3

Área: Matemáticas Grado: 10° Tema: Geometría analítica-Guía N° 3. Profesor: Luis H. Cuesta Perea Fecha de Entrega: _________________

Indicadores de desempeño: Determina la expresión general para dividir un segmento en partes proporcionales usando

métodos analíticos.

DIVISIÓN PROPORCIONAL DE UN SEGMENTO DE RECTA

Copia en tu cuaderno, analiza y resuelve lo siguiente: 1. Halla la razón entre los segmentos y .

2. El teorema de Thales afirma que: “Si varias paralelas son cortadas por dos transversales, determinan en ellas segmentos correspondientes proporcionales.

a) Interpreta gráficamente el teorema.b) Utiliza el teorema para dividir un segmento de 7cm, en dos segmentos de tal forma que su

razón se .

Lee y analiza lo siguiente para luego copiarlo en tu cuaderno:El problema de dividir un segmento en partes proporcionales, es resuelto desde la geometría euclidiana mediante el teorema de Thales. La geometría analítica cuenta con métodos diferentes.

En un sistema coordenado lineal en donde P1 = X1 y P2 = X2 son los puntos extremos de un segmento. Se quiere dividir el segmento en dos partes tales que su razón sea r. el problema consistirá en encontrar la coordenada X0 de un punto P0 que divida a P1 P2 en la razón dada:

Donde r es la razón usada para dividir proporcionalmente.

Ejemplo: dividir un segmento de extremos P1 = 2 y P2 = 9, en dos segmentos, de tal forma que su

razón sea .

Solución: Sean P1 = 2 y P2 = 9 los extremos del segmento y la razón es .

Se calcula Donde

Gráficamente:

3

División de un segmento en el plano: Si se tiene un segmento en el plano, con extremos , y se quiere dividirlo

en dos partes que están en la razón , el problema consistirá en hallar las coordenadas

del punto que cumpla la condición en esta caso es necesario seguir el siguiente proceso:1. Graficar el segmento: 2. Aplicar las formulas

Donde es la razón dada

Ejemplo: Si P1 (-4, -2) y P2 (4,3) son los extremos del segmento . Hallar las

coordenadas del punto = que

divide a este segmento en la razón

Solución: Tenemos que = P1 = = (-4, -2) y P2 = (4,3), Hallemos = .

Luego el punto que divide al segmento en dos partes cuya razón es , es

Punto medio de un segmento: Sean P1 (-1, 1) y P2 (3, 0) dos puntos en el plano. Determine:

Coordenadas del punto medio M del segmento 

Coordenadas del punto P sobre el segmento  tal que 

Solución: En la figura adjunta se ilustra el segmento  y los puntos pedidos en a) y 

Si el punto medio M tiene coordenadas. M (x m, y m) entonces:

Luego, las coordenadas del punto M son. M (1, 1/2)

3

b) Como  entonces 

Si P(x, y) denota las coordenadas del punto P, se tiene de acuerdo a las fórmulas (5) y (6):

Luego, las coordenadas del punto P, son: P

Basados en las explicaciones anteriores resuelve en tu cuaderno:1. Encuentra la coordenada del punto medio del segmento de extremos P1 = 3 y P2 = 82. Encuentra la coordenada del punto medio del segmento de extremos P1 = -3 y P2 = 7, en dos

segmentos cuya razón sea . Halla la longitud de cada uno de los dos segmentos.

3. Halla el punto medio del segmento de extremos P1 = 1 y P2 = 24. Halla el punto que divide al segmento con extremos P1 = -2 y P2 = -9, en dos partes cuya

razón es .

5. De acuerdo a la solución del ejercicio anterior, ¿Cuál será la coordenada del punto medio del segmento de recta?

6. Si los extremos de un segmento de recta son los puntos P1 = 4 y P2 = -2, Halla la razón r en el

que el punto P0= 7 divide a este segmento. Usa la formula .

7. Encontrar el punto que divide al segmento de extremos P1 = (-4, 5) y P2 = (2, -10), en dos

segmentos cuya razón sea .

8. Hallar las coordenadas del punto que divide el segmento de recta que va desde R = (-4, -5) al

punto S = (5,-1), en la proporción .

9. encontrar las coordenadas del punto medio que divide al segmento con extremos P1 = (-5,6) y P2 = (7, -3),

10. Los puntos extremos de un segmento son P1 = (2, 4) y P2 = (8, -4), Halle el punto = que divide a este segmento en dos partes tales que la razón se igual a 2.

11. Halla las coordenadas del punto medio que divide al segmento con extremos P1 = (6,2) y P2 = (-8, -3),