GOVERNO DO PARANÁ SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

FRANCISCO AMÉRICO DE OLIVEIRA SILVA

Produção Didático-Pedagógica

PORCENTAGENS, JUROS E DESCONTOS POR MEIO DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

IES: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA – UEL

ORIENTADORA: Prof.ª Dr.ª MÁRCIA CRISTINA DE COSTA

TRINDADE CYRINO

ÁREA CURRICULAR: MATEMÁTICA

LONDRINA - 2011

FRANCISCO AMÉRICO DE OLIVEIRA SILVA

Produção Didático-Pedagógica

PORCENTAGENS, JUROS E DESCONTOS POR MEIO DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Prdução didático-Pedagógica apresentada ao Programa de Desenvolvimento Educacional. Orientadora: Prof.ª Dr.ª MÁRCIA CRISTINA DE COSTA TRINDADE CYRINO

UEL - LONDRINA - 2011

FICHA PARA CATÁLOGO PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA

TÍTULO: PORCENTAGENS, JUROS E DESCONTOS POR MEIO DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Autor Francisco Américo de Oliveira Silva

Escola de Atuação Colégio Estadual Antônio Iglesias – Ensino Fundamental, Médio, Profissional e Normal

Município da escola Ibiporã

Núcleo Regional de Educação Londrina

Orientador Márcia Cristina de Costa Trindade Cyrino

Instituição de Ensino Superior UEL – Universidade Estadual de Londrina

Disciplina/Área Matemática

Produção Didático-pedagógica Unidade Didática

Relação Interdisciplinar

Não há

Público Alvo

Alunos da 8ª série do Ensino Fundamental

Localização

Colégio Estadual Antônio Iglesias – Ensino Fundamental, Médio, Profissional e Normal.

Rua Timburi, 54 Jardim Pinheiro – CEP: 86200-000

Ibiporã/PR

Apresentação:

Nesta Unidade Didática o objetivo principal é proporcionar pela metodologia da Resolução de Problemas, o estudo da Porcentagem, Juros e Descontos.

Mediante a experiência adquirida em sala de aula, percebo que alguns alunos têm apresentado desinteresse no estudo da matemática. Na maioria das vezes, por não entenderem o conteúdo que está sendo ensinado ou também por tal conteúdo não ter uma relação com o cotidiano deles.

Trabalhar com problemas que apresentem um contexto mais próximo do cotidiano do aluno pode contribuir para que ele tenha mais interesse em aprender

os conceitos neles envolvidos. Dessa forma pretende-se propor problemas,

objetivando desencadear, a partir das resoluções dos alunos, a discussão dos conceitos matemáticos. Propomos ainda que, após a formalização dos conteúdos abordados nestes problemas, os alunos formulem outros problemas, sobre o mesmo conteúdo, utilizando para isso, dados de um levantamento de informações que realizarão no comércio local, em situações envolvendo porcentagem, juros e descontos. Pretendemos, por meio das resoluções dos problemas formulados pelos alunos, que o professor busque identificar se houve compreensão, por parte dos alunos, acerca dos conceitos já formalizados.

Palavras-chave Resolução de Problemas; Matemática Financeira; Cotidiano

1 INTRODUÇÃO

De acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação Básica de

Matemática do Estado do Paraná, os “conteúdos propostos devem ser

abordados por meio de tendências metodológicas da Educação Matemática

que fundamentam a prática docente” (PARANÁ, 2008, p. 63). Dentre elas,

pode-se destacar a Resolução de Problemas.

Diante disso, estudamos a Resolução de Problemas enquanto estratégia

metodológica para o ensino e a aprendizagem da Matemática e produzimos um

caderno pedagógico composto por unidades didáticas elaboradas

individualmente por nove professores PDE, correlacionadas com esse tema.

Essa produção didático-pedagógica, além de se constituir para os

professores PDE em uma estratégia para a implementação do Projeto de

Intervenção Pedagógica na Escola, apresenta possibilidades de abordagem de

diferentes conteúdos matemáticos por meio da Resolução de Problemas, tem

também como objetivo oportunizar a outros professores que venham a ter

acesso a essa produção, o desenvolvimento de um trabalho com essa

estratégia metodológica mediante a implementação desse material.

Utilizar a Resolução de Problemas como uma estratégia metodológica

para o ensino e a aprendizagem de Matemática, trata-se, segundo Allevato e

Onuchic (2009, p.7), “de um trabalho onde um problema é ponto de partida e

orientação para a aprendizagem, e a construção do conhecimento far-se-á

através de sua resolução.”

Ainda de acordo com essas autoras, não há “formas rígidas para colocar

em prática essa metodologia” (ibidem). Apresentaremos a seguir uma proposta

sugerida pelas autoras de organização das tarefas em etapas a serem

desenvolvidas pelo professor e pelos alunos.

1) Preparação do problema - Selecionar um problema visando à construção de um novo conceito, princípio ou procedimento. Esse problema será chamado problema gerador. É bom ressaltar que o conteúdo matemático necessário para a resolução do problema não tenha ainda sido trabalhado em sala de aula. 2) Leitura individual - Entregar uma cópia do problema para cada aluno e solicitar que seja feita sua leitura.

3) Leitura em conjunto - Formar grupos e solicitar nova leitura do problema, agora nos grupos.

Se houver dificuldade na leitura do texto, o próprio professor pode auxiliar os alunos, lendo o problema.

Se houver, no texto do problema, palavras desconhecidas para os alunos surge um problema secundário. Busca-se uma forma de poder esclarecer as dúvidas e, se necessário, pode-se, com os alunos, consultar um dicionário.

4) Resolução do problema - De posse do problema, sem dúvidas quanto ao enunciado, os alunos, em seus grupos, num trabalho cooperativo e colaborativo, buscam resolvê-lo. Considerando os alunos como co-construtores da “matemática nova” que se quer abordar, o problema gerador é aquele que, ao longo de sua resolução, conduzirá os alunos para a construção do conteúdo planejado pelo professor para aquela aula. 5) Observar e incentivar – Nessa etapa o professor não tem mais o papel de transmissor do conhecimento. Enquanto os alunos, em grupo, buscam resolver o problema, o professor observa, analisa o comportamento dos alunos e estimula o trabalho colaborativo. Ainda, o professor como mediador leva os alunos a pensar, dando-lhes tempo e incentivando a troca de idéias entre eles.

O professor incentiva os alunos a utilizarem seus conhecimentos prévios e técnicas operatórias já conhecidas necessárias à resolução do problema proposto. Estimula-os a escolher diferentes caminhos (métodos) a partir dos próprios recursos de que dispõem. Entretanto, é necessário que o professor atenda os alunos em suas dificuldades, colocando-se como interventor e questionador. Acompanha suas explorações e ajuda-os, quando necessário, a resolver problemas secundários que podem surgir no decurso da resolução: notação; passagem da linguagem vernácula para a linguagem matemática; conceitos relacionados e técnicas operatórias; a fim de possibilitar a continuação do trabalho.

6) Registro das resoluções na lousa – Representantes dos grupos são convidados a registrar, na lousa, suas resoluções. Resoluções certas, erradas ou feitas por diferentes processos devem ser apresentadas para que todos os alunos as analisem e discutam. 7) Plenária – Para esta etapa são convidados todos os alunos para discutirem as diferentes resoluções registradas na lousa pelos colegas, para defenderem seus pontos de vista e esclarecerem suas dúvidas. O professor se coloca como guia e mediador das discussões, incentivando a participação ativa e efetiva de todos os alunos. Este é um momento bastante rico para a aprendizagem. 8) Busca do consenso – Após serem sanadas as dúvidas e analisadas as resoluções e soluções obtidas para o problema, o professor tenta, com toda a classe, chegar a um consenso sobre o resultado correto.

9) Formalização do conteúdo – Neste momento, denominado “formalização”, o professor registra na lousa uma apresentação “formal” – organizada e estruturada em linguagem matemática – padronizando os conceitos, os princípios e os procedimentos construídos através da resolução do problema, destacando as diferentes técnicas operatórias e as demonstrações das propriedades qualificadas sobre o assunto. (ALLEVATO; ONUCHIC, 2009, p. 7-8, grifo nosso).

A intenção é que a implementação desta produção didático-pedagógica,

seja realizada de acordo com as etapas apresentadas anteriormente, e, por

isso, sugerimos para cada problema presente nessa produção,

encaminhamentos que podem ser utilizados pelos professores em algumas

dessas etapas, bem como possíveis formalizações para os conteúdos

matemáticos abordados.

2 APRESENTAÇÃO

Nesta Unidade Didática o objetivo principal é proporcionar pela

metodologia da Resolução de Problemas, o estudo da Porcentagem, Juros e

Descontos. Esta Produção Didático-pedagógica será utilizada no trabalho que

será desenvolvido com alunos da 8ª série do Ensino Fundamental atendendo

aos propósitos do nosso projeto de Intervenção Pedagógica na escola,

elaborado no segundo período deste Programa de Desenvolvimento

Educacional, no qual optamos por estudar o tema Tendências em Educação

Matemática, donde destacamos a metodologia da Resolução de Problemas na

perspectiva proposta pelas autoras Onuchic e Allevato (2009).

Mediante a experiência adquirida em sala de aula, percebo que alguns

alunos têm apresentado desinteresse no estudo da matemática. Na maioria

das vezes, por não entenderem o conteúdo que está sendo ensinado ou

também por tal conteúdo não ter uma relação com o cotidiano deles.

Trabalhar com problemas que apresentem um contexto mais próximo do

cotidiano pode contribuir para que o aluno tenha mais interesse em aprender

os conceitos neles envolvidos.

Dessa forma pretende-se propor problemas, objetivando desencadear,

a partir das resoluções dos alunos, a discussão dos conceitos matemáticos.

Propomos ainda que, após a formalização dos conteúdos abordados nestes

problemas, os alunos formulem outros problemas, sobre o mesmo conteúdo,

utilizando para isso os dados de um levantamento de informações que

realizarão no comércio local, em situações envolvendo porcentagem, juros e

descontos. Pretendemos, por meio das resoluções dos problemas formulados

pelos alunos, que o professor busque identificar se houve compreensão, por

parte dos alunos, acerca dos conceitos já formalizados.

3 PROCEDIMENTOS

Ao sugerir o trabalho com a metodologia da Resolução de Problemas na

perspectiva das autoras Allevato e Onuchic (2009), apresentamos os

problemas elaborados que serão trabalhados com alunos da oitava série “A” do

Colégio Estadual Antônio Iglesias de Ibiporã. O desenvolvimento de cada

problema contém: a resolução esperada, os objetivos a ser atingidos, o

encaminhamento que poderá ser feito e a sugestão de formalização do

conteúdo abordado.

DESENVOLVIMENTO

Será proposto aos alunos que resolvam os problemas apresentados na

sequência deste texto. Os problemas serão abordados na perspectiva da

metodologia Resolução de Problemas e após a formalização dos conteúdos em

cada um deles, será proposto que os alunos formulem outros problemas, sobre

o mesmo conteúdo, utilizando os dados do levantamento de informações, por

eles obtidas, no comércio local. Pretende-se que o professor busque identificar

se houve compreensão, por parte dos alunos, acerca dos conceitos já

formalizados, por meio de suas resoluções aos problemas que formularam.

PROBLEMA 01

É comum ouvirmos as pessoas dizerem que os impostos encarecem o

preço dos produtos. Para se ter ideia, em determinado período do ano, em

cada 100 reais gastos com feijão,18 reais eram pagos em impostos; no

refrigerante, 47 em cada 100 reais gastos eram pagos em impostos; na

gasolina, para cada 100 reais gastos, 53 reais eram pagos em impostos. Com

base nessas informações responda:

a)O que você sabe sobre impostos?

b)Represente por meio de uma fração, a relação entre o total pago em imposto

e cada cem reais, na compra de cada um dos produtos anteriores.

c)Com relação ao refrigerante quanto pagaríamos em impostos para um gasto

de 400 reais?

d E se gastássemos 80 reais comprando refrigerante, quanto seria pago em

imposto?

RESOLUÇÃO

a) É uma porcentagem que pagamos para o governo sobre cada produto

adquirido.

b) ; ;

c) Se em 100 reais paga-se 47 de imposto, em 400 reais, ou seja, em 4 vezes

o 100, paga-se 4x 47= 188

Resposta: Pagaríamos de imposto 188 reais.

d)

Valor em reais Imposto pago em reais

100 47

80 x

=

100x = 80.47

100x = 3760

x= 3760 : 100

x= 37,6

Resposta: Pagaríamos em impostos 37,6 reais.

OBJETIVOS

Perceber o uso da porcentagem em atividades cotidianas.

Definir porcentagem a partir de problemas e discussões entre os alunos.

ENCAMINHAMENTO E FORMALIZAÇÃO

Esse problema, juntamente com as informações obtidas no comércio

local, possibilitará que os alunos percebam o uso da porcentagem no seu dia a

dia.

No item b, utilizando frações para expressar ideia de razão, deseja-se

definir Porcentagem como uma razão entre dois números, em que o

denominador da fração corresponde ao número 100. Por exemplo, a razão

expressa que a cada 100 reais pagos na compra de um produto, 18 são pagos

em impostos. Serão exploradas outras formas de escrever uma porcentagem,

durante a plenária ou na formalização os alunos serão incentivados a perceber

que as razões centesimais que eles escreveram também podem ser escritas

na forma de números decimais.

Quanto ao símbolo %, antes de apresentá-lo na formalização, o professor

pode pedir que os alunos, utilizando os folhetos comerciais e as informações

que recolheram no comércio local, respondam às questões a seguir,

registrando suas hipóteses, para depois colocá-las em plenária.

a) Qual o significado dos números acompanhados do símbolo %?

b) O que o símbolo % significa?

PROBLEMA 02

Maria foi ao shopping para comprar um par de tênis que custava R$

249,00. Maria pagou à vista e o tênis, em perfeitas condições, foi comprado por

R$199,20. Pergunta-se:

a) O que o valor diminuído no preço do tênis representa?

b) Qual o percentual equivalente ao valor reduzido no preço do tênis? Como

você faria esse cálculo?

c) Maria percebeu que o vendedor, multiplicou o valor do calçado por 0,8 na

calculadora e informou o valor a ser pago. Por que ele multiplicou o valor por

0,8 para obter o resultado?

RESOLUÇÃO

a) Representa um desconto.

b) Preço do par de tênis: R$ 249,00

Total pago menos por Maria: R$ 199,20

Valor do desconto: R$ 49,80

Cálculo do percentual de desconto.

Valor em reais Percentual

249,00 100

49,80 x

249 x = 4980

x=

x= 20

Resposta: O percentual de desconto será de 20%.

c)Ele usou o 0,8 porque representa o percentual correspondente ao valor a ser

pago pelo tênis após o desconto.

OBJETIVOS

Definir desconto.

Calcular porcentagem.

ENCAMINHAMENTO E FORMALIZAÇÃO

Pretende-se formalizar o conceito de desconto a partir da resolução do

item a, Desconto é o ato de diminuir ou abater, o valor de uma compra como

no caso do problema acima, o preço do tênis era de 249 reais e Maria pagou a

vista 199,20, à diferença de 49,80 chamamos de desconto. Possibilitar que o

aluno faça e entenda o cálculo do percentual do desconto, no item b, utilizando

a regra de três simples.

No item c, discutir com os alunos sobre diferentes representações de

porcentagem, incentivando-os a perceber que 0,8 equivale a 80/100 ou 80%.

O preço do tênis sem desconto equivale ao 100% ou 100/100= 1. O

percentual de desconto foi de 20% o que equivale a 20/100 ou ainda 0,2.

Dessa forma, pode-se mostrar que 1- 0,2= 0,8 representa o percentual

correspondente ao valor a ser pago pelo tênis após o desconto, justificando

porque o vendedor usou o valor 0,8, que é considerado um fator de

multiplicação. O professor poderá formalizar que o fator de multiplicação, nos

cálculos de valor a pagar com desconto, é igual a 1 menos a taxa percentual de

desconto escrita na forma decimal. Nesse momento pode-se questionar, qual

seria o fator usado pelo vendedor se o desconto fosse de 10%, ou 30%, etc.

PROBLEMA 03

Uma grande loja de eletrodomésticos está vendendo um aparelho de TV

nas seguintes condições: R$ 549,00 a vista ou em 18 parcelas de R$44,40.

Responda:

a) Qual a diferença entre o preço total pago a prazo e o preço a vista? O que

esse valor representa?

b) Que percentual, em relação ao preço a vista, representa o valor que você

obteve no item a?

c) Qual o percentual de acréscimo, cobrado mensalmente?

d) Se o cliente pudesse quitar a dívida antecipadamente, e o percentual de

acréscimo mensal obtido no item anterior do problema fosse mantido,

poderíamos descobrir que valor seria pago a loja? Faça simulações de cálculos

e apresente-os.

RESOLUÇÃO

a) 799,20 – 549,00= 250,20. Representa os juros cobrados.

b) Valor em reais Percentual

549,00 100

250,20 x

549,00x= 25020,00

x =

x= 45,57

c)45,57 : 18 = 2,5

Logo, 2,5% ou 0,025

d)

Quantidade de meses

decorridos após a

realização do

empréstimo

Juros já pagos após

essa quantidade de

meses

Valor total que seria

pago, se a dívida fosse

quitada após essa

quantidade de meses

1 549. 0,025 = 13,73 549 + 13,73=562,73

2 549.0,025. 2 = 27,45 549 + 27,45=576,45

3 549.0,025. 3 = 41,18 549 + 41,18=590,18

4 549.0,025. 4 = 54,90 549+ 54,90=603,90

5 549.0,025. 5 = 68,63 549 + 68,63=617,63

6 549.0,025. 6 = 82,35 549 + 82,35=631,35

7 549.0,025. 7 = 96,08 549 + 96,08=645,08

8 549.0,025. 8 = 109,80 549 + 109,80=658,80

9 549.0,025. 9 = 123,53 549 + 123,53=672,53

10 549..0,025. 10 = 137,25 549 + 137,25=686,25

11 549.0,025. 11 = 150,98 549 + 150,98=699,98

12 549.0,025. 12 = 164,70 549 + 164,70 =713,70

13 549.0,025. 13 = 178,43 549 + 178,43=727,43

14 549.0,025. 14 = 192,15 549 + 192,15=741,15

15 549.0,025. 15 = 205,88 549 + 205,88=754,88

16 549.0,025. 16 = 219,60 549 + 219,60 =768,60

17 549.0,025. 17 = 233,33 549 + 233,33=782,33

OBJETIVOS

Introduzir o conceito de juros, capital, montante e taxa.

Definir juros simples.

ENCAMINHAMENTO E FORMALIZAÇÃO

Com a resolução do item “a” pretende-se formalizar que Juros são uma

compensação em dinheiro que se paga ou recebe-se pelo empréstimo de uma

determinada quantia durante certo período, que se paga pelo atraso no

pagamento de uma prestação ou que se recebe pelo rendimento de uma

aplicação no mercado financeiro, entre outros. No caso do problema, e também

dos anúncios nos folhetos das lojas, trata-se da compensação financeira que a

loja receberá pelo valor emprestado durante certo tempo.

Com a resolução do item b pretende-se formalizar que o percentual que

corresponde a 45,57 representa a taxa de juros, ou seja, a taxa percentual

que se aplica sobre o valor emprestado e paga ou recebida na forma de

juros. No caso do nosso problema, 45,57 reais em cada 100 reais foram pagos

de juros para a loja que vendeu o eletrodoméstico a prazo.Com a resolução,

pretende-se formalizar o que é juros simples.

O juro calculado é denominado juros simples quando a taxa de juros

incidir apenas sobre o valor do capital, não sobre o valor dos juros

gerados em cada período de tempo.

A partir da resolução do item d, podemos formalizar montante (M), que

corresponde à soma do capital (C) com juros (J).

PROPOSTA DE AVALIAÇÃO

Os alunos serão avaliados durante a realização das atividades previstas,

como: levantamento de informações, feito por eles, no comércio local;

resolução dos problemas, formulados pelo professor, em grupos em sala de

aula; elaboração de problemas com os dados obtidos no levantamento de

informações; e resolução dos problemas por eles formulados. O professor

observará nos alunos, aspectos como: o envolvimento e cooperação durante

os trabalhos em grupo, a participação na elaboração das estratégias para

resolução dos problemas e a participação durante as plenárias, registrando

diariamente os apontamentos em um caderno de observação.

4 CONTEÚDOS DE ESTUDO

Serão apresentados problemas abordando os conteúdos Porcentagens,

Juros Simples e Descontos.

5 ORIENTAÇÕES/RECOMENDAÇÕES DE USO

Sugerimos aos professores que todos os problemas apresentados sejam

desenvolvidos sob a perspectiva da Resolução de Problemas apresentada na

introdução desse material.

6 PROPOSTA DE AVALIAÇÃO

O professor anotará em um diário de classe: se os objetivos propostos

para cada um dos problemas foram cumpridos, se os encaminhamentos

sugeridos para cada um dos problemas foram adequados, quais os

aprimoramentos necessários para a presente Produção Didático-pedagógica e

se os alunos se apropriaram dos conceitos sobre Porcentagem, Juros Simples

e Descontos abordados com a resolução dos problemas. Para tanto pedirá que

os alunos, individualmente, elaborem um relatório onde poderão expressar o

que compreenderam a respeito dos conteúdos trabalhados, o que não

compreenderam a respeito dos conteúdos trabalhados e quais as dificuldades

encontradas para a compreensão dos mesmos.

7 INDICAÇÕES BIBLIOGRÁFICAS

ALLEVATO, N. S. G; ONUCHIC, L. R. Ensinando Matemática na sala de aula através da Resolução de Problemas. Boletim GEPEM, n.55, 2009.

ONUCHIC, L. R. Ensino-Aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas. In: BICUDO, M. A. V.(org.). Pesquisa em Educação Matemática. São Paulo: Editora UNESP, 1999. cap.12, p. 199-220.

PARANA. Secretaria do Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Curitiba, 2006.