MATHÉMATIQUE

premier cycle Calcul infinitésimal

J. Dieudonné

deuxième cycle Calcul différentiel

H. Cartan Formes différentielles

H. Cartan Théorie algébrique des nombres

P. Samuel

troisième cycle Représentations linéaires des groupes finis

J.-P. Serre Géométrie différentielle et mécanique analytique

C. Godbillon

G É O M É T R I E

DIFFÉRENTIELLE ET MÉCANIQUE

ANALYTIQUE

Collection Méthodes

I Algèbre des formes extérieures

II Fibrés vectoriels

III Variétés différentiables

IV Calcul différentiel et intégral sur les variétés

v Equations et systèmes différentiels sur les variétés VI

Système caractéristique et classe d'une forme différentielle

G É O M É T R I E D E

E T M I É C A N T I Q U E

C L A U

F F É R E N T I E L L E

E A N A L Y T I Q U E

D E G O D B I L L O N

VII Systèmes hamiltoniens et structures de contact

VIII Formes invariantes - Invariants intégraux

IX Deuxième fibré tangent

x Calcul différentiel sur les espaces tangents XI

Mécanique analytique

Hermann Paris

Collection Méthodes

CLAUDE GODBILLON, maître de conférences à la Faculté des sciences de Paris-Orsay, est né en 1937 à Ecueil, Marne. Ses travaux de recherche portent principalement sur la théorie des feuilletages et l'étude qualitative globale des systèmes différentiels. LE MANUSCRIT a été reçu le 15 novembre 1968. L'ouvrage a été achevé d'imprimer

1 le 28 mars 1969.

© HERMANN, PARIS 1969 Tous droits de reproduction, même fragmentaire, sous quelque forme que ce soit, y compris photographie, photocopie, microfilm, bande, disque, ou autre, réservés pour tous pays.

à Christiane qui n'a pas ménagé sa peine

TABLE

Avertissement 13 Introduction " 15

I. ALGÈBRE DES FORMES EXTÉRIEURES

1. Dualité et orthogonalité 17 2. Formes extérieures 19 3. Produit tensoriel 21 4. Produit extérieur 23 5. Algèbre des formes extérieures 24 6. Produit intérieur 25 7. Système associé et rang d'une forme extérieure 27 8. Formes extérieures de degré 2 30 A. Orientation des espaces vectoriels réels 33

II. FIBRES VECTORIELS

1. Fibrés localement triviaux 35 2. Fibrés vectoriels 39 3. Fibrés associés 47 4. Sous-fibrés. Fibrés quotients. Somme de Whitney 51

III. VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

1. Structures différentiables 57 2. Applications différentiables 61 3. Variétés produits. Fibrés vectoriels différentiables 66 4. Fibré tangent 68 5. Rang d'une application. Sous-variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 6. Champs de vecteurs 75 7. Formes différentielles 81 A. Structures riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

IV. CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL SUR LES VARIÉTÉS

1. Dérivations et antidérivations 87 2. Différentiation extérieure 90 3. Dérivation de Lie 93 4. Intégration des formes différentielles 94

V. ÉQUATIONS ET SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS SUR LES VARIÉTÉS

1. Intégration des champs de vecteurs 99 2. Groupes à un paramètre et dérivations 104 3. Systèmes différentiels 107 4. Systèmes de Pfaff 109

VI. SYSTÈME CARACTÉRISTIQUE ET CLASSE D'UNE FORME DIFFÉRENTIELLE

1. Système caractéristique et classe 113 2. Champs de vecteurs et formes caractéristiques 115 3. Formes différentielles de classe constante 116 4. Modèles locaux des formes différentielles de degrés 1 et 2 118

VII. SYSTÈMES HAMILTONIENS ET STRUCTURES DE CONTACT

1. Variétés symplectiques 123 2. Crochet de Poisson 125 3. Systèmes hamiltoniens 128 4. Intégrales premières des systèmes hamiltoniens 131 5. Structures de contact 135

VIII. FORMES INVARIANTES. INVARIANTS INTÉGRAUX

1. Formes invariantes 139 2. Formes volumes invariantes 141 3. Invariants intégraux absolus 143 4. Invariants intégraux relatifs 145 5. Relations intégrales d'invariance 147

IX. DEUXIÈME FIBRÉ TANGENT

1. Fibré tangent à un fibré vectoriel 149 2. Deuxième fibré tangent 153 3. Équations différentielles du second ordre ..................... 156

X. CALCUL DIFFÉRENTIEL SUR LES ESPACES TANGENTS

1. Endomorphisme vertical 159 2. Dérivation verticale 161 3. Différentiation verticale 163 4. Formes différentielles semi-basiques 165 5. Formes différentielles homogènes 167

XI. MÉCANIQUE ANALYTIQUE

1. Systèmes mécaniques 169 2. Systèmes lagrangiens 174 3. Transformation de2Legendre 176 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Index .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

AVERTISSEMENT

On a déjà plusieurs Traités de Mécanique, mais le plan de celui-ci est entièrement neuf. Je me suis proposé de réduire la théorie de cette Science, et l'art de résoudre les problèmes qui s'y rapportent, à des formules générales, dont le simple développement donne toutes les équations nécessaires pour la solution de chaque problème. Cet Ouvrage aura d'ailleurs une autre utilité; i l r é u n i r a e t p r é s e n t e r a s o u s u n m ê m e p o i n t d e

v u e , l e s d i f f é r e n s p r i n c i p e s t r o u v é s j u s q u ' i c i

p o u r f a c i l i t e r l a s o l u t i o n d e s q u e s t i o n s d e

M é c a n i q u e , e n m o n t r e r a l a l i a i s o n e t l a d é p e n -

d a n c e m u t u e l l e , e t m e t t r a à p o r t é e d e j u g e r d e l e u r

j u s t e s s e e t d e l e u r é t e n d u e .

J e l e d i v i s e e n d e u x P a r t i e s ; l a S t a t i q u e o u

l a T h é o r i e d e l ' É q u i l i b r e , e t l a D y n a m i q u e o u

l a T h é o r i e d u M o u v e m e n t ; e t d a n s c h a c u n e d e c e s

P a r t i e s , j e t r a i t e s é p a r é m e n t d e s C o r p s s o l i d e s

e t d e s F l u i d e s .

O n n e t r o u v e r a p o i n t d e F i g u r e s d a n s c e t O u v r a g e .

L e s m é t h o d e s q u e j ' y e x p o s e n e d e m a n d e n t n i

c o n s t r u c t i o n s , n i r a i s o n n e m e n s g é o m é t r i q u e s o u

m é c a n i q u e s , m a i s s e u l e m e n t d e s o p é r a t i o n s a l g é -

b r i q u e s , a s s u j e t i e s à u n e m a r c h e r é g u l i è r e e t

u n i f o r m e . C e u x q u i a i m e n t l ' A n a l y s e , v e r r o n t

a v e c p l a i s i r l a M é c a n i q u e e n d e v e n i r u n e n o u v e l l e

b r a n c h e , e t m e s a u r o n t g r é d ' e n a v o i r é t e n d u

a i n s i l e d o m a i n e .

J. L. LAGRANGE Mécanique Analytique, 1811

INTRODUCTION

Les leçons d'Élie Cartan sur les invariants intégraux, qui gardent encore une étonnante actualité, marquent les débuts de ce qu'on peut appeler la mécanique analytique moderne : y apparaissent en effet pour la première fois des formulations intrinsèques, et non variationnelles, des équations de la dynamique. Plus récemment les travaux de MM. A. Lichnérowicz, F. Gallissot, J. Klein, ont clairement mis en évidence que la géométrie différentielle était le cadre naturel où se situaient les fondements de la mécanique analytique. Le premier apport de ce formalisme géométrique est une distinction très nette entre l'aspect hamiltonien de la mécanique et son aspect lagrangien. Certes on connaît depuis longtemps la « covariance » des équations de Hamilton et la « contravariance » des équations de Lagrange. On inter- prète aujourd'hui les premières comme un système dynamique sur l'espace cotangent à la variété de configuration, et les secondes comme un système dynamique sur l'espace tangent à cette variété. L'aspect hamiltonien est lié à l'existence sur un espace cotangent d'une structure symplectique canonique déterminée par la forme de Liouville. Les techniques du calcul différentiel sur les variétés permettent alors en suivant les idées d'Élie Cartan d'obtenir une formulation intrinsèque des équations de Hamilton. On peut ensuite, comme l'a montré F. Gallissot, interpréter géométriquement les résultats classiques sur les intégrales premières et les cas d'intégrabilité. L'aspect lagrangien est plus complexe. Il est lié, d'après J. Klein, à l'exis- tence sur un espace tangent d'un calcul différentiel plus riche que celui d'une variété différentiable quelconque. En utilisant la structure géomé- trique de cet espace on peut en effet définir des opérateurs différentiels qui, toujours par des techniques de géométrie symplectique, conduisent aux équations de Lagrange d'un système mécanique. Le lien entre ces deux aspects est enfin assuré par la transformation de Legendre qui, en quelque sorte, les met en dualité.

La première partie de ce livre est un exposé de géométrie différentielle couvrant une partie du programme du certificat C.3 : calcul extérieur, fibrés vectoriels, variétés différentiables, calcul différentiel et intégral sur les variétés. On ne suppose connus que des éléments d'algèbre linéaire, de topologie générale et de calcul différentiel local (tels par exemple qu'ils sont enseignés dans la première année de maîtrise). La seconde partie est consacrée à la mécanique analytique. Elle comporte de plus une étude de la classe des formes différentielles ainsi qu'un exposé de la géométrie des espaces tangents et de leur calcul différentiel.

Ce livre a son origine dans une série d'exposés faits en 1967 à Strasbourg dans le cadre du séminaire trajectorien. L'intérêt porté à cette étude par M. P. Cartier fut alors décisif pour sa publication. L'auteur a eu par ailleurs avec MM. G. Reeb et J. Martinet de nombreuses conversations qui lui ont été fort utiles pour la préparation du manuscrit.

Strasbourg, février 1968.

CHAPITRE 1

Algèbre des formes extérieures

Dans les paragraphes 1, 2 et 3 A désigne un anneau commutatif unitaire. Dans les paragraphes 4, 5 et 6 on suppose de plus que A est une algèbre unitaire sur le corps Q des rationnels. Enfin dans les paragraphes 7 et 8 A désigne un corps commutatif de caractéristique nulle. Tous les modules sont des modules unitaires sur A.

1. Dualité et orthogonalité 1.1 DÉFINITION. Soient (E)1≤≤ et F p + 1 modules. Une application α : E1 × · · · × E → F est une application multilinéaire si quels que soient l'indice i et les éléments e ∈ E , j ≠ i, l'application

x ↦ α (ex, ei+l, ..., e) est une application linéaire de E dans F. On dit aussi application bilinéaire lorsque p = 2, et forme multilinéaire lorsque F = A. Si El = • • • = Ep = E et F = A, on dit que α est une forme multilinéaire de degré p sur E. L'ensemble LP(E) des formes multilinéaires de degré p sur E est cano- niquement muni d'une structure de module sur A.

1.2 Soit h une application linéaire d'un module E dans un module F et soit a un élément de LP(F) ;

h* a : (e1, ..., e) ↦ α(he1, hep) est une forme multilinéaire de degré p sur E : h* α est la forme image réciproque de α par h. L'application h* est une application linéaire de LP(F) dans LP(E). Si k est une application linéaire de F dans un module G on a (k 0 h) * — h* o k* ; si h est l'application identique de E h* est l'application identique de LP(E). Par conséquent si h est un isomorphisme de E sur F h* est un isomorphisme de LP(F) sur LP(E), et on a (h*)-l = (h-1)*.

1.3 DÉFINITION. Soit E un module; le module E* = Ll(E) est appelé le dual de E.

Si e est un élément de E et α un élément de E*, on désigne par ⟨e, α⟩ la valeur α(e) de α sur e; (e, α) ↦ ⟨e, α⟩ est la forme bilinéaire canonique sur E x E*.

1.4 Si (e)1≤i≤ est une base de E on définit des éléments ε de E* par = δ . Ces éléments forment une base de E* : (ε)1≤≤ est la

base duale de la base (e). En particulier si A est un corps, et si E est un espace vectoriel de dimension finie sur A, E et E* ont même dimension.

1.5 PROPOSITION. Soit G un module libre. Si la suite est exacte il en est de même de la suite 0 -> G* F* E* -> 0.

Démonstration. Rappelons tout d'abord que l'exactitude de la suite correspond aux hypothèses suivantes :

— h est une application linéaire injective, — k est une application linéaire surjective, — l'image de h est égale au noyau de k (Im.h = Ker.k). On démontre facilement (sans hypothèse sur G) que k* est injective et que Im.k* = Ker.h*. Soit (g)∈I une base de G et soit une famille d'éléments de F tels que k(f i) = g pour tout i. Le module F est somme directe de l'image de h et du sous-module G' engendré par la famille (f)∈I. Un élément α de E* détermine une forme linéaire sur h(E), et cette forme se prolonge (par exemple en lui donnant la valeur 0 sur G') en une forme linéaire β sur F. On a alors h*β = α; ce qui montre que h* est surjective. c.q.f.d.

1.6 DÉFINITION. Soit E un module; le dual E** de E* est appelé le bidual de E. Pour tout élément e de E l'application α ↦ ⟨e, α⟩ est une forme linéaire ẽ sur E*; et e↦ ẽ est une application linéaire de E dans E**.

1.7 PROPOSITION. Si E possède une base finie l'application e ↦ ẽ est un isomorphisme de E sur E**.

Démonstration. Soit une base de E et soit (ε)1≤≤ la base duale de E*.

Si e = est un élément de E tel que ë = 0, on a (e, = a = 0 pour tout i; et par conséquent ẽ = 0. Si ω est une forme linéaire sur E* l'élément e = ∑ω(ε)e de E vérifie (e, ε⟩ = ω(ε) pour tout i; on a donc co = ë. c.q.f.d.

Directement issue de la réforme de l'enseignement, la collection Méthodes offre à l 'étudiant et au chercheur des livres nouveaux. Les auteurs de cette collection ont la double vocation de chercheurs et d'enseignants; aussi leurs livres donnent-ils l'exposé le plus à jour des questions traitées, avec une présentation pédagogique expérimentée et attrayante. Cette synthèse permet au lecteur, dans chaque discipline et à chaque niveau, d'accéder aux stades les plus avancés de la connaissance en percevant l'ensemble du sujet de façon claire et en étant informé des développements en cours.

Mathématique CALCUL DIFFÉRENTIEL, H. Cartan FORMES DIFFÉRENTIELLES, H. Cartan CALCUL INFINITÉSIMAL, J. Dieudonné

| GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE ET MÉCANIQUE ANALYTIQUE, C. Godbillon THÉORIE ALGÉBRIQUE DES NOMBRES, P. Samuel REPRÉSENTATIONS LINÉAIRES DES GROUPES FINIS, J.-P. Serre

Outils mathématiques de la physique et de la chimie SÉRIES, J. Kuntzmann

VARIABLE COMPLEXE, J. Kuntzmann SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS, J. Kuntzmann

[ PROBABILITÉS, B. Vauquois " ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, B. Vauquois. En préparation

Les méthodes sont les habitudes de l'esprit et les économies de la mémoire

Rivarol

Hermann éditeurs des arts, 115, bd St-Germain, Paris VI

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