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Dispensa di Matematica per la classe 4. C
Anno scolastico 2017-2018
GONIOMETRIA E
TRIGONOMETRIA
Nome e Cognome:
2
CIRCONFERENZA GONIOMETRICA
In un triangolo rettangolo con ipotenusa 1 e angolo 𝛼
i due cateti sono 𝐬𝐢𝐧 𝜶 e 𝐜𝐨𝐬 𝜶.
In una circonferenza di raggio 1 disegniamo un angolo 𝛼.
La lunghezza della circonferenza è 2𝜋.
La lunghezza dell’arco di circonferenza è l’angolo 𝜶 in radianti.
La circonferenza goniometrica è una circonferenza di raggio 1
e centro nell’origine del piano 𝑥𝑂𝑦.
1) la distanza tra P e O è sempre 1 |𝑂𝑃| = 1
2) il punto P ha coordinate 𝑷(𝐜𝐨𝐬 𝜶 ; 𝐬𝐢𝐧 𝜶)
3) la parte verde è il coseno di alfa
4) la parte blu è il seno di alfa
5) la parte rossa è la tangente di alfa
GUARDA SU INTERNET IL FILE SIN COS TAN
La tangente di un angolo è 𝐭𝐚𝐧 𝜶 =𝐬𝐢𝐧 𝜶
𝐜𝐨𝐬 𝜶.
Il significato grafico è il segmento ET: 𝐭𝐚𝐧 𝜶 = |𝑬𝑻|
1) |𝑂𝑃| = |𝑂𝐸| = 1 |𝑂𝐷| = cos 𝛼 |𝐷𝑃| = sin 𝛼
2) Nel triangolo ODP: 𝐭𝐚𝐧 𝜶 =𝑙𝑎𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑙𝑎𝑡𝑜 𝑣𝑖𝑐𝑖𝑛𝑜=
𝐬𝐢𝐧 𝜶
𝐜𝐨𝐬 𝜶
3) Nel triangolo OET: 𝐭𝐚𝐧 𝜶 =𝑙𝑎𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑙𝑎𝑡𝑜 𝑣𝑖𝑐𝑖𝑛𝑜=
|𝐸𝑇|
1= |𝑬𝑻|
4) I risultati sono uguali: |𝑬𝑻| =𝐬𝐢𝐧 𝜶
𝐜𝐨𝐬 𝜶
3
CIRCONFERENZA GONIOMETRICA Angolo 0°, 0 radianti
oppure 360°, 2𝜋
𝑃(1,0) 𝐜𝐨𝐬 𝟎 = 𝟏
𝐬𝐢𝐧 𝟎 = 𝟎 𝐭𝐚𝐧 𝟎 = 𝟎
30°, 𝜋
6 radianti
APO è equilatero
𝑃 (√3
2,
1
2) 𝐜𝐨𝐬
𝝅
𝟔=
√𝟑
𝟐
𝐬𝐢𝐧𝝅
𝟔=
𝟏
𝟐 𝐭𝐚𝐧
𝝅
𝟔=
√𝟑
𝟑
45°, 𝜋
4 radianti
APCO è un quadrato
𝑃 (√2
2,
√2
2) 𝐜𝐨𝐬
𝝅
𝟒=
√𝟐
𝟐
𝐬𝐢𝐧𝝅
𝟒=
√𝟐
𝟐 𝐭𝐚𝐧
𝝅
𝟒= 𝟏
60°, 𝜋
3 radianti
come 30° ma “in piedi”
𝑃 (1
2,
√3
2) 𝐜𝐨𝐬
𝝅
𝟑=
𝟏
𝟐
𝐬𝐢𝐧𝝅
𝟑=
√𝟑
𝟐 𝐭𝐚𝐧
𝝅
𝟑= √𝟑
90°, 𝜋
2 radianti
𝑃(0,1) 𝐜𝐨𝐬𝝅
𝟐= 𝟎
𝐬𝐢𝐧𝝅
𝟐= 𝟏 𝐭𝐚𝐧
𝝅
𝟐= ∄
120°, 2𝜋
3 radianti
𝑃 (−1
2,
√3
2) 𝐜𝐨𝐬
𝟐𝝅
𝟑= −
𝟏
𝟐
𝐬𝐢𝐧𝟐𝝅
𝟑=
√𝟑
𝟐 𝐭𝐚𝐧
𝟐𝝅
𝟑= −√𝟑
135°, 3𝜋
4 radianti
𝑃 (−√2
2,
√2
2) 𝐜𝐨𝐬
𝟑𝝅
𝟒= −
√𝟐
𝟐
𝐬𝐢𝐧𝟑𝝅
𝟒=
√𝟐
𝟐 𝐭𝐚𝐧
𝟑𝝅
𝟒= −𝟏
150°, 5𝜋
6 radianti
𝑃 (−√3
2,
1
2) 𝐜𝐨𝐬
𝟓𝝅
𝟔= −
√𝟑
𝟐
𝐬𝐢𝐧𝟓𝝅
𝟔=
𝟏
𝟐 𝐭𝐚𝐧
𝟓𝝅
𝟔= −
√𝟑
𝟑
180°, 𝜋 radianti
𝑃(−1,0) 𝐜𝐨𝐬 𝝅 = −𝟏
𝐬𝐢𝐧 𝝅 = 𝟎 𝐭𝐚𝐧 𝝅 = 𝟎
210°, 7𝜋
6 radianti
𝑃 (−√3
2, −
1
2) 𝐜𝐨𝐬
𝟕𝝅
𝟔= −
√𝟑
𝟐
𝐬𝐢𝐧𝟕𝝅
𝟔= −
𝟏
𝟐 𝐭𝐚𝐧
𝟐𝝅
𝟑=
√𝟑
𝟑
225°, 5𝜋
4 radianti
𝑃 (−√2
2, −
√2
2) 𝐜𝐨𝐬
𝟓𝝅
𝟒= −
√𝟐
𝟐
𝐬𝐢𝐧𝟓𝝅
𝟒= −
√𝟐
𝟐 𝐭𝐚𝐧
𝟓𝝅
𝟒= 𝟏
240°, 4𝜋
3 radianti
𝑃 (−1
2, −
√3
2) 𝐜𝐨𝐬
𝟒𝝅
𝟑= −
𝟏
𝟐
𝐬𝐢𝐧𝟒𝝅
𝟑= −
√𝟑
𝟐 𝐭𝐚𝐧
𝟒𝝅
𝟑= √𝟑
270°, 3𝜋
2 radianti
𝑃(0, −1) 𝐜𝐨𝐬𝟑𝝅
𝟐= 𝟎
𝐬𝐢𝐧𝟑𝝅
𝟐= −𝟏 𝐭𝐚𝐧
𝟑𝝅
𝟐= ∄
300°, 5𝜋
3 radianti
𝑃 (1
2, −
√3
2) 𝐜𝐨𝐬
𝟓𝝅
𝟑=
𝟏
𝟐
𝐬𝐢𝐧𝟓𝝅
𝟑= −
√𝟑
𝟐 𝐭𝐚𝐧
𝟓𝝅
𝟑= −√𝟑
315°, 7𝜋
4 radianti
𝑃 (√2
2, −
√2
2) 𝐜𝐨𝐬
𝟕𝝅
𝟒=
√𝟐
𝟐
𝐬𝐢𝐧𝟕𝝅
𝟒= −
√𝟐
𝟐 𝐭𝐚𝐧
𝟕𝝅
𝟒= −𝟏
330°, 11𝜋
6 radianti
𝑃 (√3
2, −
1
2) 𝐜𝐨𝐬
𝟏𝟏𝝅
𝟔=
√𝟑
𝟐
𝐬𝐢𝐧𝟏𝟏𝝅
𝟔= −
𝟏
𝟐 𝐭𝐚𝐧
𝟏𝟏𝝅
𝟔= −
√𝟑
𝟑
4
FUNZIONE 𝒚 = 𝐬𝐢𝐧 𝒙
Il disegno della funzione si chiama sinusoide. Caratteristiche:
1) periodica di periodo 𝟐𝝅, cioè sin 𝑥 = sin(𝑥 + 2𝑘𝜋)
2) il campo di esistenza della 𝑥 è (−∞ ; +∞)
3) il codominio della 𝑦 è [−1 ; +1]
4) non ci sono asintoti
5) incontra gli assi in infiniti punti: 𝑶(𝟎 ; 𝟎), (𝜋; 0), (2𝜋; 0), (3𝜋; 0) … (𝑘𝜋; 0)
6) è dispari, cioè simmetrica rispetto al centro, cioè 𝐬𝐢𝐧(−𝒙) = − 𝐬𝐢𝐧 𝒙
7) sin 𝑥 > 0 per 𝑥 ∈ (0; 𝜋)
8) sin 𝑥 < 0 per 𝑥 ∈ (𝜋; 2𝜋)
La funzione del seno descrive le onde sonore, le onde luminose, le onde... marine. Molte cose assomigliano alla sinusoide: la
variazione del tempo durante l’anno, il nostro umore, i risultati a scuola...
Alle nostre orecchie e ai nostri occhi arriva un suono o una luce che ha questa forma, e il nostro cervello è capace di trasformare
questa forma in una sensazione, in un suono, in un colore. È incredibile! Siamo meglio di un computer...
5
FUNZIONE 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙
Caratteristiche:
1) periodica di periodo 𝟐𝝅, cioè cos 𝑥 = cos(𝑥 + 2𝑘𝜋)
2) il campo di esistenza della 𝑥 è (−∞ ; +∞)
3) il codominio della 𝑦 è [−1 ; +1]
4) non ci sono asintoti
5) incontra gli assi in infiniti punti: 𝑶(𝟎 ; 𝟏), (𝜋
2; 0) , (
3
2𝜋; 0) , (
5
2𝜋; 0) … (
2𝑘+1
2 𝜋; 0)
6) è pari, cioè simmetrica rispetto all’asse 𝑦, cioè 𝐜𝐨𝐬(−𝒙) = 𝐜𝐨𝐬 𝒙
7) cos 𝑥 > 0 per 𝑥 ∈ (−𝜋
2;
𝜋
2)
8) sin 𝑥 < 0 per 𝑥 ∈ (𝜋
2;
3𝜋
2)
La funzione del coseno è uguale a quella del seno, ma spostata a sinistra (o a destra?)
6
FUNZIONE 𝒚 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙
Caratteristiche:
1) periodica di periodo 𝜋, cioè 𝐭𝐚𝐧 𝒙 = 𝐭𝐚𝐧(𝒙 + 𝝅)
2) campo di esistenza 𝒙 ≠𝝅
𝟐+ 𝒌𝝅,
3) ha infiniti asintoti, le rette 𝑥 =𝜋
2+ 𝑘𝜋
4) codominio 𝒚 ∈ (−∞ ; +∞)
5) è dispari, cioè simmetrica rispetto al centro, cioè 𝐭𝐚𝐧(−𝒙) = − 𝐭𝐚𝐧 𝒙
6) incontra gli assi nei punti: 𝑶(𝟎 ; 𝟎), (𝜋; 0), (2𝜋; 0), (3𝜋; 0) … (𝑘𝜋; 0)
7) tan 𝑥 < 0 quando 𝑥 ∈ (0; 𝜋
2)
8) tan 𝑥 > 0 quando 𝑥 ∈ (𝜋
2; 𝜋)
Ci sono dei punti in cui la funzione non esiste, gli asintoti sono disegnati in giallo.
7
EQUAZIONI GONIOMETRICHE
1. 𝑥 è un ANGOLO, invece seno, coseno, tangente sono NUMERI. Le soluzioni sono ANGOLI!
2. Le equazioni 𝐬𝐢𝐧 𝒙 = 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑐𝑜𝑠𝑎 hanno di solito 2 soluzioni in [0; 2𝜋):
𝒙𝟏 = 𝜶 𝒙𝟐 = 𝝅 − 𝜶 Con la calcolatrice trovo solo la prima soluzione
3. Le equazioni 𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑐𝑜𝑠𝑎 hanno di solito 2 soluzioni in [0; 2𝜋):
𝒙𝟏 = 𝜶 𝒙𝟐 = 𝟐𝝅 − 𝜶 Con la calcolatrice trovo solo la prima soluzione
4. sin 𝑥 e cos 𝑥 hanno periodo 2𝑘𝜋, cioè le soluzioni sono 𝑥1 + 2𝑘𝜋 𝑥2 + 2𝑘𝜋
5. Le equazioni sin 𝑥 = 1, , sin 𝑥 = −1, , cos 𝑥 = 1, cos 𝑥 = −1 hanno UNA soluzione in [0; 2𝜋).
6. Fuori da [−1; 1] l’equazione con seno e coseno è SENZA soluzioni: sin 𝑥 = √2, cos 𝑥 = −2…
7. Le equazioni 𝐭𝐚𝐧 𝒙 = 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑐𝑜𝑠𝑎 hanno SEMPRE 2 soluzioni in [0; 2𝜋):
𝒙𝟏 = 𝜶 𝒙𝟐 = 𝝅 + 𝜶 Con la calcolatrice trovo solo la prima soluzione
8. tan 𝑥 ha periodo 𝑘𝜋, cioè le soluzioni sono 𝑥1 + 𝑘𝜋
sin 2𝑥 ha periodo 𝑘𝜋, sin 3𝑥 periodo 2𝑘𝜋
3, sin 4𝑥 periodo
𝑘𝜋
2, sin 5𝑥 periodo
2𝑘𝜋
5…
sin𝑥
2 ha periodo 4𝑘𝜋, sin
𝑥
3 ha periodo 6𝑘𝜋… La stessa cosa vale per il coseno.
La tangente ha sempre periodo metà di seno e coseno.
8
FORMULE:
Fondamentali:
𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 + 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 = 𝟏 𝐭𝐚𝐧 𝒙 =𝐬𝐢𝐧 𝒙
𝐜𝐨𝐬 𝒙 cot 𝑥 =
cos 𝑥
sin 𝑥
cos2 𝑥 significa (cos 𝑥)2 mentre cos 𝑥2 significa cos(𝑥2)
Periodicità:
cos 𝑥 = cos(𝑥 + 2𝜋) sin 𝑥 = sin(𝑥 + 2𝜋) tan 𝑥 = tan(𝑥 + 𝜋)
Simmetrie:
𝐜𝐨𝐬(−𝒙) = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐢𝐧(−𝒙) = − 𝐬𝐢𝐧 𝒙 tan(−𝑥) = − tan 𝑥
cos (𝜋
2− 𝑥) = sin 𝑥 sin (
𝜋
2− 𝑥) = cos 𝑥 tan (
𝜋
2− 𝑥) = cot 𝑥
cos(𝜋 − 𝑥) = − cos 𝑥 sin(𝜋 − 𝑥) = sin 𝑥 tan(𝜋 − 𝑥) = − tan 𝑥
Somma, differenza, duplicazione:
𝐜𝐨𝐬(𝒙 + 𝒚) = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 − 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒚 𝐜𝐨𝐬(𝒙 − 𝒚) = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 + 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒚
𝐬𝐢𝐧(𝒙 + 𝒚) = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 + 𝐬𝐢𝐧 𝒚 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐢𝐧(𝒙 − 𝒚) = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 − 𝐬𝐢𝐧 𝒚 𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 = 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 − 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 (= 2 cos2 𝑥 − 1 = 1 − 2 sin2 𝑥) 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙
Teorema dei seni: Teorema del coseno: Formule area triangolo:
sin 𝛼
𝑎=
sin 𝛽
𝑏=
sin 𝛾
𝑐 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝛼 𝐴𝑟𝑒𝑎 =
𝑏𝑎𝑠𝑒∙𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎
2
oppure 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 cos 𝛽 𝐴 = √𝑎+𝑏+𝑐
2∙
−𝑎+𝑏+𝑐
2∙
𝑎−𝑏+𝑐
2∙
𝑎+𝑏−𝑐
2
𝑎
sin 𝛼=
𝑏
sin 𝛽=
𝑐
sin 𝛾 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝛾 𝐴 =
𝑎∙𝑏∙sin 𝛾
2=
𝑏∙𝑐∙sin 𝛼
2=
𝑐∙𝑎∙sin 𝛽
2
9
ESERCIZI BASE DI TRIGONOMETRIA
Risolvere un triangolo significa trovare tutti gli angoli, tutti i lati, perimetro e area usando i teoremi dei seni e
del coseno. Di seguito alcuni esempi:
1. Conosco tre lati 𝑎 = 7 cm, 𝑏 = 3 cm, 𝑐 = 5 cm.
Uso uno dei teoremi del coseno, ad esempio il secondo:
32 = 72 + 52 − 2 ∙ 7 ∙ 5 cos 𝛽 cos 𝛽 =65
70=
13
14 𝛽 = 21,79°
Uso di nuovo il teorema del coseno: 72 = 32 + 52 − 2 ∙ 3 ∙ 5 cos 𝛼 𝛼 = 120°
Il terzo angolo è 𝛾 = 180° − 𝛽 − 𝛼 𝛾 = 38,21°
2. Conosco due lati e l’angolo tra i lati 𝑎 = 8 cm, 𝑏 = 5 cm, 𝛾 = 60°.
Uso il teorema del coseno 𝑐2 = 82 + 52 − 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ cos 60° 𝑐 = 7 cm
Poi continuo come l’esempio 1 𝛼 = 81,79°
𝛽 = 38,21°
3. Conosco un lato e due angoli 𝑏 = 10 cm, 𝛼 = 40°, 𝛽 = 75°.
Trovo subito 𝛾 = 180° − 𝛼 − 𝛽 𝛾 = 65°
Uso il teorema dei seni 10
sin 75°=
𝑎
sin 40° 𝑎 = 6,65 cm
Uso il teorema dei seni 10
sin 75°=
𝑐
sin 65° 𝑐 = 9,38 cm
4. Conosco 2 lati e l’angolo non compreso 𝑏 = 7 cm, 𝑐 = 5 cm, 𝛾 = 40°
Uso il teorema dei seni 5
sin 40°=
7
sin 𝛽 Due possibili soluzioni 𝛽 = 64,15° 𝛽 = 115,85°
Trovo il terzo angolo 𝛼 = 180° − 𝛽 − 𝛾 𝛼 = 75,85° 𝛼 = 24,15°
Uso il teorema del coseno 𝑎2 = 72 + 52 − 2 ∙ 7 ∙ 5 cos 𝛼 𝑎 = 7,54 cm 𝑎 = 3,18 cm
✓ Usa sempre la formula con una sola incognita
✓ Dai precedenza al teorema del coseno
✓ Se si usa il teorema del seno per trovare un angolo possono esserci 2 soluzioni!
10
ESERCIZI:
1) Il perimetro di una circonferenza di raggio 1 è 2𝜋. Trova la lunghezza della parte rossa:
2) Scrivi una regola per passare da gradi a radianti.
3) Scrivi una regola per passare da radianti a gradi.
Scrivi in radianti l’angolo che formano le lancette dell’orologio alle ore:
4) 6:00
5) 9:00
6) 3:00
7) 1:00
8) 2:00
9) 11:00
10) 12:00
11) 4:00
12) 8:00
13) 7:00
14) 5:00
15) 10:00
16) 4:30
17) 7:30
18) 10:30
19) 1:30
Trasforma da gradi in radianti:
20) 30°
21) 45°
22) 90°
23) 60°
24) 120°
25) 150°
26) 210°
27) 270°
28) 225°
29) 0°
30) 240°
31) 330°
32) −45°
33) 315°
34) 360°
35) 180°
36) 300°
37) 100°
38) 10°
39) 1°
40) 18°
41) −1°
42) 15°
43) 36°
44) 720°
45) 1080°
46) 450°
47) 2°
Trasforma da radianti a gradi:
48) 𝜋
4
49) 2
3𝜋
50) 𝜋
51) 3
4𝜋
52) 3
2𝜋
53) 𝜋
3
54) 7
4𝜋
55) 2𝜋
56) 5
3𝜋
57) 𝜋
6
58) 5
6𝜋
59) 11
6𝜋
60) 3𝜋
61) 7
6𝜋
62) 𝜋
2
63) 5
4𝜋
64) 2
5𝜋
65) 4𝜋
66) 5
3𝜋
67) 9
4𝜋
11
Trasforma questi angoli in angolo compresi tra [0; 360) oppure tra [0; 2𝜋):
68) 400° =
69) 720° =
70) 1000° =
71) 600° =
72) 5
2𝜋 =
73) 7𝜋 =
74) 10
3𝜋 =
75) 450° =
76) −90° =
77) −180° =
78) 500° =
79) 7
2𝜋 =
80) 25𝜋 =
81) 17
6𝜋 =
82) 1200° =
83) 1440° =
84) 700° =
85) 405° =
86) −𝜋
4=
87) −4𝜋 =
88) 11
2𝜋 =
89) −45° =
90) −60° =
91) −30° =
92) −360° =
93) −𝜋 =
94) −𝜋
2=
95) −𝜋
3=
Trova SENZA CALCOLATRICE il risultato:
96) cos 30° =
97) sin 60° =
98) tan 45° =
99) sin 30° =
100) cos 45° =
101) tan 90° =
102) sin 0° =
103) cos 90° =
104) tan 0° =
105) tan 60° =
106) cos 135° =
107) sin 270° =
108) cos 300° =
109) tan 270° =
110) cos 315° =
111) sin 330° =
112) tan 180° =
113) cos 360° =
114) sin 225° =
115) tan 315° =
116) cos 𝜋 =
117) tan𝜋
3=
118) sin3
4𝜋 =
119) tan7
6𝜋 =
120) cos11
6𝜋 =
121) sin5
3𝜋 =
122) tan5
4𝜋 =
123) cos3
2𝜋 =
124) sin 2𝜋 =
125) tan7
4𝜋 =
126) cos7
4𝜋 =
127) sin5
6𝜋 =
128) cos5
3𝜋 =
129) tan5
3𝜋 =
130) sin7
4𝜋 =
131) tan𝜋
4=
132) cos9
2𝜋 =
133) cos𝜋
2=
134) sin7
3𝜋 =
135) tan25
4𝜋 =
136) sin 600° =
137) Disegna le funzioni 𝑦 = sin 𝑥 e 𝑦 = cos 𝑥.
𝑥 𝑦
0
𝜋 6⁄
𝜋 4⁄
𝜋 3⁄
𝜋 2⁄
2 𝜋 3⁄
5𝜋 6⁄
𝜋
7𝜋 6⁄
…
− 𝜋 6⁄
12
138) I dati si riferiscono al triangolo rettangolo in figura. Completa CON LA CALCOLATRICE
la tabella (le misure sono in centimetri):
Triangolo |𝐴𝐶| |𝐵𝐶| |𝐴𝐵| 𝛽 cos 𝛽 sin 𝛽 tan 𝛽 |𝐴𝐶|
|𝐵𝐶| cos2 𝛽 + sin2 𝛽
1° 1 10°
2° 1 20°
3° 1 30°
4° 1 40°
5° 1 50°
6° 1 60°
7° 1 70°
8° 1 80°
139) Usa goniometro e righello. In tutti questi triangoli usiamo le lettere come nella figura a destra. Tutte le
misure sono in centimetri. Completa la tabella e disegna tutti i triangoli SENZA CALCOLATRICE:
|𝐵𝐶| |𝐴𝐶| |𝐴𝐵| 𝛼 𝛽 𝛾 sin 𝛼 cos 𝛼 sin 𝛽 cos 𝛽 |𝐴𝐶|
|𝐴𝐵|
|𝐵𝐶|
|𝐴𝐵|
1° 3 70° 90°
2° 5 50° 90°
3° 4 50° 90°
4° 6 45° 90°
5° 5 30° 90°
6° 8 70° 90°
7° 4 4 90°
8° 3 6 90°
9° 4 2 90°
10° 8 45° 90°
11° 7 20° 90°
12° 7 70° 90°
13° 3 5 90°
13
140) Completa la tabella SENZA calcolatrice:
141) Per quali angoli il coseno è positivo?
142) Per quali angoli il coseno è negativo?
143) Per quali angoli il seno è positivo?
144) Per quali angoli il seno è negativo?
145) Per quali angoli la tangente è positiva?
146) Per quali angoli la tangente è negativa?
147) Disegna 30° e 135° in alto. Trova seno e coseno.
148) Quali angoli hanno seno e coseno uguali?
149) Trova tutte le soluzioni di sin 𝛼 =√3
2
150) Trova tutte le soluzioni di cos 𝛼 = 0,5
angolo gradi coseno seno
0 0° 1 0
𝜋
6
√3
2
1
2
𝜋
4
√2
2
𝜋
3
√3
2
𝜋
2 0
2
3𝜋 −
1
2
3
4𝜋
√2
2
5
6𝜋
𝜋 −1
7
6𝜋 −
1
2
5
4𝜋 −
√2
2
4
3𝜋
3
2𝜋
5
3𝜋
7
4𝜋
11
6𝜋
2𝜋
9
4𝜋 405°
√2
2
7
3𝜋
5
2𝜋
3𝜋
9
2𝜋
−𝜋
4
14
151) Completa la tabella senza calcolatrice, ma con
l’aiuto del disegno:
𝛼 cos 𝛼 sin 𝛼 tan 𝛼
0,6
0,6
−0,4
−0,4
−1
Risolvi queste equazioni e disequazioni SENZA CALCOLATRICE nell’intervallo [0; 2𝜋):
152) sin 𝑥 = 1
153) cos 𝑥 =√2
2
154) tan 𝑥 =√3
3
155) cos 𝑥 = 0
156) sin 𝑥 =√3
2
157) cos 𝑥 = −1
2
158) tan 𝑥 = √3
159) cos 𝑥 = −√3
2
160) sin 𝑥 = −√3
2
161) tan 𝑥 = −1
162) cos 𝑥 = −√2
2
163) sin 𝑥 >√2
2
164) cos 𝑥 = 2
165) sin 𝑥 = −1
2
166) sin 𝑥 ≤ −1
2
167) 𝐬𝐢𝐧 𝒙 ≥ −𝟏
𝟐
168) tan 𝑥 > 1
169) 𝐜𝐨𝐬 𝒙 < 𝟏
170) 𝐬𝐢𝐧 𝒙 ≤ 𝟏
171) tan 𝑥 = −√3
3
172) sin 𝑥 = 0
173) √2 cos 𝑥 = 2
174) 2 sin 𝑥 − 1 = 0
175) cos 𝑥 − √2 = 0
176) 2 sin 𝑥 + √2 = 0
177) tan 𝑥 − √3 ≤ 0
178) tan 𝑥 + √3 ≥ 0
179) 2 cos 𝑥 + √3 = 0
180) 2 sin 𝑥 − √3 ≤ 0
181) cos 𝑥 > √3
182) 𝐬𝐢𝐧 𝒙
𝐜𝐨𝐬 𝒙= 𝟏
183) 𝐬𝐢𝐧 𝒙 = 𝐬𝐢𝐧𝟕
𝟒𝝅
184) 𝐬𝐢𝐧 𝒙
𝐜𝐨𝐬 𝒙≤ 𝟎
185) √𝟑 𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 𝐬𝐢𝐧 𝒙
186) cos 𝑥 = cos𝜋
3
187) sin 𝑥 + cos 𝑥 = 0
188) cos 𝑥 < −√3
2
189) sin 𝑥 > −2
190) 𝐜𝐨𝐬 𝒙 ≤ −𝟏
191) sin 𝑥 = sin5𝜋
4
192) sin 𝑥 + 2 ≤ 0
193) sin(𝜋 + 𝑥) =1
2
194) cos (𝜋
2+ 𝑥) =
√2
2
195) tan(𝜋 + 𝑥) = −1
196) sin (𝑥 +2𝜋
3) =
√3
2
197) Risolvi gli esercizi 160-170 nell’intervallo (−∞; +∞).
167) 𝑥 ∈ [0;5
4𝜋] ∪ [
7
4𝜋; 2𝜋) 169) 𝑥 ≠ 0 170) 𝑥 ∈ [0; 2𝜋) 182) 𝑥 =
𝜋
4 𝑒
5
4𝜋
183) 𝑥 =7
4𝜋 e
5
4𝜋 184) 𝑥 ∈ (
𝜋
2; 𝜋] ∪ (
3
2𝜋; 2𝜋] 185) 𝑥 =
𝜋
3 𝑒
4
3𝜋 190) 𝑥 = 𝜋
15
Esercizi vari:
198) cos 𝑥 sin 𝑥 = 0
199) sin2 𝑥 = 0
200) (cos 𝑥 − 1)(sin 𝑥 + 1) = 0
201) (cos 𝑥 + tan𝜋
4) (cos 𝑥 − 1) = 0
202) (tan 𝑥 + 1)(2 sin 𝑥 − 1) = 0
203) (tan 𝑥 − √3) (cos 𝑥 −√2
2) = 0
204) (tan 𝑥 + log 10)(cos 𝑥 − 2) = 0
205) (sin 𝑥 − log4 2)(2 cos 𝑥 + √3) = 0
Trova TUTTE le soluzioni di queste equazioni nell’intervallo [0; 2𝜋):
206) sin 2𝑥 = 1
207) sin 3𝑥 =1
2
208) sin 4𝑥 = −1
209) tan 2𝑥 =√3
3
210) cos 3𝑥 =1
2
211) cos 5𝑥 = −1
2
212) tan 4𝑥 = 1
213) sin 3𝑥 = −√2
2
214) tan 3𝑥 = −1
215) cos 4𝑥 = −1
2
216) tan 4𝑥 = −√3
217) sin 2𝑥 = −1
2
218) cos 4𝑥 = −1
219) cos 5𝑥 =√3
2
220) sin 3𝑥 = −√3
2
221) cos(−𝑥) =√2
2
222) sin(−𝑥) = 0
223) tan(−𝑥) = 1
Risolvi queste equazioni nell’intervallo (−∞; +∞) con la sostituzione 𝑎 = cos 𝑥:
224) cos2 𝑥 − 1 = 0
225) cos2 𝑥 + 1 = 0
226) 2 cos2 𝑥 + 3 cos 𝑥 + 1 = 0
227) 2 cos2 𝑥 + 1 = 3 cos 𝑥
228) 2 cos2 𝑥 = 1
229) 4 cos2 𝑥 = 1
230) 4 cos2 𝑥 = 3
231) (cos 𝑥 − 1)(2 cos 𝑥 − 1) = 0
232) cos2 𝑥 + cos 𝑥 − 2 = 0
233) 2 cos2 𝑥 + 3 cos 𝑥 − 2 = 0
Risolvi queste equazioni nell’intervallo [0; 2𝜋) con la sostituzione 𝑎 = sin 𝑥:
234) sin2 𝑥 − 1 = 0
235) sin2 𝑥 + 1 = 0
236) 2 sin2 𝑥 + 3 sin 𝑥 + 1 = 0
237) 2 sin2 𝑥 + 1 = 3 sin 𝑥
238) 2 sin2 𝑥 = 1
239) 4 sin2 𝑥 = 1
240) 4 sin2 𝑥 = 3
241) (sin 𝑥 − 1)(2 sin 𝑥 − 1) = 0
242) sin2 𝑥 + sin 𝑥 − 2 = 0
243) 2 sin2 𝑥 + 3 sin 𝑥 − 2 = 0
Risolvi queste equazioni nell’intervallo (−∞; +∞) con la sostituzione 𝑎 = tan 𝑥:
244) tan2 𝑥 − 1 = 0
245) tan2 𝑥 = 3
246) tan2 𝑥 + 3 = 0
247) tan2 𝑥 +1
√3tan 𝑥 = 0
248) tan2 𝑥 + tan 𝑥 = 0
249) tan2 𝑥 = tan 𝑥
250) 3 tan2 𝑥 = 1
251) tan 𝑥 =1
tan 𝑥
16
Risolvi questi esercizi usando le formule di pagina 8:
252) sin 𝑥 + cos 𝑥 = 0
253) sin 𝑥 − cos 𝑥 = 0
254) √3 sin 𝑥 = cos 𝑥
255) cos2 𝑥 − sin2 𝑥 = 0
256) sin2 𝑥 − cos2 𝑥 = 0
257) sin2 𝑥 − 2 sin 𝑥 cos 𝑥 = 0
258) 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 + 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 − 𝟏 = 𝟎
259) cos2 𝑥 − 2 sin 𝑥 cos 𝑥 + sin2 𝑥 = 0
260) cos2 𝑥 + 2 sin 𝑥 cos 𝑥 + sin2 𝑥 = 0
261) cos2 𝑥 + 2 sin2 𝑥 = 0
262) sin2 𝑥 + 5 cos2 𝑥 = 4
263) cos 2𝑥 = cos 𝑥
264) cos 2𝑥 = sin 𝑥
265) 2 cos2 𝑥 + sin 𝑥 = 2
266) 3 + 3 sin 𝑥 = 2 cos2 𝑥
267) 2 cos2 𝑥 = 3 sin 𝑥
268) 2 sin2 𝑥 + 3 cos 𝑥 = 0
269) sin 2𝑥 − cos 𝑥 = 0
270) sin 2𝑥 + sin 𝑥 = 0
271) 2 sin 𝑥 = √3 tan 𝑥
272) 2 sin 𝑥 cos 𝑥 = 1
273) sin 2𝑥 − 2 sin2 𝑥 = 0
274) 𝐬𝐢𝐧𝟒 𝒙 − 𝐜𝐨𝐬𝟒 𝒙 = 𝟎
275) sin4 𝑥 − cos4 𝑥 + cos2 𝑥 − sin2 𝑥 = 0
276) 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝐬𝐢𝐧(−𝒙) = 𝟏
277) 𝐜𝐨𝐬 (𝒙 +𝝅
𝟑) + 𝐜𝐨𝐬 (𝒙 −
𝝅
𝟑) + 𝟏 = 𝟎
278) sin (𝑥 +𝜋
6) − sin (𝑥 −
𝜋
6) = 0
279) sin (𝑥 +𝜋
3) + sin (𝑥 −
𝜋
3) =
1
2
280) sin2 2𝑥 = 2 − cos2 2𝑥
281) 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 − 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 = 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙
282) cos(𝑥 + 2𝜋) + cos 𝑥 = 1
283) sin(𝑥 + 2𝜋) + sin 𝑥 = √3
284) cos 𝑥 + cos(−𝑥) = 1
285) sin 𝑥 + sin(𝑥 − 𝜋) = 1
286) cos 𝑥 + cos(𝑥 − 𝜋) = 1
287) cos 2𝑥 + sin 2𝑥 = 1
288) 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝐬𝐢𝐧 𝒙 = 𝟏
Calcola questi valori senza calcolatrice usando le formule di somma e differenza di angoli:
289) cos 15° =
290) sin7
12𝜋 =
291) sin5
12𝜋 =
292) cos 165° =
293) cos 75° =
294) sin13
12𝜋 =
Problemi SENZA calcolatrice:
295) Se cos 𝑥 = 0,28, quanto vale sin 𝑥 ?
296) Se sin 𝑥 =8
17, quanto vale cos 𝑥 ?
297) Se tan 𝑥 =3
4, quanto valgono sin 𝑥 e cos 𝑥?
298) Se tan 𝑥 =12
5, quanto valgono sin 𝑥 e cos 𝑥?
258) SEMPRE 274) Diventa (sin2 𝑥 + cos2 𝑥)(sin2 𝑥 − cos2 𝑥) … 276) ∄
277) Diventa cos 𝑥 cos𝜋
3− sin 𝑥 sin
𝜋
3+ cos 𝑥 cos
𝜋
3+ sin 𝑥 sin
𝜋
3+ 1 = 0 e quindi cos 𝑥 + 1 = 0 …
281) cos2 𝑥 − 2 sin 𝑥 cos 𝑥 − sin2 𝑥 e si divide tutto per cos2 𝑥 … 288) Si fa come l’esercizio 287
17
299) Disegna su Geogebra le funzioni 𝒚 = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 e 𝒚 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 e descrivi le differenze.
300) Disegna su Geogebra le funzioni 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 e 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 e descrivi le differenze.
301) Trova con la calcolatrice questi risultati:
arctan 5 = arcsin 0,4 = arccos(−0,9) = arcsin(−1,1) =
78,69° 23,58° 154,16° ∄
302) Dimostra la formula sin 𝛼
𝑎=
sin 𝛽
𝑏 usando la figura a destra.
Usa il lato CD e la definizione di seno
303) Dimostra che 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝛼 usando la figura a destra.
Usa |𝐷𝐵| = 𝑐 − 𝑏 cos 𝛼
Risolvi matematicamente i seguenti triangoli e disegnali (le misure sono in centimetri e in gradi):
304) 𝑎 = 5 𝑏 = 6 𝑐 = 7 𝛼 = 44,42°; 𝛽 = 57,12°; 𝛾 = 78,46°; 𝐴 = 14,7
305) 𝑎 = 5 𝑏 = 3 𝑐 = 4 𝛼 = 90°; 𝛽 = 36,87; 𝛾 = 53,13°; 𝐴 = 6
306) 𝑎 = 6 𝛽 = 45° 𝛾 = 60° 𝑏 = 4,39; 𝑐 = 5,38; 𝐴 = 11,41
307) 𝑏 = 7 𝛼 = 35° 𝛽 = 70° 𝑎 = 4,27; 𝑐 = 7,2; 𝐴 = 14,44
308) 𝑏 = 5 𝑐 = 5 𝛼 = 50° 𝑎 = 4,23; 𝛽 = 65°; 𝛾 = 65°; 𝐴 = 9,58
309) 𝑎 = 4 𝑐 = 6 𝛽 = 60° 𝑏 = 5,29; 𝛼 = 40,9°; 𝛾 = 79,1°; 𝐴 = 10,39
310) 𝑎 = 5 𝑏 = 2 𝛾 = 45° 𝑐 = 3,85; 𝛼 = 113,48°; 𝛽 = 21,52°; 𝐴 = 3,54
311) 𝑐 = 8 𝛼 = 20° 𝛾 = 100° 𝑎 = 2,78: 𝑏 = 7,04; 𝐴 = 9,62
312) 𝑎 = 7 𝑏 = 5 𝑐 = 6 𝛼 = 78,46°; 𝛽 = 44,42°; 𝛾 = 57,12°; 𝐴 = 14,7
313) 𝑎 = 5 𝑏 = 13 𝛾 = 67,38° 𝑐 = 12; 𝛼 = 22,62°; 𝛽 = 90°; 𝐴 = 30
314) 𝑏 = 7,5 𝑐 = 8,5 𝛼 = 28,07° 𝑎 = 4; 𝛽 = 61,93°; 𝛾 = 90°; 𝐴 = 15
315) 𝑎 = 6 𝑏 = 5 𝑐 = 12
316) 𝑎 = 4 𝑏 = 7 𝛼 = 30° 𝑐 = 8; 𝛽 = 61,04°; 𝛾 = 88,96°; 𝐴 = 14
𝑐 = 4,13; 𝛽 = 118,96°; 𝛾 = 31,04°; 𝐴 = 7,22
317) 𝑎 = 7 𝑐 = 4 𝛼 = 80° 𝑏 = 6,48; 𝛽 = 65,76°; 𝛾 = 34,25°; 𝐴 = 12,77
318) 𝑏 = 6 𝑐 = 8 𝛽 = 36,87° 𝑎 = 10; 𝛼 = 90°; 𝛾 = 53,13°; 𝐴 = 24
𝑎 = 2,8; 𝛼 = 16,26°; 𝛾 = 126,87°; 𝐴 = 6,72
319) 𝑎 = 5 𝑏 = 6 𝛽 = 40° 𝑐 = 8,9; 𝛼 = 32,39°; 𝛾 = 107,61°; 𝐴 = 14,3
320) 𝑎 = 8 𝑐 = 4 𝛾 = 30° 𝑏 = 6,93; 𝛼 = 90°; 𝛽 = 60°; 𝐴 = 13,86
321) 𝑏 = 11 𝑐 = 11 𝛾 = 60° 𝑎 = 11; 𝛼 = 60°; 𝛽 = 60°; 𝐴 = 52,39
322) 𝑏 = 24 𝑐 = 21 𝛾 = 60° 𝑎 = 15; 𝛼 = 38,21°; 𝛽 = 81,79°; 𝐴 = 155,88
𝑎 = 9; 𝛼 = 21,79°; 𝛽 = 98,21; 𝐴 = 93,53
18
323) Risolvi i seguenti esercizi:
324) Nel lancio del disco uno strumento nel punto A misura
distanze e angoli. La distanza AB è 10 metri.
Il raggio della pedana è 2 metri.
Il primo atleta lancia il disco, lo strumento misura
𝐴𝐶 = 75𝑚, 𝛼 = 77°.
Il secondo atlet lancia il disco, lo strumento misura
𝐴𝐶 = 77𝑚, 𝛼 = 60,5°.
Chi ha vinto? Con quale misura?
325) Un triangolo iscritto in una semicirconferenza è sempre rettangolo.
In una circonferenza l’angolo al centro è sempre
il doppio dell’angolo sulla circonferenza.
Il punto D è il centro della semicirconferenza. |𝐴𝐷| = |𝐷𝐶| = |𝐷𝐵| = 1
Dimostra che 2 sin 𝛼 cos 𝛼 = sin 2𝛼.
Usa il teorema del coseno in BCD per trovare |𝐵𝐶| Usa il triangolo ABC per trovare |𝐵𝐶|
326) L’ombra è lunga 139,7 m. Calcola l’altezza della piramide.
19
ASTRONOMIA (LE PRIME MISURE DEGLI ASTRI)
327) Eratostene nel 200 a.C. misurò il raggio della Terra
conoscendo la distanza Siene – Alessandria di 787 Km. A
mezzogiorno il sole è verticale a Siene e forma un angolo di
7° ad Alessandria. Trova il raggio della Terra.
328) Il tempo tra il sorgere della luna e il suo essere
verticale alla terra è 5h56m17s, cioè 89,07°. Se il
raggio della Terra è 6350 Km, quanto è la distanza
Terra – Luna?
329) La distanza Terra – Luna è circa 385.000 Km.
Quando c’è mezzaluna, forma un angolo di 90°
con il sole. Se l’angolo S–T–L è 89,852°, quanto
è la distanza Terra – Sole?
330) Se si tiene una moneta da 1 centesimo (diametro 16,25 mm) a 1,8 m di distanza, la moneta copre
perfettamente la luna piena. Se la distanza Terra – Luna è 385.000 Km, quanto è il diametro della luna?
331) La luna appare grande esattamente quanto il sole. Se la luna ha diametro 3500 Km, e sappiamo che la
distanza Terra – Luna è 385.000 Km e la distanza Terra – Sole 150.000.000 Km, quanto è il diametro
del sole?
20
Esercizi di goniometria, trigonometria della maturità:
332) sin2 𝑥 − cos 𝑥 = 1 (anno 2017)
333) 2 sin(𝑥) + √2 sin(2𝑥) = 0 (anno 2016)
334) cos(2𝑥) + sin(𝑥) = 1 (anno 2015)
335) Risolvere il triangolo in cui 𝛼 = 𝛽 = 4𝛾 e 𝑐 = 8 cm. Trova tutte le soluzioni. (anno 2014)
336) cos(4𝑥) + √2 sin(2𝑥) = 1 (anno 2013)
337) Risolvere il triangolo in cui 𝛼 = 30°, 𝑎 = 4, 𝑐 = 4√2 cm. Trova tutte le soluzioni. (anno 2012)
RIPASSO POTENZE E LOGARITMI
Esercizi su logaritmi e potenze alla maturità:
338) Risolvi log0,5(𝑥 − 2) ≥ 0 (anno 2017)
339) Scrivi quando 𝑦 = log(𝑥 + 2) + log(6 − 𝑥) è positiva, negativa, uguale a 0 (anno 2016)
340) Risolvere l’equazione 32𝑥 − 3 ∙ 3𝑥 = 4 nell’insieme dei numeri reali. (anno 2016)
341) Scrivi quando 𝑦 =10 log 𝑥
𝑥 è positiva, negativa, uguale a 0 (anno 2015)
342) Scrivi quando 𝑦 =−10 log 𝑥+10
𝑥2 è positiva, negativa, uguale a 0 (anno 2015)
343) Scrivi quando 𝑦 = (𝑥 − 1) ∙ 3𝑥 è positiva, negativa, uguale a 0 (anno 2014)
344) Risolvi log(3 − 𝑥) + log(𝑥 + 4) = log(2 − 𝑥) (anno 2014)
345) Scrivi quando 𝑦 = (3𝑥 + 5) ∙ 2𝑥 è positiva, negativa, uguale a 0 (anno 2013)
346) Risolvi (1
2)
𝑥2
>1
16 (anno 2013)
347) Scrivi quando 𝑦 = 𝑥2 ln 𝑥 è positiva, negativa, uguale a 0 (anno 2012)
348) Risolvi 2012 ∙ (1
2)
𝑥2
> 503 (anno 2012)
Risolvi queste equazioni e disequazioni:
349) 3𝑥 − 1 ≥ 0
350) 2𝑥 − 1 < 0
351) 2−𝑥 − 1 > 0
352) 4−𝑥 + 1 ≤ 0
353) (1
2)
𝑥
−1
16> 0
354) (3
2)
𝑥
−2
3≤ 0
355) log 𝑥 + 1 ≤ 0
356) log(𝑥 + 1) ≤ 0
357) log 𝑥 − 2 > 0
358) log16 𝑥 = 2
359) √2 𝑥
=1
2
360) √8 𝑥
=1
√23
361) log√2 𝑥 = 4
362) log(𝑥2 − 3) = 0
363) log 𝑥 − log(𝑥 + 1) = 1
364) log1
4
𝑥 =1
2
365) log 𝑥 + log(2𝑥 + 1) = 1
366) log(3𝑥2 + 5𝑥) = 2
Trova il risultato SENZA calcolatrice:
367) 43
2 =
368) (1
9)
−3
2=
369) log21
√32=
370) log1
2√32 =
371) 1005
2 ∙ 0,13 ∙ 10000 =
372) log √1000∙√0,001
0,01=