Grado 7. Guia 4. Estadisitica

Grado: ° Asignatura: Estadística. Guía N° __ Profesor: Luis Hdo. Cuesta

MEDIA Y MODA DE DATOS AGRUPADOSMedía Aritmética

EXPERIENCIAEn un colegio, cada área se evalúa con notas de 1 a 10. Las notas de Ciencias Naturales del grupo 7°C, en el tercer período, se muestran en la tabla siguiente. ¿Cuál es la nota media del grupo?

La coordinadora de disciplina del colegio está preocupada por el retraso de algunos alumnos a la primera hora de clase. Para averiguar el retraso medio, elaboró la siguiente tabla:

MINUTOS DE RETRASO

No. DE ALUMNOS

[0-5) 19[5-10) 7

[10-15) 3[15 - 20) 1

30

Para hallar la media aritmética, la coordinadora elaboró la siguiente tabla con las marcas de clase:

Minutos de retrasoMarcas de Clase

(Datos)No. de alumnos (Frec. absoluta)

Datos x Frec. absoluta

[0-5) 2,5 19 47,5[5-10) 7,5 7 52,5

[10-15) 12,5 3 37,5[15-20) 17,5 1 17,5

30 155

APRENDAMOS La MEDIA ARITMÉTICA se considera como el valor más representativo de una muestra o conjunto de datos. Por esta razón, también se le denomina VALOR ESPERADO de la variable estadística que está siendo estudiada. La media aritmética es el valor alrededor del cual se concentran la mayoría de datos.

Para hallar la MEDIA ARITMÉTICA:- Se multiplican los datos por sus frecuencias absolutas respectivas.- Se suman estos productos.- El resultado de la suma se divide entre el total de datos, que es la suma de las frecuencias absolutas.

Si los datos están agrupados, se toman como datos las marcas de clase.

Moda

EXPERIENCIAYa sabemos que la moda es el dato de mayor frecuencia; es decir, el dato que repite. Por ejemplo, en la evaluación de Ciencias Naturales de la experiencia ante nota de moda fue 6 porque fue la obtenida por el mayor número de alumnos (10).Ahora queremos saber cómo determinar la moda en un conjunto de datos agrupad intervalos. Consideremos la siguiente situación: Se realizó un test, compuesto preguntas, a 40 alumnos de un grupo, con los siguientes resultados:

No.de respuestas No.de alumnos10-2) 412-4) 914-6) 1516-8) 7

18-10) 5-¿En cuál intervalo se encuentra el número de respuestas más frecuente?- A la clase que representa la mayor frecuencia se le llama clase modal.- En estos casos, se toma como moda la marca de la clase modal. Por lo tanto, la moda será 5 respuestas.

APRENDAMOS La MODA de un conjunto de datos es el dato que tiene mayor frecuencia.Sí los datos se encuentran agrupados, se toma como moda la marca de la clase que tiene mayor frecuencia (clase modal).Es posible que la moda no exista (cuando todos los datos tienen igual frecuencia), puede ser única (unimodal), tener dos modas bimodal), etc.

EJERCICIO 12.4En los problemas 1 a 12 elige la letra correspondiente a la ÚNICA respuesta correcta. 1. Teniendo en cuenta la tabla siguiente, la media aritmética es:

Xi fi Fi

1 2 22 4 83 6 184 4 165 2 10

18 54a) 3 b) 18 c) 5 d) 54

2. La siguiente tabla ha sido preparada para calcular la media aritmética, pero faltan algunos números. Los números que faltan son:

INTERVALO 5 fi fi-xi

[10-10) 5 1[10-20) 15 2[20-30) 25 3[30-40) 35 4

a) 5, 15, 25, 35 b) 1, 2, 3, 4 c) 5, 30, 75, 140 d) 25

3. La media aritmética en el problema anterior es: a) 15 b) 140 c) 25 d) 10 4. En la siguiente tabla falta un número, ¿cuál debe ser este número para que la media valga 5?

xi 1 X 5 7fi 1 2 3 4a) 3 b) 4 c) 2 d) No se puede calcular

5. Las evaluaciones realizadas a 30 jóvenes en un grupo de 8° grado tuvieron los siguientes resultados: E:5 S:12 A:8 I:3 D:2

6. La nota media es: a) 7,0 b) 6,0 c) 6,5 d) No se pude calcular

7. La mediana del caso anterior:a) No se puede calcular por ser una variable cualitativab) Sí se puede calcular porque las modalidades de la variable son ordenablesc) No porque sólo se puede determinar la mediana en variables cualitativasd) No se puede calcular porque no hay datos suficientes

7. En este mismo problema, la moda es: a) 12 b) A c) 8 d) S

8. La mediana de la distribución 1, 4, 7, 2, 5, 3, 8, 2, 9 es: a) 2 b) 5 c) 4 d) No tiene

9. En la distribución anterior la moda es: a) 2 b) 5 c) 4 d) No tiene

10. En una distribución asimétrica a la derecha: a) >Mo b) <Mo c) c = d) = 0

11. De los 200 alumnos que responden a una prueba de 12 preguntas, el 10% responde correctamente a 3 preguntas, el 50% a 7, el 30% a 10 y el resto respondió a todas las preguntas. La media aritmética es: a) 8 b) 50 c) 20% d) 6

12. La mediana y la moda en el caso anterior son: a) 7 y 7 b) 100 y 7 c) 7 y 10 d) La mediana es 7 pero no tiene moda

13. Calcular la media, la mediana y la moda para cada una de las muestras siguientes: a) 3, 9, 12, 7, 16, 20, 33, 3 b) 5, 7, 22, 17, 5, 7, 20 c) 8, 6, 0, 17, 12, 7, 5 d) -4, 0, 13, 9, 4, 14, 20,15

14. Calcula la media, la mediana y la moda para cada una de las muestras siguientes: a) 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0 b) 3, 3, 3, 2, 2, 2, 4, 5, 3 c) 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4 d) -1, 0, 0, 0, -1, 2, -2, 3

15. Un profesor borra accidentalmente la calificación de uno de sus seis (6) estudiantes. Las cinco (5) calificaciones restantes son 76, 85, 43, 89 y 65, y la media de las seis (6) es 70. Encontrar la calificación que se borró.

16. ¿Cuáles son la media aritmética y la moda de la distribución del problema 16 del Ejercicio 12-3 de esta unidad?



19. El siguiente diagrama corresponde al número de libros leídos por un grupo de 19 alumnos.

a) ¿Cuántos han leído 3 libros?b) ¿Qué porcentaje de la muestra ha leído 5 libros?c) ¿Cuántos alumnos del grupo leyeron 1 libro?d) ¿Cuál es el dato de moda?e) ¿Cuál es la media aritmética de libros leídos?

20. Lina tiene una colección de CD y anota la duración, en minutos, de cada uno de ellos obteniendo los siguientes resultados:

67, 63, 57, 52, 45, 49, 53, 51, 59, 66, 68, 54, 48, 40, 43, 47, 53, 54,44, 46, 42, 47, 43, 46, 41, 49, 44, 48, 43, 47, 42, 41, 47, 42, 44, 40

a) Agrupa los datos en clases. b) Forma la tabla de frecuencias absolutas y añade una columna con las marcas de clase.c) Halla la moda y calcula la media aritméticad) Forma la tabla de frecuencias absolutas y añade una columna con las frecuencias absolutas

acumuladas.e) Dibuja el polígono de frecuencias absolutas, el polígono de frecuencias absolutas acumuladas,

la curva de frecuencias absolutas y la ojiva de esta distribución.

DIVIÉRTETE MIENTRAS PIENSAS 3En un balancín de 6 metros de longitud se equilibran dos niños en posición horizontal. Sus pesos son 20 kg y 40 kg.

a) ¿En qué punto del balancín deberá estar el apoyo?b) ¿Dónde estaría el promedio del peso de los niños?

TALLER DE REPASO DE LA UNIDAD1. Preguntas para revisar la teoría1.1 En estadística, ¿qué es población? ¿Qué es muestra? 1.2 ¿Qué son caracteres estadísticos?1.3 ¿Cuándo un carácter estadístico es cualitativo? ¿Cuándo es cuantitativo?1.4 ¿Cuándo una variable estadística es discreta? ¿Cuándo es continua? 1.5 Una vez escogida una muestra, ¿qué se hace con ella?1.6 ¿Cómo se agrupan los datos de una distribución cuando la variable es discreta y hay muchos datos o cuando la variable es continua?1.7 ¿A qué se denomina MARCA DE CLASE?1.8 ¿De qué maneras se puede representar gráficamente una distribución de datos?1.9 ¿Cómo se diseña un diagrama circular?1.10 ¿Cómo se diseña un histograma?

1.11 ¿Qué es frecuencia absoluta? ¿Frecuencia relativa? ¿Frecuencia absoluta acumulada? ¿Frecuencia relativa acumulada? ¿Cómo se obtienen cada una de ellas?1.12 ¿Qué es RANGO de una distribución de datos?1.13 ¿Qué es un polígono de frecuencias? ¿Cómo se construye el polígono de frecuencias correspondiente a un histograma?1.14 ¿Qué es una curva de frecuencias? ¿Cómo se construye? ¿Qué es una OJIVA?1.15 ¿Qué es una curva simétrica? ¿Qué es una curva asimétrica?1.16 ¿Qué son medidas de tendencia central? ¿Cuáles son?1.17 ¿Cómo se calcula la media aritmética de un conjunto de datos?1.18 ¿Qué es la mediana? ¿Cómo se obtiene la mediana cuando el número de datos es impar? ¿Y cuándo es par?1.19 ¿Qué es la moda de una distribución? En una curva de frecuencia, ¿cómo se determina la moda?

2. En una encuesta acerca de gustos musicales, 45 individuos prefieren la ópera, lo que significa una frecuencia relativa de 0,225. ¿Cuál es el tamaño de la muestra? ¿Si la población total es de 500.000 personas, cuántas prefieren la ópera?

3. Un parqueadero es ocupado el 48% por buses, el 32% por automóviles y el 20% por motos. ¿Cuáles son las frecuencias relativas, decimales y fraccionarias? ¿Cuál es el valor esperado o media? ¿Tiene sentido este resultado? ¿Qué tipo de variable estadística está siendo considerada?Transportes "El Rápido" preguntó a 400 personas cuántos viajes en bus hicieron ayer. Estas fueron las respuestas:

VIAJES 0 1 2 3 4PERSONAS 160 40 100 20 80

a) Dibuja el diagrama de barras y el polígono de frecuencias correspondientes.b) Halla la moda, la mediana y la media.c) La ciudad tiene 270.000 habitantes. Si la muestra ha sido representativa, ¿cuántos de ellos

viajan 4 trayectos diarios en autobús?d) Interpreta la forma de esta distribución estadística.e) Dibuja el diagrama de sectores circulares.

5. Observa las notas de un examen realizado a 40 alumnos:

a) Completa la tabla con la frecuencia relativa de cada dato y los porcentajes correspondientes.

b) Dibuja el diagrama de barras y el polígono de frecuencia.

c) Calcula la media aritmética.d) Se dice que este variable es bimodal. ¿Por qué?

6. La Policía de Carreteras mide con su radar la velocidad de una muestra de carros cuando cruzan por cierto lugar de una autopista. Los resultados se recogen en este histograma:

a) Elabora una tabla con las frecuencias absolutas, las frecuencias relativas y los porcentajes.

b) Calcula la media y sitúala el histograma.

c) ¿Qué porcentaje de los carros serán sancionados por sobrepasar los 90 km/h?

7. Una granja cuenta con 17.000 gallinas ponedoras. Se toman 80 de ellas como muestra para investigar la puesta semanal de huevos. Los resultados se registran en el siguiente polígono de frecuencias:

a) Calcula el número medio de huevos puestos poruña gallina en una semana.b) ¿Cuántos huevos ponen todas las gallinas de la granja en una semana?c) Se toma la decisión de sacrificar a las que no lleguen a 4 huevos semanales. ¿Cuántas

sacrificarán en total?

8. El nivel de colesterol en la sangre de 40 pacientes es el siguiente:215, 220, 231, 219, 274, 179, 183, 192, 196, 199229, 214, 216, 205, 191, 193, 195, 175, 185, 194193, 210, 196, 199, 191, 205, 173, 184, 195, 196194, 195, 179, 184, 198, 185, 210, 221, 213, 197

a) Agrupa los datos en clasesb) Forma la tabla de frecuencias absolutas y añade una columna con las marcas de clase.c) Halla la moda y calcula la media aritméticad) Forma la tabla de frecuencias absolutas y añade una columna con las frecuencias absolutas

acumuladas.e) Elabora el histograma de frecuencias absolutas, el de frecuencias absolutas acumuladas, los

polígonos y curvas de frecuencias absolutas y absolutas acumuladas.

9. Las edades en años, de los pacientes que van a un consultorio odontológico se muestran en la siguiente tabla:

Edades (en años) No.de personas[0-5) 6[5-10) 13[10-15) 11[15-20) 2[20-25) 1[25-30) 3

a) Representa gráficamente el histograma, el polígono de frecuencias absolutas y las curvas de frecuencias absolutas.

b) Halla la media aritmética y la moda.c) ¿Es la curva de frecuencias absolutas, simétrica o asimétrica?

10. Los pesos de 30 paquetes de azúcar etiquetados con 500 gramos han sido los siguientes:

492, 486, 495, 498, 485, 482, 497, 495, 501, 505498, 501, 497, 501, 499, 497, 482, 498, 499, 502501, 504, 500, 490, 494, 501, 498, 481, 503, 499

a) Agrupa los datos en 5 clases, formando la tabla de frecuencias absolutas y la de frecuencias absolutas acumuladas.

b) Halla la media y la moda.c) Dibuja los histogramas y los polígonos de frecuencias absolutas y absolutas acumuladas.d) ¿Qué porcentaje de paquetes tienen a lo sumo 500 gramos?

e) Dibuja la cueva de frecuencias absolutas. ¿Es simétrica o asimétrica?

PREPÁRATE PARA LAS PRUEBAS SABERTeniendo en cuenta la siguiente tabla, en los ejercicios 1 a 5, encierra en un círculo la respuesta correspondiente a la información dada:

PREPARACIÓN DEL JUGO DE GUAYABA CON LECHEEn la cafetería del colegio se tiene la siguiente receta que muestra las cantidades de azúcar, guayabas y leche para preparar un jugo de guayaba en leche:

Azúcar (cucharadas)

No. de guayabas

Leche (litros)

Agua (litros)

Jugo de guayaba en leche (litros)

13 7 2 1 315 9 4 2 617 11 6 3 9

1. a) A más agua es necesario agregar más leche. b) A menos leche mayor cantidad de jugo en leche. c) La relación entre los litros de leche y los litros de agua es de 4 a 5. d) La relación entre las cucharadas de azúcar y el número de guayabas es de 5 a 3.

2. Teniendo en cuenta que se mantiene la regularidad en la tabla, para preparar 15 litros de jugo de guayaba en leche sería necesario: a) Mezclar 8 litros de leche con 7 litros de agua. b) Utilizar 17 guayabas y 23 cucharadas de azúcar. c) Emplear más cucharadas de azúcar que guayabas. d) Utilizar más litros de agua que cucharadas de azúcar.

3. Para preparar el jugo de guayaba en leche, se debe usar: a) Igual cantidad de agua que de leche. b) Más agua que leche. c) Más leche que agua. d) El doble de litros de leche que de agua.

4. Si deseo saber cuántas guayabas y cuántos litros de agua necesito para preparar el jugo de guayaba en leche, debo conocer: a) La cantidad en litros de jugo de guayaba en leche que quiero preparar. b) La calidad de los vasos donde voy a servir el jugo. c) Que tan grandes son las cucharadas empleadas para medir la cantidad de azúcar. d) El tipo de azúcar y la marca de leche que se van a utilizar.

5. Teniendo en cuenta que se mantiene la regularidad en la tabla, si se tienen preparados 33 litros de jugo de guayaba en leche, entonces: a) La cantidad de leche que se utilizó es 11 litros. b) La cantidad de agua que se utilizó es 22 litros. c) La cantidad de leche que se utilizó es 22 litros. d) No se puede saber cuántos litros de agua y cuántos de leche se utilizó.

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