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Gradiente, divergencia y rotacional
Matemá4cas para Ingeniería I Lilia Meza Montes
2017
Definición
• A par4r de una función escalar f(x,y,z) obtenemos otra función vectorial llamada gradiente
kzfj
yfi
xfzyxf ˆˆˆ),,(
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
Función escalar función vectorial f(x,y,z) ∇f
∇ = Operador nabla
Operador nabla • Es un operador vectorial • Actúa sobre la función
kjizyx ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
Función escalar función vectorial f(x,y,z) ∇f
∇
Propiedades
Para una función de dos variables f(x,y) • La dirección de máximo crecimiento de f está dada por . El valor máximo de f
es . • La dirección de mínimo incremento de f está dada por . El valor mínimo de f
es .
),( yxf∇),( yxf∇
),( yxf∇−),( yxf∇−
Bolas abierta y cerrada
222 ryx ≤+r
Abierta: No incluye frontera
Cerrada: Incluye frontera
x
y
(xc,yc)
( ) ( ) 222 ryyxx cc <−+−
Propiedades geométricas
• Sea f(x,y) una función escalar de dos variables. En R3, z=f(x,y) define una superficie S. Construimos la función
• Esta es la ecuación de la superficie S. Un vector unitario normal a S en (x,y,z) es
0),(),,( =−= zyxfzyxF
FFn
∇∇
=ˆNotar: Este es un vector en el espacio. El gradiente de f (x,y) está en el plano
El vector normal y el plano
2/2/3 yxz −+=
|ˆ8ˆ4ˆ4|ˆ2ˆ4ˆ4|01222),,(
)4,1,1(
222
kjikzjyixFyxzzyxF
PP ++−=+−−=∇
=−−−=
−=
Ecuación del plano
Plano tangente en (1,-‐1,4)
Superficie S Superficie S
Plano
Gradiente de F
El gradiente de f(x,y) es normal a las curvas de nivel
Indica dirección en la cual la función f(x,y) aumenta más rápidamente
jijzyi
zx
jyx
yiyx
xyxf PP
ˆ21ˆ
21ˆ2ˆ2
|ˆ2212
2ˆ2212
2|),(
0
0
0
0
2222
−=+=
+++
++=∇
22 2212),( yxyxf ++=
(x0,y0)
DIVERGENCIA
Definición A par4r de una función vectorial R(x,y,z) obtenemos una función escalar llamada divergencia
Función vectorial función escalar R(x,y,z) ∇·∙R
∇·∙
( )kjikjiR zyx RRRzyx
++•⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂∂
+∂∂
=•∇
zR
yR
xR zyx
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=•∇ R
SIGNIFICADO FÍSICO
Densidad Can4dad de (X=masa,carga,probabilidad) por unidad de • Volumen V (densidad volumétrica) ρ=X/V • Área A (densidad superficial) σ=X/A • Longitud l (densidad lineal) λ= X/l Puede ser constante o una función escalar de la posición. También puede depender del 4empo ρ(x,y,z,t).
Densidad de población
Densidad ósea
Dis4ntos materiales
Densidad de carga eléctrica
De No machine-‐readable author provided. Lalo49~commonswiki assumed (based on copyright claims). -‐ No machine-‐readable source provided. Own work assumed (based on copyright claims)., CC BY 2.5, hkps://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=396425
Ejemplo: fluido compuesto de parpculas
fluido: se caracteriza con un campo vectorial, densidad de flujo j. En cada punto j=ρ v, ρ es la densidad del fluido
Cuántas parpculas (masa, carga, etc …) pasan por unidad de 4empo en el área A?
Parpculas con misma velocidad v Volumen de la caja V = v A Masa en la caja M=ρV=ρv A Can4dad de masa que pasa por unidad de 4empo J= ρvA por unidad de área j= ρv Esto es Flujo
v = Velocidad de parpculas
A= Área v
v
Volumen V=dxdydz Área A= dydz=V/dx Flujo neto a lo largo de la dirección x = Flujo que sale – flujo que entra
Area = dydz
Flujo total en volumen dxdydz
Suma de flujos a lo largo de x, y, z = flujo neto
Divergencia = Flujo por unidad de volumen
Divergencia da: número de parpculas por unidad de 4empo que pasan por la unidad de volumen
Divergencia posi4va: expansión
Divergencia nega4va: implosión o compresión
Divergencia nula: conservación
Fluido que pasa en áreas sombreadas por unidad de 4empo es el mismo
Fluido incompresible. Conservación de masa, carga, etc
Ancho del tubo=divergencia del campo
Algunos si4os con ejemplos Cálculo analí4co de divergencias y rotacionales hkp://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=85afa8b72bd564fc6c84dde9f0393305
hkp://www.ma.utexas.edu/users/kit/UT/M427L%20Advanced%20Calculus%20II/Sec4on_4.4.pdf
hkp://mathinsight.org/divergence_curl_examples
hkps://www.khanacademy.org/math/mul4variable-‐calculus/mul4variable-‐deriva4ves/divergence-‐and-‐curl-‐ar4cles/a/curl-‐warmup
hkp://fcm.ens.uabc.mx/~chelo/analisis%20vectorial/nucleos/capitulo2/leccion2_4/mates/ecdif/l2-‐4b.htm
ROTACIONAL
Definición
∇×R =
i j k∂∂x
∂∂y
∂∂z
Rx Ry R`z
=
∂∂y
∂∂z
Ry R`z
i−∂∂x
∂∂z
Rx R`z
j+∂∂x
∂∂y
Rx Ry
k
Rotacional o curl de R Orden de los
operadores es importante
Sea la función vectorial con componentes Rx, Ry, Rz kjiR ),,(),,(),,(),,( zyxRzyxRzyxRzyx zyx ++=
Función vectorial función vectorial R(x,y,z) ∇xR
∇x
Significado. Ejemplo Fluido Campo de velocidad v(x,yz,) define velocidades de par4culas Parpculas del fluido 4enden a rotar alrededor del punto y a lo largo del vector definido por el rotacional de la velocidad v, la magnitud dice que tan rápido se mueven alrededor del eje Si curl F=0 no hay vór4ces. Se dice que es irrotacional (ejemplo paleta)
Tarea – Junto con problemas de Lagrange y gráfica de Gradiente. Para
el martes 14 El campo vectorial F(x,y,z) indicado es independiente de z y la componente z es nula. a) Es la div F posi4va, nula o cero? Explique. b) Determine si curl F=0. si no, hacia qué dirección apunta curl F?
Campo conserva4vo • Si f es una función que 4ene derivadas parciales de segundo orden con4nuas (Clase C2), entonces
• F=∇f define un campo vectorial. Se dice que el campo es conserva4vo y que f es una función potencial (en Física F=-‐∇V)
∇x∇f=0
∇�∇xF=0 Divergencia del rotacional es cero
Para recordar Nombre Símbolo Actúa sobre Resultado
Gradiente Función escalar
Función vectorial
Divergencia (div) Función vectorial
Función escalar
Rotacional (curl) Función vectorial
Función vectorial
Laplaciano Función escalar
Función escalar
∇·∙
∇
∇x
∇2
Relaciones para el operador nabla
Laplaciano ∇2 =∇•∇ =∂2
∂x2+∂2
∂y2+∂2
∂z2
Ecuación de Laplace
B A
IDEN
TIDA
DES