Gli Elementi di Euclide

Libro VII

Definizioni1) Unità è ciò secondo cui ciascun ente è detto uno.2) Numero è una pluralità composta da unità.3) Un numero è “parte” di un [altro] numero, il minore di

quello maggiore, quando esso misuri il maggiore (= lo divida).

4) È “parti” invece di un numero, quando non lo misuri (= non lo divida).

5) Un numero maggiore è multiplo di un numero minore, quando sia misurato (= sia diviso) dal minore.

6) Numero pari è quello che è divisibile in due parti (= numeri) uguali.

7) Numero dispari è quello che non è divisibile in due parti (= numeri) uguali, ossia quello che differisce di un’unità da un numero pari.

8) Numero parimente pari è quello che è misurato (= è diviso) da un numero pari secondo un numero pari.

9) Numero parimente dispari è quello che è misurato (è diviso) da un numero pari secondo un numero dispari.

10) Numero disparimente dispari è quello che è misurato (= è diviso) da un numero dispari secondo un numero dispari.

11) Numero primo è quello che è misurato (= è diviso) soltanto dall’unità.

12) Numeri primi tra loro sono quelli che hanno soltanto l’unità come misura (= divisore) comune.

13) Numero composto è quello che è misurato da (ha per divisore) un qualche numero.

14) Numeri composti fra loro sono quelli che hanno un qualche numero come misura comune (= hanno un numero per divisore comune).

15) Si dice che un primo numero moltiplica un secondo numero, quando si ottenga un terzo numero componendolo con la somma di tante volte il secondo per quante sono le unità del primo.

16) Quando due numeri, moltiplicandosi fra loro, producano un terzo numero, il prodotto si chiama numero piano, ed i numeri che si moltiplicano fra loro si chiamano i suoi “lati”.

17) Quando tre numeri, moltiplicandosi fra loro, producono un quarto numero, il prodotto si chiama numero solido, ed i numeri che si moltiplicano fra loro si chiamano i suoi “lati”.

18) Numero quadrato è quello che è prodotto di due numeri uguali, ossia è un numero piano che ha per lati due numeri uguali.

19) [Numero] cubo è quello che è prodotto di tre numeri uguali, ossia è un numero solido che ha per lati tre numeri uguali.

20) [Quattro] numeri sono in proporzione quando, a seconda che il primo sia multiplo, sottomultiplo, o una frazione qualunque del secondo numero, corrispondentemente il terzo sia lo stesso multiplo, o lo stesso sottomultiplo, o la stessa frazione del quarto.

21) Numeri piani e solidi simili [fra loro] sono quelli che hanno i lati proporzionali.

22) Numero perfetto è quello che è uguale alla somma delle proprie parti (= dei suoi divisori).

Proposizione I

Se si prendono due numeri disuguali e si procede [a sottrazioni successive], togliendo di volta in volta il minore dal maggiore, [la differenza dal minore e così via], se il numero che [ogni volta] rimane non divide mai quello che immediatamente lo precede, finché rimanga soltanto l’unità, i numeri dati all’inizio saranno primi tra loro.

Infatti, dati i due numeri AB, CD e continuandosi a sottrarre di volta in volta il minore dal maggiore, le differenza dal minore e così via, il numero che ogni volta rimane non divida mai quello che immediatamente lo precede, finché rimane soltanto l’unità; dico che AB e CD sono primi tra loro, vale a dire che soltanto l’unità misura AB, CD.

Se AB, CD difatti non fossero primi fra loro, un altro numero li dividerebbe. Li divida, e sia esso E; e CD d’altra parte, dividendo BF, lasci [il resto] FA minore di CD,

mentre AF, dividendo DG, lasci [il resto] CG

minore di AF, e CG, dividendo FH, lasci [come resto] l’unità HA. Poiché dunque E divide CD, e CD divide BF, anche E divide BF (ass. 3); ma esso divide pure tutto quanto BA, per cui dividerà anche la differenza AF (ass. 2).

A

B D

C

E

F

H

G

Ma AF divide DG; anche E quindi divide DG (ass. 3); ed esso divide pure tutto quanto DC, per cui dividerà anche la differenza CG. Ma CG divide FH; anche E quindi divide FH (ass. 3); ed esso divide pure tutto quanto FA, per cui dividerà anche la differenza, cioè l’unità AH (ass. 2), pur essendo un numero: il che è impossibile. Nessun altro numero può quindi dividere i numeri AB, CD; dunque AB, CD sono primi tra loro (VII, def. XII). C.D.D.

È applicata in VII, 2.

Proposizione 2

Dati due numeri che non siano primi fra loro, trovare il loro massimo comun divisore.

Siano AB, CD i due numeri dati che non sono primi fra

loro. Si deve dunque trovare il massimo comun divisore di AB, CD.

Supponiamo dapprima che CD divida AB; ma esso d’altra parte, divide anche sé medesimo per cui CD [in tal caso] è divisore comune di CD, AB. Ed è evidente che è anche il massimo; infatti nessun numero maggiore di CD può dividere CD.

Se invece CD non divide AB, ed a partire da AB,

CD si continua a sottrarre di volta in volta il numero minore dal maggiore, la differenza dal minore, e così via, rimarrà un numero che dividerà quello immediatamente

precedente. Infatti, non si avrà come ultimo resto l’unità; in caso contrario AB, CD sarebbero primi fra loro (VII, 1), il che non è per ipotesi. Si avrà quindi un numero, come ultimo resto, che dividerà quello immediatamente precedente. E CD allora, dividendo BE, lasci il resto EA minore di CD, mentre EA dividendo DF, lasci il resto FC minore di EA, e si supponga che CF divida AE. Poiché dunque CF divide AE, ed AE divide DF, si ha che dividerà pure DF (ass. 3); ma divide anche se stesso, per cui dividerà anche tutta quanta la somma CD (ass. 1).

A

B D

C

G

E

F

Ma CD divide BE; quindi anche CF divide BE (ass. 3); ma divide pure EA, per cui dividerà anche tutta quanta la somma BA (ass. 1); ma esso divide pure CD; quindi CF è divisore comune è divisore comune di AB, CD. Dico ora che è anche il massimo. Infatti, se CF non fosse il massimo comun divisore di AB, CD, un altro numero, che fosse maggiore di CF, dividerebbe i numeri AB, CD. Li divida e sia esso G. E poiché G divide CG, ma CG divide BE, anche G divide BE (ass. 3); ma esso divide pure tutta quanta la somma BA, per cui dividerà anche la differenza AE (ass. 2). Ma AE divide DF; quindi anche G dividerà DF (ass. 3); ma esso divide pure tutta quanta la somma CD, per cui dividerà anche la differenza CF (ass. 2), cioè un numero maggiore dividerebbe un numero minore- il che è impossibile; non può quindi un altro numero che sia maggiore di CF, dividere i numeri AB, CD; dunque CF è il massimo comun divisore di AB, CD.

Applica VII, 1 È applicata in VII, 3, 4.

Corollario

È da ciò evidente che, se un numero divide [altri] due numeri, dividerà anche il loro massimo comun divisore.

Proposizione 3 Dati tre numeri che non siano primi fra loro, trovare il loro massimo

comun divisore.

Siano A, B, C i tre numeri dati che non sono primi fra loro; si deve dunque trovare il loro massimo comun divisore.

Infatti, si prenda il massimo comun divisore dei due numeri A, B (VII, 2), e sia esso D. Ora D o divide C o non lo divide. Lo divida, dapprima; ma esso divide anche A, B, per cui D divide A, B, C. Dico ora che è anche il massimo. Infatti, se D non fosse il massimo comun divisore di A, B, C, un altro numero, che fosse maggiore di D, dividerebbe i numeri A, B, C. Li divida, e sia esso E. Poiché dunque E divide A, B, C, dividerà pure A, B; dividerà quindi anche il massimo comun divisore di A, B (VII, 2, coroll.). Ma è D il massimo comun divisore di A, B, per cui E dividerebbe D, cioè un numero maggiore dividerebbe un numero minore: il che è impossibile. Non può quindi un altro numero, che sia maggiore di D, dividere i numeri A, B, C; dunque D è il massimo comun divisore A, B, C.

Ma sia adesso il caso in cui D [cioè il massimo comun

divisore di A, B] non divida per ipotesi il [terzo] numero C; dico in primo luogo, che C, D non sono numeri primi tra loro. Infatti, poiché A, B, C non sono primo fra loro, li dividerà un qualche numero. Il numero che divida A, B, C dividerà così anche A, B, e dividerà pure il massimo comun divisore di A, B, cioè D (VII, 2, coroll.); ma esso divide anche C, per cui si avrà che un numero divida entrambi i numeri D, C; non sono quindi D, C primi fra loro. Si prenda dunque il loro massimo comun divisore, e sia E (VII, 2). Poiché E divide D, e D divide A, B, anche E divide A, B (ass. 3); ma esso divide pure C, per cui E divide A, B, C; è quindi E divisore comune di A, B, C. Dico ora che è anche il massimo. Infatti, se non fosse E il massimo comun divisore di A, B, C, un altro numero, che fosse maggiore di E, dividerebbe i numeri A, B, C. Li divida, e sia F [il divisore supposto maggiore di E].

Poiché F divide A, B, C, divide pure A, B; dividerà quindi anche il massimo comun divisore di A, B (VII, 2, coroll.). Ma è D il massimo comun divisore di A, B; perciò F divide [in tal caso] D; ma esso divide anche C, per cui F divide D, C; dividerà quindi anche il massimo comun divisore di D, C (VII, 2, coroll.). Ma è E il massimo comun divisore di D, C; perciò F divide E, cioè un numero maggiore dividerebbe un numero minore: il che è impossibile. Non può quindi un altro numero, che sia maggiore di E, dividere i numeri A, B, C; dunque E è il massimo comun divisore di A, B, C

C.D.D.

Prop. 19. Se quattro numeri sono proporzionali, il prodotto del primo per il quarto sarà uguale al prodotto del secondo per il terzo; e se il prodotto di un primo numero per un quarto è uguale a quello di un secondo per un terzo, i quattro numeri saranno proporzionali.

Prop. 20. I numeri più piccoli fra quanti abbiano fra loro [a due a due] lo stesso rapporto, sono equisottomultipli dei numeri che hanno tra loro a due a due lo stesso rapporto, [rispettivamente] il numero maggiore del maggiore e quello minore del minore.

Prop. 21. I numeri primi fra loro sono i più piccoli fra quanti abbiano tra loro a due a due lo stesso rapporto.

Proposizione 29 Ogni numero primo è primo rispetto ad ogni altro numero

che esso non divida.

Sia A un numero primo e non divida B; dico che B, A sono primi fra loro. Infatti, se B, A non fossero primi fra loro, un altro numero li dividerebbe. Li divida C. Poiché C divide in tal caso B, ma A non divide B, il numero C non sarebbe uguale ad A. Ma poiché C divide B, A, esso anche dividerebbe A, che è primo pur non essendo uguale ad esso: il che è impossibile. Non può quindi un altro numero dividere B, A. Dunque A, B sono primi fra loro. C.D.D.

È applicata in: VII, 30; IX, 12, 36.

Proposizione 30

Se due numeri si moltiplicano fra loro, ed un altro numero, che sia primo, divide il prodotto, esso dividerà anche uno dei fattori.

Infatti, i due numeri A, B moltiplicandosi fra loro diano il prodotto A x B, ed un altro numero D, che è primo divida il prodotto A x B; dico che D divide uno dei numeri A, B.

Supponiamo difatti che D non divida A; ora D è primo, per cui A e D sono primi fra loro (VII, 29). E per quante volte D è contenuto in A x B, altrettante unità siano in E. Poiché dunque D è contenuto in A x B altrettante volte quante sono le unità contenute in E, si ha che D se moltiplica E, risulta dare il prodotto A x B (VII, def. XV).

Ma tuttavia pure A, moltiplicando B, risulta dare il prodotto A x B; perciò il prodotto di D per E è uguale a quello ci A x B. Quindi D sta ad A come B sta ad E (VII, 19). Ma D, A sono primi fra loro, i numeri primi fra loro sono anche i più piccoli possibili tra tutti quelli aventi a due a due lo stesso rapporto (VII, 21), ed i numeri più piccoli possibili sono equisottomultipli di quanti abbiano fra loro a due a due lo stesso rapporto, rispettivamente il numero maggiore del maggiore e quello minore del minore (VII, 20), vale a dire l’antecedente divide l’antecedente ed il conseguente divide il conseguente; quindi D divide B [cioè è un sottomultiplo di B]. Similmente potremo anche dimostrare che, qualora D non divida B, esso dividerà A. Dunque D divide [in ogni caso] uno dei numeri A, B. C.D.D.

Proposizione 31 Ogni numero composto ha per divisore un numero primo.

Sia A un numero composto; dico che A è diviso da un numero primo. Infatti, poiché A è composto, un altro numero lo dividerà. Lo divida, e sia esso B. Se allora B è primo, si sarebbe già conseguito quanto proposto. Ma se è composto, lo dividerà un altro numero. Lo divida, e sia esso C. Ora, poiché C divide B, ma B divide A, anche C divide in tal caso A (ass. 3). Se allora C è primo, si sarebbe già conseguito quanto proposto. Se invece è composto, lo dividerà un altro numero. Procedendo così in una tale ricerca, si finirà col trovare un numero primo che farà da divisore. Se infatti non lo si trovasse, infiniti numeri dividerebbero il numero A, dei quali uno sarebbe sempre minore dell’altro: il che è impossibile nel caso di numeri. Si finirà quindi col trovare un numero primo che divida il numero ad esso precedente, e che dividerà anche A. Dunque ogni numero composto....(secondo l’enunciato). C. D. D.

Proposizione 32

Ogni numero o è primo o ha per divisore un numero primo.

Sia A un numero; dico che A o è primo o A per divisore un numero primo. Se supponiamo dunque che A sia primo, si sarebbe già conseguito quanto proposto. Ma se è composto, lo dividerà un altro numero che sia primo (VII, 31). Dunque, ogni numero... (secondo l’enunciato). C.D.D.

Proposizione 34

Dati due numeri, trovare il numero più piccolo che essi dividano (cioè: trovare il loro minimo comune multiplo).

Proposizione 35

Se due numeri dividono un altro numero, anche il loro minimo comune multiplo dividerà quello stesso numero.

Proposizione 36

Dati tre numeri, trovare il loro minimo comune multiplo.

Gli Elementi di Euclide

Libro VII

Proposizione 11

Fra due numeri quadrati esiste un numero medio proporzionale, ed un numero quadrato ha con l’altro numero quadrato rapporto duplicato rispetto a quello che il lato [dell’uno] ha col lato [dell’altro].

Proposizione 12

Fra due numeri cubi esistono due numeri medi proporzionali, ed un numero cubo ha con l’altro numero cubo rapporto triplicato rispetto a quello che il lato dell’uno ha col lato dell’altro.

Proposizione 14

Se un numero quadrato ne divide un altro, anche il lato del primo dividerà il lato del secondo; e se il lato di un numero quadrato divide il lato di un altro numero quadrato, anche il primo quadrato dividerà il secondo quadrato.

Proposizione 15

Se un numero cubo ne divide un altro, anche il lato del primo dividerà il lato del secondo; e se il lato di un numero cubo divide il lato di un altro numero cubo, anche il primo numero cubo dividerà il secondo numero cubo.

Gli Elementi di Euclide

Libro IX

Proposizione XX

Esistono [sempre] numeri primi in numero maggiore di quanti numeri primi si voglia proporre. [cioè la serie dei numeri primi è illimitata]

Siano A, B, C i numeri primi proposti; dico che esistono numeri primi in maggior numero che A, B, C [cioè che ne esiste almeno un altro, oltre ad A, B, C]. Infatti, si prenda il minimo comune multiplo di A, B, C (VII, 36) e sia esso K; si aggiunga a K l’unità U. Ora il numero K + U o è primo o non lo è. Dapprima, sia un numero primo; si sono dunque trovati i numeri primi A, B, C, K + U che sono in maggior numero che A, B, C.

Ma sia adesso il caso in cui, per ipotesi, K + U non è primo, per cui esso è diviso da un numero primo (VII, 31). Sia diviso dal numero primo D; dico che D non è uguale a nessuno dei numeri A, B, C. Infatti, se possibile, sia uguale [a qualcuno di essi]. Ma A, B, C dividono K; perciò anche D dividerebbe K. Ma D divide pure K + U; ossia D dividerebbe, pur essendo un numero, anche l’unità U che rimane di K + U [ossia dividerebbe anche la differenza fra i due numeri consecutivi K + U e K, vale a dire, pur essendo un numero, dividerebbe l’unità U]: il che è assurdo. Quindi D non è uguale a nessuno dei numeri A, B, C. Ed è per ipotesi primo. Dunque si sono trovati numeri primi, cioè A, B, C, D, più numerosi di quanti numeri primi si siano proposti, cioè A, B, C. C.D.D.

Proposizione 36

Se, partendo dall’unità, si prendano quanti si voglia numeri raddoppiando successivamente sino a che la loro somma venga ad essere un numero primo, e se la somma stessa viene moltiplicata per l’ultimo dei numeri considerati, il prodotto sarà un numero perfetto.