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Grafici di funzioni: valore assoluto, parabole
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Grafico di una funzione
Per prima cosa stabiliamo un collegamento diretto tra lageometria analitica e lo studio di funzioni.Definizione: Siano A, B ⊆ R. Data una funzione f : A → B, ilsuo grafico è il sottoinsieme Γf di R2 definito da:
Γf ={
[x, f (x)] ∈ R2 : x ∈ A
}
. (1)
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Grafico di una funzione: esempio
Esercizio 1: Sia f : R→ R la funzione definita da:
f (x) = x−1 , ∀ x ∈R .
Disegnare il grafico di f .Soluzione: Per definizione
Γf ={
[x, x−1] ∈ R2 : x ∈R
}
. (2)
La (2) ci dice che, per i punti del grafico, il legame fra l’ordinatae l’ascissa è espresso dall’equazione:
y = x−1 , x ∈R . (3)
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Grafico di una funzione: esempio
Ne segue che Γf è la retta rappresentata nella figura seguente:
x
y
−11O
b
x0
bf (x0)
Figura 5: grafico della funzione dell’Esercizio 1
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Polinomi di primo grado e rette
In realtà, il procedimento descritto nell’Esercizio 1 ha validitàpiù generale: in particolare, consente di affermare che ognifunzione f : R→ R del tipo:
f (x) = mx+b , ∀ x ∈ R , (4)
con m e b numeri reali assegnati, ha come grafico la retta diequazione:
y = mx+b .
Se m 6= 0, una funzione come in (4) viene chiamata polinomio diprimo grado.
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Polinomi di secondo grado
Un polinomio di 2o grado è una funzione f : R→ R definita da:
f (x) = ax2 +bx+ c , ∀ x ∈ R , (5)
dove a, b, c sono tre numeri reali fissati, con a 6= 0.Ragionando come nel precedente Esercizio 1, possiamoconcludere che il grafico del polinomio di 2o grado (5) è il luogodi punti (chiamato parabola) del piano R
2 definitodall’equazione:
y = ax2 +bx+ c , x ∈ R , (a 6= 0) . (6)
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Funzione valore assoluto
Introduciamo ora una funzione che risulta di grandissima utilitàin svariate situazioni.Iniziamo dicendo che la scrittura |x| (si legge valore assoluto dix) significa quanto segue:
|x|={
x se x ∈ R, x ≥ 0−x se x ∈ R, x < 0 .
(7)
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Funzione valore assoluto
Risulta quindi naturale definire la funzione valore assolutof : R→ R ponendo:
f (x) = |x| , ∀ x ∈ R . (8)
Esercizio 2: Disegnare il grafico della funzione valore assolutodefinita in (7)–(8).
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Grafico della funzione valore assoluto
Soluzione: In corrispondenza degli x ≥ 0 il grafico coincide conla bisettrice del primo quadrante, cioè la semiretta
y = x , x ≥ 0 .
Invece, per gli x < 0, il grafico è dato da
y =−x , x < 0 .
Mettendo insieme queste osservazioni si arriva facilmente algrafico di Figura 6.
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Grafico della funzione valore assoluto
x
y
f (x) = |x|
Figura 6: grafico della funzione valore assoluto
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Varie
• Esercizi sulla funzione valore assoluto;
• Traslazioni verticali e orizzontali di grafici.
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Polinomi ed equazioni di secondo grado
Polinomio di secondo grado:
P(x) = ax2 +bx+ c ,
dove a, b, c ∈ R e a 6= 0 .Definizione: Diremo che x0 ∈R è una radice di P(x) se è unasoluzione dell’equazione P(x) = 0, o, in altre parole, se
P(x0) = 0 . (9)
Ad esempio, seP(x) = 2x2 −3x+1 ,
allora possiamo facilmente verificare che x0 = 1 è una suaradice. Infatti
P(1) = 2 ·12 −3 ·1+1 = 0 .
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Polinomi ed equazioni di secondo grado
Sfortunatamente, è noto che non esistono formule risolutive perdeterminare, in generale, le radici di polinomi di gradosuperiore a quattro.Anche le formule risolutive relative a polinomi di grado tre equattro, pur se disponibili, risultano troppo complesse perquesto livello di trattazione.Invece, è possibile ed utile illustrare in dettaglio la situazioneper i polinomi di secondo grado: in particolare, ora possiamoderivare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.
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Polinomi ed equazioni di secondo grado
Per prima cosa, ricordando l’ipotesi a 6= 0, scriviamo:
ax2 +bx+ c = a
(
x2 +ba
x
)
+ c
= a
(
x+b2a
)2
+
(
c− b2
4a
)
= a(x− x0)2 − ∆
4a,
(10)
dove abbiamo posto:
x0 =− b2a
e ∆ = b2 −4ac . (11)
∆ si chiama discriminante dell’equazione di secondo grado.
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Polinomi ed equazioni di secondo grado
Facciamo il punto della situazione: grazie alla (10) possiamodire che l’equazione
ax2 +bx+ c = 0 (12)
equivale a:
a(x− x0)2 =
∆4a
. (13)
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Polinomi ed equazioni di secondo grado
Quindi, se ∆ < 0, ora possiamo subito concludere che non cisono radici reali, o, in altre parole, il polinomio è irriducibile.
Invece, se ∆ ≥ 0, una semplice ispezione di (13) fornisce:
x− x0 =±√
∆4a2 ,
ovvero
x = x0 ±√
∆4a2 . (14)
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Polinomi ed equazioni di secondo grado
In particolare, usando l’espressione esplicita di x0 data in (11),concludiamo che le due radici sono:
x1 =−b−
√∆
2a, x2 =
−b+√
∆2a
(15)
(si noti che x1 = x2 quando ∆ = 0).
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Polinomi ed equazioni di secondo grado
Infine, un calcolo diretto consente di verificare che, quando∆ ≥ 0, la fattorizzazione del polinomio di secondo grado è:
ax2 +bx+ c = a(x− x1)(x− x2) , (16)
dove x1 e x2 sono appunto le sue due radici (eventualmentecoincidenti).
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Esercizio
Esercizio: Si consideri il seguente polinomio di secondo grado:
P(x) = x2 −2x−3 .
(i) Determinare le eventuali soluzioni reali dell’equazione disecondo grado
P(x) = 0 ;
(ii) Fattorizzare, se possibile, P(x) nel prodotto di polinomi diprimo grado.
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Esercizio
Soluzione: (i) Applicando la formula risolutiva (14) troviamofacilmente:
x1 =−1 e x2 = 3 .
(ii) Applicando la fattorizzazione (16) abbiamo subito:
P(x) = (x+1) · (x−3) .
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Considerazioni conclusive
Si consiglia di riflettere bene sul legame esistente tra il segnodel discriminante ∆ e la rappresentazione grafica di parabole:
• ∆ > 0 corrisponde al caso in cui la parabola ha 2 punti diintersezione con l’asse x ;
• ∆ = 0 corrisponde al caso in cui la parabola ha un unicopunto di intersezione con l’asse x ;
• ∆ < 0 corrisponde al caso in cui la parabola NON ha puntidi intersezione con l’asse x .
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