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GRAFOS: ALGORITMOS FUNDAMENTALES ESTRUCTURAS DE DATOS

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Page 1: GRAFOS: ALGORITMOS FUNDAMENTALES ESTRUCTURAS DE DATOS

GRAFOS: ALGORITMOS FUNDAMENTALES

ESTRUCTURAS DE DATOS

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MATRIZ DE CAMINOS Es una matriz cuadrada P,

Que representa si hay o no camino Entre dos vertices Vi y Vj

hay lo no si 0,

caminohay Vy V entre si ,1 jiPij

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CIERRE TRANSITIVO Es el grafo resultante de la matriz de caminos Si un grafo es fuertemente conexo

Su cierre transitivo es un grafo completo

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UN POSIBLE ALGORITMO Entre Vi y Vj puede haber camino

Directo, cuando A[i][j] == 1, camino de long. 1 O pasando por otros vertices

Si solo analizamos pasar por un Vk extra Cuando A[i][k] == 1 && A[k][j] == 1, Long. 2 Si Vk puede ser V1 o V2 o … Vn, realmente

(A[i][1] && A[1][j]) || (A[i][2] && A[2][j]) || (A[i][n] && A[3][n])

Que representa A * A, A2

Nos indica solo si hay un camino de long. 2 entre Vi y Vj

La matriz de caminos indicara si hay camino ya sea De long. 1 o de long. 2 o de long. 3 o de long. N, es decir:

B = A + A2 + A3 + A4 +…. An

0 Bij si 0,

0 Bij si ,1Pij

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WARSHALL: MAS EFICIENTE El anterior algoritmo

Es poco eficiente, peor Cuando el grafo tiene muchos vertices

Warshall propuso otro algoritmo Mas eficiente Calcular una secuencia de matrices cuadradas

De 0s(no hay camino) y 1s(hay camino) P0, P1, P2, P3… PN

La diferencia entre Pk y Pk-1 Se basa añadir un vertice Vk-1 al analisis Para saber y a traves de Vk-1 hay camino entre V1 y Vj

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COMO FUNCIONA Existe una matriz inicial P0

Inidica si hay o no camino DIRECTO de Vi a Vj La matriz que le sigue P1

Indicaria si hay o no camino DIRECTO (Esto ya lo sabe P0) O pasando por V0 (añade este vertice al analisis)

P2 Indicaria si hay camino DIRECTO o pasando por V0 (Esto ya lo sabe P1) O pasando por V1

P3 Indicaria si hay camino DIRECTO o pasando por V0, o V1 (Lo sabe P2) O pasando por V2

Pk Indicaria lo que ya sabe Pk-1 O pasando por Vk-1

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EL ALGORITMO ENTONCES Debemos encontrar Pn

Sabiendo que Pk[i][j] es 1 si Pk-1[i][j] es 1 o Pk-1[i][k] && Pk-1[k][j]

En otras palabras:

no si 0,

[k][j])P [i][k]P( [i][j]P si ,1 1-k1-k1-kPij

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WARSHALL IMPLEMENTADOMatrizAdy Warshall(Grafo G){

int i, j, k;

MatrizAdy P;

CopiarMatrices(P, G.A);

for(k = 0; k < G.nvertices; k++){

for(i = 0; i < G.nvertices; i++){

for(j = 0; j < G.nvertices; i++){

P[i][j]= P[i][j] || (P[i][k] && P[k][j]);

}

}

}return P;

}

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CAMINOS MAS CORTOS Frecuentemente, se desea conocer en una red

Cual es el camino mas corto Entre un par de vertices

En este caso Si importa cuantos caminos existen Si ya conozco un camino, pero encuentro uno mejor, sustituir

Se aplica el algoritmo de Dijkstra Es un algoritmo avido, ya que Resuelve el problema en sucesivos pasos En cada paso

Selecciona la solucion mas optima

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DIJKSTRA Dado un V0, Dijkstra busca un conjunto D con

Las menores distancias de V0 al resto de vertices Al inicio, solo conocemos

Las distancias de los adyacentes D es inicializada a

Factor de peso para los adyacentes, Infinito para los no adyacentes

D va ser mejorado sucesivamente Escogiendo el vertice Vk no elegido antes

Que tenga la distancia mas corta V0, Vk

Probamos si pasando por Vk Se puede obtener distancias mas cortas de las que tenemos Para cada Vertice restante del grafo

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EJEMPLO DE DIJKSTRA

V2 V5

V1

V3 V4

V6

38

5

34

7

3

2

Escogidos

Vertice Evaluado

D[0] D[1] D[2] D[3] D[4]D[5]

V1 V2 V3 V4 V5 V6

De V1 AL RESTO

V1 0 3 4 ∞ 8 ∞V1

1. D[] se incializa con F.P. de adyacentes al origen

2. Escoger vertice Vk que no haya sido escogido, con la menor distancia del Vevaluado a Vk

V2

3. Revisar si alguna distancia puede ser mejorada pasando por Vk

Pasando por V2, Distacia de V1 a V5 seria 8, no hay

mejora

0 3 4 ∞ 8 ∞V1,V2

Repetir hasta k se hayan visitado todos los vertices

V3 0 3 4 ∞ 7 ∞V1,V2,V3

V5 0 3 4 14 8 10V1,V2,V3,V5

V6 0 3 4 12 8 10V1,V2,V3,V5,V6

Pasando por V3, Distacia de V1 a V5 seria 7, CAMBIAR

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DIKSTRA1. Se crea una lista de VDiks

con todos los vertices del grafo, y cada VDiks creado tambien se encola

2. Se saca de la cola el menor VDiks por distancia(vmenor)3. Por cada VDiks v de la lista, se revisa

Si su vertice es adyacente al vertice de vmenor y si pasando por vmenorse puede conseguir una mejor distancia Si es asi, se modifica v con los nuevos datos

4. Se repite todo desde el paso 2 hasta que no haya nada mas en la cola

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CAMINOS MAS CORTOS ENTRE TODOS LOS PARES DE VERTICES Es una generalizacion de lo anterior Si se puede obtener la menor distancia

De un V0 al resto Tambien se puede obtener

La menor distancia de todos los vertices Al resto

Se podria aplicar Dijkstra A cada vertice Y obtener n vectores D, o , una matriz F

Pero se puede aplicar otro algoritmo

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FLOYD Este algoritmo se basa en Warshall

Se calculaba una secuencia de matrices Pk Cada Pk evaluaba dos opciones

Que Pk-1 indicara camino entre Vi y Vj o Que Pk-1 indicara camino entre Vi y Vj

Pasando por Vk

Floyd tambien calcula Fk, pero Cada Fk escogera la menor distancia entre

Distancia entre Vi y Vj, indicado por Fk-1 o Distancia entre Vi y Vj pasando por Vk, indicado por Fk-1

[k][j])) F[i][k] [i][j] ,(FMin(FFij k-k-k- 111

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ARBOL DE EXPANSION DE COSTE MINIMO Dado un grafo G

No dirigido Valorado, con pesos no negativos

El arbol de expansion minima Es un grafo parcial conexo a partir de G Tal que la suma de sus aristas sea minima

Ejemplo de aplicacion Redes de comunicaciones, de costo minimo

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ALGORITMO DE PRIM Dado el grafo, se debe seleccionar

Un vertice de inicio v Dicho vertice v se añade a un conjunto W Escoger el vertice u que no pertenezca a W

Adyacente a cualquiera de los vertices de W Y que tenga un costo minimo

Añadir el vertice u al conjunto W Repetir proceso hasta que V == W

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EJEMPLO

1 2 3

4 5 6

7

1

46

3

45

2

6

8

7

34

Desde 1

W = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 6

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PRIM1. Se crea un grafo nuevo con los

mismos vertices del grafo original2. vorigen se marca como visitado3. Los arcos de vorigen, cuyos vertices destino no han sido

visitados, se encolan por peso4. Se desencola el menor en peso de los arcos

no visitados(amenor) y su vertice destino se marca como visitado5. En el nuevo grafo,

se lanza el arco correspondiente a amenor(de ida y vuelta) 6. Se repite todo desde el punto 3 pero para

un vorigen igual al vertice del arco sacado(amenor)hasta que el numero de vertices marcados como visitadossea igual al numero de vertices del grafo

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ALGORITMO DE KRUSKAL Kruskal se basa en el concepto de

Componentes conexas Sabemos que en el arbol de expansion

Deben aparecer todos los vertices de G Lo que no sabemos aun

Es que arcos escoger para unirlos Lo que a Kruskal le interesara elegir

Son los arcos, no los vertices, como en Prim

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COMO FUNCIONA Primero añadir todos los vertices al arbol A

Estos forman n componentes conexas Luego elegir el arco de costo minimo

Que no haya sido elegido anteriormente y que No una dos vertices de una misma componente

Este proceso se repite hasta que Se hayan unido todos los vertices Es decir, n-1 veces

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EJEMPLO

1 2 3

4 5 6

7

1

4 6

3

45

2

68

734

Desde 1 1 2 3

4 5 6

7