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grafi nel mondo reale:. reti stradali. nodi = incroci, archi = strade. internet. nodi = pagine, archi = links. incontri sportivi. nodi = squadre, archi = incontri. reti elettriche. nodi = connessioni, archi = elementi. nodi = persone , archi = amicizie. facebook. - PowerPoint PPT Presentation
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grafi nel mondo reale:
reti stradali
internet
incontri sportivi
nodi = incroci, archi = strade
nodi = pagine, archi = links
nodi = squadre, archi = incontri
facebook nodi = persone, archi = amicizie
giochi nodi = posizioni, archi = mosse
reti elettriche nodi = connessioni, archi = elementi
ognuno amico di tutti gli altri
GRAFO COMPLETO
nessuno amico di nessuno
sottografo completo -> cricca (clique)
un’ altra cricca
c’è almeno una persona con un numero pari di amici ?
grado di un nodo = numero nodi adiacenti
somma dei gradi per ogni nodo= 2 volte numero degli archi
numero nodi con grado dispari è pari
come dimostrare per induzione ?
5 persone diconoA: ho 4 amici in (A,B,C,D,E)B: ho 3 amici in (A,B,C,D,E)C: ho 3 amici in (A,B,C,D,E)D: ho 2 amici in (A,B,C,D,E)E: ho 2 amici in (A,B,C,D,E)
è possibile ?
A B C D E
4 3 3 2 2
A
BC
E D
B C D E
2 2 1 1
A
BC
E D
B C D E
2 2 1 1
A
BC
E D
C D E
1 0 1
A
BC
E D
C D E
1 0 1
A
BC
E D
la soluzione è unica ?
A
B C
E D
A
BC
E D A
B C
E D
sono diversi,ma se non si tiene conto dei nomi,sono uguali
hanno la stessa forma -> isomorfi
non isomorfi
A B C D E
4 4 4 2 2
A
BC
E D
B C D E
3 3 1 1
A
BC
E D
B C D E
3 3 1 1
A
BC
E D
C D E
2 0 0
A
BC
E D
3 brocche: capacità 8, 5, 3 litri
come ottenere 4 litri ?
nodi=particolare distribuzione dei litri
archi=mosse=versamenti ammissibili
siccome la somma totale è costante basta indicare il contenuto delle brocche piccole
(0,0); (0,1); (0,2); (0,3); (1,0); (1,1); (1,2); (1,3);(2,0); (2,1); (2,2); (2,3);(3,0); (3,1); (3,2); (3,3);(4,0); (4,1); (4,2); (4,3);(5,0); (5,1); (5,2); (5,3);
hmm… servono proprio tutti ?
(0,0); (0,1); (0,2); (0,3); (1,0); (1,1); (1,2); (1,3);(2,0); (2,1); (2,2); (2,3);(3,0); (3,1); (3,2); (3,3);(4,0); (4,1); (4,2); (4,3);(5,0); (5,1); (5,2); (5,3);
possibile che nessuna brocca sia piena oppure vuota?
NO
(0,0); (0,1); (0,2); (0,3); (1,0); (1,1); (1,2); (1,3);(2,0); (2,1); (2,2); (2,3);(3,0); (3,1); (3,2); (3,3);(4,0); (4,1); (4,2); (4,3);(5,0); (5,1); (5,2); (5,3);
da escludere i casi in cuinessuna brocca è piena oppure vuota
(0,0)(0,1) (0,2)
(0,3)
(1,0)
(2,0)
(3,0)
(4,0)
(5,0) (5,1) (5,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(0,0)(0,1) (0,2)
(0,3)
(1,0)
(2,0)
(3,0)
(4,0)
(5,0) (5,1) (5,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(0,0)(0,1) (0,2)
(0,3)
(1,0)
(2,0)
(3,0)
(4,0)
(5,0) (5,1) (5,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(0,0)(0,1) (0,2)
(0,3)
(1,0)
(2,0)
(3,0)
(4,0)
(5,0) (5,1) (5,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(0,0)(0,1) (0,2)
(0,3)
(1,0)
(2,0)
(3,0)
(4,0)
(5,0) (5,1) (5,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(0,0)(0,1) (0,2)
(0,3)
(1,0)
(2,0)
(3,0)
(4,0)
(5,0) (5,1) (5,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(0,0)(0,1) (0,2)
(0,3)
(1,0)
(2,0)
(3,0)
(4,0)
(5,0) (5,1) (5,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(0,0)(0,1) (0,2)
(0,3)
(1,0)
(2,0)
(3,0)
(4,0)
(5,0) (5,1) (5,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(0,0)(0,1) (0,2)
(0,3)
(1,0)
(2,0)
(3,0)
(4,0)
(5,0) (5,1) (5,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(0,0)(0,1) (0,2)
(0,3)
(1,0)
(2,0)
(3,0)
(4,0)
(5,0) (5,1) (5,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(0,0)(0,1) (0,2)
(0,3)
(1,0)
(2,0)
(3,0)
(4,0)
(5,0) (5,1) (5,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(0,0)(0,1) (0,2)
(0,3)
(1,0)
(2,0)
(3,0)
(4,0)
(5,0) (5,1) (5,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(0,0)(0,1) (0,2)
(0,3)
(1,0)
(2,0)
(3,0)
(4,0)
(5,0) (5,1) (5,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(0,0)(0,1) (0,2)
(0,3)
(1,0)
(2,0)
(3,0)
(4,0)
(5,0) (5,1) (5,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(8,0,0)
(0,8,0) (0,0,8)
(7,0,1)
(6,0,2)
(5,0,3)
(4,0,4)
(3,0,5)
(2,0,6)
(1,0,7)
(7,1,0)
(6,2,0)
(5,3,0)
(4,4,0)
(3,5,0)
(2,6,0)
(1,7,0)
(8,0,0)
(7,0,1)
(6,0,2)
(5,0,3)
(7,1,0)
(6,2,0)
(5,3,0)
(4,4,0)
(3,5,0)
(2,5,1)
(1,5,2)
(0,5,3)
(1,4,3)
(2,3,3)
(3,2,3)
(4,1,3)
(8,0,0)
(7,0,1)
(6,0,2)
(5,0,3)
(7,1,0)
(6,2,0)
(5,3,0)
(4,4,0)
(3,5,0)
(2,5,1)
(1,5,2)
(0,5,3)
(1,4,3)
(2,3,3)
(3,2,3)
(4,1,3)
(8,0,0)
(7,0,1)
(6,0,2)
(5,0,3)
(7,1,0)
(6,2,0)
(5,3,0)
(4,4,0)
(3,5,0)
(2,5,1)
(1,5,2)
(0,5,3)
(1,4,3)
(2,3,3)
(3,2,3)
(4,1,3)
(8,0,0)
(7,0,1)
(6,0,2)
(5,0,3)
(7,1,0)
(6,2,0)
(5,3,0)
(4,4,0)
(3,5,0)
(2,5,1)
(1,5,2)
(0,5,3)
(1,4,3)
(2,3,3)
(3,2,3)
(4,1,3)
(8,0,0)
(7,0,1)
(6,0,2)
(5,0,3)
(7,1,0)
(6,2,0)
(5,3,0)
(4,4,0)
(3,5,0)
(2,5,1)
(1,5,2)
(0,5,3)
(1,4,3)
(2,3,3)
(3,2,3)
(4,1,3)
(8,0,0)
(7,0,1)
(6,0,2)
(5,0,3)
(7,1,0)
(6,2,0)
(5,3,0)
(4,4,0)
(3,5,0)
(2,5,1)
(1,5,2)
(0,5,3)
(1,4,3)
(2,3,3)
(3,2,3)
(4,1,3)
(8,0,0)
(7,0,1)
(6,0,2)
(5,0,3)
(7,1,0)
(6,2,0)
(5,3,0)
(4,4,0)
(3,5,0)
(2,5,1)
(1,5,2)
(0,5,3)
(1,4,3)
(2,3,3)
(3,2,3)
(4,1,3)
(8,0,0)
(7,0,1)
(6,0,2)
(5,0,3)
(7,1,0)
(6,2,0)
(5,3,0)
(4,4,0)
(3,5,0)
(2,5,1)
(1,5,2)
(0,5,3)
(1,4,3)
(2,3,3)
(3,2,3)
(4,1,3)
7 versamenti
(8,0,0)
(7,0,1)
(6,0,2)
(5,0,3)
(7,1,0)
(6,2,0)
(5,3,0)
(4,4,0)
(3,5,0)
(2,5,1)
(1,5,2)
(0,5,3)
(1,4,3)
(2,3,3)
(3,2,3)
(4,1,3)
6 versamenti
qual è il più grande insieme di personeche non si conoscono ?
qual è il più grande insieme di personeche non si conoscono ?
qual è il più grande insieme di personeche non si conoscono ?
ma non sempre si può provare, anzi ….
qual è il più grande insieme di personeche non si conoscono ?
colorare i nodi in modo che nodi adiacenti abbiano colori diversi
minimo numero di colori ?
ma non sempre si può provare, anzi ….
trovare un esempio (semplice) dove
max cricca < numero cromatico
max ind set > decomposizione in cricche
mappa geografica
minimo numero di colori ?
mappa geografica
minimo numero di colori ?
grafo planare !
Teorema (Appel Haken 1976): 4 colori sono sufficienti
Congettura dal 1850
grafo planare !
Teorema (Appel Haken 1976): 4 colori sono sufficienti
Congettura dal 1850
quattro colori sononecessaricricca da 4 nodi
1 2 3
7
6
5
4
7 nodi
1
23
76
5
4
7 nodi
7 regioni
1 2
3 76
5
4
7 nodi
7 regioni
89
11
1012
12 archin + r = a + 2
formula di Eulero
dimostrazione per induzione
vera per n =1 a=0 r = 1
n + r = a + 2
vera per n-1 si aggiunge un nodo
si aggiungono a-1 regioni
si aggiungono a archi
cammino più corto ? 3
cammino più corto ? 2
il più lungo fra i cammini più corti ?
diametro del grafo
cammino più corto ? 4
congettura: il diametro del grafo delle conoscenze(nel mondo) = 7
è possibile disegnare il grafo senza staccare la penna ?
è possibile disegnare il grafo senza staccare la penna ?
è possibile far sedere tutti attorno ad un tavolo rotondoin modo che ognuno sia seduto vicino a due amici ?
è possibile far sedere tutti attorno ad un tavolo rotondoin modo che ognuno sia seduto vicino a due amici ?
problema del circuito hamiltoniano (molto difficile)
?
solo circuiti pari ma i nodi sono dispari !
e adesso ?
è possibile far sedere a due a due le personein modo da far sedere vicini solo amici ?
è possibile far sedere a due a due le personein modo da far sedere vicini solo amici ?
come costruire un torneo in cui ogni squadra incontra ogni altra squadra ?
!
come assegnare chi gioca in casa per ogni partita ?
è possibile che ogni squadra alterni partite in casa con partite fuori casa ?
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
come assegnare chi gioca in casa per ogni partita ?
è possibile che ogni squadra alterni partite in casa con partite fuori casa ?
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
come assegnare chi gioca in casa per ogni partita ?
è possibile che ogni squadra alterni partite in casa con partite fuori casa ?
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
come assegnare chi gioca in casa per ogni partita ?
è possibile che ogni squadra alterni partite in casa con partite fuori casa ?
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
come assegnare chi gioca in casa per ogni partita ?
è possibile che ogni squadra alterni partite in casa con partite fuori casa ?
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
come assegnare chi gioca in casa per ogni partita ?
è possibile che ogni squadra alterni partite in casa con partite fuori casa ?
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
colorare i nodi con due coloriin modo da avere il massimonumero di archi con due colorie gli archi grossi obbligati con due colori
n nodin-1 archi
m nodi n-m nodi
m-1 archi n-m-1 archi
(m-1)+1+(n-m-1)=n-1
almeno due nodi di grado 1
2(n-1)somma dei gradi uguale a
alberi di supporto quanti ?
forse ?
tutti gli archi archi dell’albero
NO ERRATO ! perché?
se il grafo è completo
se il grafo non è completo
det = 8
Laplaciano del grafo
-1
1
11
111
1110
11101
111010
1110100
11101001
11101001101000
quante sono le stringhe di 0 e 1 tali che in ogni prefissogli 0 sono meno degli 1 ?
numeri di Catalan
1100
per n=2 =1
per n=3 = 2
111000
110100
per n=4 = 5
11110000
11101000
11100100
11011000
11010100
isomorfi
I numeri di Catalan rappresentano una limitazione superioreal numero di alberi isomorficamente diversi