1

Google のページランク• 基本的な仕組は数学的

グラフの行列による表現　隣接行列（推移行列、遷移行列）固有値と固有ベクトル

0111

1000

0100

0010

G

C

S

WGCSW

行列の上と左の W, S, C, G は注釈であり行列に含まれない

に辺がないから頂点頂点０に辺があるから頂点頂点ji

ji1ija

W 大学

S 学部 C 学科

G 研究室

WEB ページのリンクの関係

2

隣接行列を転置する• 隣接行列　　　　　　　を転置する

リンクを「出す」側から「受ける」側へ)( ijaA

0100

1010

1001

1000

tAW 大学

S 学部 C 学科

G 研究室

WEB ページのリンクの関係

3

隣接行列から推移確率行列へ• 列 (column) の総和が１または０になるように調整

ページの評価値をリンク先に渡す

01003

10103

10013

1000

M

W 大学

S 学部 C 学科

G 研究室

WEB ページのリンクの関係

１１

１

1/31/3

1/3

4

推移確率行列の固有値と固有ベクトル

• 固有値 λ と固有ベクトルｒ

• 行列 M を掛ける（乗算）ということは、グラフの辺に沿って（確率的に）推移するということである

• 固有ベクトルの各要素は M を掛けても定数倍しか変化しない。（安定している）固有ベクトルの各要素がランクになる（ただし要素の和が１となるように正規化する）

rrM

5

固有ベクトルの具体例• GNU 　 Octave を使って計算する。固有値 λ ＝１が最大

の固有値であり、固有ベクトルは下の左のようになる。

62554.0

62554.0

41703.0

20851.0

33333.0

33333.0

22222.0

11111.0

• これを正規化したページランクは上の右である。

1/9 W 大学

S 学部 C 学科

G 研究室

１１

１

1/31/3

1/3

1/3

1/3

2/9

ページランクを記入した図

6

Google における工夫• サイズの大きな

疎 (sparse) 行列の固有ベクトルの計算

• ユーザがランダムにページを渡り歩くと仮定

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

14NN

W 大学

S 学部 C 学科

G 研究室

7

Google におけるページランク• 次の行列の固有ベクトルを求めて、要素の和が

１になるように正規化する。

31409.0

32540.0

23401.0

12649.0

W 大学

S 学部 C 学科

G 研究室

0375.08875.00375.00375.0

320833.00375.08875.00375.0

320833.00375.00375.08875.0

320833.00375.00375.00375.0

4115.085.0

4NM

8

より深く調べるために• 本資料の例題は簡単にするために４つのサイトに閉

じていた。現実の PageRank は早稲田大学（ 8/10 ）、理工学部（ 6/10 ）、 CS 学科（ 5/10 ）、後藤研（ 4/10 ）。

• 次の資料が参考になるhttp://www.kusastro.kyoto-u.ac.jp/~baba/wais/pagerank.html本資料は上記を参考にした。ただし Octave のスクリプトは若干改良した。

• Google の創始者による論文も入手できる。Lawrence Page, Sergey Brin, Rajeev Motwani, Terry Winograd, 'The PageRank Citation Ranking: Bringing Order to the Web', 1998,http://www-db.stanford.edu/~backrub/pageranksub.ps Taher H. Haveliwala, 'Efficient Computation of PageRank', Stanford Technical Report, 1999,http://dbpubs.stanford.edu:8090/pub/1999-31

9

特集：情報数学の演習問題• 2005 年度の定期試験問題の解答を解説します。

2006 年度の諸君の勉強の参考にして下さい。• 次の事実に注意してください。

2004 年度の金曜日（前半）の担当は上田和紀教授、 2005 年度から担当を交代して後藤滋樹です。

• 本日の授業では３題を解説します。残り２題は来週以降に解説する予定。

10

問１．集合 A ＝ { 2, 3, 4, 5 }, 集合 B={ 1, 3, 5, 7 } とするとき、次の (1-1) ～ (1-6) の集合を外延的に表現せよ。

• ヒント：　記号の意味を覚えておく必要がある

)(2)61(

)51(

)41(

)31(

)21(

)11(

B

BA

BA

BA

BA

BA

B

11

問１．解答

• ヒント：　各集合の要素の数を考えてみる

7,5,3,1,7,5,3,7,5,1,7,3,1,5,3,1

,7,5,7,3,5,3,7,1,5,1,3,1,7,5,3,1,

)(2)61(

4,2)51(

7,1,5,1,3,1,1,1,5,0,4,0,3,0,2,0)41(

7,5,5,5,3,5,1,5,7,4,5,4,3,4,1,4

7,3,5,3,3,3,1,3,7,2,5,2,3,2,1,2)31(

5,3)21(

}7,5,4,3,2,1)11(

B

BA

BA

BA

BA

BA

B

12

問２．自然数の集合 N は無限集合である。このとき集合 N 2 が可算無限集合 (enumerable set, countable set) であることを示せ。

• ヒント：　 N 2 という表記法を誤解しないように

13

問 2 ．解答

2}3){( 2 yxyx NNN2

NN　　　　　　　　は自然数の集合の直積である。

　　　　　の要素 <x,y> に自然数 を対応づける関数は全単射である。よって　　と　　　　　　　　　とは対等で同じ濃度をもつ。 集合　　が可算無限集合であるから　　　も可算 無限集合である。

N

2NNNNN2

14

問３．次の (3-1) ～ (3-3) で定義する各々の二項関係は、（ a ）反対称律、（ r ）反射律、（ s ）対称律、（ t ）推移律のどれを満たすか？ (3-1) ～ (3-3) の各々について、満たす性質すべてを記号（ a, r, s, t ）で答えよ。

15

問３．

(3-1) A は 2 次元平面上のすべての点の集合で、関係 R は「点 x は点 y よりも原点より遠くない」と定義される。

(3-2) A は 2 次元平面上のすべての直線の集合で、関係 R は「直線 x と直線 y が平行である」と定義される。

(3-3) 有限集合 A={0, 1, 2, 3, 4} の上で R は　　 R={<0,0>,<1,1,>,<2,2>,<3,3>,<4,4>} と

いうグラフで定義される。

16

問 3 ．解答

　 (3-1) r, t

(3-2) r, s, t

(3-3) a, r, s, t

17

レポートの提出方法 (2006 年度 後藤担当）

• レポート用紙を下記の URL からプリントするhttp://www.goto.info.waseda.ac.jp/~goto/infomath.html

１班 ( 奇数班 ), と２班 ( 偶数班 ) で用紙が異なる• 提出場所は、 60 号館 2 階の

CS 学科事務所前の BOXBOX 番号は掲示による

• 締切厳守のこと提出期間は、 2006 年 5 月 22 日 ( 月 ) ～ 26 日 ( 金 ) の間

18

問１　集合の要素• 次の集合に属するすべての要素を列挙せよ。

例：

[1-1] ( または　 P (P (f g )) 　 )

[1-2]

aaa ,1,,0}{}1,0{

{}22

}}{,{}}}{,{},{,{ aaaaaa

ヒント：　 [1-2] では＋の左と右の集合の要素の数を、まず数えてみる。　　　　　これは有限集合である。

19

問 2 　関数

• 次の集合に属する要素を具体的に一つ挙げよ。

　　 N{0,1}×{2,3 ｝

ヒント：　まず集合 {0, 1}×{2, 3} 　の要素を具体的に書いてみる。

20

問３　集合の濃度（可算集合）• 自然数の集合 N={0,1,2,…} の直積 N2=N×N

から N への関数 f(x,y)={(x+y)2+3x+y}÷2 を

考える。

(3-1) f(0,0), f(0,1), f(1,0) ,f(0,2), f(1,1), f(2,0)

の値を計算せよ。

(3-2) N2 は可算集合であることを説明せよ。

21

問４　二項関係の反射推移的閉包• 集合 A = {p, q, r, s} 上の二項関係

R = {<p, q>, <q, r>, <r, s>, <r,r>} の反射推移閉包（すなわち R * ）を求めよ．

p q

rs

R0 R1 R2 R3 R4

p p q r r,s r,s

q q r r,s r,s r,s

r r r,s r,s r,s r,s

s s

ヒント