Gordan Đurović - Elektrotehnika 2

Gordan Đurović

ELEKTROTEHNIKA 2(dodatak za samostalno učenje)

Poglavlje 16 Vremenski promjenjive električne veličine − dodatak za samostalno učenje

− 65 −

16. VREMENSKI PROMJENJIVE ELEKTRIČNE VELIČINE

Kako je trenutna vrijednost periodički promjenjivih električnih veličina, prikazana za sinusoidni napon u(t) izrazom (16−8), nepraktična za analiziranje strujnih krugova, periodički promjenjive električne veličine se karakteriziraju vrijednostima kao što su srednja aritmetička, srednja elektrolitska i ranije spomenuta efektivna vrijednost.

16.4. Srednja aritmetička vrijednost

Srednja aritmetička vrijednost xsr više različitih vrijednosti jednaka je kvocijentu sume tih vrijednosti s njihovim brojem, tj.:

nxxxxx n321

sr++++

=... . (16−9)

Da bi se za vremenski promjenjivu periodičku veličinu odredila srednja aritmetička

vrijednost, promatra se samo njezina perioda T, te se unutar te periode određuje srednja vrijednost. Kada se perioda podijeli na n infitezimalno malenih vremenskih intervala dt, te se provede sumiranje svih pojedinačnih srednjih vrijednosti integriranjem, dobiva se izraz:

∫ ⋅=T

tyT

y0

sr d1 , (16−10)

pri čemu y predstavlja ili struju i(t) ili napon u(t). Na osnovi toga možemo pisati da će srednja aritmetička vrijednost Usr napona u(t) biti:

( ) [ ]Vd1

0sr ∫ ⋅=

T

ttuT

U , (16−11)

a srednja aritmetička vrijednost Isr struje i(t) biti:

( ) [ ]Ad1

0sr ∫ ⋅=

T

ttiT

I . (16−12)

16.5. Srednja elektrolitska vrijednost Uvrste li se u dobivene izraze (16−11), odnosno (16−12), opći izrazi za trenutnu

vrijednost napona u(t), odnosno struje i(t), dobivena će srednja aritmetička vrijednost biti jednaka nuli. Posljedica je ovo pravilnosti oblika sinusoide s obzirom na os apscisa. Ipak, da bi se sinusoidne električne veličine moglo uporabiti u slučajevima kada je njihova srednja aritmetička vrijednost važna (npr. kod elektrolize), moguće je provesti ispravljanje električne veličine na način prikazan na slici 16.5.


− 66 −

Slika 16.5. Ispravljanje sinusoidnog napona. Prilikom ispravljanja sinusoidne električne veličine na način prikazan na slici 16.5. za

napon u(t), negativni se dijelovi (oni ispod osi apscisa) prebacuju na pozitivnu stranu (onu iznad osi apscisa). U ovom se slučaju promatra apsolutna vrijednost električne veličine, a kako se dobivanje srednje vrijednosti provodi na isti način možemo pisati da će srednja elektrolitska vrijednost Uel za napon u(t) biti:

( ) [ ]Vd1

0el ∫ ⋅=

T

ttuT

U , (16−13)

odnosno za struju i(t) biti:

( ) [ ]Ad1

0el ∫ ⋅=

T

ttiT

I . (16−14)

Kao što se na slici 16.5. vidi, u slučaju na opisani način ispravljene sinusoidne

električne veličine, period T postaje samo polovica periode neispravljene sinusoidne električne veličine.

16.6. Efektivna vrijednost Efektivna vrijednost sinusoidnih električnih veličina izrazito je važna u provođenju

analiza izmjeničnih strujnih mreža. Ova vrijednost omogućava definiranje sinusoidne električne veličine, kojoj se u svakom trenutku mijenja vrijednost, pomoću jednoznačne vrijednosti s kojom je provođenje računanja znatno olakšano.

Kolika će biti efektivna vrijednost određene sinusoidne električne veličine može se odrediti usporedbom učinka sinusoidne veličine i odgovarajuće istosmjerne veličine koja bi na nekom promatranom elementu ostvarile isti toplinski učinak u istom vremenu djelovanja.

Toplina koju bi na otporniku R uzrokovala izmjenična struja i(t) bila bi:

0

u(t)

UMAX

T t [s]T2


− 67 −

∫ ⋅⋅=T

tRiQ0

2 d , (16−15)

dok bi odgovarajuća istosmjerna struja I na tom istom otporniku R prouzročila toplinu:

TRIQ ⋅⋅= 2 . (16−16)

Izjednačavanjem izraza (16−15) i (16−16) dobivamo:

∫ ⋅⋅=⋅⋅T

tRiTRI0

22 d , (16−17)

odakle slijedi da je efektivna vrijednost struje I jednaka:

[ ]Ad1

0

2∫ ⋅=T

tiT

I . (16−18)

Analogno se dobiva i izraz za određivanje efektivne vrijednosti U napona u(t):

[ ]Vd1

0

2∫ ⋅=T

tuT

U . (16−19)

16.7. Tjemeni faktor σ i faktor valnog oblika ξ sinusoidnih električnih veličina Izrazi dobiveni za određivanje opisanih karakterističnih vrijednosti sinusoidnih

električnih veličina mogu nam pomoći da odredimo opće odnose između maksimalne vrijednosti neke određene električne veličine i njezine srednje aritmetičke, srednje elektrolitske i efektivne vrijednosti.

Uvrstimo li se opći izraz (16−7) za trenutnu vrijednost napona u(t) u izraz (16−19) za određivanje efektivne vrijednosti napona, dobivamo:

( ) ( )

22d2d

2

d2121dd1

2MAX

2MAX

00

2MAX2

0 0

2MAX2

2MAX

0

2MAX

2

UTT

UttcostT

UU

ttcosT

UttsinT

UttsinUT

U

TT

T TT

=⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−=

⋅−=⋅=⋅=

∫∫

∫ ∫∫

ω

ωωω

(16−20)

odnosno

22MAX

2MAX2 UUUU =⇒= . (16−21)


− 68 −

Tjemeni faktor σ se definira kao omjer maksimalne i efektivne vrijednosti električne veličine, što za slučaj sinusoidnih električnih veličina daje za rezultat:

2MAX ==U

Uσ . (16−22)

Uvrstimo li se opći izraz (16−7) za trenutnu vrijednost napona u(t) u izraz (16−13) za

određivanje srednje elektrolitske vrijednosti napona, dobivamo:

πω

ωω MAX

2

0

MAX2

0MAXel

22d

2

1 UtcosTUttsinUTU

TT

⋅=

⋅−=⋅= ∫ . (16−23)

Faktor valnog oblika ξ se definira kao omjer efektivne i srednje elektrolitske

vrijednosti električne veličine, što kombiniranjem izraza (16−21) i (16−23) za slučaj sinusoidnih električnih veličina daje za rezultat:

111,el

==UUξ . (16−24)

Na temelju dobivenih faktora, za svaku je sinusoidnu električnu veličinu moguće

odrediti jednu (npr. efektivnu) vrijednost ukoliko je poznata vrijednost neke druge karakteristične vrijednosti (npr. maksimalna vrijednost), bez potrebe za provođenjem integriranja pomoću odgovarajućeg ranije izvedenog izraza.

Ovdje provedeno proučavanje sinusoidnih električnih veličina može se proširiti i na nesinusoidne električne veličine. Pomoću dobivenih je izraza moguće odrediti iznose srednje aritmetičke, srednje elektrolitske i efektivne vrijednosti nesinusoidnih električnih veličina, a onda i tjemeni faktor i faktor valnog oblika.

Ipak, iako se nesinusoidne veličine uporabljuju (posebice u procesima prijenosa i obrade signala), najčešće se pojavljuje samo nekoliko standardiziranih valnih oblika (npr. pravokutni, trokutasti, pilasti i sl.) za čije se generiranje koriste specijalno izrađeni elektronički sklopovi i funkcijski generatori.

Poglavlje 17 Osnove izmjeničnih strujnih krugova − dodatak za samostalno učenje

− 69 −

17. OSNOVE IZMJENIČNIH STRUJNIH KRUGOVA

Na slici 17.4. prikazan je sinusoidni valni oblik napona, te su označene njegove pozitivne i negativne poluperiode.

Slika 17.4. Primjer sinusoidnog valnog oblika. Ukoliko su površine pozitivne i negativne poluperiode međusobno jednake, kao što je to

slučaj za napon u(t) prikazan na slici 17.4., tada takvu električnu veličinu nazivamo izmjeničnom električnom veličinom. Ovo općenito vrijedi i za druge valne oblike ukoliko su im pozitivne i negativne površine poluperioda međusobno jednake.

17.4. Referentni smjer izmjeničnog napona u(t)

Kod izvora izmjeničnog napona u(t) se tijekom vremena polaritet na polovima mijenja na način da je za vrijeme trajanja pozitivnih "+" poluperioda u jednom, a za vrijeme trajanja negativnih "−" poluperioda u suprotnom smjeru.

Na slici 17.5. prikazan je električki simbol izvora izmjeničnog napona koji je uporabljen i u strujnim krugovima prikazanim na slikama 17.1., 17.2. i 17.3.

Slika 17.5. Električki simbol izvora izmjeničnog napona.

Na električkom simbolu izvora izmjeničnog napona prikazanom na slici 17.5. odabran

je referentni polaritet napona te je jedan njegov pol označen kao pozitivan znakom "+". Referentnim se polaritetom na stezaljkama izvora izmjeničnog napona uvijek uzima onaj polaritet koji izvor ima za vrijeme trajanja pozitivne poluperiode.

17.5. Referentni smjer izmjenične struje i(t)

Kod izvora izmjenične struje i(t) smjer struje kroz strujni krug se mijenja tako da za vrijeme trajanja pozitivne poluperiode ide u jednom, a za vrijeme trajanja negativne

0

u(t)

TT2

+

−

+

t [s]

+

Poglavlje 17 Osnove izmjeničnih strujnih krugova − dodatak za samostalno učenje

− 70 −

poluperiode u suprotnom smjeru kroz vodiče strujnoga kruga. Da bi se mogli analizirati izmjenični strujni krugovi metodama razrađenim za strujne krugove istosmjerne struje, za izvor izmjenične struje treba jedan od smjerova struje odabrati za referentni.

Na slici 17.6. prikazan je električki simbol izvora izmjenične struje.

Slika 17.6. Električki simbol izvora izmjenične struje

Analogno odabiru referentnog polariteta kod izvora izmjeničnog napona, za referentni

se smjer struje i(t) odabire onaj smjer kojim struja teče za vrijeme trajanja njezine pozitivne poluperiode.

Također, ukoliko je izmjenična struja uzrokovana izvorom izmjeničnog napona u(t), za referentni se smjer uzima smjer koji određuje odabrani referenti polaritet polova izvora izmjeničnog napona u(t) (struja se dogovorno uzima da ima smjer od pozitivnog prema negativnom polu izvora napona). Na opisani je način to učinjeno u strujnim krugovima prikazanim na slikama 17.1., 17.2. i 17.3.

Poglavlje 18 Vektorski prikaz sinusoidalnih veličina − dodatak za samostalno učenje

− 71 −

18. VEKTORSKI PRIKAZ SINUSOIDALNIH VELIČINA 18.5. Više o vektorima u kompleksnoj ravnini

Na slici 18.3. prikazana je kompleksna ravnina te su istaknuta sva njezina četiri kvadranta.

Slika 18.3. Kompleksna ravnina s istaknutim kvadrantima. Svi vektori koji se nalaze u I. kvadrantu kompleksne ravnine (poput vektora A1) imati će

pozitivan i realni i imaginarni dio, tj. 12111A aja ⋅+=& .

Svi vektori koji se nalaze u II. kvadrantu kompleksne ravnine (poput vektora A2) imati će negativan realni i pozitivan imaginarni dio, tj. 22212A aja ⋅+−=& .

Svi vektori koji se nalaze u III. kvadrantu kompleksne ravnine (poput vektora A3) imati će negativan i realni i imaginarni dio, tj. 32313A aja ⋅−−=& .

Svi vektori koji se nalaze u IV. kvadrantu kompleksne ravnine (poput vektora A4) imati će pozitivan realni i negativan imaginarni dio, tj. 42414A aja ⋅−=& .

Kutovi koje prikazani vektori zatvaraju s pozitivnim dijelom realne osi koordinatnog sustava mogu biti i pozitivni (α1 i α2) i negativni (α3 i α4). Koji je predznak kuta koji vektor zatvara s pozitivnim dijelom realne osi ovisi o tome s koje se strane vektora kut promatra. Ukoliko želimo prikazane vektore zapisati u polarnom obliku, dobivamo:

( )( )

.360

,360

,360

,360

°−°=°−=

°−°=°−=

°−°−=°=

°−°−=°=

44444

33333

22222

11111

A

A

A

A

αα

αα

αα

αα

AA

AA

AA

AA

&

&

&

&

(18−14)

α1

Re

Im

A1

A2

A3A4

I. kvadrantII. kvadrant

III. kvadrant IV. kvadrant

α4α3

α2


− 72 −

Važnu ulogu prilikom uporabe kompleksnog računa za računsku analizu izmjeničnih strujnih krugova ima i konjugirano kompleksna vrijednost nekog kompleksnog broja.

Na slici 18.4. prikazani su konjugirano kompleksni brojevi A i A*.

Slika 18.4. Konjugirano kompleksni brojevi A i A*. Ukoliko su realni dijelovi dvaju kompleksnih brojeva međusobno jednakih iznosa i istih

predznaka, a imaginarni su im dijelovi jednakih iznosa ali različitih predznaka, tada kažemo da su ta dva kompleksna broja konjugirano kompleksni brojevi. Konjugirano kompleksni broj nekog kompleksnog broja označava se zvjezdicom, pa u algebarskom zapisu možemo pisati:

2121 AA ajaaja ⋅−=⇒⋅+= *&& , (18−15)

odnosno u trigonometrijskom zapisu kompleksnog broja:

αααα AsinAcos*AsinAcos ⋅−=⇒⋅+= jj AA && . (18−16)

U polarnom zapisu kompleksnog broja, konjugirano kompleksni brojevi imaju jednaku

duljinu i jednake kutove različitih predznaka, pa možemo pisati:

°−=⇒°= αα AA *AA && . (18−17)

18.6. Množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva u algebarskom obliku

Množenje i dijeljenje dvaju kompleksnih brojeva najjednostavnije se provodi ukoliko su ti kompleksni brojevi zapisani u polarnom obliku, na način prikazan izrazima (18−12) i (18−13). Međutim, postupak množenja i dijeljenja može se provesti i sa kompleksnim brojevima zapisanim u algebarskom obliku.

Prilikom množenja dvaju kompleksnih brojeva potrebno je realni i imaginarni dio jednog broja pomnožiti i s realnim i s imaginarnim dijelom drugog kompleksnog broja i obrnuto, kako slijedi:

( ) ( ) 221221112121BA babajbajbabjbaja ⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅=⋅+⋅⋅+=⋅ && . (18−18)

a1

αRe

Im

A

A*

− α

a2

a2

a1


− 73 −

Prilikom množenja treba voditi računa o tome da je imaginarna jedinica 1−=j , pa je:

( ) 11112

−=−=−⋅−=⋅ jj . (18−19)

Kod dijeljenja dvaju kompleksnih brojeva zapisanih algebarskim oblikom, prvo je potrebno provesti racionalizaciju nazivnika, a zatim podijeliti brojnik s realnim nazivnikom:

( ) ( )( ) ( )

22

21

211222

21

2211

22

21

22122111

22212111

22122111

2121

2121

21

21

BA

bbbabaj

bbbaba

bbbabajbajbabbbbjbbjbbbabajbajbabjbbjbbjbaja

bjbaja

+⋅−⋅

⋅++

⋅+⋅=

=+

⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅=

=⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅

=

=⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅+

=⋅+⋅+

=&

&

. (18−20)

I prilikom dijeljenja treba voditi računa o množenju imaginarne jedinice samom sobom

prikazanom izrazom (18−19).

Usporedbom provedenog množenja i dijeljenja u slučajevima kada su kompleksni brojevi bili zapisani u algebarskom obliku s množenjem i dijeljenjem kompleksnih brojeva prikazanim izrazima (18−12) i (18−13), lako je uočiti prednosti provođenja ovih računskih operacija s kompleksnim brojevima zapisanim u polarnom obliku.

Poglavlje 19 Primjena kompleksnog računa za analizu izm. strujnih krugova − dodatak za samostalno učenje

− 74 −

19. PRIMJENA KOMPLEKSNOG RAČUNA ZA ANALIZU IZMJENIČNIH STRUJNIH KRUGOVA

19.6. Vektorski prikaz osnovnih elemenata u kompleksnoj ravnini

Na osnovi izraza (19−1), (19−6) i (19−11) zaključuje se da se osnovni elementi

izmjeničnih strujnih krugova (otpornici, kondenzatori i zavojnice) mogu prikazati kao vektori u kompleksnoj ravnini.

Na slici 19.6. prikazani su vektori R& , CX& i LX& u kompleksnoj ravnini.

Slika 19.6. Vektori R& , CX& i LX& u kompleksnoj ravnini.

19.7. Frekvencijska ovisnost osnovnih elemenata Na osnovi izraza (19−1) vidljivo je da je vektor R& kojim se otpornik prikazuje u

kompleksnom području je jednak efektivnoj vrijednosti otpora otpornika R. Na osnovi ove jednakosti vidljivo je da efektivna vrijednost otpora R nije ni na koji način ovisna o kružnoj frekvenciji ω u izmjeničnom strujnom krugu u kojemu se otpornik nalazi. S druge strane, kapacitivni otpor kondenzatora CX& i induktivni otpor zavojnice LX& ovisni su o kružnoj frekvenciji ω, te će se s njezinom promjenom mijenjati i njihove efektivne vrijednosti.

Prema izrazu (19−5), efektivna vrijednost kapacitivnog otpora kondenzatora CX je jednaka:

CX

⋅=ω

1C . (19−20)

Iz izraza (19−20) je vidljivo da će iznos efektivne vrijednosti kapacitivnog otpora

kondenzatora biti obrnuto proporcionalna iznosu kružne frekvencije ω izvora napona u(t) na koji je spojen izmjenični strujni krug u kojemu se zavojnica nalazi, odnosno struje i(t) koja kroz kondenzator prolazi.

Re

Im

R = R 0

XL= jXL=XL 90

XC= − jXC= XC − 90

Poglavlje 19 Primjena kompleksnog računa za analizu izm. strujnih krugova − dodatak za samostalno učenje

− 75 −

Drugim riječima, ako se na kondenzator priključi izvor napona u(t) s većim (manjim) iznosom kružne frekvencije ω, efektivna vrijednost kapacitivnog otpora kondenzatora CX će biti manja (veća).

I efektivna vrijednost induktivnog otpora zavojnice LX& ovisi o iznosu kružne frek-vencije ω. Prema izrazu (19−10) efektivna vrijednost induktivnog otpora zavojnice LX je jednaka:

LX ⋅= ωL . (19−21)

Iz izraza (19−21) je vidljivo da će iznos efektivne vrijednosti induktivnog otpora

zavojnice biti proporcionalna iznosu kružne frekvencije ω izvora napona u(t) na koji je spojen izmjenični strujni krug u kojemu se zavojnica nalazi, odnosno struje i(t) koja kroz zavojnicu prolazi.

Drugim riječima, ako se na zavojnicu priključi izvor napona u(t) s većim (manjim) iznosom kružne frekvencije ω, efektivna vrijednost induktivnog otpora zavojnice LX će biti veća (manja).

Poglavlje 20 Metode grafičke analize izmjeničnih strujnih krugova − dodatak za samostalno učenje

− 76 −

20. METODE GRAFIČKE ANALIZE IZMJENIČNIH STRUJNIH KRUGOVA

20.3. Više o vektorskom dijagramu

U izmjeničnim strujnim krugovima često se događa da se u paralelnim granama unutar

mreže ne nalazi samo po jedan osnovni element, nego da svaka od grana sadrži dva ili više osnovnih elemenata.

Na slici 20.7. prikazan je paralelni spoj dviju grana u kojima se nalaze kompleksne impedancije na koje je priključen izvor izmjeničnog napona U& .

Slika 20.7. Paralelni spoj dviju grana s kompleksnim impedancijama. U izmjeničnom strujnom krugu prikazanom na slici 20.7. zajednička veličina paralelno

spojenih grana u kojima se nalaze kompleksne impedancije (u prvoj grani serijski spoj otpornika 1R& i zavojnice LX& , a u drugoj grani serijski spoj otpornika 2R& i kondenzatora CX& ) je napon U& izvora izmjeničnog napona. Iako bi se vektorski dijagram prikazanog izmjeničnog strujnog kruga moga nacrtati tako da se krene od jedne od paralelno spojenih grana te se prvo nacrta struja te grane kao zajednička veličina elemenata u toj grani, postupak se može skratiti ukoliko se za početnu veličinu, čiji se vektor prvi ucrtava u kompleksni koordinatni sustav, odabere napon U& (veličina zajednička paralelnim granama).

Napon U& će, prema 2. Kirchhoffovom zakonu, biti jednak vektorskom zbroju padova napona na elementima u pojedinoj grani:

[ ]VUUUUU CRLR 21

&&&&& +=+= . (20−8) Kako kroz otpornik 1R& i zavojnicu LX& protječe ista struja 1I& , na osnovi vektorskog

dijagrama prikazanog na slici 19.2. možemo zaključiti da vektori padova napona na njima

+

+

−

+

−

+

−

+

−U

UCULXLXC

I

I1 I2

R1 R2UR 1

UR2


− 77 −

međusobno zatvarati kut od 90°. Isto zaključivanje vrijedi i za padove napona na otporniku 2R& i kondenzatoru CX& , jer kroz njih također protječe ista struja označena s 2I& .

Na slici 20.8. prikazan je vektorski dijagram izmjeničnog strujnog kruga prikazanoga na slici 20.7.

Slika 20.8. Vektorski dijagram izmjeničnog strujnog kruga sa slike 20.7. Uvažavajući odnose između padova napona na impedancijama u pojedinoj grani

prikazanog izmjeničnog strujnog kruga, te uvjeta danog izrazom (20−8), mogu se vektori

1RU& , CU& , 2RU& i LU& nacrtati tako da svaki od vektora predstavlja katetu pravokutnog trokuta

kojemu je hipotenuza upravo vektor izvora izmjeničnog napona U& (Talesov poučak).

Nakon što su na opisani način u vektorski dijagram ucrtani svi naponi u izmjeničnom strujnom krugu, mogu se ucrtati i vektori struja I& , 1I& i 2I& .

Struja 1I& protječe kroz granu u kojoj se nalaze otpornik 1R& i zavojnica LX& . Kako između pada napona na otporniku i struje koja kroz otpornik protječe nema faznog pomaka, vektor struje 1I& mora ležati na istom pravcu na kojem leži i vektor pada napona

1RU& na

otporniku 1R& . Također, struja 2I& koja protječe kroz granu u kojoj se nalaze otpornik 2R& i kondenzator CX& , mora biti u fazi s padom napona

2RU& na otporniku 2R& . To znači da će i

vektor kojim je struja 2I& u vektorskom dijagramu prikazana ležati na istom pravcu na kojem se nalazi vektor

2RU& pada napona na otporniku 2R& .

Prema 1. Kirchhoffovom zakonu, struja I& je jednaka vektorskom zbroju struja 1I& i 2I& , pa se njihovim grafičkim zbrajanjem dobiva u vektorskom dijagramu i vektor struje I& .

Ovime je završeno crtanje vektorskog dijagrama dviju paralelnih grana u kojima se nalaze kompleksne impedancije, te se opisani postupak primjenjuje u slučajevima kada se u izmjeničnom strujnom krugu, za koji se crta vektorski dijagram, nalaze dvije paralelne grane od kojih se barem u jednoj nalazi kompleksna impedancija.

Re

Im

IU

UR1

UR2

UC

I2

UL

I1


− 78 −

20.4. Mjesni dijagram Vektorski i topografski dijagram uporabljuju se za zorni prikaz stanja u izmjeničnom

strujnom krugu u slučaju kada su vrijednosti elemenata od kojih je krug sastavljen konstantne. Međutim, ukoliko se vrijednost barem jednog elementa s vremenom mijenja njegova će promjena uvjetovati i promjenu strujnih i naponskih prilika u samom izmjeničnom strujnom krugu. U takvim slučajevima bi se za svako stanje trebalo crtati novi vektorski i novi topografski dijagram, jer će promijene napona i struja u krugu uzrokovati i promjenu vektorskih veličina kojima su u dijagramima prikazane. Da bi se u ovakvim slučajevima moglo u kompleksnoj ravnini zorno prikazati različita stanja izmjeničnog strujnog kruga crtaju se mjesni dijagrami.

Na slici 20.9. prikazan je mjesni dijagram promjenjive impedancije [ ]Ω+⋅= LjZ XRk& .

Slika 20.9. Mjesni dijagram promjenjive impedancije Z& .

Krivulja koju iscrtava niz krajnjih točaka vektora Z& kada se vrijednost parametra k mijenja od 0 do +∞ naziva se mjesni dijagram. U slučaju prikazanom na slici 20.9. krivulja ima oblik pravca. Isti oblik imao bi i mjesni dijagram u slučaju kada bi bio promjenjiv imaginarni dio kompleksne impedancije (uz nepromjenjiv realni dio) samo što bi tada pravac stajao okomito na realnu os u točki R.

U slučaju da je kroz promjenjivu impedanciju Z& protječe struja ZI& konstantne vrijednosti, s promjenom vrijednosti impedancije Z& doći će do promjene iznosa pada napona

ZU& na impedanciji. Na osnovi Ohmova zakona možemo pisati da je:

[ ]VZIU ZZ&&& ⋅= , (20−9)

odakle se lako zaključuje da će mjesni dijagram napona ZU& u tom slučaju biti također pravac u kompleksnoj ravnini.

Kako se najčešće strujni krug spaja na izvor konstantnog napona U& , prema Ohmovom će se zakonu uslijed promijene vrijednosti impedancije Z& mijenjati iznos struje ZI& koja kroz impedanciju protječe:

[ ]AZ

UI ZZ &

&& = . (20−10)

Re

Immjesni dijagram

3R1,5RR

jXL


− 79 −

Iz izraza (20−10) se uočava da je struja ZI& obrnuto proporcionalna iznosu impedancije Z& , pa možemo pisati da je:

[ ]AU1U1UZ1UI 2

L22

LZ

L

L

LZ

LZZZ XRk

jXkRjXkRjXkR

jXkRjXkR +−

⋅=−−

⋅+

⋅=+

⋅== &&&&

&& . (20−11)

Nacrta li se izraz (20−11) u kompleksnom području, uz promjenu parametra k od 0 do

+∞, dobivena će krivulja biti kružnica koja prolazi kroz ishodište kompleksnog koordinatnog sustava i predstavljati će mjesni dijagram struje ZI& .

Na slici 20.10. prikazan je mjesni dijagram struje ZI& koja protječe kroz promjenjivu impedanciju [ ]Ω+⋅= LjZ XRk& u slučaju kada je impedancija Z& priključena na izvor konstantnog napona ZU& .

Slika 20.10. Mjesni dijagram struje ZI& .

Na mjesnom dijagramu prikazanom na slici 20.10. istaknute su dvije točke za slučajeve kada je parametar k jednak 0 i +∞ (dvije karakteristične točke pravca koje su međusobno najudaljenije). Dobivene dvije točke predstavljaju promjer kružnice kojoj je središte na polovici dužine koja te točke spaja.

Kružnica prikazana na slici 20.10. u stvari je inverzija pravca prikazanog na slici 20.9., te se opisani način crtnja mjesnog dijagrama inverzijom pravca često uporabljuje radi lakšeg skiciranja mjesnog dijagrama inverzne veličine.

Im

Re

k = 0

k = +∞

S

Poglavlje 21 Frekvencijske karakteristike i rezonancija − dodatak za samostalno učenje

− 80 −

21. FREKVENCIJSKE KARAKTERISTIKE I REZONANCIJA 21.5. Kapacitivan i induktivan karakter izmjeničnog strujnog kruga

Uslijed promjene iznosa kružne frekvencije ω u izmjeničnom se strujnom krugu

mijenjaju vrijednosti CX kapacitivnog i LX induktivnog otpora. Ove promjene utječu i na promjenu iznosa faznog kuta ϕ između napona U& i struje I& u strujnome krugu, pri čemu je u stanju rezonancije kut faznog pomaka biti °= 0ϕ .

U serijskom spoju elemenata R& , CX& i LX& prikazanom na slici 21.2., u slučaju kada je iznos kružne frekvencije 0=ω vrijednost će kapacitivnog otpora biti ∞=CX , dok će vrijednost induktivnog otpora biti 0L =X . Kut faznog pomaka ϕ će u tom slučaju biti jednak

°−= 90ϕ .

S druge strane, kada iznos kružne frekvencije bude ∞=ω , vrijednost će kapacitivnog otpora biti 0C =X , dok će vrijednost induktivnog otpora biti ∞=LX . 0L =X . Kut faznog pomaka ϕ će u tom slučaju biti jednak °= 90ϕ .

Na osnovi izraza (21−3) kut faznog pomaka ϕ će za serijski spoj elemenata R& , CX& i

LX& biti dan izrazom:

RC

L⋅

−⋅= ω

ωϕ

1

tgarc . (21−11)

Na slici 21.4. prikazana je promjena vrijednosti kuta faznog pomaka ϕ u ovisnosti o

iznosu kružne frekvencije ω za serijski spoj elemenata R& , CX& i LX& .

Slika 21.4. Promjena vrijednosti kuta faznog pomaka ϕ u serijskom spoju.

Kao što se na slici 21.4. može vidjeti, pri kružnim frekvencijama ω manjim od rezonantne frekvencije 0ω u serijskom će spoju elemenata R& , CX& i LX& prevladavati kapacitivni otpor, pa se u tom slučaju za strujni krug kaže da ima kapacitivni karakter. S

ω

kapacitivnikarakter

0

ϕ

ω0

90o

− 90o

induktivnikarakter

Poglavlje 21 Frekvencijske karakteristike i rezonancija − dodatak za samostalno učenje

− 81 −

druge strane, pri kružnim frekvencijama ω većim od rezonantne frekvencije 0ω u serijskom će spoju elemenata R& , CX& i LX& prevladavati induktivni otpor, pa se u tom slučaju za strujni krug kaže da ima induktivni karakter.

Za slučaj paralelnog spoja elemenata R& , CX& i LX& prikazanog na slici 21.3., kut se faznog pomaka pomoću izraza (21−7) može zapisati na sljedeći način:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−⋅⋅−=

LCR

ωωϕ 1tgarc . (21−12)

Grafički prikaz izraza (21−12) dan je Na slici 21.5. grafički je prikazana ovisnost kuta

faznog pomaka ϕ o iznosu kružne frekvencije ω za paralelni spoj elemenata R& , CX& i LX& , dana izrazom (21−12).

Slika 21.5. Promjena vrijednosti kuta faznog pomaka ϕ u paralelnom spoju. Kao što se na slici 21.5. može vidjeti, paralelni će spoj elemenata R& , CX& i LX& za

iznose kružne frekvencije ω manje od rezonantne frekvencije 0ω imati induktivni, a za iznose kružne frekvencije ω veće od rezonantne frekvencije 0ω kapacitivni karakter, obrnuto nego u slučaju serijskog spoja elemenata R& , CX& i LX& . 21.6. Rezonancija u strujnim krugovima s kompleksnim impedancijama

Osim dva opisana osnovna spoja elemenata R& , CX& i LX& (serijski i parlelni spoj),

rezonancija se može pojaviti i u izmjeničnim strujnim krugovima koji u sebi sadrže kompleksne impedancije. Određivanje iznosa rezonantne kružne frekvencije 0ω u tom se slučaju provodi izjednačavanjem imaginarnog dijela ukupne kompleksne impedancije izmjeničnog strujnog kruga s nulom (ovakav pristup počiva na samoj definiciji rezonancije − stanje strujnoga kruga pri kojemu se ukupna impedancija kruga ponaša kao čisti omski otpor).

ω

kapacitivnikarakter

0

ϕ

90o

− 90o

ω0

induktivnikarakter

Poglavlje 22 Snaga u krugovima izmjenične struje − dodatak za samostalno učenje

− 82 −

22. SNAGA U KRUGOVIMA IZMJENIČNE STRUJE 22.6. Kompleksna snaga

Izrazima (22−11), (22−12) i (22−13) dani su izrazi pomoću kojih je moguće odrediti

iznose radne, jalove i prividne snage u izmjeničnim strujnim krugovima. Međutim, kako se analiza izmjeničnih strujnih krugova provodi pomoću kompleksnog računa, bilo bi praktično kada bi se i snaga mogla izračunavati u kompleksnom području.

Kako je snaga jednaka umnošku napona i struje, možemo uz pretpostavku da je napon °= α UU& i °= βII& napisati:

°+°⋅=°⋅°=⋅ βα βα IUIUIU && . (22−14)

Pretvori li se izraz (22−14) iz polarnog u trigonometrijski oblik dobivamo:

( ) ( )°+°⋅⋅+°+°⋅⋅ βαβα sincos IjUIU . (22−15) Realni dio izraza (22−15) podsjeća svojim oblikom na izraz (22−11) za određivanje

radne snage, dok imaginarni dio podsjeća na izraz (22−12) za određivanje jalove snage. Jedina razlika između tih izraza je u tome što je fazni pomak između napona i struje jednak

βαϕ −= , te bi se u izrazu (22−14) umjesto zbrajanja trebali oduzimati kutovi napona i struje.

Odgovarajući bi se oblik snage u kompleksnom području dobio ako bi se napon pomnožio konjugirano kompleksnom strujom °−= β I*I& . Na taj način dobivamo:

°−°⋅=°−⋅°=⋅ βα β α IUIU*IU && , (22−16)

odnosno

( ) ( )°−°⋅⋅+°−°⋅⋅ βαβα sincos IjUIU . (22−17)

U izrazu (22−17) realni dio izraza odgovara izrazu (22−11) za određivanje radne snage,

a imaginarni dio odgovara izrazu (22−12) za određivanje jalove snage. Na ovaj se način množenjem napona s konjugirano kompleksnom strujom dobiva kompleksna snaga koju možemo prikazati u kompleksnim brojem na sljedeći način:

jQPS += , (22−18)

pri čemu je realni dio kompleksnog broja u izrazu radna snaga { }*Re IU && ⋅=P , a imaginarni dio jalova snaga { }*Im IU && ⋅=Q , te se ovi izrazi prilikom računanja najčešće uporabljuju za određivanje iznosa snaga u pojedinim dijelovima ili na elementima u strujnome krugu.


− 83 −

Na osnovi ovakvog prikaza kompleksne snage, može se trokut snaga nacrtati u kompleksnom koordinatnom sustavu.

Na slici 22.5. prikazan je trokut snaga u kompleksnom koordinatnom sustavu.

Slika 22.5. Trokut snaga u kompleksnom koordinatnom sustavu. 22.7. Maksimalna snaga

Kako se kod izmjeničnih strujnih krugova dio energije koju izvor napona preda

elementima u strujnome krugu ne pretvara u koristan rad, poželjno je u slučajevima kada je to moguće prilagoditi izmjenični strujni krug izvoru na koji se spaja na takav način da se maksimalna količina energije uporabi za dobivanje korisnog rada.

Na slici 22.6. prikazan je strujni krug izmjenične struje u kojemu je kompleksna impedancija tZ& priključena na realni izvor izmjeničnog napona koji se satoji od idealnog izvora U& i unutarnje impedancije izvora iZ& .

Slika 22.6. Prilagodba strujnoga kruga za dobivanje maksimalne snage. Ukupna impedancija u strujnom krugu izmjenične struje prikazanom na slici 22.6.

jednaka je vektorskom zbroju unutarnje impedancije izvora iZ& i kompleksne impedancije tZ& .

Prikažemo li unutarnju impedanciju izvora iiiZ jXR +=& , a kompleksnu impedanciju

tttZ jXR +=& dobivamo da je ukupna impedancija Z& jednaka:

ϕ

jQ

P

S

Re

Im

+Z

U

I

Zi


− 84 −

( ) ( )titittiiti ZZZ XXjRRjXRjXR +++=+++=+= &&& . (22−19) Ukoliko se izraz (22−19) pretvori u polarni oblik:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )ti

ti2ti

2tititi tgarc Z

RRXXXXRRXXjRR

++

+++=+++=& , (22−20)

tada radnu snagu Pt na kompleksnoj impedanciji tZ& možemo izračunati na sljedeći način:

( ) ( )2ti

2ti

2t

t

2

t2

t XXRRURR

ZURIP

+++⋅

=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅= . (22−21)

Iz izraza (22−21) se vidi da je snaga ovisna o realnom i imaginarnom dijelu kompleksne

impedancie tZ& . Da bi se odredio maksimum funkcije kojom je radna snaga Pt prikazana, potrebno je prvu derivaciju funkcije izjednačiti s nulom. Kako je funkcija Pt ovisna o dvije varijable Rt i Xt, provodi se parcijalno integriranje funkcije Pt po svakoj varijabliposebno, te obje te parcijalne derivacije moraju biti jednake nuli.

( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )[ ] .0

,0

=+++

+⋅⋅⋅−⋅+++=

∂∂

=+++

+⋅⋅⋅−⋅+++=

∂∂

22ti

2ti

ti2

t2

ti2

ti

t

t

22ti

2ti

ti2

t22

ti2

ti

t

t

20

2

XXRR

XXURXXRRXP

XXRR

RRURUXXRRRP

(22−22)

Izjednačavanjem brojnika u izrazima (22−22) s nulom dobivamo:

( ) ( )[ ] ( )( ) .0

,0

=+⋅⋅⋅−

=+⋅⋅⋅−⋅+++

ti2

t

ti2

t22

ti2

ti

2

2

XXUR

RRURUXXRR. (22−23)

Drugi će izraz biti jednak nuli u slučaju kada je 0=+ ti XX , odnosno kada je:

it XX −= . (22−24) Uvrsti li se dobiveni uvijet u prvi izraz dobivamo da će taj izraz biti jednak nuli ako je:

( ) ( ) titit2

ti 2 RRRRRRR =⇒=+⋅⋅−+ 0 . (22−25) Iz izraza (22−24) i (22−25) je vidljivo da će se u izmjeničnom strujnom krugu postići

maksimalna snaga u slučaju kada su realni dijelovi impedancije izvora i priključene kompleksne impedancije međusobno jednaki, a njihovi su imaginarni dijelovi jednakih iznosa ali suprotnih predznaka (tj. jedan je konjugirano kompleksan oblik drugoga).


− 85 −

22.8. Vatmetar u krugovima izmjenične struje Osnovni princip rada vatmetra objašnjen je u poglavlju 11.5. Uređaj za mjerenje

električne snage (vatmetar). Način njegova spajanja u strujnim krugovima izmjenične struje identičan je načinu njegova spajanja u istosmjernim strujnim krugovima (slika 11.2.).

U izmjeničnim strujnim krugovima vatmetar se uporabljuje za mjerenje radne snage P. Kako se u kompleksnom računu radna snaga određuje pomoću izraza { }*Re IU && ⋅=P , važno je točno znati kako smjer kojim struja I& prolazi kroz vatmetar, tako i polaritet napona U& na njegovim stezaljkama. Da bi se na shematskom prikazu te informacije istaknule, pored stezaljki vatmetra se ucrtavaju točkice na način prikazan na slici 22.7.

a) b) c) d)

Slika 22.7. Označavanje smjera struje i polariteta napona na vatmetru. Vatmetar spojen i označen na način prikazan na slici 22.7a. mjeriti će napon U& između

točaka a i b pri čemu je točka a na višem "+", a točka b na nižem "−" potencijalu. Točkica s gornje strane vatmetra uz vodič kojim je vatmetar spojen s točkom a simbolički to i označava. Struja I& će u prikazanom slučaju ulaziti u vatmetar s lijeve strane (na kojoj se nalazi i točkica uz vodič kojim struja protječe) smjerom prikazanim strelicom.

Vatmetar spojen i označen na način prikazan na slici 22.7b. mjeriti će napon U& između točaka a i b pri čemu je točka a na nižem "−", a točka b na višem "+" potencijalu. Točkica s donje strane vatmetra uz vodič kojim je vatmetar spojen s točkom b simbolički to i označava. Struja I& će u prikazanom slučaju ulaziti u vatmetar s lijeve strane (na kojoj se nalazi i točkica uz vodič kojim struja protječe) smjerom prikazanim strelicom.

Vatmetar spojen i označen na način prikazan na slici 22.7c. mjeriti će napon U& između točaka a i b pri čemu je točka a na višem "+", a točka b na nižem "−" potencijalu. Točkica s gornje strane vatmetra uz vodič kojim je vatmetar spojen s točkom a simbolički to i označava. Struja I& će u prikazanom slučaju ulaziti u vatmetar s desne strane (na kojoj se nalazi i točkica uz vodič kojim struja protječe) smjerom prikazanim strelicom.

Vatmetar spojen i označen na način prikazan na slici 22.7d. mjeriti će napon U& između točaka a i b pri čemu je točka a na nižem "−", a točka b na višem "+" potencijalu. Točkica s donje strane vatmetra uz vodič kojim je vatmetar spojen s točkom b simbolički to i označava. Struja I& će u prikazanom slučaju ulaziti u vatmetar s desne strane (na kojoj se nalazi i točkica uz vodič kojim struja protječe) smjerom prikazanim strelicom.

W

b

a+

−

I

U

W

b

a

+

−I

U

W

b

a+

−

I

U

W

b

a−

+

I

U

Poglavlje 23 Metode računske analize izmjeničnih strujnih krugova − dodatak za samostalno učenje

− 86 −

23. METODE RAČUNSKE ANALIZE IZMJENIČNIH STRUJNIH KRUGOVA

23.5. Metoda struja petlji

Na slici 23.10. prikazan je izmjenični strujni krug na kojemu su istaknute struje dviju

nezavisnih petlji 1I& i 2I& .

Slika 23.10. Analiza izmjeničnog strujnog kruga metodom struja petlji. U metodi struja petlji pretpostavlja se da svakom petljom strujnoga kruga protječe samo

jedna struja, te su dvije struje 1I& i 2I& sa pretpostavljenim smjerom prikazane na slici 23.10. Također, na slici 23.10. označeni su i pretpostavljeni padovi napona na svakom pojedinom elementu izmjeničnog strujnog kruga koji odgovaraju pretpostavljenom smjeru protjecanja struja 1I& i 2I& kroz njih.

Da bi se izgradio sustav nezavisnih jednadžbi pomoću kojega će se provesti računska analiza izmjeničnog strujnog kruga, pomoću Kirchhoffovog zakona za napone se napišu jednadžbe za svaku nezavisnu petlju u krugu:

( )

( )C212112

12L111

XRIRIUpetlja 2.

IXIUpetlja 1.

jR

RjR

−+⋅+⋅−=−⇒

⋅−+⋅=⇒&&&

&&&. (23−13)

Rješavanjem dobivenog sustava u kojemu su nepoznanice upravo iznosi struja 1I& i 2I&

lako se provodi računska analiza prikazanog izmjeničnog strujnog kruga. Struja u zajedničkoj grani određuje se iz pretpostavljenih smjerova struja petlji 1I& i 2I& . U promatranom su primjeru smjerovi ovih struja pretpostavljeni tako da se struja 3I& u zajedničkoj grani određuje pomoću izraza:

[ ]AIII 213

&&& −= . (23−14)

+R1U1

XL

XC

R2

+U2

I1 I2

+

−+

−

+

+−

−

+ −


− 87 −

Riješeni primjer Zadatak: Metodom struja petlji odrediti iznose struja u izmjeničnom strujnom krugu

prikazanom na slici 23.10. ako je: [ ]V025U1 °= & , [ ]V4515U2 °= & , [ ]Ω= 201R ,

[ ]Ω= 402R , [ ]Ω= 10LX i [ ]Ω= 40CX .

Rješenje: Uvrstimo li zadane vrijednosti u jednadžbe dane izrazima (23−13) dobivamo:

( )( ) 21

21

I4060I204515I20I102025&&

&&

⋅−+⋅−=°−

⋅−⋅+=

jj

Uz uvažavanje da je °=+ 26,5722,361020 j i °−=− 33,6972,114060 j , sustav

poprima oblik:

21

21

I,69372,11I204515

I20I26,5722,3625

&&

&&

⋅°−+⋅−=°−

⋅−⋅°=

3

Izrazimo li struju 1I& iz prve jednadžbe:

°⋅+

=26,5722,36

I2025I 21

&&

te ju uvrstimo u drugu jednadžbu dobivamo:

22 I,69372,11

26,5722,36I2025204515 &&

⋅°−+°

⋅+⋅−=°− 3

.

Pomnožimo li dobivenu jednadžbu s °26,5722,36 dobivamo:

22 I26,5722,3633,6972,11I40050026,5722,364515 && ⋅°⋅°−+⋅−−=°⋅°− ,

Daljnjim rješavanjem se dobiva:

22 I7,121612,38I40050071,57335,4 && ⋅°−+⋅−−=°− ,

odnosno:

( )2001200I318,2394I200I1600I400500318,2106

2

222

jjjj

−⋅=−

⋅−⋅+⋅−=+−−&

&&&.


− 88 −

Iz dobivenog se izraza lako određuje iznos struje 2I& :

[ ]A29,440,429,461216,55

38,9506,45

2001200318,2394I2 °−=

°−

°−=

−−

=

jj& ,

a zatim i iznos struje 1I& :

[ ]A,8531,4626,5722,36

I2025I 21 °−=

°⋅+

= 3

&& .

Iznos struje 3I& u zajedničkoj grani lako se određuje iz izraza (23−14):

[ ]A,5431,030,60,840,210,370,811,21III 213 °−=−=+−−=−= 5 jjj&&& .

23.6. Metoda napona čvorova

Ukoliko u izmjeničnom strujnom krugu postoje tri ili više čvorova, računska se analiza

može provesti pomoću metode napona čvorova.

Na slici 23.11. prikazan je izmjenični strujni krug s istaknutim čvorovima a, b i c.

Slika 23.11. Primjer izmjeničnog strujnog kruga.

Napon se svake pojedine grane gU& u prikazanom izmjeničnom strujnom krugu može na osnovi drugog Kirchhoffovog zakona napisati na sljedeći način:

[ ]VZIUU kkkg

&&&& ⋅−= , (23−15)

+

R1

XL

XC

R3

U1

I1

I3

I2b

+

R2

U2

I2 I5

I4

a

c

+

−

+

−

+−

−+

+

−


− 89 −

pri čemu je kU& zbroj svih izvora napona u toj grani, kI& struja koja tom granom protječe, a kZ& ukupna impedancija te grane. Iz izraza (23−15) iznos se struje grane može odrediti na sljedeći način:

[ ]AZ

UUI

k

gkk &

&&& −

= . (23−16)

Na osnovi prvog Kirchhoffovog zakona mogu se za čvorove u promatranom

izmjeničnom strujnom krugu napisati jednadžbe, u koje se uvrštavaju izrazi za struju pojedine grane. Na opisani se način dobivaj sustav nezavisnih jednadžbi u kojima su nepoznanice upravo naponi čvorova promatranog izmjeničnog strujnog kruga. Rješavanjem sustava dobivaju se vrijednosti napona čvorova, a iz tih je vrijednosti lako odrediti i znose struja u pojedinim granama strujnoga kruga.

Na osnovi izraza (23−15) i (23−16) može se za izmjenični strujni krug prikazan na slici 23.11. napisati jednadžbe za struje u svim granama strujnoga kruga:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]AUIVIU

AX

UUIVXIUU

AXUIVXIU

AUUIVIUU

AUUIVIUU

3

c535c

C

c24C42c

L

b3L3b

2

bc221bc

1

b11111b

RR

RR

RR

&&&&

&

&&&&&&&

&

&&&&&

&&&&&&

&&&&&&

=⇒⋅=

−=⇒⋅−=

=⇒⋅=

−=⇒⋅+=

−=⇒⋅−=

(23−17)

Na osnovi prvog Kirchhoffovog zakona mogu se za čvorove b i c napisati sljedeće

jednadžbe (pretpostavlja se da je potencijal čvora a jednak nuli):

452

321

IIIčvor

IIIčvor &&&

&&&

=+⇒

=+⇒

c

b (23−18)

Uvrste li se izrazi (23−17) za iznose struja u pojedinim granama strujnoga kruga u

jednadžbe (23−18), dobiva se sustav jednadžbi:

C

c2

3

c

2

bc

L

b

2

bc

1

b1

XUUUUUXUUUUU

&

&&&&&

&

&&&&&

−=+

−

=−

+−

RR

RR (23−19)


− 90 −

u kojima su nepoznanice samo naponi čvorova bU& i cU& koji se rješavanjem sustava lako i određuju. S određenim iznosima napona čvorova b i c, na osnovi izraza (23−17) lako je odrediti iznose struja u svakoj pojedinoj grani promatranog izmjeničnog strujnog kruga. Riješeni primjer

Zadatak: Primjenom metode napona čvorova odredite iznose struja 1I& , 2I& , 3I& , 4I& i 5I& u izmjeničnom strujnom krugu prikazanom na slici 23.11. ako su vrijednosti pojedinih elemenata jednake: [ ]V040U1 °= & , [ ]V4580U2 °= & , [ ]Ω= 1001R ,

[ ]Ω= 1502R , [ ]Ω= 753R . [ ]Ω= 50LX i [ ]Ω= 90CX .

Rješenje: Uvrstimo li zadane vrijednosti u sustav jednadžbi (23−19) dobivamo (uz sređivanje jednadžbi) da je:

°⋅+⋅−=°

⋅−°−⋅=

26,570,022U0,007U1350,89

0,007U49,640,026U0,4

cb

cb

&&

&&

Rješavanjem dobivenog sustava jednadžbi određuju se vrijednosti za napone čvorova [ ]V9017,14Ub °= & i [ ]V103,6944,8Uc °= & .

Uvrštavanjem dobivenih vrijednosti napona čvorova b i c i zadanih vrijednosti pojedinih elemenata u jednadžbe (23−17) za iznose struja u pojedinim granama izmjeničnog strujnog kruga dobivamo:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]A103,690,6UI

A1010,76X

UUI

A00,34XUI

A68,120,18UUI

A23,20,44UUI

3

c5

C

c24

L

b3

2

bc2

1

b11

°==

°=−

=

°==

°−=−

=

°−=−

=

R

R

R

&&

&

&&&

&

&&

&&&

&&&


− 91 −

23.7. Nortonov teorem Kao i kod Theveninova teorema, Nortonovim se teoremom dio izmjeničnog strujnog

kruga nadomješta realnim izvorom, samo ne napona nego struje. Postupak nadomještanja dijela izmjeničnog strujnog kruga koji se ne analizira provodi se na isti način kako je to rađeno i kod istosmjernih strujnih krugova.

Na slici 23.12. prikazan je primjer izmjenične strujne mreže (identičan primjeru na kojemu je opisan postupak primjene Theveninova teorema) u kojoj želimo analizirati stanje na impedanciji Z& .

Slika 23.12. Primjer izmjeničnog strujnog kruga za primjenu Nortonova teorema.

Primjena Nortonova teorema se provodi po identičnim koracima kako je to rađeno kod

istosmjernih strujnih krugova.

Prvo se impedancija Z& odspaja iz strujnoga kruga, a krajevi na kojima je bila spojena u strujni krug se označavaju s a i b. Za određivanje iznosa Nortonove struje NI& kratko ćemo spojiti stezaljke a i b te odrediti iznos struje koja kroz taj kratki spoj protječe.

Na slici 23.13. prikazan je promijenjen izmjenični strujni krug s kratko spojenim stezaljkama a i b.

Slika 23.13. Izmjenični strujni krug s odspojenom impedancijom Z& i kratko spojenim točkama a i b.

+

R1

XL

XC

R2

U Z

+

R1

XL

XC

R2

U

b

a

IN

c

d


− 92 −

Iznos Nortonove struje NI& iz izmjeničnog se strujnog kruga prikazanog na slici 23.13. može odrediti pomoću neke od metoda računske analize izmjeničnih strujnih krugova, najbolje one koja bi najbrže dala željeni rezultat.

Uporabi li se za određivanje Nortonove struje NI& Millmanov teorem (prikazan izmjenični strujni krug ima samo dva čvora označena s c i d), dobiva se da je napon između ta dva čvora jednak:

[ ]V111

U

U

C2C1

1cd

jXRjXR

R

−++

=

&

& , (23−20)

a iznos Nortonove struje NI& je onda:

[ ]AUIC2

cdN jXR −

=&

& . (23−21)

Za određivanje iznosa Nortonove impedancije NZ& stezaljke a i b moraju biti odspojene.

Osim toga, svi izvori napona u izmjeničnom strujnom krugu se zamjenjuju kratkim spojevima, a svi izvori struja prekidima strujnoga kruga. Nortonova impedancija NZ& se onda određuje kao ukupna impedancije strujnoga kruga gledano sa stezaljki a i b.

U promatranom se primjeru izmjeničnog strujnog kruga nalazi samo jedan izvor napona U& , tako da će se on zamijeniti kratkim spojem.

Na slici 23.14. prikazan je promijenjen izmjenični strujni krug s odspojenim stezaljkama a i b izvorom napona U& zamijenjenim kratkim spojem.

Slika 23.14. Izmjenični strujni krug s odspojenim stezaljkama a i b i izvorom napona U& zamijenjenim kratkim spojem.

Gledano sa stezaljki a i b lako je odrediti iznos ukupne impedancije koja će biti jednaka

Nortonovoj impedanciji NZ& :

R1

XL

XC

R2

b

a


− 93 −

( ) [ ]Ω−+= CL12NZ jXjXRR& , (23−22) što je identičan izraz izrazu (23−5) za Theveninovu impedanciju TZ& .

Na osnovi dobivenih parametara realnog izvora struje, početni se izmjenični strujni krug može nadomjestiti po Nortonovom teoremu na način prikazan na slici 23.15.

Slika 23.15. Polazni izmjenični strujni krug nadomješten pomoću Nortonova teorema.

Usporedbom dobivenog nadomijesnog strujnog kruga pomoću Nortonova teorema s

nadomijesnim strujnim krugom prikazanim na slici 23.5. dobivenim pomoću Theveninova teorema, očigledno je da su dobiveni realni izvor napona (po Theveninovom teoremu) i realni izvor struje (po Nortonovom teoremu) međusobno nadomijesni izvori, te ih je lako pretvarati iz jednog oblika u drugi.

I u izmjeničnim strujnim krugovima češće se uporabljuje nadomještanje pomoću Theveninova teorema jer je računski lakše provedivo. Dobiveni se realni izvor napona može lako pretvoriti u realni izvor struje te se na taj način dobiti nadomijesni strujni krug nadomješten po Nortonovom teoremu.

Riješeni primjer

Zadatak: Primjenom Nortonova teorema odrediti iznos struje ZI& , koja protječe kroz impedanciju Z& u izmjeničnom strujnom krugu prikazanom na slici 23.12. ako je zadano: [ ]V4560U °= & , [ ]Ω= 1001R , [ ]Ω= 752R , [ ]Ω= 50LX , [ ]Ω= 01C 5X

i [ ]Ω+= 2001Z j5& .

Rješenje: Uvrstimo li zadane vrijednosti u izraz (23−20) dobivamo da je napon cdU& :

=

°−+°−+

°=

−+

°+

°

=

63,43167,711900,020,01

450,6

150751

90501

1001

100

4560

Ucd

j

&

Z

a

b

ZNIN


− 94 −

[ ].V94,13049,10,02

450,6

0,0150,013

450,6

0,0050,0030,020,01

450,6

63,430,0060,020,01

450,6

°=°−

°=

−

°=

=++−

°=

°+−

°=

j

jjj

Pomoću izraza (23−21) određujemo iznos Nortonove struje NI& kako slijedi:

[ ]A157,530,1863,43167,71

94,130

15075

94,130IN °=

°−

°=

−

°=

j& .

Iz izraza (23−22) odredimo iznos Nortonove impedancije NZ& :

[ ]Ω°−=−=−++=

=−+°=−+°

°=

=−++

°⋅=−+

+

°⋅=

,184145,3411095150754020

1507563,4344,721507526,57111,8

905000

1507550100

905010090Z C2

L1

L1N

9

jjj

jj

jj

jXRjXR

XR&

Iznos struje koja protječe kroz impedanciju Z& određujemo iz izraza:

[ ]A69,060,18

,293142,13

108,3526,16

200111095

,184145,34157,530,18

ZZZII

N

NNZ

°=

=°

°=

++−

°−⋅°=

+⋅

=

95

9

jj&&

&&&

Dobivena je vrijednost struje ZI& približno jednaka iznosu dobivenom primjenom Theveninova teorema, a razlika do koje je došlo posljedica je zaokruživanja prilikom provođenja računa.

Poglavlje 24 Višefrekvencijski izmjenični strujni krugovi − dodatak za samostalno učenje

− 95 −

24. VIŠEFREKVENCIJSKI IZMJENIČNI STRUJNI KRUGOVI

24.2. Višefrekvencijski izmjenični strujni krugovi s istosmjernom komponentom

Na slici 24.4. prikazan je sinusoidalni napon u(t) koji u sebi sadrži i istosmjernu

komponentu.

Slika 24.4. Sinusoidalni napon s istosmjernom komponentom. Sinusoidalan napon s istosmjernom komponentom možemo općenito zapisati na sljedeći

način:

( ) ( ) [ ]VUU MAXist °+⋅+= ϕωtsintu . (24−16) Istosmjerna komponenta se prilikom računske analize izmjeničnog strujnog kruga može

promatrati kao situacija u kojoj je iznos kružne frekvencije 0=ω . Metodom superpozicije lako se određuje na koji način istosmjerna komponenta zasebno djeluje na promatrani strujni krug uz ugašene sve ostale izvore koji se u krugu mogu nalaziti.

Važno je prilikom računske analize imati na umu da iznos kapacitivnog otpora

CX

⋅=

ω1

C kada je kružna frekvencija 0=ω iznosi:

∞==⋅

=011

C CX

ω, (24−17)

a vrijednost induktivnog otpora LX ⋅= ωL :

00L =⋅=⋅= LLX ω . (24−18)

Drugim riječima, u slučaju kada promatramo istosmjernu komponentu (odnosno kada je

iznos kružne frekvencije 0=ω ), svaki će kondenzator C u izmjeničnom strujnom krugu

0 t [s]

u(t)

Uist

UMAXsin(ω t+ϕ )


− 96 −

predstavljati prekid kruga (beskonačan otpor), dok će svaka zavojnica L u strujnome krugu predstavljati kratki spoj (otpor jednak nuli). U tom će slučaju u strujnome krugu ostati samo otpornici (vrijednosti otpora otpornika ne ovise o iznosu kružne frekvencije ω ).

Riješeni primjer

Zadatak: Odredite iznos efektivne vrijednosti struje kroz otpornik [ ]Ω= 50R ako je napon priključen na spoj prikazan slikom ( ) ( )[ ]V301021025 4 °−⋅+= tsintu , te ako je kapacitet kondenzatora [ ]Fμ= 25,1C , a induktivitet zavojnice [ ]mH10=L .

Rješenje: Izvor napona u sebi sadrži istosmjernu komponentu, te je prvi slučaj koji

analiziramo situacija u kojoj je kružna frekvencija 0=ω . U tom je slučaju prema izrazima (24−17) i (24−18) vrijednost kapacitivnog otpora ∞=CX , a vrijednost induktivnog otpora 0L =X . Prikazani izmjenični strujni krug u tom slučaju izgleda ovako:

Efektivna vrijednost struje 0)R( =ωI koja u promatranom slučaju protječe kroz otpornik R lako se određuje pomoću Ohmova zakona:

[ ]A0,55025

0)R( ==== RUI ω .

U slučaju kada je iznos kružne frekvencije u promatranom strujnom krugu

410=ω , strujni krug izgleda na način prikazan uz tekst zadatka. Vrijednosti kapacitivnog otpora CX i induktivnog otpora LX u tom su slučaju jednake:

U+

RC

L

U(ω = 0)

+R

IR(ω = 0)


− 97 −

[ ]

[ ]Ω=⋅⋅=⋅=

Ω=⋅⋅

=⋅

=

−

−

100101010

80101,2510

11

34L

64C

LXC

X

ωω

Da bismo odredili efektivnu vrijednost struje

)10R( 4=ωI trebamo odrediti iznos pada

napona RU& na otporniku R, a za njegovo određivanje potrebna nam je vrijednost struje I& koju u strujni krug daje izvor napona [ ]V3010U °−= & . Ukupna

impedancija ukZ& u strujnom krugu pri kružnoj frekvenciji 410=ω je:

( )[ ]

[ ]Ω°=+=

=+−=+°−=

=+°−

°−=+

+

°−⋅=+−=

65,1285,4677,5335,96

10022,4735,961003242,4

1005894,34

904000100

8050

908050Z LCuk

j

jjj

jjj

jXjXR&

Iznos struje I& koju u strujni krug daje izvor napona je:

[ ]A95,120,1265,1285,46

3010

ZUI

uk

1 °−=°

°−==

&

&& .

Pad napona RU& na otporniku R jednak je:

( )[ ] [ ]V127,125,13242,495,120,12IU CR °=°−⋅°−=−⋅= jXR&& ,

a iznos struje

)10R( 4I=ω

& koja kroz otpornik u tom slučaju protječe je:

[ ]A127,120,150

127,125,1UI R)10R( 4 °=

°==

=

ω R

&& .

Na osnovi vrijednosti dobivenih za 0)R( =ωI i

)10R( 4I=ω

& ukupna struja ( )tiR je:

( ) ( )[ ]A127,121020,10,5 4

R °+⋅+= tsinti , a njezina je efektivna vrijednost RI :

[ ]A0,510,10,5 222)10R(

20)R(R 4 =+=+=

== ωω III .

Poglavlje 25 Trofazni sustavi − dodatak za samostalno učenje

− 98 −

25. TROFAZNI SUSTAVI 25.5. Generiranje trofaznog napona

Na slici 25.7. dan je vremenski prikaz triju napona trofaznog sustava izmjeničnih

napona.

Slika 25.7. Vremenski prikaz napona trofaznog sustava napona. Tri sinusoidalna napona prikazana na slici 25.7. međusobno su pomaknuta za 120°. Oni

zajedno čine simetrični trofazni sustav napona (amplitude svih napona i fazni pomaci između napona međusobno su jednaki). Za generiranje opisanog simetričnog trofaznog sustava napona uporabljuje se princip elektromagnetske indukcije, na isti način kao što je to učinjeno i za generiranje jednofaznog sinusoidalnog napona.

Na slici 25.8. prikazan je sustav od tri svitka međusobno fizički razmaknutih za 120° u vremenski nepromjenjivom magnetskom polju B.

Slika 25.8. Sustav od tri svitka u vremenski nepromjenjivom magnetskom polju B.

u(t)UMAX

0ωt

− UMAX

120 240 360

2π3

α

4π3 2π

u1(t) u2(t) u3(t)

N

S

ω

B

120

u1(t)

u2(t)

u3(t)


− 99 −

Prilikom vrtnje prikazanog sustava triju identičnih svitaka međusobno razmaknutih za 120° konstantnom kutnom brzinom ω u vremenski nepromjenjivom magnetskom polju B, u svakom će se od svitaka inducirati sinusoidalni napon iste amplitude. Međutim, u istom trenutku svaki od svitaka obuhvaća različit iznos magnetskog toka Φ, te će to uvjetovati pojavu faznog pomaka između triju induciranih sinusoidalnih napona ( )tu1 , ( )tu2 i ( )tu3 .

Fazni pomak induciranog napona ovisi o kutu α što ga svitak zatvara sa horizontalom (kao što je to prikazano na slici 16.4.). Kako se punim okretajem od 360° inducira jedna perioda T sinusoide, u svitku koji rotaciju započinje pomaknut za trećinu punoga kruga (za 120°) generira se sinusoidalni napon pomaknut za trećinu periode T, odnosno za dvije trećine periode T u slučaju svitka koji je u odnosu na horizontalu pomaknut za dvije trećine punoga kruga (za 240°).

Kako se za potrebe računanja dobiveni sinusoidalni valni oblik napona zamjenjuje rotirajućim vektorom, gdje se perioda T izjednačava sa zakretom rotirajućeg vektora za puni krug (360° odnosno 2π radijana), slijedi da će fazni pomaci između dobivenih napona ( )tu1 , ( )tu2 i ( )tu3 biti po 120°, odnosno da fizički pomak između dvaju svitaka odgovara faznom

pomaku između napona koji se u njima na opisani način induciraju. 25.6. Mješoviti spojevi trofaznog generatora i trofaznog trošila

Na slici 25.9. prikazan je mješoviti spoj trofaznog generatora u spoju zvijezda i

trofaznog trošila u spoju trokut.

Slika 25.9. Mješoviti spoj trofaznog generatora u spoju zvijezda i trofaznog trošila u spoju trokut.

Uvjete u mješovitom trofaznom sustavu prikazanom na slici 25.9. u prvom redu

određuje trofazni generator napona na koji se trofazno trošilo spaja. Fazni naponi trofaznog generatora RU& , SU& i TU& definirani su izrazom (25−2), a određeni su samim fizičkim karakteristikama trofaznog generatora izmjeničnog napona. Ti fazni naponi određuju i iznose linijskih napona zapisanih izrazom (25−8), i njihovi su iznosi i kutovi neovisni o

+

++

0

trofazni generator napona trofazno trošilo

IR

IS

IT

R

S

T

UR

UT

US

Z1

Z3

Z2

IZ1

IZ3

IZ2


− 100 −

karakteristikama (vrsti spoja i iznosima impedancija 1Z& , 2Z& i 3Z& u fazama) trofaznog trošila koje se na trofazni generator spaja.

Računska analiza mješovitih trofaznih sustava poput sustava prikazanog na slici 25.9. provodi se pomoću osnovnih zakona (Ohmov zakon, Kirchhoffovi zakoni) i metoda za računsku analizu izmjeničnih strujnih krugova.

Na slici 25.10. prikazan je mješoviti trofazni sustav u kojemu je trofazni generator napona spojen u trokut, a trofazno je trošilo spojeno u zvijezdu.

Slika 25.10. Mješoviti spoj trofaznog generatora u spoju trokut i trofaznog trošila u spoju zvijezda.

I u mješovitom trofaznom sustavu prikazanom na slici 25.10., trofazni generator napona

određuje osnovne uvjete u trofaznom sustavu, neovisno o karakteristikama trofaznog trošila koje se na njega spaja. Fazni naponi trofaznog generatora RU& , SU& i TU& također su definirani izrazom (25−2), a u prikazanom su slučaju iznosi linijskih napona jednaki iznosima faznih napona ( SRS UU && = , TST UU && = i RTR UU && = ), dok se linijske struje RI& , SI& i TI& (koje su jednake faznim strujama trofaznog trošila u spoju zvijezda) jednake razlici dviju odgovarajućih faznih struja trofaznog generatora (

RS GGR III &&& −= , ST GGS III &&& −= i

TR GGT III &&& −= ).

Iz opisanih je odnosa lako uvidjeti da se računska analiza mješovitog trofaznog sustava prikazanog na slici 25.10. provodi pomoću osnovnih zakona (Ohmov zakon, Kirchhoffovi zakoni) i metoda za računsku analizu izmjeničnih strujnih krugova, isto kao i kod mješovitog trofaznog sustava prikazanog na slici 25.9. 25.7. Aronov spoj za mjerenje snage u nesimetričnim trofaznim sustavima

Pomoću Aronova je spoja moguće pomoću dva vatmetra izmjeriti ukupnu snagu na u

nesimetričnim trofaznim sustavima bez nulvodiča.

Na slici 25.11. prikazan je princip spajanja vatmetara u trofazni sustav kada ta dva vatmetra čine Aronov spoj.

IR

IT

IS

trofazni generator napona trofazno trošilo

+

+

+

IG IG

IG

R S

T

UR

UT

US

R

S

T

Z1

Z3

Z2

0'


− 101 −

Slika 25.11. Dva vatmetra u Aronovom spoju.

Da bi dva vatmetra bila spojena u Aronov spoj, treba ih u trofazni sustav spojiti tako da mjere dvije linijske struje (u prikazu na slici 25.11. vatmetar 1W mjeri linijsku struju RI& dok vatmetar 2W mjeri linijsku struju TI& ), te iznose napona između linije čiju struju mjere i linije u kojoj se ne nalazi niti jedan od ta dva vatmetra (u prikazanom slučaju na slici 25.11. vatmetar 1W mjeri linijski napon RSU& između linija R i S, dok vatmetar 2W mjeri linijski napon TSU& između linija T i S).

Kako je ukupna snaga u trofaznom sustavu jednaka zbroju snaga u svakoj od faza sustava, možemo pisati da je:

[ ]WTTSSRRuk iuiuiuP ⋅+⋅+⋅= . (25−26)

Prema prvom Kirchhoffovom zakonu za trofazni sustav bez nulvodiča mora uvijek biti ispunjen uvjet da je zbroj svih triju struja koje dolaze u točku 0' jednak nuli, tj.:

0TSR =++ iii , (25−27) odakle se može izraziti struja TRS iii +=− . Uvrsti li se ovaj izraz u izraz (25−26) dobivamo:

( ) ( )21 WW

STTSRR

TTTSRSRRuk

PPuuiuui

iuiuiuiuP

+==−⋅+−⋅=

=⋅+⋅−⋅−⋅= (25−28)

Linijski napon RSU& jednak je razlici napona RU& i SU& , a linijski napon TSU& razlici

napona SU& i TU& , dok su struje koje mjere vatmetri 1W i 2W upravo struje RI& i TI& . Iz izraza (25−28) proizlazi da je algebarski zbroj izmjerenih snaga vatmetara 1W i 2W jednak iznosu ukupne snage u promatranom nesimetričnom trofaznom sustavu.

IR

IT

IS

R

S

T

Z1

Z3

Z2

0'

W1

W2

Poglavlje 26 Međuinduktivitet i zračni transformatori − dodatak za samostalno učenje

− 102 −

26. MEĐUINDUKTIVITET I ZRAČNI TRANSFORMATORI

Osim serijski međuinduktivno vezanih zavojnica u izmjeničnim strujnim krugovima dvije se međuinduktivno vezane zavojnice mogu nalaziti u različitim granama strujnoga kruga. I u tom je slučaju moguće nadomjestiti te dvije zavojnice pomoću nadomjesne sheme 26.4. Nadomjesna shema međuinduktivne veze dviju zavojnica

Na slici 26.6. prikazane su dvije međuinduktivno vezane zavojnice koje se nalaze u

različitim granama strujnoga kruga.

Slika 26.6. Međuinduktivno vezane zavojnice u različitim granama strujnoga kruga.

Ukoliko je međuinduktivna veza između zavojnica

1LX& i 2LX& suglasna, tada možemo

za napone abU& i cdU& na osnovi drugog Kirchhoffovog zakona napisati sljedeće jednadžbe:

2

1

L2M1cd

M2L1ab

XIXIU

XIXIU&&&&&

&&&&&

⋅+⋅=

⋅+⋅= (26−16)

Ukoliko, na isti način kao što smo to učinili prilikom određivanja nadomjesne sheme

zračnog transformatora, prvoj naponskoj jednadžbu dodamo i oduzmemo M1 XI && ⋅ , a drugoj naponskoj jednadžbi M2 XI && ⋅ , izraz (26−16) možemo zapisati na sljedeći način:

M2M2L2M1cd

M1M1M2L1ab

XIXIXIXIU

XIXIXIXIU

2

1

&&&&&&&&&

&&&&&&&&&

−+⋅+=

−+⋅+⋅= (26−17)

odnosno:

( ) ( )

( ) ( )ML2M21cd

M21ML1ab

XXIXIIU

XIIXXIU

2

1

&&&&&&&

&&&&&&&

−⋅+⋅+=

⋅++−⋅= (26−18)

I2I1

b

a c

d

XL 1XL2

k

Uab Ucd


− 103 −

Nacrtamo li strujni krug koji opisuju izrazi (26−18) dobivamo nadomjesnu shemu međuinduktivno vezanih zavojnica sa slike 26.6. (ako su zavojnice u suglasnoj vezi), prikazanu na slici 26.7.

Slika 26.7. Nadomjesna shema suglasno vezanih zavojnica. Pomoću nadomjesne sheme prikazane na slici 26.7. možemo u izmjeničnim strujnim

krugovima međuinduktivnu vezu ugraditi u nadomjesne elemente, te na taj način dobiti oblik strujnoga kruga koji se može analizirati bilo kojom od ranije opisanih metoda računske analize.

U slučaju kada je međuinduktivna veza između zavojnica prikazanih na slici 26.6. nesuglasna, naponi abU& i cdU& su jednaki:

2

1

L2M1cd

M2L1ab

XIXIU

XIXIU&&&&&

&&&&&

⋅+⋅−=

⋅−⋅= (26−19)

Na isti način (dodavanjem i oduzimanjem istog izraza u obje jednadžbe) dobivaju se

sljedeći izrazi za napone abU& i cdU& :

( ) ( )( ) ( )ML2M21cd

M21ML1ab

XXIXIIU

XIIXXIU

2

1

&&&&&&&

&&&&&&&

+⋅+⋅+−=

⋅+−+⋅= (26−20)

Na slici 26.8. prikazana je nadomjesna shema nesuglasno vezanih zavojnica.

Slika 26.8. Nadomjesna shema nesuglasno vezanih zavojnica.

XM

XL−XM1XL−XM2 I2I1

b

a c

d

Uab Ucd

I1+I2

XL+XM1XL+XM2 I2I1

b

a c

d

Uab Ucd

I1+I2

−XM


− 104 −

26.5. Označavanje karaktera međuinduktivne veze u odnosu na čvor strujnoga kruga S obzirom da se u shematskom prikazu strujnih krugova iz simbola zavojnica ne može

znati smjer namatanja zavojnice, uvedene su točkice kojima se označava jedan od krajeva zavojnice. Karakter međuinduktivne veze između dviju zavojnica određuje se u ovisnosti o smjeru struja koje kroz zavojnice protječu promatrano u odnosu na nacrtane točke.

Ukoliko struje u obje zavojnice ulaze u na isti način označene strane zavojnica (strane s točkicama ili strane bez točkica) tada je međuinduktivna veza suglasna, a ukoliko struje u zavojnice ulaze na različito označene strane zavojnica (u jednu zavojnicu na strani označenoj točkicom, a u drugu zavojnicu na strani na kojoj se ne nalazi točkica) tada je njihova međuinduktivna veza nesuglasna.

Na osnovi poznatih smjerova struja u granama strujnoga kruga, lako je pomoću opisane metode uočiti koji je karakter svake pojedine međuinduktivne veze, te provesti računsku analizu strujnoga kruga.

Drugi način označavanja karaktera međuinduktivne veze prikazan je na slici 26.9.

a) suglasna veza b) nesuglasna veza

Slika 26.9. Određivanje karaktera međuinduktivne veze prema čvoru u strujnom krugu.

Ukoliko se točkice, kao što je to prikazano na slici 26.9a., nalaze uz zavojnice na istoj

poziciji (ili su obje na stranama zavojnica koji su bliže čvoru ili su obje na stranama zavojnica koje su udaljene od čvora) tada ovakav oblik označavanja ukazuje na to da je međuinduktivna veza između zavojnica suglasna. Nadomjesna shema ovako međuinduktivno vezanih zavojnica prikazana je na slici 26.7.

S druge strane, u slučaju kada točkice koje određuju karakter međuinduktivne veze, gledano u odnosu na čvor strujnoga kruga, nisu na istim pozicijama (na jednoj je zavojnici točkica na strani uz čvor, a na drugoj nije), tada je međuinduktivna veza između zavojnica nesuglasna. Ovaj je slučaj prikazan na slici 26.9b., a nadomjesna shema nesuglasno vezanih zavojnica prikazana je na slici 26.8.

XL 1XL2

k

XL 1XL2

k

čvor

čvor

XL1XL2

k

XL1XL2

k

čvor

čvor

Documents

Gordan Đurović - Elektrotehnika 2