31

GLOBAL SOLUTIONS TO THE GRADIENT FLOW EQUATION OF A

  • Upload
    haanh

  • View
    220

  • Download
    2

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: GLOBAL SOLUTIONS TO THE GRADIENT FLOW EQUATION OF A

���������������� ���������������������������������! "���$# �&%' ����$���'�(�' �)���'��*+�'�-,��/.� " ��*����0�'�����213547698;:<:<8>=?=7@BA7@DC0E7FG4?AIHKJMLN3NLIO0EKP9Q9RS8�4?TUL�HN:<@BA�@WVXZY\[^]`_`acbd]feg$h/iDjlk0m0nGjWoph/q9rtsvuxwlydmpz{h^|fj5}�~���~d�7jlo0h/|p~x|0�t~x|���h��+��kp|p��jlz{~x|pyd���\�<�����Z� ���r7�����`� �W��� ���U������� E �7oph^wlh� �����/� �S "z{|U��� r�¡^¢ � 4 g$h/ilop~t��jWoph�h���z{iWjWht|0�th&~d�Iy$ux�{~x£pyd�7z{|'jWz{ "hZ¤U~xiWilz{£p� nGmpz{il�^~x|�jlz{|fkp~xkpiZiW~x�{k0jlz{~x|��iWjlydwWjWz{|pu¥��wl~x ¦y¥ "z �0h^m0s�jvn0¤ch"z{|pz jWz�yd�9m�y`jWkp §� � E z 4 h 4{E �7oph^|+� � z{i5y¥¤pz{h^�th��7z{ilhZiW "~�~djWo���kp|p��jWz{~x|+o�yt��z{|pumph^wlz �dy`jlz ��h>j¨yd©fz{|puN�dyd�{kph^iª£c~djWo5z{|«jWoph9wlh^uxz{~x|«�7oph^wlh �c¬ ¬M­�® yd|0m��7oph^wlh �U¬ ¬ � ® 4 g$h9iWop~��Gjlo�y`j E z{|«uxh^|ph^w¨yd� EjWoph"wlh^uxz{~x|&�7oph^wlh�jWoph"mph^wlz �dy`jlz ��h�~d�?��jlyd©xhti«�xyd�{k0hti¯�7oph^wlh �U¬ ¬ � ® ¤pwW~xuxwlh^iliWz ��h^� n�mpz{i¨yd¤p¤chtydwli¯�7opz{�{h�jlophwlh^uxz{~x|°��o0htwWh � ¬ ¬ z{i7¤c~xiWz jlz ��h¯uxwW~��7i 4 g$h¯ilop~t��jlo0z{i�£ch^o�yt��z{~xkpw?�7z jlo/il~x "hI|fkp "h^wlz{�tyd�Uh^��¤ch^wlz{ "h^|fjWi 4±�²f³µ´�¶ _d·\[xe A ~x|p�^~x|���h�����kp|p��jlz{~x|pyd�{i E ��~xwD�?ydwlm0s¸£�yd�¨©��?ydwlm¤�ydw¨yd£c~x�{z{�&h^¹�kpy`jlz{~x|pi ENº |0z jlh�h^�{h^ "ht|�jWi "h�jlo0~�mXZ»½¼�[`¾<YÀ¿ ² bd]ZbfÁÂac[t[`Ã{Ībxap]xà ¶ÀÅ [xeNÆxÇxȯÇxÇ E ÆxÇ 6 ® ÇÉ;Ê �fË9ÌfÍ�Î?ÏNÐ�ÑUÌ�ÒDÎ;Ë Ê$Ó?ÔfÕ�ÖØ×?ÙÛÚÝÜ ÞMßdà&áµâ�ã;Ô+Õ�äMÔ'åMæ�åªç�æ�å<èUÔ�é�çfæUåÀÕ�ê�å<ëMæUë>ì�íBëMåªçxÕ`ê�æ�åî ÔfïªåMÔ î-ð ìÖNñDòUâ"×�óõô òcö÷êÂíZø òªø\ù¦úcßú æcÕ�äªÔfû`ü"ê�ì�Ôcý ñ^ú�þ�úpâ

ÿ å�Õ�äMê¸ì�� ð �>Ô�û"ü5Ô&ìtÕ�ë î�� Õ�äªÔ���ö���Uû ðUî ê�Ô�å�Õ�ªæ�ü¦æcí7Õ`äMÔ&åMæ�åªç�æ�åÀè�Ô�é'íBëMå>çxÕ�ê�æUå ð ���� ñ��9â�×�ó ú� ������� ��� ÖNñ�� ��â"!$#7ß �&%&')(�ñDÞMß�ú0â�ß ñ^ú�þ � âü"äMÔ�û�Ô*� ��ìtÕ ð å î ì�íBæUû2Õ`äMÔ ð ã>ìtæ � ë\Õ`Ô �+� ç�æ�å�Õ`ê�å<ëMæ�ëªì�� ð û�Õ"æcí�Õ�äMÔ î ê¸ìtÕ�û`ê�ãMëMÕ�ê�æUå ð,�?î Ôfû`ê�è ð Õ�ê�èUÔ�æcí�Nþ.-°æcÕ�ÔÕ�ä ð Õ�Ö 1d1&/ Þ10¯ü"äMÔfû`Ô�Ö 1d1 ê¸ì�Õ`äMÔ�çfæUå<èUÔfé½Ô�å<èUÔ � æ,�;Ô�æUí/Ö20�äMÔ�åªç�Ô�Õ�äMÔ3� ö � � æ�ü5Ô�ûì�Ô54+ê�çfæUåÀÕ�ê�å<ëMæUë>ì2Ôfå<èUÔ � æ$�>Ô¥æcí ��� ê¸ì"ê î ÔfåÀÕ�ê¸ç ð,�6�+�87 Ôfû`æªþ9-°æcÕ�Ô ð,� ì�æGÕ�ä ð ÕZêÂíIÕ`äMÔ&ê�åªêÂÕ`ê ð,��îMð Õ�ë�4� � ê�ì5ì:4+æ<æcÕ`ä ð å î ì�ëªçdä+Õ`ä ð Õ;� � � ñtÜ ÞMß�ú=<Bâ;>§ñ�?&ú�ßfúpâ�0Uê�Õ5ê¸ì«û`Ô ð ìtæ�å ð ã � Ô�Õ�æ � æ<æ,@$íBæUû ð ìtæ � ëMÕ�ê�æUåæcí;Õ�äªÔA�Uû ðUî ê�ÔfåÀÕ�ªæ�üµæcí � � ü"äMê¸çdä+çfæUê�åªç�ê î Ô0ì¯ü"êÂÕ`ä+Õ�äMÔ"ë>ìtë ð,� ì�æ � ë\Õ�ê�æUå+æcí;Õ�äªÔZäMÔ ð Õ«Ô�BÀë ð Õ�ê�æUåìtÕ ð û�Õ�ê�å���íBû�æ$4C� � þ ÿ åD� ð û�Õ�ê¸ç�ë �¸ð ûE0¯ìtëªçdä ð ì�æ � ë\Õ�ê�æUå�ç ð åMåªæcÕGçfæUê�åªç�ê î Ôü"êÂÕ`ä Õ�äªÔ�ìtÕ ð å î ê�å��ì�æ � ë\Õ�ê�æUåF�Iñ�#�ß:Gtâ / � � ñ�#;â�æUãMÕ ð ê�åMÔ î ð ì�Õ�äªÔH��û ð�î ê�Ô�åÀÕIªæ�ü æUíZÕ�äMÔ � æ�ü5Ô�û�ì�Ô54+ê�çfæUåÀÕ�ê�å<ëMæUë>ìÔfå<è�Ô � æ,�;Ô�æUí � � þJ äMÔ¥ìtæ � ëMÕ�ê�æUå8�Iñ�#�ß:Gtâ5æcí7Õ�äMÔ/íBæUûK4 ð � �Uû ðUî ê�ÔfåÀÕLªæ�ü æcí � � ì�äMæUë ��î ì ð Õ�ê¸ì^í � Õ`äMÔ°íBæ �6� æ�ü"ê�å��Ôfè�æ � ë\Õ�ê�æUå�Ô�BÀë ð Õ�ê�æUå MN

O NP�RQIóS�R�E� ü"äªÔfû`Ô'ø � �ªøUT úcß�RQIó Þ ü"äªÔfû`Ô'ø � �ªøUV úcß�IñDÞÀâ«óW� � ß ñ^ú�þ XÀâ

Y = o0h5ydk�jlop~xwWiIuxw¨y`jWh���k0�{� n¥yd�¨©f|p~t���{h^mpuxh«jWoph5o0~xil¤pz jlyd�{z jvn&yd|pm/jloph�ilk0¤p¤c~xwWj�~d�>jWophLZ9ht|�jWwl~\[Nh 3 z{~xwluxz<~d�jWoph�]f�tk0~x��y A ~xwl Zyd�{h^]fkp¤chtwWz{~xwlhKmpz T z{i¨y E �7oph^wlhKjWopz{iª¤�yd¤chtwª�?ydi;¤pydwWjWz�yd�{� n5�7wlz jDjWht| E yd|pm2~d�Ujloph F y`� T ��yd|p�l©@ |piDjlz jWk0jWh�z{|¥jWoph"]f�tz{h^|p�^h^i¯z{| : h^z{¤`_^z{u E �7oph^wlh«jlo0z{iN¤�yd¤ch^wN�?ydiI�^~x|p�^�{kpm0htm 4¯= oph�ydk�jlop~xwWi¯ydwlh�yd�{iW~°uxwly`jlh���kp�jW~�jlo0h�wWh���h^wlh^h^iK��~xw?iWh^��h^wlyd�<z{|fjWh^wlh^iWjWz{|pu2�^~x " "h^|�jli 4C:[Nz{¤�ydwWjWz{ "h^|fjW~¥mpz F y`jlh^ Zy`jWz{�ty ERa |pz ��h^wliWz jcby�m0zed7~x Zy\f = ~xw J h^wlu�y`jlycf¥�0z�y/mph^�{��y*d7z{�^h^wl�ty�]��^z{h^|�jlz º �ty E®x® ¢ ÆxÆ d?~x Zy E0@ jlyd� n E ht Zydz{�¸�hg5i=j�jcick�k`l:m�n`ock�p+q�rsl�t5uvn`o�wxpylzkO [Nz{¤�ydwWjWz{ "h^|fjW~Impz F y`jlh^ Zy`jWz{��y E5a |pz ��h^wliWz jcbyNm0z T z{ily E�: ydwlux~ 6N4xT ~x|fjWh^�t~xwD��~ Ç E Ç�{ ¢:|=} T z{i¨y Ed@ j¨yd� n E h^ Zydz{�¸�r�uK~=oc�=o�mc�:n p+q�rslv�sl,pyl�kV�[Nz{¤�ydwWjWz{ "h^|fjW~"mpz F y`jWh^ Zy`jlz{�ty E$a |0z ��htwWilz jKby2mpzU�Mz{wlh^|`_^h E �0z�yd�{h F ~xwWu�ydux|pz { }�� L5E Ç ® ¢ Æc� �Mz{wlh^|`_^h Ec@ j¨yd� n Eh^ Zydz{�¸�x�5o=u�j�lvrsl:m�n`ockc�1p+q�rsl��`l,pyl�k ¢

Page 2: GLOBAL SOLUTIONS TO THE GRADIENT FLOW EQUATION OF A

� 354c698;:À:<8;=?=?@BA�@¨EcFG40AIHKJML�3NL LNA [ 8�4pTUL�HN:<@BA�@ãMë\Õ"Õ`äMÔ&ã;Ôfä ð è<ê�æUëMû"æUí7Õ�äªÔ&ê�åÀÕ�Ô�ûtí ð ç�Ô��<ø � �ªøUó ú �¥ê�ì"åªæcÕ ð ��� ð û`ÔfåÀÕ�þ� äMê � ÔÔ�é\ê¸ì^Õ`ÔfåªçfÔ ð å î û�Ô��Uë �¸ð û`êÂÕ � Õ�äMÔ�æUû`ê�Ô0ì&íBæUûGìtæ � ëMÕ�ê�æUåªì&æUíA�Uû ðUî ê�ÔfåÀÕ�ªæ�üõÔEB�ë ð Õ�ê�æUå>ìæUû`ê+�Uê�å ð Õ`Ô î ã � ç�æ�åÀè�Ô�é�ÔfåªÔfûK�Uê�Ô�ìZê¸ì�ü5Ô �6� Ô0ì^Õ ð ã � ê�ì�äMÔ î ñDì�ÔfÔ�íBæUû¥ê�åªì^Õ ð åªçfÔÜ�ú�Þ`<0«Ü � � <0¯Ü �,<y0«Ü � <Bâ�0èUÔ�û ��� ê�ÕtÕ � Ô-ê�ì�@<åMæ�ü"å�íBæUû'åMæ�åªç�æ�å<èUÔ�é Ô�èUæ � ë\Õ`ê�æ�åD�Mû`æUã � Ô54'ì�þ J äMÔ34 ð ê�å î ê���çfë � Õ � ê�ì î ëªÔÕ�æ�Õ�äMÔ$í ð ç�Õ°Õ�ä ð Õ/åªæUåªçfæUå<èUÔfé<ê�Õ � æUí¯Õ�äMÔ�ÔfåMÔ�ûz� ��î Ôfåªì�êÂÕ ��� Ô ðUî ì°ê�å��UÔ�åMÔfû ð � Õ�æ�ê �+� �;æ�ì�Ô î ñDêWþ ÔUþã ð çc@Àü ð û î � ð û ð ã;æ � ê�ç0â��Mû`æUã � Ô54'ì ð å î 0 ð ì ð ç�æ�åªìtÔEBÀëMÔfåªçfÔ,0UÕ�æ�ê�åªìtÕ ð ãªê � êÂÕ`ê�Ô0ì�ê�å+Õ�äªÔ°Ôfè�æ � ë\Õ�ê�æUå7þJ äMÔ �¸ð çc@<åMÔ0ì�ìIæUí9íBæUû`ü ð û î � ð û ð ã;æ � ê¸ç�ê�Õ � æcí9Õ�äªÔZÔ�BÀë ð Õ�ê�æUå'ìtäªæ�üZìNÕ�ä ð Õ�Ôfè�ÔfåGÕ�äMÔ � æ\ç ð,� ê�å+Õ�ê+4+ÔÔ�é\ê¸ì^Õ`ÔfåªçfÔ�æUí ð ì�æ � ë\Õ�ê�æUå�ñDê�åGìtæ$4+Ô�û`Ô ð ì�æUå ð ã � Ô«ç �¸ð ì`ì7æUí\íBëMåªç�Õ�ê�æUåªìdâ?ê¸ì�åMæcÕ¯ì^Õ`û ð ê6��äÀÕtíBæUû`ü ð û î 0 ð ìü�Ô �+�Àð ì?ëMåMê�BÀëMÔfåªÔ�ì`ì ð å î û`Ô5�Uë ��ð û�ê�Õ � þ � Ô5û`Ô�íBÔ�û?Õ`æ�Ü � � < ð å î Õ�æZÕ`äMÔ�� ð �;Ôfûdì�Ü � �s<0MÜ �,� <0MÜ X�Þ`<KÜ �h� <y0Ü � ú�<NíBæUû¥ìtæ$4+Ô�û�Ô0ìtë � ÕdìZê�å Õ�äªê�ì î ê�û�Ô0çxÕ�ê�æUå ð å î íBæ�û��;æ�ì`ìtê�ã � Ô�û`Ô5�Uë ��ð û�ê 7�ð Õ�ê�æUå�Õ�Ô0çdäMåMê�B�ëªÔ�ì�þ � Ô�;æUê�å�ÕIæUëMÕ7Õ�ä ð ÕIè ð û�ê ð Õ`ê�æ�å ð � 4+æ î Ô � ì7ê�å<èUæ � è<ê�å1��ñ^ú�þ � âKä ð è�Ô�ã;ÔfÔ�å�ëªì�Ô î ê�å�Ü � <\ê�å&Õ�äMÔ2ç�æ�åÀÕ�Ô�é<ÕNæcíê+4 ð �UÔ�ì�Ô5�$4+ÔfåÀÕ ð Õ�ê�æUå�0�ì�ÔfÔ ð,� ì�æ�Ü�ú � <¨þ��\ÔfÔ ð,� ì�æ"Õ`äMÔL� ð �;Ôfûdì�Ü � � <0MÜÂú � <<ü"äMÔfû`Ô�æUÕ�äMÔ�û7ã ð ç�ü"ü ð û î �íBæUû`ü ð û î � ð û ð ã;æ � ê�ç"ÔEBÀë ð Õ`ê�æ�åªì50<ì�ëªçdä ð ì«Õ�äMÔ*�IÔfû`æUå ð �v� ð � ê6@$Ô�BÀë ð Õ`ê�æ�å�ç�æ�û�û`Ô�ìz�;æUå î ê�å��¥Õ`æ�Õ�äªÔçdäMæ�ê�çfÔ&ÖR�^�½ñDòUâ2×{ó � æ,�>ñtú5à òcö0â�0>ä ð èUÔ�ã>Ô�Ôfå-ëªì�Ô î Õ�æ+û`Ô�çfæUåªìtÕ�û`ëªçxÕ ð'î ê+�Uê�Õ ð,� ê64 ð ��ÔUþ  4+æ�å��$åMæ�åªç�æ�å<èUÔ�é+ÔfåªÔfûK� �'î Ôfå>ìtê�Õ�ê�Ô�ì�0ÀÕ�äMÔ/íBëMåªç�Õ�ê�æUå�Ö�ê�å ñtúUþ�ú0â«ê�ì�4 ð`� ã>Ô°Õ�äMÔ¥ìtê+4�� � Ô�ìtÕæUåªÔ+ñ î Ô�ìz�Mê�Õ�Ô¥Õ`äMÔ¥í ð ç�Õ"Õ�ä ð ÕZêÂÕZê¸ì"åMæUÕ2æUíIç ��ð ì�ìA¡ � 0\Õ�äªÔfû`Ô ð û�Ô¥åMæ��;æUê�åÀÕ`ì2ê�å-ÙF¢\� £�ú �¥ü"äMÔfû`ÔÕ�äªÔ¥ÖR¤ ¤;ê�ì5åMÔ5� ð Õ`ê�è�Ô0â�0 ð å î Õ�äMê¸ì�4+æcÕ�ê�è ð Õ`Ô�ì5æUëMû2çdäMæUê¸ç�Ô°æcí�ìtÕ�ë î�� ê�å��$Õ�äMÔ¥�Uû ðUî ê�ÔfåÀÕ9>æ�ü�æUí?Õ�äªÔð ì`ì�æ<çfê ð Õ�Ô î íBëMåªç�Õ�ê�æUå ð,� ��� þJ äMÔ ð ê+4�æUí¯Õ�äMÔ)�Mû�Ô0ìtÔ�åÀÕ\� ð �;Ôfû�ê¸ì"Õ�æH�Mû`æ�èUÔ¥Õ�äªÔ$Ô�é\ê¸ì^Õ`ÔfåªçfÔ$æUí ð û�Ô ð ì�æUå ð ã � Ô&åMæcÕ`ê�æ�å�æcíñ î ê�ì`ç�æ�å�Õ`ê�å<ëMæ�ëªìd⧦ ¨6©$ªc«s¨�ì�æ � ë\Õ`ê�æ�å���Õ�æ&Õ`äMÔA��û ð�î ê�Ô�åÀÕ§ªæ�üµæUí � � ìtÕ ð û�Õ�ê�å��¥íBû`æ,4¬� �$­ ü�Ô°ìtÕ�û`Ô�ì`ìÕ�ä ð Õ�� � ü"ê �+� ã;Ô ð �+� æ�ü�Ô î Õ�æ�ã;Ô'æcí"4+êÂé\Ô î Õ � �;Ô,0NêWþ ÔUþ+0?Õ`æ�ä ð èUÔ��;æUê�å�Õdì&ü"äMÔ�û�Ô�� � � ã;Ô � æUå��ÀìÕ�æ+Õ`äMÔ � æ<ç ð �+�6� ç�æ�åÀè�Ô�é�û`Ô5��ê�æ�å½ñ:?&úUßfúpâ�æcí«Ö202«s® ¯*�>æ�ê�åÀÕdì"ü"äMÔfû`Ô�� � � ã>Ô � æ�å���ì"Õ�æ+Õ�äªÔ&û�Ô��Uê�æUåÙ�¢�Ü6?&úUß�ú=<¨þ � Ô/ì�äMæ�ü�Õ�ä ð Õ�0<ê�å°�UÔ�åMÔfû ð � 0cÕ`äMÔ°ê�åÀÕ�Ô�ûtí ð ç�Ô��\ø � �ªøUó ú �°ä ð ì ð èUÔ � æ\ç�ê�Õ � 0 ð å î Õ�ä ð ÕÕ�äªÔ�û`Ô5��ê�æ�å�ü"äMÔ�û�Ô¥� ��Õ ð @UÔ0ì�è ð,� ëªÔ�ì�ê�å ñ�?&ú�ßfúpâ«ä ð ì5Õ�äMÔ�Õ�Ô�å î Ô�åªç � Õ`æ��Uû`æ�ü ð Õ�Õ�äMÔ¥Ô�éx�;Ôfåªì�Ô�ìæcíIÕ`äMÔ�û`Ô54 ð ê�åMê�å��'û�Ô��Uê�æUå�0\ü"ê�Õ�ä ð ü5Ô �6�7î Ô�Õ�Ô�ûz4+ê�åMÔ î ìz�;ÔfÔ î þ J ä<ëªìZü5Ô ð û�Ô&ê�å&�Mû`Ô�ì�ÔfåªçfÔ&æcí ðíBû`ÔfÔ¥ã>æ�ëMå îMð û � �Mû�æ�ã � Ô54 ð å î 0Mê�å3�UÔfåªÔfû ð � ×ñ ð âæUëªûZìtæ � ë\Õ`ê�æ�å î æÀÔ0ì2åMæcÕ°çfæUê�åªç�ê î Ô¥ü"ê�Õ�ä�Õ�äMÔ�ìtÕ ð å î ê�å��'ìtæ � ëMÕ�ê�æUå��Nñ�#7ß:Gtâ / � � ñ�#9â ­ñBã>âæUëªû2ì�æ � ë\Õ`ê�æ�å î æ<Ô�ì�åMæUÕ2çfæUê�åªç�ê î Ô�ü"êÂÕ`ä�Õ`äMÔ&ìtæ � ëMÕ�ê�æUå�æUí�ñtúUþ X�â5æUã\Õ ð ê�åMÔ î ã � @UÔfÔ��Mê�å��Õ�äªÔ&ê�åÀÕ�Ô�ûtí ð ç�Ô��<ø � � øUó ú ��ïMé\Ô î-ð å î ã � ê+4��>æÀìtê�å��GÕ�äMÔ�çfæUå î êÂÕ`ê�æ�å� ê+4±5² � � ±`³h´�µ ¶`· ��¸¹� Q � µ º �K» � �ªñ�¼9ß:Gtâ«ó Þ íBæUû�#½%½�\ø � �Mñ�¾�ß:Gtâ�øUó ú ��ß ñ^ú�þ �<â

êlþ Ô�þ60 7 Ôfû`æ�-°Ôfë�4 ð åMå-ã>æ�ëMå îMð û � çfæUå î êÂÕ`ê�æ�åªì�íBû�æ$4 Õ�äªÔ�ìtê î Ô&æcíL�<ø �R�>øUT¦ú,� ­ñWç�â�Õ�äªÔ�ì�Ô&ã>Ô�ä ð è<ê�æ�ëMû`ì ð ���>Ô ð û2ê�å�å<ë�4+Ô�û�ê¸ç ð,� Ô�éx�>Ô�û�ê+4+ÔfåÀÕ`ì�0Mì�ÔfÔI�<Ô0çxÕ�ê�æUå � þ¿ ãªì�Ôfû`èUÔ$Õ�ä ð Õ�Õ`äMÔ �¸ð çc@<åMÔ�ì`ì/æcí�íBæ�û�ü ð û î � ð û ð ã>æ � ê¸ç�ê�Õ � �Mû`Ô�ç � ë î Ô0ì50 ð ì/í ð û ð ì�ü�Ô�@Àåªæ�ü�0ðGî ê�û`Ô�ç�Õ"ü ð`� Õ`æGçfæUåªìtÕ�û`ëªçxÕ�� � æ�ã ð � ìtæ � ëMÕ�ê�æUåªì�ã ð ìtÔ î æ�å�Õ�äªÔ¥çfæ,4�� ð û�ê¸ìtæ�å°�Mû`ê�å>ç�ê+� � Ô$0Mìtë>çdä ð ìè<ê�ì`ç�æÀìtê�Õ � ì�æ � ë\Õ�ê�æUå>ì'ÜÂúEX`<�æUû�4+ê�åMê+4 ð,� ã ð û�û`ê�Ô�û`ì+Ü � <¨þ8��æ�û�Ô�æ�èUÔfûE0 � � æUã ð,� ìtæ � ëMÕ�ê�æUåªì¥æ�ã\Õ ð ê�åMÔ îã � ëªì�ê�å��¥Õ�äMÔ"ë>ìtë ð,� 4+ê�åªê64+ê 7�ð Õ`ê�æ�å�4GÔfÕ�äMæ î ì°ñDì�ëªçdä ð ìIÕ`äMÔ"ê64�� � ê¸ç�ê�ÕLÀ«ë � Ôfû5ì�çdäMÔ�4+Ô0âNç�æ�ê�åªçfê î Ôü"ê�Õ�ä+Õ�äªÔZìtæ � ë\Õ`ê�æ�å��Nñ�#7ß:Gtâ / � � ñ�#9â ­ Õ�äªê�ì¯ê¸ì î ëªÔ"Õ�æ¥Õ`äMÔ2í ð ç�Õ¯Õ�ä ð Õ�0Àê�åGÕ�äªÔA4+ê�åMê+4+ê 70ð Õ`ê�æ�å��ªû�æ,�ç�Ô î ëMû`Ô,0\Õ`äMÔ¥íBëMåªç�Õ�ê�æUå ð,� � � ç ð å-ã>Ô&ÔEBÀëMê�è ð,� Ô�å�Õ �6� û�Ô�� �¸ð ç�Ô î ü"ê�Õ�ä�ê�Õ`ì � æ�ü�Ôfû"ì�Ô54+ê�çfæUåÀÕ�ê�å<ëMæUë>ìÔfå<è�Ô � æ,�;ÔUþÿ åµÕ�äMÔ&�Mû`Ô�ì�ÔfåÀÕ�� ð �;Ôfû'ü�Ô-û�Ô0ì^Õ`û�ê¸çxÕ+Õ`äMÔ ð å ð,�6� ì�ê�ì�Õ�æÁ�;Ôfû`ê�æ î ê¸ç�ã>æ�ëMå îMð û � çfæUå î êÂÕ`ê�æ�åªì50Ôfè�Ôfå'ê�íKÕ�äMÔ/ì ð 4GÔZÕ�Ô�çdäªåMê+BÀëMÔ/ç ð å'ã;Ô ð�îMð �MÕ�Ô î Õ`æ î ê6Â;Ô�û�Ô�åÀÕ�ì�êÂÕ`ë ð Õ`ê�æ�åªì�ì�ëªçdä ð ì;-ZÔfë14 ð åMå�æ�ûà ê�û`ê�çdä � ÔfÕ/ã;æUëMå îªð û � ç�æ�å î ê�Õ�ê�æUåªì�þ � Ô�ã ð ìtÔ�æ�ëMû ð ���Mû`æ ð çdä�æ�å-Õ�äMÔGì^Õ`ë îx� æcí¯Õ`äMÔ�ì � ì^Õ`Ô54!æcí¿ Ã À�ì/æUã\Õ ð ê�åMÔ î ð ì°Õ�äMÔ��Uû ðUî ê�ÔfåÀÕA>æ�ü æcí¯Õ`äMÔ�û`Ô�ìtÕ�û`ê¸çxÕ�ê�æUå � � µ ÄEÅ æcí � � Õ�æ&(1Æ)09Õ�äªÔGìz� ð çfÔæcí¥ç�æ�å�Õ`ê�å<ëMæ�ëªì��Mê�Ô�ç�Ô�ü"ê�ì�Ô ð �'åMÔ�íBëMåªç�Õ�ê�æUåªì+æ�å ð ëMåMê�íBæUûK4 �6��î ê�ìtÕ�û`ê�ãªë\Õ�Ô î ��û�ê î æUíGÜ ÞMßfú5<"æcíì�ê 7 Ô�ú`Ç�È þ J äMÔ+íBëMåªç�Õ�ê�æUå ��� µ ÄEÅ Õ`ëMû�å>ì&æUë\Õ&Õ`æ�ã>Ô�Ó7ê6�>ì�çdäMê�Õ 7 çfæUåÀÕ�ê�å<ëMæUë>ì50?åªÔfèUÔ�ûtÕ`äMÔ � Ô�ì`ì¥ê�Õê¸ì��>æÀì�ì�ê�ã � Ô¥Õ`æÉ�Uê�èUÔ ð �Mû`Ô�çfê�ì�Ô¥åMæcÕ`ê�æ�å�Õ�æ+Õ�äªÔ�Ô�BÀë ð Õ�ê�æUå¬Ê��óË?\Ì�ñ � � µ Ä Å â�ñ��9â�þ   ívÕ`Ôfû�ìtæ � è<ê�å��Õ�äªÔ�û�Ô0ìtë � Õ`ê�å���ì � ì^Õ`Ô54!æcí ¿ à À5ì50>ü5Ô�� ð ì`ì2Õ�æ+Õ`äMÔ � ê64+ê�Õ ð ì"Õ�äMÔ î ê�ì`ç�û`Ô�Õ`ê 70ð Õ�ê�æUå�ìtÕ�Ô�����æ<Ô�ì2Õ`æ

Page 3: GLOBAL SOLUTIONS TO THE GRADIENT FLOW EQUATION OF A

3N:MHI69L�: ] HN:xa�=?@DHIA ] =�H =^Í�83 d L [ @v89A7= � :MH g X7 Ô�û�æ ñÎÈ Ú à&áµâ�0 ð å î ü5Ô�ê î Ô�å�Õ`êÂí � Õ`äMÔ � ê64+ê�Õ)�Mû`æUã � Ô54-þ J äMê¸ì$ì�æUû�Õ�æcí"û`Ô5��ë ��ð û�ê 7�ð Õ�ê�æUå½ê�ì� ð ûtÕ`ê�çfë ��ð û �+� ä ð å îªð ã � Ô ñ ð ì ð ç�æ�åªì�Ô�BÀëMÔfå>ç�Ô�æUí"Õ�äMÔ-ìz�>Ô0ç�ê ð � íBÔ ð Õ`ëMû`Ô�ì�æcí�Ö�ê�å¦ñtúUþ�ú0â^â�ìtê�åªçfÔÕ�äªÔ ê�åÀÕ�Ôfû`ê�æUû�æUí&Õ�äMÔ½û`Ô5�Uê�æUåÏ�\ø � � øIV ú,� ä ð ì 7 Ôfû`æ èUÔ � æ\ç�ê�Õ � 0Zì�æ Õ`ä ð Õ-ü�Ô ç ð åØíBæ\ç�ëªìÕ�äªÔð Õ�Õ�Ô�å�Õ`ê�æ�å�æ�å �6��ð Õ°Õ�äªÔ$íBû`ÔfÔGã>æ�ëMå îMð û � �\ø � � øªó ú ��þ J äMê¸ì/ê�ì ð û`Ô54 ð ûz@ ð ã � Ô$ì�ê+4�� � ê�ï>ç ð Õ�ê�æUå�0íBæUû¯ê�åªìtÕ ð åªç�Ô"ê�å'ç�æ,4�� ð û�ê¸ì�æUå$ü"ê�Õ�äGÕ`äMÔA�IÔfû`æUå ð �� ð � ê6@¥Ô�BÀë ð Õ�ê�æUåGü"äMÔfû`Ô2Õ�äªÔAB�ëªê�çc@&íBæ�ûz4 ð Õ�ê�æUåæcí�4+ê�çfû�æÀì^Õ`û�ë>çxÕ�ëªû�Ô0ì5ê�åÕ�äMÔ&û`Ô5��ê�æ�åü"äMÔ�û�Ô�ø � � øUV¦ú&ì�ÔfÔ�4+ì�Õ`æ'ã>Ô��ªû�Ô0ìtÔ�å�Õ0þJ äMÔ�� �¸ð å�æUí°Õ`äMÔH� ð �;Ôfû+ê�ì�Õ`äMÔ�íBæ �+� æ�ü"ê�å��ªþ ÿ åW�<Ô�ç�Õ�ê�æUå � ü�Ô�ìtÕ ð Õ�ÔÕ�äMÔ�4 ð ê�å�û`Ô�ì�ë � Õñ J äªÔfæUû`Ô54 � þ �Àâxþ � Ô � æÀæ$@�íBæUû ð ì�æ � ë\Õ�ê�æUå ê�å½Õ�äMÔ�ç ��ð ì�ì¥æUí2Ö1� ð�î 4+ê�ì`ì�ê�ã � Ô+íBëMåªç�Õ�ê�æUåªì�ê�å½Õ�äªÔì�Ôfåªì�Ô°æUí à ÔfïªåMê�Õ�ê�æUå � þ�úUþ§�<Ôfè�Ôfû ð � çfæ,4�4+ÔfåÀÕ`ì�ç �¸ð û`ê�í � ã;æcÕ`ä�Õ`äMÔ î Ô�ïªåMê�Õ�ê�æUå ð å î Õ�äMÔ/Õ�äªÔfæUû`Ô54ñDì�ÔfÔ$ê�å�� ð û�Õ�ê¸ç�ë �¸ð ûAÐ"Ô�4 ð ûK@ � þ X'çfæUåªçfÔfû`åMê�å1��ç�æUå î êÂÕ`ê�æ�å ñ��<â2æcí à Ô�ïªåªêÂÕ`ê�æ�å � þ�ú0â�þ ÿ å½�\Ô�çxÕ`ê�æ�åX�ü�Ô°4+æcÕ`ê�è ð Õ`Ô'íBû`æ,4 ð è ð û`ê ð Õ�ê�æUå ð,� �>æ�ê�åÀÕGæcí"è<ê�Ô�üõÕ�äMÔ�Ô�èUæ � ë\Õ`ê�æ�å ��ð ü&þ ÿ åÑ�\Ô�çxÕ`ê�æ�å�� ü�Ôî ê¸ì�çfû�ÔfÕ�ê 7 Ô&Õ`äMÔ��Mû`æUã � Ô�4 ð å î ê�åÀÕ`û�æ î ëªçfÔ&Õ�äªÔ î ê¸ì�çfû�ÔfÕ�ê 7 Ô î æ$�>Ô�û ð Õ�æ�û\Ò ¶ 0;ì�ÔfÔ Ã ÔfïªåMê�Õ�ê�æUå��>þ �>þJ äMÔ2û`ê6��æUû`æUëªì ð å ð,�6� ì�ê�ìNæcí>Õ�äMÔ î ê¸ì`ç�û`Ô�Õ�ê 7 Ô î ì`çdäMÔ54+Ô2ê¸ì��>Ô�ûtíBæ�ûz4+Ô î ê�åÉ�<Ô0çxÕ�ê�æUå � ­ ê�å�� ð û�Õ�ê¸ç�ë ��ð ûê�å J äMÔfæ�û�Ô�4 � þ ��ü5Ô��Mû`æ�èUÔGÕ`äMÔ�ã ð ìtê¸ç+Ô�ìtÕ�ê+4 ð Õ�Ô0ì ð å î çfæ,4�� ð û�ê¸ìtæ�åªì�åMÔ�çfÔ�ì`ì ð û � Õ�æ&� ð ì�ì�Õ`æÕ�äªÔ � ê+4+êÂÕ ð ì�È Ú à&á þ ÿ åW�<Ô�ç�Õ�ê�æUå � ü5Ô3�Mû`æ�èUÔ J äMÔfæ�û�Ô�4 � þ �ªþ ÿ åÓÐ"Ô54 ð ûK@ � þ�ú � ü�Ôî ê¸ì�çfëªì`ì¯ê�å+ü"äMê¸çdä'ìtÔ�åªì�Ô"æUëMû�ì�æ � ë\Õ`ê�æ�åGçfæUë �¸î �Mû�æ�è<ê î Ô ð ìtæ � ëMÕ�ê�æUåGÕ�æ¥Õ`äMÔA�Uû ðUî ê�Ô�å�Õ�ªæ�üµæcí9Õ�äªÔ��ë�4GíBæ�û î ���<ä ð ä�íBëMåªç�Õ�ê�æUå ð,� ê�å æUåMÔ î ê+4GÔ�åªì�ê�æ�å?þ ÿ å.�<Ô0çxÕ�ê�æUå � ü�Ô$ê+4�� � Ô�4+ÔfåÀÕ&æUëMû¥ì�çdäªÔ54+Ôð å î ü�Ô&ìtäªæ�üSÕ�ä ð Õ"Õ�äªÔ&åÀë14GÔ�û�ê¸ç ð,� Ô�éx�>Ô�û�ê+4+ÔfåÀÕ`ì ð û`Ô/ê�å ð �Uû`ÔfÔ�4+ÔfåÀÕ"ü"êÂÕ`ä J äªÔfæUû`Ô54 � þ �ªþ ÿ å� ð ûtÕ`ê�çfë ��ð û�0�ü5Ô-ìtäªæ�ü Õ�ä ð Õ'Õ�äMÔ�íBû`ÔfÔ�ã>æ�ëMå îMð û � �<ø �R�\ñ:¾ â�ø�ó ú �-ä ð ì�0«ê�åÓ�UÔfåªÔfû ð � 0¯åMæUå 7 Ôfû`æìz�>Ô�Ô î þ� Ô�çfæUåªç � ë î ÔZÕ�äªê�ì5ê�åÀÕ`û�æ î ëªç�Õ�ê�æUå�ã � æUã>ìtÔ�û�è<ê�å��&Õ�ä ð Õ�Õ�äMÔ ð å ð,�6� ì�ê�ì�æcíKÕ`äMÔ���û ð�î ê�ÔfåÀÕ9ªæ�üæcí�ñ^úUþ � â«ç�æUë ��î ã;Ô/çfæUåªì�ê î Ôfû`Ô î'ð ì ð ïªûdì^Õ�ì^Õ`Ô5�+Õ�æ�ü ð û î Õ�äMÔ/ëMå î Ô�û`ìtÕ ð å î ê�å���æUí;Õ`äMÔ°ã;Ôfä ð èÀê�æUëªûæcíNÕ�äªÔ��IÔfû`æUå ð �� ð,� ê+@GÔ�BÀë ð Õ`ê�æ�å?þÔ?Ê ?Ì�ÕMÌ�ÖU×FÖ<Ë9ÌZÎ�Ø�Ì�Ù�ÖI×DÕMÒDË-ÍsÖUÚ�Ð�ÛBÌEÚ Ê � Ô5åMæ�ü ìtÕ ð Õ�Ô5Õ�äMÔ�4 ð ê�å�û�Ô0ìtë � Õdì7æUíMÕ�äMÔ�� ð �>Ô�ûñ J äªÔfæUû`Ô54 � þ �<âxþ J æ�Õ�äMê¸ì¥�MëMûK�>æÀìtÔ�ü�ÔGåMÔfÔ î ìtæ$4+ÔI�Mû`Ô5� ð û ð Õ�ê�æUå?þ¥')(�ñDÞMß�ú0â°ì^Õ ð å î ì°íBæUû/Õ�äªÔìz� ð çfÔ�æUí�íBëMåªç�Õ�ê�æUåªì�ü"êÂÕ`ä ã;æUëMå î Ô î è ð û`ê ð Õ�ê�æUå�ê�å ñDÞªßfú0â�þ ÿ í"�Ñ%F'�(�ñWÞMßfúpâ ð å î #Ñ%SñWÞMß�ú0â�0�Iñ�#�ÜIâ$ñDû�Ô0ì:�?þ*�Iñ�#RÝ�âtâ°ê�ì°Õ�äªÔ � Ô�ívÕ'ñBû`Ô�ìz�?þ¥û`ê6��ä�Õxâ � ê64+ê�Õ�æUí;� ð Õ*#7þ � Ô ð,� ü ð`� ì"ê î ÔfåÀÕ�ê�í � Õ�äªÔíBëMåªç�Õ�ê�æUå)��ü"ê�Õ�ä�êÂÕdì7û`Ô5�Mû`Ô�ì�ÔfåÀÕ ð Õ�ê�èUÔ î Ô�ïªåMÔ î �;æUê�åÀÕ^ü"ê�ì�Ô�Ô�èUÔfû � ü"äMÔfû`Ô ð ì7Õ�äªÔL4+Ô ð å�è ð � ëMÔ�æUí��20êlþ Ô�þ60$�Nñ�#;â�ó ñ��Iñ�# Ý âUà8�Nñ�# Ü â�âzÇ � íBæ�û ð å � #&% ñDÞªßfúpâxþ � ÔZì�Ô�Õ9�IñDÞÀâ�×{óW�NñWÞ Ý â��Iñ^ú0â�×�óÓ�Iñ^ú Ü âxþ� Ô î ÔfåMæUÕ�Ô¥ã ��Þ ¶ Õ�äMÔ"ß^ë�4���ì�Ô�ÕZæcí��Nþ� Ô'û�Ô0ç ð �+� Õ�ä ð Õ&Õ�äMÔ î ê¸ìtÕ�û`ê�ãMëMÕ�ê�æUå ð,�«î Ôfû`ê�è ð Õ�ê�èUÔ+æcí��à%Ñ')(�ñWÞMß�ú0â/ê�ì¥û`Ô5�ªû�Ô0ìtÔ�å�Õ`Ô î ã � ð4+Ô ð ìtëMû`Ô3áÉ�20�ü"ê�Õ�ä�ïªåMê�Õ�Ô-Õ`æcÕ ð,� è ð û`ê ð Õ�ê�æUå�ê�å ñDÞªßfú0âñBü"äªê�çdäØü�Ô î ÔfåMæUÕ�Ô-ã �ãâ áÉ� â â=0 ð å îÕ�ä ð Õ�ê�Õ�ìz� � êÂÕdì�ê�å�Õ`æ Õ�äªÔ�ìtë14 æUí ð å ð ãªì�æ � ë\Õ`Ô �+� ç�æ�åÀÕ�ê�åÀëªæUëªìÉ� ð û�Õ ñBü"äMê¸çdä ü�Ô î ÔfåMæUÕ�Ô ã �� � æUû'ã � � ¤�â ð å îØð ì�ê�å���ë �¸ð ûÉ� ð ûtÕ0þ � Ô�û�ÔfíBÔfû'Õ`æSÜ X <ZíBæUû'Õ`äMÔ�4 ð ê�åÓ�Mû`æ,�;Ôfû�Õ�ê�Ô�ì'æUí*'�(íBëMåªç�Õ�ê�æUåªì�þ ÿ í�� ×$Ü ÞMßzä/â�Ú Ù�0$ü�Ô ê�å î ê¸ç ð Õ`Ô ã � åå Q�æ �SÕ`äMÔ�û`ê6��äÀÕ î Ôfû`ê�è ð Õ�ê�èUÔ�æUí��20"êlþ Ô�þ60åå Q æ �Iñ�Gtâ2×�ó � ê+4ç ² � æ �Iñ�G?àDè;â�?.�Nñ�Gtâè íBæUû ð å � G�% Ü Þªß:ä/â=0U�Mû�æ�è<ê î Ô î Õ�äªÔ � ê+4+êÂÕZÔfé<ê¸ìtÕ`ì2ïªåªêÂÕ`ÔUþÿ í�� î Ô5�;Ôfå î ì"æUå ñ�#�ß:Gtâ"% ñDÞªßfúpâ�é½ñWÞMß:ä�â�0\ü�Ô�ü"û`ê�Õ�Ô*�Nñ�Gtâ�ñ:¾ â�óS�Iñ�¾�ß:Gtâ«óÓ�Iñ�Gtâ�þê ê�èUÔfåÁ'ìë Ù�ü5Ô î Ô�åMæcÕ`ÔGã � ')ñDû�Ô0ì:�?þ�ê�åÀÕpñ�'�â=02í '°0�î�ñÎ'�â=0�ø 'ø âZÕ`äMÔ�ç � æ�ì�ëMû`ÔñDû�Ô0ì:�?þÕ�äªÔ�ê�åÀÕ�Ô�û�ê�æUû�� ð û�Õ�0«Õ�äMÔ�Õ�æ$�>æ � æ$�Uê¸ç ð,� ã;æUëMå îMð û � 0¯Õ`äMÔ-å<ë�4$ã;Ôfû+æcí/Ô � Ô54+ÔfåÀÕ`ì�0«Õ`äMÔ�Ó?Ô�ã>Ô0ì:��ëMÔ4+Ô ð ìtëMû`Ô0â5æUí�'�þ � Ô î Ô�åMæcÕ`Ô&ã � !hï�ñ�¾�ß5¾{â5Õ�äMÔ�ð ð ëªì î æUûz î ê¸ì^Õ ð åªçfÔ&ã>ÔfÕ^ü5Ô�Ôfå-ìtÔfÕ`ì�þ¿ ëMû ð å ð �+� ì�ê¸ì�ê¸ì�û�Ô0ì^Õ`û�ê¸çxÕ`Ô î Õ`æ ð ì�ëMãªì�Ô�Õ"æcí2'�(�ñWÞMßfúpâ9��ê�è�Ôfåã � Õ`äMÔ�Ö1��«$¯sñ�ò�óKó�ò�ª5¨6ô�íBëMåªç��Õ�ê�æUå>ì50 ð çfç�æ�û î ê�å���Õ�æ+Õ`äMÔ¥íBæ �+� æ�ü"ê�å�� î ÔfïªåMê�Õ�ê�æUå?þõ�ö�÷Uøúù�ø�ûeø�ü^ùþýeÿ���ÿ�� ô���� % '�(�ñDÞªßfúpâ��§ò����IñDÞÀâ ó �Iñ^úpâ�� �&ô½ó5«�����«��¥� ò�óÖ��ðUî 4Gê¸ì`ìtê�ã � Ô��9«s®R¯��;ô�����ò��ô"�½%�� � ñDÞªßfú0â���ò ����ô��zô�ô��$ò�ó �;«�® «��"!#�z«s¨ ®$!xñ�ªcô��&%�'�Þ3« ®R¯��KôK« ¨®(!xñɪcô)�có"Þ�T+* � ù-, � T ýfýfýxT.*0/ ù-,�/ÏT¦ú°ó !(1 2��«����§ó5ô��3�yòú®h¦4 �5 ñ��9â�×�ó /6798 � Ü * 7 ß�, 7 <^>§ñDÞªßfúpâxß 4 �: ñ��Kâ�×{ó�Ü ÞMßfú5<h¢ 4 �5 ñ��Kâxß ñ � þ�úpâ

Page 4: GLOBAL SOLUTIONS TO THE GRADIENT FLOW EQUATION OF A

� 354c698;:À:<8;=?=?@BA�@¨EcFG40AIHKJML�3NL LNA [ 8�4pTUL�HN:<@BA�@� �

* ö* � , � * ö , ö * � , � , ö;=<?>$@0A�@?B 4DC$EGFIHKJMLKNOJPFMQ�R�LKS�HUTVF9WXQPYKJZJPF9W[\YKS0]^R�YOR_E`FXQ T?YKW�FM]bacS`R3F9JZd�LUT W�Yfehg �ikj�l=m�n C$E`Foe9p�S#Q�R�aY�SYKS2R_EGF�TVFceZR�acWrqts3Lu]KvDacWPWZa�w TVF n C$E`Foe9p�S0Q�R�aYKSxYKSyR_E`F�J9aVH)E�RhacWzS0YKR�q{s3Lu]KvDacWPWPaw TVF9|&wZFPQPLKp�W�FXacRkacWzS#YKRv�Y�S#YKR�YKS#F�YKS}R_E`F~Q T?YKW�FP]�acSGR3F9J9d�LUT�� � � �P�f�f� n

�;ôX�«��sô�M��� ø �Nñ�#;â�?.�Nñ�¼Mâfø<ù ø #8? ¼?øt��1ô=® ô)�sô��$Ü #�ß:¼h<^> 4 �: ñ��9â���"��� ò �z* 7 ó�, 7 �=©���ó=© ñ�ô��É%.�ÀúUßfý�ýfýxß9%½����ô5®�* 7 % Þ ¶ ��f�)� ò �I�&%à��ú�ßfý�ýfý�ß9%½�½«s® ¯�* 7 T�, 7 �I��ô5®�ø �Iñ�#9â9?��Iñ�¼Mâfø�Võø #�?F¼?ø����ô5®Rô��`ô��*#7ß:¼.%Ü * 7 ß , 7 <3�2#��óW¼���c��� ò �&�°%½�ÀúUßfý�ýfý�ß9%½�3«s®R¯O* 7 T., 7 �k��1ô=®H�Dò�ó�ñÉ©s®R©��© ®Rô�©s®½Ü * 7 ß�, 7 <P���ö=�~���t�Sýeÿ+ýeÿD� ô)�h!Uó�15¨6«���ò � ����ô��;®1ò��yò�©s®Øñ � þ�ú0â��� « ��� ©��ôy��«�� 4 �: ñ��9âx�ó¡ ��=©��&«s®$�8�Ï%¢� � ñDÞMß�ú0âK�£�3ô&«$¯,©�¤¥�¦��ô�1c©s®$�`ô5®(�yò�©s®.��«����ô��zôH«��zôH®R©�¤�© òú®(�Îó�*0§�ß�, 7 ò ��%(ó Þ#�*òú®¨�Uò�ó�1c«`ó5ô 4 �5 ñ��Kâ&ó© #� 4 �: ñ��Kâ�ó ñWÞMßfúpâ«s® ¯É� ò�ó8©s®Rô�� � ò ¤Ró�1�xò���ªHòú®¢��1ô}��1©s¨6ô3©P��ñDÞMß�ú0âK�+«¥�ô3«sóKó�!xñ~¤��yò�©s®1ó�* � V ÞÑ«s®R¯, / T ú�«��zô)®R©��h�Kô�ó��"��ò�1)�yò��`ô)�;ó�òú®¥1KôO�;ô�1c«s®.« ¨?�;«��`ó�«`ócó�!xñ�ô � !U¤��v©8«��3�K«s®�ó�¨6«��Îò�© ® ���«��É«D© ®Rô��_¤�ô���ò�©E¯sò�1^� !x®¥1)�yò�©s®Ñ� % ¡ � ñWÙIâÑò�ó3ó�!(1�-��1«��'ø � �MñWÞ�âfø¥T ú`�¬�O!1ô��v©©�!#�¦¤�ô���ò�©E¯sò�15ò��3�F«`ócó�!xñ~¤��yò�©s®=����ôO¤1©sòú®$�*�0Þx�.ò�óHò�¯$ô=®$�Îò ��ôK¯­�§ò��D��ú,�Á«s® ¯�1K« ®SªKô1c©s®1ócò�¯$ô)�KôK¯�«`óIªcô5¨6©s®U¦ òú®U¦��v©���ôIòú®(�vô)��ò�©��)©P� 4 �: ñ��9âK�� ª ��® ®½ôc«G1�&òú®(�vô)���s«s¨(¯ ©P� 4 �: ñ��KâX�;ôD1«��sô¦��«��^�Fò�ó�©s® ô)� � ò ¤�ó�1�xò���ª)�o1ô=®¥1cô��L«��L«s¨ ñÉ©`ó��ô��`ô�����#.%x¯°�;ô��«��`ô���«���� � ñ�#;â�ªcô=¨+©s®h¦ ó � !x®1¨6ô=ócó$ø � � ñ�#9âfø\ó�ú � �v©^��ôIó5ô)�����ô��zôÖÑò�ó��3�§ò�1cô�¯sò ±\ô��zô5®(�yò�«,ª5¨6ôÉ«s® ¯$ÖR¤ ¤�VØÞ#�§ò��úôK�²���R�ªñ�#;â�% Ü6?&úUß�ú=<P�� 1 ��® ®.ôK«G1��òú®(�vô����`« ¨$¯ ©Z� 4 �5 ñ��Kâ��;ôX�«��`ôb��«��áÉ�Iñ�Ò�â�'§ø Ò�ø¡³.ÒÏë.¯ æ�û áÉ�Iñ�Ò�â2ùã?$ø Ò�ø´³.Ò ë+¯ªß�§ò��2��ô�ó �"��ò�1��Lòú® ô�µ�!1«s¨�ò��Îò�ô=ó¦���ô5®½ø Ò�øUVØÞ#����1ô)�zô¥Ò ò�ó�« ®(�b¶�©��zô5¨�ó�!1ª=ó5ô)�"©P�z¯¥�� ¯ � «¥�ô�15¨6«`ócó&� � ñWÞMß�ú0â*ò�ó\�5ö��:¯,ô5®�ó5ôIòú®H')(�ñDÞªßfú0âK�J äMÔ�íBæ �+� æ�ü"ê�å��û�Ô�4 ð ûz@�ì�äMæ�üZì°ì�æ,4+Ô ð å ð,� æ$� � ü"êÂÕ`ä�Õ`äMÔGÔfåÀÕ�û`æ,� � ç�æ�å î ê�Õ�ê�æUå�ê�å�ä � �;Ôfûz�ã;æ � ê�ç&çfæUåªì�Ôfû`è ð Õ�ê�æUå ��ð üZì�þ��ö=�~���t� ýeÿ_·eÿ�¸ ©s®R¯ ò��Îò�© ® �c��� òú®2��ô3�9®1ò��yò�©s® � � � ò�ó¦�zô µ�!xò��zôc¯8©s®���ô�1=¨+©`ó5ôc¯°òú®$�ô����`« ¨¹óÜ * 7 ß , 7 <M��¹Iô5®�1cô)��ó�òú®¥1Kô��Iñ�#9â�ó�ñ��Iñ�#RÝ�â«àS�Nñ�#�ÜNâ�âzÇ � �=©��3«s®$�°#ã% ñWÞMß�ú0â �¥ò ���Ïò�óH¯sò�ó�1c©s®$��yòú®(!1©�!Uó8«��\ó5©sñÉô�* 7 «s® ¯°� ò�ó°®R© ®R¯,ô 1��zôc«`ó�òú®h¦Á© ®�Ü * 7 ß�, 7 < � �zô�ó"¤{�&� ò�ó°®R©s®�òú®�1��zôc«`ó�òú®h¦Á© ®Ü * 7 ß , 7 < � �^��ô5®Ñ�Iñ�* 7 â½ù �Iñ�* 7 Ý â � �Kô�ó"¤t� �Nñ3* 7 â�' �Iñ�* 7 Ý â � �£ºRòúñ)òú¨6«���¨?�Dò��O1«�¤\¤1ô5®�ó½ò �É�ò�ó�¯ ò�ó)1c© ®(�yòú®(!1©�!UóH«��*ó5©sñÉô�, 7 � ¸ © ®R¯sò��yò�©s® ����� ò�óD� !x¨ �9¨ú¨+ôK¯Á«��IôK«G1�¨�yòúñ�ô3ª��°��ôHó5©s¨V!#�Îò�© ®��«��h�;ôI«��zô\¦h©sòú®U¦}�v©}1c©s®1ó �"��!(1��9òú®+«¥�ôc©��Kô=ñ � � � ��«s® ¯°«���ò�ó5ô=ó*® «��"!#�z«s¨ú¨V�8«`ó�«}1c©s®�ó5ô µ�!1ô=®¥1Kô©P����ôH«�¤G¤��z©K�,òúñÉ«��yò�©s®°¤��K©K1côc¯�!#�zô��0�z©�!,¦U ó"¤1«��yò�«s¨"¯sò�ó�1)�Kô)�yò²ªE«��yò�©s®�ó���»2¨?�yòúñÉ«��vô=¨?�u��ò��X1c«s®àªKô1c©s®1ócò�¯$ô)�KôK¯&«só�«21c©s®�ó5ô µ�!1ô=®¥1Kô�©Z�O��ô��=«\1��z��«�����©s®�1côÉ«��zô¦,ò�©s®Áòú® 4 �: ñ�� Æ ñ�Gtâ�â�« ¤\¤1ôc«��có��=©����ô�¯sò�ó�1)�Kô)�yò²ªEôK¯8ó5©s¨V!#�Îò�© ®�ó�� Æ ñ�Gtâ�1c©s®1ócò�¯$ô)�KôK¯8òú®.«¥1ôK©��zô5ñ¡¼G� � ªKô5¨6©��o�Lò���ñb!Uó��t¤1ô��cócò�ó�� � «s® ¯¤1©`ócó�ò�ª=¨?�8òú®�1��zôc«`ó5ô � �§ò��2�yòúñÉôK�Ó?ÔfÕ�ë>ì î ÔfåMæUÕ�Ô°ã � Ò�½¥öUñtÜ ÞMßxà&á�â ­ �5öUñDÞªßfúpâtâIÕ`äMÔ¥ì:� ð ç�Ô/æcí ð ãªìtæ � ëMÕ�Ô �+� ç�æ�å�Õ`ê�å<ëMæ�ëªì�íBëMåªç��Õ�ê�æUå>ì"�-íBû�æ$4 Ü Þªßdà&áµâ�Õ�æÉ��ö�ñDÞMß�ú0â�ì�ëªçdä�Õ`ä ð Õ�� Q %3��ö�ñtñDÞªßdà&áµâ�é ñWÞMßfúpâtâ=0ªìtÔ�Ô�íBæUû2ê�å>ì^Õ ð åªçfÔ

Page 5: GLOBAL SOLUTIONS TO THE GRADIENT FLOW EQUATION OF A

3N:MHI69L�: ] HN:xa�=?@DHIA ] =�H =^Í�83 d L [ @v89A7= � :MH g �Ü � <¨þIÓ7Ô�Õ\( Æ >+¾ � ñDÞªßfúpâ«ã;Ô�Õ�äMÔ�È3� î ê+4GÔ�åªì�ê�æ�å ð � èUÔ0çxÕ`æUû2ì:� ð ç�Ô�æcí7æ�åMÔ=��;Ôfû`ê�æ î ê¸ç/çfæUåÀÕ�ê�å<ëMæUë>ìíBëMåªç�Õ�ê�æUåªì$æUå ÙÛü"äMê¸çdä ð û`Ô ð �'åMÔ'æ�å ÔfèUÔ�û � ê�åÀÕ`Ôfû`è ð,� æcí2Õ`äMÔ'íBæUûK4(Ü ¿:Ç�È ß�ñ¿Ià§ú0âKÇ�È3<�ü"êÂÕ`ä¿Gó ÞMßfý�ýfý�ßKÈ ?§úUþ ÿ Õ+ê�ì'ç � Ô ð û�Õ�ä ð Õ8(1Æ >À� � ñWÞMß�ú0â ð å î Õ�ä ð ÕGÔ ð çdä íBëªåªçxÕ`ê�æ�åµê�åà(�Æ ê�ìÈ3��Ó?ê+�ªì`çdäMêÂÕ 7 þÓ?ÔfÕ�ëªì î Ô�åMæcÕ`Ô�ã � Ò ¶ Õ`äMÔ î ê�Â9Ôfû`ÔfåÀÕ`ê ð,� æcí � � µ ÄEÅ ð Õ°�¬% (�Æ ­ Õ�äMÔ � ê�åMÔ ð û'æ,�;Ôfû ð Õ�æ�ûÒ ¶ ê�ì ð-î ê¸ì�çfû�ÔfÕ�Ô+Ó ð � ��ð ç�ÔGæ,�;Ôfû ð Õ`æUû¥ü"êÂÕ`ä 7 Ôfû`æã � æ\çc@\ì�ê�å ç�æ�û�û`Ô�ìz�;æUå î Ô�åªç�Ô�æcí5Õ�äMÔ'û`Ô5��ê�æ�åªì4 �5 ñ��Kâ ð å îF7 Ôfû`æ½-ZÔ�ë�4 ð åMåµã>æ�ëMå îMð û � çfæUå î ê�Õ�ê�æUå>ì$æ�å Õ�äMÔ�ã;æUëMå îªð û`ê�Ô0ì50«ì�ÔfÔ�Ð"Ô54 ð ûK@Á�ªþ Xð å î à Ô�ïªåªêÂÕ`ê�æ�å&�ªþ ��ã;Ô � æ�ü&þÁ�Â�ö1ü��eö=� ýeÿVÃ^ÿD� ô)�2� � %^� � ñDÞMß�ú0â)«s®R¯}����ò��ô

4 �5 ñ�� � â�ó /6798 � Ü *�7 ß ,

�7 <¨ý

«¥�ô5®���1ô)�zôÉô��$ò�ó���«°ó5ô µ)!1ô5®�1cô�©P�)òú®1ò��yò�«s¨§¯,«��«�ñ�� Æ� âA>ã( Æ ��«°ó5ô�µ�!1ô5®�1côGñ�� Æ â�©P�h� !x®�1��Îò�© ®�ó�v«KÄ òú®h¦ Ü ÞMßxà&á�â�òú®à(1Æ «s®R¯Ñ«^� !x®�1��yò�©s®F� ×/ñDÞªßfúpâ�é Ü Þªßdà&áµâ�Ú ÙÅ�§ò��.��ôO�=©s¨ú¨6©��§òú®h¦¤��K©�¤1ô)���yò�ô�ó�Æ� ò � ��ô��zô)ô��$ò�ó��;®(!xñɪcô)�có"Þ�T¢* � Æ� ù-, � Æ� T ýfý�ý�T.* � Æ/ ù-, � Æ/ T¦úÉó�!(1 2��«��4 �5 ñ�� Æ� â�ó /6798 � Ü *

� Æ7 ß�, � Æ7 <lß ñ � þ � â«s® ¯ � ê64Æ ² Ý�Ç â � Æ� ? � � â�È=É ó ÞMß� ê64Æ ² Ý�Ç¬Ê â � Æ� â 5 Ä ����� ��� ? â � � â 5 Ä ���5� �:�PË ó ÞMß� ê64Æ ² Ý�ÇÍÌ ! ï ñ 4 �: ñ�� Æ� âxß 4 �: ñ�� � âtâ�àF! ï ñ 4 �5 ñ�� Æ� âxß 4 �5 ñ�� � â�âPÎ�óSÞªß� ê64Æ ² Ý�Ç � � ñ�� Æ� â«ó � � ñ�� � âxý

ñ � þ XÀâ� òúò � � Æ ×ªÜ ÞMßdà&áµâ¯Ú ( Æ ò�óO1c©s®$�Îòú®$!1©�!Uó �k��ò�¦U#�3�:¯ ò ±\ô��zô=®$�Îò�«$ª=¨+ô���«s®R¯Éó5«��yò�ó���ô�óMNN

O NNP!!$G Ý � Æ ñ�Gtâ5óSÒ ¶ Å � Q � � Æ ñ�Gtâ G�% Ü Þªßdà&áµâxß

� Æ ñWÞ�â«óS� Æ� ý ñ � þ �<â� òúòúò � � Æ ß:�½%�� Ç ñtñDÞªßdà&áµâ ­ ')(�ñWÞMß�ú0âtâUÏ�Ò�½¥ö�ñ�Ü Þªßdà&áµâ ­ �5öcñDÞªßfúpâtâ �2« ®R¯A� ÆÑÐ �­�;ôc«KÄ ¨?�òú®.¾ �

Ò Ó�Ô ñtñWÞMßdà&áµâ ­ ��ö�ñDÞMß�ú0â�â « ®R¯¨�;ôK«UÄs¨V� 1 òú®à� Ç ñtñWÞMßdà&áµâ ­ ')(�ñDÞMß�ú0â�⽫`ó�È Úà&áÕ�� ò�� � �Iñ�Gtâ�%}� � ñWÞMß�ú0â��=©��I«s®(�IGL% Ü Þªßdà&áµâ��� � ��Ö ©��D«s®$�°� % ��ú�ßfý�ýfýxßZ% �Ñ��ô��zôàô9�$ò�ó��)ä 7 % ñWÞMßxà&áÁ<&«s®R¯°� !x®�1��Îò�© ®�óx* 7 ß�, 7 ×Ü ÞMß:ä 7 â«Ú(ñWÞMßfúpâ*ó�!(1 y��1«��MÆ� � � � * 7 ñWÞ�â«ó�* �7 ��* 7 ò�ó¦1c© ®(�yòú®(!1©�!Uó�«s® ¯É® ©s®R¯$ô 1)�zôc«sócòú®U¦��� � �)� , 7 ñDÞ�â«óÕ, �7 ��, 7 ò�ób1K© ®(�yòú®(!1©�!Uó*«s® ¯°® ©s®�òú®�1��zôc«`ó�òú®h¦��� � ��� * 7 ù+, 7 ©s®�Ü ÞMßzä 7 â���«s® ¯ � ê64 Q ²�×UØ)Ù * 7 ñ�Gtâ«ó � ê+4 Q ²�×UØ)Ù , 7 ñ�Gtâ �� � ��� /6798 � ñ�* 7 ñ�Gtâ�ß�, 7 ñ�Gtâtâ"ë 4 �5 ñ��Iñ�Gtâtâ�ë /6798 � Ü * 7 ñ�Gtâxß , 7 ñ�Gtâv<`�=©���«s®$�"GL% Ü Þªßdà&áµâ �t���ô��zô�;ô�1«��sô�ó5ô��5ñ3* 7 ñ�Gtâxß , 7 ñ�Gtâ�â�ó Ü * 7 ñ�Gtâ�ß�, 7 ñ�Gtâ<7×�óÑ &ò ��Gh'àä 7 �

Page 6: GLOBAL SOLUTIONS TO THE GRADIENT FLOW EQUATION OF A

� 354c698;:À:<8;=?=?@BA�@¨EcFG40AIHKJML�3NL LNA [ 8�4pTUL�HN:<@BA�@� �Eò � � ��� %3��öUñ3Ú ¶ â �k��1ô)�KôDÚ ¶ ×�ó 6Q ³ ����� Ý�Ç � ñ 4 �: ñ��Iñ�Gtâtâ�é½�EGc�pâ �L« ®R¯��Dò�óI«�ó5©s¨V!#�Îò�© ®.©P�MNNNNNNN

O NNNNNNNP

�RQIóS�R�E� #&% 4 �: ñ��Nñ�Gtâtâ�ß\G�% ñWÞMßxà&á�â�RQIó Þ #&%-ê�åÀÕpñ 4 �5 ñ��Iñ�Gtâ�âtâ�ß\G�% ñWÞMßxà&á�â� ê64±5² � � ±`³\Û�ÜÝ � ¶ � Q ��� � �Mñ�¼9ß:Gtâ«ó Þ #&%&í 4 �: ñ��Nñ�Gtâtâ^¢\�pÞMßfú,��ß"G�% ñWÞMßxà&á�â�Iñ�#�ß�Þ�â«óS� � ñ�#9â #&% ñDÞªßfú0â�IñDÞªß:Gtâ«óS�NñtúUß:Gtâ�ßA� � ñDÞªß:Gtâ«óS� � ñtúUßzGtâ G�%½ñWÞMßdà&áµâxý ñ � þ � â� �Eòúò �ÞÖ ©��I«s®$��GL% ñWÞMßdà&áµâX�;ôX�«��`ôìtë�� Û�ÜÝ � ¶ � Q ��� ø � � ñ�¾�ß:Gtâfø�T ú\�ìtë��{ß ��� �Mà �Iñ�¾�ß:Gtâ�ùØìtë��{ß ��� �Mà � � �ê�å\í ß �5� �Mà �Iñ�¾�ß:Gtâ�'�ê�åMí ß �5� �Mà � � �â áÉ�Iñ�¾�ß:Gtâ â ù â áÉ� � â �J äMÔÉ�Mû`æ<æcí2æcí J äMÔfæ�û�Ô�4 � þ �-ê�ì ð çdäMê�Ôfè�Ô î ê�åF�<Ô0çxÕ�ê�æUå>ì � ð å î � þ ÿ å.� ð û�Õ�ê¸ç�ë �¸ð û0×'ñBêvâ¥ê�ì�Uê�èUÔ�åã � Ó?Ô54�4 ð � þ�ú,0?ñDê�êvâ2ê¸ì��Uê�èUÔ�å-ã � J äMÔfæ�û�Ô�4 � þ �10?ñDê�ê�êvâ2ê�ì"Õ�äMÔ$çfæUåÀÕ�Ô�åÀÕZæcí§Ð"Ô54 ð ûK@ � þ � 0ñBê�èMâNê�ì9�Uê�èUÔfåGã � Ó7Ô54�4 ð � þ�ú � 0ªñDèMâNê�ì§��ê�è�ÔfåGã � Ó?Ô�4�4 ð � þ � 0,Ð"Ô54 ð ûz@ � þ � ð å î Ó?Ô54�4 ð � þ�ú � 0ð å î ñBè<êvâ/ê�ì/Õ�äªÔGçfæUåÀÕ�Ô�å�Õ¥æcí J äMÔfæ�û�Ô�4 � þ�ú��ªþ¦áNê�å ð �+�6� 09Õ�äMÔ�ïªûdì^Õ¥ê�åMÔ�BÀë ð,� ê�Õ � ê�å�ñBè<ê�ê¸â°íBæ �+� æ�üZìíBû`æ,4�ñDè<ê¸â ð å î Õ�äªÔI4 ð é\ê+4$ë�4þ�Mû�ê�åªçfê6� � Ô ð ��� � ê�Ô î Õ�æÉ� � 0ªü"äªê � Ô&Õ�äªÔ ��ð ì^Õ°Õ�äMû`ÔfÔ&ê�åMÔ�BÀë ð,� ê�Õ�ê�Ô�ìê�å ñDè<ê�êvâ ð û`Ô&ç�æUå>ìtÔEB�ëªÔfåªçfÔ�ì�æcí"ñDç0â ð å î ñ î â"æcí J äªÔfæUû`Ô54 � þ �ªþ��ö=�~���t�Sýeÿ_âeÿ� « ��® ®�¦$ô5®Rô��z«s¨�«I� !x®�1��Îò�© ®°�à« ®R¯�òú®$�ô����s«s¨¹ó�ñ�* 7 ß , 7 â¥ó5«��yò�ó� �sòú®h¦ � � � «s® ¯ � ��ò � ©P��«¥1ôK©���zô5ñ � � � «��zô\®R©���!x®�ò�µ)!1ôUÆ"ò���ò�ó\ôK«só��¦�©b1c©s®�ó��"��!(1)�§«*ó5© ¨?!#�Îò�© ®bã ©P� ñ � þ � â"ó5«��yò�ó� �sòú®h¦«s¨ ó=©���ôO�zô µ)!xò��zô5ñÉô=®$�

4 �5 ñ�ã$ñ�Gtâ�â�ó 4 �5 ñ�� � â ³ G;% ñDÞªßdà&áµâxß ñ � þ � â«s® ¯���ô�� !x®¥1)�yò�©s®}ã òú®8¦hô5®Rô��z«s¨�1c«s®�®R©��h1c©sòú®�15ò�¯,ôO�§ò����o� ® ® ¯,ôcôc¯Xã$ñ�Gtâ�óW�Iñ�Gtâo�=©��«s¨ú¨��ÎòúñÉô=ó�Gk�=©�����Uò�1 ^ã$ñ�Gtâ�%^� � ñWÞMß�ú0â �Lª�!#�&��ôr¤��z© ¤�ô����"�¦ã$ñ�Gtâ�%�� � ñDÞªßfú0âk�=©��)« ¨ú¨G�%§ñWÞMßxà&á�â°ò�ó�òú®�¦hô=® ô)�z« ¨&�Eò�©s¨6«��ôc¯��¥ó5ôcô Ö ò�¦\!#�zô � � � � ® ®��=«\1��¦1c©s®R¯ ò��Îò�© ® ����� òú®��ô��;®1ò��yò�©s® � � � 1c«s®�®R©��9ªcô�ó5«��yò�ó�Lôc¯��=©��¥« ¨ú¨$�yòúñÉô�ó¥ª��~ã � 1�� ����ä\ô5ñÉ«��9Ä � � �)� ��!x®�¨6ô�ócó4 �: ñã$ñ:¾ â�âIò�óI« ¨ú¨6©��;ôc¯��©8ô9�)¤1«s®R¯��;òú®�1c© ®(�"�z«`ó��&�§ò��µñ � þ � â)�� ª ��® �¦�;ô)¯$©°® ©����zô µ)!xò��zôO��ôh� !x®�1��Îò�© ®�óz* 7 ß�, 7 �v©8ªcôIñ�© ®R©��v©s® ô � ® ©s® ¯,ô 1)�KôK«só�òú®h¦�«s®R¯®R© ®1òú®¥1)�zôc«sócòú®U¦X�zô=ó"¤�ô 1��Îò��sô=¨V� � ó5ô��`ô��z«s¨1¯ ò ±\ô��zô=®$�eó5©s¨?!#�yò�©s®1ór1c©�!x¨+¯�ªKô~1K© ®�ó��"��!(1)�vôc¯u� ó5ôKôÖ ò�¦�!#�Kô � � � ª � �¿ åMÔ2ç ð å ð ìz@&ü"äMÔ�Õ`äMÔfû ð íBëMåªçxÕ`ê�æ�å)� ð å î ê�å�Õ`Ôfû`è ð � ì�ñ3* 7 ß�, 7 âNì ð Õ�ê¸ì^í � ê�å���ñDê�èMâ=0ªñBèMâ ð å î ñBè<êvâæcí J äMÔ�æUû`Ô54 � þ � ð û`Ô&ëMåMê�BÀëMÔUþ J äMê�ì/ê¸ìZåMæUÕZÕ�äMÔGç ð ìtÔ$0 ð ì/ìtäªæ�ü"å�ã � Õ�äªÔ�íBæ �+� æ�ü"ê�å���Ô�é ð 4�� � Ôû`Ô �¸ð Õ�Ô î 0ªê�å ìz�Mê�û`ê�Õ�0MÕ`æ'Õ�äªÔ$ìtæ,�¨ç ð �+� Ô î í ð ÕtÕ`ÔfåMê�å��°�ªäMÔfåMæ$4+ÔfåMæ�å�ê�å&4+Ô ð å ç�ëMû`è ð Õ`ëMû�Ô*>æ�üÛñWìtÔ�ÔÜ � Þ`<�íBæUû°ì�ê64+ê ��ð ûZã;Ôfä ð è<ê�æUëMûdì"ç�æ�åªç�Ô�û�åMê�å��GÕ�äªÔ�Ôfè�æ � ë\Õ�ê�æUå-æcíIÕ`äMÔI��ë�4GíBæ�û î ���<ä ð ä�íBëMåªçxÕ`ê�æ�å ð �ê�å�æ�åMÔ î ê+4GÔ�åªì�ê�æ�å>âxþå �U«sñ~¤R¨+ô � þ«Ó?ÔfÕZëªì"ç�æ�åªì^Õ`û�ë>çxÕ ð å-ê�åMêÂÕ`ê ð,�7îMð Õ�ë�4þ� � %}� � ñWÞMß�ú0â ð ì�íBæ �6� æ�üZìf×� � ä ð ì"æ�å �6� æUåMÔ�ß^ë�4��3�>æ�ê�åÀÕ~* � óÕ, � ó úsÇ � ­� � ó Þ+ê�å ñWÞMß�ú`Ç � â ­� � ê¸ì ð ìz4+æ<æcÕ�ä�íBëMåªç�Õ�ê�æUå ê�åØñ^úsÇ � ßfú0âZü"êÂÕ`ä�Õ`äMÔGíBæ �+� æ�ü"ê�å��H�Mû�æ$�>Ô�ûtÕ � ×/êÂí�ü5Ô)ªæ�ü � � µ ���9æ ö � �:�ã � Õ�äMÔ�äMÔ ð Õ5ÔEB�ë ð Õ�ê�æUå�ü"êÂÕ`ä 7 Ô�û�æ)-ZÔfë14 ð åMå�ã;æUëªå îMð û � ç�æ�å î ê�Õ�ê�æUåªì5ê�å���ú`Ç � ß�ú �$0cÕ�äMÔ�å�Õ�äªÔfû`Ôê¸ì ð ïªûdì^Õ'Õ`ê64+Ô�G 1 V Þ íBæUû�ü"äMê�çdä�Õ`äMÔ�ì�æ � ë\Õ�ê�æUå�02Ô�è ð,� ë ð Õ�Ô îØð Õ'Õ�äªÔ��>æ�ê�åÀÕ úsÇ � 05Õ�æ�ëªçdäMÔ0ì

Page 7: GLOBAL SOLUTIONS TO THE GRADIENT FLOW EQUATION OF A

3N:MHI69L�: ] HN:xa�=?@DHIA ] =�H =^�83 d L [ @v89A7= � :MH g �

ã

* � úÞ , �� � � �

;=<?>$@(A�@ A 4�çkF9v�LKJMèbé ncê�ë wfì n­í FXQZY�S`WPR�J9pGQ�RrLIe9p�S#Q�R�aYKS�îïWPR�LKJZR�acS�Hze9JMY�v l � |�WPpGQZE�R_EGLKR�î�ðl � acS j � � �M� � m |ILKS0]}R_EGL�R~F9d�YUT dKF9WOLuQPQPYKJM]�acS�H�R�Y^R_E`F�EGFPL�R~FMñ�p`L�R�aYKS°acS jò � � � m{ó�j � � � ô m¦õ acR_E}ö)F9JMY÷ F9p\vXLKS`S�wZY�p\S0]uLKJZNzQPYKS#]�acR�aYKSGW�acS�� � �f� � ë ]uLKWfE`FM]zQ�p�J9dKF"ì n çkFMQPLUTcT�R_EGLKR õ F{EGLKdKF¥[GF9J9aY�]�aQkwZY�p\S0]uLKJZNQPYKS#]�acR�aYKSGW n ÷ YKR3FOR_E\LKRhø�ù �?ú �rûýü � � �f����þ e YKJrÿ�� ò |IL�S#]^R_EGLKR�î j ÿ m����� � jò � ô m e YKJ�LKS`N�ÿ�� ò |WPacS#QZF ë� ì�Yfe�DF ��SGacR�aYKS^é n � a_W�d�aYUT?L�R3FP]OLKRt� � �&� � n

� ¢����<¢ � ¢����À¢ � ¢����<¢� ® �������� � ���� ���

;=<?>$@`A�@ � 4kC$E`F ��wZY�p\S0Q�acS�H"!zW9YUT p�R�aYKSy]KacW9Q�p�WZW�FM]Oa_S�#%$uLKvh[#TVF �UnÕ�äªÔ�äMæUû`ê 7 æUåÀÕ ð �7ð é<ê¸ì"ü"ê�Õ�ä�ªEô��z©��`ô����Îò�1c« ¨��sô=¨+©K15ò��3� ð å î Õ�äªÔfå�0>íBæUû�G�ê+4�4+Ô î ê ð Õ`Ô �+��ð ívÕ�Ôfû�G 1 0;ê�Õã;Ô�ç�æ$4+Ô�ìh¤1©`ó�ò��Îò��sô ð Õ�ú`Ç � 0\ìtÔ�Ô�á�ê+�Uëªû�Ô � þ XMþJ äMÔ�å�ü�Ô�ç ð å�Ôfé\äMê�ãªêÂÕ+Õ^ü�æ íBëMåªç�Õ�ê�æUåªì�� � ßz� ö 0«ü"äMê¸çdä�çfæUê�åªç�ê î Ô�íBæ�û�G8%õÜ Þªß:G 1 <y0«ãªë\Õ î ê�Â9ÔfûíBæUû¥G¥%�ñ�G 1 ßxà&á�â=0 ð å î ã;æcÕ`ä ì ð Õ�ê¸ìtí � ñDê�èMâ=0«ñBèMâ�0¯ñBè<êvâZæUí J äMÔ�æUû`Ô54 � þ �ªþ J äMÔ�íBëMå>çxÕ�ê�æUå � � ê�ìî ÔfïªåMÔ î ð ì¥íBæ �+� æ�üZì�×�� � ó Þ-ê�å ñDÞªßfúsÇ � â\éµÜ ÞMßxà&á�â ­ � � Ô�BÀë ð,� ì�07ê�å ñ^úsÇ � ß�ú0â\é�Ü ÞMß:G 1 â�0�Õ�äªÔì�æ � ë\Õ�ê�æUå æUí"Õ�äMÔäMÔ ð Õ�ÔEB�ë ð Õ�ê�æUå�ü"êÂÕ`ä 7 Ô�û�æ½-°Ôfë�4 ð åMå�ã;æUëMå îMð û � çfæUå î êÂÕ`ê�æ�åªì$ê�åW�Àú`Ç � ßfú,� ­� � Ô�BÀë ð,� ì�0Mê�å ñDÞMß�ú0â�é Ü G 1 ßxà&á�â=0MÕ�äªÔ$ìtæ � ëMÕ�ê�æUå�æcíNÕ�äªÔ�äMÔ ð Õ°Ô�BÀë ð Õ�ê�æUå-ü"ê�Õ�ä 7 Ô�û�æ°-°Ôfë�4 ð åMåã;æUëMå îªð û � çfæUå î ê�Õ�ê�æUå>ì°ê�åF�pÞMßfú,�$ì^Õ ð û�Õ�ê�å��'íBû`æ,4 � � ñ�G 1 Ü â�þ*- ð 4+Ô �+� 0;ê+4�4+Ô î ê ð Õ�Ô �6� ð ívÕ�Ôfû/Õ�äªÔÕ�ê+4+Ô�G 1 ü"äMÔfå-Õ`äMÔ&Õ^ü�æÉ�Uû ð �MäªìZæcíNÕ�äMÔGìtæ � ë\Õ`ê�æ�å-æUå-Õ�äªÔ � ÔfívÕ ð å î æUå-Õ�äªÔ�û�ê+�UäÀÕZæUí2úsÇ � ß^æ�ê�å�0Õ�äªÔ&ÔfèUæ � ëMÕ�ê�æUå-ç�æUåÀÕ`ê�å<ëMÔ0ì2ü"êÂÕ`ä�æ�åMÔ*�Uû ð �MäæUå �+� 0 ð å î Õ�äMÔ"ß^ë14�� î ê�ì ð ���;Ô ð û`ì�þJ äMÔ�íBëMåªç�Õ�ê�æUåà� ö ê¸ì î Ô�ï>åMÔ î�ð ì�íBæ �+� æ�üZìf×�� ö ó Þ½ê�å§ñDÞªßfúsÇ � â¥é Ü ÞMßxà&á�â ­ � ö Ô�BÀë ð,� ì�0�ê�åñ^úsÇ � ßfú0â\éµÜ ÞMßxà&á�â=0?Õ`äMÔ�ì�æ � ë\Õ�ê�æUå æUí5Õ`äMÔ�äMÔ ð Õ�Ô�BÀë ð Õ�ê�æUå ü"ê�Õ�ä 7 Ôfû`æ3-°Ôfë�4 ð åMå ã>æ�ëMå îMð û �ç�æ�å î ê�Õ�ê�æUåªì+ê�å ��úsÇ � ß�ú �Àþ J ä ð Õ�ê¸ì�0«Õ�äªÔ-íBëMåªçxÕ`ê�æ�åÓ� ö'& ã>æ�ëMåªç�Ô0ì)( ð Õ�úsÇ � ð Õ'Õ�ê+4+Ô3G 1 05Õ�äªÔÔfè�æ � ë\Õ�ê�æUå>ì5ê�å ñDÞMß�ú`Ç � â ð å î ê�å ñ^úsÇ � ßfú0â î æGåMæcÕ & ìtÔ�Ô*($Ô ð çdäæcÕ`äMÔfûE0 ð å î ú`Ç � ã;Ô�çfæ,4+Ô�ì ð � ð ê�åð ß^ë�4��&�>æ�ê�åÀÕ"æcí�� ö ñ�Gtâ5íBæ�û�G5ê+4�4+Ô î ê ð Õ`Ô �+�°��ð ûz��Ôfû�Õ�ä ð å3G 1 þ��ö=�~���t�Sýeÿ+eÿ

� « �-, óI«�1K© ®�ó5ô µ)!1ô5®�1cô�©P� � � � �&��1ôIó=ô��"�M�`« ¨?!1ôc¯ÉñÉ«�¤&G�% Ü ÞMßxà&á�â«Ú 4 �: ñ��Nñ�Gtâtâ�ë ñWÞMßfúpâò�ó\® ©s®R¯$ô 1)�zôc«sócòú®U¦�!U¤2�v©�«h�;®1ò��vôA®$!xñ�ªcô���©P��¤�© òú®(�Îó � «���ñ�©só���% � �§« ®R¯O��1ô¥®(!xñɪcô)�©P�I1c©s®�®Rô 1��ôc¯�1c©sñ~¤�© ®Rô5®(�Îó��§ò���® ©s®Rô5ñ~¤��"��òú®$�ô���ò�©��A©P� 4 �5 ñ��Nñ:¾ â�â"ò�ó�® ©s®�òú®�1��zôc«`ó�òú®h¦`�® ��ñÉ«��x�« ¤\¤1ô=®-��«��I«��*ó5©sñÉô2�yòúñ�ô/.G 7 % ñWÞMß:ä 7 ây��ô�òú®(�vô����`« ¨2Ü * 7 ñ0.G 7 â�ß�, 7 ñ1.G 7 â<Iò�ó�zôc¯�!(1côc¯X�v©�«h¤1©sòú®(�2®R©��2ªcô=¨6© ®h¦,òú®h¦O�© Þ ¶ � 2Q Ø � � �zô 1K« ¨ú¨(1c©s®�15¨?!Uó�ò�©s® � ò�� � «s®R¯~�)ô3�9®�ò��Îò�© ®� � �¢�f�)� � �Iª)!#��ªcô=¨+©s®h¦,òú®h¦��v© Þ ¶ � Q � �=©��8ó5©sñÉôIGÉ% ñ .G 7 ß:ä 7 â � «só8ò��~�«�¤G¤�ô5®�ó��=©�����ô

Page 8: GLOBAL SOLUTIONS TO THE GRADIENT FLOW EQUATION OF A

� 354c698;:À:<8;=?=?@BA�@¨EcFG40AIHKJML�3NL LNA [ 8�4pTUL�HN:<@BA�@� !x®�1��yò�©s®�� ö òú® å �U«sñ~¤R¨6ô � � � , �t�ÎòúñÉô§ä 7 «���¨6ôc«só ��©s® ô\©P����ôAòú®(�vô)���s«s¨¹ó"òú® 4 �5 ñ��Iñ�¾{âtâ¯sò�ó5« ¤\¤1ôK«��có � ¤��z©���ò�¯$ôc¯Iä 7 T à&á � �� ª �-, �;ôc«KÄD�=©���ñb!x¨6«��Îò�© ®Á©Z�µñ � þ � â*ò�ó\¦,ò��`ô5®�ª)�� ����� ��� 3 ����� Ý�Ç � �54�Q�!$# !$G�? � 6 798 � :<; � � �=4§�8!$# !$G¯ó Þ ñ � þ � â�=©���«s®(�>4W%�¡ �? ñtÜ ÞMßfú5<�é½Ü ÞMßxà&á�â�â��� 1 � º © ¨?!#�yò�©s®�ó��`ô���ò � �sòú®h¦¢1K© ®R¯ ò��Îò�© ®�ó � ò�� � � � � � « ®R¯ � ��ò � ¯,©.®R©��*ó5«��yò�ó�� ����ô�1c©sñ~¤�«����ò�ó5©s®�¤���òú®�15ò ¤R¨+ô��½òú®ï��1ô�ó5ô5®�ó5ô¨��1«��8ò���ò�óDôc«`ó����v©��9® ¯Óó5©s¨?!#�yò�©s®1ó&� � �É� ö ó�!(1 ��«��*� � ñ:¾�ß`Þ�â½ùC� ö ñ�¾�ß�Þ�â.©s®§ñDÞªßfúpâ �8ª)!#�¥� � ñ .#Nß .Gtâ.VC� ö ñ .#Nß .Gtâb�=©��½ó5©sñÉô ñ .#�ß .GtâÁ%ñDÞªßfúpâ�é½ñWÞMßdà&áµâ �§ó5ôcô Ö ò�¦\!#�zô � ��¼G���ö=�~���t�SýeÿA@Rÿ

� « � »2® ¯,ô��\ó�!CB.1=ò�ô5®(�&�zô¦�!x¨6«���ò��3�°© ®É���;ôO1c«s®�¤¥�zôc¯sò�1��&��ô¥ó"¤1ôcôK¯8©P����1ôk� �zôcô�ªc©�!x®R¯,«����í 4 �: ñ��Nñ:¾ â�â�� Ö ©���òú®1ó��« ®�1cô��L«sócó !xñÉôO��1«��o* 7 ò�óI©Z�O1=¨+«`ócó¥¡ � òú®�«É® ô=ò�¦u�ªc©�!#�91©�©E¯ED©P�F.GÉ%�ñWÞMß:ä 7 â���« ®R¯­��«��z*U¤7 ñ1.Gtâ��ó!Þ�� , ócó�!xñ�ô8òú®S«,¯,¯ ò��Îò�© ®���«����Iñ�¾�ß5¾{âHò�ó��"�§ò�1Kô¯sò ±�ô)�zô5®(�yò�«,ª5¨6ôÁòú®HG Q ³JI 4 �: ñ��Iñ�Gtâtâ�éS��Gc�.!U¤��v©¨��1ô�ªK©�!x®R¯$«����\� «¥�ô5®�� �z©sñ ��ôô µ)!1« ¨ ò��"� �Iñ�* 7 ñ�GtâxßzGtâ�óS� � ñ3* 7 ñ�Gtâ�â�s«s¨ ò�¯8òú®½® ô=ò�¦u�ªc©�!#�91©�©E¯3©P� .G*ò��¥�=©s¨ú¨6©���ó �h!Uó�òú®h¦���1ô¦�Uò��K¯8ô µ)!1« ¨ ò��"�°òú®�ñ � þ � â� Q ñ�* 7 ñ�Gtâ�Ü5ßzGtâ«ó !!$G �Nñ3* 7 ñ�GtâxßzGtâ�óW� � � ñ�* 7 ñ�Gtâ:Ý�âP* ¤7 ñ�Gtâ�ý ñ � þ � â

¹Iô5®�1cô)�k!Uó�òú®h¦^��ôh�k�có��"ô�µ�!1«��yò�©s® òú®�ñ � þ � â��k�;ô�¦hô)�* ¤7 ñ .Gtâ«ó �R�E�Mñ3* 7 ñ .Gtâ Ü ß .Gtâ� � � ñ�* 7 ñ .Gtâ�Ý�â ý ñ � þ � â

º�òúñ�òú¨6«���¨?�u�ý!x®R¯$ô)�ý��1ô 1K©����zô=ó3¤1©s® ¯sòú®U¦´�zô¦�!x¨+«���ò��"� «sóKó�!xñ~¤��yò�©s®1ó «s® ¯�¤¥�z©��Eò�¯,ôc¯,�¤7 ñ .GtâD�óSÞ=�k�;ô�¦hô)�, ¤7 ñ .G�â«ó � ��� ñ", 7 ñ .G�â:Ý2ß .Gtâ� � � ñ3, 7 ñ .Gtâcܯâ ý ñ � þ�ú�ÞÀâ

� ª � �&ô)ô��)¤�ô 1��h��«��;ò ��� � %�¡ �c� � ñ 4 �: ñ�� � â�âI«s® ¯ � ê+4 ±�² � � ±`³\Û ÜÝ � ¶LK � � � � ñ�¼Mâ«óSÞb�=©��)« ®(�#�%3í 4 �: ñ�� � â �k��ô5®â � ��� â ÈNM � Û ÜÝ � ¶ � Q ����� ù â � � �E� â ÈNM � Û ÜÝ � ¶OK ��� ß G�'ØÞMý ñ � þ�úUúpâ® ® ¯,ôcôc¯u��«`ócó�!xñ)òú®U¦ �;ô�1c«s® 1c«s® ¯sò ±\ô��zô5®(�yò�«��vô�* 7 ß�, 7 òú®õñWÞMßzä 7 âÓ«s® ¯à�Nñ:¾�ßzGtâÑòú®4 �: ñ��Iñ�GtâtâO!U¤­�v©^��ô�ªc©�!x®R¯$«����u��«��Φ\!xòú®h¦�«`ó�òú® � � �;ô¥¦$ô��� �E� ñ�* 7 ñ�Gtâ�Ü5ßzGtâP* ¤7 ñ�Gtâ� � � ñ�* 7 ñ�Gtâ Ý â 'ØÞMß � �E� ñ3,CPMñ�Gtâ�ÝZß:GtâZ,=¤ P ñ�Gtâ� � � ñ", P ñ�Gtâ Ü â '�ÞMß ñ � þ�ú � â

Page 9: GLOBAL SOLUTIONS TO THE GRADIENT FLOW EQUATION OF A

3N:MHI69L�: ] HN:xa�=?@DHIA ] =�H =^Í�83 d L [ @v89A7= � :MH g ��=©���«s®$��GI'SÞ$�D��ò ±\ô��zô5®(�yò�«��yòú®h¦���ô�ô µ)!1« ¨ ò��Îò�ô=ó\� �Mñ�* 7 ñ�Gtâ Ü ßzGtâ�ó � �ªñ", P ñ�Gtâ Ý ß:Gtâ2ó¦Þ�§ò��2�zô=ó"¤�ô 1��h�v©�G�«s® ¯^!Uó�òú®h¦ �f� � ���)� �h�;ôO��1ô=®�¦$ô��� �E��� ñ3* 7 ñ�Gtâ�Ü�ß:Gtâ� � � ñ3* 7 ñ�Gtâ:Ý«â ó ? �R�E�Mñ3* 7 ñ�Gtâ Ü ßzGtâP*U¤7 ñ�Gtâ� � � ñ3* 7 ñ�Gtâ�Ý�â ù�Þªß

� �E��� ñ3* 7 ñ�Gtâ�Ü�ß:Gtâ«ó Þ ê�í � ���Mñ3* 7 ñ�Gtâ Ü ß:Gtâ� � � ñ3* 7 ñ�Gtâ�Ý�â TØÞMß ñ � þ�ú�XÀâ� ���E� ñ",CP\ñ�Gtâ:Ý2ß:Gtâ� � � ñ3,�P\ñ�Gtâ�ÜNâ ó ? � �E� ñ",CP<ñ�Gtâ:Ý"ß:Gtâ9,�¤ P ñ�Gtâ� � � ñ3,CPMñ�GtâcÜIâ ùØÞMß� ���E� ñ",CP\ñ�Gtâ:Ý2ß:Gtâ«ó Þ ê�í � ��� ñ",CP\ñ�Gtâ�Ý"ßzGtâ� � � ñ3, P ñ�Gtâ Ü â VµÞMý

� ô)�"�Îòú®U¦>Q�×�óS�R�E�½«s® ¯8¯ ò ±\ô)�Kô=®$�Îò�«��Îòú®U¦ �f� ��¼ � �"�§ò�1KôO�§ò��2�zô=ó"¤�ô 1��h�v©*#{�h�;ô)©$ª)�v«sòú®MNO NPQ Q óRQ �E� #&% 4 �: ñ��Iñ�Gtâtâ�ß\G�% ñDÞMßxà&á�âQ Q óSÞ #&%-ê�å�Õpñ 4 �5 ñ��Nñ�Gtâtâtâ�ß\G�% ñDÞMßxà&á�âQ9ñ�#7ß`Þ�â�óS� � �E� ñ�#9â #&% ñDÞªßfúpâxß ñ � þ�ú5�<â

�§ò��x��ôɪc©�!x®R¯,«����y1c©s® ¯sò��yò�©s®1ó�©s®&í 4 �: ñ��Iñ�Gtâtâ*¦,ò��`ô5®Fª)� �f� � ���)� � � ©��ô���«����¥� �z©sñ��ôO��xò��z¯8ô µ�!1«s¨ ò��"�°òú®Øñ � þ � â��(�=©��I« ®(��G�'�Þ&ò��¥�=©s¨ú¨+©���ó� Û�ÜÝ � ¶ � Q ��� Q;ñ�#7ßzGtâ\!$#�ó Þ$óTS 4 ð éÛ�ÜÝ � ¶ � Q ��� Q;ñ:¾�ßzGtâ�'�Þªß 4+ê�åÛ�ÜÝ � ¶ � Q ��� Q9ñ�¾�ß:Gtâ"ùµÞMý«¥�ô�ªc©�!x®R¯$«�����1c©s® ¯sò��yò�©s®1ó �"� � ���)� ��1ô=®�òúñ~¤R¨V�}��1«��%Q;ñ:¾�ßzGtâI«`ócó�!xñÉô�ó*ò���ó*ñÉ«��$òúñb!xñ«s® ¯&ñ�òú®1òúñ�!xñ òú®¢��1ô°òú®$�ô���ò�©���©P� 4 �: ñ��Iñ�Gtâ�â �I1ô=®¥1cô �f� � �G� � �=© ¨ú¨6©���ó�� �z©sñ �f� � �)���ª��^��1ô�ñÉ«��$òúñ�!xñ�¤���òú®¥1=ò ¤ ¨6ôU�� ô)�h!Uó�©$ª�ó5ô����`ôO��«��¥� �z© ñ ñ � þ � âI«s®R¯ �f� � �\��� ò��$�=© ¨ú¨6©���óâ * ¤7 â�È M ����� ×UØ � ù â � � �E� â È�M � Û ÜÝ � ¶LK ��� ß â , ¤7 â)È M ����� ×UØ � ù â � � �E� â ÈNM � Û ÜÝ � ¶OK ��� ý® ®�¤1«����yò�1)!x¨+«�� �~�;ô°« ¨¹ó5©&ô9�)¤1ô 1)�z��«��z��ôI� !x®¥1)�yò�©s®1óD* 7 « ®R¯^, 7 «��zô � ò ¤�ó�1 Uò��ª�1c© ®(��yòú®(!1©�!Uó�©s®½Ü Þªß:ä 7 â����ö=�~���t�SýeÿUeÿ ® �;ò�óO1=¨+ôK«��¦��«���«¥�ôc©��zô5ñ � � � �© ¨6¯`ó)« ¨¹ó5©~�=©��¦��1ôk� !x®¥1)�yò�©s®ÖNñBòUâ2×�óS4Gê�å7ñtúUß`Ö �^� ñDòUâtâ�óS4+ê�å7ñtúUß � æ$�>ñ^ú5à ò ö âtâxý® ®Ñ��1ô�¤��Kô�ó5ô5®(�I¤1«�¤1ô�� �)ó5©s¨V!#�Îò�© ®�óÉ�Í�v©���1ôH¦\�z«$¯sò�ô5®(�WV"©�� ©P� � � «��zô&òú®$�ô5®R¯$ôc¯D«`ó2��©`ó5ô� !x®�1��yò�©s®�ó)ó5«��yò�ó�� �sòú®U¦ � ò�� � � � � � «s®R¯ � �Eò ��� �§ò����RQ"ó¬� �����zôM¤R¨+«\1côc¯½ª��)�RQ°ó�ñ Ö ¤ ñ��R��âtâ�� � ©Z�«¥�ôc©��Kô=ñ � � � ��«¥�ô=ó5ô�ó5©s¨V!#�Îò�© ®�óz1K©�!x¨6¯�ªcôz1c©sñ~¤1«��zôc¯X�§ò���ó5©sñÉô"® ©��yò�©s®H©Z�h�;ôc«UÄ¥ó5©s¨?!#�yò�©s®1ó�©Z���ô�¦\�z«,¯ ò�ô=®$�XV"©��à©Z� ���=YJZ �2ó5ôcôW[ �]\_^ �}�&ôX1c«s®�©,ª=ó5ô)���sô���1«��e�Áò�ó\® ©��9«¥')(^�:¯ ò�ó��3��ò�ª�!#�Îò�© ®R« ¨ó5©s¨?!#�yò�©s®S©Z����ôa`Aô)�z© ®R«��cb�« ¨ ò²ÄFô µ�!1«��yò�©s®Wòú®.��ôHó5ô=®1ó5ô&©P�d[ �]\ �~�)ô3�9®�ò��Îò�© ® �1^ ��ó5ôKô�ñ � þ � â��¹I©��;ô)�sô�� �;���"!#��®�ó�©�!#�z�©&ªcô°«Re�©�!x®U¦��M�s«���ò �=© ¨6¯3ó5©s¨V!#�Îò�© ®Ñ©P����ô�`Aô)�z© ®R«��cb�« ¨ ò²Ä ô�µ�!1«��yò�©s®(�ó5ôcôf[ �g\c^ ��[ �<hi^ ���&ô�«s¨¹ó5©�©,ª=ó5ô)���sôX��«��§ò ��*GóÑ,�%½ñWÞMßfúpâ�ò�ó¥«kj�!xñz¤�¤1©sòú®(�;©Z�;�Iñ�Gt⥫s® ¯�ò �9��ò�óó�!CB+15ò�ô5®(�y¨?�°ó�ñÉ©�©����òú®F«°® ô=ò�¦u�ªc©�!#�91©�©E¯�©Z�~* � ó5ôKôXä�ô=ñÉ«��9Ä � � \P� ����ô5®�«`ó�«y1c©s®�ó5ô µ�!1ô=®¥1Kô©P�Øñ � þ � â ��ñ � þ�ú�ÞÀâ �&�;ô�1«��sô���1«���*U¤Wñ�Gtâ�ó¦Þ$��«�xò�óIò�ó�1c©s®1ó�ò�ó �vô5®(���§ò���F[ �]\ ���=©���ñb!x¨6« �M���0^ ��òú®1c©s®�®Rô 1)�yò�©s®��§ò��­��1ô�®R©��Îò�© ®�©Z�¥¦hô5®Rô��z«s¨ ò²ªEôc¯Hó5©s¨?!#�yò�©s®¥� Ö òú®R« ¨ú¨?�u��©,ª=ó5ô)���sô���«��k*U¤lñ�Gtâ"ó Þ.ò�ó«s¨ ó=©�«�1c© ®�ó5ô µ)!1ô5®�1côI©Z����ô�ÒD½ ö ñ�Ü Þªßdà&áµâ ­ ��öcñWÞMßfúpâtâX�Kôy¦\!x¨6«���ò��3�H©Z�"�o�

Page 10: GLOBAL SOLUTIONS TO THE GRADIENT FLOW EQUATION OF A

ú�Þ 354c698;:À:<8;=?=?@BA�@¨EcFG40AIHKJML�3NL LNA [ 8�4pTUL�HN:<@BA�@

l �� �

®

� � � �

¢l rñ ð â

� � ml r �onD�®

� � � �

¢

il�{~x¤ch ­ ¢

ñDã>â;=<?>$@¥A�@ p 4^çkF9v�L�JPè�é noq°ë wfì n/r YKJOR_E`Fre9p�S#Q�R�aY�S l � õ FXEGLKdKF�� � � û � � � LKS0]�� � r û � � r n/s S­L�ìacRra_WO]KacW[#T?LKNuFM]�R_E`FbW9YUT p�R�aYKS l Yfe�C$E`FMYKJPF9v é n � WZR�L�J9R�acS�H�e9JMYKv l � |te YKJ õ E�aQZE}� � j ÿ m û � � j ÿ m ð� � � |�� rKj ÿ m û � rKj ÿ m ð�� � r | l F9d�YUT dKF9WbLuQPQPYKJM]Ka_S�H�R�Y�R_EGF¦E`FMLKR~FMñ�pGLKR�aYKS­acS°� � � j ÿ m � � rKj ÿ m � õ acR_E�ö)F9JMY÷ F9p\vXLKS`S�wZY�p\S0]uLKJZN}QPYKS#]�acR�aYKSGW ë ]uLKWfE`FM]}Q�p�J9dKF"ì�|�LKS#] l¥j ÿ m ð l � a_S2� ò ��ô9�"t � � � j ÿ m � � r j ÿ m � nus S�wfìõ FOQPYKSGWPR�J9pGQ�R~Lze9p�S#Q�R�aY�S�î õ a_R_E�î j ÿ m �F� � jò � ô m |&WPp`QZEyR_EGLKR�î F9d�YUT dKF9W¦LUQZQPYKJf]KacS�H�R�Y}R_EGFXE`FMLKRFMñ�pGLKR�aYKS­acS�� � � � �wv � r j ÿ m � õ a_R_E�ö)F9JMY ÷ F9p�v�LKSGS�wPYKp�S#]ULKJ9N2QPYKS#]Ka_R�aYKS`WP|DLKS0] v � r j ÿ m acWO]�FMQ�JPFMLKWPacS�H2a_SR�acv�F9|�acS¦WPpGQZEbL õ LKNzR_EGLKRtR_EGFrQZY�J9JMF9W�[\Y�S#]KacS�H�[\YKacS`R0î j v � r j ÿ m � ÿ m W9T a�]�F9W&YKS�LDT acS#F õ acR_E�WZT?Y9[GF�HKJMFMLKR3F9JR_EGLKS�YKS#F9|{EGF9S#QZF~R_E`F�e9p�S#Q�R�aYKSOîÍ]uY)F9W�S#YKR�W�L�R�acW²e9NbQZY�S#]KacR�a�YKS ë d � ì�acS°C$E`FMYKJPF9vÍé n �#n

� � Q�Q;ñ .Gtâ � �

� �Þ ú;=<?>$@$A�@ x 4Iç&F9vXLKJPè�é ncê�ë F"ì n�s S�H�F9S=F9JfLUT�R_EGF¦W9YUT p�R�aYKS l Yfe�C$EGFPY�JPF9v é n � QPLKSGS#YKRhW�L�R�acW²e9N�R_E`FQPYKv�[\L�J9acW9YKS^[`J9acS0Q�a [#TVF n>s S0]�FPFM]K|&TVF9R l � LKS#]�y � w9F�LKWDacSyR_EGFz��HKp\JMF9| l �|{ y � | õ EGF9JPF õ F�LKWPWPp�v¦FR_EGLKRhR_E`Fke9p�S#Q�R�aYKSdy � acWXYKS=F�s}{a [`W�QZE�acR²ö�|hW9Y�R_EGLKR�g �~ j y � m û jò ��ô m�n|� YKJMFMYKdKF9J l¥j ÿ m ð l � e Y�J�LKSGNÿ � jò �1�f� m�n�� S�R_E`F~Y�R_E`F9JhEGLKS0]K|{R_E`FrW�YKT p\R�a�YKS|y^WZR�L�J9R�acS�Hhe9JfYKvRy � HKacdKF9S}w�N^C$E`FMYKJMF9v�é n � acW&R_E`Fp�WPp`LKT=W9YUT p�R�aY�S}YfehR_E`FhE`FMLKR�FMñ�pGLKR�aYKS^acS jò ��ô mhõ a_R_EXö�F9JfY ÷ F9p�v�L�S`S}wPYKp�S#]ULKJ9N�QZY�S#]KacR�a�YKS`W n�� F9S#QZF9|LKR�W�Y�v¦FzR�a_v¦F ÿ�� ò LKS0]bL�R�W9YKv¦F � � jò ��ô m acR�E\L9[u[GF9S`W�y j � � ÿ m��°l¥j � � ÿ m�n

Page 11: GLOBAL SOLUTIONS TO THE GRADIENT FLOW EQUATION OF A

3N:MHI69L�: ] HN:xa�=?@DHIA ] =�H =^Í�83 d L [ @v89A7= � :MH g ú�ú�7Ê "ÒDÍsÚfÌ/��Õ\Í�ÒÎÕ\Ì�ÒWÎ>Ë Ê ÿ å½Õ�äMê¸ì$ì�Ô�ç�Õ�ê�æUå½ü5Ô'ü ð åÀÕ¥Õ�æ�ê î Ô�å�Õ`êÂí � Õ�äMÔH��öc��Uû ðUî ê�ÔfåÀÕ&æcí�Õ�äªÔíBëMåªç�Õ�ê�æUå ð,� ��� ê�åµñtúUþ � â°æUå ð ìtëMê�Õ ð ã � Ô î Ô�åªì�ÔGì�ëMãªìz� ð çfÔ�� æUí;��ö�ñDÞMß�ú0â=09ì�ÔfÔ Ã Ô�ïªåMê�Õ�ê�æUå.XMþ Xã;Ô � æ�ü&þ � Ô°ã;Ô5��ê�å'ã � ç�æ$4��Më\Õ�ê�å��&Õ`äMÔZï>û`ìtÕ�è ð û`ê ð Õ�ê�æUå'æUí � �+ð � æUå1�¥íBëMåªçxÕ`ê�æ�åªìk4W%�Ó7ê6�7ñWÞMß�ú0âxþ�D� ü%�1ü%��ø�ûeø�ü^ù+·eÿ��1ÿD� ô)�2��%�� � ñDÞªßfúpâ�ªcô�ó�!(1 2��«�� 4 �5 ñ��Kâ«ó�G /798 � Ü * 7 ß , 7 <"��&%�¾ ö ñ 4 �: ñ��Kâtâ ð å î ì�ë��Û ÜÝ � ¶ � ø � � øUT úUý«¥�ô5®b�=©��)«s®$�>4W%-Ó7ê6��ñDÞMß�ú0âX�§ò��d4�ñDÞÀâ«óR4�ñ^ú0â¦�;ô�1«��sô!!J� ��� ñ��Gà��X42â µ � 8 � ó � Û�ÜÝ � ¶ � � ��4§�°!$#óS? � Û ÜÝ � ¶ � � ���=4 !,#

à /�798 � Ê � � ñ�* 7 ÜIâ04/ñ3* 7 â�? � � ñ", 7 Ý�â_4�ñ3, 7 â Ë ýñ�Xªþ�úpâ

`��z©E©P�dþ°�<ê�åªçfÔ+ì�ë�� Û ÜÝ � ¶ � ø � � ø^T ú ð å î 4¬% Ó?ê+�7ñDÞªßfúpâ�0?ü�Ô�ä ð èUÔ 4 �: ñ��Gà��]4"â/ó 4 �: ñ��KâíBæUû�ø ��øMì:4 ð �+� ÔfåMæ�ë��Uä7þ ÿ å ðUîªî êÂÕ`ê�æ�å 4 �5 ñ���à��X42â«ó 4 �5 ñ��9â�íBæ�û&ø �Nø<ì:4 ð �+� ÔfåMæ�ë��Uä7þoáªæUû"ì�ëªçdä�-ü�Ô¥ä ð èUÔ� � ñ��+à��X42â�ó ú� � Û Ü� � ¶ Ý �O� � ú�!$#Gà ú� � Û ÜÝ � ¶ Ý �O� � ñ�� � à��]4 � â ö !,#ó ø 4 �5 ñ��Kâfø� à ú� � Û ÜÝ � ¶ � ñ�� � à��X4 � â ö !$#ó ø 4 �5 ñ��Kâfø� à ú� � Û ÜÝ � ¶ � ñ�� � â ö !$#Gà�� � Û ÜÝ � ¶ � � � 4 � !,#Gà��+ñw� ö âxýJ äMÔ�å�ñÎXMþ�ú0â?íBæ �+� æ�üZìNü"ê�Õ�ä ð å$ê�åÀÕ�Ô��Uû ð Õ�ê�æUå$ã � � ð û�Õ`ì�0�ëªì�ê�å��/Õ�äªÔ ð ì�ì�ë�4��\Õ`ê�æ�åªì���%y¾ ö ñ 4 �: ñ��9â�âð å î 4�ñDÞ�â5ó'4/ñtú0â�þ��ö=�~���t�ý·eÿ+ýeÿ�� ª�ó5ô����`ô���«��D��ô��`«���ò�«��yò�©s®1óI�µÚ �àR�]4z��«`óÉòú®-`r�z©�¤1©`ó�ò��yò�©s® � � � �1c«s®�®R©��Lòú®�1��zôc«`ó5ôb��1ô�®$!xñ�ªcô���©P�¥ó�òú®h¦\!x¨6«���¤1©sòú®$��óI©Z����%^� � ñWÞMßfúpâ��ÿ í���ê�ì ð ì2ê�å3�«û`æ,�;æ�ì�ê�Õ�ê�æUåHXªþ�ú¥ê�Õ"íBæ �+� æ�üZì

ê�å\í�J�9�¡  ¢i£ K1¤ ¥§¦A¤ �<£ Kc¦©¨ �<£ ¥w¦ª � ª_« ÉL¬ � !!"� � � ñ��+à��X42â µ � 8 �ó ô ? â �R�E� â È É � Û ÜÝ � ¶ ��� ê�íA�R�ªñ�* 7 Ü â�óW�R�>ñ3, 7 Ý â5ó ÞMß ú¥ùÞ�'ù+% ß?/á æUÕ�äMÔ�û�ü"ê¸ìtÔUý

ñ�Xªþ � âõ�ö�÷Uøúù�ø�ûeø�ü^ù ·eÿ²·eÿ �3ôÁ¯$ô=® ©��vô�ª)�5� ��ôÁ¯,ô5®�ó5ô ó�!1ª�ó5ô��°©P�8�5öUñWÞMßfúpâ°1c©s®1ó�ò�ó �yòú®h¦W©Z���ôI� !x®¥1)�yò�©s®1ó¥� «só�òú®5`��K©�¤1©`ó�ò��Îò�© ® � � � «s® ¯�ó5«��yò�ó� �sòú®h¦É� � ñ3* 7 ÜIâ/óË� � ñ3, 7 Ý�â/ó Þ��=©��8« ®(�ú&ù���ù¢%Þ�¿ åªçfÔ�ü�Ô¥ïMé���%F�D0\Õ�äMÔ&û`ê+�UäÀÕ"ä ð å î ì�ê î Ô�æUí$ñ�Xªþ�úpâc0Mê�íIçfæUåªì�ê î Ôfû`Ô î�ð ì ð íBëMåªç�Õ�ê�æUå-æcí­4\0ê¸ì ðÉ� ê�åªÔ ð ûZíBëMåªçxÕ`ê�æ�å ð �Nî Ô�ï>åMÔ î æ�å-Õ�äMÔ�Ó?ê+�ªì�çdäªêÂÕ 7 íBëMåªç�Õ�ê�æUåªìu4Sê�å ñDÞMß�ú0â2ü"ê�Õ�ä®4/ñDÞÀâ�ó�4�ñ^úpâñBü"äªê�çdä íBæUûK4 ð�î Ô�åªìtÔ ì�ëMãªì�Ô�Õ-æcí)�5öcñDÞªßfú0â�â�0/ü"äMê�çdä¦ê�ì-çfæUåÀÕ�ê�å<ëMæUëªìü"ê�Õ�ä û`Ô�ìz�;Ô�çxÕ�Õ�æµÕ�äªÔ

Page 12: GLOBAL SOLUTIONS TO THE GRADIENT FLOW EQUATION OF A

ú � 354c698;:À:<8;=?=?@BA�@¨EcFG40AIHKJML�3NL LNA [ 8�4pTUL�HN:<@BA�@

?&ú ð â ú òÖ

? � ?&ú ã>â ú � òÖ �

;=<?>$@���@?B 4�L9ìzR_EGF{eZp\S0Q�R�aYKSXq°QPYKSGWPa]�F9JPFM]�acSbR_E`F�[0JPF9W�F9SGR$[\L9[GF9J1¯�wfìzR_E`F¥e9p�S#Q�R�aY�S¦q � Yfe�çkF9v�L�JPè° ncêUn��ö�ñDÞªßfú0âv�låªæUûK4�þ J äMÔ�û�ÔfíBæUû`Ô�ê�Õ°ç ð åã;Ô&Ô�é<Õ`Ôfå î Ô î æUå�Õ�äMÔ&ü"äªæ � Ô�æUí��5öcñDÞªßfúpâ�0\Õ`äÀë>ì"�Mû�æ�è<ê î ê�å��ð ü5Ô �6��î Ô�ïªåªÔ î ëMåMê�BÀëMÔ � ÔfívÕ°ä ð å î ì�ê î Ô&æcí�ñ�Xªþ�úpâ«íBæ�û ð å � 4W%3� ö ñDÞMß�ú0â=0 ð å î

ê�å\í�J�¡�9  ¢)£ K1¤ ¥§¦A¤ �<£ Kc¦©¨ �<£ ¥w¦ª � ª_« É ¬ � !!J� � � ñ��Gà��X42â µ � 8 � ó ê�å\í�J� « É £ K0¤ ¥w¦ª � ª_« ÉL¬ � !!J� � � ñ��Gà��X42â µ � 8 � ý ñ�Xªþ XÀâJ äMÔ&ê�å\ï14�ë�4�ê�å ñ�XMþ X�â5ê¸ì ð Õ�Õ ð ê�åMÔ îð Õ�±4S%��5öUñWÞMßfúpâ�0\ü"äMÔ�û�Ô

±4µó ô Þ æUå 4 �5 ñ��Kââ �R�E� â Ü �È É � Û ÜÝ � ¶ ��� �R�E� æUå 4 �: ñ��Kâxýÿ Õ°íBæ �6� æ�üZì"Õ`ä ð Õ°Õ�äMÔ���ö���Uû ðUî ê�Ô�å�Õ�>æ�ü æUí ��� ìtÕ ð ûtÕ`ê�å���íBû�æ$4þ� � %5� ê�ì��Uê�èUÔ�å-ã � Õ`äMÔ�íBû`ÔfÔ5�ã;æUëMå îªð û � �Mû`æUã � Ô54 ñ � þ � â�þ  ì ð � û�Ô ðUîx� æUãªì�Ôfû`èUÔ î ê�å'Õ`äMÔ ÿ åÀÕ�û`æ î ëªçxÕ`ê�æ�å�0Uê�å°��ÔfåMÔ�û ð,� ìtæ � ë\Õ`ê�æ�åªì¯Õ`æ��Mû`æUã � Ô54!ñ � þ � â ð û`ÔåMæUÕ$ëMåMê�BÀëMÔ,0¯ì�ê�åªçfÔ'Õ�äªÔ°4+æcÕ�ê�æUå æUí2Õ�äMÔ�íBû�Ô�Ô=�¨ã>æ�ëMå îMð û � í 4 �: ñ��Kâ¥ê¸ì�åMæUÕI�Mû`Ô�ì`ç�û`ê�ã;Ô î þ&ð°æ�ü"�Ôfè�ÔfûE0 ð 4+æUå�� ð �+� Ö�� ðUî 4Gê¸ì`ìtê�ã � Ô�ì�æ � ë\Õ�ê�æUå>ì5ü�Ô¥ç ð å � æ<æ$@�íBæ�û�Õ�äMæÀìtÔ�ü"äMê¸çdäH4+æ�ìtÕ î Ô�çfû�Ô ð ì�ÔZÕ�äªÔÔfåªÔfûK� � � � þ J äªê�ì/ê�ì/Ô�éx�Mû`Ô�ì`ì�Ô î ã � Õ`äMÔ�íBæ �+� æ�ü"ê�å��°�Mû`æ,�;æ�ì�ê�Õ�ê�æUå�0>ü"äMê�çdä íBæ �+� æ�üZì°ã ��ð�î ê�û`Ô�ç�Õç�æ$4��Më\Õ ð Õ�ê�æUå ð å î û`Ô�ç ð �+� ê�å���Õ�ä ð Õ/Ö / ú`Ç � æUå 4 �5 ñ��Kâxþ�D� ü%�1ü%��ø�ûeø�ü^ù¬·eÿVÃ^ÿ�� ô��L�ϪKôH«&ó5© ¨?!#�Îò�© ®Ñ©P�§ñ � þ � â°« ®R¯3ó5«��Îò�ó� �sòú®h¦ � ò�� � ©Z�­«¥�ôc©��Kô=ñ� � � �}«¥�ô5®b�=©���«s¨ ñÉ©`ó���ô)�sô)���IGL% ñDÞªßdà&áµâ��;ôX�«��sô!!,G ��� ñ��Iñ�Gtâ�â�óÏ? ú� !!,G ø 4 �: ñ��Iñ�Gtâtâ�øs? � Û�ÜÝ � ¶ � Q ��� ø � ���ªñ�#7ßzGtâfø ö !$#7ý ñ�Xªþ �<â��ö=�~���t�©·eÿ_âeÿ `��K©�¤1©`ó�ò��Îò�© ® � � � òúñz¤ ¨ ò�ô�óx��«��)òú®Ï©��z¯$ô)�°�©ÁñÉ©`ó��ɯ,ô 1��zôc«`ó5ôx��ô.ô5®(�ô��Φ�� � � �D��ô��zô¦,ò�©s® 4 �: ñ��9â°ó9�©�!x¨+¯ ô��)¤�« ®R¯½«só~�=«`ó���«`ó�¤1©`ócó�ò�ª=¨6ô)�O1c©sñ~¤�«��Îò�ª5¨?�°�§ò�����ô+Ö��«,¯ ñ)ò�ócó�ò�ª5òú¨ ò��3�3©P�������ö=�~���t��·eÿo+�ÿ�� !#�b�zô�ó�!x¨?�Îó�1c«s®àªKô8ô9�G�vô=® ¯,ôc¯y�©&©���1ô)��òú®$�ô¦\�z«s® ¯`ó�� � ô��z!Uó�1c© ®�ó�ò�¯,ô���=©���ô9�U«sñ~¤R¨+ô¦��ôI¤�©��ô5®(�yò�«s¨2òú® Ö ò�¦�!#�Kô � � � ª � �;ò��úôK�²�

Ö � ñBòUâ2×�óMNO NPø ò�? � ø ö ò �Zòb'¦úUßø ò"à � ø ö ò �Zò�ùã?&úcßú ©���1ô)���§ò�ó5ô�ß ñ�Xªþ � â

��Uò�1 Fò�ó��Kô=¨6«��ôc¯x�©2��ô�©s® ô�ó}1c©s®1ócò�¯$ô)�KôK¯½òú®5[ �U�O^ �W[ �1^ �.«¥�ô5®���ô��;®1ò��yò�©s® � � � ó��yòú¨ú¨9ñ�«UÄ,ô=óó5ô=®1ó5ô��~¤��z©���ò�¯$ôK¯¨��«��O�;ô ¯$ô��;®Rô 4 � ¥5 ñ��Kâ&«`ó���ô¦�;®1ò��vô2!x®1ò�© ®ã©P�x15¨6©só=ôc¯Fòú®(�vô)���s«s¨¹ó2���ô��zôø �Nñ�#;âL?F�Iñ�¼Mâfø2T�ø #�?D¼Kø?��«s® ¯ 4 � ¥: ñ��9â¥ó!Ü ÞMßfú5<�¢ 4 � ¥5 ñ��Kâ°«`ó���1ôz�;®1ò��vô^!x®1ò�© ®Ñ©P��òú®$�ô����`« ¨¹ó

Page 13: GLOBAL SOLUTIONS TO THE GRADIENT FLOW EQUATION OF A

3N:MHI69L�: ] HN:xa�=?@DHIA ] =�H =^Í�83 d L [ @v89A7= � :MH g úEX���ô��zô�ô5ò���1ô)���Iñ�#;â�?H�Nñ�¼\â�'à#*?8¼½©��;�Iñ�#;â�?H�Nñ�¼\â�ù ?�ñ�#*?H¼\âK� � ô)�o!Uó�¯$ô=® ©��vô�ª)� 4 � ¥: � Ý ñ��Kâ� �zô=ó3¤{� 4 � ¥: � Ü ñ��Kâ � ��1ôÉó�!1ª=ó5ô)�*©P� 4 � ¥: ñ��Kâ^���ô��zôI�ãò�óÉòú®¥1)�zôc«sócòú®U¦ � �Kô�ó"¤t�Á¯$ô�1��zôc«`ó�òú®U¦ � ��«¥�ô�k�có��{�s«���ò�«��Îò�© ®3©Z� � � ¥ 1c«s®Hªcô~1c© ñz¤¥!#�ôc¯I«só�òú®�`��z© ¤�©sócò��yò�©s® � � � «s® ¯���ô¥ô)�s©s¨?!#�yò�©s®3ô µ)!1«��Îò�© ®1c©����zô=ó"¤�© ®R¯ òú®h¦��©�ñ � þ � âX�zôc«,¯só)«`óMNNNNNNNO NNNNNNNP

� Q óS� �E� #&% 4 � ¥: ñ��Iñ�Gtâ�âxß�GL% ñDÞªßdà&áµâ� Q ó Þ #&%-ê�åÀÕ0ñ 4 � ¥5 ñ��Nñ�Gtâtâtâ�ß�G�% ñDÞMßxà&á�â� ê+4±5² � � ±`³\Û Ü ¥Ý ¤ ² � ¶ � Q ��� � � ñ�¼9ß:Gtâ«ó £ � #&%&í 4 � ¥: � ³ ñ��Nñ�Gtâtâ^¢\�pÞMßfú,��ß�G�%½ñWÞMßxà&á�â�Iñ�#7ß`Þ�â«óS� � ñ�#9â #&% ñDÞMß�ú0â�IñDÞMßzGtâ«óW�Iñ^ú�ß:Gtâ�ßA� � ñDÞMßzGtâ«óW� � ñtúUß:Gtâ GL% ñDÞªßdà&áµâxýñ�Xªþ � â

º�òú®¥1cô¥ô µ�!1«s¨ ò��"�-ñ�XMþ �ÀâAó��Îòú¨ú¨#�© ¨6¯`ó �9«s¨¹ó5©)òú®��Uò�óD1c«só=ôD��ôD�zô¦,ò�©s® 4 � ¥: ñ��Iñ�¾{âtâ¥ô���¤1«s® ¯`ó�«só��=«`ó��9«`ó¤1©`ócó�ò�ª=¨6ô)�~1c©sñ~¤�«��Îò�ª5¨?���§ò��ØñÎXMþ � â)�°�3ôr�;®R« ¨ú¨?�H©,ª=ó5ô)���sô���«�����ô�« ®R«s¨+©z¦\!1ôÉ©P�2«�1ôc©��zô5ñ � � �ò�ó�®R©��"ô��)¤�ô 1��ôc¯��v©b1©s¨6¯8òú®°�Uò�óO1c«`ó5ô)��1�� ���rä�ô=ñÉ«��9Ä \ � � ���ö=�~���t�ï·�ÿ @Rÿ.� ô���!Uó}1c© ®�ó�ò�¯,ô���«�1c©s®$�Îòú®$!1©�!Uóz� !x®�1��Îò�© ® Ö ö ×IÙ Ú Ü ÞMßxà&á�âH©P�}��ô�=©���ñ�Ö ö ñBòUâ�óSòcöh�=©���ø òªøU% Ü Þªßfú5<3��« ®R¯�Ö ö ñDòUâ�óR´�òNàFµ��=©���ø òªøU% ÜÂú�ßdà&áµâ ����1ô)�KôW´&àFµ�ó ú«s® ¯|´Þ'ØÞ$��«¥�ô�1c©sñ~¤�!#�v«��yò�©s®�ó�¨6ôc«$¯sòú®h¦��v© ñ�Xªþ � â¦1c«s® ªcô¦�zôf¤1ôc«��vôc¯z�=©�����ôh� !x®�1��yò�©s®R« ¨ ��� É �«s® ¯I¦,ò��`ôb��ôh�=©s¨ú¨6©��§òú®h¦y�zô=ó�!x¨?�MÆê�å\í�J�¡�¡  ¢9£ K1¤ ¥w¦ ¤ �<£ K¶¦o¨ �<£ ¥§¦ª � ª_« ÉL¬ � !!"� ��� É ñ��Gà��X42â µ � 8 �

ó ô ? â � �E� â È É � Û Ü ÉÝ � ¶ ��� ê�íGø � � ñ�* 7 ÜIâ�øUó ø � � ñ3, 7 Ý�âføUóH´§Ç � ß ú&ù��'ù+%½ß?/á æUÕ�äMÔ�û�ü"ê¸ì�Ôcßñ�Xªþ � â

���ô��zô}��1ôÉòú®(�vô���ò�©�� � ô�!xñ�« ®1®Dªc©�!x® ¯,«�����1c© ®R¯sò��yò�©s®(���=©��8ô��U«sñ~¤R¨6ô°òú®°* 7 �Aò�óÉô µ�!1«s¨��v©E´�Ç �� �zô=ó3¤{��?�´�Ç � � ò �"� � ò�ó*òú®¥1)�KôK«só�òú®h¦ � �Kô�ó"¤t�*¯$ô�1��zôc«`ó�òú®U¦ � òú®½Ü * 7 ß�, 7 <P�® ®�¤1«����yò�1)!x¨6«�� ����ôb�zô=ó�!x¨?�yòú®h¦E`�� å «���ò�ócòú®U¦X� �z©sñ ñ�XMþ � âIò�ó)¯sò ±�ô)�zô5®(�{� �K©sñ ñ � þ � â � ó�òú®¥1Kô��ô�1K© ®R¯ ò��Îò�© ®�ó)©s®°��1ô&� �zôcô�ªc©�!x®R¯$«����H«��zô�¯sò ±\ô��zô5®(� � !x®�¨6ô=óKóf´½óSÞ#�9ò��úôU�"Ö ö ó Öo�·�Ê ��Ò�Ú0ÑcÍsÖÀÌ�Òw¸,Õ\Ì0ÒDÎ;Ë Ê ÿ å&Õ`äMê�ìNì�Ô�çxÕ`ê�æ�å&ü5Ô î Ô�ïªåªÔ«Õ�äªÔ5ìz� ð Õ`ê ð,��î ê¸ì�çfû�ÔfÕ�ê 7�ð Õ�ê�æUå&ëªì�Ô î Õ`æ ð ����Mû`æpé\ê64 ð Õ`Ô\�Mû`æUã � Ô�4 ñ � þ � â�þ ÿ å�� ð ûtÕ`ê�çfë ��ð û�0Àê�å à Ô�ïªåMê�Õ�ê�æUå��ªþ �$ü�Ô°ê�åÀÕ�û`æ î ëªç�Ô/Õ�äªÔ î ê¸ì`ç�û`Ô�Õ�ê 7 Ô îæ,�;Ôfû ð Õ`æUû�Òº¹<þÓ?ÔfÕ8È %¼» ð å î ¿3% �ÀúUßfý�ýfý�ßKÈÁ��þ J æ ì�ê64�� � êÂí � åMæUÕ ð Õ`ê�æ�å�0�ü5Ô�ì�Ô�Õ�¿�à ú ó ú ð å îÜ ¿`ß9¿9àSú=<;ó�Ü Þªßfú5<?ü"äMÔfåy¿Ió È�0 ð å î ¿2?µú°ó È ð å î Ü ¿2?µú�ßZ¿y<;ó�Ü Þªßfú=<Kü"äMÔ�å2¿Ió§ú�þáMæ�û ð å � ¿Nó úUß�ýfý�ý�ßzÈ ü�Ô î Ô�ïªåMÔ¥Õ`äMÔb�«���íBëMåªçxÕ`ê�æ�å�è § %�¾ � ñDÞMß�ú0â ð ìè § ñ�#9â2×�ó

MNO NPÈ&#É?Øñ¿�?µúpâ êÂí9È&#&% Ü ¿2?µú�ßZ¿y<Wß¿9àSú�?ÁÈ&# êÂí9È&#&% Ü ¿dß9¿9àSú=<WßÞ æcÕ�äªÔfû`ü"ê�ì�Ôcý� Ô î Ô�åMæcÕ`Ô�ã � (�Æ Õ`äMÔHÈ&� î ê+4+Ôfåªì�ê�æUå ð,� èUÔ0çxÕ�æ�û$ì�ëMãªìz� ð çfÔ�æcíz¾ � ñDÞMß�ú0â*��ÔfåMÔ�û ð Õ�Ô î ã �è � ß�ýfýfý�ßKè Æ þ À ð çdä íBëªåªçxÕ`ê�æ�å½QÑ% (1Æ�ê�ìGÓ?ê+�ªì`çdäMê�Õ 7ð å î ê¸ì�Õ`äMÔ�û`Ô�ìtÕ�û`ê�ç�Õ�ê�æUå Õ`æµÜ ÞMßfú5<5æUí ð åð �'åMÔ&çfæUåÀÕ�ê�å<ëMæUëªì"�;Ôfû`ê�æ î ê�ç/íBëMåªç�Õ�ê�æUå î ÔfïªåMÔ î æ�å�Ù�þáMæ�û ð å � ¿Nó úUß�ýfý�ý�ßzÈ ü�Ô î Ô�ïªåMÔ¥Õ`äMÔ�V�«��5íBëMåªç�Õ�ê�æU忾 § %3��ö�ñDÞMß�ú0â ð ì

¾ § ñ�#;â"×{ó ô ú ê�í�È&#&% ñ¿�?�úUßZ¿y<lßÞ æcÕ`äMÔfû`ü"ê¸ìtÔcý

Page 14: GLOBAL SOLUTIONS TO THE GRADIENT FLOW EQUATION OF A

ú5� 354c698;:À:<8;=?=?@BA�@¨EcFG40AIHKJML�3NL LNA [ 8�4pTUL�HN:<@BA�@� Ô î Ô�åMæcÕ`Ôã ��À Æ ã>ÔÕ�äªÔ�È3� î ê+4+Ôfåªì�ê�æ�å ð � èUÔ0çxÕ`æUû+ìtëMã>ì:� ð ç�Ôæcí��5öUñDÞªßfúpâ���ÔfåMÔ�û ð Õ�Ô î ã �¾ � ßfýfý�ýfß9¾ Æ þ À Æ ê¸ì2Õ�äMÔ�ìz� ð ç�Ô¥æcí ð �+� �Mê�Ô�ç�Ô�ü"ê�ì�Ô&ç�æ�åªì^Õ ð åÀÕ2íBëMåªç�Õ�ê�æUåªì"æ�å�Õ`äMÔ��Uû`ê î þJ äMÔ�ì:� ð ç�Ô0ì�G Æ (�Æ ð å î G Æ À Æ ð û`Ô î Ô�åªìtÔ/ê�åH')(�ñWÞMß�ú0â¯ü"ê�Õ�ä�û�Ô0ì:�;Ô�ç�Õ�Õ�æ$Õ�äMÔ/ü5Ô ð @ 1 �Õ�æ$�>æ � æ$� � þê ê�èUÔfå-Q�%Ó(1Æ ñDû�Ô0ì:�7þ^ãþ% À Æ&â�ü�Ô î ÔfåMæUÕ�Ô'ü"ê�Õ�ä-Q � ß�ýfý�ýfß1Q ÆÛÕ`äMÔ�çfæÀæ�û î ê�å ð Õ�Ô0ì/æUí�Qü"ê�Õ�ä-û�Ô0ì:�;Ô�ç�Õ2Õ�æ+Õ�äªÔ&ã ð ì�ê�ì¥�sè � ßfýfý�ýfßcè Æ ��ñBû`Ô�ìz�?þ��L¾ � ßfýfý�ýfß9¾ Æ ��â�0Mêlþ Ô�þ60QGó Æ� § 8 � Q § è § ß Q § ó�Q;ñ�¿�Ç=È�âxßã¦ó Æ� § 8 � ã § ¾ § ß ã § ó.ãÂÁ ¿^? �

öÈ Ã ý� Ô&û�Ô0ç ð �+� Õ�ä ð Õ � �6�5� �:� ��!$#ó úÈ Æ� § 8 � � § ß �½%3(�Æ�Ä À Æ$ý� Ô î Ô�ïªåªÔ¥Õ�äMÔ�ì`ç ð,��ð û��ªû�æ î ëªç�Õ|Å�¾�ß5¾ÇÆ2æUå&(1Æ ð å î æUå À Æ ð ìÅÈQ;ß QgÆ�ó úÈ Æ� § 8 � Q�§ Q#§^ßÉÅã$ß ã>Æ«ó úÈ Æ� § 8 � ãI§ ã�§^ß Q>ß Q8%&( Æ ßrã�ß ã % À Æ ýÐ"Ô0ç ð �+� Õ�ä ð Õ Åã$ß ã>Æ«ó ���6�5� �:� ã ã½!$#ó úÈ Æ� § 8 � ãI§ ã�§tß ã�ß ã % À Æ ý

ê ê�èUÔfå�Q8%&( Æ ü5Ô î ÔfïªåMÔâ Q â È M ×�óÓ4 ð é �\ø Q § ø�×=¿¯ó ú�ßfýfý�ý�ßzÈ���ßâ Q â)È=É ×�óÊŧQ>ß)Q"Æ ¥É ßâ Ì�Q â)È ¥ ×�ó Æ� § 8 � ø Q § Ý � ?5Q § øUó � ����� ��� ø Q � øx!$#7ý

õ�ö�÷Uøúù�ø�ûeø�ü^ù+Ã^ÿ3��ÿ �3ô�¯,ô3�9® ôb��1ô�¨ òú® ôc«���ñÉ«�¤�á Ý ×�(�Æ Ú À Æ «`ó¦��ôO�zô=ó��3��ò�1��Îò�© ®Á©Z���ôO�;ôK«UÄ8¯$ô)��ò��s«��yò��sô��«UÄsòú®U¦O¾ � ñDÞªßfú0â�òú®8��ö�ñDÞªßfú0âK� ® ®�1c©E©��z¯ òú®R«��vô=óñ�á Ý Q\âP§NóSÈ ñ§Q�§ Ý � ?5Q�§¨âxß ¿9%.��ú�ßfýfý�ý�ßzÈ���ý�&ô�¨6ô���á Ü × À Æ¦Ú (�Æ ªcôO��1ô)«$¯_j5©sòú®$�A©�¤1ô)�z«��©��)©P�*?Aá Ý �J äMÔ+æ,�;Ôfû ð Õ`æUû¥á Ü ì ð Õ`ê�ìtïªÔ0ì�ÅÎá Ü ã�ß)Q"Æ¥ó ?|Åã�ßKá Ý QgÆ°íBæUû ð �+� Q %D(�Æ ð å î ã % À Æ$þÿ å�ç�æ<æUû î ê�å ð Õ`Ô�ì ñÎá Ü ã/â § óWÈ�ñã § ?�ã § Ü � â�ß ¿L%½�ÀúUßfý�ýfý�ßKÈÁ��ýõ�ö�÷Uøúù�ø�ûeø�ü^ù¢Ã^ÿ+ýeÿEË ò��sô=®FQ8%&(1Æ �;ô)¯$ô��;®Rô�Ì�¹�% À Æ òú®­1c©E©��z¯ òú®R«��ô=ó)ª)�ñ¶Ì ¹ âZ§�ó ô ú ê�íGø�ñ�á Ý Q\â § ø<ù úUßÞ æUÕ�äMÔ�û�ü"ê¸ìtÔ�ß ¿;% �ÀúUß�ýfýfýxßKÈÁ��ý

Page 15: GLOBAL SOLUTIONS TO THE GRADIENT FLOW EQUATION OF A

3N:MHI69L�: ] HN:xa�=?@DHIA ] =�H =^Í�83 d L [ @v89A7= � :MH g ú �ÿ í�Q�ê¸ì/Ö1� ðUî 4+ê¸ì�ì�ê�ã � Ô$0MÕ`äMÔ�íBëMå>çxÕ�ê�æUå5Ì ¹ ×7ñWÞMß�ú0â5Ú Ù ê¸ì"Õ�äªÔ$çdä ð û ð ç�Õ�Ô�û�ê¸ì^Õ`ê�ç/íBëMå>çxÕ�ê�æUå�æcíÕ�äªÔ�ìtÔfÕ 4 �: ñ§Q<â�þ-ZæUÕ�Ô¥Õ`ä ð Õ"Õ`äMÔ&û�Ô0ì^Õ`û�ê¸çxÕ`ê�æ�å�æUí � � Õ`æÉ(�Æ û`Ô ð�î ì ð ì�íBæ �6� æ�üZìf×���ê�è�ÔfåaQH%3(�Æ)0

� � ñ§Q<â5ó ú� È Æ� § 8 � 4+ê�å Ê ñ�ñ�á Ý Q\â § â ö ßfú Ëó ú� ÅcÌ ¹ á Ý Q;ßzá Ý QgÆ7à ú� ������� ��� ñtú�?ÍÌ ¹ â"!$#7ß ñ��>þ�úpâ

ü"äMÔ�û�Ô Å¶Ì�¹`á Ý Q;ßzá Ý Q"Æ«ó Æ� § 8 � ñ¶Ì�¹�â § ñ�á Ý Q<â § ñÎá Ý Q\â § ý��ö=�~���t�ÕÃ^ÿ²·eÿ «�1ôI� !x®�1��yò�©s® � � µ ÄEÅ ò�ó � ò ¤�ó�1 Uò��ªÉòú®½(�Æ «s® ¯Hò�ó�©P��15¨6«`ócó�¡ Ç ©�!#�\©Z���ô�¤�© ¨?�K�ôc¯��K«s¨&0��¤1ô)�có�!#��=«G1Kô�¾ ×�ó G Ƨ 8 � ¾�§P�����ô��zôb¾�§�×{ó �*QF%W( Æ × øÂñÎá Ý Q\âP§dø7ó ú,�0�, ócó�!xñÉô���«���Q°%&(1ÆÓ¢�¾¨�^«¥�ô5®=�(�=©���«s®(� Q8%&(�ÆO�k�;ô�1«��sô� ê64�`² � Ì ¹�Ý � ¹ ?½Ì ¹� ó Þ)%�(�Æ$ý

«¥�ô��zô3�=©��zô)�h!Uó�òú®h¦�«s¨ ó=©�ñ��>þ�úpâ �k�;ô¥¦$ô��� ê64�`² � � � ñÈQ&à�� Q<â§? � � ñÈQ\â� ó ú� ŶÌ�¹`á Ý Q;ßzá Ý QgÆ7à ú� ÅcÌ�¹Eá Ý Q>ßKá Ý QXÆó ?|ÅÎá Ü Ê Ì ¹ á Ý Q Ë ß Q"Æ�ý ñ��>þ � â

b½©��zô*¦hô=® ô)�K«s¨ú¨?�u�$�=©���Q°%&(1Æ ��ô��zôIô��$ò�ó���ó���ôI¨ òúñ)ò��� ê64�`² � æ ��� ñ§Q¥à�� QMâ�? ��� ñ§Q<â�ó �§ Î µ �oÏ æ ¹ �ÈÐ µ º � ñÎá Ý Q<â § ñÎá Ý Q\â § à �§AÎ µ �Ï æ ¹ �ÈÐ µ 8 � 4+ê�å ÊKÊ ñ�á Ý Q<â § ñÎá Ý QMâ § Ë ß�Þ Ëó ?|Å�á Ü Ê Ì ¹ á Ý Q Ë ß Q"Æ�? �§AÎ µ �Ï æ ¹ � Ð µ 8 � 4 ð é ÊKÊ ñ�á Ý Q<âZ§�ñÎá Ý QMâP§ Ë ß�Þ Ë ñ��>þ XÀâù ?|Å�á Ü Ê Ì ¹ á Ý Q Ë ß Q"Æ�ý� ©��ôh��«��^ªK©���O��ô�¨ òúñ�ò��Îó;òú® ñ��>þ � âL« ®R¯�ñ��ªþ X�â"«��"�v«sòú®���1ô=ò��Lñ)òú®�òúñb!xñË© ®I�OQ°%�( Æ × â Q â)È=É óú �3«�� QGó á Ü Ê Ì ¹ á Ý Q Ëâ á Ü Ê Ì�¹`á Ý Q Ë â)È(É ý� Ô ð û`Ô�åªæ�ü ê�å ð �;æ�ì�êÂÕ`ê�æ�å�Õ`æ î Ô�ïªåªÔ¥Õ�äMÔ î ê¸ì`ç�û`Ô�Õ�ê 7 Ô î æ$�>Ô�û ð Õ�æ�û�þõ�ö�÷Uøúù�ø�ûeø�ü^ù¢Ã^ÿVÃ^ÿÑË ò��sô=®Á«s®$�|Q°%�(1Æ �;ô�¯,ô3�9® ô¦��ôI¨ òú®Rôc«��)©�¤1ô)�K«��v©��\Òu¹7×�(�Æ Ú (1Æ«`ók�=© ¨ú¨6©���ó�Æ��=©��I«s®(� Q°%3(�Æ �;ô�¨6ô��Òº¹ Q�×�óSá Ü Ê Ì�¹`á Ý Q Ë ý

Page 16: GLOBAL SOLUTIONS TO THE GRADIENT FLOW EQUATION OF A

ú � 354c698;:À:<8;=?=?@BA�@¨EcFG40AIHKJML�3NL LNA [ 8�4pTUL�HN:<@BA�@® ®�1K©E©��K¯sòú®R«��ô=ó¦�;ôX�«��sôñ�Ò ¹ Q<âZ§�ó ñcÌ�¹�â § Ü Q § Ý � ? Q § <�?Øñ¶Ì�¹�â § Ü � Ü Q § ? Q § Ü � <ú`Ç=È ö ý

��ö=�~���t�ÕÃ^ÿ²âeÿ ¶I�^ä\ô5ñ�«��9Ä � � � �Aò �ºQ�%�(�ÆW¢z¾��r��1ô=®&Òº¹+ó ?\Ì�ñ � � µ ÄEÅ âfñÈQ\â �I���ô��zôÌ òú® ¯sò�1c«��vô=óX��ô\¦��z«$¯sò�ô5®(�"©P�X��ô�� !x®¥1)�yò�©s® ��� µ ÄEÅ ¯,ô3�9® ôK¯�òú®°��1ô��9®�ò��ô�¯ òúñ�ô5®�ó�ò�© ®R«s¨�ó3¤1«\1cô(�Æ�� � ©��vô)« ¨¹ó5©}��«��r��1ô)ô µ�!1«s¨ ò��"���© ¨6¯`ó)òú®°��ô)¨6«`ó���¨ òú®Rô�©Z��ñ��ªþ X�â��9ò �¦�;ôO�«UÄ,ôuQ8%½(�Æ «s®R¯QGó Òº¹LQt���ö=�~���t�.Ã^ÿ+eÿ ® �WQ>ß Q°%3(�Æ «��zôIó�!(1�2��1«���Ì�¹�ó�Ì ¹\�k��ô5®HÒu¹�ó Ò ¹=�Ò?Ê ��Ò�Ú0ÑcÍsÖÀÌ�Òw¸,Ö<ÏWÖJ�>ÎRÛDÐ�Ì�ÒWÎ>Ë Ê|Ó ÕgÔ?ÒÎ× Ð�×ÖÕNÍpÒWË�Ñ�ÒÈÕ�Û�ÖUÚ Ê J äMÔ ð ê64�æcíNÕ�äMê¸ìZì�Ô�ç�Õ�ê�æUå-ê�ìÕ�æ��ªû�æ�è�Ô J äªÔfæUû`Ô54 � þ �10cü"äMê¸çdä'ê¸ì ð @UÔ � ì^Õ`Ô5�'ê�åGÕ�äMÔA�ªû�æ<æcí;æcí J äMÔ�æUû`Ô54 � þ �>þ � Ô"ã>Ô��Uê�å'ü"êÂÕ`äì�æ,4+Ô¥Ô � Ô54+ÔfåÀÕ ð û �8� Ô�4�4 ð Õ ð þ×;ö(�~�z�£âeÿ���ÿ�� ô)��� � ß�ýfý�ý�ß:�ÙØãªcô2�zôc« ¨I1c© ®(�yòú®(!1©�!Uó�� !x®�1��Îò�© ®�ó���ò�¦u0�"�:¯sò ±\ô��zô5®(�yò�«,ª5¨6ô½òú®«s®Ñòú®(�vô)���s«s¨�Ü Þªß:G � âK���)ô3�9® ô�Úõñ�Gtâ$×�ó 4 ð é § 8 ���ÇÛÇÛÇÛ � Ø �Iñ�Gtâ § �-«¥�ô5®ÜÚõñ�GtâÉò�ó�1c©s®$�Îòú®$!1©�!Uó°«s®R¯��ò�¦u0�"�:¯sò ±\ô��zô5®(�yò�«,ª5¨6ô�òú® Ü ÞMßzG � âI« ®R¯!!,G Ý Úõñ�Gtâ«ó 4 ð é§ 8 ���ÇÛÇÛÇÛ � Ø�Ý !!$G Ý �Nñ�Gtâ § ×x�Nñ�Gtâ § ó�Úõñ�Gtâ=Þ�ß G�%½Ü ÞMßzG � â�ý`��z©E©P�dþ ÿ Õ&ê¸ì/Ô�åMæUë1�Uä Õ`æ3�Mû�æ�è�Ô�Õ`äMÔ � Ô�4�4 ð ü"äMÔ�å5ßµó � þ��<Ô�Õ�à�×�ó¬� � 0�á½×�ó¬� ö ð å î� Ô�Õ�G°% Ü ÞMßzG � âxþ ÿ í�àIñ�Gtâx�óâáKñ�Gtâ�Õ�äªÔ�ç ��ð ê64)ê¸ì$Õ`û�ê�è<ê ð,� ì�ê�åªç�Ô Úõñ�Gtâ$Ô�BÀë ð � ì�æ�åMÔ�æcí"Õ�äªÔ�Õ^ü�æíBëMåªç�Õ�ê�æUåªìZê�å ð åMÔfê+�Uä<ã;æUëMû`äMæ<æ î æUí2Gxþ;�<ë��1�>æÀìtÔ�àIñ�Gtâ«ó'áKñ�Gtâ«óHÚõñ�Gtâxþ ÿ í åå Q æ àIñ�Gtâ�V åå Q æ á9ñ�GtâÕ�äªÔfå'íBæ�û ð,�6� è3V�Þ�ìtë��'çfê�Ô�åÀÕ �+� ìz4 ð �+� Úõñ�G\à è>â«ó�àIñ�GMà è>â=0�äMÔ�åªç�Ô åå Q æ Úõñ�Gtâ«ó åå Q æ àIñ�Gtâxþ ÿ íåå Q æ àIñ�Gtâ2ó åå Q æ á9ñ�Gtâ�Õ�äªÔfå5Úõñ�G�àÑè;â§?½Úõñ�Gtâ"ã;Ô � æUå��Àì"Õ�æ Ü àIñ�GKàÑè>â§?-àIñ�Gtâxß0áKñ�G?àÑè>â�?5áKñ�Gtâ<ê�í�àIñ�G¯à è>â'ù¼áKñ�G¯àSè;â&æUû�Õ�æ Ü á9ñ�G?àÑè;â�?®áKñ�Gtâ�ßiàIñ�G7àÑè>â�?ÍàIñ�Gtâv<5ê�íuàIñ�G¯àSè;â�'¼áKñ�G«àSè;âxþðZÔ�åªç�Ô åå Q æ Úõñ�Gtâ«ó åå Q æ àIñ�Gtâ�ó åå Q æ áKñ�Gtâ�þ×;ö(�~�z��âeÿ6ý�ÿz� ô��1�ÁªKô¥«O�zôc«s¨$1c©s®$�Îòú®$!1©�!Uót� !x®�1��Îò�© ®���ò�¦u0�"�:¯sò ±\ô��zô5®(�yò�«,ª5¨6ô�òú®�« ®8òú®(�vô����`« ¨Ü ÞMß:G � â�� ® � åå Q�æ � ùµÞ.©s®�Ü ÞMßzG � â���ô5®8�Ñò�ó�®R©s®�òú®�1��zôc«`ó�òú®h¦`�`��z©E©P�dþ��<ÔfÔ¥íBæ�û"ê�åªìtÕ ð åªç�Ô'Ü � Xx01�?þ � �$� <¨þ×;ö(�~�z��âeÿ²·�ÿz� ô��1�ÁªKô¥«O�zôc«s¨$1c©s®$�Îòú®$!1©�!Uór��ò�¦U#�3�:¯ ò ±\ô��zô=®$�Îò�«$ª=¨+ôo� !x®�1��Îò�© ®°òú®�« ®8òú®(�vô����`« ¨Ü ÞMß:G � â �L« ®R¯É¨+ô)�%á+ó ø �¯ø²�^«¥�ô5®Ñá.ò�óX��ò�¦u0�"�:¯sò ±�ô)�zô5®(�yò�«,ª5¨6ôÉ© ® Ü ÞMß:G � âI« ®R¯!!$G Ý á9ñ�Gtâ«ó ô ñDì�ê6��åx�Nñ�Gtâtâ åå Q æ �Iñ�Gtâ ò �A�Nñ�GtâD�óSÞ\ßø åå Q�æ �Nñ�Gtâfø ò �A�Nñ�Gtâ«óSÞ\ß GL% Ü ÞMß:G � âxý`��z©E©P�dþ ÿ í��Nñ�Gtâ+�ó Þ Õ�äMÔ ð ì`ìtÔ�ûtÕ`ê�æ�åØê�ì�Õ�û`ê�è<ê ð � 0Zìtê�åªçfÔ/á�ê¸ì�û`ê+�UäÀÕ:� î ê6Â;Ô�û�Ô�å�Õ`ê ð ã � Ô ð ÕHGxþ�<ë��1�>æÀìtÔ��Iñ�Gtâ ó ÞMþ ê ê�èUÔfå è V Þ ü�Ô ä ð èUÔRã � Q Ý ç � Ü ã � Q �ç óåäää ¶

� Q Ý ç �ç äää þçæ�Ô�ê�å����¦û�ê+�UäÀÕz�î ê6Â;Ô�û�Ô�åÀÕ�ê ð ã � Ô ð ÕAG�ü�Ô¥ïªå î åå Q æ áKñ�Gtâ«ó ø åå Q æ �Nñ�GtâføÂþÁ�Â�ö1ü��eö=�ýâ�ÿ?Ã^ÿ~� ô���È % » «s®R¯�� � %�( Æ ��«¥1ô=®���ô��zô�ô��,ò�ó��Îó¥«�!x®1ò�µ�!1ôo� !x®�1��yò�©s®É� Æó�!(1����1«��� « � � Æ ×ªÜ ÞMßdà&áµâ¯Ú (�Æ ò�óO1c©s®$�Îòú®$!1©�!Uó �k��ò�¦U#�3�:¯ ò ±\ô��zô=®$�Îò�«$ª=¨+ôÉ«s®R¯Éó5«��yò�ó���ô�óMO P

!!$G Ý � Æ ñ�Gtâ5óSÒ ¶ Å � Q � � Æ ñ�Gtâ G�% Ü Þªßdà&áµâxß� Æ ñWÞ�â«óS� � ý ñ � þ�úpâ® ®.«,¯,¯ ò��Îò�© ®3�RÆ ó=«��Îò�ó��ô�ó���ôh�=©s¨ú¨6©��§òú®h¦O¤��K©�¤1ô)���yò�ô�ó�Æ

Page 17: GLOBAL SOLUTIONS TO THE GRADIENT FLOW EQUATION OF A

3N:MHI69L�: ] HN:xa�=?@DHIA ] =�H =^Í�83 d L [ @v89A7= � :MH g ú �� ª � ��ôHó5ô)�"�M�s«s¨?!1ôc¯ ñ�« ¤DG°% Ü ÞMßxà&á�âGÚ �=Ì ¶ Å � Q � ó�ú �Áë ñDÞªßfúpâ8ò�óH®R©s® ¯,ô 1��zôc«`ó�òú®h¦«s® ¯���1ô�ó5ô)�"�M�s«s¨?!1ôc¯.ñÉ«�¤ÑG�%ÛÜ ÞMßxà&á�â'Ú î)í2�=Ì ¶ Å � Q � ó ú ��ò�óH® ©s®�òú®�1��zôc«`ó�òú®h¦`�b½©��zôc©��`ô�� ���=©��°« ®(��G�' Þ���ô��zô°ô��,ò�ó��Îóºè3V Þ.ó�!(1 ­��1«���Ì ¶ Å �oéE� ò�ó}1K© ®�ó��v«s®(�{�=©��«s®$�>ê3%½Ü Gxß:G7àÍèE<P� ® ®�¤1«����yò�1)!x¨+«�� åå Q æ Ì ¶ Å � Q � óSÞO�=©��I«s®$��G�'µÞ#�� 1 � ��ô{� !x®¥1)�yò�©s®IGL% Ü ÞMßdà&áµâ�ëÚ)ì�ë�� � ³ ���5� �:� � Æ ñ�#�ß:Gtâ"ò�ó�®R© ®1òú®¥1)�zôc«sócòú®U¦���«s®R¯���1ô{� !x®�1���yò�©s®8G�% Ü Þªßdà&áµâ�ëÚ ê�åMí � ³ ���5� �:� � Æ ñ�#7ßzGtâ�ò�ó�® ©s®R¯$ô 1)�zôc«sócòú®U¦��� ¯ � ��ôh� !x®�1��Îò�© ®8G�%½Ü ÞMßxà&á�â�ëÚ â Ì)� Æ ñ�Gtâ â�È ¥ ò�ó�®R© ®1òú®¥1)�zôc«sócòú®U¦��� ô � ��ôh� !x®�1��Îò�© ®8G�%½Ü ÞMßxà&á�â�ëÚ � � ñ�� Æ ñ�Gtâtâ�ò�ó¦1c© ®(�yòú®(!1©�!Uó �k��ò�¦u0�"�:¯sò ±\ô��zô5®(�yò�«,ª5¨6ôÉ«s® ¯!!$G Ý ��� ñ�� Æ ñ�Gtâ�â�óÏ? â !!,G Ý � Æ ñ�Gtâ â öÈ É ùØÞ ­ ñ � þ � â� � � ��ô��zô3ô9�$ò�ó��WÚ %�»h�>Ú ù È��*« ®R¯^¤�©só�ò��Îò��sôy�ÎòúñÉô=ó�G � ßfý�ýfý�ß:G � ó�!(1����1«���� Æ ò�ó«s® «s¨?���yò�1*©s®Hôc«G1�Éòú®(�vô)���s«s¨ ©P�"ñDÞªßdà&áµâs¢e�EG � ßfý�ýfýfßzG � �G��«s® ¯*�EG � ßfý�ýfýfßzG � ��1K© òú®�15ò�¯,ô=ó�§ò��2��ôzj�!xñz¤.ó=ô���©P�X��ôh� !x®�1��Îò�© ®8G�%½Ü ÞMßxà&á�â«ÚìÌ ¶ Å � Q � �`��z©E©P�dþ5Ó?Ô�ÕAG � ×�ó Þ ð å î ç�æUå>ìtê î Ôfû2Õ`äMÔ¥íBëMåªç�Õ�ê�æUå3� ×ªÜ G � ßxà&á�â«Ú (1Æ)0�Nñ�Gtâ�óÓ� � Ô�éx�7ñ�ñ�G�?.G � â�Ò ¶ K âxß G�'DG � ß ñ � þ XÀâ

êlþ Ô�þ60\Õ`äMÔ�ì�æ � ë\Õ�ê�æUå�æcíô åå Q æ �Iñ�Gtâ5óWÒ ¶ K �Iñ�Gtâ�ß G�% ñ�G � ßdà&áµâxß�Iñ�G � â«óW� � ß

ü"äMÔ�û�Ô¥ü�Ô�è<ê�Ôfü¦Õ�äMÔ&æ$�>Ô�û ð Õ�æ�û"Ò ¶LK ð ì ð å ñ�ÈCé3È�â�4 ð Õ`û�ê�éKþáMæ�û ð å � G�'DG � � Ô�ÕíÚõñ�Gtâ�×�óW4 ð é Á Þªß 4 ð é§ 8 �c�ÇÛÇÛÇÛ � Æ �ÀñÎá Ý �Iñ�Gtâtâ § ×7ñcÌ ¶ K â § ó ú � à ßî% ñ�Gtâ�×�óW4+ê�å¿ÁMÞMß 4+ê�å§ 8 �c�ÇÛÇÛÇÛ � Æ �ÀñÎá Ý �Nñ�Gtâtâ § ×7ñcÌ ¶ K â § ó ú � à ý¿ ãªì�Ôfû`èUÔ/Õ�ä ð Õ ?&ú�ù î% ñ�G � â"ù íÚõñ�G � â2ù ú�ý ñ � þ �<âÿ å ðUîªî êÂÕ`ê�æ�å�0?Õ`äMÔ°4 ð �>ì�G)%§Ü G � ßdà&áµâ&Ú ñ�á Ý �Nñ�GtâtâP§ ð û`Ô'ç�æUåÀÕ`ê�å<ëMæ�ëªì �+��î ê6Â9Ôfû`ÔfåÀÕ�ê ð ã � Ô'íBæ�ûð å � ¿*% ��úUß�ýfý�ý�ßzÈÁ�h0?äMÔ�åªç�Ô+ã � Ó?Ô�4�4 ð � þ�ú íÚõñ�Gtâ ð å î î%½ñ�Gtâ ð û`ÔGû`ê+�UäÀÕ:� î ê6Â;Ô�û�Ô�å�Õ`ê ð ã � Ô$íBæ�ûð å � G�'DG � þ¸ ¨6«sòúñ � þ&áMæ�û ð å � Gh'àG � ü�Ô�ä ð èUÔ!!,G Ý íÚõñ�Gtâ2ùµÞªß !!$G Ý î%½ñ�Gtâr'µÞªý ñ � þ � â�<ê�åªç�Ô�á Ý ê¸ì ð�� ê�åMÔ ð û"æ,�;Ôfû ð Õ`æUûE0�íBæ�û ð �+� Gh'àG � ü�Ô�ä ð èUÔ!!$G Ý á Ý �Iñ�Gtâ«ó á Ý !!$G Ý �Nñ�Gtâ«óSá Ý Ò ¶ K �Iñ�Gtâ«ó á Ý á Ü Ê Ì ¶ K á Ý �Iñ�Gtâ Ë ý

Page 18: GLOBAL SOLUTIONS TO THE GRADIENT FLOW EQUATION OF A

ú � 354c698;:À:<8;=?=?@BA�@¨EcFG40AIHKJML�3NL LNA [ 8�4pTUL�HN:<@BA�@J äMÔ�û�ÔfíBæUû`Ô,0<êÂí�¿9%.�ÀúUßfý�ýfýxßKÈÁ�&ê�ìZì�ëªçdäÕ�ä ð Õ$ñ�á Ý �Iñ�Gtâ�âP§�ó íÚÛñ�Gtâ=0ªü�Ô�ä ð èUÔ!!$G Ý ñ�á Ý �KâP§7ó È�ïDñ�á Ü ñ¶Ì ¶LK á Ý �KâtâZ§ Ý � ?�ñÎá Ü ñcÌ ¶LK á Ý �KâtâZ§Aðó È ö ï ñcÌ ¶ K â § Ý � ñ�á Ý �Kâ § Ý � ?Øñ¶Ì ¶ K â § ñÎá Ý �Kâ §§ð?ÁÈ ö ï ñcÌ ¶ K â § ñ�á Ý �9â § ?�ñcÌ ¶ K â § Ü � ñ�á Ý �9â § Ü � ð ñ � þ � âó È ö ï ñcÌ ¶ K â § Ý � ñ�á Ý �9â § Ý � ? íÚÛñ�Gtâà ñ¶Ì ¶LK âP§ Ü � ñ�á Ý �KâP§ Ü � ? íÚõñ�Gtâ_ðcßü"äMÔ�û�Ô ã;æcÕ`ä ìtê î Ô�ì ð û`Ô Ôfè ð � ë ð Õ`Ô îõð ÕÑGï' G � þ �<ê�åªç�Ô�ñcÌ ¶ K á Ý �Kâ 7 ù íÚõñ�Gtâ½íBæUû ð,�6�� % ��úUß�ýfý�ý�ßzÈÁ�h0°íBû`æ,4(Õ`äMÔ��Mû`Ôfè<ê�æUëªìÔ�BÀë ð Õ�ê�æUå ü5Ô½æUã\Õ ð ê�å åå Q æ ñ�á Ý �Iñ�Gtâ�â § ù ÞµíBæ�û ð,�6�¿½% �ÀúUßfý�ýfýxßKÈÁ� ì�ëªçdä Õ�ä ð Õ½ñcÌ ¶ K â § ó ú ð å î ñÎá Ý �Nñ�Gtâtâ § ó íÚõñ�Gtâxþ   ì ð ç�æ�åªìtÔEBÀëMÔfåªçfÔü�Ô¥��Ô�Õ

Þ�' 4 ð é§ 8 ���ÇÛÇÛÇÛ � Æ Ý !!,G Ý Ê á Ý �Iñ�Gtâ Ë § ×7ñcÌ ¶LK âP§�ó úUß&ñÎá Ý �Nñ�GtâtâZ§�ó íÚõñ�Gtâ Þ ó !!,G Ý íÚõñ�Gtâxßü"äMÔ�û�Ô�Õ�äMÔ ��ð ì^Õ�Ô�BÀë ð � ê�Õ � íBæ �6� æ�üZì'íBû`æ,4 Ó7Ô54�4 ð � þ�úUþ ÿ å ð ì�ê+4Gê �¸ð û�ü ð`� ü5Ô½ç ð åS�Mû`æ�èUÔÕ�ä ð Õ�0°êÂíO¿ % ��úUß�ýfý�ý�ßzÈÁ� ê�ì�ìtë>çdä Õ�ä ð Õ½ñcÌ ¶OK âP§�ó ú ð å î ñÎá Ý �Nñ�GtâtâZ§�ó î%½ñ�Gtâ�0°ü�Ô ä ð è�Ôåå Q æ ñyá Ý �Nñ�Gtâtâ § 'µÞ10MäMÔfå>ç�Ô åå Q æ î% ñ�Gtâ�'ØÞMþ J äMê¸ìZç�æ�åªç � ë î Ô0ì�Õ�äMÔ��ªû�æ<æcíNæcíIç �¸ð ê+4 úUþñ �¸ð ê+4 ú ð å î Ó?Ô�4�4 ð � þ � ê+4�� �6� Õ`ä ð Õ9G«Ú íÚõñ�GtâNê�ìIåMæ�åMê�åªç�û`Ô ð ìtê�å��10 ð å î Õ�ä ð Õ§G¯Ú î% ñ�Gtâê¸ì¥åMæUå î Ô�ç�û`Ô ð ìtê�å��>þ�Ð"Ô0ç ð,�6� ê�å1� ñ � þ �Àâ�ü�Ô'ç�æ�åªç � ë î ÔGÕ�ä ð Õ°?&ú�ù î%½ñ�Gtâ$ù íÚõñ�Gtâ�ù úGíBæUû ð å �G�'ÑG � þ9ðZÔfå>ç�Ô Ì ¶ � Q � ó§ú ð Õ�Õ`äMæ�ì�Ô&åMæ î Ô0ì2ü"äMÔfû`ÔòÌ ¶LK ó úUýÿ Õ�íBæ �6� æ�üZìIÕ`ä ð Õ5Õ�äMÔ�ìtÔfÕ:�¨è ð,� ëªÔ î 4 ð �°G�% Ü G � ßdà&áµâ«Ú �<ø á Ý �Iñ�GtâføMù ú,�°ó 4 �: ñ��Iñ�Gtâtâ�ë ñWÞMßfúpâê¸ì2åMæUå î Ô�ç�û`Ô ð ìtê�å��>þÓ?ÔfÕZëªì î ÔfïªåMÔ G � ×�ó ì�ë��e��G�'DG � ×1Ò ¶ �ó�� óSÒ ¶LK ³�ô�% Ü G � ßzGtâc�Àý ñ � þ � â� Ô&ü ð å�Õ2Õ`æ+ì�äMæ�ü Õ�ä ð ÕAG � VÑG � þáMæ�û ð �+� ¿�% ��úUß�ýfý�ý�ßzÈÁ��ì�ëªçdä Õ�ä ð Õ�øÂñÎá Ý � � â § øNù ú'ü�Ô'ä ð èUÔ�ø�ñ�á Ý �Iñ�Gtâ�â § øNù ú+íBæUû ð,�6�G~' G � þ ÿ å ðUîMî ê�Õ�ê�æUå^0;ã;Ôfê�å��HG�Ú á Ý �Iñ�Gtâ ð ç�æ�å�Õ`ê�å<ëMæ�ëªì"íBëªåªçxÕ`ê�æ�å�09êÂí/ø�ñ�á Ý � � â § øRV ú,0>Õ�äMÔ�åÕ�äªÔfû`Ô�Ô�é\ê¸ì^ÕdìfèÉVSÞ'ê�å î Ô5�;Ôfå î ÔfåÀÕ/æUí�¿�ì�ëªçdä-Õ�ä ð ÕGø�ñ�á Ý �Nñ�Gtâtâ § ø1V ú¥íBæUû ð å � GA%µÜ G � ß:G � à½èUâxþðZÔ�åªç�Ô�Ì ¶ � Q � óHÌ ¶ K íBæ�û ð å � G�% Ü G � ß:G � à�è`<¨þ�áMû`æ,4 Ð"Ô�4 ð ûK@¥�>þ � êÂÕNíBæ �+� æ�üZì?Õ`ä ð Õ§Ò ¶ � Q � óSÒ ¶ KíBæUû ð å � GL% Ü G � ßzG � à-èUâ�0ªü"äMê�çdä��Uê�èUÔ0ì"G � 'ÑG � à½èIVàG � þ� Ô$ä ð è�Ô��Mû`æ�èUÔfå�Õ`ä ð Õ�Õ�äMÔ$íBëMåªç�Õ�ê�æUå½�Iñ�GtâZê�åµñ � þ X�â°ì ð Õ�ê¸ì^ï>Ô�ì$ñ � þ�ú0â�íBæ�û�G�%µÜ G � ßzG � âxþ � Ôä ð è�Ô ð � ì�æH�Mû`æ�èUÔ�å�Õ�ä ð Õ¥Ôfê�Õ�äMÔ�û�G � ó à&á æUû|Ì ¶ � Q ¥ � '¼Ì ¶ � Q K � ð å î ñ¶Ì ¶ � Q ¥ � â § VçÌ ¶ � Q K � íBæ�ûì�æ,4+ÔX¿;% ��úUß�ýfý�ý�ßzÈÁ�Àþÿ í9G � T¦à&áW0>û�Ô��>Ô ð Õ�ê�å��'Õ`äMÔ��Mû`Ôfè<ê�æUëªì°ç�æUå>ì^Õ`û�ëªç�Õ�ê�æUå�ü"ê�Õ�ä&G � ê�å&� �¸ð çfÔ�æcí§G � ð å î �Iñ�G � âê�å°� �¸ð ç�Ô°æcí�� � 0Àü5Ô°ïªå î�ð Õ�ê+4GÔ�G ö VÑG � ð å î'ð ìtæ � ëMÕ�ê�æUåÉ��æcí/ñ � þ�ú0â î ÔfïªåMÔ î ê�å�Ü G � ß:G ö â¯ü"äMê¸çdäì ð Õ�ê¸ìtïªÔ�ìZñ � þ�ú0â�þ�ÐZÔ5�;Ô ð Õ`ê�å1�&Õ�äMê¸ì ð ûz��ë�4+ÔfåÀÕ�0�ü5ÔZç ð å�çfæUåªìtÕ�û`ëªçxÕ ð å+ê�å>ç�û`Ô ð ì�ê�å���ìtÔEBÀëMÔfåªçfÔ$ñ�G1PUâæcí¯Õ`ê64+Ô0ìfþ*�<ê�å>ç�Ô ð Õ/ìtÕ�Ô5�ܾ�Õ�äMÔ�å<ë�4$ã;Ôfû�æcí«åMæ î Ô0ìZü"äMÔ�û�ÔEÌ ¶ � Q � óõú$ê�ì/åMæUå î Ô�çfû�Ô ð ì�ê�å���0Mü�Ôç ð å'æUå �+� ä ð èUÔ ð ïªåMê�Õ�Ô°å<ë�4�ã>Ô�û�Ú ùÑÈ æUí?ì^Õ`Ô5�ªì ð å î ê�å'Õ`äMÔ �¸ð ìtÕ5ìtÕ�Ô5��ü5Ô"ï>å î G � ó¦à&á þê � ëMê�å1��Õ`æ,��Ô�Õ�äªÔfû5Õ�äMÔ&ì�æ � ë\Õ�ê�æUåªì î ÔfïªåMÔ î ê�å�Õ`äMÔ¥ê�åÀÕ`Ôfû`è ð,� ì¥Ü G1P<ß:G1P=Ý � â5ü�Ô°ï>å îð íBëMåªç�Õ�ê�æUå3� Æî ÔfïªåMÔ î íBæ�û ð �+� Gh'ØÞ+ìtëªçdäÕ�ä ð Õ$ñ ð â�07ñDã>â ð å î ñBí`â2äMæ ��î þ

Page 19: GLOBAL SOLUTIONS TO THE GRADIENT FLOW EQUATION OF A

3N:MHI69L�: ] HN:xa�=?@DHIA ] =�H =^Í�83 d L [ @v89A7= � :MH g ú �Ó?ÔfÕ�ëªì*�Mû`æ�èUÔ-ñDç0â�02ñ î â ð å î ñBÔ0â�þ � û`ê�Õ�Ô+íBæUû&åªæcÕ ð Õ�ê�æUå ð,� ìtê+4�� � ê�çfêÂÕ � � ê�åÁ� �¸ð çfÔGæUíL� Æ þÓ?ÔfÕ�GL% Ü Þªßdà&áµâxþ � Ô&ì ð`� Õ�ä ð Õz¿9%.��ú�ßfý�ýfýxßzÈ���ê¸ì ð û`Ô �¸ð Õ`ê�è�Ô�4 ð é<ê+4$ë14 ñBû`Ô�ìz�?þ�4+ê�åMê+4$ë14'âíBæUû��Iñ�Gtâ�ê�í�Iñ�GtâZ§�'Ñ4 ð é��E�Nñ�GtâP§ Ü � ßz�Nñ�GtâP§ Ý � � ñDû�Ô0ì:�?þ��Iñ�GtâZ§¯ùÑ4+ê�åe���Iñ�GtâZ§ Ü � ßz�Nñ�GtâP§ Ý � ��âxý¸ ¨6«sòúñ � þ°Ó7Ô�Õ�G\%µÜ ÞMßdà&áµâxþ ÿ ík¿�ê¸ì ð û`Ô �¸ð Õ`ê�è�Ô�4 ð é\ê64�ë�4 ñBû`Ô�ìz�?þ�4+ê�åªê64�ë�4�â"íBæ�û\�Iñ�Gtâ�0Õ�äªÔfå åå Q æ �Iñ�GtâP§«ù�Þ-ñBû`Ô�ìz�?þI'�Þ�âxþæ � ñ � þ�ú0â!!,G Ý �Iñ�Gtâ § ó�Èçõ¨ñ¶Ì ¶ � Q � â § ñÎá Ý �Iñ�Gtâtâ § ?Øñ¶Ì ¶ � Q � â § Ü � ñ�á Ý �Nñ�Gtâtâ § Ü �9öó�È ö õ¨ñcÌ ¶ � Q � â § ñ��Iñ�Gtâ § Ý � ? �Iñ�Gtâ § â�?Øñ¶Ì ¶ � Q � â § Ü � ñ��Nñ�Gtâ § ?.�Iñ�Gtâ § Ü � â ö ý ñ � þ � â

ðZÔ�åªç�Ô$0\êÂí�¿¯ê�ì ð û`Ô �¸ð Õ�ê�èUÔ�4 ð é\ê64�ë�430<ü5Ô¥ä ð è�Ô åå Q�æ �Iñ�GtâZ§¯ù�ÞGì�ê�åªçfÔ��Iñ�GtâZ§ Ý � ?½�Nñ�GtâP§¯ù�Þ ð å î�Iñ�Gtâ § ?��Iñ�Gtâ § Ü � 'µÞªþ§�\ê64+ê ��ð û �+� ü5Ô¥ç ð å�û`Ô ð ìtæ�å'ü"äMÔfåy¿¯ê�ì ð û�Ô ��ð Õ�ê�èUÔ�4Gê�åMê+4$ë�430 ð å î ç ��ð ê64� íBæ �+� æ�üZì�þ  ì`ì�Ôfû�Õ�ê�æUå ñDç�â5Õ`äMÔfå�íBæ �6� æ�üZì�íBû�æ$4�ç �¸ð ê+4 � þñ æUå>ìtê î Ôfû"åªæ�üSÕ�äªÔ¥íBëMåªçxÕ`ê�æ�å÷ § ñ�Gtâ�×�ó ô ì�ê6��å?ñ��Iñ�Gtâ § Ý � ? �Iñ�Gtâ § â ê�í��Iñ�Gtâ § Ý � �óÓ�Iñ�Gtâ § ßø åå Q�æ ñ��Iñ�Gtâ § Ý � ? �Iñ�Gtâ § ø ê�í��Iñ�Gtâ § Ý � óÓ�Iñ�Gtâ § ýæ � Ó?Ô�4�4 ð � þ X�ü�Ô&ä ð èUÔ!!$G Ý â Ì)�Nñ�Gtâ â�È ¥ ó Æ� § 8 � !!,G Ý ø �Iñ�Gtâ § Ý � ?.�Iñ�Gtâ § øUó Æ� § 8 � ÷ § ñ�GtâKñ !!$G Ý �Iñ�Gtâ § Ý � ? !!$G Ý �Nñ�Gtâ § â

ó Æ� § 8 � ñ ÷ § Ü � ñ�Gtâ�? ÷ § ñ�Gtâ�â !!$G Ý �Nñ�Gtâ § ýÿ å-æUû î Ôfû�Õ`æ��ªû�æ�è�Ô°Õ`ä ð Õ åå Q æ â Ì)�Nñ�Gtâ â�È ¥ ùØÞGêÂÕZê¸ì2ÔfåªæUë���ä�Õ`æ�ìtäMæ�ü Õ�ä ð Õñ ÷ § Ü � ñ�Gtâ�? ÷ §�ñ�Gtâtâ !!$G Ý �Iñ�GtâZ§¯ù�Þ íBæUû ð,�6� ¿L% �ÀúUß�ýfýfýxßKÈÁ�Uý ñ � þ � â� Ô î ê�èÀê î Ô¥Õ`äMÔ��Mû`æ<æcíIê�åÀÕ�æ+íBæ�ëMû°ç ð ì�Ô�ì�þ � Ô�ü"û�ê�Õ�Ô¥íBæ�û°ì�ê64�� � ê�çfêÂÕ � � ê�å&� ��ð ç�Ô&æUí��Iñ�Gtâ ð å î ÷ê�å�� ��ð ç�Ô¥æcí ÷ ñ�Gtâ�þñ ð ì�Ô+úU×�Õ�äªÔA�>æ�ê�åÀÕ&¿Nê¸ì�ì�ê64�ë � Õ ð åMÔ�æUëªì �+��ð û`Ô �¸ð Õ`ê�è�Ô�4 ð é<ê+4$ë14 ð å î'ð û�Ô ��ð Õ�ê�èUÔ�4+ê�åMê64�ë�4õêWþ ÔUþ�¥§ Ü � óW�¥§7óW�¥§ Ý � þkáªû�æ$4 ñ � þ � â�ü�Ô î Ô î ëªç�Ô åå Q æ ��§7ó Þ�0 ð å î ñ � þ � â�ê¸ì"ì ð Õ�ê¸ì^ï>Ô î þñ ð ì�Ô � ×�Õ�äªÔI�;æUê�å�Õ�¿5ê¸ì ð û�Ô ��ð Õ�ê�èUÔ�4 ð é\ê+4$ë�4 ãMëMÕ/åMæUÕ ð û`Ô �¸ð Õ`ê�è�Ô�4+ê�åMê+4$ë14�þ J äMÔfå Ô�êÂÕ`äMÔfû�¥§�V¬��§ Ü � æ�û���§¥V¬��§ Ý � þ��<æ-Ôfê�Õ�äMÔ�û ÷ § Ü � ó!ú'æ�û ÷ §Zó ?&ú ð å î ê�å ã>æUÕ�ä ç ð ìtÔ0ì÷ § Ü � ? ÷ § '�ÞªþÜæ�Ôfê�å���ñ�á Ý �Kâ § ù Þ ð å î ñÎá Ý �Kâ § Ü � ' Þ�0IíBû`æ,4 ñ � þ � â�ü�Ô�ï>å îåå Q æ � ùØÞ�0 ð å î ñ � þ � â5íBæ �6� æ�üZì�þñ ð ì�Ô�XM×�Õ�äªÔI�;æUê�å�Õ�¿5ê¸ì ð û�Ô ��ð Õ�ê�èUÔ�4+ê�åMê64�ë�4 ãMë\Õ�åMæcÕ ð û`Ô �¸ð Õ�ê�èUÔ�4 ð é<ê+4$ë14�þ J äMÔfå Ô�êÂÕ`äMÔfû÷ § Ü � ó ?&ú¥æUû ÷ § ó ú¥ü"äMê � Ô åå Q æ �x'�ÞMþñ ð ì�Ô*�ª×�Õ�äªÔ;�;æUê�å�Õ�¿>ê¸ì�åMÔfê�Õ�äMÔ�û ð û`Ô �¸ð Õ`ê�è�Ô94 ð é\ê+4$ë�4 åMæUû ð û`Ô �¸ð Õ�ê�èUÔ;4Gê�åMê+4$ë�4-þ J äMÔfå�Ô�êÂÕ`äMÔfû� § Ü � TÓ� § TÓ� § Ý � æUû�� § Ü � VÓ� § Và� § Ý � þ ÿ å�ã;æcÕ`ä ç ð ìtÔ0ì2ü5Ô&ä ð è�Ô ÷ § Ü � ó ÷ § ð å îäMÔ�åªç�Ô�ñ � þ � â5äMæ �¸î ì�þ

Page 20: GLOBAL SOLUTIONS TO THE GRADIENT FLOW EQUATION OF A

� Þ 354c698;:À:<8;=?=?@BA�@¨EcFG40AIHKJML�3NL LNA [ 8�4pTUL�HN:<@BA�@J äMÔ�å ñ î â5íBæ �+� æ�üZì�íBû�æ$4�ç �¸ð ê+4 ú ð å î Ó7Ô54�4 ð � þ � þÓ?ÔfÕ¯ëªìIåMæ�üF�Mû`æ�èUÔ¥ñBÔpâxþ�Ð"Ô�ç ð �+� ê�å��/Õ�ä ð Õ åå Q�æ Ì ¶ ó Þ ð å î ëªìtê�å���Õ�äªÔ�Ôféx�Mû�Ô0ì�ì�ê�æUå$æUí ��� ñ��Kâð ì � � ñ��Kâ«ó ú� � ���5� �:� ÜÇÌ ¶ ñÎá Ý �Kâ ö à ñ^úA?½Ì ¶ âv<2!$#7ß ñ � þ�ú�ÞÀâü�Ô�ä ð èUÔ !!$G Ý ��� ñ��9â«ó ú� � ����� �:� Ì ¶ !!,G Ý ñ�á Ý �Kâ ö !$#�ó � ���5� �:� Ì ¶ á Ý � !!$G Ý á Ý ��!$#

óçÅ�á Ý !!,G Ý �Nß9Ì ¶ á Ý ��ÆIó ?|Å !!$G Ý �Nßzá Ü Ê Ì ¶ á Ý � Ë Æó ?|Å !!$G Ý ��ßKÒ ¶ ��ÆIó ? ������� ��� Á !!$G Ý � à ö !$#�ó ? â !!$G Ý � â öÈ É ùØÞMßü"äMê¸çdä3�Mû�æ�è�Ô�ì�ñ � þ � âxþáMæ�û ð �+� G~'SÞGíBæUû°ü"äªê�çdä5Ì ¶ ��¸ � ê¸ìZç�æ�å�Õ`ê�å<ëMæ�ëªì ð Õ\G�0ªÕ`äMÔ$çfæUåÀÕ�ê�å<ëMêÂÕ � æcí � � ñ��Iñ�¾{âtâ ð Õ\G2ê�ìð ç�æUå>ìtÔEB�ëªÔfåªçfÔ�æcí'ñ � þ�ú0Þ�âdþ ¿ å�Õ�äMÔGæcÕ`äMÔfû�ä ð å î ê�í�ñ¶Ì ¶ ��¸ � â § ä ð ì ð�î ê¸ì`ç�æUåÀÕ`ê�å<ëMê�Õ � ð Õ .GD'§Þ�0ü�Ô)@<åMæ�ü Õ`ä ð Õ�Õ�äªÔfû`ÔGÔfé\ê�ìtÕ`ì 4 V Þ�ì�ëªçdä�Õ�ä ð Õ+ñcÌ ¶ â § ó Þê�åØñ .G9? 4 ß .G�â ð å î ñ¶Ì ¶ â § ó�ú�ê�åÜo.Gxß�.G�à 4 âxþ J äMê¸ì°ê+4�� � ê�Ô0ìZÕ`ä ð Õ�øÂñÎá Ý �Kâ § øRV�ú$ê�å�ñ1.G§? 4 ß*.G�â ð å î ø�ñ�á Ý �9â § ø9ù�ú$ê�å�Üo.Gfß�.G�à 4 âxþ�<ê�åªç�Ô�ñÎá Ý �Iñ�¾{âtâ § ê�ì"çfæUåÀÕ�ê�å<ëMæUëªì�0\ü�Ô î Ô î ëªçfÔ�ñ�á Ý �Nñ .G�â�â^ö§ ó úUþ   ì ð û�Ô0ìtë � Õ� ê64Q ² 2Q ² Ì ¶ � Q � ñ�á Ý �Nñ�Gtâtâ ö à ñtú�?ÍÌ ¶ � Q � â«ó úUýJ äMê¸ì"ê+4�� � ê�Ô�ì�Õ`äMÔ�ç�æ�å�Õ`ê�å<ëMê�Õ � æUí�Õ`äMÔ�4 ð ��G�ëÚ � � ñ��Iñ�Gtâ�â ð Õ GxþJ æ�çfæUåªç � ë î Ô�Õ�äªÔ��ªû�æ<æcí«æUí«Õ�äªÔ�Õ`äMÔfæ�û�Ô�430;ü�ÔGåMÔfÔ î Õ�æ-ì�äMæ�ü§Õ�ä ð Õ¥Õ�äMÔ�íBëMåªç�Õ�ê�æUå.� Æ ê�ìëMåMê�BÀëMÔUþ J äªÔ��Mû�æ<æUí�ê¸ì î ê�è<ê î Ô î ê�åÀÕ�æGÕ^ü5æ'ìtÕ�Ô��ªìfþº$�vôM¤ � þSÓ7Ô�Õ°� Æ ×¥Ü Þªßdà&áµâ�Ú (�Æ ã;Ô ð ç�æUåÀÕ`ê�å<ëMæ�ëªìGû�ê+�UäÀÕ:� î ê6Â;Ô�û�Ô�åÀÕ�ê ð ã � Ô�íBëMåªçxÕ`ê�æ�åì ð Õ�ê¸ìtí � ê�å�� ñ � þ�úpâxþ   ì`ìtë14GÔGê�å ðUîªî êÂÕ`ê�æ�å Õ`ä ð Õ�íBæUû ð å � GD'§Þ'Õ`äMÔfû`ÔGÔ�é\ê�ìtÕ`ìºèHV§Þ�ì�ëªçdä�Õ�ä ð ÕÌ ¶ Å �é�� ê�ìZçfæUåªìtÕ ð åÀÕ�íBæ�û ð å � ê3% Ü GxßzGKàÍè`<lþ J äMÔ�å3� Æ óS� Æ þÓ?ÔfÕ�èÁV Þ�ã;Ôì�ëªçdä Õ�ä ð ÕEÌ ¶ Å ê�ì�ç�æUå>ì^Õ ð åÀÕ$æUå¦Ü Þªß0è`<lþ ÿ Õ�íBæ �+� æ�üZì�Õ�ä ð Õ)� Æ óþ� Æ ê�åÜ ÞMß0è`<0>ì�ê�å>ç�Ô¥Õ�äªÔ�ì�æ � ë\Õ�ê�æUå-æcíGñ � þ�ú0â�0>ê�å Ü Þªß0è`<0ªê¸ìZëMåMê�BÀëMÔ �+� �Uê�èUÔfå-ã � ñ � þ XÀâdþ � êÂÕ`äMæUë\Õ � æÀì�ìZæcí�UÔ�åMÔfû ð � ê�Õ � 0<ü5Ô&ç ð å ð ì`ìtë14GÔ�Õ`ä ð Õ èITÑG � ß ñ � þ�úUúpâü"äMÔ�û�Ô"G � ê�ì î Ô�ïªåMÔ î ê�å-ñ � þ � â ð å î ê�ìIÕ`äMÔ�ïªûdì^ÕIÕ�ê+4+Ô2íBæUû¯ü"äMê¸çdäÑÌ ¶ Å ê¸ì î ê¸ì�çfæUåÀÕ�ê�å<ëMæUëªì�þ2ÐZÔ�ç ð,�6�Õ�ä ð Õ�0ªã �î Ô�ïªåªêÂÕ`ê�æ�å�0e�=Ì ¶sÅ �©ø:� óSÞ��/óÏ�\ø á Ý � Æ ñÈèUâføUV ú �Àþ� Ô�ç �¸ð ê+4 Õ�ä ð Õ �=Ì ¶sÅ �©ø:� ó ú,�/óÏ�\ø á Ý � Æ�ñÈèUâføUT ú �Àý ñ � þ�ú � âÿ å î Ô�Ô î 0 î Ô�åMæcÕ`Ô/ã � ¯ 7 ó�ñ²�xÇ�È�ß0ñ²�"àµú0âKÇ�È�â¯Õ�äMÔ¥�UÔ�åMÔfû`ê¸çZê�å�Õ`Ôfû`è ð � æcí?Õ`äMÔ���û�ê î 0 ð å î ã � 4 7 ñ�GtâÕ�äªÔGì � æ$�>Ô�æcí;� Æ$ñ�Gtâ/ê�å�¯ 7 þ   ç � æÀìtÔ�û � æÀæ$@�Õ�æÕ�äMÔ ��ð ì^Õ/Õ�Ô�ûz4 ê�åµñ � þ � â"û`Ôfè�Ô ð,� ìZÕ�ä ð Õ/íBæ�û ð å �G�%½Ü ÞMßzG � â�0ªêÂííÚõñ�Gtâ�ó ñ�á Ý �Nñ�Gtâtâ § ó§úUß ð å î Ôfê�Õ�äMÔ�û 4 § Ü � ñ�Gtâ��ó ú¥æUû 4 § Ý � ñ�GtâD�ó úUß ñ � þ�ú�XÀâÕ�äªÔfå !!$G Ý ñ�á Ý �Iñ�Gtâ�â § TØÞMß ñ � þ�ú5�<â

Page 21: GLOBAL SOLUTIONS TO THE GRADIENT FLOW EQUATION OF A

3N:MHI69L�: ] HN:xa�=?@DHIA ] =�H =^Í�83 d L [ @v89A7= � :MH g � úü"äMÔ�û�Ô¥ü�Ô�û`Ô�ç ð �+� Õ�ä ð ÕA� ì^Õ ð å î ì�íBæUû�� Æ þ;�<ê+4+ê �¸ð û �+� 0\ê�íî% ñ�Gtâ5ó ñ�á Ý �Nñ�Gtâtâ § óÏ?&ú�ß ð å î Ô�êÂÕ`äMÔfû 4 § Ü � ñ�GtâD�ó ?&ú¥æ�û 4 § Ý � ñ�Gtâ��ó ?&ú�ß ñ � þ�ú � âÕ�äªÔfå !!$G Ý ñ�á Ý �Iñ�Gtâ�â § VØÞMý ñ � þ�ú � â¿ ãªì�Ôfû`èUÔ�Õ�ä ð Õ"íBû`æ,4�ñ � þ�ú�XÀâ�07ñ � þ�ú5�Àâ�0�ñ � þ�ú � âc0Nñ � þ�ú � âc0>ü5Ô ð,� û`Ô ð�îx��î Ô î ëªç�Ô¥Õ`ä ð Õ/êÂí°ø 4 § ñ�Gtâfø<ó úð å î ê�í�Ôfê�Õ�äMÔ�û�ø 4 § Ü � ñ�Gtâføo�ó úGæUû'ø 4 § Ý � ñ�Gtâ�øo�ó�ú,0;Õ`äMÔfåØø 4 § ñ�GNàùêªâfø�T ú�íBæUû ð å � ê�V§Þ�ìz4 ð,�6�ÔfåªæUë���ä?þ ÿ Õ�û�Ô�4 ð ê�åªìIÕ�äªÔA4+æ�ìtÕ î Ô � ê¸ç ð Õ`Ô°ç ð ìtÔ$0Uå ð 4+Ô �+� ü�ÔZä ð è�Ô2Õ�æ$çfæUåªì�ê î Ôfû¯Õ`äMæ�ì�ÔZê�å�Õ`Ôfû`è ð � ì¯ § æUíZÕ�äMÔ3��û�ê î ü"äMÔ�û�Ô ø 4 § ñ�Gtâfø5ó)ú ð å î�ð � ìtæØø 4 § Ü � ñ�Gtâfø�ó ø 4 § Ý � ñ�Gtâfø�ó úUþ J äMÔ�íBæ �6� æ�ü"ê�å��æUã>ìtÔ�û�è ð Õ`ê�æ�å ð � ð ê�åGíBæ �6� æ�üZì¯íBû`æ,4 Õ�äMÔ°Ô�éx�Mû`Ô�ì`ìtê�æUå+æUå�Õ�äMÔZû`ê+�UäÀÕ�ä ð å î ìtê î Ô/æcí/ñ � þ � âdþ�áMæ�û ð å �G�%½Ü ÞMßzG � â�0ªêÂí íÚÛñ�Gtâ�ó ñ�á Ý �Iñ�Gtâ�âP§�ó úUß ð å î 4 § Ü � ñ�Gtâ�ó§ú/ó 4 § Ý � ñ�Gtâ�ß ñ � þ�ú � âÕ�äªÔfå !!$G Ý ñ�á Ý �Iñ�Gtâ�âP§�ó ÞMý ñ � þ�ú � â�<ê+4+ê �¸ð û �6� 0\êÂí î% ñ�Gtâ5ó ñÎá Ý �Nñ�Gtâtâ § ó ?&ú�ß ð å î 4 § Ü � ñ�Gtâ«ó ?&ú°ó 4 § Ý � ñ�Gtâ�ß ñ � þ�ú � âÕ�äªÔfå !!$G Ý ñ�á Ý �Iñ�Gtâ�â § ó ÞMý ñ � þ � ÞÀâðZÔ�åªç�Ô'ñ � þ�ú � â ð å î ñ � þ � Þ�â î æGåMæcÕ ð,�6� æ�ü Õ�æ'çfæUåªç � ë î Ô°Õ`ä ð Õ"ê�í"ø 4 § ñ�Gtâ�ø�ó§ú ð å î ê�í"ø 4 § Ü � ñ�Gtâ�øUóú�ó ø 4 § Ý � ñ�Gtâfø�0IÕ�äMÔ�å¦ø 4 § ñ�G«àRêªâ�ø9T ú�íBæ�û ð å � êWV Þ ì:4 ð,�6� ÔfåMæ�ë��Uä?þ�ð°æ�ü5Ô�èUÔ�û�0Nìtëªçdä ð åê�åMÔ�BÀë ð,� ê�Õ � ê�ì/è ð � ê î 0 ð å î ç ð å ã;ÔI�Mû`æ�èUÔ î�ð ì°íBæ �+� æ�üZì�þ°Ó?ÔfÕ�ë>ì î Ô�åMæcÕ`Ô$ã � ½ÛÕ�äªÔ�ç�æ�åMåMÔ0çxÕ�Ô îç�æ$4��>æ�åMÔfåÀÕIæcí^��Ì ¶ � Q � ó ú �2ç�æUåÀÕ ð ê�åMê�å1��¯ § 0 ð å î ã � ¯ § Ù ñBû`Ô�ìz�?þ�¯ § æ â7Õ�äMÔ2Ô�é<Õ`û�Ô�4 ð,�$� Ô�ívÕZñDû�Ô0ì:�?þû`ê6��ä�Õxâ?ê�åÀÕ�Ô�û�è ð � æcíªÕ�äMÔ"�Uû`ê î ã>Ô � æ�å��Uê�å��°Õ�æ�½ ñBåªæcÕ�Ô5Õ�ä ð ÕNÕ�ä ð å�@\ì7Õ`æ°Õ`äMÔ�ã>æ�ëMå îMð û � çfæUå î ê�Õ�ê�æUå>ìÞ�ê¸ì5åMæcÕ ð ã;æUëMå îªð û � �;æUê�åÀÕ5æcí�¯ § Ù ð å î ú°ê¸ì5åMæcÕ ð ã;æUëMå îªð û � �;æUê�åÀÕ5æcí�¯ § æ âxþ�æ � ñ � þ�ú��Àâ ð å îñ � þ�ú � â5ê�Õ"íBæ �+� æ�üZì�Õ`ä ð Õ�ø 4]ú Ð Ù ñ�G7à½êªâfø�T¦ú ð å î ø 4]ú Ð æ ñ�G7à½êªâføxT ú�íBæUû ð å � ê�VØÞMþ�û/ìtê�å��+Õ�äªÔ�Mû`Ôfè<ê�æUëªì ð ûz��ë�4+ÔfåÀÕ`ì�0cü�Ô î Ô î ë>ç�Ô"Õ`ä ð Õ�ø 4]ú Ð Ù æ ¥ ñ�G�àFêªâfø1T ú ð å î ø 4Nú Ð æ Ù ¥ ñ�G�àFêªâ�øxT ú2íBæUû ð å �ê3VµÞ&ìz4 ð �+� ÔfåMæ�ë��Uä7þ   ívÕ�Ôfû ð ïªåMê�Õ�Ô"å<ë�4$ã;Ôfû�æcí9êÂÕ`Ôfû ð Õ�ê�æUå>ì50cü�Ô î Ô î ëªç�Ô2Õ`ä ð Õ¥ø 4 §�ñ�Gcàaêªâ�ø�T¦úíBæUû ð å � ê3VµÞ+ì:4 ð,�6� Ô�åMæUë1�Uä?þ J äMê¸ìZç�æ�å � ë î Ô�ì�Õ`äMÔ��Mû`æ<æcí�æUí7Õ`äMÔ�ç �¸ð ê+4-þ� Ô�ç ð å åMæ�ü§û`Ô5�;Ô ð Õ/Õ�äMÔ�û�Ô ð ì�æUåMê�å��'Õ ð @<ê�å��Eè ð ì°ê�åMê�Õ�ê ð � Õ�ê+4+Ô,0 ð å î ü5ÔGç�æ�åªç � ë î Ô$Õ�ä ð Õ� Æ óC� Æ ê�å Ü Þªß:G � <¨þ ÿ Õ`Ôfû ð Õ`ê�å��½Õ`äMÔ ð ûK�Uë14GÔ�åÀÕGíBæ�û ð å � ¿ó ú�ßfý�ýfý�ß9Ú ü�Ô�æUã\Õ ð ê�å�Õ�ä ð Õ� Æ óÓ� Æ ê�å Ü ÞMßxà&á�â�þº$�vôM¤ � þSÓ7Ô�Õ°� Æ ×¥Ü Þªßdà&áµâ�Ú (�Æ ã;Ô ð ç�æUåÀÕ`ê�å<ëMæ�ëªìGû�ê+�UäÀÕ:� î ê6Â;Ô�û�Ô�åÀÕ�ê ð ã � Ô�íBëMåªçxÕ`ê�æ�åì ð Õ�ê¸ìtí � ê�å�� ñ � þ�úpâxþ J äMÔfå�íBæUû ð å � GD'§Þ'Õ`äMÔfû`Ô$Ôfé\ê�ìtÕ`ìuèHV Þì�ëªçdä�Õ`ä ð Õ�Ì ¶ Å �é�� ê¸ì¥ç�æUå>ì^Õ ð åÀÕíBæUû ð å � ê3%½Ü Gxß:G?à-è`<¨þÓ?ÔfÕ°ëªì/ç�æUå>ìtê î Ôfû ð å�ê�åÀÕ`Ôfû`è ð,� ¯)§�ü"äMÔfû`Ô¥Õ�äMÔ�ì � æ,�;Ô 4 § ñ�Gtâ"æUí�� Æ ñ�Gtâ"ì ð Õ�ê¸ìtïªÔ�ì$ø 4 § ñ�Gtâfø\ó�úUþ  ûK�Uëªê�å�� ð ì¯ê�å&ó��ôM¤ � 0Àê�å î Ô5�;Ôfå î ÔfåÀÕ �+� æcíKÕ�äªÔZè ð � ëMÔ�ì�æcí5ø 4 § Ü � ñ�Gtâfø ð å î ø 4 § Ý � ñ�Gtâfø�0Àü�Ô î Ô î ëªçfÔÕ�ä ð Õ�ø 4 § ñ�G?à½êªâfø�T¦ú�íBæ�û ð å � ê3VµÞ'ì�ëx��ç�ê�ÔfåÀÕ �+� ìz4 ð �+� þ J äMê¸ì"ê+4�� � ê�Ô�ì�Õ`ä ð Õ�Ì ¶ Å � Q � ê�ì"û`ê+�UäÀÕç�æ�åÀÕ�ê�åÀëªæUëªì�0 ð å î �Mû`æ�èUÔ0ì\ó��vôf¤ � þ�ÀÕ`Ô5�ªì¥ú ð å î � ç�æ�åªç � ë î Ô�Õ�äªÔ��Mû�æ<æUí7æcíNëMåMê�B�ëªÔfåMÔ0ì�ì�0 ð å î äMÔ�åªç�Ô�Õ�äªÔ��Mû�æ<æUí7æcí�Õ�äMÔ¥Õ`äMÔfæ,�û`Ô54-þ

Page 22: GLOBAL SOLUTIONS TO THE GRADIENT FLOW EQUATION OF A

�,� 354c698;:À:<8;=?=?@BA�@¨EcFG40AIHKJML�3NL LNA [ 8�4pTUL�HN:<@BA�@��ö=�~���t�Õâ�ÿ²âeÿ �&ô¦�«��sô°« ¨?�zôc«,¯��3©$ª�ó5ô����`ôc¯3òú®���1ô ® ®$�3�z©E¯�!(1��yò�©s®���1«��I��ô���ò�¦u0�h1«s®R¯ó�ò�¯,ô¥©P�r��ô � � ådü ó�ó��`ó �vô5ñ Ê��ó ?\Ì�ñ ��� µ Ä Å â � ó5ôKô�ñ � þ�úpâ � ò�ó�© ®1¨?�I«)ªc©�!x®R¯$ôc¯�� !x®�1��Îò�© ®=��ó�òú®¥1Kô� � µ ÄEÅ ò�ó � ò ¤�ó�1 Uò��ªK� � ô��sô)����ô5¨6ô=óKó �2¯�!1ô��©D��ôLó"¤�ô 15ò�«s¨)�=©���ñ¬©P� � � ��1ôLó=© ¨?!#�yò�©s®Éòú®���1ôLó5ô=®1ó=ô©P��«�1ôc©��zô5ñ ¼\� � ò�ó}!x®1ò�µ�!1ôK�-«¥Uò�óHò�ó°®R©��D��1ô21K«só5ô8ò �}�;ô�1 �« ®h¦hôy��1ô°® ©��yò�©s®W©P��ó5©s¨V!#�Îò�© ®�v© ñ � þ�ú0â��¥�=©���òú®�ó��v«s®�1cô)ò �¦�;ô^1c© ®�ó�ò�¯,ô���ó5©s¨V!#�Îò�© ®�óO�v©}��ôIó��`ó��ô5ñ ñ � þ�ú0â�©s®1¨V�D�=©���«s¨ ñÉ©`ó��\« ¨ú¨�yòúñ�ô=ó���«¥xò�ó�ò�ó¥ó91©��§®½òú®­��1ô&�=© ¨ú¨6©��§òú®U¦&ô9�U« ñz¤ ¨6ô��h��Uò�1 &ò�ó��zô5¨6«��vôc¯^�v©^��ôI®R© ®(!x®1ò�µ�!1ô5®Rô=óKóå �U«sñ~¤R¨+ô � ©Z�Iºeô�1��yò�©s® � ��« ®R¯Ió9�©���ó¥«s¨¹ó5©�«s® ©���ô��\òú®$�ô��zô=ó �yòú®h¦z¤(�ô5®R©sñÉô5®R©s®¥ÆI��ô�ó5©s¨V!#�Îò�© ®1c©s®1ócò�¯$ô)�KôK¯8òú®.«¥1ôK©��zô5ñ¡¼G� � ¯$©�ô=ó�®R©���¯,ôM¤1ô=® ¯�1c©s®$�Îòú®$!1©�!Uó�¨?�8© ®°��ô�òú®�ò��Îò�« ¨�¯$«��"!xñ��å �U«sñ~¤R¨+ô � þ   ì�ì�ë�4+Ô°Õ`ä ð Õ5Õ�äMÔ�ê�åMêÂÕ`ê ð,�KîMð Õ`ë�4 � � óS� � Æ %&( Æ ñBü"ê�Õ�ä�È Ôfè�Ôfå�0<ê�å�ì�ëªçdäð ü ð`� Õ�ä ð Õ¥úsÇ � ê¸ì ð �;æUê�åÀÕZæcíNÕ�äMÔ�4+Ô0ìtä>â�ê¸ì ð ì�íBæ �6� æ�üZì�×� � ó Þ+ê�å ñWÞMß�ú`Ç � â ­� � ê¸ì"ê�åªç�û`Ô ð ìtê�å��Gê�å ñtú`Ç � ßfúsÇ � à úsÇ�È�â5ü"ê�Õ�ä�ì � æ,�;Ô¥Ô�é ð ç�Õ �+� ú ­� � ê¸ì��Mê�Ô�çfÔfü"ê¸ìtÔ � ê�åªÔ ð ûE0\ü"ê�Õ�ä�ì � æ,�;Ô�ì&ñDê�å34+æ î ë � ëªìdâ2ì^Õ`û�ê¸çxÕ �6�H� Ô0ì�ì�Õ`ä ð å½ú¥ê�å ñ^úsÇ � àú`Ç=È�ßfúpâxþ-ZæUÕ�Ô&Õ`ä ð Õ�ìtëªçdä ð å-ê�åMê�Õ�ê ð �NîMð Õ`ë�4 ç ð å�ã;Ô$æ�ã\Õ ð ê�åªÔ î íBû�æ$4�Õ`äMÔ î ê¸ì`ç�û`Ô�Õ�ê 7�ð Õ�ê�æUå-æcí«ì�æ � ë\Õ�ê�æUå>ìç�æ�åªì�ê î Ô�û�Ô î ê�å Õ�äªÔ�åMæUå<ëMåªê+BÀëMÔ�åMÔ�ì`ì�À¯é ð 4�� � Ô-ú'æcí\�<Ô0çxÕ`ê�æ�å � 0 ð Õ ð Õ�ê+4+Ô�ì � ê+�UäÀÕ �+� ìz4 ð �+� Ô�ûÕ�ä ð å�G 1 ñ ð å î çfæUå<èUÔ�ûz��ê�å1�"Õ�æ*G 1 ð ì§È Ú à&áµâxþ J äMÔ&ñBëªåMê+BÀëMÔpâIìtæ � ëMÕ�ê�æUåI� ÆØæcí J äMÔfæ�û�Ô�4 � þ �ê¸ì�ì�ëªçdä�Õ�ä ð Õ/Õ`äMÔ � ê�åMÔ ð û�� ð û�Õ�ê�å Õ`äMÔ+ê�åÀÕ�Ô�û�è ð,� ñtú`Ç � ßfúsÇ � à¦úsÇ�È�âZíBæUû¥ì:4 ð,�6� �;æ�ì�êÂÕ`ê�è�Ô$Õ`ê64+Ô�ìî Ô0ç�û`Ô ð ì�Ô�ì+ê�Õ`ìì � æ,�;Ô-Õ�æ ð è ð,� ëMÔ � Ô0ì�ì+Õ`ä ð å§ú�þ J äMê¸ì�ì�æ � ë\Õ�ê�æUå^0�ê�åØÕ�äªÔ � ê+4+êÂÕ�È Ú à&áW0�Mû`æ î ëªç�Ô0ì�Õ�äMÔ�ì�æ � ë\Õ`ê�æ�åH� � ñ:¾pàFG 1 â�æUí�À¯é ð 4�� � Ô+ú¥ê�å��<Ô0çxÕ`ê�æ�å � þê ê�èUÔfåaè)% ñDÞªßfú0â � Ô�Õ2ëªì2ç�æUå>ìtê î Ôfû�Õ`äMÔ°íBëªåªçxÕ`ê�æ�åªì"� ø� ³ óÓ� ø� ³Æ %&(1Æ î Ô�ïªåMÔ îð ì«íBæ �6� æ�üZì�×� ø� ³ ×{ó � � ê�å ñDÞªßfú`Ç � â=0§� ø� ³ ×�ó � � £ øÆ ê�å ñ^úsÇ � à�ú`Ç=È�ßfúpâ�0 ð å î � ø� ³ ê¸ìGê�å>ç�û`Ô ð ì�ê�å���ê�åñ^úsÇ � ßfú`Ç � à�úsÇ�È�â�ü"êÂÕ`ä�ì � æ,�;Ô�ú9£5è\þ J äMÔfå^0\êÂí�� ø Æ ³ î Ô�åMæcÕ`Ô�ì5Õ�äªÔ¥ì�æ � ë\Õ`ê�æ�åæUí J äMÔfæ�û�Ô�4 � þ �ä ð è<ê�å���� ø� ³ ð ì2ê�åMê�Õ�ê ð ��îMð Õ`ë�430Mü5Ô¥ä ð è�Ô� ê+4ø ² � æ �

ø Æ Ü óS� Æ ßü"äMê � Ô � ê+4ø ² � æ �

ø Æ Ý ó î� Æ�ßü"äMÔ�û�Ô î� Æ %3(�Æ ì ð Õ`ê�ìtïªÔ�ì&ñ ð â�æUí J äMÔ�æUû`Ô54 � þ �GíBæUû ð å � GLV�ÞGãMë\ÕI® ©��9íBæUû�G«ó Þ�0 ð å î� ê64Æ ² Ý�Ç î�RÆ�ñ�¾{â�óÓ� ö ñ:¾pàFG 1 â�ßü"äMÔ�û�Ô)� ö ê�ì ð ì°ê�å À«é ð 4�� � Ôú�æUí��<Ô0çxÕ�ê�æUå � þ�ðZÔ�åªç�Ô�Õ�äªÔGì�æ � ë\Õ�ê�æUå �RÆ æcí J äMÔfæ�û�Ô�4 � þ �ê�ìåMæUÕ°ç�æUåÀÕ`ê�å<ëMæ�ëªì�ü"êÂÕ`ä�û�Ô0ì:�;Ô�ç�Õ�Õ`æ'ê�åªêÂÕ`ê ð,�7îMð Õ ð þ � Ô�ç ð å�ì�ë�4�4 ð û`ê 7 Ô/Õ`äMÔ ð ã;æ�èUÔ î ê¸ì`ç�ëªì`ìtê�æUå^0ç�æ�ë�� � Ô î ü"ê�Õ�äµÕ�äªÔû`Ô54 ð ûK@\ì�æUí��<Ô�ç�Õ�ê�æUå � 0¯ü"êÂÕ`ä Õ`äMÔ�íBæ �+� æ�ü"ê�å���çfæUåªç � ëªì�ê�æUå?×�ì�æ � ë\Õ�ê�æUå>ì�Õ`æñBê�èMâ�09ñBèMâ�09ñBè<êvâNæcí J äMÔ�æUû`Ô54 � þ � ð û�Ô2åMæUÕ�ëMåMê�BÀëMÔ2Õ�ä ð å�@\ìIÕ�æ)À¯é ð 4�� � Ô¥ú"æcí��<Ô�ç�Õ�ê�æUå � ñBü"äªê�çdä�0äMæ�ü�Ôfè�ÔfûE0\ü5Ô&ã;Ô � ê�Ô�èUÔ¥Õ`æ�ã>Ô$åMæUå���ÔfåMÔ�û�ê¸ç�â�þ ¿ å�Õ�äªÔ�æcÕ`äMÔfûZä ð å î 0;ìtæ � ëMÕ�ê�æUåªì"æUí J äªÔfæUû`Ô54 � þ �ð û`Ô$ëªåMê+BÀëMÔ ­ Õ�äMÔ � äMæ�ü�ÔfèUÔ�û î æåMæcÕ î Ô��>Ô�å î ê�å ð ç�æ�å�Õ`ê�å<ëMæ�ëªì/ü ð`� æUå�Õ�äMÔGê�åªêÂÕ`ê ð,�Iîªð Õ ð þ ÿ Õê¸ì/ì�ëªçdä ð å ê�å>ì^Õ ð ãMê � ê�Õ ��ð Õ�Õ�äMÔ î ê¸ì�çfû�ÔfÕ�Ô � Ôfè�Ô � ñBêlþ Ô�þ609íBæ�ûZïMé\Ô î È�âZü"äMê�çdä ìtÔ�Ô54'ìZÕ`æ8�Mû`æ î ëªçfÔåMæ�åÀëªåMê+BÀëMÔ�åMÔ�ì`ì2ê�åÕ`äMÔ � ê64+ê�Õ\È Ú à&á þý7Ê *�Î;ËÙ��ÖÀÍ=þ�Ö<ËNÑ,Ö ÎRØGÌ�Ù�ÖàÕXÕ%ÕNÍ�Î"Ô?Ò�×FÕ\Ì0ÒDË�þãÚ0Ñ`Ù2ÖU×FÖUÚ Ê ÿ å Õ�äªê�ì+ì�Ô�çxÕ`ê�æ�å ü5ÔH�Mû`æ�èUÔJ äMÔ�æUû`Ô54 � þ �>þ � Ô&ã;Ô5�Uê�å�ü"êÂÕ`ä-Õ�äMÔ¥íBæ �6� æ�ü"ê�å1��Ô � Ô�4GÔ�åÀÕ ð û �°� Ô54�4 ð þ×;ö(�~�z�ÿ+eÿ��1ÿï� ô)�A� � %�� � ñWÞMß�ú0â�� «¥1ô=®���ô��zô�ô��$ò�ó���ó&«.ó5ô�µ�!1ô5®�1cô�ñ�� Æ� â3> (�Æ ©Z�� !x®�1��yò�©s®�ó*ó5«��yò�ó� �sòú®h¦3«`ócó5ô����Îò�© ® � ò � ©P��«¥�ôc©��zô=ñ � � � �`��z©E©P�dþ à Ô�ïªåªÔÉ� Æ� %Ñ(�Æ ð ì'ñ�� Æ� â § ×{ó¬� � ñ�¿�Ç=È�âxþ J äMÔ�å â � Æ� â 5 Ä ����� �:� ù â � � â 5 Ä ���5� �:�íBæUû ð å � È %�»�0¥ñ�� Æ� â�ç�æ�å<èUÔfûK�UÔ0ìZÕ`æ3� � ü�Ô ð @ �+�ª1 ê�åÁ')(�ñDÞMß�ú0â ð å î ìtÕ�û`æUå�� �6� ê�å���öcñWÞMß�ú0â�0

Page 23: GLOBAL SOLUTIONS TO THE GRADIENT FLOW EQUATION OF A

3N:MHI69L�: ] HN:xa�=?@DHIA ] =�H =^Í�83 d L [ @v89A7= � :MH g � Xð å îD� ê64 Æ ² Ý�Ç â � Æ� â 5 Ä �6�5� �:� ó â � � â 5 Ä ����� �:� þÓ-°æcÕ`Ô-Õ�ä ð ÕGíBæ�û ð å � #¬%õÜ ÞMß�ú=<°ì�ëªçdäµÕ�ä ð Õî ê¸ì^Õpñ�#�ß 4 �5 ñ�� � â�â�V!ú`Ç�È ñDû�Ô0ì:�?þ î ê¸ì^Õ�ñ�#�ß 4 �: ñ�� � â�â�V�úsÇ�È�â¥Õ�äMÔ�å�#S% 4 �: ñ�� Æ� â'ñBû`Ô�ìz�?þ�#S%4 �5 ñ�� Æ� â�âxþ ÿ Õ�íBæ �+� æ�üZì � ê+4 Æ ² Ý�Ç !Uï�ñ 4 �: ñ�� Æ� âxß 4 �: ñ�� � âtâZó�ÞMþ��<ê�åªç�Ô ð å � ê�ì�æ �¸ð Õ`Ô î �;æUê�åÀÕ�ê�å4 �5 ñ��Kâ�ã>Ô � æ�å���ì5Õ�æ 4 �5 ñ�� Æ� â�íBæ�û�È ��ð ûz��ÔZÔfåªæUë���ä�0<ü5Ô ð � ìtæ�ä ð èUÔ¥! ï ñ 4 �5 ñ�� Æ� âxß 4 �5 ñ�� � âtâ«Ú Þð ì�È Ú à&áSþÓ?ÔfÕ åMæ�ü�� > 4 �: ñ�� � â�ã;Ô ð å§ê�å�Õ`Ôfû`è ð � ü"ê�Õ�ä � > ñWÞMß�ú0âxþ J äMÔfå â � Æ� â�È É � � � ùâ � � â�È É � � Å � 0«ü"äªÔfû`Ô��°Æ)×�óC�E# %¦Ù�× î ê¸ì^Õpñ�#7ß�� â�T�ú`Ç�È�� ð å î È ê¸ì ��ð ûz��Ô�Ô�åMæUë���ä�ê�åì�ëªçdä ð ü ð`� Õ`ä ð Õ�� Æ > ñWÞMß�ú0âxþ ðZÔ�åªç�Ô â � Æ� â)È=É � � � ù â � � â�È=É � � � à öÆ 0&ñ�� Æ� âGü5Ô ð @ �6�ç�æ�å<èUÔfûK�UÔ0ì�Õ�æã� � ê�åý¾ � ñ��½â ð å î â � Æ� � â)È É � � � ç�æUå<è�ÔfûK�UÔ�ì�Õ�æ â � � � â)È É � � � þ J äMÔ�û�ÔfíBæUû`Ô� ê64 Æ ² Ý�Ç ��� ñ�� Æ� â«ó ��� ñ�� � â�0 ð å î Õ�äMê¸ìZç�æ�åªç � ë î Ô0ì�Õ�äMÔ��ªû�æ<æcí^þæ � ç�æUå>ì^Õ`û�ëªç�Õ�ê�æUå°� Æ� %&( Æ >�� � ñDÞªßfúpâ ­ 4+æUû`Ôfæ�èUÔ�û«ü�Ô/ç ð å ð ì`ì�ë�4+ÔZÕ�ä ð Õ�0\ê�í2È ê�ì �¸ð ûK�UÔÔfåªæUë���ä�0NÕ�äMÔ�å<ë�4$ã;Ôfû�æcí°ç�æ�åMåMÔ0çxÕ�Ô î ç�æ$4��>æ�åMÔfåÀÕ`ì$æcí 4 �5 ñ�� Æ� â&ÔEB�ë ð � ì¦%.0IÕ�äMÔåÀë14$ã;ÔfûGæcíç�æ�åMåMÔ0çxÕ�Ô î çfæ,4��;æUåMÔ�å�Õdì"æcí 4 �5 ñ�� � â=0 ð å î ü�Ô¥ç ð å-ëMåMê�BÀëMÔ �+� ü"û`êÂÕ`Ô 4 �5 ñ�� Æ� â ð ì2ê�å ñ � þ � âdþõ�ö�÷Uøúù�ø�ûeø�ü^ù½+�ÿ6ýeÿ~� ô��e� � %^� � ñWÞMß�ú0â*«s® ¯�¨6ô)�«ñ�� Æ� â*ªcô�«`ó\òú® � ô5ñ)ñÉ«���� � ���&ô�¯,ô5®R©��ôª���� Æ ×7Ü Þªßdà&áµâ¯Ú (1Æ ��ô�ó=© ¨?!#�yò�©s®.©Z�M

O P!!$G Ý �Iñ�Gtâ«ó Ò ¶ � Q � �Iñ�Gtâ G�% ñDÞªßdà&áµâxß� Æ ñWÞ�â«óS� Æ� ñ � þ�úpâ

¦,ò��`ô5®.ª���«¥�ôc©��Kô=ñ¡¼\� �¢� �§ò���°� � òú®�ñ � þ�ú0â��Kôf¤ ¨6«\1côc¯Hª���� Æ� � �-ZæUÕ�Ô¥Õ`ä ð Õ ð,�6�?ð ì�ì�Ôfû�Õ�ê�æUåªì�ê�å J äMÔfæ�û�Ô�4 � þ �-ñDê�êvâ ð û`Ô&ì ð Õ�ê¸ì^ï>Ô î þ��ö=�~���t��+eÿ_·eÿ� « ��Ö ©��I«s®$�~�É%.��ú�ßfý�ýfýxßZ% ���;ô�¯,ô3�9® ôä Æ7 ×�ó ìtë���G�'ØÞ¯× 4 �5 ñ�� Æ ñ�Gtâtâ{Ï½Ü * Æ7 ñWÞ�âxß , Æ7 ñWÞ�âv<k�óÑ ��&VØÞMßÜ * Æ7 ñ�Gtâxß , Æ7 ñ�Gtâ<7×�ó 4 �5 ñ�� Æ ñ�Gtâ�â�Ï Ü * Æ7 ñDÞÀâxß�, Æ7 ñWÞ�â<¨ß G�% Ü Þªß:ä Æ7 âxý«¥�ô5®�* Æ7 ñDÞ�â«óÑ* �7 ��, Æ7 ñDÞÀâ«óÑ, �7 �L«s® ¯

4 �5 ñ�� Æ ñ�Gtâ�â�ó /6798 � Ü * Æ7 ñ�Gtâxß , Æ7 ñ�Gtâ<¨ß G�% Ü Þªßdà&áµâxß���ô��zôO�;ô�1«��sôIó=ô�� Ü * Æ7 ñ�Gtâ�ß�, Æ7 ñ�Gtâ<7×�óÑ  êÂí¥Gh'Ñä Æ7 ý� ª � «¥�ô�ñÉ«�¤�GA% Ü ÞMßzä Æ7 âWëÚ * Æ7 ñ�Gtâ)ò�ób1c©s®$�Îòú®$!1©�!Uó)«s® ¯°® ©s® ¯,ô 1)�KôK«só�òú®h¦&«s® ¯���1ôIñÉ«�¤G�%½Ü ÞMßzä Æ7 â�ëÚ , Æ7 ñ�Gtâ�ò�óO1c©s®(�yòú®(!1©�!Uó�« ®R¯8®R© ®1òú®�1��zôc«`ó�òú®U¦G�� 1 � º�òú®¥1côI� Æ ñ�¾�ß:Gtâ�ó � Æ� ñ:¾ â3©s® 4 �5 ñ�� Æ ñ�Gtâtâ����=©���« ®(���D%Ï��ú�ßfý�ýfý�ß9%½���;ô}�«��sôy��«��ô5ò���1ô)�)� Æ� � ñ�#7ß:Gtâ8V ú��=©��3«G�úôK�;# % Ü * Æ7 ñ�Gtâxß , Æ7 ñ�Gtâ<)©��I� Æ� � ñ�#7ßzGtâ°T ?&ú��=©��3«\�úôU�#�% Ü * Æ7 ñ�Gtâ�ß�, Æ7 ñ�Gtâv<M�×;ö(�~�z�'+eÿ?Ã2ÿ «¥�ô��zô�ô9�$ò�ó��Îó�«�1K© ®�ó��v«s®(�o½¬VµÞ ¯$ôf¤1ô5®R¯sòú®U¦3©s®1¨V�8©s®8� � ó�!(1 2��«��ìtë1�Q� � ìtë��Æ ³�� ��� ñ�� Æ ñ�Gtâtâ2ù-½�ß

ìtë��Æ ³�� â !!,G Ý � Æ â�È=É �����5� Ý�Ç ��� È=É ����� �:��� ù-½�ßìtë1�Æ ³�� â � Æ â)È M ������� Ý�Ç ��� 5 Ä ����� �:��� ù-½�ý

Page 24: GLOBAL SOLUTIONS TO THE GRADIENT FLOW EQUATION OF A

� � 354c698;:À:<8;=?=?@BA�@¨EcFG40AIHKJML�3NL LNA [ 8�4pTUL�HN:<@BA�@`��z©E©P�dþ J äMÔ°ï>û`ìtÕ5Õ^ü�æGê�åMÔEBÀë ð � êÂÕ`ê�Ô0ì5íBæ �+� æ�üØíBû`æ,4 ñ � þ X�â ð å î ñ � þ � âdþ J äMÔ ��ð ì^Õ2æUåMÔ/íBæ �+� æ�üZìíBû`æ,4 J äMÔ�æUû`Ô54 � þ ��ñWç�â�0�ñ î â ð å î ñ � þ X�âxþ��ö=�~���t�â+eÿ_âeÿ «¥�« ®0Äsóx�© � ô5ñ)ñÉ«��\� �ý� « ®R¯Dô��G�3�K«\1��Îòú®U¦Fò �3® ô�1cô=ócó=«����D«�® ©����zô=¨+«��ªcô=¨ú¨+ôK¯Ió�!1ª=ó=ô µ�!1ô=®¥1cô � ��1ô\ó=ô µ�!1ô=®¥1cô°ñ�� Æ â~1c©s®$�`ô��Φhô�óz�;ôc«UÄs¨?�)òú®b¾ �

Ò Ó�Ô ñtñDÞªßdà&áµâ ­ ��öcñWÞMßfúpâtâ�«s®R¯�;ôc«KÄ ¨?� 1 òú® � Ç ñtñWÞMßdà&áµâ ­ ')(�ñDÞMß�ú0â�â^�v©½«¦� !x®¥1)�yò�©s®.� «sóIÈ Ú à&á.�*«s®R¯°�Uò�ó)¦,ò��`ô=óH«`ó��ó5ô)���yò�©s® � òúòúò � ©P�¢«¥1ôK©��zô5ñ � � � � ® ®Þ¤1«����yò�1�!x¨6«�� �~�=©�� «s¨ ñÉ©`ó��°ô��`ô�����# %�ñWÞMß�ú0â���ôb� !x®�1���yò�©s®ÏGÏ% Ü Þªßdà&áµâ Ú �Iñ�#�ß:GtâÑò�ó.1c©s®$�Îòú®$!1©�!UóÑ« ®R¯Ñ� Æ ñ�#�ß5¾{â¦Ú �Nñ�#7ß5¾{â+!x®1ò �=©���ñ)¨V�Ï© ®Ü ÞMßdà&áµâ�� , ó�«¢1c©s®�ó5ô µ�!1ô=®¥1Kô°��ôb� !x®�1��Îò�© ®Ñ�Iñ�¾�ß:Gtâ�ò�ó2�;ô5¨ú¨?�:¯$ô��;®Rôc¯��=©�� «s¨ú¨�G�% Ü Þªßdà&áµâ«s® ¯ â á°�Nñ:¾�ßzGtâ â ù â áÉ� � â � ® ��« ¨¹ó5©¦�=©s¨ú¨+©���ó���«��;� Æ ñ�Gtâ¥Ú �Nñ�Gtâ��;ôc«KÄ ¨?� 1 òú®½')(�ñDÞªßfú0âr�=©��«s¨�ñ�©só ��ô��`ô�����G�'µÞ$���ö=�~���t��+�ÿo+eÿ `�©sóKó�ò�ª5¨?�àô��G�3�K«\1��Îòú®U¦Ñ«�� !#����1ô)��ó !1ª=ó5ô µ)!1ô5®�1cô)���;ô�1c«s®Ï«`ócó�!xñ�ô­��«���=©���« ®(�^�Ó%Ë�ÀúUß�ýfýfýfßZ% �\��ä Æ7 Ú ä 7 «só�È Ú à&á �=©��Hó5©sñÉôÉä 7 %ÛÜ Þªßdà&á�<M� ® �)ä 7 VÞ#��ó�òú®�1cô���1ô~� !x®¥1)�yò�©s®1óO* Æ7 ñ�¾{â � �Kô�ó"¤t�°, Æ7 ñ:¾ â � «��zôH® ©s®R¯$ô 1)�zôc«sócòú®U¦ � �Kô�ó"¤t��®R©s®�òú®�1��zôc«`ó�òú®h¦ � ���ô��zô�ô��,ò�ó��9® ©s® ¯,ô 1)�KôK«só�òú®h¦D� !x®�1��Îò�© ®�ó�* 7 ×ªÜ ÞMß:ä 7 â«Ú(Ü ÞMß�ú=< � �zô=ó"¤t�\®R©s®�òú®�1��zôc«`ó�òú®h¦~� !x®�1��Îò�© ®�ó, 7 ×KÜ ÞMßzä 7 â2Ú Ü Þªßfú=< � ó�!(1�°��«���* Æ7 Ú * 7 � �Kô�ó"¤t�X, Æ7 Ú , 7 � �;ôc«KÄ ¨?� 1 òú®3')(�ñDÞMßzä 7 ?ÜèUâ�«`óÈ Ú à&á-�G�=©��\« ¨ú¨�è)V�Þ�ó�ñ�« ¨ú¨Rô5®R©�!,¦U(�rº�òú®¥1cô&* Æ7 ñ�Gtâ�T-, Æ7 ñ�Gtâ{�=©��\«s¨ú¨,G�% Ü Þªß:ä Æ7 â �#¤1«`ócó�òú®h¦�v©^��ôI¨ òúñ)ò����;ô�©,ª��« òú®­��«���* 7 ñ�Gtâ2ù-, 7 ñ�Gtâh�=©��I« ¨ú¨1G�% Ü Þªß:ä 7 â��rä\ô 1c«s¨ú¨{��«���* 7 ñWÞ�â«óÑ* �7 «s®R¯, 7 ñWÞ�â«ó�, �7 �=©���«s®(�~�°%½�ÀúUß�ýfýfýfßZ% �0�ÿ å�Õ�äMÔ¥íBæ �6� æ�ü"ê�å��10\ì�Ô�Õ��>ñWÞ�â�×�óÏ�ÀúUß�ýfýfýxß9%½�Àþõ�ö�÷Uøúù�ø�ûeø�ü^ù'+eÿA@Rÿ Ö ©��I« ®(��G�%½Ü ÞMßxà&á�âX�;ô�¯,ô3�9® ô�;ñ�Gtâ2×�óÏ����%.��ú�ßfýfý�ýxßZ% ��× G�TDä 7 ��ß'ñ�Gtâ2×�ó 67 ³�� � Q � Ü * 7 ñ�Gtâxß , 7 ñ�Gtâv<lß� ñ�Gtâ2×�ó Ü ÞMß�ú=<h¢�'ñ�Gtâxßî'ñ�Gtâ2×�ó 67 ³�� � Q � Î�� Ø � Q � º�� Ø � Q � Ü * 7 ñ�Gtâ�ß�, 7 ñ�Gtâ<gÄ 67 ³�� � Q � Î�� Ø � Q � 8 � Ø � Q � ³�� ; £�� ¦ �U* 7 ñ�Gtâc��ßî� ñ�Gtâ2×�ó Ü ÞMß�ú=<h¢ î'ñ�Gtâxý

-ZæUÕ�Ô¥Õ`ä ð Õ ê�åÀÕ0ñ�'ñ�Gtâ�â"ë î'ñ�Gtâ"ëà'�ñ�Gtâxý ñ � þ � â×;ö(�~�z�ù+eÿoUeÿ Ö ©���« ®(�z�É% ��ú�ßfý�ýfý�ß9%½�}�;ô~1«��sôAä 7 VµÞ�« ®R¯���ô&� !x®�1��Îò�© ®�ó�* 7 «s® ¯¦, 7«��Kôb1c©s®$�Îòú®$!1©�!Uó�©s®½Ü Þªß:ä 7 â��`��z©E©P�dþ   ì�ì�ë�4+Ô2ã � ç�æUåÀÕ`û ð�î ê�ç�Õ�ê�æUå&Õ`ä ð ÕIÕ`äMÔfû`Ô2Ô�é\ê�ìtÕ`ìt�°% �ÀúUß�ýfýfýxß9%½�Zì�ëªçdä�Õ`ä ð Õ§ä 7 ó ÞMþJ äMÔ�å Ü * �7 ß , �7 <^% 4 �: ñ��Iñwôpâ�â5íBæUû ð å � ôIVØÞMþ9ðZÔ�åªç�Ô��Iñwôpâ�ê¸ì"æUåªÔ=��Ó?ê+�ªì�çdäªêÂÕ 7 ê�å Ü * �7 ß�, �7 <?íBæUû ð å �ô�VØÞMþ¸ «`ó5ô � þ   ì`ìtë14GÔ�Õ�ä ð Õ�* �7 TÑ, �7 þºû/ìtê�å��'Õ`äMÔ�Õ`û�ê ð å1�Uë �¸ð ûA�ªû�æ$�>Ô�ûtÕ �-ð å î �IñDÞÀâ�óÏ� � 0;íBæ�ûð å � #�ß:#R¤�% Ü * �7 ß�, �7 <0�#Þ�óW#�¤y0Mü�Ô¥ä ð èUÔø �Iñ�#�ßiôpâ�?.�Nñ�#7ß�ÞÀâfø0à ø �Nñ�# ¤ ßiôpâ�?.�Nñ�# ¤ ß�ÞÀâfø`' ø � � ñ�#;â�?.� � ñ�# ¤ âføs? ø �Nñ�#7ßiôpâ�?.�Iñ�# ¤ ßiôpâ�ø' ø � � ñ�#;â�?.� � ñ�# ¤ âføs? ø #°? # ¤ øUVµÞªýJ äMê¸ì�4GÔ ð åªì�Õ�ä ð Õ�ôuëÚC�Iñ�#�ßiôpâ5ä ð ì ð$î ê¸ì`ç�æUåÀÕ`ê�å<ëMê�Õ �'ð Õ�ô/ó Þ&íBæUû ð þ ÔUþU#&% Ü * �7 ß�, �7 <y0 ð å î Õ`äMê�ìê¸ì2ê�å�ç�æ�åÀÕ�û ðUî ê¸çxÕ`ê�æ�åü"ê�Õ�ä3�&%&ÒD½¥öÀñtÜ ÞMßxà&á�â ­ ��öUñDÞMß�ú0â�âxþ

Page 25: GLOBAL SOLUTIONS TO THE GRADIENT FLOW EQUATION OF A

3N:MHI69L�: ] HN:xa�=?@DHIA ] =�H =^Í�83 d L [ @v89A7= � :MH g �$�¸ «`ó5ô � þ   ì`ìtë14GÔÕ�ä ð Õ}* �7 ó , �7 þ�Ó7Ô�ÕÉ�!×{ó � � ñ3* �7 Ý â ð å î� ×�ó � � ñ3* �7 Ü â�þ � Ô-ç ð åð ì`ì�ë�4+Ô Tã�Zþ°Ó7Ô�Õ"!�×{ó 4+ê�å Ì

� È Ü�# �$ ß9* � � ß0ñ^úA?Þ, � / âxß:4+ê�å 798 ���ÇÛÇÛÇÛ¹� /�Ü � ñ3* �7 Ý � ?Þ, �7 âZÎ�V Þ10 ð å îî ÔfïªåMÔ�# ³ ×�óÍ* �7 £%!<þ�-ZæcÕ`Ô$Õ`ä ð Õ*�IñwôpâZê¸ì/æUåMÔ5�¨Ó7ê6�ªì`çdäMê�Õ 7 ê�å�ñ�# Ü ß:# Ý â"íBæ�û ð å � ô°V ÞMþ�áMæ�ûð å � #�ß:#R¤�% ñ�# Ü ß:# Ý â�0�#��óS#�¤y0\ü�Ô¥ä ð èUÔø �Iñ�#�ßiôpâ�?.�Nñ�#7ß�ÞÀâføfà¦ø �Nñ�# ¤ ßiôpâ�?.�Nñ�# ¤ ß�ÞÀâfø0'�ø � � ñ�#;â9? � � ñ�# ¤ âfø ?Øø #°?.# ¤ ø'�ø � � ñ�* �7 Ü â�? � � ñ3* �7 Ý âføs?Øø � � ñ�#9â§?.� � ñ3* �7 Ü â�ø?Øø � � ñ�# ¤ â�? � � ñ3* �7 Ý âføs?Øø #°?.# ¤ ø'à�Á? ? �&!�VØÞMý  ì ð ã;æ�èUÔ/Õ�äMê¸ì"ê¸ì2ê�å�ç�æ�åÀÕ�û ðUî ê¸çxÕ`ê�æ�å�ü"ê�Õ�ä&�&%&ÒD½¥ö�ñtÜ ÞMßdà&áµâ ­ ��ö�ñDÞMß�ú0â�âxþÓ?ÔfÕ&ëªì�åMæ�ü �Mû`æ�èUÔ$Õ�ä ð Õ�* 7 ð å î , 7 ð û`Ô+ç�æUåÀÕ`ê�å<ëMæ�ëªìfþ   ì`ìtë�4+ÔGã � ç�æ�å�Õ`û ð�î ê¸çxÕ�ê�æUå Õ�ä ð Õ* 7 ä ð ì ð î ê�ì`ç�æ�å�Õ`ê�å<ëMê�Õ �µð Õ8G�ó .G�%�Ü ÞMßzä 7 â�þ �\ê�åªçfÔ°* 7 ê¸ì�åªæUå î Ô0ç�û`Ô ð ìtê�å��10 .GGê�ì ð ß^ë�4���;æUê�å�Õ�æUíX* 7 þ ÿ íd.Gó Þ ü�Ô-ç ð å ð ûK�UëªÔê�å ð å ð,� æ$� � Õ`æ-1c«só=ô � þ   ì`ìtë�4+Ô�.G�V Þ ð å îà� ÔfÕ# Ü ×�ó � ê+4 Q ² 2Q Ù * 7 ñ�GtâHT # Ý ×�ó � ê+4 Q ² 2Q æ * 7 ñ�GtâxþF�<ê�åªç�Ô�� Æ ñ:¾�ßzGtâ$çfæUê�åªç�ê î Ô�ì�ü"ê�Õ�äD� Æ� ñ:¾ â�ê�å4 �5 ñ�� Æ ñ�Gtâtâ=0¯êÂÕ�íBæ �+� æ�üZì�Õ�ä ð ÕI�Nñ:¾�ßzGtâ�çfæUê�åªç�ê î Ô�ì$ü"êÂÕ`äF� � ñ�¾{â&ê�å Ô ð çdä ç�æ�åMåMÔ�ç�Õ�Ô î ç�æ,4��;æUåMÔ�åÀÕæcí/ê�åÀÕ0ñÎ'�ñ�Gtâtâxþ ÿ åÑ� ð û�Õ�ê¸ç�ë ��ð û�0NÕ�äªÔ�íBëMå>çxÕ�ê�æUåà�Iñ�Gtâ�çfæUê�åªç�ê î Ô0ì$ü"ê�Õ�äà� � ê�å ñ�# Ü ß:# Ý â�0¯íBæ�û ð,�6�G�%½Ü ÞMß .Gtâxþ � Ô¥Õ�äMÔ�å�æ�ã\Õ ð ê�åø �Iñ�#�ß:Gtâ�?.�Nñ�# ¤ ß:Gtâ�ø�ó ø � � ñ�#9â§?.� � ñ�# ¤ â�øxV ø #°?.# ¤ øÂß ³�#7ßz# ¤ % ñ�# Ü ßz# Ý â�ý¿ å�Õ`äMÔ¥æcÕ`äMÔfû�ä ð å î �Iñwôpâ«ê¸ì2æUåªÔ=��Ó?ê+�ªì�çdäªêÂÕ 7 ê�å ñ�# Ü ßz# Ý â�íBæUû ð å � ô�V .Gxþ ÿ Õ2íBæ �+� æ�üZì�Õ�ä ð Õ�0<íBæ�ûð å � #�ß:#R¤�% ñ�# Ü ß:# Ý â�0ø �Nñ�#7ß:Gtâ§? �Iñ�#�ßiôpâfø0à ø �Nñ�# ¤ ß:Gtâ�?.�Iñ�# ¤ ß9ô0â�ø0' ø � � ñ�#;â�?.� � ñ�# ¤ â�øs? ø #8? # ¤ ø�VµÞMßü"äMê¸çdä ç�æ�å�Õ`û ð�î ê¸çxÕ`ì"� %½ÒD½¥ö�ñtÜ ÞMßxà&á�â ­ ��ö�ñDÞªßfú0â�âxþ J äMê¸ì��Mû`æ�èUÔ�ì�Õ`äMÔ$çfæUåÀÕ�ê�å<ëMêÂÕ � æcík* 7 þ J äªÔç�æ�åÀÕ�ê�åÀëªêÂÕ � æUí�, 7 íBæ �+� æ�üZì5ë>ìtê�å�� ð ìtê+4+ê �¸ð û ð ûz��ë�4+ÔfåÀÕ�þ��ö=�~���t��+�ÿ('eÿ �}�ô5®Rô��`ô���ä 7 TØà&á-�9«��Φ\!xòú®h¦É«só\òú® � ô5ñ)ñÉ«����*)��§ò��F.G¯óWä 7 ���;ô�¦hô)�� ê64 Q ²�× ÙØ * 7 ñ�Gtâ«ó � ê64 Q ²�× ÙØ , 7 ñ�Gtâ����ö=�~���t��+eÿ3�,+�ÿ� « � º�òú®¥1côA� Æ ñ:¾�ßzGtâ�ò�ó)© ®Rô�� � ò ¤�ó�1 Uò��ª�òú®.ôc«G1��1c©s®�®Rô 1)�vôc¯�1c©sñ~¤1©s®Rô5®(��©P� 4 �: ñ�� Æ ñ�Gtâ�â �Lò���=©s¨ú¨+©���óO��«��2�Iñ�¾�ß:Gtâ*ò�óI© ®Rô�� � ò ¤�ó�1 Uò��ª�òú® ôc«\1 ­1K© ®1® ô�1��vôK¯�1c©sñ~¤�© ®Rô5®(��©Z� î� ñ�GtâK�� ª � «¥�ô2� !x®¥1)�yò�©s® �Nñ:¾�ßzGtâ¢1c© òú®�15ò�¯,ô=ó¢�§ò��W� � ñ:¾ âDòú® ôc«G1�£1c©s®�®Rô 1)�vôc¯Õ1c© ñz¤1©s® ô=®$�&©Z�ê�å�Õpñ�'ñ�GtâtâK���ö=�~���t��+�ÿ��=��ÿ , ó)«21c©s®1ó=ô µ�!1ô=®¥1cô�©Z� � ô=ñ�ñÉ«-�\�*)2��1ôIó=ô µ�!1ô=®¥1cô�ñ3* Æ7 â � �zô=ó3¤{�Gñ3, Æ7 â �1c©s®$�`ô��Φhô�ó~�v©z* 7 � �zô=ó"¤t�~�©�, 7 � !x®�ò �=©���ñ�¨?�Iòú®-Ü Þªß:ä 7 ?dèUâ�«só;È Ú à&á.�0�=©��¥« ®(�fè�V�Þ°ó�ñ�« ¨ú¨ô5®R©�!,¦u=� ® ®¦¤�«����Îò�1�!x¨6«�� �0�=©��¥«s®$�b1c©s®�®Rô 1)�vôc¯O1c©sñ~¤1©s®Rô5®(�t¯3©P�L'�ñ�Gtâ~��ô��zô*ô9�$ò�ó���ó\«�1c©s®1® ô 1)�vôc¯1c©sñ~¤�© ®Rô5®(�o¯ Æ ©P� 4 �5 ñ�� Æ ñ�Gtâtâ�ó�!(1����1«��� ê+4Æ ² Ý�Ç !Uï�ñ3¯ Æ ß9¯<â«ó ÞMý×;ö(�~�z�'+eÿ��$ýeÿ «¥�ô�� !x®¥1)�yò�©s®H�Nñ�Gtâ*ò�ó°Ö��:«$¯sñ�ò�ócócò�ª5¨6ôr�=©��)«s®$��Gh'ØÞ½«s® ¯ê�åÀÕ0ñÎ'�ñ�Gtâ�â"ë 4 �5 ñ��Iñ�Gtâtâ�ëÓ'�ñ�Gtâ ³ G�% Ü Þªßdà&áµâxý ñ � þ XÀâ

Page 26: GLOBAL SOLUTIONS TO THE GRADIENT FLOW EQUATION OF A

� � 354c698;:À:<8;=?=?@BA�@¨EcFG40AIHKJML�3NL LNA [ 8�4pTUL�HN:<@BA�@`��z©E©P�dþ�Ð"Ô�ç ð �+� ê�å��8Ð"Ô�4 ð ûK@ � þ � 0 � ÔfÕ°ëªì°ïMé3Gz'SÞ�ì�ëªçdä-Õ�ä ð Õ\� Æ ñ�Gtâ�Ú �Iñ�Gtâ"ü�Ô ð @ �6�ª1 ê�å')(�ñDÞªßfú0â�þ�áªû�æ$4 Ð"Ô54 ð ûK@ � þ�ú�Þ�ñ ð â7êÂÕIíBæ �6� æ�üZì?Õ`ä ð Õ��Iñ�Gtâ7ê�ìNæUåªÔ=��Ó?ê+�ªì�çdäªêÂÕ 7 ê�å$Ô ð çdä$ç�æ�åMåMÔ0çxÕ�Ô îç�æ$4��>æ�åMÔfåÀÕ"æcí î� ñ�Gtâ=0MäMÔfå>ç�Ô î� ñ�Gtâ"ë 4 �: ñ��Iñ�Gtâ�âxý��æ�û�Ô�æ�èUÔfûE0�íBû�æ$4þÐ"Ô�4 ð ûz@\ì � þ X-ñDç0â ð å î � þ�ú�ú�ê�Õ"íBæ �+� æ�üZì�Õ�ä ð Õ"Õ�äMÔ ð ì�ì�Ôfû�Õ�ê�æUå�ê�å&Ð"Ô�4 ð ûK@ � þ �ñDç0â¥äMæ ��î ì�ü"êÂÕ`ä�� û�Ô�� �¸ð ç�Ô î ã � �Nñ�Gtâ�0�íBæUû ð å � ç�æ�åMåMÔ�ç�Õ�Ô î çfæ,4��;æUåMÔ�å�ÕO¯ æcí î'�ñ�Gtâ ð å î ð å �æ�æUû`Ô � ìtÔfÕ¥Ò ëѯ>þ ÿ å î Ô�Ô î 09ê�í;Ò ê¸ì/çfæ,4�� ð çxÕ �+� ç�æUåÀÕ ð ê�åMÔ î ê�å­¯�Õ�äMÔ�å½áÉ� Æ ñÎÒ/â"ó á°� Æ� ñ�Ò/âíBæUûAÈC% » �¸ð ûK�UÔ�ÔfåMæ�ë��Uä^0 ð å î ã � ç�æ�åªì^Õ`û�ë>çxÕ�ê�æUå½ñDì�ÔfÔ&Ó?Ô�4�4 ð � þ�úpâ�Ô�êÂÕ`äMÔfû"ê�åÕ�äMÔ¥ïªûdìtÕ"ç ð ì�Ôø Ò�øUT � ê+4 Æ ² Ý�Ç áÉ� Æ� ñÎÒ/â�ó áÉ�Iñ�Ò/âKæUû?ê�å¥Õ�äMÔ�ìtÔ0ç�æ�å î ç ð ì�Ô�?$ø Ò�øUV � ê+4 Æ ² Ý�Ç áÉ� Æ� ñÎÒ/â«óáÉ�Iñ�Ò�âxþ ÿ í�Ò ê¸ì ð ã;æUëªå îMð û � �;æUê�åÀÕ7æcí=¯2Õ`äMÔfå�ñDëªìtê�å��\ÐZÔ54 ð ûK@\ì � þ�úUú ð å î � þ�ú0Þ¥ñ ð â�â9ê�å/Õ`äMÔ¯ïªûdìtÕç ð ìtÔZÞGù � ê+4 Æ ² Ý�Ç áÉ� Æ ñÎÒ/â�óSáÉ�NñÎÒ/âIæ�û«ê�å�Õ`äMÔ°ì�Ô�çfæUå î ç ð ìtÔ"Þ+ù � ê+4 Æ ² Ý�Ç áÉ� Æ ñÎÒ/â«óáÉ�Iñ�Ò�âxþ J æ�æ�ã\Õ ð ê�å½Õ�äªÔ î Ô�ì�ê�û�Ô î ê�åMÔEB�ë ð � êÂÕ`ê�Ô0ì&ü"äMÔfåFÒ ê�ì ð ��ÔfåMÔ�û�ê¸çEæ�æUû`Ô � ì�Ô�Õ�ê�å�¯10Nê�Õ$ê�ìÔfåªæUë���ä$Õ`æ&ü"û�ê�Õ�Ô�Ò ó�ñ�Ò�Ï/ê�å�Õpñ�¯<âtâ�ÄGñÎÒ�Ï¥í�¯<â�0UÕ�æ ð ���Mû`æpé<ê+4 ð Õ`Ô�Ò�Ï/ê�åÀÕ0ñ�¯<âNü"ê�Õ�ä ð ìtÔEBÀëMÔfåªçfÔæcíªì�ëMãªì�Ô�Õdì7æUí1Ò�çfæ,4�� ð ç�Õ �+� çfæUåÀÕ ð ê�åªÔ î ê�åb¯�0 ð å î Õ`æ°ëªì�Ô«Õ`äMÔ;�Mû`Ôfè<ê�æUëªì ð ûK�Uë�4+Ô�å�Õdìfþ ÿ Õ7íBæ �+� æ�üZìÕ�ä ð Õ î'�ñ�Gtâ"ë 4 �5 ñ��Nñ�Gtâtâxýÿ å&� ð ûtÕ`ê�çfë ��ð û�0<íBæ�û ð � 4+æ�ìtÕZÔfè�Ôfû � GI' Þ�0��Iñ�Gtâ"ê�ì�Ö�� ðUî 4Gê¸ì`ìtê�ã � Ô,0 4 �5 ñ��Nñ�Gtâtâ5ó î'ñ�Gtâ ð å î ñ � þ XÀâíBæ �+� æ�üZì�íBû�æ$4 ñ � þ � âxþ  ì`ì�ë�4+Ô/åMæ�üSÕ�ä ð Õ"G�'µÞ�ê¸ìL��ÔfåMÔ�û�ê¸ç ð å î �Mê�çc@ ð ìtÔEBÀëMÔfåªçfÔGñ�G0تâ�>§ñDÞMßxà&á�â5ç�æ�å<èUÔfûK�Uê�å��Õ�æ)G ð ìkß Ú à&á ì�ëªçdä'Õ`ä ð Õ"�Iñ�G0ØMâ�%}� � ñWÞMß�ú0â ð å î íBæ�û5ü"äMê¸çdä ñ � þ X�â«äMæ �¸î ì5ü"êÂÕ`ä8G0Ø'ê�å8� �¸ð çfÔæcí�Gxþ&�<ê�åªç�Ô°� %ÓÒ�½¥öUñ�Ü Þªßdà&áµâ ­ �5öUñWÞMßfúpâtâ ð å î �Nñ�Gtâ�%W')(�ñWÞMß�ú0â�0Nü�Ô'ä ð èUÔÉ�Iñ�G0ØMâ$Ú �Nñ�Gtâü�Ô ð @ �+� 1 ê�å8')(�ñDÞªßfú0â ð ìkß�Ú à&á þ ÿ Õ2ê�ì5Õ�äªÔfå�Ô�åMæUë1�Uä+Õ�æGû`Ô5�;Ô ð Õ5Õ�äMÔ¥�Mû`Ôfè<ê�æUëªì ð ûK�Uë�4+ÔfåÀÕdìð å î Õ`äMÔ ð ì`ìtÔ�ûtÕ`ê�æ�å�íBæ �6� æ�üZìfþ��ö=�~���t��+eÿ3�\·eÿ� « � �&ô¦�«��sô � ê64Æ ² Ý�Ç !Uï�ñ3Ú ¶ Å ß9Ú ¶ âZó§Þ=����1ô)�zôXÚ ¶ Å ×{ó 6Q ³ ���5� Ý�Ç � ñ 4 �: ñ�� Æ ñ�Gtâtâ\é.��Gc��â��

® ®^¤�«����Îò�1�!x¨6«�� ��ª)� � ô5ñ)ñÉ«.�\�*)��$�=©��)«s¨ú¨�GL% Ü Þªßdà&áµâX�;ôX�«��sô� ê+4Æ ² Ý�Ç ! ï Ê 4 �: ñ�� Æ ñ�Gtâtâxß 4 �: ñ��Iñ�Gtâtâ Ë óSÞMß� ê+4Æ ² Ý�Ç !Uï Ê ê�å�Õpñ 4 �5 ñ�� Æ ñ�Gtâ�âtâxß�ê�åÀÕ�ñ 4 �5 ñ��Nñ�Gtâtâtâ Ë óSÞMý ñ � þ �<â� ª � º�òú®¥1côI� Æ¡Ð �¬�;ôc«KÄ ¨?� 1 òú®�� Ç ñtÜ ÞMßxà&á�â ­ '�(�ñDÞªßfúpâtâ�«s®R¯H� Æ / � Æ� òú®�Ü ÞMß�ú=<9éÜ ÞMßdà&áµâ�¢ Ú ¶ Å ª)�Oä�ô=ñÉ«��9Ä���� �­� 1 � �k�;ôX�«��sô�� / � � òú®½Ü Þªßfú5<�é½Ü ÞMßxà&á�â�¢ Ú ¶ �Á�Â�ö1ü��eö=� +eÿ3��Ã^ÿ «¥1ô&� !x®¥1)�yò�©s®H�Fó5«��yò�ó�Lô=ó"� �E�)%&�5öcñ�Ú ¶ â)«s® ¯Éò�óI«Éó5© ¨?!#�Îò�© ®.©Z�MNNNNNNN

O NNNNNNNP

� Q óS� �E� #&% 4 �: ñ��Nñ�Gtâtâ�ß\G�%½ñWÞMßdà&áµâ� Q ó Þ #&%�ê�åÀÕ�ñ 4 �5 ñ��Iñ�Gtâ�âtâxߥG�%½ñWÞMßdà&áµâ� ê64±5² � � ±`³\Û ÜÝ � ¶ � Q ��� � � ñ�¼9ß:Gtâ«ó Þ #&%3í 4 �: ñ��Iñ�Gtâ�â2¢A�0Þªßfú,��ß�G�%½ñWÞMßdà&áµâ�Iñ�#�ß�Þ�â«óS� � ñ�#9â #&% ñDÞMß�ú0â�IñDÞªß:Gtâ«óÓ�Iñ^ú�ß:Gtâ�ßA�R�>ñDÞªß:Gtâ«óÓ� �ªñtúUßzGtâ G�%½ñWÞMßdà&áµâxýñ � þ � â

`��z©E©P�dþ

Page 27: GLOBAL SOLUTIONS TO THE GRADIENT FLOW EQUATION OF A

3N:MHI69L�: ] HN:xa�=?@DHIA ] =�H =^Í�83 d L [ @v89A7= � :MH g �h�Ó?ÔfÕ�4Ë%Ñ¡ �? ñtÜ ÞMßxà&á�âAé�Ü ÞMßfú5<vâ ð å î½� ÔfÕ>4 Æ ×NÜ Þªßdà&áµâZÚ ( Æ 0�4 Æ % Ó7ê6� ? ñ�Ü Þªßdà&áµâ�éÜ ÞMßfú5<vâ5ã;Ô�ìtë>çdä�Õ`ä ð Õ�4 Æ ñ�Gtâ�Ú 4/ñ�Gtâ�ê�å�¾ � ñDÞªßfú0â�íBæ�û ð å � G�'�Þªþ � Ô&ä ð è�Ôÿ Æ ñ�Gtâ�×{ó � Û ÜÝ � ¶ Å � Q ��� � Æ� ñ�Gtâ_4 Æ� ñ�Gtâx!,#-ó �§AÎ ñ�/ ; Å £�� ¦ â Ð 8 � á

Ý � Ƨ ñ�Gtâ"á Ý 4 Ƨ ñ�GtâÈó ? � ����� �:� á Ü ñ¶Ì ¶ Å � Q � á Ý � Æ ñ�Gtâtâ_4 Æ ñ�Gtâ"!$#ó ? � ����� �:� Ò ¶ Å � Q � � Æ ñ�Gtâ_4 Æ ñ�Gtâ�!$#ó ? ������� �:� !!$G Ý � Æ ñ�Gtâ04 Æ ñ�Gtâ�!,#�ó�× ÿtÿ Æ ñ�Gtâxý

ñ � þ � â

áMû`æ,4 ñ � þ �<â2ñBü"äMê¸çdä�ê¸ì¯è ð � ê î íBæ�û ð å � Gh'ØÞ�Õ�ä ð å�@\ì¯Õ`æ$Ó?Ô�4�4 ð � þ � â ð å î íBû�æ$4�Õ`äMÔZü�Ô ð @¾ �Ò Ó�Ô ñDê�åÀÕ�ñ�Ú ¶ âtâv�¨çfæUå<èUÔ�ûz��ÔfåªçfÔ/æUí�ñ�� Æ â5Õ�æÉ��0\ëªì�ê�å�� ñ � þ X�â�ê�Õ"íBæ �+� æ�üZì� ê+4Æ ² Ý�Ç ÿ ÆGñ�Gtâ�ó � Û ÜÝ � ¶ � Q ��� � � ñ�Gtâ_4 � ñ�Gtâ"!,# íBæ�û ð ý ÔUýxGr'µÞªý ñ � þ � â

¿ åÕ�äMÔ&æUÕ�äMÔ�û"ä ð å î 0 åå Q æ � ÆÕÐ åå Q æ � ê�å3��öUñ�ñDÞªßfú0â�é ñDÞªßdà&áµâtâ ð ì�È Ú à&áW0\äMÔ�åªç�Ô� ê64Æ ² Ý�Ç ÿtÿ ÆGñ�Gtâ�ó � ����� ��� !!$G Ý �Iñ�Gtâ_4�ñ�Gtâ"!$# íBæUû ð ý ÔUýxG�'ØÞMý ñ � þ � â

Ð"Ô0ç ð �+� ê�å�� ð � ìtæHÐ"Ô54 ð ûK@ � þ�ú�X ñDã>â�0KÔEB�ë ð � êÂÕ`ê�Ô0ì�ñ � þ � â�0¯ñ � þ � âZçfæUë�� � Ô î ü"êÂÕ`äµñ � þ � â"ê+4�� �+� Õ�ä ð Õ� ì�æ � èUÔ�ì5Õ`äMÔ��Mû`æUã � Ô54 MNO NP� Q óS� �E� ê�å-ê�åÀÕ0ñ3Ú ¶ âxß� Q ó Þ ê�å Ü Þªßfú=<�é Ü ÞMßdà&áµâ�¢ Ú ¶ ß�IñDÞÀâIóS� � ý ê�å Ü Þªßfú=<�é �0Þ���ý ñ � þ � â

ÿ å.� ð û�Õ�ê¸ç�ë �¸ð ûE09ü5Ô+ä ð è�ÔI�Ñ%Ñ¡ Ç ñBê�åÀÕ0ñ�Ú ¶ âtâxþ���æ�û�Ô�æ�èUÔfûE09ìtê�åªç�Ô��RQ¥%F�5öcñtñWÞMß�ú0â\é�ñDÞªßdà&áµâtâ�0ü�Ô ð,� ì�æ��UÔfÕ"� �E�)%&�5öcñ�Ú ¶ â�þ ÿ Õ"Õ�äMÔ�å�íBæ �+� æ�üZì�Õ`ä ð Õ"Õ`äMÔfû`Ô¥Ô�é\ê�ìtÕ`ì�Õ`äMÔ � ê64+ê�Õ� ê64� ² 2� � � ³\Û ÜÝ � ¶ � Q ��� � �Mñ�#�ß:Gtâ�ó Þ íBæ�û ð ý ÔUý�G�'µÞªß .#�%�í 4 �: ñ��Iñ�Gtâ�âxß ñ � þ�ú�ÞÀâêlþ Ô�þS�Iø 6 798 � : ; � ì ð Õ�ê¸ì^ïªÔ0ì 7 Ô�û�æ�-ZÔ�ë�4 ð åMåØã;æUëMå îMð û � ç�æ�å î ê�Õ�ê�æUåªì+æ�åWí�Ú ¶ þã�«û`æUã � Ô54 ñ � þ � â�0Õ�æ$�UÔfÕ�äMÔ�û"ü"êÂÕ`äÕ`äMÔ&ã;æUëMå îªð û � ç�æ�å î ê�Õ�ê�æUå ñ � þ�ú�ÞÀâc0Mê¸ì2Ô�BÀëMê�è ð � ÔfåÀÕ"Õ�æ��Mû`æUã � Ô54�ñ � þ � â�þJ äMÔ��;Ôfû`ê�æ î ê¸ç�ã>æ�ëMå îMð û � ç�æUå î êÂÕ`ê�æ�åªì ð û`Ô ð ç�æUå>ìtÔEB�ëªÔfåªçfÔ/æUí���ã;Ôfê�å���Ö1� ð�î 4+ê�ì`ì�ê�ã � ÔUþ��ö=�~���t�'+eÿ��\â�ÿ «¥�ô�ó=« ñ�ô¦�zô=ó !x¨V��ó¥©Z�}«�1ôc©��zô5ñ � � � �© ¨6¯Éò �X�;ô��zôf¤ ¨6«\1côIòú®���1ôI¯$ô��;®1ò���yò�©s® ñtúUþ�ú0âÉ©P�&Ö���1ôI� !x®�1��Îò�© ®�òcö2�§ò���F«X� !x®�1��Îò�© ®®àD%D¡ Ç ñWÙIâ���Uò�1 .ó5«��yò�ó�Lô=ó�àIñDÞÀâ°ó�Þ#�àIñ^úpâ«ó§ú\��àIñDòUâ«óHàIñ:?"òUâ�« ®R¯�à ¤ ¤WñDòUâ"VµÞX�=©��*«s¨ú¨<ò�%½ñ:?&úUßfúpâ�� ® ��ò�ó�15¨6ôc«��~��«�����1ô�ô µ)!1«��Îò�© ®� Q óÓ� �E� òú®�ñ � þ � â�ò�óX�Kôf¤ ¨6«\1côc¯Hª���� Q ó �

ö à ¤ ¤ ñ�� � âv� ��� ���ö=�~���t� +eÿ��<+�ÿ�� ô��9È %Ü» «s® ¯Hó5ô)��Ö Æ ñBòUâ¥×�ó 4+ê�å7ñBòcö�ßzÈ âh�=©���« ®(�GòH% ÙI�y�)ô3�9® ô��ôh� !x®�1��Îò�© ®R«s¨ � � Å � Æ ×,� � ñWÞMßfúpâ¯Ú(Ü Þªßdà&á�<"«só� � Å � Æ ñÈQ\â2×�ó ú� È Æ� § 8 � 4+ê�å Ê ñÎá Ý Q\â § â ö ßKÈ Ë ß Q°%&(1Æ

Page 28: GLOBAL SOLUTIONS TO THE GRADIENT FLOW EQUATION OF A

� � 354c698;:À:<8;=?=?@BA�@¨EcFG40AIHKJML�3NL LNA [ 8�4pTUL�HN:<@BA�@� «s® ¯½ô��\�vô5®R¯,ôc¯2�v©à&á ô=¨ ó=ô����ô��zô � � ® ®5[ ���9^ ò��¥ò�ó~¤¥�z©��sôc¯x��«��~��ô°ó=ô µ�!1ô=®¥1cô�ñ � � Å � Æ â¦Úk�1c©s®$�`ô��Φhô�ó �I«`ó)È Ú à&á-���v©°��1ôÑb�!xñr�=©��z¯��fº#1«Ky� !x®�1��yò�©s®R« ¨²� � ô)� �ã%S'�(�ñWÞMßfúpâ �X�§ò����IñDÞ�â«ó �Nñtú0â��t�«���òú®U¦É«&�;®1ò��vô�ó5ô�� # � ß5¾5¾�¾Kß # Ø ©P�Tj�!xñz¤�¤�© òú®(�ÎóAòú®�ñWÞMß�ú0â ��«s®R¯�©Z�~1=¨+«`ócó"¡ � ñ ¯Àâ���=©��A« ®(�¥òú®(�vô)���s«s¨�¯É> ñDÞªßfú0â�¢�� # � ß5¾�¾5¾Kß # Ø �0�b«�1ô=® �½ò�óIÖ Æ �:«$¯sñ�ò�ócócò�ª5¨6ô��=©��§È ¨6«��Φhô\ô5®R©�!,¦U0�ò��úôU�²� � ó5«��yò�ó�Lô=ó���ô��;®1ò��yò�©s® � � � ���ô��zô �P��� ò�óy�zôf¤ ¨6«\1côc¯Dª�� ø �Iñ�#9â�? �Nñ�¼Mâfø2ù10 È�ø # ?Ó¼Kø���ô5®Rô��sô)�'Ü #7ß:¼h<�> 4 � Å: ñ �Kâ �\«s® ¯2���ô��zô���ôÉòú®Rô µ)!1« ¨ ò��"��òú®$�`© ¨?�Eòú®h¦É� òú® �f�)� ò�ó��zôf¤ ¨6«\1côc¯�ª��ø �Nñ�#;â�? ��ñ�¼MâføxV20 È�ø #°?Á¼Kø_� � ô��&!UóO1c©s®1ó�ò�¯,ô��¦��1ô�ó5© ¨?!#�Îò�© ®�ó43 Æ �©}��1ô¦�zô=ó�1c«s¨6ôc¯�¦��z«$¯sò�ô5®(�V�©��Óó��`ó��ô5ñ ©P��©��K¯sòú®R«����H¯sò ±�ô)�zô5®(�yò�«s¨§ô µ)!1«��Îò�© ®�óô 3 ÆQ ó ?AÈ Ìñ � � Å � Æ µ Ä Å â�ñ53 Æ â3 Æ ñWÞ�â«ó � Æ ß ñ � þ�úUúpâ

� Æ «só½òú® � ô5ñ�ñ�«6��� � � ä\ôc«`ó5© ®1òú®h¦Ó«só½òú®©«�1ôc©��zô5ñ � � � �;ô&¦hô)����«����H«sóHÈ Ú à&á-���ô3ó5ô µ�!1ô=®¥1Kô�ñ73 Æ âx1c©s®$�`ô��Φhô�ó �b!U¤ �©F«�ó�!1ª�ó5ô µ)!1ô5®�1cô)�O�v©F«^� !x®�1��yò�©s®83¡��Uò�1 Wó=«��Îò�ó��ô�ó��ôO1ôK«��¥ô µ�!1«��yò�©s®Þ�§ò��xªEô)�z© � ô)!xñÉ«s®�®Áòú®(�vô)��ò�©��^1c© ®R¯sò��yò�©s®1óÉ© ®Dôc«\1 .òú®(�vô)���s«s¨;©Z�+ñDÞMß�ú0â�¢� # � ß�¾5¾5¾7ß # Ø � � ô9�01côM¤��§òú®��0Þªßfú � � ���«`ó&¤�ô���ò�©E¯sò�1¦1c©s® ¯sò��yò�©s®1ó�òú®��0Þªßfú �G�2«s® ¯¦Ä,ôcôM¤�ó~��ô&¤1©sòú®$��ó# � ß5¾�¾5¾Kß # Ø ���Uôc¯�òú®��yòúñ�ô � # 7 ñÉ«���¯ ò�ó=« ¤\¤1ôc«��H«��~�yòúñ�ô G 7 T à&á ò � � ê+4 � ² � Ø�Ù 3°ñ�#7ß G 7 â/ó� ê64 � ² � Ø æ 3°ñ�#7ß G 7 â � ��«¥�ô��zô3�=©��zô93 1K« ®Ñªcô}1c©s®1ócò�¯$ô)�KôK¯ «`ó°«2�zôc«`ó5© ®R«,ª5¨6ô�¦ ¨+©,ªc«s¨§ó5© ¨?!#�Îò�© ®��v©��ôI¦\�z«$¯sò�ô5®(�%V�©��Ë©P����1ôdb�!xñr�=©��z¯��fº#�«U^� !x®¥1)�yò�©s® «s¨9òú®Ñ© ®Rô��:¯sòúñÉô=®1ó�ò�©s®Fó��v«����yòú®h¦�� �K©sñ �� 1c©sñ~¤�«��zôu[ �;: � � ) ^"� �< Ê ��Ð�×FÖÀÍ�ÒDÑ$Õ�Û°Ú0Ò�×½Ð2ÛÎÕ\Ì�ÒWÎ>Ë�Ú Ê ÿ å Õ�äªê�ì�ìtÔ0çxÕ`ê�æ�å ü5Ô�ì�äMæ�ü ð å<ë�4+Ôfû`ê¸ç ð � ìtê+4$ë ��ð Õ�ê�æUåü"äMê¸çdä çfæUå\ïªûK4'ì/Õ�äMÔ+ã;Ôfä ð è<ê�æUëMûdì\�ªû�Ô î ê�ç�Õ�Ô î ã � J äMÔ�æUû`Ô54 � þ �ªþ$Ó7Ô�Õ�� � %°� � ñWÞMß�ú0â°ã>ÔGÕ�äªÔë����;Ôfû\�Uû ð �Mäê�å�áNê6��ëMû`Ô � þ � 0MìtÔ�Ô ð � ìtæ^áNê6��ëMû`Ô � þ�ú�þ � Ô&ä ð è�Ô4 �5 ñ�� � â«ó Ü * � � ß�, � � <"Ä½Ü * � ö ß�, � ö <JÄ½Ü * � = ß�, � = <lßü"äMÔ�û�Ô�* � � ó!ÞMý Þ � 0�, � � ó!ÞMý � 0�* � ö ó´, � ö ó!Þªý � 0o* � = ó!ÞMý � 0k, � = ó!ÞMý �,� þ -ZæcÕ`Ô�Õ`ä ð Õ Þ ¶ K ó�U* � ö ß9*

�= �ÀþJ äMÔ-ìtÔEBÀëMÔfåªçfÔ�æUíA�Uû ð �Mäªì î ê¸ì:� �¸ð`� Ô î ê�å¢áNê6��ëMû`Ô � þ�ú ð å î � þ � �Mû�Ô0ìtÔ�åÀÕ�Õ�äMÔ-ì�æ � ë\Õ�ê�æUåF�ìtÕ ð û�Õ�ê�å��$íBû�æ$4 � � 0 ð Õ2ì�ëMãªì�Ô�BÀëMÔ�å�Õ5Õ�ê+4+Ô�ì�þ J äMÔ�çfæ,4��Më\Õ ð Õ`ê�æ�å�ìtæ � è�Ô�ì�Õ�äMÔ î ê¸ì�çfû�ÔfÕ�Ô/ÔfèUæ � ëMÕ�ê�æUå�Mû`Ô�ì�ÔfåÀÕ�Ô î ê�å �<Ô0çxÕ`ê�æ�å � ü"êÂÕ`äSì:� ð ç�Ô î ê�ì`ç�û`Ô�Õ`ê 70ð Õ�ê�æUå2>)# ó úsÇ�È ü"êÂÕ`ä È ó � Þ�ÞMþ J äªÔð � �Uæ�û�ê�Õ�ä14 ëªì�Ô î ê�ì ð íBæUû`ü ð û î À«ë � ÔfûZì`çdäMÔ54+Ô&ü"ê�Õ�ä-Õ`ê64+Ô�ìtÕ�Ô5�?>)G5ó�ñ�>)#;âtösÇ\ú�Þªþ«Ó?Ô�ÕZë>ì � ê¸ìtÕÕ�äªÔÉ4 ð ê�å íBÔ ð Õ�ëMû`Ô�ì�æUí�Õ�äªÔ�ç�æ,4��MëMÕ�Ô î Ôfè�æ � ë\Õ�ê�æUå.��0 ð �+� æcí�ü"äMê�çdä ð û`ÔGê�å ð ç�ç�æUû îMð åªç�ÔGü"êÂÕ`äJ äMÔ�æUû`Ô54 � þ �>þñtú0â � Ô�ä ð èUÔ2* � ñ�Gtâ / * � � íBæUû ð �+� G3V Þ�0 ð å î æ�å�Õ`äMÔ�ê�åÀÕ`Ôfû`è ð,� ñDÞªß9* � ñ�GtâtâGÕ`äMÔ ìtæ � ë��Õ�ê�æUå&� Ôfè�æ � èUÔ�ì ð çfçfæUû î ê�å��GÕ�æ�Õ`äMÔ�äMÔ ð Õ°ÔEBÀë ð Õ`ê�æ�å�ü"êÂÕ`ä 7 Ô�û�æ°-°Ôfë�4 ð åªå ã>æ�ëMå îMð û �ç�æ�å î ê�Õ�ê�æUå ð Õ~* � ñ�Gtâxþ ÿ å ðUîªî êÂÕ`ê�æ�å* � ñ�Gtâ"% Þ ¶ � Q � ³ G;V�ÞMý�<ê�åªç�Ôh* � � Ç% Þ ¶LK 0�* � ñ�Gtâ9ã;Ô�ç�æ$4+Ô�ì & ê�å>ì^Õ ð åÀÕ �+� ( ð°î ê�ì`ç�æ�åÀÕ�ê�åÀëªêÂÕ � �>æ�ê�åÀÕ7æUí�Õ`äMÔ5ì�æ � ë\Õ�ê�æUå^0ì�ÔfÔ ð � ìtæ^áNê+�UëMû`Ô � þ�úUþñ � â J äMÔ íBëªåªçxÕ`ê�æ�å G�Ú , � ñ�Gtâ ê¸ì î Ô0ç�û`Ô ð ìtê�å��§íBæUûD�>æÀìtê�Õ�ê�èUÔ Õ`ê64+Ô0ìfþ J äMÔ¦ê�åÀÕ�Ô�û�è ð,�Ü * � ñ�Gtâ�ß�, � ñ�Gtâv<7ê�ì\�Uû ðUî ë ð �+�6� Ô�û�æ î Ô î 0\íBû`æ,4 Õ`äMÔ�û`ê6��äÀÕ�0\ã � Õ`äMÔ�ê�å�Õ`Ôfû`è ð � Ü , � ñ�Gtâxß�* ö ñ�Gtâv<y0ü"äMÔ�û�Ô�Õ�äMÔ�ìtæ � ë\Õ`ê�æ�å&Ôfè�æ � èUÔ�ì ð ç�ç�æUû î ê�å��2Õ�æ°Õ�äMÔ5äMÔ ð Õ�ÔEB�ë ð Õ�ê�æUå^00ü"ê�Õ�ä 7 Ô�û�æ\-°Ôfë�4 ð åMåã;æUëMå îªð û � ç�æ�å î ê�Õ�ê�æUåªì�þñÎX�â J äMÔ�û�Ô�Ô�é\ê�ìtÕ`ì¥ä ö V§Þì�ëªçdä�Õ`ä ð Õ�* ö ñ�Gtâ / * � ö ð å î * � ö % Þ ¶ � Q � íBæUû*G¥%ØÜ ÞMßzä ö â�0 ð å îÕ�äªÔfå^* � ö ã>Ô0ç�æ,4+Ô0ì ð ç�æUåÀÕ`ê�å<ëMê�Õ � �;æUê�å�Õ«æUíR�Iñ�Gtâ�íBæ�û§Gh'àä ö þ ÿ åGÕ�äMÔ"û`Ô5��ê�æ�åÜ , � ö ß�* = ñ�Gtâv<y0íBæUû ð �+� Õ�ê+4+Ô�ì¥G�% ñWÞMß:ä ö â=0KÕ�äªÔGì�æ � ë\Õ�ê�æUå�ÔfèUæ � è�Ô�ì ð çfçfæUû î ê�å��'Õ�æÕ�äªÔ�äMÔ ð Õ¥Ô�BÀë ð Õ�ê�æUå

Page 29: GLOBAL SOLUTIONS TO THE GRADIENT FLOW EQUATION OF A

3N:MHI69L�: ] HN:xa�=?@DHIA ] =�H =^Í�83 d L [ @v89A7= � :MH g �,�ü"ê�Õ�ä 7 Ô�û�æÉ-ZÔ�ë�4 ð åMå-ã;æUëMå îMð û � ç�æ�å î ê�Õ�ê�æUåªì ð ÕD, � ö ð å î * = ñ�Gtâxþ;-°æcÕ�Ô�Õ`ä ð Õ

4 �5 ñ��Iñ�Gtâtâ«ó�Ü * � ñ�Gtâ�ß�, � ñ�Gtâv<"Ä Ü * = ñ�Gtâxß , = ñ�Gtâ<¨ß G�'àä ö ßð å î ��ÔfèUæ � è�Ô�ì ð çfç�æ�û î ê�å�� �6� Õ`æ-Õ�äMÔ�äMÔ ð Õ�Ô�BÀë ð Õ`ê�æ�å ê�å Õ`äMÔ�ê�å�Õ`Ôfû`è ð � ñ3, � ñ�Gtâxß9* = ñ�Gtâtâü"ê�Õ�ä 7 Ô�û�æÉ-ZÔ�ë�4 ð åMå-ã;æUëMå îMð û � ç�æ�å î ê�Õ�ê�æUåªì�þñ��Àâ J äMÔ�û�ÔGÔ�é\ê¸ì^Õ�Õ^ü5æ��;æ�ì�êÂÕ`ê�è�Ô$Õ`ê64+Ô�ì&Þ3T ê � T ê ö ìtëªçdä Õ�ä ð Õ�* = ñ�Gtâ / * � = % Þ ¶ � Q � íBæ�ûG�%½Ü ÞMß)ê � â=0\Õ�äMÔ��;æUê�åÀÕz* = ñ�Gtâ�ã;Ô�çfæ,4+Ô�ì ð ç�æ�å�Õ`ê�å<ëMê�Õ � �;æUê�åÀÕ2æUí2�-íBæ�û�G"% Ü ê � ß)ê ö < ð å îÕ�äªÔ¥íBëMåªçxÕ`ê�æ�å&G¯Ú * = ñ�Gtâ�ê¸ìZìtÕ�û`ê�ç�Õ �+� ê�åªç�û`Ô ð ìtê�å��Gê�å�Õ`ä ð ÕZê�åÀÕ�Ôfû`è ð � 0(* = ñ�Gtâ / * = ñÈê ö â"%Þ ¶ � Q � íBæUû ð,�6� G"V�ê ö þ J äMÔ�íBëMå>çxÕ�ê�æUå3G�Ú , = ñ�Gtâ2ê¸ì"ì^Õ`û�ê¸çxÕ �6��î Ô�çfû�Ô ð ì�ê�å1�ªþñ � â ¿ å�Õ`äMÔ2ê�åÀÕ`Ôfû`è ð,� ñ3, = ñ�Gtâxß�ú0â7Õ�äªÔ2ì�æ � ë\Õ`ê�æ�åI�+Ôfè�æ � èUÔ�ì ð ç�ç�æ�û î ê�å��°Õ�æ/Õ�äMÔ2äMÔ ð Õ¯Ô�BÀë ð Õ�ê�æUåü"ê�Õ�ä 7 Ô�û�æÉ-ZÔ�ë�4 ð åMå-ã;æUëMå îMð û � ç�æ�å î ê�Õ�ê�æUåªì�íBæ�û ð �+� GLVØÞMþ

, � � * � = , � =* � �

* � ö óÕ, � ö

G«óSÞªý � ÞUÞG«óSÞªý Þªú �G«óSÞªý ÞªúUúG«óSÞªý Þ�Þ �G«óSÞªý Þ�ÞMúG«óSÞªý Þ�ÞUÞ

;=<?>$@A@u@?B 4CB%D�E(FHGJI KMLNENOQP�O�RHL(SJT�UQE(DWVYX�TZL*E [ZT�U\TY]^OQI G_L*E(OMPa`cb&SJTdR�GJP,VYL*E(OMPE(Dfe,I OQL*L7TgU\E(PihYI KjVWkCRlOQXmD�OMFmTX�TZI TZ]^KQP�L�LNE(FmTn]�KMI GoTYDl`pb&SoTnE(P�EqL*E(KQI;UMKQL*GJF � � EqD�e,I OQL*L*T�UrLqSJE(VlkM`mb&SJTCsMX�TYtpX�T5sME(OQP�DCX�T�e,X�TYDWTZP�L�L(SJTHEqP�L7TZXW]�KMI Du lZv �onD� ¡gw v �onD�7x `��ö=�~���t� @Rÿ���ÿ �&ô�1c©s®�15¨?!1¯$ô���1ô^¤1«�¤1ô��.ª��Ñ©,ª=ó5ô)���Eòú®h¦.��«����z�=©��.ô5®Rô��Φ��à¯,ô5®�ó�ò��Îò�ô=ó¯sò ±�ô)�zô5®(��� �z© ñ ñ^ú�þ�úpâ ��òú®°¤1«����yò�1)!x¨6«��~�=©�����1ô~� !x®¥1)�yò�©s® Ö � 1c© ®�ó�ò�¯,ô��zôc¯ òú® Ö ò�¦�!#�Kô � � �¢� ��ô®R© ®�1c©s®$�`ô��2�zô¦,ò�©s®F©P�b��Uò�1 ò�ó�ªc©�!x®R¯,ôc¯ � �r��ôɯsò�ó�1��zô��ô°« ¤\¤¥�z©��$òúñÉ«��yò�©s®Áó�1�1ô=ñÉô°¯ ò�ó)1�!Uócó5ôK¯òú®Þºeô�1��yò�©s®�ó}¼½« ®R¯y�U�~��xò�1��Ä,ôcôM¤2���hôc¯3òú®¨�ÎòúñÉô^��ô8®R©E¯,ô=ó8©P����ôÉñÉô=óZ�òú®�ñDÞªßfúpâ �D1c©�!x¨6¯1c©s®$�`ô��ΦhôO�v©z� !x®¥1)�yò�©s®1ó î�¢��xò�1�.«��zô)®R©��Ló5©s¨?!#�yò�©s®1ó��© ñ�Xªþ � â�� ® ®}¤�«����Îò�1�!x¨6«�� �h��ô�� !x®�1��Îò�© ®�óî� ñ�ò�¦U#�)® ©���ó5«��Îò�ó� �Þ��ô�1K© ®R¯ ò��Îò�© ® î� Q ó�ÞWòú® ê�åÀÕ0ñ 4 � ¥5 ñ î�Iñ�Gtâ�âtâ��Ió5ôcô½«s¨ ó=©���1ô°1c©sñ�ñÉô=®$��óòú®�[ ��h �X¤t�¡¼ h�:0^ � «¥Uò�óÁªcô �«���ò�©�!#�Á©Z� î������Uò�1 ãò�ó°�zô5¨6«��vôc¯¢�©¢��ô.òú®(�vô��z«\1��Îò�© ®�ó.©Z�°��ô®R© ®�1c©s®$�`ô��y�zô¦,ò�©s®�©P�/Ö � �§ò��x��ô)®$!xñ�ô���ò�1c«s¨�ó�1 �ô5ñ�ô��§ò��b���Uôc¯É® ©�¯$ô�ó �A¯,ô=ó=ô����sô�óh� !#����ô��òú®(�sô=ó �yò�¦h«��yò�©s®��d 8 � 8 d 89A Z 8 ]u ¢ x\zI@J{d|^}o~j�M�u<7�a�`@,���� |^|^~j�<� ByP,TZ��KWeMeaX�OYKMVlS�L7Om]^KQXWE(KQL*ENOQP,KQIJe,X�OjhYI TZFmDd��EqL(S�FHGJI LNE e,I T�DWV�KQI TZD¨E ZK~x "  4T kpwlh L ¤p¤p� 4pF y`jlo 4,��� � | ®x® ¢ � E } { ¢��_��| Ç 4u | x"�¥@&{d��}o���a�f<��A�&��@�zo<?>�|�<7��zr@��J�^�M�,���~c� 3 wlydmpz{h^|fj��ª�{~t�7i�z{| F h^jWwlz{�L]�¤pyd�th^i¯yd|0m¥z{|/jWoph«g�h^iWilh^wliDjlh^z{|]f¤�yd�^h�~d� T wl~x£�yd£pz{�{z jvn F htydiWkpwlh^i E08;=^Í : h^�^jWkpwWh A ~djlh^i Ec6 z{wl©fo&�ydkpiWhtw E jW~Zyd¤p¤chtydw 4u Æ x"�¥@o{���}J�����f<�������@U; � �W�o���,�r@o�a�,|^|^�,���\�x��kp|p��jWz{~x|piK~d� 6 ~xkp|0mph^m J ydwWz�y`jlz{~x|Zyd|pm���wWh^h�[Nz{iW�^~x|fjWz{|�k0z jvnT wl~x£p�{h^ "i E Z9��ydwlh^|pm0~x| T wWh^ili¯� H �f��~xwlmc� E | ®x®x® 4u � xD;�@&{d�,�,��~ �, 7¡ ��<�|^|Q��� ¡ @�¢£�a��~j|^|^~_�^��¤\@ ��@;�\�a¥���,�\� T ydw¨yd£c~x�{z{�H¦Nk�ydiWz{�{z{|phtydw 8 ¹�k�y`jWz{~x|pi F z{|0z{ "z¹_tz{|0u: z{|phtydw 3 wW~��?jlo���kp|p��jWz{~x|�yd�{i EU6 z{wW©�o&�ydk0ilh^w J h^wl��ydu Ep6 ydilh^� E | ®x® � 4

Page 30: GLOBAL SOLUTIONS TO THE GRADIENT FLOW EQUATION OF A

XUÞ 354c698;:À:<8;=?=?@BA�@¨EcFG40AIHKJML�3NL LNA [ 8�4pTUL�HN:<@BA�@

Þªý ÞªúG«ó Þ

Þªý Þ �Þªý Þ$XÞªý Þ,�Þªý Þ �Þªý Þ �

ÞMý Þ � Þªý � ÞMý � ÞMý �#�ó Þ

ê �

ê ö

ä öÞªý �$�

;(<?>(@;@u@ A 4�B8]^TZXWLNENV�KQI;LNX�KQP�D�I KQL*ENOQP§SJKMDnh�T�TZP9KMUMUjTgU�L7O4L(SJTpTZ]�OQI GJLNENOQPcL7O�UQE(D�LNE(P_sQGJEqD�S\LqSoT£RWG_P,VZL*E(OQP�Dl`u Ç x\zI@ ¨P@�©£�,��~_�,}o|^�j�o�;�a��@,©£~j�j�o�W�Jª��,«h@a���,|H���a�W�W�A�&��@,¬o>�ª�<¸� B8UMT5sjTYP,TZX�KQL7Tfe,DWTYGoUMOWeJKQX�KjhgOQI E(VrX�T5sQGJ­I KQXWE(DWKQL*E(OQP9OgR�K4P,OQP�I EqP,T�KQX�RlOQXW��KQX�UQ­�hgKMVlk^��KQX�UrSJT�KQL�Tg®ZGoKQL*E(OQPcKQXWE(D�EqP_spE(P\LqSoT�L(SJT�OQXWt�O�RfSoTgKML�KMP,UFmKQD�D4TW¯MVlSJKQP_sjT�E(PiD�L7KjhYI t\D�L*X�KQL*E °�T�U§L*GJXYhlGJI TYP�L�D�SoTgKMX�±£OQ�>E ] @vLIF³²p4<F y`jWo 4�L |�yd� 4;´o� � ¢YµQµ Æ � E¢ � ¢ � �c¢ ��Æ µ 4u { x\zI@ ¨P@o©£�,��~_�,}o|��_�o�&����@o©£~j�j�o�W�Jª��,«h@o�f�,|m�a���W�W��� ¡ @ ��@o���o�������,¶\<���ª\<�������@o¬o>aª�<¸� ByFpKQL(SJTZFmKMLNE(­VgKMI,FmOZUMTZI�O�R�L*GJXYhlGJI TZP�L;SJT�KQL�KQP,UmFmKMDgD�L*X�KQP�DqRWTZX�E(PrD�L7KjhYI tHDgL*X�KMLNE °�T�UHD�SJT�KQX�±£OM�ªE_²p4 �ª�{k0z{m F h^�¨o 4´,��· � ¢YµQµ Æ � E Æc� ¢�� ÆxÇ � 4u } x\zI@�©£~_|�|^~_�J�u<���<��,�,�¸zr@$; � �W�o�\� B¹X�T5sQGJI KQXWE [ZT�U9º»TZX�OQP,KM­*¼9KQI E�kpR�GJP,VYL*ENOQP,KQI�½§DWOQFpT§KQD*e_T�VYL*DrOgR�L(SJTsQX�KjUQE(TZP�LfUQtQP,KQFmE(VZD¨E0T wl~f� 4 ~d� 8 ¹fk�ydmpz ¾ E | ®x® Æ EsÍ ydiliWh^� j E jl~Zyd¤p¤chtydw 4u | x¿zI@�©»~j|^|^~j�o�u<���<��,�,�Àzr@t; � �W�J�M� b;SJT�Á�­5I EqFmEqLHKMP,UÂLqSoT§X�TZI KQL7T�U9sMX�KMUQENTYP�L»±£OQ�.RlOQX\D�EqP_sMG_I KQXpe_TZXW­LNGJXYhgKQL*E(OQP§R�GJP,VYL*ENOQP,KQI D"O�Rmº»TZX�OQP,KM­*¼9KQI E�k9L*tWe_T�EªT wlh^¤pwlz{|�j"ZKh^|�jlwW~�[Nh 3 z{~xwluxz E ]��^kp~x��y A ~xwl Zyd�{h]fkp¤chtwWz{~xwlh¯mpz T z{i¨y E | ®x® � E ilk0£p "z jWjWh^m 4u Æ x¿zI@f©£~j|^|^~j�o�u<���<7�mzI@�; � �W�o������@Cz � >�|�<�~_|Q�¥<¸�Âà GJFpTYXWENVgKMI�T�¯le_TZXWEqFpTYP�L*DcKQP,U.V�OQPYÄlT�VZLNGJX�TZD9OQP?L(SJTUQtQP,KQFmE(VZD9UMT7°�P,TgU�hlt�DWOQFpTiD�EqP_sMG_I KQXWI tce_TZXWL*G_XYhgT�U�P,OMP�­�V�OQP�]�TW¯\R�GJP,VYL*ENOQP,KQI DcO�R§L(SJT§sMX�KMUQENTYP�L¸E¤pyd¤Uh^w�z{|/¤pwWh^¤�ydw¨y`jWz{~x| 4u � x\zI@;©»~j|^|^~j�o�u<���<7����@����o�M��>��\� ¼§E(P�EqFpKQI�hgKQXWXWENTYXWDfRlOQXHsMT�OQFpTZLNXWENV�TZ]�OQI GJLNENOQP�D¨E�²p4 [Nz ¾Uh^wlh^|fjWz�yd� 8 ¹�i 4{E��~x� 4 ¢ Æ µ E | 4 ¢ E ¤p¤ 4 } { �c¢ ® Æ E ¢YµQµ=} 4u µ x"{�@a©£|^�,¶�~a�&{h@;Å�<��W��~_�,���,�\� J z{ilkpyd�Ud?ht�^~x|piDjlwWkp��jlz{~x| EUF¥@v=�T wlh^iWi E ZKyd 5£pwlz{mpuxh F¥L5E ¢YµQ�=} 4u ¢ ® x�Æ�@a©£��~J¥Z<��`� H ¤ch^w¨y`jWh^kpwli F y`�0z{ Zydk�� F ~x|p~djl~x|0hti EUA ~xwDjlo Í ~x�{��yd|pm E ¢Yµ=} Æ 4u ¢x¢ x�;�@�¢£�j�o��Ç~a�;��@ �¥@;�0<��a�a�^��¤�@ ��@&�§�a��~j|o�;Èk@�¢£�,|^|oÉdÊ FmK�sMTpDWTZI T�VZLNE(]�TpD�FpOYOQL(S_E(P_s\KQP,U\T�UZsjT4UMTYL7T�VZLNENOQPhlt4P,OQP�I EqP,T�KQXmUQE ËfGJD�E(OQP�E ] @vLNF̲p4�A k0 "htw 40L |�yd� 4{E,´�Í � ¢YµQµ�| � E ¢Y��|Z�c¢Yµ Æ 4

Page 31: GLOBAL SOLUTIONS TO THE GRADIENT FLOW EQUATION OF A

3N:MHI69L�: ] HN:xa�=?@DHIA ] =�H =^Í�83 d L [ @v89A7= � :MH g Xªúu ¢:| x�{�@�¢£ª,�a��}��,|^|^~aÉpÊ FpKZsMT�DWT5sQFpTZP�L*KMLNENOQP�hYt§]�KQXWENKQL*E(OQP,KMI�FpTZLqSoOYUQDl½"¼cGJF£RlOQX�UQ­*Î�SoK�SrRWG_P,VZL*E(OQP,KMI�KMP,ULqSoTmUMEqDWVYX�TYL7TmKWeMe,X�O�¯QE(FmKQL*ENOQP�D¨E ] @vLNF̲p4pL ¤p¤p� 4�F y`jWo 4{Ea�,� � ¢YµQµ Ç � E ��|=}Y�_� {xÆ 4u ¢ Æ x\��@ zr@�¢����a�,���,|^|o��Æ�@f¨���ª\<?<7�C��@ �¥@��0<��,��� E"Ï�DWTZXJÐ DrsQGJE(UjTcL7O�]�EqDWV�OQD�EqL*tÂD�OMI GJL*E(OQP�D§O�R§D�T�V�OQP,U.OQX�UMTZXe_KQXWL*E(KMI�UQE Ë�TZX�TYP�L*ENKQI�Tg®ZGoKQL*E(OQP�D¨Ec6 kp�{� 40LIF ] E�´,ÑaÒ&Ó � ¢YµQµ�| � E ¢�� { } 4u ¢ � x�Ô�@£��~�zo<��,��>G<¸� A h^�µ¤pwW~x£p�{h^ "i�~x|' "z{|pz{ "z¹_^z{|pu/ "~���h^ "h^|fjWi E Ê PÖÕ�OQGJP,UMKQXWtÀ×aKQI GJT"º»X�OjhYI TYFmDCRlOQXº»KQXWL*ENKQI�Ø�E Ë�TZX�TZP�LNENKQIaÙ»®ZGoKQL*E(OQP�DmKQP,U�B£eMeaI ENVgKMLNENOQP�D�ÚHÛ�`�Õ�KQENOYV�VWSJEfKQP,U�ÜJ` Ý�`�ÝAENOQP�DnT�UQDl` ÚCÞ*ß�¼"BߣTZDl` à OQL7TYD�B»eMe,I�`�¼cKMLqS�` àm¼9KQD�DWOQP�ºfKQXWEqD � ¢YµQµ Æ � E ¤p¤ 4 �0¢ s µQ� 4u ¢ Ç x�Ô�@_��~�zo<��a��>\<¸� ÎaG4KQI VZGJP�EJeaX�OjhYI TZFHE�E(P�D�L*K_hlE(I E&I T5sjKQL*E�KQIqI KnL7T�OQXWENKmUjTYI(I KH]ZE(D�E(OQP,T�ExL jDjlz�m0ht�sZK~x|���h^ux|p~«z{|~x|0~xwlh¯mpzhZKydwl�{~�Z9z{�{z{£ch^wWjW~°� A yd¤c~x�{z E ¢YµQµ Ç � E�=¯406 wlkp|0~ EpTM4p6 kp~x|0~��^~xwlh E�:>4 ZKydwl£c~x|ph E�J�4p8 il¤c~xilz jW~h^mpi 4{E µ0¢��_µQ� E�: y"ZKz jDjKby�mph^��]�~x�{h EcA yd¤U~x�{z E ¢YµQµ=} 4u ¢ { x�Ô�@_��~�zo<��a��>\<¸� ÛAOQP_sjTYL*L*G_X�T�XWE sMGJKQX�UMKQP�L*E�KQI VZGJP�EJeaX�OjhYI TZFHE�UME;TZ]^OQI GM[YE(OQP,T�E [Nkp©xh F y`jWo 4M²p4Má;Ó � ¢YµQµ Ç � E| ÇxÇ s | { �u ¢z} x§�`@p��~J�c� � | <���<¸�ãâ OQGJP_säFmT�KQD�GJX�T¸DWOQI G_L*E(OMP�D\RWOMX.KäP,OQP�I E(P,T�KQXeJKQX�KjhgOQI E(VäT�®YGoKQL*E(OQP6O�R�RWOQXW��KQX�UQ­h�KjVWkQ��KQX�U"L*tWeJTtE ] @vLNFå²p4cF y`jWo 4�L |�yd� 4,´,Ñ � ¢YµQµ { � E Æ } { � � ® Æ 4u ¢Y� x§�`@_Ô���~_�a�\>�| � � BdP�KQP,KQI tQDgE(DfO�RfL(SJT»º»TZX�OQP,KM­*¼9KQI E�kHDWVWSoTYFpTtE ZK~x "  4tT kpwlh L ¤0¤p� 4xF y`jWo 4jæ�ç�è � | ®x® ¢ � E¢ ��� |Z�c¢ � �=} 4u ¢Yµ x�;�@�;=<�~_���o�A�C«&@dz��\>�| <��,�,~Ö�a�,�ä��@f���,�,| <���<¸� A kp "h^wlz{�tyd�7ilz{ 5kp��y`jlz{~x|0i°~d�« "htyd|��^kpwW�dy`jlkpwWh&}�~��z{|�¤pwWh^ilh^|p�^h�~d�«y�|p~x|p�^~x|���h���yd|pz{il~djWwl~x¤�n 4f¼9KQL(So`f¼9OYUMTZI D�¼9TZLqSoOYUQD�B£eje,I `dÎ�VYE*`�á � ¢YµQµQ� � E ¤p¤ 4Ç } Æ � { ® ¢ 4u | ® x\��@Az��,}o}u<��a��É�é X�KMUME(TZP�L�±»OQ�ÂRlOQXpLqSoT�OQP,TZ­�UQEqFpTZP�DgENOQP,KQI�¼cG_F»RWOMX�UQ­*Î�SJK^S�R�GJP,VZLNENOQP,KQI EÀL |p| 4 ]��^kp~x��yA ~xwl  4 ]�kp¤ 4pT z{i¨y�Z9� 4 ]��^z 4 � � � Ea´,Ñ � ¢YµQµQ� � E � 4 ¢ ��Ç �c¢Yµ Æ 4u |0¢ x\��@az��,}o}u<��a�\� 8 |�jlz{wWhNiW~x�{k0jlz{~x|0i7~d�ÀjlophN~x|ph�svmpz{ "h^|pilz{~x|pyd� T h^wl~x|�y`s F yd�{z{©2h^¹�k�y`jWz{~x| E�º»X�T�e,XWEqP�L � | ®x® Æ � 4u |�| x\��@ Ô�@;z � �M�u<����,Æ�@   �^@&�o�,�a~j���a��@ Ô�@;��� � >��,��<���<��`� B�P�EqDWOQL*X�OWe,ENVpFmOMLNENOQP9O�R�KQPcE(P�L*TZX(RWKjVgTHX�TZI K�¯MT�U\hltLqSoT£RlOQXWFpKQL*E(OQPiO�R�E(PZ°�P�EqL7TYD�E(FmKQI;��XWEqPJkQI TZD¨E�²�4 [Nz ¾Uh^wlh^|fjWz�yd� 8 ¹�k�y`jWz{~x|pi E;Ó,ÓJÍ � ¢YµQµ Ç � E Çc� �c¢ ® � 4u | Æ x 8�4`Í h��7z jWj E È 4 ]fjWwl~x 5£Uh^wWup� ߣT�KQI�KMP,UpBChYD�L*X�KMVZL�BdP,KQI tQDgE(Dl`;B8¼9OYUjTYXWP�b�X�T�KQL*FmTZP_s"O�RnL(SJT\b&SJT�OQXWt"OgRê G_P,VZL*E(OQP�D�OgR�K4ߣT�KQI�×aKQXWE(K_hlI TtE ]�¤pwWz{|puxh^wWs J h^wl��ydu E0A h��¸ë>~xwl©�s 6 h^wl�{z{| E ¢Yµ { µ 4u | � x�ìI@JÆr��,|^| <?> EjÙ�¯QE(DgL7TZP,V�TdOgR»E(PZ°�P�EqL7TZI t�FpKQP�tHD�OMI GJL*E(OQP�D�RWOQXfK£RWOMXW��KQX�UM­�hgKMVWkQ��KMX�UmSJT�KQLAT�®ZGJKMLNENOQP�E�= w¨yd|0i 4L  "h^w 40F y`jlo 4 ]�~�� 4a´,Ñ�á � ¢YµQ� Æ � E |QµQµZ� Æ ¢ { 4u | Ç x�ìI@�Æ ��a|^|�<?>��£¤�@ {�@A���aª,~j| E�B¹UQE ËfGJDgENOQP�T�®ZGJKQL*ENOQPÖ�AE(L(SÂKcP,OMP�FmOQP,OML*OMP,T§VgOMP�DgL*E(LNGJL*Eq]^T�RWG_P,VZL*E(OQP�E z{|]�n0iDjlh^ "i;~d� A ~x|0�{z{|phtydw [Nz ¾Uh^wlh^|�jlz�yd� 8 ¹fk�y`jWz{~x|pi E_²p4f6 yd�{� E h^m 4{E [ 4 d?h^z{mph^� E06 ~xiDjl~x| E0F¥L�E ¢YµQ� Æ E ¤p¤ 4� ® µZ� � |�| 4u | { x�©�@cì��^íC�aª,|6�,�,�î��@9ì � �J~j�M� F y`��z{ �kp  yd|pm¦�^~x "¤�ydwlz{iW~x| ¤0wlz{|p�^z{¤p�{h½��~xw ~x|ph�svmpz{ "h^|piWz{~x|�yd�yd|0z{il~djWwl~x¤pz{�«mpz ¾UkpiWz{~x| Ea¼9KQL(So`&B�P�Pa` £�� Æ ¢x¢ � ¢YµQµQ� � E ¤p¤ 4 ¢ ® }Y�c¢:| Æ 4u |=} x§�`@Qì�<��Jª,~_�,�a�W���a��ïª� = oph T h^wl~x|�y`s F yd�{z{©�¤�ydw¨ydm0~�� EJÎ Ê Bd¼2Üo`_B»eMe,I�`J¼9KQL(So`M�,Ñ � | ®x® ¢ � E ¤0¤ 4 ¢ Æ |Q�Z�c¢ Æc� | 4u |Q� x\��@ ��@A�;�^�a��~_�,�;ð ~M�A� ¡ @ zr@�«»�a���,���o�A���0@ ��@��Jª�<���ª,�_�&ñ ��¶\< ò <¸� @ �{� s T ~xilh^m T wl~x£p�{h^ "i¯~d� F y`jWoph^ Zy`jlz{�tyd�T ofn�ilz{�^iKyd|0m L |�yd� n�ilz{i E�= w¨yd|piW��y`jlz{~x|pi>~d� F y`jWoph^ Zy`jWz{��yd� F ~x|p~xuxwlyd¤popi E ��~x� 4 {c� EfL  "htwWz{�tyd| F y`jWo0sh^ Zy`jWz{�tyd��]�~f�tz{h�jvn EcT wW~���z{mph^|p�^h E d7o0~�mph @ iW��yd|pm E ¢YµQ� ® 4u |Qµ x§zI@ ��@,�0<�~j}o~_�,���,�\��]�h^�^~x|pm H wWmph^w T ydwlyd£c~x�{z{�§[Nz ¾Uh^wlh^|fjWz�yd� 8 ¹�kpy`jlz{~x|pi E g$~xwl�{m¥]��^z{h^|fjWz º � T k0£p� 4{E ]fz{|0su�yd¤c~xwWh E ¢YµQµ { 4u Æ ® x���@ Ô�@�� � |^~j�<� L |Zq�ó�£c~xkp|pm"��~xw>yIjlz{ "h�svm0z{il�^wlh�jWh7wWh^uxkp��ydwlz¹_ty`jWz{~x|"~d�<yN��~xwW�?ydwWm0sv£�yd�l©f�?ydwWm"¤�ydw¨yd£c~x�{z{�h^¹fk�y`jWz{~x| E Ê P,UQE(KQP,K�Ï�P�Eq]Q`;¼9KQL(So`�ÜJ`���� � ¢YµQµ { � E ¤p¤ 4 { � Æ � { µ Æ 4u Æ ¢ x\��@���<���¥Y}o~_�u>����r@A� � ��ôM�a���9�,�,���Jª\<��,�Q�\���Mz{� jWh^wlz{|pu E ]�h^ux "h^|fjly`jWz{~x|Gyd|pm)[Nh^¤0jWo EAÝ&T�VYL*GJX�T à OQL7TYDEqPÖÛAOMF�e,GJL7TYXCÎ�VYENTYP,V�TZDlE � ¢YµQµ Æ ��]�¤pwWz{|puxh^wWs J h^wl��ydu 4u Æ | x���@���~j���,�a�i�a�,��¤�@A�§�,| <�¶M�9]f��yd�{h"iW¤�yd�^h"yd|pm$h^mpuxh"mph�jlh^��jWz{~x|GkpiWz{|pu¥yd|pz{iW~djlwW~x¤pz{�2mpz ¾UkpiWz{~x| E Ê Ù�Ù�Ùb�X�KQP�Dl`;º»KQL*L7TZXWP�BdP,KQI�`;¼9KMVlSo` Ê P�L7TZIqI�`;ÓJ´ � ¢YµQµ ® � E ¤0¤ 4 { |QµZ� {xÆ µ 4u ÆxÆ x���@ ¨Z@���|Q�,�o��<�¶a���M� ºfKQD�DWKZsjT§L7O9L(SJT�I EqFmEqLC�AE(L(SÂX�TZD*e_T�VZL�L7O9]�EqDWV�OQD�EqL*tcE(P.KQP�Tg®ZGoKQL*E(OQP.�AEqL(S�]�KMXWE(KjhYI Te_KQX�K_h�OMI ENVYE(LNt\UQE(X�T�VYL*E(OMP�E [Nz ¾UhtwWh^|fjWz�yd� 8 ¹�k�y`jWz{~x|pi ·aõ � ¢YµQµ � � E { ¢ � � { |�| 4u Æc� x\��@��o|�~J�����,�\� Ø�tQP,KQFmE(VZDCO�R�FpT�KQD�G_X�TgU�]^KQI GJT�U"D�OMI GJL*E(OQP�DCL7O�K�h�KjVWkQ��KQX�UQ­ RWOMXW��KQX�U"SoTgKML»Tg®ZGoKQL*E(OQP�E�²p4[7n0| 4 [Nz ¾UhtwWh^|fjWz�yd� 8 ¹fk�y`jWz{~x|pi · � ¢YµQµ0¢ � E { ¢ � � { |�| 4