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saneamiento basico
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UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA AGRÍCOLA
DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE DE RUGOSIDAD DE MANNING EN
TUBERIAS DE DRENAJE (HORMIGÓN).
MARCOS EDUARDO GONZÁLEZ LÓPEZ
CHILLÁN-CHILE
2007
MEMORIA DE TÍTULO PRESENTADA A LA FACULTAD DE INGENIERÍA AGRÍCOLA DE LA UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN, PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL AGRÍCOLA
DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE DE RUGOSIDAD DE MANNING EN TUBERÍAS DE DRENAJE (HORMIGON).
Aprobado por: Claudio Crisóstomo Fonseca Ingeniero Civil Agrícola, Ph. D. (c). Profesor Asistente
Profesor Guía
José Luis Arumi Ribera Ingeniero Civil, Ph. D. Profesor Asociado
Profesor Asesor
Jerónimo Paredes Cáceres Lic. en Matemáticas, Mg. Sc., Dr (c). Profesor Asistente
Profesor Asesor
José Luis Arumí Ribera Ingeniero Civil, Ph. D. Profesor Asociado
Director de Departamento
Eduardo Holzapfel Hoces Ingeniero Agrónomo, Ph. D. Profesor Titular
Decano
II
DEDICATORIA
A mis queridos Padres: por todo lo que me han entregado, y por el gran
esfuerzo que han hecho por darme la mejor educación.
A mi Hermano, Abuelos, Primos y Familia, por el cariño y apoyo durante toda
esta etapa.
III
AGRADECIMIENTOS
A la Empresa AURORA Ltda. que confío en esta Proyecto de Tesis y facilito
los materiales necesarios para dicho estudio.
A los Profesores por el apoyo durante toda la realización de la tesis y a
través de los años de mi formación como profesional.
A mis compañeros y amigos Denisse, Gabriela, Marite, Loredana, Pablo,
Francisco, Cristian, Roberto, Víctor, Baudilio, Rodrigo, Benjamín, Armin,
Rafael, etc. por la compañía en esas extensas horas de estudio, trabajos,
relajos, risas y penas compartidas; por que sin ustedes la etapa de formación
como profesional no hubiese sido la misma.
IV
ÍNDICE
Página
Resumen..............................................................................................
Summary..............................................................................................
Introducción..........................................................................................
Metodología..........................................................................................
Resultados y Discusión........................................................................
Conclusiones........................................................................................
Literatura Citada...................................................................................
Apéndice..............................................................................................
Anexo..……………………………………………………………………....
1
2
3
7
24
36
37
39
47
V
INDICE DE TABLAS
En el texto Página Tabla 1: Características generales del tubo con enchufe
campana, largo útil Lu , largo total Lt , diámetro interior cabeza Di , diámetro exterior cabeza De , diámetro interior espiga di , diámetro exterior espiga de , espesor de pared e y peso de referencia Pr ................................................................................
8
Tabla 2: Alturas de agua en tuberías al 20% 20,0Y , 40% 40,0Y , 60% 60,0Y y 80% 80,0Y del diámetro interior de la tubería di .....................................................................
12
Tabla 3: Pendientes (mm-1) utilizadas en cada uno de los ensayos.........................................................................
12
Tabla 4: Caudal de descarga utilizados para el ensayo 2...........
13
Tabla 5: Valores promedios obtenidos de coeficiente rugosidad de Manning para una tubería de 150 mm de diámetro interior............................................................................
27
En el Apéndice Página Tabla 1A: Coeficiente de Manning promedio in para el modelo,
raíz del error cuadrático medio RMSE , diferencia relativa RD , coeficiente de correlación r y el coeficiente de determinación 2r para los modelos estimados a partir de pendientes iS y fracción de altura de agua iY ………..............................................
40
VI
En el Apéndice Página Tabla 2A: Coeficiente de Manning promedio in para el modelo,
raíz del error cuadrático medio RMSE , diferencia relativa RD , coeficiente de correlación r y el coeficiente de determinación 2r para los modelos estimados a partir de pendientes iS y caudal iQ ….
40
Tabla 3A: Variación de volumen en centímetros cúbicos (cm3) de agua, para un error de lectura de 2 milímetros, porcentaje de cambio en coeficiente de Manning…......
41
INDICE DE FIGURAS
En el texto: Página Figura 1:
Tubería corriente de hormigón con enchufe campana, a) vista en corte transversal, b) tubería en vista normal y c) detalle de unión......................................................
8
Figura 2:
Representación del esquema utilizado en Laboratorio.
10
Figura 3:
Nomenclatura de la tubería de hormigón, diámetro externo D , diámetro interno d , altura de agua en la tubería y y ángulo formado entre el radio de la tubería y la superficie de agua …………………………………...................................
18
Figura 4:
Comportamiento de coeficiente de rugosidad de Manning para diferentes alturas de agua y pendientes en una tubería de 150 milímetros de diámetro interior............................................................................
25
Figura 5:
Esquema de la unión o empalme de las tuberías, factor de alteración al paso del flujo…...………….…….
26
VII
En el texto. Página Figura 6 Coeficiente de rugosidad de Manning in en función
del caudal iQ y pendiente iS en tuberías de 150 milímetros de diámetro interior......................................
28
En el Apéndice
Página Figura 1A: Perfil hidráulico para pendientes a) 0,5%; b) 0,3%;
c) 0,2% y d) 0,1%; para alturas de escurrimiento de 20, 40, 60 y 80% del diámetro interior de tubería (150 mm).......................................................................
42
Figura 2A: Pérdida de energía en función del perfil longitudinal de la tubería, para fracciones de altura de agua de a) 20%, b) 40%, c) 60% y d) 80% del diámetro interior (150 mm), para las pendientes 0,5; 0,3; 0,2 y 0,1%......
43
Figura 3A: Variación de caudal promedio para cada una de las alturas de agua utilizadas en función de pendiente.......................................................................
43
Figura 4A: Representación gráfica de los modelos propuestos para estimar el coeficiente de Manning, a) Ecuación 19, b) Ecuación 20 y c) Ecuación 21, en función de
iS e iY ……....................................................................
44
Figura 5A: Representación gráfica de los modelos propuestos para estimar el coeficiente de Manning, a) Ecuación 22, b) Ecuación 23 y c) Ecuación 24, en función de
iS e iQ ...........................................................................
45
Figura 6A: Salida del flujo a través de la canoa Parshall de 3 pulgadas de ancho de garganta....................................
46
Figura 7A: Esquema del ensayo: tubería de hormigón, plataforma de hierro y tornillos reguladores, piezómetros...............
46
VIII
DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE DE RUGOSIDAD DE MANNING EN TUBERÍAS DE DRENAJE (HORMIGON).
DETERMINATION OF MANNING’S COEFFICIENT IN DRAINAGE PIPE
(CONCRETE)
Palabras índice adicionales: Altura de Agua, caudal, pendientes, diámetro interior. RESUMEN
Se realizó el cálculo del coeficiente de rugosidad de Manning en tuberías de
hormigón vibrado de 150 milímetros de diámetro interior, a partir del control
de variables como altura de agua, caudal y pendiente. Los ensayos se
realizaron a 1/5, 2/5, 3/5 y 4/5 del diámetro interior, con pendientes de 0,1; 0,2;
0,3 y 0,5% y caudales 1,2; 3,5 y 6,6 Ls-1. Los valores de Manning obtenidos
se sitúan en el rango de 0,007-0,013. Los valores de coeficientes más altos
se alcanzaron con las pendientes más elevadas (0,5%).
Se desarrollaron 2 modelos de ajustes utilizando el Método de Mínimos
Cuadrados, los que estiman el coeficiente de rugosidad de Manning en
función de diferentes variables como pendiente, altura de agua y caudal;
para cada uno de los cuales se generó un conjunto de ecuaciones, las que
fueron evaluadas por medio de bondad de ajuste, obteniéndose valores de
diferencia relativa de 3,8% y un coeficiente de determinación de 0,962 al
relacionar las variables altura de agua y pendiente, para el que estima
Manning en función de caudal y pendiente se tiene un coeficiente de
determinación de 0,984 y una diferencia relativa de 1,98%.
1
SUMMARY
Manning´s roughness coefficient was determined for concrete drainage pipes
of 150 mm of inner diameter, using as control parameters water depth, flow
and slope. This study was done using 1/5, 2/5, 3/5 y 4/5 of the internal diameter,
combined with bottom slopes of 0.1; 0.2; 0.3 and 0.5% for flows of 1.2; 3.5
and 6.6 Ls-1. The Manning´s coefficient determined are in the range of 0.007-
0.013. The highest values were observed for the highest slopes (0.5%).
Two fitted models were obtained using the Least Squares Method technique;
where Manning´s coefficient was predicted as a function of the different
variables used in this study: bottom slope, water depth and flow. A set of
equations was generated for each one of the combinations.
Using the least squares methods two fitted models for the roughness
coefficient were generated as a combination of the different variables
involved in this study: bottom slope, water depth and flow.
The precision for each developed model was performed using statistical tests,
obtaining a relative difference of 3.8% and a determination coefficient of
0.962 when water depth and bottom slope are related. On the other hand, for
the model relating flow and bottom slope, there is a determination coefficient
of 0.984 and a relative difference of 1.98 %.
Key words: Water depth, flow, bottom slope, inner diameter.
2
INTRODUCCIÓN
Los sistemas de conducción son técnicas muy antiguas, que datan de la
época de los Griegos; posteriormente los ingenieros Romanos, gracias
fundamentalmente al uso del hormigón, fueron los que crearon técnicas que
se pudieron generalizar por todas las ciudades del Mediterráneo.
Hoy estas técnicas se siguen ocupando y perfeccionando día a día, ejemplo
de ello son las grandes construcciones de redes de alcantarillados o
sistemas de drenaje agrícola; que han facilitando el movimiento del agua en
el suelo de modo que la actividad agrícola se beneficie, creando condiciones
óptimas para el desarrollo de cultivos, mejora de los rendimientos, etc.
(Salgado, 2000).
Los sistemas de drenaje Subsuperficial consisten en la remoción de los
excesos de agua que se acumulan en el interior del suelo y que no pueden
ser eliminados de forma natural debido a algún tipo de restricción que ofrece
el suelo a la percolación profunda (Salgado, 1991).
Los primeros sistemas de drenaje subsuperficiales consistieron, en la
utilización de ramas puestas en el fondo de la zanja, acompañadas de
piedras y arena gruesa; luego fueron reemplazadas por estructuras
fabricadas de madera; posteriormente se utilizaron tuberías de arcilla,
concreto, plástico perforado de pared lisa y corrugado perforado con pared
lisa hasta llegar a la actual configuración perforada de pared corrugada
(Schuwab y Fouss, 1999 citado por Huaiquivil 2005).
3
Poco a poco se ha ido dejando atrás la ocupación de tuberías de hormigón
debido a la serie de ventajas que tienen las tuberías de plásticos corrugados,
siendo mas livianas, con mayor flexibilidad, de fácil maniobrabilidad y su
aptitud de ser instalada en forma mecanizada (Know, 1978 citado Huaiquivil
2005). Sin embargo estudios realizados por el Instituto de Materiales e
Investigación Medioambiental (INTRON) de Holanda, en el cual se obtiene
que las tuberías de hormigón están compuestas por materiales menos
tóxicos (componentes naturales), se integran de mejor forma al medio
ambiente, mayor resistencia a las bajas de temperatura, menor deformación
con el peso (presiones externas), tienen la ventaja de ser de un mayor peso;
por la tanto menor flotación (frente a subpresiones o inundaciones). La
confección del hormigón requiere poca energía, y el material es 100%
reciclable.
Como se mencionó anteriormente, se han fabricado tuberías de distintos
materiales y capaces de trasladar el agua de forma eficiente, pero la mayor
dificultad que presentan en el momento de hacer un diseño de drenaje o
saneamiento, es la correcta selección del coeficiente de rugosidad de
Manning que se emplea en el cálculo hidráulico, para el que según Chow
(1959) no existe un método exacto de selección.
Según White (2004) existe una incertidumbre del 60% para la rugosidad en
tuberías concreto liso, y una variación del 50% para tuberías de concreto
más ásperas.
4
En cuanto a las pendientes utilizadas para los sistemas de red de drenajes
fluctúan entre el 1 y el 5 por mil. FAO (1985) recomienda una pendiente
mínima del 0,5 por mil, el Bureau of Reclamation de Estados Unidos
recomienda un mínimo de 1 por mil para evitar sedimentación (Salgado,
2000).
Una buena selección ayudará a obtener el caudal de diseño deseado, ya que
un valor alto de “ n ” es muy antieconómico y un bajo valor aumenta el caudal,
por lo cual la tubería no tendría la capacidad hidráulica para dicho flujo
(ACPA, 2002).
Decidir cuál es el correcto valor del coeficiente de rugosidad, sigue siendo
objeto de continuas investigaciones y supone la necesidad de un
conocimiento más exhaustivo de los materiales y tuberías disponibles en
este tema tan controvertido.
Debido a esta gran incertidumbre y la posibilidad de calcular este coeficiente,
se pretende a través de este trabajo realizar un modelo matemático que
permita su estimación en función de las variables más representativas de la
ecuación de Manning.
5
Objetivo General
Determinar el coeficiente de rugosidad de Manning en tuberías de
conducción de hormigón vibrado.
Objetivos Específicos
1. Determinar el coeficiente de rugosidad de Manning para cuatro alturas de
flujo en el interior de la tubería de hormigón vibrado, con diversas
pendientes.
2. Modelar el coeficiente de Manning en función del caudal, pendiente y
altura de agua.
3. Comparar los resultados de laboratorio con aquellos informados en
Literatura.
6
METODOLOGÍA
Generalidades
La obtención del coeficiente de rugosidad de Manning, se realizó en el
laboratorio de Recursos Hídricos de la Universidad de Concepción Campus
Chillán.
Para el ensayo se utilizaron 18 metros de tuberías de hormigón de 150
milímetro de diámetro interior.
La modelación se realizó a partir de los datos medidos en laboratorio y
utilizando el Método de Mínimos Cuadrados para establecer los coeficientes
mas adecuados a cada modelo.
Tuberías
Un esquema de tuberías de hormigón, las que fueron proporcionadas por la
Empresa AURORA LTDA. de Chillán se puede apreciar en la Figura 1.
En la Tabla 1 se hace referencia a las características dimensionales de las
tuberías de enchufe campana, propias de las utilizadas en el presente trabajo
(Figura 7A del apéndice).
7
Las tuberías están diseñadas y construidas para operar en óptimas
condiciones con líquidos bajo una presión de escurrimiento gravitacional.
Tabla 1. Características generales del tubo con enchufe campana, largo útil Lu , largo total Lt , diámetro interior cabeza Di , diámetro exterior cabeza De , diámetro interior espiga di , diámetro exterior espiga de , espesor de pared e y peso de referencia Pr .
Denominación Lu mm
Lt mm
Di mm
De mm
di mm
de mm
e mm
Pr kg.
Tubo corriente 150x1,0 935 985 215 255 150 170 20 35,2
Figura 1. Tubería corriente de hormigón con enchufe campana, a) vista en corte transversal, b) tubería en vista normal y c) detalle de unión.
8
Procedimiento
En el Laboratorio de Recursos Hídricos se instaló una plataforma de hierro,
sobre la cual se ubicó la tubería (Figura 2).
Esta plataforma cumple la función de mantener las tuberías con una
pendiente homogénea para cada ensayo, siendo sus dimensiones de 18 m
de largo y 20 cm de base; consta de un sistema regulador de pendiente, la
que es modificable para cada ensayo.
El flujo hacia la tubería de hormigón se condujo mediante un circuito de
cañerías y en conjunto con una motobomba eléctrica, que fue conectada de
forma directa a la tubería y regulada por 2 válvulas de compuerta, una para
mantener una carga hidráulica constante de 3,6 metros en un estanque
sobre la tubería, y la segunda para regular el agua entrante a la tubería que
se evalúa.
Como se señaló anteriormente, se utilizó 18 metros de tubería, con la
finalidad de lograr que el agua al interior de la tubería presente un régimen
uniforme y permanente.
9
Figura 2. Representación del esquema utilizado en Laboratorio.
Variables
Las variables controladas en dichos ensayos fueron:
Pendiente: se reguló mediante un nivel topográfico, a través de lecturas
del hilo medio.
Altura de agua: mediante 6 piezómetros, puestos cada 3 metros.
Caudal pasante: regulado a través de válvulas de paso (por medio de las
cuales se pudo controlar la altura de agua en el interior de la tubería) y
controlado a la salida de la tubería por medio de una canoa Parshall.
Temperatura: medido por medio de un termómetro de mercurio Wilh
Lambrecht KG.
10
Los piezómetros fueron construidos por mangueras transparentes de 4
milímetros de diámetro interior, con un espesor de pared de 2 milímetros y de
50 centímetros de largo.
Mangueras que fueron instaladas posterior a una perforación realizada en la
parte baja de las tuberías de hormigón y ubicados cada 3 metros (a 1,5
metros de la entrada y salida del agua de la tubería).
La canoa Parshall que se utilizó fue de 3 pulgadas de ancho de garganta y
ubicada a un extremo de la tubería (Figura 2), cuya ecuación de calibración
en el Sistema Internacional es:
[1]
Donde:
Q = Caudal (m3s-1).
aH = Carga de agua medida (m).
Las mediciones se realizaron en un periodo de 10 minutos, con 7
repeticiones para el ensayo 1 y 5 para el segundo.
La temperatura fue registrada al inicio de cada uno de las mediciones, con la
finalidad de una posterior corrección de datos si fuese necesario, como
también para la obtención del tipo de flujo (Número de Reynolds) en el
interior de la tubería.
11
547,11765,0 aHQ
Ensayos
Parte 1.
El coeficiente de Manning se obtuvo manteniendo fijas las variables
pendiente y altura de agua (1/5, 2/5, 3/5 y 4/5 del diámetro interior), controlando el
caudal saliente a través de la canoa Parshall.
Los niveles de altura de agua en el interior de las tuberías como las
pendientes que se utilizaron son las siguientes:
Tabla 2. Alturas de agua en tuberías al 20% 20,0Y , 40% 40,0Y , 60% 60,0Y , y 80% 80,0Y del diámetro interior de la tubería di .
Diámetro Interior
20,0Y 40,0Y 60,0Y 80,0Y
Fabricante di mm mm mm mm mm
Hormigón 150 30 60 90 120
Tabla 3. Pendientes1 (mm-1) utilizada en cada uno de los ensayos.
Niveles (%) Pendiente Hidráulica mm-1
1,0S 0,001
2,0S 0,002
3,0S 0,003
5,0S 0,005
1 Las pendientes 1, 2 y 5 por mil son recomendadas por Schwab (1981), citado por Huaiquivil (2005), tanto como para drenes paralelos, como colectores.
12
Parte 2.
El valor “ n ” de Manning se obtuvo fijando el caudal pasante iQ y pendiente
iS , observando las alturas de agua que se registran al interior de la tubería.
Los caudales utilizados en el ensayo se muestran en la Tabla 4.
Tabla 4. Caudal de descarga (Ls-1) utilizados para el ensayo 2.
%Y Caudal (Ls-1) 30 1,2 50 3,5 70 6,6
Las pendientes ocupadas serán las mismas del ensayo 1 (Tabla 3).
Modelación
Parte 3.
La elaboración de un modelo empírico fue realizado para obtener el
coeficiente de Manning a través de diferentes variables independientes, con
este propósito se desarrollaron y analizaron una serie de ecuaciones; que
mediante la relativización de datos, cálculo del error estándar acumulado y
análisis estadísticos se seleccionó el mejor modelo.
Se elaboraron gráficos por medio de herramientas numéricas del software
Matlab (Matrix Laboratory), para una mejor visualización de cada uno de los
modelos propuestos.
13
Ecuación de Manning
La ecuación desarrollada por los años 1890 por el ingeniero Robert Manning,
de gran utilidad en el momento de estimar la resistencia al flujo en un canal
determinado, es modificada mas tarde llegando a la forma que hoy se
presenta (Chow, 1959), expresando el flujo como:
[2] Donde:
Q = Caudal o descarga (m3s-1).
n = Coeficiente de rugosidad de Manning (adimensional).
A = Área de la sección transversal al flujo (m2).
R = Radio hidráulico (m).
S = Pendiente hidráulica (mm-1).
Para secciones circulares, cuando el área de flujo no se encuentra ocupada
completamente, la ecuación para determinar la sección es:
[3]
Donde:
A = Área de la sección transversal al flujo (m2).
= Ángulo formado entre el radio de la tubería y la
superficie del agua (radianes).
od = Diámetro interior de la tubería (m).
14
2/13/21 SRAn
Q
2sin81
odA
El radio hidráulico se obtiene de la relación entre el área de la sección
transversal y el perímetro mojado, a través de la siguiente relación (Mays,
2001).
[4]
Donde:
R = Radio hidráulico (m).
= Ángulo formado entre el radio de la tubería y la
superficie del agua (radianes).
od = Diámetro interior de la tubería (m).
Para verificar el tipo de flujo en el interior de la tubería (crítico o subcrítico) es
necesario obtener el número de Froude, que es un cuociente adimensional
entre las fuerzas de inercia y gravitacionales, que está dado por:
[5]
Donde:
Fr = Número de Froude (adimensional).
V = Velocidad del fluido (ms-1).
g = Aceleración de gravedad (ms-2).
D = Profundidad hidráulica (m).
15
odR
sin1
41
DgVFr
La profundidad hidráulica (Mays, 2001) es la relación entre el área mojada y
el ancho de la superficie, y se obtiene como:
[6]
Donde:
D = Profundidad hidráulica (m).
= Ángulo formado entre el radio de la tubería y la
superficie del agua (radianes).
od = Diámetro interior de la tubería (m).
El ángulo formado entre el radio de la tubería y la superficie del agua se
expresa de acuerdo a la siguiente expresión (Cavelaars, 1994; citado por
Huaiquivil, 2005):
[7]
Donde:
= Ángulo formado entre el radio de la tubería y la
superficie del agua (radianes).
y = Altura de agua en la tubería (m).
od = Diámetro interior de la tubería (m).
16
odD
5,0sinsin
81
ody21cos2 1
El comportamiento del flujo se analizó por medio del número de Reynolds,
que a la vez se utilizó para determinar la longitud de entrada eL , a través de
las siguientes expresiones (white, 2004):
[8]
Donde:
e = Número de Reynolds (adimensional).
V = Velocidad del fluido (m).
d = Diámetro interior de la tubería (m).
= Viscosidad cinemática (m2s-1).
[9]
Donde:
eL = Longitud de entrada (m).
d = Diámetro interior de la tubería (m).
e = Número de Reynolds (adimensional).
17
dVe
6/14,4 edLe
Para una mejor visualización de cada uno de los parámetros señalados en
las expresiones anteriores se presenta a continuación la Figura 3.
Figura 3. Nomenclatura de la tubería de hormigón, diámetro externo D , diámetro interno d , altura de agua en la tubería y , ángulo formado entre el radio de la tubería y la superficie de agua .
18
Método de los Mínimos Cuadrados
El Método de Mínimos Cuadrados busca una función que se ajuste de la
mejor forma a la tendencia general de los datos (sin coincidir necesariamente
con ellos).
La curva encontrada es única y la mejor, en el sentido que genera la menor
suma de los cuadrados de los residuos rE , que puede interpretarse como
la distancia entre los puntos observados y los estimados.
Para este caso en estudio se busca una función polinomial de grado m que
se ajuste a un modelo de dos variables independientes UX , y una variable
dependiente Z , la metodología más usada a seguir es (Chapra, 1999):
[10]
Donde:
iZ = Variable dependiente in .
lka = Coeficientes.
iX = Variable independiente iS .
iU = Variables independientes ii QY ,
19
mlk
lk
li
kilki UXaZ
0
Los coeficientes lka deben ser calculados como aquellos escalares que
producen el mínimo de la función y se determinan agrupando la suma de los
cuadrados de los residuos rE :
[11]
Donde:
rE = Suma de los cuadrados de los residuos.
w = Número de datos.
Derivando parcialmente con respecto a cada coeficiente lka e igualando a
cero se genera un sistema algebraico de 2
21 mm ecuaciones en las
incógnitas mmmm aaaaaaaaaa 011110201102100100 ,,,,,,,,,,, . En
efecto,
li
ki
w
i
mlk
lk
li
kilki
lk
r UXUXaZaE
1 02
021 0
li
ki
w
i
mlk
lk
li
kilki UXUXaZ
[12]
20
2
1 0
w
i
mlk
lk
li
kilkir UXaZE
w
i
li
kii
w
i
mlk
lk
lli
kkilk UXZUXa
11 0
Desarrollando, la ecuación (12) se transforma en:
w
i
li
ki
w
i
li
ki
w
i
li
ki UXaUXaUXa
1
110
1
101
100
w
i
li
mkim
w
i
li
mkim UXaUXa
1
1111
10
[13]
y haciendo variar k y l de manera tal que mlk ,,0 se obtiene el
conjunto de ecuaciones simultaneas.
En el caso particular de 3m (desarrollado en este trabajo) se considera el
modelo:
UXaXaUaXaaZ 112
02100100
330
221
212
303
220 UaUXaUXaXaUa [14]
Donde sus 10 coeficientes se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones
correspondientes.
En el Anexo se puede ver el planteamiento explícito de cada una de las 10
ecuaciones para el caso 3m .
21
w
i
li
kii
w
i
mli
kim
w
i
mli
kim UXZUXaUXa
110
1
1111
La selección del modelo estimado a través del método de los Mínimos
Cuadrados se realizó por medio del siguiente análisis:
Se estimó la bondad de ajuste de los resultados utilizando la Raíz del Error
Cuadrático Medio RMSE y la Diferencia Relativa RD de la siguiente forma
(Mercado; 2006):
[15]
Donde:
RMSE = Raíz del error cuadrático medio.
in = “ n ” de Manning observado.
in̂ = “ n ” de Manning estimado.
w = Número de datos.
[16]
Donde:
RD = Diferencia relativa (%).
RMSE = Media suma cuadrado del error.
in = “ n ” de Manning promedio observado.
22
w
nnRMSE ii
2ˆ
100in
RMSERD
La relativización se obtiene por medio de las siguientes ecuaciones.
Relativización a):
[17]
Donde:
E = Error.
in = “ n ” de Manning observado.
in̂ = “ n ” de Manning estimado.
in = “ n ” de Manning promedio observado.
Relativización b):
[18]
Donde:
E = Error.
in̂ = “ n ” de Manning estimado.
in = “ n ” de Manning observado.
23
i
ii
nnn
E2ˆ
2ˆ
1
i
i
nnE
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Los datos obtenidos para cada uno de los ensayos y sus respectivas
repeticiones, fueron tomados con una temperatura del agua de 20 ºC, para la
que corresponde una viscosidad cinemática de 1,005x10-6 m2s-1 y una
densidad de 998 kgm-3.
El comportamiento del fluido en el interior de la tubería para cada una de las
pendientes y alturas de agua utilizadas se presenta en la Figura 1A del
Apéndice.
A partir de estos datos se calculó la pendiente de las líneas de pérdidas de
energía para cada una de las alturas de agua evaluadas, las que se
observan en la Figura 2A. Además, se debe señalar que se eliminó el primer
dato debido a una depresión al ingreso del agua a la tubería, lo que no
representa las características típicas de la pérdida de energía, ya que el flujo
se encuentra totalmente desarrollado a una longitud de entrada eL de 4
metros aproximados (White, 2004).
Al observar los perfiles hidráulicos para la mayor pendiente (0,5%), la altura
de escurrimiento del fluido no se estabiliza a lo largo de la tubería, debido al
aumento de la velocidad del agua como producto de la pendiente, rugosidad
de las paredes y uniones entre tuberías, por otra parte al analizar la
pendiente de un 0,1%; se ve claramente que la altura de agua es similar para
todos los piezómetros instalados.
24
Los valores obtenidos del cálculo del coeficiente de rugosidad de Manning
para alturas de agua de 1/5, 2/5, 3/5 y 4/5, con las pendientes de 1, 2, 3 y 5 por
mil se presentan en la Figura 4.
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,006 0,008 0,010 0,012 0,014Manning " n "
Frac
ción
de
altu
ra d
e flu
jo
n (S = 0,5%) n (S = 0,3%) n (S = 0,2%) n (S = 0,1%)
Figura 4. Comportamiento de coeficiente de rugosidad de Manning para diferentes alturas de agua y pendientes en una tubería de 150 mm de diámetro interior.
De la Figura 4 se aprecia que la curva de pendiente 0,5% presenta una
forma parabólica que a medida que va disminuyendo la pendiente va
cambiando su concavidad, llegando a la forma que tiene en la pendiente
0,1% (forma de C invertida). Las curvas con pendientes 0,5 y 0,3%; son
similares a las obtenidas por Zeigler et al. (1977) para tuberías de drenaje de
PVC corrugado.
El hecho que las curvas se vayan trasladando en la Figura 4, es
consecuencia de un menor requerimiento de caudal iQ para alcanzar la
altura de agua iY requerida a medida que se disminuye la pendiente iS .
25
Las curvas de las Figuras 4 y 6 con pendiente 0,1% son consecuencia de
una variación en el comportamiento del fluido, como producto de la
disminución de la velocidad a la baja pendiente, en conjunto de los efectos
que provoca una disminución de la resistencia de la pared (rugosidad) y las
irregularidades de las uniones o empalmes.
Las irregularidades ya mencionadas son discontinuidades en la tubería,
provocadas por el tipo de unión comercialmente utilizado para este tipo de
material, y que no siempre calzan perfectamente provocando pequeños
resaltos como los que se aprecian en la Figura 5:
Figura 5. Esquema de la unión o empalme de las tuberías, factor de alteración al paso del flujo.
Las variaciones de caudal en las pendientes utilizadas y alturas de agua en
estudio (1/5, 2/5, 3/5 y 4/5) siguen un comportamiento normal o clásico, donde
los mayores caudales se dan para la pendiente más alta, esto se representa
en la Figura 3A del Apéndice.
26
Los valores obtenidos del coeficiente de Manning in del ensayo realizado
se muestran en la Tabla 5.
Tabla 5. Valores promedios obtenidos de coeficiente rugosidad de Manning para una tubería de 150 mm de diámetro interior.
Valores de Manning “ n ” Mínimo Mediana Máximo 0,007 0,010 0,013
Los resultados en el ensayo son similares a los obtenidos por el Laboratorio
del Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de Alberta en Canadá
(1986), en la investigación titulada como “Study of Manning’s Roughness
Coefficient for Commercial Concrete and Plastic Pipe" que posteriormente
fueron confirmados por la American Concrete Pipe Association en un
laboratorio de la Universidad de Utah State (American Concrete Pipe
Association, 2002).
Al relacionar el coeficiente de Manning con el caudal saliente para cada una
de las pendientes analizadas (Figura 6), se obtienen curvas de forma de
parábola cóncava en pendiente 0,1% y de parábola convexa para las
pendientes 0,3 y 0,5%.
Se puede señalar que la pendiente 0,2% es una curva de transición entre las
parábolas mencionadas anteriormente ya que no presenta una distribución
con una tendencia muy clara, presentando una forma más rectilínea que las
anteriores.
Para la curva con pendiente 0,1%; ocurre el mismo efecto mencionado en la
Figura 4, donde el cambio es producto de las irregularidades mencionadas
27
anteriormente en la Figura 5; además, se puede mencionar que para las
distintas combinaciones de pendientes y alturas de aguas analizadas, se
tienen flujos bajo condiciones normales de escurrimiento.
22
0,006
0,007
0,008
0,009
0,010
0,011
0,012
0,013
0,014
0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012
Caudal (m3s-1)
Man
ning
"n"
n (S = 0,5%) n (S = 0,3%) n (S = 0,2%) n (S = 0,1%)
Figura 6. Coeficiente de rugosidad de Manning in en función del caudal iQ y pendiente iS en tuberías de 150 mm de diámetro interior.
Modelación del coeficiente de rugosidad de Manning en función de
fracción de altura de agua y pendiente. El coeficiente de Manning in se
estimó a partir del primer ensayo durante el cual se mantuvo fijo la altura de
agua iY en el interior de la tubería y pendiente iS . Se generó una serie
de ecuaciones, de los cuales sólo 3 modelos serán presentados en este
trabajo, por medio de las ecuaciones 19, 20 y 21.
28
En la ecuación 19 se presenta un modelo en dos variables y de grado 2,
además del producto entre ellas. El coeficiente de determinación 2r nos
entrega un valor de 0,923 o 92,3% que nos proporciona la asociación de las
variables.
22 00321,002932,000202,0
00041,002926,000563,0
iiii
iii
YSYS
YSn
[19]
Donde:
in = Coeficiente de Manning (adimensional).
iS = Pendiente (%).
iY = Fracción de altura de agua.
De la suma de los cuadrados de los residuos rE se obtuvo un valor de
rE =3,54910-05 y un valor de la diferencia relativa RD de 5,43%.
Como se apreció en la ecuación 19, el valor del coeficiente que acompaña la
variable iY es un valor bajo, lo que implica que la variable independiente que
predomina en cuanto a importancia en la ecuación es la pendiente iS .
Los ajustes se van realizando mediante un análisis de la dependencia de los
coeficientes estimados respecto a la variable en función ii YS , .
29
Un segundo modelo realizado es una ecuación empírica de grado 3, que
tiene siguiente forma:
32 09115,010938,005029,000221,000463,0 iiiii SSSYn [20]
Donde:
in = Coeficiente de Manning (adimensional).
iS = Pendiente (%).
iY = Fracción de altura de agua.
Al igual que en la ecuación 19, se aprecia que el coeficiente de menor
magnitud es el correspondiente a la variable iY .
El coeficiente de determinación 2r para este modelo es de 0,915 o 91,5% y
un valor de RD de 5,72%; en la Tabla 1A (Apéndice) se encuentra la
tabulación de todos los estimadores analizados en los modelos.
El tercer modelo tiene la forma siguiente:
iiiii
iii
YSSSY
SYn
22 11261,008552,006691,0
06366,000518,000230,0 [21]
Donde:
in = Coeficiente de Manning (adimensional).
iS = Pendiente (%).
iY = Fracción de altura de agua.
30
Es un submodelo de grado 3, El coeficiente de determinación 2r para este
modelo es de 0,962 o 96,2% y un valor de RD de 3,80%; siendo la mejor
propuesta obtenida en este Trabajo.
Las figuras representativas de cada una de estos modelos, fueron
desarrolladas utilizando el software Matlab, las que se presentan en la Figura
4A del Apéndice.
Modelación del coeficiente de rugosidad de Manning en función de
caudal saliente y pendiente. Esta modelación se realizó a partir del
segundo ensayo realizado, en el cual se mantuvo fijo las variables de caudal
iQ y pendiente iS .
El primer modelo desarrollado es un polinomio de segundo grado en sus dos
variables y el producto de ambas, cuya forma es:
22 014722,0000046,0000110,0
019052,0000240,0006299,0
iiii
iii
SQSQ
SQn
[22]
Donde:
in = Coeficiente de Manning (adimensional).
iS = Pendiente (%).
iQ = Caudal o descarga (m3s-1).
31
Para este modelo se observó un coeficiente de determinación de 0,9839 o
98,39% y un coeficiente de correlación de 99,19% lo que se considera un
ajuste altamente bueno, la suma de los cuadrados de los residuos rE se
tiene un valor de 2,97310-06 y un RD de 1,98%; uno de los valores más
bajos de los modelos estimados.
Un segundo modelo que estima el coeficiente de Manning en función de
pendiente y caudal es presentado en la ecuación 23:
322 084403,0058946,0000013,0
001250,0007803,0
iii
ii
SSQ
Sn
[23]
Donde:
in = Coeficiente de Manning (adimensional).
iS = Pendiente (%).
iQ = Caudal o descarga (m3s-1).
Modelo de tercer orden, que presenta una ecuación estructuralmente en
función de la pendiente. Los estimadores observados tienen un coeficiente
de determinación 2r de 0,982 y un RD de 2,09%.
32
El tercer modelo propuesto, es una ecuación empírica de tercer orden o
cúbica, que incluye el producto de ambas variables independientes.
322
2
090007,0000211,0063096,0
000015,0007938,0
iiii
ii
SQSS
Qn
[24]
Donde:
in = Coeficiente de Manning (adimensional).
iS = Pendiente (%).
iQ = Caudal o descarga (m3s-1).
Los estimadores estadísticos para la ecuación 24 tienen valores de 0,9827
para el coeficiente de determinación, un RD de 2,05%, considerado como un
valor bajo.
Todos los estimadores usados y sus valores se observan en la Tabla 2A del
Apéndice, al igual que la representación gráfica de los modelos en la Figura
5A.
De las ecuaciones mencionadas anteriormente, la variable que prevalece y
es de gran importancia en cada una de ellas es la pendiente iS , esto se
puede apreciar en cada uno de los valores obtenidos para cada coeficiente
de los modelos.
33
Se observó que cada uno de los modelos que estima el coeficiente de
Manning se ajusta de muy buena forma a los calculados en el laboratorio.
Cabe señalar que cada uno de estos modelos sirven para predecir el
coeficiente de Manning en tuberías de hormigón vibrado de diámetro interior
de 150 mm, con pendiente que van de 0,1 a 0,5% y caudales que tienen
como máximo de 10 litros por segundo.
La Tabla 3A (Apéndice) muestra la variación de caudal que se presenta al
haber un error en la lectura de la canoa Parshall y en cuanto afecta el
coeficiente de Manning (%). En las Figuras 6A y 7A se tienen fotos de la
infraestructura instalada en el Laboratorio de Recursos Hídricos para la
realización de los ensayos.
34
Coeficiente de Manning en Literatura. En publicaciones analizadas, como
libros o artículos se tienen los siguientes valores de coeficientes de Manning:
según el libro “Modern Sewer Design” publicado por American Iron and Steel
Institute el Coeficiente de Manning para las tuberías de hormigón se tienen
valores dentro del rango de 0,011-0,015; utilizados para tubería a flujo lleno.
Según Chow, en “Hidráulica de Canales Abiertos” en conductos cerrados de
concreto parcialmente lleno se tienen valores mínimos de 0,010; normales de
0,011 y máximos de 0,013. Por consiguiente en “Stormwater Collection
Systems Design Handbook” valores para el coeficiente de 0,010 a 0,013.
Según el informe "Cálculo hidráulico de las conducciones de saneamiento y
drenaje” realizado por la Cátedra de Ingeniería Sanitaria y Ambiental,
Departamento de Ingeniería Hidráulica y Medio Ambiente, de la Universidad
Politécnica de Valencia, se estimaron unos valores de 0,009 a 0,011 para
valores de laboratorio; 0,012 para una red unitaria y 0,013 para una red de
alcantarillado residual (ATHA).
Un estudio realizado por el laboratorio del departamento de Ingeniería Civil
de la Universidad de Alberta en Canadá, estimo valores que comprenden un
máximos de 0,0138 y mínimos de 0,0076 para “ n ” (ACPA, 2002).
En Chile la estimación del caudal pasante en tuberías, es calculada a través
de la ecuación de Manning; los fabricantes de tuberías de hormigón vibrado y
la Norma Chilena (NCh 1105), recomienda un valor para “ n ” de 0,013 bajo
condiciones de una tubería llena, pero no hay disponibles valores a alturas
parciales.
35
CONCLUSIONES
Los valores más altos de coeficiente de Manning se obtuvieron para las
pendientes 0,3 y 0,5%, dentro de un rango de 0,010-0,013;
encontrándose en los extremos a 1/5 y 4/5 de altura de agua para la
pendiente 0,5%; a diferencia de las otras pendientes, donde en
coeficiente de Manning fue decreciendo. Los valores más bajos se dieron
para las pendientes 0,1 y 0,2%, teniendo como valor mínimos de “ n ”
0,007.
Los modelos estimados son polinomios de segundo y tercer grado, en
función de dos variables (pendiente, altura de agua o caudal). De los
modelos seleccionados, la ecuación 21 que estima el coeficiente de
Manning en función de pendiente y altura de agua, obtuvo valores de RD
de un 3,8% y un 2r de 96,2%; para el modelo que estima “ n ” en función
de pendiente y caudal se tiene un RD de 1,98% y un 2r de 98,4%
(ecuación 22).
El valor promedio obtenido para la pendiente 0,5% es de 0,013; valor
encontrado con mayor frecuencia en Bibliografía; en estudios más
actuales, el rango de valores varia de 0,007-0,013 que es lo obtenido en
los ensayos realizados para las diferentes pendientes; cabe señalar que
hoy en día el factor de coeficiente de Manning no solo se atribuye a la
rugosidad de las paredes del tubo de hormigón, si no a la calidad del
agua a trasladar.
36
LITERATURA CITADA
1. American Concrete Pipe Association. 2002. Manning’s n Values History of
Research, Design data 10. [en linea]. ACPA. http://www.concrete-pipe.org/pdfs1/DD_10n.pdf. [consulta: 11 junio, 2007].
2. American Iron and Steel Institute. 1990. Moder Sewer Design. (2 nd. Ed.).
American Iron and Steel Institute. Washington, D.C., USA. 3. Asociación Española de Fabricantes de Tubos de Hormigón Armado.
2007. Ecuación de Manning. Valores del coeficiente de rugosidad para tuberías de hormigón. [en línea]. ATHA. http://www.atha.es/atha_archivos/biblioteca/frames.htm. [consulta: 11 junio, 2007].
4. Chapra, S., R. Canale. 1999. Métodos Numéricos para Ingenieros. (3a
ed.). McGraw-Hill. México, D.F., México. 5. Chow, V.T. 1994. Hidráulica de canales abiertos. McGraw-Hill. Santafé de
bogota, Colombia. 6. Huaiquivil, D.E. 2005. Determinación del coeficiente de rugosidad de
Manning en tuberías de drenaje. Memoria de titulo, Ing. Civil Agrícola. Universidad de Concepción, Fac. de Ing. Agríc., Depto. Recursos Hídricos. Chillán, Chile.
7. Mays, L.W. 2001. Stormwater Collection Systems Design Handbook,
McGraw-Hill. New York, U.S.A. 8. Mercado, G.H. 2006. Estimación de la evapotranspiración de referencia
utilizando información de temperatura del aire. Tesis de Magister. Ing. Civil Agrícola. Universidad de Concepción, Fac. de Ing. Agríc., Depto. Recursos Hídricos. Chillán, Chile.
9. Miller I., J. Freud, y R. Johnson. 1992. Probabilidad y Estadística para
Ingenieros. (4a ed.). Prentice-Hall Hispanoamericana. México, D.F., México.
10. White, F.M. 2004. Mecánica de Fluidos. (5a ed.). McGraw-Hill. Madrid,
España.
37
11. Zeigler, E.R., R.J. Winger and L.S. Willarson. 1977. Friction, grade, and
alignment studies for corrugated plastic drain tubing. pp: 146-161 in: Proceedings of the ASCE Irrigation and Drainage Division. Specialty Conference on Water Management for Irrigation and Drainage. July 20-22, 1977. American Society of Civil Engineering. Nevada, U.S.A.
12. Salgado, L. 1991. Drenaje en Frutales. pp: 36-37. Boletín de extensión
Nº49. Universidad de Concepción, Departamento de Ingeniería Agrícola. Chillan, Chile.
13. Salgado, L. 2000. Manual de estándares técnicos y económicos para
obras de drenaje. Comisión Nacional de Riego. Ministerio de Agricultura. Santiago, Chile.
38
APÉNDICE
39
Tabla 1A. Coeficiente de Manning promedio in para el modelo, raíz del
error cuadrático medio RMSE , diferencia media RD , coeficiente de determinación 2r , coeficiente de correlación r y suma de los cuadrados de los residuos rE para los modelos estimados a partir de pendientes iS y fracción de altura de agua iY .
Ecuación Nº19 Ecuación Nº20 Ecuación Nº21 in 0,01035 0,01036 0,01036
RMSE 0,00056 0,00059 0,00039 RD (%) 5,43458 5,72264 3,80117
Relativización a) 0,33079 0,36678 0,16183 Relativización b) 0,38167 0,43732 0,22720
2r 0,9232 0,9149 0,9624 r 0,9608 0,9565 0,9810
rE 3,5492E-05 3,9354E-05 1,7364E-05
Tabla 2A. Coeficiente de Manning promedio in para el modelo, raíz del error cuadrático medio RMSE , diferencia media RD , coeficiente de determinación 2r , coeficiente de correlación r y suma de los cuadrados de los residuos rE para los modelos estimados a partir de pendientes iS y caudal iQ .
Ecuación Nº22 Ecuación Nº23 Ecuación Nº24 in 0,01024 0,01024 0,01025
RMSE 0,00020 0,00021 0,00021 RD (%) 1,98340 2,09362 2,05240
Relativización a) 0,02832 0,03156 0,03033 Relativización b) 0,02753 0,03120 0,02940
2r 0,9839 0,9820 0,9827 r 0,9919 0,9910 0,9913
rE 2,9729E-06 3,3125E-06 3,1833E-06
40
Sensibilidad de la Canoa Parshall.
La canoa Parshall utilizada, se rige por la siguiente ecuación de calibración
(sistema internacional):
547,11765,0 aHQ 1
Donde:
Q = Caudal (m3s-1).
aH = Carga de agua medida (m).
Se analizó el caso de un error en la lectura de la carga de agua medida en
2 milímetros.
En la Tabla 3A se obtiene el porcentaje de variación en el coeficiente de
Manning para el error antes mencionado.
Tabla 3A. Variación de volumen en centímetros cúbicos (cm3) de agua, para un error de lectura de 2 milímetros, porcentaje de cambio en coeficiente de Manning.
Pendiente 1/1000
Lecturas (cm) Caudal m3s Ls-1 cm3 n %
4 1Q 0,00121 1,2138 - 0,00925 4,2 2Q 0,00131 1,3089 95,1 0,00858 -7,24 3,8 3Q 0,00112 1,1212 92,6 0,01001 +8,22
Pendiente 5/1000
Lecturas (cm) Caudal m3s Ls-1 cm3 n %
12 4Q 0,00664 6,6411 - 0,01242 12,2 5Q 0,00681 6,8131 172,0 0,01211 -2,52 11,8 6Q 0,00647 6,4706 170,4 0,01275 +2,63
41
a) b)
c) d)
Figura 1A. Perfil hidráulico para pendientes a) 0,5%, b) 0,3%, c) 0,2% y d) 0,1%; para alturas de escurrimiento de 20, 40, 60 y 80% del diámetro interior de tubería (150 mm).
0
3
6
9
12
15
0 1,5 3 4,5 6 7,5 9 10,5 12 13,5 15 16,5 18Distancia (m)
Altu
ra d
e ag
ua (c
m)
0,2 0,4 0,6 0,8
0
3
6
9
12
15
0 1,5 3 4,5 6 7,5 9 10,5 12 13,5 15 16,5 18
Distancia (m)
Altu
ra d
e flu
jo (c
m)
0,2 0,4 0,6 0,8
0
3
6
9
12
15
0 1,5 3 4,5 6 7,5 9 10,5 12 13,5 15 16,5 18
Distancia (m)
Altu
ra d
e flu
jo (c
m)
0,8 0,4 0,6 0,2
0
3
6
9
12
15
0 1,5 3 4,5 6 7,5 9 10,5 12 13,5 15 16,5 18
Distancia (m)
Altu
ra d
e flu
jo (c
m)
0,2 0,4 0,6 0,8
42
a) b)
c) d)
Figura 2A. Perdida de energía en función del perfil longitudinal de la tubería, para fracciones de altura de agua de a) 20%, b) 40%, c) 60% y d) 80% del diámetro interior (150 mm), para las pendientes 0,5; 0,3; 0,2 y 0,1%.
0,1
0,3
0,5
0,7
0,9
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01Caudal (m3s -1)
Altu
ra d
e ag
ua (f
racc
ión)
S (0,5) S (0,3) S (0,2) S (0,1)
Figura 3A. Variación de caudal promedio para cada una de las alturas de agua utilizadas en función de pendiente.
0,0000
0,0020
0,0040
0,0060
0,0080
6,0 7,5 9,0 10,5 12,0 13,5 15,0 16,5 18,0
Distancia (m)
Per
dida
de
Car
ga (m
/m)
S=0,5% S=0,3% S=0,2% S=0,1%
-0,0010
0,0010
0,0030
0,0050
0,0070
0,0090
6,0 7,5 9,0 10,5 12,0 13,5 15,0 16,5 18,0
Distancia (m)
Perd
ida
de C
arga
(m
/m)
S=0,5% S=0,3% S=0,2% S=0,1%
-0,0020
0,0000
0,0020
0,0040
0,0060
0,0080
6,0 7,5 9,0 10,5 12,0 13,5 15,0 16,5 18,0
Distancia (m)
Per
dida
de
Car
ga (m
/m)
S=0,5% S=0,3% S=0,2% S=0,1%
-0,0030
0,0000
0,0030
0,0060
0,0090
0,0120
6,0 7,5 9,0 10,5 12,0 13,5 15,0 16,5 18,0Distancia (m)
Per
dida
de
Car
ga (m
/m)
S=0,5% S=0,3% S=0,2% S=0,1%
43
a) b)
c)
Figura 4A. Representación gráfica de los modelos propuestos para estimar el Coeficiente de Manning, a) Ecuación 19, b) Ecuación 20 y c) Ecuación 21, en función de iS e iY .
44
a) b)
c) Figura 5A. Representación gráfica de los modelos propuestos para estimar
el Coeficiente de Manning, a) Ecuación 22, b) Ecuación 23 y c) Ecuación 24, en función de iS e iQ .
45
Figura 6A. Salida del flujo a través de la canoa Parshall de 3 pulgadas de
ancho de garganta.
Figura 7A. Esquema del ensayo: tubería de hormigón, plataforma de hierro y
tornillos reguladores, piezómetros.
46
ANEXO
47
Sistema de ecuaciones lineales generadas por el Método de Mínimos
Cuadrados para el caso particular de 3m .
0 lk
w
ii
w
iii
w
ii
w
ii
w
ii UaUXaXaUaXawa
1
220
111
1
202
110
10100
w
ii
w
ii
w
iii
w
iii
w
ii ZUaUXaUXaXa
11
330
1
221
1
212
1
303
0,1 lk
w
ii
w
iii
w
ii
w
ii XaUXaXaXa
1
302
110
1
201
100
w
ii
w
iii
w
iii XaUXaUXa
1
403
1
220
1
211
w
iii
w
iii
w
iii
w
iii ZXUXaUXaUXa
11
330
1
2221
1
312
1,0 lk
w
iii
w
ii
w
iii
w
ii UXaUaUXaUa
1
202
1
210
101
100
w
iii
w
ii
w
iii UXaUaUXa
1
303
1
320
1
211
w
iii
w
ii
w
iii
w
iii ZUUaUXaUXa
11
430
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321
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2212
48
0,2 lk
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iii
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ii
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210
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301
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503
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2220
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311
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2
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302
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100
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1
403
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2211
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2
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ii
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3
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3330
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2421
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iii
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2
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2403
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420
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3211
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iii ZUXUXaUXaUXa
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3303
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520
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411
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iii
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iii
w
iii ZUUaUXaUXa
1
3
1
630
1
521
1
4212
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtienen los valores de cada uno
de los coeficientes 30211203201102100100 ,,,,,,,,, aaaaaaaaaa involucrados en
cada modelo.
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