ Rn, αi ∈ R; 1 ≤ i ≤ m. Xét tập hợp

C6 = {x ∈ Rn | 〈ai, x〉 ≤ αi; 1 ≤ i ≤ m} 6= ∅.

Ta cóo+(C6) = {x ∈ Rn | 〈ai, x〉 ≤ 0; 1 ≤ i ≤ m}.

Mệnh đề 1.22. Cho C lồi đóng khác rỗng. Lúc đó, o+(C) là nón lồi đóng và

a) d ∈ o+(C) ⇔ ∃x0 ∈ C,∀λ > 0 : x0 + λd ∈ C.

b) o+(C) = ∩λ>0

λ(C − x0); với mọi x0 ∈ C.

Chứng minh.

a) (⇐) Ta chứng minh x + λd ∈ C với mọi x ∈ C và λ > 0. Với mọi n ∈ N∗ tacó xn := (1− 1

n)x + 1

n(x0 + nλd) ∈ C. Rõ ràng xn → x + λd. Mặt khác, C đóng nên

x + λd ∈ C.

b) Suy ra trực tiếp từ a).

Mệnh đề 1.23. Tập lồi đóng khác rỗng C ⊂ Rn bị chặn khi và chỉ khi o+(C) = {0}.

Chứng minh. Giả sử c ∈ C. Dễ thấy C bị chặn thì o+(C) = {0}. Ngược lại, nếu Ckhông bị chặn thì tồn tại dãy (xn) ⊂ C sao cho ‖xn − c‖ → +∞. Không mất tínhtổng quát có thể giả thiết xn−c

‖xn−c‖ → s ∈ S(0; 1). Từ Mệnh đề 1.22 ta có s ∈ o+(C)

nên o+(C) 6= {0}.

Bài tập 1.1. Tìm một tập A compact trong không gian Banach X mà co A khôngcompact.

Bài tập 1.2. Tìm một tập lồi C không bị chặn trong R2 mà o+(C) = {0}.

Chương 2

KHÔNG GIAN LIÊN HỢP

TÔPÔ YẾU

2.1. Định lý tách.

2.1.1. Phiếm hàm tuyến tính liên tục.

Cho X là một không gian tôpô lồi địa phương. Ta vẫn ký hiệu X# là khônggian các phiếm hàm tuyến tính trên X. Với mỗi f ∈ X# \ {0} và α ∈ R tập hợp

H(f ; α) = {x ∈ X | f(x) = α} = f−1(α)

là một siêu phẳng trong X, song song với không gian con Ker f = f−1(0).

Mệnh đề 2.1. Siêu phẳng H(f ; α) là đóng khi và chỉ khi f liên tục.

Chứng minh. Điều kiện đủ là hiển nhiên. Để chứng minh điều kiện cần ta giả sửH(f ; 1) đóng. Vì 0 6∈ H(f ; 1) tồn tại lân cận gốc lồi V sao cho V ∩H(f ; 1) = ∅. Lúcđó, f bị chặn trên bởi 1 trên V nên liên tục.

Ta ký hiệu tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X là X∗ và gọilà không gian liên hợp, hay không gian đối ngẫu tôpô của X. Dễ kiểm chứng đượcrằng X∗ là một không gian vectơ con của không gian đối ngẫu đại số X#.

Hệ quả 2.1. Nếu tôpô trên X là tôpô lồi địa phương mạnh nhất, thì mọi siêu phẳngtrong X đều đóng. Nói cách khác, X∗ = X#.

Chứng minh. Phần bù của siêu phẳng H(f ; α) là hợp của hai tập lồi C = f−1(−∞, α)và D = f−1(α, +∞). Dễ kiểm chứng được core C = C và core D = D, từ đó C vàD là các tập mở suy ra H(f ; α) đóng.

22

Ta nói siêu phẳng H(f ; α) để tập A ⊂ X về một phía nếu A là tập con củamột trong hai nửa không gian sau:

H+(f ; α) := {x ∈ X | f(x) ≥ α}; H−(f ; α) := {x ∈ X | f(x) ≤ α}.

Như vậy, theo định nghĩa trong Mục 1.2.3. siêu phẳng H(f ; α) tách hai tập Avà B khi và chỉ khi siêu phẳng đó để hai tập này về hai phía khác nhau. Tức làA ⊂ H+(f ; α) và B ⊂ H−(f ; α) (hoặc ngược lại).

Mệnh đề 2.2.

a) Nếu siêu phẳng H(f ; α) để A về một phía, thì H(f ; α) ∩ core A = ∅.

b) Một siêu phẳng để một tập có phần trong khác rỗng về một phía thì đóng.

2.1.2. Định lý Tách.

Định lý 2.3 (Định lý Tách). Giả sử hai tập lồi A và B trong không gian X rờinhau. Hơn nữa, nếu một trong hai điều kiện sau thoả mãn

a) Int A ∪ Int B 6= ∅,

b) dim X < ∞,

thì có một siêu phẳng đóng tách A và B.

Chứng minh. Đặt C = A − B ta có C lồi và không chứa gốc. Ta chứng minh tồntại phiếm hàm tuyến tính liên tục tách C với {0}.

a) Nếu Int A ∪ Int B 6= ∅, thì Int C 6= ∅. Theo Định lý 1.7, tồn tại siêu phẳngtách 0 với C. Do Mệnh đề 2.2, đó là siêu phẳng đóng.

b) Bây giờ giả sử dim X = n < ∞. Nếu dim C < n thì tồn tại siêu phẳng (đóng)chứa C nên tách C với 0, còn nếu dim C = n ta trở về trường hợp a).

Cho tập lồi C ⊂ X và một điểm x0 ∈ C. H(f ; α) được gọi là siêu phẳng tựacủa C tại x0, nếu nó chứa x0 và để C về một phía. Lúc đó, ta nói x0 là điểm tựacủa C trên siêu phẳng H(f ; α) và f là phiếm hàm tựa của tập lồi C tại x0. Nếu hơnnữa, C ⊂ H−(f ; α) thì f được gọi là một vectơ pháp tuyến ngoài của C tại x0. Lúcđó,

f(c− x0) ≤ 0; ∀c ∈ C.

Ta ký hiệu NC(x0) là tập hợp tất cả các vectơ pháp tuyến ngoài liên tục của C tạix0; tức là

NC(x0) := {f ∈ X∗ | f(c− x0) ≤ 0; ∀c ∈ C}.Hệ quả 2.2. Cho tập lồi C và x0 ∈ C.

a) NC(x0) là nón lồi chứa gốc trong X∗.

b) Nếu Int C 6= ∅ và x0 ∈ ∂C, thì NC(x0) 6= {0}.

Từ kết quả này ta thường gọi NC(x0) là nón pháp tuyến của C tại x0.

23

2.1.3. Định lý Tách mạnh.

Ta nói hai tập A và B là tách mạnh được nếu tồn tại phiếm hàm f 6= 0 và cácsố γ > β sao cho A ⊂ H−(f ; β) và B ⊂ H+(f ; γ). Lúc đó, nếu có α ∈ (β, γ) ta cũngnói siêu phẳng H(f ; α) tách mạnh A và B.

Định lý 2.4 (Định lý Tách mạnh). Cho A và B là hai tập lồi khác rỗng rời nhautrong X sao cho A đóng và B compact. Lúc đó, tồn tại một siêu phẳng đóng táchmạnh A và B.

Chứng minh. Đặt C = A − B ta có C là tập lồi, đóng không chứa gốc. Do đó tồntại lân cận lồi gốc lồi V sao cho V ∩ C = ∅. Do Định lý 2.3 tồn tại phiếm hàm liêntục f tách C và V , nên tách mạnh C và 0.

Hệ quả 2.3. Cho M là một không gian con của X và x0 ∈ X \M . Lúc đó, tồn tạif ∈ X∗ sao cho

f(x0) = 1 và f(m) = 0 với mọi m ∈ M.

Hệ quả 2.4. Một không gian con M là trù mật trong X khi và chỉ khi, với mọiphiếm hàm tuyến tính liên tục f trên X mà bằng không trên M thì f = 0.

Cuối cùng, ta nhận được mệnh đề sau mà là mở rộng một phần của Hệ quả 1.1.

Mệnh đề 2.5. Cho M là một không gian con của X. Lúc đó, với mọi g ∈ M∗ tồntại f ∈ X∗ sao cho

f |M = g.

2.2. Tôpô yếu - Tôpô yếu*.

2.2.1. Tôpô yếu trên X.

Cho (X, τ) là không gian tôpô lồi địa phương. Với mỗi f ∈ X∗, tập hợp

V (f ; 1) := {x ∈ X | |f(x)| < 1}

là một tập lồi cân đối hấp thụ trong X. Do đó, từ kết quả Định lý 1.9, họ

V0 := {V (f ; 1) | f ∈ X∗}

sẽ xác định một tôpô lồi địa phương τw trên X. Tôpô này nhận họ sau làm cơ sởlân cận gốc:

V ={ m⋂

i=1

V (fi; ε) | m ∈ N∗; ε > 0; fi ∈ X∗, 1 ≤ i ≤ m}

.

24

Dễ kiểm chứng được rằng đây là tôpô lồi địa phương yếu nhất trên X bảo đảmsự liên tục của tất cả các phiếm hàm f ∈ X∗. Nói riêng, τw ⊂ τ . Do đó, ta sẽ gọi τw

là tôpô yếu trên X để phân biệt với tôpô mạnh là τ . Tương ứng với tôpô này ta cócác khái niệm mới trên X như tập mở yếu, tập đóng yếu, hội tụ yếu, compact yếu...Ta sẽ ký hiệu xλ

w→ x để chỉ rằng dãy suy rộng (xλ) hội tụ yếu đến x để phân biệtvới ký hiệu xλ → x nói rằng (xλ) hội tụ mạnh đến x.

Mệnh đề 2.6. Cho dãy suy rộng (xλ) trong X và x ∈ X. Lúc đó,

xλw→ x ⇐⇒ f(xλ) → f(x); ∀f ∈ X∗.

Mệnh đề 2.7. Nếu tôpô mạnh trên X là Hausdorff thì tôpô yếu cũng Hausdorff.

Vì tôpô yếu là yếu hơn tôpô mạnh, nên mọi tập đóng yếu (mở yếu) đều đóng(mở). Điều ngược lại thì không nhất thiết đúng. Tuy vậy, đối với tập lồi thì hai kháiniệm đóng và đóng yếu là tương đương. Điều này được thể hiện trong kết quả sau:

Mệnh đề 2.8. Mọi tập lồi đóng trong X cũng đóng yếu.

Hệ quả 2.5 (Bổ đề Mazur). Giả sử X là không gian định chuẩn và (xn) là một dãytrong X hội tụ yếu đến x. Lúc đó, tồn tại một dãy (yn) hội tụ (mạnh) đến x saocho yn ∈ co{xk | k ∈ N}, với mọi n ∈ N .

2.2.2. Tôpô yếu* trên X∗.

Như đã nhận xét trong 1.1.1. X∗ là một không gian vectơ con của không gianX#. Sau đây chúng ta sẽ tìm cách xây dựng một tôpô lồi địa phương trên X∗.

Tương ứng với mỗi x ∈ X, ta thiết lập một phiếm hàm φx trên X∗ được xácđịnh bởi

φx(f) := f(x); ∀f ∈ X∗.

Dễ kiểm chứng được rằng đây là một phiếm hàm tuyến tính trên X∗, và do đó, nếuđồng nhất mỗi x ∈ X với φx ta có thể xem X như một họ các phiếm hàm tuyếntính trên X∗. Tôpô tuyến tính yếu nhất τw∗ trên X∗ bảo đảm sự liên tục của mọix ∈ X được gọi là tôpô yếu* trên X∗. Tương tự tôpô yếu, ta có thể thấy τw∗ là tôpôlồi địa phương, có cơ sở lân cận gốc gồm các tập có dạng

B∗ ={ m⋂

i=1

V ∗(xi; ε) | m ∈ N; ε > 0; xi ∈ X, 1 ≤ i ≤ m}

,

trong đó,V ∗(x; ε) := {f ∈ X∗ | |f(x)| < ε}.

Một điều đáng chú ý là bất luận tôpô trên X như thế nào, tôpô yếu* trên X∗ luôn

luôn là Hausdorff. Tương tự sự hội tụ trong tôpô yếu, ta ký hiệu fλw∗→ f để chỉ rằng

dãy suy rộng (fλ) hội tụ theo tôpô yếu* về phiếm hàm f trong X∗.

25

Mệnh đề 2.9. Cho dãy suy rộng (fλ) trong X∗. Lúc đó,

fλw∗→ f ⇐⇒ ∀x ∈ X, fλ(x) → f(x).

Cho V là một tập con khác rỗng của X, ta gọi đối cực của V là tập hợp sau

V 0 := {f ∈ X∗ | f(x) ≤ 1}.

Bổ đề 2.1.

a) V 0 là tập lồi, đóng yếu* trong X∗,

b) Nếu V cân đối thì V 0 cũng vậy,

c) Nếu V ⊃ U 6= ∅ thì V 0 ⊂ U0.

Định lý 2.10 (Alaoglu). Nếu V là một lân cận gốc trong X thì V 0 là compact yếu*.

Hệ quả 2.6. Cho V là một lân cận gốc trong X và ϕ : V → R là một phiếm hàmliên tục trên V . Lúc đó, tập hợp

K = {f ∈ X∗ | f(v) ≤ ϕ(v), ∀v ∈ V }

là compact yếu*.

Hệ quả 2.7. Hình cầu đơn vị đóng B′∗(0; 1) trong không gian liên hợp X∗ của không

gian định chuẩn X là compact yếu*.

2.2.3. Cặp đối ngẫu tổng quát.

Cho X và Y là hai không gian vectơ và 〈·, ·〉 : X × Y → R là một dạng songtuyến tính tách được theo từng biến. Nghĩa là

〈x, λy1 + µy2〉 = λ〈x, y1〉+ µ〈x, y2〉; ∀x ∈ X, y1, y2 ∈ Y, λ, µ ∈ R,

〈λx1 + µx2, y〉 = λ〈x1, y〉+ µ〈x2, y〉; ∀x1, x2 ∈ X, y ∈ Y, λ, µ ∈ R.

∀x0 ∈ X \ {0},∃y ∈ Y : 〈x0, y〉 6= 0,

∀y0 ∈ Y \ {0},∃x ∈ X : 〈x, y0〉 6= 0.

Lúc đó, mỗi y ∈ Y cố định sẽ xác định một phiếm hàm tuyến tính trên X theoquy tắc

x ∈ X −→ 〈x, y〉 ∈ R,

và mỗi x ∈ X cũng xác định một phiếm hàm tuyến tính trên Y bởi

y ∈ Y −→ 〈x, y〉 ∈ R.

Như vậy có thể xem X là một không gian vectơ những phiếm hàm tuyến tính trênY , hay X ≤ Y #. Tương tự, Y ≤ X#. Ta sẽ ký hiệu tôpô tuyến tính yếu nhất trênX bảo đảm sự liên tục của mọi phiếm hàm y ∈ Y bởi σ(X, Y ) và tôpô tuyến tínhyếu nhất trên Y bảo đảm sự liên tục của mọi phiếm hàm x ∈ X bởi σ(Y,X).

26

Định lý 2.11. σ(X, Y ) là tôpô lồi địa phương Hausdorff trên X. Hơn nữa, khônggian liên hợp của (X, σ(X, Y )) cũng chính là Y .

Dĩ nhiên, một kết quả tương tự cũng đúng đối với tôpô σ(Y,X) và ta cũng có(Y, σ(Y,X))∗ = X. Để chứng minh các kết quả này ta cần đến bổ đề sau

Bổ đề 2.2. Nếu f1, f2, · · · , fm và g là các phiếm hàm tuyến tính trên không gianvectơ X sao cho

m⋂i=1

Ker fi ⊂ Ker g,

thì g là một tổ hợp tuyến tính của họ {f1, f2, · · · , fm}.

Hệ quả 2.8. Giả sử (X, τ) là một không gian lồi địa phương Hausdorff với khônggian liên hợp X∗. Lúc đó với dạng song tuyến tính 〈x, f〉 = f(x) trên X ×X∗ ta cóσ(X, X∗) = τw, σ(X∗, X) = τw∗. Đặc biệt, (X, τw)∗ = X∗ và (X∗, τw∗)∗ = X.

Do tính đối xứng giữa các không gian X và X∗, được thể hiện qua hệ quả trên,ta thường ký hiệu các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian lồi địa phươngX là x∗ ∈ X∗ và viết 〈x, x∗〉 thay cho x∗(x).

2.2.4. Không gian Banach phản xạ.

Trong mục này, ta xét trường hợp X là một không gian định chuẩn và X∗ làkhông gian liên hợp của nó. Ta đã biết X∗ cũng là một không gian định chuẩn, hơnnữa là không gian Banach, với chuẩn được xác định bởi

‖x∗‖ = sup{|〈x, x∗〉| : ‖x‖ ≤ 1}; x∗ ∈ X∗.

Đến lượt nó, không gian định chuẩn X∗ cũng có không gian liên hợp gồm các phiếmhàm tuyến tính liên tục x∗∗ trên nó mà ta ký hiệu là X∗∗, với chuẩn

‖x∗∗‖ = sup{|〈x∗, x∗∗〉| : ‖x∗‖ ≤ 1}; x∗∗ ∈ X∗∗.

Chú rằng trên X∗ cũng tồn tại hai tôpô, đó là tôpô sinh bởi chuẩn mà ta gọilà tôpô mạnh và tôpô yếu* τw∗ = σ(X∗, X). Vì

|〈x, x∗〉| ≤ ‖x∗‖; ∀x ∈ X, x∗ ∈ X∗,

nên sự hội tụ theo chuẩn kéo theo sự hội tụ yếu*, hay tôpô yếu* là yếu hơn tôpômạnh.

Bây giờ với mỗi phần tử x ∈ X, phiếm hàm tuyến tính tương ứng φx đã xéttrong 2.2.2. là liên tục theo tôpô σ(X∗, X) nên cũng liên tục theo tôpô chuẩn. Tứclà φx ∈ X∗∗. Mặt khác, chuẩn của φx trong X∗∗ được xác định bởi

‖φx‖ = sup{|〈x∗, φx〉| : ‖x∗‖ ≤ 1} = sup{|〈x, x∗〉| : ‖x∗‖ ≤ 1} = ‖x‖.

27

Như vậy ánh xạ Φ : X → X∗∗ với Φ(x) = φx là một phép nhúng đẳng cự từ X vàoX∗∗, và do đó, có thể đồng nhất X với không gian con Φ(X) của X∗∗. Với quanđiểm như vậy, từ nay về sau ta luôn xem X là không gian con của không gian X∗∗.

Không gian định chuẩn X được gọi là không gian phản xạ nếu X = X∗∗ (tứclà ánh xạ nhúng Φ là một song ánh từ X lên X∗∗, điều này xảy ra khi và chỉ khiΦ(B′) = B′∗∗). Vì không gian X∗∗ luôn luôn là không gian Banach, nên một khônggian phản xạ phải là không gian Banach. Định lý dưới đây cho thấy khi nào mộtkhông gian Banach là phản xạ.

Định lý 2.12. Một không gian Banach X là phản xạ khi và chỉ khi hình cầu đơnvị đóng B′(0; 1) là compact yếu.

Hệ quả 2.9. Trong một không gian phản xạ mọi tập lồi, đóng, bị chặn là compactyếu.

Hệ quả 2.10. Trong một không gian phản xạ mọi dãy bị chặn đều tồn tại dãy conhội tụ yếu.

Chương 3

HÀM LỒI

3.1. Cấu trúc hàm lồi.

3.1.1. Định nghĩa hàm lồi.

Cho (X, τ) là một không gian tôpô lồi địa phương Hausdorff và

f : X −→ [−∞,∞]

là một phiếm hàm trên X. Các tập hợp

dom f := {x ∈ X | f(x) < ∞}, epi f := {(x, γ) ∈ X × R | f(x) ≤ γ}

lần lượt được gọi là miền hữu hiệu và epi đồ thị của f . Ngoài ra, với mỗi α ∈ R tagọi tập hợp sau là tập mức dưới của hàm f tương ứng với mức α:

C(f ; α) := {x ∈ X | f(x) ≤ α}.

Hàm f được gọi là chính thường nếu

dom f 6= ∅ và f(x) > −∞, ∀x ∈ X,

và được gọi là lồi nếu epi f là tập lồi trong không gian X × R. Nếu −f là hàm lồithì f được gọi là hàm lõm.

Mệnh đề 3.1. Nếu f lồi thì dom f lồi.

Mệnh đề 3.2. Nếu f lồi thì C(f ; α) lồi với mọi α ∈ R.

Mệnh đề 3.3. Cho f : X → (−∞, +∞]. Lúc đó,

f lồi ⇔ f(λx + (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1− λ)f(y); ∀x, y ∈ X; ∀λ ∈ (0, 1).

29

Mệnh đề 3.4 (Bất đẳng thức Jensen). Cho f : X → (−∞, +∞]. Lúc đó,

f lồi ⇔ f

(m∑1

λixi

)≤

m∑1

λif(xi); ∀xi ∈ X; ∀λi ≥ 0 :m∑1

λi = 1.

Một ví dụ đơn giản của hàm lồi là hàm chỉ; Cho C là tập con của X, ta gọihàm chỉ của C là hàm

δC(x) =

{0, x ∈ C,

∞, x ∈ X \ C.

Lúc đó, dễ kiểm tra được rằng δC là hàm lồi khi và chỉ khi C là tập lồi.

Hàm f : X → R được gọi là thuần nhất dương nếu

f(λx) = λf(x); ∀x ∈ X, ∀λ > 0.

Mệnh đề 3.5. Cho hàm thuần nhất dương f : X → (−∞, +∞]. Ba phát biểu saulà tương đương

a) f lồi,

b) f(x + y) ≤ f(x) + f(y); ∀x, y ∈ Rn.

c) epi f là một nón lồi.

Hệ quả 3.1. Nếu f là hàm lồi, chính thường, thuần nhất dương thì

f

(m∑1

λixi

)≤

m∑1

λif(xi); ∀xi ∈ X; ∀λi > 0.

Hệ quả 3.2. Nếu f là hàm lồi, chính thường, thuần nhất dương thì

f(x) + f(−x) ≥ 0; ∀x ∈ X.

3.1.2. Các phép toán trên hàm lồi.

Mệnh đề 3.6. Cho hàm lồi f : X → R và hàm lồi không giảm ϕ : R → (−∞, +∞].Lúc đó, ϕ ◦ f là hàm lồi.

Mệnh đề 3.7. Nếu f1, f2 là những hàm lồi chính thường thì f1 + f2 cũng lồi.

Hệ quả 3.3. Nếu f1, f2, · · · , fm lồi chính thường và λi > 0, 1 ≤ i ≤ m, thì hàmλ1f1 + λ2f2 + · · ·+ λmfm lồi.

Ta thấy mỗi hàm f trên X xác định một tập hợp epi f ⊂ X × R. Bây giờ, vớimỗi tập F ⊂ X × R cho trước, ta xét hàm tương ứng fF trên X được định nghĩanhư sau

fF (x) := inf{γ ∈ R | (x, γ) ∈ F}; x ∈ X.

Rõ ràng, fepi f ≡ f . Tuy vậy, nói chung ta chỉ có bao hàm thức F ⊂ epi fF .

30

Bổ đề 3.1. Cho F ⊂ X × R là tập lồi. Lúc đó fF là hàm lồi trên X.

Bây giờ cho f1, f2, · · · , fm là những hàm lồi chính thường trên X. Ta gọi tổngchập của họ các hàm (fi)1≤i≤m là hàm f được xác định bởi:

f(x) := inf

{m∑1

fi(xi)∣∣∣ xi ∈ X :

m∑1

xi = x

}; x ∈ X

và ký hiệu

f =m⊕1

fi.

Mệnh đề 3.8. Tổng chập của họ các hàm lồi, chính thường cũng là hàm lồi.

Cho f : X → R. Ta định nghĩa bao lồi của f là hàm co f := fco epi f . Tức là,

co f(x) := inf{γ ∈ R | (x, γ) ∈ co epi f}; x ∈ X.

Mệnh đề 3.9. co f là hàm lồi lớn nhất trong số các hàm lồi non hơn f .

Chú ý rằng, nói chung epi(co f) 6= co(epi f).

Mệnh đề 3.10. Với mọi x ∈ X, ta có

co f(x) = inf

{m∑1

λif(xi)∣∣∣ λi ≥ 0,

m∑1

λi = 1; xi ∈ X,m∑1

λixi = x

}.

Cho họ hàm fα : X → R, α ∈ I. Ta gọi cận trên và cận dưới của họ hàm nàylần lượt là các hàm∨

fα =∨α∈I

fα := sup fα;∧

fα =∧α∈I

fα := inf fα.

Mệnh đề 3.11. Nếu fα lồi (lõm) với mọi α ∈ I, thì ∨fα (∧fα) cũng lồi (lõm).

3.2. Sự liên tục của hàm lồi.

3.2.1. Hàm nửa liên tục dưới.

Cho f : X → R. f được gọi là nửa liên tục dưới (l.s.c.) tại x0 nếu

lim infx→x0

f(x) ≥ f(x0).

Nếu f(x0) hữu hạn thì điều kiện này có thể viết lại một cách tương đương rằng, vớimọi ε > 0 tồn tại lân cận gốc V sao cho

f(x) > f(x0)− ε, ∀x ∈ x0 + V.

f được gọi là nửa liên tục dưới nếu nó nửa liên tục dưới tại mọi điểm.

31

Mệnh đề 3.12. Cho f : X → R, ba phát biểu sau là tương đương

a) f l.s.c.

b) C(f ; α) đóng, với mọi α ∈ R,

c) epi f là tập đóng trong X × R.

Từ kết quả này mà một hàm nửa liên tục dưới còn được gọi là hàm đóng.

Hệ quả 3.4. Một hàm lồi, l.s.c. thì cũng l.s.c. theo tôpô yếu.

Cho f : X → R. Ta gọi bao đóng của f là hàm f := fepi f . Tức là:

f(x) := inf{γ ∈ R | (x, γ) ∈ epi f}; x ∈ X

và bao lồi đóng của f là hàm cof := co f .

Mệnh đề 3.13. f (cof) là hàm đóng (lồi đóng) lớn nhất trong số các hàm đóng(lồi đóng) non hơn f . Hơn nửa,

epi f = epi f ; epi(cof) = co(epi f).

Chú ý: co f không nhất thiết là hàm đóng và do đó, nói chung co f 6= cof .

Mệnh đề 3.14. Một hàm lồi, đóng, không chính thường thì không nhận giá trị hữuhạn nào.

Mệnh đề 3.15.

a) f đóng khi và chỉ khi f = f .

b) Nếu f lồi thì f lồi và do đó cof = f .

c) Nếu f1, f2 đóng thì f1 + f2 đóng.

d) Nếu fα đóng với mọi α ∈ I, thì ∨fα đóng.

e) Nếu fα lồi, đóng với mọi α ∈ I, thì ∨fα lồi, đóng.

3.2.2. Sự liên tục của hàm lồi.

Một hàm f được gọi là Lipschitz địa phương tại x0 nếu tồn tại một lân cận gốclồi, cân đối V và hằng số K > 0 sao cho

|f(x)− f(x′)| ≤ KpV (x− x′); ∀x, x′ ∈ x0 + V.

f được gọi là Lipschitz địa phương trên tập mở U ⊂ X nếu nó Lipschitz địa phươngtại mọi điểm thuộc U . Dễ thấy các định nghĩa này không phụ thuộc vào lân cậnV được chọn và, khi X là không gian định chuẩn, ta nhận được định nghĩa hàmLipschitz thông thường bằng cách chọn V là hình cầu đơn vị.

32

Định lý 3.16. Cho f lồi chính thường, các phát biểu sau là tương đương.

a) f liên tục tại một điểm x ∈ X.

b) f bị chặn trên trong một tập lồi mở khác rỗng nào đó.

c) Int(epi f) 6= ∅.

d) Int(dom f) 6= ∅ và f Lipschitz địa phương trên Int(dom f).

e) Int(dom f) 6= ∅ và f liên tục tại mọi điểm thuộc Int(dom f).

Hệ quả 3.5. Nếu f là hàm lồi chính thường trên Rn thì f liên tục trong tôpô tươngđối của Aff(dom f) tại mọi điểm x ∈ ri(dom f).

3.3. Hàm liên hợp.

3.3.1. Biểu diễn hàm lồi theo hàm affine.

Nhắc lại rằng, một hàm affine trên X là hàm có dạng

ϕ(x) = 〈x∗, x〉+ α,

với x∗ ∈ X# và α ∈ R. Lúc đó, ϕ là liên tục khi và chỉ khi x∗ ∈ X∗. Ký hiệu AX làhọ tất cả các hàm affine liên tục trên X.

Cho f là một hàm trên X. Ta ký hiệu

A(f) := {ϕ ∈ AX | ϕ ≤ f}; L(f) := {x∗ ∈ X∗ | x∗ ≤ f}.

Định lý 3.17. Cho f là hàm chính thường. Lúc đó, f lồi đóng khi và chỉ khi

f =∨

ϕ∈A(f)

ϕ.

Hệ quả 3.6. Cho f là hàm chính thường, thuần nhất dương. Lúc đó, f lồi đóng khivà chỉ khi

f =∨

ϕ∈L(f)

ϕ.

Hệ quả 3.7. Cho f : X → R. Lúc đó,

cof =∨

ϕ∈A(f)

ϕ.

Hệ quả 3.8. Cho f là hàm lồi, đóng, chính thường trên X. Lúc đó, tồn tại x∗ ∈ X∗

sao cho hàm g(x) := 〈x∗, x〉 − f(x) bị chặn trên.

33

3.3.2. Hàm liên hợp.

Cho hàm f : X → R. Ta gọi hàm f ∗ : X∗ → R được xác định như sau là hàmliên hợp (hay biến đổi Fenchel - Moreau) của f :

f ∗(x∗) := sup{〈x∗, x〉 − f(x) | x ∈ X} = sup{〈x∗, x〉 − f(x) | x ∈ dom f}.

Ví dụ 3.1. Vớif(x) = 〈x∗0, x〉+ α; x ∈ X,

ta có

f ∗(x∗) =

{−α; x∗ = x∗0,

+∞; x∗ 6= x∗0.

Với tôpô σ(X∗, X), thì đối ngẫu của X∗ chính là X. Do đó, nếu g : X∗ → R làmột hàm trên X∗ thì ta cũng có định nghĩa hàm liên hợp của g là hàm g∗ : X → Rxác định bởi

g∗(x) := sup{〈x∗, x〉 − g(x∗) | x∗ ∈ X∗} = sup{〈x∗, x〉 − g(x∗) | x∗ ∈ dom g}.

Ta ký hiệu f ∗∗ := (f ∗)∗ và gọi là hàm liên hợp bậc hai của f .

Ví dụ 3.2. Cho ∅ 6= C ⊂ X. Lúc đó

(δC)∗(x∗) = supx∈C

〈x∗, x〉 = σC(x∗).

Nói cách khác, liên hợp của hàm chỉ là hàm tựa. Ngược lại, nếu C lồi đóng thì tacũng có

(σC)∗ = δC .

Vậy, nếu C lồi đóng thì δ∗∗C = δC .

Mệnh đề 3.18.

a) f ∗(x∗) + f(x) ≥ 〈x∗, x〉 với mọi x∗ ∈ X∗, x ∈ X.

b) f ∗∗ ≤ f .

c) f ∗ là hàm lồi đóng trên X∗.

Hệ quả 3.9. f ∗∗ ≤ cof.

Mệnh đề 3.19. Nếu f lồi, đóng, chính thường thì f ∗ cũng vậy.

Định lý 3.20 (Fenchel-Moreau). Cho f : X → (−∞, +∞]. Lúc đó, f = f ∗∗ khi vàchỉ khi f lồi, đóng.

Hệ quả 3.10. Giả sử cof chính thường. Lúc đó,

cof = f ∗∗; (cof)∗ = f ∗.

34

3.4. Dưới vi phân hàm lồi.

3.4.1. Định nghĩa.

Trong mục này ta luôn giả thiết f : X → R là một hàm lồi chính thường vàf(x0) < ∞.

Một phiếm hàm x∗ ∈ X∗ được gọi là dưới gradient của hàm f tại x0 nếu

f(x) ≥ f(x0) + 〈x∗, x− x0〉; ∀x ∈ X.

Về mặt hình học, điều đó có nghĩa là hàm affine

φ(x) := f(x0) + 〈x∗, x− x0〉; x ∈ X

có đồ thị là một siêu phẳng nằm dưới epi f và tựa vào epi f tại điểm (x0, f(x0)).

Mệnh đề 3.21. Ba phát biểu sau là tương đương:

a) x∗ là dưới gradient của f tại x0,

b) f(x0) + f ∗(x∗) = 〈x∗, x0〉,

c) (x∗,−1) ∈ Nepi f (x0, f(x0)).

Tập hợp tất cả các dưới gradient của f tại x0 được gọi là dưới vi phân của ftại điểm đó và được ký hiệu là ∂f(x0). Vậy,

∂f(x0) = {x∗ ∈ X∗ | f(x)− f(x0) ≥ 〈x∗, x− x0〉; ∀x ∈ X}.

Nếu ∂f(x0) là tập khác rỗng ta nói f khả dưới vi phân tại x0. Từ Hệ quả 2.6 tanhận được kết quả sau

Định lý 3.22. Nếu f lồi, chính thường và liên tục tại một điểm nào đó, thì tại mọiđiểm x0 ∈ Int(dom f), ∂f(x0) là tập lồi, compact yếu*, khác rỗng.

Ví dụ 3.3.

Nếu f là hàm affine liên tục: f(x) = 〈x∗, x〉+α, thì ∂f(x0) = x∗ với mọi x0 ∈ X.

Nếu f là hàm chỉ của tập lồi C: f(x) = δC(x), thì

∂δC(x0) = {x∗ ∈ X∗ | 〈x∗, x− x0〉 ≤ 0; ∀x ∈ C} = NC(x0).

Nếu f là hàm chuẩn trong không gian định chuẩn X: f(x) = ‖x‖, thì

∂f(x0) =

{{x∗ | ‖x∗‖ = 1, 〈x∗, x0〉 = ‖x0‖}; x0 6= 0,

{x∗ | ‖x∗‖ ≤ 1}; x0 = 0.

35

3.4.2. Quan hệ với đạo hàm theo hướng.

Cho hàm f : X → R và x0 ∈ X sao cho f(x0) ∈ R. Với mỗi vectơ d ∈ X, tađịnh nghĩa đạo hàm của f theo hướng d là giới hạn sau, nếu nó tồn tại, hữu hạnhoặc vô hạn:

f ′(x0; d) := limλ→0+

f(x0 + λd)− f(x0)

λ.

Ví dụ 3.4. Cho f, g : R → R, xác định bởi

f(x) =

{x sin 1

x; x > 0,

0; x ≤ 0;g(x) = 3

√x; x ∈ R.

Lúc đó, f ′(0; 1) không tồn tại, f ′(0;−1) = 0, g′(0; 1) = +∞, g′(0;−1) = −∞.

Qua ví dụ này ta thấy đạo hàm theo hướng có thể tồn tại hoặc không, tuỳ theotừng trường hợp. Tuy vậy, nếu f là hàm lồi thì đạo hàm của nó theo mọi hướngluôn luôn tồn tại. Điều đó được khẳng định trong định lý sau đây

Định lý 3.23. Giả sử f là hàm lồi chính thường trên X và x0 ∈ dom f . Với mỗid ∈ X, ta có

a) Hàm số sau

ϕd(λ) :=f(x0 + λd)− f(x0)

λ; λ ∈ (0, +∞)

không giảm trên khoảng (0, +∞).

b) Đạo hàm của f theo hướng d tồn tại và

f ′(x0; d) = infλ>0

ϕd(λ).

c) f(x0 + d)− f(x0) ≥ f ′(x0; d), với mọi d ∈ X.

Định lý 3.24. Cho f là hàm lồi chính thường trên X và x0 ∈ dom f .

a) f ′(x0; ·) là hàm lồi thuần nhất trên X.

b) Nếu x0 ∈ Int dom f thì hàm f ′(x0; d) hữu hạn với mọi d ∈ X.

c) Nếu f liên tục tại x0 thì f ′(x0; d) hữu hạn và liên tục tại mọi d ∈ X.

Bổ đề 3.2. Cho g : X → R thuần nhất dương. Lúc đó

a) Nếu g liên tục tại v ∈ X thì g cũng liên tục tại mọi điểm λv với λ > 0.

b) Nếu g liên tục trong một lân cận của 0 thì g liên tục (tại mọi điểm).

36

Mệnh đề 3.25. Nếu f là hàm lồi chính thường thì tại mọi điểm x0 ∈ dom f ta có

∂f(x0) = ∂f ′(x0; ·)(0) = dom(f ′(x0; ·))∗.

Hơn nữa, ∂f(x0) 6= ∅ khi và chỉ khi f ′(x0; ·) nửa liên tục dưới tại gốc, khi ấy

f ′(x0; d) = sup{〈x∗, d〉 | x∗ ∈ ∂f(x0)}.

Hệ quả 3.11. Nếu một hàm lồi f liên tục tại x0 thì

f ′(x0; d) = max{〈x∗, d〉 | x∗ ∈ ∂f(x0)}.

Hàm f được gọi là khả vi Gâteaux tại x0 ∈ X nếu tồn tại x∗ ∈ X∗ sao cho

limλ→0

f(x0 + λd)− f(x0)

λ= 〈x∗, d〉; ∀d ∈ X.

Phiếm hàm f ′G(x0) = x∗ như trên, nếu có, là duy nhất và được gọi là đạo hàmGâteaux của f tại x0.

Định lý 3.26. Nếu một hàm lồi f liên tục tại x0 và có tập ∂f(x0) chỉ gồm mộtphần tử {x∗}, thì f khả vi Gâteaux tại x0 và

f ′G(x0) = x∗.

Ngược lại, nếu f lồi, khả vi Gâteaux tại x0 thì ∂f(x0) = {f ′G(x0)}.

3.4.3. Các phép toán qua dưới vi phân.

Mệnh đề 3.27. Cho f là hàm lồi chính thường trên X và λ > 0. Lúc đó

∂(λf)(x) = λ ∂f(x); ∀x ∈ dom f.

Định lý 3.28 (Moreau-Rockafellar). Nếu f1, f2, · · · , fm là các hàm lồi chính thườngtrên X thì

∂(f1 + f2 + · · ·+ fm)(x) ⊃ ∂f1(x) + ∂f2(x) + · · ·+ ∂fm(x); ∀x ∈ ∩ dom fi.

Nếu tồn tại một điểm x1 ∈ ∩ dom fi tại đó có đến m− 1 hàm fi liên tục, thì

∂(f1 + f2 + · · ·+ fm)(x) = ∂f1(x) + ∂f2(x) + · · ·+ ∂fm(x); ∀x ∈ ∩ dom fi.

Cho f1, f2, · · · , fm là các hàm lồi trên X và f = ∨fi. Với mỗi x0 ∈ X ta kýhiệu I(x0) = {i ∈ {1, 2, · · · , m} | fi(x0) = f(x0)}. Mệnh đề sau cho ta công thứctính dưới vi phân của hàm f tại x0.

37

Định lý 3.29. Với mọi x0 ∈ X ta có

∂f(x0) ⊃ co⋃

i∈I(x0)

∂fi(x0).

Nếu các hàm f1, f2, · · · , fm đều liên tục tại x0 thì

∂f(x0) = co⋃

i∈I(x0)

∂fi(x0).

Bây giờ cho {fi | i ∈ I}, với I là tập tuỳ ý, là một họ các hàm lồi trên X. Đặt

f =∨i∈I

fi và với mỗi x0 ∈ X : I(x0) = {i ∈ I | fi(x0) = f(x0)}.

Định lý 3.30. Với mọi x0 ∈ X ta có

∂f(x0) ⊃ co⋃

i∈I(x0)

∂fi(x0).

Nếu I là không gian tôpô compact, hàm f(i, x) = fi(x) nửa liên tục trên, theo biếni, trên I và các hàm fi, i ∈ I, đều liên tục tại x0, thì

∂f(x0) = co⋃

i∈I(x0)

∂fi(x0).

Hệ quả 3.12. Cho I là không gian tôpô compact và f(i, x) : I × Rn → R là hàmnửa liên tục trên theo biến i, lồi và liên tục theo biến x. Ký hiệu fi(x), f(x) và I(x0)tương tự như định lý trên. Lúc đó, với mọi y∗ ∈ ∂f(x0) tồn tại i1, i2, · · · , ik ∈ I(x0)với k ≤ n + 1 sao cho

y∗ =k∑

j=1

αjy∗j , với αj ≥ 0, y∗j ∈ ∂fij(x0); 1 ≤ j ≤ k :

k∑j=1

αj = 1.

3.4.4. Ứng dụng khảo sát bài toán Quy hoạch lồi.

Cho f là một hàm lồi chính thường trên X và C là một tập con lồi khác rỗngcủa X. Ta quan tâm đến bài toán quy hoạch lồi sau đây

P(C; f) :

{f(x) → min,

x ∈ C.

Một điểm x0 ∈ C được gọi là điểm cực tiểu của hàm f trên C, hay là một nghiệmcủa Bài toán P(C; f), nếu

f(x0) ≤ f(x); ∀x ∈ C.

38

C được gọi là tập chấp nhận được còn f là hàm mục tiêu của bài toán. Khi C = X,ta gọi đó là bài toán không có ràng buộc và viết một cách đơn giản là P(f). Kếtquả sau là một mở rộng của Định lý Fermat trong giải tích cổ điển.

Mệnh đề 3.31. Một điểm x0 ∈ X là nghiệm của bài toán quy hoạch lồi P(f) khivà chỉ khi 0 ∈ ∂f(x0).

Trong trường hợp tổng quát ta có kết quả sau

Định lý 3.32. Cho x0 ∈ C,

a) Nếu ∂f(x0) ∩ (−NC(x0)) 6= ∅, thì x0 là nghiệm của Bài toán P(C; f).

b) Ngược lại nếu x0 là nghiệm của Bài toán P(C; f) và f liên tục tại một điểmx ∈ C, thì ∂f(x0) ∩ (−NC(x0)) 6= ∅.

Trường hợp C là một đa tạp affine song song với một không gian con V thìNC(x0) = V ⊥ tại một điểm bất kỳ x0 ∈ C. Vì vậy, ta có hệ quả sau

Hệ quả 3.13. Nếu C là một đa tạp affine song song với không gian con V trongX và f liên tục tại một điểm x ∈ C, thì một điểm x0 ∈ C là nghiệm của bài toánP(C; f), khi và chỉ khi ∂f(x0) ∩ V ⊥ 6= ∅.

Đặc biệt nếu C là đa tạp affine có đối chiều hữu hạn được cho bởi

C = {x ∈ X | 〈x∗i , x〉 = αi; 1 ≤ i ≤ m} 6= ∅, (3.1)

trong đó, x∗i ∈ X∗ và αi ∈ R, thì NC(x0) = span{x∗1, x∗2, · · · , x∗m}. Vì vậy, ta có hệquả sau

Hệ quả 3.14. Giả sử C được cho bởi (3.1) và f liên tục tại một điểm x ∈ C. Lúcđó, một điểm x0 ∈ C là nghiệm của bài toán P(C; f) khi và chỉ khi tồn tại các sốthực λi ∈ R, 1 ≤ i ≤ m, sao cho

∑λix

∗i ∈ ∂f(x0).

39

Tài liệu tham khảo

[1] Haım Brezis, Giải tích hàm - Lý thuyết và ứng dụng, (N.H. Nghĩa, N.T. Longdịch), Nxb ĐHQG Tp. HCM, 2002.

[2] I. Ekeland, R. Temam, Convex Analysis and Variational Problems, North-Holland, American Elsevier, 1973.

[3] R.B. Holmes, Geometric Functional Analysis and Its Applications, Springer-Verlag, 1975.

[4] B.N. Pshenhichnyi, Giải tích lồi và Bài toán cực trị (tiếng Nga), Nauka, 1980.

[5] A.P. Robertson, W. Robertson, Không gian vectơ tôpô, (P. Đ. Chính dịch), NxbĐH&THCN, 1977.

[6] R.T. Rockafellar, Convex analysis, Princeton University Press, 1970.

[7] Hoàng Tụy, Hàm thực và Giải tích hàm, Nxb ĐHQG Hà Nội, 2003.