Universidade Federal do Cear

Centro de Cincias

Departamento de Matemtica

CB 0661 - Matemtica Discreta - 2015.1Grafos

Profa. Ana Shirley Silva

Um grafo um dupla ordenada G = (V,E) onde V um conjunto finito no-vazio, chamado deconjuntos de vrtices e E uma famlia de subconjuntos de V de tamanho 2. Esta definio naverdade a de grafo simples no-direcionado, podendo um grafo em geral ter infinitos vrtices, ter arestasdirecionadas (caso em que E uma relao binria sobre V e onde G dito direcionado), E pode serum multiconjunto de conjuntos de tamanho 2 de V , caso em que G chamado de multigrafo, etc. Nestetexto, apenas grafos simples no-direcionados sero tratados, e por simplicidade, chamaremos apenas degrafos. Tambm por simplicidade, escrevemos uv E quando {u, v} E.

Dizemos que u, v V so adjacentes ou vizinhos se uv E. Desta forma, a vizinhana de u em G dada por NG(u) = {v V | uv E}. O grau de u em G dado por dG(u) = |NG(u)|. Quando o grafoG claro pelo contexto, omitimos o subscrito.

Lema 1. Seja G = (V,E) um grafo. Ento,

vV d(v) = 2|E|.Teorema 2. Seja G = (V,E) um grafo. Ento, G possui uma quantidade par de vrtices de grau mpar.

Dizemos que G = (V,E) e G = (V , E) so isomorfos se existe uma funo bijetiva f : V V tal que xy E se e somente f(x)f(y) E. Intuitivamente, isso quer dizer que G e G tem o mesmo"desenho", mudando apenas a rotulao de seus vrtices.

Um passeio emG uma sequncia de vrtices e arestas (u1, e1, u2, e2, , eq1, uq) tal que ei = uiui+1,para todo i {1, , q 1}. Observe que se G um grafo simples, podemos omitir as arestas nasequncia e exigir apenas que uiui+1 seja uma aresta do grafo. Porm, esta definio feita desta formapara abranger tambm multigrafos. Ou seja, quando possvel se ter mais de uma aresta entre o mesmopar de vrtices (esse o caso quando E um multiconjunto), necessrio identificar qual das aresta estsendo usada pelo passeio. As definies e teoremas seguintes relativos a passeios eulerianos se aplicamtambm a multigrafos.

Um passeio dito fechado se o primeiro e o ltimo vrtices so iguais. Uma trilha um passeio ondeno h repetio de arestas. Uma trilha fechada tambm chamada de tour. Uma trilha Euleriana secontem todas as arestas do grafo.

Teorema 3. Um grafo G = (V,E) possui um tour Euleriano se e somente se d(v) par, v V .Teorema 4. Um grafo G = (V,E) possui uma trilha Euleriana no fechada se e somente se exatamentedois vrtices de G, digamos x e y, possuem grau mpar. Ademais, a trilha tem incio em x e fim em y.

Um caminho em G um passeio onde no h repetio de vrtices. Como voltamos a tratar apenasde grafos simples, iremos omitir as arestas na sequncia quando representamos um caminho. Seja P =(u1, , uq) um caminho em G. Dizemos que P um caminho entre u e v, ou que um (u, v)caminho,e que u e v so as extremidades de P . Um ciclo um passeio onde somente o primeiro e ltimo vrticesso iguais. Se existe um (u, v)-caminho em G, para todo par u, v V (G), ento G dito conexo. Casocontrrio, dito desconexo. Se existe algum ciclo em G, dizemos que G cclico; caso contrrio, dizemosque G acclico. Observe que G no precisa ser ele prprio um ciclo.

Dado um grafo qualquer G = (V,E) e uma aresta e E, denotamos por Ge o grafo (V,E \{e}). Ocomplemento de G o grafo (V,E) tal que, para todo par u, v V , u 6= v, tem-se uv E se e somente seuv / E. Este grafo denotado por G. Dada uma aresta e E, denotamos por G+e o grafo (V,E{e}).

Uma rvore um grafo conexo acclico. O teorema abaixo nos diz que uma rvore um grafominimalmente conexo e maximalmente acclico.

Teorema 5. Seja G = (V,E) um grafo e G = (V,E) seu complemento.

(a) G uma rvore se e somente se G conexo e G e desconexo, para toda aresta e E.(b) G uma rvore se e somente se G accliclo e G+ e cclico, para toda aresta e E.

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Dado um grafo qualquer G = (V,E) e um vrtice u V , dizemos que u uma folha de G se d(u) = 1.Lema 6. Seja G uma rvore. Ento G possui ao menos uma folha.

Um grafo G = (V , E) um subgrafo de G = (V,E) se V V e E E. Escrevemos G G. SeV V ou E E, dizemos que G um subgrafo prprio de G e escrevemos G G. Uma componentede G um subgrafo conexo maximal de G, isto , um subgrafo G conexo tal que no existe um subgrafoG = (V , E) de G para o qual G G.Lema 7. Seja G = (V,E) um grafo qualquer e e E. Se H = G e desconexo, ento H tem nomximo uma componente a mais que G.

Teorema 8. Se G = (V,E) uma rvore, ento |E| = |V | 1.A partir de agora, quando os nomes dos conjuntos de vrtices e arestas de um grafo G no so

fornecidos, iremos denot-los por V (G) e E(G), respectivamente. Dado um grafo G, um subgrafo geradorde G qualquer subgrafo G G tal que V (G) = V (G). Se alm disso G uma rvore, dizemos queG uma rvore geradora de G. Dado um grafo G e uma funo c : E(G) R+ de custos nas arestas,o custo de uma rvore geradora T de G dado por c(T ) =

eE(T ) c(e). Uma rvore geradora mnima

ser uma de menor custo possvel, ou seja, uma rvore geradora T tal que, para toda rvore geradoraT de G, tem-se c(T ) c(T ). possvel calcular uma rvore gerador mnima de um grafo G com custonas arestas c com o seguinte algoritmo:

Algoritmo K: escolha uma aresta de menor custo que no forme um ciclo com as arestas j escolhidasat ento. Repita isto n 1 vezes, onde n = |V (G)|.Teorema 9. Seja G = (V,E) um grafo e c : E R+ uma funo de custo nas arestas. Seja ainda E oconjunto de arestas escolhidas pelo Algoritmo K. Temos que T = (V,E) uma rvore geradora mnimade G.

O mtodo usado no algoritmo anterior chamada de mtodo guloso, pois faz sempre a escolha queparece melhor naquele momento. Um algoritmo que usa tal mtodo normalmente chamado de algoritmoguloso e o algoritmo anterior conhecido como Algoritmo de Kruskal. Vale ressaltar que o mtodo gulosono funciona bem para todo tipo de problema. A seguir, iremos abordar um problema para o qual oalgoritmo guloso pode fornecer resultados muito ruins.

Dado um grafo G = (V,E), uma k-colorao prpria dos vrtices de G uma funo f : V {1, , k} tal que f(u) 6= f(v), para toda aresta uv E. Por simplicidade, iremos chamar apenasde k-colorao. Dizemos que G k-colorvel se G admite uma k-colorao de seus vrtices. O nmerocromtico de G o menor valor k para o qual G k-colorvel; este valor denotado por (G). Finalmente,um grafo dito k-cromtico se (G) = k.

Observe que os grafos 1-colorveis so bastante simples; nada mais do que um grafo sem arestas. Jos 2-colorveis so um pouco mais complexos, porm, como vemos no teorema a seguir, tambm ainda decerta forma simples. No difcil notar que a ida do teorema vale pela observao da sua contrapositiva:um ciclo mpar exige 3 cores. Comentamos sobre a volta mais adiante.

Teorema 10. G 2-colorvel se e somente G no contem ciclos mpares.

Aqui introduzimos uma outra definio largamente conhecida, que, como veremos, equivalente aoconceito de 2-colorao, mas que tambm usada em vrios outros contextos. Um grafo G = (V,E) dito bipartido se V pode ser particionado em dois conjuntos A,B tais que: uv E (u A v B).Note que c : V {1, 2} tal que c(u) = 1, para todo u A, e c(v) = 2, para todo v B, uma2-colorao de G. Alm disso, se G possui uma 2-colorao c, ento A = {u V | c(u) = 1} e B = V \Anos fornece uma partio de G como a descrita anteriormente. Isto significa que o seguinte teorema vlido:

Teorema 11. G bipartido se e somente G 2-colorvel.

Uma maneira de provar a volta do Teorema 10 argumentar que o seguinte procedimento coloreG com as cores branco e preto, caso G no possua ciclos mpares: considere G conexo, caso contrrio,basta aplicar o procedimento para cada componente de G; escolha um vrtice qualquer v de G e d acor branca para v; em seguida, iterativamente, escolha um vrtice u ainda no colorido que possua um

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vizinho colorido; se tal vrtice no existe, como G conexo, porque todos os vrtices j foram coloridose, neste caso, o procedimento para; se existe, podemos argumentar que no mximo uma cor aparece emsua vizinhana, seno teramos um ciclo mpar; atribumos a cor distinta da usada na sua vizinhana.

Uma verso mais geral do algoritmo acima que pode ser aplicada a um grafo qualquer a seguinte:escolha v qualquer e d a cor 1; em seguida, iterativamente, escolha u qualquer ainda no colorido e da menor cor k que no aparece em sua vizinhana. Note que este um algoritmo guloso. A aplicaodeste algoritmo torna possvel a prova do seguinte teorema.

Teorema 12. Seja G = (V,E) um grafo qualquer. Ento, (G) (G) + 1, onde (G) o graumximo de um vrtice de G.

necessrio enfatizar que o algoritmo guloso pode obter uma colorao do grafo considerada muitoruim. Por exemplo, observe que, pelo Teorema 10, toda rvore 2-colorvel. Porm, sabe-se que existemrvores em cuja aplicao do algoritmo guloso fornece coloraes com uma quantidade muito maior doque 2 de cores.

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