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Área: Matemáticas Octavo Tema: Factorización. Guía N° 5Profesor: Luis H. Cuesta Perea Fecha de Entrega: _________________

FACTORIZACIÓN Indicadores de desempeño:

Aplica los diferentes casos de factorización para reducir expresiones algebraicas. Factoriza diferencia de cuadrados.

SUMA DE CUADRADOSEXPERIENCIAEn la sección anterior aprendimos a factorizar diferencias de cuadrados. Ahora queremos saber si es posible factorizar sumas de cuadrados como las siguientes: a2 + b2 ; x4 + 9y4 ; 16x8 + 25y2

En realidad, ninguno de los productos notables estudiados en la unidad anterior origina una suma cuadrados. Por lo tanto, debemos recurrir un poco a la creatividad para dar respuesta a la inquietud planteada en el punto anterior.

Una manera de abordar el problema es considerar una suma de cuadrados como un trinomio cuadrado perfecto al que le falta el término correspondiente al DOBLE PRODUCTO DE LA RAÍZ CUADRADA DEL PRIMERO POR LA RAÍZ CUADRADA DEL SEGUNDO. Consideremos cada caso:

! Sumamos y restamos este término a a2 + b2 tendríamos:a2 + b2 + 2ab - 2ab = (a2 + 2ab + b2) - 2ab = (a + b )2 - 2ab

Pero (a + b)2 - 2ab no se deja descomponer en factores que sean a su vez polinomios reales ¿por qué? Por lo tanto, a2 + b2 es un polinomio primo en los reales.

Si sumamos y restamos 6x2y2 a x4 + 9x4 nos quedaría:

x4 + 9y4 + 6x2y2 - 6x2y2 = (x4 + 6x2y2 + 9y4) - 6x2y2 = (x2+ 3y2)2 - 6x2y2

Esta última expresión es una diferencia de cuadrados, la cual ya sabemos factorizar; así:

(x2+ 3y2)2 - 6x2y2 = [(x2 + 3y2) + xy] [(x2+ 3y2) - xy] = [x2 + xy + 3y2] [x2 - xy +3y2]

Notemos que el polinomio estaba definido en los enteros; en cambio, los factores resultantes son polinomios cuyos coeficientes no son ni enteros, ni racionales: son reales. Por lo tanto, este polinomio es factorizable en los reales, pero no en los enteros ni en los racionales.

Dejaremos como ejercicio para el lector el análisis de la factorización del polinomio 16x8 + 25y2.

Por lo tanto:

APRENDAMOS

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CRITERIO PARA FACTORIZAR SUMAS DE CUADRADOSPara saber si una suma de cuadrados es factorizable (o no) al menos en el conjunto de los números reales, es necesario completar al trinomio cuadrado perfecto, sumando y restando el correspondiente al doble producto de las raíces cuadradas de los términos dados. Si después de este proceso se obtiene una diferencia de cuadrados, entonces el polinomio es factorizable a en los reales; en caso contrario, el polinomio es primo.

TALLERFactoriza, cuando sea posible, los siguientes polinomios e indica los conjuntos en que se i factorizar y aquellos en los cuales son primos:

1) 9x2 + 25y2 2) 16a4b4 + 1 3) 36x8 + 4y8z8

4) 4x6 + 9y6 5) 1 + 4x2y4 6) 49x6y4 + x2y2

DIVIÉRTETE MIENTRAS PIENSAS¿Cuáles de los siguientes números enteros no son iguales al producto tres números enteros consecutivos? -6, -1, 0, 1, 6