1

Zadatak 301 (Nutrix, medicinska škola)

Tijelo harmonijski titra amplitudom 20 cm i periodom T. Tijelo počinje titrati iz ravnotežnoga položaja u pozitivnome smjeru osi x. Kolika je vrijednost elongacije u trenutku T / 6?

Rješenje 301

A = 20 cm, T, ,6

Tt = x = ?

Harmoničko titranje nastaje djelovanjem elastične sile F = – k · x ili neke druge sile proporcionalne elongaciji. Pomak (elongacija ili udaljenost x od položaja ravnoteže tijela koje harmonički titra) računa se pomoću izraza:

i ,2

s nx A tT

π⋅= ⋅ ⋅

gdje je A amplituda (maksimalna elongacija), T perioda (vrijeme jednog titraja), t vrijeme titranja.

2 2sin 20 sin 20 sin

6

2

6

Tx A t cm

Tcm

T T

Tπ π π⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

džepno računalo

stanje: R20 sin 17.32 .

3 ADcm cm

π= ⋅ = =

Vježba 301

Tijelo harmonijski titra amplitudom 20 cm i periodom T. Tijelo počinje titrati iz ravnotežnoga položaja u pozitivnome smjeru osi x. Kolika je vrijednost elongacije u trenutku T / 12?

Rezultat: 10 cm. Zadatak 302 (MaturantNN, medicinska škola)

Tijelo mase 1 kg harmonijski titra. Brzina titranja toga tijela mijenja se u vremenu po formuli

( )19 cos .

mv s t

sπ

−= ⋅ ⋅ ⋅ Kolika je ukupna energija titranja tijela?

Rješenje 302

m = 1 kg, ( )19 cos ,

mv s t

sπ

−= ⋅ ⋅ ⋅ Ek = ?

Harmoničko titranje nastaje djelovanjem elastične sile F = – k · x ili neke druge sile proporcionalne elongaciji. Brzina tijela koje harmonički titra mijenja se s vremenom

2,cosv v t

T

π⋅= ⋅ ⋅

�

gdje je v0 maksimalna brzina. Tijelo mase m i brzine v ima kinetičku energiju

1 22

.E m vk

= ⋅ ⋅

Ukupna energija titranja tijela jednaka je kinetičkoj energiji pri maksimalnoj brzini titranja v0. Iz formule za brzinu titranja odredimo maksimalnu brzinu v0.

( )

2cos

9 .1

9 cos

v v tmT

vsm

v s ts

π

π

⋅= ⋅ ⋅

⇒ =−

= ⋅ ⋅ ⋅

�

�

Ukupna energija tijela iznosi: 2

1 12 1 9 40.5 .2 2

mE m v kg J

k s

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

�

2

Vježba 302

Tijelo mase 2 kg harmonijski titra. Brzina titranja toga tijela mijenja se u vremenu po formuli

( )19 cos .

mv s t

sπ

−= ⋅ ⋅ ⋅ Kolika je ukupna energija titranja tijela?

Rezultat: 81 J. Zadatak 303 (Sandra, srednja škola)

Graf prikazuje brzinu u ovisnosti o vremenu titranja jednostavnog njihala. Kolika je amplituda titranja tog njihala?

Rješenje 303

v0 = 2 m / s, T = 4 s, A = ?

Harmoničko titranje nastaje djelovanjem elastične sile F = – k · x ili neke druge sile proporcionalne elongaciji. Brzina tijela koje harmonički titra mijenja se s vremenom

2,cosv v t

T

π⋅= ⋅ ⋅

�

gdje je v0 maksimalna brzina. Maksimalna brzina tijela koje harmonički titra dana je izrazom

2,

Av

T

π⋅ ⋅=�

gdje je A maksimalna udaljenost od položaja ravnoteže ili amplituda, T vrijeme jednog titraja ili perioda.

Sa slike očitamo maksimalnu brzinu v0 i periodu T.

2 , 4m

v T ss

= =�

Sada je

3

4 22 2 21.27 .

2 2/

2

T

ms

T vA A A sv v v A mT T T

π π π

π ππ

⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = = =⋅ ⋅

⋅⋅

�

� � �

Vježba 303

Graf prikazuje brzinu u ovisnosti o vremenu titranja jednostavnog njihala. Kolika je amplituda titranja tog njihala?

Rezultat: 2.55 m. Zadatak 304 (Amir, student)

Kuglica jednostavnog njihala duljine l = 1.5 m izvedena je iz ravnotežnog položaja, a zatim

puštena. Ispod objesišta njihala postavljen je tanak štap na udaljenosti 1

2l⋅ okomito na

ravninu titranja. Odredi periodu titranja njihala. (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)

Rješenje 304

1

1.5 , 0.75 , 9.81 , ?1 22

ml m l l m g T

s= = ⋅ = = =

Perioda T je vrijeme jednog ophoda (titraja). Matematičko njihalo je njihalo (zamišljeno) koje ima nerastezljivu nit bez mase i kojega je masa kuglice koja njiše koncentrirana u jednoj točki. Uz male amplitude takvo njihalo izvodi harmonijske titraje. Perioda titranja matematičkog njihala jest

2 ,l

Tg

π= ⋅ ⋅

gdje je l duljina njihala, a g akceleracija slobodnog pada. Pretpostavimo da su amplitude njihala male, a trenje zanemarimo.

Njihalo napravi polovicu titraja sa dužinom l za vrijeme poluperiode 1

.12T⋅ Drugu polovicu titraja

njihalo napravi sa dužinom l1 za vrijeme poluperiode 1

.22T⋅ Vrijednosti tih poluperioda su:

1 1 1212 2

.11 1 11 2222

22

22 22

l l lT

g g g

ll lT

g g g

π π π

π π π

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

⋅

Perioda njihala jednaka je zbroju poluperioda.

4

1 1 111 22 2 2 2

l l lT T T

g g gπ π π

= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + = ⋅

1.5 11

29.812

m

m

s

π

= ⋅ ⋅ + =

= 2.1 s.

l1 = 1

2 ⋅⋅⋅⋅ l

l

O

Vježba 304

Kuglica jednostavnog njihala duljine l = 6 m izvedena je iz ravnotežnog položaja, a zatim

puštena. Ispod objesišta njihala postavljen je tanak štap na udaljenosti 1

2l⋅ okomito na ravninu

titranja. Odredi periodu titranja njihala.

Rezultat: 4.2 s. Zadatak 305 (Izzy, maturantica)

Puhanjem u sviralu zatvorenu na jednome kraju stvara se osnovni ton frekvencije 0.2 kHz. Kolika je duljina svirale? Brzina zvuka u zraku je 340 m / s.

Rješenje 305

ν = 0.2 kHz = 200 Hz = 200 s-1, v = 340 m / s, L = ?

Svirala je puhačko glazbalo.

Kod svirala titra stupac zraka longitudinalnim stojnim valom. Za sviralu zatvorenu na jednom kraju vrijedi

,4 Lλ = ⋅ gdje je L duljina svirale. λ valna duljina vala. Val je širenje titranja iz izvora vala kroz neko sredstvo. Zrake vala su pravci po kojima se titranje širi od čestice do čestice. Udaljenost za koju se val proširio dok čestica u izvoru napravi jedan potpuni titraj zove se duljina vala λ. Sveza između valne duljine λ, brine vala v i frekvencije ν je

v.λ

ν=

Osnovna frekvencija za sviralu zatvorenu na jednom kraju je

,v

4 Lν =

⋅

gdje je L duljina svirale, v brzina zvuka.

1.inačica

5

340v v v

0.425 42.5 .14 4 0

/4 4 20

m

sL m cmL L

L

s

νν ν

ν= ⇒ = ⇒ = = = =

⋅⋅

⋅⋅ ⋅

2.inačica

4 340v v v

4 4 0.425 42.5 .v 14 4 200

1/

4

mL

sL L L m cm

s

λ

ν ν νλν

= ⋅

⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = = = =⋅

⋅

⋅=

Vježba 305

Puhanjem u sviralu zatvorenu na jednome kraju stvara se osnovni ton frekvencije 0.1 kHz. Kolika je duljina svirale? Brzina zvuka u zraku je 340 m / s.

Rezultat: 85 cm. Zadatak 306 (Miro, tehnička škola)

Svirala je napravljena tako da pri stalnoj temperaturi proizvodi dva susjedna harmonika od 1372 Hz i 1764 Hz. Je li svirala otvorena ili zatvorena?

Rješenje 306

νn = 1372 Hz = 1372 s-1, νm = 1764 Hz = 1764 s-1, n = ?

Svirala je puhačko glazbalo. Kod svirala titra stupac zraka longitudinalnim stojnim valom. Neka je L duljina svirale, v brzina zvuka, νn n – ti harmonik, n prirodan broj. Tada vrijedi relacija:

• za zatvorenu sviralu

v, 1, 3, 5, 7, 9, ...(n je neparan prirodan broj)

4n nn

Lν = ⋅ =

⋅

• za otvorenu sviralu

v, 1, 2, 3, 4, 5, ...

2n nn

Lν = ⋅ =

⋅

Pretpostavimo da je svirala otvorena. Za dva uzastopna harmonika dobije se sustav jednadžba. (Prirodni brojevi rastu za 1 … n, n + 1, …)

( )

( ) ( )v

podijelimo 1764 2vjednadžb

v v1372 1 117642 2

vv 1e 13723721764 1

22 2

L

L

n n nL L

n nnLL

= ⋅ + ⋅ + ⋅⋅ ⋅⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅= + ⋅⋅⋅

⋅

⋅

( )9 1 9 1

9 7 1 9 7 7 9 7 77

77

/n n

n n n nn

n n nn

+ +⇒ = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ − ⋅⋅ =⋅ ⇒

/2 7 2 7 3.5 .: 2n n Nn⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ = ∉⋅ =

Budući da n mora biti prirodan broj, svirala nije otvorena. Pokažimo da je onda zatvorena. Riješimo sljedeći sustav. (Neparni prirodni brojevi rastu za 2 … n, n + 2, …)

( )

( ) ( )v

podijelimo 1764 4vjednadžb

v v1372 2 217644 4

vv 1e 13723721764 2

44 4

L

L

n n nL L

n nnLL

= ⋅ + ⋅ + ⋅⋅ ⋅⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅= + ⋅⋅⋅

⋅

⋅

6

( )9 2 9 2

9 7 2 9 7 14 9 7 147 7

/ 7n n

n n n n n nn

nn

+ +⇒ = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ − ⋅ =⋅ ⋅ ⇒

2 14 2 14 7/ .: 2n n n⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Budući da je n neparan prirodan broj, svirala je zatvorena.

Vježba 306

Svirala je napravljena tako da pri stalnoj temperaturi proizvodi dva susjedna harmonika od 686 Hz i 882 Hz. Je li svirala otvorena ili zatvorena?

Rezultat: n = 7, svirala je zatvorena. Zadatak 307 (M, A, P i N, maturanti)

Morski valovi udaraju o stijenu obale 12 puta u minuti. Brzina valova je 6 m / s. Kolika je valna duljina tih valova?

Rješenje 307

n = 12, t = 1 min = 60 s, v = 6 m / s, λ = ?

Valna duljina je udaljenost dviju najbližih točaka vala koje titraju u istoj fazi. Vrijedi formula:

v ,v TT

λλ= ⇒ = ⋅

gdje je v brzina širenja vala, λ valna duljina, T perioda (vrijeme jednog titraja).

60v 6 30 .

12v

tT t m s

mnn s

T

λ

λ

=⇒ = ⋅ = ⋅ =

= ⋅

Vježba 307

Morski valovi udaraju o stijenu obale 10 puta u minuti. Brzina valova je 6 m / s. Kolika je valna duljina tih valova?

Rezultat: 36 m. Zadatak 308 (M, A, P i N, maturanti)

Odredi položaj u kome se nalazi čestica koja harmonički titra 2 sekunde nakon početka titranja, ako je amplituda titranja 5 cm, a perioda titranja 5 sekundi.

Rješenje 308

t = 2 s, A = 5 cm, T = 5 s, y = ?

Harmoničko titranje nastaje djelovanjem elastične sile F = – k · y ili neke druge sile proporcionalne elongaciji. Pomak (elongacija ili udaljenost y od položaja ravnoteže tijela koje harmonički titra) računa se pomoću izraza:

i ,2

s ny A tT

π⋅= ⋅ ⋅

gdje je A amplituda (maksimalna elongacija), T perioda (vrijeme jednog titraja), t vrijeme titranja.

2 2 2 4sin 5 sin 2 5 sin 2 5 sin

5 5 5y A t cm s cm cm

T ss

s

π π π π⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =

7

= = 2.94 cm. Vježba 308

Odredi položaj u kome se nalazi čestica koja harmonički titra 4 sekunde nakon početka titranja, ako je amplituda titranja 5 cm, a perioda titranja 10 sekundi.

Rezultat: 2.94 cm. Zadatak 309 (M, A, P i N, maturanti)

Ako tijelo harmonički titra amplitudom od 4 cm koliki put prijeđe tijekom jedne periode?

Rješenje 309

A = 4 cm, y = ?

Harmoničko titranje nastaje djelovanjem elastične sile F = – k · y ili neke druge sile proporcionalne elongaciji. Pomak ili elongacija je udaljenost y od položaja ravnoteže tijela koje harmonički titra. Perioda T je vrijeme jednog titraja. Amplituda A je maksimalna udaljenost od položaja ravnoteže.

4 4 4 16 .y A cm cm= ⋅ = ⋅ =

Vježba 309

Ako tijelo harmonički titra amplitudom od 5 cm koliki put prijeđe tijekom jedne periode?

Rezultat: 20 cm. Zadatak 310 (M, A, P i N, maturanti)

Žica dugačka 9 m učvršćena je na oba kraja. Na žici postoje četiri čvora (računajući i krajeve žice). Kolika je valna duljina valova koji uzrokuju ovakvo titranje žice?

Rješenje 310

L = 9 m, n = 4 čvora, λ = ?

Valna duljina periodičnog vala je udaljenost između dviju najbližih točaka vala koje titraju u istoj fazi kad se kroz sredstvo širi val. Čvor je točka koja ne titra.

Sa slike vidi se:

2/ 32 2

2 2 2L L L Lλ λ

λ λ λ λ λ+ = ⇒ + = ⇒ ⋅ + = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅⋅ ⇒

8

2/ : 3

23 2 9 6 .

3 3L L m mλ λ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅ =

Vježba 310

Žica dugačka 12 cm učvršćena je na oba kraja. Na žici postoje četiri čvora (računajući i krajeve žice). Kolika je valna duljina valova koji uzrokuju ovakvo titranje žice?

Rezultat: 8 m. Zadatak 311 (M, A, P i N, maturanti)

Na niti se pomoću vibratora formira stojni val (slika). Frekvencija kojom titra vibrator je 50 Hz. Kolika je brzina širenja vala na niti?

Rješenje 311

ν = 50 Hz, v = ?

Valna duljina periodičnog vala je udaljenost između dviju najbližih točaka vala koje titraju u istoj fazi kad se kroz sredstvo širi val. Frekvencija ν je broj ophoda (titraja) u jedinici vremena (u 1 sekundi). Vrijedi formula za brzinu vala:

v ,λ ν= ⋅

gdje je v brzina širenja vala, λ valna duljina, ν frekvencija.

Sa slike vidi se:

3 120 3 120 4/ : 3 0 0.4 .cm cm cm mλ λ λ λ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ =

Brzina je 1

v 0.4 50 20 .m

ms s

λ ν= ⋅ = ⋅ =

Vježba 311

Na niti se pomoću vibratora formira stojni val (slika). Frekvencija kojom titra vibrator je 60

9

Hz. Kolika je brzina širenja vala na niti?

Rezultat: 30 m / s. Zadatak 312 (M, A, P i N, maturanti)

Na užetu se formira stojni val tako da udaljenost između susjednih točaka s jednakim elongacijama po iznosu iznosi 3 cm i 7 cm (slika). Kolika je valna duljina stojnog vala?

Rješenje 312

ν = 50 Hz, v = ?

Val je širenje poremećaja kojim se prenosi energija kroz neko sredstvo (medij), a da se sredstvo kao cjelina ne pomiče. Valna duljina periodičnog vala je udaljenost između dviju najbližih točaka vala koje titraju u istoj fazi kad se kroz sredstvo širi val. Pomak ili elongacija je udaljenost y od položaja ravnoteže tijela koje harmonički titra. Stojni val (stacionarni val) je val koji nastaje superpozicijom (zbrajanjem) dvaju valova jednake amplitude i frekvencije.

Sa slike vidi se:

3 7 10 10 20 .2

/ 22 2

cm cm cm cm cmλ λ λ

λ= + ⇒ = ⇒ ⇒ =⋅=

Vježba 312

Na užetu se formira stojni val tako da udaljenost između susjednih točaka s jednakim elongacijama po iznosu iznosi 2 cm i 6 cm (slika). Kolika je valna duljina stojnog vala?

10

Rezultat: 16 cm. Zadatak 313 (Darko, tehnička škola)

Jednadžba vala u nekome sredstvu glasi ( ) ( )1 15 sin 100 2 .y cm t s x m

− −= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ Izvor vala

smješten je u ishodište koordinatnog sustava. Koja točka sredstva titra po funkciji

( ) ( )15 sin 100 ?y cm t s

−= ⋅ ⋅ ⋅

. izvor vala . točka udaljena 0.5 m od izvora valaA B . točka udaljena 1 m od izvora vala . točka udaljena 100 m od izvora valaC D

Rješenje 313

( ) ( )1 15 sin 100 2y cm t s x m

− −= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

Val je širenje poremećaja kojim se prenosi energija kroz neko sredstvo (medij), a da se sredstvo kao cjelina ne pomiče.

( ) ( )1 15 sin 100

izvor vala

02y cm t s x m

x =

− −= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ ⇒

( ) ( ) ( ) ( )1 1 15 sin 100 2 0 5 sin 100 .y cm t s m y cm t s

− − −⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅

Odgovor je pod A.

Vježba 313

Jednadžba vala u nekome sredstvu glasi ( ) ( )1 13 sin 50 4 .y cm t s x m

− −= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ Izvor vala

smješten je u ishodište koordinatnog sustava. Koja točka sredstva titra po funkciji

( ) ( )13 sin 50 ?y cm t s

−= ⋅ ⋅ ⋅

. izvor vala . točka udaljena 0.5 m od izvora valaA B . točka udaljena 1 m od izvora vala . točka udaljena 100 m od izvora valaC D

Rezultat: A. Zadatak 314 (Darko, tehnička škola)

Amplituda harmoničkog titranja je 30 cm, a perioda 2 s. U trenutku t = 0 elongacija je y = 0 i tijelo se giba u smjeru + y. Kolike su vrijednosti elongacije, brzine i akceleracije u trenutku t = T / 12?

Rješenje 314

A = 30 cm, T = 2 s, t = T / 12, y = ?, v = ?, a = ?

Harmoničko titranje nastaje djelovanjem elastične sile F = – k · x ili neke druge sile proporcionalne elongaciji. Pomak, elongacija ili udaljenost y od položaja ravnoteže tijela koje harmonički titra mijenja se s vremenom prema

i ,2

s ny A tT

π⋅= ⋅ ⋅

11

gdje je y elongacija, tj. udaljenost točke koja titra od položaja ravnoteže u bilo kojem trenutku, A amplituda, tj. maksimalna elongacija, T vrijeme jednog titraja ili perioda. Brzina tijela koje harmonički titra mijena se s vremenom

2 2.v cos

At

T T

π π⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

Akceleracija tijela koje titra 2

4 2sin2 ,

Aa t

TT

π π⋅ ⋅ ⋅= − ⋅ ⋅

gdje negativni predznak pokazuje da su y i a suprotnog smjera. Znak minus u tom izrazu možemo izostaviti jer nas zanima samo veličina akceleracije, a ne njezin smjer. Elongacija:

2 2sin 30 sin 30 sin

12

2

12

Ty A t cm cm

T

T TT

π π π⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

30 sin6

cmπ

= ⋅ =

= 15 cm.

Brzina: 2 2

2

2 2 2 30 2 30v cos cos cos

2 12 12

A cm T cmt

T T s

T

T Ts

π π π π π π⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

30cos

1 6

cm

s

π π⋅= ⋅ =

= 81.62 cm / s.

Akceleracija:

( )

2 2 24 2 4 2

12

30 2 4 30sin sin sin

2 2 212 42

A cm T cma t

T TT

T

s Ts

π π π π π π⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

2 230 30

sin sin2 26 61

4

4

cm cm

s s

π π π π⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ =

= 148.04 cm / s2.

Vježba 314

Odmor!

Rezultat: … Zadatak 315 (Iva, gimnazija)

Opruga na koju je ovješeno tijelo mase 0.4 kg titra frekvencijom 3 Hz. Kolika će biti frekvencija titranja opruge kad je na nju ovješeno tijelo mase 0.1 kg?

Rješenje 315

m1 = 0.4 kg, ν1 = 3 Hz, m2 = 0.1 kg, ν2 = ?

Harmoničko titranje nastaje djelovanjem elastične sile F = – k · x ili neke druge sile proporcionalne elongaciji. Frekvencija ν je broj ophoda (titraja) u jedinici vremena (u 1 sekundi). Pomoću konstante elastičnosti k možemo izraziti frekvenciju titranja opruge

2.

1 k

mν

π= ⋅

⋅

12

1

2podijelimo

jednadžb

1 11 2 21 2 22 2

11 1 12 2

e

2 12

1

2 1

k k k

m m m

k kk

m mm

νπ πν ν

ν

π

π

π

νν

π

= ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅= ⋅⋅⋅

⋅

⋅

0.422 2 2 2 2 2 1 20.11 1 1 1 2 1

1 11

k k

m m m m kg

k m kgk

m

k

k

mm

ν ν ν ν ν

ν ν ν ν ν⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

2 2 24 2 2 2 2 3 6 .2 11

11 1

/ Hz Hzν ν ν

ν ν νν ν ν

⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ = ⋅ =

Vježba 315

Opruga na koju je ovješeno tijelo mase 0.9 kg titra frekvencijom 3 Hz. Kolika će biti frekvencija titranja opruge kad je na nju ovješeno tijelo mase 0.1 kg?

Rezultat: 9 Hz. Zadatak 316 (Iva, gimnazija)

Kad je na oprugu ovješena masa m ona titra frekvencijom 0.8 Hz. Ako toj masi dodamo uteg od 0.5 kg tada opruga titra frekvencijom 0.4 Hz. Koliki je iznos mase m?

Rješenje 316

ν1 = 0.8 Hz, ∆m = 0.5 kg, ν2 = 0.4 Hz, m = ?

Harmoničko titranje nastaje djelovanjem elastične sile F = – k · x ili neke druge sile proporcionalne elongaciji. Frekvencija ν je broj ophoda (titraja) u jedinici vremena (u 1 sekundi). Pomoću konstante elastičnosti k možemo izraziti frekvenciju titranja opruge

2.

1 k

mν

π= ⋅

⋅

1podijelimo 2jednadžbe

1 11 2 21 1

11 2 22 22

1

2

k k k

m m m

k kk

m m m mm m

νν νπ π

ν νν

ππ

π

π

= ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅= ⋅⋅ + ∆ + ∆⋅ +

⋅

∆ ⋅

1 1 1 1

2 2 2 2

k k

m mm m m

k mk

m m m

k

k

mm m

ν ν ν ν

ν ν ν ν

+ ∆⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

+ ∆ + ∆+ ∆

2 21 1 1

2 2 2

2/ /m m m m m m

mm

m m

ν ν ν

ν ν ν

+⋅

∆ + ∆ + ∆⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

2 2 21 1 1 12 2 2

m m m m m m m mν ν ν

ν ν ν⇒ ⋅ = + ∆ ⇒ ⋅ − = ∆ ⇒ ⋅ − = ∆ ⇒

13

20.51 1 0.167 .

2 20.82 1 110.4

/

1 12

12

2

m kgm m m kg

Hz

Hz

ν

ν

ν

νν

ν

∆⇒ ⋅ − = ∆ ⇒ = = =

−

⋅

− −

Vježba 316

Kad je na oprugu ovješena masa m ona titra frekvencijom 1.6 Hz. Ako toj masi dodamo uteg od 0.5 kg tada opruga titra frekvencijom 0.8 Hz. Koliki je iznos mase m?

Rezultat: 0.167 kg. Zadatak 317 (Tomislav, tehnička škola)

Opruga na koju je ovješen uteg titra tako da učini 45 titraja u minuti. Što treba učiniti s masom utega da bi sustav titrao s 30 titraja u minuti?

Rješenje 317

m1, n1 = 45 titraja, t = 1 min = 50 s, m2, n2 = 30 titraja, 2 ?1

m

m=

Harmoničko titranje nastaje djelovanjem elastične sile F = – k · x ili neke druge sile proporcionalne elongaciji. Frekvencija ν je broj ophoda (titraja) u jedinici vremena (u 1 sekundi). Pomoću konstante elastičnosti k možemo izraziti frekvenciju titranja opruge

2.

1 k

mν

π= ⋅

⋅

podijelimo

jednadžb

1 1 111 2 2 21 1 21

1 11 222 22 12

e

22

k k knm m m

t

nk kk

tm mm

νπ π πν

νν

π ππ

= ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅= ⋅⋅ ⋅⋅

11 11 1 1 1 1 1 2

2 2 2 2 2 12 22 2

1

2

1

2

k k kn

m mn n m n m n m

n kn n n n mk k

k

t

k

t m mm m

π

π

⋅

⋅

⋅

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅

2 2 21 2 1 2 2 1 2 1

2 1 2 1 1 2 1

2/ /

21

n m n m m n m n

n m n m m nm

n m⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒

2 2451 2.25 .2 1 2 1 2 1302

nm m m m m m

n⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

Masu treba povećati 2.25 puta.

Vježba 317

Opruga na koju je ovješen uteg titra tako da učini 90 titraja u minuti. Što treba učiniti s masom utega da bi sustav titrao s 60 titraja u minuti?

Rezultat: Masu treba povećati 2.25 puta.

14

Zadatak 318 (Goran, medicinska škola)

Tijelo ovješeno na oprugu izvučemo iz ravnotežnog položaja za 10 cm i pustimo titrati. Na kojoj udaljenosti od ravnotežnog položaja će: a) brzina tijela biti jednaka polovici najveće brzine b) akceleracija tijela biti jednaka polovici najveće akceleracije?

Rješenje 318

v = 0.5 · v0, a = 0.5 · a0

Harmoničko titranje nastaje djelovanjem elastične sile F = – k · x ili neke druge sile proporcionalne elongaciji. Pomak, elongacija ili udaljenost y od položaja ravnoteže tijela koje harmonički titra mijenja se s vremenom prema

i ,2

s ny A tT

π⋅= ⋅ ⋅

gdje je y elongacija, tj. udaljenost točke koja titra od položaja ravnoteže u bilo kojem trenutku, A amplituda, tj. maksimalna elongacija, T vrijeme jednog titraja ili perioda. Brzina tijela koje harmonički titra mijena se s vremenom

2,v cosv t

T

π⋅= ⋅ ⋅

�

gdje je v0 maksimalna brzina. Akceleracija tijela koje titra

n ,2

sia a tT

π⋅= − ⋅ ⋅

�

gdje je a0 maksimalna akceleracija, a negativni predznak pokazuje da su y i a suprotnog smjera. Znak minus u tom izrazu možemo izostaviti jer nas zanima samo veličina akceleracije, a ne njezin smjer.

a) 1 2 1 2 1

cos cos2 2 2

/ :v v v t v v t vT

vT

π π⋅ ⋅= ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒

� � � � ��

1cos

3 2

2 1 2cos cos cos

2 3t t

T T

ππ π π⋅ ⋅⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒

/2

2 2.

3 3 6

Tt t t

T

T

T

π π

π

π π⋅

⋅ ⋅⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

⋅

Tražena elongacija iznosi:

2 2sin 10 sin 10 sin 10 sin

6

2

6 3

Ty A t cm cm cm

T

T

T T

π π π π⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =

= 8.66 .cm= b)

1 2 1 2 1sin sin

2 2 2/ :a a a t a a t a

Ta

T

π π⋅ ⋅= ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒

� � � � ��

2 1sin

2.t

T

π⋅⇒ ⋅ =

Tražena elongacija iznosi: 2 1

sin 10 5 .2

y A t cm cmT

π⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ =

15

Vježba 318

Odmor!

Rezultat: … Zadatak 319 (Zlatko, gimnazija)

Koji dio vremena jednog titraja mora proći da točka koja harmonički titra postigne brzinu koja će po veličini biti jednaka polovini maksimalne brzine? Početni fazni kut jednak je nuli.

Rješenje 319

v = 0.5 · v0, φ = 0, t = ?

Harmoničko titranje nastaje djelovanjem elastične sile F = – k · x ili neke druge sile proporcionalne elongaciji. Brzina tijela koje harmonički titra mijena se s vremenom

2,v cosv t

T

π⋅= ⋅ ⋅

�

gdje je v0 maksimalna brzina. 1 2 1 2 1

cos cos2 2 2

/ :v v v t v v t vT

vT

π π⋅ ⋅= ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒

� � � � ��

1cos

3 2

2 1 2cos cos cos

2 3t t

T T

ππ π π⋅ ⋅⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒

/2

2 2.

3 3 6

Tt t t

T

T

T

π π

π

π π⋅

⋅ ⋅⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

⋅

Vježba 319

Odmor!

Rezultat: … Zadatak 320 (Zlatko, gimnazija)

Tijelo harmonički titra. Tijelu treba 0.25 sekundi da prijeđe od mjesta gdje mu je brzina jednaka nuli do drugog takvog mjesta na suprotnoj strani od ravnotežnog položaja. Ta dva mjesta udaljena su 36 cm. Odredite: a) periodu titranja b) frekvenciju titranja c) amplitudu titranja.

Rješenje 320

t = 0.25 s, v = 0 m / s, d = 36 cm, T = ?, ν = ?, A = ?

Harmoničko titranje nastaje djelovanjem elastične sile F = – k · x ili neke druge sile proporcionalne elongaciji. Pomak ili elongacija je udaljenost y od položaja ravnoteže tijela koje harmonički titra. Amplituda A je maksimalna elongacija. Perioda T je vrijeme jednog titraja. Frekvencija ν je broj ophoda (titraja) u jedinici vremena (u 1 sekundi). Sveza između periode T i frekvencije ν dana je izrazom

1.

Tν =

a)

Tijelo je prešlo od mjesta gdje mu je brzina jednaka nuli do drugog takvog mjesta na suprotnoj strani od ravnotežnog položaja za vrijeme poluperiode.

/T T

2 22 0.25 0.5 .2 2

t t T t s s= ⇒ = ⇒ = ⋅ = ⋅ =⋅

b)

16

1 12 .

0.5Hz

T sν = = =

c) 36

2 2 18 .2 2

/ : 2d cm

A d A d A cm⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = = =

v = 0

v = 0

A

A

d

Vježba 320

Tijelo harmonički titra. Tijelu treba 0.4 sekundi da prijeđe od mjesta gdje mu je brzina jednaka nuli do drugog takvog mjesta na suprotnoj strani od ravnotežnog položaja. Ta dva mjesta udaljena su 30 cm. Odredite: a) periodu titranja b) frekvenciju titranja c) amplitudu titranja.

Rezultat: a) 0.8 s, b) 1.25 Hz, c) 15 cm.