PotencialElétrico

Prof. Cláudio Graça2012

Campo elétrico e de potencial

V2

V1

Campo e Potencial Elétricos

V1

V2

E

Potencial gravitacional Potencial ElétricoO potencial elétrico é a quantidade de trabalho necessário para mover uma carga unitária de um ponto de referência a um ponto específico contra o campo elétrico. Em geral o ponto de referência é localizado na superfície da terra, (mas pode ser qualquer ponto do campo elétrico designado para isso)

W=mgh W=q(VA-VB)

Energia Potencial Elétrica

Energia Potencial e Trabalho

f iU U U WΔ = − = −

onde W é o trabalho feito pelo campo elétrico

É conveniente definirfU U W∞= = −

Na qual se considera que

Ou seja é o trabalho realizado pelo campo para mover a carga do infinito à posição atual qualquer

W∞

0U∞ =

Variação da energia potencial

mghEp =Δ

3RMmrGEp

rMmGEp

=

= Fora

Dentro

Energia potencial gravitacional

Terra

rMG

mE

V pg ==

Analogia Energia Potencial gravitacional

Potencial elétrico

Diferenças de energia potencial e de potencial elétrico, no entanto, são bem definidas:

O campo elétrico é definido como a força por unidade de carga:

E o potencial é a energia potencial elétrica por unidade de carga:

qUV

qFE

ΔΔ =

=r

r

∫−=−=2

112 ld.EVVVrr

Δ

Trabalho e Energia Potencial

∫ ⋅=→

2

121 ldFW

rr

r̂FFrr

=

• Os campos de forças centrais são do tipo conservativo, permitindo sua descrição por uma função escalar, denominada função potencial.

• A Força eletrostática é conservativa, portanto pode ser associada a uma energia potencial elétrica.

Substituindo, na expressão anterior

O trabalho realizado por uma força, quando a mesma se desloca entre dois pontos (i-f), é dado por:

Quando o campo é central a força pode ser escrita como

∫∫∫ ==⋅=→

2

1

2

1

2

121 drFcosdlFldr̂FW

rrrrθ

O trabalho representa uma variação da energia potencial: ∫−==− →

2

1

r

r2112 drFWUU

r

12

Fdl

Centro de força

θ

θr̂

Energia potencial eletrostática

∫∫ −−===→

f

iif

f

ifi )UU(rd.Eqrd.FW rrrr

∫∫ −−===→

2

1 122

2

121

11 ]rr

[QkqdrrQkqrd.EqW ooo

rr

A energia potencial eletrostática entre dois pontos i e f do campo elétrico, éigual ao valor negativo do trabalho sobre a carga para se deslocar entre esses dois pontos

Trajetória de uma carga qo que deslocaqntre os pontos 1 e 2 do campo criadopor uma carga Q.

]rr

[kQ]rr

[kQq

WqU

qUVV

ooo 2112

212121

1111 −=−−=−=−=− →

Potencial eletrostático

]rr

[kqVVif

if

11 −−=−

ii

ff r

kqVr

;rpara =∴→∞→ 01

A diferença de potencial entre dois pontos quaisquer i e f do campoproduzido por uma carga qualquer q será:

Se o ponto final é o infinito, o potencial desse ponto será nulo, portanto:

Dessa maneira o potencial em um ponto qualquer distanciado de “r”de uma carga pontual será dado por:

rkqrd.E)r(V

r

∫∞

=−= rr

Potencial Elétrico devido a E constante

O potencial elétrico é a quantidade de trabalho necessário para mover uma carga unitária de um ponto de referência a um ponto específico contra o campo elétrico. Em geral o ponto de referência é localizado na superfície da terra, (mas pode ser qualquer ponto do campo elétrico designado para isso)

∫−=→

f

ifi ld.EV

rrΔ

090 ==−=

==−=

=−=−=

∫

∫

∫∫

→

→

→

oC

BBC

C

AcA

B

A

B

ABA

cosCBEld.EV

EdcosACEld.EV

EddlEld.EV

rr

rr

rr

Δ

θΔ

Δ

Potencial Elétrico: análise• Supondo a carga q0 se move de um ponto

A para o ponto B através de uma região do espaço descrito por um campo elétrico E.

• Como existe uma força F=qo E que atua sobre a carga, um trabalho WAB deve ser realizado na tarefa de movimentar a carga de A para B.

• Define-se o potencial elétrico como sendo a diferença:

Será essa uma boa definição?•VB - VA é independente de q0

•VB - VA é independente do percurso

A B

q0E

VB − VA ≡ WAB

q0

Potential devido a uma carga pontual

20

20

0

0 0

1 ˆ4

14

1 ( )4

1 1( )4 4

f

i

f

i

f

i

f

i

s

f i s

r

i r

r

i r

ri r

if i

V V E ds

qV r drrqV drrqVr

q qVr r

πε

πε

πε

πε πε

= − ⋅

= − ⋅

= −

= − − |

= + −

∫

∫

∫

r

r

r r

r

0

1( )4

qV rrπε

= If 0

14i

i

qVrπε

≡

Potencial devido a uma carga pontual

0

1( )4

qV rrπε

=

Potencial devido a N cargas

O potencial devido a N cargas, éigual à soma do potencial devido a cada carga separadamente.

xr1

r2 r3

q1

q3

q2

⇒ V (r) = Vn (r)n =1

N

∑ = 14πε 0

qn

rnn =1

N

∑

V (r) = −

r E • d

r l

r= ∞

r= r

∫ = −r E n • d

r l

n =1

N

∑r= ∞

r= r

∫

Potencial devido a um dipolo

0

1 ( )4

q qV V Vr rπε+ −

+ −

−= + = +

P

r+ r−

prθ

0

( )4

r rqVr rπε

− +

+ −

−=

Se o ponto de interesse Pestá muito afastado do dipolo teremos:

20

cos( )4

q dVr

θπε

=

20

1 cos( )4

pVr

θπε

=

20

ˆ1 ( )4

p rVrπε⋅=

r

r̂

Potencial devido a um dipolo elétrico

Superfícies Equipotenciais e linhas de campo

O nome superfície equipotencial é dado a toda superfície que consista numa distribuição contínua de pontos que têm o mesmo potencial elétrico.

Observe que, como , nenhum trabalho é necessário para mover uma partícula de prova entre dois pontos quaisquer e numa superfície equipotencial.

VqU Δ=Δ 0

Exemplo: Quatro superfícies equipotenciais.

O campo elétrico é perpendicular às superfícies

Trabalho realizado pelo campo elétrico sobre uma partícula carregada quando se move de um extremo a outro.

KWU E Δ−=−=Δ

Superfícies Equipotenciais e linhas de campo

dsdVE −=

Superfícies Equipotenciais

Se ΔV é escolhido como sendo o mesmo entre superfíciesadjacentes, o campo elétrico será inversamente proporcional àseparação espacial entre superfícies equipotenciais.

Cálculo do Potencial a partir do Campo Elétrico

f

i

s

f i sV V V E dsΔ = − = − ⋅∫

r

r

r r

f

i

s

f i sV V E ds= − ⋅∫

r

r

r rou

O potencial em um ponto qualquer VP pode ser associado a qualquervalor de referência Viref cujo valor pode, inclusive, ser zero:

∫−=P

refrefP sd.EVV rr

Potencial devido a uma distribuição contínua de carga

0

14

dqdVrπε

=

0

14

dqV dVrπε

= =∫ ∫ dVdAdldq

ρσλ

===

Se uma distribuição de carga q é contínua, escolhe-se um elemento diferencial de carga dq, e determina-se o potencial dV em um ponto P devido à dq,

e então integra-se sobre toda a distribuição de carga

Linha de carga

2122 /P )ax(dxk

rdqkdV

+== λ

]a

)al(lln[k

]aln})al(l[ln{k}])ax(x[ln{k

)ax(dxk

)ax(dxkdVV

Vtomando

/

/

l/

l

/

l

/P

ref

2122

2122

02122

02122

02122

0

++=

−++=++=

+=

+==

=

∫∫ ∫

λ

λλ

λλ

25

Calcular o potencial no ponto P de um eixo perpendicular ao centro no centro de um anel de raio a e carga q

rdqkdVP =

∫+= dq

axkVP 22

como 22 axr +=

∫∫ +==

22 axdqkdVV PP

22 axkqVP +

=⇒

Anel de carga

Para x>>ax

kqVP =⇒ Monopolo!!!

Disco de cargaConsideremos um elemento de carga dq formado por um anel de raio r e espessura radial dr

22

22

xrdr)r(k

rdqkdV

dr)r(dq

P +==

=πσ

πσ

Para determinar o potencial resultante em P deve-se somar as contribuições de todos os anéis no intervalo {0,a}

)xax(krx

rdrkdVVa

PP

−+=+

== ∫ ∫22

022

2

2

πσ

πσ

Aplicação Biomedica da Diferença de Potencial Elétrica

Neuron

Aplicações Biomédicas