Glava 3. Matemati čGlava 3. Matemati čki modeli izravnanja 129 3.2. IZRAVNANJE PO METODI POSREDNIH MERENJA 3.2.1. FUNKCIONALNI I STOHASTI ČKI MODEL Kod modela posrednog izravnanja

Glava 3. Matematički modeli izravnanja

129

3.2. IZRAVNANJE PO METODI POSREDNIH MERENJA

3.2.1. FUNKCIONALNI I STOHASTI ČKI MODEL

Kod modela posrednog izravnanja nepoznati parametri tyx , ... , , odreñuju se na

osnovu niza merenih veličina nlll , ... , , 21 pod uslovom da suma kvadrata popravaka

merenih veličina ), ... ,2 ,1( nivi = bude minimalna (3.13) ili (3.14).

Broj merenih veličina n uvek je veći od broja nepoznatih parametara u

)( un > . Razlika unr −= predstavlja broj suvišno merenih veličina ili broj stepeni

slobode. Kada je un = rešenja su jedinstvena i tada ne egzistira izravnanje, a za un < problem nije definisan i ne postoje rešenja i izravnanje.

Kod izravnanja geodetskih mreža neophodno je definisati date veličine, merene veličine i nepoznate parametre (Sl. 3.3). Nepoznati parametri su najčešće koordinate tačaka

na primer u 2-D mrežama ) ,( ii yx ili u 3-D mrežama ), ,( iii zyx . Vrednosti koordinata

se odreñuju posrednim putem preko veličina koje se mere na terenu (uglovi, dužine, visinske razlike i druge veličine).

B(x ,y )

13 1D

3

... (x ,y )N B(x ,y )

N N2 22

B

...

D...n

...n

33(x ,y )

2D

n (x ,y )n n

1(x ,y )1 1

(x ,y )

2

A

D

A A

Slika 3.3. Date veličine ) , ... , ,( , NBAiyx ii = , merene dužine ) , ... 21( Di n,, iD = ,

mereni uglovi ), ... ,2 ,1( αα nii = i nepoznati parametri u), ..., (i,yx ii , 21= .

KONCEPTI MREŽA U GEODETSKOM PREMERU

130

Izmeñu merenih veličina i nepoznatih parametara uspostavlja se funkcionalna veza koja se za konkretni slučaj može izraziti odgovarajućom matematičkom funkcijom.

Neka je u cilju odreñivanja u nepoznatih parametara izmereno n fizičkih veličina. Funkcija veze izmeñu nepoznatih parametara i merenih veličina u opštem slučaju je oblika

) , ... , ,()ˆ ..., ,ˆ,ˆ(ˆ000 dttdyydxxFtyxFll iiiii +++==+= υ (3.15)

gde su:

nlll , ... , , 21 merene veličine,

nυυυ , ... , , 21 popravke merenih veličina,

nlll ˆ, ... ,ˆ ,ˆ21 izravnate vrednosti (ocene) merenih veličina,

tyx , ... , , istinite vrednosti nepoznatih parametara,

dttt

dyyy

dxxx

+=

+=+=

0

0

0

ˆ

. . .

ˆ

ˆ

izravnate vrednosti (ocene) parametara,

B(x ,y )

13 1D

3

... (x ,y )N B(x ,y )

N N2 22

B

...

D...n

...n

33(x ,y )

2D

n (x ,y )n n

1(x ,y )1 1

(x ,y )

2

A

D

A A

Slika 3.4. Privremene vrednosti parametara y,x ii00 , dužina

0iD i uglova

0iα .


131

dtdydx , ... , , priraštaji nepoznatih parametara,

000 , .... , , tyx približne vrednosti nepoznatih parametara,

nFFF , ... , , 21 funkcije veze.

Oblik funkcije (3.15) zavisi od vrste i oblika geodetske mreže, odnosno od problematike koja se rešava metodom posrednog izravnanja.

Ako su funkcije (3.15) nelinearnog oblika, onda se svode na linearni oblik

razvijanjem u Tajlorov red u okolini približnih vrednosti parametara 000 , ... , , tyx

dtt

Fdy

y

Fdx

x

FtyxFl iii

iii000

000 ....) , ... , ,(∂∂++

∂∂+

∂∂+=+υ , (3.16)

), ... ,2 ,1( ni = .

Iz (3.16) slede linearne jednačine popravaka oblika

iiiii fdtudybdxa +⋅++⋅+⋅= ...υ , ), ... ,2 ,1( ni =

ili

11111 ... fdtudybdxa +⋅++⋅+⋅=υ

22222 ... fdtudybdxa +⋅++⋅+⋅=υ

. . . (3.17)

nnnnn fdtudybdxa +⋅++⋅+⋅= ...υ

gde su:

parcijalni izvodi funkcije po nepoznatim parametrima

0x

Fa i

i ∂∂

= , 0y

Fb i

i ∂∂

= , ... , 0t

Fu i

i ∂∂

= , ), ... ,2 ,1( ui = (3.18)

slobodni članovi

iii ltyxFf −= ) , ... , ,( 000 , ), ... ,2 ,1( ni = . (3.19)

Parcijalni izvodi po nepoznatim parametrima u okolini njihovih približnih vrednosti nazivaju se koeficijenti čije se vrednosti mogu odrediti kada se razmatra konkretni slučaj. Njihove vrednosti zavise isključivo od oblika, razmere mreže i vrste merenih veličina.


132

B(x ,y )

123 1D

3

... (x ,y )N B(x ,y )

N N2 22

B

...

D...n

...

n

33(x ,y )

2D

n (x ,y )n n

1(x ,y )1 1

(x ,y )A

D

A A

Slika 3.5. Izravnate vrednosti parametara ii y,x ˆ ˆ , dužina iD i uglova iα .

Približne vrednosti nepoznatih parametara 000 , ... , , tyx mogu se razlikovati od

ocenjenih vrednosti tyx ˆ, ... ,ˆ ,ˆ sve dotle dok ne dolaze do izražaja članovi drugog i višeg

stepena u Tajlorovom redu (3.16). U konkretnom slučaju mogu se utvrditi dozvoljene razlike izmeñu približnih vrednosti parametara i njihovih ocena.

Kada su funkcije (3.15) linearnog oblika, tada se mogu neposredno odrediti ocene parametara, ili ako se iz praktičnih razloga uvode približne vrednosti parametara onda se njihove vrednosti mogu izabrati proizvoljno, odnosno neke vrednosti koje se mnogo ne razlikuju od ocenjenih vrednosti.

Pod obrazovanjem jednačina popravaka podrazumeva se odreñivanje koeficijenata

ia , ib , ...., iu i slobodnih članova if . Prema tome u jednačinama popravaka (3.17) kao

nepoznate veličine figurišu n popravaka iv i u priraštaja dtdydx , ... , , odnosno

ukupno un + nepoznatih veličina. Očigledno je da se jednačine popravaka (3.17) ne mogu neposredno rešavati, jer ima n jednačina u kojima postoji un + nepoznatih veličina unn +< .

Ovakav sistem jednačina ima višeznačna rešenja. Izravnanjem se obezbeñuju jednoznačni rezultati. Od mnoštva mogućih rešenja najbolje rešenje dobija se iz izravnanja koje ispunjava uslov minimuma (3.13) ili (3.14).

Jednačine popravaka (3.17) u matričnom obliku su


133

+

⋅

=

nnnnn f

f

f

dt

dy

dx

uba

uba

uba

MM

L

MOMM

L

L

M

2

1

222

111

2

1

υ

υυ

(3.20)

ili

fxAv +⋅= ˆ (3.21)

gde su:

=

nυ

υυ

M

2

1

v ,

=

nnn uba

uba

uba

L

MOMM

L

L

222

111

A ,

=

dt

dy

dx

Mx ,

=

nf

f

f

M

2

1

f

v vektor popravaka, A matrica koeficijenata (matrica dizajna), x vektor priraštaja i f vektor slobodnih članova.

Prethodno definisan linearni funkcionalni model (3.21) i stohastički model (3.3) predstavljeni su u tabeli 3.4.

Tabela 3.4.

fxAv +⋅= ˆ Linearni funkcionalni model (3.21)

ll QK ⋅= 2oσ Stohastički model (3.3)

Linearni funkcionalni i stohastički model posrednog izravnanja.

3.2.2. PRIMENA METODA NAJMANJIH KVADRATA

Kada su merene veličine stohastički nezavisne primenjuje se metod najmanjih

kvadrata min=⋅⋅ vPv lT (3.13).

Diferenciranjem (3.13) i iznalaženjem minimuma, sledi

0dvPvvPdv lT

lT =⋅⋅+⋅⋅

ili kako je


134

dvPvvPdv lTT

lT ⋅⋅=⋅⋅ )(

dobija se

0dvPv lT =⋅⋅⋅2

odnosno

0dvPv lT =⋅⋅ . (3.22)

Diferenciranjem (3.21)

xdAdv ˆ⋅= (3.23)

i zamenom (3.23) u (3.22) sledi

0xdAPv lT =⋅⋅⋅ ˆ

odnosno

0APv lT =⋅⋅

ili nakon transpozicije

0vPA lT =⋅⋅ . (3.24)

Kada se (3.21) uvrsti u (3.24) dobijaju se normalne jednačine

0f)x(APA lT =+⋅⋅⋅ ˆ

odnosno

0fPAxAPA llT =⋅⋅+⋅⋅⋅ ˆ (3.25)

ili kratko

0nxN =+⋅ ˆ (3.26)

gde je:

uu

n

iii

n

iiii

n

iiii

n

iiii

n

iii

n

iiii

n

iiii

n

iiii

n

iii

upbupaup

ubpbpabp

uapbapap

,1

2

11

11

2

1

111

2

...

............

...

...

=⋅⋅=

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

===

===

===

APAN lT

1,1

1

1

...

u

n

iii

n

iiii

n

iiii

fup

fbp

fap

=⋅⋅=

∑

∑

∑

=

=

=

fPAn lT

N matrica koeficijenata normalnih jednačina a n vektor koeficijenata slobodnih članova normalnih jednačina.

Iz (3.26) odreñuje se vektor nepoznatih parametara


135

nQnNx x1 ⋅−=⋅−= −

ˆˆ (3.27)

gde je inverzna matrica 1−N identična matrici kofaktora nepoznatih parametara xQ ˆ

1x NQ −=ˆ . (3.28)

Približne vrednosti nepoznatih parametara uvode se ili iz praktičnih razloga da bi se prilikom računanja operisalo sa manjim ciframa, ili služe za svoñenje nelinearnih funkcija na linearni oblik. Njihove vrednosti ne utiču na rezultat izravnanja.

Kada se ne koriste približne vrednosti nepoznatih parametara, jednačine popravaka glase

lxAv −⋅= ˆ (3.29)

gde je matematičko očekivanje

( ) ( )xAl ÊE ⋅=

a vektor popravaka v može se izraziti u funkciji vektora merenja l

( ) lIPAAPAAv lT1

lT ⋅−= −

][ . (3.30)

Ako se uvedu približne vrednosti nepoznatih parametara, sledi

( ) fxAlxxAv 0 +⋅=−+⋅= ˆˆ , lxAf 0 −⋅= (3.31)

gde je matematičko očekivanje

)()()( xAxAlxAf 00 EEE ⋅−⋅=−⋅= .

Vektor popravaka v postaje

=−⋅−=+−= − )]([1 lxAPA)APA(AIffPAA)PA(Av 0lT

lT

lT

lT

=⋅−+⋅−⋅= −− lIPAA)PA(AxAPAA)PA(AxA lT

lT

olT

lT

o ][ 11

lIPAA)PA(A lT

lT ⋅−= − ][ 1

Kao što se vidi, vektor popravaka v ostao je isti i nakon uvoñenja približnih vrednosti nepoznatih parametara.

Kada su merene veličine stohastički zavisne, onda se umesto uslova minimuma

(3.13) koristi (3.14), pa umesto matrice težina lP treba koristiti matricu 1lQ− .


136

3.2.3. KOVARIJACIONE MATRICE IZRAVNATIH VELI ČINA

Nakon primene MNK neophodno je odrediti tačnost veličina koje se dobijaju iz modela izravnanja odnosno, informacije o njihovim statističkim osobinama kao što su varijanse i kovarijanse.

Vektori x , l , v i y mogu se izraziti u funkciji vektora l

lPAQx lT

x ⋅⋅⋅= ˆˆ

lPAQAl lT

x ⋅⋅⋅⋅= ˆˆ

lIPAQAv lT

x ⋅−⋅⋅⋅= )( ˆ

lPAQGxGy lT

x ⋅⋅⋅⋅=⋅= ˆˆˆ

gde su: x vektor nepoznatih parametara, l vektor izravnatih veličina, v vektor popravaka,

y vektor funkcija i l vektor rezultata merenih veličina.

Za prethodne vektore obrazuje se zajednički vektor h oblika

lHl

PAQG

IPAQA

PAQA

PAQ

y

v

l

x

h

lT

x

lT

x

lT

x

Tx

⋅=⋅

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅

=

=

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

. (3.32)

Kovarijaciona matrica vektorske funkcije h je oblika

HT

lT

lh QHQHHKHK ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= 22oo ss (3.33)

gde je matrica kofaktora HQ oblika

TlH HQHQ ⋅⋅= (3.34)

odnosno

=

yyvylyxy

yvvvlvxv

ylvlllxl

yxvxlxxx

H

QQQQ

QQQQ

QQQQ

QQQQ

Q

ˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆ

(3.35)


137

ili

−=

Txx

Txxxx

Txxll

Txx

Txxxx

Txx

Txxxx

H

GGQ0AGQGQ

0AAQQ00

GAQ0AAQAQ

GQ0AQQ

Q

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

. (3.36)

VAŽNE RELACIJE:

1. Eksperimentalna standardna devijacija jedinice težine odreñena iz izravnanja

(a posteriori standarna devijacija)

untragso −

==−

−

− vQvQQvQv 1

lT

v1

l

1l

T

(3.37)

gde je fQfxnfQfvQv vTT1

lT1

lT =+= −− ˆ .

Standardna devijacija jedinice težine daje informacije o globalnoj tačnosti merenih

veličina koje učestvuju u izravnanju.

2. Matrice kofaktora veličina l , l i v

Ako se vektor l izrazi u obliku vll −= ˆ onda je matrica kofaktora

vlvlvll QQ2QQQQ +=−+= ˆˆˆ (3.38)

jer je 0Qvl

=ˆ .

3. Trag proizvoda matrica v1

l QQ−

=−= −−− )( T1l

1lv

1l AANQQQQ tragtrag

=−= −−− AQANQQ 1l

T1l

1l tragtrag

untragtragtragtraguunnnn

−=−=−=⋅⋅

−

⋅IINNI 1 (3.39)

4. Trag proizvoda matrica l

1l QQ ˆ−


138

=−= −− )(ˆ vl1

ll1

l QQQQQ tragtrag

=−= −−v

1ll

1l QQQQ tragtrag

uunnuntragnn

=−−=−−=⋅

)()(I (3.40)

5. Kovarijaciona matrica nepoznatih parametara

122ˆ

2ˆ )( −− ⋅=⋅=⋅= APANQK l

T1xx ooo sss (3.41)

6. Kovarijaciona matrica izravnatih veličina

T1l

TT1ll

AAPAAAANQK −− ⋅=⋅=⋅= )(22ˆ

2ˆ ooo sss (3.42)

7. Kovarijaciona matrica popravaka

)(22 T1lvv AANQQK −−⋅=⋅= oo ss (3.43)

8. Intervali poverenja

ii xrixxri stxstx ⋅+≤≤⋅− 2/,2/, ˆˆ αα µ (3.44)

ii lrillri stlstl ˆ2/,ˆ2/,ˆˆ ⋅+≤≤⋅− αα µ (3.45)

Parametar 2/,αrt uzima se iz tabele IV po argumentu verovatnoćeα i broja

suvišnih merenja unr −= .

9. Eksperimentalna standardna devijacija funkcije

GQG xT ⋅⋅⋅= ôF sσ (3.46)

a eksperimentalna standardna devijacija jedinice težine odreñuje se po formuli (3.37).

ARITMETI ČKE SREDINE

- Uopštena aritmetička sredina:

1−

=−

ns

vQv 1l

T

(3.47)


139

gde je: 1−=− ntrag v1

l QQ , eQe

NK 1l

T1

l −− ⋅=⋅= 122

ˆ ss ,

eQeN 1l

T −= , ( )1...11=Te ,

−⋅= − eeQ

RQQ 1l

lv

12s , 1ll QP −= ,

=⋅

1...11

............

1...11

1...11

nnR .

- Opšta aritmetička sredina:

111

2

−=

−=

∑=

n

vp

ns

n

iiivPv l

T

(3.48)

gde je: ∑=

==n

iip

1

ePeN lT ,

∑=

= n

iip

1

ˆ

1l

Q ,

−⋅=∑

=

−n

iip

s

1

2 1RPQ 1

lv .

- Prosta aritmetička sredina:

11

1

2

−=

−=

∑=

n

v

ns

n

iivvT

(3.49)

gde je: n== eeN T , n

1ˆ =l

Q ,

−⋅=n

s12 RIQv

ili

n

nss

iv

1−⋅= .


140

3.2.4. ALGORITAM IZRAVNANJA PO METODI POSREDNIH

MERENJA

Model izravnanja

fxAv +⋅= ˆ Linearni funkcionalni model.

ll QK ⋅= 2oσ Stohastički model.

Algoritam izravnanja

( ) nnlll ⋅= 121 ...Tl Vektor merenih veličina.

( ) ntyx ⋅= 1...Tx Vektor nepoznatih parametara.

( ) ntyx ⋅= 1000 ...T0x Vektor približnih vrednosti nepoznatih

parametara.

unnnn uba

uba

uba

⋅

=

...

.........

...

...

222

111

OA

Matrica koeficijenata (dizajna).

nnnp

p

p

⋅

=

000

000

000

000

2

1

OlP

Matrica težina merenih veličina.

( ) nnfff ⋅= 121 ...Tf Vektor slobodnih članova.

0nxN =+⋅ ˆ Normalne jednačine.

APAN lT ⋅⋅= Matrica koeficijenata normalnih jednačina.

fPAn lT ⋅⋅= Vektor slobodnih članova normalnih

jednačina.

nQnNx x1 ⋅−=⋅−= −

ˆˆ Vektor rešenja nepoznatih parametara.


141

fxAv +⋅= ˆ Vektor popravaka merenih veličina.

xnfQfvQv T1l

T1l

T ˆ+= −− Kontrola odreñivanja vektora v i x .

dttt

dyyy

dxxx

+=

+=+=

0

0

0

ˆ

. . .

ˆ

ˆ

Izravnate vrednosti (ocene) parametara.

iii vll +=ˆ Izravnate vrednosti merenih veličina.

)ˆ ..., ,ˆ,ˆ( tyxFL ii = Izravnate vrednosti merenih veličina.

ii lL ˆ= Definitivna kontrola izravnanja. Ako je

ii lL ˆ≠ nekorektno je formiran

funkcionalni model.

Ocena tačnosti

untragso −

==−

−

− vQvQQvQv 1

lT

v1

l

1l

T

Eksperimentalna standardna devijacija jedinice težine odreñena iz izravnanja (a posteriori standarna devijacija).

iii xxox Qss ⋅= Eksperimentalna standardne devijacije nepoznatih parametara.

iii llolQss ˆˆˆ ⋅= Eksperimentalna standardne devijacije

izravnatih veličina.

GQG xT ⋅⋅⋅= ôF ss

Eksperimentalna standardna devijacija funkcije nepoznatih parametara.

Intervali poverenja

ii xrixxri stxstx ⋅+≤≤⋅− 2/,2/, ˆˆ αα µ ooo szsz 21 ≤≤ σ

FrFFr stFstF ⋅+≤≤⋅− 2/,2/, αα µ

Po argumentu α i unr −= iz tabele IV

uzima se broj 2/,αrt .

FFF szsz 21 ≤≤ σ

Po argumentu α−= 1p i unr −=

iz tabele III uzimaju se brojevi z1 i z2.


142

3.3. IZRAVNANJE PO METODI USLOVNIH MERENJA


Kada merene veličine stoje u nekim matematičkim odnosima, takva merenja nazivaju se "uslovna merenja", a postupak odreñivanja izravnatih vrednosti merenih veličina naziva se izravnanje po metodi uslovnih merenja ili kraće "uslovno izravnanje". Uvek rezultati merenih veličina stoje u nekim matematičkim odnosima, koji zbog suvišnih merenja neće biti zadovoljeni.

Izravnate vrednosti merenih veličina il izražavaju se u funkciji merenih veličina

il i popravka iυ u obliku

iii ll υ+=ˆ , ), ... ,2 ,1( ni = . (3.50)

Zadatak uslovnog izravnanja sastoji se u tome da se za sve merene veličine il

odrede korespondentne popravke iυ i izravnate vrednosti merenih veličina il .

Neka je za rešavanje odreñenog problema izmereno n veličina. Označimo sa u broj neophodnih merenja. Razlika unr −= izmeñu izvršenih i neophodnih merenja jeste broj suvišnih merenja ili broj stepeni slobode. Uvek je nr < . Svako suvišno merenje omogućuje postavljanje nezavisnog matematičkog uslova. Ako postoji r suvišnih merenja onda se merene veličine mogu svrstati u r nezavisnih matematičkih uslova oblika

rnr

n

n

Tlllf

Tlllf

Tlllf

=

=

=

)ˆ ..., ,ˆ ,ˆ(

. . .

)ˆ ..., ,ˆ ,ˆ(

)ˆ ..., ,ˆ ,ˆ(

21

2212

1211

(3.51)

gde su T1, T2,..., Tr teorijske vrednosti funkcijaif , )r, ... ,2 ,1( =i . Konkretno značenje

ovih funkcija zavisi od vrste matematičkih uslova u kojima se nalaze merene veličine.

Zamenom (3.50) u (3.51) sledi

rnnr

nn

nn

Tlllf

Tlllf

Tlllf

=+++

=+++=+++

),...,,(

. . .

),...,,(

),...,,(

2211

222112

122111

υυυ

υυυυυυ

(3.52)


143

U opštem slučaju funkcije (3.52) su nelinearne. Pri linearizaciji odnosno razvijanju

funkcija (3.52) u Tajlorov red, merene veličine il imaju ulogu približnih vrednosti, a

popravke iυ ulogu priraštaja.

Posle linearizacije dobijaju se

rnn

rrrnr

nn

n

nn

n

Tl

f

l

f

l

flllf

Tl

f

l

f

l

flllf

Tl

f

l

f

l

flllf

=∂∂++

∂∂+

∂∂+

=∂∂++

∂∂+

∂∂+

=∂∂++

∂∂+

∂∂+

υυυ

υυυ

υυυ

...),...,,(

...),...,,(

...),...,,(

22

11

21

22

22

21

1

2212

11

22

11

1

1211

M

(3.53)

ili u obliku uslovnih jednačina poravaka

0...

0...

0...

2211

22211

12211

=++++

=++++=++++

rnn

nn

nn

rrr

bbb

aaa

ωυυυ

ωυυυωυυυ

M (3.54)

gde su parcijalni izvodi funkcija po merenim veličinama (koeficijenti uz popravke)

ii l

fa

∂∂= 1 , ), ... ,2 ,1( ni =

ii l

fb

∂∂= 2 , ), ... ,2 ,1( ni =

. . .

i

ri l

fr

∂∂= , ), ... ,2 ,1( ni =

i slobodni članovi jednačina popravaka

iiinii TMTlllf −=−= ) ..., , ,( 21ω , )r, ... ,2 ,1( =i .

Sa Mi i Ti označene su merene i teorijske vrednosti funkcije.

Uslovne jednačine (3.54) mogu se napisati u matričnom obliku


144

0=

+

⋅

rnn

n

n

rrr

bbb

aaa

ω

ωω

υ

υυ

MM

L

MOMM

L

L

2

1

2

1

21

21

21

(3.55)

ili

0ωvAT =+⋅ (3.56)

gde su:

=

n

n

n

rrr

bbb

aaa

L

MOMM

L

L

21

21

21

TA ,

=

nυ

υυ

M

2

1

v ,

=

rω

ωω

M

2

1

ω

A matrica koeficijenta uslovnih jednačina,v vektor popravaka i ω vektor slobodnih članova.


Tabela 3.5.

0ωvAT =+⋅ Linearni funkcionalni model (3.56)


Linearni funkcionalni i stohastički model uslovnog izravnanja.


Metod najmanjih kvadrata min=⋅⋅ vPv lT (3.13) primenjuje se za definisan

linearni funkcionalni i stohastički model (tabela 3.5).

U tom cilju obrazuje se Lagranžova funkcija oblika

( )ωvA2kvPvF TTl

T +⋅−⋅⋅= (3.57)


145

gde je ( )rkkk ...21=Tk vektor nepoznatih korelata. Diferenciranjem i

odreñivanjem minimum ove funkcije

0dvA2kdvPvvPdvdF TTl

Tl

T =⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=

odnosno

0AkPv TTl

T =−

ili nakon transpozicije

kAvPl ⋅=⋅

a odavde sledi vektor popravaka

kAPv 1l ⋅⋅= − . (3.58)

Zamenom (3.58) u (3.56) dobija sistem normalnih jednačina uslovnog izravnanja

0ωkAPA 1l

T =+⋅− (3.59)

ili kratko

0ωkN =+⋅ (3.60)

gde je:

rr

n

iii

n

iiii

n

iiii

n

iiii

n

iii

n

iiil

n

iiii

n

iiii

n

iii

rpbrparp

rbpbpabp

rapbapap

,1

21

1

1

1

1

1

1

1

21

1

1

1

1

1

1

1

21

=⋅⋅=

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

−

L

MOMM

L

L

APAN 1l

T ,

1,

2

1

rr

=

ω

ωω

Mω

N matrica koeficijenata normalnih jednačina a ω vektor slobodnih članova normalnih jednačina.

Iz (3.60) odreñuje se vektor nepoznatih korelata

ωNk 1 ⋅−= − . (3.61)

U praktičnim primenama nakon rešenja za vektor korelata k odreñuje se vektor

popravaka v (3.58 ) a zatim vektor izravnatih vrednosti merenih veličina l (3.50).

Kada su merene veličine stohastički zavisne, onda se umesto uslova minimuma

(3.13) koristi (3.14), pa umesto matrice težina lP treba koristiti matricu 1lQ− .


146


Vektori l , v , k i ω mogu se izraziti u funkciji vektora merenih veličina l

( )

lAω

lANωNk

lAANPωANPv

lAANPIlAANPlvll

T

T11

T11l

11l

T11l

T11l

⋅=

⋅−=−=

⋅−=−=

⋅−=−=+=

−−

−−−−

−−−−ˆ

ili u obliku zajedničkog vektora vektora h

( )lHl

A

lAN

AANP

AANPI

ω

k

v

l

h

T

T1

T11l

T11l

⋅=⋅

−−−

=

= −

−−

−−ˆ

. (3.62)

Kovarijaciona matrica vektorske funkcije h je oblika

HT

lT

lh QHQHHKHK ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= 22oo ss (3.63)

gde je matrica kofaktora HQ oblika

TlH HQHQ ⋅⋅= (3.64)

odnosno

=

ωωωkωvlω

kωkkkvlk

vωvkvvlv

ωlklvlll

H

QQQQ

QQQQ

QQQQ

QQQQ

Q

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆˆˆˆ

(3.65)

ili

−−

−

=

−

−−−

−−−−−−

−−−−

NIAP0

INANP0

APANPPAANP0

000PAANPP

Q

1l

111l

1l

11l

1l

T11l

1l

T11l

1l

H . (3.66)


147

VAŽNE RELACIJE:



rtragso

vQvQQvQv 1

lT

v1

l

1l

T −

−

−

== . (3.67)

gde je ωkvQv T1l

T −=− .




jer je 0Qvl

=ˆ .


l QQ−

== −−−l

T1l

1lv

1l QAANQQQQ tragtrag

rtragtragtragrr

====⋅

−−− INNAQAN 11l

T1 (3.69)


1l QQ ˆ−

=−= −− )(ˆ vl1

ll1

l QQQQQ tragtrag

=−= −−v

1ll

1l QQQQ tragtrag

rnrtragnn

−=−=⋅I (3.70)


)(2ˆ

2ˆ l

T1llll

QAANQQQK −−⋅=⋅= oo ss (3.71)


lT1

lvv QAANQQK −⋅=⋅= 22oo ss (3.72)


148


ii lrillri stlstl ˆ2/,ˆˆ2/,ˆˆ ⋅+≤≤⋅− αα µ (3.73)


suvišnih merenja r .

8. Eksperimentalna standardna devijacija funkcije

Neka su argumenti funkcije F izravnate veličine il

( )nlllfF ˆ ..., ,ˆ ,ˆ21=

ili u linearnom obliku

lhFF T0

ˆ+=

gde su

∂∂

∂∂

∂∂=

nl

F

l

F

l

Fˆ...ˆˆ

21

Th , ( )nldldld ˆ...ˆˆˆ21=Tl .

Eksperimentalna standardna devijacija funkcije F biće

hQhl

TôF ss = . (3.74)

3.3.4. ALGORITAM IZRAVNANJA PO METODI USLOVNIH

MERENJA

Model izravnanja

0ωvAT =+⋅ Linearni funkcionalni model.





149

=

n

n

n

rrr

bbb

aaa

...

.........

...

...

21

21

21

O

TA

Matrica koeficijenata (dizajna).

nnnp

p

p

⋅

=

000

000

000

000

2

1

OlP


( )rωωω ...21=Tω Vektor slobodnih članova.

APAN 1l

T ⋅⋅= − Matrica koeficijenata normalnih jednačina.

0ωkN =+⋅ Normalne jednačine.

ωNk 1 ⋅−= − Vektor rešenja korelata.

kAPv 1l ⋅⋅= − Vektor popravaka merenih veličina.

ωkvPv Tl

T −= Kontrola odreñivanja vektora v i k .

vll +=ˆ Vektor izravnatih vrednosti merenih veličina.

ini Tlllf =)ˆ ..., ,ˆ ,ˆ( 21 Definitivna kontrola izravnanja.

Ocena tačnosti

rtragso

vQvQQvQv 1

lT

v1

l

1l

T −

−

−

==


iii llolQss ˆˆˆ ⋅= Eksperimentalne standardne devijacije


hQhl

Tˆ⋅= oF ss

Eksperimentalna standardna devijacija funkcije.


150

Intervali poverenja

ii lrillri stlstl ˆ2/,ˆˆ2/,ˆˆ ⋅+≤≤⋅− αα µ ooo szsz 21 ≤≤ σ


Po argumentu α i r iz tabele IV uzima

se broj 2/,αrt .


Po argumentu α−= 1p i r iz tabele III

uzimaju se brojevi z1 i z2 .

3.4. IZRAVNANJE PO METODI USLOVNIH MERENJA

SA NEPOZNATIM PARAMETRIMA


Opšti oblik izravnanja predstavlja izravnanje po metodi uslovnih merenja sa nepoznatim parametrima. Ono nastaje kada merene veličine i nepoznati parametri učestvuju u istim matematičkim uslovima

rnr

n

n

Ttyxlllf

Ttyxlllf

Ttyxlllf

=

=

=

)ˆ ..., ,ˆ ,ˆ ,ˆ ..., ,ˆ ,ˆ(

. . .

)ˆ ..., ,ˆ ,ˆ ,ˆ ..., ,ˆ ,ˆ(

)ˆ ..., ,ˆ ,ˆ ,ˆ ..., ,ˆ ,ˆ(

21

2212

1211

(3.75)

gde su:

• il izravnate vrednosti merenih veličina

iii ll υ+=ˆ ) ..., ,2 ,1( ni = , (3.76)

• tyx , ... , , istinite vrednosti nepoznatih parametara,


151

dttt

dyyy

dxxx

+=

+=+=

0

0

0

ˆ

. . .

ˆ

ˆ

izravnate vrednosti parametara, (3.77)

000 , .... , , tyx približne vrednosti nepoznatih parametara,

dtdydx , ... , , priraštaji nepoznatih parametara,

• rTTT , ... , , 21 teorijske vrednosti funkcija.

Zamenom (3.76) i (3.77) u (3.75) sledi

rnnr

nn

nn

Tdttdyydxxlllf

Tdttdyydxxlllf

Tdttdyydxxlllf

=++++++

=++++++=++++++

),...,,,,...,,(

. . .

),...,,,,...,,(

),...,,,,...,,(

0002211

200022112

100022111

υυυ

υυυυυυ

Nakon linearizacije dobijaju se uslovne jednačine sa nepoznatim parametrima

0......

. . .

0......

0......

2211

22222211

11112211

=++++++++

=++++++++=++++++++

rrrrnn

nn

nn

WdtUdyBdxArrr

WdtUdyBdxAbbb

WdtUdyBdxAaaa

υυυ

υυυυυυ

(3.78)

gde su:

• parcijalni izvodi funkcija po merenim veličinama

ii l

fa

∂∂= 1 ,

ii l

fb

∂∂= 2 , ... ,

i

ri l

fr

∂∂= , ), ... ,2 ,1( ni =

• parcijalni izvodi funkcije po nepoznatim parametrima

0x

FA i

i ∂∂= ,

0y

FB i

i ∂∂= , ... ,

0t

FU i

i ∂∂= , ), ... ,2 ,1( ui =

• slobodni članovi uslovnih jednačina

iiinii TMTtyxlllfW −=−= ),...,,,,...,,( 00021 , )r, ... ,2 ,1( =i .

Uslovne jednačine sa nepoznatim parametrima (3.78) mogu se napisati u matričnom obliku


152

0=

+

⋅

+

⋅

rrrrnn

n

n

W

W

W

dt

dy

dx

UBA

UBA

UBA

v

v

v

rrr

bbb

aaa

MMOMO

2

1

222

111

2

1

21

21

21

...

.........

...

...

...

.........

...

...

(3.79)

ili

0wxBvAT =+⋅+⋅ ˆ (3.80)

gde su:

=

n

n

n

rrr

bbb

aaa

...

.........

...

...

21

21

21

O

TA ,

=

rrr UBA

UBA

UBA

...

.........

...

...

222

111

OB

=

nv

v

v

M

2

1

v ,

=

dt

dy

dx

Mx ,

=

rW

W

W

M

2

1

w

A i B matrice koeficijenta,v vektor popravaka, x vektor nepoznatih parametara i w vektor slobodnih članova.


Tabela 3.6.

0wxBvAT =+⋅+⋅ ˆ Linearni funkcionalni model (3.80)


Linearni funkcionalni i stohastički model uslovnog izravnanja sa nepoznatim parametrima.

U linearnom funkcionalnom modelu (3.80) postoji r uslovnih jednačina, n rezultata merenja i u nepoznatih parametara. Izravnanje ima smisla ako je r u> i n r u> − . Ako je r u= nema izravnanja, a ako je r u< zadatak je neodreñen.


153

Sva izravnanja su specijalni slučajevi izravnanja po metodi uslovnih merenja sa nepoznatim veličinama.



linearni funkcionalni i stohastički model (tabela 3.6.).

Ako je r n u< + , onda se sistem linearnih jednačina (3.80) može rešiti slično

uslovnom izravnanju posredstvom vektora korelata ( )rkkk ...21=Tk . U tom cilju

obrazuje se Lagranžova funkcija

( )wxBvA2kvPvF TTl

T +⋅+⋅−⋅⋅= ˆ

i odredi njen minimum

( ) 0AkPvvF TT

lT =−=

∂∂

2

0BkvF T =−=

∂∂

2

odnosno

kAPv 1l ⋅= − (3.81)

0kBT =⋅ . (3.82)

Kada se uvrsti (3.81) u (3.80) i dopiše (3.82) dobija se sistem normalnih jednačina uslovnog izravnanja sa nepoznatim parametrima

0kB

0wxBkNT =⋅

=+⋅+⋅ ˆ (3.83)

gde je

APAN 1l

T −=

matrica koeficijenata normalnih jednačina.

Iz prve jednačine sistema normalnih jednačina (3.83) može se izraziti vektor korelata k u obliku


154

)ˆ(1 wxBNk +⋅⋅−= −

i zamenom u drugu

0wNBxBNB 1T1T =⋅+⋅ −− ˆ

a odavde se dobija rešenje za vektor ocena nepoznatih parametara

wNBBNBx 1T11T ⋅−= −−− )(ˆ (3.84)

Kada se uvrsti (3.84) u (3.83) dobiće se rešenje za vektor korelata

wNNBBNBB[Nk 11T11T1 ⋅−= −−−−− ])( (3.85)

Vektor popravaka dobiće se pošto se uvrsti (3.85) u (3.81)

wANPwNBBNBBANPkAPv 11l

1T11T11l

1l ⋅−⋅=⋅= −−−−−−−− )( (3.86)

Kada je odreñen vektor popravaka v onda se odreñuje vektor izravnatih veličina

l u obliku

vll +=ˆ (3.87)

gde je l vektor merenih veličina.


Vektori x , l , v , k i w mogu se izraziti u funkciji vektora merenih veličina l

lANBNwNBNx T1T11

1T11 ⋅−=⋅−= −−−−ˆ

( ) lIAANPANBBNANP

wANPNBBNANPlvllT11

lT1T1

111

l

11l

1T11

11l

⋅+−=

=⋅−+=+=−−−−−−

−−−−−−

ˆ

( ) lAANPANBBNANP

wANPwNBBNANPvT11

lT1T1

111

l

11l

1T11

11l

⋅−=

=⋅−⋅=−−−−−−

−−−−−−

lANANBBNN

wNwNBBNNkT1T1T1

11

11T11

1

⋅−=

=⋅−⋅=−−−−

−−−−

)(

lAw T ⋅=


155


lHl

A

ANANBBNN

AANPANBBNANP

IAANPANBBNANP

ANBN

w

k

v

l

x

h

T

T1T1T11

1

T11l

T1T11

11l

T11l

T1T11

11l

T1T11

⋅=⋅

−−

+−−

=

=−−−−

−−−−−−

−−−−−−

−−

ˆˆ

(3.88)

gde je

BA)P(ABBNBN 11l

TT1T1

−−− == .

Kovarijaciona matrica hK vektorske funkcije h (3.88), ima oblik matrice (3.63),

matrica kofaktora HQ ima oblik matrice (3.64), pa sledi

=⋅⋅=

wwwkwvlwxw

kwkkkvlkxk

vwvkvvlvxv

wlklvlllxl

wxkxvxlxxx

TlH

QQQQQ

QQQQQ

QQQQQ

QQQQQ

QQQQQ

HQHQ

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆ

(3.89)

gde su dijagonalne submatrice

11xx NQ −=ˆˆ

1l

T1T11

11l

1l

T11l

1lll

PANBBNANPPAANPPQ −−−−−−−−− +−=ˆˆ

1l

T1T11

11l

1l

T11lvv PANBBNANPPAANPQ −−−−−−−− −=

1T11

11kk NBBNNNQ −−−− −=

NQww =

i vandijagonalne simetrične submatrice

1l

T1T11lx

PANBNQ −−−=ˆˆ

0QQ kxvx == ˆˆ

T11wx BNQ −=ˆ


156

0QQklvl

== ˆˆ

T11

11lwl

BBNANPQ −−−=ˆ

1T11

11l

11lvk NBBNANPANPQ −−−−−− −=

1l

TT11

11lvw PABBNANPQ −−−− −=

IBBNNQ T11

1kw −= −− .

VAŽNE RELACIJE:



urtragso −

==−

−

− vQvQQvQv 1

lT

v1

l

1l

T

(3.90)

gde je kwvQv T1l

T −=− .




jer je 0Qvl

=ˆ .


l QQ−

=−= −−−−−− )( lT1T1

11

llT1

l1

lv1

l QANBBNANQQAANQQQQ tragtrag

=−= −−−− BANQANBNAQAN 1l

T1T11l

T1 tragtrag

urtragtragtraguurr

−=−==⋅⋅

− IINN 11

1 (3.92)


1l QQ ˆ−


157

=−= −− )(ˆ vl1

ll1

l QQQQQ tragtrag

=−= −−v

1ll

1l QQQQ tragtrag

urnurtragnn

+−=−−=⋅

)(I (3.93)


1211

2ˆ )( −−− ⋅=⋅= BNBNK 1Tx oo ss (3.94)


))(( 112ˆ l

T1TT1ll

T1lll

QANBBNBANQQAANQQK −−−−− +−= os (3.95)


))(( 112l

T1TT1ll

T1lv QANBBBNBANQQAANQK −−−−− −= os (3.96)


ii xrixxri stxstx ⋅+≤≤⋅− 2/,2/, ˆˆ αα µ



stepeni slobode ur − .

3.4.4. ALGORITAM IZRAVNANJA PO METODI USLOVNIH

MERENJA SA NEPOZNATIM PARAMETRIMA

Model izravnanja

0wxBvAT =+⋅+⋅ ˆ Linearni funkcionalni model.



158





parametara.

nrn

n

n

rrr

bbb

aaa

⋅

=

...

.........

...

...

21

21

21

O

TA

urrrr UBA

UBA

UBA

⋅

=

...

.........

...

...

222

111

OB

Matrice koeficijenata (dizajna).

nnnp

p

p

⋅

=

000

000

000

000

2

1

OlP


( ) rrWWW ⋅= 121 ...Tw Vektor slobodnih članova.

0kB

0wxBkNT =⋅

=+⋅+⋅ ˆ

Normalne jednačine.

APAN 1l

T −= Matrica koeficijenata normalnih jednačina.

wNBBNBx 1T11T ⋅−= −−− )(ˆ Vektor rešenja nepoznatih parametara.

wNNBBNBB[Nk 11T11T1 ⋅−= −−−−− ])( Vektor rešenja korelata.

kAPv 1l ⋅= − Vektor popravaka merenih veličina.

kwvPv Tl

T −= Kontrola odreñivanja vektora v i k .


159

dttt

dyyy

dxxx

+=

+=+=

0

0

0

ˆ

. . .

ˆ

ˆ



)ˆ ..., ,ˆ ,ˆ( tyxFL ii = Izravnate vrednosti merenih veličina.

ini Ttyxlllf =)ˆ ..., ,ˆ ,ˆ ,ˆ ..., ,ˆ ,ˆ( 21 Definitivna kontrola izravnanja.

Ocena tačnosti

urtragso −

==−

−

− vQvQQvQv 1

lT

v1

l

1l

T


iii xxox Qss ⋅= Eksperimentalne standardne devijacije parametara.



gQg xT ⋅⋅⋅= ôF ss


Intervali poverenja



Po argumentu α i ur − iz tabele IV

uzima se broj 2/,αrt .


Po argumentu α−= 1p i ur − iz tabele

III uzimaju se brojevi z1 i z2.


160

3.5. IZRAVNANJE PO METODI POSREDNIH MERENJA

KADA SU PARAMETRI U ODREðENIM

MATEMATI ČKIM USLOVIMA


U geodetskom premeru se najčešće primenjuje izravnanje po metodi posrednih ili uslovnih merenja. Meñutim, mogu se pojaviti slučajevi izravnanja po metodi posrednih merenja kada nepoznati parametri treba da ispune odreñene matematičke uslove. Ovakvo mešovito izravnanje može imati primenu pri izravnanju mreža u geodetskom premeru, a naročito onih koje se koriste u inženjerskoj geodeziji, kada se zahteva da neki elementi (veličine) u toj mreži budu konstantni u procesu izravnanja, odnosno da posle izravnanja zadrže vrednosti koje su imali pre izravnanja.

Ako nepoznati parametri tyx , ... , , koji figurišu u jednačinama popravaka

(Potpoglavlje 3.2.)

11111 ... fdtudybdxa +⋅++⋅+⋅=υ

22222 ... fdtudybdxa +⋅++⋅+⋅=υ

. . . (3.98)

nnnnn fdtudybdxa +⋅++⋅+⋅= ...υ

stoje u r nezavisnih matematičkih uslova

0)ˆ,...,ˆ,ˆ( =tyxFi , )r, ... ,2 ,1( =i (3.99)

onda iz svakog matematičkog uslova proističe jedna uslovna jednačina (Potpoglavlje 3.3.)

0...

. . .

0...

0...

2222

1111

=++++

=++++=++++

rrrr dtUdyBdxA

dtUdyBdxA

dtUdyBdxA

ω

ωω

(3.100)

Jednačine popravaka (3.98) i uslovne jednačine (3.100) mogu se prikazati u matričnom obliku

fxAv +⋅= ˆ (3.101)

0ωxBT =+⋅ ˆ (3.102)


161

gde su:

=

nnn uba

uba

uba

...

.........

...

...

222

111

OA ,

=

rrr UBA

UBA

UBA

...

.........

...

...

222

111

O

TB

=

nv

v

v

M

2

1

v ,

=

dt

dy

dx

Mx ,

=

nf

f

f

M

2

1

f ,

=

rω

ωω

M

2

1

ω .

A i B matrice koeficijenta,v vektor popravaka, x vektor nepoznatih parametara, f i ω vektori slobodnih članova.

Prethodno definisan linearni funkcionalni model (3.101) i (3.102) kao i stohastički model (3.3) predstavljeni su u tabeli 3.7.

Tabela 3.7.

fxAv +⋅= ˆ

0ωxBT =+⋅ ˆ

Linearni funkcionalni model (3.101) i (3.102).

lo QK l ⋅= 2σ Stohastički model (3.3).

Linearni funkcionalni i stohastički model posrednog izravnanja kada su nepoznati parametri u odreñenim matematičkim uslovima.



linearni funkcionalni i stohastički model (Tabela 3.7.). U tom cilju obrazuje se Lagranžova funkcija

( )ωxB2kvPvF TTl

T +⋅+⋅⋅= ˆ (3.103)

gde je k vektor korelata


162

( )rkkk ...21=Tk .

Minimum funkcije (3.103) dobija se nakon diferenciranja i izjednačavanja sa nulom

0)ˆ(2

ˆ

=⋅+⋅⋅=

=⋅+⋅⋅+⋅⋅=

xdBkdvPv

xdB2kdvPvvPdvdFTT

lT

TTl

Tl

T

(3.104)

Diferencijalna promena vektora popravaka (3.101)

xdAdv ˆ⋅=

uvrsti se u (3.104)

0ˆ) ( =⋅+⋅⋅ xdBkAPv TTl

T (3.105)

ili, posle transponovanja, dobija se

0=⋅+⋅⋅ kBvPA lT (3.106)

Kada se uvrsti (3.101) u (3.106) i dopiše (3.102) dobija se sistem normalnih jednačina

0ωxB

0nkBxNT =+⋅

=+⋅+⋅ˆ

ˆ (3.107)

gde je:

APAN lT= matrica koeficijenata normalnih jednačina.

fPAn lT= vektor koeficijenata slobobodnih članova normalnih jednačina.

Neposredno iz prve jednačine (3.107) može da se izrazi vektor nepoznatih parametara x u obliku

)(ˆ nkBNx 1 +⋅−= −

i zamenom u drugu jednačinu (3.107) odreñuje se vektor korelata k

)()( nNBωBNBk 1T11T −−− −⋅=

ili

)()( fPANBωBNBk lT1T11T −−− −⋅= (3.108)

odnosno

][][][ fPAA)P(ABBA)P(ABωBA)P(ABk lT1

lTT11

lTT11

lTT −−−−− ⋅−⋅=


163

Rešenje za vektor ocena nepoznatih parametara je

fPAAPAkBAPAx lT1

lT1

lT −− −⋅−= )()(ˆ (3.109)


Vektori x , l , v , k i ω mogu se izraziti u funkciji vektora merenih veličina l

lPANBBNNPANx lT1T1

11

lT1 ⋅−= −−−− )(ˆ

lPANBBNANPAANl lT1T1

11

lT1 ⋅−= −−−− )(ˆ

lIPANBBNANPAANv lT1T1

11

lT1 ⋅−−= −−−− )(

lPANBNk lT1T1

1 ⋅= −−

lAω T ⋅=


lHl

PANBN

IPANBBNANPAAN

PANBBNANPAAN

PANBBNNPAN

k

v

l

x

h

lT1T1

1

lT1T1

11

lT1

lT1T1

11

lT1

lT1T1

11

lT1

⋅=⋅

−−−−

=

=

−−

−−−−

−−−−

−−−−

)(

)(

)(ˆˆ

(3.110)

gde je APAN lT= i BNBN 1T

1−= .

Kovarijaciona matrica hK vektorske funkcije h (3.110), ima oblik matrice (3.63),

matrica kofaktora HQ ima oblik matrice (3.64), pa sledi

=

kkkvlkxk

vkvvlvxv

klvlllxl

kxvxlxxx

H

QQQQ

QQQQ

QQQQ

QQQQ

Q

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

(3.111)

gde su dijagonalne submatrice

1T11

11xx NBBNNNQ −−−− −=ˆˆ


164

T1T11

1TT1ll

ANBBNNAAANQ −−−− −=ˆˆ

T1T11

1T11lvv ANBBNANAANPQ −−−−− +−=

1kk NQ =

i vandijagonalne simetrične submatrice

T1T1T1lx

ANBBNNANQ −−−− −= 11ˆˆ

0QQ kxvx == ˆˆ

0QQklvl

== ˆˆ

11

1vk BNANQ −−−= .

VAŽNE RELACIJE:



runtragso +−

==−

−

− vQvQQvQv 1

lT

v1

l

1l

T

(3.112)

gde je kωxAPffQfvQv Tl

T1l

T1l

T ++= −− ˆ .




jer je 0Qvl

=ˆ .


l QQ−

=+−= −−−−−− )( T1T11

1T1l

1lv

1l ANBBNANAANQQQQ tragtrag

=+−= −−−−−−

⋅BANQANBNAQANI 11

lT1T1

11

lT1 tragtragtrag

nn


165

runtragtragnrruu

+−=+−=⋅⋅II (3.114)


1l QQ ˆ−

=−= −− )(ˆ vl1

ll1

l QQQQQ tragtrag

=−= −−v

1ll

1l QQQQ tragtrag

rurunntragtragnn

−=+−−=−= −

⋅)(v

1l QQI (3.115)


)(2ˆ

1T11

11x NBBNNNK −−−− −⋅= os (3.116)


)(2ˆ

T1T11

1T1l

ANBBNANAANK −−−− −⋅= os (3.117)


)(2 T1T11

1T1lv ANBBNANAANQK −−−− +−⋅= os (3.118)


ii xrixxri stxstx ⋅+≤≤⋅− 2/,2/, ˆˆ αα µ



stepeni slobode run +− [ r je broj uslovnih jednačina (3.100)].


166

3.5.4. ALGORITAM IZRAVNANJA PO METODI POSREDNIH

MERENJA KADA SU PARAMETRI U ODREðENIM

MATEMATI ČKIM USLOVIMA

Model izravnanja

fxAv +⋅= ˆ

0ωxBT =+⋅ ˆ

Linearni funkcionalni model.






parametara.

unnnn uba

uba

uba

⋅

=

...

.........

...

...

222

111

OA

urrrr UBA

UBA

UBA

⋅

=

...

.........

...

...

222

111

O

TB

Matrice koeficijenata (dizajna).


167

nnnp

p

p

⋅

=

000

000

000

000

2

1

OlP


nnf

f

f

⋅

=

1

2

1

Mf ,

rr ⋅

=

1

2

1

ω

ωω

Mω

Vektori slobodnih članova.

0ωxB

0nkBxNT =+⋅

=+⋅+⋅ˆ

ˆ

Normalne jednačine.

APAN 1l

T −=

fPAn lT=

Matrica koeficijenata normalnih jednačina.

Vektor koeficijenata slobobodnih članova normalnih jednačina.

)()( fPANBωBNBk lT1T11T −−− −⋅= Vektor rešenja korelata.

fPAAPAkBAPAx lT1

lT1

lT −− −⋅−= )()(ˆ Vektor rešenja nepoznatih parametara.

fxAv += ˆ Vektor popravaka merenih veličina.

kωxAPffPfvPv Tl

Tl

Tl

T ++= ˆ Kontrola odreñivanja vektora v , x i k .

dttt

dyyy

dxxx

+=

+=+=

0

0

0

ˆ

. . .

ˆ

ˆ



)ˆ ..., ,ˆ,ˆ( tyxFL ii = Izravnate vrednosti merenih veličina.

ii lL ˆ= Definitivna kontrola izravnanja. Ako je

ii lL ˆ≠ nekorektno je formiran

funkcionalni model.


168

Ocena tačnosti

runtragso +−

==−

−

− vQvQQvQv 1

lT

v1

l

1l

T


iii xxox Qss ⋅= Eksperimentalne standardne devijacije parametara.



gQg xT ⋅⋅⋅= ôF ss


Intervali poverenja


FrFFr stFstF ⋅+≤≤⋅− 2/,2/, αα µ FFF szsz 21 ≤≤ σ

Po argumentu α i run +− iz tabele

IV uzima se broj 2/,αrt . Po argumentu α−= 1p i run +−

iz tabele III uzimaju se brojevi z1 i z2.

Documents

Glava 3. Matemati čGlava 3. Matemati čki modeli izravnanja 129 3.2. IZRAVNANJE PO METODI POSREDNIH MERENJA 3.2.1. FUNKCIONALNI I STOHASTI ČKI MODEL Kod modela posrednog izravnanja