GRAEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU...Zbirka sadr`i karakteristi~ne zadatke sa re{enjima sa ispitnih rokova odr`anih u periodu od 1991. do 2001. godine. Zadaci su preneti u

ZBIRKA ISPITNIH ZADATAKA IZ KARTOGRAFIJE 1 1

Dr Ivan \. Nestorov

GRA\EVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU ODSEK ZA GEODEZIJU

MATEMATI^KA KARTOGRAFIJA

ZBIRKA ISPITNIH ZADATAKA SA RE[ENJIMA IZ KARTOGRAFIJE 1

Beograd 2001.


PREDGOVOR

Ova zbirka je, prvenstveno, namenjena studentima Odseka za geodeziju Gra|evinskog fakulteta Univerziteta u Beogradu i predstavlja pomo}nu ud`beni~ku literaturu za predmet Kartografija 1 (Matemati~ka kartografija) koji se prou~ava na ~etvrtoj godini studija.

Zbirka sadrì karakteristi~ne zadatke sa re{enjima sa ispitnih rokova odrànih u periodu od 1991. do 2001. godine. Zadaci su preneti u istom obliku kao {to su bili dati na ispitu, kako bi korisnici zbirke stekli uvid u teìnu i obim zadataka kako bi se i vizuelno upoznali sa ispitom.

Svi zadaci su re{avani pomo}u ra~unarskog programa MATHCAD, te je autor opredeljuju}i se da ih u toj formi i objavi, pruìo mogu}nost korisnicima zbirke da ovakva re{enja dalje koriste, direktno ili uz potrebne izmene.

Dosad evidentan nedostatak materije sadràne u ovoj zbirci u na{oj stru~noj literaturi naveo je autora da smatra da i diplomirani inènjeri, kao i ostali stru~njaci koji prou~avaju Matemati~ku kartografiju mogu ovde na}i odgovore na neka pitanja koja im se u praksi postavljaju.

U raskoraku izme|u èlje da ova zbirka bude potpunija i da ista na|e {to pre put do korisnika, autor se opredelio za ovo drugo re{enje svestan da time uti~e na njen kvalitet. Stoga ose}aju}i obavezu da u narednom izdanju otkloni eventualne nedostatke, autor ostaje u nadi da }e ~itaoci uvaìti ovo obrazloènje i da }e svojim primedbama pomo}i da se zbirka pobolj{a.

Autor Beograd, septembar 2001. godine


SADR@AJ

Prava konusna konformna projekcija

Pismeni ispit odràn januara 1991. godine ________________________________________________________________________________________ 1

Pismeni ispit odràn aprila 1995. godine __________________________________________________________________________________________ 6

Pismeni ispit odràn juna 2001. godine _________________________________________________________________________________________ 11

Prava cilindri~na konformna projekcija

Pismeni ispit odràn marta 1991. godine ____________________________________________________________ Error! Bookmark not defined.6

Pismeni ispit odràn decembra 1991. godine ____________________________________________________________________________________ 21

Gaus-Krigerova projekcija

Pismeni ispit odràn septembra 1991. godine ___________________________________________________________________________________ 26

Pismeni ispit odràn januara 1993. godine ______________________________________________________________________________________ 32


Prosta (ameri~ka) polikonusna projekcija

Pismeni ispit odràn aprila 1991. godine ________________________________________________________________________________________ 44

Pismeni ispit odràn maja 1994. godine _________________________________________________________________________________________ 49

Pismeni ispit odràn jula 1996. godine _________________________________________________________________________________________ 55


Boneova projekcija

Pismeni ispit odràn jula 1991. godine __________________________________________________________________________________________ 68


mailto:SADR@AJ


Sansonova projekcija

Pismeni ispit odràn marta 1992. godine ________________________________________________________________________________________ 78


Ostalo


Pismeni ispit odràn avgusta 1992. godine ______________________________________________________________________________________ 96


GRA\EVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU INSTITUT ZA GEODEZIJU KATEDRA ZA KARTOGRAFIJU I FOTOGRAMETRIJU

JANUAR 1991.

PISMENI ISPIT IZ KARTOGRAFIJE 1

ZADATAK Za potrebe izrade karte Jugoslavije, odnosno geografskog podru~ja ograni~enog paralelama sa geografskim {irinama respektivno φS= 40° i φN= 46° i zapadnim i isto~nim meridijanima sa geografskim duìnama respektivno λW= 14° i λE= 22° , u razmeri 1:1.000.000 u pravoj konusnoj konformnoj projekciji obrtnog elipsoida na ravan treba: 1) Odrediti konstante projekcije k i K pod uslovom da je linearna deformacija du` dveju paralela sa geografskim {irinama φ1= 42° 30' i φ2= 45° 30' jednaka d = 0. 2) Odrediti geografsku {irinu paralele du` koje je linearna razmera minimalna. 3) Sra~unati pravougle koordinate ta~aka preseka meridijana i paralela ako je gustina mreè meridijana i paralela jednaka ∆φ=∆λ=2° . Koordinatni po~etak pravouglog koordinatnog sistema u ravni je slika ta~ke preseka srednjeg meridijana podru~ja preslikavanja i paralele sa {irinom φS= 40° , a x osu predstavlja slika srednjeg meridijana. Traène koordinate ta~aka sra~unati u milimetrima i u zadatoj razmeri. 4) Sra~unati linernu deformaciju i deformaciju povr{ina u prese~nim ta~kama kartogrfske mreè. Na osnovu ovih vrednosti nacrtati dijagrame promena funkcija linearne deformacije i deformacije povr{ina u zavisnosti od promene geografske {irine na celom podru~ju preslikavanja. Elemente Zemljinog elipsoida uzeti po Besselu. (a = 6 377 397.155; b = 6 356 078.963)


U f( )tan

π

4f2

+

tanπ

4β f( )

2+

e:=

β f( ) asin e sin f( )⋅( ):=r f( ) N f( ) cos f( )⋅:=M f( ) a1 e2−

1 e2 sin f( )2⋅−( )1.5⋅:=N f( )

a

1 e2 sin f( )2⋅−( )0.5:=

Pomo}ne funkcije

lE22ρ

:=lW14ρ

:=lλλ 18−

ρ:=λ 14 16, 22..:=

fN46ρ

:=fS40ρ

:=fφφ

ρ:=φ 40 42, 46..:=

Opseg promene geografskih koordina (podru~je preslikavanja)

ρ180π

:=ea2 b2−

a2

0.5

:=

b 6356078.963:=a 6377397.155:=

Konstante

RE[ENJE ZADATKA


Y f l,( )R f( ) sin δ l( )( )⋅

1000:=X f l,( )

RS R f( ) cos δ l( )( )⋅−

1000:=RS R fS( ):=

Pravougle koordinate

δ l( ) k l⋅:=R f( )K

U f( ) k:=

Polarne koordinate

f0 44.006411=f0 asin k( ) ρ⋅:=

2. [irina paralele sa minimalnom linearnom razmerom

K 1.195235 107×=K r f2( )U f2( ) k

k⋅:=

K 1.195235 107×=K r f1( )U f1( ) k

k⋅:=

k 0.694739=kln r f1( )( ) ln r f2( )( )−

ln U f2( )( ) ln U f1( )( )−:=

f245.5ρ

:=f142.5ρ

:=

1. Konstante projekcije


dp fφ( )0.004096

0.000526

-0.000683

0.000538

=p fφ( )1.004096

1.000526

0.999317

1.000538

=d fφ( )0.002046

0.000263

-0.000342

0.000269

=m fφ( )1.002046

1.000263

0.999658

1.000269

=φ

40

42

44

46

=

4. Traène linearne i povr{inske deformacije

Y f46 lλ,( )-309.78

-154.93

0

154.93

309.78

=X f46 lλ,( )674.17

668.54

666.66

668.54

674.17

=Y f44 lλ,( )-320.55

-160.32

0

160.32

320.55

=X f44 lλ,( )452.22

446.39

444.45

446.39

452.22

=Y f42 lλ,( )-331.32

-165.71

0

165.71

331.32

=X f42 lλ,( )230.35

224.33

222.32

224.33

230.35

=Y f40 lλ,( )-342.1

-171.1

0

171.1

342.1

=X f40 lλ,( )8.3

2.07

0

2.07

8.3

=λ

14

16

18

20

22

=

3. Traène pravougle koordinate

l

dp f( ) p f( ) 1−:=d f( ) m f( ) 1−:=

p f( ) m f( )2:=m f( ) kK

r f( ) U f( ) k⋅⋅:=

Linearna i povr{inska razmera


Dijagrami promene linearne deformacije i deformacije povr{ina

40 42 44 460.001

3.333333 .10 4

0.0017

0.003

d fφ( )

φ40 42 44 46

0.002

0

0.002

0.004

0.006

dp fφ( )

φ



APRIL 1995.


ZADATAK Za potrebe izrade karte Evrope, odnosno geografskog podruograni~enog paralelama sa geografskim {irinama φS= 30° i φN=70° severne geogrfaske {irine i meridijanima sa geografskim duìnama λW= 20° zapano od Grini~a i λE= 60° isto~no od Grini~a, u razmeri 1:25.000.000 i u prakonusnoj konformnoj projekciji obrtnog elipsoida na ravan, treba: 1) Odrediti konstante projekcije k i K pod uslovima: - da linearna razmera du` paralele φO=50° ima minimalnu vrednost. - da je logaritam linearne razmere du` paralele sa geografskom {irinom φN= 70° pozitivan i da je po apsolutnoj vrednosti jednak logaritmu linearne razmere du` paralele φO= 50° koji je negativan. 2) Sra~unati pravougle koordinate ta~aka preseka meridijana i paralela, ako je gustina mreè paralela jednaka ∆φ= 5° , a gustina mreè meridijana ∆λ= 10° . Traène koordinate ta~aka sra~unati u milimetrima i zadatoj razmeri. 3) Sra~unati linernu deformaciju i deformaciju povr{ina u prese~nim ta~kama kartogrfske mreè. Na osnovu ovih vrednosti nacrtati dijagram promena funkcija linearne deformacije i deformacije povr{ina u zavisnosti od promene geografske {irine na celom podru~ju preslikavanja. 4) Pomo}u dijagrama pribli`no odrediti geografske {irine seku}ih paralela. Elemente Zemljinog elipsoida uzeti po Besselu. (a = 6 377 397.155; b = 6 356 078.963)


r f( ) N f( ) cos f( )⋅:=M f( ) a

1 e2−

1 e2 sin f( )2⋅−( )1.5⋅:=

U f( )tan

π

4f2

+

tanπ

4β f( )

2+

e:=

β f( ) asin e sin f( )⋅( ):=N f( )

a

1 e2 sin f( )2⋅−( )0.5:=

Pomo}ne funkcije

ljλ j

ρ:=λ j 20− 10 j 1−( )⋅+ 20−:=j 1 2, 9..:=

fiφi

ρ:=

φi 30 i 1−( ) 5⋅+:=i 1 2, 9..:=

Opseg promene geografskih koordinata (podru~je preslikavanja)

ρ 57.3=ρ180π

:=e1 0.08=e1a2 b2−

b2

0.5

:=e 0.08=ea2 b2−

a2

0.5

:=

b 6356078.963:=a 6377397.155:=

Konstante

RE[ENJE ZADATKA


dp f( ) p f( ) 1−:=d f( ) m f( ) 1−:=p f( ) m f( )2:=m f( ) k

K

r f( ) U f( ) k⋅⋅:=


Y f l,( )R f( ) sin δ l( )( )⋅

25000:=X f l,( )

R1 R f( ) cos δ l( )( )⋅−

25000:=R1 R

30ρ

:=


δ l( ) k l⋅:=R f( )K

U f( ) k:=

Polarne koordinate

K 11153680.13=Kr

70ρ

r50ρ

⋅ U70ρ

k⋅ U

50ρ

k⋅

k:=

k 0.77=k sin f0( ):=

f0 0.87=f050ρ

:=



y9 j,

-60.46

-46.32

-31.35

-15.81

0

15.81

31.35

46.32

60.46

=x9 j,

191.59

184.44

179.24

176.08

175.02

176.08

179.24

184.44

191.59

=y8 j,

-72.04

-55.19

-37.35

-18.84

0

18.84

37.35

55.19

72.04

=x8 j,

172.04

163.52

157.33

153.56

152.3

153.56

157.33

163.52

172.04

=y7 j,

-83.28

-63.8

-43.18

-21.78

0

21.78

43.18

63.8

83.28

=x7 j,

153.07

143.22

136.06

131.71

130.25

131.71

136.06

143.22

153.07

=λ j

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

=

y6 j,

-94.32

-72.25

-48.9

-24.67

0

24.67

48.9

72.25

94.32

=x6 j,

134.44

123.29

115.18

110.25

108.6

110.25

115.18

123.29

134.44

=y5 j,

-105.25

-80.63

-54.56

-27.53

0

27.53

54.56

80.63

105.25

=x5 j,

115.98

103.54

94.49

88.99

87.15

88.99

94.49

103.54

115.98

=y4 j,

-116.18

-89

-60.23

-30.39

0

30.39

60.23

89

116.18

=x4 j,

97.54

83.81

73.81

67.75

65.71

67.75

73.81

83.81

97.54

=y3 j,

-127.17

-97.42

-65.93

-33.26

0

33.26

65.93

97.42

127.17

=x3 j,

78.98

63.95

53.01

46.37

44.14

46.37

53.01

63.95

78.98

=y2 j,

-138.31

-105.95

-71.7

-36.17

0

36.17

71.7

105.95

138.31

=x2 j,

60.18

43.83

31.93

24.71

22.29

24.71

31.93

43.83

60.18

=y1 j,

-149.67

-114.65

-77.59

-39.15

0

39.15

77.59

114.65

149.67

=x1 j,

41

23.31

10.44

2.62

0

2.62

10.44

23.31

41

=λ j

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

=

yi j, Y fi lj,( ):=xi j, X fi lj,( ):=




λ j

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

= m fi( )1.017415

0.993733

0.97677

0.966421

0.962873

0.966681

0.978944

1.001664

1.038558

= d fi( )0.017415

-0.006267

-0.02323

-0.033579

-0.037127

-0.033319

-0.021056

0.001664

0.038558

= p fi( )1.035134

0.987506

0.954079

0.93397

0.927125

0.934473

0.958332

1.003332

1.078603

= dp fi( )0.035134

-0.012494

-0.045921

-0.06603

-0.072875

-0.065527

-0.041668

0.003332

0.078603

=


30 40 50 60 700.05

0.025

0

0.025

0.05

d fi( )

φ i

30 40 50 60 700.1

0.05

0

0.05

0.1

dp fi( )

φ i


GRA\EVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU ODSEK ZA GEODEZIJU KATEDRA ZA FOTOGRAMETRIJU I KARTOGRAFIJU

Jun 2001. PISMENI ISPIT IZ KARTOGRAFIJE 1 ZADATAK Za potrebe izrade karte evropskog dela Ruske Federacije (bez Kalinjingrada), odnosno geografskog podru~ja ograni~enog paralelama sa geografskim {irinama φS= 40° i φN= 70° severne geografske {irine i meridijanima sa geografskim duìnama λW= 30° i λE= 60° isto~no od Grini~a, u razmeri 1:5.000.000 i u pravoj konusnoj konformnoj projekciji obrtnog elipsoida na ravan, treba: 1) Odrediti konstante projekcije k i K pod uslovima: da je linearna deformacija du` paralele φo= 55° negativana i da je po apsolutnoj vednosti jednaka lineranim deformacijama du` paralela φN= 70° i φS= 40° koje su pozitivne. 2) Sra~unati pravougle koordinate ta~aka preseka meridijana i paralela, ako je gustina mreè paralela i meridijana jednaka ∆φ = ∆λ=5° . Traène koordinate ta~aka sra~unati u milimetrima i u zadatoj razmeri. 3) Sra~unati linernu deformaciju i deformaciju povr{ina u prese~nim ta~kama kartogrfske mreè. Na osnovu ovih vrednosti nacrtati dijagrame promena funkcija linearne deformacije i deformacije povr{ina u zavisnosti od promene geografske {irine na celom podru~ju preslikavanja. Elemente Zemljinog elipsoida uzeti po Besselu. (a = 6 377 397.155; b = 6 356 078.963)


U f( )

tanπ

4f

2+

tanπ

4β f( )

2+

e:=β f( ) asin e sin f( )⋅( ):=r f( ) N f( ) cos f( )⋅:=M f( ) a

1 e2−

1 e2 sin f( )2⋅−( )1.5⋅:=N f( )

a

1 e2 sin f( )2⋅−( )0.5:=

Pomo}ne funkcije

l jλi

ρ:=λ j 30 j 1−( ) 5⋅+ 45−:=j 1 2, 7..:=

fiφi

ρ:=φi 40 i 1−( ) 5⋅+:=i 1 2, 7..:=


e1 0.081971=e1a2 b2−

b2

0.5

:=

ρ 57.29578=e 0.081697=e

a2 b2−

a2

0.5

:=

ρ180π

:=b 6356078.963:=a 6377397.155:=

Konstante

RE[ENJE ZADATKA



f055ρ

:= f0 0.959931=

k

ln r40ρ

ln r70ρ

−

ln U70ρ

ln U40ρ

−

:=

k 0.829246=

K2k

r40ρ

U40ρ

k

⋅ r55ρ

⋅ U55ρ

k

⋅

r55ρ

U55ρ

k

⋅ r40ρ

U40ρ

k

⋅+

⋅:= K12k

r70ρ

U70ρ

k

⋅ r55ρ

⋅ U55ρ

k

⋅

r55ρ

U55ρ

k

⋅ r70ρ

U70ρ

k

⋅+

⋅:=

K 1.126059 107×=

K1 1.126059 107×=

Polarne koordinate

R f( )K

U f( )k:= δ l( ) k l⋅:=


R1 R40ρ

:= X f l,( )R1 R f( ) cos δ l( )( )⋅−

5000:= Y f l,( )

R f( ) sin δ l( )( )⋅

5000:=


y7 j,

115.6

115.6

115.6

115.6

115.6

115.6

115.6

=y6 j,

139.8

139.8

139.8

139.8

139.8

139.8

139.8

=y5 j,

163.5

163.5

163.5

163.5

163.5

163.5

163.5

=y4 j,

187.1

187.1

187.1

187.1

187.1

187.1

187.1

=y3 j,

210.7

210.7

210.7

210.7

210.7

210.7

210.7

=y2 j,

234.5

234.5

234.5

234.5

234.5

234.5

234.5

=y1 j,

258.6

258.6

258.6

258.6

258.6

258.6

258.6

=j

1

2

3

4

5

6

7

=

x7 j,

676.3

676.3

676.3

676.3

676.3

676.3

676.3

=x6 j,

566.8

566.8

566.8

566.8

566.8

566.8

566.8

=x5 j,

459.1

459.1

459.1

459.1

459.1

459.1

459.1

=x4 j,

352.2

352.2

352.2

352.2

352.2

352.2

352.2

=x3 j,

245.3

245.3

245.3

245.3

245.3

245.3

245.3

=x2 j,

137.5

137.5

137.5

137.5

137.5

137.5

137.5

=x1 j,

28.2

28.2

28.2

28.2

28.2

28.2

28.2

=j

1

2

3

4

5

6

7

=

yi j, Y fi l j,( ):=xi j, X fi l j,( ):=


dp f( ) p f( ) 1−:=d f( ) m f( ) 1−:=

p f( ) m f( )2:=m f( ) kK

r f( ) U f( )k⋅⋅:=




i

1

2

3

4

5

6

7

= m fi( )1.017518

0.999256

0.987509

0.982482

0.984785

0.995662

1.017518

= d fi( )0.017518

-0.000744

-0.012491

-0.017518

-0.015215

-0.004338

0.017518

= p fi( )1.035343

0.998512

0.975173

0.965271

0.969802

0.991343

1.035343

= dp fi( )0.035343

-0.001488

-0.024827

-0.034729

-0.030198

-0.008657

0.035343

=


40 50 60 700.02

0.01

0

0.01

0.02

d fi( )

φ i

40 50 60 700.04

0.02

0

0.02

0.04

dp fi( )

φ i



MART 1991.


ZADATAK Za potrebe izrade karte geografskog podru~ja ograni~enog paralelama sa geografskim {irinama respektivno φS= 41° i φN= 47° severne geogrfaske {irine i meridijanima sa geografskim duìnama respektivno λW= 13° i λE= 23° , isto~no od Grini~a, u razmeri 1:1.000.000 u pravoj cilindri~noj konformnoj projekciji obrtnog elipsoida na ravan treba: 1) Odrediti konstantu projekcije k pod uslovom da je linearna deformacija du` paralele sa geografskim {irinama φO= 44° jednaka d= - 0.0001 2) Sra~unati pravougle koordinate ta~aka preseka meridijana i paralela ako je gustina mreè meridijana i paralela jednaka ∆φ= ∆λ = 2° . Koordinatni po~etak pravouglog koordinatnog sistema u ravni je slika ta~ke preseka srednjeg meridijana podru~ja preslikavanja i paralele sa {irinom φS= 40° , a x osu predstavlja slika srednjeg meridijana. Traène koordinate ta~aka sra~unati u milimetrima i u zadatoj razmeri. 3) Sra~unati linernu deformaciju i deformaciju povr{ina u prese~nim ta~kama kartogrfske mreè. Na osnovu ovih vrednosti nacrtati dijagrame promena funkcija linearne deformacije i deformacije povr{ina u zavisnosti od promene geografske {irine na celom podru~ju preslikavanja. 4) Sra~unati azimut loksodrome i njenu duìnu na elipsoidu i u projekciji izme|u ta~aka A /φ = 46° 24', λ = 13° 46'/ i B /φ= 41° 14', λ= 22° 56'/ Elemente Zemljinog elipsoida uzeti po Besselu. (a = 6 377 397.155; b = 6 356 078.963)


U f( )tan

π

4f2

+

tanπ

4β f( )

2+

e:= β f( ) asin e sin f( )⋅( ):=r f( ) N f( ) cos f( )⋅:=

S f( ) a 1 e2−( )⋅ A f⋅B2

sin 2 f⋅( )⋅−C4

sin 4 f⋅( )⋅+D6

sin 6 f⋅( )⋅−

⋅:=M f( ) a1 e2−

1 e2 sin f( )2⋅−( )1.5⋅:=N f( )

a

1 e2 sin f( )2⋅−( )0.5:=

Pomo}ne funkcije

lλλ 18−

ρ:=fφ

φ

ρ:=

f044ρ

:=λ 13 15, 23..:=φ 41 42, 47..:=

Opseg promene geografskih koordinata(podru~je preslikavanja)

D 0.000000020633322:=B 0.005047849240300:=ρ180π

:=ea2 b2−

a2

0.5

:=

C 0.000010563786831:=A 1.005037306048550:=b 6356078.963:=a 6377397.155:=

Konstante

RE[ENJE ZADATKA


Y f47 lλ,( )-400.94

-240.57

-80.19

80.19

240.57

400.94

=X f47 lλ,( )772.46

772.46

772.46

772.46

772.46

772.46

=Y f45 lλ,( )-400.94

-240.57

-80.19

80.19

240.57

400.94

=X f45 lλ,( )542.30

542.30

542.30

542.30

542.30

542.30

=Y f43 lλ,( )-400.94

-240.57

-80.19

80.19

240.57

400.94

=X f43 lλ,( )320.09

320.09

320.09

320.09

320.09

320.09

=Y f41 lλ,( )-400.94

-240.57

-80.19

80.19

240.57

400.94

=X f41 lλ,( )105.05

105.05

105.05

105.05

105.05

105.05

=λ

13

15

17

19

21

23

=


dp f( ) p f( ) 1−:=d f( ) m f( ) 1−:=p f( ) m f( )2:=m f( )k

r f( ):=


Y f l,( ) kl

1000⋅:=X f l,( )

k1000

ln U f( )( ) ln U40ρ

−

⋅:=


k 4594461.5=k 1 0.0001−( ) N f0( )⋅ cos f0( )⋅:=f044ρ

:=

1. Konstanta projekcije



φ

41

42

43

44

45

46

47

= m fφ( )0.953206

0.967983

0.983532

0.9999

1.017139

1.035306

1.054463

= d fφ( )-0.046794

-0.032017

-0.016468

-0.0001

0.017139

0.035306

0.054463

= p fφ( )0.908601

0.936991

0.967335

0.9998

1.034572

1.071858

1.111892

= dp fφ( )-0.091399

-0.063009

-0.032665

-0.0002

0.034572

0.071858

0.111892

=


40 42 44 46 480.05

0

0.05

0.1

d fφ( )

φ

40 42 44 46 480.1

0

0.1

0.2

dp fφ( )

φ


Delip 933.9=DelipS fB( ) S fA( )−

cosAzρ

1000⋅

:=

Dproj 931.8=Dproj YB YA−( )2 XB XA−( )2+ 0.5

:=

Az 127.9=Az atan 1−( )XB XA−

YB YA−⋅

ρ⋅ 90+:=

XB 129.8=XB X fB λB,( ):=XA 702.5=XA X fA λA,( ):=

YB 395.6=YB Y fB λB,( ):=YA 339.5−=YA Y fA λA,( ):=

λB22 18−

5660

+

ρ:=fB

411460

+

ρ:=λA

13 18−4660

+

ρ:=fA

462460

+

ρ:=

4. Azimut i duìna loksodrome na elipsoidu i u projekciji



DECEMBAR 1991.


ZADATAK Za potrebe izrade karte Evrope, odnosno geografskog podru~ja ograni~enog paralelama sa geografskim {irinama φS = 35° i φN = 65° severne geogrfaske {irine i meridijanima sa geografskim duìnama λW = 20° zapadno od Grini~a i λE = 60° isto~no od Grini~a, u razmeri 1:30.000.000 i u pravoj cilindri~noj konformnoj projekciji obrtnog elipsoida na ravan, treba: 1) Odrediti konstantu projekcije k pod uslovom da je linearna deformacija du` paralele sa geografskom {irinom φN = 65° negativna i da je po apsolutnoj vrednosti jednaka linearnoj deformaciji du` paralele φS = 35° koja je pozitivna. 2) Pribli`no odrediti geografske {irine seku}ih paralela. 3) Sra~unati pravougle koordinate ta~aka preseka meridijana i paralela, ako je gustina mreè paralela jednaka ∆φ = 5° , a gustina mreè paralela ∆λ = 10° . Koordinatni po~etak pravouglog koordinatnog sistema u ravni je slika ta~ke preseka najzapadnijeg meridijana i najju`nije paralele. Traène koordinate ta~aka sra~unati u milimetrima i u zadatoj razmeri. 4) Sra~unati linernu deformaciju i deformaciju povr{ina u prese~nim ta~kama kartogrfske mreè. Na osnovu ovih vrednosti nacrtati dijagrame promena funkcija linearne deformacije i deformacije povr{ina u zavisnosti od promene geografske {irine na celom podru~ju preslikavanja. 5) Sra~unati azimut loksodrome i njenu duìnu na elipsoidu i u projekciji izme|u ta~aka A /φ = 46° 24', λ= 33° 46'/ i B /φ = 61° 14', λ= 52° 56'/ Elemente Zemljinog elipsoida uzeti po Besselu. (a = 6 377 397.155; b = 6 356 078.963)


r f( ) N f( ) cos f( )⋅:=

U f( )tan

π

4f2

+

tanπ

4β f( )

2+

e:=

β f( ) asin e sin f( )⋅( ):=

S f( ) a 1 e2−( )⋅ A f⋅B2

sin 2 f⋅( )⋅−C4

sin 4 f⋅( )⋅+D6

sin 6 f⋅( )⋅−

⋅:=M f( ) a1 e2−

1 e2 sin f( )2⋅−( )1.5⋅:=N f( )

a

1 e2 sin f( )2⋅−( )0.5:=

Pomo}ne funkcije

lE60ρ

:=lW20−

ρ:=lj

50− j 10⋅+

ρ:=fi

30 i 5⋅+

ρ:=

fN65ρ

:=fS35ρ

:=j 1 2, 9..:=i 1 2, 7..:=

λ 20− 10−, 60..:=φ 35 40, 65..:=


ρ 57.29578=ρ180π

:=

D 0.000000020633322:=B 0.005047849240300:=e 0.081697=ea2 b2−

a2

0.5

:=

C 0.000010563786831:=A 1.005037306048550:=b 6356078.963:=a 6377397.155:=

Konstante

RE[ENJE ZADATKA


dp f( ) p f( ) 1−:=d f( ) m f( ) 1−:=

p f( ) m f( )2:=m f( )k

r f( ):=


Y0 82.929846−=X0 77.094232=

Y0 Y f1 l1,( ):=X0 X f1 l1,( ):=Y f l,( ) kl

30000⋅:=X f l,( )

k30000

ln U f( )( )( )⋅:=


f0 ρ⋅ 56.116452=f0 Find f0( ):=

r f0( ) k

Givenf0

50ρ

:= Po~etno re{enje :

2. Odre|ivanje geografske {irine seku}ih paralela

k 3.563648 106×=k 2r

65ρ

r35ρ

⋅

r65ρ

r35ρ

+

⋅:=

1. Konstanta projekcije



j

1

2

3

4

5

6

7

8

9

= X f1 lj,( ) X0−

0

0

0

0

0

0

0

0

0

= Y f1 lj,( ) Y0−

0

20.732462

41.464923

62.197385

82.929846

103.662308

124.39477

145.127231

165.859693

= i

1

2

3

4

5

6

7

= X fi l1,( ) X0−

0

13.020379

27.041353

42.354917

59.36485

78.657132

101.134966

= Y fi l1,( ) Y0−

0

0

0

0

0

0

0

=


i

1

2

3

4

5

6

7

= m fi( )0.681411

0.728447

0.788934

0.867624

0.972043

1.114786

1.318589

= d fi( )-0.318589

-0.271553

-0.211066

-0.132376

-0.027957

0.114786

0.318589

= p fi( )0.464322

0.530634

0.622416

0.752772

0.944867

1.242748

1.738676

= dp fi( )-0.535678

-0.469366

-0.377584

-0.247228

-0.055133

0.242748

0.738676

=


Delip 68.925607=DelipS fB( ) S fA( )−

cosAzρ

30000⋅

:=

Dproj 65.984116=Dproj YB YA−( )2 XB XA−( )2+ 0.5

:=

Az 37.029346=Az atan 1−( )XB XA−

YB YA−⋅

ρ⋅ 90+:=

XB 160.955142=XB X fB lB,( ):=XA 108.27823=XA X fA lA,( ):=

YB 26.813984=YB Y fB lB,( ):=YA 12.923234−=YA Y fA lA,( ):=

lB52 40−

5660

+

ρ:=fB

611460

+

ρ:=lA

33 40−4660

+

ρ:=fA

462460

+

ρ:=

4. Azimut i duìna loksodrome na elipsoidu i u projekciji

0.61 0.72 0.82 0.93 1.03 1.130.55

0.29

0.03

0.23

0.49

0.75

dp fi( )

fi

0.61 0.72 0.82 0.93 1.03 1.130.35

0.21

0.07

0.07

0.21

0.35

d fi( )

fi




SEPTEMBAR 1991.


ZADATAK Za potrebe izrade karte teritorije ograni~ene paralelama sa geografskim {irinama φS= 41° i φN= 47° severne geogrfaske {irine i meridijanima sa geografskim duìnama λW= 13° i λE= 23° , isto~no od Grini~a, u Gaus-Krigerovoj projekciji i u razmeri 1:1.000.000 treba: 1) Sra~unati redukovane pravougle koordinate ta~aka preseka meridijana i paralela ako je zadata gustina koordinatne mreè na elipsoidu ∆φ= ∆λ= 2° . X osu pravouglog koordinatnog sistema u ravni pritom predstavlja slika srednjeg meridijana podru~ja preslikavanja, a koordinatni po~etak slika ta~ke preseka srednjeg meridijana i paralele sa {irinom φS= 40° . Linearna razmera du` srednjeg meridijana iznosi 0.9990.Traène koordinate ta~aka sra~unati u milimetrima i u zadatoj razmeri. 2) Sra~unati i tabelarno prikazati vrednosti linerne deformacije i deformacije povr{ina u prese~nim ta~kama kartografske mreè. Na osnovu ovih vrednosti nacrtati dijagrame promena funkcije linearne deformacije i funkcije deformacije povr{ina u zavisnosti od promene geografske duìne na zadatom podru~ju preslikavanja. 3) Sra~unati i tabelarno prikazati vrednost konvergencije meridijana u prese~nim ta~kama kartografske mreè. Elemente Zemljinog elipsoida uzeti po Besselu. (a = 6 377 397.155; b = 6 356 078.963)


η f( ) e1 cos f( )⋅:=

X f( ) a 1 e2−( )⋅ A f⋅B2

sin 2 f⋅( )⋅−C4

sin 4 f⋅( )⋅+D6

sin 6 f⋅( )⋅−

⋅:=N f( )a

1 e2 sin f( )2⋅−( )0.5:=t f( ) tan f( ):=

Pomo}ne funkcije

lλλ 18−

ρ:=fφ

φ

ρ:=

λ 13 15, 23..:=φ 41 43, 47..:=


ρ 57.29578=ρ180π

:=

D 0.000000020633322:=C 0.000010563786831:=e1a2 b2−

b2

0.5

:=ea2 b2−

a2

0.5

:=

B 0.005047849240300:=A 1.005037306048550:=b 6356078.963:=a 6377397.155:=

Konstante

RE[ENJE ZADATKA


Koeficijenti transformacije

A1 f( ) N f( ) cos f( )⋅:= A2 f( ) N f( ) sin f( )⋅cos f( )

2⋅:=

A3 f( ) N f( ) cos f( )3⋅1 η f( )2+ t f( )2−

6⋅:= A4 f( ) N f( ) sin f( )⋅ cos f( )3⋅

5 t f( )2− 9 η f( )2⋅+ 4 η f( )4

⋅+

24⋅:=

A5 f( ) N f( ) cos f( )5⋅5 18 t f( )2⋅− t f( )4+ 14 η f( )2

⋅+ 58 η f( )2⋅ t f( )2⋅−

120⋅:= A6 f( ) N f( ) sin f( )⋅ cos f( )5⋅

61 58 t f( )2⋅− t f( )4+

720⋅:=


x f l,( ) X f( ) A2 f( ) l2⋅+ A4 f( ) l4⋅+ A6 f( ) l6⋅+:= y f l,( ) A1 f( ) l⋅ A3 f( ) l3⋅+ A5 f( ) l5⋅+:=

Koordinate koordinatnog po~etka

x0 x40ρ

0,

:= y0 y40ρ

0,

:=

x0 4429084.790105= y0 0=


λ

13

15

17

19

21

23

=c

47ρ

lλ,

1.000775

0.999639

0.999071

0.999071

0.999639

1.000775

=c45ρ

lλ,

1.000909

0.999687

0.999076

0.999076

0.999687

1.000909

=c43ρ

lλ,

1.001043

0.999735

0.999082

0.999082

0.999735

1.001043

=c41ρ

lλ,

1.001176

0.999783

0.999087

0.999087

0.999783

1.001176

=

c f l,( ) 0.9990 c1 f l,( )⋅:=c1 f l,( ) 1 l2cos f( )2

2⋅ 1 η f( )2

+( )⋅+l4

24cos f( )4⋅ 5 4 t f( )⋅−( )⋅+:=

2. Linearna razmera i razmera povr{ina

λ

13

15

17

19

21

23

=yr

47ρ

lλ,

-379.82

-227.91

-75.97

75.97

227.91

379.82

=xr47ρ

lλ,

788.99

781.22

777.34

777.34

781.22

788.99

=yr45ρ

lλ,

-393.79

-236.28

-78.76

78.76

236.28

393.79

=xr45ρ

lλ,

566.96

559.18

555.29

555.29

559.18

566.96

=yr43ρ

lλ,

-407.28

-244.36

-81.45

81.45

244.36

407.28

=xr43ρ

lλ,

344.96

337.19

333.31

333.31

337.19

344.96

=yr41ρ

lλ,

-420.28

-252.14

-84.04

84.04

252.14

420.28

=xr41ρ

lλ,

122.97

115.25

111.4

111.4

115.25

122.97

=

yr f l,( ) 0.9990 y f l,( ) y0−( )⋅ 10 6−⋅ 103⋅:=xr f l,( ) 0.9990 x f l,( ) x0−( )⋅ 10 6−⋅ 103⋅:=

1. Trazene redukovane lokalne koordinate


p f l,( ) c f l,( )2:=

p41ρ

lλ,

1.002354

0.999566

0.998175

0.998175

0.999566

1.002354

= p43ρ

lλ,

1.002087

0.99947

0.998164

0.998164

0.99947

1.002087

= p45ρ

lλ,

1.001819

0.999374

0.998154

0.998154

0.999374

1.001819

= p47ρ

lλ,

1.001551

0.999278

0.998143

0.998143

0.999278

1.001551

=λ

13

15

17

19

21

23

=

Dijagrami promena funkcija linearne i povr{inske deformacije

6 2 2 60.999

0.9995

1

1.0005

1.001

1.0015

c41ρ

lλ,

c43ρ

lλ,

c45ρ

lλ,

c47ρ

lλ,

λ 18−6 2 2 6

0.998

0.999

1

1.001

1.002

1.003

p41ρ

lλ,

p43ρ

lλ,

p45ρ

lλ,

p47ρ

lλ,

λ 18−


3. Konvergencija meridijana

α1 f l,( ) sin f( ) l⋅ sin f( )cos f( )2

3⋅ 1 3 η f( )2

⋅+( )⋅ l3⋅+:= α f l,( ) α1 f l,( ) sin f( )cos f( )4

15⋅ 2 t f( )2−( )⋅ l5⋅+:=

α41ρ

lλ,

ρ⋅

-3.285098

-1.969214

-0.656097

0.656097

1.969214

3.285098

= α43ρ

lλ,

ρ⋅

-3.414676

-2.047006

-0.682036

0.682036

2.047006

3.414676

= α45ρ

lλ,

ρ⋅

-3.54007

-2.1223

-0.707143

0.707143

2.1223

3.54007

= α47ρ

lλ,

ρ⋅

-3.661129

-2.195003

-0.731389

0.731389

2.195003

3.661129

=λ

13

15

17

19

21

23

=



JANUAR 1993.


ZADATAK Za potrebe izrade karte Skandinavskih zemalja, odnosno teritorije ograni~ene paralelama sa geografskim {irinama φS= 52° i φN= 72° severne geogrfaske {irine i meridijanima sa geografskim duìnama λW= 0° i λE = 32° , isto~no od Grini~a, u GAUS-KRIGEROVOJ PROJEKCIJI i u razmeri 1:5.000.000 treba: 1) Sra~unati redukovane pravougle koordinate ta~aka preseka meridijana i paralela ako je zadata gustina koordinatne mreè na elipsoidu ∆φ= ∆λ= 4° . Ova ra~unanja sprovesti za dva koordinatanta sistema od kojih se svaki proteè sa po 16° po geografskoj duìni. (Preslikavaju se dve meridijanske zone {irine 16° ; Prva od 0° - 16° i druga od 16° - 32° .) X ose oba pravougla koordinatna sistema u ravni pritom predstavljaju slike srednjih meridijana dveju zona preslikavanja, a koordinatni po~etak je slika ta~ke preseka srednjeg meridijana i paralele sa {irinom φO = 50° . Linearna razmera du` srednjeg meridijana iznosi 0.9982. Traène koordinate ta~aka sra~unati u milimetrima i u zadatoj razmeri. 2) Sra~unati i tabelarno prikazati vrednosti linerne deformacije i deformacije povr{ina u prese~nim ta~kama kartografske mreè. Na osnovu dobijenih vrednosti nacrtati dijagrame promena funkcije linearne deformacije du` grani~nih meridijana i paralela. 3) Sra~unati i tabelarno prikazati vrednost konvergencije meridijana u prese~nim ta~kama kartografske mreè. Napomena: Elemente Zemljinog elipsoida uzeti po Besselu. (a = 6 377 397.155; b = 6 356 078.963)


X f( ) a 1 e2−( )⋅ A f⋅B2

sin 2 f⋅( )⋅−C4

sin 4 f⋅( )⋅+D6

sin 6 f⋅( )⋅−

⋅:=

η f( ) e1 cos f( )⋅:=

N f( )a

1 e2 sin f( )2⋅−( )0.5:=t f( ) tan f( ):=

Pomo}ne funkcije

lλλ 8−

ρ:=fφ

φ

ρ:=

λ 0 4, 16..:=φ 52 56, 72..:=


ρ 57.29578=ρ180π

:=

D 0.000000020633322:=C 0.000010563786831:=e1a2 b2−

b2

0.5

:=ea2 b2−

a2

0.5

:=

B 0.005047849240300:=A 1.005037306048550:=b 6356078.963:=a 6377397.155:=

Konstante

RE[ENJE ZADATKA



A1 f( ) N f( ) cos f( )⋅:= A4 f( ) N f( ) sin f( )⋅ cos f( )3⋅5 t f( )2− 9 η f( )2

⋅+ 4 η f( )4⋅+

24⋅:=

A2 f( ) N f( ) sin f( )⋅cos f( )

2⋅:= A5 f( ) N f( ) cos f( )5⋅

5 18 t f( )2⋅− t f( )4+ 14 η f( )2⋅+ 58 η f( )2

⋅ t f( )2⋅−

120⋅:=

A3 f( ) N f( ) cos f( )3⋅1 η f( )2+ t f( )2−

6⋅:= A6 f( ) N f( ) sin f( )⋅ cos f( )5⋅

61 58 t f( )2⋅− t f( )4+

720⋅:=


x f l,( ) X f( ) A2 f( ) l2⋅+ A4 f( ) l4⋅+ A6 f( ) l6⋅+:= y f l,( ) A1 f( ) l⋅ A3 f( ) l3⋅+ A5 f( ) l5⋅+:=


x0 x50ρ

0,

:= y0 y50ρ

0,

:=

x0 5540279.542254= y0 0=


λ

0

4

8

12

16

=d

72ρ

lλ,

-0.000871

-0.001568

-0.0018

-0.001568

-0.000871

=d68ρ

lλ,

-0.000435

-0.001458

-0.0018

-0.001458

-0.000435

=d64ρ

lλ,

0.00007

-0.001332

-0.0018

-0.001332

0.00007

=d60ρ

lλ,

0.000635

-0.001191

-0.0018

-0.001191

0.000635

=d56ρ

lλ,

0.001248

-0.001038

-0.0018

-0.001038

0.001248

=d52ρ

lλ,

0.001897

-0.000876

-0.0018

-0.000876

0.001897

=

d f l,( ) c f l,( ) 1−:=c f l,( ) c0 f l,( ) 0.9982⋅:=

c0 f l,( ) 1 l2cos f( )2

2⋅ 1 η f( )2

+( )⋅+l4

24cos f( )4⋅ 5 4 t f( )⋅−( )⋅+:=


λ

0

4

8

12

16

=yr

72ρ

lλ,

-54.96

-27.53

0

27.53

54.96

=xr72ρ

lλ,

492.97

490.23

489.32

490.23

492.97

=yr68ρ

lλ,

-66.63

-33.37

0

33.37

66.63

=xr68ρ

lλ,

404.56

401.32

400.24

401.32

404.56

=yr64ρ

lλ,

-77.98

-39.05

0

39.05

77.98

=xr64ρ

lλ,

316.11

312.43

311.2

312.43

316.11

=yr60ρ

lλ,

-88.96

-44.54

0

44.54

88.96

=xr60ρ

lλ,

227.61

223.57

222.22

223.57

227.61

=yr56ρ

lλ,

-99.51

-49.8

0

49.8

99.51

=xr56ρ

lλ,

139.06

134.73

133.29

134.73

139.06

=yr52ρ

lλ,

-109.59

-54.83

0

54.83

109.59

=xr52ρ

lλ,

50.46

45.92

44.41

45.92

50.46

=

yr f l,( ) 0.9982 y f l,( ) y0−( )⋅103

5000000⋅:=xr f l,( ) 0.9982 x f l,( ) x0−( )⋅

103

5000000⋅:=

1. Trazene redukovane lokalne koordinate u zadatoj razmeri


p f l,( ) c f l,( )2:= dp f l,( ) p f l,( ) 1−:=

dp52ρ

lλ,

0.003798

-0.001751

-0.003597

-0.001751

0.003798

= dp56ρ

lλ,

0.002497

-0.002075

-0.003597

-0.002075

0.002497

= dp60ρ

lλ,

0.00127

-0.002381

-0.003597

-0.002381

0.00127

= dp64ρ

lλ,

0.000141

-0.002662

-0.003597

-0.002662

0.000141

= dp68ρ

lλ,

-0.000869

-0.002915

-0.003597

-0.002915

-0.000869

= dp72ρ

lλ,

-0.001742

-0.003133

-0.003597

-0.003133

-0.001742

=λ

0

4

8

12

16

=

Dijagrami promene linearne deformacije du` grani~nih meridijana i paralela

10 5 0 5 100.004

0.002

0

0.002

0.004

dp52ρ

lλ,

dp72ρ

lλ,

λ 8−

50 55 60 65 70 750.001

4 .10 4

2 .10 4

8 .10 4

0.0014

d fφ8ρ

,

φ



α1 f l,( ) sin f( ) l⋅ sin f( )cos f( )2

3⋅ 1 3 η f( )2

⋅+( )⋅ l3⋅+:=

α f l,( ) α1 f l,( ) sin f( )cos f( )4

15⋅ 2 t f( )2−( )⋅ l5⋅+:=

α52ρ

lλ,

ρ⋅

-6.319741

-3.153999

0

3.153999

6.319741

= α56ρ

lλ,

ρ⋅

-6.64586

-3.317845

0

3.317845

6.64586

= α60ρ

lλ,

ρ⋅

-6.939505

-3.465515

0

3.465515

6.939505

= α64ρ

lλ,

ρ⋅

-7.199352

-3.596302

0

3.596302

7.199352

= α68ρ

lλ,

ρ⋅

-7.424239

-3.709583

0

3.709583

7.424239

= α72ρ

lλ,

ρ⋅

-7.61317

-3.804817

0

3.804817

7.61317

=λ

0

4

8

12

16

=



JANUAR 1998.


ZADATAK Za potrebe izrade karte teritorije ograni~ene paralelama sa geografskim {irinama φS= 40° 45' i φN =42° 45' severne geografaske {irine i meridijanima sa geografskim duìnama λW= 20° 15' i λE= 23° 15', isto~no od Grini~a, u gaus-krigerovoj projekciji i u razmeri 1:250.000 treba: 1) Sra~unati redukovane pravougle koordinate ta~aka preseka meridijana i paralela ako je zadata gustina koordinatne mreè na elipsoidu ∆φ= ∆λ= 30'. X osu pravouglog koordinatnog sistema u ravni predstavlja slika srednjeg meridijana zone preslikavanja, a koordinatni po~etak je slika ta~ke preseka srednjeg meridijana i paralele sa {irinom φO=40° 30'. Linearna razmera du` srednjeg meridijana iznosi 0.9999. Traène koordinate ta~aka sra~unati sa ta~no{}u do na 0.1 mm i u zadatoj razmeri. 2) Sra~unati i tabelarno prikazati vrednosti linerne deformacije i deformacije povr{ina u prese~nim ta~kama kartografske mreè. Na osnovu dobijenih vrednosti nacrtati dijagrame promena funkcije linearne deformacije du` grani~nih meridijana i grani~nih paralela. Ra~unanje deformacija i prikaz rezultata dati sa ta~no{}u od 510− . 3) Sra~unati i tabelarno prikazati vrednost konvergencije meridijana u prese~nim ta~kama kartografske mreè. Ra~unanje i prikaz rezultata dati sa ta~no{}u od 0.1". Napomena: Elemente Zemljinog elipsoida uzeti po Besselu. (a = 6 377 397.155; b = 6 356 078.963)


X φ( ) a 1 e2−( )⋅ A φ⋅B2

sin 2 φ⋅( )⋅−C4

sin 4 φ⋅( )⋅+D6

sin 6 φ⋅( )⋅−

⋅:=N φ( ) a

1 e2 sin φ( )2⋅−( )0.5:=η φ( ) e1 cos φ( )⋅:=

t φ( ) tan φ( ):=

Pomo}ne funkcije

λ20.25 21.75−

ρ

20.75 21.75−

ρ,

23.25 21.75−

ρ..:=φ

40.75ρ

41.25ρ

,42.75ρ

..:=


e1 0.081971=e1a2 b2−

b2

0.5

:=ρ 57.29578=ρ

180π

:=

D 0.000000020633322:=B 0.005047849240300:=e 0.081697=ea2 b2−

a2

0.5

:=

C 0.000010563786831:=A 1.005037306048550:=b 6356078.963:=a 6377397.155:=

Konstante

RE[ENJE ZADATKA



A1 φ( ) N φ( ) cos φ( )⋅:= A4 φ( ) N φ( ) sin φ( )⋅ cos φ( )3⋅5 t φ( )2− 9 η φ( )2⋅+ 4 η φ( )4⋅+

24⋅:=

A2 φ( ) N φ( ) sin φ( )⋅cos φ( )

2⋅:= A5 φ( ) N φ( ) cos φ( )5⋅

5 18 t φ( )2⋅− t φ( )4+ 14 η φ( )2⋅+ 58 η φ( )2⋅ t φ( )2⋅−

120⋅:=

A3 φ( ) N φ( ) cos φ( )3⋅1 η φ( )2+ t φ( )2−

6⋅:= A6 φ( ) N φ( ) sin φ( )⋅ cos φ( )5⋅

61 58 t φ( )2⋅− t φ( )4+

720⋅:=


x φ λ,( ) X φ( ) A2 φ( ) λ2⋅+ A4 φ( ) λ4

⋅+ A6 φ( ) λ6⋅+:=

y φ λ,( ) A1 φ( ) λ⋅ A3 φ( ) λ3⋅+ A5 φ( ) λ5

⋅+:=


x0 x40.5ρ

0,

:= y0 y40.5ρ

0,

:=

x0 4484598.49164= y0 0=


c42.75ρ

λ,

0.99969

0.99958

0.99952

0.99950

0.99952

0.99958

0.99969

=c42.25ρ

λ,

0.99969

0.99958

0.99952

0.99950

0.99952

0.99958

0.99969

=c41.75ρ

λ,

0.99969

0.99959

0.99952

0.99950

0.99952

0.99959

0.99969

=c41.25ρ

λ,

0.99969

0.99959

0.99952

0.99950

0.99952

0.99959

0.99969

=c40.75ρ

λ,

0.99970

0.99959

0.99952

0.99950

0.99952

0.99959

0.99970

=

c φ λ,( ) 0.9995 c1 φ λ,( )⋅:=c1 φ λ,( ) 1 λ2 cos φ( )2

2⋅ 1 η φ( )2+( )⋅+

λ4

24cos φ( )4⋅ 5 4 t φ( )⋅−( )⋅+:=


yr42.75ρ

λ,

-490.9

-327.3

-163.6

-0

163.6

327.3

490.9

=xr42.75ρ

λ,

1003.3

1000.9

999.5

999.0

999.5

1000.9

1003.3

=yr42.5ρ

λ,

-492.9

-328.6

-164.3

-0

164.3

328.6

492.9

=xr42.5ρ

λ,

892.3

889.9

888.5

888.0

888.5

889.9

892.3

=yr41.75ρ

λ,

-498.7

-332.5

-166.2

-6.6·10 -14

166.2

332.5

498.7

=xr41.75ρ

λ,

559.3

556.9

555.4

554.9

555.4

556.9

559.3

=yr41.25ρ

λ,

-502.6

-335.1

-167.5

-6.7·10 -14

167.5

335.1

502.6

=xr41.25ρ

λ,

337.3

334.9

333.4

333.0

333.4

334.9

337.3

=yr40.75ρ

λ,

-506.4

-337.6

-168.8

-0.0

168.8

337.6

506.4

=xr40.75ρ

λ,

115.3

112.9

111.5

111.0

111.5

112.9

115.3

=

yr φ λ,( ) 0.9995 y φ λ,( ) y0−( )⋅1

2.5 105⋅

⋅ 103⋅:=xr φ λ,( ) 0.9995 x φ λ,( ) x0−( )⋅1

2.5 105⋅

⋅ 103⋅:=

1. Trazene redukovane lokalne koordinate u zadatoj razmeri


p φ λ,( ) c φ λ,( )2:=

p40.75ρ

λ,

0.99939

0.99918

0.99904

0.99900

0.99904

0.99918

0.99939

= p41.25ρ

λ,

0.99939

0.99917

0.99904

0.99900

0.99904

0.99917

0.99939

= p41.75ρ

λ,

0.99938

0.99917

0.99904

0.99900

0.99904

0.99917

0.99938

= p42.25ρ

λ,

0.99938

0.99917

0.99904

0.99900

0.99904

0.99917

0.99938

= p42.75ρ

λ,

0.99937

0.99916

0.99904

0.99900

0.99904

0.99916

0.99937

=

1 0 1

c40.75ρ

λ,

c42.75ρ

λ,

λ ρ⋅

1 0 1

p40.75ρ

λ,

p42.75ρ

λ,

λ ρ⋅



α1 φ λ,( ) sin φ( ) λ⋅ sin φ( ) cos φ( )2

3⋅ 1 3 η φ( )2⋅+( )⋅ λ

3⋅+:=

α φ λ,( ) α1 φ λ,( ) sin φ( ) cos φ( )4

15⋅ 2 t φ( )2−( )⋅ λ

5⋅+:=

3600 α40.75ρ

λ,

⋅

-61.529318

-41.016523

-20.507355

-8.152975·10 -15

20.507355

41.016523

61.529318

= 3600 α41.25ρ

λ,

⋅

-62.149996

-41.430324

-20.71426

-8.235235·10 -15

20.71426

41.430324

62.149996

= 3600 α41.75ρ

λ,

⋅

-62.765939

-41.84097

-20.919588

-8.316868·10 -15

20.919588

41.84097

62.765939

= 3600 α42.25ρ

λ,

⋅

-63.3771

-42.248429

-21.123323

-8.397867·10 -15

21.123323

42.248429

63.3771

= 3600 α42.75ρ

λ,

⋅

-63.983431

-42.652669

-21.325449

-8.478227·10 -15

21.325449

42.652669

63.983431

=


GRA\EVINSKI FAKULTET U BEOGRADU ODSEK ZA GEODEZIJU KATEDRA ZA FOTOGRAMETRIJU I KARTOGRAFIJU

April 1991.

PISMENI ISPIT IZ KARTOGRAFIJE 1 ZADATAK Za potrebe izrade karte Jugoslavije, odnosno geografskog podru~ja ograni~enog paralelama sa geografskim {irinama respektivno φS = 40° i φN = 46° i zapadnim i isto~nim meridijanima sa geografskim duìnama respektivno λW = 13° i λE = 23° , u razmeri 1:1.000.000 u prostoj (ameri~koj) polikonusnoj projekciji obrtnog elipsoida na ravan, kod koje se srednji meridijan podru~ja preslikavanja sa geografskom duìnom λsr = 18° preslikava bez deformacija, treba: 1) Sra~unati pravougle koordinate ta~aka preseka meridijana i paralela gde je gustina mreè meridijana i paralela ∆φ= ∆λ= 2° . Koordinatni po~etak pravouglog koordinatnog sistema u ravni je slika ta~ke preseka srednjeg meridijana podru~ja preslikavanja i paralele sa {irinom φS = 40° , a x osu predstavlja slika srednjeg meridijana. Traène koordinate ta~aka sra~unati u milimetrima i u zadatoj razmeri; 2) U prethodno nazna~enim ta~kama preseka meridijana i paralela sra~unati slede}e karakteristike projekcije: a) Ugao izme|u meridijana i paralele u projekciji (θ); b) Linearnu razmeru u pravcu meridijana (m); c) Razmeru povr{ina (p); d) Maksimalnu deformaciju ugla (ω). Elemente Zemljinog elipsoida uzeti po Besselu. (a = 6 377 397.155; b = 6 356 078.963)


S f( ) a 1 e2−( )⋅ A f⋅

B2

sin 2 f⋅( )⋅−C4

sin 4 f⋅( )⋅+D6

sin 6 f⋅( )⋅−

⋅:=r f( ) N f( ) cos f( )⋅:=

M f( ) a1 e2−

1 e2 sin f( )2⋅−( )1.5⋅:=N f( )

a

1 e2 sin f( )2⋅−( )0.5:=

Pomo}ne funkcije

lλλ 18−

ρ:=λ 13 15, 23..:=

fφφ

ρ:=φ 40 42, 46..:=

Opseg promene geografskih koordinata

ρ180π

:=D 0.000000020633322:=B 0.005047849240300:=e

a2 b2−

a2

0.5

:=

C 0.000010563786831:=A 1.005037306048550:=b 6356078.963:=a 6377397.155:=

Konstante

RE[ENJE ZADATKA


Polarne koordinate

R f( ) N f( )1

tan f( )⋅:=

δ f l,( ) l sin f( )⋅:=


X f l,( )S f( ) R f( ) 1 cos δ f l,( )( )−( )⋅+ S

40ρ

−

1000:=

Y f l,( ) R f( )sin δ f l,( )( )

1000⋅:=

Karakteristike projekcije

ε f l,( ) atansin δ f l,( )( ) δ f l,( )−

M f( )N f( )

tan f( )2⋅ 2 sin δ f l,( )( )2⋅+

:=p f l,( ) 1 2

N f( )M f( )⋅ tan f( ) 2−⋅ sin

δ f l,( )2

2

⋅+

:=

θ f l,( ) ε f l,( ) ρ⋅ 90+:=

m f l,( ) 1 2N f( )M f( )⋅ tan f( ) 2−⋅ sin

δ f l,( )2

2

⋅+

1cos ε f l,( )( )⋅:= ω f l,( ) atan

12

m f l,( )2 1+ 2 p f l,( )⋅−

p f l,( )

0.5

⋅

ρ⋅:=


m f46 lλ,( )1.001843

1.000664

1.000074

1.000074

1.000664

1.001843

=m f44 lλ,( )1.001977

1.000712

1.000079

1.000079

1.000712

1.001977

=m f42 lλ,( )1.00211

1.00076

1.000084

1.000084

1.00076

1.00211

=m f40 lλ,( )1.002243

1.000808

1.00009

1.00009

1.000808

1.002243

=λ

13

15

17

19

21

23

=θ f46 lλ,( )90.002193

90.000476

90.000018

89.999982

89.999524

89.997807

=θ f44 lλ,( )90.002271

90.000493

90.000018

89.999982

89.999507

89.997729

=θ f42 lλ,( )90.002334

90.000507

90.000019

89.999981

89.999493

89.997666

=θ f40 lλ,( )90.002382

90.000517

90.000019

89.999981

89.999483

89.997618

=λ

13

15

17

19

21

23

=

b) Linearna razmera u pravcu meridijanaa) Ugao izme|u meridijana i paralele u projekciji

2. Traène karakteristike projekcije

Y f46 lλ,( )-387.02

-232.31

-77.45

77.45

232.31

387.02

=X f46 lλ,( )678.63

670.86

666.97

666.97

670.86

678.63

=Y f44 lλ,( )-400.74

-240.54

-80.19

80.19

240.54

400.74

=X f44 lλ,( )456.39

448.62

444.73

444.73

448.62

456.39

=Y f42 lλ,( )-413.97

-248.47

-82.84

82.84

248.47

413.97

=X f42 lλ,( )234.17

226.44

222.57

222.57

226.44

234.17

=Y f40 lλ,( )-426.69

-256.1

-85.38

85.38

256.1

426.69

=X f40 lλ,( )11.97

4.31

0.48

0.48

4.31

11.97

=λ

13

15

17

19

21

23

=



c) Razmera povr{ina d) Maksimalna deformacija ugla (u stepenima)

λ

13

15

17

19

21

23

= p f40 lλ,( )1.002243

1.000808

1.00009

1.00009

1.000808

1.002243

= p f42 lλ,( )1.00211

1.00076

1.000084

1.000084

1.00076

1.00211

= p f44 lλ,( )1.001977

1.000712

1.000079

1.000079

1.000712

1.001977

= p f46 lλ,( )1.001843

1.000664

1.000074

1.000074

1.000664

1.001843

= λ

13

15

17

19

21

23

= ω f40 lλ,( )0.064187

0.023125

0.00257

0.00257

0.023125

0.064187

= ω f42 lλ,( )0.060397

0.021759

0.002419

0.002419

0.021759

0.060397

= ω f44 lλ,( )0.056579

0.020383

0.002266

0.002266

0.020383

0.056579

= ω f46 lλ,( )0.052754

0.019004

0.002112

0.002112

0.019004

0.052754

=



MAJ 1994.


ZADATAK Za potrebe izrade karte SAD (bez Aljaske i Havaja) odnosno geografskog podru~ja ograni~enog paralelama sa severnim geografskim {irinama φS = 20° i φN = 50° i meridijanima sa zapadnim geografskim duìnama λW= 125° i λW = 65° , u prostoj polikonusnoj projekciji i u razmeri 1:12.500.000, treba: 1) Sra~unati pravougle koordinate ta~aka preseka meridijana i paralela sa gustinom mreè meridijana i paralela jednakom ∆φ= ∆λ= 5° . Koordinatni po~etak pravouglog koordinatnog sistema u ravni je slika ta~ke preseka srednjeg meridijana podru~ja preslikavanja i paralele sa {irinom φS = 20° . X osu predstavlja slika srednjeg meridijana (λsr = 95° ). Traène koordinate ta~aka sra~unati u milimetrima i u zadatoj razmeri. 2) U prese~nim ta~kama kartogrfske mreè sra~unati i tabelarno (u zavisnosti od φ i λ) prikazati slede}e karakteristike projekcije: - ugao izme|u meridijana i paralele u projekciji (θ), - linernu razmeru u pravcu meridijana (m), - maksimalnu deformaciju uglova (ω/2), - ekstremne vrednosti linearnih razmera (a i b). Elemente Zemljinog elipsoida uzeti po Besselu. (a = 6 377 397.155; b = 6 356 078.963)


r f( ) N f( ) cos f( )⋅:=S f( ) a 1 e2−( )⋅ A f⋅

B2

sin 2 f⋅( )⋅−C4

sin 4 f⋅( )⋅+D6

sin 6 f⋅( )⋅−

⋅:=

M f( ) a1 e2−

1 e2 sin f( )2⋅−( )1.5⋅:=N f( )

a

1 e2 sin f( )2⋅−( )0.5:=

Pomo}ne funkcije

lλ95 λ−

ρ:=λ 65 70, 95..:=

fφφ

ρ:=φ 20 25, 50..:=


ρ180π

:=e

a2 b2−

a2

0.5

:=D 0.000000020633322:=B 0.005047849240300:=

C 0.000010563786831:=A 1.005037306048550:=b 6356078.963:=a 6377397.155:=

Konstante

RE[ENJE ZADATKA


Polarne koordinate

R f( ) N f( )1

tan f( )⋅:= δ f l,( ) l sin f( )⋅:=


X f l,( )S f( ) R f( ) 1 cos δ f l,( )( )−( )⋅+ S

20ρ

−

12500:=

Y f l,( ) R f( )sin δ f l,( )( )

12500⋅:=



M f( )N f( )

tan f( )2⋅ 2 sin δ f l,( )( )2⋅+

:= p f l,( ) 1 2N f( )M f( )⋅ tan f( ) 2−⋅ sin

δ f l,( )2

2

⋅+

:=

θ f l,( ) ε f l,( ) ρ⋅ 90+:=

m f l,( ) 1 2N f( )M f( )⋅ tan f( ) 2−⋅ sin

δ f l,( )2

2

⋅+

1cos ε f l,( )( )⋅:= ω f l,( ) atan

12

m f l,( )2 1+ 2 p f l,( )⋅−

p f l,( )

0.5

⋅

ρ⋅:=


θ f50 lλ,( )89.644865

89.782657

89.883077

89.948605

89.984295

89.997999

90

=θ f45 lλ,( )89.617543

89.763663

89.871725

89.943183

89.982535

89.997766

90

=θ f40 lλ,( )89.60629

89.754433

89.865559

89.940004

89.981449

89.997618

90

=θ f35 lλ,( )89.611686

89.75568

89.865147

89.939388

89.981153

89.997572

90

=θ f30 lλ,( )89.633279

89.767434

89.870673

89.941488

89.981711

89.997636

90

=θ f25 lλ,( )89.66981

89.789142

89.881969

89.946284

89.983131

89.997813

90

=θ f20 lλ,( )89.719423

89.819775

89.898552

89.9536

89.98537

89.998098

90

=λ

65

70

75

80

85

90

95

=

a) Ugao izme|u meridijana i paralele u projekciji


Y f50 lλ,( )167.47

140.72

113.34

85.45

57.18

28.65

0

=X f50 lλ,( )300.29

289.99

281.49

274.85

270.08

267.21

266.25

=Y f45 lλ,( )184.92

155.18

124.86

94.07

62.91

31.51

0

=X f45 lλ,( )256.41

245.91

237.27

230.51

225.67

222.76

221.78

=Y f40 lλ,( )201.07

168.54

135.47

101.98

68.16

34.14

0

=X f40 lλ,( )211.51

201.15

192.62

185.96

181.18

178.31

177.35

=Y f35 lλ,( )215.79

180.65

145.07

109.12

72.9

36.5

0

=X f35 lλ,( )165.61

155.69

147.54

141.17

136.62

133.88

132.96

=Y f30 lλ,( )228.9

191.42

153.58

115.44

77.08

38.58

0

=X f30 lλ,( )118.75

109.57

102.05

96.18

91.98

89.45

88.61

=Y f25 lλ,( )240.28

200.73

160.92

120.88

80.68

40.37

0

=X f25 lλ,( )70.98

62.85

56.18

50.98

47.27

45.04

44.29

=λ

65

70

75

80

85

90

95

=



p f50 lλ,( )1.056037

1.039075

1.025092

1.014151

1.006301

1.001577

1

=p f45 lλ,( )1.067987

1.047379

1.030409

1.017143

1.007631

1.00191

1

=p f40 lλ,( )1.079998

1.055715

1.035742

1.020142

1.008964

1.002243

1

=p f35 lλ,( )1.091703

1.063829

1.040928

1.023055

1.010258

1.002566

1

=p f30 lλ,( )1.102738

1.07147

1.045806

1.025795

1.011473

1.00287

1

=p f25 lλ,( )1.112755

1.0784

1.050227

1.028275

1.012574

1.003145

1

=p f20 lλ,( )1.121436

1.084399

1.054052

1.03042

1.013525

1.003382

1

=λ

65

70

75

80

85

90

95

=

c) Razmera povr{ina

m f50 lλ,( )1.056057

1.039082

1.025094

1.014152

1.006301

1.001577

1

=m f45 lλ,( )1.068011

1.047388

1.030412

1.017144

1.007631

1.00191

1

=m f40 lλ,( )1.080024

1.055725

1.035745

1.020142

1.008964

1.002243

1

=m f35 lλ,( )1.091728

1.063839

1.04093

1.023056

1.010258

1.002566

1

=m f30 lλ,( )1.10276

1.071479

1.045809

1.025795

1.011473

1.00287

1

=m f25 lλ,( )1.112774

1.078407

1.050229

1.028276

1.012574

1.003145

1

=m f20 lλ,( )1.121449

1.084405

1.054053

1.03042

1.013525

1.003382

1

=λ

65

70

75

80

85

90

95

=

b) Linearna razmera u pravcu meridijana


d) Maksimalna deformacija ugla (u stepenima)

λ

65

70

75

80

85

90

95

= ω f20 lλ,( )3.284883

2.32249

1.508793

0.858765

0.384933

0.096728

0

= ω f25 lλ,( )3.064192

2.164548

1.405093

0.799223

0.358068

0.08995

0

= ω f30 lλ,( )2.80712

1.980879

1.284684

0.730177

0.326946

0.082102

0

= ω f35 lλ,( )2.520881

1.776769

1.15111

0.653696

0.292513

0.073426

0

= ω f40 lλ,( )2.213638

1.558162

1.00833

0.57208

0.255815

0.064187

0

= ω f45 lλ,( )1.894319

1.331509

0.86061

0.487792

0.217967

0.054667

0

= ω f50 lλ,( )1.572399

1.103597

0.712406

0.403385

0.180119

0.045154

0

=


GRA\EVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU ODSEK ZA GEODEZIJU KATEDRA ZA FOTOGRAMETRIJU I KARTOGRAFIJU JUL 1996.


ZADATAK Za potrebe izrade karte Balkanskih zemalja odnosno geografskog podru~ja ograni~enog paralelama sa geografskim {irinama φS = 34 i φN = 50 severne geogrfaske {irine i meridijanima sa geografskim duìnama λW = 14 i λE = 30 , isto~no od Grini~a, u razmeri 1:5.000.000, u prostoj polikonusnoj projekciji obrtnog elipsoida na ravan, treba: 1) Sra~unati pravougle koordinate ta~aka preseka meridijana i paralela sa gustinom mreè meridijana i paralela jednakom ∆φ=∆λ = 4 . Koordinatni po~etak pravouglog koordinatnog sistema u ravni je slika ta~ke preseka srednjeg meridijana podru~ja preslikavanja i paralele sa {irinom φS = 34 . X osu predstavlja slika srednjeg meridijana (λsr = 22 ). Traène koordinate ta~aka sra~unati u milimetrima i u zadatoj razmeri. 2) U prese~nim ta~kama kartografske mreè sra~unati i tabelarno (u zavisnosti od φ i λ) prikazati slede}e karakteristike projekcije: - ugao izme|u meridijana i paralele u projekciji (θ), - linernu razmeru u pravcu meridijana (m), - maksimalnu deformaciju uglova (ω/2), - ekstremne vrednosti linearnih razmera (a i b). Elemente Zemljinog elipsoida uzeti po Besselu. (a = 6 377 397.155; b = 6 356 078.963)


r f( ) N f( ) cos f( )⋅:=

S f( ) a 1 e2−( )⋅ A f⋅B2

sin 2 f⋅( )⋅−C4

sin 4 f⋅( )⋅+D6

sin 6 f⋅( )⋅−

⋅:=M f( ) a

1 e2−

1 e2 sin f( )2⋅−( )1.5⋅:=N f( )

a

1 e2 sin f( )2⋅−( )0.5:=

Pomo}ne funkcije

lλλ 22−

ρ:=λ 14 18, 30..:=

fφφ

ρ:=φ 34 38, 50..:=


ρ180π

:=

ea2 b2−

a2

0.5

:=D 0.000000020633322:=B 0.005047849240300:=

C 0.000010563786831:=A 1.005037306048550:=b 6356078.963:=a 6377397.155:=

Konstante

RE[ENJE ZADATKA


Polarne koordinate

R f( ) N f( )1

tan f( )⋅:= δ f l,( ) l sin f( )⋅:=


X f l,( )S f( ) R f( ) 1 cos δ f l,( )( )−( )⋅+ S

40ρ

−

5000:=

Y f l,( ) R f( )sin δ f l,( )( )

5000⋅:=



M f( )N f( )

tan f( )2⋅ 2 sin δ f l,( )( )2⋅+

:=p f l,( ) 1 2

N f( )M f( )⋅ tan f( ) 2−⋅ sin

δ f l,( )2

2

⋅+

:=

θ f l,( ) ε f l,( ) ρ⋅ 90+:=

m f l,( ) 1 2N f( )M f( )⋅ tan f( ) 2−⋅ sin

δ f l,( )2

2

⋅+

1cos ε f l,( )( )⋅:= ω f l,( ) atan

12

m f l,( )2 1+ 2 p f l,( )⋅−

p f l,( )

0.5

⋅

ρ⋅:=


A1 f l,( ) m f l,( )2 1+ 2 m f l,( )⋅ sinθ f l,( )ρ

⋅+

0.5

:=

B1 f l,( ) m f l,( )2 1+ 2 m f l,( )⋅ sinθ f l,( )ρ

⋅−

0.5

:=

cmax f l,( )A1 f l,( ) B1 f l,( )+

2:= cmin f l,( )

A1 f l,( ) B1 f l,( )−

2:=


λ

14

18

22

26

30

= X f34 lλ,( )-127.39

-131.72

-133.16

-131.72

-127.39

= Y f34 lλ,( )-147.65

-73.88

0

73.88

147.65

= X f38 lλ,( )-38.37

-42.89

-44.4

-42.89

-38.37

= Y f38 lλ,( )-140.34

-70.24

0

70.24

140.34

= X f42 lλ,( )50.6

45.96

44.42

45.96

50.6

= Y f42 lλ,( )-132.35

-66.25

0

66.25

132.35

= X f46 lλ,( )139.52

134.85

133.3

134.85

139.52

= Y f46 lλ,( )-123.72

-61.94

0

61.94

123.72

= X f50 lλ,( )228.37

223.77

222.24

223.77

228.37

= Y f50 lλ,( )-114.48

-57.32

0

57.32

114.48

=


m f50 lλ,( )1.004035

1.001009

1

1.001009

1.004035

=m f46 lλ,( )1.004715

1.00118

1

1.00118

1.004715

=m f42 lλ,( )1.005399

1.001351

1

1.001351

1.005399

=m f38 lλ,( )1.006075

1.001519

1

1.001519

1.006075

=m f34 lλ,( )1.006727

1.001682

1

1.001682

1.006727

=λ

14

18

22

26

30

=λ

14

18

22

26

30

=


θ f50 lλ,( )90.008115

90.001027

90

89.998973

89.991885

=θ f46 lλ,( )90.008881

90.001126

90

89.998874

89.991119

=θ f42 lλ,( )90.009434

90.001199

90

89.998801

89.990566

=θ f38 lλ,( )90.009739

90.00124

90

89.99876

89.990261

=θ f34 lλ,( )90.009771

90.001246

90

89.998754

89.990229

=λ

14

18

22

26

30

=




cmin f50 lλ,( )0.999999

1

1

1

0.999999

=cmin f46 lλ,( )0.999999

1

1

1

0.999999

=cmin f42 lλ,( )0.999999

1

1

1

0.999999

=cmin f38 lλ,( )0.999999

1

1

1

0.999999

=cmin f34 lλ,( )0.999999

1

1

1

0.999999

=λ

14

18

22

26

30

=

cmax f50 lλ,( )1.004036

1.00101

1

1.00101

1.004036

=cmax f46 lλ,( )1.004716

1.00118

1

1.00118

1.004716

=cmax f42 lλ,( )1.005401

1.001351

1

1.001351

1.005401

=cmax f38 lλ,( )1.006076

1.001519

1

1.001519

1.006076

=cmax f34 lλ,( )1.006728

1.001683

1

1.001683

1.006728

=λ

14

18

22

26

30

=

d) Ekstremne vrednosti linearne razmere

ω f50 lλ,( )0.11543

0.028908

0

0.028908

0.11543

=ω f46 lλ,( )0.134833

0.033775

0

0.033775

0.134833

=ω f42 lλ,( )0.154337

0.03867

0

0.03867

0.154337

=ω f38 lλ,( )0.173563

0.043497

0

0.043497

0.173563

=ω f34 lλ,( )0.192137

0.048162

0

0.048162

0.192137

=λ

14

18

22

26

30

=

c) Maksimalna deformacija ugla (u stepenima)



APRIL 2001.


ZADATAK

Za potrebe izrade karte SAD (bez Aljaske i Havaja) odnosno geografskog podru~ja ograni~enog paralelama sa severnim geografskim {irinama φS =15° i φN=50° i meridijanima sa zapadnim geografskim duìnama λW=125° i λE=65°, u prostoj polikonusnoj projekciji i u razmeri 1:10.000.000, treba:,

1) Sra~unati pravougle koordinate ta~aka preseka meridijana i paralela sa gustinom mreè meridijana i paralela jednakom ∆φ=∆λ=5°. Koordinatni po~etak pravouglog koordinatnog sistema uravni je slika ta~ke preseka srednjeg meridijana podru~ja preslikavanja i paralele sa {irinom φS=15°. X osu predstavlja slika srednjeg meridijana (λ0=95°). Traène koordinate ta~aka sra~unati u milimetrima i u zadatoj razmeri.

2) U prese~nim ta~kama kartogrfske mreè sra~unati i tabelarno (u zavisnosti od φ i λ) prikazati slede}e karakteristike projekcije:

a) ugao izme|u meridijana i paralele u projekciji (θ); b) linernu razmeru u pravcu meridijana (m); c) maksimalnu deformaciju uglova (ω/2); d) ekstremne vrednosti linearnih razmera (a i b). Elemente Zemljinog elipsoida uzeti po Besselu: (a = 6 377 397.155; b = 6 356 078.963)


M f( ) a1 e2−

1 e2 sin f( )2⋅−( )1.5⋅:=

S f( ) a 1 e2−( )⋅ A f⋅B2

sin 2 f⋅( )⋅−C4

sin 4 f⋅( )⋅+D6

sin 6 f⋅( )⋅−

⋅:=

r f( ) N f( ) cos f( )⋅:=N f( )a

1 e2 sin f( )2⋅−( )0.5:=

Pomo}ne funkcije

lλ95 λ−

ρ:=λ 65 70, 95..:=

fφφ

ρ:=φ 15 20, 50..:=


B 0.005047849240300:=ρ180π

:=ea2 b2−

a2

0.5

:=D 0.000000020633322:=

C 0.000010563786831:=A 1.005037306048550:=b 6356078.963:=a 6377397.155:=

Konstante

RE[ENJE ZADATKA


R f( ) N f( )1

tan f( )⋅:= δ f l,( ) l sin f( )⋅:=


X f l,( )S f( ) R f( ) 1 cos δ f l,( )( )−( )⋅+ S

15ρ

−

10000:= Y f l,( ) R f( )

sin δ f l,( )( )10000

⋅:=



M f( )N f( )

tan f( )2⋅ 2 sin δ f l,( )( )2⋅+

:=θs f l,( ) ε f l,( ) ρ⋅ 90+:= θ f l,( ) ε f l,( )

π

2+:=

m f l,( ) 1 2N f( )M f( )

⋅ tan f( ) 2−⋅ sinδ f l,( )

2

2

⋅+

1cos ε f l,( )( )⋅:= p f l,( ) 1 2

N f( )M f( )

⋅ tan f( ) 2−⋅ sinδ f l,( )

2

2

⋅+

:=

ω f l,( ) atan12

m f l,( )2 1+ 2 p f l,( )⋅−

p f l,( )

0.5

⋅

ρ⋅:= ω2 f l,( )ω f l,( )

2:=


Y f50 lλ,( )209.34175.90141.67106.81

71.4735.82

0.00

=X f50 lλ,( )430.70417.82407.20398.89392.93389.34388.15

=Y f45 lλ,( )231.15193.98156.08117.58

78.6439.39

0.00

=X f45 lλ,( )375.85362.73351.92343.48337.42333.78332.56

=Y f40 lλ,( )251.34210.67169.34127.47

85.2042.67

0.00

=X f40 lλ,( )319.73306.76296.10287.78281.81278.22277.03

=Y f35 lλ,( )269.73225.82181.34136.40

91.1245.62

0.00

=X f35 lλ,( )262.35249.94239.75231.80226.10222.68221.54

=λ

65707580859095

=

Y f30 lλ,( )286.13239.28191.97144.30

96.3548.22

0.00

=X f30 lλ,( )203.77192.30182.89175.55170.30167.15166.10

=Y f25 lλ,( )300.35250.92201.14151.10100.85

50.460.00

=X f25 lλ,( )144.06133.90125.56119.06114.42111.63110.70

=Y f20 lλ,( )312.23260.62208.77156.74104.57

52.310.00

=X f20 lλ,( )83.3674.8167.8162.3558.4556.1155.33

=Y f15 lλ,( )321.63268.27214.78161.18107.50

53.760.00

=X f15 lλ,( )21.8315.16

9.715.462.430.610.00

=λ

65707580859095

=


b f l,( )A f l,( ) B f l,( )−( )

2:=a f l,( )

A f l,( ) B f l,( )+( )2

:=


m f50 lλ,( )1.0560571.0390821.0250941.0141521.0063011.0015771.000000

=m f45 lλ,( )1.0680111.0473881.0304121.0171441.0076311.0019101.000000

=m f40 lλ,( )1.0800241.0557251.0357451.0201421.0089641.0022431.000000

=m f35 lλ,( )1.0917281.0638391.0409301.0230561.0102581.0025661.000000

=m f30 lλ,( )1.1027601.0714791.0458091.0257951.0114731.0028701.000000

=m f25 lλ,( )1.1127741.0784071.0502291.0282761.0125741.0031451.000000

=m f20 lλ,( )1.1214491.0844051.0540531.0304201.0135251.0033821.000000

=m f15 lλ,( )1.1285091.0892811.0571611.0321621.0142971.0035751.000000

=λ

65707580859095

=


θs f50 lλ,( )89.64486589.78265789.88307789.94860589.98429589.99799990.000000

=θs f45 lλ,( )89.61754389.76366389.87172589.94318389.98253589.99776690.000000

=θs f40 lλ,( )89.60629089.75443389.86555989.94000489.98144989.99761890.000000

=θs f35 lλ,( )89.61168689.75568089.86514789.93938889.98115389.99757290.000000

=θs f30 lλ,( )89.63327989.76743489.87067389.94148889.98171189.99763690.000000

=θs f25 lλ,( )89.66981089.78914289.88196989.94628489.98313189.99781390.000000

=θs f20 lλ,( )89.71942389.81977589.89855289.95360089.98537089.99809890.000000

=θs f15 lλ,( )89.77985289.85793389.91967489.96311389.98833189.99848090.000000

=λ

65707580859095

=




ω2 f50 lλ,( )0.7862000.5517990.3562030.2016930.0900600.0225770.000000

=ω2 f45 lλ,( )0.9471590.6657550.4303050.2438960.1089840.0273330.000000

=ω2 f40 lλ,( )1.1068190.7790810.5041650.2860400.1279080.0320940.000000

=ω2 f35 lλ,( )1.2604400.8883840.5755550.3268480.1462570.0367130.000000

=ω2 f30 lλ,( )1.4035600.9904400.6423420.3650880.1634730.0410510.000000

=ω2 f25 lλ,( )1.5320961.0822740.7025470.3996120.1790340.0449750.000000

=ω2 f20 lλ,( )1.6424421.1612450.7543960.4293820.1924660.0483640.000000

=ω2 f15 lλ,( )1.7315451.2251010.7963750.4535110.2033620.0511150.000000

=λ

65707580859095

=

d) Maksimalna deformacija ugla (u stepenima)

p f50 lλ,( )1.0560371.0390751.0250921.0141511.0063011.0015771.000000

=p f45 lλ,( )1.0679871.0473791.0304091.0171431.0076311.0019101.000000

=p f40 lλ,( )1.0799981.0557151.0357421.0201421.0089641.0022431.000000

=p f35 lλ,( )1.0917031.0638291.0409281.0230551.0102581.0025661.000000

=p f30 lλ,( )1.1027381.0714701.0458061.0257951.0114731.0028701.000000

=p f25 lλ,( )1.1127551.0784001.0502271.0282751.0125741.0031451.000000

=p f20 lλ,( )1.1214361.0843991.0540521.0304201.0135251.0033821.000000

=p f15 lλ,( )1.1285001.0892781.0571601.0321621.0142971.0035751.000000

=λ

65707580859095

=

c) Razmera povr{ina


b f50 lλ,( )0.9998150.9999030.9999570.9999850.999997

11

=b f45 lλ,( )0.99982

0.9999040.9999570.9999850.999997

11

=b f40 lλ,( )0.9998350.9999110.9999590.9999860.999997

11

=b f35 lλ,( )0.9998580.9999220.9999640.9999870.999997

11

=b f30 lλ,( )0.9998850.999936

0.999970.99999

0.99999811

=b f25 lλ,( )0.9999140.9999520.9999770.9999920.999998

11

=b f20 lλ,( )0.9999410.9999670.9999840.9999940.999999

11

=b f15 lλ,( )0.999966

0.999980.9999910.9999970.999999

11

=λ

65707580859095

=

a f50 lλ,( )1.0562331.0391761.0251361.0141661.0063041.0015771.000000

=a f45 lλ,( )1.0681801.0474791.0304541.0171581.0076341.0019101.000000

=a f40 lλ,( )1.0801771.0558091.0357841.0201561.0089671.0022431.000000

=a f35 lλ,( )1.0918581.0639121.0409651.0230681.0102601.0025661.000000

=a f30 lλ,( )1.1028651.0715391.0458371.0258061.0114761.0028701.000000

=a f25 lλ,( )1.1128511.0784521.0502511.0282841.0125761.0031451.000000

=a f20 lλ,( )1.1215021.0844351.0540681.0304261.0135261.0033821.000000

=a f15 lλ,( )1.1285391.0892991.0571701.0321651.0142981.0035751.000000

=λ

65707580859095

=

e) Ekstremne vrednosti linearne razmere---------------------------------------------------------------



JUL 1991.


ZADATAK Za potrebe izrade karte geografskog podru~ja ograni~enog paralelama sa geografskim {irinama respektivno φS = 41° i φN = 47° severne geogrfaske {irine i meridijanima sa geografskim duìnama respektivno λW = 13° i λE = 23° , isto~no od Grini~a, u razmeri 1:1.000.000, u projekciji Bonne-a (obrtnog elipsoida na ravan) treba: 1) Sra~unati pravougle koordinate ta~aka preseka meridijana i paralela sa gustinom mreè meridijana i paralela jednakom ∆φ=∆λ= 2° . Konstantu integracije kod jedna~ina preslikavanja treba odrediti pod uslovom da je φO= 44° . Koordinatni po~etak pravouglog koordinatnog sistema u ravni treba da bude slika ta~ke preseka srednjeg meridijana podru~ja preslikavanja (λsr = 18° ) i paralele sa {irinom φS = 41° (x osu }e predstavljati slika srednjeg meridijana). Traène koordinate ta~aka sra~unati u milimetrima i u zadatoj razmeri. 2) U prese~nim ta~kama kartogrfske mreè sra~unati i tabelarno (u zavisnosti od ϕ i λ) prikazati slede}e karakteristike projekcije: - ugao izme|u meridijana i paralele u projekciji (θ), - linernu razmeru u pravcu meridijana (m), - maksimalnu deformaciju uglova (ω/2), - ekstremne vrednosti linearnih razmera (a i b). Elemente Zemljinog elipsoida uzeti po Besselu. (a = 6 377 397.155; b = 6 356 078.963)


S f( ) a 1 e2−( )⋅ A f⋅B2

sin 2 f⋅( )⋅−C4

sin 4 f⋅( )⋅+D6

sin 6 f⋅( )⋅−

⋅:=r f( ) N f( ) cos f( )⋅:=

M f( ) a1 e2−

1 e2 sin f( )2⋅−( )1.5⋅:=N f( )

a

1 e2 sin f( )2⋅−( )0.5:=

Pomo}ne funkcije

lE23ρ

:=lW13ρ

:=lλλ 18−

ρ:=λ 13 15, 23..:=

fN47ρ

:=fS41ρ

:=fφφ

ρ:=φ 41 43, 47..:=


ρ180π

:=e

a2 b2−

a2

0.5

:=D 0.000000020633322:=B 0.005047849240300:=

C 0.000010563786831:=A 1.005037306048550:=b 6356078.963:=a 6377397.155:=

Konstante

RE[ENJE ZADATKA


cmin f l,( )4 tan ε f l,( )( )2+( )0.5

tan ε f l,( )( )−

2:=m f l,( )

1cos ε f l,( )( ):=θ f l,( ) ε f l,( ) ρ⋅ 90+:=

cmax f l,( )4 tan ε f l,( )( )2+( )0.5

tan ε f l,( )( )+

2:=ω2 f l,( ) atan

12

tan ε f l,( )( )⋅

ρ⋅:=ε f l,( ) atan l sin f( )

r f( )R f( )

−

⋅

:=


Y f l,( ) R f( )sin δ f l,( )( )

1000⋅:=X f l,( )

R41ρ

R f( ) cos δ f l,( )( )⋅−

1000:=


δ f l,( )r f( )R f( )

l⋅:=R f( ) K S f( )−:=

Polarne koordinate

K 11487978.186047=K N f0( )1

tan f0( )⋅ S f0( )+:=f0

44ρ

:=

Konstanta projekcije


m f47 lλ,( )1.000005

1.000002

1

1

1.000002

1.000005

=m f45 lλ,( )1.000001

1

1

1

1

1.000001

=m f43 lλ,( )1.000001

1

1

1

1

1.000001

=m f41 lλ,( )1.000005

1.000002

1

1

1.000002

1.000005

=θ f47 lλ,( )89.811611

89.886966

89.962322

90.037678

90.113034

90.188389

=θ f45 lλ,( )89.937225

89.962335

89.987445

90.012555

90.037665

90.062775

=θ f43 lλ,( )90.062779

90.037667

90.012556

89.987444

89.962333

89.937221

=θ f41 lλ,( )90.188405

90.113044

90.037681

89.962319

89.886956

89.811595

=λ

13

15

17

19

21

23

=

b) Linearna razmera u pravcu meridijanaa) ugao izme|u meridijana i paralele


Y f47 lλ,( )-380

-228.09

-76.04

76.04

228.09

380

=X f47 lλ,( )678.11

670.74

667.06

667.06

670.74

678.11

=Y f45 lλ,( )-393.95

-236.46

-78.84

78.84

236.46

393.95

=X f45 lλ,( )456.26

448.62

444.8

444.8

448.62

456.26

=Y f43 lλ,( )-407.41

-244.54

-81.53

81.53

244.54

407.41

=X f43 lλ,( )234.47

226.57

222.62

222.62

226.57

234.47

=Y f41 lλ,( )-420.37

-252.32

-84.12

84.12

252.32

420.37

=X f41 lλ,( )12.73

4.58

0.51

0.51

4.58

12.73

=λ

13

15

17

19

21

23

=

1. Traène pravougle koordinte


cmax f45 lλ,( )0.999452

0.999671

0.99989

1.00011

1.000329

1.000548

=cmax f45 lλ,( )0.999452

0.999671

0.99989

1.00011

1.000329

1.000548

=cmax f43 lλ,( )1.000548

1.000329

1.00011

0.99989

0.999671

0.999452

=cmax f41 lλ,( )1.001646

1.000987

1.000329

0.999671

0.999014

0.998357

=λ

13

15

17

19

21

23

=

cmin f47 lλ,( )1.001645

1.000987

1.000329

0.999671

0.999014

0.998357

=cmin f45 lλ,( )1.000548

1.000329

1.00011

0.99989

0.999671

0.999452

=cmin f43 lλ,( )0.999452

0.999671

0.99989

1.00011

1.000329

1.000548

=cmin f41 lλ,( )0.998357

0.999014

0.999671

1.000329

1.000987

1.001646

=λ

13

15

17

19

21

23

=

d) ekstremne vrednosti linearne razmere

ω2 f47 lλ,( )-0.094195

-0.056517

-0.018839

0.018839

0.056517

0.094195

=ω2 f45 lλ,( )-0.031388

-0.018833

-0.006278

0.006278

0.018833

0.031388

=ω2 f43 lλ,( )0.031389

0.018834

0.006278

-0.006278

-0.018834

-0.031389

=ω2 f41 lλ,( )0.094203

0.056522

0.018841

-0.018841

-0.056522

-0.094203

=λ

13

15

17

19

21

23

=

c) maksimalna deformacija ugla



APRIL 1994.


ZADATAK Za potrebe izrade karte Balkanskih zemalja odnosno geografskog podru~ja ograni~enog paralelama sa geografskim {irinama respektivno φS = 34° i φN = 50° severne geogrfaske {irine i meridijanima sa geografskim duìnama respektivno λw = 14° i λE = 30° , isto~no od Grini~a, u razmeri 1:5.000.000, u projekciji Bonne-a (obrtnog elipsoida na ravan) treba: 1) Sra~unati pravougle koordinate ta~aka preseka meridijana i paralela sa gustinom mreè meridijana i paralela jednakom ∆φ=∆λ =4° . Pritom je koordinatni po~etak pravouglog koordinatnog sistema u ravni slika ta~ke preseka srednjeg meridijana podru~ja preslikavanja i paralele sa {irinom φS = 34° , a x osu predstavlja slika srednjeg meridijana. Traène koordinate ta~aka sra~unati u milimetrima i u zadatoj razmeri. Dodirna paralela je φo = 42° . 2) U prese~nim ta~kama kartogrfske mreè sra~unati i tabelarno (u zavisnosti od φ i λ) prikazati slede}e karakteristike projekcije: - ugao izme|u meridijana i paralele u projekciji (θ), - linernu razmeru u pravcu meridijana (m), - maksimalnu deformaciju uglova (ω/2),

- ekstremne vrednosti linearnih razmera (a i b). Napomena: Elemente Zemljinog elipsoida uzeti po Besselu. (a = 6 377 397.155; b = 6 356 078.963)


r f( ) N f( ) cos f( )⋅:=S f( ) a 1 e2−( )⋅ A f⋅

B2

sin 2 f⋅( )⋅−C4

sin 4 f⋅( )⋅+D6

sin 6 f⋅( )⋅−

⋅:=

M f( ) a1 e2−

1 e2 sin f( )2⋅−( )1.5⋅:=N f( )

a

1 e2 sin f( )2⋅−( )0.5:=

Pomo}ne funkcije

le30ρ

:=lw14ρ

:=lλλ 22−

ρ:=λ 14 18, 30..:=

fs50ρ

:=fn34ρ

:=fφφ

ρ:=φ 34 38, 50..:=


ρ180π

:=ea2 b2−

a2

0.5

:=

D 0.000000020633322:=B 0.005047849240300:=

C 0.000010563786831:=A 1.005037306048550:=b 6356078.963:=a 6377397.155:=

Konstante

RE[ENJE ZADATKA


ω2 f l,( ) atan12

tan ε f l,( )( )⋅

ρ⋅:=

cmin f l,( )4 tan ε f l,( )( )2+( )0.5

tan ε f l,( )( )−

2:=

θ f l,( ) ε f l,( ) ρ⋅ 90+:=

cmax f l,( )4 tan ε f l,( )( )2+( )0.5

tan ε f l,( )( )+

2:=m f l,( )

1cos ε f l,( )( ):=ε f l,( ) atan l sin f( )

r f( )R f( )

−

⋅

:=


Y f l,( ) R f( )sin δ f l,( )( )

5000⋅:=X f l,( )

R34ρ

R f( ) cos δ f l,( )( )⋅−

5000:=


δ f l,( )r f( )R f( )

l⋅:=R f( ) K S f( )−:=

Polarne koordinate

K 1.17445923 107×=K N f0( )1

tan f0( )⋅ S f0( )+:=f0

42ρ

:=

Konstanta projekcije


m f50 lλ,( )1.000105

1.000026

1

1.000026

1.000105

=m f46 lλ,( )1.000026

1.000007

1

1.000007

1.000026

=m f42 lλ,( )1

1

1

1

1

=m f38 lλ,( )1.000026

1.000007

1

1.000007

1.000026

=m f34 lλ,( )1.000105

1.000026

1

1.000026

1.000105

=θ f50 lλ,( )89.167843

89.583899

90

90.416101

90.832157

=θ f46 lλ,( )89.584758

89.792376

90

90.207624

90.415242

=θ f42 lλ,( )90

90

90

90

90

=θ f38 lλ,( )90.415269

90.207637

90

89.792363

89.584731

=θ f34 lλ,( )90.831424

90.415734

90

89.584266

89.168576

=λ

14

18

22

26

30

=

b) linearna razmera u pravcu meridijanaa) ugao izme|u meridijana i paralele


Y f50 lλ,( )-114.54

-57.33

0

57.33

114.54

=X f50 lλ,( )360.7

356.72

355.4

356.72

360.7

=Y f46 lλ,( )-123.75

-61.94

0

61.94

123.75

=X f46 lλ,( )272.23

267.9

266.46

267.9

272.23

=Y f42 lλ,( )-132.35

-66.25

0

66.25

132.35

=X f42 lλ,( )183.76

179.12

177.58

179.12

183.76

=Y f38 lλ,( )-140.31

-70.23

0

70.23

140.31

=X f38 lλ,( )95.3

90.39

88.76

90.39

95.3

=Y f34 lλ,( )-147.59

-73.87

0

73.87

147.59

=X f34 lλ,( )6.84

1.71

0

1.71

6.84

=λ

14

18

22

26

30

=

1. Traène pravougle koordinte


cmax f50 lλ,( )0.992764

0.996375

1

1.003638

1.007289

=cmax f46 lλ,( )0.996383

0.99819

1

1.001814

1.00363

=cmax f42 lλ,( )1

1

1

1

1

=cmax f38 lλ,( )1.003631

1.001814

1

0.99819

0.996383

=cmax f34 lλ,( )1.007282

1.003635

1

0.996379

0.99277

=λ

14

18

22

26

30

=

cmin f50 lλ,( )1.007289

1.003638

1

0.996375

0.992764

=cmin f46 lλ,( )1.00363

1.001814

1

0.99819

0.996383

=cmin f42 lλ,( )1

1

1

1

1

=cmin f38 lλ,( )0.996383

0.99819

1

1.001814

1.003631

=cmin f34 lλ,( )0.99277

0.996379

1

1.003635

1.007282

=λ

14

18

22

26

30

=

d) ekstremne vrednosti linearne razmere

ω2 f50 lλ,( )-0.416101

-0.208053

0

0.208053

0.416101

=ω2 f46 lλ,( )-0.207624

-0.103812

0

0.103812

0.207624

=ω2 f42 lλ,( )0

0

0

0

0

=ω2 f38 lλ,( )0.207637

0.103819

0

-0.103819

-0.207637

=ω2 f34 lλ,( )0.415734

0.20787

0

-0.20787

-0.415734

=λ

14

18

22

26

30

=

c) maksimalna deformacija ugla



MART 1992.


ZADATAK Za potrebe izrade karte Sveta u razmeri 1:100.000.000 i u Sansonovoj sinusoidnoj projekciji obrtnog elipsoida na ravan, treba: 1) Sra~unati pravougle koordinate ta~aka preseka meridijana i paralela, ako je gustina mreè paralela jednaka ∆φ= 15°, a gustina mreè meridijana ∆λ= 30°. Traène koordinate ta~aka sra~unati u milimetrima i u zadatoj razmeri. 2) U prethodno nazna~enim ta~kama preseka meridijana i paralela sra~unati slede}e karakteristike projekcije: a) Ugao izme|u meridijana i paralele u projekciji (θ); b) Linearnu razmeru u pravcu meridijana (m); c) Ekstremne vrednosti linearnih razmera (a i b); d) Maksimalnu deformaciju ugla (ω). 3) Na osnovu sra~unatih vrednosti linearne razmere du` meridijana nacrtati dijagrame (familiju krivih) zavisnosti m(φ). Elemente Zemljinog elipsoida uzeti po Besselu. (a = 6 377 397.155; b = 6 356 078.963)


lλλ

ρ:=λ 0 30, 180..:=

fφφ

ρ:=φ 0 30, 90..:=


ρ 57.29578=ρ180π

:=

e1 0.08197=e1a2 b2−

b2

0.5

:=

D 0.000000020633322:=B 0.005047849240300:=e 0.0817=ea2 b2−

a2

0.5

:=

b 6356078.963:=a 6377397.155:=C 0.000010563786831:=A 1.005037306048550:=

Konstante

RE[ENJE ZADATKA


cmin f l,( )A1 f l,( ) B1 f l,( )−

2:=cmax f l,( )

A1 f l,( ) B1 f l,( )+

2:=

ω f l,( ) 2 atan12

l⋅ sin f( )⋅

⋅:=

B1 f l,( ) m f l,( )2 1+ 2 m f l,( )⋅ sin θ f l,( )( )⋅−( )0.5:=A1 f l,( ) m f l,( )2 1+ 2 m f l,( )⋅ sin θ f l,( )( )⋅+( )0.5

:=

m f l,( )1

cos ε f l,( )( ):=

θ f l,( )π

2ε f l,( )+

:=ε f l,( ) atan l sin f( )⋅( ):=


Y f l,( ) r f( )l

100000⋅:=X f( )

S f( )100000

:=


r f( ) N f( ) cos f( )⋅:=S f( ) a 1 e2−( )⋅ A f⋅

B2

sin 2 f⋅( )⋅−C4

sin 4 f⋅( )⋅+D6

sin 6 f⋅( )⋅−

⋅:=

M f( ) a1 e2−

1 e2 sin f( )2⋅−( )1.5⋅:=N f( )

a

1 e2 sin f( )2⋅−( )0.5:=

Pomo}ne funkcije



X f0( ) 0= Y f0 lλ,( )0

33.39

66.78

100.18

133.57

166.96

200.35

= X f30( ) 33.2= Y f30 lλ,( )0

28.94

57.88

86.83

115.77

144.71

173.65

= X f60( ) 66.53= Y f60 lλ,( )0

16.74

33.48

50.21

66.95

83.69

100.43

= X f90( ) 100.00856= Y f90 lλ,( )0

0

0

0

0

0

0


λ

0

30

60

90

120

150

180

= m f0 lλ,( )1

1

1

1

1

1

1

= θ f0 lλ,( ) ρ⋅90

90

90

90

90

90

90

= ω f0 lλ,( ) ρ⋅0

0

0

0

0

0

0

= cmax f0 lλ,( )1

1

1

1

1

1

1

= cmin f0 lλ,( )1

1

1

1

1

1

1

=


cmin f90 lλ,( )1

0.7719

0.60519

0.48616

0.40077

0.33827

0.2913

=cmax f90 lλ,( )1

1.2955

1.65238

2.05695

2.49517

2.95626

3.43289

=ω f90 lλ,( ) ρ⋅0

29.34149

55.273

76.29205

92.64141

105.24442

115.03673

=θ f90 lλ,( ) ρ⋅90

117.6365

136.3207

147.51836

154.47717

159.09455

162.34321

=m f90 lλ,( )1

1.12879

1.44797

1.8621

2.32088

2.80248

3.29691

=λ

0

30

60

90

120

150

180

=

cmin f60 lλ,( )1

0.79866

0.64456

0.52922

0.44309

0.37803

0.32801

=cmax f60 lλ,( )1

1.2521

1.55146

1.88957

2.25689

2.64528

3.04871

=ω f60 lλ,( ) ρ⋅0

25.54883

48.78382

68.4451

84.40975

97.16728

107.3604

=θ f60 lλ,( ) ρ⋅90

114.39191

132.20488

143.6802

151.13078

156.19949

159.81896

=m f60 lλ,( )1

1.09801

1.34999

1.68836

2.0712

2.47799

2.89866

=λ

0

30

60

90

120

150

180

=

cmin f30 lλ,( )1

0.87763

0.7719

0.68164

0.60519

0.54065

0.48616

=cmax f30 lλ,( )1

1.13943

1.2955

1.46704

1.65238

1.84964

2.05695

=ω f30 lλ,( ) ρ⋅0

14.9152

29.34149

42.87978

55.273

66.40937

76.29205

=θ f30 lλ,( ) ρ⋅90

104.67074

117.6365

128.14603

136.3207

142.62221

147.51836

=m f30 lλ,( )1

1.0337

1.12879

1.27155

1.44797

1.64726

1.8621

=λ

0

30

60

90

120

150

180

=


3. Dijagrami (familija krivih) zavisnosti m(f)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 901

1.5

2

2.5

3

3.5

m fφ l0,( )m fφ l30,( )m fφ l60,( )m fφ l90,( )m fφ l120,( )m fφ l150,( )m fφ l180,( )

φ



JANUAR 1997.


ZADATAK Za potrebe izrade karte Sveta u razmeri 1:50.000.000 i u Sansonovoj sinusoidnoj projekciji obrtnog elipsoida na ravan, treba: 1) Sra~unati pravougle koordinate ta~aka preseka meridijana i paralela, ako je gustina mreè paralela jednaka ∆φ= 10° , a gustina mreè meridijana ∆λ= 30° . Traène koordinate ta~aka sra~unati u milimetrima i u zadatoj razmeri. 2) U prethodno nazna~enim ta~kama preseka meridijana i paralela sra~unati slede}e karakteristike projekcije: a) Ugao izme|u meridijana i paralele u projekciji (θ); b) Linearnu razmeru u pravcu meridijana (m); c) Ekstremne vrednosti linearnih razmera (a i b); d) Maksimalnu deformaciju ugla (ω). 3) Na osnovu sra~unatih vrednosti linearne razmere du` meridijana nacrtati dijagrame (familiju krivih) zavisnosti m(φ). Elemente Zemljinog elipsoida uzeti po Besselu. (a = 6 377 397.155; b = 6 356 078.963)


λl30 l⋅( )ρ

:=l 0 1, 6..:=

φk10 k⋅( )ρ

:=k 0 1, 9..:=


ρ 57.29578=ρ180π

:=

e1 0.08197=e1a2 b2−

b2

0.5

:=

e 0.0817=ea2 b2−

a2

0.5

:=D 0.000000020633322:=B 0.005047849240300:=

C 0.000010563786831:=A 1.005037306048550:=b 6356078.963:=a 6377397.155:=

Konstante

RE[ENJE ZADATKA


cmin φ λ,( ) A1 φ λ,( ) B1 φ λ,( )−

2:=cmax φ λ,( ) A1 φ λ,( ) B1 φ λ,( )+

2:=

B1 φ λ,( ) m φ λ,( )2 1+ 2 m φ λ,( )⋅ sin θ φ λ,( )( )⋅−( )0.5:=ω φ λ,( ) 2 atan

12λ⋅ sin φ( )⋅

⋅:=

A1 φ λ,( ) m φ λ,( )2 1+ 2 m φ λ,( )⋅ sin θ φ λ,( )( )⋅+( )0.5:=m φ λ,( ) 1

cos ε φ λ,( )( ):=

θ φ λ,( ) π

2ε φ λ,( )+

:=ε φ λ,( ) atan λ sin φ( )⋅( ):=


Y φ λ,( ) r φ( ) λ

50000⋅:=X φ( ) S φ( )

50000:=


S φ( ) a 1 e2−( )⋅ A φ⋅B2

sin 2 φ⋅( )⋅−C4

sin 4 φ⋅( )⋅+D6

sin 6 φ⋅( )⋅−

⋅:=r φ( ) N φ( ) cos φ( )⋅:=

M φ( ) a1 e2−

1 e2 sin φ( )2⋅−( )1.5⋅:=N φ( ) a

1 e2 sin φ( )2⋅−( )0.5:=

Pomo}ne funkcije


Y φ9 λl,( )0

0

0

0

0

0

0

=X φ9( ) 200.02=Y φ8 λl,( )0

11.63

23.27

34.9

46.54

58.17

69.81

=X φ8( ) 177.68=Y φ7 λl,( )0

22.91

45.82

68.73

91.64

114.55

137.45

=X φ7( ) 155.36=Y φ6 λl,( )0

33.48

66.95

100.43

133.9

167.38

200.86

=X φ6( ) 133.07=Y φ5 λl,( )0

43.01

86.02

129.04

172.05

215.06

258.07

=X φ5( ) 110.81=

Y φ4 λl,( )0

51.23

102.46

153.69

204.92

256.15

307.38

=X φ4( ) 88.58=Y φ3 λl,( )0

57.88

115.77

173.65

231.54

289.42

347.31

=X φ3( ) 66.4=Y φ2 λl,( )0

62.78

125.56

188.34

251.12

313.9

376.69

=X φ2( ) 44.24=Y φ1 λl,( )0

65.78

131.55

197.33

263.1

328.88

394.66

=X φ1( ) 22.11=Y φ0 λl,( )0

66.78

133.57

200.35

267.14

333.92

400.7

=X φ0( ) 0=




mk l, m φk λl,( ):= θ k l, θ φk λl,( ) ρ⋅:=

m

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1.00412

1.01591

1.0337

1.05512

1.07744

1.09801

1.11449

1.12512

1.12879

1

1.0164

1.06221

1.12879

1.20545

1.282

1.34999

1.40298

1.43651

1.44797

1

1.03653

1.13518

1.27155

1.42108

1.56459

1.68836

1.78291

1.84201

1.8621

1

1.06408

1.23009

1.44797

1.67702

1.89053

2.0712

2.20757

2.29221

2.32088

1

1.09849

1.34229

1.64726

1.95751

2.24099

2.47799

2.65559

2.76536

2.80248

1

1.13912

1.46783

1.8621

2.25342

2.60609

2.89866

3.1169

3.25146

3.29691

= θ

90

90

90

90

90

90

90

90

90

90

90

95.19516

100.15298

104.67074

108.60132

111.85572

114.39191

116.1982

117.27763

117.6365

90

100.30628

109.70563

117.6365

123.94551

128.73658

132.20488

134.53922

135.88247

136.3207

90

105.25718

118.24665

128.14603

135.27621

140.27179

143.6802

145.88328

147.11973

147.51836

90

109.98571

125.61498

136.3207

143.39491

148.06529

151.13078

153.06454

154.13448

154.47717

90

114.44701

131.84148

142.62221

149.27941

153.49783

156.19949

157.87895

158.8005

159.09455

90

118.61387

137.05642

147.51836

153.65528

157.43594

159.81896

161.28679

162.08811

162.34321

=

ωk l, ω φk λl,( ) ρ⋅:= cmaxk l, cmax φk λl,( ):=

ω

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

5.20586

10.23331

14.9152

19.10463

22.68046

25.54883

27.64186

28.91454

29.34149

0

10.39032

20.30596

29.34149

37.20264

43.71144

48.78382

52.39639

54.55526

55.273

0

15.53251

30.07192

42.87978

53.57333

62.06643

68.4451

72.85709

75.44148

76.29205

0

20.61255

39.41126

55.273

67.89101

77.47316

84.40975

89.07845

91.76493

92.64141

0

25.61204

48.23644

66.40937

80.15498

90.15734

97.16728

101.77971

104.39647

105.24442

0

30.51436

56.4933

76.29205

90.55242

100.54358

107.3604

111.76656

114.23946

115.03673

= cmax

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1.04649

1.09354

1.13943

1.18234

1.22046

1.2521

1.27583

1.29052

1.2955

1

1.09505

1.19499

1.2955

1.39168

1.47854

1.55146

1.60651

1.64076

1.65238

1

1.14564

1.30407

1.46704

1.62505

1.76869

1.88957

1.98089

2.03769

2.05695

1

1.19824

1.42037

1.65238

1.87857

2.0842

2.25689

2.38702

2.4678

2.49517

1

1.25281

1.54335

1.84964

2.1483

2.41891

2.64528

2.81531

2.92061

2.95626

1

1.3093

1.67242

2.05695

2.43077

2.76789

3.04871

3.25898

3.38894

3.43289

=


cmin k l, cmin φk λl,( ):=

cmin

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0.95557

0.91446

0.87763

0.84578

0.81936

0.79866

0.78381

0.77488

0.7719

1

0.9132

0.83683

0.7719

0.71856

0.67634

0.64456

0.62247

0.60947

0.60519

1

0.87287

0.76683

0.68164

0.61536

0.56539

0.52922

0.50482

0.49075

0.48616

1

0.83456

0.70404

0.60519

0.53232

0.4798

0.44309

0.41893

0.40522

0.40077

1

0.7982

0.64794

0.54065

0.46548

0.41341

0.37803

0.3552

0.34239

0.33827

1

0.76377

0.59793

0.48616

0.41139

0.36129

0.32801

0.30684

0.29508

0.2913

=

3. Dijagrami (familija krivih) zavisnosti m(f)

0 20 40 60 80 1001

1.5

2

2.5

3

3.5

m

φ ρ⋅



APRIL 1992.


ZADATAK Za potrebe izrade karte Sveta u razmeri 1:100.000.000 i u kartogarfskoj projekciji obrtnog elipsoida na ravan koja je zadata jedna~inama preslikavanja λ== φ aY ,SX O treba: 1) Utvrditi u koju grupu prema osobinama preslikavanja spada data projekcija. 2) Izvesti jedna~ine za slede}e karakteristike projekcije: a) Ugao izme|u meridijana i paralele u projekciji (θ); b) Linearnu razmeru u pravcu meridijana (m); c) Ekstremne vrednosti linearnih razmera (a i b); d) Maksimalnu deformaciju ugla (ω). 3) Sra~unati pravougle koordinate ta~aka preseka meridijana i paralela, ako je gustina mreè paralela jednaka ∆φ = 15° , a gustina mreè meridijana ∆λ = 30° . Traène koordinate ta~aka sra~unati u milimetrima i u zadatoj razmeri. 4) U prethodno nazna~enim ta~kama preseka meridijana i paralela sra~unati vrednost linearne razmere u azimutima αi= 0°, 15°,...,90° , (i = 1,2,3,...,7). Elemente Zemljinog elipsoida uzeti po Besselu. (a = 6 377 397.155; b = 6 356 078.963)


RE[ENJE ZADATKA

1. Da bi se utvrdilo u koju grupu prema osobinama preslikavanja spada projekcija zadata jedna~inama preslikavanja:

( ) λkY ,sink

RX2

=φ=

treba ustanoviti da li ovako zadata projekcija zadovoljava uslov konformnosti preslikavanja izraèn Ko{i-Rimanovim diferencijalnim jedna~inama:

( )φ∂

∂φ−=

∂∂ YcosλX

i ( )φ∂

∂φ=

∂∂ XcosλY

(1)

ili uslov ekvivalentnosti preslikavanja izraèn sa:

( )φ=∂∂

φ∂∂

−∂∂

φ∂∂ cosKR

λXY

λYX 2 (2)

U tom cilju na|imo neophodne parcijalne izvode funkcija preslikavanja:

( )

kR

λY 0, Y 0,

λX ,

kcosRX 22

=∂∂

=φ∂

∂=

∂∂φ

=φ∂

∂

I proverimo da li je uslov konformnosti preslikavanja (1) zadovoljen:

( ) ( ) ( ) 1cos cos

kR

kR i 0,0 0

kRcos0 22

22

=φ⇒φ==⇒φ

=

O~igledno je da drugi od prethodna dva uslova nije zadovoljen jer nije ta~no da je cos(ϕ)=1 za sve vrednosti ϕ. Proverom uslova ekvivalentnosti preslikavanja za razmatranu projekciju dobijamo:


( ) ( ) 2

22

22

kRK cosRK 00

kR

kcosR

=⇒φ=⋅−φ

te zaklju~ujemo da je ovaj uslov zadovoljen, jer su i R i k konstante, te i izraz: 2

2

kRK = ima konstantnu vrednost. Otuda se moè re}i da je

razmatrana projekcija ekvivalentna.

2. Karakteristika projekcije u op{tem slu~aju zadate su jedna~inama:

( ) ( ) ( ) bab-a/2ωsin ,

FGm ,

MEm ,

G EHθsin ,

FHθtg

+===

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] θ2mnsinnmθ2mnsinnm21b i ,θ2mnsinnmθ2mnsinnm

21a 22222222 −+−++=−++++=

gde su E, F, G, H, Gausove fundamentalne veli~ine, odre|ene jedna~inama:

λ∂

∂φ∂

∂−

λ∂∂

φ∂∂

=

λ∂

∂+

λ∂

∂=

λ∂∂

φ∂∂

+λ∂

∂φ∂

∂=

φ∂

∂+

φ∂

∂=

XYYXH ,YXG ,YYXXF ,YXE2222

Stoga, napi{imo zato najpre izraze za Gausove fundamentalne veli~ine za razmatranu projekciju: ( ) ( )φ===φ= cosRH ,RG 0,F ,cosRE 2222 Dalje je :

( ) ( ) ( )

( ) ( )φ=φ=

=⇒=⇒φ

=

secn ,cosm

1,θsin ,90θ 0

Rcosθtg o


Kako je θ=90°, to se glavni pravci poklapaju sa pravcima meridijana i paralela. Tako|e s obzirom da je: ( ) ( )φ<φ seccos to }e biti :

( )( ).cosmb

,secnaφ==φ==

Dalje }e biti:

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )φ+φ

=φ+

φ

φ−φ

= 2

2

cos1sin

coscos

1

coscos

1

/2ωsin


S f( ) a 1 e2−( )⋅ A f⋅B2

sin 2 f⋅( )⋅−C4

sin 4 f⋅( )⋅+D6

sin 6 f⋅( )⋅−

⋅:=r f( ) N f( ) cos f( )⋅:=

M f( ) a1 e2−

1 e2 sin f( )2⋅−( )1.5⋅:=N f( )

a

1 e2 sin f( )2⋅−( )0.5:=

Pomo}ne funkcije

lλλ

ρ:=λ 0 30, 180..:=

α kkρ

:=k 0 15, 90..:=fφφ

ρ:=φ 0 15, 90..:=


ρ180π

:=e

a2 b2−

a2

0.5

:=D 0.000000020633322:=B 0.005047849240300:=

b 6356078.963:=a 6377397.155:=C 0.000010563786831:=A 1.005037306048550:=

Konstante


c f75 α k,( )1

1.92679

4.45881

7.91762

11.37643

13.90846

14.83524

=c f60 α k,( )1

1.19962

1.74499

2.48999

3.23498

3.78036

3.97998

=c f45 α k,( )1

1.06654

1.24833

1.49666

1.74499

1.92679

1.99333

=c f30 α k,( )1

1.02218

1.08278

1.16555

1.24833

1.30893

1.33111

=c f15 α k,( )1

1.00478

1.01783

1.03566

1.05349

1.06654

1.07132

=c f0 α k,( )1

1

1

1

1

1

1

=Y lλ( )0

33.39

66.78

100.18

133.57

166.96

200.35

=X fφ( )0

16.59

33.2

49.84

66.53

83.26

100.01

=φ

0

15

30

45

60

75

90

=

φ 0 15, 90..:=

4. Traène vrednosti linearne razmere 3. Traène pravougle koordinate

c f α,( ) cos α( )2 n f( )2 sin α( )2⋅+:=n f( )a

r f( ):=


Y l( ) al

100000⋅:=X f( )

S f( )100000

:=




AVGUST 1992.


ZADATAK Za potrebe izrade karte Sveta u razmeri 1:100.000.000 i u kartogarfskoj projekciji obrtnog elipsoida na ravan koja je zadata jedna~inama preslikavanja

λ=φ= k Y ,sink

RX2

treba: 1) Utvrditi u koju grupu prema osobinama preslikavanja spada data projekcija. 2) Za slu~aj kada je vrednost konstante projekcije k jednaka k=R izvesti jedna~ine za slede}e karakteristike projekcije: a) Ugao izme|u meridijana i paralele u projekciji (θ); b) Linearnu razmeru u pravcu meridijana (m); c) Ekstremne vrednosti linearnih razmera (a i b); d) Maksimalnu deformaciju ugla (ω). 3) Sra~unati pravougle koordinate ta~aka preseka meridijana i paralela, ako je gustina mreè paralela jednaka ∆φ = 15° , a gustina mreè meridijana ∆λ = 30° . Traène koordinate ta~aka sra~unati u milimetrima i u zadatoj razmeri. 4) U prethodno nazna~enim ta~kama preseka meridijana i paralela sra~unati vrednost linearne razmere u azimutima αi= 0°, 15°,...,90° , (i = 1,2,3,...,4). Elemente Zemljinog elipsoida uzeti po Besselu. (a = 6 377 397.155; b = 6 356 078.963), i shodno tome sra~unati polupre~nik Zemljine lopte po formuli:

−= 2e

611aR


RE[ENJE ZADATKA

3. Da bi se utvrdilo u koju grupu prema osobinama preslikavanja spada projekcija zadata jedna~inama preslikavanja:

( ) λkY ,sink

RX2

=φ=

treba ustanoviti da li ovako zadata projekcija zadovoljava uslov konformnosti preslikavanja izraèn Ko{i-Rimanovim diferencijalnim jedna~inama:

( )φ∂

∂φ−=

∂∂ YcosλX

i ( )φ∂

∂φ=

∂∂ XcosλY

(1)

ili uslov ekvivalentnosti preslikavanja izraèn sa:

( )φ=∂∂

φ∂∂

−∂∂

φ∂∂ cosKR

λXY

λYX 2 (2)

U tom cilju na|imo neophodne parcijalne izvode funkcija preslikavanja:

( )

kR

λY 0, Y 0,

λX ,

kcosRX 22

=∂∂

=φ∂

∂=

∂∂φ

=φ∂

∂

I proverimo da li je uslov konformnosti preslikavanja (1) zadovoljen:

( ) ( ) ( ) 1cos cos

kR

kR i 0,0 0

kRcos0 22

22

=φ⇒φ==⇒φ

=

O~igledno je da drugi od prethodna dva uslova nije zadovoljen jer nije ta~no da je cos(ϕ)=1 za sve vrednosti ϕ. Proverom uslova ekvivalentnosti preslikavanja za razmatranu projekciju dobijamo:


( ) ( ) 2

22

22

kRK cosRK 00

kR

kcosR

=⇒φ=⋅−φ

te zaklju~ujemo da je ovaj uslov zadovoljen, jer su i R i k konstante, te i izraz: 2

2

kRK = ima konstantnu vrednost. Otuda se moè re}i da je

razmatrana projekcija ekvivalentna.

4. Karakteristika projekcije u op{tem slu~aju zadate su jedna~inama:

( ) ( ) ( ) bab-a/2ωsin ,

FGm ,

MEm ,

G EHθsin ,

FHθtg

+===

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] θ2mnsinnmθ2mnsinnm21b i ,θ2mnsinnmθ2mnsinnm

21a 22222222 −+−++=−++++=

gde su E, F, G, H, Gausove fundamentalne veli~ine, odre|ene jedna~inama:

λ∂

∂φ∂

∂−

λ∂∂

φ∂∂

=

λ∂

∂+

λ∂

∂=

λ∂∂

φ∂∂

+λ∂

∂φ∂

∂=

φ∂

∂+

φ∂

∂=

XYYXH ,YXG ,YYXXF ,YXE2222

Stoga, napi{imo zato najpre izraze za Gausove fundamentalne veli~ine za razmatranu projekciju: ( ) ( )φ===φ= cosRH ,RG 0,F ,cosRE 2222 Dalje je :

( ) ( ) ( )

( ) ( )φ=φ=

=⇒=⇒φ

=

secn ,cosm

1,θsin ,90θ 0

Rcosθtg o


Kako je θ=90°, to se glavni pravci poklapaju sa pravcima meridijana i paralela. Tako|e s obzirom da je: ( ) ( )φ<φ seccos to }e biti :

( )( ).cosmb

,secnaφ==φ==

Dalje }e biti:

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )φ+φ

=φ+

φ

φ−φ

= 2

2

cos1sin

coscos

1

coscos

1

/2ωsin


c f A,( ) m f( )2 cos A( )2⋅ m f( ) n f( )⋅ sin 2 A⋅( )⋅+ n f( )2 sin A( )2⋅+( )0.5:=m f( ) cos f( ):=n f( )

1cos f( )

:=


Y l( ) Rl

100000⋅:=X f( ) R

sin f( )100000⋅:=


Aαα

ρ:=lλ

λ

ρ:=fφ

φ

ρ:=

α 0 30, 90..:=λ 0 30, 180..:=φ 0 15, 90..:=


R a 116

e2⋅−

⋅:=ρ180π

:=ea2 b2−

a2

0.5

:=

b 6356078.963:=a 6377397.155:=

Konstante



φ

0

15

30

45

60

75

90

= X fφ( )0

16.49

31.85

45.04

55.17

61.53

63.7

= Y lλ( )0

33.35

66.71

100.06

133.42

166.77

200.13

=

4. Traène vrednosti linearne razmere

φ 0 15, 75..:=

c89ρ

Aα,

0.01745

28.66446

49.63085

57.29869

=α

0

30

60

90

= c f0 Aα,( )1

1.36603

1.36603

1

= c f15 Aα,( )0.96593

1.35415

1.37954

1.03528

= c f30 Aα,( )0.86603

1.32735

1.43301

1.1547

= c f45 Aα,( )0.70711

1.31948

1.5783

1.41421

= c f60 Aα,( )0.5

1.43301

1.98205

2

= c f75 Aα,( )0.25882

2.156

3.47547

3.8637

=


Documents

GRAEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU...Zbirka sadr`i karakteristi~ne zadatke sa re{enjima sa ispitnih rokova odr`anih u periodu od 1991. do 2001. godine. Zadaci su preneti u