1

Área: Matemáticas Octavo Tema: Factorización. Guía N° 4Profesor: Luis H. Cuesta Perea Fecha de Entrega: _________________

FACTORIZACIÓN Indicadores de desempeño:

Aplica los diferentes casos de factorización para reducir expresiones algebraicas. Factoriza diferencia de cuadrados.

DIFERENCIA DE CUADRADOSEXPERIENCIA

Desarrolla los siguientes productos notables:

(a + 5)(a-5)= ; (2x - 3y)(2x + 3y) = ; =

¿Cuál es el desarrollo del producto de una suma por una diferencia de dos términos? Son ciertas las siguientes igualdades?

a2 - 25 = ( a + 5 )( a - 5 ) ; 4x2 - 9y2 = ( 2x - 3y )( 2x + 3y ) ;

¿Por qué?

CONCLUSIÓN: toda diferencia de dos cuadrados es idéntica a la suma por la diferencia de cuadradas de los términos dados.

APRENDAMOS

Una DIFERENCIA DE CUADRADOS es igual al producto de la suma por la diferencia de las cuadradas de los términos; es decir: a2 - b2 = (a + b)(a - b)

Ejemplo 1: Factoricemos en Q el polinomio 144x4 - 121y6

Solución: ¿Factor común? No hay (¡comprobarlo!) ¿Trinomio cuadrado perfecto? No es porque sólo tiene dos términos. ¿Diferencia de cuadrados? Es posible. Veamos:

144x4 es el cuadrado de 12x2 ; 121y6 es el cuadrado de 11y3

Por lo tanto, es una diferencia de cuadrados y, en consecuencia: 144x4-121y6 = (12x2+ 11y3)( 12x2-11y3)

Ejemplo 2: Factoricemos en Q el polinomio .

Solución: ¿Factor común? No tiene Trinomio cuadrado perfecto? No es. ¿Diferencia de cuadrados? Analicemos:

es el cuadrado de ; es el cuadrado de

Luego, el polinomio es una diferencia de cuadrados y, por lo tanto:

1

Ejemplo 3: Factoricemos en Q el polinomio a2 - (3 + b)2

Solución: El polinomio es una diferencia de cuadrados en la cual:a2 es el cuadrado de a ; (3 + b)2 es el cuadrado de (3 + b)Por lo tanto: a2 - (3 + b)2 = [a + (3 + b) (a - (3 + b)] a2 - (3 + b)2 = (a + b + 3)(a - b - 3)

Ejemplo 4: Factoricemos en Q el polinomio (x + y)2 - (2x - 3y)2

Solución: De nuevo tenemos una diferencia de cuadrados en la cual: (x + y)2 es el cuadrado de (x + y) ; (2x - 3y)2 es el cuadrado de (2x - 3y)Por lo tanto: (x + y)2 - (2x - 3y)2 = [(x + y) + (2x - 3y)] [(x + y) - (2x - 3y)] (x + y)2 - (2x - 3y)2 = [ x + y + 2x - 3y) [x + y - 2x + 3y] (x + y)2 - (2x - 3y)2 = (3x - 2y)(4y - x) Ejemplo 5: Factoricemos en Q el polinomio 5x3 - 125xy2 Solución: ¿Tiene factor común? Sí, es 5x. Por lo tanto: 5x3 - 125xy2 = 5x(x2 - 25y2)¿Es posible factorizar el binomio x2 - 25y2? Sí, porque es una diferencia de cuadrados. Por lo tanto: 5x3 - 125xy2 = 5x(x + 5y)(x - 5y) Ejemplo 6: Factoricemos en Q el polinomio (a2 + 2ab + b2) - (4x2 - 12xy + 9y2) Solución: Observemos que cada paréntesis contiene un trinomio cuadrado perfecto. Por lo tanto: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ; 4x2 - 12xy + 9y2 = (2x - 3y)2

Luego: (a2 + 2ab + b2) - (4x2 - 12xy + 9y2) = (a + b)2 - (2x - 3y)2

Ahora bien, el proceso de factorización aún no se ha realizado ya que aparece la diferencia de dos términos. Y como estos términos son cuadrados, entonces tenemos una DIFERENCIA DE CUADRADOS; por lo tanto:(a + b)2 - (2x - 3y)2 = [(a + b) + (2x - 3y)] [(a + b) - (2x - 3y)] (a + b)2 - (2x - 3y)2 = [a + b + 2x - 3y] [a + b - 2x + 3y]

Ejemplo 7: Factoricemos en Q y en R el polinomio 3a2 – 5b4 Solución: Tenemos una diferencia de cuadrados. En efecto: 3a2 es el cuadrado de ; 5b4 es el cuadrado de b2

Por lo tanto: 3a2 - 5b4 = ( + b2) ( - b2) Ahora bien, cada uno de estos factores contiene coeficientes que no son números

racionales ( y son números irracionales). Esto significa que el polinomio 3a2 - 5b4 es PRIMO en Q; sin embargo, sí es factorizable en R.

TALLER

1

En los ejercicios 1 a 30 factorizar los polinomios dados en el conjunto de los números racionales. Recordemos que todas las letras representan números reales POSITIVOS.

1) a2 – 36 2) x2 – 9b2 3) m2 –

4) 36p2 – 49q2 5) m2a2 – n2b2 6) –

7) a2x – b2y 8) m4n4 – 256p8 (3 factores) 9) a4 – 625 (3 factores)

10) 81p4 - q4 (3 factores) 11) x4a2 – 625a6 (4 factores) 12) (3a – 7)2 – (2a – 7)2

13) (z – p)2 – (z + q)2 14) (a2 – 8a + 16) – b2 15) 9a2b2c2 - 4x2y2z2

16) (x2 + 8x+ 16) – (y2 + 2y + 1) 17) 9x2 – (y2 – 2my + m2)

18) 36t2 – 36ts + 9s2) – 4m2 19) (a2b2-2ab + 1) – (36x2 – 12ax + a2)

20) (4 – x)2 – x6 21) (x – y + 1)2 – (1 – x – y)2 22) x2 – a2 + 4a – 4

23) 2xy – x2 – y2+ 1 24) x2 – 9a2 + 81y2 + 24ab – 18xy –16b2

25) 26) 4(p – q)2 – 16(p + q)2 27) 11x4 – 30y2

28) 5a2 – 13b4 29) 30) 12(a + b)2 – 16(a – b)2

DIVIÉRTETE MIENTRAS PIENSASReconstruye la siguiente adición: A B A + B C C + A C A 2 0 0 0