GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI … (421).pdf · Tích phân ngẫu nhiên và Phương trình vi phân ngẫu nhiên là những yếu tố

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

VŨ ĐỨC THẮNG

GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNGTRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Hà Nội, 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

VŨ ĐỨC THẮNG

GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNGTRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH

Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC

Mã số: 60.46.01.06

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS. TS. PHAN VIẾT THƯ

Hà Nội, 2014

Lời cảm ơn

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS. PhanViết Thư, người thầy đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo, định hướng nghiên cứu chotôi để hoàn thành luận văn này. Qua đây, tôi cũng xin chân thành cám ơn sựgiúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin học, Bộ môn Xácsuất thống kê trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội,những người đã giúp đỡ, giảng dạy và truyền đạt kiến thức cho tác giả trongsuốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, do hạn chế về thời gian thực hiện nên luận vănkhông thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính mong nhận được ý kiến đónggóp quý báu của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.

Xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội,tháng 11 năm 2014Vũ Đức Thắng

1

Mục lục

BẢNG KÝ HIỆU 5

MỞ ĐẦU 6

1 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 81.1 Những khái niệm chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc . . . . . . 91.1.3 Thời điểm Markov và thời điểm dừng . . . . . . . . . . . . 101.1.4 Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ-trường . . . . . . . 101.1.5 Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.6 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Quá trình Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.2 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown . . . . . . . . . . . . . . 181.3.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.2 Vài tính chất quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.3 Các martingale tạo thành từ chuyển động Brown . . . . . 191.3.4 Đặc trưng Lévy của chuyển động Brown . . . . . . . . . . . 20

1.4 Quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.1 Quá trình đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.2 Quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.3 Đặc trưng Watanabe của quá trình Poisson . . . . . . . . . 21

1.5 Quá trình Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5.2 Phương trình Chapman-Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . 22

2

MỤC LỤC 3

1.5.3 Chú ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊNVÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN 23Phần I. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1 Tích phân Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.1 Mục đích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.2 Định nghĩa tích phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.3 Vi phân ngẫu nhiên Itô và Công thức Itô . . . . . . . . . . 262.1.4 Các thí dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 Tích phân ngẫu nhiên Stratonovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.1 Khái niệm và định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.2 Biến phân bậc hai của hai quá trình ngẫu nhiên . . . . . . 30

Phần II. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN . . . . 322.3 Định nghĩa phương trình và lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4 Định lý tồn tại và duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.1 Sự duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.2 Sự tồn tại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5 Tính Markov của lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH 41Phần I. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

VÀ THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . 413.1 Phương án đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1.1 Phương án đầu tư, Phương án mua và bán . . . . . . . . . 423.1.2 Cân đối lại và phương án tự tài trợ (Self-financial portfolio) 42

3.2 Cơ hội có độ chênh thị giá và nguyên lý AAO . . . . . . . . . . . . 443.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.2.2 Nguyên lý AAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2.3 Phái sinh kiểu Châu Âu và Châu Mỹ . . . . . . . . . . . . 45

3.3 Nguyên lý đáp ứng và thị trường đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.1 Chiến lược đáp ứng (Replicating Strategy) . . . . . . . . . 453.3.2 Phái sinh đạt được trong thị trường M. . . . . . . . . . . 463.3.3 Thị trường đầy đủ (Complete Market). . . . . . . . . . . . 46

3.4 Định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá (Arbitage Pricing) . 463.4.1 Đáp ứng duy nhất và quá trình sở hữu. . . . . . . . . . . . 46

MỤC LỤC 4

3.4.2 Ý tưởng chính của việc định giá bằng phương pháp độchênh thị giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4.3 Xác suất trung hòa rủi ro hay độ đo martingale . . . . . . 493.5 Các tài sản phái sinh (Derivatives) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.5.1 Quyền chọn mua (Call) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.5.2 Quyền chọn bán (Put) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Phần II. MÔ HÌNH BLACK-SCHOLES . . . . . . . . . . . . . . 523.6 Mô hình Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.6.1 Định nghĩa mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.6.2 Giá cổ phiếu trong mô hình Black-Scholes . . . . . . . . . . 533.6.3 Các giả thiết trong mô hình Black-Scholes. . . . . . . . . . 533.6.4 Hiện giá quyền chọn mua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.7 Xây dựng công thức Black-Scholes để tính giá quyền chon kiểuchâu Âu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.7.1 Cách xây dựng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.7.2 Công thức Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.8 Những mô hình quyền chọn liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . 57

KẾT LUẬN 59TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

BẢNG KÝ HIỆU

N Tập các số tự nhiênQ Tập các số hữu tỷR Tập các số thựcR+ Tập các số thực không âmR Tập các số thực và −∞,∞Z Tập các số nguyênC Tập các số phứcR⋉ Không gian n− chiều∅ Tập rỗng(xn) = xn Dãy số (hoặc dãy các phần tử)|x| Giá trị tuyệt đối của x‖x‖ Chuẩn của xf := g Định nghĩa f là glimn→∞

= lim supn→∞

Giới hạn trên

limn→∞

= lim infn→∞

Giới hạn dưới∫Ωf (ω) dµ Tích phân Lebesgue

t∫0

f (s, ω) dWs Tích phân Wiener

5

MỞ ĐẦU

Giải tích ngẫu nhiên bắt đầu hình thành từ đầu thế kỷ XX. Đầu tiên phảikể đến sự ra đời của khái niệm toán học về chuyển động Brown hay quá trìnhWiener đưa ra bởi Louis Bachelier (1900) và Albert Einstein (1905). Đặc biệtlà sự sáng tạo ra tích phân ngẫu nhiên Itô (1944) đã giúp giải quyết nhiều bàitoán ngẫu nhiên trong kinh tế, vật lý,. . . mà Giải tích tất định cổ điển khôngsử lý được.

Giải tích ngẫu nhiên bao gồm ba bộ phận chính :1. Lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên.2. Lý thuyết các tích phân ngẫu nhiên.3. Phương trình vi phân ngẫu nhiên.

Trong hơn một thế kỷ qua , các nội dung này đã phát triển rất mạnh mẽ và lànhững công cụ không thể thiếu được trong nghiên cứu về tài chính. Lý do làbản thân giá chứng khoán và giá các tài sản tài chính biến động một cách ngẫunhiên nên có thể xem chúng như các quá trình ngẫu nhiên .

Giải tích ngẫu nhiên đã làm cơ sở cho việc mô hình hóa các biến động giá cảtrên thị trường tài chính. Một số khái niệm cơ bản của giải tích ngẫu nhiên, trongđó có martingale, chuyển động Brown, tích phân Itô, tích phân Stratonovich,Phương trình vi phân ngẫu nhiên đã được ứng dụng rộng rãi trong việc nghiêncứu thị trường tài chính. Các mô hình định giá , chẳng hạn như mô hình Black– Scholes, đều dựa trên kiến thức về Giải tích ngẫu nhiên .

Luận văn này gồm 3 chương :

Chương I. Quá trình ngẫu nhiênChương này trình bày những khái niệm cơ bản về quá trình ngẫu nhiên dùng

6

MỤC LỤC MỤC LỤC

trong nghiên cứu về tài chính. Ngoài những khái niệm chung, thì các quá trìnhGauss, quá trình Markov, chuyển động Brown và quá trình Poisson đều được đềcập

Chương II. Tích phân ngẫu nhiên và Phương trình vi phân ngẫunhiên

Tích phân ngẫu nhiên và Phương trình vi phân ngẫu nhiên là những yếu tốcơ bản cấu thành môn Giải tích ngẫu nhiên. Chương này nói về tích phân ngẫunhiên Itô và tích phân ngẫu nhiên Stratonovich, định nghĩa Phương trình viphân ngẫu nhiên và lời giải, định lý tồn tại duy nhất lời giải cùng một vài ví dụminh họa.

Chương III. Vài ứng dụng trong thị trường tài chínhChương này trình bày về các quá trình giá tài sản tài chính như là các quá

trình ngẫu nhiên, các khái niệm độ chênh thị giá, thị trường đầy đủ và phươngpháp định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá, các hợp đồng tài chính vàđặc biệt đề cập đến mô hình quyền chọn Black - Scholes

7

Chương 1

QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

Chương này trình bày những khái niệm cơ bản về quá trình ngẫu nhiên dùng

trong nghiên cứu về tài chính. Ngoài những khái niệm chung, thì các quá trình

Gauss, quá trình Markov, chuyển động Brown và quá trình Poisson đều được đề

cập.

1.1 Những khái niệm chung

Cho (Ω,F ,P) là không gian xác suất, tức là một bộ ba gồm

• Ω là một tập hợp cơ sở bất kỳ nào đó mà mỗi phần tử ω ∈ Ω đại diện chomột yếu tố ngẫu nhiên. Mỗi tập con của Ω gồm một số yếu tố ngẫu nhiên nàođó

• F là một họ nào đó các tập con của Ω, chứa Ω và đóng đối với phép hợp đếmđược và phép lấy phần bù; nói cách khác F là một σ-trường các tập con của Ω.Mỗi tập hợp A ∈ F sẽ được gọi là một biến cố ngẫu nhiên.

• P là một độ đo xác suất xác định trên không gian đo được (Ω,F)

1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên

(a) Một quá trình ngẫu nhiên X là một họ các biến ngẫu nhiên X = (Xt(ω), t ∈T ) trong đó T là một tập các chỉ số thực, T ⊆ R. T có thể hữu hạn, đếm đượchoặc vô hạn không đếm được. Đôi khi ta cũng kí hiệu Xt(ω) = X(t, ω). Vậy với

8

CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

mỗi t, Xt là một hàm đo được từ (Ω,F) vào (T,BT ) trong đó BT là σ-trườngBorel trên T ⊆ R

(b) Một quá trình ngẫu nhiên (Xt, t ≥ 0) gọi là đo được là một hàm hai biếnX(t, ω) xác định trên tích BR+×Ω lấy giá trị trong R, và là một hàm đo đượcđối với σ-trường tích BR+ × F , trong đó BR+ là σ-trường các tập Borel trênR+ = [0,∞).

Điều đó có nghĩa là với mọi tập Borel B trên R thì tập hợp(t, ω) ∈ R+ × Ω : X (t, ω) ∈ B

là một phần tử của σ-trường tích BR+ × F , σ-trường này là σ-trường nhỏ nhấtchứa các tập có dạng

[0, t]× A : t ∈ R+, A ∈ F

(c) khi cố dịnh một ω ∈ Ω, thì ánh xạ riêng phần

t→ X (t, ω)

từ R+ vào R được gọi là một quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên X = (Xt, t ≥ 0),ứng với yếu tố ngẫu nhiên ω ấy.

(d) Nếu X lấy giá trị trong không gian Rn(n ≥ 1) thì ta có một quá trình ngẫunhiên n-chiều.

(e) Trong tài chính, các quá trình giá chứng khoán St, giá trái phiếu Pt, giásản phẩm phái sinh Ct... đều được xem là các quá trình ngẫu nhiên.

1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc

(a) Một họ các σ-trường con (Ft,t ≥ 0) của F ,Ft ⊂ F , được gọi là một bộ lọcthỏa mãn các điều kiện thông thường nếu

• Đó là một họ tăng theo t, tức là Fs ⊂ Ft nếu s < t,

• Họ đó là liên tục phải, tức là Ft =⋂ε>0

Ft+ε

• Nếu A ∈ F và P (A) = 0 thì A ∈ F0 (và do đó A nằm trong mọi Ft).

9


(b) Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt, t ≥ 0). Ta xét σ-trường FXt sinh

bởi tất cả các biến ngẫu nhiên Xs với s ≤ t : FXt = σ(Xs, s ≤ t). σ−trường này

chứa đựng mọi thông tin về diễn biến quá khứ của quá trình X cho đến thờiđiểm t. Người ta gọi đó là bộ lọc tự nhiên của quá trình X, hay là lịch sử củaX, hay cũng còn gọi là trường thông tin về X.

(c) Một không gian xác suất (Ω,F , P ) trên đó ta gắn thêm vào một bộ lọc (Ft),được gọi là một không gian xác suất có lọc và kí hiệu là (Ω,F , (Ft), P ).

1.1.3 Thời điểm Markov và thời điểm dừng

Cho một không gian xác suất có lọc (Ω,F , (Ft), P ).

(a) Một biến ngẫu nhiên T được gọi là một thời điểm Markov nếu với mọi t ≥ 0

ω ∈ Ω : T (ω) ≤ t ∈ Ft

(b) Một thời điểm Markov T được gọi là thời điểm dừng nếu T là hữu hạn hầuchắc chắn, tức là:

P ω ∈ Ω : T (ω) ≤ t = 1

.

1.1.4 Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ-trường

1.1.4.1 Định nghĩa

(a) Cho (Ω,F , P ) là không gian xác suất, G là một σ-trường con của F , G ⊂ Fvà X là một biến ngẫu nhiên, tức là một ánh xạ đo được từ (Ω,F) vào (R,BR)

trong đó BR là σ-trường các tập Borel tập đường thẳng R.Khi đó, một biến ngẫu nhiên X∗ sẽ được gọi là kỳ vọng có điều kiện của X

đối với σ-trường G, nếu:• X∗ là biến ngẫu nhiên đo được đối với G.• Với mọi tạp A ∈ G thì ta có

∫

A

X∗dP =

∫

A

XdP

Biến ngẫu nhiên X∗ này sẽ được ký hiệu là E(X|G). Ta chú ý rằng kỳ vọng cóđiều kiện E(X|G) là một biến ngẫu nhiên.

10


(b) Nếu ta chọn σ-trường G là σ−trường σ(Y ) sinh ra bởi một biến ngẫu nhiênY nào đó, thì khi đó kỳ vọng có điều kiện của X lấy đối với σ(Y ) cũng được kíhiệu là E(X|Y ).

1.1.4.2 Các tính chất

Ta có các hệ thức phát biểu dưới đây đều được hiểu theo nghĩa hầu chắcchắn:

(1) Nếu G là σ-trường tầm thường φ,Ω thì

E (X|G) = EX

(2) Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên thì

E (X + Y |G) = E (X|G) + E (Y |G)

(3) Nếu X là đo được đối với G thì

E (XY |G) = XE (Y |G)

Nói riêng, nếu c là một hằng số thì

E (cY |G) = cE (Y |G)

(4) Nếu G1 ⊂ G2 thìE (E (X|G2) |G1) = E (X|G1)

Nói riêngE (E (X|G)) = E (X)

(5) Nếu X độc lập đối với G thì

E (X|G) = E (X)

(6) Nếu G và H là hai σ−trường con của F và độc lập đối với nhau, và X làbiến ngẫu nhiên độc lập đối với G thì

E (X|σ (G,H)) = E (X|H) .

trong đó σ (G,H) là σ-trường nhỏ nhất chứa cả G lẫn H.

11


(7) Bất đẳng thức Jensen đối với kỳ vọng có điều kiện Nếu g(x) là một hàmlồi trên tập I ⊂ R, tức là

g (λx+ (1− λ) y) ≤ λg (x) + (1− λ) g (y)

với mọi x, y ∈ I với mọi λ ∈ [0, 1], và nếu X là một biến ngẫu nhiên lấy giá trịtrên I thì

g (E (X|G)) ≤ E (g (X) |G)

Nói riêng, với g(x) = |x| thì

|E (X|G)| ≤ E (|X| |G)

(8) Sự hội tụ đơn điệu đối với kỳ vọng có điều kiệnNếu 0 ≤ Xn và Xn ↑ X (Xn đơn điệu tăng dần tới X khi n→ ∞) với E|X| <∞

thìE (Xn|G) ↑ E (X|G)

(9) Bổ đề Fatou đối với kỳ vọng có điều kiệnNếu 0 ≤ Xn thì

E(lim inf

nXn|G

)≤ lim inf

nE (Xn|G) .

(10) Sự hội tụ bị làm trội đối với kỳ vọng có điều kiệnNếu lim

x→∞Xn = X hầu chắc chắn và Xn ≤ Y với EY <∞ thì

limx→∞

E (Xn|G) = E (X|G)

(11) Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập và φ(x, y) là một hàm hai biếnsao cho E|φ(X, Y )| <∞. Khi đó thì

E (φ (X, Y ) |Y ) = E (φ (X, Y ))

1.1.5 Xác suất có điều kiện

Định nghĩa 1.1.5.1. Xác suất có điều kiện P (A|G) của một biến cố A ∈ F là

một biến ngẫu nhiên xác định bởi

P (A|G) = E (1A|G)

12


trong đó 1A là hàm chỉ tiêu của biến cố A, tức là

1A (ω) =

1 nếu ω ∈ A

0 nếu ω /∈ A

Tính chất 1.1.5.1.(1) P (Ω|G) = 1 (hầu chắc chắn)

(2) ∀A ∈ F : P(A|G)= 1 − P (A|G) (h.c.c), trong đó A là biến cố đối lập của

A: A = Ω\A.

(3) ∀A1, A2, ... ∈ F rời nhau từng đôi một thì

P

( ∞⋃

n=1

An|G)

=

∞∑

n=1

P (An|G) (h.c.c)

1.1.6 Martingale

1.1.6.1.Định nghĩa

Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt, t ≥ 0) thích nghi với bộ lọc (Ft) vàkhả tích: E|Xt| <∞ với mọi t ≥ 0

Giả thử s và t là hai giá trị ≥ 0 bất kì sao cho s ≤ t. Khi đó:

(1) Nếu E(Xt|Fs) ≤ Xs thì X gọi là martingale trên (supermartingale)

(2) Nếu E(Xt|Fs) ≥ Xs thì X gọi là martingale dưới (submartingale)

(3) Nếu E(Xt|Fs) = Xs thì X gọi là martingale đối với bộ lọc (Ft, t ≥ 0)

Khi không chỉ rõ bộ lọc nào thì ta hiểu rằng (Ft) là bộ lọc tự nhiên của Xt,tức là Ft = σ(Xs, s ≤ t) = FX

t (ký hiệu)

1.1.6.2.Một số ví dụ

(1) Cho Z là một biến ngẫu nhiên bất kì sao cho EZ < ∞ (khả tích) và cho(Ft) là một bộ lọc bất kì trên (Ω,F , P ).Khi đó, quá trình ngẫu nhiên X = (Xt, t ≥ 0) xác định bởi

Xt = E (Z|Ft)

là một martingale đối với (Ft).

13


(2) Cho X = (Xt, t ≥ 0) là một quá trình ngẫu nhiên khả tích thích nghi với bộlọc (Ft), và giả thử rằng:Với mọi s, t ≥ 0 sao cho s < t thì Xt−Xs độc lập với (Fs)(∗). Tính chất (∗) đượcgọi là tính chất có số gia độc lập với quá khứ.Khi đó, quá trình ngẫu nhiên Z = (Zt, t ≥ 0) xác định bởi

Zt = Xt − E (Xt)

là một martingale đối với (Ft).

(3) Cho (Xt) là một quá trình số gia độc lập, không nhất thiết phải khả tích.Gọi ϕXt

(u) là hàm đặc trưng của Xt, tức là

ϕXt(u) = EeiuXt =

∫eiuXtdP

. Khi đó quá trình ngẫu nhiên Y = (Yt, t ≥ 0) xác định bởi:

Yt =eiuXt

ϕXt(u)

là một martingale đối với bộ lọc tự nhiên của X : FXt = σ(Xs, s ≤ t).

(4) Trên không gian xác suất (Ω,F , P ) cho Q là một độ đo xác suất liên tụctuyệt đối đối với P : Q≪ P (điều này có nghĩa là nếu A là một tập thuộc F saocho P (A) = 0 thì ta cũng có Q(A) = 0).

Gọi hạn chế của P trên Ft là Pt và hạn chế của Q trên Ft là Qt. khi đó đạohàm Radon - Nikodym Lt =

dQt

dPttồn tại, và quá trình L = (Lt, t ≥ 0) là một

martingale đối với Ft.

1.1.6.3.Phân tích Doob-Meyer và ứng dụng trong toán tài chính

Định lý 1.1.6.1. Nếu X = (Xt, t ≥ 0) là một martingale dưới đối với (Ft), khả

tích (tức E|Xt| <∞, ∀t ≥ 0) và liên tục phải theo t, thì X có một biểu thức phân

tích như sau:

Xt =Mt + At

trong đó Mt là một martingale đối với (Ft) liên tục phải và At là một quá trình

tăng và thích nghi với (Ft).

14


(∗) Ứng dụng của lý thuyết martingale trong toán học tài chính

Ý tưởng chính là như sau:

Trong toán học tài chính, giá của các tài sản tài chính cơ bản (như giá cổphiếu St, giá trái phiếu Bt) cũng như giá của các tài sản phái sinh (như giáQuyền chọn Vt) đều được xem là các quá trình ngẫu nhiên. Nói chung chúngkhông phải là những martingale đối với một trường thông tin (Ft) đang xét.

Giả thử Xt là giá của một tài sản tại thời điểm mà ta cần xác định. Nói chungXt không phải là một martingale. Nếu bằng một cách nào đó, ta biến đổi đượcXt thành một quá trình Zt = ϕ(Xt) là một martingale và giả thử ta biết giá trịđáo hạn XT . Khi đó, vì

E (ZT |Ft) = Zt (t < T )

nên ta có thể tính được giá trị Xt tại thời điểm t < T bởi

Xt = ϕ−1 [E (ZT |Ft)] (t < T )

có hai cách để thực hiện sự biến đổi nói trên:

(a).Áp dụng phân tích Doob-Meyer

Giả thử Xt là một martingale dưới. Ta có phân tích

Xt = martingale Mt + quá trình tăng At

Nếu tìm được có thể quá trình tăng At thì ta biến đổi được Xt thành mộtmartingale cụ thể Mt = Xt − At. Nếu (Xt) là một martingale trên thì (−Xt) làmột martingale dưới, do đó ta cũng có kết quả tương tự.

(b).Thực hiện một phép biến đổi độ đo xác suất

Khi ta nói Xt nói chung không phải là martingale, ấy là ta xét dưới độ đoxác suất ban đầu P đã cho. Bây giờ giả thử ta tìm được một độ đo xác suất mớiP tương đương với độ đo xác suất P (có nghĩa là nếu P (A) = 0 với A ∈ F thìP (A) = 0 và ngược lại cũng đúng) và một phép biến đổi quá trình Xt thành một

15


quá trình Xt sao cho dưới xác suất P mới này thì Xt trở thành một martingale.

Giả thử bằng cách nào đó ta biết giá trị đáo hạn Xt, tức là biết XT . Khi đó,do tính chất martingale của Xt ta có

EP(XT |Ft) = Xt, (∀t < T )

gọi ϕ là phép biến đổi từ Xt sang Xt, vậy Xt = ϕ−1(Xt) và ta định giá được tàisản Xt tại thời điểm t bởi công thức

Xt = ϕ−1[EP(XT |Ft)].

Ta lưu ý hai điều quan trọng:

•Thông thường phép biến đổi đó là một phép chiết khấu không rủi ro (tức làmột phép tính lùi), sao cho

Xt = e−r(T−t)XT , (t < T )

với hằng số r > 0 là lãi suất không rủi ro, còn T là thời điểm đáo hạn. Vì

EP(XT |Ft) = Xt = e0Xt

nên cuối cùng ta có công thức định giá tài sản X tại thời điểm t < T là

Xt = e−r(T−t)EP(XT ).

•Xác suất P ở đây sẽ gọi là xác suất trung hòa rủi ro hay còn gọi là độ đomartingale, và kí hiệu là Q.

người ta đã chứng minh được rằng:

Sự tồn tại của một độ đo martingale Q như vậy thì tương đương với sự kiện"thị trường đang xét là không có độ chênh thị giá", có nghĩa là tương đương vớiNguyên lý AAO (định nghĩa Nguyên lý AAO mục 3.2.2)

• Thông thường phép biến đổi ϕ : Xt → Xt là một phép chiết khấu, chẳnghạn

Xt → Xt+u = e−ruXt+u, (0 < u < T − t)

16


thì Xt là martingale đối với (Ft) và xét dưới độ đo P , cho nên:

EP(Xt+u|Ft) = Xt.

1.2 Quá trình Gauss

1.2.1 Định nghĩa

Một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt, t ≥ 0) được gọi là một quá trình Gauss,nếu mỗi tổ hợp tuyến tính có dạng

Z =

N∑

i=1

αiXti

là một biến ngẫu nhiên chuẩn (biến ngẫu nhiên Gauss), với mọi (α1, ..., αn) ∈ RN

và mọi N .

Nói cách khác, X là Gauss nếu mỗi phân phối hữu hạn chiều là chuẩn.

Một điều kiện cần của quá trình Gauss (Xt) là với mọi t thì Xt là một biếnngẫu nhiên chuẩn.

Nhưng nó không phải là điều kiện đủ. Một điều kiện cần và đủ được cho bởiđịnh lý sau đây

1.2.2 Định lý

Phát biểu

Một quá trình ngẫu nhiên (Xt, t ≥ 0) là một quá trình Gauss nếu và chỉ nếu:(a) EX2

t <∞ với mọi t ≥ 0.(b) Với mọi tập hữu hạn giá trị (t1, ..., tN ), ts ≥ 0, s = 1, ..., N , thì

E exp

(i

N∑

j=1

ujXtj

)= exp

i

N∑

j=1

ujµ(tj)−1

2

N∑

k,l=1

ukulR(tk, tl)

trong đó

17


µ(t) = EXt và

R(t, s) = E [(Xt − µ(t))(Xs − µ(s))] (hàm tương quan của X).

Ý nghĩa

Theo định lý nói trên thì một quá trình Gauss (Xt) sẽ hoàn toàn được xácđịnh một khi ta biết kỳ vọng µ(t) và hàm tương quan R(t, s) của nó.

Bay giờ ta sẽ xét một trường hợp riêng của quá trình Gauss, đó là chuyểnđộng Brown.

1.3 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown

1.3.1 Các định nghĩa

Định nghĩa 1

Một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt, t ≥ 0) được gọi là một quá trình Wienertiêu chuẩn hay một chuyển động Brown tiêu chuẩn, nếu X là một quá trìnhGauss sao cho

(a) E(Xt) = 0, ∀t, tức là Xt là qui tâm.

(b) Hàm tương quan R(t, s) = min(t, s) =t+ s− |t− s|

2.

• Trong trường hợp tổng quát, một quá trình Wiener với tham số phương saiσ là một quá trình Gauss, qui tâm và hàm tương quan là

R(t, s) = σ2min(t, s).

Định nghĩa 2

Một quá trình ngẫu nhiên X là một chuyển động Brown tiêu chuẩn nếu:(a) X0 = 0 hầu chắc chắn(b) Hiệu Xt −Xs là một biến ngẫu nhiên chuẩn với kỳ vọng 0 và phương sai

là t− s, (s < t).(c) Các số gia Xt4 − Xt3 và Xt2 − Xt1 (với mọi t1 ≤ t2 ≤ t3 ≤ t4) là các biến

ngẫu nhiên độc lập.

18


• Trong trường hợp tổng quát, thì trong điều kiện (b), phương sai của Xt−Xs

là σ2(t− s).

1.3.2 Vài tính chất quan trọng

Từ bây giờ, ta kí hiệu W = (Wt, t ≥ 0) là một chuyển động Brown.

(a) Wt là một martingale đối với bộ lọc tự nhiên của nó Ft, vớiFt = FW

t = σ(Ws, s ≤ t): σ−trường nhỏ nhất sinh bởi quá khứ của W tính chođến thời điểm t.

(b) Hầu chắc chắn là Wt không khả vi theo t.

(c) Hầu chắc chắn là Wt không có biến phân bị chặn trên bất cứ khoảng hữuhạn nào của t.

(d) W tuân theo luật logarit-lặp như sau:

limt→∞

supWt√

2t ln ln t= 1 (hầu chắc chắn).

1.3.3 Các martingale tạo thành từ chuyển động Brown

Định lý

Cho (Wt) là một chuyển động Brown và Ft = FWt . Khi đó ta có 3 martingale

quen biết là:

(a) Bản thân Wt là một martingale đối với Ft.

(b) W 2t − t là một martingale đối với Ft.

(c) Với mọi u ∈ R thì euWt−u2

2t là một martingale đối với Ft.

19


1.3.4 Đặc trưng Lévy của chuyển động Brown

Định lý

Cho W = (Wt, t ≥ 0) là một quá trình ngẫu nhiên có quỹ đạo liên tục. Điềukiện cần và đủ để cho Wt là một chuyển động Brown là

(∗)

Wt là một martngale,W0 = 0 h.c.c, và

W 2t − t là một martingale (đối với Ft = FW

t )

Điều kiện (∗) được gọi là đặc trưng Lévy của chuyển động Brown.

1.4 Quá trình Poisson

1.4.1 Quá trình đếm

Một quá trình ngẫu nhiên (Nt, t ≥ 0) được gọi là một quá trình đệm (hayquá trình đếm) nếu Nt biểu thị tổng số lần một biến cố ngẫu nhiên nào đó xẩyra cho đến thời điểm t. Vậy một quá trình đếm là một quá trình với thời gianliên tục, lấy giá trị nguyên dương và có bước nhảy tại các thời điểm ngẫu nhiênT0, T1, T2, ... sao cho

T0 = 0 ≤ T1 < T2 < ...và limn→∞

Tn = ∞

Khi đó có thể viết

Nt =

n nếu t ∈ [Tn, Tn+1] , n ≥ 0

∞ nếu t = ∞

hoặc

Nt =

∞∑

n=0

n1[Tn,Tn+1)

1.4.2 Quá trình Poisson

Định nghĩa

Một quá trình đếm (Nt, t ≥ 0) được gọi là một quá trình Poisson, nếu:(a) N0 = 0

(b) Nt, t ≥ 0 có số gia độc lập.

20


(c) Số biến cố xẩy ra trong bất kỳ khoảng thời gian nào đó có độ dài t là mộtbiến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với trung bình là λt(λ > 0). Điều đó cónghĩa là, với mọi s, t ≥ 0 ta có

P Nt+s −Ns = n = e−λt (λt)n

n!; n = 0, 1, 2, ...

Từ đó ta có E(Nt) = λt. Số λ > 0 được gọi là cường độ của quá trình Poisson.

1.4.3 Đặc trưng Watanabe của quá trình Poisson

Cho Nt là một quá trình ngẫu nhiên có số gia độc lập, N0 = 0. Điều kiện cầnvà đủ để Nt là một quá trình Poisson có cường độ λ là

(∗∗)Nt − λt là một martingale đối với (FNt ).

Diều kiện (∗∗) được gọi là đặc trưng Watanabe của quá trình Poisson. MartingaleMt = Nt − λt được gọi là martingale Poisson ứng với quá trình Poisson Nt. NếuNt là một quá trình Poisson tiêu chuẩn (λ = 1) thì Mt = Nt − t.

1.5 Quá trình Markov

Lớp các quá trình Markov rất rộng, bao gồm các quá trình có đặc tính là diễnbiến tương lai khi đã biết hiện tại thì không phụ thuộc vào diễn biến trong quákhứ. Đặc tính này gọi là tính chất Markov, hay tính chất mất trí nhớ (loss of

memory).

Nói một cách chính xác hơn, ta có


(a) Một quá trình ngẫu nhiên (Xt, t ≥ 0) được gọi là một quá trình Markov,nếu với mọi thời điểm bất kỳ 0 ≤ t1 < t2 < ... < tn−1 < tn, ta có:

P Xtn ≤ xn|Xt1 = x1, Xt2 = x2, ..., Xtn−1= xn−1 = P Xtn ≤ xn|Xtn−1

= xn−1

(b) Cho A là một khoảng trên đường thẳng thực. Khí đó hàm số P (x, s; t, A)

xác định bởiP (x, s; t, A) = P Xt ∈ A|Xs = x , s < t,

được gọi là hàm xác suất chuyển, hoặc hàm chuyển, hoặc xác suất chuyển.

21


(c) Một quá trình Markov có không gian trạng thái hữu hạn hoặc đếm đượcthì gọi là một xích Markov.

1.5.2 Phương trình Chapman-Kolmogorov

Cho Xt là một quá trình Marlov. Khi đó với mọi 0 ≤ s ≤ u ≤ t, mọi x ∈ R vàmọi A ∈ BR thì hàm chuyển thỏa mãn điều kiện:

P (x, s; t, A) =

∫P (x, s; u, dy)P (y, u; t, A) (C −K)

Điều kiện (C −K) được gọi là phương trình Chapman-Kolmogorov.

1.5.3 Chú ý

(a) Hai quá trình Markov điển hình là chuyển động Brown và quá trình Poisson.

(b) Quá trình Lévy (quá trình có số gia độc lập và dừng) là một quá trìnhMarkov.

(c) Một quá trình Markov cũng có thể là một quá trình Gauss hoặc có thểkhông. Khi một quá trình vừa là Gauss vừa là Markov thì người ta gọi đó làmột quá trình Gauss-Markov. Chuyển động Brown là một quá trình Gauss-Markov. Nhưng quá trình Poisson tuy là Markov nhưng không phải là Gauss.Một quá trình Gauss qui tâm với hàm tương quan cho bởi

R (t, s) =1

2

(|t|α + |s|α − |t− s|α

)(0 ≤ α ≤ 2)

nói chung không phải là một qua trình Markov (với α 6= 1). Người ta gọi đó làmột chuyển động Brown phân thứ, nó mô tả những quá trình có trí nhớ lâu dài.Ngoài ra, ta cũng biết rằng các quá trình Xt = |Wt| và Xt = eWt (với Wt là chuyểnđộng Brown thường) không phải là các quá trình Gauss nhưng là Markov; trong

khi đó thì quá trình Xt =t∫0

Wsds tuy không phải là Markov nhưng lại là một

quá trình Gauss.

22

Chương 2

TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN

VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

NGẪU NHIÊN

Tích phân ngẫu nhiên và Phương trình vi phân ngẫu nhiên là những yếu tố

cơ bản cấu thành môn Giải tích ngẫu nhiên. Chương này nói về tích phân ngẫu

nhiên Itô và tích phân ngẫu nhiên Stratonovich, định nghĩa Phương trình vi phân

ngẫu nhiên và lời giải, định lý tồn tại duy nhất lời giải cùng một vài ví dụ minh

họa.

Phần I

TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN

2.1 Tích phân Ito

2.1.1 Mục đích

Ta biết rằng một hàm thực F (t) được gọi là có biến phân giới nội (hay còngọi là biến phân hữu hạn) trên đoạn [a, b] nếu tồn tại một hằng số C sao cho với

23

CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊNVÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN

mọi phân hoạch của đoạn ấy a = t0 < t1 < ... < tn = b thì có bất đẳng thứcn∑

k=1

|F (tk)− F (tk−1)| ≤ C

Ngoài ra, ta cũng biết rằng, muốn xây dựng tích phânb∫a

f (t) dF (t) trong Giải

tích toán học, ta phải luôn luôn giả thiết rằng F (t) có biến phân giới nội trên[a, b].

Bây giờ, cho Wt là một chuyển động Brown và xét một quỹ đạo của nó t→Wt,(Ta hiểu một quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên W (t, ω) như là hàm một biếnt→Wt khi ta cố định một yếu tố ngẫu nhiên ω; mỗi ω ∈ Ω cho ta một quỹ đạo,tức một hàm thực của t).

Nhiều bài toán dẫn đến nhu cầu phải tính toán một loại tích phân có dạngtạm ký hiệu là

I =

b∫

a

f (t, ω) dWt

trong đó f (t, ω) là một quá trình ngẫu nhiên nào đó, còn Wt là chuyển độngBrown nói trên. Thế nhưng, hầu hết các quỹ đạo Wt của chuyển động BrownW(t,ω) đều không có biến phân giới nội trên [a, b]. Do đó không thể xây dựng

tích phânb∫a

f (t, ω) dWt như đã làm trong Giải tích toán học được. Năm 1941,

nhà toán học Nhật Kyushu Itô đã đưa ra một cách xây dựng tích phân dựa trênnguyên tắc ánh xạ đẳng cự. Tích phân đó mang tên ông.

2.1.2 Định nghĩa tích phân Itô

Cho f(t, ω) là một quá trình ngẫu nhiên sao cho E[f2 (t, ω)

]< ∞ với mọi t

và Wt là một chuyển động Brown tiêu chuẩn (một chiều), tất cả quỹ đạo của fvà của W là xác định trên đoạn a ≤ t ≤ b.

Xét một phân hoạch của đoạn [a, b]:

a = t0 < t1 < ... < tn = b

và lập tổng tích phân

Sn (ω) =

n−1∑

i=0

f (ti, ω) [W (ti+1, ω)−W(ti, ω)]

24


trong đó f(ti, ω) là giá trị của f(t, ω) tại đúng đầu mút bên trái của đoạn nhỏti, ti+1 và không thể thay thế f(ti, ω) bằng giá trị f(si, ω) tại một điểm si bất kỳthuộc đoạn ti, ti+1 như vẫn làm trong định nghĩa tích phân tất định được.

Ta làm mịn phân hoạch của đoạn [a, b], tức là xét các phân hoạch mau dầnsao cho mỗi khoảng ti, ti+1 đều thu nhỏ dần: max

0≤i≤n−1|ti+1 − ti| → 0

Khi đó, nếu tồn tại một biến ngẫu nhiên S∗(ω) sao cho

E |Sn (ω)− S∗ (ω)|2 → 0 khi n→ ∞

thì S∗(ω) được gọi là tích phân Itô của quá trình f(t, ω) trên đoạn [a, b] và kýhiệu là

I =

b∫

a

f (t, ω) dWt

. Giới hạn S∗ (ω) nói trên chính là giới hạn theo nghĩa bình phương trung bìnhcủa Sn (ω) và thường kí hiệu là

l.i.m.n→∞

Sn (ω) (l.i.m. = limit in mean: giới hạn theo trung bình).

Điều đó có nghĩa là Sn → S∗ trong L2(Ω,F , P ) khi n→ ∞.

Vậy ta có:

Định nghĩa

Tích phân Itô của quá trình ngẫu nhiên f(t, ω) là giới hạn theo nghĩa bìnhphương trung bình sau đây nếu nó tồn tại:

I =

b∫

a

f (t, ω) dWt = l.i.m.max|ti+1−ti|→0

∑f (ti, ω) [Wti+1

−Wti]

Chú ý:

(a) Nếu trong tích phân trên, ta đặt a = 0 và b = t > 0 thì ta có tích phân

Itôt∫0

f (s, ω) dWs phụ thuộc vào cận trên là t và từ nay, ta chỉ xét tích phân này.

25


(b) Những quá trình ngẫu nhiên f(t, ω) nào thì có tích phân Itô? Người tađã chứng minh được rằng đó là các quá trình f(t, ω) thỏa mãn các điều kiện sauđây:

(i) Đo được đối với σ-trường tích B[0,t] × F và thích nghi đối với Ft = FWt ,

trong đó B[0,t] là σ-trường Borel trên [0, t] và FWt là σ-trường sinh bởi chuyển

động Brown Wt đã cho.

(ii) Eb∫a

f2 (t, ω) dt <∞,b∫a

f2 (t, ω) dt ∈ L1(Ω,F , P ).

Ngoài ra, nếu kí hiệu G là σ-trường sinh ra bởi các quá trình liên tục tráithì mỗi g đo được đối với G được gọi là một quá trình khả đoán. và người tacũng chứng minh rằng, với mọi quá trình f(t, ω) thỏa mãn 2 điều kiện (i) và(ii) nói trên thì bao giờ cũng tồn tại một quá trình khả đoán g(t, ω) sao chof(t, ω) = g(t, ω) hầu khắp nơi đối với độ đo tích dt× dP .

Các tính chất quan trọng của tích phân Itô

(a) Et∫0

f (s, ω) dWs = 0, t ∈ [a, b]

(b) E

∣∣∣∣t∫0

f (s, ω) dWs

∣∣∣∣2

= E

[t∫0

f2 (s, ω) ds

](tính chất đẳng cự)

(c) Bản thân tích phân Itô Xt =t∫0

f (s, ω) dWs là một Martingale đối với σ-

trường FWt .

2.1.3 Vi phân ngẫu nhiên Itô và Công thức Itô

Vi phân Itô

Giả sử rằng X = (Xt, t ≥ 0) là một quá trình ngẫu nhiên sao cho:

(a) Hầu hết các quỹ đạo t→ Xt là liên tục.

(b) Hầu chắc chắn Xt có biểu diễn:

Xt = X0 +

t∫

0

h (s, ω) ds+

t∫

0

f (s, ω) dWs (∗)

26


trong đó h và f là các quá trình ngẫu nhiên đo được dần sao cho các tích phântrong biểu diễn tồn tại thì ta nói rằngX là một quá trình Itô và có vi phân Itô dX.

Vi phân Itô dX là một biểu thức hình thức được viết như sau:

dXt = h (t, ω) dt+ f (t, ω) dWt (∗∗)

haydX = hdt+ fdW

Khi ta viết ra một vi phân có dạng (∗∗), ta hiểu rằng điều đó có nghĩa là ta cóhệ thức (∗) hầu chắc chắn.

Công thức Itô

Công thức Itô thực chất là công thức đổi biến trong Giải tích ngẫu nhiên: Từmột quá trình ngẫu nhiên Itô (Xt) nếu ta biến đổi thành (Yt) với Yt = g(t, Xt)

thì vi phân dY sẽ tính ra sao. Công thức này rất cần thiết để tính tích phânngẫu nhiên, để thực hiên các phép biến đổi ngẫu nhiên và giải các phương trìnhvi phân ngẫu nhiên.

Định lý Cho X là một quá trình Itô với dX = hdt + fdW . Giả thử

g(t, x) : R2 → R

là một hàm hai biến khả vi liên tục theo biến thứ nhất t, hai lần khả vi liên tụctheo biến thứ hai x.

Khi đó quá trình ngẫu nhiên Yt = g(t, Xt) là một quá trình Itô có vi phân Itôcho bởi:

(I1) dYt =∂g∂t

(t, Xt) dt+∂g∂x

(t, Xt) dXt +12∂2g∂x2 (t, Xt) f

2 (t, ω) dt

Đó là công thức Itô có dạng tương đương sau:

(I2)

Yt = g (0, X0) +t∫0

∂g∂s

(s,Xs) ds+

+t∫0

∂g∂x (s,Xs) dXs +

12

t∫0

∂2g∂x2 (s,Xs) f

2 (s, ω) ds

27


Chú ý:

(a) Trong các công thức (I1) và (I2) thì dX coi như đã biết, và ta có thể thaydX = hdt + fdW .

(b) Trong khi thực hiện các tính toán trên các vi phân, ta có thể áp dụngcác qui ước sau:

dt.dt = 0, dt.dW = dW.dt = 0, dW.dW = dt.

2.1.4 Các thí dụ.

Thí dụ 1.

Tính tích phân I =t∫0

WsdWs

Chọn Xt =Wt và g(t, x) = x2. Khi đó:

Yt = g (t, Xt) = g (t,Wt) = W2t

g (t, x) = x2 ⇒ ∂g∂t = 0, ∂g∂x = 2x, ∂

2g∂x2 = 2

.

Ngoài ra, vì Xt =Wt =t∫0

1.dWs cho nên f ở đây bằng 1. Áp dụng công thức Itô

(I2) ta được

Yt = W2t =

t∫

0

2WsdWs +1

2

t∫

0

2.ds = 2

t∫

0

WsdWs + t.

Do đót∫

0

WsdWs =1

2W2

t −t

2.

Thí dụ 2.

Tính tích phân I =t∫0

f (s) dWs trong đó f là một hàm tất định, khả vi cấp 1.

Chon g(t, x) = f(t).x, do đó Yt = f(t)Xt = f(t)Wt.

∂g

∂t= f

′

(t) x,∂g

∂x= f (t) ,

∂2g

∂x2= 0.

28


Theo công thức Itô (I1), ta có

dYt = f′

(t)Xtdt+ f (t) dXt + 0

hay làd [f (t)Wt] = Wtdf (t) + f (t) dWt.

Vậyt∫

0

f (s) dWs = f (t)Wt −t∫

0

Wsdf (s).

Đó là công thức tích phân từng phần của tích phân ngẫu nhiên Itô trong trườnghợp hàm dưới dấu tích phân là tất định.

Chú ý rằng, theo giả thiết f là khả vi nên nó có biến phân giới nội trên đoạn

[0, t] và do đó tích phânt∫0

Wsdf (s) là có nghĩa.

• Trong trường hợp tổng quát, nếu f(t, ω) là một quá trình ngẫu nhiên với quỹđạo có biến phân giới nội, thì ta có công thức tich phân từng phần sau:

t∫

0

f (s,ω) dWs = f (t, ω)Wt −t∫

0

Wsdf (s)− [f,W]t

trong đó [f,W]t là một quá trình ngẫu nhiên được xác định bởi:

[f,W]t = giới hạn theo xác suất của một tổng Sn(f,W )

trong đó

Sn (f,W) =

n−1∑

k=0

[f (tk+1)− f (tk)][Wtk+1

−Wtk

],

với mọi phân hoạch 0 = t0 < t1 < ... < tn = t, Khi mà max0≤k≤n−1

|tk+1 − tk| → 0.

[f,W ] được gọi là biến phân bậc hai của quá trình f và W như ta sẽ định nghĩadưới đây, ở mục 2.2.2

2.2 Tích phân ngẫu nhiên Stratonovich

2.2.1 Khái niệm và định nghĩa

Với định nghĩa tích phân Itô nêu ở phần trên, thì giá trị của quá trình f trongtổng tích phân Sn lấy tại đầu một bên trái tk của mỗi đoạn nhỏ [tk, tk+1] của

29


phân hoạch 0 = t0 < t1 < ... < tn = t:

Sn =

n−1∑

k=0

f (tk)[Wtk+1

−Wtk

].

Bây giờ, thay vì cho đầu mút trái, ta chọn điểm chính giữatk + tk+1

2của mỗi

đoạn nhỏ đó, thì ta đi tới định nghĩa của một loại tích phân ngẫu nhiên mới,gọi là tích phân Stratonovich.

Định nghĩa

Tích phân Stratonovich được định nghĩa bởi giới hạn theo nghĩa bình phươngtrung bình của tổng Sn với

Sn =

n−1∑

k=0

f(tk + tk+1

2

) [Wtk+1

−Wtk

].

Khi max0≤k≤n−1

|tk+1 − tk| → 0, và kí hiệu bởi

t∫

0

f (s, ω) dWs

2.2.2 Biến phân bậc hai của hai quá trình ngẫu nhiên

Định nghĩa

Cho Xt và Yt là hai quá trình liên tục, xác định với t ≥ 0. Ta gọi biến phânbậc hai của hai quá trình ấy và ký hiệu là [X, Y ] là một quá trình ngẫu nhiênxác định bởi một giới hạn hầu chắc chắn sau đây, nếu nó tồn tại:

[X, Y ]th.c.c= lim

max|tk+1−tk|→0

n−1∑

k=0

(Xtk+1

−Xtk

) (Ytk+1

− Ytk)

với mọi phân hoạch 0 = t0 < t1 < ... < tn = t.

Nếu X = Y thì ta dùng kí hiệu [X,X ] = [X ].

Tính chất

(a) [X, Y ]0 = 0

30


(b) [X, Y ] = [Y,X ]

(c) [a1X1 + a2X2, Y ] = a1[X1, Y ] + a2[X2, Y ].

Biến phân bậc hai của một số quá trình

(a) Nếu W là một chuyển động Brown tiêu chuẩn thì [W ]t = t.

(b) NếuX là một quá trình Poisson tiêu chuẩn thì martingale Poisson Yt = Xt−tcó biến phân bậc hai là [Y ]t = t.

(c) Nếu X và Y là hai quá trình Itô cho bởi:

X = X0 +t∫0

h1 (s, ω) ds+t∫0

f1 (s, ω) dWs,

Y = Y0 +t∫0

h2 (s, ω) ds+t∫0

f2 (s, ω) dWs

thì

[X, Y ]t =

t∫

0

f1 (s, ω) f2 (s, ω) ds.

Liên hệ giữa tích phân Stratonovich và tích phân Itô

t∫

0

f (s, ω) dWs =

t∫

0

f (s, ω) dWs +1

2[f,W]t .

Công thức kiểu Newton-Leibnitz đối với tích phân Stratonovich

Giả sử h(x) là một hàm một biến khả vi liên tục với nguyên hàm là U(x) thìngười ta có thể chứng minh được công thức

t∫

t0

h (Ws) dWs = U (Wt)− U (Wt0) .

(Thực ra, cả hai vế đều bằngt∫

t0

h (Ws) dWs +12

t∫t0

h′

(Ws) ds).

31


Do công thức trên, có thể áp dụng được các quy ước của tích phân xác địnhtrong Giải tích cổ điển cho tích phân Stratonovich, chẳng hạn

t∫0

Ws dWs =12W

2t

t∫0

eWs dWs = eWt − 1, ...

Cũng như vậy, đôi khi việc tính một tích phân Itô sẽ trở nên dễ dàng hơn nếuta chuyển sang tích phân Stratonovich, thí dụ:

t∫

0

WsdWs =

t∫

0

Ws dWs − [W,W]t =1

2W2

t − t

Phần II

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN

2.3 Định nghĩa phương trình và lời giải

Xét một hệ thức vi phân ngẫu nhiên

dXt = b (t, Xt) dt+ σ (t, Xt) dWt (2.3.1)

trong đó b(t, x) và σ(t, x) là những hàm hai biến đo được: [0, T ]× R → R, Wt làchuyển động Brown tiêu chuẩn. Nếu xem Xt là một quá trình ngẫu nhiên phảitìm, thì hệ thức (2.3.1) được gọi là một phương trình vi phân ngẫu nhiên.

• Một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt(ω), t ∈ [0, T ]) được gọi là một lời giải củaphương trình (2.3.1) với điều kiện ban đầu

X0 = Z, (2.3.2)

trong đó Z là một biến ngẫu nhiên cho trước, độc lập với W = (Wt, t ≥ 0) saocho E(Z2) <∞, nếu X thỏa mãn các giả thiết sau:

(i) Xt là thích nghi với Ft = FWt = σ(Ws, s ≤ t), và là đo được đối với

σ-trường tích B[0,T ] × Ft,

32


(ii) Et∫0

X2t dt <∞, ∀t ∈ [0, T ] .

(iii) Xt thỏa mãn các hệ thức (2.3.1) và (2.3.2).

• Giả thử X = (Xt, t ∈ [0, T ]) là một lời giải của phương trình (2.3.1)-(2.3.2).Ta nói rằng lời giải đó là duy nhất nếu điều sau đây được thực hiện:

Giả thử có một quá trình Y = (Yt, t ∈ [0, T ]) cũng là một lời giải của phươngtrình trên thì khi đó

P

sup

0≤t≤T

|Xt − Yt| = 0

= 1. (2.3.3)

2.4 Định lý tồn tại và duy nhất

Nếu tồn tại một hằng số K > 0 sao cho với mọi t ∈ [0, T ] với mọi x, y ∈ R saocho

|b (t, x)− b (t, y)|+ |σ (t, x)− σ (t, y)| ≤ K |x− y| (2.4.1)

|b (t, x)|2 + |σ (t, x)|2 ≤ K2(1 + |x|2

)(2.4.2)

hay với hằng số C > 0 ta có:

|b (t, x)|+ |σ (t, x)| ≤ C (1 + |x|)

thì khi đó tồn tại một lời giải X = (Xt, t ∈ [0, T ]) của phương trình (2.3.1) vớiđiều kiện ban đầu (2.3.2) và lời giải đó là duy nhất theo nghĩa (2.3.3).

2.4.1 Sự duy nhất

Sự duy nhất sẽ được chứng minh dựa vào sự đẳng cự Itô và Điều kiện Lipschitz(2.4.1). Giả thử

X1(t, ω) = Xt(ω)

vàX2 (t, ω) = Xt (ω)

là lời giải với các điều kiện ban đầu Z và Z, tức là

X1(0, ω) = Z(ω), X2(0, ω) = Z(ω), ω ∈ Ω.

33


Thực ra ở đây ta chỉ cần tới trường hợp Z = Z nhưng ta sẽ đưa vào một ướclượng tổng quát hơn sau đây, sẽ có ích về sau, liên quan tới tính liên tục Feller.

Đặt a(s, ω) = b(s,Xs)− b(s, Xs) và γ(s, ω) = σ(s,Xs)− σ(s, Xs). Khi đó ta có:

E

[∣∣∣Xt − Xt

∣∣∣2]= E

[(Z − Z +

t∫0

ads+t∫0

γdWs

)2]

≤ 3E

[∣∣∣Z − Z∣∣∣2]+ 3E

[(t∫0

ads

)2]+ 3E

[(t∫0

γdWs

)2]

(do bất đẳng thức Cauchy)

≤ 3E

[∣∣∣Z − Z∣∣∣2]+ 3 (1 + t) .K2

t∫0

E∣∣∣Xs − Xs

∣∣∣2

ds

.

bởi vì: theo (2.4.1) |a|+ |γ| ≤ K.|X − X|, do đó a2 hoặcγ2 ≤ a2 + γ2 ≤ (|a|+ |γ|)2 ≤ K2.|Xs − Xs|2. Vậy hàm

v (t) = E

[∣∣∣Xt − Xt

∣∣∣2], 0 ≤ t ≤ T,

thỏa mãn

v (t) ≤ F + A.

t∫

0

v (s) ds,

trong đó

F = 3E∣∣∣Z − Z

∣∣∣2

và A = 3 (1 + T )K2.

Đặt ω (t) =t∫0

v (s) ds. Khi đó ω′

(t) ≤ F + A.ω(t). Do Đó, vì ω(0) = 0 nên

ω(t) ≤ F

A(eAt − 1). Theo bất đẳng thức tìm được ở trên v (t) ≤ F + A.ω(t), ta có

v(t) ≤ F. exp(At)

hay là

E∣∣∣Xt − Xt

∣∣∣2

≤ F.exp(At)

Bây giờ ta giả thiết rằng Z = Z. Khi đó F = 0 và do đó v(t) = 0 với mọi t ≥ 0.Từ đó ta có

P[∣∣∣Xt − Xt

∣∣∣ = 0 ∀t ∈ Q ∩ [0, T ]]= 1

trong đó Q là tập hợp các số hữu tỉ. Do tính liên tục hầu khắp nơi của ánh xạt→ |Xt − Xt| ta suy ra rằng

PXt (ω) = Xt (ω) ∀t ∈ [0, T ]

= 1

34


hayPXt (ω) = Xt (ω)∀t ∈ [0, T ]

= 1X1 (ω) = X2 (ω) h.c.c

2.4.2 Sự tồn tại

Ta sẽ chứng minh sự tồn tại lời giải của (2.3.1) theo một phương pháp tươngtự đối với phương trình vi phân thường, bằng cách dùng phép lặp Picard:

• Đầu tiên, ta định nghĩa: Y (0)t = X0 và Y (k)

t = Y(k)t (ω) một cách Quy nạp như

sau:

Y(k+1)t = X0 +

t∫

0

b(s, Y

(k)s

)ds+

t∫

0

σ(s, Y

(k)s

)dWs (1)

Khi đó, tính toán tương tự như đối với phần duy nhất ở trên, ta có :

E∣∣∣Y (k+1)

t − Y(k)t

∣∣∣ ≤ (1 + T ) 3K2

t∫

0

E∣∣∣Y (k)

s − Y(k−1)s

∣∣∣2

ds (2)

với k ≥ 1, t ≤ T và

E∣∣∣Y (1)

t − Y(0)t

∣∣∣2

≤ 2C2t2(1 + EX2

0

)+ 2C2t

(1 + EX2

0

)

≤ 2C2T.t(1 + EX2

0

)+ 2C2t

(1 + EX2

0

)= A1t,

trong đó hằng số A1 chỉ phụ thuộc vào C, T và EX20 . Do đó, theo (2) ta có :

E∣∣∣Y (2)

t − Y(1)t

∣∣∣2

≤ (1 + T ) .3K2.

t∫

1

A1.tdt = (1 + T ) .3K2.A1︸︷︷︸A2

.t2

2!

Quy nạp theo k, ta có :

E∣∣∣Y (k+1)

t − Y(k)t

∣∣∣2

≤ Ak+12 .tk+1

(k + 1)!; k ≥ 0, t ∈ [0, T ] (3)

trong đó A2 là một hằng số chỉ phụ thuộc C,K, T và EX20 .

• Bây giờ, với mỗi ω cố định thuộc Ω, ta có

sup0≤t≤T

∣∣∣Y (k+1)t − Y

(k)t

∣∣∣ ≤t∫0

∣∣∣b(s, Y

(k)s

)− b(s, Y

(k−1)s

)∣∣∣ ds+

+ sup0≤t≤T

∣∣∣∣t∫0

[σ(s, Y

(k)s

)− σ

(s, Y

(k−1)s

)]dWs

∣∣∣∣

35


Theo Bất đẳng thức Martingale của Doob

P

(sup

0≤t≤T

|Mt| ≥ λ

)≤ 1

λpE |Mt|p

thì ta có

P

(sup

0≤t≤T

∣∣∣Y (k+1)t − Y

(k)t

∣∣∣ ≥ 2−k

)≤

≤ P

[T∫0

(b(s, Y

(k)s

)− b(s, Y

(k−1)s

))ds

]2>(

12k+1

)2

+

+P

sup0≤t≤T

∣∣∣∣∣∣

t∫

0

[σ(s, Y

(k)s

)− σ

(s, Y

(k−1)s

)]dWs

∣∣∣∣∣∣︸︷︷︸

martingale

> 12k+1

≤

≤ 22k+2.T.T∫0

E∣∣∣b(s, Y

(k)s

)− b(s, Y

(k−1)s

)∣∣∣2

ds+

+22k+2.T∫0

E∣∣∣σ(s, Y

(k)s

)− σ

(s, Y

(k−1)s

)∣∣∣2

ds ≤

≤ 22k+2.K2 (T + 1)T∫0

Ak2t

k

k! dt ≤

≤ (4A2T )k+1

(k+1)! nếu A2 ≥ 4K2 (T + 1)

Do đó, theo bổ đề Borel-Cantelli, ta có

P

(sup

0≤t≤T

∣∣∣Y (k+1)t − Y

(k)t

∣∣∣ > 1

2kvới vô số k

)= 0

Vậy với hầu hết ω, tồn tại một k0 = k0(ω) sao cho

sup0≤t≤T

∣∣∣Y (k+1)t − Y

(k)t

∣∣∣ < 1

2kvớik > k0(ω)

Do đó dãy

Y(n)t (ω) = Y

(0)t (ω) +

n−1∑

k=0

[Y

(k+1)t (ω)− Y

(k)t (ω)

]

hội tụ đều với hầu hết mọi ω (hội tụ đều h.k.n.). Ký hiệu giới hạn đó bởiXt = Xt(ω). Khi đó :

Xt

là t - liên tục với hầu hết ω bởi vì Y n

t là t - liên tục h.k.n ∀nlà Ft − đo được ∀t, vì Y n

t là Ft − đo được ∀t, ∀n.

36


• Giới hạn trong không gian đủ L2(P ):

Cho m > n ≥ 0 là các số nguyên. Theo (3) ta có :

E

(∣∣∣Y (m)t − Y

(n)t

∣∣∣2)

=∥∥∥Y (m)

t − Y(n)t

∥∥∥2

L2(P )

=

[∥∥∥∥m−1∑k=n

[Y

(k+1)t − Y

(k)t

]∥∥∥∥L2(P )

]2

≤[m−1∑k=n

∥∥∥Y (k+1)t − Y

(k)t

∥∥∥L2(P )

]2

=

[m−1∑k=n

E

(∣∣∣Y (k+1)t − Y

(k)t

∣∣∣2) 1

2

]2

≤( ∞∑

k=n

(A2T )k+1

(k+1)!

)→ 0 khi n→ ∞

Do đóY

(n)t

hội tụ trong L2(P ) đến một giới hạn mà ta ký hiệu là

Yt : Y(n)t

L2(P )→n→∞

Yt. Vậy tồn tại một dãy con củaY

(n)t (ω)

hội tụ theo từng điểm

đến Yt(ω), tức là |Y (n)t (ω) − Yt(ω)| → 0, và do đó ta phải có Yt = Xt hầu chắc

chắn.

• Việc còn lại là phải chứng minh rằng Yt thỏa mãn phương trình vi phân(2.3.1) đã cho :

Với mọi n, ta có

Y(n+1)t = X0 +

t∫

0

b(s, Y

(n)s

)ds+

t∫

0

σ(s, Y

(n)s

)dWs (4)

-Ta đã có Y (n+1)t → Xt khi n→ ∞ và sự hội tụ là đều theo t ∈ [0, T ] với hầu hết

ω. Theo (4) và bổ đề Fatou ta có

E

T∫

0

∣∣∣Xt − Y(n)t

∣∣∣2

dt

≤ lim sup

m→∞E

T∫

0

∣∣∣Y (m)t − Y

(n)t

∣∣∣2

dt→ 0(n→ ∞)

-Ta chứng minh

A ≡t∫

0

σ(s, Y

(n)s

)dWs

L2(P )→t∫

0

σ (s,Xs) dWs := W

37


Thực vậy:

‖A−W‖2L2(P ) = E

[(t∫0

(σ(s, Y

(n)s

)− σ (s,Xs)

)dWs

)2]=

= Et∫0

∣∣∣σ(s, Y

(n)s

)− σ (s,Xs)

∣∣∣2

ds.

theo phép đẳng cự Itô :

E

∣∣∣∣∣∣

t∫

0

f (s, ω) dWs

∣∣∣∣∣∣

2

= E

t∫

0

|f (s, ω)|2 ds

ma ta lại có Y ns hội tụ đều tới Xs hầu chắc chắn do đó vế trái → 0.

-Ta cũng cót∫

0

b(s, Y

(n)s

)ds

L2(P )→t∫

0

b (s,Xs) ds

vì theo bất đẳng thức Holder(∫

fg)2 ≤

∫f2g2 áp dụng cho g = 1:(

t∫0

f

)2

≤ tt∫0

f2, ở đây ta có :

∣∣∣∣∣∣

t∫

0

(b(s, Y

(n)s

)− b (s,Xs)

)ds

∣∣∣∣∣∣

2

≤ t.

t∫

0

∣∣∣b(s, Y

(n)s

)− b (s,Xs)

∣∣∣2

ds

cho nên

E

∣∣∣∣∣∣

t∫

0

(b(s, Y

(n)s

)− b (s,Xs)

)ds

∣∣∣∣∣∣

2

≤ t.E

t∫

0

∣∣∣∣∣∣∣∣b(s, Y

(n)s

)− b (s,Xs)

︸︷︷︸dần đến 0

∣∣∣∣∣∣∣∣

2

ds

Do đó, qua giới hạn trong L2(P ) cả hai vế của (4), ta nhận thấy Xt thỏa mãnphương trình (2.3.1) với điều kiện ban đầu (2.3.2) đã cho

dXt = b (t, Xt) dt+ σ (t, Xt) dWt,

X0 = Z(PT )

Điều đó hoàn tất chứng minh Định lý Tồn tại và Duy nhất lời giải của phươngtrình vi phân ngẫu nhiên.

38


2.5 Tính Markov của lời giải

Lời giải của một phương trình vi phân ngẫu nhiên nói trên bao giờ cũng làmột quá trình Markov. Điều đó được khẳng định bởi Định lý sau đây

Định lý

Giả thử X = Xt là một quá trình ngẫu nhiên thỏa mãn phương trình

dXt = b (t, Xt) dt+ σ (t, Xt) dWt (2.3.1)

trong đó các hệ số b (t, x) và σ (t, x) thỏa mãn các điều kiện tồn tại và duy nhấtlời giải như đã nêu trong Định lý trên.

Khi đó X = Xt là một quá trình Markov mà xác suất chuyển xác định bởi

P(x, s; t,A) = PXxs (t) ∈ A

trong đó Xxs (t) là lời giải của phương trình (2.3.1) với điều kiện ban đầu x lấy

tại một thời điểm ban đầu s < t, tức là Xs = x; nói cách khác Xxs (t) là lời giải

duy nhất của phương trình

Xxs (t) = x+

t∫

s

b (u,Xxs (u)) du+

t∫

s

σ (u,Xxs (u)) dWu

Chú ý:

(a) Theo định nghĩa, bất kỳ một lời giải nào của phương trình (2.3.1) đều làmột quá trình thích nghi với FW

t = σ(Ws, s ≤ t).

(b) Phương trình (2.3.1) có thể xem như một sự mô tả các diễn biến của mộthệ động lực với trạng thái của hệ là (Xt). Người ta hay nói rằng hệ động lực nàybị chi phối, bị không chế, hay bị lái (driven) bởi chuyển động Brown Wt, trongđó hệ số b(t, Xt) được gọi là độ dịch chuyển (drift), và hệ số σ(t, Xt) được gọi làđộ biến động (volatility) của hệ.

(c) Không phải là lời giải của bất cứ phương trình vi phân ngẫu nhiên nàocũng là một quá trình khuếch tán.

39


(d) Một điều rất quan trọng trong thực hành kỹ thuật toán tài chính là : làmsao để lời giải của một phương trình vi phân ngẫu nhiên nào đó phải là mộtmartingale. Và người ta có kết quả quan trọng sau đây:

Định lý. Giả thử (Xt) là lời giải của phương trình vi phân ngẫu nhiên

dX = b (t, X) dt+ σ (t, X) dW,

trong đó σ (t, x) là liên tục và

E

T∫

0

σ2 (t, X) dt <∞

Khi đó, quá trình (Xt) là một martingale nếu và chỉ nếu độ dịch chuyển bằng 0,tức là b (t, x) ≡ 0.

40

Chương 3

VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ

TRƯỜNG TÀI CHÍNH

Chương này trình bày về các quá trình giá tài sản tài chính như là các quá

trình ngẫu nhiên. Các khái niệm độ chênh thị giá, thị trường đầy đủ và phương

pháp định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá, các hợp đồng tài chính và đặc

biệt đề cập đến mô hình quyền chọn Black-Scholes.

Phần I

QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

VÀ THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH

3.1 Phương án đầu tư

Từ nay ta quy các tài sản cơ bản vào hai loại chính là cổ phiếu và trái phiếuvà gọi chung là chứng khoán cơ bản.Với mỗi chứng khoán S (Security), ta xem giá của nó là một quá trình ngẫunhiên S (t) trên một không gian xác suất có lọc (Ω,F , (Ft) , P ), trong đó Ft làmột họ các σ−trường thể hiện một luồng thông tin của thị trường.

41

CHƯƠNG 3. VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH

3.1.1 Phương án đầu tư, Phương án mua và bán

Phương án đầu tư

Một phương án đầu tư là tổ hợp của một số hữu hạn các chứng khoán vớicác trọng số nào đấy. Giả sử có n chứng khoán với giá trị tại thời điểm t là:S1(t), S2(t), ..., Sn(t). Một phương án đầu tư là một cách chọn ra α1(t) chứngkhoán S1(t), ..., αn(t) chứng khoán Sn(t) tại mỗi thời điểm t để đầu tư. Vậy giátrị của phương án ấy tại thời điểm t, ký hiệu bởi V α(t) được xác định bởi

V α (t) = α1 (t)S1 (t) + ...+ αn (t)Sn (t) =

n∑

i=1

αi (t)Si (t) (3.1.1)

Vì giá chứng khoán S1(t), S2(t), ..., Sn(t) là các quá trình ngẫu nhiên, nên giá củaphương án đầu tư cũng là một quá trình ngẫu nhiên. Các αi (t) ở đây là các hàmsố tất định của t. Một phương án đầu tư có thể ký hiệu là (α, S).

Phương án đầu tư cũng còn được gọi là danh mục đầu tư hoặc chiến lược đầutư hoặc chiến lược buôn bán, và cũng ký hiệu là φ = (α, S)

Phương án mua và bán

Một phương án đầu tư (α, S) được gọi là phương án bán đối với chứng khoánSi(i = 1, ...., n) tại thời điểm t nếu αi(t) > 0

Và được gọi là phương án mua đối với chứng khoán ấy nếu αi(t) < 0.

Giá của chứng khoán Si tại thời điểm t được ký hiệu là Si(t)

3.1.2 Cân đối lại và phương án tự tài trợ (Self-financial portfolio)

(a) Tại một thời điểm t, phương án đầu tư có thể được cân đối lại, tức là điềuchỉnh lại việc mua và bán các chứng khoán Si(1 ≤ i ≤ n). Điều đó cũng có nghĩalà thay đổi các trọng số của chúng từ α1(t), ..., αn(t) sang β1(t), ..., βn(t).

(b) Nếu sau sự cân đối lại đó mà giá của phương án đầu tư không thay đổi,tức là:

β1(t)S1(t) + ... + βn(t)Sn(t) = α1(t)S1(t) + ...+ αn(t)Sn(t) (3.1.2)

thì ta gọi sự cân đối đó là sự cân đối tự tài trợ (self-financing).Vậy một sự điềuchỉnh tự tại trợ tại một thời điểm t của phương án đầu tư không làm tăng hoặc

42


giảm vốn đầu tư:

(α, S) → (β, S) ⇒ V β (t) = V α (t) , xét tại thời điểm t nào đó.

Nhận xét.

(a) Hệ thức (3.1.2) có thể được viết lại thànhn∑

i=1

[βi (t)− αi (t)]Si (t) = 0 (3.1.3)

Điều đó có nghĩa là, với phương án đầu tư tự tài trợ, muốn tăng đầu tư vào mộtsố chứng khoán nào đó thì phải giảm đầu tư các chứng khoán khác.

(b) Đặt βi (t)− αi (t) = ∆αi (t) thì (3.1.3 trở thànhn∑

i=1

Si (t)∆αi (t) = 0 (3.1.4)

hay viết dưới dạng vi phânn∑

i=1

Si (t) dαi (t) = 0 (3.1.5)

nếu các αi (t) là các hàm khả vi.

Mặt khác, do V α (t) =n∑

i=1

αi (t)Si (t) với αi (t) là các hàm số tất định, ta có vi

phân của V α (t) là

dV α (t) =

n∑

i=1

αi (t) dSi (t) +

n∑

i=1

Si (t) dαi (t) (3.1.6)

Kết hợp (3.1.5) và (3.1.6) ta có kết luận rằng:

Một phương án đầu tư (α, S) là một phương án tự tài trợ nếu và chỉ nếu

dV α (t) =

n∑

i=1

αi (t) dSi (t) (3.1.7)

Chú ý:

Trong các hệ thức trên, ta giả định là có đủ các điều kiện để cho các vi phândα, dS và dV α là tồn tại.

43


3.2 Cơ hội có độ chênh thị giá và nguyên lý AAO

Nói một cách trực quan, thì độ chênh thị giá biểu thị một khả năng có thểkiếm chác được từ một sự đầu tư ban đầu bằng không.


Xét một mô hình thị trường M gồm các chứng khoán S và một họ các phươngán đầu tư tự tài trợ Φ = φ = (α, S). Ta kí hiệu M = (S,Φ). Các giá chứng khoánSt trong S được xem là các quá trình ngẫu nhiên xét trong một không gian xácsuất có lọc (Ω,F , (Ft) , P ) , với Ft là một họ tăng các σ−trường con của F vàthỏa mãn điều kiện thông thường (tức là một họ tăng theo t, liên tục phải vàchứa mọi tập F−đo được và P−bỏ qua được, đồng thời F0 = Ω, ∅) theo địnhnghĩa. Họ (Ft) chính là luồng thông tin về thị trường, nó ghi nhận mọi biến cốxẩy ra trên thị trường. Các quá trình giá tài sản tài chính dều được giả thiết làthích nghi với luồng thông tin này, có nghĩa là, với mỗi t, giá đó đo được đối vớiFt.

Định nghĩa:

Một phương án đầu tư tự tài trợ φ ∈ Φ được gọi là một cơ hội có độ chênhthị giá nếu quá trình giá Vt(φ) của phương án đầu tư thỏa mãn các điều kiện:

(i) P V0(φ) = 0 = 1,

(ii) P Vt(φ) ≥ 0 = 1 và P VT (φ) > 0 > 0, T là thời điểm đáo hạn của hợpđồng.

Điều kiện (i) nói lên rằng hầu chắc chắn tại thời điểm ban đầu, vốn đầu tưbằng không; điều kiên (ii) có nghĩa là hầu chắc chắn đén lúc kết thúc hợp đồng,phương án đầu tư có lợi nhuận ≥ 0 và rằng có khả năng kiếm lời thực sự tạithời điểm kết thúc hợp đồng. Cả hai điều kiện có nghĩa là phương án φ là mộtphương án tay không mà kiếm được lợi nhuận. Cơ hội có độ chênh thị giá đôikhi cũng nói gọn là cơ hội chênh thị giá.

44


3.2.2 Nguyên lý AAO

Ta nói rằng thị trường M = (S,Φ) là một thị trường không có độ chênh thịgiá, nếu không tồn tại một phương án đầu tư tự tài trợ nào trong Φ mà là cóđộ chênh thị giá.

Giả thiết "không có độ chênh thị giá" gọi là nguyên lý AAO (Absence ofArbitrage Opportunity).

3.2.3 Phái sinh kiểu Châu Âu và Châu Mỹ

Gọi X là một biến ngẫu nhiên bất kỳ Ft− đo được. Một hợp đồng tài chínhchỉ thực thi tại thời điểm đáo hạn T với giá trị là XT được gọi là một tài sảnphái sinh kiểu châu Âu và được ký hiệu là X. Nếu có thể thực thi tại mọi thờiđiểm t ≤ T thì hợp đồng ấy gọi là phái sinh kiểu châu Mỹ.

Tài sản phái sinh châu Âu cũng được gọi là một quyền tài chính châu Âu.Nếu không nói gì thêm, từ nay ta sẽ gọi tắt đó là một phái sinh, hay một quyền.

3.3 Nguyên lý đáp ứng và thị trường đầy đủ

3.3.1 Chiến lược đáp ứng (Replicating Strategy)

Một chiến lược đáp ứng đối với một phái sinh có giá trị đáo hạn XT tại thờiđiểm đáo hạn T là một phương án đầu tư tự tài trợ sao cho

VT (φ) = XT (R)

tức là sao cho giá trị lúc đáo hạn của phương án đầu tư ấy bằng đúng với giátrị đáo hạn XT đã định trước và đã ghi trong hợp đồng.

Quá trình giá Vt(φ) của phương án ấy (tức quá trình mà giá đáo hạn làVT (φ) = XT ) được gọi là quá trình đáp ứng. Ký hiệu ΦX là lớp tất cả các phươngán đầu tư φ đáp ứng cho phái sinh X.

Ý nghĩa của thuật ngữ đáp ứng (replication) cũng là ở chỗ đó. Trong hợpđồng phái sinh người ta đã định trước giá đáo hạn XT rồi, phương án đầu tư

45


phải được lựa chọn thế nào để giá trị cuối cùng phải đáp ứng được điều kiện(R). Điều kiện (R) được gọi là nguyên lý đáp ứng.

3.3.2 Phái sinh đạt được trong thị trường M.

Một tài sản phái sinh X được gọi là đạt được trong thị trường M nếu có ítnhất một phương án đáp ứng cho nó. Điều đó cũng có nghĩa là ΦX 6= 0.

3.3.3 Thị trường đầy đủ (Complete Market).

Một thị trường M được gọi là đầy đủ nếu mọi tài sản phái sinh X đều đạtđược trong M, hay nói một cách tương đương, nếu với mọi biến ngẫu nhiên X

đo được đối với FT thì tồn tại ít nhất một phương án đầu tư tự tài trợ φ ∈ Φ

sao cho VT (φ) = XT .

Nhận xét:

Nói chung, tính đầy đủ là một đòi hỏi khá cao của thị trường. Với đòi hỏinày, thì mọi tài sản phái sinh kiểu châu Âu đều có thể định giá bằng phươngpháp độ chênh thị giá và quá trình giá có thể xây dựng tương tự như xây dựngphương án tự tài trợ.

3.4 Định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá (Arbitage

Pricing)

Trong mục này ta giả thiết rằng X là một phái sinh thực thi tại thời điểmđáo hạn T.

3.4.1 Đáp ứng duy nhất và quá trình sở hữu.

Ta nói rằng phái sinh X được đáp ứng một cách duy nhất trong thị trườngM nếu tồn tại một quá trình đáp ứng duy nhất đối với X , tức là nếu ta có hệthức

Vt (φ) = Vt (ψ) ∀t ≤ T (3.4.1)

với hai phương án đầu tư bất kỳ φ và ψ thuộc về ΦX . Trong trường hợp này quátrình Vt (φ) được gọi là quá trình sở hữu của X trong M.

46


Sau đây là một khẳng định nói lên sự tương quan giữa nguyên lý không cóđộ chênh thị giá (AAO) và nguyên lý đáp ứng.

Định lý 3.4.1.1. Giả sử M là một thị trường không có độ chênh thị giá. Khi

đó mọi tài sản phái sinh đạt được X đều được đáp ứng duy nhất trong M.

Vậy nguyên lý AAO kéo theo tính đáp ứng duy nhất đối với mọi phái sinhđạt được.

3.4.2 Ý tưởng chính của việc định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá

Gọi là định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá nhưng thực chất là dựavào nguyên lý AAO (không có độ chênh thị giá) và nguyên lý đáp ứng để tínhra giá của một tài sản phái sinh tại một thời điểm t trước lúc đáo hạn T, đặcbiệt là tính ra được giá ban đầu V0 (tức hiện giá) của phương án cần đầu tư đểdạt được giá trị đáo hạn X đặt ra trước của hợp đồng. Công cụ để thực hiệnphương án này là một độ đo xác suất mới mà ta sẽ gọi là xác suất trung hòa rủiro hay độ đo martingale mà ta sẽ giải thích kỹ ở mục 3.5. Vì thế phương phápnày cũng gọi là phương pháp trung hòa rủi ro.

Giả sử Vt là giá của một phương án đầu tư tại một thời điểm t nhằm thựchiện một hợp đồng phái sinh có giá đáo hạn là X. Đó là một quá trình ngẫunhiên xét trên một không gian có lọc (Ω,F , (Ft) , P ), trong đó (Ft) là luồng thôngtin của thị trường với F0 = Ω, ∅ và P là xác suất ban đầu’

Nói chung, dưới độ đo ban đầu P thì (Vt) không phải là một martingale đốivới Ft. Người ta đi tìm một độ đo xác suất mới Q và một hệ số tất định k(t) saocho

(a) Q tương đương với độ đo xác suất cũ P.

(b) Dưới độ đo Q thì quá trình Vt = k (t) Vt là một martingale đối với luồngthông tin thị trường Ft, tức là

EQ

(Vt|Fs

)= Vs với mọi s ≤ t (3.4.2)

trong đó EQ là ký hiệu kỳ vọng lấy theo độ đo xác suất mới Q. Đặc biệt, nếuta lấy s = 0 (thời điểm ban đầu) và t = T (thời điểm đáo hạn), thì hệ thức trên

47


cho ta:EQ

(VT |F0

)= V0 (3.4.3)

nhưng vì F0 = Ω, ∅ nên E (.|F0) = EQ (.), tức là kỳ vọng có điều kiện F0 cũngnhư không điều kiện. Vậy ta có

EQ

(VT

)= V0 (3.4.4)

hayEQ (k (T )VT ) = k (0) V0. (3.4.5)

Vì k(t) là một hàm tất định nên ta rút ra

V0 =k (T )

k (0)EQ (VT ) (3.4.6)

Vì ta giả thiết có nguyên lý đáp ứng AAO nên theo định lý 3.4.1.1, tồn tại mộtphương án đáp ứng φ với giá Vt = Vt(φ) sao cho VT = XT (XT là giá trị đáo hạnđịnh trước của hợp đồng). Cuối cùng ta có

V0 =k (T )

k (0)EQ (XT ) (3.4.7)

Hệ thức này cho ta biết cần đầu tư vốn ban đầu bằng V0 như trên để đạt đượcgiá trị của hợp đồng bằng XT như mong muốn, V0 chính là hiện giá của hợpđồng. Ngoài ra, ta cũng biết được giá của hợp đồng phái sinh tại một thời điểmt bất kỳ, 0 ≤ t ≤ T :

Vt =k (T )

k (t)EQ (XT ) (3.4.8)

theo một cách suy diễn tương tự như trên.

Hệ số k(t) ở đây được gọi là hệ số chiết khấu hay hệ số tính lùi (discountedcoefficient) bởi vì nhờ nó ta có thể tính lùi giá của tài sản từ thời điểm đáo hạnT về giá tại các thời điểm trước đó. Trong trường hợp tổng quát, k(t) còn có thểlà một quá trình ngẫu nhiên nữa. Khi đó thì giá tính lùi Vt cho bởi công thức

Vt = EQ

(k (T, ω)

k (t, ω)XT |Ft

)(3.4.9)

Trên đây là ý tưởng chính của phương pháp độ chênh thị giá để định giá một tàisản (tức một hợp đồng) phái sinh kiểu châu Âu. Phương pháp này cũng đượcgọi là phương pháp trung hòa rủi ro.

Chi tiết hơn về phương pháp này sẽ được trình bày trong mục 3.4.3 tiếp theođây.

48


3.4.3 Xác suất trung hòa rủi ro hay độ đo martingale

Xét một tài sản phái sinh kiểu châu Âu (X) có giá đáo hạn là XT được viếttrên tài sản cơ sở S

S = (St, 0 ≤ t ≤ T ),

có thời gian đáo hạn là T.

Để đơn giản, giả thiết S là 1-chiều (tức một tài sản cơ sở, chẳng hạn một cổphiếu).

Giả thiết rằng các giá của S đều là một quá trình ngẫu nhiên trên một khônggian xác suất được lọc (Ω,F , (Ft) , P ) ,, trong đó (Ft) là bộ lọc mang thông tinvề thị trường.

Giả sử hệ số chiết khấu là k(t) =1

β(t), trong đó β(t) nói chung cũng có thể

là một quá trình ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất được lọc nóitrên. Thông thường người ta hay chọn β(t) = er(T−t), do đó hệ số chiết khấu làe−r(T−t); nếu lãi suất không có rủi ro thì r là tất định và hệ số chiết khấu là tấtđịnh.

Định nghĩa

Một độ đo xác suất Q trên (Ω, |F) sẽ được gọi là xác suất trung hòa rủi ronếu

(a) Q tương đương với P, có nghĩa là Q(A) = 0 nếu và chỉ nếu P (A) = 0, vớiA ∈ F .

(b) Hầu chắc chắn là ta có

EQ

(Stβ (t)

|Fs

)=

Ssβ (s)

với mọi 0 ≤ s ≤ t ≤ T, (3.4.10)

trong đó EQ là kí hiệu kỳ vọng lấy theo xác suất Q, còn EQ(.|Fs) là kỳ vọng cóđiều kiện đối với Fs và theo xác suất Q.

49


Chú ý

(i) Tính chất (b) là một tính chất martingale của quá trình giá chiết khấu.Do đó xác suất Q cũng còn được gọi là độ đo martingale.

(ii) Giả thử Q là một độ đo martingale. Gọi Vt là quá trình giá của mộtchiến lược đầu tư tự tài trợ xây dựng trên tài sản cơ sở S. Người ta đã chứngminh được rằng khi đó quá trình giá đã chiết khấu

Vt =Vtβ(t)

(3.4.11)

cũng là một martingale đối vơi Q,Ft.

Nói riêng, khi đó ta có

V0β (0)

= EQ

[VTβ (T )

|F0

]. (3.4.12)

Nếu thị trường là đầy đủ thì giá của hợp đồng phái sinh (X) được đáp ứng bởimột chiến lược tự tài trợ sao cho VT = XT và do đó

V0 = β (0)EQ

[VTβ (T )

|F0

]. (3.4.13)

Vì σ− trường F0 chỉ gồm có hai tập ∅ và Φ cho nên kỳ vọng có điều kiện lấy đốivới F0 cũng là kỳ vọng thường không điều kiện

V0 = β (0)EQ

[VTβ (T )

]. (3.4.14)

Vậy nhờ có xác suất Q mà bây giờ hiện giá V0 được biểu diễn qua một lượng tấtđịnh (không còn ngẫu nhiên hay rủi ro nữa) cho nên xác suất Q được gọi là xácsuất trung hòa rủi ro là vì vậy. Cũng nhờ độ đo Q mà giá tài sản Vt biến thànhVt là một martingale cho nên Q cũng được gọi là độ đo martingale.

3.5 Các tài sản phái sinh (Derivatives)

Như ta đã biết , tài sản phái sinh là một gói gồm một số tài sản cơ sở (cổphiếu các loại, trái phiếu các loại hoặc một số đối tượng tài chính như giá trị lãisuất, tỷ gia hối đoái, ...) được ghi nhận trong một hợp đồng tài chính với nhữngđiều khoản về thực thi sự sở hữu gói tài sản đó. Người giữ hợp đồng đó là người

50


có quyền sở hữu gói tài sản đó. Quyền đó có thể mua đi bán lại trên thị trường,vì thế ta nói các hợp đồng đó là các giấy tờ có mệnh giá.

Các phái sinh chính gồm có: Các hợp đồng quyền chọn (options) các hợp đồngký kết trước (forwards), các hợp đồng tương lai (futures).

3.5.1 Quyền chọn mua (Call)

Đó là một bản hợp đồng ghi rõ ai sở hữu nó sẽ có quyền mua một gói chứngkhoán cơ sở (cổ phiếu, trái phiếu, ...) trong tương lai với một giá xác định trướcgọi là giá thực thi. Cái quyền này cho phép có thể mua mà không bắt buộc phảimua.

Các điều kiện của hợp đồng này là:

(a) Đến ngày đáo hạn của hợp đồng người giữ hợp đồng có thể trả cho ngườithảo hợp đồng số tiền bằng giá thực thi đã định trước ghi trong hợp đồng.

(b) Nếu người viết hợp đồng nhận số tiền đó thì bắt buộc phải giao gói tàisản đã ghi trong hợp đồng.

Chú ý

(i) Nếu đến ngày đáo hạn, gói tài sản có giá trị thị trường cao hơn giá thựcthi thì người giữ hợp đồng quyết định thực thi (để sau đó bán ngay kiếm lời);nếu giá thị trường lúc đó thấp hơn giá thực thi đã ghi trong hợp đồng, thì ngườigiữ hợp đồng có thể quyết định không thực thi.

(ii) Nếu việc thực thi quy định trong hợp đồng phải thực hiện vào đúngthời điểm đáo hạn T của hợp đồng thì Quyền chọn gọi là quyền chọn mua kiểuchâu Âu. Nếu có thể thực thi hợp đồng tại thời điểm t bất kỳ trước lúc đáo hạn(t ≤ T ) thì ta có quyền chọn kiểu Mỹ.

3.5.2 Quyền chọn bán (Put)

Cái quyền có thể mua được một cơ hội được phép bán một gói tài sản cơ bảntrong tương lai với một giá đảm bảo cố định trước (ngay cả khi mà người ta

51


không sở hữu bất kỳ một cổ phiếu nào cả), là nội dung của các hợp đồng cóquyền chọn bán.

Các điều kiện của hợp đồng quyền chọn bán là như sau:

(a) Đén ngày đáo hạn, người giữ hợp đồng này (tức là người mua hợp đồng)có thể đưa cho người viết hợp đồng (tức người bán hợp đồng) một gói chứngkhoán hoặc một số tiền tương đương theo giá thị trường lúc đó.

(b) Nếu người viết hợp đồng nhận gói chứng khoán hoặc số tiền tương đươngdo người giữ hợp đồng giao cho thì anh ta bắt buộc phải trả chi phí thực thicho người giữ hợp đồng vào ngày đáo hạn của hợp đồng.

Phần II

MÔ HÌNH BLACK-SCHOLES

3.6 Mô hình Black-Scholes

Ta bắt đầu bằng việc giải thích mô hình Black-Scholes là gì và dùng để giảiquyết những vấn đề gì.

3.6.1 Định nghĩa mô hình

Mô hình này được Fischer Black và Myron Scholes đưa ra đầu tiên năm 1973nhằm để định giá quyền chọn mua kiểu châu Âu, trong đó giả thiết quyền chọnđược xây dựng trên hai tài sản cơ sở là cổ phiếu S có giá tại thời điểm t là St

và một trái phiếu B có giá là Bt thỏa mãn các phương trình vi phân sau:

dSt = µStdt+ σStdWt (3.6.1)

dBt = rBtdt (3.6.2)

0 ≤ t ≤ T, T là thời điểm đáo hạntrong đó µ, σ và r là các hằng số dương.

52


Vấn đề dặt ra là, dưới một số tính chất của quyền chọn và của thị trường,hãy tính giá trị Vt của quyền chọn, 0 ≤ t ≤ T và đặ biệt là tính hiện giá V = V0

tại thời điểm ban đầu sao cho quyền chọn được đáp ứng.

Vậy mô hình Black-Scholes gồm có mấy yếu tố sau:

(i) Tài sản cơ sở là S và B thỏa mãn các phương trình (3.6.1)-(3.6.2).

(ii) Các giả thiết về chứng khoán và thị trường (sẽ nói sau).

(iii) Xây dựng công thức Black-Scholes để tính giá quyền chọn.

3.6.2 Giá cổ phiếu trong mô hình Black-Scholes

Ta nhân thấy quá trình ngẫu nhiên St thỏa mãn phương trình (3.6.1) chínhlà một chuyển động Brown hình học mà biểu thức hiển là:

St = S0 exp

[(µ− σ2

2

)t+ σWt

]. (3.6.3)

(3.6.3) là một phiếm hàm của chuyển động Brown. Ta chú ý rằng

lnSt − lnS0 =

(µ− σ2

2

)t+ σWt (3.6.4)

tức là lnSt − lnS0 có phân phối chuẩn N

((µ− σ2

2

), σ2t

).

Vậy St có phân phối lôga-chuẩn. Phân phối này đóng vai trò quan trọng trongdiễn biến của giá cổ phiếu theo mô hình Black-Scholes.

3.6.3 Các giả thiết trong mô hình Black-Scholes.

Các giả thiết đó là

(1) Thị trường hoạt động liên tục.

(2) Lãi suất không đổi.

(3) Không chia cổ tức trong suốt thời kỳ hữu hiệu của hợp đồng quyền chọnmua.

53


(4) Không có chi phí giao dịch.

(5) Không có độ chênh thị giá.

(6) Hai tài sản cơ bản S và B có giá thay đổi theo các phương trình (3.6.1)và (3.6.2).

3.6.4 Hiện giá quyền chọn mua.

Ta nhận xét trái phiếu Bt = B0ert thực chất có thể xem là tất định, nên yếu tố

ngẫu nhiên nằm trong giá cổ phiếu thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên(3.6.1). Ta có thể quy đổi giá cổ phiếu tính theo giá trị của giá một trái phiếu (tứclà coi giá 1 trái phiếu là một đơn vị tiền, vì thế đôi khi ta gọi trái phiếu trong bốicảnh này là một hiện kim), và ta vẫn ký hiệu giá cổ phiếu tính theo đơn vị mới làSt, với mặc định rằng xét St tức là đã xét cả hai chứng khoán S và B trong đó rồi.

Gọi V là giá của thu hoạch do quyền chọn tại thời điểm ban đầu t = 0, ST làgiá chứng khoán tại thời điểm T và X là giá thực thi được ghi trước trong hợpđồng quyền chọn mua. Nếu ST ≥ X thì lợi nhuận sẽ là ST −X ≥ 0, nhà đầu tưsẽ thực thi để kiếm lời. Nếu ST < Xthì nhà đầu tư không cần thực thi hợp đồngvì không bắt buộc phải mua, nếu thực thi sẽ bị lỗ. Cho nên lợi nhuận sẽ là

ST −X nếu ST −X ≥ 0

0 nếu ST −X < 0(3.6.5)

Để chô gọn đại lượng ấy sẽ được ký hiệu là (ST −X)+ và được gọi là phần dươngcủa (ST − X). Đại lượng ấy là một biến ngẫu nhiên, nên ta tính giá trị trungbình của nó bởi kỳ vọng E

[(ST −X)+

]được gọi là giá của quyền chọn mua tại

thời điểm đáo hạnVT = E

[(ST −X)+

].

Thực chất đó là giá trung bình của lợi nhuận do quyền chọn mang lại. Muốntính hiện giá V0 tại thời điểm t = 0, ta phải nhân với hệ số tính lùi e−rT ≈ 1

(1+ r

T )T

(cũng gọi là hệ số chiết khấu) với r là lãi suất của luồng tiền trái phiếu.

V0 = e−rTVT = e−rTE[(ST −X)+

](3.6.6)

54


trong đó ST có biểu thức theo (3.6.3) là

ST = S0 exp

[(µ− σ2

2

)T + σWT

]. (3.6.7)

3.7 Xây dựng công thức Black-Scholes để tính giá quyền chon

kiểu châu Âu

3.7.1 Cách xây dựng

Việc xây dựng này có thể được tiến hành theo hai cách sau đây:

(a) Cách 1: Xuất phát từ các hệ thức (3.6.6) và (3.6.7) bằng cách tính toánngẫu nhiên ta có công thức

V0 = S0N (d1)− e−rTN (d2) , (3.7.1)

trong đó

d1 =1

σ√T

[ln S0

X +(r + σ2

2

)T],

d2 = d1 − σ√T , σ là độ biến động giá chứng khoán

(3.7.2)

và N(x) là ký hiệu hàm phân phối chuẩn N(0, 1): N (x) = 1√2π

x∫−∞

e−u2

2 du.

(b) Cách 2: Giải một phương trình đạo hàm riêng cấp hai gọi là phươngtrình Black-Scholes sau đây

∂V

∂t+

1

2σ2S

∂2V

∂S2+ rS

∂V

∂S− rV = 0, (3.7.3)

trong đó V = V (S, t) là giá quyền chọn tại thời điểm t và giá chứng khoán S = St,với điều kiện cuối là

V (S, T ) = (S − T )+ = max (ST −X) ≥ 0.

Khi đó ta được công thức:

Vt = StN (d1)−Xe−r(T−t)N (d2) , (3.7.4)

trong đó

d1 =1

σ√T−t

[ln St

X+(r + σ2

2

)(T − t)

],

d2 = d1 − σ√T − t, và N(x) là hàm phân phối chuẩn N(0,1).

(3.7.5)

55


Đó là công thức Black-Scholes để tính giá quyền chọn mua tại thời điểm t, 0 ≤t ≤ T. Khi t = 0 thì công thức (3.7.4) trở thành (3.7.1).

Thí dụ: Xét một quyền chọn mua với thời gian đáo hạn là 3 tháng, giá chứngkhoán ban đầu là 60 triệu đo la, giá thực thi là 65 triệu đo la, lãi suất không rủiro là 8% một năm và độ biến động chứng khoán là 30% một năm.Vậy S0 = 60, X = 65, T = 3 tháng = 0.25 tính theo năm, r = 0.08, σ = 0.30. Do đó:

d1 =ln 60

65+(0.08+ 0.302

2

)0.25

0.30√0.25

= −0.3253

d2 = d1 − 0.30√0.25 = −0.4753

Theo bảng gí trị của phân phối chuẩn N(0, 1) ta có

N (d1) = N (−0.3253) = 0.378383

N (d2) = N (−0.4753) = 0.356332

Do đó gí quyền chọn V0 tại thời điểm ban đầu (hiện giá của quyền chọn) sẽ là

V0 = S0N (d1)− e−rTN (d2) = 2.1334

Vậy, với một dự án mua quyền chọn mua như trên thì sau 3 tháng kết thúc hợpđồng nhà đầu tư quyết định thực thi, thì sẽ có một khoản lợi nhuận mà tính lùitheo hệ giá sẽ là 2,133,400 USD (tức 2 triệu 133 nghìn 400 đô la Mỹ).

3.7.2 Công thức Black-Scholes

Đói với quyền chọn bán, lợi nhuận hoặc thu hoạch sẽ là

St −X nếu ST −X ≥ 0

0 nếu ST −X < 0

Giá của quyền chọn bán tại thời điểm đáo hạn là

VT = E[(X − ST )

+].

Giá quyền chọn bán tại thời điểm ban đầu t = 0 (hiện giá) là

V0 = e−rtE[(X − ST )

+].

và công thức cụ thể là

V0 = e−rtXN(−d2)− S0N(−d1) (3.7.6)

56


trong đó d1 và d2 cũng được xác định bởi (3.7.2).Tổng quát hơn, giá quyền chọn bán tại thời điểm t ≤ T sẽ là

Vt = e−r(T−t)E[(X − ST )

+]. hay là

Vt = e−r(T−t)XN(−d2)− StN(−d1) (3.7.7)

trong đó d1 và d2 tính theo (3.7.5).

3.8 Những mô hình quyền chọn liên quan

Từ mô hình Black-Scholes ban đầu để định giá quyền chọn mua và bán kiểuchâu Âu đối với hai tài sản cơ sở là cổ phiếu và trái phiếu, người ta cũng xéttới các quyền chọn khác với các đói tượng tài chính khác chọn làm tài sản cơsở như: các chỉ số chứng khoán, hợp đồng ký kết trước, hợp đồng tương lai,quyền chọn tiền tệ,... Ngoài ra, đối với các quyền chọn mua và bán theo mô hìnhBlack-Scholes mà có thể thực thi tại một thời điểm bất kỳ trước khi đáo hạn,người ta gọi đó là quyền chọn kiểu châu Mỹ.

Quyền chọn xây dựng trên các chỉ số chứng khoán.

Năm 1973, Merton đã mở rộng mô hình Black-Scholes để định giá quyền chọnmua châu Âu đối với chỉ số chứng khoán có trả hoa lợi cổ tức q. Gọi C0 là hiệngiá của quyền chọn mua đó thì ta có công thức

C0 = S0e−qTN(d1)−Xe−rTN(d2) (3.8.1)

trong đód1 =

1σ√T

[ln S0

X +(r − q + σ2

2

)T],

d2 = d1 − σ√T , S0 là chỉ số chứng khoán ban đầu

Quyền chọn xây dựng trên hợp đồng tương lai hoặc trên hợp đồng ký kết trước

Năm 1976,Black đã đưa ra công thức định giá quyền chọn (mua) châu Âuđối với một hợp đồng ký kết trước (Forwards) hoặc một hợp đồng tương lai(Futures) chọn làm tài sản cơ sở, với hiện giá ban đầu là F0:

C0 = e−rT [F0N(d1)−XN(d2)] (3.8.2)

57


trong đód1 =

1σ√T

[ln F0

X+ σ2

2 T],

d2 = d1 − σ√T .

58

KẾT LUẬN

Trong luận văn này tôi đã cố gắng hệ thống hóa một số yếu tố cơ bản củaGiải tích ngẫu nhiên, gồm các quá trình ngẫu nhiên (đặc biệt là chuyển độngBrown và quá trình Poisson, lý thuyết martingale), tích phân Itô, tích phânStratonovich, và những nội dung tổng quát về Phương trình vi phân ngẫu nhiêncũng như các dạng cụ thể về Phương trình vi phân ngẫu nhiên ứng dụng trongTài chính. Trong nhiều ứng dụng phong phú của Giải tích ngẫu nhiên nghiêncứu Tài chính, tôi đã nêu một ví dụ điển hình là mô hình Black - Scholes vềđịnh giá quyền chọn kiểu châu Âu. Ngoài ra, những khái niệm quan trọng vềđịnh giá bằng phương pháp độ chênh thị giá chủ yếu dựa trên Giải tích ngẫunhiên đã được trình bày đầy đủ.

Do trình độ và thời gian của tác giả có hạn, luận văn này không tránh khỏithiếu sót. Rất mong sự chỉ bảo của các thầy để tác giả được tiến bộ hơn trongviệc nghiên cứu lĩnh vực thú vị này.

59

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Thị Dung (2014), Một Số Tìm hiểu tiếp theo về Bổ túc Xác Suất,Luận văn Thạc sĩ Khoa học Toán học, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên,Đại Học Quốc Gia Hà Nội.

[2] Nguyễn Văn Hữu và Vương Quân Hoàng (2007), Các phương pháp Toán

học trong Tài chính, Nhà Xuất Bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội.

[3] Trần Trọng Nguyên (2011), Cơ sở toán Tài chính, Nhà Xuất Bản Khoa Họcvà Kỹ Thuật, Hà Nội.

[4] Trần Hùng Thao (2013), Toán tài chính căn bản, Nhà Xuất Bản Văn HóaThông Tin, Hà Nội.

[5] Trần Hùng Thao (2000), Tích phân ngẫu nhiên & Phương trình vi phân

ngẫu nhiên, Nhà Xuất Bản Khoa Học và Kỹ Thuật, Hà Nội.

[6] Trần Hùng Thao (2009), Nhập môn Toán học Tài chính, Nhà Xuất BảnKhoa Học và Kỹ Thuật, Hà Nội.

[7] Hoàng Thị Phương Thảo (2013), "Valuing Default Risk for Assets ValueJump Processes", East-West J. of Mathematics, 15(2), PP.101-106.

[8] Đặng Hùng Thắng (2013), Xác Suất Nâng Cao, Nhà Xuất Bản Đại HọcQuốc Gia Hà Nội.

[9] Martin Baxter and Andrew Renie (2000), Financial Calculus- An introduc-

tion to derivative pricing, Cambridge University Press.

[10] Alison Etheridge (2002), A Course in Financial Calculus, Cambridge Uni-versity Press.

[11] Helmut Strasser (2006), Introduction to Probability Theory and Stochastic

Processes (STATS), Vienna Graduate School Of Finance (VGSF).

60

Documents

GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI … (421).pdf · Tích phân ngẫu nhiên và Phương trình vi phân ngẫu nhiên là những yếu tố