GLI INSIEMI

Presentazione a cura della Prof.ssa

anNUNZIAta DI BIASE

Concetto d’insiemeRappresentazione degli insiemiInsiemi uguali, diversi, disgiunti, finiti ed infinitiInsieme vuoto, unitario e coppiaSottoinsiemi ed insieme delle partiOperazioni con gli insiemiProva di verifica

Concetto d’insieme

La parola insieme è sinonimo di aggregato, collezione, raccolta…di oggetti.

Il concetto matematico di insieme è un concetto primitivo ossia non definibile.

Costituisce un insieme, dal punto di vista matematico, ogni raggruppamento di oggetti, persone, simboli, numeri o cose (che vengono detti elementi) aventi una proprietà caratteristica comune.

In un insieme non ha importanza né la natura degli elementi, né che essi siano dello stesso tipo e né l’ordine in cui essi sono disposti, ma quello che conta è che dato un insieme, si possa con “assoluta precisione” dire se un dato oggetto appartiene, oppure no, ad esso e che i suoi elementi siano tutti distinti tra loro.

Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole dell’alfabeto latino: A, B, C,…gli elementi con le lettere minuscole dello stesso alfabeto: a, b, c,…

Non sono insiemi i raggruppamenti individuati dalle seguenti proposizioni:i ragazzi simpatici della tua classe;le città più belle d’Italia;i fiumi più lunghi d’Europa;

perché i concetti di: bellezza, bruttezza, bontà, ecc. sono concetti soggettivi e possono dare adito ad equivoci o incertezze.

Sono insiemi invece i raggruppamenti individuati dalle seguenti frasi:le città della Campania con più di 10000 abitanti;i rettangoli che hanno la base lunga 25 cm;il computer in figura, i cui elementi sono:

Elementi

Unità centrale di elaborazione

Unità centrale di elaborazione

mon

itor

mon

itor

mou

sem

ouse

cd-romcd-rom

RAPPRESENTAZIONE DEGLI INSIEMI

Gli insiemi si possono indicare nei seguenti modi:tabulare (o per elencazione), caratteristica, diagramma di Eulero-Venn.

Forma Tabulare: all’interno di una coppia di parentesi graffe, si elencano TUTTI gli elementi che appartengono all’insieme, separandoli con una virgola.

Es: l’insieme delle note musicali A = do, re, mi, fa, sol, la, si. Es: l’insieme delle lettere della parola

mamma; B = m, a.

Forma Caratteristica: all’’interno di una coppia di parentesi graffe, si scrive l’elemento generico dell’insieme e la proprietà caratteristica che li accomuna.

A = x / x è una nota musicale; B = x / x è una lettera della parola mamma.

Rappresentazione Eulero-Venn: Un insieme può anche essere rappresentato in modo grafico,

racchiudendo i suoi elementi all’interno di una linea chiusa non intrecciata. Gli elementi dell’insieme vengono evidenziati con punti interni alla linea, gli elementi che non appartengono all’insieme con punti esterni.

A B

do re mifa sol la si

m a

Insiemi uguali, diversi,disgiunti, finiti ed infiniti

Due insiemi si dicono: uguali quando sono formati dagli stessi elementi;

es: A = m, a; B = a, m e si scrive A = B ,diversi quando non tutti gli elementi sono uguali;

es: A = m, a; B = m, b; A = B,disgiunti quando nessun elemento di A appartiene a B;

es: A = m, a; B = c, d. Un insieme si dice:

finito quando si possono elencare tutti gli elementi; es: l’insieme dei fogli di un quaderno,

infinito in caso contrario;

es: gli insiemi numerici: N, Q a, R a, Z, Q, R.

Insieme vuoto, unitario e coppia

Un insieme si dice VUOTO quando non contiene elementi e si indica con il simbolo: oppure .

Es: l’insieme dei numeri pari che hanno 5 come ultima cifra; A = Un insieme si dice UNITARIO quando contiene solo un elemento.

Es: l’insieme dei numeri interi pari compresi tra 3 e 5; A = 4. Si chiama COPPIA un insieme formato da due elementi distinti.

Es: l’insieme formato dalle lettere della parola mamma; A = m, a.

Es: l’insieme formato dai due sportivi in figura.

 

Dati due insiemi A = 2, 4, 6, 8, 10 e B = 4, 8 , si dice che B è un sottoinsieme di A se TUTTI gli elementi di B appartengono anche ad A. Si dice anche che B è incluso in A.

Se invece B = 4, 9 si dice che B non è sottoinsieme di A, perché non tutti i suoi elementi appartengono ad A, infatti 4 appartiene ad A, ma 9 no. Si dice anche che B non è incluso in A.

A A

B B

B incluso in A B non incluso in A

L’insieme vuoto può essere considerato sottoinsieme di qualunque altro insieme.

Ogni insieme A ha almeno due sottoinsiemi: l’insieme A stesso e l’insieme vuoto; tali insiemi si dicono sottoinsiemi impropri di A.

Qualunque altro sottoinsieme che non sia improprio si dice proprio.

SOTTOINSIEMI

6 10 2

4 86 8

2 10 4 9

Insieme delle parti

Dato un insieme A, si chiama insieme delle parti, e si indica con P (A), l’insieme che ha per elementi tutti i sottoinsiemi propri ed impropri di A.

Il numero degli elementi dell’insieme delle parti di A, dipende dal numero degli elementi di A. Se A ha n elementi, P (A) ne ha 2n .

Sia A = . Poiché A non contiene elementi, l’unico suo sottoinsieme è l’insieme vuoto stesso, infatti 20 = 1 e P (A) = .

Sia A l’insieme delle consonanti della parola “mamma”; poiché

A = m, i soli sottoinsiemi che si possono formare sono i due insiemi impropri e A stesso, infatti 21 = 2 e P (A) = , A.

Sia A l’insieme delle lettere della parola “mamma”; poiché

A = m, a i sottoinsiemi che si possono formare sono quattro: due impropri e due propri, infatti 22 = 4, e P (A) = , A, m, a .

Sia A l’insieme dei numeri interi pari compresi tra uno e sette; poiché A = 2, 4, 6 i sottoinsiemi che si possono formare sono otto: due impropri e sei propri, infatti: 23 = 8 e

P (A) = , A, 2 , 4 , 6 , 2, 4 , 2, 6 , 4, 6 .

P (A)

E così via.

2 4A

6

2 4

6

Operazioni fra insiemi

Le OPERAZIONI tra due o più insiemi sono: unione, intersezione, differenza, differenza simmetrica, prodotto cartesiano.

Dati due insiemi A = 2, 3, 4e B = 3, 5, si dice loro unione l’insieme D i cui elementi appartengono ad A oppure a B. Per indicare che D è l’unione di A e B si scrive: D = AUB = 2, 3, 4, 5. L’unione gode della proprietà commutativa, perché invertendo l’ordine degli insiemi il risultato non cambia.

A B

D

2 3 4 3 5

2 3 4 5

Dati due A = 2, 3, 4 e B = 3, 5, si dice loro intersezione l’insieme C i cui elementi appartengono sia ad A che a B. Per indicare che C è l’intersezione di A e B si scrive: C = A n B = 3. Se i due insiemi sono disgiunti l’intersezione è uguale al vuoto. L’intersezione gode della proprietà commutativa.

A C B

2 4 3 5

Dati due insiemi A = 2, 3, 4 e B = 3, 5, si dice insieme differenza l’insieme degli elementi di A che non appartengono a B e si scrive A – B = 2, 4; invertendo gli insiemi si ottiene B – A = 5, da ciò si può dedurre che la differenza NON gode della proprietà commutativa, perché i risultati ottenuti sono diversi.

A B

C = A – B D = B – A

2 4 3 5

Dati due insiemi A = 2, 3, 4 e B = 3, 5, si dice differenza simmetrica l’insieme degli elementi di A e di B esclusi gli elementi comuni e si scrive: A B = 2, 4, 5. La differenza simmetrica gode della proprietà commutativa.

A

A B B

2 3 4

3 5

2 4 5

Dati due insiemi A e B non vuoti, si chiama prodotto cartesiano A x B l’insieme formato da tutte le coppie ordinate tali che il primo elemento appartiene all’insieme A e il secondo all’insieme B.

Es: se A = 2, 3, 4 e B = 3, 4 allora A x B = (2; 3), (2; 4), (3; 3), (3; 4), (4; 3), (4; 4); B x A = (3; 2), (3; 3), (3; 4), (4; 2), (4; 3), (4; 4). Esso NON gode della proprietà commutativa. Il prodotto cartesiano può essere rappresentato nei seguenti modi:

diagramma cartesianodiagramma a freccetabella a doppia entratadiagramma ad albero

diagramma cartesiano A x B 

  B

 

 

4 ( 2 ; 4 ) ( 3 ; 4 ) ( 4 ; 4 )

3 ( 2 ; 3 ) ( 3 ; 3 ) (4 ; 3 )

 

 

 

2 3 4 A

diagramma sagittale ( o a frecce ) A x B          

2

3

4

3

4

tabella a doppia entrata A x B

B 3 4 A

2 ( 2; 3) ( 2; 4)

3 ( 3; 3) (3; 4)

4 (4; 3) (4; 4)

diagramma ad albero A x B

( 2; 3)

2

(2; 4)

(3; 3)

3

(3; 4)

(4; 3)

4

(4; 4)

PROVA DI VERIFICA Ora prova tu: prendi penna e foglio e risolvi i seguenti esercizi.

Riconosci quale delle seguenti frasi individuano un insieme e rappresentalo nel modo che ritieni più opportuno:

il lago più piccolo d’Italia;

i triangoli;

i punti cardinali;

i libri di avventure più avvincenti;

i libri della biblioteca;

i tuoi amici più cari;

i poligoni che si disegnano più facilmente;

i mesi dell’anno.

Utilizzando le frecce associa i seguenti simboli alle loro descrizioni:

intersezione

diff. simmetrica

inclusione

unione

C

U

n

E’ dato il diagramma di Venn rappresentato in figura.

A

D

Di’ quali delle seguenti affermazioni sono vere (V) e quali false (F):

V F V F

B è sottoinsieme di A A e D sono disgiunti

D è sottoinsieme di A B e D sono disgiunti

C è sottoinsieme di B B e C sono disgiunti

B C

Osserva le seguenti figure e per ognuna determina gli insiemi:

A; B; A U B; A n B; A – B; B – A; A B;

fig.1 E fig.2 F

5A B

6

1 2

3 4

5 B

8 6

4

A 3

1 2

Stabilisci quali delle seguenti affermazioni sono vere (V) e quali false (F):

V F

1. A u B = B u A

2. A – B = B – A

3. A n B = B n A

4. A B = B A

5. A x B = B x A

La presentazione è terminata.