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1 Instituto de Alfabetización y Educación Básica para Adultos Dirección de Desarrollo Educativo Glosario didáctico de contenidos educativos para aspirantes al examen de educación media superior Secundaria Matemáticas

Glos Didac Prope Matematicas

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Glosario didáctico de contenidos educativos, secundaria

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  • 1

    Instituto de Alfabetizacin y

    Educacin Bsica para Adultos

    Direccin de Desarrollo Educativo

    Glosario didctico de contenidos educativos para

    aspirantes al examen de educacin media superior

    Secundaria

    Matemticas

  • 2

    Temario 1. Identifica las propiedades del sistema de numeracin

    decimal contrastndolas con las de otros sistemas numricos

    posicionales y no posicionales.

    2. Representa nmeros fraccionarios y decimales en la recta

    numrica a partir de distintas informaciones, analizando las

    convenciones de esta representacin.

    3. Resuelve problemas aditivos con nmeros fraccionarios y

    decimales en distintos contextos.

    4. Resuelve problemas que impliquen la multiplicacin y divisin

    con nmeros fraccionarios en distintos contextos.

    5. Resuelve problemas que impliquen la multiplicacin de

    nmeros decimales en distintos contextos.

    6. Resuelve problemas que impliquen la divisin de nmeros

    decimales en distintos contextos.

    7. Identifica y resuelve situaciones de proporcionalidad directa

    del tipo valor faltante en diversos contextos. Resuelve problemas de reparto proporcional en diversos contextos.

    8. Resuelve problemas que impliquen el clculo de porcentaje

    utilizando adecuadamente la expresin fraccionaria o decimal.

    9. Resuelve problemas que impliquen el clculo de la raz

    cuadrada y la potencia de exponente natural de nmeros

    naturales y decimales.

    10. Plantea y resuelve problemas que impliquen la utilizacin de

    nmeros con signo.

    11. Utiliza procedimientos informales y algoritmos de adicin y

    sustraccin de nmeros con signo en diversas situaciones.

    12. Resuelve problemas que impliquen multiplicaciones y

    divisiones de nmeros con signo.

    13. Utiliza la jerarqua de las operaciones, y los parntesis si fuera

    necesario, en problemas y clculos.

    14. Resuelve problemas que implican una relacin inversamente

    proporcional entre dos conjuntos de cantidades. Resuelve

    problemas de proporcionalidad mltiple.

    15. Resuelve problemas de comparacin de razones, con base

    en la nocin de equivalencia.

    16. Reconoce y obtiene expresiones algebraicas equivalentes a

    partir del empleo de modelos geomtricos.

  • 3

    17. Resuelve problemas que impliquen adicin y sustraccin de

    expresiones algebraicas.

    18. Resuelve problemas multiplicativos que impliquen el uso de

    expresiones algebraicas.

    19. Resuelve problemas que impliquen el planteamiento y la

    resolucin de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b;

    ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad,

    con a, b y c, nmeros naturales o decimales.

    20. Resuelve problemas que impliquen el planteamiento y la

    resolucin de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + bx

    + c = dx + ex + f; adems con parntesis en uno o en ambos

    miembros de la ecuacin, utilizando coeficientes enteros o

    fraccionarios, positivos o negativos.

    21. Efecta o simplifica clculos con expresiones algebraicas

    tales como: (x + a)2; (x + a) (x + b); (x + a) (x - a). Adems,

    factoriza expresiones algebraicas tales como: x2 + 2ax + a2; ax2 +

    bx; x2 + bx + c; x2 - a2.

    22. Resuelve problemas que impliquen reconocer, estimar y

    medir ngulos, utilizando el grado como unidad de medida.

    23. Determina mediante construcciones las posiciones relativas

    de dos rectas en el plano y elabora definiciones de rectas

    paralelas, perpendiculares y oblicuas. Establece relaciones

    entre los ngulos que se forman al cortarse dos rectas en el

    plano.

    24. Establece las relaciones entre los ngulos que se forman

    entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justifica

    las relaciones entre las medidas de los ngulos interiores de los

    tringulos y paralelogramos.

    25. Construye figuras simtricas respecto de un eje, las analiza y

    explicita las propiedades que se conservan en figuras tales

    como: tringulos issceles y equilteros, rombos, cuadrados y

    rectngulos.

    26. Utiliza las propiedades de la mediatriz de un segmento y la

    bisectriz de un ngulo para resolver diversos problemas

    geomtricos.

    27. Construye polgonos regulares a partir de distintas

    informaciones.

    28. Construye tringulos y cuadrilteros. Analiza las condiciones

    de posibilidad y unicidad en las construcciones.

  • 4

    29. Resuelve problemas de conteo utilizando diversos recursos,

    tales como tablas, diagramas de rbol y otros procedimientos

    personales.

    30. Interpreta y comunica informacin mediante la lectura,

    descripcin y construccin de tablas de frecuencia absoluta y

    relativa.

    31. Interpreta informacin representada en grficas de barras y

    circulares de frecuencia absoluta y relativa, provenientes de

    diarios o revistas y de otras fuentes. Comunica informacin

    proveniente de estudios sencillos, eligiendo la forma de

    representacin.

    32. Interpreta y calcula las medidas de tendencia central de un

    conjunto de datos, considerando de manera especial las

    propiedades de la media aritmtica.

    33. Interpreta y utiliza ndices para explicar el comportamiento

    de diversas situaciones.

    34. Enumera los posibles resultados de una experiencia

    aleatoria. Utiliza la escala de la probabilidad entre 0 y 1 y

    vincula diferentes formas de expresarla.

    35. Explica en lenguaje natural el significado de algunas

    frmulas geomtricas, interpretando las literales como nmeros

    generales con los que es posible operar.

    36. Resuelve problemas que impliquen calcular el permetro y el

    rea de tringulos, romboides y trapecios. Realiza conversiones

    de medidas de superficie.

    37. Determina el nmero Pi como la razn entre la longitud de la

    circunferencia y el dimetro. Justifica la frmula para el clculo

    de la longitud de la circunferencia y el rea del crculo.

    38. Resuelve problemas que impliquen calcular el rea y el

    permetro del crculo.

    39. Resuelve problemas que impliquen el clculo de reas en

    diversas figuras planas y establece relaciones entre los

    elementos que se utilizan para calcular el rea de cada una de

    estas figuras.

    40. Analiza en situaciones problemticas la presencia de

    cantidades relacionadas y representa esta relacin mediante

    una tabla y una expresin algebraica. En particular, la expresin

    de la relacin de proporcionalidad y = kx, asociando la de la

    ecuacin.

  • 5

    41. Explica las caractersticas de una grfica que represente una

    relacin de proporcionalidad en el plano cartesiano.

    42. Analiza los vnculos que existen entre varias representaciones

    (grficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a la misma

    situacin, e identifica las que son de proporcionalidad directa.

    43. Construye sucesiones de nmeros a partir de una regla

    dada. Determina expresiones generales que definen las reglas

    de sucesiones numricas y figurativas.

    44. Aplica el teorema de Pitgoras en la resolucin de

    problemas.

    45. Resuelve ecuaciones cuadrticas. A L

    46. Describe las caractersticas de cubos, prismas y pirmides.

    Construye desarrollos planos de cubos, prismas y pirmides

    rectos. Anticipa diferentes vistas de un cuerpo geomtrico.

    47. Estima y calcula el volumen de cubos, prismas y pirmides

    rectos. Calcula datos desconocidos, relacionados con las

    frmulas del clculo de volumen. Establecer relaciones de

    variacin entre diferentes medidas de prismas y pirmides.

    48. Construye figuras semejantes y compara las medidas de los

    ngulos y de los lados.

    49. Determina los criterios de semejanza de tringulos. Aplica los

    criterios de semejanza de tringulos en el anlisis de diferentes

    propiedades de los polgonos. Aplica la semejanza de tringulos

    en el clculo de distancias o alturas inaccesibles.

    50. Representa con literales los valores desconocidos de un

    problema y los utiliza para plantear y resolver un sistema de

    ecuaciones con coeficientes enteros.

    51. Representa grficamente un sistema de ecuaciones lineales

    con coeficientes enteros e interpreta la interseccin de sus

    grficas como la solucin del sistema.

    52. Reconoce y determina las razones trigonomtricas en

    familias de tringulos rectngulos semejantes, como cocientes

    entre las medidas de los lados. Calcula medidas de lados y de

    ngulos de tringulos rectngulos, a partir de los valores de

    razones trigonomtricas.

    53. Distingue en diversas situaciones de azar eventos que son

    independientes. Determina cmo puede calcularse la

    probabilidad de ocurrencia de dos o ms eventos

    independientes.

  • 6

    Matemticas

    Aritmtica lgebra

    Nmeros naturales Expresiones algebraicas

    Nmeros enteros Leyes de los exponentes

    Sistemas de numeracin Operaciones con polinomios

    Sistema de numeracin decimal Productos notables y

    factorizacin Mltiplos y divisores

    Nmeros decimales Ecuaciones

    Nmeros fraccionarios Modelacin de variacin

    mediante una tabla o una

    expresin algebraica Proporcionalidad

    Porcentajes

    Potenciacin y radicacin Funciones y grficas

    Nmeros con signo Sucesiones numricas y

    figurativas

    Sistemas de ecuaciones

    lineales con dos incgnitas

    Geometra Presentacin y tratamiento

    de la informacin Lneas paralelas y

    perpendiculares Conteo

    ngulos, mediatrices y bisectrices Frecuencia absoluta y

    relativa ngulos entre dos paralelas y

    una secante Grficas

    Polgonos, permetros y reas Medidas de posicin central

    Tringulos

    Cuadrilteros

    Crculo y circunferencia Probabilidad

    Suma de los ngulos interiores de

    un polgono

    Simetra axial y central Habilidad lgico-

    matemtica Tringulos congruentes

    Semejanza Sucesiones numricas

    Teorema de Tales Series espaciales

    Clasificacin de cuerpos

    geomtricos

    Imaginacin espacial

    Problemas de razonamiento

    Trigonometra

  • 7

    Aritmtica

    Nmeros Naturales

    Al conjunto de nmeros: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, se les llama nmeros naturales, denotados por la letra N (en ocasiones

    no se considera al cero), tienen ciertas propiedades:

    a) Al comparar dos nmeros naturales uno es menor que el

    otro o son iguales, es decir a un conjunto de nmeros

    naturales siempre es posible ordenar.

    b) Existe un nmero ms pequeo que todos, el 0 (cero), se le

    llama primer elemento.

    c) Todo nmero natural excepto el cero tiene antecesor.

    Antes de un nmero hay otro; antes de 10 000 est el 9

    999.

    d) Todo nmero natural tiene un sucesor, es decir, despus de

    un nmero hay otro; como del 5 sigue el 6.

    e) Los nmeros naturales son infinitos, nunca los acabaremos

    de nombrar.

    Los nmeros naturales los podemos representar por medio de

    una recta numrica:

    Nmeros enteros

    Los nmeros enteros son el conjunto de los nmeros naturales y

    sus simtricos, se denotan por la letra Z.

    Z = 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1,- 2,- 3,- 4,- 5,- , Los nmeros enteros tienen ciertas propiedades:

    Al comparar dos nmeros enteros uno es menor que el otro

    o son iguales.

    No existe un nmero menor que todos, es decir, no tienen

    un primer elemento.

    Todo nmero entero tiene antecesor y un sucesor.

    Los nmeros enteros son infinitos.

    Sistemas de numeracin

    Nuestro sistema de numeracin es decimal, esto quiere decir

    que nuestra base es el nmero 10, hoy ste sistema casi

  • 8

    universal. Usamos diez cifras o guarismos para representar los

    nmeros: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

    Los sistemas de numeracin ms primitivos se basaban en el 5, el

    10 o el 20, esto tiene mucho que ver con la cantidad de dedos:

    en cada mano, de ambas o si se toman manos y pies. Sin

    embargo tambin se usaron algunos sistemas como: binario,

    ternario, cuaternario, etc.

    Los egipcios emplearon una numeracin decimal, contaba con

    signos jeroglficos para las cifras del uno al diez y para cien, mil,

    diez mil, cien mil y un milln, una desventaja es que para escribir

    ciertos nmeros se necesitan muchos smbolos. En la figura se

    muestran siete jeroglficos numerales. Cada smbolo puede

    repetirse hasta 9 veces, cuando se llega a 10 smbolos iguales se

    sustituyen por otro que representa el valor de esos 10 smbolos.

    El sistema de numeracin egipcio es un sistema aditivo no

    posicional. Aditivo porque para encontrar el valor de un nmero

    se debe sumar el valor de cada uno de los smbolos que

    aparecen en el nmero; y es no posicional porque puede

    escribirse un nmero poniendo los smbolos en sentido opuesto

    sin que cambie el valor del nmero. Los egipcios no usaron el

    cero.

    Ejemplos:

    Decimal 232 722 1 315 2 024

    Egipcio

  • 9

    Los antiguos chinos usaron ya la base 10, lo mismo que egipcios,

    griegos y romanos. Una de las curiosidades de la antigua

    matemtica fue el sistema sexagesimal (de base 60), que los

    babilonios adoptaron.

    De los sistemas vigesimales (base 20) el

    Maya es tal vez el ms sobresaliente

    por valerse del principio de notacin

    posicional (las cifras tienen distinto

    valor segn el lugar que ocupan) y del

    importante concepto de cero del cero

    aproximadamente mil aos antes de la

    invencin del sistema "arbigo" en la

    India y casi 2 000 aos antes de que se

    empleara ste en Europa. Para la

    numeracin maya slo se requiere tres

    signos: la "concha" (concha de

    caracol marino) que representa el cero, el "punto" (el 1) y la

    "raya" (el 5). La escritura es de abajo hacia arriba.

    Ejemplos:

    Decimal 400 2006

    Maya

    1 202 = 400

    0 201 = 0

    0 200 = 0

    5 202 = 2 000

    0 201 = 0

    9 200 = 9

    Sistemas de numeracin decimal

    Algunas equivalencias en el sistema decimal son:

    de

    ce

    na

    ce

    nte

    na

    Un

    ida

    d

    de

    milla

    r

    De

    ce

    na

    d

    e

    milla

    r

    Ce

    nte

    na

    de

    milla

    r

    Un

    ida

    d d

    e

    mill

    n

    De

    ce

    na

    de

    mill

    n

    ce

    nte

    na

    de

    mill

    n

    un

    ida

    de

    s

    10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 10 000

    000

    100

    000

    000

  • 10

    En el sistema de numeracin decimal cada cifra representa un

    orden, cada tres rdenes forman una clase y cada dos clases es

    un periodo.

    El valor absoluto de la cifra 7 en el nmero 378 indica la misma

    cifra. 7

    El valor relativo de la cifra 7 en el nmero 378 depende de su

    posicin. 70

    En la lectura y escritura de un nmero se agrupan las cifras de

    tres en tres, en orden, de derecha a izquierda. Por ejemplo el

    nmero 5 100 503 408 se lee:

    Millones Unidades

    Millar de milln Millones Millares Unidades

    5 100 503 408

    Cinco mil cien millones, quinientos tres mil cuatrocientos ocho

    La notacin desarrollada de un nmero es representar a ste

    como la suma de los valores relativos de sus cifras. La notacin

    desarrollada de 29 745 es 20 000 + 9 000 + 700 + 40 + 5.

    Mltiplos y divisores

    Un mltiplo de cierto nmero se obtiene al multiplicarlo por un

    nmero natural. Por ejemplo 20 y 35 son mltiplos de 5 pues 2045 y 3575 . Todo nmero natural diferente de cero tiene

    una infinidad de mltiplos.

    El mnimo comn mltiplo (m.c.m.) de dos o ms nmeros es el

    ms pequeo de los mltiplos en comn diferente de cero. Por

    ejemplo el mnimo comn mltiplo de 4 y 5 es 20.

    Un divisor de un nmero es aquel que al dividir el nmero se

    obtiene residuo igual a cero. Los nmeros 2, 3 y son divisores de

    6? 2 y 3 si lo son, pero 4 no.

    Los divisores de un nmero son menores o iguales que ste. Los

    divisores: de 12 son 1, 2, 3, 4, 6, 12; de 22 son 1, 2, 11, 22.

  • 11

    Nmeros decimales

    Los nmeros decimales tienen una parte

    entera y una parte decimal, las cuales se

    representan a la izquierda y a la derecha del

    punto respectivamente. No tienen un primer elemento y son

    infinitos. Los nmeros naturales estn contenidos en los nmeros

    enteros, y a su vez los nmeros enteros estn contenidos en los

    nmeros decimales.

    La interpretacin de medidas en nmeros decimales es de la

    forma:

    Nmero de partes iguales en que se

    divide la unidad:

    se escribe

    as: se le llama:

    10 0.1 dcimo

    100 0.01 centsimo

    1000 0.001 milsimo

    10 000 0.0001 diezmilsimo

    100 000 0.00001 cienmilsimo

    1 000 000 0.000001 millonsimo

    El nmero 0.23 indica que la unidad se dividi en 100

    partes iguales y se tomaron 23 de ellas, cada parte es

    un centsimo por lo que 0.23 se lee veintitrs

    centsimos.

    Los nmeros decimales se pueden representar en una recta

    numrica, cada parte de una recta numrica, aunque no se

    vea, tiene muchas divisiones.

    En este ejemplo se puede ver que entre el 0 y el 1 hay 5

    espacios, si se le asigna valor a cada divisin valdra 0.20 y al

    sumarlos se llega a 1.

    0 1 2

    0.20 + 0.20 + 0.20 + 0.20 + 0.20 = 1

    En el mismo caso sera con el tramo de recta del 1 al 2 y as

    entre cada par de nmeros enteros.

    Se pueden marcar en un segmento de recta numrica una

    infinidad de nmeros decimales ya que los nmeros decimales

    son infinitos y densos.

    56 . 26parte entera parte decimal

  • 12

    Por ejemplo para marcar en una recta el nmero 1.6 se divide el

    segmento del 1 al 2 en 10 partes iguales (dcimos). La parte

    entera es 1 y la decimal es 0.6, as que despus del 1 se cuentan

    6 divisiones posteriores y ah se ubicar 1.6.

    0 1 2

    1.6

    Las operaciones aritmticas con nmeros decimales son

    similares a las de los nmeros naturales, pero en los nmeros

    decimales es muy importante la posicin del punto.

    Nmeros fraccionarios

    Los nmeros fraccionarios son aquellos que se utilizan para

    representar las partes de una cosa (unidad), por ejemplo, la

    mitad de una manzana, tres cuartos de kilo de frijoles, etc.

    Para representar con nmeros las fracciones se escribe de la

    siguiente forma:

  • 13

    Indica cuntas partes se

    tomaron de la unidad.

    Indica las partes en que

    se divide la unidad.

    Siempre es diferente de

    cero.

    Seis novenos

    Si un terreno se quiere dividir en 4 partes iguales para sembrar 4

    diferentes cultivos, cada parte del terreno sera una cuarta

    parte y se escribira as:4

    1.

    Las fracciones se clasifican como:

    Fraccin

    propia

    el numerador es menor que el

    denominador 12

    7

    impropia

    el numerador es mayor que el

    denominador 8

    20

    mixta

    consta de una parte entera y una

    fraccin propia 7

    25

    Para convertir una fraccin impropia a

    mixta se divide el numerador entre el

    denominador sin llegar a usar decimales.

    Por ejemplo: la fraccin impropia 15

    29 es

    equivalente a 15

    141 .

    Las fracciones se pueden representar en la recta numrica. Es

    necesario ubicar la parte entera de la fraccin que se quiere a

    representar en la recta, luego dividir el segmento entre la parte

    entera y el siguiente entero en tantas partes iguales como el

    denominador. Despus se toman las partes del denominador

    Por ejemplo:

    Localizar 4

    32

  • 14

    Tambin se pueden representar las fracciones a nmeros

    decimales, para realizar esto se divide el numerador entre el

    divisor. Por ejemplo: la fraccin 75.012

    9 pues 9 12 = 0.75.

    Para convertir una fraccin a nmero decimal solamente se

    divide el numerador entre el denominador.

    Ejemplo: 375.08

    3 ya que 375.083

    A las fracciones en las cuales el denominador es una potencia

    de 10 se le llama fraccin decimal. Por ejemplo: 100

    45

    (cuarenta y

    cinco centsimos); 1000

    89

    (ochenta y nueve milsimos).

    Las fracciones equivalentes son aquellas que representan el

    mismo valor, por ejemplo 20

    12 es equivalente a

    5

    3.

    Hay varias formas para determinar si dos fracciones son

    equivalentes, el mtodo ms fcil es el criterio de productos

    cruzados.

    15

    9 =

    5

    3 ya que 31559

    El producto del numerador de una

    fraccin por el denominador de la

    otra es igual en ambos casos

    Al sumar o restar fracciones

    con mismo denominador

    solo se necesita sumar o

    restar los numeradores, el

    denominador es el mismo

    que tenan en comn.

  • 15

    Ejemplos:

    30

    113

    30

    653

    5

    1

    6

    13

    5

    1

    6

    13

    36

    291

    36

    65

    36

    2792

    12

    9

    9

    23

    12

    9

    9

    52

    Para realizar las multiplicaciones de fracciones se multiplica

    numerador por numerador y denominador por denominador.

    La divisin de fracciones se realiza multiplicando de forma

    cruzada el numerador de la primera por el denominador de la

    segunda y el denominador de la primera por el numerador de

    la segunda.

    Ejemplo: 10

    9

    7

    5 =

    10

    9

    7

    5=

    510

    79

    x

    x =

    50

    63

    Las fracciones se utilizan de distintas formas y as calcular varios

    pesos, tamaos, entre otras cosas. Por ejemplo:

    Un terreno con forma de rectngulo tiene de rea 3

    7 y se

    conoce que uno de sus lados mide 5

    2. Cunto medir el otro

    lado?

    El rea del rectngulo es igual a la multiplicacin de los lados,

    esto lo expresamos como: 3

    7?

    5

    2 . Lo anterior significa que

    para encontrar el lado desconocido se divide el total del rea

    entre el lado conocido: 6

    35

    5

    2

    3

    7 .

    Si se quieren sumar o restar

    fracciones que tienen diferente

    denominador primero se debe

    de encontrar el mnimo comn

    mltiplo de los denominadores,

    luego se buscan fracciones

    equivalentes para proceder

    como el caso anterior.

  • 16

    Proporcionalidad

    Una razn es una comparacin de dos

    nmeros por medio de una divisin. La forma

    ms comn y til de expresar una razn es

    por medio de una fraccin.

    La razn tiene dos partes:

    Por ejemplo, si al preparar 2 litros de

    atole se le agregan 4 tazas de azcar, al

    preparar 5 litros se necesitan 10 tazas de

    azcar. La razn es 4

    2 = 0.5, cada una

    de las divisiones del nmero de la primera columna entre el

    correspondiente nmero de la segunda columna son iguales: 4

    2

    = 6

    3 =

    8

    4 =

    10

    5 = 0.5

    En una tabla de variacin se muestra la relacin que hay entre

    dos magnitudes. Estas varan en forma directamente

    proporcional cuando aumenta o disminuye una de ellas la

    segunda tambin aumenta o disminuye.

    Dos magnitudes varan inversamente proporcional cuando

    aumenta o disminuye una de ellas la segunda disminuye o

    aumenta respectivamente.

    Ejemplos:

    Variacin proporcional Variacin inversamente

    proporcional

    Cajas de

    refrescos 1 2 3 4

    Nmero de

    obreros 1 2 3 4

    Nmeros de

    refrescos 24 48 72 96

    Das para

    realizar un

    trabajo

    12 6 4 3

    La igualdad de dos razones se llama proporcin.

  • 17

    24

    48

    72

    96

    0

    20

    40

    60

    80

    100

    120

    1 2 3 4

    Cajas de refrescos

    N

    mero

    s d

    e r

    efr

    esco

    s

    12

    6

    43

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    14

    1 2 3 4

    Nmeros de obreros

    Da

    s

    La grfica de una variacin directamente proporcional es una

    recta creciente y la grfica de una variacin inversamente

    proporcional es una recta decreciente.

    Cuando en una proporcin directa se desconoce un valor

    (valor faltante), se puede encontrar aplicando el criterio de productos cruzados de las fracciones.

    Por ejemplo: a) Se compraron cuatro piezas de tela en $4 400,

    cunto se pagar por 11 piezas de esa misma tela?

    Esta es una proporcionalidad directa, al aumentar las piezas de

    tela aumenta la cantidad de dinero. Sea x lo que se pagar por

    11 piezas:

    xentonces

    pesosxpiezas

    pesospiezas 4400

    11

    4

    11

    44004

    Aplicando el criterio de productos cruzados 4400114 x ,

    121004

    440011

    x

    Por 11 piezas de tela se pagar $12 100.

    b) En una parcela se siembran cinco tipos de semillas, para

    hacerlo 2 personas tardan 6 das, cunto tardarn 6 personas?

    Esta es una proporcionalidad inversa, al aumentar el nmero de

    personas, los das de siembra disminuyen.

    xentonces

    dasxpersonas

    daspersonas 6

    6

    2

    6

    62

    Al ser inversa la proporcin, se considera el reciproco de una

    de las fracciones, entonces 66

    2 x , 2

    6

    26

    x

    Entonces 6 personas tardan 2 das en sembrar la parcela.

  • 18

    Porcentajes

    El porcentaje es nos permite saber que parte se ha

    tomado de un todo. En el dibujo 5

    2 de los cuadritos

    estn sombreados, en muchas ocasiones es ms

    claro expresar la informacin mediante una

    fraccin equivalente con denominador 100. En

    este caso 40 de 100 cuadritos estn sombreados,

    esto es 100

    40. En nmeros decimales se denota 0.4, tambin

    podemos decir que un 40 por ciento del cuadrado total est

    sombreado. Lo anterior lo denotamos como 40%. Toda fraccin

    cuyo denominador es 100 es un porcentaje.

    Ejemplo: Calcular el 15% de 870.

    15% de 870 significa 100

    15 de 870. Entonces

    50.130100

    13050

    100

    87015870

    100

    15

    , el 15% de 870 es 130.5.

    Otra forma es pasar 15% a su forma decimal: 0.15, luego

    multiplicar por 870. 0.15 870 = 130.5

    Potenciacin y radicacin

    Al producto de varios factores iguales se le llama potencia.

    222 =

    Base: nmero que se

    va a multiplicar por s

    mismo.

    Exponente: indica el

    nmero de veces que

    se multiplica la base.

    En general elevar a la n-sima potencia un nmero es la

    multiplicacin del nmero por si mismo n-veces.

  • 19

    Adems aa 1 ; si 0a 10 a y

    n

    na

    a

    1

    .

    Ejemplo: a) El nmero 2 elevado a la cuarta potencia es igual a

    16222224 .

    b) 81

    16

    3

    2

    3

    2

    3

    2

    3

    2

    3

    2

    3

    24

    44

    Obtener la raz cuadrada de un nmero es

    la operacin inversa de la potenciacin,

    es decir, dado un nmero se busca otro

    tal que al multiplicarlo por s mismo d como resultado al

    nmero original.

    Por ejemplo la raz cuadrada de 625 es 25, se denota 25625 ,

    ya que 6252525 22 .

    Nmeros con signo

    Al representar los nmeros en la recta numrica los nmeros

    positivos se colocan a la derecha del cero y a los nmeros

    negativos a la izquierda. El nmero cero no tiene signo.

    El valor absoluto de un nmero es la distancia del nmero al

    cero y se representa por .

    222

    Cuando sumamos dos nmeros con signo se presentan tres

    casos:

    Caso I Los sumandos son positivos:

    La suma es la convencional, ejemplos:

    3

    2

    12

    8

    12

    4

    6

    2,95.111.885.3,892267 .

    Caso II Los sumandos son negativos:

    La suma de dos nmeros negativos es un nmero negativo. En la

    recta numrica se representa la suma de dos nmeros

    negativos como dos segmentos que estn hacia la izquierda

    uno despus del otro, as que el resultado es un nmero

    negativo.

  • 20

    312

    Ejemplos:

    .3

    2

    12

    8

    12

    4

    6

    2

    ,95.111.885.3,892267

    Caso III Los sumandos son de diferente signo:

    En este caso los segmentos tienen diferentes direcciones.

    Obtenemos los valores absolutos, el valor es igual al valor

    absoluto mayor menos el menor valor absoluto, pero con el

    signo igual al del segmento es ms largo.

    132

    Ejemplos

    40

    19

    5

    3

    8

    1,24.501.225.7,112233

    .

    Las reglas para multiplicar y dividir nmeros con signos son: ))((

    ))((

    ))((

    ))((

    )()(

    )()(

    )()(

    )()(

    Hay que tener cuidado de no

    aplicar estas reglas para la suma.

    Por ejemplo:

    a) Al multiplicar -5 y 10 sabemos que 50105 . Aplicando la

    regla ))(( entonces 50105

    b) Al dividir -48 entre 12 tenemos que 41248 . Aplicando la

    regla )()( entonces 41248

    La agrupacin y la secuencia de las operaciones aritmticas se

    basan en los smbolos de agrupacin. Entre los smbolos de

    agrupacin se encuentran los parntesis ( ), corchetes [ ] y llaves

    { }.

    Ejemplo: Simplificar )}4(5)3(2{5

    15

    }206{3)}4(5)3(2{5

    15

    Se dividi )()( y

    multiplic los parntesis )()( )()(

    11143}14{3 Se elimin las llaves )()(

  • 21

    1156523

    551052510 116]850[2]8)52555[(2

    lgebra

    Expresiones algebraicas

    El lgebra es una rama de las matemticas en la que se usa

    smbolos para representar relaciones aritmticas.

    Los smbolos algebraicos se representan por nmeros, letras y

    signos que constituyen las diversas operaciones aritmticas.

    Una expresin algebraica contiene smbolos algebraicos:

    32 yx .

    Una variable representa cualquier nmero: x, y, s, t, etc.

    Las constantes representan un nico nmero: ,125,9

    7,5 4 .

    Un monomio o trmino es una expresin algebraica en la que

    no aparecen sumas ni restas, por ejemplo 533 bca .

    Un binomio consta de de dos trminos, por ejemplo 53 42

    1zxy .

    Un polinomio consta de dos o ms

    trminos.

    Dos o ms trminos son semejantes

    cuando tienen igual parte literal, es

    decir las mismas variables elevadas a los mismos exponentes.

    Por ejemplo, 57ab , 5

    7

    5ab y 509.23 ab son trminos semejantes.

    Leyes de los exponentes

    I. El producto de las potencias de igual base es otra potencia

    con la misma base y cuyo exponente es igual a la suma de

    los exponentes de los factores: yxyx bbb .

    II. El cociente de dos potencias de la misma base es otra

    potencia con la misma base y cuyo exponente es la

    diferencia del exponente del dividendo, menos el

    exponente del divisor: yx

    y

    x

    bb

    b .

  • 22

    III. La potencia de un producto es una potencia cuya base

    son los factores del producto elevados a la potencia

    indicada: xxx baab )( .

    IV. La potencia de una potencia es elevar la base a un

    exponente que es el producto del exponente de la base

    por el exponente de la potencia: xyyx aa

    Operaciones con polinomios

    Cuando se reducen trminos semejantes se obtiene otro

    trmino semejante cuya parte literal es la misma y el coeficiente

    es la suma o resta de los coeficientes de los trminos.

    Al efectuar la suma de dos polinomios se simplifican los trminos

    semejantes de ambos polinomios.

    En la resta de polinomios se antepone el signo - al

    sustraendo, es muy importante no olvidar multiplicar este signo

    por cada uno de los trminos del sustraendo.

    Ejemplos: zyxzxzyxyx 229722)72()103(2271023

    Para llevar a cabo el producto de monomios no es necesario

    que sean trminos semejantes, se multiplican sus coeficientes y

    su parte literal, siguiendo las leyes de los exponentes.

    Ejemplo: (-5x2y5) (2x3y2z) = (-5)(2) x2 x3 y5 y2z = -10x2 + 3 y5 + 2z = -

    10x5 y7z

    Para obtener el producto de un monomio por un polinomio el

    monomio debe multiplicarse por cada uno de los trminos del

    polinomio.

    Ejemplo:

    Para facilitar la multiplicacin de polinomios se coloca

    el multiplicando debajo el multiplicador como se

    muestra a la derecha.

    Ahora se obtiene el producto de cada trmino del multiplicador

    por el polinomio.

  • 23

    Productos notables y factorizacin

    Existen productos de expresiones algebraicas que siguen ciertas

    reglas y se conocen como productos notables, algunos casos

    son los siguientes:

    Productos notables Simbolizacin:

    Cuadrado de un

    binomio Suma ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

    Resta ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

    Binomios conjugados ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2

    Binomios con trmino comn ( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x +

    ab

    Ejemplos:

    a) En el caso de cuadrado de un binomio, los binomios son

    idnticos.

    9

    1

    3

    2

    3

    1

    3

    12

    3

    1 22

    2

    2

    xxxxx

    442)2(2)2( 2222 xxxxx

    Si x = 3 en la ltima, al sustituir 2541294)3(43)23( 22

    b) Los binomios conjugados tienen un trmino comn y otro

    simtrico.

    42)2)(2( 222 xxxx 49

    1

    7

    1

    7

    1

    7

    1 22

    2

    xxxx

    Si x = 1 en la ltima, al sustituir 49

    48

    49

    11

    7

    11

    7

    11

    7

    11

    2

    2

    c) Los binomios con un trmino comn tienen un trmino

    comn a, otros no comn b.

    1303)13)(10()1310()13)(10( 22 xxxxxx

    El proceso inverso de desarrollar una multiplicacin es la

    factorizacin. Factorizar un polinomio es representarlo como

    producto de dos o ms polinomios llamados factores, de tal

    modo que al multiplicarlos entre s se obtenga el polinomio

    original.

  • 24

    Factor Comn. Los factores comunes son aquellos trminos que

    aparecen multiplicando a todos los trminos de una expresin

    algebraica.

    Este primer caso se emplea en una expresin en la cual todos

    los trminos tienen un factor comn.

    Ejemplos: xyyxyx 2223 tiene como factor comn xy , luego

    )2(2 2223 xyxxyxyyxyx .

    ))(()()()()( bayxbaybaxbyaybxaxbyaybxax

    Trinomio cuadrado perfecto. Es de la forma 22 2 baba , para

    factorizar a este tipo de trinomio se procede como sigue:

    Se extrae la raz cuadrada exacta de

    los trminos elevados al cuadrado.

    14

    1816 2

    x

    xx

    Se obtiene el doble producto de las

    races encontradas. Se compara la

    expresin anterior con el segundo

    trmino, debe ser igual excepto tal vez

    por el signo.

    El producto es

    xx 8)1)(4(2 coincide el

    signo.

    Se factoriza como el cuadrado de la

    suma o diferencia de las races

    encontradas, dependiendo del signo

    del segundo trmino.

    22 )14(1816 xxx

    Ejemplos: 2224 )1(12 aaa , 22 )35(93025 xxx

    Diferencia de cuadrados. Un binomio es una diferencia de

    cuadrados siempre que los trminos tengan diferentes signos y

    ambos trminos tengan raz cuadrada exacta: 22 yx . Su

    factorizacin es igual al producto de la suma y la diferencia de

    las races de los trminos.

    Ejemplos: ))((22 yxyxyx ; )75)(75(4925 22 bababa ;

    aaaaaaaaaaa )1()1()1(121 2222222424

  • 25

    Trinomio de la forma x2 + bx +c. Los pasos para factorizarlo son:

    1. Obtener la raz cuadrada del

    primer trmino.

    x

    xx

    822

    2. Colocar dos parntesis y la raz

    encontrada. El primer parntesis

    lleva el primer signo y el segundo

    el producto de los dos.

    ))((822 xxxx

    ))((822 xxxx

    3. Buscar dos nmeros my n tales

    que cmn y bnm .

    4(2) = 8 y 4 2 = 2 Entonces c = 8 y b = 2

    4. Luego ))((2 nxmxcbxx . )2)(4(822 xxxx

    Ecuaciones

    Una ecuacin es una igualdad entre dos expresiones

    algebraicas. Por ejemplo: 85 x , yy 274 .

    Si en una ecuacin se modifica la expresin algebraica de

    algn extremo se tiene que hacer exactamente igual del otro.

    Por ejemplo en la ecuacin 52 x , al sumar -2 a ambos lados

    entonces 2522 x , es decir, 3x .

    El valor de la incgnita(x) es solucin de una ecuacin cuando

    hace cierta la ecuacin, por ejemplo en la ecuacin 3

    2

    3

    1m

    la solucin es 3

    1m ya que

    3

    2

    3

    1

    3

    1 .

    Propiedades de las igualdades:

    1. Si ba entonces

    cbca

    cbca esto es para cualquier

    nmero c .

    A la ecuacin 7.143.3 x , se le suma 3.3 en ambos lados:

    3.37.143.33.3 x

    180 x

    18x

    2. Si ba entonces

    0si c

    c

    b

    c

    abcac

  • 26

    En la ecuacin 75

    m

    , se multiplica por 5 ambos lados:

    )7(55

    5

    m

    35m

    3. Si ba entonces

    mm

    nn

    ba

    ba

    a) Sea la ecuacin 83 a , se obtiene la raz cbica de ambos

    lados: 33 3 8a , luego 2a

    b) En la ecuacin 5b se eleva al cuadrado ambos lados:

    22 5b , luego 25b . Otros ejemplos:

    4

    03

    04

    0)4(3

    x

    x

    x

    7

    11

    11387

    8)2(437

    24

    37

    x

    x

    x

    x

    6

    6

    1041615

    4161015

    416)23(5

    x

    x

    xx

    xx

    xx

    Las ecuaciones cuadrticas son de la forma 02 cbxax

    donde a , b y c son nmeros cualesquiera, estas ecuaciones

    tienen dos soluciones, en ocasiones no son nmeros reales. Las

    soluciones pueden ser iguales.

    Por ejemplo:

    a) Las soluciones de 062 xx son 21 x y 32 x pues

    06246)2()2( 2 06396332 .

    b) Luisa tiene un pedazo de cartn cuadrangular que mide 625

    cm2 de rea, cunto medir de lado?

    Si mide x de lado el cartn, la ecuacin a resolver es x2 = 625.

    Las soluciones son 25 y -25, como no existen distancias

    negativas, la respuesta a la pregunta es 25 cm.

    Existe una frmula llamada frmula general con la cual se

    resuelven las ecuaciones cuadrticas:

    Sea la ecuacin 02 cbxax entonces a

    acbbx

    2

    42

  • 27

    Ejemplos:

    Sea 0583 2 xx

    En este caso 3a , 8b , 5c

    )3(2

    )5)(3(4648

    2

    42

    a

    acbbx

    6

    28

    6

    48

    6

    60648

    16

    6

    6

    281

    x

    3

    21

    6

    10

    6

    282

    x

    Sea 0652 xx

    Entonces 1a , 5b , 6c

    )1(2

    )6)(1(425)5(

    2

    42

    a

    acbbx

    2

    15

    2

    15

    2

    24255

    32

    6

    2

    151

    x

    22

    4

    2

    152

    x

    En una ecuacin cuadrtica de la forma 02 cbxax se le llama

    discriminante a la expresin acbD 42 .

    Las soluciones de una ecuacin cuadrtica son:

    a) Si 042 acbD

    Soluciones reales

    iguales.

    b) Si 042 acbD

    Soluciones reales

    diferentes.

    c) Si 042 acbD

    Soluciones

    imaginarias.

    Modelacin de variacin mediante una tabla o una expresin

    algebraica

    Si el tringulo rectngulo 1 mide 0.5 cm de base

    y de altura; el tringulo 2 mide 1 cm. de base y

    de altura; y as sucesivamente.

    Cul es el rea del tringulo nmero 1?

    Ya que

    125.02

    25.0

    2

    5.05.0 , el rea es 0.125 cm 2.

    Cul es el rea del tringulo nmero 4?

    La base y la altura miden 4(0.5) = 2, ya que

    22

    22 , el rea es 2cm2.

    Cul es el rea del tringulo ensimo?

    La base y la altura del ensimo tringulo miden 0.5 n, luego el

    rea ser

    8125.0

    2

    25.0

    2

    5.05.0 222 n

    nnnn

    .

  • 28

    Todo lo anterior lo representa la siguiente tabla:

    Tringulo rea (cm2)

    1 0.125

    2 0.5

    ...

    n 8

    2n

    Funciones y grficas

    Funcin es aquella relacin en la que a cada elemento del eje

    de las x (dominio) le corresponde un nico elemento del eje de

    las y (contradominio).

    Ejemplos de grficas que no son funciones:

    a)

    b)

    En las grficas se

    puede observar

    una lnea punteada

    paralela al eje de

    las y .

    a) Al nmero 1 en

    el eje de las x le

    corresponden tres

    puntos del eje de

    las y , para ser

    funcin le debe

    corresponder slo

    uno.

    b) Igual que en el inciso anterior hay un punto del eje de las x al

    que le corresponden ms de un valor.

    Si al trazar rectas paralelas al eje de las y slo cortan la grafica

    en un punto esta s es funcin.

    Las grficas de las funciones tiene diferente nombre segn el

    tipo, slo veremos algunos ejemplos: recta, parbola e

    hiprbola.

  • 29

    Recta

    Su ecuacin tiene la forma

    bmxy donde m y b son

    constantes.

    Dos puntos distintos en el

    plano determinan una sola

    recta.

    Grfica de la funcin 2 xy

    Parbola

    Su ecuacin es de la forma

    baxy 2 , donde a y b son

    constantes.

    Grfica de la funcin 2xy

    Hiprbola

    Su ecuacin tiene la forma

    x

    ay donde a es una

    constante.

    Grfica de la funcin x

    y1

    Al punto de coordenadas donde la grfica de la parbola

    exactamente da la vuelta se le llama vrtice, en este caso el

    vrtice es (0,0). En este caso es un punto mnimo, pues el mnimo

    valor que la funcin toma en el eje de las y. En las rectas no hay

    mnimo ni mximo.

    En ocasiones para entender un fenmeno se traza una grfica

    que corresponde a una situacin, por ejemplo:

    Lus hizo las grficas correspondientes al tiempo (t) y a la

    distancia que existe (d) al trasladarse del crculo de estudio a su

    casa:

  • 30

    Lunes. Sali

    caminando a

    velocidad

    constante, luego

    descans un

    tiempo, despus

    camin cada vez

    ms espacio.

    Mircoles. Camin

    cada vez ms

    rpido y descans

    un pequeo rato,

    luego tom una

    velocidad

    constante.

    Viernes. Empez

    caminando a

    velocidad constante,

    se detuvo para

    descansar un tiempo,

    en seguida camino

    lento pero a

    velocidad constante.

    Sucesiones numricas y figurativas

    Se considera la siguiente sucesin de nmeros: 2, 4, 8, 16, 32,. A partir de esta informacin se obtuvo la siguiente tabla:

    Lugar 1 2 3 4 5 6 n

    Nmero 2 4 8 16 32 64

    Relacin 2 22 32 42 52 62 n2

    Se considera la siguiente sucesin:

    Se observa la siguiente tabla donde se obtiene el ensimo

    trmino.

    Nmero total

    de

    cuadrados

    932 1642 2552 2n

    Nmero de

    cuadrados

    sombreados

    1 422 932 3662

    Nmero de

    cuadrados

    blancos

    8132 1224 22 1635 22 22 )1( nn

  • 31

    Sistemas de ecuaciones lineales con dos incgnitas

    Una

    ecuacin

    lineal con:

    Una incgnita tiene la forma bax donde a,

    b son constantes.

    Dos incgnitas es de la forma cbyax

    donde a , b , c son constantes.

    Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas es de

    la forma

    222

    111

    cybxa

    cybxa, donde

    1a ,

    2a ,

    1b ,

    2b ,

    1c ,

    2c son constantes.

    En un sistema de dos ecuaciones al buscar su solucin se

    encuentran valores de las incgnitas que satisfagan ambas

    ecuaciones.

    Por ejemplo en el sistema de ecuaciones

    0

    4

    yx

    yx la solucin

    es 2,2 yx ya que 422

    4

    yx

    022

    0

    yx

    Grficamente un sistema de dos ecuaciones

    lineales representa dos rectas:

    Si se cruzan en un punto el sistema tiene solucin, este punto comn representa la

    solucin del sistema.

    Ejemplo

    1

    42

    yx

    yx

    Si estas son paralelas, es decir no tienen puntos en comn, no existe solucin.

    Ejemplo

    1

    066

    yx

    yx

  • 32

    Si estas coinciden en todos sus puntos entonces existen una infinidad de soluciones.

    Ejemplo

    2210

    15

    yx

    yx

    Existen varios mtodos elementales para resolver

    sistemas de ecuaciones, la solucin es independientemente del

    mtodo que se emplee.

    Mtodo grfico. Este mtodo consiste en despejar la variable y

    de las dos ecuaciones luego trazar sus grficas en el mismo

    sistema cartesiano.

    En el sistema de ecuaciones

    42

    1243

    yx

    yx.

    Se despeja la variable y

    22

    34

    3

    xy

    xy

    .

    Al tabular y trazar su representacin grfica queda as:

    a) b)

    x 34

    3

    xy y 2

    2

    xy

    -4 -6 -4 4

    0 -3 0 2

    4 0 4 0

    La solucin es 0,4 yx .

    Geometra

    Lneas paralelas y perpendiculares

    La palabra geometra proviene de los vocablos griegos geo-

    tierra y metron-medir, por lo que significa medida de la tierra. Un punto es un objeto geomtrico el cual da origen a todos los

    dems. No tiene tamao, pero s tiene posicin.

  • 33

    Lnea:

    sucesin

    continua

    infinita de

    puntos, no

    tiene ni

    origen ni fin.

    curva

    La direccin va

    cambiando de

    punto a punto.

    recta

    La direccin

    permanece

    constante.

    poligonal

    Formada solamente

    por segmentos de

    rectas unidas en sus

    extremos.

    mixta

    Si mezclan ambos

    tipos: rectas y

    curvas.

    Semirrecta o rayo es cada una de las partes que resultan de

    dividir la recta en un punto, las semirrectas tiene origen, pero no

    fin.

    Segmento es la parte de una recta comprendida entre dos

    puntos A y B.

    Longitud del segmento es la distancia entre sus extremos A y B.

    ngulos, mediatrices y bisectrices

    ngulo es la regin del plano comprendida

    entre dos rayos con origen comn, es decir

    parten de un mismo punto. A los dos rayos se les

    llama lados del ngulo y a su punto en comn

    se le llama vrtice. A los ngulos los denotaremos por el smbolo

    seguido de tres maysculas AOB.

    Un grado se obtiene al dividir la circunferencia en 360 partes

    iguales. Los ngulos se miden en grados.

    La magnitud de un ngulo no depende de la longitud de sus

    lados, sino de la abertura o separacin que hay entre ellos, es

    decir la medida de un ngulo indica la cantidad de abertura

    del interior del ngulo.

  • 34

    Los ngulos se clasifican segn su magnitud en:

    ngulos convexos

    ngulo llano

    ngulo perigonal

    Los ngulos se clasifican segn sus caractersticas:

    Al instrumento para medir o trazar ngulos se le

    llama transportador, es un medio crculo graduado

    de 0 a 180.

    La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular

    al segmento en el punto medio, los puntos de la

    mediatriz estn a igual distancia de los extremos

    del segmento.

    La bisectriz de un ngulo es la semirrecta que divide a un

    ngulo en dos ngulos iguales.

  • 35

    ngulos entre dos paralelas y una secante

    Rectas paralelas: rectas que no se cortan en el plano por ms

    que se prolonguen, no tienen puntos en comn.

    Rectas secantes:

    dos rectas que

    tienen un punto

    en comn.

    Rectas oblicuas: rectas no

    perpendiculares que se cortan en el

    plano

    Rectas perpendiculares: rectas que se

    cortan en el plano formando ngulos

    rectos.

    Dos ngulos no llanos son opuestos por el vrtice

    si al unir sus lados estos determinen dos rectas.

    En la figura los ngulos 1 y 3 son opuestos por el

    vrtice. Tambin lo son 2 y 4. Los ngulos 2 y 3 son

    suplementarios.

    Los ngulos opuestos por el vrtice tienen la misma medida.

    Ejemplo: En la figura la medida de AEB es 62. El

    ngulo 2 es opuesto a AEB , entonces 622 m .

    Se tiene que AEB y 1 son suplementarios por lo tanto 118621801 m . Tambin los ngulos 1 y 3 son

    opuestos por el vrtice entonces 1183 m .

    En la figura las rectas m y n son cortadas por

    una tercera recta l , esta ltima llamada

    transversal. Se determinan 8 ngulos: cuatro

    para m y la transversal; y cuatro para n y la

    transversal. Cualquier par de ngulos en

    posiciones similares con respecto a la

    transversal y a cada recta, son llamados ngulos

    correspondientes.

    En la figura pares de ngulos correspondientes son: 1 y 5; 2 y 6;

    3 y 7; 4 y 8.

    Cuando trazamos dos lneas paralelas y una

    secante los ngulos correspondientes son iguales:

    51 , 62 , 84 , 73 .

    Los ngulos internos son iguales: 64 , 35 .

  • 36

    Los ngulos externos son iguales: 71 , 82 .

    Polgonos, permetros y reas

    Un polgono es la porcin de plano limitada por una lnea

    poligonal cerrada. Los segmentos que los limitan se llaman lados

    y los extremos de los lados, vrtices. Los polgonos regulares son

    aquellos en los que la longitud de sus lados es igual.

    Los polgonos se clasifican por el nmero de sus lados.

    Nombre Nmero de

    lados Nombre

    Nmero de

    lados

    Tringulos 3 Octgonos 8

    Cuadrilteros 4 Nongonos 9

    Pentgonos 5 Decgonos 10

    Hexgono 6 Undecgono 11

    Heptgonos 7

    El permetro de un polgono es la longitud total de

    su contorno, es decir, la suma de sus lados. El

    permetro de la figura es igual a

    P = 654321

    LLLLLL

    El rea se puede interpretar como la medida del espacio

    ocupado por una regin. El rea de un polgono es la medida

    de su superficie.

    Nombre Permetro rea

    Tringulo 321lll ,

    321,, lll son los

    lados. 2

    hb, b es la base, h es

    la altura.

    Cuadrado l4 , l es el lado. 2l , l es el lado.

    Rectngulo 2122 ll , 21, ll son los

    lados.

    hb b es la base, h es la

    altura.

    Pentgono l5 , l es el lado. 2

    ap, p es el permetro,

    a es la apotema.

  • 37

    Paralelogramo 2122 ll ,

    21, ll son los

    lados.

    hb , b es la base, h es

    la altura.

    Trapecio 4321llll ,

    4321,,, llll

    son los lados.

    2

    hbB , B es la base

    mayor, b es la base

    menor, h es la altura.

    Tringulos

    Los tringulos son polgonos de tres lados. En un tringulo se

    consideran dos tipos de ngulos:

    ngulo interior: formado por

    dos lados.

    ngulos internos: a, b, c.

    ngulo exterior: formado por un

    lado y la prolongacin de otro.

    ngulos externos: A, B, C.

    Los tringulos se

    clasifican segn sus:

    lados

    Equilteros, sus tres lados iguales.

    Issceles, dos lados iguales.

    Escaleno, tres lados desiguales.

    ngulos

    Rectngulos, un ngulo recto.

    Acutngulos, tres ngulos agudos.

    Obtusngulos, un ngulo obtuso.

    El incentro es el punto de interseccin de las tres bisectrices de

    un tringulo.

    El circuncentro es el punto de interseccin de las tres

    mediatrices de un tringulo.

    Cuadrilteros

    Un cuadriltero es un polgono de cuatro lados, stos se

    clasifican por el paralelismo de sus lados en paralelogramos,

    trapecio y trapezoides.

  • 38

    Cu

    ad

    ril

    tero

    s

    Paralelogra

    mos: dos

    pares de

    lados

    paralelos.

    Rectngulo Tiene los cuatro ngulos iguales, es

    decir cuatro ngulos rectos.

    Cuadrado

    Tiene lados iguales y ngulos

    iguales.

    Tiene cuatro ngulos rectos, y por

    tanto es un rectngulo.

    Tiene cuatro lados iguales y en

    consecuencia es un rombo.

    Rombo Tiene los cuatro lados iguales.

    Trapecios:

    dos lados

    paralelos y

    los otros dos

    no.

    Rectngulo

    Tiene un lado perpendicular a las

    bases, es decir tiene dos ngulos

    rectos.

    Issceles Los lados no paralelos son iguales.

    Escaleno

    Nos referimos a los no rectngulos

    ni issceles, es decir sus lados no

    paralelos son de diferente tamao

    y ninguno es perpendicular a las

    bases.

    Trapezoide:

    Ningn lado

    paralelo.

    Cuadrilteros que no tienen lados paralelos.

    Crculo y circunferencia

    La circunferencia es el conjunto de puntos en un plano que

    equidistan, es decir, que estn a la misma distancia, de otro

    punto fijo llamado centro. El crculo es la regin del plano

    limitada por una circunferencia. El crculo es la superficie dentro

    de la circunferencia.

    a) La secante es una lnea recta que intersecta (toca) una

    circunferencia en dos puntos.

    b) La cuerda es un segmento cuyos puntos extremos son puntos

    del crculo.

    c) El radio es el segmento rectilneo que va

    del centro de la circunferencia a cualquiera

    de sus puntos.

    d) El dimetro es cualquier cuerda que

    pase por el centro y es equivalente a dos

    radios.

  • 39

    e) La tangente es la lnea recta que intersecta (toca) al crculo

    en exactamente un punto, es perpendicular al radio.

    f) Una lnea exterior es una recta tal que sta y la circunferencia

    no se cortan.

    El nmero Pi () es la constante que relaciona el permetro de una circunferencia con la amplitud de su dimetro:

    = permetro de la circunferencia dimetro 3.1416 La longitud de la circunferencia se calcula mediante la frmula

    rL , donde r es el radio. La frmula para calcular el rea de un crculo es 2rA . Ejemplo: Sea el crculo de cuyo dimetro es igual a 3.5 cm, al

    sustituir en la frmula:

    38.484612.251416.35.31416.3 22 rA . Su rea es igual a 38.4846 cm2.

    Suma de los ngulos interiores de un polgono

    En un polgono de n lados la suma de las medidas de sus

    ngulos internos esta dada por la frmula 180)2( n .

    Por ejemplo

    Nmero

    de

    lados

    Polgono ( n 2 ) 180 Suma de

    sus ngulos

    interiores

    3 Tringulo (3 2) 180 = 1 180 = 180 180

    4 Cuadriltero (4 2) 180 = 2 180 = 360 360

    5 Pentgono (5 2) 180 = 3 180 = 540 540

    Simetra axial y central

    Una transformacin geomtrica hace

    corresponder a cada punto P del plano otro

    punto P del plano.

    Un movimiento es una transformacin del

    plano tal que las figuras conservan su forma,

    ngulos, tamao, alturas, bisectrices.

    Los diferentes tipos de movimientos en el plano

    son: traslaciones, rotaciones o giros, simetra

    central y simetra axial.

  • 40

    La traslacin es un deslizamiento de la figura.

    Una rotacin o giro de centro O y ngulo es

    un movimiento de una figura tal que para

    todos los puntos A le corresponde otro punto A

    y OA = OA, AOA .

    Una figura es simtrica si podemos encontrar una

    lnea imaginaria que la corte en dos partes iguales.

    La lnea que divide una figura en dos partes iguales

    se llama eje de simetra.

    Una simetra axial de eje E es un movimiento que

    hace corresponder a cada punto P otro punto P tal

    que:

    a) La recta E es mediatriz del segmento PP.

    b) El segmento PP' es perpendicular a E.

    c) Los puntos P y P' estn a la misma distancia del eje

    E.

    La simetra central de una figura consiste en una

    rotacin de centro O (centro de la simetra) y ngulo

    de 180.

    Tringulos congruentes

    Dos figuras planas son congruentes cuando tienen la misma

    forma y las mismas dimensiones o el mismo tamao.

    Si los tres lados de un tringulo son

    congruentes con los tres lados de otro

    tringulo, entonces los dos tringulos son

    congruentes, se le denomina congruencia

    LLL (lado, lado, lado).

    Si dos lados y el ngulo (comprendido entre

    ellos) en un tringulo son congruentes con

    dos lados y el ngulo (comprendido entre

    ellos) en otro tringulo, entonces los

    tringulos son congruentes, congruencia LAL (lado, ngulo,

    lado).

  • 41

    Si dos ngulos y el lado entre ellos en un

    tringulo son congruentes con dos ngulos

    y el lado entre ellos en otro tringulo,

    entonces los tringulos son congruentes,

    congruencia ALA (ngulo, lado, ngulo).

    Semejanza

    Dos figuras son semejantes cuando cada una de sus partes es

    congruente respectivamente a las partes de la otra. A los

    elementos que se corresponden entre s cuando dos figuras son

    semejantes se les llama homlogos.

    Ejemplo: Los tringulos ABC y ABC son semejantes, en este caso A es homlogo de

    A, B es homlogo de B, C es homlogo de C, AB es homologo de ''BA .

    Cuando dos figuras son semejantes, a la razn de

    proporcionalidad entre sus lados se le acostumbra llamar razn

    de semejanza entre esas figuras. En el ejemplo anterior

    "''''' AC

    CA

    CB

    BC

    BA

    AB

    Si dos tringulos son semejantes, entonces los lados

    respectivos son proporcionales.

    La escala es la razn de proporcionalidad entre dos figuras.

    Si tres o ms paralelas determinan segmentos congruentes en

    una transversal, tambin determinan segmentos congruentes

    en cualquier otra transversal trazada sobre el

    mismo sistema de paralelas. Es decir si AB es

    paralela a CD , CD paralela a EF y AC

    congruente a CE entonces BD es congruente

    a DF .

    Teorema de Tales

    Si en un tringulo una recta es paralela a

    uno de sus lados, sta divide a los otros dos

    lados en segmentos proporcionales y los

    tringulos formados son semejantes.

    Si en el tringulo ABC tenemos que ''CB es

  • 42

    paralela a BC , entonces BC

    CB

    AC

    AC

    AB

    AB '''' , adems

    CC

    AC

    BB

    AB

    '

    '

    '

    ' .

    Ejemplos: a) La razn de semejanza entre dos tringulos es de 3

    1,

    el ms grande tiene medidas 3,6 y 12 cm., cules son las

    medidas del otro tringulo? Cada lado del tringulo grande es 3

    veces ms grande que los lados del otro tringulo por lo que sus

    medidas sern 1, 2 y 4 cm.

    b) Calculemos la longitud del segmento indicado:

    Tenemos que a

    5.1

    3

    1 , de aqu que 5.4

    1

    )5.1(3a de modo que

    cma 5.4 .

    Clasificacin de cuerpos geomtricos

    El espacio tiene tres dimensiones

    lineales: largo, ancho y altura.

    Los cuerpos geomtricos se clasifican

    de acuerdo a la forma de sus caras.

    Los poliedros tienen caras planas,

    estas son polgonos.

    Un prisma es un poliedro cuyas bases

    son polgonos regulares paralelos. Si

    las bases son tringulos, cuadrilteros o pentgonos, se les llama

    prismas triangulares, cuadrangulares o pentagonales

    respectivamente.

    Un cilindro tiene bases circulares paralelas.

  • 43

    Los cuerpos geomtricos se clasifican como:

    S

    lid

    os

    Poliedros

    Poliedros

    Irregulares

    Prisma recto, prisma trunco,

    paraleleppedo, pirmide

    hexagonal.

    Poliedros

    Regulares

    Tetraedro, hexaedro,

    octaedro, dodecaedro,

    Icosaedro.

    Revolucin

    Cilindros Cilindros rectos, cilindros

    oblicuos.

    Conos Conos inclinados, cono

    trunco inclinado.

    Esfricos Esfera, toro, tnel, elipsoide.

    Algunas redes de los cuerpos geomtricos ms importantes, que

    sirven para construir estos cuerpos, son:

    Paraleleppe

    do o prisma

    rectangular

    Pirmide

    hexagonal

    Cubo o

    hexaedro

    Tetraedro

    Cono trunco

    El volumen de un poliedro es el espacio que ocupa dicho

    cuerpo, el volumen se cuantifica en metros cbicos.

    La siguiente tabla muestra frmulas para calcular el volumen de

    algunos cuerpos geomtricos:

    Volumen (V) H = altura

    Ab = rea del polgono

    de la base

    R = radio de la esfera

    Prisma V = AbH

    Pirmide V = AbH/3

    Cilindro V = AbH

    Cono V = AbH/3

    Esfera V = 4(R3 ) /3

  • 44

    Ejemplo: Calcular el volumen del siguiente cuerpo geomtrico:

    a)

    El permetro de la base es

    2.116p = 67.2;

    el rea de la base es

    1682

    336

    2

    52.67

    2

    ap, y entonces el

    volumen es 8.3521.2168 hAvb

    .

    V = 352.8 cm3.

    b)

    V = 8812.296)5.10(3)1416.3( 22 cmcmhr cm3.

    Trigonometra

    En un tringulo rectngulo, a los lados

    que forman el ngulo recto se les

    llaman catetos y al otro lado

    hipotenusa.

    Teorema de Pitgoras. En todo tringulo rectngulo el cuadrado

    de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los

    cuadrados de las medidas de los catetos. Es decir 222 bac .

    En la figura muestra como se cumple el

    Teorema de Pitgoras en un tringulo

    rectngulo cuyas medidas son: 6, 8 y 10

    Ejemplos: Calcular la altura del tringulo

    siguiente:

    La altura A D es a la vez

    mediana y mediatriz, por lo

    tanto el punto D es el punto

    medio de BC.

    Tenemos que AC = 6 cm. (hipotenusa)

    DC = 3 cm (cateto)

    AD = ? (cateto, altura que se pide)

  • 45

    Luego 222 DCADAC

    222 36 AD

    936 2 AD

    279362 AD

    AD = 27 = 5.1; AD = 5.1 cm

    El cateto adyacente a un ngulo en

    un tringulo rectngulo es aquel lado

    del tringulo que tambin es lado del

    ngulo que no es la hipotenusa. El

    cateto opuesto a un ngulo en un

    tringulo rectngulo es aquel lado del tringulo que no es lado

    del ngulo.

    Las razones trigonomtricas ms importantes son:

    Razn Se define como: Se denota:

    Seno

    hipotenusa

    opuestocatetoseno

    c

    asenA

    Coseno

    hipotenusa

    adyacentecatetoeno cos

    c

    bcos

    Tangente

    adyacentecateto

    opuestocatetogente tan

    b

    aA tan

    El cateto opuesto del A es a y el cateto

    adyacente del A es b.

    Funciones del ngulo de 45 grados

    Sea un tringulo rectngulo con las siguientes medidas:

    7071.02

    145 sen

    7071.02

    145cos

    11

    145tan

    Funciones del ngulo de 60 y 30 grados

    Sea un triangulo con las siguientes medidas:

  • 46

    5.02

    130 sen 8660.0

    2

    360 sen

    8660.02

    330cos 5.0

    2

    160cos

    5774.03

    130tan 732.1

    1

    360tan

    Presentacin y tratamiento de la informacin

    Conteo

    Las herramientas que ms se usan para contar de cuantas

    diferentes formas puede realizar una actividad son los

    diagramas de rbol, el principio multiplicativo y las tablas.

    Los diagramas de rbol son arreglos, se le llama as porque tiene

    un tronco y varias ramas para categorizar la informacin, como

    el siguiente:

    Anglica quiere comprar

    un helado de dos

    sabores, existen tres

    sabores: fresa, vainilla y

    chocolate. De cuntas

    maneras distintas puede

    elegir?

    Existen seis formas

    diferentes.

    Fresa

    Vainilla

    Chocolate

    Fresa

    Vainilla

    Vainilla

    Chocolate

    Chocolate

    Fresa

    Sabores

    Fresa y vainilla

    Fresa y chocolate

    Vainilla y chocolate

    Vainilla y fresa

    Chocolate y fresa

    Chocolate y vainilla

    El principio multiplicativo dice:

    Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer

    otra cosa, hay m n formas de hacer ambas cosas.

    Al aplicar el principio multiplicativo en el ejemplo anterior:

    En primer lugar Anglica puede escoger tres

    sabores diferentes, despus podr escoger

    slo dos sabores distintos.

    Podr escoger 3 2 = 6 combinaciones

    diferentes.

  • 47

    Las tablas tambin organizan la informacin. Por ejemplo, se

    quieren coser flores en un mantel, se tienen que elegir hilos de

    color: rojo, rosa, blanco y morado, para la flor y los centros

    amarillo y anaranjado.

    Flor

    Centro de

    la flor

    Centro de la flor:

    amarillo

    Centro de la flor:

    anaranjado

    roja Flor roja centro

    amarillo

    Flor roja centro

    anaranjado

    rosa Flor rosa centro

    amarillo

    Flor rosa centro

    anaranjado

    blanca Flor blanca centro

    amarillo

    Flor blanca centro

    anaranjado

    morada Flor morada centro

    amarillo

    Flor morada centro

    anaranjado

    Frecuencia absoluta y relativa

    Analizando series de datos (edad de una poblacin, altura de

    los estudiantes de una escuela, temperatura en los meses de

    verano, etc.) e interpretando la informacin se calculan

    resultados probables de manera confiable y se trata de extraer

    conclusiones sobre el comportamiento de estas variables. En

    estadstica hay variables cualitativas y variables cuantitativas

    Se le llama:

    Individuo: cualquier elemento del fenmeno que se estudia;

    Poblacin: conjunto de todos los individuos del fenmeno que

    se estudia;

    Muestra: subconjunto que es seleccionado de la poblacin.

    Las tablas son arreglos de filas y columnas en donde cada

    cruce de una fila con una columna nos da la informacin sobre

    algo.

    La frecuencia absoluta de una variable es el nmero de veces

    que aparece el valor correspondiente en la muestra. La suma

    de las frecuencias absolutas es igual al total de datos de la

    muestra.

    La frecuencia relativa de una variable es la frecuencia absoluta

    entre el nmero total de la muestra. La suma de las frecuencias

    absolutas es igual a 1.

  • 48

    Por ejemplo:

    Al medir la altura de los nios de una clase se obtuvo los

    resultados (m):

    Alumnos Estatura Alumnos Estatura Alumnos Estatura

    Alumno 1 1.25 Alumno 11 1.23 Alumno 21 1.21

    Alumno 2 1.28 Alumno 12 1.26 Alumno 22 1.29

    Alumno 3 1.27 Alumno 13 1.30 Alumno 23 1.26

    Alumno 4 1.21 Alumno 14 1.21 Alumno 24 1.22

    Alumno 5 1.22 Alumno 15 1.28 Alumno 25 1.28

    Alumno 6 1.29 Alumno 16 1.30 Alumno 26 1.27

    Alumno 7 1.30 Alumno 17 1.22 Alumno 27 1.26

    Alumno 8 1.24 Alumno 18 1.25 Alumno 28 1.23

    Alumno 9 1.27 Alumno 19 1.20 Alumno 29 1.22

    Alumno 10 1.29 Alumno 20 1.28 Alumno 30 1.21

    Al estructurar la informacin se obtiene la siguiente tabla de

    frecuencia:

    Variable Frecuencia

    (Valor) Absoluta Relativa Porcentaje

    1.20 1 30

    1 3.3%

    1.21 4 30

    4 13.4%

    1.22 4 30

    4 13.4%

    1.23 2 30

    2 6.6%

    1.24 1 30

    1 3.3%

    1.25 2 30

    2 6.6%

    1.26 3 30

    3 10.0%

    1.27 3 30

    3 10.0%

    1.28 4 30

    4 13.4%

    1.29 3 30

    3 10.0%

    1.30 3 30

    3 10.0%

    Totales 30 1 100%

  • 49

    La frecuencia absoluta de 1.28 es 4 y la frecuencia relativa es

    30

    4.

    Grficas

    Las grficas de variacin son imgenes que permiten visualizar

    las semejanzas y diferencias que existen entre los datos, lo

    importante es que muestren los datos de una manera clara y

    til. Las grficas pueden ser de barras, de sectores circulares o

    polgonos de frecuencias, entre otras.

    22

    53 55

    30

    70

    0

    10

    20

    30

    40

    50

    60

    70

    80

    30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79

    1

    2

    3

    0

    10

    20

    30

    40

    50

    60

    70

    80

    1 2 3 4

    Serie1 Serie2

    Polgono de

    frecuencias

    Grfica de sectores

    circulares Grfica de barras

    Las grficas de barra, poligonal y sector circular del ejemplo

    anterior serian:

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    3.5

    4

    4.5

    1.2 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.3

    Si los valores que toma la variable son muy diversos y cada uno

    de ellos se repite muy pocas veces, entonces conviene

  • 50

    agruparlos por intervalos, pues obtendramos una tabla de

    frecuencias muy extensa.

    Veamos un ejemplo:

    Calificacin Nmero de

    alumnos

    clases Frecuencia

    Absoluta

    Marca de

    clase

    0 0

    0 - 2 3 1 1 1

    2 2

    3 1 3 - 4 3 3

    4 2

    5 3 5 - 6 8 5

    6 5

    7 8 7 - 8 15 7

    8 7

    9 5 9 - 10 8 9

    10 3

    Total 37

    Medidas de posicin central

    Las medidas de posicin central dan informacin y diversas

    caractersticas sobre la serie de datos que se analizan. Las

    principales medidas de posicin central son las siguientes:

    La media aritmtica o promedio ( x ) es la suma de todos los valores de la variable entre el total de datos de la muestra.

    La mediana es el valor de la serie de datos que se sita

    justamente en el centro de la muestra. sta se calcula

    ordenando los datos y se toma el dato central.

    La moda es el valor que ms se repite en la muestra.

    Ejemplo: Calcular el promedio, la mediana y la moda de los

    datos: 13, 15, 17, 22,13, 28.

    186

    108

    6

    28132217 15 13

    x

    La mediana de esta muestra es 16 pues es el promedio de los

    datos centrales: 13, 13, 15, 17, 22, 28

    La moda es 13.

  • 51

    Probabilidad

    Un evento es determinista cuando se conoce el resultado an

    antes de realizarlo, por ejemplo al lanzar una moneda al aire

    tendr que caer.

    Un experimento es aleatorio si no se conoce de antemano el

    resultado que obtendremos, por ejemplo al lanzar una moneda

    al aire no se sabe si caer guila o sol. En ste ejemplo no se

    puede saber el resultado final, pero si determinar cules son los

    resultados posibles: guila y sol.

    Al conjunto de resultados posibles se le denomina espacio

    muestral, y a cada uno de esos resultados se llama muestra o

    valor muestral.

    Ejemplos de espacios muestrales:

    a) Al lanzar un dado tenemos 6 casos posibles: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

    b) Si lanzamos una moneda y un dado los casos posibles son 12:

    (A,1), (A,2), (A,3), (A,4),(A,5), (A,6), (S,1), (S,2), (S,3), (S,4),(S,5),

    (S,6), donde A es guila y S es sol.

    Una forma grfica para obtener todos los resultados posibles y

    favorables son los diagramas de rbol.

    El siguiente diagrama de rbol corresponde al ejemplo anterior

    inciso b):

    A S

    1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 65

    (A,1) (A,2) (A,3) (A,4) (A,5) (A,6) (S,3)(S,2)(S,1) (S,4) (S,5) (S,6) La probabilidad es el estudio y determinacin de la posibilidad

    de obtener uno o varios resultados favorables en un

    experimento aleatorio. La probabilidad terica de un evento se

    expresa como:

  • 52

    Probabilidad de un evento = casosdetotalNmero

    favorablescasosdeNmeros

    Ejemplo: La probabilidad de lanzar un dado y obtener un

    nmero par es 2

    1, pero

    100

    505.0

    2

    1 , es decir al lanzar un dado

    hay 50% de posibilidades que sea un nmero par.

    La probabilidad de un evento tiene valores entre 0 (0%) y 1

    (100%), si la probabilidad es igual a un nmero muy cercano a 0

    (0%) significa que el evento es poco probable, pero si el valor de

    la probabilidad es igual a un nmero muy cercano a 1 (100%)

    entonces el evento es muy probable.

    Ejemplos:

    Al lanzar un

    dado al aire la

    probabilidad

    de obtener un

    1 es 6

    1.

    nmero par es 5.02

    1

    6

    3 .

    nmero mayor de 0 es 16

    6 .

    7 es 06

    0 , ste es un evento imposible.

    Retomando el

    inciso b) del

    ejemplo anterior:

    al lanzar una

    moneda y un

    dado la

    probabilidad de

    Que caiga sol es 5.02

    1

    12

    6 .

    Que caiga guila y nmero par es

    25.04

    1

    12

    3 .

  • 53

    Habilidad lgico-matemtica

    1. A qu es igual un caracol?

    Respuesta:

    Un caracol es igual a medio gallo

    Un gallo es igual a tres peces

    Tres peces son seis ratones

    Tres ratones son medio gallo

    Un caracol es igual a tres ratones.

    2. Cuntas cerezas halle?

    A un cerezo yo sub

    Donde cerezas haba

    Y cerezas no cog,

    Y cerezas no deje.

    Respuesta: ninguna.

    3. Cuntos animalitos tengo?

    Si todos son perros menos dos,

    Todos son gatos menos dos,

    Todos son gorriones menos dos.

    Respuesta:

    tres, un perro un gato y un

    gorrin.

    4. Cul es la figura que completa la serie siguiente?

    a)

    b)

    c)

    d)

    La respuesta es la del inciso d.

  • 54

    5. Cul es el nmero que falta en el siguiente crculo?

    La respuesta correcta es 100

    6. Seleccionar la figura correcta entre las 4 numeradas

    a)

    b)

    c)

    d)

    La respuesta es la del inciso a.

    7. Observa la siguiente serie de objetos y seala la respuesta correcta

    D M J S L

    a)

    M b)

    V c)

    L d)

    D La respuesta es la del inciso a.

  • 55

    8. Selecciona la figura correcta entre las 4 numeradas:

    a)

    b)

    c)

    d)

    La respuesta es la del inciso b.

    9. Seleccionar la figura correcta entre las 4 numeradas

    a)

    b)

    c) d)

    La respuesta es la del inciso c.

  • 56

    10. Qu opcin corresponde a un giro de la figura siguiente?

    a)

    b)

    c)

    d)

    La respuesta es la del inciso d.

    11. Qu nmero completa la siguiente serie?

    625, 25, 5, 1, ____

    a) 10

    1

    b)

    4

    1

    c)

    5

    1

    d)

    3

    1

    La respuesta es la del inciso c.

    12. Qu nmero completa la siguiente serie?

    1.9, 2.8, ____, ____, 5.5, 6.4, 7.3

    a) 3.7, 4.6

    b) 3.6, 4.7 c) 3.8, 4.6 d) 3.5 , 4.8

    La respuesta es la del inciso a.

    13. Un nio tiene el mismo nmero de hermanas que de hermanos, y

    una de sus hermanas tiene la mitad de hermanas que de hermanos.

    Cuntos nios hay en la familia? Cuntos son hombres y cuntas

    mujeres?

    a) 5, 3

    hombres y

    2 mujeres

    b) 4, 2

    hombres y

    2 mujeres

    c) 7, 4

    hombres y

    3 mujeres

    d) 7, 3

    hombres y 4

    mujeres

    La respuesta es la del inciso c.