1

ÖVNINGSEXEMPEL

FASTA TILLSTÅNDETS

FYSIK

F3, 2005

2

STRUKTUR

S1. Atomerna i ett grundämne är ordnade i ett gitter med en atom per gitterpunkt. Betrakta atomerna som hårda sfärer i kontakt med närmsta grannar.a) Visa att packningstätheten, dvs atom volym dividerad med kristallvolym, är 0.68 för bcc gittret, 0.74 för fcc och att c/a = 1.63 för hcp.

S2. Hur stor är packningstätheten för Si om atomerna betraktas som hårda sfärer?

Svar: 0.34

S3. Hur stor är radien för den största sfär som får plats mellan atomerna i en bcckristall (bcc gitter, en atom per gitterpunkt) utan att rubba omgivande atomers lägen om dessa betraktas som hårda sfärer med radien R.

Svar: 0.29 R i tex (0, 1/2, 1/4)

S4. Som enhetscell för fcc används ibland en rymdcentrerad tetragonal cell med kantlängderna b och b!2. Ange sambandet mellan b och den kubiska strukturens gitterparameter, a.

Svar: a = b!2

S5. I en fcc kristall (fcc gitter, en atom per gitterpunkt) kan små främmande atomer inta mellanlägesplatser, dvs postioner mellan ordinarie platser. Det finns två typerav mellanlägen, nämligen sådana med tetraederomgivning och sådana med oktaedrisk omgivning. Ange dessa mellanlägen.

Svar: Tetraedriska lägen längs enhetskubens rymddiagonal på avståndet 3/4 dlll från kubens hörn. Oktaederlägen i tex (1/2, 0,0), (0,1/2, 0) osv.

S6. Den kubiska enhetscellen i nedanstående figur visar den atomära ordningen för V3Si. Beskriv strukturen med gitter och bas.

Svar: Gitter: Kubiskt, kantlängd a Si: (0,0,0), (1/2,1/2,1/2)Bas: V: (1/2,1/4,0) (1/2,3/4,0) (1/4,1/2,0) (3/4,1/2,0) (0,1/2,1/4) (0,1/2,3/4)

3

S7. För kubiska gitter gäller att dhkl = a/ h2

+ k2

+ l2 . Visa att för 2D kvadratiska gitter

dhk = a/ h2

+ k2 . Vilket uttryck erhålles för ett ortorombiskt gitter?

S8. Rita upp fcc gittrets primitivcell och visa att volymen är en fjärdedel av denkonventionella enhetscellens. Vad särskiljer primitivcellen från det rombiskaBravais-gittrets cell?

S9. Cu och Au bildar fasta lösningar CuxAu1--x för alla halter x med atomernaslumpmässigt fördelade över fcc gittrets positioner. För vissa halter – föreslå vilka– kan man erhålla även ordnade legeringar med väldefinierad kristallstruktur.

Svar: Cu3Au och CuAu är ordnade legeringar.

S10. Det 2D mönstret i nedanstående figur kan beskrivas antingen utgående från enrektangulär enhetscell (vektorerna a och b nedan) eller utgående från en primitiv cell och vektorerna c och d. Linjer genom punkterna kan då anges antingen via Miller-indices (hk) erhållna via den rektangulära cellen eller Miller-indices (H1K) erhållna utgående från primitivcellen. Bestäm sambandet mellan (h,k) och (HK).

Svar: H = 0.5(h-k)K = 0.5(h+k)

S11. I grafit är atomerna ordnade i plan mellan vilka avståndet är långt (3.36 Å) jämfört med avståndet mellan närbelägna atomer i ett plan (1.43 Å). I planen är atomerna ordnade i ett bikakemönster (se figur 1). Planen är ordnade i sekvensenABAB... där positionerna för intill-liggande plan anges i figur 2.

a) Beskriv med gitter och bas atomernas positioner i ett plan

b) Beskriv den 3D strukturen med gitter och bas.

4

Svar: a) Hexagonalt med kantlängd a = 2.47 och 2 atomer/gp, t ex i

a1!2

3+ a

2!

1

3 och a

1 !

1

3 + a

2 !

2

3 (där vinkeln är 120° mellan a1 och a 2 ).

b) Hexagonalt med c/a = 2.72 och 4 atomer per gitterpkt. Bas:

0,0,0, a1!2

3+ a

2!

1

3 , a

1 !

2

3 + a

2 1

3 +

a

2 1

3 a

1+

2

3 a

2 + a

2 eller kortare

(0,0,0), (2

3,1

3, 0), (

1

3,2

3,1

2) och (

2

3,1

3,1

2).

S12. För alkalihaliderna har den relativa jonstorleken betydelse för kristallstrukturen.Utnyttja detta för att förklara skillnaden i struktur mellan CsCl och NaCl. För Cs,Na och Cl är jonradierna 1.8 Å, 0.95 Å och 1.8 Å.

Svar: Joner med olika laddning är i kontakt utan att joner med lika laddning är ikontakt om kvoten mellan jonradierna i en halid med CsCl struktur ärstörre än !3-1. För NaCl struktur är motsvarande kritiska värde !2"1.

DIFFRAKTION

D1. Rita ett tvådimensionellt gitter med primitiva basvektorerna

a = 4!x

b = x + 2y

a) Rita in linjerna med index (11), (10), (10) och (52).

b) Beräkna trigometriskt avstånden dll mellan näraliggande(ll) linjer.

c) Beräkna basvektorerna i motsvarande reciproka gitter. Rita uppreciproka gittret.

d) Vad blir reciproka gittervektorn Gll och hur förhåller den sigtill dll?

Svar: b) dll = 8/ 13

c) A = #/4 (2, -1), B = #/4 (0, 4)

d) Gll = #/4 (2, 3), Gll = 2#/dllD2. Det hexagonala gittret kan beskrivas med de primitiva basvektorerna

a = (!3a/2) x + (a/2)y

5

b = - (!3a/2) x + (a/2)y

c = c z

Konstruera basvektorerna i det reciproka gittret och visa att detta också ärhexagonalt. Beskriv hur den reciproka enhetscellen är orienterad i förhållande tillden ursprungliga.

Svar: A = (2#/!3a)x + 2#/a y

B = -(2#/!3a)x + 2#/a y

C = 2#/c z

D3. Visa att mot ett bcc gitter i rummet med gitterparametern a svarar ett fcc gitter ireciproka rummet med gitterparametern 4#/a.

D4. Visa att det reciproka gittret till ett bascentrerat ortorombiskt gitter (se figur)också är ett bascentrerat ortorombiskt gitter. Om den konventionella rätvinkligaenhetscellen har kantlängderna a, b och c, där c är avståndet mellan de sidor somhar enpunkt mitt på sidan så har den motsvarande reciproka cellenkantlängderna

D5. Visa att 1:a Brillouinzonens volym är (2#/V)3 där V är volymen för rumsgittretsprimitivcell. Vid volymberäkningen har man använding för sambandet (c x a)x (a x b) = (c . a x b)a.

D6. Ett röntgendiffraktogram för Al i pulverform (Debye-Scherrermetoden) upptagetmed CuK$ strålning ger följande Bragg-vinklar: 19.48°, 22.64°, 33.0°, 39.68°,41.83°, 50.35°, 57.05°, 59.42°. Al har densiteten 2700 kg/m3 och kmolmassan 27kg. Beräkna Avogadros tal.

D7. För en alkalihalid i pulverform erhålles med CuKa strålning följande värden påde fem minsta Braggvinklarna: 10.83°, 15.39°, 18.99°, 22.07° och 24.84°.

a) Beräkna gitterparameternb) Ange index för de plan som ger upphov till de observerade reflexernac) Ange Miller index för de eller det plan som ger största möjliga Bragg-

vinkeld) Identifiera alkalihaliden

4!

a,4!

boch

2!

c.

6

Svar: a) 4.10 Å b) (100), (110), (111), (200), (210) c) h2+k2+l2 = 27 dvs (511) och (333) d) CsCl

D8. KCl och KBr har båda NaCl struktur. Vid röntgendiffraktion observeras följandereflexer:

KBr 111 200 220, 311, 222, 400, 331, 420KCl 200, 220 222, 400, 420

Förklarna skillnaden mellan resultaten för de två ämnena.

Svar: fK+ " fCl- pga att ant el lika.

D9. En legering av 50 % Au och 50 Zn har bcc struktur. Vid hög temperatur är atomerna slumpmässigt fördelade över gitterplatsrena. Om temperaturen sänks sakta erhålles en ordnad struktur där varje atom är omgiven av närmsta grannar av det andra atomslaget. Hur påverkas ett pulverdiffraktogram av övergången från oordnad till ordnad legering.

Svar: För det oordnade fallet feff =

1

2(fAu+fZn) och bcc reflexer. För det

ordnade erhålles CsCl struktur med sc gittrets reflexer.

D10. Ett visst ämne har kubisk struktur vid rumstemperatur. 400 reflexer erhålles vid en diffraktionsvinkel som uppmäts till 161.48° med FeK$1 (1.932 Å) strålning. Om reflexen uppmäts vid en låg temperatur finner man att den är splittrad i två reflexer, en vid 161.48° och en , dubbelt så stark, vid 163.38°. Vilken är strukturen vid den lägre temperaturen?

Svar: Tetragonal a = 3.905 Å, c/a = 1.0026.

D11. Al har fcc struktur och gitterparametern är 3.90 Å vid rumstemperatur. Gitterparametern ökar med ökande temperatur med en utvidgningskoefficient av0.000025 K-1. Vilka reflexer bör man välja vid given strålning, säg CuK$, för att med bäst noggrannhet mäta den termiska utvidgningen?

Svar: %& = -%a/a . tan&, dvs rejäla vinkeländringar för stora &.

D12. För att erhålla strålning med väldefinierad fotonenergi i röntgenområdet låterman vit röntgenstrålning diffrakteras av en Cu(111) kristall. Den infallandestrålen bildar vinkeln 30° med provets normal. Vilka fotonenergier erhålls ispegelriktningen (dvs i en riktning som ligger i infallsplanet och bildar vinkeln30° med provets normal)? Cu har fcc struktur med gitterparametern 3.61 Å.

Svar: n 5950 eV, n = 1,2,3…

D13. Si och GaAs har båda fcc gitter. För Si är basen (0,0,0), (1/4,1/4,1/4) och för GaAsGa(0,0,0), As (1/4,1/4,1/4). Bestäm Miller index för de tillåtna röntgenreflexerna för de två ämnena.

Svar: Si : S = fSi (1+ei#(h+k+l)/2)

7

GaAs: S =f Ga + fAsei! (h +k + l) / 2

där fGa # fAs

dvs för GaAs erhålles alla fcc reflexerna (h,k,l alla udda eller alla jämna). För Si släcks de fcc reflexer ut för vilka S = 0 dvs då h+k+l = 2+4n. För Si erhålls således 111, 220, 311, 400 osv.

D14. En kristall med enkel kubisk struktur och gitterparametern a ärskuren så att en yta är vinkelrätt mot [100]-riktningen. Visa i figur reflexionen motett (210)-plan samt ange vektorerna k (för infallande stråle) och k' (för dendiffrakterade strålen) om den infallande strålen är vinkelrät mot provytan.

D15. KMnF3 har kubisk struktur vid rumstemperatur. Braggvinkeln för (400)-reflexenär 47.3°. En Debye-Sherrer upptagning vid 100 K visar att (400)-reflexen äruppsplittrad i två reflexer med en Bragg-vinkelskillnad på 0.35°, där reflexenmed den större Braggvinkeln har dubbelt så stor intensitet som reflexen med denmindre Bragg-vinkeln. Resultatet tyder på att ämnet vid låga temperaturer hartetragonal enhetscell. Beräkna c/a för denna enhetscell. Svar: c/a = 1 + 5.6.10-3.

D16. Monokromatisk röntgenstrålning med våglängden 1.585 Å faller in parallelltmed (010)-planen i en Al enkristall (fcc a = 4.04 Å). När den infallande strålenbildar vinkeln 11.31° med [100]-riktningen erhålles en diffrakterad stråle somockså ligger i (010)-planet. Indicera denna reflex. Svar: 202.

D17. Ett grundämne har bcc struktur. Hur mycket måste atomen i enhetscellens mittflyttas längs rymddiagonalen för att 100 reflexen skall få en intensitet somuppgår till 10 % av 110 reflexens intensitet? Intensiteten är proportionell motkvadraten på strukturfaktorns belopp. Ange förskjutningen i procent avrymddiagonalens längd. Svar: 8.7 %.

D18. I austenitiskt Fe (fcc-struktur) kan inlösas upp till 8 at % C, som antarinterstitiella platser. I enhetscellen intar C atomerna lägena (1/2,1/2,1/2),(1/2,0,O), (0,1/2,0) och (0,0,1/2) med samma sannolikhet för vart och ett avlägena.

a) Ställ upp ett uttryck för strukturfaktorn för det fall att alla fyra C lägena är besatta.

b) Med hur många procent ändras intensiteten för en 200 reflex då 8 at % lösesin i kristallen? Intensiteten sätts proportionell mot |S|2. Formfaktorerna approximeras med atomnumren (6 för C, 26 för Fe)

Svar: a) S = fFe[1+cos#(h+k) + cos#(k+l)+cos"(h+k)] + fc[cos"(h+k+l) + cos"h+cox"k + cos"l]

b) Intensiteten för 200 reflexen ökar med ca 4 %.

D19. En enkristall av Ag undersöks med Laues diffraktionsmetod. Strålen infallervinkelrätt mot ytan som är parallell med (111) plan. Hur stor vinkel mednormalen bildar 355-reflexen?

8

Svar: 24.5°

D20. Ett grundämne har en struktur som kan beskrivas med en tetragonal, rymd-centrerad enhetscell (a = b # c) där c = a$2 = 4.09 Å.

a) Beräkna de tre minsta diffraktionsvinklarna om man låter röntgenstrålningmed ' = 1.54 Å infalla mot provet.

b) Om Du har räknat rätt finner Du att samma vinklar erhålls för Ag (fcc,med gitterparametern 4.09 Å). Förklara varför.

Svar: a) 38.1°, 44.2°, 64.3° b) fcc strukturen kan beskrivas med en tetragonalenhetscell (se uppgift S4).

D21. Cu2O har kubisk enhetscell med syreatomerna i kubens hörn och i dess mitt.Kopparatomerna befinner sig i hörnen av en tetraeter. Med origo i kubens mitthar kopparatomerna koordinaterna

a

41,1,1( ),

a

41,!1, !1( ),

a

4!1,1,!1( ) och

a

4!1,!1,1( )

För vissa reflexer bestäms intensiteten av endast Cu-atomerna och för vissa andrareflexer av endast syreatomerna. Ange dessa reflexer.

Svar: h,k,l alla udda, endast Cu bidrar; två udda och en jämn, endast O bidrar; två jämna och en udda, ingen intensitet; alla jämna, både O och Cu bidrar

D22. En 100 keV elektronstråle infaller vinkelrätt mot en tunn enkristallin Cr-foliemed (110)-plan parallellt med foliens yta. Rita upp det diffraktionsmönster somerhålles på en skärm bakom folien. Indicera 8 punkter och ange riktningar. Crhar bcc struktur med a = 2.88 Å.

D23. En stråle elektroner infaller vinkelrätt mot en kopparkristall (fcc a = 3.60 Å) somskurits vinkelrätt mot en [111]-riktning. Vilken är den minsta elektronenergi somkan ge upphov till ett diffraktions-mönster.

Svar: 29.5 eV.

D24. Elektroner infaller vinkelrätt mot ett atomlager grafit. Den atomära ordningenframgår av nedanstående figur. Avståndet är 1.42 Å mellan närbelägnakolatomer. A) Ange basen om man väljer ett gitter med den markerade cellen.B) beräkna den största diffraktionsvinkel som erhålls om elektronenergin är 63eV.

Svar: A) (0,0), a(1,0), a(3/2, V3 /2), och a(5/2, V3 /2) där a = 1.42 Å. B) 133,5°.

9

D25. Betrakta en linjär kedja av atomer A B AB ... där avståndet mellan atomerna ära/2. Formfaktorerna är fA respektive fB för A och B atomerna. Låt en röntgen-stråle infalla vinkelrätt mot kedjan.

a) Visa att villkoret för diffraktion kan skrivas a cos & = h där h = heltal och& vinkeln mellan kedjan och det utgående strålen.

b) Visa att den diffrakterade intensiteten är proportionell mot |fA + fB|2 då h är ett jämnt tal och |fA - fB|2 om h är ett udda tal.

10

VIBRATIONER, TERMISKA EGENSKAPER

V1. Härled dispersionsrelationen för en tvåatomig linjär kedja med växelverkan endast mellan närmsta grannar. Visa att den optiska grenen beskriver dispersionen för en våg där intilliggande atomer rör sig åt motsatt håll (dvs u/v är negativ om u och v är avvikelserna från jämviktslägena för de olika atomslagen). Förklara varför vid k = #/a, där a är gitterparametern, den akustiska modens frekvens bestäms av det ena atomslagets massa medan den optiska modens frekvens beror endast av det andra atomslagets massa. Hur ändras dispersionrelationen om M1 ! M2?

V2. Härled dispersionsrelationen för ett tätpackat lager av atomer. Antag växel-verkan endast mellan närmsta grannar och betrakta transversella vågor. Hur stor är frekvensen i ett hörn av Brillouinzonen och i mitten på en sida?

Svar: M! 2

2c = 3 - cos k.a1 - cos k.a2 - cos k (a1-a2) där a1 och a2 är basvektorer

(a1 = a2 och 60° mellan dem), (2 = 8c/M mitt på sida, (2 = 9c/M hörn

V3. Härled dispersionsrelationen för en linjär atomkedja där fjäderkonstanten är c1mellan närmaste grannar och c2 = c

1/2 mellan näst-närmaste grannar. Skissa

dispersionskurvan och frekvensspektrat.Varför erhålls maximal frekvens inte, som för c2 = 0, vid Brillouin-zongränsen?

Lösning: Låt us vara förskjutningen från jämviktsläget av atom nummer s. Newtons andra lag ger för denna atom attMüs = c1(us+1 - us) + c1(u2-1 - us) + c2(us+2 - us) + c2(us-2 - us).I detta fall: c2 = c1/2 Müs = c1[us+1 + us-1 + (us+2 + us-2)/2 - 3us). Ansats: us = uoexp[i(kxs - (t)], där xs = sa. Insättning ger:

-M(2 = c1[exp(ika) + exp(-ika) + (1/2){exp(i2ka) + exp(-i2ka)} - 3]

" (2 = (4c1/M)[sin2(ka/2) + (1/2) sin2ka].Svar: (2 = (4c1/M)[sin2(ka/2) + (1/2) sin2ka].

Max.frekvens då närmsta grannar är ur fas, c2 = 0 " grannarna ur fas förka =± %. c1 = 0 " grannarna ur fas vid ka = ±%/2. c1 ) 0, c 2 ) 0 " grannarna urfas någonstans mellan ka = ±%/2 och ka = ±%.

V4. Man kan modellera longitudinella vibrationer i en polyetenmolekyl(-CH=CH-CH=CH-) genom att betrakta en linjär kedja av identiska massor M, men med alternerande fjäderkonstanter c1 och c2 (svarande mot enkel- respektive dubbelbindning) mellan massorna. Låt a vara kedjans period, dvs avståndet från en CH-grupp till näst närmaste granne. Härled och skissa dispersionsrelationerna för de longitudinella vibrationerna.

11

Svar: ! 2=c1+ c

2

M1± 1"

4c1c2sin

2ka / 2( )

c1

+ c2

( )2

#

$ %

&

' (

V5. I många fall kan man få bättre överensstämmelse med experimentelladispersionsrelationer om man antar att jonkärnor och yttre elektroner förskjuts olika mycket. Betrakta en linjär kedja enligt figuren med jämviktsavståndet a mellan atomerna. Antag att de yttre elektronerna hörande till en viss atom växelverkar endast med sin egen jonkärna (fjäderkonstant c2) och med de yttre elektronerna hörande till de närmaste grannatomerna (fjäderkonstant c1). Jonkärnans massa är M, och massan av varje atoms yttre elektroner är m << M.

a) Härled dispersionsrelationen för kedjan under antagandet att m ! 0.b) Bestäm ljudhastigheten och maximala egenfrekvensen för kedjan. Jämför med motsvarande uttryck för en kedja av "stela" atomer. Antag att m * 0.

Svar: a) !2=4c

1

M"

sin2ka

2

1+4c

1

c2

sin2 ka

2

b) v = ac1

M;!max

2=

4c1

M

1

1+4c1

c2

V6. Jämviktsavståndet mellan atomerna i en linjär kedja är 4.85 Å och denmaximala vinkelfrekvensen för longitudinella egensvängningar är4.46 x 1013 s-1. Vibrationer med vinkelfrekvensen 5.75 x 1013 s-1 exciteras nu i kedjan av en extern källa (t ex en vibrerande molekyl bunden till kedjan). Hur många atomavstånd från källan har den påtvingade svängningens amplitud sjunkit till under 10% av amplituden vid källan?

Svar: 2

V7. Beräkna tillståndstätheten D(() för en linjär kedja av atomer med växelverkan endast mellan närmsta grannar.

Svar: D(() =

2N

!("max # " )

#1/2

12

V8. Visa att man med användning av Debye-approximationen, ( = vK, finner att gittervibrationernas bidrag till värmekapacitiviteten vid låga temperaturer varierar som T2 för en tvådimensionell kristall och som T i det endimensionella fallet.

V9. Figuren överst på nästa sida visar dispersionen för fononer i GaAs längs två olikasymmetririktningar i k-rummet.

a) Förklara förekomsten av högfrekventa moder för k = 0.

b) Förklara antalet observerade moder (sex längs [110] och fyra längs [111]).

c) Uppskatta ljudhastigheten i GaAs.

Svar: a) mer än en atom i primärcellen ! optiska grenar b) Två atomer/cell ! 1 LA + 2TA och 1LO + 2TO grenar dvs totalt sex

grenar. Pga symmetrin i [111] riktningen har de två TA grenarna samma dispersions och samma gäller de två TO grenarna.c) Ljudvågor (lågfrekventa LA): ( = vg k vg = 2#f/k " 5.103 m/s (ur fig.)

V10. En enkristall med sc struktur och a = 4.25 Å bestrålas med neutroner som infalleri [100] riktningen och har deBroglie våglängden 3.50 Å. Några av neutronernasprids i framåtriktningen pga växelverkan med kristallens gittervibrationer ochlämnar kristallen i [111] riktningen med en våglängd som är 2.33 Å.

a) Innebär växelverkan att fononer skapas eller förintas?

b) Beräkna vinkelfrekvens och vågvektor (i 1:a Brillouin-zonen) för de fononer som orsakar spridningen.

13

Svar: a) fononer förintas b) 2,53.1012 rad/s, (-0, 24, 0,08, 0,08)Å-1

ELEKTRONGASEN

E1. Visa att det för en fri elektron gas gäller att D(E) = CdE(d-2)/2 där d = 3 för en tredimensionell gas, d = 2 för tvådimensionell och d = 1 för endimensionell gas.

E2. a) Beräkna tillståndstätheten, N(E), för en 2D gas av fria elektroner i en kvantgropdär randvillkoret för vågfunktionen är /(x,y,z) = 0 för |x| > a där a är avstorleksordningen en atomradie.

b) Beräkna N(E) för en gas av fria elektroner i en kvanttråd där randvillkoren är/(x,y,z) = 0 för x < |a| och y < |b| där både a och b är ungefär en atomradie.

E3. Visa att kinetiska energin, EK, för en tredimensionell elektrongas vid 0 K är

3

5NE

F. N är antalet fria elektroner.

E4. För Na beskrivs valenselektronerna väl av frielektrongasmodellen. Beräkna kvoten mellan Fermi-vågvektorn och radien för den största sfär som ryms i den 1:a Brillouinzonen.

Svar: 0.88

E5. Utgå från att frielektronmodellen gäller för Al och beräkna separationen mellan energinivåer nära EF för ett kubiskt prov med volymen a) 10 cm3 b) 10 mm3 ochc) 100 Å3.

Svar: a) 0.43.10-23 eV b) 0.43.10-11 ev c)0.43 eV

E6. a) Bestäm Fermi-energi, EF, för K vid 0 K.

b) Bestäm tillståndstätheten för 1 cm3 kalium.c) Hur stor andel av valenselektronerna i K har en energi som ligger i ett kT stort intervall runt EF vid 300 K?

Svar: a) 2.0 eV b) 9.7.1021 eV-1 c) 2 %

E7. He3 har spinn 1/2 och beskrivs med Fermi-Dirac statistik. Densiteten nära 0 K är 81 kg/m3. Beräkna EF och Fermi-temperaturen.

Svar: EF = 0.44 meV, TF = 5 K

E8. Visa att 0((), konduktiviteten vid frekvensen (, kan uttryckas

0(() = 0o/(1-i(,) där 0o = ne2,/m.E9. För Al är EF = 12 eV och resistiviteten 3.10-8 -m vid rumstemperatur. Beräkna

fria medelväglängden för elektronerna och deras drifthastighet i ett elektriskt fält av 1000 V/m.

14

Svar: 140 Å, 1.2 m/s.

E10. Vid vilken våglängd blir Al genomskinligt om man antar att dess valenselektroner beskrivs av frielektronmodellen?

Svar: 787 Å

E11. Bestäm plasmonenergin för Al mha följande uppmätta värden för +r.

h((eV) 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3

-+1 312 238 186 147 117 93 73 +2 62.3 48.5 36.9 30.5 26.7 25.6 27.4

h((eV) 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 2.0 2.3 2.5

-+1 55.5 51.5 59.5 61 57.5 50.0 39.5 33.5 +2 33.1 45.6 47.3 38.1 30.4 20.2 12 9.1

Svar: h(p = 12.7 eV

E12. Beräkna den temperatur vid vilken valenselektronerna och vibrationerna bidrar lika mycket till värmekapacitiviteten för a) Al och b) Pb.

Svar: a) Al 7.8 K b) Pb 1.3 K

E13. För Na är EF = 3.2 eV, den termiska massan nära lika elektronmassan och Debye-temperaturen 160 K. Hur stor del av den totala värmekapacitiviteten bidrar valenselektronerna med vid 300 K?

Svar: 1.4 %

E14. Hall-koefficienten för Al i fast form är -0.38.1010 Vm A-1T-1. Hur många elektroner per atom kan betraktas som fria?

Svar: 2.7

E15. Hall-koefficienten för Al i flytande form är -0.39.10-10 m3C-1. Vid 77 K är elektronernas relaxationstid, ,, 6.5.10-14s. Uppskatta den elektriska och termiska ledningsförmågan för Al vid 77 K.

Svar: 3.0.108 --1m-1, 556 W/mK.

E16. Visa att maximala ytresistansen är 4.1 k-. Betrakta en kvadratisk, tunn film med sidan L, tjockleken d och resistansen .. Den resistens som mäts mellan två motsatta sidor kalls kvadratruteresistansen (resistance per square, Rsq) därRsq = .L/Ld = ./d dvs Rsq är oberoende av hur stor rutan är. Med . = m/ne2,

erhålles Rsq = m/nde2,. Antag nu att , begränsas av stötar mot filmens ytor dvs

15

, " d/VF. Minskar man tjockleken tillräckligt kommer stötarna mot ytorna att sätta gränsen för , varför det maximala värdet på Rsq ! mVF/nd2e2. Visa att för ett atomlager tjock film detta innebär att Rsq ~ h/e2 = 4.1 k-.

E17. Resistansen för en tunn tråd kan delvis bero på elektronernas spridning mot trådens yta.Uppskatta vid vilken diameter en procent av en koppartråds resistans orsakas av spridningmot ytan. Nödvändiga data hämtas från tabell.

Svar: Några µm.

ENERGIBAND, FERMIYTOR

EF1. Beräkna hur många valenselektroner per atom som krävs för att Fermi-sfären ska nå fram till närmsta Brillouin-zongräns för ett ämne med a) bcc och b) fcc struktur.

Svar: a) 1.48 b) 1.36

EF2. Rita upp frielektronband i den reducerade zonens [111] riktning för en fcc kristall. Rita upp alla band med energier mindre än sex gånger det lägsta bandets högsta energi, dvs dess energi i punkten 2#/a (1/2,1/2,1/2).

EF3. Uppskatta hur stora bandgapen skulle behöva vara vid 1:a Brillouin-zonens gränsytor för att zonen skulle vara fylld för den divalenta metallen Ca. För Ca är a = 5.58 Å.

Svar: För fria elektroner erhålles följande energier vid symmetripunkter på zonens yta: X: k = 2#/a, E = 4.84 eV; L: K = 1.73 #/a, E = 3.63 eV; U : k = 6.68/a, E = 5.45 eV; W : k = 7.05/a, E = 6.09 eV. Bandgapen behöver vara 1.25 eV vid X och 2.46 eV vid L.

EF4. För en linjär kedja av atomer erhålls följande dispersion för valenselektronerna E = A-B cos ka. Beräkna tillståndstätheten per energiintervall, D(E). A och B är konstanter och a gitterparametern.

Svar: D(E) = 2L /(!a B2" (A " E)

2)

EF5. Konstruera 4:e Brillouinzonen för ett kvadratiskt gitter och visa de erhållna areorna kan flyttas in i 1:a Brillouinzonen med reciproka gittervektorer som translationsvektorer och att areorna efter flyttningen fyller 1:a Brillouin-zonen.

EF6. Varför erhålles inte något energigap vid X-punkten (k = 2#/a (100)) mellan de tvålägsta energibanden för Si och Ge (se Kittel sid 215, Myers sid 202)?

EF7. Rita en figur som visar de två första Brillouin-zonerna för ett rektangulärt tvådimensionellt gitter med a = 3b.

EF8. En envärd, tvådimensionell metall har atomerna ordnade i ett rektangulärt gitter (a = 2 Å, b = 4 Å) med en atom per gitterpunkt. a) Rita upp 1:a Brillouinzonen.b) Beräkna radien för Fermicirkeln och rita in den i 1:a Brillouinzonen.

16

c) Visa, på ett ungefär, energibandens utseende i upprepade zonschemat om manantar små energigap vid Brillouinzonens gränser.

EF9. Alkalimetallerna har små bandgap mellan det lägsta och det näst lägsta energibandet (Eg < 0.5 eV). Beräkna kvoten mellan tröskelenergin för direkta optiska övergångar för en alkalimetall och Fermi-energin.

Svar: h(o = 0.64 EF.

EF10. I Li kan inlösas upp till 70 atom % Mg. Beskriv kvalitativt hur det optiska absorptionsspektrat för Li ändras då Mg inlöses.

EF11. Varför är guld gult och koppar röd?

EF12. För en en-dimensionell kristall beskrivs dispersionen för ett energiband av E(k) = h 2k2/2m* -C h

4k4. Vad måste vädet på konstanten C vara för att detta uttryck skall kunna gälla i hela intervallet mellan k = 0 och zongränsen k = ± #/a.

Svar: C = a4/4#2 h

2m*

EF13. Vilken information om bandstrukturen för Al kan utläsas av de värden på +r somges i uppgift E11.

Svar: Absorptionsmaximum i Al pga övergångar mellan parallella energibandvid zongränser i kontakt med Fermiytan. Energibanden är för 200 zongränsen

separerade med 1.5 eV. Innebär att 2 UG200 = 1.5 eV. Se H P Myers bok sid. 235-237 ej beskrivet i Kittel.

EF14. Nedanstående figur visar +2 ( imaginärdelen av dielektricitetsfunktionen) som funktionav fotonenergin. Försök bestämma vilken typ av material (metall, halvledare, isolator)dessa uppmätta kurvor härrör från. Motivera Ditt svar.

Svar: A: Halvledare (Ge), B: Metall (Au)

EF15. Antag att sambandet E = Ak2- Bk

4 gäller för ett energiband i ett 1D fall (sambandet gäller

för positiva E-värden).a) För vilket k-värde är grupp- och fashastighet lika?b) Skissa grupphastighetens och effektiva massans k-beroende.

17

Svar: a) k =(A/3B)1/2

HALVLEDARE

H1. Dispersionen nära valensbandets maximum vid k = 0 ges av E = EVmax -1037k2Jm2. En elektron tas bort från tillståndet med k = 109m-1. Beräkna håletsa) effektiva massab) vågvektorc) hastighetd) energi

Svar: a) 6.10-32 kg (0.06 me) b) -109m-1 c) -2.106 m/s d) 0.6 eV

H2. För InSb är bandgapet 0.23 eV, relativa dielektricitetskonstanten 18 och elektronernas effektiva massa 0.015 m. Beräkna a) donatorjonisationsenergin b) radien för en elektron i donatoratomens grundtillståndc) den donatorkoncentration som krävs för överlapp mellan närliggande

störatomers elektronbanor.

Svar: a) Ed = 6.3.10-4 eV, b) r = 6.10-6 cm c) N = 1015 cm-3

H3. För ett Ge prov mäts resistansens temperaturberoende med följande resultat:

T(K) 310 321 339 360 383 405 434R(-) 13.5 9.10 4.95 2.41 1.22 0.74 0.37

Beräkna energigapets storlek.

Svar: 0.69 eV

H4. Provet i föregående exempel dopas med 0.0001 at % As.

a) Hur påverkas ledningsförmågan vid rumstemperatur?b) Ungefär vid vilken temperatur är det intrinsiska bidraget till

ledningsförmågan lika stort som det extrinsiska?

Svar: a) 0i(300 K) = 0.31 --1m-1, 0 = 2.7.103 --1m-1

b) Vid ca 900 K.

H5. a) Beräkna den intrinsiska ledningsförmågan för Si vid rumstemperatur.b) Hur påverkas laddningsbärartätheten vid dopning med 1020

fosforatomer/m3?c) Beräkna Ferminåvåns läge för den dopade halvledaren.

18

Svar: a) 0 = 4.10 -5 --1m-1 b) n = 1020m-3, p = 2.1010m-3 c) µ = 0.87 eV

H6. a) Beräkna den intrinsiska ledningsförmågan för GaAs vid RT. Bandgapet är 1.40 eV.

b) En del As ersätts med Se. Beräkna jonisationsenergin för störatomen.c) Beräkna banradien för störatomens grundtillstånd.d) Beräkna den Se halt som krävs för överlapp mellan närliggande

störatomers elektronbanor.e) Beräkna Fermi-nivåns läge och laddningsbärartätheten vid den dophalt

som erhållits i föregående deluppgift.

Svar: a) 4.!10-7 - m b) 5 meV c) 100 Å d) 1023 m-3 e) µ = Eg -40 meV, n = 1023m3, p = 102 m-3

H7. a) Beräkna den intrinsiska ledningsförmågan för InSb vid rumstemperatur om bandgapet antas vara 0.18 eV.

b) En del Sb ersätts med Te. Beräkna jonisationenergin för störatomen.c) Beräkna banradien för störnivåns grundtillstånd.d) Beräkna den halt av Te som krävs för överlapp mellan närliggande

störatomers elektronbanor.e) Beräkna Fermi-nivåns läge och laddningsbärartätheten vid den dophalt

som erhållits i föregående deluppgift.

Svar: a) 0 = 2.3.104 --1m-1 b) 0.8 meV c) 545 Å d) 1.471021m-3

e) n = 1.8.1022m-3, p = 1.7.1022 , µ = 0.153 eV

H8. Si dopas med 1 ppm Al. Visa att den intrinsiska laddningsbärartätheten vid rumstemperatur är försumbar jämförd med den extrinsiska. Visa att nästan alla (> 95 %) störatomer är joniserade. Beräkna Fermi-nivåns läge vid 300 K och 100 Koch också förhållandet mellan ledningsförmågan vid 300 K och 100 K.

Svar: Na- = 4.8.1022 = 95 % Na, µ(300 K) = 0.13 V, µ(100) = 0.045 eV0(300 K)/0 (100 K) = 5.2

H9. Ett mycket rent Ge prov har resistiviteten 3.9 -m vid 300 K. Provet dopas med1022 boratomer/m3. Vilken täthet av elektroner och hål erhålles och vilkenresistivitet erhåller det dopade provet? Var ligger Ferminivån?

Svar: p = 1022m-3, n = 1015m-3; . = 0.0035 -m, µ = 0.158 eV

H10. En halvledare med bandgap 0.30 eV är dopad med 1.0.1021 donatoratomer per m3. Vid temperaturer över 100 K är dessa helt joniserade.

Beräkna koncentrationen av elektroner och hål vid temperaturerna 100 K, 200 K, 300 K.

Svar: a) n = 1.0.1021 m-3 och p = 1.7.1013 m-3 vid 100 Kn = 3.3.1021m-3 och p = 2.3.1021 m-3 vid 200 K

19

n " p = 7.8.1022m-3 vid 300 K

H11. 100 g Si dopas med 4µg Al. Halten av övriga föroreningar är avsevärt mindre. Jonisationsenergin är av storleksordning 0.01 eV. Vilken konduktivitet fås vid rumstemperatur om mobiliteten för elektronerna i kisel är 0.13 m2/Vs och för hål0.05 m2/Vs.

Svar: 17 (-#m)-1

H12. Konduktiviteten, 0o, hos en bit dopat Ge mäts vid rumstemperatur. Provet smälts och arsenik tillsätts i en mängd av en föroreningsatom, As per en million Ge-atomer. Den nya kristallen är av n-typ och har en konduktivitet av 1000 (-m)-1. Elektron- och hålmobiliteterna är 0.45 m2/Vs och 0.35 m2/Vs. Ed (As) = 0.01 eV och gitterkonstanten är a = 5.66 Å.

a) Hur och hur mycket var den ursprungliga kristallen dopad?

b) Hur stor var 01?

Svar: a) p-dopad med 3.1022 störatomer per m3

b) 1700 (-m)-1

H13. En rektangulär halvledarplatta har kantlängderna 10 mm, 4 mm och 1 mm. En ström med styrkan 1.5 mA leds mellan plattans kortändor vilket medför ett potential fall på 78 mV mellan kortändorna. Med ett magnetfält på 0.7 Wbm-2

vinkelrätt mot plattan uppmäts en spänning av 6.8 mV mellan plattans långa sidor. Tecken och riktningar framgår av figuren på nästa sida. Beräkna laddningsbärarnas karaktär (hål eller elektroner), täthet och mobilitet.

Svar: elektroner, n = 9.6.1020m-3, µe = 0.31 m2 V-1s-1

H14. Nedanstående diagram visar Hall-koefficientens temperaturberoende för en halvledare. Bestäm om halvledaren har n- eller p-karaktär och beräkna dophalten. Svar: n-dopad, RH 2 -3000 cm3 C-1 vid platån ger n 2 2.1015 m -3.

20

H15. För GaAs passerar ledningsförmågan ett minimum då den mäts som funktion av acceptorkoncentrationen. Visa detta och beräkna, för T = 300 K, håltätheten och elektrontätheten vid den dophalt som ger minimal ledningsförmåga. Beräkna också kvoten mellan den minimala ledningsförmågan och den intrinsiska. För GaAs är

µe = 8500 cm2V-1s-1, µn = 400 cm2V-1s-1 och np = 6.55 1012cm-6 vid 300 K.

Svar: n = 0.56 106cm-3, p = 12.106cm-3 och 0min/0i = 0.42.

H16. Visa i diagram hur Fermi-nivån och kvoten, µ/ni, mellan elektrontätheten, n, fördonatordopad GaAs och intrinsiska elektrontätheten, ni, varierar med kvoten,ND/ni, där ND är donatortätheten för a ) 0 < No/ni < 10 och b) 106 < Na/ni < 107.Halvledaren har rumstemperatur. Bindningsenergin för donatorerna är mindreän 6 meV. Elektronmassan är 0.066 m och hälmassan 0.5 m.

Svar: a)

b)

H17. a) Ett energiband beskrivs av E(kx) = -Eocoskxa där Eo = 1 eV och a = 4 Å.Beräkna kvoten mellan effektiva bandmassan i kx = 0 och elektronensmassa (9.1.10-31 kg).

n

ni= 0,5

ND

ni+ ((

ND

ni)2

+ 4)1/ 2!

" # $

% & ,µ e = µi + kT ln

n

n i

,µi = 0.74eV

n

ni

=ND

Ni

,µe= µ

i+ kT ln

n

ni

,µi= 0.74eV

21

b) Visa att en elektron som vid t = 0 befinner sig i kx = 0 i ovan beskrivna

energiband kommer att oscillera med frekvensen

e!a

h om ett statiskt

elektriskt fält, +, påläggs i x-led.

H18. Hål i Ge har mobiliteten 0.18 m2/Vs och m*/m = 0.32. Vilken relaxationstidsvarar detta mot?

Svar: 0.33 ps.

MAGNETISM

M1. $-Fe (bcc fasen, T < 1183 K) är över Curie-temperaturen paramagnetiskt med en susceptibilitet 3 = C/(T-Tc) där C = 2.18 K och Tc = 1093 K. Uppskatta storleken på det inre fältet (Weiss-fältet) i Fe vid 0K.

Svar: Bi = 1.09.103 T (' = 6.3.10-4)

M2. Hur stort pålagt magnetfält, µoH, behövs för att 51 % av metalljonerna i CuSO4

ska ha sina magnetiska moment orienterade parallellt med fältet om saltet hållsvid rumstemperatur?

Svar: 8.8 T

M3. CuSO4.5H2O har en susceptibilitet som beskrivs väl av uttrycket för en ideal paramagnetisk gas. Uttryck susceptibilitetens temperaturberoende 3(T). Ibland anges susceptibiliteten per mol volym, 3mol, eller per den volym som innehåller 1 kg, 3mass. Beräkna också dessa.

Svar: 3 = 4.3.10-2/T, 3mol = 4.7.10-6/T m3mol-1, 3mass = 1.9 10-5/T m3kg-1

M4. För Pt är 3 = 2.79.10-4. Uppskatta med ledning härav 4, som anger elektronernasbidrag till värmekapacitiviteten, 4T. Jämför med det uppmätta värdet på 4 (7mJmol-1K-2) och ge en trolig förklaring till skillnaden.

Svar: Uppskattat: 4 = 16.8 mJ mol-1K-2

M5. Beräkna antalet effektiva Bohrnmagnetorer för Mn+3, Fe+3, Sm+3 och Gd+3.

Svar: För 3d-joner p = 2 S(S + 1) , dvs 4.9 för Mn+3 och 5.9 för Fe+3. För Sm+3 och Gd+3 ger Hunds regler 0.845 resp 7.94.

22

M6. Manganarsenid är ferromagnetiskt med effektiva magnetontalet p = 3.4 och Curie-temperaturen Tc = 318 K. I det paramagnetiska området, T > Tc, kan p beräknas som för ett salt med magnetiska Mn+3 joner med konfigurationen 3d4. Ett prov av MnAs placeras i ett magnetfält B = 0.02 T. Beräkna kvoten mellan magnetiseringen vid 400 K och mättnadsmagnetiseringen vid 0 K.

Svar: 3.6.10-4

M7. a) Förklara att utseendet på magnetiseringskurvorna för Fe, Ni och Co (Fig sid 471 i Kittel och sid 385 i Myers bok) är olika för de olika riktningarna

på fältetb) Beräkna ett värde, för Fe, på kvoten M[100]/M[111] då det pålagda fältet går mot noll och jämför med det uppmätta värdet.

PUNKTDEFEKTER

P1. Anta att det krävs 1 eV för att föra en Na atom från metallens inre till dess yta. Beräkna tätheten vakanser i Na vid rumstemperatur.

Svar: 105 cm-3

P2. För Cu är migrationsenergin för vakanser 0.8 eV och självdiffusionskonstanten är 3.43.10-15 cm2s-1 vid 700 K och 1.65.10-11 cm2s-1 vid 1000 K. Beräkna vakanstätheterna vid dessa båda temperaturer.

Svar:

n

N = 3.3.10-7 vid 700 K och 2.9.10-5 vid 1000 K (ED = 1.7 eV, EV = 0.9 eV)

P3. En guldtråd hettas först upp och sen avkyls den snabbt i vatten varefter dess resistans mäts vid 4 K. I tabellen ges mätresultat från ett antal sådana mätningar efter upphettning till olika temperaturer (T i tabellen). %R är skillnaden i resistansvid 4 K mellan ett prov som avkylts snabbt och ett som avkylts mycket långsamt. Vilken information kan man erhålla ur dessa mätningar?

T (°C) 597 647 697 747 797 847 897

%R(µ-cm) 0.0013 0.0022 0.0048 0.0078 0.0120 0.0200 0.0300

Svar: %. = 3.102 exp(-0.9 eV/kT) µ -cm, dvs EV = 0.9 eV och 1 % vakanshalt ger en resistivitetsökning av 3 µ -cm.

P4. Legeringar framställs ibland genom att pressa och sintra metallpulver. Anta att en CuNi legering med lika halt av Cu och Ni ska tillverkas, Anta att diffusionen för båda ämnena beskrivs av sama diffusionskonstant med Do = 0.1 cm2s-1 och

23

ED = 2 eV. Uppskatta de tider det bör ta att erhålla en homogen legering vid 727°C och vid 927°C. Partiklarna i pulvret har diametern 0.1 mm.

Svar: 1.6.106 s vid 727°C och 3.104s vid 927°C.

P5. a) Beräkna självdiffusionskoefficienten för Fe vid 850°C (Do = 2 cm2s-1, ED = 2.6 eV)

b) diffusionskoefficienten för C i Fe vid 850°C (Do = 0.020 cm2s-1, ED = 0.87 eV)

c) diffusionskonstanten för Ci Fe vid 950°C (fasomvandling till 4-Fe vid 910°C, Do = 0.1 cm2s-1, ED = 1.4 eV).

Svar: a) 4.26.10-12 cm2s-1 b) 2.5.10-6 cm2s-1 c)1.7.10-7cm2s-1

P6. Hur sker diffusionen av C i Fe. Härled ett uttryck för diffusionskonstanten, D, och definiera de storheter Du inför.